Geoinformation II

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

AVL-Bäume

Geoinformation IIVorlesung 2

SS 2001

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 2

2 2

Übersicht I

• Einfacher Segmentschnitt I• Verwaltung der aktiven Elemente• letzte Stunde• zur Erinnerung: Algorithmus Scan-Line• Datenstrukturen für T und S• Binärer Suchbaum• Exkurs: AVL-Bäume• AVL-Baum (Definition)• AVL-Baum: Beispiel• Balancefaktor


3 3

Übersicht II

• AVL-Baum: Beispiel• Einfügen von Knoten• Löschen von Knoten• L-Rotation• LR-Rotation• Exkurs: AVL-Bäume in Kürze• Vollständige Bäume• Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen• Fibonacci-Zahlen


4 4

Übersicht III

• Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen• Maximale Höhe von AVL-Bäumen• Das Wichtigste zu AVL in Kürze• 4 Fälle im Überblick• Zurück zur GIS Vorlesung• Eine Variante des AVL-Baums• für die Haltepunkte ...


5 5

Einfacher Segmentschnitt I

S1 = det ( P1,P3,P4) Def.: Vor.: Alle Determinanten sind 0:S2 = det ( P3,P1,P2) g und g` schneiden sich genau dann, wenn S1, S2

S3 = det ( P2,P3,P4) sowie S3, S4 jeweils verschiedene Vorzeichen S4 = det ( P4,P1,P2) haben.

P2

P1

P3 P4

P2

P3

P4

P1g

g`

P2

P1

P3

P4


6 6

Verwaltung der aktiven Elemente

A

BF

C

D

ES1

S3

S2

S4

B

EC

D


7 7

letzte Stunde

• Scan-Line• Hauptideen

– Projektion auf x-Achse– Beschränkung auf aktive Elemente– Ordnung der aktiven Elemente durch Scan-Line– Beschränkung auf Nachbarn

• zum Schluß: 2-Segment-Schnitt(müßte Ihnen bekannt sein)

• heute: – Datenstrukturen für Scan-Line– Polygon-Overlay


8 8

zur Erinnerung: Algorithmus Scan-Line

Input:

S: eine Menge von Segmenten

Output:

die Schnittpunkte der Elemente von S

Sei

T = Endpunkte der Segmente von S nach x-Koordinaten sortiert (Haltepunkte)

L = // aktive Segmente von S

while T do

bestimme und entferne den nächsten Punkt pT

x ist x-Koordinate von p

case: p ist linker Endpunkt von sfuege_ein(s,x,L)sl = vorgaenger(s,x,L)sr = nachfolger(s,x,L)

schnitt(sl,s,T);

schnitt(s,sr,T);

p ist rechter Endpunkt von s

sl = vorgaenger(s,x,L)sr = nachfolger(s,x,L)

entferne(s,x,L)

schnitt(sl,sr,T)

p ist Schnittpunkt von s und t

vertausche(s,t,L,x) // t < ssl = vorgaenger(t,x,L)sr = nachfolger(s,x,L)

schnitt(sl,t,T)

schnitt(s,sr,T)


9 9

Datenstrukturen für T und S

• Datenstrukur für T– AVL-Baum

– siehe diskrete Mathematik

• zur Erinnerung: was ist ein AVL-Baum– erstens ein Suchbaum

– und zwar ein ausgeglichener Suchbaum

• Datenstruktur für L– AVL-Baum?

– Vorgänger und Nachfolger

– Variante des AVL-Baums

• alle Informationen sind in Blättern (nicht in inneren Knoten)

• die Blätter bilden eine doppelt verkettete Liste


10 10

Binärer Suchbaum

• Ein binärer Baum B ist ein binärer Suchbaum, falls er leer ist oder die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

– die beiden Unterbäume sind binäre Suchbäume– die Beschriftungen der Knoten des linken Suchbaums sind

kleiner als die Beschriftung der Wurzel– die Beschriftungen des rechten Suchbaums sind größer als

die Beschriftung der Wurzel

n

<n >n


Exkurs: AVL-Bäumesiehe Vorlesung Nr. 9

Diskrete Mathe I


12 12

AVL-Baum (Definition)

Ein binärer Baum heißt ausgeglichener Baum oder

AVL-Baum (nach Adelson-Velskij und Landis), falls

sich für jeden Knoten k die Höhen h der beiden

Teilbäume um höchstens 1 unterscheiden.


13 13

AVL-Baum: Beispiel


14 14

Balancefaktor

Balancefaktor bal(k)

bal(k) = h(rechter Teilbaum von k) -

h(linker Teilbaum von k)

Für AVL-Bäume gilt:

bal(k) { 1,0, 1}


15 15

AVL-Baum: Beispiel

0 0

0

+1

+1-1

+1


16 16

AVL-Baum: Beispiel

0 0

0

+1

+1-1

+1


17 17

0

0

+1

+10

+2

AVL-Baum: Beispiel


18 18

Einfügen von Knoten

26 39

17113

208

33

14

00

00 0 0

0 +1

+1Einfügen von k = 30


19 19

14

113

8

00

0

26 39

17

20

33

00

0 0

+1


Einfügen von k = 30 +1


20 20

14

113

8

00

0

26 39

17

20

33

00

0 0

+1




21 21

17

20

14

0

26 39

33

00

0113

8

00

0 +1




22 22

17

20

14

0

26 39

33

00

0113

8

00

0 +1




23 23

14

30

26 39

33

00

0113

8

00

0

17

20

0

+1

0




24 24

14

+1

113

8

00

0

17

20

0

+1

30

26 39

33

0

0

0




25 25

17

20

14

0113

8

00

0 +1

-1

26 39

33

30

0+1

0




26 26

17

20

14

0113

8

00

0 +2

26 39

33

30

0+1

-1

0

Ausgeglichenheit ist verletzt




27 27

17

20

14

0113

8

00

0 +2

26 39

33

30

0+1

-1

0

Ausbalancierendurch Rotation




28 28

26 39

17113

208

33

14

30

0+1

00 0 -1

0 +2

0


R- Rotation



29 29

17

20

14

0113

8

00

0 +2

26 39

33

30

0+1

-1

0




30 30

26 39

17113

208

33

14

30

0+1

00 0 -1

0 +2

0




31 31

17

20

14

0113

8

00

0 +2

26

30 39

33L- Rotation




32 32

17

20

26

14

0113

8

00

0 +2

30 39

33




33 33

17113

208

26

14

00 0

0 +2

30 39

33




34 34

26

14

113

8

00

0 0


Einfügen von k = 30

39

20 33

00

0 0

017 30

+1


35 35

113

268

14

0

00

0 0

17


Einfügen von k = 30

39

20 33

0

0 0

030

+1


36 36

39

20113

268

33

14

00

00 0 0

0 0

017 30


+1


37 37

Löschen von Knoten

26 39

17113

208

33

14

00

00 0 0

0 +1

+1Löschen von k = 8


38 38

Löschen von Knoten

26 39

17113

208

33

14

00

00 0 0

0 +1



39 39

Löschen von Knoten

113

8

14

00

0

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



40 40

Löschen von Knoten

3

14

0

11-1

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



41 41

Löschen von Knoten

3

14

0

11-1

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



42 42

Löschen von Knoten

3

14

0

11-1

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



43 43

Löschen von Knoten

3

14

0

11-1

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



44 44

Löschen von Knoten

3

14

0

11-1

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



45 45

Löschen von Knoten

3

14

0

11-1

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



46 46

Löschen von Knoten

14

30

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



47 47

Löschen von Knoten

14

30

26 39

17

20

33

00

0 0

+1


L- Rotation


48 48

Löschen von Knoten

14

30

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



49 49

Löschen von Knoten

14

30

26 39

17

20

33

00

0 0

+1



50 50

20

173

14

00

0

26

33

390 0

0

0

Löschen von Knoten


51 51

26173

3314

39

20

00 0 0

0 0

0

Löschen von Knoten


52 52

L-Rotation

Knoten x wird eingefügt und verletzt dadurch die

Ausgeglichenheit an einem höher gelegenen Knoten k1

Notwendige Korrektur durch L-Rotation (symmetrisch:

R-Rotation): Umhängen von zwei Kanten


53 53

L-Rotation

T1

T2 T3

k1

k2

0

+1


54 54

L-Rotation

T1

T2 T3

k1

k2

x

+1

+2


55 55

L-Rotation

T1

T2 T3

k1

k2

x

+1

+2


56 56

L-Rotation

T1

T2 T3

k1

k2

x

+1

+2


57 57

L-Rotation

T1

k1

k2

x

0

T2

T3

0


58 58

LR-Rotation

x wird eingefügt und verletzt dadurch die Ausgeglichen-

heit an einem höher gelegenen Knoten k1.

Notwendige Korrektur durch LR- Rotation

(symmetrisch: RL-, RR- und LL- Rotation):

Umhängen von vier Kanten


59 59

LR-Rotation

T1

k2

k10

-1

T3

T4

k3

T2

0


60 60

LR-Rotation

T1

k2

k1

x

+1

-2

T3

T4

k3

T2

+1


61 61

LR-Rotation

k1

-2

T4

T1

k2

x

+1

T3

k3

T2

+1


62 62

LR-Rotation

k1

-2

T1

k2

x

+1

T3

T4

k3

T2

+1


63 63

LR-Rotation

T1

k2

k1

x

+1

-2

T3

T4

k3

T2

+1


64 64

LR-Rotation

k1

-2

T4

T1

k2

x

-1

T3

k3

T2

-1


65 65

LR-Rotation

k1

-2

T1

k2

x

-1

T3T4

k3

T2

-1


66 66

LR-Rotation

T1

k2

k1

x

-1

-2

T3T4

k3

T2

-1


67 67

LR-Rotation

T1

k2

k1

x

0

0

T3

T4

k3

T2

-1


Exkurs: AVL-Bäume in Kürze

siehe Vorlesung Nr. 10

Diskrete Mathe I


69 69

Übersicht

• Vollständige Bäume• Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen

– Fibonacci-Zahlen

• Maximale Höhe von AVL-Bäumen• Das Wichtigste zu AVL in Kürze• 4 Fälle im Überblick• „Überleitung“• Güte von Algorithmen• Groß-Oh-Notation• Inklusion• Komplexität - Beispiele


70 70

Vollständige Bäume

Ein binärer Baum heißt vollständig, wenn alle Blätter die gleiche Höhe haben.

Ein vollständiger binärer Baum gegebener Höhe enthält die maximale Anzahl von Knoten.

Wie groß ist die maximale Anzahl der Knoten eines vollständigen Baumes gegebener Höhe?


71 71


Baum Höhe Anzahl

innere Knoten Blätter

1

3

0

1

3

1

2

4

h 2h-1-1 2h-1

= 2h-1

... ... ...

2


72 72


Satz: Ein vollständiger binärer Baum der Höhe h enthält 2h-

1 Blätter und 2h-1 Knoten*(innere Knoten + Blätter!).

Beweis: 1) Induktionsanfang: h= 1

Der Baum besteht nur aus der Wurzel, die auch das einzige Blatt ist:

21-1 = 20 = 1 Blatt21-1 = 2 - 1 = 1 Knoten

2) Induktionsschritt: h h + 1

Höhe h Höhe h + 1

2h-1 Blätter 2h Blätter

2h-1 Knoten 2h-1 innere Knoten

2h + 2h - 1 = 2h+1-1


73 73

Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen

N(h) sei die minimale Anzahl von Knoten eines AVL- Baumes der Höhe h.

h = 1 N(1) = 1

h = 2 N(2) = 2

h = 3 N(3) = 4


74 74


Allgemeiner Fall:

N(h-2)N(h-1)

1

worst case der Höhe h: N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1


75 75

Fibonacci-Zahlen

fib(0) = 0

fib(1) = 1

fib(2) = 1...fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

Abschätzung von fib: Sei

1 5

21,618

1 5

20,618

fib(n) 1

5n n

Satz: N(h) = fib(h+2) - 1

Beweis:

1) Induktionsanfang: h = 1

fib(1+2) - 1 = fib(3) - 1 = 2 - 1 = 1

N(h)N(h-1)

1 N(h+1) = 1 + N(h) + N(h-1)

= 1+ fib(h+2) - 1 + fib(h+1) - 1

= fib(h+3) - 1

= fib([h+1]+2) - 1

2) Induktionsschritt: h h + 1



77 77

Daraus folgt nach Umformung der Abschätzung:

Ein AVL-Baum mit n Knoten hat höchstens die Höhe

1,44... log(n) + const

Maximale Höhe von AVL-Bäumen


78 78

Das Wichtigste zu AVL in Kürze

1. Die { L, R, RL, LR } - Rotationen finden Anwendung, wenn bei der Rückkehr von den eingefügten/gelöschten Knoten zur Wurzel des Baumes ein Balance-Faktor {-2, +2 } gefunden wird.

2. Die Wiederherstellung der AVL-Eigenschaft involviert höchstens 3 Knoten + Verweise auf die Nachfolger. Prinzip der Lokalität

(Das Problem kann auch nur auf dem Weg von einem Blatt zur Wurzel des Baumes auftreten.)

3. Es finden nur vertikale Verschiebungen der involvierten Knoten statt.


79 79


Die Form eines Baumes hängt von der Eingabefolge ab:

Eingabe von {1, 2, 3}

Eingabefolge: 2, 1, 3

2

1 3


1 3


80 80



1

2

3

2

1 30

1

2

L-Rotation


81 81



2

1 3

1

2

3R-Rotation

-2


82 82



2

1 3

1

2

3

1

2

3

L-R-Rotation

2 2

L

R


83 83



2

1 33

2

1

3

2

1

R-L-Rotation

2 2

R

L


84 84

4 Fälle im Überblick

Woher rührt die Verletzung der Balance am Knoten ?

R LR RL L


Zurück zur GIS Vorlesung


86 86

Eine Variante des AVL-Baums

• mit einer doppelt verketteten Liste der Blätter

für die Menge der aktiven Elemente


87 87

für die Haltepunkte ...

• ...mit den Operationen– Einfügen eines gefundenen Schnittpunktes– Finden und Entfernen des nächsten (also minimalen)

Elements ...

• ... genügt ein „normaler“ AVL-Baum• obwohl man mit Kanonen auf Spatzen schießt• besser: ein Heap• bei Interesse: Vorlesung 2 (heute),

Diskrete Mathematik

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