Proyecciones ortogonales-DEFINICIN:Se le llama proyeccin ortogonal a la interseccin entre la perpendicular trazada desde un punto en el espacio y un plano, por ejemplo:Tomemos un punto a y un plano P, luegotrazamos la perpendicular sobre el plano P siendo el punto de interseccin aPque vendra a ser la proyeccin ortogonal del punto a en el plano. (Ver figura 1)

-Los elementos que intervienen son: P que es el plano. A que es el punto. AP que se llama proyeccin del punto A en el plano P. A AP que se llama proyectante.

Plano Horizontal de Proyeccin:-Tomando un plano de horizontal H y un punto a del espacio, a la proyeccin del punto sobre el plano horizontal H lo llamaremos Proyeccin horizontal del punto a y la distancia que existe entre el punto a y su proyeccin en el plano horizontal se llamara cota del punto; si luego se traza un plano perpendicular al plano H al cual se le llamara Plano frontal de proyeccin dndole el nombre de F; tambin podemos encontrar la proyeccin del punto a sobre este plano, y entonces lo llamaremos Proyeccin frontal del punto a, y a la distancia que existe entre el punto a y su proyeccin frontal se le llamara alejamiento del punto. (Ver figura 2)

-Luego interceptando los planos, se interceptaran en la recta H-F. (Ver figura 3)

Propiedad Fundamental-Si de las proyecciones horizontal y frontal (aHy aF respectivamente) de un punto en el espacio se traza perpendiculares a la recta H-F de interseccin, estas concurrirn en un solo punto W. (Ver figura 4)

Depurado del Punto-El depurado del punto consiste en la transformacin de un sistema espacial (tres dimensiones) en otro sistema plano (dos dimensiones) siendo esto lo ms importante en la geometra descriptiva; esto se realiza de la siguiente manera:Siendo los planos de proyeccin horizontal (H) y frontal (F) que se interceptan segn la recta H-F. (Ver figura 5)

-Al hacer girar el plano horizontal de proyeccin un ngulo de 900 en sentido anti horario alrededor del eje H-F se ve que el plano horizontal y el plano frontal van a coincidir en la posicin final, es decir, que ambas van a quedar en un solo plano (dos dimensiones). De esta manera, el sistema espacial queda trasformado en otro sistema plano, pudindose representar todo el conjunto en una hoja de papel. (Ver figura 6)

-Al haber realizado el procedimiento anterior se observa lo siguiente: La proyeccin frontal del punto a del espacio no ha sufrido variaciones. La proyeccin horizontal del punto a del espacio ha girado un ngulo anti horario de 900. Al ver el grafico de la figura 5 se observa que la recta aH w es perpendicular al eje H-F, al realizarse el giro de 900 sigue mantenindose perpendicular al mismo eje, de manera que en la posicin final las proyecciones horizontal y frontal del punto a van a quedar ubicados en una misma recta perpendicular al eje H-F. (Ver figura 7)

-A esta representacin realizada en la parte superior es lo que en geometra descriptiva se llama depurado del punto. Adems en el depurado de un punto del espacio, la cota est representada por la distancia existente entre la proyeccin frontal y el eje H-F, mientras que el alejamiento est representado por la distancia existente entre la proyeccin horizontal y el eje H-F.

Plano Lateral de Proyeccin -Para representar rectas en posiciones particulares, no ser suficiente los planos horizontal y frontal, sino tambin un tercer plano llamado Plano Lateral de Proyeccin o Plano de Perfil. (Ver figura 8)

-Para obtener la proyeccin del punto al plano de perfil bastara con trazar del punto en el espacio una perpendicular al plano, esta perpendicular ser llamada apartamiento.-El plano lateral es girado 900 en sentido horario alrededor del eje F-P. (Ver figura 9)

-Al girar el plano lateral 900, la proyeccin lateral del punto a tambin gira 900. (Ver figura 10)

-Con el depurado del punto podemos observar que la distancia de la proyeccin lateral aP del punto al eje F-P es igual al alejamiento.-Podemos encontrar la proyeccin lateral con esta regla: Por la proyeccin frontal del punto se traza una paralela al eje H-F. Sobre la paralela trazada y a la derecha del eje F-P se mide un segmento igual al alejamiento cuyo extremo definir la proyeccin lateral buscada.(Ver figura 11)

Representacin Simplificada de los Ejes de Proyeccin -Ya que los planos de proyeccin (H, F, P) son ilimitados en cualquiera de sus sentidos, para la representacin en el depurado se va a considerar los extremos de los ejes de proyeccin limitados.-La representacin en el depurado se har solo con los ejes de interseccin que se encuentren perpendiculares entre s. (Ver figura 11-a)

Condicin de existencia del Punto en el Espacio-Para la existencia del punto en el espacio existe dos condiciones para que el depurado de un punto represente a tal en el espacio.Primera condicin: La proyeccin horizontal y frontal del punto se encuentre en una misma lnea de referencia que sea perpendicular al aje H-F. Segunda condicin: La proyeccin frontal y lateral o de perfil del punto se encuentre en una misma lnea paralela al eje H-F. (Ver figura 11-b)

Ubicacin del punto del espacio en el depurado-Para ubicar un punto del espacio en el depurado este quedara establecido por el valor de sus coordenadas, definidas de la siguiente manera: Cota: Es la distancia del punto en el espacio al plano horizontal. Alejamiento: Es la distancia del punto del espacio al plano frontal. Apartamiento: Es la distancia del punto del espacio al plano lateral.-La forma de enunciar la ubicacin de un punto en el espacio es:A (COTA, ALEJAMIENTO, APARTAMIENTO)-Enunciado de la siguiente manera A ( , , )-Representar el punto A en el depurado. (Ver figura 12)

Ubicacin de un punto en comparacin con otro punto fijo-Es posible ubicar un punto dando magnitudes comparativas con las de otro punto que consideraremos como fijo, siguiendo esto entonces un punto S podr hallarse en comparacin con otro fijo a en la siguiente manera: Al norte o al sur del punto a si el alejamiento es mayor o menor que el del punto fijo dado. Al oeste o al este del punto a si su apartamiento es mayor o menor que el del punto fijo dado. Arriba o debajo del punto a si su cota es mayor o menor que el del punto fijo dado.

LA RECTARepresentacin de una Recta.Para representarla es suficiente tomar dos puntos en el espacio y unirlos para determinar un segmento representativo de la recta.Depurado de una Recta.Si tomamos los puntos del espacio m y n dados por sus respectivas proyecciones horizontales y frontales.Al unir las proyecciones horizontales aH y bH de los dos puntos, determinamos la proyeccin horizontal de la recta que se designa por aH y bH.De la misma manera, al unir las proyecciones frontales de los dos puntos determinaremos la proyeccin frontal de la recta y se designa como aF y bF (figura).As, obtenemos las proyecciones de la recta ab: aHbHy aF y bF.Figura 1.

Propiedad Fundamental.Si un punto cualquiera pertenece a una recta dada, sus proyecciones horizontal, frontal y lateral deben encontrarse obligatoriamente en las respectivas proyecciones de la recta.Por ejemplo:Si tomamos un punto Z que pertenece a la recta ab debe cumplirse los siguientes requisitos:zH debe encontrarse en la proyeccin aHbH.zF debe encontrarse en la proyeccin aFbF.zP debe encontrarse en la proyeccin aPbP.Si solo una de las condiciones anteriores no se cumple, el punto en cuestin no pertenece a la recta, por ejemplo (ver figura.). En la recta ab el punto Z pertenece a la recta y el punto w no pertenece.

Localizacin de los puntos sobre Rectas.Primer caso:Si en una recta ab, conocemos la proyeccin horizontal XH de un punto de ella, Cmo determinar su proyeccin frontal?

Procedimiento.Por la proyeccin horizontal HH del punto, llevaremos una referencia hasta cortar a la proyeccin frontal de la recta dada; en este lugar quedara ubicado XF.Ahora para encontrar la proyeccin XP, bastara con hallar la proyeccin lateral de la recta y en seguida por XF llevar una paralela al eje H-F; y en donde corta a la proyeccin lateral de la recta, se hallara XP. (Ver figura.)

Segundo caso.Si en una recta mn, conocemos la proyeccin frontal KF de un punto de ella Cmo hallar su proyeccin horizontal?

Procedimiento:Por la proyeccin frontal KF se lleva una referencia hasta cortar a la proyeccin horizontal de la recta, en este lugar se halla KH(ver figura).

Tercer caso.Tenemos una recta de perfil ab y en esta la proyeccin horizontal CH de uno de los puntos. LOCALIZAR SU PROYECCIN FRONTAL.

Procedimiento.En este caso tenemos primero que encontrar la PROYECCIN LATERAL de la recta, para luego localizar la proyeccin lateral del punto buscado, finalmente trazamos la proyeccin frontal que deseamos hallar.- Hallamos primero AP BP.- Se encuentra CP(CP se debe hallar en AP BP ).-Con una paralela al eje H-F hasta cortar a AFBF, se determina la proyeccin CF.Corolario.Cuando se trata de la recta de perfil para encontrar la proyeccin de un punto cualquiera de una recta, se necesita obligatoriamente hallar la proyeccin lateral del punto buscado.

Posiciones principales o relativas de rectas en el espacio.Existen infinitas posiciones que puede obtener una recta en el espacio, referidos a los planos de proyeccin, hay algunas que las identifican particularmente debido a que sus proyecciones tienen caractersticas especiales.A.- Rectas paralelas a los planos de proyeccin: rectas de verdadera magnitud.B.- Rectas perpendiculares a los planos de proyeccin: rectas de punta.

A.- Rectas paralelas a los planos de proyeccin. (Rectas de verdadera magnitud).1.- RECTA HORIZONTAL.Es la recta paralela al plano horizontal de proyeccin. Todos sus puntos tienen igual cotas. Su proyeccin frontal es paralela al eje H-F. Su proyeccin horizontal se ve en verdadera magnitud.

Figura en visin espacial y depurado.

2.- RECTA FRONTAL.Es la recta que es paralela al plano frontal de proyeccin. Todos sus puntos tienen igual alejamientos.Sus caractersticas en el depurado son las siguientes: Su proyeccin horizontal es paralela al eje H-F. Su proyeccin frontal se ve en verdadera magnitud.

Figuraen visin espacial y depurado.

3.- RECTA DE PERFIL.Es aquella recta que se encuentra paralela al plano lateral de proyeccin. Todos los puntos de dicha recta tienen igual apartamiento.Sus caractersticas en el depurado son las siguientes: Su proyeccin horizontal y frontal es perpendicular al eje H-F. Su proyeccin lateral (perfil) se ve en verdadera magnitud (Vm) (Ver figura 3 y 3.a )

Figura en visin espacial y depurado.

B. RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIN

RECTAS DE PUNTA

1.- RECTA DE PUNTA VERTICAL.Es la recta perpendicular al plano horizontal de proyeccin.Sus caractersticas en el depurado son las siguientes: Su proyeccin horizontal es un punto. Su proyeccin frontal es perpendicular al eje H-F.

Figura en visin espacial y depurado.

2.-RECTAS DE PUNTA NORMAL.Es la recta perpendicular al plano frontal de proyeccin. Sus caractersticas en el depurado son: Su proyeccin frontal es un punto. Su proyeccin horizontal es perpendicular al eje H-F.

Figura en visin espacial y depurado.

3.- RECTA DE PUNTA DE PERFIL.Es la recta paralela al eje H-F y perpendicular al plano lateral de proyeccin. Sus caractersticas en el depurado son: Su proyeccin horizontal y frontal son paralelas al eje H-F. Su proyeccin lateral es un punto.

Figura en visin espacial y depurado.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO.En el espacio, dos rectas cualesquiera pueden ocupar posiciones que se relacionan entre s. Segn esto, dos rectas del espacio ab y cd pueden tener las siguientes posiciones relativas.1.-RECTAS PARALELAS.Dos rectas son paralelas cuando la distancia entre ellas es constante en un mismo plano. Si las rectas ab y cd son paralelas entre s, tendr las siguientes caractersticas: (aHbH// cHdH ) paralelismo simultaneo. (aFbF // cFdF ) paralelismo simultaneo. (aPbP // cPdP ) paralelismo simultaneo.Figura en visin espacial y depurado.

2.-RECTAS QUE SE CRUZAN.Son aquellas que no siendo paralelas tampoco tienen un punto en comn. Para observar que dos rectas en el espacio se cruzan se debe tener en cuenta lo siguiente:a. Donde las proyecciones horizontales de las rectas se corten, se encontrara una proyeccin horizontal del PUNTO APARENTE DE CORTE.

b. Donde las proyecciones frontales se corten, se hallara la proyeccin frontal del punto aparente de corte.

c. Donde las proyecciones laterales de las rectas se corten, se encontrara la proyeccin de perfil del punto aparente de corte.

Para definir un punto en el espacio debe cumplirse los siguientes principios: La proyeccin horizontal y frontal del punto, debe encontrarse en una misma lnea de referencia perpendicular al eje H-F.

La proyeccin frontal y de perfil del punto, debe encontrarse en una misma lnea de referencia paralela al eje H-F.

APLICACIN.Se tiene las rectas mn y st . Hacer el anlisis del cruzamiento de ellasVer Figura.

CONCLUSIN:Al ver que WH y WF no se encuentran en una misma referencia perpendicular al eje H-F. Las rectas mn y st se cruzan pero no se cortan en el espacio.

3.-RECTAS QUE SE CORTAN.Para que dos rectas se corten deben tener un punto en comn, el cual debe cumplir los principios de existencia del punto del espacio.APLICACIN:Dada la recta ab y cd, efectuar el anlisis del punto de corte entre ellas.Ver Figura.

CONCLUSIN:Como IH e IF se encuentran en una misma lnea de referencia perpendicular al eje H-F las rectas se cortan.4.- RECTAS PERPENDICULARES.Para rectas perpendiculares se tienen en cuenta los siguientes principios.PRIMER PRINCIPIO.Si dos rectas cualquiera ab y cd son perpendiculares entre s, ninguna de ellas tenga posiciones particulares a los planos de proyeccin, entonces sus proyecciones en los planos de proyeccin, tambin sern cualquiera.SEGUNDO PRINCIPIO.Si dos rectas ab y cd son perpendiculares entre s de las cuales una de ellas es paralela a unos de los planos de proyeccin, las proyecciones de las rectas en ese plano, tambin son perpendiculares.De acuerdo a los principios mencionados graficaremos rectas perpendiculares en los tres planos de proyeccin: a.- Si la recta ab es perpendicular a la recta cd ; y la recta ab es paralela al plano horizontal de proyeccin, entonces se tendr aHbHcHdH.

b.- Si la recta mn es perpendicular a la recta st; y la recta mn es paralela al plano frontal de proyeccin, entonces se tendr mFnF sFtF.

c.- Si la recta VZ es perpendicular a la recta RX y la recta VZ es paralela al plano lateral de proyeccin, entonces se tendr VPZP RP XP.

EL PLANO1. DETERMINACIN DE UN PLANO.-De las tantas formas que existen para determinar un plano nosotros nos basaremos en las siguientes formas:a. Por tres puntos no situados en lnea recta:El plano se representa por los puntos m, n y s que no estas situados en lnea recta.

b. Por dos rectas que se cortan: En esta figura hemos representado el plano por 2 rectas que se cortan las rectas ab y cd que se cortan en el punto t.

c. Por dos rectas paralelas:El plano se representa en las dos rectas paralelas las cuales son vz y uw.

d. Por una figura geomtrica cualquiera y plano: Cualquier figura plana ya sea un: cuadrado, triangulo, trapecio, paralelogramo, etc. Puede representarse en un plano, teniendo en cuenta que un polgono plano tambin se puede representar en un plano, teniendo cuidado y comprobando que todos sus elementos se hallan coplanares.

2. DEPURADO CLSICO DE UN PLANO:

Para mayor efecto de nuestros estudios, siempre representaremos un plano mediante un tringulo cualquiera.Sabiendo que un plano es ilimitado, hay que saber que el tringulo representado en el plano no es el nico, ya que podemos representar infinitos tringulos de acuerdo al plano.En la fig. 5 representamos el plano en forma de tringulo abc, y que en todos los casos leeremos: El plano abc.

VISTAS PARTICULARES DEL PLANO EN EL ESPACIOPor lo general un plano en el espacio puede tener posiciones arbitrarias por lo tanto puede representarse de infinitas formas, pero referidos, a los planos de proyeccin pueden adoptar formas favorables para la solucin de todo tipo de problemas que se planteen. Segn esto, los planos pueden adoptar las siguientes posiciones o vistas particulares: 1. Planos perpendiculares a los planos de proyeccin: planos de canto.2. Planos paralelos a los planos de proyeccin: planos de verdadera magnitud.

1. PLANOS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIN: PLANOS DE CANTO:- Otros nombres que se le otorga son: Planos con vista lineal, planos normales, planos inclinados, planos auxiliares, etc. - Los planos perpendiculares a los planos de proyeccin, pueden ser los siguientes:

1.1. PLANO DE CANTO VERTICAL.-Sus caractersticas son las siguientes: Su proyeccin horizontal es una lnea. Cualquier punto, recta o figura que este contenido en este plano, tiene su proyeccin horizontal confundida con la proyeccin horizontal del plano de canto vertical. Sus proyecciones frontal y lateral son arbitrarias.

1.2. PLANO DE CANTO NORMAL: Es el plano que se encuentra perpendicular al plano frontal de proyeccin. Fig. 2 y 2-a Sus caractersticas son las siguientes: Su proyeccin frontal es una lnea. Cualquier punto, recta o figura contenida en este tipo de plano, tiene su proyeccin frontal confundida con la proyeccin frontal del plano. Sus proyecciones horizontal y lateral son arbitrarios.

1.3. PLANO DE CANTO LATERAL (paralelo al eje H-F).- otro nombre que se le otorga es PLANO PARALELO AL EJE H-F, se encuentra perpendicular al plano lateral de proyeccin. Fig. 3 y 3-a.Sus caractersticas son: Su proyeccin lateral o de perfil es una lnea. Todas las figuras contenidas en el, tienen su proyeccin de perfil confundidas con las del plano. Sus proyecciones horizontal y frontal son arbitrarias.

2.- PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS DE PROYECCIN: PLANOS DE VERDADERA MAGNITUD:-Los planos paralelos a los planos de proyeccin son:2.1-PLANO HORIZONTAL: Son aquellos planos paralelos al plano horizontal de proyeccin, cuyas caractersticas en el depurado son las siguientes:-Su proyeccin frontal es una lnea paralela al eje H-F.-Su proyeccin horizontal se observa en verdadera magnitud.-Su proyeccin lateral es una recta paralela al eje H-F.

2.2- PLANO FRONTAL: Es el plano paralelo al plano frontal de proyeccin, cuyas caractersticas en el depurado son:-Su proyeccin horizontal es una lnea paralela al eje H-F.-Su proyeccin frontal se ve en verdadera magnitud.-Su proyeccin lateral es una recta perpendicular al eje H-F.

2.3-PLANO LATERAL O DE PERFIL: Es el plano paralelo al plano lateral de proyeccin, cuyas caractersticas en el depurado son las siguientes:-Su proyeccin horizontal y frontal se encuentran en una misma lnea perpendicular al eje H-F.-Su proyeccin lateral se ve en verdadera magnitud.

RECTAS PRINCIPALES O RECTAS NOTABLES-Las rectas principales o notables del plano son aquellas que tienen posiciones especiales con sus formas propias dentro del depurado. Consideraremos las siguientes:1.-HORIZONTALES DEL PLANO: -Es la recta que pertenece al plano y es paralela al plano horizontal de proyeccin. Un plano tiene infinidad de rectas horizontales-Determinacin: Para encontrar una recta horizontal del plano se procede de la siguiente forma:a. Se traza la proyeccin frontal de la horizontal, paralela al eje H-F.b. Considerando que esta horizontal pertenece al plano, determinamos su proyeccin horizontal aplicando el primer problema fundamental del plano.-Aplicacin: Encontrar las proyecciones de una recta horizontal al plano abc.

-Procedimiento: Consideremos que la recta horizontal es mn. Trazamos mFnF paralela al eje H-F. Encontramos mHnH aplicando el procedimiento general.

2.-FRONTALES DEL PLANO: - Es la recta que perteneciendo a l, es paralela al plano frontal de proyeccin.Un plano cualquiera tiene infinidad de frontales.-Determinacin: Para encontrar la recta frontal de un plano, procedemos de la siguiente forma:a. Trazamos la proyeccin horizontal de la recta frontal buscada paralela a H-F.b. Encontramos su proyeccin frontal aplicando el primer problema fundamental del plano.-Aplicacin: Determinar las proyecciones de una recta frontal del plano mns.

-Procedimiento: Llamemos a la recta frontal buscada VZ. Trazamos vHzH paralela al eje H-F. Encontramos vFzF con ayuda del procedimiento general.

3.-RECTAS DE PERFIL DE UN PLANO:

-Es la recta que es paralela al plano lateral o de perfil de proyeccin. Un plano tiene infinidad de rectas de perfil.

-Determinacin: Tazamos las proyecciones horizontales y frontal de la recta buscada, de modo que sean perpendicular al eje H-F. Como para que la recta quede definida, se necesitan dos puntos de ella, los tomamos donde ella corte a las otras dos rectas cualquiera del plano.

-Aplicacin: Hallar las proyecciones de una recta de perfil st del plano abc.

4.- RECTAS DE MXIMA PENDIENTE DE UN PLANO: -Si dos rectas se cortan, la recta de uno de ellos que forma el ngulo mximo con el otro, es perpendicular a la interseccin de ambos planos.-Tomemos los planos P y Q, cuya interseccin es la recta mn. Fig. 10-Tomemos en el plano P un punto cualquiera tal como a y tracemos desde este punto el segmento perpendicular ab a la interseccin mn y que se encuentre en P.-La proyeccin de ab en el plano Q es el segmento bc.-Sabemos que la proyeccin bc es tambin perpendicular a la interseccin mn (teorema de las tres perpendiculares-Tomemos ahora un punto cualquiera d en la recta mn y lo unimos con los puntos a y c. El segmento dc viene a ser la proyeccin de ad en el plano Q.-Tenemos que demostrar que abc>adca. Por perpendicularidad y oblicua: cbadc.

-Lnea de mxima pendiente en un plano: -Puesto que la recta ab del plano P forma el ngulo mximo con el plano Q entre todas las rectas que parten del punto a y cortan la interseccin mn de los dos planos, esta lnea, que es una de las pendientes del plano P, no puede confundirse en ningn momento con alguna otra, y se le designa con el nombre de la Mxima Pendiente del Plano.-Por lo tanto, definiremos a la recta de mxima pendiente de un plano P con respecto a otro plano Q, a la recta que es perpendicular a la interseccin de los dos.-Para obtener utilidades en el transcurso del estudio de las propiedades de un plano, referiremos el de las rectas de mxima pendiente en cuanto a los tres planos de proyeccin: horizontal, frontal y lateral.-Esto significa que existirn las siguientes:4.a: De mxima pendiente respecto al plano horizontal.4.b: De mxima pendiente respecto al plano frontal.4.c: De mxima pendiente respecto al plano lateral.4-a: RECTA DE MXIMA PENDIENTE RESPECTO AL PLANO HORIZONTAL

-Si consideramos el plano P cuya interseccin con el plano horizontal de proyeccin H es la recta i.-Adems sea la recta mn la recta de mxima pendiente, respecto al plano horizontal.-Por definicin sabemos que recta mn recta i.-La recta i tiene que ser paralela a todas las rectas horizontales del plano P.-Por lo tanto, la recta mn deber ser entonces, perpendicular a todas las horizontales del plano P.-Si tomamos una horizontal st del plano y como sabemos que ella es perpendicular a la recta mn, deber cumplirse: mHnHsHtH. (Propiedad de las rectas perpendiculares cuando una de ellas es paralela al plano horizontal de proyeccin).-Bajo esta caracterstica fundamental, es que se determina las proyecciones de cualquier recta de mxima pendiente con respecto al plano horizontal de proyeccin.-Si aplicamos lo dicho anteriormente Cmo se podra determinar las proyecciones de una recta de mxima pendiente mn, con respecto al plano horizontal de proyeccin, de un plano abc?

-Procedemos trazando la recta horizontal del plano abc: recta at.-Luego definimos la proyeccin horizontal de la recta buscada con la condicin de: mHnHaHtH.-Como sabemos que la recta mn pertenece al plano abc, determinamos su proyeccin frontal mFnF aplicando el primer problema fundamental del plano que es la localizacin de rectas.4-b: RECTA DE MXIMA PENDIENTE RESPECTO AL PLANO FRONTAL-Sea el plano P que intercepta al plano frontal de proyeccin segn la recta i.-Si tomamos la recta vz como la mxima pendiente con respecto al plano frontal del plano P.-Sabemos tambin por definicin que la recta vzrecta i.-Adems, la recta i es paralela a todas las rectas frontales del plano P. De esto podemos deducir entonces que la recta de mxima pendiente con respecto al plano frontal vz es perpendicular a todas las rectas frontales del plano P.-En consecuencia, si tenemos una frontal del plano xy y esta es perpendicular a la recta vz, se debe cumplir que vFzFxFyF que es la propiedad de dos rectas perpendiculares, cuando una de ellas es paralela al plano frontal.-Con la caracterstica anterior es que se determina las proyecciones de cualquier recta de mxima pendiente con respecto al plano frontal de proyeccin.Fig.

-Si aplicamos lo dicho anteriormente teniendo un plano abc Cmo determinar las proyecciones de una recta de mxima pendiente vz con respecto al plano frontal de proyeccin.

-Procedemos primero trazando la recta cw frontal del plano que pase por el punto c.-Definimos la proyeccin frontal de la recta buscada con la condicin bsica de vFzFcFwF.-La recta vz pertenece al plano abc, se determina la proyeccin horizontal vHzH aplicando el problema fundamental del plano que es la localizacin de rectas.

4-c: RECTA DE MXIMA PENDIENTE RESPECTO AL PLANO LATERAL DE PROYECCIN.

-En forma anloga a lo ya dicho anteriormente establecemos, que la recta de mxima pendiente de un plano P con respecto al plano lateral de proyeccin, es perpendicular a todas las rectas de perfil del plano.-Si consideramos la recta ab como la mxima pendiente con relacin al plano lateral de proyeccin del plano mns. Sea zw una recta perfil cualquiera de dicho plano. -Sabemos por definicin que ab es perpendicular a la recta zw, pero como la recta zw es paralela al plano de perfil, se cumple que aPbPzPwP.

-

Procedemos primeramente a determinar la proyeccin de perfil de una recta cualquiera de perfil del plano, o sea en nuestro caso hallamos zPwP.-En esta proyeccin trazamos apbpzpwp. La determinacin de las proyecciones horizontales y frontal de la recta buscada, se efecta aplicando las propiedades de las rectas de un plano.