Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Gazdasági matematika gyakorló feladatsor
TARTALOMJEGYZÉK
TARTALOMJEGYZÉK........................................................................................................................................1
I. HALMAZELMÉLET...................................................................................................................................2
MEGOLDÁSOK A HALMAZELMÉLETHEZ...............................................................................................................2
II. FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK....................................................................................................2
MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAKHOZ.......................................................................................3
III. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK...................................................................................................................4
MEGOLDÁSOK A PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOKHOZ......................................................................................................4
IV. SOROZATOK...........................................................................................................................................5
MEGOLDÁSOK A SOROZATOKHOZ........................................................................................................................5
V. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA......................................................................6
MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGÁHOZ................................................................6
VI. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS.................................................................................................................7
MEGOLDÁSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSHOZ.....................................................................................................7
VII. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK........................................................................................................7
MEGOLDÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHEZ..............................................................................................7
VIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS..........................................................................................................................7
MEGOLDÁSOK AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁSHOZ..........................................................................................................8
IX. LINEÁRIS ALGEBRA...........................................................................................................................9
MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS ALGEBRÁHOZ..........................................................................................................10
X. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS...................................................................................................................12
Megoldások a Lineáris programozáshoz............................................................................................................12
- -1
Feladatok
I. HALMAZELMÉLET
1. Legyen .Valamint , és . Szemléltesse ezeket a halmazokat Venn diagramon! Határozza meg a következő halmazok elemeit: . Írjon fel halmazműveletek segítségével 1, 2, 3, 4 és 5 elemű halmazokat!
2. Legyen A=(-2,5] , B=[-7,1] és C=(0,2). Szemléltessük ezeket a halmazokat számegyenesen, majd határozzuk meg a következő halmazokat:
MEGOLDÁSOK A HALMAZELMÉLETHEZ
1.
2.
II. FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK
1. Elemi függvények transzformációival ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben a következő függvényeket, majd határozza meg a tengelyekkel alkotott metszéspontokat:
2. Határozza meg az alábbi függvény értékkészletét és inverz függvényét, majd ábrázolja mindkét függvényt közös koordináta-rendszerben:
- -2
MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAKHOZ
1.
Metszéspontok:
2.
- -3
III. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK
1. 2001. május 1-én 280 000 Ft-ot helyezünk el egy bankban évi 7,8 %-os kamatozás mellett. Mennyi lesz a követelésünk a) 2001. október 1-én, b) 2002. május 1-én, c) 2006. július 1-én?
2. Hány évig kell minden év elején 50000 Ft-ot elhelyezni a bankban 8,3 %-os kamatozás mellett ahhoz, hogy végül 1000000 Ft-ot vehessünk ki?
3. Mekkora összeget vehetünk ki a bankból a 8. év végén, ha minden hó elején 5000 Ft-ot elhelyezünk és a kamatláb az első 5 évben 6%, majd 7%?
4. Mekkora lesz a havi törlesztő részlet, ha 2000000 Ft kölcsönt vettünk fel 6%-os kamatra és 10 évre?
5. Március 1-én felveszünk 750000 Ft kölcsönt 14%-os kamatra, amit augusztus 1-től 4 havi egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni. Mekkora legyen ez a havi törlesztő részlet?
MEGOLDÁSOK A PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOKHOZ
1.
2. . Tehát
11 évig, a 12. év elején már kevesebb összeget kell betenni.
3.
4.
5.
- -4
IV. SOROZATOK
1. Határozza meg az alábbi sorozatok határértéket ismert sorozatok és határértékre vonatkozó tételek alapján:
MEGOLDÁSOK A SOROZATOKHOZ
1.
- -5
V. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA
1. Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket ismert függvények és határértékre vonatkozó tételek alapján:
MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGÁHOZ
1.
VI. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
1. Határozza meg az alábbi függvények első derivált függvényét:
MEGOLDÁSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSHOZ
1.
- -6
VII. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
MEGOLDÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHEZ
VIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
1. Adjuk meg a következő határozatlan integrálokat:
2. Mekkora az görbék által bezárt terület?
3. Mekkora annak a forgástestnek a térfogata, amelyet függvénygörbe [1,2] intervallum feletti ívének megforgatásakor kapunk?
- -7
MEGOLDÁSOK AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁSHOZ
1.
2.
A –x2+8x-7=x+3 egyenlet megoldásai:x1=2, x2=5, tehát kiszámítandó:
3. A térfogat:
- -8
IX. LINEÁRIS ALGEBRA
1. Legyen: . Végezze el a
következő műveleteket:
2. Legyen: .
Kérdések:
a) x kifejezhető-e a, b és c lineáris kombinációjaként?
b) Független-e az a, b, c vektorrendszer?
c) Független-e az a, b, d vektorrendszer?
d) Mennyi az f, g, h vektorrendszer rangja?
e) Mennyi az A mátrix rangja?
3. Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszereket:
a) b) c)
d) e) f)
- -9
MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS ALGEBRÁHOZ
1.
2. a)
Tehát x kifejezhető az a, b és c lineáris kombinációjaként:
b) Az előző táblázat alapján megállapítható, hogy az a, b, c vektorrendszer független.
c)
Az a, b, d vektorrendszer nem független. Pl: .
d)
Az f, g, h vektorrendszer rangja 2.
e)
Az A mátrix oszloprangja, vagyis a rangja 2.
- -10
3. a)
A megoldás egyértelmű.
b)
Tehát a b vektor előállításában a –5e4 tag is szerepel, így nincs megoldása az egyenletrendszernek.
c)
Végtelen sok megoldás van, az általános megoldás:
d)
Tehát a b vektor előállításában a –11e3 tag is szerepel, így nincs megoldása az egyenletrendszernek.
e) Tehát csak a triviális megoldás
létezik.
- -11
f)
Végtelen sok megoldás van, az általános megoldás:
Pl. egy partikuláris megoldás:
X. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS
1. Oldja meg az alábbi lineáris programozási feladatokat:
a)
MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSHOZ
1. a)
- -12