Geo en Az en Çok Alan

7/25/2019 Geo en Az en Çok Alan

http://slidepdf.com/reader/full/geo-en-az-en-cok-alan 1/24

1. Kenarları 1, 4, 7 ve 8 olan dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? (18)

Çözüm:4 ile 7 ardıık iki kenar ol!"n# $e%il!e 4 ile 7 ara!ında 1 var demektir# &ekildeki gibi A A' DB

ikizkenar 'am"%"n" k"rar!ak 4 ile 7 nin ardıık old"%" A' BCD dörtgenini elde ederiz# ldeedilen dörtgenin alanı öneki'le a'nıdır#

Kenarları 4 ve 7 olan üçgenin alanı en çok4×7

*=14 , kenarları 1 ve 8 olan üçgenin alanı en

çok1×8

* =4 , dörtgenin alanı en çok 144=18 olabilir# 7

*4

*=1

*8

* old"%" için de b"

artı !a%la'an bir dörtgen vardır#

2. Kenarları *, +, 4 ve olan dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? ( * +- )

Çözüm:Kenarları belirli dörtgenler ara!ından kiriler dörtgeni en bü'ük alana !a.i/tir# Kiriler

dörtgeninde i!e p=abcd

* olmak üzere0 Alan= p−a p−b p−c p−d dir# "

d"r"mda p=7 ve Alan= *⋅+⋅4⋅=* +- ol"r#

3. Çevre!i 1* olan dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? (2)

Çözüm:3er ola!ı üçgen için en bü'ük alan, dörtgen kiriler dörtgeni iken elde edilir# p=, AO≥GO

p−a p−b p−c p−d 4

≥4 p−a p−b p−c p−d

4/−*/

4=+≥ A⇒2≥ A

elde edilir# " d"r"m i!e dörtgen kare iken !a%lanır#



4. ABCD dörtgeninde ∣ AB∣∣ BD∣∣ DC ∣= i!e dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? ( 2

*)

Çözüm:

∣ AB∣=a ,∣ BD∣= x ,∣ DC ∣=c ol!"n# " d"r"mda ABD nin alanı en çok ax*

, BDC nin alanı

en çokcx

*, dörtgenin alanı en çok

axcx

* ol"r# " da ∠ ABD 5∠ BDC =2-° iken

!a%lanır# AO≥GO ,ac x

*=+≥ ac x= axcx⇒

2

*≥

axcx

* ol"r# itlik x=ac=+ iken !a%lanır#

5. 6arıça/ı olan çemberin içine çizilebileek en bü'ük çevreli üçgenin çevre!i kaçtır? ( 18 + )

Çözüm: A .areketli, BC kirii de !abit ol!"n# A nın açıorta'ına B ve C den dikmelerin a'akları

X ve Y ol!"n# AB=

BX

!in A

*

, AC =

CY

!in A

*

old"%"ndan AB AC =

1

!in A

*

⋅ BX CY ol"r#

BX BY nin en bü'ük de%eri i!e BC dir# " da ABC ikizkenar old"%"nda !a%lanır#

$emek ki BC 'i kenar kab"l eden üçgenler ara!ında en bü'ük çevreli olan BC tabanlıikizkenar üçgendir# &imdi çemberdeki ikizkenar üçgenler ara!ından en bü'ük çevreli olanı

b"laa%ız#

6. 6arıça/ı olan çemberin içine çizilen üçgenin alanı en çok kaç olabilir? ( *7 + )

Çözüm:Kenarlardan birini !abit t"tt"%"m"zda kenara ait 'ük!ekli%i en bü'ük olan en bü'ük alanlıolaaktır# " da 'ük!eklik çemberin merkezinden geçti%i, 'ani üçgen ikizkenar old"%" zamanol"r# &imdi de çemberdeki ikizkenar üçgenler ara!ından en bü'ük alana !a.i/ olanı b"laa%ız#

7. 6arıça/ı olan çemberin içine çizilebileek en bü'ük alanlı dik üçgenin alanı kaçtır? (+)



Çözüm:$ik üçgenlerin .e/!inin .i/otenü!ü 1* dir# n bü'ük 'ük!ekli%e !a.i/ dik üçgenin alanı en

bü'ük olaaktır# " d"r"mda merkezden geçen 'ük!eklik en bü'üktür# " d"r"mda üçgenikizkenar dik üçgen ol"r#

8. çte%et çemberinin 'arıça/ı + olan üçgenin alanı en az kaç olabilir? ( *7 + )

Çözüm:

u=abc

*, AO≥GO

u−au−b u−c +

=u

+≥

+ u−a u−b u−c

u+

*7≥u−a u−b u−c⇒u4≥*7u u−a u−b u−c =*7 A*=*7u*r *

u

*

≥*7r

*

⇒u

*

r

*

≥*7r

4

⇒ur ≥+r

* +=*7

+" d"r"mda üçgen ekenar ol"r#

9. çte%et çemberinin 'arıça/ı + olan üçgenin çevre!i en az kaç olabilir? ( 18 + )

Çözüm:

u=abc

*, AO≥GO

u−au−b u−c

+=

u

+≥

+ u−a u−b u−c

u+

*7≥u−a u−b u−c⇒u4≥*7u u−a u−b u−c =*7 A*=*7u*r *

u*≥*7r

*⇒u≥+r +=2 +⇒*"=18 +itlik üçgen ekenarken !a%lanır#

10. çte%et çemberinin 'arıça/ı 1 ve kenarları tam!a'ı olan kaç arklı üçgen vardır? (1)

11. Kenarları , 7 ve 8 olan ABC üçgenin içeri!inde alınan P nokta!ı için ∣ AP ∣∣ BP ∣∣CP ∣

en az kaç olabilir? ( 1*2 )

Çözüm:∠ AFC 5∠ BFC 5∠ AFB=1*-° ol!"n# A dan geçen AF 'e dik olan do%r"'", B den

geçen BF dik olan do%r"'", C den geçen CF 'e dik olan do%r"'" çizelim# " do%r"larınol"t"rd"%" üçgen ekenar ol"r#



AF BF CF to/lamı ekenar üçgenin 'ük!ekli%ine eittir# P , ABC içinde bir noktaol!"n# P nin A' B' C ' ekenar üçgeninin kenarlarına "zaklıkları to/lamı 'ine ekenarüçgenin 'ük!ekli%i 'a/aaktır# $i%er taratan A P ' , P nin B' C ' "zaklı%ından bü'ükolaa%ından, AP BP CP to/lamı ekenar üçgenin 'ük!ekli%inden bü'ük olaaktır# "d"r"mda AP BP CP to/lamını en küçük 'a/an nokta F 'ani 9ermat nokta!ıdır# ö'le

bir nokta en bü'ük açı!ı 1*-° den küçük olan üçgende vardır#

P nokta!ı üçgenin 9ermat nokta!ıdır# " nokta için ∠ APC 5∠ BPC 5∠ APB=1*-° dir#

,7,8 üçgeninde ile 8 ara!ındaki açı *8

*−*⋅⋅8⋅)o!α=7

*⇒α=-° çıkar# 8 olan kenarın

üzerine üçgenin dıına do%r" ADC ekenar üçgenini k"rd"%"m"zda B , P , D do%r"!al ve A , D ,C , P çember!el olaak# tolem' nin özel .alinden AP PC = PD old"%"ndan BP AP PC = BD olaaktır# ;o!inü! teoreminden

*8

*−*⋅⋅8⋅)o!1*-<51*2= BD

2 çıkar#



12. Kenarları +, ve 8 olan ABC üçgenin düzleminde alınan P nokta!ı için ∣ AP ∣∣ BP ∣∣CP ∣ en az kaç olabilir? (2)

Çözüm:=çgenin en bü'ük açı!ı 1*-° ol!a'dı# +

*

*−*⋅+⋅⋅)o!1*-<5+8

* ol"rd"# " d"r"mda

üçgenin en bü'ük açı!ı 1*-° den azladır#

ABP 'i !aat 'önünün ter!i 'önünde A' , B ,C do%r"!al olaak ekilde döndürelim#∠ A ' B P ' 5∠ ABP ⇒- °≥∠ A' BA5∠ PB { P ' ¿ ve BP { P ' ¿ te/e açı!ı -° den küçük olan

bir ikizkenar üçgen old"%"ndan P P ' ≤ PB= P ' B ol"r# AP BP CP = A' P B P ' PC ≥ A' P P ' P PC ≥ A' C = A' B BC = AB AC ol"r#

" d"r"mda düzlemde ∣ AP ∣∣ BP ∣∣CP ∣ 'i en küçük 'a/an nokta en bü'ük açı'a !a.i/köedir# " d"r"mda eva/ +-=2 ol"r#

13. ir üçgende 'ük!ekliklerden iki!i ve 8 i!e di%er 'ük!ekli%in alabilee%i kaç tam!a'ı de%ervardır? (*-)

Çözüm:

$i%er 'ük!ekli%e h di'elim# =çgenin kenarları ara!ındaki oran a : b : c=48 :> :8>

olaaktır# =çgen eit!izli%inden 488>−>=*>⇒ x*4 ve 488>>=14 x⇒ x*4

7

ol"r# !tenen tam !a'ılar {4,, ,*+}

14. ir ABC üçgeninde ∠ BAC =-° ol"/ [ BC ] kenarı üzerindeki D nokta!ının A nokta!ına "zaklı%ı dır# E ve F , !ıra!ı'la [ AC ] ve [ AB ] kenarları üzerindeki .areketlinoktalar olmak üzere0 DEF üçgeninin çevre!inin alabilee%i en küçük de%er nedir? ( + )

Çözüm: D nin kenarlara göre !imetri%ini alalım# ∣ D' D' ' ∣= + olaaktır# DEF üçgeninin çevre!i∣ D' F ∣∣ FE ∣∣ E D' ' ∣ 'e eit old"%"ndan, b" to/lam en az ∣ D' D' ' ∣= + ol"r#



15. Kenarları , 7 ve 8 olan üçgenin içine, .er bir köe!i üçgenin arklı bir kenarının üzerinde

olaak ekilde çizilen üçgenin çevre!i en az kaç olabilir? (

-

7 )Çözüm:,7,8 üçgeninde ile 8 ara!ındaki açı

*8

*−*⋅⋅8⋅)o!α=7

*⇒α=-° çıkar# " köe'e A

ve [ BC ] üzerindeki .areketli nokta'a D di'elim# D nin kenarlara göre !imetri%ini alalım#∣ D' D' ' ∣=∣ AD∣ + olaaktır#

DEF üçgeninin çevre!i ∣ D' F ∣∣ FE ∣∣ E D' ' ∣ 'e eit old"%"ndan, b" to/lam en az∣ AD∣ + olaaktır# ∣ AD∣ en küçük old"%"nda b" üçgenin çevre!i en küçük ol"r# ∣ AD∣ enküçük de%erini 'ük!eklikken alır# " d"r"mda

Alan=1

*

⋅⋅8⋅!in-<51- +=∣ AD∣∣ BC ∣

*

⇒∣ AD∣=*- +

7

ve çizilebileek en küçük çevreli

üçgenin çevre!i*- +

7⋅ +=

-

7 ol"r#

16. Kenarları , 7 ve 8 olan üçgenin içinde alınan P nokta!ı ile üçgenin köelerini birletiren

do%r"lar kenarları D , E ve F ke!!in# DEF üçgenin alanı en çok kaç olabilir? ( +

*)

Çözüm:[ DEF ] i en bü'ük 'a/an P nokta!ının üçgenin a%ırlık merkezi old"%"n" gö!teree%iz# "

d"r"mda [ DEF ]= [ ABC ]4

=1- +

4=

+*



[ DEF ]=[ ABC ]−[ BDF ]−[ DCE ]−[ EAF ]

[ ABD][ ABC ]= xa⇒ [ ABD ]= x [ ABC ]a , [ BDF ][ ABD ]= c− z

c ⇒ [ BDF ]= c− z [ ABD ]c # enzer ekilde

[ DCE ]=a− x

ba[ ABC ] ve [ EAF ]=

b− z

bc[ ABC ] elde edilir# "radan

u= x

a , !=

b , "=

z

c olmaz üzere0

[ DEF ]=[ ABC ]1− x c− z ac

− a− x

ba −

z b− bc =[ ABC ] 1−u 1−" −! 1−u −" 1−!

çıkar# # =1−u 1−" −! 1−u−" 1−! =1−u 1−! 1−" u!" di'elim# " d"r"mda # 'ı mak!im"m 'a/ma'a çalıaa%ız# ;eva teoreminden

a− x x ⋅c− z

z ⋅b−

=1⇒

1u−1

⋅1!−1

⋅ 1"−1

=1⇒1−u 1−! 1−" =u!" çıkar# # 'ı

'eniden 'azar!ak # =*⋅1−u⋅1−! ⋅1−" =*u!" #

# *=4⋅u⋅1−u⋅!⋅1−! ⋅"⋅1−" ≤414+

= 1

1⇒ # ≤

1

4 çıkar# itlik u=!="=

1

* iken

!a%lanır# " da P nin ABC nin a%ırlık merkezi olma!ını gerektirir#

17.

6arıça/ı olan çemberin üzerinde A , B , C gibi üç arklı nokta alını'or# ABC üçgenininiçte%et çemberi üçgenin kenarlarına # , $ , % noktalarında dok"n"'or!a# #$% üçgeninin çevre!i en çok kaç olabilir? ( 2 + )

18. ABC üçgeninde ∣ AB∣=+ , ∣ BC ∣=4 ve ∣ AC ∣= tir# P ve & !ıra!ı'la [ AB ] ve [ BC ] kenarları üzerinde .areketli noktalar olmak üzere0 AC 'e P ve & dan inilen dikme

a'akları ve ( i!e, ∣P ∣∣ P&∣∣&(∣ to/lamının alabilee%i en küçük de%er kaçtır? ( *4

,

)Çözüm:[ AB ] üzerinde ∣ AP ∣=k olaak ekilde P alalım# P nin BC 'e göre !imetri%i P '

ol!"n# " d"r"mda ∣ A P ' ∣=−k olaaktır# P ' den AC 'e indirilen dikmenin a'a%ı ('



ol!"n# A P ' (' de +,4, üçgeni olaa%ından ∣ P ' (

' ∣=

*4

−4k ol"r# $ikkat eder!ek

∣ P ∣∣ P ' (

' ∣=*4

dir#

&imdi de biraz üçgen eit!izli%i k"llanalım# P&&(= P ' &&(≥ P

' (≥ P

' (

' =*4

−4k

"radan da P P&&(≥*4

elde edilir#

19. Kenarları ardıık tam!a'ılar olan ve çevre!i 1-- ü geçme'en kaç dar açılı üçgen vardır? (*2)

Çözüm:Kenarlar a , a1 ve a* ol!"n# aa1a*≤1-- ve a*a1*a**

eit!izlikleri !a%lanmalı# " d"r"mda +a≤27

+ çıkar#

20. ABC ekenar üçgeninin düzleminde PAB , PBC ve PCA üçgenlerini ikizkenar 'a/ankaç arklı P nokta!ı vardır? (1-)

Çözüm:



=ç üçgenin de te/e açı!ının P old"%"n" kab"l edelim# " d"r"mda ABC de kenar ortadikmelerin ke!iimi olan çevrel merkez i!tenen tek noktadır#

P te/e açı!ı olmadı%ı zaman A ve'a B den biri te/e açı!ı olaak A 'ı te/e açı!ı kab"ledelim# P , A merkezli ∣ AB∣ 'arıça/lı çember üzerinde olmak zor"ndadır# enzer ekildedi%er çemberleri çizelim# Kenar orta dikmeleri ile çemberlerin ke!iimi i!tenen noktalardır#" özellikte 1- nokta vardır# A ,B ,C noktaları üçgen belirtmedi%i için !a'ılmadı#

21. % ve ) gibi arklı iki noktada ke!ien iki çemberin ortak te%et do%r"!" çemberlere A ve B noktalarında dok"nmaktadır# AD ?? %) ?? BC olaak ekilde çemberler üzerinde D veC noktaları alını'or# ∣ AD∣∣ BC ∣=* ve ∣ AB∣=1* i!e ∣ %) ∣ kaçtır? ()

Çözüm: D ve C noktalarını !eçmeden öne di%er ortak te%eti çizelim# %) nin "zantı!ı AB 'i E de ke!!in# %) k"vvet ek!eni old"%"ndan ∣ AE ∣=∣ EB∣= olaaktır# enzer ekilde %) di%er te%eti de ortala'aaktır# " d"r"mda %) , de%me noktalarını birletirendo%r"lara /aralel olaaktır# 6ani CD di%er ortak te%ettir# " d"r"mda EF orta tabanı*

* =1+ olaaktır# ∣ E% ∣= x der!ek# E% ⋅ E) = AE

2 , x 1+− x =+ # "radan x=4

ve'a x=2 çıkaaktır# *>1+ olma!ı gerekti%inden



x=4 tek çözüm ve ∣ %) ∣= çıkaaktır#

22. ∣ PA∣=∣ PB∣ olan PAB ikizkenar üçgeninin [ AB ] kenarı üzerinde ∣ AC ∣=+ , ∣ BC ∣=1 olaak ekilde bir C nokta!ı alını'or# PA ve PB 'e A ve B noktalarında te%et olan

çember PC do%r"!"n" & nokta!ında ke!ti%ine göre∣ A&∣

∣&B∣ nedir? ( + )

Çözüm:

∠ BA& 5∠&BP =a , ∠ &AP 5∠ AB&=b , ∠ CPB= x , ∠ CPA= ol!"n# " d"r"mda

A&B de A&&B

=!inb!ina

olaaktır# ACP de AC CP

=!in !in ab # BCP de BC

CP =!in x!in ab #

@on b"ld"%"m"z iki eitli%i tara taraa oranlar!ak AC

BC =!in

!in x# B&P de

P&

B&=!ina

!in x# A&P de

&P

A&=!inb

!in # Aara taraa oranlar!ak

A&

B&=!in

!in x⋅!in a

!inb elde ederiz#

$a.a öneden A&

&B

=!inb

!ina

b"lm"t"k# " d"r"mda AC

BC

=!in

!in x

=

!inb

!in a

*

=

A&

B&

*

ol"r#

"radan eva/ + çıkar#



23. ∣ PA∣=∣ PB∣ olan PAB ikizkenar üçgeninin [ AB ] kenarı üzerinde bir C nokta!ı alını'or# PA ve PB 'e A ve B noktalarında te%et olan çember PC do%r"!"n" & nokta!ındake!i'or# A&B açı!ının açıorta'ı [ AB ] 'i D de ke!ti%ine göre, ∣ AD∣=1- , ∣ BC ∣=+ i!e

∣CD∣ nedir? (*)

Çözüm:∠ BA& 5∠&BP =a , ∠ &AP 5∠ AB&=b , ∠ CPB= x , ∠ CPA= ol!"n# " d"r"mda

A&B de A&

&B=!inb

!ina olaaktır# ACP de

AC

CP =!in

!in ab# BCP de

BC

CP =!in x

!in ab#

@on b"ld"%"m"z iki eitli%i tara taraa oranlar!ak AC

BC =!in

!in x# B&P de

P&

B&=!ina

!in x# A&P de

&P

A&=!inb

!in # Aara taraa oranlar!ak

A&

B&=!in

!in x⋅!in a

!inb elde ederiz#

$a.a öneden A&

&B=!inb

!ina b"lm"t"k# " d"r"mda

AC

BC =!in

!in x=!inb

!in a *

= A&

B& *

ol"r#

Bçıorta' teoreminden,

AC

BC = A&

B& *

= AD

BD *

⇒1- x

+=1- x+

*

$enklemin tek gerçel kökü * dir#

24. Çevrel çemberinin merkezi O olan ABC üçgeninde ∠ B−∠ C =+- ° ol"/ AO ile BC , D nokta!ında ke!imektedir# ABD ve ADC üçgenlerinin çevrel merkezleri E ve F i!e∣ EF ∣

∣ BC ∣ nedir? (

1

+)

Çözüm:

AE = z , AF = , EF = x , BC =a , AC =b , AB=c , ∠ ADB=α ol!"n#∠ AEB=*C , ∠ BAE =2-°−α çıkar# enzer ekilde ∠ ADC =18-°−α , ∠ AFC =*C ve

∠ FAC =2-°−α çıkar# " d"r"mda ∠ EAF 5∠ BAC ol"r#



ABD de c=*⋅ z ⋅!in α # ACD de b=*⋅ ⋅!in 18-°−α # "radan b:c= : z elde edilir#

KenarDBçıD Kenar dan EAF ≈ BAC ol"r# " d"r"mda x

a=

b=

1

*!inα çıkar#

∠ AOC =*∠ ABC ⇒∠ OAC =2-°−∠ ABC ⇒∠ ADB=α=2-<E∠C −∠ B çıkar#

∠ B−∠ C =+- ° i!e α=-° ve EF BC =

1 +

çıkar#

25. Çevrel çemberinin merkezi O olan ABC üçgeninde AO ile BC , D nokta!ındake!imektedir# ABD ve ADC üçgenlerinin çevrel merkezleri E ve F olmak üzere0∣ BC ∣=∣ EF ∣ + i!e ∣∠ B−∠ C ∣ nedir? (+-)

Çözüm: AE = z , AF = , EF = x , BC =a , AC =b , AB=c , ∠ ADB=α ol!"n#∠ AEB=*C , ∠ BAE =2-°−α çıkar# enzer ekilde ∠ ADC =18-°−α , ∠ AFC =*C ve∠ FAC =2-°−α çıkar# " d"r"mda ∠ EAF 5∠ BAC ol"r#

ABD de c=*⋅ z ⋅!in α # ACD de b=*⋅ ⋅!in 18-°−α # "radan b:c= : z elde edilir#

KenarDBçıD Kenar dan EAF ≈ BAC ol"r# " d"r"mda x

a=

b=

1

*!inα çıkar#

EF

BC =

1

+ i!e α=-° ve'a α=1*-° çıkar#

∠ AOC =*∠ ABC ⇒∠ OAC =2-°−∠ ABC ⇒∠ ADB=α=2-<E∠C −∠ B old"%"ndan∣∠ B−∠ C ∣=+-° elde edilir#



26. C 1 ve C

* çemberleri bir * nokta!ında dıtan te%ettir# * den geçen bir do%r", C 1

çemberini A , C * çemberini de B nokta!ında ke!i'or# C

1 çemberine A da te%et olan

do%r" C * 'i D ve E de ke!i'or# D∈[ AE ] , ∣*A∣=4 , ∣*B∣=+ old"%"na göre ∣ BE ∣

nedir? ( *1 )

Çözüm:

#*$ ortak iç te%etini çizelim# ∠ *A# 5∠ A*# 5∠ $*B5∠*EB old"%" için B* ⋅ BA= BE

2⇒ BE = +⋅7= *1 ol"r#

27. C 1 ve C

* çemberleri bir * nokta!ında dıtan te%ettir# * den geçen bir do%r", C 1

çemberini A , C * çemberini de B nokta!ında ke!i'or# C

1 çemberine A da te%et olan

do%r" C * 'i D ve E de ke!i'or# D∈[ AE ] , ∣*A∣=4 , ∣*B∣=+ old"%"na göre

∣ BE ∣

∣ BD∣

nedir? (1)Çözüm: #*$ ortak iç te%etini çizelim# ∠ *A# 5∠ A*# 5∠ $*B5∠*EB ve ∠ *BD5∠*ED old"%"için ∠ BDE 5∠ BADE∠ ABD5∠*EBE∠*ED5∠ BED ol"r# "radan BE = BD elde edilir#



28. 1 ve

* çemberleri A ve B noktalarında ke!ii'or# B den geçen bir do%r" 1 i B

dıında D nokta!ında ve * 'i i!e 'ine B dıında C nokta!ında ke!i'or# D den

1 e

çizilen te%et ile C den * 'e çizilen te%etin ke!iim nokta!ı E ve ∣ AD∣=1 , ∣ AC ∣=1 ,

∣ AB∣=1- i!e, ∣ AE ∣ kaçtır? (*4)

Çözüm:∠ BCE 5∠CAB=α , ∠ BAD 5∠ BDE = + ol!"n#∠ CAD=α + ve ∠ CED=18-°−α + old"%"ndan ADEC kiriler dörtgeni ol"r# "

d"r"mda ∠ ACD= ⇒∠ AED= ve ∠ DCE =α⇒∠ EAD=α ol"r# " da EAD≈CAB

gerektirir# AB

AD=

AC

AE ⇒1-

1=1

AE ⇒ AE =*4

29. 1 ve

* çemberleri C ve * noktalarında ke!ii'or#

* 'e * de te%et olan do%r"

1 i A da,

1 e * de te%et olan do%r" * 'i B de ke!i'or# ∣ AC ∣=+ , ∣ BC ∣= old"%"na

göre ∣*C ∣ nedir? ( 1 )

Çözüm:∠ C*B5∠*AC = + ve ∠ A*C 5∠*BC =α old"%"ndan C*A≈CB* ol"r#



" d"r"mda

*C

BC =

AC

*C ⇒*C 2= AC ⋅ BC =+⋅=1⇒*C = 1

ol"r#

30. irbirlerine C nokta!ında dıtan te%et olan C 1 ve C

* çemberlerinin ortak dı te%et

do%r"!" çemberlere !ıra!ı'la A ve B nokta!ında dok"nmaktadır# AC do%r"!" C * 'i

ikini kez E de, BC do%r"!" C 1 i ikini kez D de ke!mektedir# ∣ BC ∣=+ , ∣CD∣=4

old"%"na göre [ ABED] nedir? ( 42 +

4)

Çözüm:

C den geçen iç te%et do%r"!" AB 'i * de ke!!in# A* = B* =C* old"%"ndan AE ⊥ BD #∠ ADC 5∠CAB=α ve ∠ ADC 5∠CAB=α old"%"ndan ∠ DAB5∠ ABE =2-° ol"r#

AC 2=CD⋅ BC =4⋅+=1*⇒ AC =* + ve BC

2= AC ⋅CE ⇒+

*=* +⋅ EC i!e EC =

+ +

* ve

AE =7 +

* çıkar# [ ABED]= AE ⋅ BD

*=

1

*⋅7⋅

7 +

*=42 +

4 elde edilir#

31. B ve P gibi arklı iki noktada ke!ien iki çemberin ortak te%et do%r"larından B 'e 'akınolanı çemberlere D ve E noktalarında dok"nmaktadır# B den geçen ve DE 'e /aralelolan do%r" D den geçen çemberi A da, di%er çemberi de C de ke!mektedir# AD ile CE do%r"ları F de ke!iti%ine göre, ∣ DF ∣=+ , ∣ EF ∣=* i!e BEFD dörtgeninin çevre!i nedir?(1-)

Çözüm: DE ?? AC old"%"ndan ∠ BDE 5∠ BAD5∠ FDB , dola'ı!ı'la DE BDF nin açıorta'ı ol"r#



enzer ekilde DE BEF in de açıorta'ı olaa%ından BDFE deltoid ol"r# " d"r"mda BD= FD=+ ve EF = DE =* olaa%ından, çevre 1- çıkar#

32. A ve C noktalarından geçen çemberin b" noktalardan geçen te%etleri P de ke!ii'or# P den geçen bir do%r" çemberi B ve D de ( D , P 'e da.a 'akın) ke!i'or# ∣ AB∣= ,

∣ AD∣=+ , ∣ DC ∣=4 i!e ∣ AC ∣⋅∣ DP ∣ nedir? ( 4,

*)

Çözüm:∠ DAP 5∠ PBA old"%" için

AD

AB=

DP

AP =

+k

k # enzer ekilde

CD

BC =

DP

PC =

+k

k old"%" için

AD

AB=

DC

BC ⇒ BC =

*-

+ ol"r# Çemberde k"vvetten PD⋅ PB= AP

2 i!e BP =* -

+ ve

BD=1 -

+ çıkar# tolem' teoreminden AB⋅ DC AD⋅ BC = AC ⋅ BD olaa%ından

AC ⋅ BD= AC ⋅1 -

+ =⋅4+⋅

*-

+ =4-⇒ AC ⋅- =

1*-

1 ⇒ AC ⋅+k = AC ⋅ BD=

+-

1 =

4

* çıkar#



33. P ve & gibi arklı iki noktada ke!ien iki çemberin ortak te%et do%r"larından P 'e 'akınolanı çemberlere A ve B noktalarında dok"nmaktadır# AP ve BP do%r"ları çemberleriikini kez C ve D noktalarında ke!ti%ine göre, ∣ AD∣=+ , ∣ BC ∣=4 i!e ∣ AB∣ nedir? (

* + )

Çözüm:∠ PAB5∠ PDA=α ve ∠ PBA5∠ PCB= + old"%"ndan ABD≈ BCA ol"r# " d"r"mda i!e

AB

BC =

AD

AB olaa%ından AB= 1*=* + çıkar#

34. C nokta!ından çemberine çizilen te%etler çembere A ve B noktalarında dok"n"'or# P , üzerindeki bir nokta olmak üzere0 P nin AB , AC , BC 'e "zaklı%ı !ıra!ı'la x ,

ve z i!e z nin x ve in!inden de%eri nedir? ( x

*

)

Çözüm:∠ ABP 5∠ PAE =α ol!"n# $ikme a'aklarına D , E , F der!ek# BFPD kiriler dörtgeniol"r# " d"r"mda ∠ FDP 5∠ FBP =α olaaktır# enzer ekilde ∠ EFP 5∠ PAE =α #

∠ BAP 5∠ PBD= + der!ek, ∠ PFD 5∠ FEP = + ol"r# BçıDBçıDBçı dan PFE ≈ PDF ol"r#

" d"r"mda PE

PF =

PF

PD⇒

x=

x

z ⇒ z =

x*

elde edilir#



35. P ve & gibi arklı iki noktada ke!ien iki çemberin ortak te%et do%r"larından P 'e 'akınolanı çemberlere A ve B noktalarında dok"nmaktadır# AP ve BP do%r"ları çemberleri

ikini kez C ve D noktalarında ke!ti%ine göre, ∣ AD∣=+ , ∣ BC ∣=4 i!e∣ AP ∣

∣ BP ∣ nedir? (

+

*

)

Çözüm:

∠ PAB5∠ PDA=α ve ∠ PBA5∠ PCB= + old"%"ndan ABD≈ BCA ol"r# " d"r"mda i!e

AB

BC =

AD

AB olaa%ından AB= 1*=* + çıkar# enzer ekilde PBA≈ ABD old"%"ndan

AP

AD=

BP

AB ol"r# "radan

AP

BP =

+

* += +

* çıkar#

36. PAB ikizkenar üçgeninin ( ∣ PA∣=∣ PB∣ ) PA kenarına A nokta!ında te%et olan çember ile, PB kenarına B nokta!ında te%et olan çember C ve D nokta!ında ke!imektedir#

∣ AC ∣=+ , ∣ AD∣=4 , ∣CB∣=* i!e ∣ BD∣ nedir? ( 8

+)

Çözüm: P nokta!ından çemberlere çizilen te%etler eit old"%" için P çemberlerin k"vvet ek!eniüzerindedir# " nedenle P ,C , B do%r"!aldır# " d"r"mda ∠ PAC 5∠ PDA old"%"ndan PAC ≈ PDA , benzer ekilde PBC ≈ PDB ol"r#

"radan PC

PA=

+

4 ve

PC

PB=

*

BD# $ola'ı!ı'la BD=

8

+ ol"r#



37. A1 A

* A

n düzgün n Dgeninin dıına do%r" A1 A

* B ekenar üçgeni k"r"l"'or# A

n , A1

ve B bir düzgün çokgenin ardıık köeleri i!e n nin alabilee%i en bü'ük de%er nedir? (4*)

Çözüm:

6a ∠ An A1 B5∠ An A1 A*E∠ A* A1 B 'a da ∠ An A1 B=+-−∠ An A1 A*E∠ A* A1 B

olaaktır# n Dgenin iç açı!ı 18-°−+-°

n old"%"ndan ∠ A

n A

1 B=*4-°−

+-°

n 'a da

∠ An A

1 B=1*-<E

+-°

n olaaktır# a.!i geçen çokgen x kenarlı i!e

∠ An A

1 B=18-°−

+-°

x old"%"ndan n=

>

x=−

+

x 'a da n=

>

x−=

+

x−

çıkaaktır# x=7 için n en bü'ük de%erini alaa%ından eva/ 4* çıkar#

38. Çemberin merkezinden a "zaklıktaki kiri ile b "zaklıktaki kiri çemberin iç bölge!inde

dik ke!ierek çemberi !aat 'önünde alanları A , B , C ve D olan dört bölge'ea'ırmaktadır# ∣ AC − B− D∣ nin a ve b in!inden de%eri nedir? ( 4 ab )

Çözüm:Kirilerin çemberin kirilere /aralel olan ça/larına göre !imetriklerini alalım# " d"r"mda!imetrik bir ekil elde edee%iz#

A= $ % , B= $ , C = # $ , D= # $ % 4ab olaa%ından∣ AC − B− D∣=∣ $ % # $− $− # $ % 4ab∣=4ab olaaktır#

39. ABC üçgeninde kenarlar ara!ında ∣ AB∣:∣ AC ∣=+ :8 ba%ıntı!ı vardır# ABC üçgenininçevrel çemberine A nokta!ında dıtan te%et olan çember BC do%r"!"na da D nokta!ında

te%ettir# "na göre ∣ DB∣/∣ BC ∣ nedir? ( +

,)

Çözüm:Frtak içte%et BC 'i E de ke!!in# AC de çemberi F de ke!!in#



∠ DAE 5∠ ADE =α , ∠ EAB 5∠ ACB= + old"%"ndan ∠ FAD=α + 5∠ DAB olaaktır# "d"r"mda ABC üçgeninde AD BAC açı!ının dı açıorta'ı ol"r# $ı açıorta' teoreminden AB

AC

= BD

DC

=+k

8k

⇒ BC =k ve BD

BC

=+

olaaktır#

40. ABC üçgeninin çevrel çemberine A nokta!ında dıtan te%et olan çember BC do%r"!"nada D nokta!ında te%ettir# ∣ AB∣=4 , ∣ AC ∣=2 , ∣ DB∣=8 old"%"na göre ∣ AD∣ nedir? ( + )

Çözüm:

∠ DAE 5∠ ADE =α , ∠ EAB 5∠ ACB= + old"%"ndan ∠ FAD=α + 5∠ DAB olaaktır# "d"r"mda ABC üçgeninde AD BAC açı!ının dı açıorta'ı ol"r# $ı açıorta' teoreminden

AB

AC =

BD

DC ⇒

4

2=

8

CD⇒CD=18 # $ı açıorta' teoreminden 'a da @teGart teoreminden

AD2=8⋅18−4⋅2=1-8⇒ AD= + #

41. ABC üçgeninin çevrel çemberine A nokta!ında te%et olan çember, [ BC ] kenarına F nokta!ında te%et ol"/, [ AB ] ve [ AC ] kenarlarını D ve E noktalarında ikini kez

ke!mektedir# ∣ AD∣=4 ve ∣ AE ∣=+ i!e ∣ BF ∣:∣ FC ∣ nedir? ( 4

+)

Çözüm:



A* ortak te%et ol!"n# ∠ EA* 5∠ EDA5∠CBA=α old"%"ndan DE ?? BC elde edilir# BD=4k i!e EC =+k , BF

2=4k 4k 4 , CF 2=+k +k + olaa%ından

BF

CF =

4k 4k 4 +k +k +

=4

+ ol"r#

42. ABC üçgeninin çevrel çemberine A nokta!ında te%et olan çember, [ BC ] kenarına F nokta!ında te%et ol"/, [ AC ] kenarını D nokta!ında ikini kez ke!mektedir# ∣ AB∣= ve∣ AD∣=+ i!e ∣ AF ∣ nedir? ( + * )

Çözüm:

A* ortak te%et ol!"n# ∠ DA* 5∠ DFA5∠CBA=α ve ∠ DAF 5∠ DFC = + old"%"ndan∠ BAF 5∠CFA−∠ FBA= + çıkar# " d"r"mda A # A # A # dan DAF ≈ FAB ol"r#

@on olarak AF

AB=

AD

AF old"%"ndan AF = +⋅=+ * elde edilir#

43. C ve D noktalarından geçen çembere [ DC üzerindeki P nokta!ından çizilen te%etlerçembere A ve B noktalarında dok"nmaktadır# AB∩CD={ E } olmak üzere0 ∣ DE ∣=+ ,

∣ EC ∣=* i!e ∣ PC ∣ nedir? (1-)



Çözüm:@teGartHın özel .alinden AP

2= AE ⋅ EB PE

2

AE ⋅ EB= , AP 2= BP

2= x x , PE 2= x* *

" d"r"mda x x= x**⇒ x*>= x*4>1-⇒ x=1- çıkar#

44. 6arıça/ları ve 8 olan ve P nokta!ından geçen iki çemberin merkezleri ara!ındaki "zaklık1* dir# " iki çemberin P den geçen ve do%r"!al olan eit "z"nl"ktaki kirilerinin "z"nl"%"nedir? ( 1+- )

Çözüm:

'arıça/lı çemberin merkezi O1 , 8 'arıça/lı çemberin merkezi O

* , ba.!i geçen kiriler i!e AP ve BP ol!"n# Ierkezlerden b" kirilere dikmeler indirdi%imizde O

1O

* DC dik

'am"%"n" elde edelim#

O1 P ile O

* D E de ke!i!in# O

1 P = PE = olaa%ından kenarorta' teoreminden

O* E *O1O**=*O1 P *O* P *⇒ O* E = b"l"n"r#

[O1O

* P ]=[O*

PE ]= PD⋅O* E

* =

x

*⋅

* =

x 14

*

ve

[O

1

O*

P

]= 1+⋅1+−1*⋅1+−8⋅1+− = 4 # "radan da

x= 1+-

çıkar#



45. Aabanı BC olan ABC ikizkenar üçgenin tabana ait 'ük!ekli%i üzerinde ∠ BDC =+∠ BAC olaak ekilde D nokta!ı alını'or# ∣ AD∣=1- ve ∣ D% ∣=1 i!e ABC üçgeninin çevre!inedir? ( 1111 )

46. ABCD dikdörtgeninde % , [ BC ] kenarı üzerinde, ) de [CD ] kenarı üzerinde

[ AB% ]=+ , [C%) ]=4 , [ AD) ]= artını !a%la'an noktalar i!e [ A%) ] nedir? ( * *1 )

47. Çeitkenar ABC üçgeninde D [ AC ] üzerinde, E de [ AB ] üzerinde ∠ EDB 5∠ BCD artını !a%la'an noktalardır# ∣ BC ∣=∣ AD∣=* , ∣ AE ∣=∣ DC ∣=1 i!e ∣ EB∣ nedir? (+)

48. ABC üçgeninde D [ AC ] üzerinde, E de [ AB ] üzerinde ∠ EDB 5∠ BCD artını!a%la'an noktalardır# x ve tam !a'ılar olmak üzere0 ∣ AD∣=* , ∣ AE ∣=∣ DC ∣=1 ,∣ BC ∣= x , ∣ BE ∣= artını !a%la'an kaç arklı x , !ıralı ikili!i vardır? (*)

49. ABC üçgeninde BD ve CE iç açıorta'lar, E nin BD 'e göre !imetri%i E ' , D nin

CE 'e göre !imetri%i D

'

ol!"n# E D

'

ile BD F de ke!imekte ol"/, E '

nokta!ı FD { D' ¿ üçgeninin dı merkezi i!e ∠ A nedir? (2)

50. ABC üçgeninde BD ve CE dı açıorta'lar, E nin BD 'e göre !imetri%i E ' , D ninCE 'e göre !imetri%i D' ol!"n# E D' ile BD F de ke!imekte ol"/, E ' nokta!ı FD { D' ¿ üçgeninin dı merkezi i!e ∠ A nedir? (*4)

51. ABC üçgeninde BD ve CE iç açıorta'lar olmak üzere0 ∠ BDE =*4 ° , ∠ CED=18° i!e∠ ABC nedir? (1*)

52. ABC üçgeninde BD ve CE dı açıorta'lar olmak üzere0 ∠ BDE =84° , ∠ CED=18°

i!e ∠ ABC nedir? (48)

53. 1- kovbo' ara!ında gerçekleen bir düelloda, iaret verildikten !onra, .er kovbo' kendi!ineen 'akın olan kovbo'lardan birine ate edi'or# "na göre en az kaç kovbo' v"r"lm" olabilir?(*)

54. Bralarındaki "zaklıklar birbirinden arklı olan 1- kovbo' ara!ında gerçekleen bir düelloda,iaret verildikten !onra, .er kovbo' kendi!ine en 'akın olan kovbo'a ate edi'or# "na göreen az kaç kovbo' v"r"lm" olabilir? (+)

55. ABC dik üçgeninde A. .i/otenü!e ait 'ük!eklik ol!"n# AB. üçgeninin içte%et çemberi AB kenarına D nokta!ında, AC. üçgeninin içte%et çemberi AC kenarına E nokta!ında te%et ol!"n# ∣ AD∣=2 , ∣ AE ∣=8 i!e ABC üçgeninin içte%et çemberinin 'arıça/ınedir? ()

56. ABC dik üçgeninde A. .i/otenü!e ait 'ük!eklik ol!"n# AB. üçgeninin içte%et çemberi AB kenarına D nokta!ında, AC. üçgeninin içte%et çemberi AC kenarına E nokta!ında te%et ol!"n# ∣ AE ∣⋅∣ AD∣=7* i!e ∣ A. ∣ nedir? (1*)

57. ABC dik üçgeninde A. .i/otenü!e ait 'ük!eklik ol!"n# AB. üçgeninin içte%et çemberi

AB kenarına D nokta!ında, AC. üçgeninin içte%et çemberi AC kenarına E



nokta!ında te%et ol!"n# ∣ BD∣= , ∣CE ∣=1* i!e ABC üçgeninin içte%et çemberinin 'arıça/ınedir? ()

58. ABC dik üçgeninde A. .i/otenü!e ait 'ük!eklik ol!"n# AB. üçgeninin içte%et çemberi AB kenarına D nokta!ında, AC. üçgeninin içte%et çemberi AC kenarına E

nokta!ında te%et ol!"n# ∣ BD∣= , ∣ AE ∣=8 i!e ABC üçgeninin içte%et çemberinin 'arıça/ınedir? ()

59. ABCD dörtgeninde B ve C açılarına ait içaçıorta'lar [ AD ] üzerindeki E nokta!ındake!imektedir# ∣ AB∣=∣ AE ∣=1+ , ∣ DC ∣=∣ DE ∣=1 ve [ BCE ]=84 i!e ∣CE ∣ nedir? ( , )

60. ABCD ikizkenar 'am"%"nda ( AB ?? DC ) # köegenlerin ke!iim nokta!ı, [ BC ] nin ortanokta!ı da E ol!"n# # dan geçen AB 'e /aralel olan do%r" [ BC ] 'i F de ke!ti%ine

göre, AF ∩ DE ={G } , ∣ AB∣= , ∣CD∣=1 i!e∣ DG∣

∣ FG∣ nedir? (+)

61. ABC üçgeninde A açı!ına ait iç açıorta' do%r"!" üçgeni ikini kez ) de, üçgenin çevrelçemberini de ikini kez % de ke!i'or# # ve $ , ) den kenarlara indirilen dikmelerina'akları old"%"na göre, ∣ AB∣= , ∣ AC ∣=7 , ∣ BC ∣=8 i!e [ A#%$ ] nedir? ( 1- + )

62. ABC üçgeninde D [ AC ] üzerinde, E de [ AB ] üzerinde ∣ AE ∣=+ , ∣ EB∣= ,

∣ AD∣=*4

artını !a%la'an noktalardır# F EC ile BD nin ke!iimi olmak üzere0 BEDC

ve ADFE birer kiriler dörtgeni i!e [ ABC ] nedir? (1)

63. ABCD kiriler dörtgeninde köegenlerin ke!iim nokta!ı E ol!"n# AEB üçgeninin çevrel

çemberi AD ve BC 'i !ıra!ı'la F ve G de ke!ti%ine göre, ∣ DE ∣=4 , ∣ EC ∣=* i!e∣ EF ∣

∣ FG∣ nedir? (1)

64. 1 ve

* çemberleri A ve B noktalarında ke!ii'or# P * üzerinde

1 dıında bir

nokta olmak üzere0 AP 1 i C de, BP 1 i D de, BC * 'i de ke!i'or# ∣ AC ∣=4

, ∣CP ∣= i!e ∣ AE ∣⋅∣ AD∣ nedir? ()

65. $ıbüke' ABCD dörtgeninde ∠ ABD=+-° , ∠ BAC =*-° , ∠ CAD=8- ° , ∠ ACD=4- ° i!e ∠ ACB nedir? (1--)

66. ABC üçgeninin içte%et çemberi BC 'e E de dok"n"'or# [ BC ] 'e ait kenarorta' içte%et

çemberin [ DE ] ça/ını F de ke!ti%ine göre, /0!r0 ABC =7⋅∣ BC ∣ i!e∣ DF ∣

∣ FE ∣ nedir? (

,

7)

67. B∈[ AC ] olmak üzere0 [ AC ] ça/lı 'arım çemberin içeri!ine [ AB ] ve [ BC ] ça/lı 'arımçemberler çizili'or# [ AB ] ça/lı 'arım çemberin B den geçen te%eti [ AC ] ça/lı 'arımçemberi D de ke!i'or# [ AB ] ve [ BC ] 'arım çemberlerin ortak dı te%et do%r"!"

çemberlere !ıra!ı'la E ve F de dok"n"'or# ∣ AB∣=1 , ∣ BC ∣=+ i!e[ DEF ]

[ AEFC ] nedir? (

+

1+

)

Documents

Geo en Az en Çok Alan