Diskretne strukture

Gasper Fijavz

Fakulteta za racunalnistvo in informatikoUniverza v Ljubljani

6. november 2020

Danasnji program

Preneksna normalna oblika

Teorija mnozic

Operacije z mnozicami

Sistemi enacb

Preneksna normalna oblika

Naj bo W izjavna formula. Preneksna normalna oblika izjavne

formule W je izjavna formula WPNO , za katero velja:

I WPNO je enakovredna W in

I WPNO ima vse kvantifikatorje na zacetku.

Izrek

Vsaka izjavna formula W ima preneksno normalno obliko.

Preneksna normalna oblika

Kako do preneksne normalne oblike?

1. Preimenuj vezane spremenljivke v formuli tako, da nobena dva

kvantifikatorja ne uporabljata spremenljivke z istim imenom in

so imena prostih spremenljivk drugacna od imen vezanih

spremenljivk.

2. Premakni kvantifikatorje proti levi, pri tem pa, ce je potrebno,

nadomesti ) in , z logicnimi vezniki ¬,^,_.

Preneksna normalna oblika

8x A(x) _ 9x B(x) ) D(x) ^ 9x D(x)

Operacije z mnozicami

relacija pripadnosti . . . x 2 Ax pripada A.

podajanje mnozic

I z nastevanjem elementov A = {0, 1, 2}I z neko izjavno formulo A = {x ; '(x)}

Velja: x 2 A , '(x)

Zgledi mnozic

A = {x ; x 6= x}

B = {x ; x = 0 _ x = 1 _ x = 2}

R = {x ; x 62 x}

Russellova antinomija

Bertrand Russell 1903.

Nauk: Pri izboru '(x) je potrebno biti pazljiv. Mnozica {x ; '(x)}ne obstaja pri cisto vsakem predikatu '(x).

Enakost in vsebovanost

Mnozici A in B sta enaki,

A = B () 8x (x 2 A , x 2 B)

Mnozica A je podmnozica mnozice B ,

A ✓ B () 8x (x 2 A ) x 2 B)

relacija vsebovanosti (inkluzije).

Mnozica A je prava podmnozica mnozice B ,

A ⇢ B () A ✓ B ^ A 6= B

relacija stroge vsebovanosti (stroge inkluzije).

Operacije z mnozicami

I unija A [ B = {x ; x 2 A _ x 2 B}I presek A \ B = {x ; x 2 A ^ x 2 B}I razlika A \ B = {x ; x 2 A ^ x 62 B}I simetricna razlika A+ B = {x ; x 2 A Y x 2 B}

Lastnosti operacij

I A = B () A ✓ B ^ B ✓ A

I A ✓ B ) A [ C ✓ B [ C

I A ✓ B ) A \ C ✓ B \ C

I A \ B ✓ A ✓ A [ B

Pravimo, da sta mnozici A in B disjunktni, ce je A \ B = ;.

Univerzalna mnozica in komplement

Univerzalna mnozica, oznacimo jo z S , ustreza podrocju pogovora

v predikatnem racunu. Z univerzalno mnozico se izognemo

Russellovi antinomiji.

Vse obravnavane mnozice so vsebovane v univerzalni mnozici S .

Univerzalna mnozica ni natancno dolocena, nanjo smemo gledati

kot peskovnik, v katerem se lahko igramo brez strahu in tezav. V

tezave lahko zaidemo, ko prestopimo meje peskovnika.

Komplement mnozice A, oznacimo ga z Ac, definiramo kot

Ac= S \ A

Lastnosti komplementa

I (Ac)c= A

I (A [ B)c = Ac \ Bc

I (A \ B)c = Ac [ Bc

I A \ B = A \ Bc

I A ✓ B ) Bc ✓ Ac

I A \ B = ; () A ✓ Bc () B ✓ Ac

Enakosti z mnozicami

Pokazimo, da velja

A [ (A \ B) = A

Tej lastnosti pravimo absorpcija.

Pravzaprav operacije z mnozicami “podedujejo” ustrezne lastnosti

izjavnih veznikov.

Enakosti z mnozicami

1. Zakon dvojnega komplementa: (Ac)c

= A

2. Idempotenca: A \ A = A A [ A = A

3. Komutativnost: A \ B = B \ A A [ B = B [ AA+ B = B + A

4. Asociativnost: (A \ B) \ C = A \ (B \ C )

(A [ B) [ C = A [ (B [ C )

(A+ B) + C = A+ (B + C )

5. Absorpcija: A \ (A [ B) = A A [ (A \ B) = A

6. Distributivnost: (A \ B) [ C = (A [ C ) \ (B [ C )

(A [ B) \ C = (A \ C ) [ (B \ C )

(A+ B) \ C = (A \ C ) + (B \ C )

7. de Morganova zakona: (A [ B)c = Ac \ Bc

(A \ B)c = Ac [ Bc

Enakosti z mnozicami

8. Kontrapozicija: A ✓ B ⇠ Bc ✓ Ac

9. Lastnosti prazne mnozice ; in univerzalne mnozice S :A [ Ac

= S A \ Ac= ;

A+ A = ; A+ Ac= S

10. Se lastnosti ; in S : A \ ; = ; A [ ; = AA \ S = A A [ S = S

11. Lastnosti vsebovanosti:

A ✓ B ⇠ A [ B = B ⇠ A \ B = A ⇠ A \ B = ;ce A ✓ B , potem A [ C ✓ B [ Cce A ✓ B , potem A \ C ✓ B \ CA \ B ✓ A,B ✓ A [ B

12. Lastnosti razlike mnozic: A \ B = A \ Bc

13. Lastnosti simetricne razlike: A+ B = (A \ B) [ (B \ A)A+ B = (A [ B) \ (A \ B)

Sistem enacb

Resi sistem enacb z mnozicami.

X [ A = A \ XX [ A = X

Resiti sistem enacb pomeni:

I dolociti pogoje, pri katerih je sistem resljiv in

I pri izpolnjenih pogojih resljivosti poiskati vse resitve sistema.

Privzeli bomo, da je X mnozica-neznanka, medtem ko bodo

mnozice A, B , C mnozice-parametri sistema.

Sistem enacb, se en zgled

Resi sistem enacb z mnozicami.

A [ X = B

A \ X = C