Una breve introduccin a geoestadstica

Wouter Buytaert

w.buytaert@imperial.ac.uk

1. Introduccin

2. Ajuste de tendencias en superficies (trend surface fitting)

3. Ponderacin por la inversa de la distancia

4. Kriging

5. Mtodos Bayesianos

4. Evaluacin de mtodos de interpolacin

5. Aplicacin: kriging de precipitacin

Geoestadstica

Introduccin

Qu?- datos espaciales- x, y, ....,w puntos en un espacio 1, 2, 3D- Z(x), Z(y),.... observaciones en estos puntos de un proceso Z=> Como estimamos el valor Z(t) en una ubicacin t no muestreada?

Cmo?- Ajustar un modelo espacial

- determinista- estocstico

- en general, solo tenemos una medicin Z(x), Z(y), ... en cada punto t, entonces es difcil usar estadstica convencional (ej., no se puede calcular la correlacin en el espacio)

Aplicaciones- minera - edafologa- geologa - petroleo- hidrologa -

- Regresin multiple con las coordenadas como variables independientesmodelo lineal de primer orden (first order linear model):

modelo lineal de segundo orden (second order linear model):

- Ajustado de la misma manera que con modelos lineales (R2)

-Sin embargo hay muchos problemas, especialmente en modelos de mayor orden: * No conservador: la superficie no pasa por los valores medidos * Riesgo de overfitting * Superficie inestable en los bordes * Problemas de estabilidad * Probable de autocorrelacin en los residuos

=> Muy difcil de captar los procesos espaciales en modelos matemticos

z x , y=01 x2 y

z x , y=01 x2 y3 x24 y

25 xy

Trend surface anlisis

En un proceso espacial, un supuesto frecuente es que mediciones en puntos ms

cercanos tienen mas valor predictivo. En ese caso, se puede estimar el valor en un

punto no monitoreado x0 en base a un promedio ponderado:

Una manera intuitivamente atractiva es la definicin de los pesos en base a la

inversa de la distancia:

Sin embargo, podemos buscar una mejor definicin para los pesos, analizando las

propiedades estadsticas de la variabilidad espacial de la varianza. El mtodo de

Kriging intenta de minimizar la varianza de la estimacin en base a dichas

propiedades.

wi x0=1d i

Mtodos de ponderacin

Teora de procesos estacionarios

= un proceso aleatorio (estocstico) caracterizado por propiedades estadsticas que no cambian en el tiempo o el espacio

- Distribucin de probabilidad:

- Estacionaridad del primer orden:

- Estacionaridad del segundo orden:

F x=P Xx x

E [x t ]=mxt =mxt

E [x t1 x t 2]=Rx t1, t 2=Rx t1 , t 2=Rxt1t 2 ,0

Kriging

variograma

= una funcin que describe el nivel de dependencia espacial en un campo espacial aleatorio de un proceso estocastico Z(x):

Para un proceso estacionario e isotrpico:

(x,y) = (h)

Sin embargo, muchas veces ser imposible calcular el variograma porque tenemos muy pocos datos en cada punto. En ese caso reemplazamos el variograma terico por un variograma emprico:

Para observaciones zi, i = 1,,k en posiciones x1,,xk

- Nugget La altura del semivariograma en el origen

- Sill Lmite del variograma hacia distancia infnita (punto mximo).

- Range Distancia en la cual la diferencia del variograma al sill es insignificativo.

Funciones matemticas para el semivariograma:

- Exponencial:

- Esfrica

- Gaussiana

- nugget, circular, linear, bessel, power, spline,

Prediccin con kriging

= interpolar los valores de modo que la varianza de la suma ponderada est minimizadaen cada lugar del mapa

La teora de Kriging

Si suponemos que Z(x) es un proceso aleatorio, la varianza es:

Se buscan los pesos wi minimizando la funcin de error (= best linear unbiased estimator):

Simple kriging- supone una tendencia constante y conocida: (x) = 0- supone que la funcin de covarianza es conocida Cov(Z(x),Z(y))=> muy limitada, normalemente las condiciones no se cumplen

Ordinary kriging- supone una tendencia constante y no conocida (x) = - supone un variagrama conocido (o suficientes datos para estimarlo)

Block kriging

Similar al kriging con puntos, pero promediando los valores sobre una region(ej., si uno solo est interesado en el promedio sobre una cuenca)

Anisotropic kriging

Se construye ms de un variograma, por ejemplo en el caso de anisotropa(ej., variogramas para N-S y E-O)

Mtodos de kriging no estacionarios (con co-variables)

- El nmero de co-variables es limitado a los puntos monitoreados:

* co-kriging: construye un variograma cruzado entre dos variables

- Co-variables conocidas en cada celda del mapa (ej., pendiente, altura)

* Universal Kriging Incluye co-variables en el semivariograma

* Regression kriging Normalizacin separada en base a la tendencia

Mtodos bayesianos

Medidas de desempeo- R2

- root mean square error- desviacin absoluta-

Cross-validation

- Split sample test (Prueba de muestra dividida)

Se divide el juego de datos aleatoriamente en un set de calibracin y de validacin

- Repeated random sub-sampling validation (Validacin submuestreo aleatorio repetido)

Divisin aleatoria del juego de datos, promediando despus

- K-fold cross-validation

divide el juego en K grupos, usa K-1 grupos para la calibracin y el grupp K para la

validacin, repitir para cada grupo

- Leave-one-out cross-validation (Validacin cruzada dejando un dato fuera)

saca un dato del juego y predice para ese dato, repite para cada dato

Evaluacin de mtodos de interpolacin

P. Goovaerts. Geostatistical approaches for incorporating elevation into the spatial interpolation of rainfall. Journal of Hydrology, 228:113-129, 2000.

Estudio de caso: kriging de precipitacin

Comparacin de diferentes mtodos

- Thiessen- Inverse square distance- simple kriging with varying local means- kriging with an external drift- Universal kriging

Sin incorporar la elevacin

Incorporando la elevacin

Variograma cruzado para precipitacin y elevacin

Leave one out cross-validation

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