Geodezie Elipsoidala

Noiuni generaleGeodezia este tiina care se ocup cu determinarea riguroas a formei i dimensiunilor Pmntului sau a unor poriuni din suprafaa sa, precum i cu reprezentarea grafic a acestora.

n acest scop, geodezia determin cu precizie, prin msurtori i calcule, un schelet de puncte convenabil distanate pe suprafaa Pamntului, numite puncte geodezice, care servesc ca sprijin pentru operaile topografice sau fotogrametrice ulterioare.

Cuvntul geodezie provine de la cuvintele greceti geo = pmnt i daien= mpart, ceea ce arat c la origine, geodezia s-a ocupat i cu rezolvarea unor probleme privind mprirea suprafeelor terestre.

Geodezia cuprinde mai multe pri i anume:- geodezia elipsoidal, care studiaz bazele matematice pentru luarea n considerare a suprafeei elipsoidale a pmntului n procese de determinare a punctelor geodezice;

- triangulaii geodezice, se ocup cu determinarea planimetric a tuturor punctelor geodezice pe baza msurtorilor de unghiuri;

- trilateraii geodezice, se ocup cu determinarea planimetric a punctelor geodezice pe baza msurtorilor de distane;

- poligonametria, se ocup cu determinarea punctelor geodezice utiliznd msurtori de unghiuri i distane;

- nivelmentul superior de precizie-studiaz metodele de determinare riguroas a altitudinii unui schelet de puncte, prin nivelment geometric i de legare altimetric a acetora, cu punctele geodezice determinate planimetric;

- geodezia dinamic (gravimetria), se ocup cu determinarea intensitii forei gravitaionale in diferite puncte ale globului , pentru deducerea formei i dimensiunilor Pmmtului, precum i a constituiei interne a scoarei terestre;

- astronomia geodezic, are ca scop determinarea direct a coordonatelor geografice ale punctelor geodezice, folosind metode i observaii astronomice.

Geodezia este strns legat de o serie de discipline cum ar fi:

- teoria erorilor i metoda celor mai mici ptrate, utilizat la rezolvarea problemelor de masurtori de precizie;

- cartografia matematic, care ajut la reprezentarea n plan a reelei de puncte geodezice.

Trebuie accentuat importana deosebit pe care o are geodezia pentru topografie i fotogrammetrie, deoarece este de neconceput construcia riguroas de planuri i hri topografice pentru suprafee mai mari, fr a avea un schelet de puncte geodezice, precis determinate, de care s fie legate toate lucrrile topografice i fotogrammetrice ulterioare.

Partea I. Geodezie elipsoidal

1.1. Generaliti

Geodezia elipsoidal este acea parte din geodezie care se ocup cu studiul suprafeei elipsoidale de rotaie, de referin, a suprafeei fizice a Pmntului, precum i cu determinarea riguroas a formei i dimensiunilor suprafeei matematice curbe a Pmntului.

Pentru ndeplinirea obiectivelor sale, Geodezia elipsoidal are strnse legturi cu Astronomia geodezic i cu Gravimetria geodezic. Pe baza prelucrrii tiinifice a unor rezultate din msurtorile geodezice combinate cu msurtori astronomo-geodezice i gravimetrice, se poate studia n mod riguros i detaliat forma matematic a suprafeei curbe a Pmntului.

Pentru suprafaa curb a globului terestru, Listing introduce n 1873 noiunea de GEOID.

Din punct de vedere practic Geoidul este reprezentat de suprafaa de echilibru a nivelului mediu al oceanelor i mrilor, prelungit pe sub uscat (continente, insule).

Toate msurtorile geodezice efectuate pe suprafaa fizic topografic a Pmntului (care este considerat ca fiind suprafaa de contact ntre uscat i atmosfer sau ntre uscat i ap), trebuia s se reduc la suprafaa geoidului.

n cazul msurtorilor geodezice curente (trilateraii, triangulaii, poligonometrie), geoidul se poate aproxima cu un elipsoid de rotaie, turtit la poli, avnd semiaxa mare (ecuatorial) de circa 6380 km. De asemenea pentru lucrri geodezice de precizie mai mic, suprafaa geoidului se va putea aproxima i cu suprafaa unei sfere de raz medie egal cu 6370 km.

Prin intermediul metodelor geodeziei elipsoidale se determin n mod precis, coordonatele unei reele de puncte de pe suprafaa Pmntului, puncte de baz de ordinul I, cu ajutorul crora se determin ulterior punctele de ordinul II-IV, necesare obinerii reprezentrilor grafice pe suprafee foarte mari.

1.2. Geoidul i elipsoidul de referin.

Din punct de vedere geometric Geoidul reprezint o suprafa de nivel, care este n fiecare punct al sunormal la direcia verticalei locului, dat de vectorul forei de greutate, indicat de firul cu plumb.

Deoarece direciile verticalelor depind de atracia maselor dispuse neregulat n interiorul globului terestru, forma suprafeei geometrice a Geoidului este foarte complicat. De aceea ea nu poate fi considerat ca o suprafa matematic, pe care s se execute diferite calcule pentru rezolvarea problemelor geodezice.

Fig. 1.1. Suprafee de referin.

1 Suprafaa topografic;

2 Suprafaa Geoidului;

3 Suprafaa elipsoidului de referin.

Din aceast cauz a trebuit adoptat o alt suprafa matematic, mai simpl pe care s se rezolve problemele geodezice i anume suprafaa elipsoidului de rotaie, cu o turtire mic, rezultat prin rotirea unei elipse n jurul axe mici.

Fig. 1.2. Seciune prin elipsoidul de referin.

Pentru verificarea concepiei privind turtirea elipsoidului la poli au fost efectuate msurtori ale arcului de meridian de 1o la ecuator i la poli (fig. 1.2), msurtori care au verificat aceast concepie. Pentru a putea fi folosit n prelucrarea msurtorilor geodezice, suprafaa elipsoidului de rotaie adoptat trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii:

s se determine dimensiunile elipsoidului de rotaie care este cel mai apropiat de Geoid;

s se aeze corect elipsoidul de rotaie fa de Geoid, adic s se orienteze corect elipsoidul de rotaie.

Elipsoidul de rotaie care ndeplinete condiiile artate, a fost denumit elipsoid de referin, iar toate msurtorile geodezice se prelucreaz i se reprezint n raport cu acest elipsoid.

De-a lungul timpului au fost determinate diferite serii de valori ale dimensiunilor elipsoidului de referin, date n tabelul de mai jos (tabelul 1.1).

Parametrii geometrici ai unor elipsoizi de rotaie Tabelul nr. 1.1.

Den.Anul

Determi-nriiSemiaxaTurtireaPerioada de utilizare n Romnia

Mare (m)Mic (m)

Bessel18116377397,11563560791:299,11873-1916

Clarke1880637824363565151:293,51916-1930

Helmert1906637814063567581:298,31959-prezent

Hayford1909637838863569121:2971930-1952

Krasovski1940637824563568631:298,31952-prezent

SGR-1967

(sist. geod. de referin)196763781606356774,5041:298,2-

WGS-72

(sist. geod. mondial)197263781356356750,5201:298,26-

SGR-1980198063781376356752,2981:298,3-

WGS-1984198463781376356752,3141:298,31992-prezent

Elipsoidul de rotaie poate fi bine definit prin minim doi parametri caracteristici, dintre care unul trebuie s fie liniar.

Fig. 1.3. Elipsoidul de referin

- semiaxa mare;

- diametrul ecuatorului;

- axa de rotaie;

- semiaxa mic;

- raza unui cerc mic;

- Raza meridianului (raza mic de curbur);

- raza primului vertical (raza mare de curbur);

= turtirea;

= excentricitatea liniar;

- prima excentricitate;

- a doua excentricitate;

- raza de curbur polar.

Diferitele poziii ale elipsei n rotaie se numesc elipse meridian, sau simplu meridiane.

Raza de curbur a elipsei meridian ntr-un punct oarecare A se noteaz cu M. Un plan perpendicular pe elipsa meridian, ntr-un punct A, poart numele de prim vertical (conine verticala locului) i va intersecta suprafaa elipsoidului dup o curb de raz N raza de curbur a primului vertical. Cercul mare (ecuatorial) este de raz a i cercurile mici (paralele) sunt de raz r.

1.3. Sisteme de coordonate pentru elipsoidul Pmntesc utilizat n Geodezie.

In Geodezie sunt folosite ca sisteme de referin, sistemele globale de coordonate i sisteme locale de coordonate.

Din prima categorie fac parte sistemele de coordonate spaial carteziene (rectangular rectiliniu) i sisteme de coordonate geografice elipsoidice.

1.3.1. Sisteme de coordonate rectangulare rectilinii (OXYZ).

Reprezint un sistem general de coordonate, cunoscut din matematic. Originea sistemului se consider n centrul geometric al elipsoidului, axa oz fiind dispus dup axa polilor .

Fig. 1.4. Sistemul de coordonate.

Axa ox este pe direcia liniei de intersecie dintre planul ecuatorului i planul meridianului origine (Greenwich), iar axa oy se afl n planul ecuatorului i este perpendicular pe planul xoz. n acest mod poziia unui punct P0, de pe suprafaa elipsoidului de referin, este determinat prin cele trei coordonate:

;

;

Dac originea sistemului se afl n centrul de mas al Pmntului, iar este verticala locului, coordonatele punctelor vor fi n sistem global cartezian ecuatorial denumit GEOCENTRIC (OXYZ), (fig. 1.4).

1.3.2. Sisteme de coordonate geografice elipsoidice (BLH).

Este un sistem global de referin, cu ajutorul cruia poziia unui punct oarecare P0 este determinat n raport cu planul meridianului origine i planul ecuatorial , (fig. 1.4).

B = latitudinea punctului P0 , adic unghiul dintre normala P0O la suprafaa elipsoidului de referin i proiecia ei n planul ecuatorului: ia valori de la 0o la 90o i poate fi nordic i sudic.

L = longitudinea punctului P0, adic unghiul diedru dintre planul meridianului origine Greenwich i planul meridianului punctului P0, ia valori de la 0o la (180 i poate fi estic sau vestic.

H = nlimea punctului P0 deasupra suprafeei de referin dat de planul ecuatorului.

Pentru elipsoidul pmntesc, sistemul de coordonate geografice elipsoidice BLH prezint o serie de avantaje foarte importante:

este un sistem unitar de coordonate pentru ntreg elipsoidul i permite o serie de simplificri n rezolvarea problemelor geodezice;

liniile de coordonate B = const. i L = const. pe suprafaa elipsoidului, sunt chiar liniile cele mai simple i importante, adic meridiane i paralele;

se definete cu ajutorul normalelor la suprafaa elipsoidului de referin adoptat, ceea ce este important pentru determinarea deviaiilor verticalelor geoidului fa de normalele corespunztoare elipsoidice.

Coordonatele geografice elipsoidale (B,L) se deosebesc de coordonatele utilizate n astronomie , deoarece acestea din urm se refer la suprafaa geoidului.

1.3.3. Sisteme de coordonate geodezice polare

Fig. 1.5. Sisteme de coordonate geodezice polare.

Este un sistem de coordonate local, n care poziia unui punct oarecare P0, situat pe suprafaa elipsoidului de referin, este bine determinat, dac se cunosc valorile unghiului i a distanei s i originea O.

- linia geodezic de la punctul P0, la un punct origine O, considerat pe meridianul origine (punctul O poate fi chiar pe ecuator);

- unghiul pe care l face linia geodezic OP0 cu meridianul origine.

1.3.4. Sistemul coordonatelor geodezice rtogonale

Fig. 1.6. Sistemul de coordonate geodezice ortogonale.

Este un sistem de coordonate local, n care poziia unui punct oarecare P0, aparinnd suprafeei elipsoidului de referin este bine determinat, dac sunt cunoscute distanele geodezice u i v.

- distana geodezic ce se msoar pe meridianul arbitrar ales, de la punctul de origine O pn la punctul . Punctul de pe meridian este chiar piciorul perpendicularei duse din P0 pe meridian.

- linia geodezic determinat de normala la meridianul ales.

Punctul O poate fi situat i n planul ecuatorului .

1.4. parametrii elipsoidului de referin

Suprafaa elipsoidului pmntesc poate fi aproximat cu suprafaa unui elipsoid de rotaie, rezultat din rotirea unei elipse n jurul unei axe mici.

Considernd aceast elips ca fiind elipsa meridian terestr se va reprezenta raportat la un sistem de axe de coordonate carteziene xoz, n care axa oz, coincide cu axa polilor i axa ox este n planul ecuatorial.

Fig. 1.7. Elipsa meridian.

Ecuaia elipsei meridian n sistemul de coordonate carteziene xoz este:

(1.1)

a semiaxa mare, ecuatorial a elipsoidului;

b semiaxa mic, polar, a elipsoidului.

Elipsoidul de referin este caracterizat de cele dou excentriciti:

- prima excentricitate;(1.2)

- a doua excentricitate;(1.3)

Introducnd excentricitatea elipsei meridian (prima excentricitate) n ecuaia elipsei se va obine:

(1.4)

(1.5)

n aceast form a ecuaiei parametrii care o determin sunt a i e, fa de a i b n prima form.

Analog se poate introduce i expresia excentricitii a doua n ecuaia elipsei.

Un alt parametru important al elipsoidului de referin este turtirea:

(1.6)

ntre parametrii de baz ai elipsoidului de referin se pot stabili o serie de relaii de legtur.

a) Relaii de legtur ntre cele dou excentriciti:

sau

(1.7)

sau

(1.8)

adic

(1.9)

Din expresia , se poate determina excentricitatea a doua funcie de prima excentricitate:

sau

(1.10)

b) ntre prima excentricitate i turtirea se poate scrie:

sau sau

(1.11)

dar:

EMBED Equation.3 sau

(1.12)

Deoarece este mic, ridicat la ptrat va fi i mai mic, adic tinde spre zero:

sau

(1.13)

Pentru elipsoidul Krasovski, utilizat la noi n ar ca elipsoid de referin, plecnd de la valorile parametrilor trecui n tabelul nr. 1, pot fi determinate valorile aproximative pentru cele dou excentriciti i pentru raza de curbur polar .

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Valorile riguroase ale parametrilor elipsoidului Krasovski, care se ntrebuineaz n calcule de precizie sunt urmtoarele:

(1.17)

1.5. Ecuaiile parametrice ale elipsei meridiane i ale elipsoidului pmntesc.

Prin determinarea ecuaiilor parametrice se urmrete stabilirea unor legturi ntre coordonatele unui punct de pe elipsoid n unul din sistemele de referin prezentate i coordonatele geografice ale punctului respectiv (fig. 1.8).

Fig. 1.8. Elipsoidul de referin (schem pentru determinarea ecuaiilor parametrice).

Se va reprezenta elipsoidul de rotaie n raport cu sistemul de referin rectangular rectiliniu oxyz, pe reprezentare identificndu-se urmtoarele elemente:

- diametrul cercului ecuatorial;

- meridianul origine;

- normala la elipsoid n punctul M0;

Tp tangenta n M0 la paralela punctului M0;

Tm tangenta n M0 la curba meridian.

Vectorii V i Tm determin un plan care intersecteaz suprafaa elipsoidului dup o curb care are centrul de curbur n punctul i este chiar curba meridianului ce trece prin punctul M0. Raza acestei curbe se noteaz cu M.

Vectorii Tp i V determin un alt plan care intersecteaz suprafaa elipsoidului dup curba , normal la curba meridianului punctului M0, cu centrul de curbur n punctul O1, raza acestei curbe este N. Poziia punctului M0 poate fi definit att prin coordonate rectangulare rectilinii , ct i prin coordonate geografice elipsoidale . Pentru uurin se vor utiliza i .

Expresiile ecuaiilor parametrice ale elipsoidului de referin pmntesc, n funcie de coordonatele geografice i for fi de forma:

(1.18)

Se va considera elipsa meridian ce trece prin punctul M0 i deoarece M0 este un punct curent pe elipsa meridian va avea coordonatele curente r i z, care verific ecuaia:

(1.19)

Considernd pe elipsa meridian un alt punct , situat la distana elementar fa de punctul M0 (fig. 1.9).

Fig. 1.9. Schem grafic determinarea ecuaiilor parametrice.

Acestui punct i corespunde fa de punctul M0, creterile n coordonate dr i dz. Creterea coordonatei r, a punctului este negativ deoarece la o cretere a latitudinii , odat cu deplasarea din M0 n , distana O2M0 se micoreaz.

n triunghiul se poate considera elementul de arc ca fiind liniar, deoarece este foarte mic i n consecin se poate scrie:

;

(1.20)

Dac se difereniaz ecuaia elipsei meridiane n raport cu r i z, rezult:

/:ds

(1.21)

mprind relaia cu ds i innd seama de expresiile pentru i , se va obine:

/

(1.22)

(1.23)

dar: i atunci relaia devine:

/

(1.24)

(1.25)

Ecuaia elipsei meridiane poate fi scris i sub forma:

, dar

(1.26)

(1.27)

nlocuind expresia determinat pentru y, se obine:

(1.28)

sau

(1.29)

(1.30)

(1.31)

nlocuind expresia n relaia lui z se obine:

(1.32)

notnd:, se vor obine ecuaiile parametrice ale elipsei meridian ce trece prin M0:

(1.33)

Din reprezentarea grafic a elipsoidului de rotaie n sistem de coordonate xyz se observ c se pot scrie relaiile:

i

(1.34)

nlocuind n aceste relaii expresia lui r determinat mai sus pot fi scrise relaiile parametrice ale elipsoidului:

(1.35)

Ecuaiile parametrice se pot exprima i sub o alt form

Stim c:

(1.36)

(1.37)

S-a notat:

(1.38)

Dar: , deci: sau

(1.39)

Scriind: sau ; - raza de curbur polar.(1.40)

nlocuind n ecuaiile parametrice se obine:

(1.41)

1.6. Razele de curbur ale elipsei meridian i ale primului vertical.

1.6.1.Raza de curbura a elipsei meridiane.

Se consider elipsa meridian, avnd raza de curbur notat cu M, ntr-un punct al su de latitudine ( (fig. 1.10).

Fig. 1.10. Determinarea razei M.

Prin definiie, dac se noteaza pe figura prin ds, un element infinitezimal de arc al elipsei, atunci se poate scrie:

(1.42)

unghiul n fnfinitezimal dintre tangenta n B i tangenta n infinit apropiat, corespunztoare latitudinii .

Unghiul celor dou tangente n punctele i , este egal cu unghiul perpendicularelor corespunztoare, ceea ce nseamn c:

(1.43)

Dar:

(1.44)

Relaia se poate scrie i sub forma:

(1.45)

Derivatele de sub radical se efectueaz innd cont de expresiile determinate pentru x i y n ecuaiile parametrice ale elipsei meridian:

i

(1.46)

Dup efectuarea calculelor se obin valorile derivatelor:

(1.47)

nlocuind n relaia razei mici de curbur, se va obine:

, dar (1.48)

i deoarece: i

(1.49)

(1.50)

1.6.2. Raza de curbur a primului vertical.

Considernd pe suprafaa elipsoidului normala BD, ntr-un punct B de latitudine , prin aceasta se pot duce o infinitate de planuri, perpendiculare pe planul tangent la suprafaa elipsoidului n punctul B. Aceste planuri se numesc planuri normale. Una dintre aceste seciuni normale din punctul B este chiar elipsa meridian, atunci cnd planul normal conine i axa polilor (fig. 1.11).

Fig. 1.11. Determinarea razei de curbur a prismului vertical.

Seciunea ce trece prin punctul B i este perpendicular pe seciunea meridian poart numele de seciunea primului vertical ce are tot form de elips (SBW).

Raza de curbur a primului vertical n punctul B de latitudine se noteaz cu . Dac secionm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B i este perpendicular pe axa polilor se obine cercul paralel corespunzator.

Unghiul diedru dintre seciunea prismului vertical i cea a paralelului din punctul B, este definit de unghiul plan CBD i este egal cu latitudinea .

Pentru determinarea razei de curbur, a primului vertical este folosit teorema lui Meusnier, care se enun astfel: Dac printr-un punct dat al unei suprafee sunt duse dou seciuni plane respectiv normal i nclinat ambele seciuni avnd n punctul dat o aceeai tangent, atunci raza de curbur a seciunii nclinate este egal cu raza de curbur a seciunii normale, nmulit cu cosinusul unghiului dintre cele dou seciuni.

(1.51)

Aadar: , dar

(1.52)

nlocuind se obine:

(1.53)

Lungimea razei de curbur a primului vertical este chiar lungimea segmentului de normal BD pn la axa polilor, care se mai numete marea normal i se noteaz cu N.

1.6.3. Expresia razei de curbur dup o direcie oarecare .

Pe suprafaa elipsoidului de referin se traseaz o curb oarecare, de orientare geografic . Raza de curbur a acesteia va fi notat cu (fig. 1.12.a).

Pentru a stabili expresia care definete raza de curbur dup o direcie oarecare se secioneaz suprafaa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M0, la distana de acest punct (fig. 1.12.b).

a)

b)

Fig. 1.12. Determinarea razei de curbur dup o direcie oarecare.

Fig. 1.13. Elipsa de seciune.

Se va obine o elips de seciune (fig. 1.13), ale crei semiaxe pe direciile curbelor principale se noteaz cu m, respectiv n. innd cont de elementele geometrice din figur, n triunghiul se poate scrie:

, dar

(1.55)

sau

(1.56)

n mod similar, considernd elementele geometrice din planul curbei normale la meridian i din planul curbei de direcie se obine:

i , adic:(1.57)

(1.58)

Dac se raporteaz elipsa de seciune la un sistem particular de axe , atunci coordonatele punctului M0, trebuie s verifice ecuaia elipsei:

(1.59)

dar i

(1.60)

, nlocuind

(1.61)

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.65)

Deci raza de curbur a unei curbe de orientare geografic , este n funcie de latitudinea punctului ce se determin i de orientarea geografic.

1.6.4. Expresia razei medii de curbur.

Se consider pe suprafaa elipsoidului de referin un punct P, caracterizat de direciile principale Pm i Pn, corespunztoare rayei mici (m), respectiv razei mari (n), de curbur.

Fig. 1.14. Determinarea razei medii de curbur.

Presupunem c prin punctul P trece o direcie 1, care face cu direcia Pm, unghiul , sau o direcie 2 care face cu 1 unghiul .a.m.d. (fig. 1.14). Se poate afirma c: Raza medie de curbur ntr-un punct este dat de suma tuturor razelor mprit la numrul direciilor corespunztoare acestora.

(1.66)

dac

Aadar Raza medie de curbur ntr-un punct oarecare pe suprafaa elipsoidului de referin, se poate determina ca medie aritmetic a razelor de curbur R, corespunztoare curbelor ce trec prin acel punct.

, pentru (1.67)

Presupunnd c ntre dou curbe vecine exist un unghi elementar , se poate scrie:

, iar dac vom considera

(1.68)

n condiiile n care numrul direciilor , i se poate integra expresia razei medii (se trece de la sum la integral).

(1.69)

innd cont de simetria ce exist fat de direciile principale, se pot considera numai razele de curbur aferente curbelor ale cror unghiuri de orientare sunt cuprinse ntre 0 i 90o.

(1.70)

Integrala se mai poate scrie i sub forma:

(1.71)

Se noteaz:

, pentru i

(1.72)

Rezult:

: , sau

(1.73)

(1.74)

innd cont c: i , se va obine

(1.75)

Rezult c Rm este funcie de latitudinea punctului n care se determin.

1.6.5. Calculul lungimii arcului de meridian.

Se consider pe o elips meridian a elipsoidului de referin, dou puncte A i B, avnd latitudinile i cu distana ds ntre ele (fig. 1.15).

Fig. 1.15. Calculul lungimii arcului de meridian.

Se poate scrie:

, dar i

(1.76)

(1.77)

Integrala obinut se poate rezolva prin utilizarea dezvoltrilor n serie, conform relaiei:

(1.78)

Dezvoltnd n serie dup formula binomului se obine:

(1.79)

Se nlocuiesc puterile liniei trigonometrice i , neglijndu-se ceilali termeni, prin liniile trigonometrice ale unghiurilor multiple:

;

(1.80)

(1.81)

nlocuind i efectund calculele obinem:

(1.82)

Se noteaz:

B =

(1.83)

C =

Relaia devine:

(1.84)

Introducnd relaia n expresia lungimii arcului de meridian se obine:

(1.85)

Integrarea termen cu termen se face innd seama de relaiile cunoscute:

i

(1.86)

Integrnd n limitele aproximailor acceptate de scopul pentru care se fac calcule, se obine:

(1.87)

Formula obinut exprim forma general, dar n practic sunt ntlnite i unele cazuri particulare, ca de exemplu atunci cnd unul din puncte este situat pe ecuator.

A- este situat pe ecuator;

innd cont de aceste precizri se determin lungimea arcului de meridian de la Ecuator la un punct oarecare situat pe meridian.

(1.88)

1.6.6. Calculul lungimii arcului de paralel.

Deoarece pe elipsoidul de rotaie terestru paralelul este un cerc, calculul arcului de paralel se face pentru un arc de cerc, cunoscnd unghiul la centru egal cu diferena de longitudine , a extremitailor ce delimiteaz arcul. Se tie c raza paralelului variaz n funcie de latitudine i este dat de relaia:

(1.89)

Dar lungimea arcului de paralel dl este:

(1.90)

Fig. 1.16. Calculul lungimii arcului de paralel.

Trecnd la integral pentru limitele , corespunztoare extremitailor arcului de paralel, se obine:

Din relaie reiese c o lungime finit de arc de paralel se poate determina n funcie de raza mare de curbur, latitudinea paralelului i diferena de longitudini.

Lungimea arcului de paralel i de meridian intervin n calculul coordonatelor plane pentru sistemul de proiecie Gauss Kruger.

1.7. Curbe pe suprafaa elipsoidului de rotaie.

1.7.1. Elementul liniar al unei curbe.

Considerm un punct S1, pe suprafaa elipsoidului i un element de curbur ds, avnd azimutul (unghiul de orientare) oarecare.

Fig. 1.17. Calculul elementului liniar al unei curbe.

Pentru o suprafa oarecare coordonatele carteziene ale unui punct sunt funcie de coordonatele geografice elipsoidice:

, ,

(1.92)

n cazul elipsoidului de rotaie coordonata z este funcie numai de latitudinea punctului .

Elementul liniar al unei curbe oarecare situate pe o suprafa poate fi determinat printr-o relaie de forma:

(1.93)

Pentru exprimarea elementului liniar al curbei n funcie de coordonatele geografice elipsoidice i de cele carteziene se va diferenia dx, dy i dz, obinnd:

(1.94)

nlocuind i efectund calculele se va obine:

(1.95)

S-a fcut notaiile:

(1.96)

Relaia poart numele de prima form fundamental ptratic a suprafeei S, iar E, G i F sunt coeficienii ei.

Dac elementul de arc ds s-ar afla pe una din axele de coordonate atunci se obin urmtoarele relaii:

pentru - puncte pe aceeai paralel

sau

(1.97)

pentru - puncte pe acelai meridian

sau

(1.98)

n cazul particular, cnd suprafaa S este chiar elipsoidul de rotaie terestru, meridianul cu M, raza de curbur, rezult pentru elementul de arc corespunztor:

(1.99)

Analog pentru un cerc paralel de raz r, rezult:

(1.100)

Paralelele i meridianele fiind curbe perpendiculare situate pe suprafaa elipsoidului de rotaie obinem:

.

(1.101)

Comparnd expresiile elementului liniar pentru o suprafa oarecare i pentru elipsoid rezult valorile coeficienilor E, F i G

, i

(1.102)

Aadar pentru orice suprafa de revoluie, atunci cnd sistemul de coordonate este ortogonal, este satisfcut relaia

F=0(1.103)

1.7.2. Unghiul format de liniile de coordonate.

Fig. 1.18. Calculul unghiului dintre liniile de coordonate.

Se tie c un vector este un segment de dreapt orientat, caracterizat prin:

modul, notat a, caracterizat prin direcie i sens, punct de aplicaie.

Proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate vor fi:

,

,

(1.104)

,

- cosinuii directori ai unghiurilor dintre vectori i axele de coordonate.

Deci un vectur poate fi scris fie n funcie de proieciile pe axe , fie n funcie de cosinuii directori .

Cosinuii directori ai tangentei , la o curb oarecare

S1, S2 sunt:

; ;

(1.105)

ds = elementul de arc

innd cont de expresiile lui dx, dy i dz se poate scrie:

; ;

(1.106)

Pentru cazurile particulare i , se scrie:

; ;

(1.107)

; ;

(1.108)

Notnd cu unghiul dintre liniile de coordonate generale i , se poate scrie:

(1.109)

nlocuind expresiile cosinuilor directori se obine:

;

(1.110)

Condiia necesar i suficient ca liniile de coordonate s fie ortogonale, adic s se intersecteze sub unghi drept, este dat de F=0, adic: sau

(1.111)

1.7.3. Calculul elementului de arie.

Fig. 1.19. Calculul elementului de arie.

Pentru domenii mici, cnd elementul de arc poate fi considerat egal cu elementul de coard, elementul de arie pe o suprafa oarecare (fig. 1.19) se determin n mod asemntor cu cel din plan, utiliznd o relaie de forma:

(1.112)

Dup cum s-a artat anterior exist:

(1.113)

nlocuind n expresia lui ds, se obine:

(1.114)

n cazul unui sistem ortogonal de coordonate este ndeplinit condiia F=0, adic , iar pentru elipsoidul de rotaie terestru: i

(1.115)

Dac suprafaa terestr se aproximeaz cu o sfer de raz medie Gauss, elementul de arie devine:

(1.116)

Pentru suprafee mici se aplic relaia:

(1.117)

Aria unui element de , diferen de longitudine i latitudine este funcie de latitudinea la care se afl acea suprafa pe elipsoid.

;

;

1.7.4. Azimutul unei curbe.

Azimutul unei curbe pe suprafaa terestr general S, se noteaz cu A i este unghiul pe care-l face elementul de arc dS al curbei cu direcia pozitiv a liniei de coordonate , sau unghiul format de curb cu direcia nord a meridianului (fig. 1.17).

Valoarea azimutului poate fi calculat cu ajutorul relaiei care d cosinusul unghiului dintre liniile de coordonate, n care se consider o curb oarecare i un =constant.

(1.118)

i - sunt coiniii directori ai tangentei la curba oarecare, respectiv ai tangentei la curba 1=ct

; ;

(1.119)

; ; ;

nlocuind n relaia cosA i innd cont de expresiile coeficienilor E, F i G se va obine:

(1.120)

tiind c , se poate deduce:

(1.121)

Pentru un elipsoid de rotaie relaia se poate scrie sub forma:

i

(1.122)

Atunci cnd se consider un domeniu infinit mic, lungimea unui arc de meridian i de paralel se determin cu relaiile:

i

rezult c:

i

(1.123)

Se poate determina i valoarea tangentei la curba dat:

(1.124)

Din relaia tangentei rezult o relaie foarte important pentru teorema lui Clairaut.

ntr-un punct dat de pe suprafaa elipsoidului de rotaie, raza paralelului r i raza de curbur a elipsei meridiane M, sunt constante, deci i raportul lor din relaia de mai sus este constant. Valoarea raportului este proporional cu panta tangentei la curbur.

1.8.1. Seciuni normale, direct i invers.

Se consider pe suprafaa elipsoidului de rotaie dou puncte A i B, pe dou meridiane diferite i avnd latitudinile i , cu