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8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
1/14
GABARITO - LISTA 5 DE AVE
1)
P(3,-2,-5)Assim
5411
42
2
2311
32
2
14
13
22
14
13
2-1-3
:vemacimaequaçãonaP pontodovalorosdoSubstituin
14
13
2-1-x
sretadasimétricaequaçãoase-temAssim1
44
13
3
2-1-x
t2t-1x
:Assimz.eyx,deequaçõesas paramesmoosejat parâmetrooquecondiçãoaimpor
se-deveAssimreta.daequaçãoasatisfazer deveeles,retaà pertençaP pontooquePara
−=−−=⇒+=−
−=−=⇒−+=
−⇒
+=−+=
−⇒
+=−+=
+=−+=
+=⇒+−=
−+=⇒−−=
=⇒=
nn
mm
nmnm
z y
z t t z
yt t y
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
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2)
)1,21
,2(
21
121
21
11
2312
1
2
3
21
11
23
:assim,1zquesignifica1cotaPara
)10,4,7(
1021
14
7310114
23
2114
23
:assim4,yquesignifica4ordenadaPara
)2,2,5(
222
35
21111
235
211
235
:assim5,xquesignifica5abscissaPara
−
−=−=⇒−
=−+
=+−=⇒−
=−
⇒−=−+=−
=−
=⇒−
=−+
−=+−=⇒−+=−
⇒−
=−+=−
=−−
−=⇒−
=−
−=−−=⇒−+=−
⇒−
=−+=−
=
y y
x x
y x
z z
x x
z x
z z
y y
z y
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
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3)
=⇒−
=+
+−=⇒+−−=⇒−−=+
⇒−=
−−=+
−=−==
+−=⇒++−=⇒−−=
−=⇒−−=⇒+
=⇒
−−=+=
−=−==
303
31x
12132
31x
03
32
31x
:seráretadasimétricaequaçãoA
)0,3,3(ABvdiretorvetorO b)
5232243
21-x
25
2221
212
21-x
43
12
21-x
:seráretadasimétricaequaçãoA
)4,1,2(ABvdiretorvetorOa)
letras.duasas paraA pontoocomooconsideradserá pontoOdiretor.
seu vetor oeelaae pertencent pontoumdese-necessitaretadaequaçãoadeerminarsePara
z z
x y x y y
z y
A B
x z x z z
x y
x y
y z y
A B
r
r
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4)
.colinearessãodados pontosos,respeitadafoiigualdadeaComo
53
53
53
106
53
53
(5,-5,10)A-CAC
(3,-3,6)A-BAB
:Assim.a
razão
arespeitamACeABdiretoresvetoresos pontos,estes por passaretaumaque
supondo que provarse-deve,colinearessão pontososque provarsePara
2
1
2
1
2
1
==⇒=−−=
==
==
==cc
bb
a
5)
(1,1,1)vA(0,0,0),e)
(1,0,0)vA(0,3,-1),d)
(2,0,-1)vA(0,-1,2),c)
(2,1,0)vA(0,0,3), b)
(3,0,4)v,A(-1,1,3)a)
=====
r
r
r
r
r
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
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6)
−=+−=
=−==
==
+==
+===
==
=+=
===
==
+===
t z
t y
x
4
23
2
)1,2,0(MNv pordadoserádiretorvetorOe)
2z
t--1y
t4x
(1,-1,0)védiretorvetorod)
t4z
3y
2x
(0,0,1)k ˆvserádiretor
vetor osejaouz,eixodoorientaçãoa possuielayexaortogonaléretaac)Se
1z
t2y
3x
(0,1,0). ĵvdiretorvetoroquese-temxOz, planoaolar perpendicuéretaaSe b)
4z
-2y
t1x
(1,0,0)îvdiretorvetor possuielax,eixoao paralelaéretaaSea)
r
r
r
r
r
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7)
==⇒=+−⇒+
−−=
==⇒=+−⇒+
+=⇒
+
+=
++=⇒
++++++=⇒=
==
=
1ne 7078
102.5
10523
1ne 7078102.5
10523
102.5
105
23
denominanonse-temComo102.5
105
23
41.92516
654
23
)2,,1(.)3,5,4(
)2,,1.()3,5,4(30cos
)2,,1(v e )3,5,4(
:sãodiretoresvetoresOs
.
.vcos
:Assimmesmas.das
diretoresvetoresosentreânguloaoecorrespondretasduasentreânguloO
2
2
2
2
2
22
0
s
r
nnn
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nv
vv
v
r
sr
s
rr
rr
rr
θ
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
7/14
8)
P(-3,10,5)Assim
51411
11-3-
102123
21
1-3-
11
32
11-3-
:Logoreta.daequaçãoasatisfazer deveeler,P ponrooComo11
32
11-x
:será procuradaretada
equaçãoadado,éA pontooComo(1,-3,-1).vdiretorvetorose-temsretaDa
=+=⇒−−=
=−=⇒−+=
⇒−−=
−+=
∈
−−
=−+
=
=
nn
mm
nm
z y
r
9)
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
8/14
23018120618180
60
231
03
),,v(
)6,0,(RS:seráRSvetorO
)2,3,1(ve)0,4,0(23
41x
:vemsimétricaformanasretaaEscrevendo
)0,3,(veR(m,4,6))
70430031141
100
),,v(
)0,3,1(RS:seráRSvetorO
)1,4,1(ve)0,,0(141
x
:vemsimétricaformanasretaaEscrevendo
)1,0,0(vR(-1,3,0) b)
4020501524310
131
12
321
),,v(
)1,3,1(RS:seráRSvetorO
m)(2,-1,veS(1,0,0)
:assimsimétrica,formanaestá jásretaA
(1,2,3)ve)1,3,0(3
12
3-y
1x
:vemsimétricaformanarretaaEscrevendoa)
diretores.vetoresose pontos pelosformadovetorodeterminar
teinicialmense-deveAssimnulo.serdevesSerR com definidoRSvetorum
ediretoresvetoresseusdemisto produtoocoplanaressejamretasduasquePara
r
s
r
r
s
r
s
r
=⇒=−⇒=−−⇒=−−−−
−=
−−=
−−=⇒−
=−−=
−=
−=⇒=−−−⇒=−−
=
−−=
=−⇒=+=
=
=⇒=+−⇒=+−+−⇒=
−−
−=
−−=
=
=−⇒+==
∈∈
mmmm
m
m
RS v
m
S z y
mc
mmm
RS v
m
mS z m y
mmmmm RS v
R z
s
s
r
s
rr
r
r
rr
r
r
rr
r
r
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10)
63
arccos
63
34
2
48
2
6.8
24)1,2,1(.)2,2,0()1,2,1).(2,2,0(
cos
.
.cos
)1,2,1(ve )2,2,0(v
:logodiretores,vetoresseusentreformadoânguloaoecorrespondretasduasentreânguloO b)
I(2,4,-1)
1
431)1(31213x
:se-temh,retadaequaçõesnastdoSubstituin
1552631323t-1
:vemh,det3xemvaloresteCom23t-1
x3t-12x3t-1y
:Logot.determinar se- podeh,emvalorestedoSubstituin2x.yquese-temsretaDa
sr
=
===−=−−=
=
=−=
−==⇒+=⇒−−=
=−=
−=⇒=−⇒+=−⇒+=
+=
=⇒=⇒=
=
θ
θ
θ
sr
sr
vv
vv
z
y y y
t t t t t
rr
rr
rr
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
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11)
)I(-1,-1,-2
:sejaoua),letranaencontrase já2m parasoluçãoA b)
223
212
32-x
mzmtz
r.retadazdeequaçãonaxe zdevalorose-substituiAgora
223
21-
z
:vemsdezemxCom
13
253
2)1.(53
25
:vemy,emxdevaloroCom
13625123
25
s.deycomrdeyse-igualaAgora3
253
1054
32-x
54y
:r vemdeyemtdevalorodoSubstituin3
2-xt3t2x
x.deequaçãodatse-isolarDe:Assimcomum.em
pontoum possuirdevemelasesconcorrentsejamserretasasqueParaa)
=
=⇒−=−⇒
−−=−⇒
=⇒=
−=−=
−=+−=+−=+=
−=⇒+=+⇒+=+
+=−+=⇒
+=
=⇒+=
mmm
x y
x x x x x
x x y
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12)
=
=⇒=⇒
−=−=⇒−
=−
=
+=−−−=×=
−=−−=
0
777
00
07
0-xx-x
:se-temsimétrica naAssimA(0,0,0). ponto
oéretaàe pertencent pontoumorigem, pela passa procuradaretaaComo
ˆ7ˆ7131212
ˆˆˆ
)1,3,1(v e )2,1,2(v
:Assimdadas.retasdasdiretores
vetoresdosvetorial produto pelodiretorseu vetorodeterminar se- pode
dadas,duasoutrasaortogonalmentesimultaneasejaretaumaquePara
000
sr
y
y x z x
z yc z z
b y y
a
k i
k ji
vvv sr rrr
rr
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13)
=−−=
+=⇒
+=−−=
+=⇒
+=+=+=
+−=−
=×=
−==
=+⇒+=
=+−
=
=+=
−=⇒+=−⇒+=
+=⇒+=−⇒+=
t z
t y
t
t z
t y
t
ct z z
bt y y
at
k ji
k ji
vvv
x
y x
y y y y
y x y x
sr
3
51
2x
30
51
2xxx
:será procuradaretadaa paramétricequaçãoA
ˆ3ˆ5ˆ
211
321
ˆˆˆ
)2,1,1(ve )3,2,1(vdiretoresvetoresseusdevetorial
produto peloobtidoser podeserretasàsortogonalmentesimultaneavetorO
I(2,-1,0).:seráointersecçã pontoiAssim
02.(-1)22y2z
s.retadazdeequaçãodameio porzse-Determina
22 51
xse-determina-1y com2
5 equaçãoaVoltando
15222
5y-1
s.retadaxdeequaçãonaxse-substituiAgora2
5142
21y
2-x
ydefunçãoemxse-isolarretaDa
retas.astodasacomum pontoo
á-se-ter assim poisretas,dasointersecçãadeterminar é passo primeiroO
0
0
0
sr
rrr
rr
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14)
−===
⇒
+−=−=−=
⇒
+=+=+=
−=−=×=
=−=
1
0
t-2x
01
00
2xxx
:será procuradaretadaa paramétricequaçãoA
ˆ
010
120
ˆˆˆ
ˆ
:Assim(0,1,0). ĵ éyeixoodiretorvetoroe)1,2,0(vérretadadiretorvetorO
0
0
0
r
z
y
t z
t y
t
ct z z
bt y y
at
i
k ji
jvv r rr
r
15)
[ ]
)1,1,3(
1674)7(32
1151410)14(32
31298)9(32
)7,14,9(32
)4,10,8(
),,()7,14,9(32(1,4,3)-(9,14,7)
32
P
:quese-temz)y,(x,PSupondo
2
21
2
−−=
=⇒=−⇒=−
−=⇒=−⇒=−
−=⇒=−⇒=−
⇒−−−=
−=
=
P
z z z
y y y
x x x
z y x
z y x
P P P
8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave
14/14
16)
−=−=+=
⇒
+−=−=+=
⇒
+=+=+=
−=−−−−=
−−=⇒=+=⇒=+=⇒=
⇒=++
==
2
2
2t1x
A pontoousando
02
20
21xxx
:será procuradaretadaa paramétricequaçãoA
)0,2,2()2,2,1()2,0,1(PAvetoroser podesuporteretadadiretorvetorUm
)2,2,1(
-2zz-26z
2yy-51y
-1xx--42-x
z)-y,2-x,5-(-46)z1,y2,-(x
z)y,(x,-((-4,5,2)(2,-1,-6)-z)y,(x,
z).y,P(x,onde,BPqueobservarse- podedesenho No
0
0
0
z
t y
t z
t y
t
ct z z
bt y y
at
P
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B
mediana
P