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8/17/2019 G1.Guilcaso.tipn.Sandra.matematicas I 1
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
ESPE-L
MODALIDAD A DISTANCIA
CARRERA INGENIERIA COMERCIAL
ESOLUCIÒN G UIA N. -1
Tu nota es 15
Asignatura:
MAT MATICAS I
TEMAS:
Límites y !ntinui"a"
#eri$ai%n
C!st! margina&
'r!(ie"a"es "e &as "eri$a"as
Ingres! margina&
ALUMNA:
Gui&as! San"ra
TUTO :
Ing. )nge& U&&!a
'E *O#O:
A+ri& ,1-Ag!st! ,1
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MODALIDAD A DISTANCIA
CARRERA INGENIERIA COMERCIAL
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.1
1. Resuelva los siguientes problemas sobre límites.
a) Utilice la gráfica de f para estimar cada límite, si es que existe.
lim x →−1
f ( x ) es 1
lim x→ 1
f ( x ) no existe
lim x→ 2
f ( x ) es 3
b) Use una calculadora para evaluar f ( x )=√ x+3−2
x−1 para valores de x =
0.9, 0.99, 0.999 y 0.9999 y para x = 1.1, 1.01,1.001 y 1.0001.
Valores 0.9 0.99 0.999 1.1 1.01 1.001 1.000
1
F(x) 0.2 0.2 0.2 0.2! 0.2! 0.2! 0.2!
"rue#e que lim x→ 1
f ( x )=1
4 $%e acercan los valores calculados a este límite&
%i estimamos el límite dado en la ta#la estimamos el valor del límite de 0.24
lim x →0.24
√ x+3−2 x−1
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¿ √ 0.24+3−20.24−1
¿0.2
• 'val(e el límitelim
x →−1
x2+4 x+3
x2+3 x+2
Desarrollo
( x+3)( x+1)( x+2)( x+1)
=( x+3)( x+2)
lim x →−1
( x+3)
( x+2)=
lim x →−1
( x+3)
lim x →−1
( x+2)
¿−1+3−1+2
=2
2. Del capítulo 10, roblemas 10.2 (p. 4!"#4!$), realice los problemas
2", "$, $2, $%.
'ncuentre los límites indicados. %i no existen, especifique o utilice el sím#olo
∞o−∞ donde sea apropiado.
2")lim
t →−∞
3 t 3+2 t 2+9 t −1
5 t 2−5
Desarrollo
limt →−∞
3 t 3+2 t 2+9 t −1
5 t 2−5
= limt →−∞
3 t 3
5 t 2
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¿ limt →−∞
3t 2
5
¿ limt →−∞
(3
5 t
2)
¿∞
2− x si x ≤3
"$) f ( x )=¿ −1+3 x− x2
si x>3
Desarrollo
a)
x →3+¿(−1+3 x− x2)=−1
x →3+¿
f ( x)=lim¿¿
lim¿ ¿
b)
x →3−¿ (2− x )=−1
x →3−¿
f ( x)=lim¿
¿
lim¿¿
) lim
x→ 3
f ( x )
x→3−¿ (2− x )
x→3+¿(−1+3 x− x2)=lim
¿¿
lim¿
¿
−1=−1 siexiste
!) lim x→∞
f ( x)= lim x→∞
(−1+3 x− x2)=lim x→ ∞
(− x2)=−∞
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e) lim
x →−∞f ( x)= lim
x →−∞(2− x)= lim
x→−∞(− x )=∞
$2) )emuestre quelim
x → ∞
(√ x2+ x− x)=12
Desarrollo
lim x → ∞
(√ x2+ x− x )(√ x2+ x+ x)
√ x2+ x+ x= lim
x→ ∞
( x2+ x)− x2
√ x2+ x+ x
¿ lim x→∞
x
√ x2(1+
1
x)+ x
¿ lim x → ∞
x
x √(1+1
x)+ x
¿
1
√ 1+0+1
¿1
2
$%) *elaci+n &u'spe#parsito para una relaci+n particular u-spedparásito,se determin+ que cuando la densidad del u-sped /n(mero de u-spedespor unidad de área es x, el n(mero de u-spedes parasitados en cierto
periodo es
y= 900 x
10+45 x %i la densidad del u-sped aumentaraindefinidamente, $a qu- valor se aproximaría y&
Desarrollo
lim
x → ∞
y= 900 x
10+45 x
= lim x→ ∞
900 x
45 x
= lim x →∞
20
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¿ lim x → ∞
20=20
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.2
1. Del capítulo 10, roblemas 10.% (p. 4*1#4*2), realice los problemas
%, +, 2%, %%.
Utilice la definici+n de continuidad para demostrar que la funci+n dada es
continua en el punto indicado.
%)g ( x )=√ 2−3 x ; x=0
Desarrollo
)e#e cumplir las condiciones de continuidad
• f ( a )existe
g (0 )=√ 2−3 (0 )=√ 2
•
lim x→ a
f ( x) existe
lim x→ 0
√ 2−3 x=√ 2
•
lim x→ a
f ( x )=f (a)
√ 2=√ 2 Es una funciòncontinua
11) )etermine si la funci+n es continua en los puntos dados.
g ( x )= x−3
x2−9
;3,−3
Desarrollo
•g (3 )=
3−3
(3)2
−9=0
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•g (−3 )=
−3−3
(−3)2−9=0
•lim x→ 3
x−3
x2−9
=0
•lim
x →−3
x−3
x2−9
=0
• 0=0 No es funciòn continua
'ncuentre todos los puntos de discontinuidad
2%)f ( x )= x
2+6 x+9 x
2+2 x−15
Desarrollo
actoramos el denominador
( x+5 ) ( x−3 )=0
x=−5 x=3
untos e iscontinuia /,
x2+1 si x>2
%%) f(x)= 8 x si x
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%ol3 4omo F(x) no está definida en x=2 es discontinua en 2
x →2+¿
x2+1=5
lim¿
¿ Funcin contin-a
x →2−¿8 x=−16
lim¿
¿ Funcin ontin-a
2. )el capítulo 10, "ro#lemas 10.! /p. !56, realice los pro#lemas 11 y2!.
*esuelva las desigualdades por medio de la t-cnica estudiada en
esta secci+n
11) − x ( x−5)( x+4 )>0
Desarrollo
x ( x−5)( x+4)
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os intervalos ue se encuentran entro e la esiguala
x ( x−5)( x+4)
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%ol3 %i existe discontinuidad y se da en el punto /0,
42) f ( x )= 2 x+3
x2+4 x−21
Denominador
( x+7 ) ( x−3 )=0
x1=−7 x2=3
%ol3 %i existe discontinuidad y se da en el punto /,
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.
1. ncuentre la erivaa e las siguientes 3unciones, meiante la
e3inicin e erivaa.
a) f ( x )= 5
√ x
Desarrollo
f ' ( x )=(5 )' (√ x )−5(√ x) '
(√ x )2
f ' ( x )=
−5
2√ x
x
f ' ( x )=
−5
2 x √ x
b) f ( x )= x
2
x−1
Desarrollo
x
(¿¿ 2)' ( x−1)− x2( x−1) '
( x−1)2
f
'
( x )=¿
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f '
( x )=2 x ( x−1 )− x2
( x−1)2
f ' ( x )=2 x
2−2 x− x2
( x−1)2
f ' ( x )=
x2−2 x
( x−1)2
f ' ( x )=
x ( x−2)
( x−1)2
2. ncuentre la ecuacin e la recta tangente a la curva en el punto
ao.
f ( x )=√ x−1en x=5
Desarrollo
Calculo de la pendiente
f ' ( x )= 1
2√ x−1
Cuando x=5
f ' ( x )= 1
2√ 5−1
f ' ( x )=1
4
Reemplazo x=5 en la función original
f ( x )=√ 5−1
f ( x )=2
Punto (5!2)
Ecuación de la recta tangente a la curva
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y− y1=m( x− x1)
y−2=14( x−5)
4 y−8= x−5
x−4 y+3=0
%. Del capítulo 11, roblemas 11.2 (p. "0!), realice los problemas !2,!4
!2) f ( x )= x2( x−2)( x+4)
Desarrollo
f ( x )= x2( x2+4 x−2 x−8)
f ( x )= x4+4 x3−2 x3−8 x2
f ( x )= x4+2 x3−8 x2
f ' ( x )=4 x3+6 x2−16 x
f ' ( x )=2 x (2 x2+3 x−8)
!4) f ( x )=7 x
3+ x6√ x
Desarrollo
f ( x )=1
6(7 x
3+ x
√ x)
f ( x )=16(7 x
3
x
1
2
+ x
x1 /2 )
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f ( x )=16(7 x3 x
−12 + x x
−12 )
f ( x )=16(7 x
5
2+ x1
2)
f ' ( x )=16(7 x
5
2+ x1
2) '
f
'
( x )=
1
6 (
35
2 x
3
2
+
1
2 x
−12
)
f ' ( x )=
1
6∗1
2 (35 x
3
2+ x−12 )
f ' ( x )= 1
12(35 x
3
2+ x−12 )
f ' ( x )= 1
12 x
1 /2(35 x+ x−1)
4. sano las reglas e proucto 5 cociente, i3erencie las 3unciones
e los siguientes problemas6
a) f ( x )=(3 x2+2)3(2 x2+3 x+1)
Desarrollo
f ( x )=(27 x6+36 x2+54 x4+8)(2 x2+3 x+1)
f ' ( x )=(27 x6+36 x2+54 x4+8 ) (2 x2+3 x+1) ' +(2 x2+3 x+1 ) (27 x6+36 x2+54 x4+8)'
f ' ( x )=(27 x6+36 x2+54 x4+8 ) (4 x+3 )+(2 x2+3 x+1 ) (162 x5+72 x+216 x3 )
f ' ( x )=108 x7+81 x6+144 x3+108 x2+216 x5+162 x4+32 x+24+324 x7+144 x3+432 x5+486 x6+2
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f ' ( x )=432 x7+567 x6+810 x5+810 x4+504 x3+324 x2+104 x+2
b) f ( t )=(2 t +3)2−(2 t −3)2
4 t
Desarrollo
f ( t )=(4 t 2+12 t +9 )−(4 t 2−12 t +9)
4 t
f ( t )=24t
4 t
f ( t )=6 t
f ' (t )=¿
"# 'ncuentre una ecuaci+n de la recta tangente a la curva en el punto
dado.
y= x2+ 1
x2
; (−1,2)
Desarrollo
Calculo de la pendiente
x
(¿¿ 2)' +(
1
x2 ) ' y
' =¿
y' =2 x−2 x−3
y' =2 x−
2
x3
Cuando x=-1
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y' =2 (−1 )− 2
(−1)3
y' =−2+2
y' =0
Ecuación de la recta
y− y1=m( x− x1)
y−2=0( x+1)
y=2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1."
1. /ngresos e tauilla6 7os ingresos totales de taquilla en todo el mundo
de una película de larga duraci+n son aproximados por la funci+n
T ( x )=120 x2
x2+4 donde :/x se mide en millones de d+lares y ;x< es el
n(mero de meses desde el lanamiento de la película.a $4uál es el ingreso total de taquilla despu-s del primero, el
segundo y el tercer mes&rimer mes
lim x→ 1
120 x2
x2+4
=120(1)2
(1)2+4=
120
5
¿24
7eguno mes
lim x→ 2
120 x2
x2+4
=120(2)2
(2)2+4=
480
8
¿60
8ercer mes
lim
x→3
120 x2
x
2
+4
=120(3)2
(3)
2
+4
=1080
13
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¿86.07
# $4uál será el ingreso #ruto de la película a largo plao
/cuando x es muy grande&
T ( x )=120 x
2
x2+4
2. )el capítulo 10, "ro#lemas 10., /p. !51!52, realice el pro#lema .
%!) /nventario >osque?e la gráfica de
−100 x+600si0≤ x
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192 pulg3
. 'ncuentre las dimensiones de la o?a de aluminio
más peque8a que pueda utiliarse.
Desarrollo
3( x−3)2 ≥192
( x−3)2
≥64
x2−6 x−55≥0
( x−11)( x+5)≥0
x1=11 x2=−5
7ol6 x911
*eemplaando compro#amos la igualdad
3( x−3)2 ≥192
3(11−3)2≥192
3(64)≥192
192≥192
x-
3
3
3
3
x-x
3
3
3
3
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4. Resuelva los siguientes problemas e costo
a 'l costo total semanal /en d+lares en que incurre )iscos7incoln en el prensado de discos compactos es3
C (q )=2000+2q−0,0001q2 ;(0≤ q ≤6000)
• $4uál es el costo real en que incurre en el prensado del
disco n(mero 1001 y 2001&
C (1001 )=2000+2 (1001 )−0,0001(1001)2
C (1001 )=2101.80
C (2001 )=2000+2 (2001 )−0,0001(2001)2
C (2001 )=3801.60
• $4uál es el costo marginal cuando q = 1000 y 2000&
costo marginal=dc
dq
dc
dq=2−0,0002q
Para #=1$$$
dc
dq=2−0,0002(1000)
dc
dq
=1,8
Para #=2$$$
dc
dq=2−0,0002(2000)
dc
dq=1,6
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# 4ustom Affice, fa#rica una línea de escritorios e?ecutivos. %e
estima que el costo total de fa#ricaci+n de q unidades de su
modelo '?ecutivo es3
C (q )=100q+200000dòlares por ao
• )etermine la funci+n del costo promedioć
ć=c
q
osto marginal c' (q )=100
ć=100q+200000
100
ć=100q
100 +
200000
100
ć=q+200
• )etermine la funci+n del costo marginal promedio ć '
ć ' =1
• $Bu- le sucede ać cuando q es muy grande& Cnterprete
sus resultados.
4uando el costo promedio es grande el costo total de la
producci+n aumenta.
's decir con respecto al costo marginal que nos proporciona
de 100 al reemplaar en la ecuaci+n del costo total da como
resultadoc= ć q
c=200(100)
c=2000
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%+) Funcin e costo6 "ara la funci+n de costo c=0,3q2
+3,5q+9
a $Bu- tan rápido cam#ia c con respecto a q cuando q = 10&
c ' (q )=0,6q+3,5
%=1$
c ' (q )=0,6(10)+3,5
c ' (q )=9,5
# )etermine la ra+n de cam#io porcentual de c, con respecto a q
cuando q=10.
f ' ( x )f ( x ) ∗100
c=0,3 (10)2+3,5 (10)+9
c=74
c ' (q)c ∗100
9.5
74 ∗100=12,83
". Del capítulo 11, roblemas 11.4 (p. "1%), realice el problema $$.
66 7a ecuaci+n representa una funci+n de consumo. 'ncuentre la
propensi+n marginal al consumo y al aorro para el valor dado de C
C =6+3 !
4 −√ !
3 ; ! =25
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Desarrollo
c ' ( ! )=3
' ∗ ! 1
2−3∗( ! )' 1/2
32
c ' ( ! )= 1
6√ !
c ' ( ! )=34−
1
6√ !
4uando /92"
c ' ( ! )=3
4−
1
6√ 25
c ' ( ! )=3
4− 1
30
c ' ( ! )=4360
:&orro
d"
d! =1−
dC
d!
d"
d! =1−
43
60
d"
d! =
17
60
$. Del capítulo 11, roblemas e repaso (p. "24), realice el
problema "2.
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2 Un fa#ricante determina que m empleados producirá un
total de q unidades por día, donde
q=m(50−m). %i la funci+n de
demanda está dada por p=−0,01q+9 , encuentre el producto del
ingreso marginal cuando m=10.
Desarrollo
Utilizando la regla de la cadena
dr
dm=
dr
dq∗dq
dm
r= pq
r=(−0,01q+9 ) q
r=−0,01q2+9q
r'
(q)=−0,02q+9
7i m910 entonces reempla;amos en q=m(50−m)
q=10(50−10)
q=400
Reempla;amos en r
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q ' (m )=50−2(10)
q ' (m )=30
Reempla;o en la ecuacin e la regla e la caena
dr
dm=1∗30
dr
dm=30