Geoestadistica Lineal

GEOESTADÍSTICA Geoestadística Lineal

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CURSO DE GEOESTADISTICA INGENIERIA EN MINAS

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1


2


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

• SERGE SEGURET “APUNTE DE TRABAJO ENSMP” • DAVID M. “GEOSTATISTICAL ORE RESERVE

ESTIMATION”

• XAVIER EMERY “CURSO : GEOSTADISTICA LINEAL UNIVERSIDAD DE CHILE “

• MARCO ALFARO “CURSO DE GEOESTADISTICA UNIVERSIDAD

DE ANTOFAGASATA”

• MARCO ALFARO “ APLICACIÓN DE LA TEORIA DE VARIABLES REGIONALIZADAS”

• CLAUDIO PACHECO “APLICACION PRACTICA DE LA

GEOESTADISTICA A UN YACIMIENTO SIMULADO”

• MARIO ROSSI “GEOESTADISTICA DE INDICADORES”

• BUSTILLO R./ LOPEZ J. “MANUAL DE EVALUACIÓN Y DISEÑO DE EXPLOTACIONES MINERAS”

• HOWARD L. HARTMAN “SME MINING ENGINEERING HANDBOOK” • JOSE DELGADO “APUNTES DE TRABAJO U.A”

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3


1. INTRODUCCION 1.1 DEFINICION E HISTORIA. La geoestadística es una disciplina relativamente nueva que se ha desarrollado y consolidado en los últimos treinta años como una ciencia predictiva, con una sólida base teórica y un decidido énfasis en aplicaciones a casos de la vida real, como por ejemplo a la estimación de reservas de minerales. La geoestadística existe únicamente como respuesta a necesidades prácticas concretas (y esta es la base de su éxito). Con esta filosofía, la Geoestadística nació por inspiración de un ingeniero de minas sudafricano, Daniel Krige, (Krige 1951; Krige, 1957), se desarrolló por más de quince años casi exclusivamente en el campo minero, y se mantiene aún como una ciencia aplicada. En un esfuerzo por generar un modelo teórico, fue la escuela matemática francesa la que consolidó sus bases en lo que hoy se conoce como la teoría de las variables regionalizadas ( George Matheron, 1962). Esta concepción teórica nace de la necesidad de diferenciar datos numéricos, aparentemente del mismo tipo, pero cuya posición espacial, los hace distintos para análisis geológicos. Esto ha originado una nueva definición de la geoestadística; la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas al reconocimiento y estimación de un fenómeno natural. 1.2. CAMPO DE APLICACION El campo de aplicación más importante de la geoestadística es, sin duda, la minería. Sin embargo, el formalismo teórico que la sustenta es de un carácter más general, permitiendo que esta teoría se aplique a muchos campos distintos al ámbito minero, como son la gravimetría, hidrogeología, reconocimiento forestal, ecología, etc.

Ejemplos importantes de aplicación son: • En la predicción de leyes de mena globales (de todo un depósito) o locales (por

ejemplo, predicciones de la ley de mena de la semana entrante o de un cierto sector del yacimiento).

• En la aplicación de sus contenidos temáticos durante las distintas fases de la

exploración, particularmente en la decisión de dónde y cuánto muestrear (planificación minera).

• En la determinación de las mezclas óptimas de mineral para su envío a la planta.

3


4


1.3 IMPORTANCIA DE LA GEOESTADISTICA EN LA MINERIA La Geoestadística considera que cualquier punto de un depósito está espacialmente relacionado con sus vecinos y cuanto más cerca mucho mayor es la correlación. Basado en esta hipótesis, la geoestadística se convierte en una avanzada herramienta para la estimación de reservas, resolviendo en gran medida las dudas planteadas por otras técnicas. La base teórica de la geoestadística permite cuantificar los conceptos geológicos de: • Area de influencia ( rango) • Erraticidad del depósito en estudio ( efecto pepita) • Zonas de alta, regular y baja mineralización ( anisotropía) • Estimación, inferencia o interpolación de valores a zonas donde no se tiene

información, minimizando el error posible. • Error de estimación para cada punto o bloque estimado, lo cual permite conocer los

límites de confiabilidad de la estimación.( Ninguna otra técnica permite conocer estos valores punto a punto).

• Optimización del muestreo para reducir el error de estimación, y por consiguiente tener un gran ahorro económico para futuras campañas de muestreo en el mismo depósito.

• Gráfica de toda esta información, lo que representa una valiosa ayuda en la toma de decisiones.

La Geoestadística no resuelve todos los problemas en la estimación de recursos minerales, puede considerarse como una herramienta que bien usada puede dar muy buenos resultados. Un punto que se debe enfatizar es que cualquiera sea el método de estimación que se use, siempre el resultado conlleva algún error y la Geoestadística no es inmune a esta situación. No se debe olvidar que el objetivo principal de una estimación de reservas consiste en tratar de representar los resultados de los análisis de los datos del muestreo a todos los puntos del depósito que interesa, y por lo tanto, obtener el dato de ley y tonelaje que más se ajuste a la realidad.

La siguiente figura N° 1 representa en forma esquemática la función de la Geoestadística:

4


5


GEO

ESTA

DIS

TIC

AU

NIV

AR

IAB

LE

ESTA

CIO

NA

RIO

ESTA

CIO

NA

RIO

NO

EST

AC

ION

AR

IO

GEO

ESTA

DIS

TIC

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IVA

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BLE

LIN

EAL

NO

LIN

EAL

LIN

EAL

LIN

EAL

KR

IGIN

G

OR

DIN

AR

IO

KR

IGIN

G

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R

KR

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G

LOG

NO

RM

AL

KR

IGIN

G

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KR

IGIN

G

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CIO

NC

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AL

CO

KR

IGIN

G

CO

KR

IGIN

G

IND

ICA

DO

R

NO

LIN

EAL

LIN

EA

LN

O L

INE

AL

5


6


2. VARIABLES REGIONALIZADAS 2.1 DEFINICION La Geoestadística establece que la distribución estadística de la diferencia en el valor de una variable (ley) entre pares de puntos (muestras) es similar a lo largo del yacimiento y que depende de la distancia y orientación entre los pares de puntos. Este concepto, denominado concepto de estacionariedad, es el punto de partida de la Geoestadística y, aunque no siempre se cumple, muy frecuentemente se asume. Así pues, si bien la Estadística clásica considera sólo la magnitud de los datos y no toma en cuenta ningún aspecto relacionado con la posición del dato, la Geoestadística considera no sólo el valor del punto, sino también la posición de ese punto dentro del cuerpo mineralizado y su relación con otras muestras. Desde un punto de vista práctico, estacionariedad implica la decisión de trabajar con muestras localizadas en una determinada área, en forma conjunta y derivar estadísticas e inferir parámetros de la función aleatoria de ellas. Si una función aleatoria es estacionaria, entonces los descriptores univariables (como por ejemplo la media, o la mediana) son independientes de las coordenadas de la muestra. De la misma manera, parámetros como la covarianza o el correlograma son independientes de la ubicación de cada una de las variables, y dependientes de su separación.

Una regionalización es el desplazamiento en el espacio (o en el tiempo) de un cierto fenómeno que puede caracterizarse por magnitudes. Una variable puede considerarse "Regionalizada" si está distribuida en el espacio y si tiene (o muestra) algún grado de correlación espacial. La ley de mena, espesor de una formación y la cota (altitud) de la superficie de la tierra, son ejemplos de variables regionalizadas. En realidad, casi todas las variables que se encuentran en las ciencias de la tierra pueden ser consideradas como variables regionalizadas. Una variable regionalizada es una función Z(x), que representa el valor, según su ubicación en el espacio, de una variable asociada a un fenómeno natural. Pero esta función Z(x) no se comporta como las funciones matemáticas clásicas, debido que es muy desordenada en su variación espacial. (ver Fig. N° 2) FIGURA N° 2 COMPORTAMIENTO IDEAL

z(x)

x

z(x)

x

Lo idealmatemáticamente

6


7


Una variable regionalizada se presenta bajo dos aspectos aparentemente contradictorios: • Un aspecto aleatorio : gran irregularidad y variaciones imprevisibles de un punto

a otro. • Un aspecto estructural : particular a cada regionalización. 2.2 NOTACIÓN CONDENSADA. Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas se menciona que en geoestadística se utiliza la notación condensada: un punto del espacio se representa por la letra x; la ley en este punto se representa por Z(x). En consecuencia, se pueden anotar: Z(x) para una variable regionalizada en un problema unidimensional. (1-D) Z(x,y) para una variable regionalizada en un problema bidimensional. (2-D) Z(x,y,z) para una variable regionalizada en un problema tridimensional. (3-D) 2.3 CAMPO Y SOPORTE. Se llama campo a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. El soporte es el volumen de la muestra (que puede ser el volumen que se saca para medir ley). Se usa para indicar el tamaño, la forma y orientación de la muestra, es decir el volumen y la geometría de la muestra. (ver Fig. N° 3) El punto x¯es el centro de gravedad del soporte. FIGURA N° 3 SOPORTE

Testigocilíndrico

x

7


8


Se usará Z(x) para representar la ley del volumen de muestra localizado en el punto x. Nota: en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes diferentes. 2.4 OBJETIVOS DE LA TEORÍA. La teoría de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales: A. En el plano teórico, expresar las características estructurales de una variable regionalizada mediante una forma matemática adecuada. B. En el plano práctico, resolver el problema de la estimación de una variable regionalizada, a partir de un muestreo fragmentario. A. Características Estructurales Se entiende por características estructurales: A.1. Continuidad de las leyes: Diferenciar y caracterizar la regularidad de un

yacimiento en casos tales como en la Fig. N° 4 FIGURA N° 4 CONTINUIDAD DE LAS LEYES

Yacimiento 1Z (x)1

x

Z (x)2

x

Yacimiento 2

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9


A.2. Anisotropía: Detectar direcciones privilegiadas de la mineralización (ver Fig. N°5)

B. Problema de Estimación Se entiende por resolver el problema de estimación, el determinar de manera satisfactoria una estimación de una variable regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las estimaciones (globales y locales).

(Ec. 1) Los dos objetivos están relacionados: el error de estimación depende de las características estructurales (continuidad, anisotropías) y se tendrá un error mayor si la variable regionalizada es más irregular y discontinua en su variación espacial. Para alcanzar estos objetivos es necesario introducir un modelo matemático. 3.2.1. MODELO MATEMATICO

Para alcanzar los objetivos propuestos por la geoestadística es necesario disponer de un modelo matemático. La geoestadística utiliza una cierta interpretación probabilística de la variable regionalizada, mediante el modelo de las funciones aleatorias.

En estadística clásica, se consideran los valores muestreados como realizaciones independientes de una misma variable aleatoria, es decir, que se suponen independientes unas de otras, y obedecen a la misma ley de probabilidad. Se busca entonces modelar la distribución de probabilidad de los valores y estimar sus parámetros. Sin embargo, cuando

Anisotropía

Hay una dirección privilegiada de la veta

FIGURA N° 5 ANISOTROPIA

9


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los datos están ubicados en el espacio geográfico, las hipótesis de la estadística clásica son raramente aceptables. Por lo tanto se debe definir el concepto de variable regionalizada, que se trata simplemente de una función definida en todo punto del espacio geográfico y que representa numéricamente el fenómeno regionalizado estudiado. Una variable regionalizada posee las siguientes características, contradictorias en apariencia: 1) localmente, es muy irregular, o errática, y requiere un modelamiento probabilístico; 2) globalmente, presenta cierta estructura en el espacio (zonas de altos valores o “ricas” /

zonas “pobres”), lo que sugiere una cierta interpretación funcional.

Los modelos geoestadísticos consideran el valor z(x) de la variable regionalizada en un punto x del campo D como una realización de una variable aleatoria Z(x). Las variables aleatorias Z(x) así definidas no son independientes. Por el contrario, están correlacionadas, y son precisamente sus correlaciones las que reflejarán la “estructura” del fenómeno regionalizado, y en especial su grado de continuidad y regularidad espacial. Así en

global local

zona rica

zona pobre

0 20 402

4

6

8

10

12

14

z(x)

0 200 400 0

5

10

15

20

25

30

z(x)

FIGURA N°6: Aspectos local y global de una variable regionalizada

10


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geoestadística probabilística, se interpreta la variable regionalizada como una realización de una función aleatoria.

Llamamos funciones aleatorias a un grupo de variables aleatorias distribuidas en el espacio, cada una identificada por su correspondiente coordenada espacial, y cuya dependencia entre sí está gobernada por un mecanismo probabilistico. Es decir, una función aleatoria es una función Z(x) que asigna a cada punto x del espacio un valor que depende del azar. Al hacer un experimento sobre una función aleatoria se obtiene un a función ordinaria z(x) llamada realización de la función aleatoria Z(x).

La hipótesis constitutiva de la geoestadística consiste en afirmar que la variable regionalizada en estudio es la realización de un acierta función aleatoria. Lo anterior equivale a decir que las leyes de nuestro yacimiento se generaron a partir de un proceso o experimento muy complejo.

Este enfoque permite tomar en cuenta los aspectos erráticos y estructurados de la

variable regionalizada: 1) localmente, en el punto x, Z(x) es una variable aleatoria (de donde proviene el aspecto

errático); 2) para todo conjunto de puntos x1, x2,… xk, las variables aleatorias Z(x1), Z(x2),… Z(xk)

no son, en general, independientes, sino que están ligadas por unas correlaciones que cuantifican la “semejanza” entre los valores que toman (de donde proviene el aspecto estructurado).

En geoestadística lineal, se usan sólo los dos primeros momentos (Los momentos de una función aleatoria son parámetros descriptivos de su ley espacial, bastantes simples, como para ser, a menudo, fáciles de calcular.) de la función aleatoria. Entregan una descripción elemental de la ley espacial, y son suficientes para resolver la mayor parte de los problemas encontrados en la práctica. 3.2.2. CONTINUIDAD ESPACIAL. En geoestadística se entiende por medida de la continuidad espacial al análisis de covariogramas, variogramas y correlogramas. Se presentan a continuación algunas funciones básicas utilizadas para describir la medida de la continuidad espacial entre dos variables:

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3.2.1. Covariograma

(Ec. 2) Donde N(h) es el número de parejas (z(xi), z(xi + h)) de datos a una distancia h dada. m-h es la media de los valores izquierdos (si existen) de las parejas de datos a distancia h, definida por:

(Ec.3) Análogamente,

(Ec. 4) Define la media de los valores derechos (si existen) de las parejas de datos a distancia h. 3.2.2. Correlograma

(Ec. 5) donde C(h) es la covarianza, s-h y s+h son las varianzas correspondientes a cada lado de los pares a distancia h.

12


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3.2.3. Variograma Es una representación gráfica de la interdependencia direccional de las leyes de las muestras.

(Ec. 8) 3.3. RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES DE MEDIDA DE LA

CONTINUIDAD ESPACIAL Las relaciones entre las funciones con que se caracteriza a la continuidad espacial se cumple si los datos son considerados como estacionarios. El carácter estacionario implica la homogeneidad de Z(x) en el espacio y significa que el fenómeno representado Z(x) se repite indefinidamente en el espacio. Una función aleatoria es estacionaria de segundo orden si la variable aleatoria z(x0) admite una esperanza matemática independiente del punto de apoyo x0:

m = E { Z (x)} (Ec. 9)

(Ec. 6)

(Ec. 7)

13


14


y si para todo vector h la covarianza está dada por: C(h) = E { Z(x0) Z(x0+h) } (Ec. 10) existe y es independiente de x0. La covarianza da una visión elemental del “acoplamiento” que existe entre Z(x1) y Z(x2). Es una forma bilineal, donde la varianza es la forma cuadrática asociada. Pero esta hipótesis supone la existencia de una varianza a priori finita C(o), es decir C(0) = E { [Z(x)]2 } (Ec.11) que es la varianza de la variable aleatoria Z(x0).

Es así como los autores de Africa del Sur (D.G. Krige..) a partir del enorme archivo de datos del Yacimiento de Oro de Rand, calcularon la varianza de estas muestras en paneles más y más grandes, finalmente en todo el conjunto del Yacimiento de Rand se pudo concluir con certeza que no existe en este caso una varianza a priori finita.

Luego se debió reemplazar la hipótesis estacionaria de segundo orden por una hipótesis más débil, pero de significación análoga: Hipótesis Intrínseca: Aún en el caso en que la varianza a priori C(o) no existe (es infinita) puede suceder que los incrementos: Z (x0+h) - Z(x0) tengan una varianza finita. Diremos entonces que la función aleatoria Z(x) verifica la hipótesis intrínseca si, para todo vector h, el incremento Z (x0+h) - Z(x0) verifica las hipótesis: Hipótesis Intrínseca

(Ec. 12)

E [ ] = m (h)Z Z(x+h) - (x)

14


15


Luego la función g (h) :

(Ec. 13)

Se llama semivariograma o función intrínseca. Una función aleatoria que verifica la hipótesis intrínseca constituye lo que se llama esquema intrínseco, caracterizado por su semivariograma.

Si Z(x) verifica la hipótesis estacionaria de segundo orden, el variograma y covariograma estarán relacionados:

La relación entre el semivariograma y el covariograma cuando las condiciones de

estacionaridad de segundo orden se cumplen está dada por:

(Ec. 15) donde s2 es la varianza de los datos, C(h) es el covariograma. La relación entre el semivariograma y el correlograma queda dada por:

E [ - ]z(x+h) z(x)

E {[ ] }2z(x+h) - z(x)

2γ (h)

= E [ z(x+h)] - E[ z(x) ] = 0

= E { [ [ z(x+h)] + [ z(x) ] - 2 z(x+h) z(x)] }2 2

γ (h) = [ - (h)]Cσ2

= E{ [ z(x) ] } - 2E

E{ [z(x+h) ] } + [ 2 2 z(x+h) z(x)]

= 2 (0) - 2 (h), C C luego se tiene

γ (h) = σ2 - (h)C

(Ec. 14)

15


16


(Ec. 16)

γ (h) = σ ρ2 [ 1- (h)]

γ( )hCo γ( )h

h

σ2

Co

γ( )h En general se cumple: σ =/ 02

ρ(0) =1 =/ 0

γ(0) = 0

γ( )h

h

C(h)= σ −γ( )2 h

σ2

FIGURA N° 3.8

FIGURA N° 3.9

16


17


4. VARIOGRAMA 4.1 DEFINICION Puesto que la Estadística clásica considera las muestras como aleatorias y completamente independientes entre sí, mientras que la Geoestadística asume una correlación entre ellas, una forma de expresar dicha correlación es a través de una función denominada variograma o semivariograma

El Variograma es considerado un elemento esencial en el análisis espacial de datos.

Básicamente, el Variograma es una herramienta matemática que intenta capturar el nivel de continuidad de una función aleatoria. David (1978) define el Variograma como una función que mide el grado de similitud (correlación) o dependencia entre dos pares de muestras separadas a una distancia h, en una dirección establecida. (ver Fig. N°10) FIGURA N° 10 VARIOGRAMA

Esta función define, por tanto, la correlación espacial entre los valores muestreados. El variograma o semivariograma se obtiene calculando, para cada distancia de separación entre las muestras (lag) en una determinada dirección, la diferencia al cuadrado de los valores de dichas muestras. La definición teórica de la función semivariograma g (h) es:

(Ec. 17)

x

x+ h

γ (h) = (1/2) E [ z(x+h) - z(x)]2

17


18


Y en la práctica se usa el algoritmo siguiente:

(Ec. 18) Propiedades del Variograma: • El variograma es simétrico: �(h) � �(h). • Se anula en el origen: �(0) � 0. • Es positivo o nulo: �(h) ≥ 0. La gran ventaja del variograma es que incorpora parámetros estructurales tales como: • Continuidad o falta de continuidad de la mineralización se refleja en la razón del

incremento del g (h) para valores pequeños de h. • Zona de influencia conocido como alcance y que representa la distancia en la cual

influye el valor de una muestra sobre las muestras vecinas. • Anisotropía es una medida de los cambios laterales en la mineralización. • Correlacion es conocido como meseta y representada en el gráfico por la altura

máxima que alcanza. También es la variación que existe entre las muestras separadas a cierta distancia dentro de un depósito mineral.

La velocidad del incremento de g(h) con el lag es un reflejo de la velocidad a la cual la

influencia de una muestra disminuye con la distancia, y nos da una definición adecuada de la denominada zona de influencia. La distancia en la que g(h) se hace constante corresponde al punto en el que la covarianza cov(h) entre muestras adyacentes disminuye hasta cero. Esta distancia define el límite de la zona de influencia de una muestra.

γ (h) = (1/2) Promedio { (diferencias) de leyesen datos que están ala distancia h

2 }

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4.2. CONSTRUCCION DE UN VARIOGRAMA Antes de construir el variograma asociado a una variable regionalizada es conveniente efectuar un análisis de los datos. Entre otras cosas hay que examinar: • Soporte de la variable: ¿ está bien definido? • Método de muestreo. • Implantación y orientación de sondeos. • Técnicas de análisis: ¿existen errores de cuarteo, de análisis? • Crítica general del reconocimiento. ¿es sistemático, existen sesgos? • Homogeneidad: no mezclar zonas heterogéneas. La siguiente figura N° 11 muestra el papel del variograma como herramienta en el análisis espacial de datos. En la práctica, la construcción de un Variograma se puede lograr en una, dos o tres dimensiones (en otras palabras, en una línea, una superficie o un volumen).

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TIPO

S

ESTR

UC

TUR

AS

AN

ISO

TRO

PIA

S

SOPO

RTE

CO

RR

EGIO

NA

LIZA

CIO

N

VAR

IOG

RA

MA

SIM

PLE

VAR

IOG

RA

MA

IND

ICA

DO

R

VAR

IOG

RA

MA

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IDU

AL

VAR

IOG

RA

MA

CR

UZA

DO

VAR

IOG

RA

MA

REL

ATIV

O

ZON

A D

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FLU

ENC

IAC

ON

TIN

UID

AD

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CA

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OR

IGEN

MES

ETA

RA

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O

a1

a2

RA

NG

OS

a1

a2

ELI

PTI

CO

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AD

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HO

R.

VE

R.

PUN

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RAM

A

MU

ESTR

AS

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CO

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NU

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OR

IO

VAR

IAB

LE 1

AN

ALIS

ISG

EOE

STA

DIS

TIC

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IAB

LE

AN

ALIS

ISG

EOE

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DIS

TIC

OM

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IVAR

IABL

E

VAR

IAB

LE 2

VAR

IOG

RA

MA

CR

UZA

DO

{ {

20


21


4.2.1.1. COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS

Se estudiará el comportamiento de la función g(h), para distancias pequeñas. Se analizará cuatro casos en la siguiente figura N° 12 FIGURA N° 12 VARIOGRAMAS PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS • Caso 1: Leyes muy regulares y continuas. Z(x) es una función muy regular, su interpretación en un variograma es en forma parabólica en el origen.

• Caso 2: Leyes un poco irregulares. En este caso la interpretación a través un variograma genera un comportamiento lineal en el origen.

Ley

0 xx x+h

γ( )h

0 h

Ley

0 x

γ( )h→

0 h→

21


22


Caso 3: Leyes con microvariaciones. Su interpretación a través de un variograma genera un efecto pepita, es decir existe una discontinuidad aparente.

• Caso 4: Leyes con Irregularidad total. (sin ninguna relación)

γ( )h→

LeyI I

0 x 0 d h→

γ( )h→

Ley

I I

0 x 0 h→

Co

22


23


4.2.1.2. COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS GRANDES

Se estudiará el comportamiento de la función g(h), para distancias grandes. Se analizará tres casos en la Fig. N° 13 FIGURA N° 13 VARIOGRAMAS PARA DISTANCIAS GRANDES • Caso 1: Leyes con crecimiento (decrecimiento) progresivo.

• Caso 2: Leyes con pseudo-periodicidades . En el caso que exista periodicidad no se observa una tendencia clara del variograma a escala de observación que se tenga. Normalmente entre lo que podría llamarse un ciclo, se observa la formación de una dispersión que frecuentemente se conoce como efecto hoyo.

Ley

0 x 0

γ( )h→

h→

Ley

0 x 0

γ( )h→

h→

23


24


• Caso 3: Fenómeno estacionario (sin pseudo periodicidades y tendencias).

4.2.2. CONSTRUCCION DE UN VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR

BIDIMENSIONAL. Se usará una malla regular (ver fig. N° 14) para una mejor visión gráfica. FIGURA N° 14 MALLA REGULAR BIDIMENSIONAL.

Se sabe que el semivariograma depende de “h” que ahora toma un carácter vectorial en dos dimensiones. (ver fig. N° 15)

Ley

0 x 0 a

γ( )h→

h→

θ

24


25


FIGURA N° 15 DIAGRAMA VECTORIAL En este caso h es un vector h = (hx, hy) coordenadas cartesianas h = (h,θ) coordenadas polares

La práctica demuestra que para estudiar la estructura basta con calcular el variograma g (h) en cuatro direcciones. Por ejemplo: q = 0°, q = 45°, q = 90°, y q = 135°. 4.2.3 CONSTRUCCION DE UN VARIOGRAMA PARA UNA MALLA IRREGULAR

BIDIMENSIONAL. En la figura N° 16 puede verse la localización irregular de los datos. FIGURA N° 16 MALLA IRREGULAR BIDIMENSIONAL.

hx

hyh

θ

25


26


Para calcular el variograma a una distancia h=(hx, hy) lo más probable es que no se encuentre ningún o muy pocos pares de datos que estén exactamente a esa distancia. El método de los sectores puede solucionar este problema. • Método de los sectores. Este método se basa en la aproximación siguiente, determinada por los elementos de la ilustración que se muestra en la figura N° 17: Dos puntos se considerarán a la distancia h si una vez fijado el primero, el segundo cae en la zona achurada de la figura. FIGURA N° 17 FIGURA DE BUSQUEDA

A

h = h = h1 2

B

26


27


En ella se ha procedido como sigue: 1. Se fija un punto A en uno de los datos de la malla irregular, respecto del cual se va

identificar la distancia h. 2. Con vértice en A, se definen los parámetros de construcción de la figura de

búsqueda (sector achurado) en donde se identifica: • Un ancho de Banda (máximum bandwidth) • Un ángulo de tolerancia ( q ) • Una tolerancia en distancia (e). 3. Una vez establecido el sector achurado o lag, se determina la pareja asociada a AB,

donde B es un dato del lag a la distancia h de A. 4. Al pasar por cada uno de los datos se realiza el procedimiento anterior para

determinar el número de parejas asociados a distintas distancias h (identificados por los lag en la fig. N° 3.18).

FIGURA N° 3.18 FIGURA DE BUSQUEDA A DISTINTOS LAG

Nota: Estas figuras de búsquedas se realizan en las direcciones principales de estudio.

Dirección

Maximunbandwidth

lag 0

lag 1

lag 2lag 3

lag 4lag Tolerancia

lag deespaciamiento

Y

X

ToleranciaAngular

27


28


Este método tiene problemas, ya que pueden caer más de un dato en la zona achurada; en este caso se considera la media de los datos. 4.2.4 ANÁLISIS DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL VARIOGRAMA. El Variograma es un gráfico en dos dimensiones donde el eje horizontal representa la distancia entre pares de muestras y el eje vertical representa el variograma de los datos analizados en una dirección dada, como se observa en la figura N° 19: FIGURA N° 19 ELEMENTOS DEL VARIOGRAMA

• El rango o alcance es la distancia h a la cual el variograma alcanza la meseta. • El efecto pepita es identificado por Co , valor determinado por la proyección de la

trayectoria del variograma, hasta cortar el eje vertical. Si Co > 0 entonces, existe una concentración de microvariaciones y/o a errores en la manipulación, preparación o análisis químico de la muestra.

• El efecto pepita incrementa la varianza total del variograma. • El alcance “a” proporciona una medida de la zona de relación entre muestras (ver Fig.

N° 20) a distancia h £ a (correlacionadas), donde:

• Una distancia mayor al rango o alcance indica que las muestras se consideran independientes.

• Una distancia menor al rango o alcance indica muestras correlacionadas entre sí.

γ( )h

0 h{

MESETA = CO

CO

C

a

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29


FIGURA N° 20 DIAGRAMA DE RELACION ENTRE MUESTRAS

4.3 AJUSTE DEL VARIOGRAMA

Como se verá posteriormente, la estimación de la variable en un punto a través del Krigeage necesita de la utilización del semivariograma, pero no en la forma del semivariograma experimental, pues éste posee numerosas zonas donde no existen valores concretos (únicamente existen valores definidos en aquellos lugares donde se ha realizado el muestreo). Por tanto, puede resultar necesario definir el valor de la variable en puntos donde el semivariograma experimental no ofrece información suficiente. Para ello, es necesario construir un modelo que sí nos permita obtener dicha información. Ahora bien, la pregunta que surge es: ¿qué modelos pueden utilizarse?. A continuación se va a intentar resolver esta pregunta de la forma más sencilla posible.

La información más interesante que debería considerarse a la hora de intentar resolver el problema de la estimación de una variable es la descripción de cómo se ha producido el fenómeno. En determinadas situaciones, los procesos físicos o químicos que generan el conjunto de datos pueden ser conocidos con suficiente detalle como para avanzar una descripción completa del perfil a partir de unos únicos valores. En dichas situaciones, aplicar modelos determinísticos sería lo más apropiado. Sin embargo, desgraciadamente son pocos los procesos naturales cuyas pautas de comportamiento son tan bien conocidas como para poder utilizar este tipo de modelos. La mayor parte de estos procesos son, en realidad, el resultado final de una combinación de variables cuyas complejas interacciones impiden describir el fenómeno cuantitativamente.

En las Ciencias de la Tierra es necesario admitir la existencia de incertidumbre en el comportamiento del fenómeno entre los puntos muestreados, por lo que es imprescindible acudir a los modelos de funciones aleatorias, que permiten resolver esta problemática planteada. Por esta razón, los estudios de estimación geoestadística se basan en modelos probabilísticos que reconocen estas incertidumbres. En los modelos probabilísticos, el conjunto de datos se muestra como el resultado de la actuación de procesos aleatorios.

Independenciax -a0

a ax0 x +a0

IndependenciaRelación

Datos

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Una variable aleatoria es aquella cuyos valores se generan aleatoriamente de acuerdo con un mecanismo probabilístico. El ejemplo clásico de este tipo de variables aleatorias sería el resultado de tirar un dado, cuyas realizaciones se reparten aleatoriamente entre las seis posibilidades existentes en el dado. De igual forma, se puede definir una función aleatoria como un conjunto de variables aleatorias que tienen alguna localización espacial y cuya dependencia, una de otra, viene determinada por algún mecanismo probabilístico. Este tipo de funciones aleatorias son las que utiliza la Geoestadística.

Aunque el ajuste de un modelo a un semivariograma experimental es la forma más

común de aproximación al esquema de continuidad espacial, no es la única ni necesariamente la mejor. Existen numerosas situaciones en las que la selección del modelo adecuado se debe basar principalmente en aproximaciones cualitativas. La experiencia con conjuntos de datos semejantes puede constituir una guía más óptima que el simple esquema mostrado por unas pocas y solitarias muestras. Más aún, la posible existencia de un semivariograma aparentemente sin posibilidad de modelización no debe obviar este proceso, pues, muchas veces, problemas como un número insuficiente de muestras, errores en el muestreo, valores erráticos, etc., pueden enmascarar el esquema real de continuidad espacial. En resumen, la selección del modelo a aplicar es un cuidadoso proceso en el que se deben considerar todos los aspectos involucrados.

Tal como se ha indicado, existe un grupo de modelos que constituyen la base más

frecuente a la hora de optar por el modelo más adecuado al semivariograma experimental, todos ellos cumpliendo la condición matemática anteriormente citada. Aunque este cumplimiento pueda parecer, en principio, una restricción, no lo es tanto, pues la combinación de los diferentes modelos genera otros que también cumplen dicha condición, por lo que el abanico final es lo suficientemente amplio como para satisfacer las necesidades requeridas. En otras palabras, cualquier modelo, o combinación de modelos, de los que a continuación se van a citar, permite ajustar todos los semivariogramas que puedan aparecer en el estudio de las variables de carácter minero.

El ajuste del variograma teórico debe representar fielmente los aspectos que

considera importantes el variograma experimental (ver Fig. 21). Es el variograma teórico el que será utilizado en los cálculos posteriores. Se distinguen dos tipos de variogramas: • Variograma Experimental : Calculado a partir de los datos. • Variograma Teórico : Ecuación que se ajusta al variograma experimental

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FIGURA N° 21 GRAFICA DE AJUSTE DEL VARIOGRAMA

El variograma teórico debe respetar al variograma experimental, sobre todo en los primeros puntos, ya que son los más confiables. Para tener un buen ajuste es necesario considerar una cierta vecindad restringida de manera de no considerar demasiadas muestras para estimar la ley del bloque.

Los modelos a considerar se pueden agrupar en dos grandes categorías: (a) los que alcanzan una meseta (modelos de transición) y (b) los que no alcanzan una meseta.

En el primer grupo se incluyen aquellos modelos en los que la curva asciende de

forma continuada hasta alcanzar un nivel, denominado meseta. La distancia a la que alcanzan la meseta se denomina alcance o rango. Entre estos modelos, los más característicos son el exponencíal y el esférico o Matheron. En el segundo grupo están los que van incrementándose a medida que la distancia aumenta, sin llegar a alcanzar una meseta. Los más representativos son el lineal y el de Wijsian. A continuación se van a describir todos ellos, centrándose, especialmente, en el denominado esférico o Matheron, que es el que presenta un mayor número de aplicaciones en minería.

Previamente hay que hacer constar que, teóricamente, el valor del semivariograma

para una distancia cero debería ser cero. Sin embargo, muchas veces esto no sucede, generando lo que se denomina efecto pepita (Co) (el nombre hace mención a la aparición, mas o menos errática, de pepitas de oro en algunos yacimientos auríferos). Sus causas pueden ser muy variadas: errores de muestreo, fluctuaciones de la variable a una escala menor que la de observación, etc. Dado que su presencia es bastante común, hay que

γ( )h

⎪h⎪

Variograma experimental

Variograma teórico

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acostumbrarse a trabajar con ella, lo que no necesariamente significa un menoscabo en la utilidad y exactitud de la técnica de estimación. 1) Modelo exponencial Este modelo va ascendiendo lentamente hasta alcanzar la meseta a un valor constante. Existen dos posibles esquemas: Formery y Gaussiano. El primero tiene la expresión:

g(h) = C [1 - exp(-[h/a])] + Co Done C es el valor comprendido entre el efecto pepita (Co) y la meseta, h la distancia y a representa el alcance o rango. En este esquema la tangente en el origen intercepta la meseta a un valor de a/3. Por su parte, el esquema Gaussiano posee la siguiente expresión:

g(h) = C [1 - exp(-[h2/a2])] + Co en este caso, la tangente en el origen intercepta la meseta a un valor de a/√3.

2) Modelo esférico o Matheron

El modelo esférico o Matheron es el que mejor se suele ajustar cuando se trata de variables mineras ( ley o espesor). El modelo esférico presenta una curva del semivariograma que aumenta rápidamente para bajos valores del lag para, posteriormente, ascender más lentamente hasta alcanzar una zona plana a valores del lag altos. Una tangente a la curva, dibujada a partir de los dos o tres primeros puntos, define un par de valores en el eje X (g(h)) que se denominan Co y C. Esta tangente, a su vez, intersecta la prolongación de la zona plana a 2a/√3, siendo a el punto, en el eje Y (lags), donde el semivariograma alcanza la zona plana. La distancia entre la curva y la zona plana para lags inferiores a "a" representa la covarianza entre las muestras. Más allá de a, la covarianza es cero y, por tanto, no hay relación entre las muestras tomadas a esas distancias.

g(h) = Co + C [1.5(h/a) - 0,5(h/a)3] para h < a g(h) = Co + C para h > a

Donde Co es el efecto pepita, Co +C es el valor de la meseta, a es el alcance o rango y h es el valor del correspondiente lag. Co +C viene a representar el equivalente

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geoestadístico de la varianza del conjunto de datos. Si el semivariograma muestra fluctuaciones aleatorias alrededor de una línea horizontal, entonces se tiene lo que se denomina efecto pepita puro, siendo mejor, en este caso, llevar a cabo la evaluación del yacimiento por cualquiera de los métodos clásicos comentados anteriormente. No obstante, la presencia del efecto pepita puro no implica necesariamente una ausencia de continuidad en la estructura del semivariograma sino que puede ser debido, por ejemplo, a una red de muestreo con distancias muy grandes entre muestras. 3) Modelo lineal Este modelo se presenta cuando, al representar V*(h) frente a los lags, se obtiene una línea recta. El modelo presenta la ecuación:

g(h) = p.h + k donde p es la pendiente de la recta, h el lag y k la intersección en el eje X (g(h)) Este modelo suele estar presente en algunos yacimientos de hierro (Annels, 1991). 4) Modelo de Wijsían En este modelo, al igual que en el anterior, g(h) se incrementa más allá del valor de la varianza de los datos. En una primera observación, parece ser semejante al modelo lineal, pero si se representan los valores de g(h) frente al logaritmo de h, entonces se obtiene una línea recta. Tiene la expresión:

g(h) = 3 α [Ln(h/L) +3/2] Donde α es el coeficiente de dispersión absoluta, una medida de la variación espacial, y L se define como el espesor equivalente. Ambos coeficientes pueden determinarse calculando los valores de g(h) para dos lags, con lo que se obtiene dos ecuaciones con dos incognitas. Este tipo de modelo tiene una aplicación más restringida aún que el lineal, estando presente únicamente en algunos yacimientos hidrotermales, principalmente de estaño, y utilizando como variable el espesor del cuerpo mineralizado. Algunas particularidades respecto a los modelos de variogramas Existen situaciones en las que, si bien no es posible el ajuste inmediato de un tipo concreto de modelo, no hay razones para rechazar la posibilidad de buscar una continuidad espacial. Entre las muchas posibilidades existentes, Anneis (1991) pone de manifiesto algunas muy características, como son:

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a) Semivariogramas con tendencias. b) Semivariogramas con efecto agujero. c) Semivariogramas compuestos. d) Semivariogramas con estructuras anidadas. e) Anisotropia. a) SEMIVARÍOGRAMAS CON TENDENCIAS Una asunción que se hace en la Geoestadística es que no existen tendencias dentro del yacimiento que puedan causar una ruptura en el concepto de estacionariedad. La ruptura (o cambio en la tendencia de la meseta), se produce en una distancia claramente superior al alcance, por lo que no tiene una mayor incidencia en la estimación local de los bloques definidos para el yacimiento, pues las dimensiones del área de búsqueda (alcance) son menores que la distancia representada por el punto donde se produce la ruptura. Cuando este tipo de comportamientos dominan el semivariograma, es decir, la ruptura se produce a distancias próximas al alcance, con lo que se rompe el concepto de estacionariedad, es necesario utilizar una técnica que se denomina Krigeage universal (Journel y Huijbregts, 1978), en lugar del Krigeage ordinario que se aplica en las situaciones de estacionariedad. b) SEMIVARIOGRAMAS CON EFECTO AGUJERO O EFECTO HOYO Este efecto puede reconocerse cuando alternan áreas con alta ley y áreas con baja ley. El resultado es una pseudoperiodicidad reflejada en una oscilación del semivariograma alrededor de una aparente-meseta. c) SEMÍVARIOGRAMAS COMPUESTOS Cuando la prolongación de la línea que une los dos o tres primeros puntos del semivariograma corta la meseta a una distancia mucho menor que la correspondiente al alcance general del semivariograma, es muy probable que la situación corresponda a una mezcla de dos semivariogramas esféricos.

El modelo compuesto tendría, pues, la siguiente forma:

g(h) = Co + C1 [3h/2a1 - (h/ a1)3/2] + C2 [3h/2 a2 - (h/a2)3/2] Así es posible calcular el valor de g(h) para cualquier distancia, teniendo en cuenta las tres partes que definen el semivariograma.

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Este tipo de estructuras pueden ser causadas, por ejemplo, por la presencia de zonas mineralizadas más ricas dentro de una matriz de mineralización dispersa. También son comunes en yacimientos aluviales de oro, reflejando el alcance más corto los canales individuales y el más largo la anchura total de la zona de interés económico. e) ESTRUCTURAS ANIDADAS En aplicaciones reales es común encontrar que los variogramas experimentales se pueden modelar con más de una estructura teórica. Por ejemplo, el variograma típico no parte de cero, sino que muestra una discontinuidad en el origen (efecto pepita). Por ello, la primera estructura del modelo considerará un valor en el origen, Co . Además, el variograma suele mostrar distintos tipos de correlación espacial a distintas distancias. Una estructura de rango largo puede estar sobreimpuesta con una estructura de rango corto. El uso de modelos anidados provee suficiente flexibilidad para tomar en cuenta ambas estructuras. Es de tener en cuenta que la sobre-sofisticación de por sí generalmente no produce beneficios. Cada una de las estructuras modeladas debe ser explicada por la geología del depósito o los fenómenos físicos involucrados. Por ejemplo, cierto mineral puede presentar regionalizaciones de distinto rango, correspondiente a distintas etapas en la mineralización. Tal caso podría ser modelado con tal vez el mismo tipo de función (esférica, por ejemplo), de distintos rangos. d) MODELAMIENTO DE LA ANISOTROPÍA El comportamiento de los variogramas experimentales en distintas direcciones puede ser la clave para entender y caracterizar la variable regionalizada. Hay dos modelos básicos de anisotropía: • Anisotropía Geométrica. • Anisotropía Zonal 1. ANISOTROPÍA GEOMETRICA Si los variogramas en las direcciones principales presentan un mismo valor de meseta, pero alcances distintos para diferentes direcciones como lo muestra la figura N° 22, hablamos entonces de Anisotropía Geométrica:

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FIGURA N° 22 ANISOTROPÍA GEOMETRICA

Estos tipos de variograma se pueden reducir a un variograma isótropo mediante

una transformación lineal de las coordenadas. Luego la elipse de anisotropía geométrica (rosa de alcances) queda gráficamente en la Fig. 23 como: FIGURA N° 23 ELIPSE DE ANISOTROPÍA GEOMETRICA

Donde los alcances a1 y a2 corresponden a los valores de las longitudes de los semiejes de la elipse.En el caso isótropo los alcances son iguales y, por tanto, la figura se convierte en un circulo. Sea el factor de anisotropía k=( a1/a2) > 1, donde k es la razón del alcance mayor al menor.

o

cdir 2 dir 1

a2 a1

γ( )h

⎪h⎪

x’

xxϕ

yy’

a2 a1

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Las fórmulas de transformación de coordenadas nos muestran que:

(Ec. 20) Donde ϕ es el ángulo formado entre el eje x y el eje x’ de la elipse. g1 es el variograma de la dirección 1. 2. ANISOTROPÍA ZONAL Se habla de Anisotropía Zonal cuando los variogramas de la zona en estudio presentan distinto valor de meseta y distinto alcance para diferentes direcciones, como lo muestra la Fig. N° 24 FIGURA N° 24 ANISOTROPÍA ZONAL

o

c1

c2dir 2

dir 1

a2 a1

γ( )h→

γ( )h1

→

γ( )h2

→

⎪h⎪→

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5. VALIDACION CRUZADA 5.1. DEFINICION Es una técnica simple, cuyo objetivo consiste en determinar el modelo del variograma obtenido con los datos muestrales que mejor los representa. Se trata de elegir el mejor entre dos o más modelos alternativos disponibles y así usar con mayor certidumbre dicho modelo en un krigeage. La idea es estimar Zv, en cada ubicación donde exista una muestra en un bloque o zona V (ver Fig. N° 25). Ignorando el valor de la muestra existente en ese punto, se estima Zv a partir de las muestras colindantes dentro de la zona de interés, utilizando el modelo del variograma y el krigeage. Una vez estimada esa muestra, la siguiente se estima restituyendo el valor original anterior. Se repite el proceso tantas veces como muestras hayan. Al final se conoce en cada punto de la zona de interés, un valor observado y un valor estimado, pudiéndose establecer, a continuación, una relación entre ambos tipos de valores, lo que da una medida de los errores cometidos. Como el Krigeage utiliza el semivariograma, variando los valores de éste se podrá buscar la opción que genere una menor diferencia entre los valores estimados y los reales. Este proceso iterativo permitirá definir qué parámetros del semivariograma (los citados efecto pepita, meseta y alcance) son los más adecuados para la óptima modelización. La mejor situación sería que todos los puntos estuviesen situados en la bisectriz del cuadrante, lo que indicaría que el valor real (Z) y el estimado (Z’) son semejantes. Todo lo que se separe de dicha bisectriz indica error en la estimación.

Algunos especialistas han cuestionado la validez y utilidad del método, principalmente porque no es suficientemente sensitivo como para detectar ventajas menores de un modelo de variograma comparado con otro. (clark, 1986, Davis, 1987, Isaaks and Srivastava, 1989). Además, el análisis se realiza utilizando las muestras, lo que no permite obtener una conclusión definitiva acerca de toda el área A. En particular, si las muestras no son representativas del área, re-estimar con buena precisión estas muestras no implica que el modelo de variograma permita una buena estimación del resto del depósito.

Sin embargo, la técnica es útil como una indicación general de las bondades (o los

posibles problemas) asociados con el modelo de variograma escogido. Además, los datos estadísticos recogidos permiten entender mejor los resultados del estudio geoestadístico, y por ello se debe poner a la validación cruzada como una técnica más del análisis exploratorio de los datos. También permite detectar los problemas mas serios durante el proceso de estimación, como son problemas computacionales, errores groseros, etc. En general, la validación cruzada es un ejercicio que debe ser tomado como un ensayo general, antes de llevar a cabo la estimación total del área.

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FIGURA N° 25 BLOQUE O ZONA V

5.2. CÁLCULOS DE LOS ESTADISTICOS Para determinar la calidad del modelo de variograma empleado y del plan de krigeage empleado, es necesario calcular algunos estadísticos: A = (1/N) Σ εi B = (1/N) Σ( εi / Z’v) C = (1/N) Σ [ ( Z’v - Zv) / σε]2 Donde: • Zv es el valor observado • Z’v es el valor estimado • εi = Z’v - Zv = error de estimación • σ2

ε varianza del error Si el modelo de variograma está correcto, se deberían cumplir las relaciones siguientes: A ≈ 0 B ≈ 0 C ≈ 1 Con los datos obtenidos por medio de esta técnica se construye una gráfica como la que se muestra en la fig. N° 26; se prueba si existe una buena relación entre los datos observados y los estimados. (Coeficiente de correlación).

z(x )i

V

(Ec. 21)

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FIGURA N° 26 DATOS OBSERVADOS v/s DATOS ESTIMADOS

Los datos estadísticos recogidos permiten entender mejor los resultados del estudio geoestadístico y por ello se debe poner a la validación cruzada como una técnica más del análisis exploratorio de los datos. 5.3. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA VALIDACION CRUZADA 5.3.1 VENTAJAS • Es útil como indicación general de las bondades( o los posibles problemas) asociados con el modelo de variograma escogido. • Permite detectar los problemas más serios durante el proceso de estimación, como problemas computacionales, errores groseros. 5.3.2. DESVENTAJAS • No es suficientemente sensitivo como para detectar ventajas menores de un modelo de variograma comparado con otro. • El análisis se realiza al utilizar las muestras, lo que no permite obtener una conclusión definitiva acerca de toda el área.

zv

∧

zv

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• Al tener una malla aleatoria estratificada( o malla regular). Al remover un punto, siempre queda mal estimado, no se puede discriminar entre 2 modelos.

• Si las muestras no son representativas del área, re-estimar con buena precisión estas muestras no implica que el modelo de variograma permita una buena estimación del resto del depósito. En cualquier caso, constituye el método más común y utilizado para testificar la bondad del ajuste del semivariograma. 5.4. CONSIDERACIONES SOBRE EL ÁREA DE BÚSQUEDA Cuando se describió el método de estimación del inverso de la distancia, se hizo mención a las características que debía presentar el área de búsqueda, es decir, cómo se definía la zona de captura de los puntos que entraban a formar parte de la estimación. En el Krigeage, es necesario volver a incidir en este tema, si cabe con mayor profundidad. Para guiar la discusión, se puede centrar el problema en las siguientes cuestiones: a) Forma del área de búsqueda b) Número de muestras a capturar c) Relevancia de las muestras 5.4.1 FORMA DEL ÁREA DE BÚSQUEDA La morfología del área de búsqueda suele ser, normalmente, una elipse centrada en el punto que va a ser estimado. Su orientación viene dictada por la anisotropía del esquema de continuidad espacial, con el eje mayor de la elipse en la dirección de máxima continuidad. Si no existe dicha anisotropía, la elipse se convierte en un círculo y la cuestión de la orientación deja de ser, obviamente, relevante. Todo lo mencionado es para dos dimensiones, por lo que si la estimación se produjese en tres dimensiones, habría que cambiar, evidentemente, la elipse por un elipsoide o el círculo por una esfera. 5.4.2 NÚMERO DE MUESTRAS A CAPTURAR El siguiente paso seria definir el tamaño de la elipse, es decir, cuántos puntos de estimación deben incluirse en ella. La respuesta más simple establecería que tendría que incluir algunas muestras, viniendo este aspecto condicionado por la morfología de la malla de muestreo. En la práctica se intenta conseguir que la elipse incluya, al menos, de 6 a 12 puntos de estimación. En mallas irregulares de muestreo, la longitud de la elipse debe ser

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ligeramente mayor que la distancia media de muestreo, viniendo ésta definida, de forma muy general, por:

DMM = (St/n)1/2 donde: DMM = Distancia media de muestreo. St = Area total cubierta por las muestras. n = Número demuestras. La cuestión todavía no ha sido resuelta del todo, pues quedan algunos aspectos que comentar. En primer lugar, cuantas más muestras se incluyan, mayor será el número de operaciones que debe llevar a cabo el sistema de ecuaciones y mayor será el suavizado en la estimación. En segundo lugar, si se incluyen muestras cada vez más y más lejanas la estacionariedad puede no ser asumida, con lo que la estimación queda en entredicho. El primer aspecto queda minimizado. En cuanto al segundo, genera que conceptos básicos como el carácter de mejor estimador insesgado del Krigeage no se cumplan, por lo que es necesario intentar llegar a un compromiso en cuanto al tamaño de la elipse. Es regla común utilizar, como semi-eje de la elipse, un valor próximo al alcance del semivariograma en la dirección considerada. De esta forma se asegura el mantenimiento de la estacionariedad y se cumple la correcta estimación. No obstante, el ampliar este valor no excesivamente, cuando el número de muestras es insuficiente, mejora el proceso de estimación (Isaaks y Srivastava, 1989). 5.4.3 RELEVANCIA DE LAS MUESTRAS Esta cuestión incide en dos aspectos. Por una parte, la posible presencia de agrupamientos de muestras, que queda resuelta. Por el diseño del propio sistema de ecuaciones de Krigeage, que toma en cuenta y pondera este fenómeno. Por otro lado, el segundo aspecto hace mención a la importancia de las diferentes muestras para su inclusión en la estimación, por ejemplo en cuanto a su pertenencia a la misma población que el punto a estimar. Esta cuestión es casi imposible de asegurar, y menos de verificar, por lo que la decisión debe venir acompañada de una información de tipo cualitativo. En otras palabras, el estudio geológico completo de toda la información presente es el mejor camino para definir qué muestras son relevantes y qué muestras no lo son, pudiendo ser estas últimas apartadas del proceso de estimación. Este problema, en yacimientos de baja complejidad geológica puede no ser tal, incrementándose según aumenta la dificultad de la interpretación geológica.

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6. ERROR DE ESTIMACION El error de estimación es entendido como la diferencia entre el valor real y el valor estimado de un punto o bloque.

(Ec. 22) Por otra parte, la estimación Z’v de un bloque se efectúa en términos de los valores observados Z(xi) de puntos colindantes mediante la expresión:

En que los ai verifican la condición de insesgado:

(Ec. 24) Las ponderaciones αi serán más altos para valores z (xi) en puntos xi más cercanos al bloque y serán más bajos en puntos más lejanos. En la ecuación 22, como Zv es desconocido, entonces ε es desconocido, la cual se renuncia en conocerlo en signo y magnitud. Sin embargo, se puede caracterizar probabilísticamente el error ε, al utilizar un modelo matemático. Se asume entonces que el error ε, es una magnitud aleatoria, es decir, una variable aleatoria. Esta magnitud aleatoria tiene una cierta ley de probabilidad caracterizada por una esperanza matemática mε, y una varianza σ2. Luego la ley de probabilidad del error es la ley normal o de Gauss (ver fig. N° 27)

Error deEstimación Valor estimado

(conocido)Valor real

(desconocido)

z =∧

∑ α ( αΝ

v i i i z x ) = pesos o ponderacionesi=1

α α α α1 + 2 + 3 +.............+ N = 1

(Ec. 23)

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FIGURA N° 27 LEY NORMAL O DE GAUSS

Las siguientes áreas de la Ley de Gauss:

6.1. CALCULO DE LA VARIANZA DE ESTIMACION La varianza de estimación se refiere a la varianza del error entendido como la diferencia entre el valor real y el valor estimado de un punto o bloque, se supone que los errores tienen esperanza nula.

(Ec. 25)

68% 95% 99.7%

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En la práctica se utiliza un riesgo de equivocación del 5%. En otras palabras si los errores tienen distribución normal de esperanza cero y varianza σ2

ε -2σε ≤ ε ≤ 2σε con 95% de confianza, o bien Zv = Z’v +/- 2σε En todo caso la expresión teórica del valor zv desconocido está dada por: Zv = (1/v) ∫z(x) dx (Ec.26) Al reemplazar en la ecuación 25 queda

(Ec. 27) Al resolver el binomio se obtiene:

que es la expresión fundamental del cálculo de σ2

ε. Donde: • N es el número de datos • xi son las coordenadas de los datos • v es la geometría y el tamaño del bloque o zona v • ϒ(h) es el variograma • αi es el peso o ponderación que se asigna a la participación de Z(xi) en el

cálculo de Z’v • x(ó y) es un punto variable dentro del bloque Nota: Para el cálculo de la expresión fundamental, se supone que se conoce el modelo del variograma.

σ ε = Ε 2

[ - ] 2

Ν

∑ α (i i z x )i=1

(1/v) z(x) dx∫ v

σ ε = 2

2 Ν

∑ αi Ν

i j∑ α γ(j x ,x )Ν

∑ αi i=1 i=1j=1

(1/v) (x ,x) dx - (1/v ) v v

(x,y) dx dy -∫ γ ∫ ∫ γi2

(Ec. 28)

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Significados de los términos en la expresión de σ2ε :

a. El término ϒ(xi,xj): Representa el valor de ϒ (h), siendo h el vector que une los puntos xi, xj

b. El término (1/v) ∫ ϒ (xi,x) dx : Representa el valor medio teórico de la función ϒ(h), ( h el vector que une los puntos xi, xj ) siendo x un punto cualquiera variable dentro de la zona v.

En la práctica la integral anterior se calcula por discretización de v en k puntos:

xi

xjh

xix

v

xi

xv

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entonces, la aproximación es: (1/v) ∫ ϒ (xi,x) dx ≅ (1/k) Σ ϒ(hj). (Ec. 29) Se recomienda un número mínimo de puntos dentro de v, de manera de obtener una precisión aceptable: • Si v es bidimensional: k ≥ 36 puntos. • Si v es tridimensional: k ≥ 64 puntos. c. El término (1/v2) ∫∫ ϒ (x,y) dxdy: Representa el valor medio de la función ϒ(h), ( h el vector que une los puntos x con y) entre puntos variando dentro de v.

También se calcula por discretización de v en k puntos:

Entonces, la aproximación es: (1/v2) ∫∫ ϒ (x,y)dxdy ≅ (1/k)2 ∫∫ ϒ(hij) (Ec. 30) Observación: Para obtener el σ2

ε, los ponderadores αi son obtenidos dependiendo del lugar de ubicación de las muestras que participan en la estimación. ¿Existe otra ponderación de los datos que nos proporcione un error menor? Para poder lograr los pesos adecuados, de manera de minimizar la varianza del error σ2

ε es necesario de introducir el método del krigeage.

xy

hij

v

x

yh

v

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7 KRIGEAGE 7.1. DEFINICION El Krigeage es una herramienta geoestadística cuyo objetivo es encontrar los pesos de los ponderadores ai de manera que minimicen la varianza de estimación de acuerdo a la geometría del depósito y al carácter de la mineralización. El krigeage es una técnica utilizada en la evaluación de yacimientos para estimar el valor de una variable regionalizada en un punto (o en un bloque, como se verá posteriormente), a partir de unos factores de ponderación que trabajan de forma semejante a como lo hacen en el inverso de la distancia. Ese valor se caracteriza por ser el mejor estimador lineal ínsesgado de la variable. El mejor, porque los factores de ponderación se determinan de forma tal, que la varianza de la estimación es mínima; lineal, porque es una combinación lineal de la información; e insesgado porque, en promedio, el error es nulo, es decir, no hay sesgo en los errores (considerando como error la diferencia entre el valor real y el estimado). Por todo ello, junto con la información asociada que ofrece en relación al error que se comete en la estimación, el Krigeage se puede considerar, en general, como un método óptimo de estimación, estando su utilización ampliamente desarrollada en todo tipo de yacimientos, especialmente en aquellos que poseen un alto valor (oro y diamantes). Dado que el alto número de cálculos matemáticos que necesita el Krigeage ya está resuelto con el uso de la informática, quizás el único problema que presenta es la mayor complejidad conceptual frente a los métodos clásicos. De lo contrario, probablemente se habría convertido en el único método de estimación viable para la mayor parte de los yacimientos a escala mundial. Entonces, desde un punto de vista práctico, el Krigeage tiene la importancia de evitar errores sistemáticos, bien sea sobrestimado o subestimado el valor calculado. En términos generales, el Krigeage asignará bajos pesos a las muestras más lejanas, y altos a las más cercanas, pero esta regla intuitiva falla a veces en situaciones tal como: • Transferencia de la influencia o el Efecto de pantalla Las muestras más cercanas al bloque tienden a anular la influencia de las muestras más lejanas. La consecuencia práctica de esta propiedad es que algunas muestras tendrán ponderaciones negativas del Krigeage.

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7.2. PROPIEDADES DEL KRIGEAGE Hay muchas propiedades buenas asociadas con el estimador Krigeage, además de dos obvias como el insesgamiento y la varianza mínima de estimación. Algunas de éstas son las siguientes: • El Krigeage calcula la varianza de Krigeage para cada punto o bloque. • Es un interpolador exacto. En otras palabras, el Krigeage estimará todos los puntos

de datos conocidos exactamente, es decir no hay error. • El Krigeage tiene un efecto desagrupador ( Desclustering effect) de datos durante

la estimación. Esto es muy útil cuando los datos usados para estimar la ley están muy agrupados e irregulares.

• El Krigeage tiene un efecto selectivo, lo que permite seleccionar las muestras más

cercanas. 7.3. ECUACIONES DEL KRIGEAGE Para obtener las ecuaciones del krigeage hay que minimizar la expresión de σ2

ε .

(Ec. 31) pero los αi, deben verificar la condición de insesgamiento: ∑ αi = 1 El método clásico para minimizar la expresión σ2 (igualar a cero las derivadas parciales de σ2 respecto de α1, α2, ......., αN) no asegura que la suma de los αi sea 1. En este caso, hay que utilizar el método de Lagrange. En el caso del Krigeage hay que considerar la expresión:

σ ε = 2

2 Ν

∑ αi • Ν

i j∑ α γ(j x ,x )Ν

∑ αi i=1 i=1 j=1

(1/v) (x,x) dx - (1/v ) (x,y) dx dy -∫ γ ∫ ∫ γv i v v2

A = σ2 - 2μ(α1 + α2 + α3 + ….. +αn -1)

49


50


Por lo general, el parámetro m carece de significación física. Al realizar N+1, derivaciones sostiene el sistema de ecuaciones siguiente:

que es un sistema lineal de N + 1 ecuaciones con N + 1 incógnitas ( a1, a2, ......., aN, m), lo cual siempre tendrá soluciones. Se demuestra que la expresión de se2 se simplifica, obteniéndose:

(Ec. 32) 7.3.1. KRIGEAGE PUNTUAL En algunas ocasiones, en vez de estimar la ley media de un bloque V, interesa estimar la ley en un punto X0.

Como se ha comentado anteriormente, el krigeage opera a través de la utilización de unos factores de ponderación. Estos factores de ponderación, para obtener el valor de la variable, se calculan a partir de un sistema de ecuaciones, denominadas ecuaciones de krigeage, en las que las incógnitas para resolver el sistema se obtienen a partir del semivariograma modelizado.

α γ(1 x , x ) + 1 1 α γ( α γ( μ = (1/ ∫ γ(2 Νx , x ) + ............+ x , x ) + v) x , x)dx1 2 1 N v 1

α γ(1 x , x ) + 2 1 α γ( α γ( μ = (1/ ∫ γ(2 Νx , x ) + ............+ x , x ) + v) x , x)dx2 2 2 N v 2

α γ(1 x , x ) + N 1 α γ( α γ( μ = (1/ ∫ γ(2 Νx , x ) + ............+ x , x ) + v) x , x)dxN 2 N N v N

α + α +..............+ α = 11 2 Ν

σ ε = 2

Ν

∑ αi • i=1

(1/v) (x ,x) dx + - (1/v) (x,y) dx dy ∫ γ μ ∫ ∫ γv i v v

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Ecuaciones a considerar:

Se demuestra que la expresión de σ2

ε se simplifica, obteniéndose:

(Ec. 33) El krigeage puntual tiene la propiedad de ser un interpolador exacto (ver Fig. N° 28) en el sentido de que si se desea estimar la ley en un punto conocido, el krigeage proporciona la ley del dato, con una varianza σ2

ε = 0. Se dice que el krigeage puntual pasa por los puntos ( esta propiedad no la tienen los otros interpoladores): FIGURA N° 28 INTERPOLADOR EXACTO

α γ(1 x , x ) + 1 1 α γ( α γ( μ = γ(2 Νx , x ) + ............+ x , x ) + x , x )1 2 1 N 1 0

α γ(1 x , x ) + 2 1 α γ( α γ( μ = γ(2 Νx , x ) + ............+ x , x ) + x , x )2 2 2 N 2 0

α γ(1 x , x ) + N 1 α γ( α γ( μ = γ(2 Νx , x ) + ............+ x , x ) + x , x )N 2 N N N 0

α + α +..............+ α = 11 2 Ν

σ ε = 2

Ν

∑ αi i=1

γ μ(x ,x ) + i 0

xx1 x2

Interpolador de Krigeage

Interpolador de minímos cuadrados

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7.3.2. KRIGEAGE DE BLOQUES Otro tipo de krigeage más frecuentemente utilizado en la evaluación de yacimientos es el krigeage de bloques, que opera de forma similar a como lo hace el puntual, pero con la diferencia de que el valor obtenido se le asigna a un bloque y no a un punto. Dentro del modelo de función aleatoria descrito anteriormente, el valor medio de una función aleatoria en una zona determinada (bloque) es, simplemente, la media aritmética de todas las variables puntuales aleatorias incluidas dentro de esa zona. Esta capacidad del Krigeage de llevarse a cabo sobre un área y no sólo sobre un punto, es una característica propia y única de este método de estimación, no compartida por otros métodos. Aunque la forma de operar puede trasladarse a métodos como el inverso de la distancia, los resultados no son muy consistentes (Isaaks y Srivastava, 1989).

Para determinar el valor del bloque, se lleva a cabo una discretización del área en un conjunto de puntos (2x2, 3x3, etc.), obteniéndose, a continuación, la media entre los diferentes valores. Un ejemplo de la importancia de los computadores en el desarrollo de la geoestadística es que, para calcular, por ejemplo, el valor de un sólo bloque con una discretización de 10 x l0, sería necesario resolver cien sistemas de ecuaciones, cada una de ellos con, por ejemplo, 11 ecuaciones (suponiendo una estimación a partir de diez valores). Y esto sólo para un bloque, siendo frecuente, normalmente, dividir el yacimiento en centenares de bloques. Todo ello llevaría a la resolución de decenas o centenares de miles de ecuaciones, hecho absolutamente inviable si no fuese por la ayuda de la informática.

Por último, hay que hacer constar que los valores que se obtienen con el Krigeage (tanto puntual como de bloques) llevan aparejados los correspondientes valores de la varianza de la estimación (varianza del krígeage), lo que permite hacer un estudio de la bondad de la estimación. Estos valores de la varianza del krigeage pueden, posteriormente, ser interpelados y obtener mapas en la que se puede analizar qué zonas presentan una mayor exactitud en la estimación, cuales poseen una mayor probabilidad de error, etc., lo que suele ser muy necesario a la hora de establecer los planes de producción minera. Cuando se aplica el krigeage sobre un bloque V debería considerar todos los datos disponibles ( krigeage completo). Sin embargo, esta situación implica cálculos muy largos. Por esta razón se recomienda restringir la vecindad de estimación que puede ser una esfera o círculo, o bien un elipsoide o elipse (3D y 2D). La práctica recomienda que una vecindad contenga un promedio del orden de 8 muestras, los resultados que se obtienen serán muy buenos. (ver Fig. N° 29)

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53


FIGURA N° 29 VECINDAD DE ESTIMACION

7.3.4. KRIGEAGE INDICADOR

El Krigeage indicador es una de las innumerables variaciones que la Geoestadística presenta para la evaluación de yacimientos, utilizándose, cada vez más, en el análisis de las reservas, especialmente en explotaciones de alto valor (oro). Es un método no paramétrico en el que los valores obtenidos son convertidos a 0 y 1, dependiendo de su relación con una determinada ley de corte. Permite estimar la proporción de un bloque bajo estudio que tiene un determinado porcentaje de probabilidad de encontrarse por encima de la citada ley de corte. La mejor forma de observar su funcionamiento es con un ejemplo.

Se tiene un bloque mineralizado que ha sido evaluado por sondeos situados en sus cuatro esquinas. El valor asignado al bloque será, si el espesor es constante, la media aritmética de las cuatro esquinas. Pueden existir dos situaciones como las siguientes:

Bloque A: 6%, 5%, 6% y 6% - ley media = 5,75% Bloque B: 1%, 2%, 1% y 19% - ley media = 5,75%

Si la ley mínima de corte es, por ejemplo, del 5%, está claro que ambos bloques son

explotables, independientemente de que la asignación de explotabilidad del bloque B sea casi totalmente dependiente de un único valor (19%), lo que no se refleja directamente en el resultado.

Considérese ahora que la mineralización y el estéril son materiales con ley superior e inferior, respectivamente, a una determinada ley mínima de corte (5%), por lo que se les asigna un valor 1 al primer caso y cero al segundo. Entonces se tendría que, para el bloque A, todos los sondeos entrarían en la categoría de mineralización y se le podría asignar, al bloque, un indicador medio de 1. Por el contrario, para el bloque B, sólo un

V

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sondeo entraría en la categoría de mineralización, por lo que recibiría un indicador medio de 0,25. En este caso (bloque B), aunque la ley media sugiere que todo el bloque es mineralización, el indicador medio nos afirma que tan sólo el 25% del bloque se puede considerar como mineralización. Este efecto debe ser tomado en cuenta en todos aquellos estudios que generen cálculos de reservas, pues su no consideración puede producir, como en el caso del ejemplo, una sobreestimación de los tonelajes de la mineralización.

La expresión matemática para una variable de este tipo sería I(x,z), correspondiente a una ley z(x) de una muestra en un punto x y con una ley de corte z. De tal forma que:

1, si Z(X) > z I(X,Z) =

0, si Z(X) < z

Una vez que las leyes, o cualquier otra variable a estudiar, han sido transformadas de esta manera, se puede intentar construir un semivariograma experimental y ajustarle un modelo matemático de los existentes. Para el caso de] modelo esférico, la ecuación sería:

γ(h,z) = I0 + I [1.5(h/a) - 0,5(h/a)3] para h < a γ(h,z) = I0 + I para h > a

Donde I0 e I son equivalentes a C0 y C, en un semivariograma normal. Una vez que el semivariograma de indicadores está modelizado, se puede llevar a cabo un krígeage de bloques, que recibiría el nombre de ktigeage indicador. El valor que saliese para cada bloque vendría a representar el porcentaje recuperable de mineralización que tiene ese bloque para una determinada ley de corte. Los resultados pueden ser comparados con los valores obtenidos en un Krigeage de bloques normal, con otros Krigeages indicadores para otras leyes de corte, etc., con el fin de obtener estrategias de explotación.

7.8. EL COKRIGEAGE

El Co-Krigeage constituye, al igual que el Krigeage indicador, otra de las aplicaciones del Krigeage a la estimación de variables. Hasta el momento, el krigeaje utilizaba, como parámetros para realizar la estimación, los valores de una variable. Sin embargo, suele ser frecuente, en minería, conocer no sólo una variable sino varias de ellas, que, usualmente, están relacionadas entre sí (pAg y Pb/Zn). Por tanto, resulta interesante utilizar la información suministrada por una de las variables para calcular la otra, siempre y cuando, obviamente, exista una relación entre ambas. Este proceso se denomina, en Geoestadística, Co-Krigeage.

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El Co-Krigeage pues, se define como un método de estimación que minimiza la varianza de la estimación utilizando la correlación entre varias variables, estando los estimados obtenidos tanto a partir de las variables secundarias como de la principal. La utilidad de la variable secundaria muchas veces se ve incrementada por el hecho de que la variable principal pueda encontrarse submuestreada en algunas zonas del yacimiento.

El valor estimado de una variable por Co-Krigeage viene definido por la siguiente expresión:

Uo = Σai Σui + ΣbjΣvj

donde: U0 = Valor del estimado en el punto 0 ui = Los datos de la variable principal en n puntos vj = Los datos de la variable secundaria en m puntos ai y bj = Los factores de ponderación a determinar para resolver los sistemas de ecuaciones.

Como se puede observar, el aspecto de la expresión es muy similar a la que correspondería para el Krigeage. De hecho, el desarrollo del sistema de ecuaciones del correaje es idéntico al correspondiente para el Krigeage. Por tanto, prácticamente todo lo expuesto para un método (ktigeaje) es válido para el otro (co-krígeage), en relación a los modelos de funciones aleatorias, cálculo del semivariograma, áreas de búsqueda, etc. Unicamente merece la pena comentar que existen ciertas situaciones en las que este método no mejora los resultados que se obtendrían utilizando simplemente el krígeage. Cuando los modelos de semivariogramas son muy similares entre sí, y las variables principal y secundaria están igualmente maestreadas en todos los puntos, los resultados con un método y otro son, prácticamente, semejantes.

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LLLIIINNNEEEAAALLL ...

PPPAAARRRTTTEEE 222

EEEJJJEEERRRCCCIIICCCIIIOOOSSS ---TTTAAALLLLLLEEERRREEESSS

56


57




GGGUUUIIIAAA DDDEEE TTTRRRAAABBBAAAJJJOOO 111

CCCOOONNNCCCEEEPPPTTTOOOSSS GGGEEENNNEEERRRAAALLLEEESSS

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TEMA 1 Esperanza Varianza, covarianza, histograma efecto de soporte, efecto de información 1.1.-La varianza de una V.A . Z de densidad de probabilidad f(x) esta definida por V[Z]=E [(Z-μ)²] Con μ =E[Z] = ∫ z f(z)dz Demuestre V[Z]=E [Z²]= {E[Z]} ² 1.2.- Z Es una variable aleatoria, λ es una constante Demuestre E [λ Z ] = λ E [ Z] Demostrar V [λ Z ] = λ² E [ Z] 1.3.-L a covarianza centrada entre dos variables aleatorias Z1 y Z2 esta definida por Cov(Z1,Z2) = E [ (Z1-μ1) (Z2-μ2)] Con μ1 = E[Z1] y μ2= E[Z2] Demuestre Cov (Z1,Z2) = E [ Z1 Z2 ] –E[Z1] E[Z2] Demuestre Cov (Z2,Z1) = Cov (Z1,Z2) Demostrar Cov (Z1,Z, = V(Z1) 1.4.-Z1 y Z2 son dos variables aleatorias de covarianza centrada Cov ( Z1, Z2) Demuestre V[ Z1 + Z2 ] = V[Z1] + V[Z2]+ 2Cov(Z1,Z2) 1.5.- Sean n variables aleatorias Z1 , Z2 , …..Zn y sean n coeficientes λ1, λ2….. λn Sabemos Z*= ∑ λi Zi

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Demuestre V[Z*]= Z*= ∑ ∑λi λj Cov( Zi , Zj) i j Recuerde Z* ² = ∑ ∑λi λj Zi Zj i j Demuestre V[ Z*] = ∑ λi ² V[Zi] + ∑ ∑λi λj Cov ( Zi , Zj) i i =1 j<>1 Demuestre V[ Z*] = ∑ λi ² V[Zi] +2 ∑ ∑λi λj Cov ( Zi , Zj) i i=1 j=i+1 1.6.-Aplicación: Influencia del muestreo sobre los cálculos de medias , varianza y histogramas Se desea hacer un estudio sobre un sitio que en el pasado tuvo residuos mineros, el principal contaminante que queda en el terreno es un leve porcentaje de ácido remanente Se ha decidido hace una primera campaña de muestreado en cuadros de 10 x 10 metros A.- Campaña 1

90 39 80 33 43 33 70 32 60 26 50 2840 35 30 29 20 10 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Calcule la media la varianza y realice un histograma de 9 clases (0,5) , (5,10)….(40,45)

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60


B.-Campaña 2 La media deducida de la primera campaña es superior a 22 g / que es lo que la ley autoriza como máximo , por eso se ha procedido a tomar mas muestras ,obteniendose las siguientes leyes

90 39 80 33 43 33 9 70 32 60 9 12 26 50 28 40 35 30 12 17 29 20 23 10 15 19 0 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Calcule la media la varianza y realice un histograma de 9 clases (0,5) , (5,10)….(40,45) comente y compare con la primera campaña

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C.- Campaña 3 Teniendo en cuenta la importancia de la dispersión de las leyes ,se ha decidido efectuar un muestreo sistemático ,cada cuatro parcelas ,dando el siguiente resultado:

90 80 21 43 20 9 12 70 60 9 25 12 20 26 50 40 30 11 19 19 17 30 20 23 15 15 23 14 10 0 25 2 23 0 12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Realice los mismos cálculos anteriores

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D.-Mas tarde con un muestreo en todo el sector se tendra , lo siguiente :

90 22 20 15 39 20 22 10 4 12 7 80 30 21 33 43 33 20 14 9 4 12 70 24 23 13 32 29 24 24 11 6 16 60 30 9 7 25 24 12 26 20 16 26 50 23 16 14 11 23 19 14 16 12 28 40 18 30 21 11 23 19 8 19 35 17 30 12 45 21 17 14 18 15 19 29 19 20 11 23 27 15 11 15 26 23 15 14 10 15 13 10 19 28 25 24 8 14 6 0 20 25 21 2 24 23 21 0 19 12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

62


63


Si usted observa este grafico y los anteriores cual es su comentario , Comente y discuta con sus compañeros 1.7.- Efecto de soporte de las muestras sobre la varianza y histograma Siempre en nuestro sitio ,,las nuevas parcelas se denominaran V y seran constituida de 4 pequeñas parcelas v ,ellas miden 20 x 20 (con todos los datos) , si calculamos los valores de 1.6 se tendrá los siguientes valores

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64


Calcule la media , la desviación estandar de estos datos y trace un histograma experimental y compare

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1.8.-Efecto Información Si usted debe tomar la decisión sobre el terreno a partir de la campaña 3 ,tenemos el iguietne plano

90 80 21 43 20 9 12 70 60 9 25 12 20 26 50 40 30 11 19 19 17 30 20 23 15 15 23 14 10 0 25 2 23 0 12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Recuerde que un sector es considerado habitable si el congtenido de acido es menos a 22 grs / ton Conteste a.- Parcelas estimadas contaminadas y en la realidad están contaminadas b.- Parcelas estimadas no contaminadas y en la realidad están no contaminadas c.- Parcelas estimadas contaminadas y en la realidad están no contaminadas d.- Parcelas estimadas no contaminadas y en la realidad están contaminadas

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Realice una nube de correlación

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VVVAAARRRIIIOOOGGGRRRAAAFFFIIIAAA

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Tema 2: Covarianzas y variograma teórico y experimental 2.1.-Z(x) es una función aleatoria estacionaria de esperanza m , de covarianza C(h)

C(h) = Cov ( Z ( x + h ) , Z ( h ) )

= E [ ( Z ( x + h ) – m ) ( Z ( x ) – m ) ]

Demuestre C(0)>=0 Demuestre C(-h)=C(h) Demuestre /C(h)/<=C(0) 2.2.-Z( x ) es una función aleatoria intrinsica de variograma g (h)

g (h) = ( ½ )* E [ Z ( x + h ) – Z ( x ) ]2

= E [( Z ( x + h ) – m ) ( Z ( x ) - m) ] Demuestre g (h) = (1/2) V [ Z ( x + h ) – Z ( x ) ] Demuestre g (h) >= 0 Demuestre g (0) = 0 Demuestre g (-h) = g (h) 2.3.-Z(x) es una función aleatoria estacionaria, de covarianza C(h) Demuestre g ( h ) = C ( 0 ) – C ( h ) 2.4.-Z(x) es una función aleatoria estacionaria λ 1 , λ2 , λn de coeficientes constante , u1 u2 u3….un , las ubicaciones en el espacio . Si Z* = Σ λi Z(ui) Recuerde que V(Z*)= ΣΣ λi λj Cov(Z(ui), Z(uj)) Demuestre que si Σ λi = 0

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Entonces V(Z*)= -ΣΣ λi λj g (Z(ui), Z(uj)) 2.5.- Z(x) es una función estacionaria de covarianza C(h) y de variograma g (h) esférico :

ahsia

hah

Ch ⟨−= )3

3*

21*

23(*)(γ

= c si h>=a

Si tenemos Z*= Z(u1) +Z (u2 ) con pesos u1 y u2 distante a 100 mts.

• ¿Puede escribir V(Z*) directamente con la ayuda de g(h) ? • Entregue una expresión para V(Z*) • Calcule V(Z*)con una meseta C=3 y un alcance a=250 mts. • Calcule V(Z*)con una meseta C=3 y un alcance a=25 mts. • Explique la diferencia

2.6.-si se tiene

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• Podemos escribir V(Z*) directamente con la ayuda de los de g(h) ? • Calcule V(Z*) cuando la covarianza es exponencial

)200

exp(*5.2)(h

hC −=

El variograma esferico es:

200)3200

3*

21

200*3(*2)( ⟨−= hsi

hhhγ

g (h)= 4 si h >= 200 • Cual es la meseta y el alcance estos variograma

• Calcule la V(Z*)

2.7.- A provisto de la distancia h y de ciertas confusiones posibles ,tenemos

• Dos medidas z(u1) y z(u2) en un espacio a una dimensión ,¿cual es la distancia h de separación? .

• Dos medidas z(u1) y z(u2) en un espacio a dos dimensiones u1=(x1,y1) y u2=(x2,y2) ,¿cual es la distancia de separación?

• Dos medidas z(u1) y z(u2) en un espacio a tres dimensiones u1=(x1,y1,z1) y u2=(x2,y2,z2) ,¿cual es la distancia de separación?

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2.8.- Z(x) es una variable aleatoria conocida en 48 nodos de hungarilla regular de paso 1 metro .En cada nodo xi asociamos un peso λi representado sobre la figura (pesos igual a

+1 y -1 )

Si 48

Z*=∑λi Z(xi) i=1

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y cometemos el error de considerar ,a 2 dimensiones ,el variograma siguiente

2)( ⟨= hsihhγ

2)( ≥= hsihhγ

denominandose lineal por pedazo ,que no es admisible que a 1 D

• Sobre el grafico siguiente trace el variograma y el covariograma

2.9 Variograma esferico recordemos la formula :

ahsia

hah

Ch ⟨−= )3

3*

21*

23(*)(γ

= C si h >=a

• Usando el grafico de la página siguiente, trace un variograma con meseta 2 y alcance 100 metros.

• Calcule la derivada g’ (h)del variograma g (h)

• Demuestre que la tangente de g (h) para h=0 corta la recta de la ecuación y=C en

h=(2/3)*a.

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• Demuestre que el comportamiento de g (h) en el origen es idéntico al comportamiento del variograna lineal

)*23()( h

aCh =γ

• Siempre en el mismo grafico trace un variograma que sea la suma de dos variogranas esféricos de alcance a1=50 ,a2=100 m ;la meseta C1=C2=1 (para h> =0)

2.10 Variograma exponencial recordemos la formula

))exp(1(*)(

a

hCh −−=γ

• Siempre sobre el mismo grafico trace el variograma C=2 y a = 30 m ,compare con los anteriores variogramas

• Por definición el alcance practico de un veriograma es la distancia donde g (h) es

el 95 % de su meseta C .Calcule el alcance practico de un variograma exponencial.

• Calcule la derivada de g’(h) , del variograma g (h)

• Demuestre que la tangente de g (h) para h=0 corta la recta de la ecuacion y=C em h=a

2.11.-Variograma gaussiano recordando la formula

))2

2exp(1(*)(

a

hCh −−=γ

• Siempre sobre el mismo grafico trace el variograma C=2 y a = 50 m ,compare con los anteriores variogramas

• Desarrolle limite de la función exp(x) para x proximo a 0 es

....!

....!2

21)exp( +++++=

n

nxxxx

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• Calcule el desarrollo limite del variograma para h próximo a 0 ,deduciendo que el variograma gausiano posee un comportamiento parabólico en el origen .

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75


2.12 .-Variograma experimental a 1 dimensión .Dos series de leyes z1(p) y z2(p) .Los datos son a un metro y p representa la cota de la ley calculada a partir del collerin del sondaje .

• Para los dos sondajes ,las leyes utilizadas son las mismas .Que puede usted deducir ,concerniente a las medias y a las varianzas de leyes en cada sondaje (sin calcular)

• Para ambos sondajes las leyes son las mismas ,pero su disposición es diferente

.Utilizando el grafico siguiente calcule el variograma experimental de leyes a los largo de cada sondaje ,haciendo variar p , limítese a h<5 m.

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2.13.-Variograma experimental a dos dimensiones Volvamos sobre nuestro viejo sector minero

Calcule los variograma horizontales y verticales Yy reportelo sobre el grafico siguiente

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Compare este variograma con el de grafico inferior, comente

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VVVAAARRRIIIAAANNNZZZAAASSS

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79


Tema 3 Cálculo de varianza de dispersión

Dispersión de un punto en un volumen Una función aleatoria Intrínseca Z(x), de variograma γ(h) donde se conocen las realizaciones z(x) sobre un volumen V esta dado por

1)(1−= ∫ fduuz

VVm

La varianza de los valores z(x) en el interior del volumen V esta dada por

22))((1)(2 −−= ∫ fduVmuzVV

OS

Si ahora consideráramos todas las realizaciones posibles z(x) de la Función aleatoria Z(x), la varianza de la Funciona aleatoria Z(x) en un volumen V esta definida por

32))((1)(2()(2 −−== ∫ fduVmuzVV

OSEVOσ

σ2(0/V) es llamada varianza de dispersión de Z(x) en V

4),()(21)(2 −=−= ∫∫ fVVdv

V

vu

V

duVV

O γγσ

Para poner en marcha estas formulas , uno de los primeros problemas es que solo se conoce un numero limitado de “N” muestras z(xn) Para ello recurriremos a las siguientes formulas

1́

1

)(1* −

=

= ∑ fN

nnxz

NVm

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80


Donde N es el numero de muestras contenidas en el volumen V

2́

1

2)*)((1

1*)(2 −

=

−−

= ∑ fN

n

VmnxzNV

OS

Figura 1

Otro problema típico es cuando se conoce realizaciones de la función aleatoria , pero en diferentes volúmenes “K” de igual tamaño VK , figura 2

80


81


Figura 2

Vamos a aceptar de aproximar las formulas 3 por la siguiente

3́

1

*)/(21)(2()(2 −

=

== ∑ fK

kkVOS

KVOSEV

Oσ

Con K: Numero de bloques Vk en el yacimiento G, y calculamos S2(O/VK )* de los volúmenes Vk disponibles , con los promedios. Sobre el yacimiento G cubierto por los volúmenes VK obteniendo también una aproximación de la dispersión de un punto sobre un volumen V .Esta Aproximación será mejor si los volúmenes Vk son numerosos y en cada volumen Vk ,los puntos son numerosos .Si conocemos γ(h) los cálculos son mucho mas simples dado a que se resumen a la aplicación de la formula 4 , y para ellos se puede recurrir a los ábacos ., estos entregaran los valores de γ(V,V) promedio . Aplicación 3.1.-Se tiene un sitio con contaminación de acido en el suelo, se desea reconvertir este lugar en sitio urbano, los resultados de las muestran están en la figura 3

Consideraremos que estas medidas son puntuales Su valor medio es de 18.8 con una desviación estándar de 8.48.

81


82


• ¿ Valor m*G ? ( Sin calculo)

• ¿Valor de σ2(0/G)* ? (Sin calculo ) 3.2.-Considere 4 sectores Vk que miden 40 x 40 no utilice los datos de la parte rayadas

Calcule σ2(0/V)* procediendo en orden ( meta los resultados en la figura , le ayudara) Para cada celda Vk calcule mVk

* y S2(0/V*k) (Formula (1’) y (2’))

Calcule σ2(0/V)* (Formula (3’)) 3.3.-Considerando las 25 pequeñas parcelas vk midiendo cada una 20 m x 20 m los valores de m*vk y S2(0/V*

k) para cada celda los valores calculados son

82


83


• Calcule σ2(0/v)*

• Si usted compara σ2(0/G)* y σ2(0/v)* cual es su conclusión ?

• Porque no se puede compara σ2(0/V)* con σ2(0/G)* y σ2(0/v)* ? 3.4.- Utilización de los ábacos Un variograma experimental de medidas z(xn) a sido ajustado a un modelo esférico de alcance en el eje X 18 metros y en el eje Y 30 metros .

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La meseta utilizada es diferente de la varianza de los datos ,eso se puede deber a no tener suficientes puntos o que no es necesariamente estacionaria .Este ajuste es lejos perfecto , pero servirá por el instante. Hasta ahora nos habíamos conformado con calcular las varianzas de dispersión experimentales σ2(0/V)* , σ2(0/G)* y σ2(0/v)* utilizando las formulas de aproximación 1´, 2´, 3´ ,pero es posible calcularlas directamente con la formula σ2(0/V) = γ (V/V) Para hacer los cálculos es necesario utilizar los ábacos de la función F( L,l ) .Esta función da directamente el valor medio de un variograma de meseta 1 y alcance “a” cuando los puntos x y x’ describen independientemente el rectángulo V =L x l

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En este caso las cosas son un poco mas complicadas porque γ (h) no es isotropico, es necesario calcular L/a1 y l/a2 para poder leer el ábaco, posteriormente se multiplica este valor por la meseta. Para las celdas V sucesivamente iguales a G, V v calcule por este método σ2(0/V) , σ2(0/G) y σ2(0/v), ,Usted puede utilizar la tabla siguiente

• ¿Compare estos resultados, cuales son sus conclusiones?

• ¿Si considera ahora una meseta de 72, los resultados mejoran? , ¿Cuales son sus Conclusiones?

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3.5.- Nuevo ajuste del variograma , Se ha decidido, cambiar el ajuste del variograma, por un varigrama experimental adoptando un modelo anidado, compuesto de dos estructuras γ (h) =γ1(h)+ γ2 (h) γ1(h) = Efecto pepita de valor C0 = 8 γ2(h) =Esférico anisotropico de C1=67 a1=18 a2= 30

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• ¿Cuale seria la expresión g(V,V)? • Rehaga lso calculos con este nuevo modelo

• Compare los modelos precedentes (Modelo esférico anisotropico de alcance 75), ¿Finalmente que modelo eligiria usted ?

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LA RELACION DE KRIGE

Si tenemos que v subconjunto de V la varianza de dispersión Zv (x) cuando x describe a V en una expresión

σ2 (v,V) = γ (V,V) –γ(v,v) Esta formula es valida sin importar el volumen v en V de un punto hasta el yacimiento G ,la sola regla a respetar sera

GVvx ⊂⊂⊂

σ2 (v/G) = γ (G,G) –γ(v,v)

En esta expresión se puede hacer aparecer γ(V,V)

σ2 (v/G) = γ (G,G) –γ(V,V) + γ (V,V) –γ(v,v)

Esto nos entrega la formula de M. Krige .

σ2 (v/G) = σ2 (V/G) + σ2 (v/V)

3.7 Verifique la formula de M.Krige para σ2 (0/G)

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VARIANZA DE ESTIMACION LOCAL

Z(x) es una función aleatoria intrínseca de variograma g (h) y V un volumen .Cuando reemplazamos

∫=

)(

)(1)(

xV

duuZV

xvZ

Por un estimador ZV(x) cometiendo un error aleatorio (ZV(x) –ZV(x)*) , por lo tanto será una medida importante de la varianza , que llamaremos varianza de estimación

)*]()([2 xVZxVZV −=σ

Si el estimador ZV(x) es no sesgado .es decir que su error (ZV(x) –ZV(x)*) es de esperanza nula ,entonces

]2)*)()([(2 xVZxVZEE −=σ Este estimador puede ser

La media de Z(x) sobre otro volumen v que no es necesariamente incluido en V

∫=

)(

)(1)(

xv

duuZv

xvZ

),().(),(*2),'(2 VVvvVvVvE γγγσ −−=

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Podemos utilizar muchos ejemplares de volúmenes v(xk) promediando las cantidades Zv(xk) que estan asociados ,entonces

Estos volúmenes pueden ser reducidos a puntos con media de cantidades Z(xk) , tenemos:

Estas varianza del error que son las varianzas de estimacion .se calculan con las ayudas de los abacos como para las varianzas de dispersión ,sabiendo que :

Aplicación Varianzas de estimacion local Para los calculos emplearemos un modelo γ(h) esferico isotropico de meseta C y de alcance 9 metros 3.8.-Estimemos Z(x) por Z*(x) =Z(x+h)

• ¿Entrege la formula teorica de la varianza de estimación σ2E(x, x+h)?

• ¿Valor de σ2E(x, x+h) para h= 10 ?

• ¿Valor de σ2E(x, x+h) para h= 3 y C=1?

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3.9.-V es un rectangulo de 10 x 10 estime ZV(x) por ZV(x)*= Z(x0) ,estando x0 en el centro de V .

• Entregue la formula teórica para la varianza de estimación σ2E(0, V)?

• Utilizando los ábacos calcule σ2E(x, x+h) cuando C=1

• Cual es resultado dado por el calculo directo en el ábaco 3.10.-El mismo rectangulo estime ZV(x) * = (1/4)*Σ(Z(xk) ,la media de las medidas situadas en las extremidades .

• Entregue la formula teórica de la varianza de estimación σ2E({xk}, V)?

• Utilizando los ábacos calcule σ2E({xk}, V) cuando C=1

• Cual es el resultado directo • Comparando con el anterior , que configuración elegiría usted

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VARIANZA DE ESTIMACION GLOBAL

Sea Z(x) una funcion aleatoria conocida sobre un dominio

iVN

iUG

1==

La media global sera

∫=

G

duuZGGZ )(1

Será estimada por

**

1

1*ivZ

N

iiV

GGZ ∑=

=

Con Z* Vi , estimacion local de la media sobre Vi .Deseando cuantificar la varianza del

error cometido globalestimacionianzaGZZVT var]*[2 −=σ

Si desarrollamos esta expresión se obtiene:

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Calculo de σ2G varianza del error de calidad, si trabajamos en 2D y presentando tres casos,

se tienen

• Composición Directa Todos los Vi son idénticos ,los z(xi) están en una malla regular ,y para calcular σ2

G lo haremos aproximadamente Z*Vi=Z(xi)

),0(212 VENG σσ ≈ Con σ2 E (0,V) es la varianza promedio sobre V y N es el numero de Vi y de xi .

• Aleatorio estratificado Idenm al anterior , pero con cada xi implantado al hazard en Vi

)/0(212 VNG σσ ≈

Con σ2 (0,V) varianza de dispersión de un punto en un bloque V

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• Composición linea - panel

G es una reunion de un conjunto de N paneles rectangulares Vi reconocidas por trazos medios Li ,Haremos una aproximación Z*Vi=Z(Li)

∑

∑

=

=≈ N

iiV

N

iiViLEiV

Panel

1

2

1

),(2*2

2

σ

σ

Con σ2E(Li,i)=Varianza de estimación de la media sobre Vi por la media sobre Li ,y N el

numero de Vi . Cada línea Li es reconocida por una sucesión de Z(xi) espaciadas a distancia constante l .Hacemos una aproximación que Z*li=Z(Li) ,donde

),0(212 lEMLinea σσ ≈

Con σ2

E(0,l)=varianza de estimacion de segmento l por un ppunto y M el numero total de muestra Z(x) en G La varianza de estimacion global esta compuesta de dos terminos

222lineapanelG σσσ +≈

• Calculo del error geométrico Si consideramos

iVN

i

G U1=

=

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Donde los Vi son todos identicos , no se conoce la geometría del dominio G mas que por aproximación de los datos asociados a Vi que indicarian una mineralizacion .Si contamos su cantidad esta es N , lo que entregaria una area aproximada de A* =N*V La varianza del error cometido sera

)2

21*061.0

62(2

12

2

NNN

NAA +≈

σ

Con N numero total repuntos estimados como mineralizados

)2

,2

(1 HorizonalNVerticalNSupN =

)2

,2

(21 HorizonalNVerticalNInfN =

NVer=numero de segmentos verticales sobre los bordes estimados NHor=numero de segmentos horizontales sobre los bordes estimados

)/0(22

22 GEA

AB σ

σσ =

Con σ2E(0/G)= Varianza de dispersión de los puntos en el dominio .

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• Aplicación VARIANZA DE ESTIMACION GLOBAL 3.11.-Optimización del reconocimiento Con el propósito de optimizar el reconocimiento de un panel , evaluando 4 tipos de disposiciones de toma de muestra .Elvariograma de las muestras es la suma de un efecto pepita de meseta 1 y de un modelo esferico de meseta 4 .su alcance es igual a= 25 m. y a=50 m. .Las dimensiones del panel es de 90 x 120 m2 .

Se establecera que las muestras y sondajes corresponde a un mismo soporte.

• ¿Para los dos valores de a ,calcule las varianza de estimación global del panel según los cuatro casos ,posteriormente sintetice los resultados en la tabla siguiente ,compare ,concluya ?

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3.12 Error geométrico Una superficie G reconocida por las muestras puntuales .Las muestras con mineralización son indicadas como 1 , y las otras como 0 .La malla de reconocimiento es de 10 x 10 m.

• Calcule A* ,el área resúltate de estas medidas • Calcule (σ2

A/ A2 ) • Traduzca esto en un intervalo de confianza sobre la hipótesis que a distribución de

los errores (A – A*) es gaussiana .

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KKKRRRIIIGGGEEEAAAGGGEEE

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KRIGEAGE ORDINARIO PUNTUAL

4.1.-Sean dos puntos de leyes M1 Y M2 y un punto P0 .Z(u) es estacionaria de orden 2 de

variograma g(h) ,estime Z(P) por krigeage ordinario (K.O.) utilizando M1 y M2.

• Construir las ecuaciones de Krigeage • Resolver el sistema de ecuaciones de krigeage cuando g(h) es pepita de meseta C . • Resolver formalmente el sistema de Krigeage cuando g(h) no es pepita • Que advierte cuando la meseta es multiplicada por 2

Si g(h) no es pepita ,pero su alcance practico a=a1 o a2=a3 y isotropico de alcance C

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• Resuelva formalmente el sistema para los tres casos • Compare los ponderadores de M1 y M2 en los casos 2 y 3

4.2.- N puntos de medidas y un punto P0

• Escriba el sistema a resolver cuando g(h) es pepita de meseta C. • Que pasa cuando la meseta es multiplicada por 2 .

KRIGEAGE ORDINARIO DE UN BLOQUE 4.3.-Sistema general Si estimamos el valor medio de Z(u) por un Krigeage Ordinario utilizando los valores de

Z de los puntos Mi

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• Construir las ecuaciones del K.O • Si ocupamos estas ecuaciones a aquellas del K.O puntual ,¿Qué cambia?.

4.4.-Aplicación a una configuración particular de puntos Un bloque achurado de 200 x 200 m2 es krigado utilizando 5 muestras dispuestas sobre una malla regular separada 200 m .Z(x) es estacionaria de variograma isotropico g(h) .

• Escriba formalmente el sistema de ecuaciones del Krigeage .sobre forma de ecuaciones, y sobre la forma matricial.

• Intente simplificar las ecuaciones del sistema.

El variograma de Z(x) es esférico de meseta C y de alcance 250 m.

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• Simplifique el sistema para poder resolverlo formalmente La meseta C=2

• Con la ayuda de los ábacos ,encuentre la solución ,escriba ,el estimador dando la varianza del krigeage.

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IIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRIIIAAA EEENNN MMMIIINNNAAASSSAAAPPPUUUNNNTTTEEESSS CCCUUURRRSSSOOO GGGEEEOOOEEESSSTTTAAADDDIIISSSTTTIIICCCAAA


PPPAAARRRTTTEEE 333

AAABBBAAACCCOOOSSS...


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