MATEMATIKA - kpgimi.hu · MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY (M ozaik, 2013) feladataira épül. Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak! Az elméleti anyag

- 1 -

MATEMATIKA

9. osztály

Segédanyag

4 óra/hét

- 2 -

Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon!

A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 2013) tankönyv és a SOKSZÍNŰMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY (Mozaik, 2013) feladataira épül.Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak!Az elméleti anyag értelmezéséhez a Tankönyv és a Négyjegyű Függvénytáblázat (Konsept-hkönyvkiadó) megfelelő oldalai kellenek.Jelölés: tk- Mozaikos tankönyv, fgy- Mozaikos feladatgyűjtemény, fvt- Függvénytáblázat

Évi óraszám: 144 óra

Heti óraszám: 4 óraIsmerkedés, év elejei feladatok 1 óra

I. Kombinatorika, halmazok 12 óra

II. Algebra és számelmélet 26 óra

III. Függvények 21 óra

IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek 19 óra

V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek30 óra

VI. Egybevágósági transzformációk 20 óra

VII. Statisztika 7 óra

Év végi ismétlés 8 óra

összesen: 144 óra

Az ábrák túlnyomó része az interneten megtalálható!

Néhány ajánlott oldal (amely folyamatosan bővülni fog):

https://www.mozaweb.hu

file:///C:/Users/J%C3%B3zsef/Downloads/emelt_matek_temakorok_2014.pdf

http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly

http://users.itk.ppke.hu/~adorjan/matematika/pdfs/07.pdf

1. óra Év eleji szervezési feladatok

- 3 -

I. Kombinatorika, halmazok (12 óra)

1. LOGIKA, ÖSSZESZÁMLÁLÁS

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok

2. óra Mit jelent amatematikanyelvén?

tk:10-14. oldal

fvt: 10-11.oldal

kijelentés,tagadás,

ha-akkorértelmezése

tk: 14/1,3,5tk:19/1,3,7,8,12,13,14,15,16

fgy: 1004, 1005, 1010,1011, 1012,

3. óra Számoljukössze!Összeszámlálásifeladatok

tk:15-20. oldal

fvt: 12-13összeszámolás,permutációfogalma

Elméleti összefoglaló:

Logika:Nem igaz, hogy van olyan= mindre nem igazNem igaz, hogy minden= van olyan, aki/ami nem

Kombinatorika:A matematika azon elmeléti területe, amely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával,kiválasztásával vagy sorrendberakásával foglalkozik.1) Permutációa) Ismétlés nélküli permutáció:-n darab különböző elem egy lehetséges sorrendjét az n elem egy ismétlés nélkülipermutációjának nevezzük.- n faktoriális alatt értjük a pozitív egész számok 1-től n-ig terjedő szorzatát. A 0 és az 1faktoriálist 1-nek értelmezzük. 0! = 1, 1! = 1 Jele: n!Tétel: n darab elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma:P= n *(n -1)* (n - 2) ... 2 *1 = n!

2. HALMAZOK

Óra címe Tk/ Fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok

- 4 -

4 -5. óra Halmazok tk: 21-25. oldal

fv.t :8-10. oldal

halmaz,halmaz eleme, üreshalmaz, halmazokmegadásai módjai,halmazokegyenlősége,részhalmaz, valódirészhalmaz,véges és végtelenhalmaz

tk: 25/4,5,7,9

fgy:1017, 1023,1025,1026, 1027,1032

6-7.óraHalmazműveletek

tk: 26-31. oldal

fv.t: 8-10. oldal

alaphalmaz,komplementerhalmazhalmazok metszete,uniója, különbsége,diszjunkt halmazok

tk :30/1,3,4,6,7

fgy: 1035,1037,1038,1040,1042,1044,1050, 1051, 1099,1100

8.óra Halmazokelemszáma,logikai szita

tk: 32-35. oldal

fv.t: 8-10. oldal

Halmazok elemszáma,Logikai szitaértelmezése két vagyhárom halmaznál

tk:34/1,2,3,5,6,7

fgy:1058, 1060,1061,1065, 1068,1071, 1074

9-10. óra Műveletekszámhalmazokkal

tk: 36-37. oldal

fv.t: 8-10. oldal

számegyenes,a számegyenesintervallumai

tk:36/1,2,3,4,5,8

fgy:1078, 1081,1085,1105


Halmaz: közös tulajdonságú elemek összessége; jelölés: ábécé nagybetűivel (A, B, C, …)Halmaz eleme: a halmaz egy eleme; jelölés: ábécé kisbetűivel (a, b, c, …)Eleme: egy adott elemet tartalmaz az adott halmaz; jelölés: a ANem eleme: egy adott elemet nem tartalmaz a halmaz; jelölés: b ∉ AÜres halmaz: elem nélküli halmaz; olyan halmaz, melynek egyetlen eleme sincsjelölés:∅Alaphalmaz (univerzum): az a halmaz, amelynek minden vizsgált halmaz része; jelölés: H vagy UHalmaz számossága: a benne lévő halmazelemek száma; jelölés: |A|Halmaz megadása:• elemeinek felsorolásával: A := { 1, 2, 10, 18, … }• az elemek közös tulajdonságának megadásával: A := { Páros számok }

Halmazműveletek:Halmazok egyenlősége: két halmaz egyenlő, ha az egyik halmaz minden eleme a másik halmaznakis eleme; jelölés: A = BRészhalmaz: egy adott halmaz minden eleme egy másik halmaznak is eleme;jelölés: A BValódi részhalmaz: egy halmaz részhalmaza egy másik halmaznak, de nem egyenlőekjelölés: A B

Metszet: mindazon elemek halmaza, amely a két halmaz közös elemeiből áll, vagyis olyanelemekből, melyek mind az egyik, mind a másik halmaznak elemei; jelölés:

- 5 -

A ∩ B

Tulajdonságok:- kommutatív: A B B A

- asszociatív: A B C A B C ( ) ( )

- A A A

- A

- AIA

Egyesítés (unió): két halmaz elemeinek összessége, vagyis olyan elemekből áll, melyek vagy azegyik, vagy a másik halmaznak elemei, de legalább az egyiknek. jelölés: A B

Tulajdonságok:- kommutatív: ABBA

- asszociatív: CBACBA )()(

- AAA

- AA

- IIA Különbség: eleme az A halmaznak, de nem eleme a B halmaznak; jelölés: A \ B

Kiegészítő halmaz (komplementer): mindazon elemek összessége, melyek nem elemei egy adottA halmaznak (de a halmazuniverzumnak elemei); jelölés: Ā = H \ ADiszjunkt halmazok: olyan halmazok, amelynek nincs közös része (A ∩ B =∅)Logikai szita két halmaz esetén:|A B| = |A| + |B | - | A ∩ B|Logikai szita három halmaz esetén:|A B C | = |A| + |B |+ |C | - | A ∩ B|- | A ∩ C|- | B ∩ C| + | A ∩ B∩ C|

Számegyenes: Olyan egyenes, melyen kijelölünk egy irányt és két pontot, amelyekhez számokatrendelünk. Így meghatározzuk a 0 és az 1 helyét.Számegyenes egy része az intervallum, amely lehet nyílt, zárt vagy félig nyílt

3.GRÁFOK

- 6 -

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorlófeladatok

11.óra Gráfok tk: 38-42. oldal Gráf pontjai,élei, fokszám,egyszerű gráf

Tk: 41/1,5,7,10, 11


Gráfelmélet:A gráf pontokból (csúcsokból) es élekből álló halmaz, ahol az élek csúcsokat kötnek össze.

Gráfok megadása: síkbeli ábrával, szomszédsági mátrixszal, felsorolással

Két csúcs szomszédos, ha vezet köztük él.A mátrixban bármely két csúcs közti élek számát jelöljük.Def.: hurokél: olyan él, melynek kezdő és végpontja azonos

többszörös él: ha két csúcs közt egynél több él vezet

izolált csúcs: olyan csúcs, melyből nem indul él

egyszerű gráf: olyan gráf, mely nem tartalmaz hurokélt es többszörös élt sem.

irányított gráf: olyan gráf, melyben különbséget teszünk az élek kezdő- illetvevégpontjai közt, nyíllal jelöljük az irányt

csúcs fokszáma: a belőle kiinduló élek számaTétel: 1. Bármely (véges) gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának

kétszerese2. Minden (véges) gráfban a páratlan fokú csúcsok száma mindig páros.

Példák gráfokra:

- 7 -

II. Algebra és számelmélet (26 óra)

1. Betűk használata a matematikában

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló

feladatok

14. óra Betűkhasználata

tk: 44-47. oldal

fv.t: 28. oldal

betűs kifejezésekértelmezése,algebrai kifejezés,egyváltozós éstöbbváltozós algebraikifejezés,egész, tört algebraikifejezés,egytagú, többtagúalgebrai kifejezés,helyettesítési érték

tk: 47/3, 4, 5,7, 9

fgy: 1107,1109, 1110,1111, 1112


- 8 -

Egy-egy matematikai probléma felírása esetén sokszor használunk betűket. Ezeket a problémátólfüggően nevezhetjük változónak, vagy ismeretlennek. Jelölhetjük x-el, a-val.

Algebrai kifejezés: ha a négy alapműveletet számokra vagy betűkre véges sokszor alkalmazzuk.7x5y+2x3y+1

Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel. 3x4

A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozósnak nevezzük. 3x4y2

Ha az algebrai kifejezésben a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk az alaphalmazból,akkor a műveletek elvégzése után egy számot, a kifejezés helyettesítési értékét kapjuk.

Algebrai egész kifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben nincs tört vagy az előforduló tört

nevezőjében nincs változó.2

3x

Algebrai törtkifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében van

változó.2

3

x

x

Egy algebrai tört értelmezési tartományán a valós számok halmazának azt a legbővebbrészhalmazát értjük, amelynek elemeit a változó helyére írva a kifejezésben szereplő műveletekelvégezhetőek.Egytagú algebrai kifejezésről beszélünk, ha a kifejezésben a számok és a betűk a szorzásműveletével vannak összekapcsolva. 3x4y2

Többtagú algebrai egész kifejezésnek vagy polinomnak nevezzük az egytagú algebrai egészkifejezések összegét. 7x5y+2x3y+1

2. Hatványozás. A hatványozás alapazonosságai


feladatok

15-18. óra.Hatványozás

tk: 48-54. oldal

fv. t: 21-22.oldal

hatványozásdefiníciója,hatványozásazonosságai,negatív kitevőjűhatványértelmezése

Tk: 51/1, 2, 354/ 1, 2, 4, 5Fgy: 1114,1116, 1117,1119,


Egész kitevőjű hatványok:

Pozitív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint an jelenti azt az n tényezős szorzatot,amelynek minden tényezője a. Zn,;b

Rbaaaadbn

n

a

Az a-t hatványalapnak, n-t hatványkitevőnek, b-t hatványértéknek nevezzük.

Nulla kitevőjű hatvány: minden 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa 1.

- 9 -

0aR,a,10 a 00 nincs értelmezve, 0 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa 0.

Negatív egész kitevőjű hatvány: Minden 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjűhatványa a szám ellentett kitevőjű hatványának reciprokával egyenlő.

Zn0,aR,a,1 a

a nn

1 bármely hatványa 1, minden valós szám első hatványa önmaga. 11 a

Azonosságok: Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk

nmnm aaa RaZnm ,;

Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk egymásbólnm

n

ma

aa

0,,,; aRanmnm Z Szorzatot úgy hatványozunk, hogy a tényezőket külön-külön a megfelelő kitevőre emeljük. nnn baba Rban Z ;,

Hányadost úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön-külön a megfelelő kitevőre

emeljük.n

nn

ba

ba

0,;, bRban Z Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk. mnmn aa Ramn Z ;,

3. A számok normálalakja


feladatok

19. óraA számok

normálalakja

tk: 55-57. oldal

fv.t: 18. oldal

normálalak tk: 57/ 1, 2, 4

fgy: 1121,1122, 1126,1128, 1193


A nagyon nagy és nagyon kis számok egyszerűbb leírását segíti a számok normálalakja. Ezzel azalakkal műveleteket is végezhetünk.Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényező 1 és 10 közé esik, amásodik tényező 10 megfelelő hatványa.Egy x valós szám esetén a x=N∙10k alakot a szám normál alakjának nevezzük, ahol 1≤|N|<10 és k єZ.Ezáltal ezeket az óriási vagy kicsi számokat sokkal könnyebb lesz kezelni és velük műveleteketvégezni.

- 10 -

Példák:30000 = 3*104

405 = 4,05*102

0,006 = 6*10-3

0,00002 = 2*10-5

A Föld tömege: 6000000000000000000000 t. Ez normálalakban: 6*1021 tA proton tömege: 0,00000000000000000000000167 gramm. Ez normálalakban: 1,67*10-24

gramm.

4. Egész kifejezések (polinomok)


feladatok

20-21. óraEgészkifejezések

tk: 58-59. oldal

fv.t: 28. oldal

Polinomokfokszáma, egyneműés többneműpolinomok

tk: 59/ 2, 3, 4, 5

fgy: 1130, 1131


Egytagú egész kifejezés fokszáma a változó(k) kitevőinek összege.2x3y polinom fokszáma 4.

A többtagú polinom fokszáma a legnagyobb fokszámú tag fokszáma.7 x3y² +2xy+1 polinom fokszáma: 5.

Két egytagú algebrai kifejezés egynemű , ha legfeljebb együtthatóikban különböznekegymástól. Az egynemű tagokat össze lehet vonni.2x3y + 8x3y = 10x3y

5. Nevezetes szorzatok

Óra címe tk/ fvt Elméletianyag

Gyakorlófeladatok

22-23. óraNevezetesszorzatok

tk:60-65. oldal

fv.t: 28. oldal

Négyzetreés köbreemelés

Tk: 64/1,2,3,4,5

Fgy: 1131, 1132,1135


Nevezetes azonosságok:

(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²

- 11 -

(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

6. A szorzattá alakítás módszerei


Gyakorlófeladatok

24-25. óraA szorzattá alakításmódszerei

tk:65-67. oldal

fv.t:28. oldal

- Kiemelés- Kiemeléscsoportosítással- Nevezetesazonosságokalkalmazása

tk: 65/6,67/ 1, 2,3,4

fgy:1133,1136, 1138,1140, 1141

7. Műveletek algebrai törtekkel


26-27. óraMűveletekalgebrai törtekkel

tk:68-73. oldal

fv.t:28. oldal

Algebrai törtekegyszerűsítése,szorzása,osztása,összeadása

tk: 73/ 1, 2, 3

fgy: 1147,1148, 1149,

8. Oszthatóság


28-30. óraOszthatóság, azoszthatóságtulajdonságai

tk:74-79. oldal

fv.t:19-21. oldal

osztója,osztható,oszthatóságtulajdonságai,oszthatóságiszabályokprímszám,összetett számszámelméletalaptételerelatív prímek

tk: 79/ 4, 5, 8, 9

fgy: 1155,1156,1157, 1161

- 12 -

31-33. óraLegnagyobb közösosztó Legkisebbközös többszörös

tk.:80-82. oldal

fv.t:19. oldal

legnagyobbközös osztólegkisebb közöstöbbszörös

tk:82/1,2,3,5,6,9

fgy:1163, 1164,1167, 1177


Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy b osztója a-nak, ha létezik olyan c egész, amirea = b * c. a, b, c Z.Jelölés: b | aOsztó: azokat a számokat, amelyekkel egy a szám osztható, az a szám osztóinak nevezzük. Mindenszámnak legalább két osztója van, 1 és önmaga.

10 osztói: 1, 2, 5, 10Osztható: akkor osztható egy a szám egy b számmal, ha a hányadosuk egész szám, és a maradéknulla.10 osztható 5-el, mert a hányadosuk kettő, a maradék nulla.

Prímszámnak, törzsszámnak nevezzük azokat a termeszétes számokat, amelynek pontosan kétosztójuk van a természetes számok között (maga a szám es az 1). Prímszámok: 2,3,5,7,11,13,17,..Az egynél nagyobb termeszétes számot összetett számnak nevezzük, ha kettőnél több osztója van.Összetett szám: 4, 6, 8, 9, 12, 15, 20, 100…Az 1 es a 0 nem prím, és nem összetett szám.

A számelmélet alaptétele:Minden 1-nél nagyobb természetes szám (a sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható felprímszámok szorzatára.

Oszthatósági szabályok: Egy szám akkor osztható

2-vel: ha az utolsó számjegye 2-vel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0; 2; 4; 6; 8.

3-mal: ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal.

4-gyel: ha az utolsó 2 számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel.

5-tel: ha az utolsó számjegye 5-tel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0 vagy 5.

6-tal: ha a szám osztható 2-vel és 3-mal is.

8-cal: ha az utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 8-cal.

9-cel: ha a számjegyek összege osztható 9-cel.

10-zel: ha az utolsó számjegye nulla.

25-tel: ha az utolsó 2 számjegyéből alkotott szám osztható 25-tel.

100-zal: ha az utolsó 2 számjegye nulla.

Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztóik közül a legnagyobb.

- 13 -

Ha a legnagyobb közös osztó 1, akkor a két számot relatív prímnek nevezzük.Jele: (a, b).Kiszámítása:Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a közös prímtényezőket összeszorozzuk azelőforduló legkisebb hatványon.

Két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén azt a legkisebb pozitív egész számot értjük,amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [a, b].

Kiszámítása:Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd az előforduló prímtényezőket összeszorozzuk azelőforduló legnagyobb hatványon.

9. Számrendszerek


34-35.óra.Számrendszerek

tk:83-86. oldal Számrendszerek,átírás másszámrendszerre,egyszerűbbműveletek

tk: 86/ 1, 2, 3, 7

fgy: 1168, 1169,1170, 1188 a,


Tízes (decimális) számrendszer:A tízes számrendszerben a számokat a tíz hatványaival írjuk fel.

Kettes (bináris) számrendszer:A kettes számrendszerbeli számok a 0 es az 1 számjegyekből állnak.


36-39.óra.Összefoglalás,rendszerezésTémazáródolgozat,dolgozatjavítás

III. Függvények (21 óra)


- 14 -

40. óraA derékszögűkoordinátarendszer,ponthalmazok

tk: 88-91.oldal

fv.t: 62-66.oldal

Derékszögűkoordinátarendszer,abcissza,ordináta,síknegyedek

tk: 91/ 1, 2,3, 4, 5

fgy: 1194,1195, 1196

41-42. óraLineáris függvény ésmenetének leírása

tk: 92-95.oldal

fv.t: 62-66.oldal

Függvényfogalma,értelmezésitartomány,értékkészlet,helyettesítésiérték, zérushely,elsőfokúfüggvény,egyenesarányosság

tk: 95/ 1, 2,3, 4, 5

fgy: 1198,1199, 1200,1201, 1202,1203

43-45.óra.Az abszolútérték-függvény és meneténekleírásaAz abszolútérték-függvénytranszformációi

tk: 96-101. oldal

fv.t: 62-66.oldal

Abszolút érték,az abszolútérték függvénydefiníciója éstranszformációi,szélsőérték,monotonitás

tk: 101/1,2,4

fgy: 1205,1207, 1211

46-48.óra.A másodfokú függvényés menetének leírásaA másodfokú függvénytranszformációi

tk: 102-105. óra

fv.t: 62-66.oldal

Másodfokúfüggvénydefiníciója,transzformációi,Páros függvény

tk: 105/1,2

fgy: 1213,1215, 1219,,1221, 1222

49- 51. óraA négyzetgyökfüggvényés menetének leírásaA négyzetgyökfüggvénytranszformációi

tk: 106-109. oldal

fv.t: 62-66.oldal

Négyzetgyökdefiníciója, anégyzetgyökfüggvénytulajdonságai,

tk: 109/1,3

fgy: 1228,1229

52-53. óraLineáristörtfüggvények, afordított arányosság

tk:110-115. oldal Fordítottarányosság, alineáristörtfüggvényekértelmezése ésdefiníciója,Páratlanfüggvény

tk:115/ 1, 3

fgy: 1240,1241, 1249,

54- 57. óraA függvény-transzformációkrendszerezése,alkalmazása

tk: 124-126. oldal A függvény-transzformációkrendszerezése,alkalmazása

fgy:1255,1257, 1258,1263, 1266

58- 60. óraÖsszefoglalás,témazáró dolgozat,hiánypótlás


- 15 -

Derékszögű koordináta-rendszer: Két, egymásra merőleges egyenes, amelyekmetszéspontja a nulla számértéknél van. Ez a metszéspont az origó.

A vízszintes számegyenest x tengelynek (abszcissza tengely), a függőleges számegyenest y tengelynek(ordináta tengely) nevezzük.

Egy tetszőleges pont helyét egy rendezett számpárral adhatjuk meg.Az első szám az x tengelyen való irányt, a második szám az y tengelyen való irányt jelenti az origótól.P (x, y)A koordináta rendszer a síkot 4 részre osztja:I. síknegyed: mindkét koordináta pozitív P(2;3)II. síknegyed: első koordináta negatív, második koordináta pozitív. P(- 2;3)III. síknegyed: mindkét koordináta negatív. P(- 2;- 3)IV. síknegyed: első koordináta pozitív, második koordináta negatív. P(2; - 3)

Legyen A és B két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadunk egy A halmazonértelmezett B-beli értéket felvevő függvényt, ha A minden eleméhez hozzárendeljük a B egy éspontosan egy elemét. .Értelmezési tartománynak nevezzük az A halmazt. Jele Df.Értékkészlet a B halmaz azon elemeibõl álló halmaz, amelyek a hozzárendelésnélelőfordulnak. (vagyis az f(x) értékek). Jele az Rf.Ha x Df, (tehát az x eleme az értelmezési tartománynak) akkor az x helyen felvett függvényértéketf(x)-vel jelöljük, ez a helyettesítési érték.

A függvény megadásához szükséges: értelmezési tartomány értékkészlet hozzárendelés szabálya

A hozzárendelést megadhatjuk: Táblázattal Képlettel Szöveggel Grafikonnal Elempárok felsorolásával

Az értelmezési tartomány és az értékkészlet összetartozó értékpárjait ábrázolhatjukderékszögű koordináta-rendszerben, a rendezett számpárok egy-egypontot határoznak meg. Ezek halmazát a függvény képének, grafikonjának nevezzük.

- 16 -

Függvénytulajdonságok:

Zérushely: Az f függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartományának azon elemeit,amelyekre f(x)=0.Monotonitás: Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monotonnövekvő, ha az intervallum bármely 1x < 2x értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll

)()( 21 xfxf .Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton csökkenő, ha azintervallum bármely 1x < 2x értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll )()( 21 xfxf .

Szélsőérték: Az f függvénynek abszolút minimuma van az értelmezési tartományának x értékénél, ha afüggvény az ott felvett f(x) értékénél sehol sem vesz fel kisebb értéket.

Az f függvénynek abszolút maximuma van az értelmezési tartományának x értékénél, ha a függvény azott felvett f(x) értékénél sehol sem vesz fel nagyobb értéket.

Paritás: Az f függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén –x iseleme az értelmezési tartománynak és igaz, hogy f(–x) = f(x).Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre.

Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén –x is elemeaz értelmezési tartománynak és igaz, hogy f(–x) = –f(x).Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.

Függvénytípusok:

1. Lineáris függvény: képe egyenes.Hozzárendelés:: y=mx+b , x→mx+b , f(x)=mx+b m, b R

m : a függvény meredeksége, azaz megmutatja, hogy ha az x tengely mentén 1-etlépünk jobbra, akkor mennyit kell lépnünk az y tengely mentén (felfelé vagy lefelé).b : tengelymetszet megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt.Ha az m=0 akkor a függvény nulladfokú függvény (konstans függvény), képe az xtengellyel párhuzamos egyenes. y=bHa m≠0 és b=0, akkor egyenes arányosság függvényről beszélünk, képe origón áthaladóegyenes. y=mxEgyenes arányosság:Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azt mondjuk, hogy aza két mennyiség egyenesen arányos. Ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor amásik mennyiség is ugyanennyiszeresére változik. ( pl a kenyér tömege és ára közötti összefüggés)

Példák lineáris függvényre:

- 17 -

2. Abszolútérték függvény:

Abszolút érték: Azt fejezi ki, hogy egy szám a számegyenesen milyen távol van a nullától.A nem negatív számok abszolút értéke egyenlő a számmal, a negatív számok abszolút értéke

egyenlő a számok ellentettjével. 0 abszolút értéke egyenlő 0-val.

- 18 -

f(x) = | x | képe V alakú.

Értelmezési tartomány: x RÉrtékkészlet: y >0, yRZérushelye: x = 0Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<0.

Szigorúan monoton nő, ha x>0.Paritás: páros függvény

3. másodfokú függvény:képe parabolaHozzárendelési szabály: f(x)=x2.

Értelmezési tartomány: x R,Értékkészlet: y >0, yRZérushelye: x = 0Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<0.

Szigorúan monoton nő, ha x>0.Paritás: páros függvény

4. fordított arányosság függvény:

Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek a szorzata 0-tól különbözőállandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség fordítottan arányos. (autóúton a sebesség ésaz idő)

- 19 -

képe hiperbolaképlete y=1/x

f(x)=c/x, ahol x, c, f(x) R, és x 0, c 0, f(x) 0.A függvény grafikonját hiperbolának nevezzük..

Értelmezési tartomány: x R, de x nem lehet 0Értékkészlet: yR , de y nem lehet 0Zérushelye: nincsSzélsőértéke: nincsMenete: Szigorúan monoton csökken,

Paritás: páros függvény

5. négyzetgyök függvény:

képlete y=Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete azeredeti szám.

,

196 = 14, 529 = 23 196 nincs értelmezve

f: R→ R, f(x)= függvényt négyzetgyök függvénynek hívjuk.

- 20 -

Értelmezési tartomány: x0, x R,Értékkészlet: y0, yRZérushelye: x = 0Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0Menete: Szigorúan monoton nőParitás: nincsInverz függvény: Nemnegatív valós számok halmazán a másodfokú függvény

http://koszegiiren.uw.hu/01%20algebra/fuggvenytranszformacio.htm:

Függvénytranszformációk

1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c

A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonjátaz y tengely mentén önmagával párhuzamosaneltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0,akkor negatív irányba.Az értelmezési tartomány nem változik.A mellékelt ábrán c = 2.

2. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a )

A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengelymentén a-val eltoljuk, haa>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0,akkor negatív irányba.Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezésitartomány megváltozhat.A mellékelt ábrán a= 2.

3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x )

A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képétaz x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nemváltoznak.

- 21 -

4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x )

A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képétaz y tengelyre.A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de azértékkészletet nem.

5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x )A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengelyirányában c-szeresére megnyújtjuk, ha c > 1, illetve összenyomjuk,ha 0 < c < 1.A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg,de a függvényértékek c-szeresére változnak. A zérushelyeket nemváltoztatja meg.A mellékelt ábrán c=1/2.

6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax )A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy

kapjuk, hogy az f képét az xtengely irányában 1/a- szereséremegnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1.A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredetigörbe és az y tengely metszéspontja helyben marad.A mellékelt ábrán a = 2.

7.

A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogyott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanulhagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzükaz xtengelyre.

- 22 -

8.

f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x ≥ 0 értékekhez tartozórészt tükrözzük az ytengelyre, az x < 0 értékekhez tartozógörberészt elhagyjuk.

IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek

(19 óra)

1. A sík és tér elemei


Gyakorlófeladatok

61.óraPontok, egyenesek,síkok és ezekkölcsönös helyzete

tk.:128. oldal

fv.t 41-42.oldal

-Két egyeneskölcsönöshelyzete-Két síkkölcsönöshelyzete-Egyenes éssík kölcsönöshelyzete

fgy: 1283,1284, 1286


Geometria alapfogalmai (nem definiáljuk):

- pont

- egyenes

- sík

- tér

- illeszkedés

- 23 -

- Két egyenes metsző, ha van közös pontjuk- Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk- Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban- Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van.- Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk- Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja a síknak is pontja.- Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van- Egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk

2. Egyenesek, szögek, távolság

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok62.óraNéhány alapvetőgeometriaifogalom

tk.:129-132. oldal - Egyenes,Félegyenes,Szögfajták,Szögpárok,Távolság,

tk. 131/ 1, 2, 7, 8, 9, 10

fgy: 1288, 1289, 1290,1292, 1293,1294, 1300


- Egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja

- Egy egyenes két pontja meghatároz egy szakaszt

- A síkot egy egyenese két félsíkra bontja

- A teret egy sík két féltérre bontja

- Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen síkrészt

szögtartománynak, szögnek nevezzük

- Ha a síkban egy félegyenest a kezdőpontja körül valamilyen irányban elforgatunk, akkor

a félegyenes kezdő- és véghelyzete mint szárak által meghatározott szöget forgásszögnek

nevezzük

- A forgásszög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétes irányban

forgatunk, negatív, ha az óramutató járásával megegyező irányban forgatunk.

Szögfajták:

- 24 -

Szögpárok:

- Ha két szög csúcsa közös, és száraik páronként egymás meghosszabbításai,akkor csúcsszögeknek nevezzük őket. A csúcsszögek egyenlők

- Ha két szög egy-egy szára közös, a másik kettő pedig egy egyenest alkot,akkor mellékszögeknek nevezzük őket.A mellékszögek összege 180º .

- Ha két szög összege 180º , akkor kiegészítő szögeknek nevezzük őket- Ha két szög összege 90º , akkor pótszögeknek nevezzük őket.- Ha két szárai páronként egyező irányúak, akkor egyállású szögeknek, ha páronként

ellentétes irányúak, akkor váltószögeknek nevezzük őket

- 25 -

Távolság:

- Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsájtott merőleges talppontjának ésa tekintett pontnak a távolsága

- Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másikegyenestől vett távolsága.

- Két metsző egyenes távolsága 0- Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett

pontnak a távolsága- Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett

távolsága- Két metsző sík távolsága 0.

3. A háromszögekÓra címe Tk/ Fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok63-64.óraA háromszögekgeometriája

tk.:133-136. oldal

fv.t. :33, 39oldal

- A háromszögekcsoportosítása- A háromszögekszögei közöttiösszefüggések- Összefüggés aháromszög oldalaiés szögei között

tk. 138./1, 2, 3, 4, 5,6,8

fgy: 1309, 1311,1312,1314, 1316,1321, 1322

- 26 -


1. A háromszögek csoportosítása szögei szerint:

a) hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög,

b) derékszögű, ha van derékszöge. (befogó, átfogó)

c.) tompaszögű, ha van tompaszöge.

Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszögnek legfeljebb egy tompaszögelehet.

2. A háromszögek csoportosítása oldalai szerint:a) egyenlő szárúb) egyenlő oldalúc) általános

Egy háromszöget egyenlőszárúnak nevezünk, ha van két egyenlő oldala. (szárak, alap)

Egy háromszöget egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszögnek nevezzük, ha minden oldalaegyenlő.A szabályos háromszög tulajdonságai:

A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van. A szabályos háromszög minden szöge 60°-os. A szabályos háromszög magasságpontja, súlypontja, beírt és köré írt körének középpontja

egybeesik, és ez a szimmetriatengelyek metszéspontja. A szabályos háromszög forgásszimmetrikus.

Egy háromszöget egyértelműen meghatározza:a) három oldala,b) két oldala és az általuk közbezárt szög,c) egy oldala és a rajta fekvő két szög,d) két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög.Ezekből az adatokból egyértelműen szerkeszthetünk háromszöget.

A háromszögek szögei:Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180˚.Bizonyítás:

A

P C

B

Q

Jelöljük a háromszög szögeit α, β, γ-val.

- 27 -

Húzzunk a háromszög C csúcsán át párhuzamost az AB oldallal.Ekkor a PCA = α és QCB = β, (váltószögek), így 180˚ = α + β + γ

Definíció:A háromszög külső szöge: belső szögeinek mellékszögei.

Az α, β, γ belső szögek melletti külső szögeket α΄, β΄, γ΄-vel jelöljük.

Tétel 1: A háromszög bármely külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög.

Tétel 2: (külsőszög-tétel) A háromszög valamelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belsőszögek összegével.

Szögek és oldalak közötti összefüggések:

Tétel 1: Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, és megfordítva:egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak fekszenek.

Tétel 2: Ha egy háromszögnek van két különböző oldala, akkor a nagyobb oldallal szembennagyobb szög fekszik.

Tétel 3: Ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemben nagyobboldal fekszik.

Oldalak összefüggései:Tétel 1: (A háromszög-egyenlőtlenség) Egy háromszög bármelyik két oldalának összege nagyobba harmadik oldalnál.Pl. AC + CB > AB ( bármely két oldalra fel lehet írni az összefüggést)

b

A

a

c B

Ca

D

Egy háromszög bármely két oldala különbségének abszolút értéke kisebb, mint a harmadik oldal.

.

3.Pitagorasz tétel

- 28 -

Óra címe Tk/ Fvt Elméletianyag

Gyakorló feladatok

65-66.óraPitagorasz tétel

tk.:136-138. oldal

fv.t 38. oldal

- Összefüggésa derékszögűháromszögoldalai között- Pitagorasztétel,- Pitagorasz

élete

tk. 138/11

fgy:1328,1329,1331,1333,1334, 1335, 1340


A Pitagorasz-tétel és megfordítása1. Tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

2. Tétel: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor aháromszög olyan derékszögű háromszög, amelynek átfogója ez utóbbi oldal.

Összefoglalva: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két rövidebb oldalának négyzetösszegeegyenlő a leghosszabb oldal négyzetével.

2

a

abb 2

b

aa b

ab

b a

b

a

aa

b 2

c

b

4.A négyszögek


Gyakorló feladatok

67-68.óraA négyszögek

tk.:139-142. oldal

fv.t:35-39-40.oldal

- Konvex,konkávnégyszögek,- speciálisnégyszögek

tk. 142/1, 2, 3, 4, 6,7,9, 10

fgy: 1344, 1349,1350, 1351,1356, 1358,1359, 1361

- 29 -


Csoportosítás:

Az oldalak párhuzamossága szerint:1. Két-két párhuzamos oldaluk van. Ez a paralelogrammák .

A téglalap, a rombusz és a négyzet is.2. Két párhuzamos oldaluk van. Ezek a trapézok.

Ide sorolható a paralelogramma, a négyzet, a téglalap is a rombusz is.3. Nincs párhuzamos oldaluk.

Az oldalak egyenlősége szerint:1. Minden oldaluk egyenlő: rombuszok, és ezen belül a négyzetek.2. Két-két szemközti oldaluk egyenlők. Ezek a paralelogrammák, (köztük a négyzet és a rombusz)3. Szomszédos oldalaik egyenlők. Ezek a deltoidok.(köztük a négyzet a téglalap és a rombusz is)4. Két vagy három egyenlő oldala van. A speciális négyszögek közül a trapézok között fordulhatilyen elő.5. Nincs egyenlő oldaluk. Az általános négyszögeken kívül a trapéz lehet ilyen.

A négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van.

Speciális négyszögek:

1. TrapézA trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja (azaz van két párhuzamos oldala).Nincs szimmetriatengelye.

Átlók: Átlóinak nincs semmilyen speciális tulajdonsága.Speciális: szimmetrikus trapézSzimmetriatulajdonságok: Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van, amely apárhuzamos oldalakat merőlegesen felezi..Átlók: Átlói egyenlő hosszúságúak.

- 30 -

2. ParalelogrammaA paralelogramma olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van (két-két szemköztioldala párhuzamos).Középpontosan szimmetrikus, tengelyesen nem feltétlenül.Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja.Az általános paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikusÁtlói felezik egymást.De nem egyforma hosszúak, csak ha a paralelogramma egyúttal rombusz is.

3. DeltoidA deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú.Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van. (Négyzetnek, rombusznak kettő)Átlói merőlegesek egymásra, és az egyik felezi a másikat.Szimmetria középpontja nincsen.Lehet konvex és konkáv is

4. RombuszA rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú.Tengelyesen szimmetrikus. Két szimmetriatengelye van, a szemközti csúcsokat összekötőegyenesek (átlói).Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja.Átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra.(De nem biztos, hogy egyforma hosszúak.)

- 31 -

5. TéglalapA téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög.

A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú.Tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van, az oldalak felezési pontjait köti össze(négyzetnek 4 van)Átlói egyforma hosszúak és felezik egymást.

6. NégyzetA négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú és mindenSzöge egyenlő nagyságú, vagyis derékszög.Tengelyesen szimmetrikus. Négy szimmetriatengelye van:(a szemközti oldalak felezőpontján átmenő és a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek)Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja az átlók metszéspontja.Forgásszimmetrikus:Átlói egyenlő hosszúak, egymásra merőlegesek és felezik egymást.

5.Sokszögek

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok69-70.óra.A sokszögek

Tk.:143-144. oldal

fv.t 37- 40.oldal

- Konvex éskonkávsokszögek- Átlók száma,- belső és külső

szögeinekösszege

tk.144/1,2,3,4,5,6,7,8,9, 12

fgy: 1365, 1367,1368, 1374,1375


Egy sokszög konvex, ha minden szöge konvex (kisebb 180°-nál), és konkáv, ha van egy konkávszöge, amely nagyobb 180°-nál.Vagyis, egy konvex sokszögnek, ha bármely két pontját összekötjük, a két pontot összekötő szakaszt

- 32 -

is tartalmazzák.

Tétel

Egy n oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma : 2

)3( nn

.

BizonyításEgy n oldalú konvex sokszög egy csúcsából önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzhatóátló, így minden csúcsából (n-3) átló húzható. Ha így összeszámoljuk az összes átlót, az n (n-3)átló, de így minden átlót kétszer számoltunk, így valójában az átlók száma ennek a szorzatnak afele.

TételEgy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek az összege (n – 2) 180°

BizonyításA sokszög egyik csúcsából kiinduló (n- 3) átló (n-2) darab háromszögre bontja a sokszöget.A háromszögek belső szögeinek az összege éppen a sokszög belső szögeinek az összegét adja.Az állítás konkáv sokszögekre is igaz, nem csak konvexekre.

TételEgy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek az összege 360°.

BizonyításA sokszög egy külső szöge 180°-ra egészíti ki a hozzátartozó belső szöget. Tehát minden csúcsbana belső és a külső szög összege 180°, vagyis az összes belső és összes külső szög összege

.180n

A külső szögek összege így .360180)2(180 nn vagyis éppen 360°

DefinícióEgy sokszög szabályos, ha minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú.

Tétel:

Szabályos sokszög egy belső szögének nagysága: n

n 180)2(

.A szabályos sokszögek köré mindig írható kör. Ennek a körnek a középpontját egyben a sokszögközéppontjának is nevezzük.A középpontot a csúcsokkal összekötő sugarak a szabályos n-szöget n darab egybevágó egyenlőszárú háromszögre (középponti háromszög) vágják szét.

- 33 -

A szabályos sokszögeknek mindig létezik beírt köre is, vagyis olyan kör, amely minden oldalt érinti.

- 34 -

6.Ponthalmazok

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok71.óraNevezetes ponthalmazoka síkban és a térben

tk.:145-148. oldal

fv.t 36. oldal

- Felezőmerőleges,- szögfelező,- kör, gömb, körrészei,- Szerkesztésszámítógépesprogrammal

tk. 148/2, 3, 4,

fgy:1379,1380,1381,1387,1392,1393


Egy adott ponttól:Körvonal:O=Adott pont (középpont),

r= adott távolság (sugár) lévő pontok halmaza a síkban.

O= középpontP= körvonal pontjar= sugár= OP távolság, r

- 35 -

Zárt körlap:

Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.

Nyílt körlap:

Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak.

Gömb: Azon pontok halmaza a térben, amely egy adott ponttól, (ez a középpont) adott távolságra vannak (ez a sugár)

Két különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok:

szakasz felezőmerőlegese:

azon pontok halmaza a síkon, amely két adott ponttól egyenlő távolságra vannak

- 36 -

Három különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok:

a) három pont egy egyenesre esik-nincs ilyen pont

b) 3 pont háromszöget határoz meg:

Szögfelező: Azon pontok halmaza a síkban amelyek egy adott szög szárától egyenlő távolságra vannak.A szög csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja.

7.Háromszögek beírt köreÓra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok72.óraA háromszögbeírt köre

tk.:149-150. oldal

fv.t 34. oldal

- Háromszögekbelső és külsőszögfelezői,- szerkesztés,- tétel

tk. 150/1, 2, 4

fgy: 1402, 1405 b,1407, 1409,1413


Definíció:A háromszög belső szögeinek felezőit a háromszög szögfelezőinek nevezzük.A háromszög külső szögeinek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk.

- 37 -

Minden háromszögnek három szögfelezője és három külső szögfelezője van.Tétel: A háromszög szögfelező egyenesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbeírható kör középpontja. Vagyis minden háromszögbe írható olyan kör, amely érinti aháromszög oldalait.

Ez a pont mindig a háromszögön belül van.

8.A háromszögek körülírt köreÓra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló

feladatok73 .óraA háromszögkörülírt köre

tk.:151-152. oldal

fv.t: 33.oldal

- Háromszögekoldalfelezőmerőlegesei,- szerkesztés,- tétel

tk. 152/2

fgy:1405a,1409,


Definíció:A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek.Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.A háromszögbe eső részt nevezzük oldalfelező merőleges szakaszának.

Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, és ez a pont egyenlőtávol van a háromszög mindhárom csúcsától.

- 38 -

Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél azátfogó felezési pontján, tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül helyezkedik el.Létezik olyan kör, amelynek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja és áthalad aháromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört a háromszög köré írható körének nevezzük

9.Thalesz tételeÓra címe tk/ fvt Elméleti

anyagGyakorló feladatok

74-75.óraThalész tétele ésalkalmazása

tk.:153-156. oldal

fv.t 36. oldal

-Thalesztétele,- megfordítás,- Thalesz kör,- Thalesz élete

tk.156/1,2,3,8

fgy:1417, 1426, 1431


Thalesz-tétel:Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögűháromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.)

Bizonyítás:

az O középpontú kör átmérőjére rajzolt ABC háromszög A-nál lévő szögét α-val, a B-nél levőszögét β-val jelöljük.Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk.A belső szögek összege:α+ β + (α + β) = 180°,α+ β = 90°.Tehát az ABC háromszög derékszögű.

A Thalesz-tétel megfordítása:

Ha egy szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja

- 39 -

a C pont.

Összefoglalva:

A síkon azon pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az ABátmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját. ( vagyis A és B pontot).

10. Érintőnégyszögek


76.óraÉrintőnégyszögek

tk.:157-158. oldal

fv.t 36. oldal

- Érintőnégyszögek- Érintősokszögek,tétel

tk. 138/11

fgy: 1436, 1438,1441, 1442,


Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük.Tétel 1: Az érintőnégyszögek két-két szemközti oldalának összege egyenlő.Tétel 2:Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkorérintőnégyszög.

Együtt: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalánakösszege egyenlő.Egy sokszöget érintősokszögnek nevezünk, ha van beírt köre.

11. összefoglalás, számonkérés

- 40 -


77-79.óraÖsszefoglalás,rendszerezésTémazáródolgozathiánypótlás

tk.:128-158. oldal fgy. 1283-1474

V. Egyenletek, egyenlőtlenségek,egyenletrendszerek (30 óra)

1. Egyenletmegoldás


80.óra Az egyenlet,azonosság fogalma

tk.:160-163. oldal Alaphalmaz,értelmezésitartomány,kijelentés,állítás,

tk. 162/1, 2, 3, 4

fgy: 1475, 1478

81-82.óraEgyenletek grafikusmegoldása

tk: 164-165. oldal Egyenletekmegoldásafüggvényeksegítségével

tk. 165/1,

1479, 1480

83.óra Egyenletekértelmezésitartományának,értékkészleténekvizsgálata

tk: 166-168.oldal Értelmezésitartomány vagyértékkészletvizsgálata azegyenletmegoldásasorán

tk: 168/1,2,3

fgy: 1483, 1485

84.óra Egyenletmegoldásaszorzattáalakítással

tk: 169-172. óra Szorzattáalakítás

tk: 172/ 2

fgy: 1487, 1489

85-87.óraA mérlegelv

tk: 173- 176. óra Mérlegelv,hamis gyök

tk: 176/ 1, 2

fgy: 1492, 1495,1560

- 41 -

88. óraSzámonkérés


Az egyenleteket azonosságoknak is hívjuk.

Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz , melyen a megoldásokat keressük.Ha az alaphalmazt előre nem adjuk meg, akkor a valós számok halmaza az alaphalmaz. De lehet amegoldást keresni az egész számok vagy a pozitív számok halmazán is.A szöveges feladatok megoldásánál nagy segítség lehet, ha sikerül felírnunk egy hozzá kapcsolódóegyenletet. Ilyenkor mindig a feladatra adandó választ nevezzük el ismeretlennek (leggyakrabban x-nek).

Egyenletek megoldási módszerei:

Grafikus módszer:

Az egyenletet értelmezhetjük függvényként. Ekkor f(x) = g(x) egyenlet két oldalán szereplő függvénytábrázoljuk koordináta-rendszerben és meghatározzuk a két grafikon közös pontjait.A közös pontok első koordinátái (x) adják az egyenlet megoldásait.

Ellenőrzésként mindkét oldalba behelyettesítve a megkapott értéket ugyanazt az eredményt kellkapnunk.Hátránya, hogy nem mindig olvasható le pontosan a pont.

Az értelmezési tartomány vizsgálata:

Érdemes megadni azt a legbővebb halmazt, amelyen az egyenlet értelmezhető, hiszen ilyenkorgyakran sokkal könnyebben eljuthatunk a megoldáshoz!

Az egyenletben szereplő kifejezések, függvények értékkészletének vizsgálata:

Az értékkészlet vizsgálatával kiderülhet, hogy az egyenletnek nem lehet megoldása vagy csaknéhány érték jöhet számításba. A két oldalon hasonlítsuk össze az értékészletet!

Szorzattá alakítás:

Az f(x) = 0 alakú egyenlet bal oldalát tényezőkre bontjuk. Egy szorzat csak akkor lehet 0, havalamelyik tényezője 0. Ennek az elvnek a felhasználásával az eredeti egyenlet megoldását néhányalacsonyabb fokú, egyszerűbb egyenlet megoldására vezetjük vissza

A mérlegelv :

Az egyenlet úgy működik, mint egy mérleg, ha egyensúlyban van! Mindkét oldaláhozhozzáadhatunk, illetve kivonhatunk ugyanannyit, közben az egyenlőség megmarad.Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a 0-tólkülönböző számmal is. A 0-val való osztásra és szorzásra nagyon figyelni kell, hiszen hamisgyököket is kaphatunk illetve eltűnhetnek gyökeink!!! Fontos az ellenőrzés itt is!

- 42 -

Új ismeretlen bevezetése:

Ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük az egyenlet megoldását. Bevezetünk egy új változót, majd amegoldás végén visszahelyettesítünk. Ezzel akár magasabb fokú egyenletből is csinálhatunkelsőfokú egyenletet,

2. Egyenlőtlenségek

Óra címe Tk/ Fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok89-90.óra.Egyenlőtlenségek

tk.:177-181. oldalEgyenlőtlenségek megoldásimódszerei, amegoldásábrázolásaszámegyenesen

tk. 181/1, 2, 3, 4

fgy: 1497, 1498,1499, 1500,1562


Az egyenletekhez hasonlóan többféle módszerrel oldhatjuk meg az egyenlőtlenséget.A megoldásnál arra figyelj, hogy mindig ábrázold számegyenesen a megoldáshalmazt!Válasz ki legalább egy jó megoldást, amivel ellenőrízz is!

Megoldási módszerek: Grafikus módszer

Az egyenlőtlenség két oldalát függvénynek tekintjük:f(x)≥g(x) Az f és g függvények értelmezési tartományának közös részéhez tartozó x értékeket

keressük,amelyekre a két függvény helyettesítési értéke között az adott reláció fennáll. Tehátmindkét oldalt ábrázoljuk, majd eldöntjük a függvények melyik ága halad a másik felett, hiszen ottlesz nagyobb a helyettesítési érték..Itt is meg kell határozni a közös pontot, ahol a két oldalegymással egyenlő!

A mérlegelv

- Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk, illetve kivonjuk ugyanazt aszámot, ismeretlent tartalmazó kifejezést, a relációjel iránya nem változik meg.- Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a pozitívszámmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya nem változik meg.- Ha az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a negatívszámmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul.- Egyenlőtlenséget 0-val vagy olyan kifejezéssel amely értéke nulla nem szorzunk, nem osztunk.

3. Abszolút értékes egyenletek

- 43 -

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok91-92.óra.Abszolút értékettartalmazóegyenletek,egyenlőtlenségek

tk.:182-187. oldal Abszolút értékdefiníciója, azegyenletekmegoldásimódjai,

tk. 187/1, 2, 3, 5

fgy: 1505,1506, 1507,1561


Egy szám abszolút értékén a számegyenesen a számnak a nullától mért távolságát értjük. Ezértminden szám abszolút értéke vagy pozitív, vagy 0.

x ha x 0x

x ha x 0

Megoldási módszere:A definíció alapján felbontjuk az abszolút értéket, számegyenesen ábrázoljuk az intervallumokat.Ennél az egyenlettípusnál nagyon fontos az ellenőrzés!Figyeljünk arra, hogy az egyenletnek több megoldási is lehet!

4. Elsőfokú kétismeretlenesegyenletrendszer

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok93-97.óra.Elsőfokúkétismeretlenesegyenletrendszerek

tk.:199-203. oldal - grafikusmegoldás- behelyettesítőmódszer- egyenlőegyütthatókmódszere

tk. 203/1, 2, 3,

fgy:1547,1548,1549


Behelyettesítő módszer:- Az egyik ismeretlent kifejezzük az egyik egyenletből. Ez lehet akár az x akár az y attól függően,hogy melyikkel tudunk könnyebben dolgozni.- Az így kapott kifejezést behelyettesítjük másik egyenletbe. Ekkor már csak egy ismeretlenünkmarad!- Megoldjuk az egyenletet, ezzel megkapjuk az egyik ismeretlent.

- 44 -

- Ezt az értéket visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, így megkapjuk a hiányzó ismeretlent is!

Egyenlő együtthatók módszere:

Ennél a módszernél az a cél, hogy a két egyenletet összeadva vagy egymásból kivonva egyismeretlen maradjon egy egyenlettel.Ehhez az egyenletek ismeretleneit úgy kell szoroznunk, hogy mindkét egyenletben ugyanannyilegyen belőlük.Ezután a két egyenletet összevonva eltűnik az egyenlő együtthatós ismeretlen.

Grafikus megoldás:

Megoldhatunk egyenletrendszert is a függvény ábrázolási módszerrel. Ehhez mindkét egyenletbőlfejezzük ki x-et, majd a két függvényt ábrázoljuk.Ahol a két függvény egymást metszi ott lesz a közös pont. Ennek a pontnak mindkét koordinátájátolvassuk le!

5. Szöveges feladatok

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok98-106.óraEgyenletekkel,egyenletrendszerekkel megoldhatószöveges feladatok

tk.:191-198. oldal204-208.oldal,213. oldal

Szövegesfeladatokmegoldásánaklépései

tk. 193//1, 2, 3, 4, 5, 6198/ 1, 2, 3, 4, 5, 6208/ 1,2,3,4

fgy: 1519-15391550-1554,1564- 1570


Szöveges feladatok megoldási módszere:

Olvasd végig a szöveget, akár többször is. Próbáld értelmezni ami le van írva!Az adatokat írd ki a füzetedbe, mindent amire a megoldáshoz szükséged lehet.Figyelj arra, hogy felesleges adatokat ne használj!Nevezd el ismeretlennek azt amit a feladat kérdez. Ez fontos, hiszen a végén a szöveg szerint fogszellenőrizni és válaszolni is!Írd fel az egyenletet-egyenlőtlenséget-egyenletrendszert a szövegnek megfelelően.Ezt oldd is meg!Szövegesen válaszolj mindig arra a ha logikusan végig gondolod magadtól is rájöhetsz mennyirereális a válaszod!Szöveges feladatok megoldása:- Értelmezzük a feladatot- Megválasztjuk a feladat szövege alapján az ismeretlent- Felírjuk az egyenletet- Megoldjuk- A szöveg alapján ellenőrzünk- Válaszolunk a feladatban megfogalmazott kérdésre.

- 45 -

Szöveges feladatok néhány típusa:

- Helyiértékes- Életkoros- Mozgásos- Keveréses- Munkavégzéses- Százalékszámításos

6. összefoglalás, számonkérés


Gyakorlófeladatok

107-109.óra.Összefoglalás,témazáródolgozat,hiánypótlás

tk.:160-214. oldal fgy: 1475-1570

VI. Egybevágósági transzformációk (20 óra)

1.A geometriai transzformációÓra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló

feladatok110.óra.A geometriaitranszformáció

tk.:216-217. oldal Geometriai transzformáció,csoportosításEgybevágósági geometriaitranszformáció


Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezésitartománya és értékkészlete is ponthalmaz, vagyis ponthoz pontot rendel hozzá.

- 46 -

Ha a transzformáció a P ponthoz a P′ pontot rendeli, akkor a P′ pontot a P pont képének nevezzük.Értelmezési tartománya a sík vagy a tér pontjainak halmazaÉrtelmezési tartománya és értékkészlete megegyezikKölcsönösen egyértelműek

Identitás:Olyan geometriai transzformáció, amely minden ponthoz önmagát rendeli.Vagyis P pont képe éppen önmaga.

Tulajdonságok:

fixpontja az a pont, amelynek a képe önmaga. fixegyenese az az egyenes, amelynek a képe önmaga Ha egy egyenes képe önmaga, de nem minden pontja fixpont, akkor invariáns egyenesnek

nevezzük szimmetrikus, ha a P pont képe P′ és P′ képe is a P pont távolságtartó, ha bármely szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz aránytartó, ha két szakasz hosszának aránya egyenlő a képszakaszok hosszának arányával szögtartó, ha bármely szög képe vele azonos nagyságú szög irányítástartó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása azonos ( az óramutató

járásával tudjuk megállapítani) irányításváltó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása ellentétes.

Ha egy geometriai transzformáció távolságtartó, akkor egybevágósági transzformációnaknevezzük. Vagyis bármely szakasz képe az eredetivel egyenlő hosszúságú.Minden síkbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb három tengelyes tükrözésegymás utáni alkalmazásával. Minden térbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebbnégy síkra való tükrözés egymás utáni alkalmazásával.Ha egy geometriai transzformáció aránytartó, akkor hasonlósági transzformációnak nevezzük.

1.Tengelyes tükrözés a síkban


111-113.óra.Tengelyestükrözés a síkban

tk.:218-224. oldal Tengelyestükrözés a síkbanés tulajdonságaiTengelyesenszimmetrikusalakzatok

tk: 220/1, 3, 4, 6,11224/1,

fgy: 1474, 1576,1584, 1588, 1597


A tengelyes tükrözésnél adott a síkban egy egyenes, ez a tükrözés tengelye. t egyenes a tengelyAz adott egyenesre (t) vonatkozó tengelyes tükrözésnél minden a t egyenesre illeszkedő pont képeönmaga. (ha A t ) akkor A képe önmagaHa egy P pont nem illeszkedik a tükrözés tengelyére, akkor a P pont tükörképe az a P' pont, amelyrea tengely a PP' szakasz felezőmerőlegese.

A tengelyes tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.

- 47 -

Tulajdonságai:

- A tengelyre nem illeszkedő P pont és P’ tükörképe olyan szakaszt határoz meg, amelynek a tengely

a szakaszfelező merőlegese.- A tengely bármely pontjának képe önmaga. A tengely pontjai tehát fix pontok. Más fix pontja nincs- A tengely fix alakzat- A tengelyre merőleges egyenes képe szintén önmaga de nem pontonként fix.- A tengellyel párhuzamos egyenes képe párhuzamos a tengellyel. A két egyenesnek a tengely afelező egyenese- A tengelyt metsző egyenes és képe a tengelyen metszi egymást és ugyanakkora szöget zárnak bea tengellyel..- Bármely alakzat képe egybevágó az eredeti alakzattal.- A tengelyes tükrözés a körüljárás irányát megváltoztatja.- A tengelyes tükrözés szakasz és szögtartó.

Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes a síkban, amelyreaz alakzatot tükrözve a képe önmaga . Pl.: négyzet, téglalap, rombusz, kör, egyenlőszárú háromszög, szabályos sokszögek stb.

- tengelyesen szimmetrikus háromszög: egyenlő szárú háromszög ( 1 tengely), egyenlő oldalúháromszög ( 3 tengely);- tengelyesen szimmetrikus négyszög: szimmetrikus trapéz, deltoid, téglalap, rombusz, négyzetA tengelyek száma lehet 1, 2 vagy 4.- tengelyesen szimmetrikus sokszög: pl szabályos sokszögek, annyi tengellyel ahány oldalú asokszög- kör: végtelen sok szimmetriatengelye van

- 48 -

3. Középpontos tükrözés


- 49 -

114-118.óra.Középpontostükrözés a síkban

tk.:225-235. oldal

fv.t: 34, 35, 36. oldal

-Középpontostükrözés a síkbantulajdonságai-KözéppontosanszimmetrikusalakzatokAlkalmazások:-Thalesz tételmegfordítása,-paralelogramma,háromszög, trapézközépvonalai, tételek,-Háromszögmagasságvonalai,tétel-Háromszögsúlyvonalai, tétel

tk: 227/ 1, 2, 3, 4,8230/ 1, 2, 3, 6, 7235/ 1, 2, 4, 5, 7,8

fgy: 1475-1570


A középpontos tükrözésnél adott a síkban egy pont, ez a tükrözés középpontja. O pont képe

önmaga.Minden más P ponthoz azt a P' rendeli, amelyre az O pont a PP' szakasz felezési pontja.A középpontos tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.Tulajdonságok:- Egyetlen fix pont van, a forgatás középpontja, az O pont- Pont és képe által meghatározott szakasz felezőpontja a középpont.- Egyenes, félegyenes, szakasz párhuzamos a képével.- Az összes olyan egyenes amely keresztül megy az O ponton invariáns egyenes, nem pontonkéntfix.- A középpontos tükrözés szakasztartó- A középpontos tükrözés szögtartó- A középpontos tükrözés irányítástartó- A középpontos tükrözés a pont körüli forgatás egy speciális esete, amikor a forgatás szöge éppen180°

Középpontosan szimmetrikus egy alakzat, ha van olyan középpontos tükrözés, amelyaz alakzatot önmagába viszi át. Pl.: rombusz, paralelogramma, kör, négyzet, szabályos sokszög stb.

- Középpontosan szimmetrikus háromszög nincsen- Középpontosan szimmetrikus négyszög: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet;- páros oldalszámú szabályos sokszögek;

- kör

Alkalmazás: Thalesz tétel megfordítása:

Ha egy AB szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyikpontja a C pont. Vagyis a C pont rajta van az AB átmérőjű körön.

- 50 -

A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. Az átfogó a kör átmérője. A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának

nevezzük. A háromszögek középvonala párhuzamos a szemközti oldallal és fele olyan hosszú Minden négyszögnek két középvonala van. A négyszög középvonalai felezve metszik

egymást. A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és hossza az alapok számtaniközepe. Paralelogramma középvonala párhuzamos a szemközti oldallal és ugyanolyanhosszú.

Háromszög magasságvonalai: A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemköztioldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük.A háromszög egyik csúcsa és a szemközti oldal egyenese között a háromszögmagasságának nevezzük. Talppont: ahol a magasságvonal metszi az oldalt.Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást.

Háromszög súlyvonalai: A háromszög súlyvonalának az egyik csúcspontot és a szemköztioldal felezőpontját összekötő szakaszt nevezzük. A háromszögnek három súlyvonala van.Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszögsúlypontjának nevezzük, ez a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja két részre.

4. Pont körüli forgatás


- 51 -

119-121.óraPont körüli forgatás

tk.:236-245. oldal - pont körüli forgatásértelmezése éstulajdonságai,- középponti szög,radián,- körív hossza,körcikk területe-forgásszimmetrikusalakzat

tk: 238/1, 2, 5,6, 7243/1, 2, 3, 4,6, 7245/ 1, 2, 3

fgy:1663,1671672, 1673


Adott a síkban egy O pont,ez a forgatás középpontja, és adott egy előjeles szög, amely a forgatásmértékét és irányát adja meg ( α ) .

Az O ponthoz önmagát rendeli, minden más P ponthoz azt a képpontot P' pontot rendeli,amelyre OP=OP' és a POP' szög megegyezik a forgatás szögével (POP'= α).A pont körüli forgatás kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között

Az órajárással ellentétes irányt pozitívnak, az óramutató járásával egyező irányt negatívnaknevezzük.

Tulajdonságai:- Az O pont fix pont (helyben marad), ha az α 0, 360° vagy annak többszöröse nincs más fix pont- Ha a forgatás szöge 360° egész többszöröse, akkor minden pont fix pont, a transzformáció helybenmarad (identikus transzformáció)- Bármely alakzat egybevágó forgatással kapott képével.- A forgatás nem változtatja meg a körüljárás irányát, irányítástartó- A forgatás szakasztartó és szögtartó.- Ha 0°-kal, vagy 360°-kal forgatunk, az alakzat helyben marad.-A pont körüli forgatás egy speciális esete a középpontos tükrözés, amikor a forgatás szöge 180 fok,vagy annak egész többszöröse.

Forgásszimmetrikus alakzatok:Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van olyan pont a síkban, amely körül az alakzatotelforgatva önmagát kapjuk ( Az elforgatás szöge különbözik 360° egész többszörösétől)- kör,- négyzet,- téglalap,- rombusz- szabályos háromszög- szabályos sokszög

Alkalmazás:

- Középponti szög:Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a szöget a kör középponti szögének nevezzük

- 52 -

Egy körben az ív hossza és a hozzá tartozó középponti szög nagysága egyenesen arányos.

- Radián: 1 radián nagyságú az r sugarú kör azon középponti szöge, amelyhez tartozó ív hossza r,azaz megegyezik a kör sugarával.Egy körben egy körcikk területe és a hozzá tartozó középponti szög nagysága egyenesen arányos.

Ív kiszámolása: i = =

Körcikk területének képlete: T = T =

5. Vektorok

Óra címe tk/ fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok122-124.óraPárhuzamoseltolás

tk.:246-255. oldal

fv.t: 56- 57. oldal

Párhuzamos eltolás éstulajdonságai,Vektor, műveletekvektorokkal, vektorok akoordinátarendszerben

tk: 250/2, 4, 57255/1, 2, 3, 4, 5,

fgy:1699,1700,17011702,1703,1704,1705,1707, 708,1716,


Vektor: irányított szakasz. Iránya és nagysága vanNullvektor: Hossza nulla, iránya tetszőlegesKét vektor egyenlő, ha ugyanazt a párhuzamos eltolást adják meg. Egyirányúak és egyenlőhosszúak.Vektor abszolút értéke, az irányított szakasz hossza.Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok is párhuzamosak.Két vektor egyirányú, ha párhuzamos és egy irányba mutatnakKét vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúakKét vektor ellentett, ha egyenlő hosszúak, párhuzamosak és ellentétes irányúak

Eltolás:

Adjuk meg az eltolást v= vektorral.Ekkor transzformáció a tér vagy sík bármely A pontjához azt a B pontot rendeli, amelyre a = v

Tulajdonságai:

- 53 -

- Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés- A helyben maradás olyan eltolás, amelynek vektora nullvektor, ekkor minden pont fixpont- Ha az eltolás vektora nem nullvektor, akkor ennél a geometriai transzformációnál nincs fix pont- Bármely alakzat egybevágó eltolással kapott képével. Alakzattartó- Az eltolás nem változtatja meg a körüljárás irányát. Körüljárástartó- Az eltolás szakasz és szögtartó.- Bármely egyenes, félegyenes, szakasz párhuzamos a képével.- Helyben maradó pont nincs az eltolásnál.- Az eltolás irányával párhuzamos bármely egyenes invariáns egyenes, egyébként más invariáns

alakzat nincs is, ha nem nullvektorral toljuk el.

Műveletek vektorokkal:

1. Vektorok összege

Adott két vektor, a és b. Összegüket kétféleképpen is megszerkeszthetjük

- paralelogramma módszer: a két vektort közös kezdőpontba toljuk és a közöskezdőpontból a paralelogramma szemközti csúcsába mutat az összegvektor.

- Összefűzés módszere: a vektorokat egymás után tologatjuk. Az első vektorkezdőpontjából az utolsó végpontjába mutat az összegvektor

Tulajdonságai:

Kommutatív (felcserélhető) :

Asszociatív (zárójelezhető) :

Bármely vektorhoz a nullvektort hozzáadjuk visszakapjuk az eredeti vektort: .

Egy a vektorhoz megadható olyan -a vektor, hogy a két vektor összege nullvektor. (–a)-t aellentettjének nevezzük: a + ( -a) = 0.

Helyvektorok esetén az összeadásvektor koordinátáit a vektorok megfelelő koordinátáinak összegeadja. Azaz a( a1 , a2 ) és b (b1 , b2 ) helyvektorok összege:

a + b = (a1 + b1 ) i + (a2 + b2) j

2. vektorok különbségeAz különbségvektorán azt a vektort értjük, amelyet a + (-b) szerkesztéssel kapjuk, amelyet úgykapunk, hogy a-hoz hozzáadjuk b ellentettjét. A különbség vektor b végpontjából az a végpontjábamutató vektor az.Vektorok különbsége

- 54 -

Tulajdonságai:

A kivonás nem kommutatív, és nem asszociatív művelet. Tehát nem lehet felcserélni atagokat és nem lehet tetszőlegesen kitenni a zárójeleket sem.

Ha nullvektort vonunk ki egy a vektorból, a vektort kapjuk:

Ha a nullvektorból vonjuk ki az a vektort, akkor az a vektor ellentettjéhez jutunk:

Ha egy vektorból önmagát vonjuk ki 0 vektort kapunk:

Helyvektorok különbségének koordinátáit a vektorok megfelelő koordinátáinak különbsége adja.Azaz a( a1 , a2 ) és b (b1 , b2 ) helyvektorok különbsége :

a - b = (a1 - b1 ) i + (a2 - b2) j

3. Vektor szorzása számmal:Adott egy a vektor és egy valós szám. Az a vektor -szorosa:

Ha vagy , akkor tehát a nullvektort kapjuk

Ha és , akkor hosszúságú vektort kapunk, melynek iránya:

o esetén a-val megegyező,

o esetén a-val ellentétes.

Egy vektornak egy valós számmal való szorzata a vektor hosszának növekedését vagycsökkenését jelenti. Ha nagyobb, mint 1, a vektor hossza növekedik, ha nullánál nagyobb deegynél kisebb valós szám, a vektor hossza csökken.

Tulajdonságai:

Bármely vektor -val vett szorzata nullvektort eredményez: .

A nullvektornak bármely számmal vett szorzata nullvektor: .

- 55 -

Egy helyvektor skalárszorosának koordinátáit a vektor koordinátáinak adott skalárral valószorzásával kapjuk. Azaz a( a1 , a2 ) helyvektor esetén:

a = a1 i + a2 j

6. Egybevágóság


125.óraAlakzatokegybevágósága

Tk.256-258. oldal Alakzatokegybevágósága,Háromszögekegybevágóságánakalapesetei,Négyszögekegybevágósága

tk: 258/ 2, 3, 4, 8

fgy:1723,1724,1725, 1726,


Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció-sorozat , amely egyiket amásikba viszi.Jelölése A ≅ B

- Minden alakzat egybevágó önmagával- Az egybevágóság kommutatív művelet, tehát, ha A ≅ B, akkor B ≅ A- Minden A, B és C alakzatra , ha A ≅ B és B ≅ C akkor A ≅ C

Háromszögek egybevágóságának alapesetei:Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha- megfelelő oldalaik páronként egyenlőek.- két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az általuk bezárt szög egyenlő.- egy-egy oldaluk hossza és az oldalakon fekvő két szögük egyenlő.- két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és a hosszabb oldallal szemben lévő szögekegyenlőek.

Sokszögek egybevágósága:- Megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza páronként egyenlő- Megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők.

7.összefoglalás, számonkérés


Gyakorló feladatok

- 56 -

126-129.óraÖsszefoglalás,témazáródolgozat,hiánypótlás

tk.:216-258. oldalfgy:1571-1752

VII. Statisztika (7 óra)


Gyakorlófeladatok

130-132.óra.Az adatokábrázolása

tk:260-263. oldal

fv.t: 76-78. oldal

Adatokábrázolása,diagramtípusok,gyakoriság,gyakoriságitáblázat

tk: 262/1, 4,6

fgy:1762, 1763,1764, 1766,1767, 1769,

133-135. óraAz adatokjellemzése

tk: 264-273 oldal

fv.t: 76-78. oldal

módusz, átlag,medián ,terjedelem,tapasztalatiszórás

tk: 269/2, 3, 4,5, 7, 9, 12, 13,15

fgy: 1773, 1777,1778, 1780,1782, 1783,1789, 1790,1795, 1803,1805

136. óraszámonkérés


A statisztika elemzéséhez összegyűjtött adatokat adatsokaságnak, mintának is szoktuk nevezni.Az adatokat összegyűjthetjük táblázatban, vagy ábrázolhatjuk grafikonon, illetvediagramon, (görbéken vagy vonaldiagramon, oszlopdiagramon, kördiagramon vagy hisztogramon).

- 57 -

A diagramok az adatok gyors áttekintését teszik lehetővé.

Statisztikai sokaság azoknak a dolgoknak, egyedeknek a csoportja, amelyekről adatokat gyűjtünk.Ezek közül kiválasztunk egy mintát vagyis az egyedek csoportjának egy részhalmazát és aztvesszük a sokaságnak.Reprezentatív minta (például: közvélemény kutatásoknál használják).Véletlenszerű mintavétel: minden egyed ugyanolyan valószínűséggel kerül be amintába (pl.: lottóhúzás).Minta: A statisztikai sokaságból kiválasztott olyan rész, amelyektől adatokat kapunk.Gyakoriság: Az egyes adatok előfordulásának számaGyakorisági táblázat: Táblázatba foglaljuk mely adatunk hányszor fordult elő.Relatív gyakoriság: Az egészhez viszonyított adat. Ha egy adatsorban 10-ből pl háromszor fordulelő, akkor a relatív gyakorisága 0,3

- 58 -

Szóródásmutatók:Minta terjedelme: Az adatok között előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége a mintaterjedelme.Szórás: Minta szórása az átlagtól való eltérések négyzetének átlagából vont négyzetgyök.Statisztikai közepek:Számtani közép: Ha az adatok összegét elosztjuk az adatok számával, akkor a minta számtaniközepét, vagy átlagát kapjuk.Módusz: Az adatsokaságban a leggyakrabban előforduló adatot módusznak nevezzük.Medián: - Páratlan számú adatoknál: a középső adat.

- Páros számú adatoknál: a két középső adat átlaga.

Év végi ismétlés (8 óra)137-144. Ismétlő feladatok, számonkérés (egy témakör-egy óra)

Ha pedig nincs a közeledben könyv vagy feladatgyűjtemény itt találhatsz példákat amiketgyakorolhatsz. A feladatgyűjtemény az interneten is megtalálható:

MATEMATIKA 9. osztály

I. HALMAZOKSzámegyenesek, intervallumok

1. Töltsd ki a táblázatot! Minden sorban egy-egy intervallum háromféle megadásaszerepeljen!

- 59 -

2. Add meg a fenti módon háromféleképpen a következő intervallumokat! A nagybetűk azelőző feladat intervallumait jelölik.

a) BAb) BAc) A \ Bd) B \ A

e) CAf) BC g) DAh) D \ A

i) ED j) G \ Hk) JAl) JG

- 60 -

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLETAlgebrai kifejezés, változó, együttható

3. Hány változósak a következő algebrai kifejezések? Adjuk meg a bennük szereplőváltozókat és együtthatókat!

feladat kifejezés változókszáma

változókfelsorolása együttható

a) a2

b) ab7

c) xy5

d) dc 43

e) dc26

f) zy

g) 8b

h) y

i) df3

2

j) pqr7

5

k)3

4k

l)10

3a

m)2

9tm

n)3

u

o)6

ac

- 61 -

Helyettesítési érték kiszámolása

4. Számoljuk ki a következő kifejezések értékét, ha 2x , 1y !a) 26 xx ;b) yy 223 ;c) 322 xy ;d) xyyx ;

e)yx

xyyx

2

1 ;

f) yyx 222 ;

g) xyx y

2

1

2

1 ;

h) yxyx

2

3

5. Számoljuk ki a következő kifejezés értékét, ha3

1a , 3b !

a) bba

3

2

1

3

;

b) abba 3 ;

c) aba 30 ;

d) ba

bab2

7

1

6. Számoljuk ki a következő kifejezés értékét, ha 0c , 5,0d , 5e !

a)d

ececd

5

2

; b)d

ced c c) ed

c

e1 ;

A hatványozás azonosságainak használata

Azonos alapú hatványok

knkn aaa

knk

n

aa

a

nkkn aa

Szorzat, hányados hatványozása

nnn baab

n

nn

b

a

b

a

7. Hozzuk a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezést! (Minden betű legfeljebbegyszer szerepeljen benne, és ne legyen benne negatív kitevő!)

a)

2

432

ab

baba ; b) 2332

74322

abba

babab

Negatív kitevőjű hatvány

nn

aa

1

8. Számoljuk ki a következő kifejezések értékét!a) 32 ;b) 25 ;c) 17 ;

d) 43 ;e) 11,0 ; f)

2

3

2

;

- 62 -

g)1

2

1

A számok normál alakja9. Töltsd ki az alábbi táblázatot! Egymás mellett ugyanannak a számnak a kétféle alakja

szerepeljen!

helyiértékes alak normál alak helyiértékesalak

normál alak

200 1010008,2 50 00026 000 0,1

3104 0,22103 0,05

4105,2 1105,3 175 000 2102

2 315 000 31005,4 42 500 000 0,021

51035,1 0,1255210256,7 0,007410701,5 5107

70 000 000 000 31001,1 – 45 000 2105,7

– 16 750 000 0,000 005– 850 000 000 000 – 0,0010023

7101004,4 0,50012

Egész kifejezések (polinomok)

Nevezetes azonosságok használata

222 2 bababa

Két tag összegének négyzete egyenlő:az első tag négyzete,

p l u s za két tag kétszeres szorzata,

p l u s za második tag négyzete.

222 2 bababa

Két tag különbségének négyzete egyenlő:az első tag négyzete,

m í n u s za két tag kétszeres szorzata,

p l u s za második tag négyzete.

- 63 -

10. A megfelelő nevezetes azonosságok alapján végezzük el a műveleteket!

a) 2yx ;b) 2dc ;c) 25x ;d) 2yx

e) 2fe ;

f) 23a ;

g) 27a ;

h) 24 b ;

i) 21x

j) 22 dc ;

k) 23 fe ;

l) 245 xy ;

m) 243 g ;

n) 258 qp ;

o)

2

16

x

;

p)

2

32

ca

;

q) 22 1y ;

r) 221 x ;

s) 23 2b

22 bababa

11. A megfelelő nevezetes azonosság alapján végezzük el a műveleteket!

a) yxyx ;b) qpqp c) dcdc ;d) 33 aa ;e) dd 55 ;f) fefe 66 ;g) xx 3232 ;h) 11 33 aa ;i) yzyz 5454

j)

2

1

72

1

7

yy ;

k)

310310

baba ;

l)

d

c

b

a

c

c

b

a ;

m)

z

y

xz

y

x6

26

2

55

12. Végezzük el a műveleteket!a) abba 22 ;b) 222 yxyx ;c) 2225 baba ;d) cddc 63 ;e) 11 2 yy ;f) cbcb ;

g) 321 2 dd ;h) 215 xx ;i) 2bybyby ;j) 22 221 cccc

13. Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket!— kiemeléssel:

a) dc 55 ; b) xy 153 ;

- 64 -

c) 126 2 a ;d) zyx 642 ;e) xyx 10010 ;

f) bcdabdabc2

1

2

1

2

1 ;

g) aa 2 ;h) xxxxx 2345 ;i) bb 189 2

— nevezetes azonosság alapján:

bababa 22

j) 22 yx ;k) 22 5x ;l) 252 c ;m) 29 a ;n) 2100 x ;o) 22 32 cy ;

p) 22 1625 ba ;q) 22 81100 cd ;

r) 369

4 2 x

s) 222 49yba

14. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést!

a) 210

215

a

a ;

b)ba

ba

22

44

;

c)2

126

d

d ;

d)24

24

x

x

;

e)62

92

y

y ;

f)cb

cb

44

22

;

g)ba

ba

1412

4936 22

;

h)16

153

25

8222

x

y

y

x

i)202100

12

b

b

b;

j)22

2

66 yxyx

x

;

k)42

3

4

5

63

42

aa

a

a

III. FÜGGVÉNYEK

Ábrázold a következő függvényeket! (Az elsőfokú kivételével függvénytranszformációksegítségével.)Jellemezd őket! (Add meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, zérushelyüket,szélsőértékük helyét és értékét, valamint jellemezd menetüket /monotonitásukat/! Azelsőfokú függvénynél pontosan számold ki a zérushelyet!)

Lineáris függvényekElsőfokú lineáris függvények

15. Ábrázold és jellemezd a következő elsőfokú függvényeket!a) xxf (alapfüggvény);b) xxf ;

c) 4

3

2 xxf

;

d) 1

4

5 xxf

;

e) 53

1 xxf ;

f) 62 xxf ;

g) 3 xxf ;

h) 25 xxf ;

- 65 -

i) 2

4

3 xxf

;

j) 33

2 xxf

k) 2

5

1 xxf

;l) 7 xxf ;

m) 32 xxf

n) xxf

3

4

;o) 32 xxf ;p) 5 xxf ;q) 63 xxf ;r) xxf 4 ;s) 15,0 xxf

Lineáris függvényekNulladfokú (konstans, más néven állandó) lineáris függvények

16. Ábrázold és jellemezd a következő nulladfokú függvényeket!a) 3xf ;b) 2xf ;

c) 2

3xf ;

d) 0xf

Abszolútérték-függvények17. Ábrázold és jellemezd a következő abszolútérték-függvényeket!

a) xxf (alapfüggvény);b) 4 xxf ;c) 3 xxf ;d) 5 xxf ;e) 6 xxf ;f) 2 xxf ;g) 4 xxf

h) 32 xxf ;i) 14 xxf ;j) 25 xxf ;k) 15 xxf

l) xxf 2 ;m) ;3 xxf

n) ;2 xxf

o) ;xxf

p) 53 xxf ;

q) ;32

1 xxf

r) 672 xxf ;s) 43 xxf ;t) 12 xxf

Másodfokú függvények18. Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényeket!

a) 2xxf (alapfüggvény);b) 22 xxf ;c) 92 xxf ;d) 23 xxf ;e) 23 xxf ;f) 45 2 xxf

g) 15 2 xxf ;h) 262 xxf ;i) 272 2 xxf ;

j) 242

1 xxf ;

k) 22 xxf

Négyzetgyökfüggvények

- 66 -

19. Ábrázold és jellemezd a következő négyzetgyökfüggvényeket!

a) xxf (alapfüggvény);b) 3 xxf ;c) 1 xxf ;d) 5 xxf

e) 6 xxf ;f) 25 xxf ;

g) 21 xxf ;h) 12 xxf ;i) 232 xxf ;j) 32 xxf ;k) 143 xxf

Lineáris (elsőfokú) törtfüggvények20. Ábrázold és jellemezd a következő lineáris törtfüggvényeket!

a)

xxf

1

(alapfüggvény);

b) 4

1

xxf

;

c) 5

1

xxf

;

d)

6

1

xxf

;

e)

7

1

xxf

;

f) 3

4

1

xxf

;

g) 6

5

1

xxf

;

h) 7

2

1

xxf

i)

xxf

2

;

j)

xxf

1

;

k)

xxf

2

;

67

IV. GEOMETRIA (Háromszögek, négyszögek, sokszögek)

A következő négy feladatokhoz tudni kell: a háromszög nevezetesvonalainak definícióit, a háromszög kerületének, területének, beírhatóköre sugarának kiszámítási módját, valamint a Thalész- és a Pitagorasz-

tételt.21. Egy derékszögű háromszög két befogója a=3 cm, b=4 cm. Számítsuk ki a

háromszög átfogóját,magasságait,középvonalait,kerületét, területét,súlyvonalait,köré, ill. beírható körének sugarát!

22. Egy derékszögű háromszög egyik befogója a=10 cm, átfogója=14 cm.Számítsuk ki a háromszög másik befogóját,magasságait,középvonalait,kerületét, területét,súlyvonalait,köré, ill. beírható körének sugarát!

23. Egy derékszögű háromszög a befogójához tartozó középvonala ka=5 cm, az abefogóhoz tartozó magassága pedig ma=7 cm. Számítsuk ki a háromszög

oldalait,többi magasságát,többi középvonalát,kerületét, területét,súlyvonalait,köré, ill. beírható körének sugarát!

24. Egy derékszögű háromszög b befogója 2 cm, az a oldalához tartozósúlyvonala sa=3 cm. Számítsuk ki a háromszög

oldalait,többi magasságát,többi középvonalát,kerületét, területét,súlyvonalait,köré, ill. beírható körének sugarát!

V. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

Egyenletmegoldás mérlegelvvel (egyenletrendezéssel)

25. Oldd meg a következő egyenleteket mérlegelvvel (egyenletrendezéssel)!a) 03 x

b) 03

14

x

c) 015 xd) 023 xe) 1252 xxf) xx 122

68 g) 263872 xx

h) 946458 xxx

i) 144336 xxxx

j) 8,38,0415,18,14,0 xxx

k)6

5

4

3

3

1

2

1

4

1

2

1

xxx

l) 71313 xxxxx

m) 182433324 xxxx

n) 2421235213 xxxx

o) 02143 xxxx

p) 442232432 xx

q) 1 xxx

r) 11817432 xx

s) xx 156053542

t) 06

x

u) 04

3

2

1x

v) 4492

xx

w)

xxxx

5

22

2

1

2

3

5

32

x) xxxxx5

16

3

161

2

7

3

7

y)5

29

10

3

12

7

3

5

3

2

5

2

4

3

xxx

z)6

5

4

3

3

2

2

12

4

1

2

1

xxx

aa) 23

52

5

46

xx;

bb) 12

13

3

7

x

xx;

cc) 12

1

2

5

8

1

4

73

xxxx;

dd) 59

12

4

1

x

xx;

ee)3

12

24

2

7

32

xxx

xx

Egyenletmegoldás szorzattá alakítással

26. Oldd meg a következő egyenleteket szorzattá alakítással!

69

a) 0147 2 xx ;

b) 093 23 xx ;c) 0225 xxx ;

d) 0371757 xxxxxx ;

e) 0168121681682 xxxxx

Egyenlőtlenségek

27. Oldd meg mérlegelvvel!

a) 4492

xx;

b) xxx

23

256

5

46

;

c) 04

1

6

1

xx;

d)2

3

3

261

xx

x;

e) 33

21102 xx ;

28. Oldd meg a következő szorzatos egyenlőtlenségeket!a) 0127 xx ;

b) 0542 xx ;

c) 031526 xx ;

d) 0621 xx ;

29. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenségeket!

a) 03

1

x

x;

b) 07

366

x

x;

c) 09

12

x

x;

d) 08

26

x

x;

e) 06

5

x

x;

30. Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket!

a)455 x;

b)1062 x

;

c)17 xx;

70 Egyenlettel megoldható szöveges feladatok31. A téglalap egyik oldala 9 egységgel hosszabb, másik oldala 6 egységgel

rövidebb, mint egy négyzet oldala. A téglalap és négyzet területeegyenlő. Mekkora a négyzet oldala?

32. Egy híd cölöpének4

1 része a földben,5

2 része a vízben van, 2,8mhosszúságú része pedig kiáll a vízből. Milyen hosszúságú a cölöp?

33. 555 Ft-ot egyenlő számú 5 és 10 Ft-osokban szeretnénk kifizetni. Hány db5 és 10 Ft-osra van szükség?

34. Két természetes szám összege 144. Az egyik háromszor akkora, mint amásik. Melyik ez a két szám?

35. Két természetes szám összege 847. Ha az egyik végére egy 0-t írunk, amásik számot kapjuk. Melyik ez a két szám?

36. Gondoljatok egy számot! Szorozzátok meg 2-vel, a szorzathoz adjatok hozzá50-et, a kapott számot osszátok el 2-vel, és a hányadosból vegyétek el agondolt számot! Igaz-e, hogy az eredmény mindig 25 lesz?

37. Egy iskolai ünnepély rendezésével 250 000 Ft bevételt szeretnénkbiztosítani, ezért háromféle jegyet készítünk 300-300 Ft árkülönbséggel.A legolcsóbb jegyből 200-at, a közepes árú jegyből 150-et, a legdrágábbjegyből 65-öt. Mennyi legyen a legolcsóbb jegy ára?

38. Egy apának, az anyának és a lányának az életkora összesen 85 év. Az apa 5évvel idősebb, a lány 25 évvel fiatalabb az anyánál. Hány évesek külön-külön?

39. Melyik az a szám, aminek a4

3 része 5-tel nagyobb, mint az3

1 része?

40. Három testvér életkorának összege 15 év. A legidősebb 6 évvel idősebb alegfiatalabbnál. Mennyi idősek a testvérek, ha egyenlő időközönkéntszülettek?

41. Elolvastam egy könyv4

1 -részét és még 20 oldalt, hátra van még 8 oldal

híján a könyv3

2 része. Hány oldalas a könyv?

42. Egy osztály 30 tanulója matematikadolgozatának értékelésekor kiderült,hogy a négyes dolgozatok száma kétszerese az ötösökének. Kettes érdemjegyeggyel több lett, mint ötös. Hármas négyszer annyi van, mint kettes, éscsak egy tanuló írt elégtelen dolgozatot. Mennyi az ötös, négyes, hármas,kettes dolgozatok száma?

http://sefmatek.lapunk.hu/

Documents

MATEMATIKA - kpgimi.hu · MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY (M ozaik, 2013) feladataira épül. Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak! Az elméleti anyag