Andrei Gheorghe

NUMERE COMPLEXE

Editura GILZalilu

Cuprins

Ecualii in numere complexe 71.1, Em;nluri 71..2 Solufii 18

CAteva aplicafii in legituri cu rXdicinile ecualiilorz2+211:0qiz2+r:0 s52.1, Enunluri 55

2.2 Solufii. :-:..!. 61,

,73Ecuafia de gradul II3.1, Enunturi 73

3.2 Solufii 83

Ecuafii binome 123

4.1, Enrmluri 123

4.2 Solulii 131

Probleme asupra ridicinilor unitilii 163

5.1 Emrnluri 1'63

5.2 Solulii 176

Funcfii 215

6.L Enunfuri 21"5

6.2 Solufii 223

Sisteme 245

7.1. Enunluri 245

7.2 Solulii 25I

Ecuafii polinomiale de grad n, n 2 3

8.1 Enun{uri8.2 Solulii

Alte ecuafii

267

267

274

297

Andrei Gheorghe

9.1, Enunfuri 2979.2 Solulii

303

Bibliogralie32s

297

303

Capitolul L

Ecuafii in numere complexe

1,.1, Enunfuri

1. Sd se rezolve ecuafiile:

a)22+(3i*1\z-4:0;b) z2 + (7i - 3)z- 10 - 11i : 0;

c) (a + 2i,)22 - (6 + i)z t 2 - i, : o;

d) izz + (I - 7i,)z |_74i, - 5 :0;e) i,z2 + (5 - i,)z - 5 - I2i, : 0;

f) (4 + 3i)22 + 212 - i)z -t 2 - i : o;

g) Q * i)r' * (3 + i)z - 2 t- 6i : 0;

h)r'-(5+2i)z*9*32:o;i) iz2 - 2(1. + i)z + 3(2 + i) :0;j) z2 - 2(1+ ia2)z -t r - aa - o, o e lR*;

k) (1+ i)r' -2(1- a)z + (1 - i)(a2 * 1) : o, a e C;

l) "' - 2@ - a)z I 2a2 - 2(4 + a)a+ 19 + 4r, : 0, a e C.

m)Fieecuafia (t+t)22 -2(a*I)z+(1_ i)(o' + 1) :0,undeo e C.

m1) SX se determine o relafie intre riddcini independente de parametrul a.

m2) Sd se rezolve ecuafia.

n)Fieecua{iaz2 -2(a+4)212a2 *2a(6+?)+ 19 +4i:0, a € C.

ri1) Pentru ce valori ale lui o ecualia are o rdddcind dublS?

nz) Sd se rezolve ecua{ia.

n3) Pentru ce valori ale lui a, ecualia are rddXcina a?

Andrei Gheorghe

2. Sd se rezolve ecualiile:

a) zz +2 :0;b)z2.,zl:0;c) z3 :Z'd)23 : z2;

e) lzlzs : t;

f\ l"l;3 -..- ,,g) z5 : zlzl;

h) z2 :22;r) z' : 2";

i\;4 - .4.lt 'k) z3 : eZ,unde e2 + e + I : 0)

l) z2 : tz;

m) lzl r iz= I-2i;n) z2 : o22;

o) z2 : lzlz;

p) z : eZ (e este o rdddcind cubic6 complexd a unitdlii);.- /

q1 zz= -t lzl :0;t)2225 - lrl: O;

s) lz - trl:1, -,,t1'",t- -l-l- tLt)t

t) z2 : a222, ct e C*.

3. Sd se rezolve ecuafiile:

a) zz * 3(z -z): 13 + 1Bz;

b)lzl:lz-71:7;c) lzl : lz - 41, z2 : -E t t2i,;

d) 2zz - 22 - 5z -fz : *4;

e) 422 + 8lzl2 : 3;

t) lr1 : I,1r2 +2'1 : 2;

S)lz+ 1l : 11 +izl:lz+izl;h) 13 - z2 +22 - lzl2 - s: o.

i) Sd se determine z € C, cuproprietd{ile lrl : vOqi ] 2' +=?

I : t.lz J?l

ii);

Numere complexe

2z*31t1

z 3i,l

j) Sd sedetermine z € C pentru.*" l- t 1 : I Qi r

=l :' lr-31 ' "-41

k) Sd se determine z astfel rncat ir * il: ,

5.

l)Sdsedeterminez e Cgtiind cltlzl:lXl:tr-al,undea e (0, 4),afixat.

m)22-4lzl+s:o;n)lz - 1l : l" +tl : lz t'/5]|;

o) lz * il - l, + 5il : lzl- a:0;z-41 lz-121 5p)lz_81 -tutl,_a,l

s,

r) lzl2 + lzl + z -z : 12 - 4\/ri,

Sd se rezolve ecualiile:

a)ra-622+25-- o;

b) ra - (4+zi)22 r bi * 1 : o;

c) za - J(t - 2i,)22 - 8 - 6z : o;

d) z4 - z(t 2i,)22 - 3 -t 4i, : o;

e) ,a * (.5 * 2i)22 - 1oi : o.

Dacd.21, zz surrtrdddcinile ecualiei z2 : a { i,b, a,n € IR, sd se determine rddicinileecuafiilor in funclie de z1 qi 22.

a)22:a-ib;b) z2 : *a, - i,b;

c) z2 : -a -l i.b;

d) z2 :b * ai;

e)22:b*ai;f)12 - b-ai.

Sd se determ ine m € lR, in fiecare caz, pentru care ecualiile sd aibi cel pufin orddicind reald qi apoi sd se rezolve:

a) (1 + zt)22 -f (2^ - i,)z - 3 - mi : o;

b)(1+i)22-2mz*m-i:0;c)22+mizli-m:o;d) izz - (mi, * 2)z -t (m -r l)i + 4 : O.

Andrei Gheorghe

7*. Fie zrjzzlzr,za rdddcinile ecua{iei. z4 : a + ?b. se se determine tn funclie de zp,k :T-A, rdddcinile ecua{iilor:

a)24:a-i,b;b) za : -a - i,b;

c) z4 : -a * i,b.

8. Sd se rezolve ecua{iile:

a) za:T +24i,;

b\ za :7 - 24i;

c) z4 : *7 + 24i,;

d) za : -T - 24i.

9. Sd se rezolve ecualiile:

a) z4 : (1 + i,)a;

b) (z + i)4 : (r - i)4)

c)a: -7 -24i;d) za :4(119 + 120i) utiliz6nd (t - 2i)4;

/. ' 4

e)(z+n^:(:-*)' \2 2/10*. Sd se rezolve ecua{iile:

a)22+lzl.z*1"12:0;b) ,' - lzl. z 1- ltl2 : o;

c)c)22*2ezle:0;

"r) ,' - 2wz - w: 0, unde r : *1 +

i\/3 I i\/3' 2 2 E'u:'+ Z;

d)lzl*iz:I-2i,;e)2Rez:lz2+Il;f) az2 +bz : aZz I bZ, a,b e lR;

g) z3 * ,2ltl - 2lzl3 : g.

t -Lth):-:-::zti;zz

il

-

- a.

, _ -

LtaT 1

., z-7D - :z+L;aa

k)23+22+r-t-1:0.

10

se determine tn funcfie de zp,

t , iJ,-,- 2'

Numere complexe

tt.

12.

Sd se rezolve ecuafiile de mai jos gi sd se afle valoarea parametrului a:

a) "3 - (6 - i)22 + (12 - 4i)z -t a : 0, z1 : r * i,;

b) rr - (2 + t)22+ 2(1 + i,)z * a : 0, zr : Iilc) z4 = 2iz3 - 2iz * a : 0, zt : -1,.

S5 se rezolve ecua{iile:

"r(.-r\,*(L::2 z-i,

'\z+i) \z+t) +r*t*1:0;

b)ftl\'-(r.J'\z z+i'\r*il \"_ t) +"-,-1:o;

, (#)' - (, *, (*)' * r1'.., (?3) -,, : o,

d) ,6 - 28i23 - 27 : o;

. (22+I\2+(22_ I\2 4u) s -j:-rc;t) (, - 2)a + (z + 2)4 + 14 : o;

E) za - 2mz2 + (m + I)2 : 0 pentru care m e )R, rdddcinile sunttr C - lR;

h) za + 4iz2 I Lz(r + i)z - 45 : o;

j) z3 - (z'/s + zt) z2 + (t + +vtrt) z - zi, * 6r,E : 0;

il 13 a Qa - t'1/i) z2 + (z+ * 14i\/r) z - 74i,1/2 : s.

13. Sd se rezolve ecua{iile:

a)23-222+iz*3*z:o;b),' - (3 + t)22 + (2 + 3i,)z - 2i : o;

c) zs + (i, - 6)22 + (1 - 6i,)z * 102 : 0;

d)23 +Q+i)z+2+i:0'e) z3 - 4(2 + i)22 + (I718i,)z - 10 - 20i : 0;

0 "t * (3+2il22 + (3 + 7i.)z - 1o - 2oz: o;

g) z3 - 3(7 - i)22 + (3 - 8i)z -3 -F 9z : o.

1-4*. Sd se rezolve ecuatiile:

a)2za -4zz +7122 -gz*g:a;b) za + 223 + 222 * t6z i 64: o;

c) za + 223 + zz * 16z * 64:0.

11

15*. Se se rezolve ecua{iile:

a) z3 + z2 - 5z -f z - 4: 0, cu l"l : 2;

b) z3 +,' -'n, - z I l: o, cu lzl : J;

c) z3 + z2 + z *, * L" + z2 + z r I : o.culzl : 4.* G, + z- + z + t : 0,culzl : 4.

1.:6*. a) Fie ecualia z3 - z2(mi + 2) + z(E + 2mi) - Smi: 0, und.e rn € lR.*.

SE se determine rn € lR. gtiind cd lzl2 * lrzl2 + lzslz - JE.

b) Fieecuafiamz3 -322 + (m-f 2)z -2m:0,m € lR* curidicinile zr,z2,4,undez1 e C - lR cu lrtl : L Si se calculeze

D_* lrl'+lz2l2 rl4l2L : rn htzd + e;l; l4ztr'

c) Fie ecualia z3 + (3i - 2)22 - z(I * 4i) + i * 2 : 0.Sd se calculeze

' Sr : l"rl' + lz2l2 + lzsl2 qi 52 : lals + l"rl3 + l"zl3.

d) s5 se arate cd ecuafia sr6 -gr5 *rgra -2713 *75n2 - 6r * 1 : 0 are trei rdddcinia,b,ce Ccuproprietateacd la)z +lbl2 i lcl2:3.sd se rezolve ecualiile qtiind cd admit cel pulin o solulie z1 cu lRe z1 | : llm zr l.a)23-Ji,zlr-i,:o;b) 13 - 2(t * i.)22 t 2iz - 4 - 4i, : o;

c) z3 - (J + 4i)22 + (3? - r)z - 6- 6i : o.

Sd se rezolve ecualiile:

a)2.3+22+z*1:o;b)zs+22+zlz2yr:9,c)23+z:22+l:d) z3 + z2 + z -zz -z: I.

19**. Fie z o solufie a ecualiilor de mai jos. Dacd

a) z3 + z2 + z : 2i,, atur:rcilrl < z;

b) 523 - 422 - Sz - 3 : 0, atunci l"l < Z;

c) 723 - 3ezz - 2ez - (l * Ltf\ : 0, atunci l"l < t;d) lrl3 + Jlzl - 622 + 12 - 4i : o + 2 1 lzl S E;rmde e, e sunt rdddcinile cubice complexe ale unitd{ii.

17*.

1g*.

12

0, unde rn e lR*.

- 9l

- Jd.

R* cu rdddcinTle 21,22, zs,urrde

l'

"rl'Sd se calculeze

lt + lrrlt * lrzl3 .

Y2 -6s,* 1 : 0 are trei rdddcini

6e zr cu lRe z1l: lImzll.

Numere complexe

20*. a) Sd se determine numerele complexe z € C+ cu lzl - rf3, astfel incAt

lz2 +221:6'

b) Si se determine numerele complexe z € C* cu ]zl : r/8, astfel incAt

lz2 +-22 + 1ol : 4.

21**. SA se determin e z € Cin fiecare din cazurile de mai jos:

a)lz+11+lzl :1;b)lz2+rl+lzl:1;c)lz3+11+1zl :1.

22*. Fie z e C*. Sd se determine z astfel incAt:I zl

a) 11+ ;l:2,

b)lz-3-rl < rt,V-1-3il <t/i;c)l"l:1r-21:lz++tl;d) lz + 3i,l : lz + 3il : lz - z\/Jil;

")1,+-1lzl-, , 11

1

- a t ol-r.I z'l

23**. Se se determine numerele complexe care au modulul numdr natural qtiind cd

,3+12+z:3lzl.

24**. Fiea, b € lR qi z e C.- IR astfelincAt la - bl - la + b - 2zl.

a) Sd se arate cd ecualia l, - ol" + lz - bl : la - bl" arco singurd solulie z e lR.

b) Sd se rezolve inecualia l" - ol + lz * bl 3l" - bl" cu necunoscuta n € lR.

25**. a)Fie a ) 0, z € C* astfelinc6t l, *Ll: *zl

Si se determine numerele complexe de modul minim respectiv maxim, care verificdegalitatea.

b) Pentru ce valori ale lui a,lzl*m: tg 15 Qi lrl*o* : 1975.

c) Fie z € C* astfel incat lz + 1l : WI zl

Sd se determine cea mai mare gi cea mai micd valoare a lui lzl.

t3

Andrei Gbeorghe

26*. a) Sd se determine valorile luilzl, unde z e C verificd relalia

lz2+tl:lz-Il.b) Sd se determine numerele complexe de modul minim qi maxim care verificdrelafia

lz + 71+ lz + il : t/2.

c) Sd se determine numerele complexe de modul minim pentru care

lz - il + l, - '/il: z.

d) Determinali elementul de modul minim al mullimii

{z € C. I z *z -t i,(z - z) : 4}.

27"*. a) Sisedeterminenumerelecomplexezpentru carclz -?l < 1gi iz- 2_ il<L.b)Sdsedeieimine zdacdlz*l_zl < 1qi lz2 +t*?l < 1.

c) Sd se determine z € C pentru care au loc rela{lile

( lz+Il<1| 1* +t1-3t[ 123+11 <r

28**. Se se afle z dacd:

a) lz2 + z + 7l * lz -r 7l:2;A)V'-zt Il+lz Il:2;c) lzz + z + rl -l lz2 + z1 : 2.

29". Se se rezolve ecualiile:

a) I + 2lzl2 : 212 I Il2 + lzz + Il;b)lz2+rl+lzl:t;c)lz3+rl+lzl :1;d) lz2 + 412 + elz + 212 : 30 e 222 l Jz t 2 : 0.

30*. se se determine numerele complexe de modul 1 care verifici relafiile:I

-tI a tl

a) l: + 1l:1;'lz zl

b)lz2 +212:2.

1.4

i relafia

minim qi maxim care verificX

nim pentru care

rul

= 41.

l"-il<1qilz-2-i.l<il<1.

1.

Numere complexe

3L*. Sd se determine numerele complexe de modul 1 pentru care se verificd relafia:

a) lz2 +22 + z2z tzzz - al: G;

b) lz3 +23 + z2 +22 - Q +z)t 3l : 5.

32**. Se se determine numerele complexe de modul 2 care verifici relaliile:

a) lz2 +22 + 6l :2;b) lz3 +24 + z3 +22 + 2Q +z) + 4l : 12 (numdrul solu[iilor);

c) lz3 + z3 + 4zzz * 222 z - 481 : 32.

33**. a) Sd se determine z € C+ cu lzl : t/5 carcsd satisfacd rela{ia lz2 +221 : 6.

b) Care este suma qi produsul rdddcinilor?

34**. Se se determine numerele complexe de modul 1 care verifici relalia:\ r O o,

a) lz" - z'l: 2;

b) lr' - z'l : t.

35"*. Se se determine mul{imea numerelor complexe de modul 1 pentru care:

a)]zsz t73z *l(z2z +22z)l:2.b) Sd se determine numerele complexe de modul 3, pentru care

lz3z 1 23z + z2z +22zl:199.

35.. a)Calculafi E("): * -!,qtiindcd zesteordddcindaecuafiei z2 - 4z* 16:0.'76b) Calculali F(z) : "' - :,Etiind cd z este o rddicind a ecualiei z2 + 2z * 4 : 0.

c) Calcula{i G("): * -': qtiind cdz este o rdddcindaecualiei z2 +32* 9:0.

d) Calculafi H(r): + -S,qtiindcd z este o rdddcindaecua{iei z2 -32* 9:0.

37**. Sd se determine numerele complexe de modul 1 care verifici rela{iile:

a)uulu*u:3;b) uu - i,(u -l u) : t;

c)2uu-(r*u):1;d) 2uu : €(a + u) (unde a este o rdddcind cubicd complexi a r.rnitdfii);

e)uu-(a-u):-2.

r verifici relafiile:

15

38*. Se se rezolve ecuatiile:

a) lzl + l, - 1l + l, * 2l + . . . * lz - (zn - 1)l : lzl(2n - lrD,unde n e N*;

b) l" - 1l + lz + 6il + . . . -t l" - en_l -l lz -l Il + ll z+ €r I + . . . + lz* e",_r | : zn - lzl,unde n € N*.

39**. Determinali numerele complexe cu proprietatea: ,

a) jzl + lz - 251 + lz * I8 - 24il * lz -r T - 24i| : 70;

b\lz - lz + ltl :lr + tz - 1l'-t l' re ' rrl- l' ' t' ',1,

c)lz-al+lz -bl :b-a,,a,be JR., a<b;d) lzl + lz - tl + lz - 2l + lz- 3l : 4.

e) Sd se determine valoarea minimd gi cea maximd a lui lzl carc satisface relafia,precum qi valorile lui z:

lz +}il+lz - 4l : 5.

f)Fiea,b e-(O,oo) giz e C astfelincdt lz - al+ lz - ibl: !/F;PSd se determine soluliile cu min lzl qi max lzl.

40**. a) Fie z1,22,zs € C* cu lzll :5,lzzl: t2,lzsl: 13 cu 4* zz* zs:9,Si se rezolve ecuafia, unde r € lR.*:

lrltsl,z+""1 1- lrltclzt+"r1 : ltrllc lzrl.zzl .

b) Fie 21, z2jzs,24 € C* cu l"tl: g,lrrl: +,lrsl:5,l"nl: eQiztl zz* zsl z4:g.Sd se rezolve ecuafia, unde r € lR.2:

lalroe"1zr4""*"nl + lrll"e"lzlf4lzal * lrlloss lzr*zz*zal : lrllos: lzltz2tzsl .

41**. Fie z € Cx astfel i::rcAt llog2 lzl] f flog, lz + 1l] : 0.

a) Determinafi o solufie a ecua{iei qi valorile posibile ale lui flzl].

b) Sd se arate cd llm zl < # UtRe z € l-2, 11.

42**. Se se determine numerele complexe z cu proprietatea

lz - il : lr, - tl : lz3 +rl : 1.

43*. Fie a,b, c e C astfel incAt

lz - a *bl : l2z -l a - bl, lz - b t cl : l2z -t b - cl, lz * c-t al : l2z* c- al.

16