GEOMETRÍA ANALÍTICA ANÁLISIS MATEMÁTICO€¦ · vi ELBER ROGELIO VERA RODRIGUEZ - ANA MARÍA ZELA APAZA 4.1 INTRODUCCIÓN Es sabido que la matemática juega un rol fundamental

ElbEr rogElio VEra rodriguEz - ana María zEla apaza
Análisis Matemático I con Geometría Analítica Lima: 2020; 250 p.
© Elber Rogelio Vera Rodriguez © Ana María Zela Apaza © Universidad Nacional Agraria La Molina
Av. La Molina s/n La Molina
Derechos reservados ISBN digital: N° 978-612-4387-56-2
Primera edición: agosto de 2020
Diseño y diagramación: Daniella Luna Barrios
Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado, sin autorización escrita del autor. Todos los conceptos expresados en la presente obra son responsabilidad de los autores.
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Ph.D. ENRIqUE RICARDO FLORES MARIAzzA Rector
Ph.D. JORGE ALFONSO ALARCóN NOVOA Vicerrector Académico
DRA. CARMEN ELOíSA VELEzMORO SáNChEz Vicerrectora de Investigación
JOSé CARLOS VILCAPOMA Jefe del Fondo Editorial
PRÓLOGO Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores. He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo. En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos. En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas. En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho. En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería. Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión. Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual. Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García
Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática
Facultad de Ciencias. UNALM
Introducción
Conceptos básicos de la geometría analítica: punto, recta, circunferencia y cónicas
1. Números reales 1.1 Conjuntos numéricos 1.2 Definición axiomática del sistema de los números reales 1.3 Inecuaciones polinomiales y racionales 1.4 Inecuaciones con radicales 1.5 Inecuaciones con valor absoluto Ejercicios propuestos
2. Funciones 2.1. Definición de función y gráfica. Dominio y rango 2.2. Funciones especiales: polinómicas (constante, lineal, identidad, cuadrática,
cúbica), función racional, función valor absoluto, función raíz cuadrada, función signo
2.3. Función inyectiva. Función inversa 2.4. Funciones trigonométricas directas e inversas. Función exponencial y
logarítmica 2.5. Álgebra de funciones 2.6. Composición de funciones 2.7. Ecuaciones paramétricas y gráfica 2.8. Ejercicios y problemas propuestos
3. Límites 3.1 Límite de funciones reales de variable real, definición. Límites laterales 3.2 Teoremas relativos a los límites 3.3 Límites al infinito 3.4 Límites infinitos 3.5 Límites trigonométricos 3.6 Límites de funciones exponenciales y logarítmicas 3.7 Continuidad, discontinuidad: casos 3.8 Ejercicios propuestos
vii
1
45
75
45
75
INTRODUCCIÓN
Es sabido que la matemática juega un rol fundamental en la formación de los estudiantes universitarios, especialmente en los de ciencias e ingeniería, por lo que se incide mucho en que comprendan los conceptos y definiciones matemáticos, así como desarrollar la habilidad de poder aplicarlo a la realidad.
Con este fin, esta obra busca coadyuvar en lograr este propósito, presentando los temas de una forma entendible, didáctico, con ejemplos y ejercicios y problemas propuestos con respuesta, para el logro del aprendizaje.
Este libro fue escrito para ayudar a entender los temas del curso de Análisis Matemático I, que corresponde al primer curso de matemática que llevan los alumnos ingresantes a la UNALM y que está comprendido en la malla de los Estudios Generales de la Universidad.
Asimismo, se incorpora una parte introductoria referida a la Geometría Analítica, que permitirá sintetizar y nivelar estos conceptos en los estudiantes, ya que son un requisito fundamental para un mejor desempeño en el curso.
En el capítulo I, se estudian principalmente las inecuaciones polinomiales, racionales, con radicales y con valor absoluto. Se dan los principales teoremas y se resuelven una serie de ejercicios combinados.
En el capítulo II, se aborda el estudio de las funciones, los tipos, sus gráficos y las operaciones que se pueden realizar con ellas.
En el capítulo III, se estudia uno de los pilares del análisis matemático que es el límite de una función. Es el tema que da inicio a la matemática superior. Se estudia principalmente, como calcular los diversos tipos de límites de una función y como determinar la continuidad de una función.
En el capítulo IV, se estudia otro concepto fundamental del análisis matemático, como es la derivada de una función. Su interpretación geométrica y la determinación de la derivabilidad de una función en cualquier punto. Asimismo, se hallará la derivada de diversos tipos de funciones, tanto en forma explícita como implícita, y también se hallarán derivadas de orden superior.
Esperamos que esta modesta obra pueda ayudar a los alumnos de Estudios Generales en su camino de aprendizaje y formación profesional. Es nuestro anhelo como docentes y educadores comprometidos en la enseñanza aprendizaje de nuestros alumnos.
Muchas gracias por su atención.
Los autores
4. Derivada de una función 4.1 Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
Ecuación de la recta tangente y normal 4.2 Derivada por definición de una función 4.3 Derivadas laterales. Derivada y continuidad 4.4 Derivada de funciones algebraicas 4.5 Derivada de funciones trigonométricas directas 4.6 Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena 4.7 Derivada de funciones implícitas 4.8 Derivada de la función inversa 4.9 Derivada de funciones trigonométricas inversas 4.10 Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas 4.11 Derivada de orden superior 4.12 Derivada de ecuaciones paramétricas 4.13 Ejercicios y problemas propuestos
Referencias bibliográficas
INTRODUCCIÓN
Es sabido que la matemática juega un rol fundamental en la formación de los estudiantes universitarios, especialmente en los de ciencias e ingeniería, por lo que se incide mucho en que comprendan los conceptos y definiciones matemáticos, así como desarrollar la habilidad de poder aplicarlo a la realidad.
Con este fin, esta obra busca coadyuvar en lograr este propósito, presentando los temas de una forma entendible, didáctico, con ejemplos y ejercicios y problemas propuestos con respuesta, para el logro del aprendizaje.
Este libro fue escrito para ayudar a entender los temas del curso de Análisis Matemático I, que corresponde al primer curso de matemática que llevan los alumnos ingresantes a la UNALM y que está comprendido en la malla de los Estudios Generales de la Universidad.
Asimismo, se incorpora una parte introductoria referida a la Geometría Analítica, que permitirá sintetizar y nivelar estos conceptos en los estudiantes, ya que son un requisito fundamental para un mejor desempeño en el curso.
En el capítulo I, se estudian principalmente las inecuaciones polinomiales, racionales, con radicales y con valor absoluto. Se dan los principales teoremas y se resuelven una serie de ejercicios combinados.
En el capítulo II, se aborda el estudio de las funciones, los tipos, sus gráficos y las operaciones que se pueden realizar con ellas.
En el capítulo III, se estudia uno de los pilares del análisis matemático que es el límite de una función. Es el tema que da inicio a la matemática superior. Se estudia principalmente, como calcular los diversos tipos de límites de una función y como determinar la continuidad de una función.
En el capítulo IV, se estudia otro concepto fundamental del análisis matemático, como es la derivada de una función. Su interpretación geométrica y la determinación de la derivabilidad de una función en cualquier punto. Asimismo, se hallará la derivada de diversos tipos de funciones, tanto en forma explícita como implícita, y también se hallarán derivadas de orden superior.
Esperamos que esta modesta obra pueda ayudar a los alumnos de Estudios Generales en su camino de aprendizaje y formación profesional. Es nuestro anhelo como docentes y educadores comprometidos en la enseñanza aprendizaje de nuestros alumnos.
Muchas gracias por su atención.
Los autores
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA: PUNTO, RECTA, CIRCUNFERENCIA Y CÓNICAS
“El gran objetivo del aprendizaje no es el conocimiento, sino la acción.”
Herbet Spencer PAR ORDENADO Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes) en el cual interesa el ordenamiento de estos elementos también llamados componentes y se denota por (, ) donde es la primera componente y es la segunda componente. Propiedades del par ordenado 1. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales.
(, ) = (, ) si y solo si, = y = 2. Como en un par ordenado, se toma en cuenta el orden entonces se cumple:
(, ) = (, ) si y solo si = (no es conmutativo) PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos no vacíos, definimos el producto cartesiano de A y B, denotado por × en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (, ) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes pertenecen al conjunto B. Esto es:
× = {(, ); ∈ ∈ } Ejemplo 1 Sean los conjuntos = {1, 2, 3} y = {4, 6} , halle × y × . Solución:
× = {(1, 4); (1, 6); (2, 4); (2, 6); (3, 4); (3, 6)}
× = {(4, 1); (4, 2); (4, 3); (6, 1); (6, 2); (6, 3)} De esto, tenemos que × ≠ × . Propiedad: Sean los conjuntos A y B no vacíos y finitos, se cumple que:
× ≠ × de donde:
× = × si y solo si = ( × ) = (). ()
1
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA: PUNTO, RECTA, CIRCUNFERENCIA Y CÓNICAS
“El gran objetivo del aprendizaje no es el conocimiento, sino la acción.”
Herbet Spencer PAR ORDENADO Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes) en el cual interesa el ordenamiento de estos elementos también llamados componentes y se denota por (, ) donde es la primera componente y es la segunda componente. Propiedades del par ordenado 1. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales.
(, ) = (, ) si y solo si, = y = 2. Como en un par ordenado, se toma en cuenta el orden entonces se cumple:
(, ) = (, ) si y solo si = (no es conmutativo) PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos no vacíos, definimos el producto cartesiano de A y B, denotado por × en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (, ) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes pertenecen al conjunto B. Esto es:
× = {(, ); ∈ ∈ } Ejemplo 1 Sean los conjuntos = {1, 2, 3} y = {4, 6} , halle × y × . Solución:
× = {(1, 4); (1, 6); (2, 4); (2, 6); (3, 4); (3, 6)}
× = {(4, 1); (4, 2); (4, 3); (6, 1); (6, 2); (6, 3)} De esto, tenemos que × ≠ × . Propiedad: Sean los conjuntos A y B no vacíos y finitos, se cumple que:
× ≠ × de donde:
× = × si y solo si = ( × ) = (). ()
2 ElbEr rogElio VEra rodriguEz - ana María zEla apaza 2
En el caso que los conjuntos sean = y = tenemos el producto cartesiano × , que es el conjunto formado por los pares ordenados (, ) tal que ∈ y ∈ , esto es:
× = 2 = {(, ); ∈ , ∈ } SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Se puede introducir un sistema coordenado cartesiano en un plano euclideano, considerando dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto llamado origen. La recta horizontal se llama eje o eje de las abscisas, la recta vertical se llama eje o eje de las ordenadas; estos ejes se denominan ejes coordenados y el plano . Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes: I cuadrante, II cuadrante, III cuadrante y IV cuadrante. Todo punto del plano pertenece a algún cuadrante y si este punto está contenido en un eje coordenado, se dice que no pertenece a ningún cuadrante. La ubicación de un punto en el plano se dá a través de un par ordenado (, ) donde es la distancia dirigida desde el eje al punto P, e es la distancia dirigida desde el eje al punto P. En el gráfico se tiene ubicado un punto de coordenadas (−2,1), esto significa que se encuentra a dos unidades a la izquierda del eje Y y a una unidad arriba del eje X. Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares ordenados (, ) ∈ × = 2, tal que, a cada punto del plano le corresponde un único par ordenado (, ) ∈ × = 2 y a cada par ordenado (, ) ∈ × = 2 le corresponde un único punto del plano .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
(x,y)=(-2,1)
3
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados dos puntos y en el plano cartesiano , la distancia del punto al punto está dada por la longitud del segmento de recta que las une. Teorema. La distancia entre dos puntos 1 (1, 1) y 2 (2, 2) está dada por
(1; 2) = √(2 − 1)2 + (2 − 1)2 Ejemplo 2 Halle la distancia entre los puntos (−2; 1) y (4; 6). Solución:
(; ) = √(4 + 2)2 + (6 − 1)2 = √36 + 25 = √61 LA LÍNEA RECTA Angulo de inclinación de una recta Es el menor ángulo () medido en sentido antihorario desde el eje positivo de las abscisas hasta la recta . La variación de es 0° ≤ < 180°. Pendiente de una recta La pendiente o coeficiente angular de una recta L no paralela al eje , es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación, es decir:
= () ; ∈ de donde se deduce que = (), donde es medido en radianes o en grados sexagesimales. Ejemplo 3 La pendiente de una recta L es 3, significa que la tangente del ángulo de inclinación de la recta L es 3, es decir
= 3 ⇔ () = 3 ⇒ = (3) Interpretación de la pendiente de una recta:
> 0 ⇔ 0° < < 90° < 0 ⇔ 90° < < 180° = 0 ⇔ = 0° ∨ = 180° (la recta es paralela al eje ) → ±∞ ⇔ = 90° (la recta es paralela al eje )
Cálculo de la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de paso de esta: i) Sean 1 (1, 1) y 2 (2, 2) dos puntos de una recta .
α
X
Y
L
3Análisis Matemático I con Geometría Analítica 3
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados dos puntos y en el plano cartesiano , la distancia del punto al punto está dada por la longitud del segmento de recta que las une. Teorema. La distancia entre dos puntos 1 (1, 1) y 2 (2, 2) está dada por
(1; 2) = √(2 − 1)2 + (2 − 1)2 Ejemplo 2 Halle la distancia entre los puntos (−2; 1) y (4; 6). Solución:
(; ) = √(4 + 2)2 + (6 − 1)2 = √36 + 25 = √61 LA LÍNEA RECTA Angulo de inclinación de una recta Es el menor ángulo () medido en sentido antihorario desde el eje positivo de las abscisas hasta la recta . La variación de es 0° ≤ < 180°. Pendiente de una recta La pendiente o coeficiente angular de una recta L no paralela al eje , es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación, es decir:
= () ; ∈ de donde se deduce que = (), donde es medido en radianes o en grados sexagesimales. Ejemplo 3 La pendiente de una recta L es 3, significa que la tangente del ángulo de inclinación de la recta L es 3, es decir
= 3 ⇔ () = 3 ⇒ = (3) Interpretación de la pendiente de una recta:
> 0 ⇔ 0° < < 90° < 0 ⇔ 90° < < 180° = 0 ⇔ = 0° ∨ = 180° (la recta es paralela al eje ) → ±∞ ⇔ = 90° (la recta es paralela al eje )
Cálculo de la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de paso de esta: i) Sean 1 (1, 1) y 2 (2, 2) dos puntos de una recta .
α
X
Y
L
ii) Se forma un triángulo rectángulo con 3 (2, 1) en donde se cumple que:
= () = 32 13 = 2 − 1
2 − 1 =

LA RECTA La línea recta L, es el conjunto de aquellos puntos del plano cartesiano, tales que al ser tomados dos puntos diferentes cualesquiera para calcular su pendiente (), este valor resulta siempre constante. Angulo entre dos rectas Sean dos rectas no verticales 1 y 2 que se intersecan en un punto P con ángulos de inclinación 1, 2 (2 > 1) y con pendientes 1 y 2 respectivamente, entonces el ángulo entre dos rectas medido a partir de 1 se define por:
= 2 − 1 , 2 > 1 Tomando tangente a ambos lados tenemos:
= (2 − 1)
1 + 2 . 1
y como 1 = 1 y 2 = 2, tenemos:
= 2 − 1
1 + 2. 1
En general, para cualquier ángulo y considerando el sentido antihorario, se tiene:
= − 1 + .
donde: : pendiente del lado inicial (recta 1) del ángulo . : pendiente del lado final (recta 2) del ángulo . Observaciones: 1. Si > 0 entonces el ángulo entre 1 y 2 es agudo. 2. Si < 0 entonces el ángulo entre 1 y 2 es obtuso. 3. Si = 0 entonces el ángulo entre 1 y 2 mide 0° o 180°, es decir las rectas 1 y
2 son coincidentes o paralelas. 4. Si → ∞ entonces el ángulo entre 1 y 2 mide 90°, es decir las rectas 1 y 2 son
perpendiculares. 5. Cuando se desconoce qué recta es la inicial o final se emplea la siguiente expresión:
= | 1 − 2
1 + 1. 2 |
Rectas paralelas y rectas perpendiculares Sean 1 y 2 dos rectas con pendientes 1 y 2 respectivamente. Diremos que estas dos rectas son paralelas si sus ángulos de inclinación son iguales, por
tanto:
1 = 2 1 = 2 1 = 2 Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas 1 y 2 sean paralelas es que tengan igual pendiente. Diremos que estas dos rectas son perpendiculares si el ángulo que forman entre ellas mide
90°, por tanto: = 2 − 1
1 + 1. 2 → ∞ 1 + 1. 2 = 0
1. 2 = −1 1 = −1 2
∨ 2 = −1 1
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares (1 ⊥ 2) es que el producto de sus pendientes sea igual a −1.
= 2 − 1
1 + 2 . 1
y como 1 = 1 y 2 = 2, tenemos:
= 2 − 1
1 + 2. 1
En general, para cualquier ángulo y considerando el sentido antihorario, se tiene:
= − 1 + .
donde: : pendiente del lado inicial (recta 1) del ángulo . : pendiente del lado final (recta 2) del ángulo . Observaciones: 1. Si > 0 entonces el ángulo entre 1 y 2 es agudo. 2. Si < 0 entonces el ángulo entre 1 y 2 es obtuso. 3. Si = 0 entonces el ángulo entre 1 y 2 mide 0° o 180°, es decir las rectas 1 y
2 son coincidentes o paralelas. 4. Si → ∞ entonces el ángulo entre 1 y 2 mide 90°, es decir las rectas 1 y 2 son
perpendiculares. 5. Cuando se desconoce qué recta es la inicial o final se emplea la siguiente expresión:
= | 1 − 2
1 + 1. 2 |
Rectas paralelas y rectas perpendiculares Sean 1 y 2 dos rectas con pendientes 1 y 2 respectivamente. Diremos que estas dos rectas son paralelas si sus ángulos de inclinación son iguales, por
tanto:
1 = 2 1 = 2 1 = 2 Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas 1 y 2 sean paralelas es que tengan igual pendiente. Diremos que estas dos rectas son perpendiculares si el ángulo que forman entre ellas mide
90°, por tanto: = 2 − 1
1 + 1. 2 → ∞ 1 + 1. 2 = 0
1. 2 = −1 1 = −1 2
∨ 2 = −1 1
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares (1 ⊥ 2) es que el producto de sus pendientes sea igual a −1.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La ecuación de una recta se puede presentar de diversas formas, dependiendo de cómo se ha obtenido y/o en qué forma se necesita tenerla, veamos: I. FORMA PUNTO PENDIENTE La recta que pasa por un punto dado 1(1, 1) y tiene una pendiente dada como , tiene por ecuación:
− 1 = ( − 1) Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta (representa a cualquier punto de la recta) y con el punto que nos dan 1(1, 1), se debe cumplir, por definición de recta, que:
= − 1 − 1
− 1 = ( − 1) Observaciones: 1. Si = 0 entonces la recta es horizontal y todos los puntos que la conforman tienen la misma ordenada. Su ecuación será:
− 1 = 0 = 1 2. Si → ∞ entonces la recta es vertical y todos los puntos que la conforman tienen la misma abscisa. Su ecuación será:
− 1 = 0 = 1 3. De acuerdo a lo anterior, las ecuaciones de los ejes coordenados serán:
= 0 , = 0 II. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La recta que pasa por dos puntos dados 1(1, 1) y 2(2, 2), tiene por ecuación:
− 1 = 2 − 1 2 − 1
( − 1) ∨ − 2 = 2 − 1 2 − 1
( − 2)
7
Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta; por definición de pendiente y de la forma punto- pendiente de la ecuación de una recta, se tiene: ∗ 1(1, 1) ∧ =
2 − 1 2 − 1
( − 1) ∗∗ 2(2, 2) ∧ =
2 − 1 2 − 1
( − 2)
III. FORMA PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN La recta que tiene pendiente y ordenada en el origen , (la ordenada del punto de intersección (0, ) de la recta con el eje Y, se le conoce como ordenada en el origen), tiene por ecuación:
= + Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta, el punto de intersección que nos dan (0, ) y con la pendiente dada , se tiene de la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:
− = ( − 0) = + Observaciones:
Si = 0 entonces = , la recta pasa por el origen de coordenadas. Si = 0 entonces = , la recta es horizontal.
IV. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA O FORMA COORDENADA EN EL ORIGEN La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son los puntos (, 0) y (0, ), con ≠ 0 y ≠ 0, (la abscisa del punto se le conoce como abscisa en el origen), tiene por ecuación:
+
= 1
Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta, diferente de y , y de la forma de la ecuación de una recta cuando pasa por dos puntos dados, se tiene:
(, 0) ∧ = − 00 − − 0 = − 00 − ( − )
= − ( − ) + = ( 1) ⇒ +
= 1
V. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas anteriores, es una ecuación lineal de dos variables, que se puede llevar a su forma general:
+ + = 0 … . ()
Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta; por definición de pendiente y de la forma punto- pendiente de la ecuación de una recta, se tiene: ∗ 1(1, 1) ∧ =
2 − 1 2 − 1
( − 1) ∗∗ 2(2, 2) ∧ =
2 − 1 2 − 1
( − 2)
III. FORMA PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN La recta que tiene pendiente y ordenada en el origen , (la ordenada del punto de intersección (0, ) de la recta con el eje Y, se le conoce como ordenada en el origen), tiene por ecuación:
= + Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta, el punto de intersección que nos dan (0, ) y con la pendiente dada , se tiene de la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:
− = ( − 0) = + Observaciones:
Si = 0 entonces = , la recta pasa por el origen de coordenadas. Si = 0 entonces = , la recta es horizontal.
IV. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA O FORMA COORDENADA EN EL ORIGEN La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son los puntos (, 0) y (0, ), con ≠ 0 y ≠ 0, (la abscisa del punto se le conoce como abscisa en el origen), tiene por ecuación:
+
= 1
Prueba: Sea (, ) un punto genérico de la recta, diferente de y , y de la forma de la ecuación de una recta cuando pasa por dos puntos dados, se tiene:
(, 0) ∧ = − 00 − − 0 = − 00 − ( − )
= − ( − ) + = ( 1) ⇒ +
= 1
V. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas anteriores, es una ecuación lineal de dos variables, que se puede llevar a su forma general:
+ + = 0 … . ()
en donde , y son números reales, con y no nulos simultáneamente. Se pueden presentar los siguientes casos: 1. Si ≠ 0, ≠ 0 y ≠ 0, entonces en (), se tiene:
+ + = 0 = − − = (− ) + (−
)
que presenta la forma = + , de donde se tiene que:
= − ∧ = −

2. Si ≠ 0, ≠ 0 y = 0, entonces en (), se tiene:
+ = 0 = − = −
que presenta la forma = , es decir que la recta pasa por el origen. 3. Si ≠ 0, = 0 y ≠ 0, entonces en (), se tiene:
+ = 0 = − = −
que presenta la forma = , ∈ , es decir que la recta es vertical.
4. Si = 0, ≠ 0 y ≠ 0, entonces en (), se tiene:
+ = 0 = − = −
que presenta la forma = , ∈ , es decir que la recta es horizontal.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto 0(0, 0) a una recta : + + = 0, es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta y está dada por:
(0; ) = |0 + 0 + |
√2 + 2
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS La distancia entre las rectas paralelas
1: + + 1 = 0 ∧ 2: + + 2 = 0 es la longitud de la perpendicular trazada desde cualquier punto de una recta a la otra, y está dada por:
(1; 2) = |2 − 1| √2 + 2
9
Ejemplo 4 Una recta 1, que pasa por el origen de coordenadas y tiene un ángulo de inclinación de 150°, se interseca con otra recta 2 que tiene ordenada en el origen igual a 2, y forman entre sí un ángulo de 60°. Determine el punto de intersección de ambas rectas. Solución:
i. Hallamos la ecuación de 1: como conocemos un punto de paso que es el origen (0,0) y su pendiente que es igual a = 150° = − 1
√3, y de acuerdo a la forma punto-pendiente de una recta, tenemos:
1: − 0 = − 1 √3
( − 0) → + √3 = 0
ii. De 2 solo conocemos su ordenada en el origen que es igual a 2, por tanto:
2: = + 2
iii. Además, 1 y 2 forman entre sí un ángulo de 60° , por lo que se cumple:
60° = | 1 − 2
1 + 1. 2 | √3 = |
3 − √3 = −1 − √3 ∨ −3 + √3 = −1 − √3
3 = −1 ∨ 2√3 = 2 = 1 √3
entonces:
+ 2 − √3 + 2√3 = 0
iv. Para hallar el punto de intersección de 1 y 2, resolvemos el sistema formado por ambas
ecuaciones:
Y
Ejemplo 4 Una recta 1, que pasa por el origen de coordenadas y tiene un ángulo de inclinación de 150°, se interseca con otra recta 2 que tiene ordenada en el origen igual a 2, y forman entre sí un ángulo de 60°. Determine el punto de intersección de ambas rectas. Solución:
i. Hallamos la ecuación de 1: como conocemos un punto de paso que es el origen (0,0) y su pendiente que es igual a = 150° = − 1
√3, y de acuerdo a la forma punto-pendiente de una recta, tenemos:
1: − 0 = − 1 √3
( − 0) → + √3 = 0
ii. De 2 solo conocemos su ordenada en el origen que es igual a 2, por tanto:
2: = + 2
iii. Además, 1 y 2 forman entre sí un ángulo de 60° , por lo que se cumple:
60° = | 1 − 2
1 + 1. 2 | √3 = |
3 − √3 = −1 − √3 ∨ −3 + √3 = −1 − √3
3 = −1 ∨ 2√3 = 2 = 1 √3
entonces:
+ 2 − √3 + 2√3 = 0
iv. Para hallar el punto de intersección de 1 y 2, resolvemos el sistema formado por ambas
ecuaciones:
Y
{ 1: + √3 = 0 2: − √3 + 2√3 = 0
2√3 − 2√3 = 0 = 1 ∧ = −√3
∴ (−√3 , 1)
Ejemplo 5 En un triángulo de vértices (2, −2), y , se traza desde vértices diferentes una mediana y una altura, que están contenidas en las rectas 1: 12 − 7 + 13 = 0 y 2: 2 + + 2 = 0, respectivamente. Halle las coordenadas de los vértices y . Solución:
i. Por el vértice A pasa un lado del triángulo (supongamos ), que es perpendicular a la altura 2, así hallamos la pendiente de :
⊥ 2 = − 1 2
= − 1 −2 = 1
2
y con el punto de paso (2, −2), de la forma punto-pendiente de una recta, hallamos la ecuación que contiene a :
: + 2 = 1 2 ( − 2) − 2 − 6 = 0
ii. El vértice B se obtendrá intersecando las rectas y 1:
{ : − 2 − 6 = 0 1: 12 − 7 + 13 = 0 { : − 12 + 24 + 72 = 0
1: 12 − 7 + 13 = 0
17 + 85 = 0 = −5 ; − 2(−5) − 6 = 0 = −4
(−4, −5)
iii. El vértice (, ) está contenido en la altura 2, y el punto medio de (llamémosle ) está contenido en la mediana 1.
(, ) ∈ 2: 2 + + 2 = 0 … . ()
(, ) = (2 + 2 , −2 +
2 ) ∈ 1: 12 (2 + 2 ) − 7 (−2 +
2 ) + 13 = 0
12 + 6 + 7 − 7 2 + 13 = 0 6 − 7
2 + 32 = 0 … . () Resolviendo () y ():
{ 2 + + 2 = 0
6 − 7 2 + 32 = 0 {
7 + 7 2 + 7 = 0
6 − 7 2 + 32 = 0
13 + 39 = 0 = −3 ; 2(−3) + + 2 = 0 = 4
∴ (−3 ,4)
Ejemplo 6 Las rectas 1 (de ordenada en el origen igual a 5) y 2 son paralelas a la recta : 5 − 3 − 12 = 0. Determine las ecuaciones de las rectas 1 y 2, si la distancia entre ellas es igual a la mitad de la distancia del punto (2, 4) a la recta . Solución:
i. Como: 1 // 2 // entonces se cumple que: 1 = 2 = = 5 3 y 1 = 5 :
1: = 5 3 + 5 5 − 3 + 15 = 0
ii. Como 1 // 2 entonces:
2: 5 − 3 + = 0 iii. De la condición:
(1, 2) = 1 2 (, )
| − 15 |
2 |−14|
12 + 6 + 7 − 7 2 + 13 = 0 6 − 7
2 + 32 = 0 … . () Resolviendo () y ():
{ 2 + + 2 = 0
6 − 7 2 + 32 = 0 {
7 + 7 2 + 7 = 0
6 − 7 2 + 32 = 0
13 + 39 = 0 = −3 ; 2(−3) + + 2 = 0 = 4
∴ (−3 ,4)
Ejemplo 6 Las rectas 1 (de ordenada en el origen igual a 5) y 2 son paralelas a la recta : 5 − 3 − 12 = 0. Determine las ecuaciones de las rectas 1 y 2, si la distancia entre ellas es igual a la mitad de la distancia del punto (2, 4) a la recta . Solución:
i. Como: 1 // 2 // entonces se cumple que: 1 = 2 = = 5 3 y 1 = 5 :
1: = 5 3 + 5 5 − 3 + 15 = 0
ii. Como 1 // 2 entonces:
2: 5 − 3 + = 0 iii. De la condición:
(1, 2) = 1 2 (, )
| − 15 |
2 |−14|
− 15 = 7 = 22 ∨ − 15 = −7 ′ = 8
iv. Luego las ecuaciones serán:
2: 5 − 3 + 22 = 0 ∨ 2′: 5 − 3 + 8 = 0
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Los vértices de un rectángulo de área igual a 21 2 son (−5, 5), , y . Además, uno
de sus lados está contenido en la recta 1: 3 − 4 = 0. Halle las ecuaciones de las rectas que contienen a los otros lados del rectángulo.
Rpta.: 2: 3 − 4 + 35 = 0 ; 3: 4 + 3 + 5 = 0 ; 4: 4 + 3 + 20 = 0 ; 4′: 4 + 3 − 10 = 0
2. La recta 1, con ordenada en el origen positiva, es paralela a la recta 2: 3 + 2 + 6 = 0 y
dista de ella √13 unidades. Determine la distancia del punto (1, 9) a la recta 1.
Rpta.: 14 √13
3. Los lados de un triángulo están sobre las rectas de ecuaciones
3 + 4 = −1 ; = 0 ; = 4.
Determine las coordenadas de un punto interior al triángulo, tal que equidiste de sus lados y calcule esta longitud.
Rpta.: (−2, 2); 2
4. Dos de los vértices opuestos de un rombo , son los puntos (3, 0) y (−1, 2). Si la longitud de la altura trazada desde es igual a 8/√5 u, halle los vértices y .
Rpta.: (7 3 , 11
3 ) , (−1 3 , −5
3 )
5. Halle la ecuación de la recta que equidista de las rectas 1: 12 − 5 + 3 = 0 y 2: 24 − 10 − 12 = 0.
Rpta.: 12 − 5 − 9 2 = 0

X
Y
L
L1
A(2,4)
L2 '
L2
13
LA CIRCUNFERENCIA Definición: La circunferencia es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tales que se conservan siempre a una distancia constante de un punto fijo (, ), llamado centro de la circunferencia. La distancia constante se llama radio y se denota por . ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA I) Ecuación Ordinaria de la Circunferencia La circunferencia cuyo centro es el punto (, ) y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación:
: ( − )2 + ( − )2 = 2 Prueba: i) Sea (, ) un punto genérico de y (, ) el centro de . ii) Por definición de :
(, ) =
√( − )2 + ( − )2 = iii) Elevando al cuadrado:
( − )2 + ( − )2 = 2 Observación. Si el centro de la circunferencia está en el origen (0, 0), la ecuación recibe el nombre de forma canónica de la circunferencia.
: 2 + 2 = 2
II) Ecuación General de la Circunferencia Si se desarrolla la ecuación ordinaria y se reordena:
( − )2 + ( − )2 = 2

x² + y² =r ²
LA CIRCUNFERENCIA Definición: La circunferencia es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tales que se conservan siempre a una distancia constante de un punto fijo (, ), llamado centro de la circunferencia. La distancia constante se llama radio y se denota por . ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA I) Ecuación Ordinaria de la Circunferencia La circunferencia cuyo centro es el punto (, ) y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación:
: ( − )2 + ( − )2 = 2 Prueba: i) Sea (, ) un punto genérico de y (, ) el centro de . ii) Por definición de :
(, ) =
√( − )2 + ( − )2 = iii) Elevando al cuadrado:
( − )2 + ( − )2 = 2 Observación. Si el centro de la circunferencia está en el origen (0, 0), la ecuación recibe el nombre de forma canónica de la circunferencia.
: 2 + 2 = 2
II) Ecuación General de la Circunferencia Si se desarrolla la ecuación ordinaria y se reordena:
( − )2 + ( − )2 = 2

x² + y² =r ²
2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 = 2
2 + 2 + (−2)
= 0
2 + 2 + + + = 0 … . (∗)
Ahora ¿Toda ecuación escrita como (∗) representará siempre a una circunferencia? Por ejemplo, la ecuación 2 + 2 + 4 + 6 + 10 = 0, tiene la misma forma que (∗), entonces ¿representará a una circunferencia? o ¿existirán algunos criterios que nos permitan discernir si corresponde o no a una circunferencia? Veamos: Si en (∗) completamos cuadrados y le damos forma, obtenemos:
2 + + 2
2
2
2 =
2 + 2 − 4 4 … (#)
Si comparamos (∗) y (#) tendremos: 1. Si 2 + 2 − 4 > 0 entonces (#) representa la ecuación de una circunferencia con centro
en (− 2 ,−
2√ 2 + 2 − 4.
2. Si 2 + 2 − 4 = 0 entonces (#) representa un punto de coordenadas (−
2 , − 2) .
3. Si 2 + 2 − 4 < 0 entonces (#) no representa la ecuación de una circunferencia ni
ninguna curva real. Ahora, del ejemplo 2 + 2 + 4 + 6 + 15 = 0, calculamos:
2 + 2 − 4 = 42 + 62 − 4(15) < 0 entonces esta ecuación no representa ninguna circunferencia. Eje radical Es el conjunto de puntos del plano cartesiano tales que, si desde un mismo punto trazamos rectas tangentes a dos circunferencias no concéntricas, la longitud de estas será la misma. Sean dos circunferencias, tales como:
1: 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0 ∧ 2: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0 Su eje radical será la recta:
: (1 − 2) + (1 − 2) + (1 − 2) = 0
15
Posiciones relativas de dos circunferencias y de su eje radical Sean dos circunferencias 1 y 2, con centros 1 , 2, y radios 1 , 2 respectivamente, y sea = (1, 2) la distancia entre sus centros, entonces se pueden presentar los siguientes casos: A. Circunferencias Secantes:
< 1 + 2 B. Circunferencias Exteriores
> 1 + 2 C. Circunferencias Tangentes Exteriores
= 1 + 2
Posiciones relativas de dos circunferencias y de su eje radical Sean dos circunferencias 1 y 2, con centros 1 , 2, y radios 1 , 2 respectivamente, y sea = (1, 2) la distancia entre sus centros, entonces se pueden presentar los siguientes casos: A. Circunferencias Secantes:
< 1 + 2 B. Circunferencias Exteriores
> 1 + 2 C. Circunferencias Tangentes Exteriores
= 1 + 2
D. Circunferencias Tangentes Interiores:
= 1 − 2 ; 1 > 2 Ejemplo 7 Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia que pase por los puntos (1, 2), (3, 6) y (5, −2). Solución:
i. Para hallar la ecuación ordinaria de una circunferencia se necesita conocer su centro y su radio. Ahora, si asociamos los puntos de paso de la circunferencia con los tres vértices de un triángulo , entonces tendríamos que hallar el circuncentro (que es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo) y luego calcular la distancia desde este punto a cualquiera de los vértices.
ii. Hallamos y , que son los puntos medios de y respectivamente, y luego trazamos las rectas 1 y 2 que pasan por estos puntos y son mediatrices de y .
(1 + 3 2 , 2 + 6
2 ) = (2, 4) ∧ (3 + 5 2 , 6 + (−2)
2 ) = (4, 2)
2 ∧ = −2 − 6 5 − 3 = −4 ⇒ 2 = 1
4
1: − 4 = − 1 2 ( − 2) + 2 − 10 = 0
2: − 2 = 1 4 ( − 4) − 4 + 4 = 0
iii. El circuncentro es el centro (, ) de la circunferencia circunscrita al triángulo .
(, ) ∈ 1 ∩ 2 { 1: + 2 − 10 = 0
2: − 4 + 4 = 0 ⇒ = 16 3 ∧ = 7
3 ⇒ (16 3 , 7
3 )
iv. El radio será la distancia desde este punto a cualquiera de los vértices:
= (, ) = √(16 3 − 1)
2 + (7
17
Ejemplo 8 Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7, 15) y es tangente a la circunferencia : 2 + 2 − 2 − 4 − 20 = 0 en el punto (4, 6). Solución:
i. Sea la circunferencia pedida. El radio de es igual a:
= (, ) = (, )
√( − 7)2 + ( − 15)2 = √( − 4)2 + ( − 6)2
2 − 14 + 49 + 2 − 30 + 225 = 2 − 8 + 16 + 2 − 12 + 36
6 + 18 − 222 = 0 + 3 − 37 = 0 … (1)
ii. La recta que une los centros de las circunferencias y pasa por su punto de tangencia (4, 6).
: (− 2 , −
2) = (− −2 2 , − −4
2 ) = (1, 2)
: − 2 = 6 − 2 4 − 1 ( − 1) 4 − 3 + 2 = 0
: (, ) ∈ 4 − 3 + 2 = 0 … (2)
iii. Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
{ + 3 − 37 = 0
= (, ) = √(7 − 7)2 + (15 − 10)2 = 5
∴ : ( − 7)2 + ( − 10)2 = 25

Ejemplo 8 Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7, 15) y es tangente a la circunferencia : 2 + 2 − 2 − 4 − 20 = 0 en el punto (4, 6). Solución:
i. Sea la circunferencia pedida. El radio de es igual a:
= (, ) = (, )
√( − 7)2 + ( − 15)2 = √( − 4)2 + ( − 6)2
2 − 14 + 49 + 2 − 30 + 225 = 2 − 8 + 16 + 2 − 12 + 36
6 + 18 − 222 = 0 + 3 − 37 = 0 … (1)
ii. La recta que une los centros de las circunferencias y pasa por su punto de tangencia (4, 6).
: (− 2 , −
2) = (− −2 2 , − −4
2 ) = (1, 2)
: − 2 = 6 − 2 4 − 1 ( − 1) 4 − 3 + 2 = 0
: (, ) ∈ 4 − 3 + 2 = 0 … (2)
iii. Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
{ + 3 − 37 = 0
= (, ) = √(7 − 7)2 + (15 − 10)2 = 5
∴ : ( − 7)2 + ( − 10)2 = 25

Ejemplo 9 Las circunferencias 1 y 2 son tangentes exteriores en el punto (0, 1) y sus centros están sobre la recta que pasa por el punto (4, 3). El radio de 1 es el doble del radio de 2 y el centro de 1se encuentra a 4 unidades del eje . Halle las ecuaciones ordinarias de las circunferencias 1 y 2. Solución: i) La recta que une los centros de 1 y 2 pasa por los puntos (0, 1) y (4, 3).
1,2: − 1 = 3 − 1 4 − 0 ( − 0) − 2 + 2 = 0 = + 2
2 ii) Se cumple que:
(1, ) = 4 |1| = 4 1 = 4 ∨ 1′ = −4 iii) Como 1 ∈ 1,2:
1(4, 1) ∈ 1,2: 1 = 4 + 2 2 = 3 ⇒ 1(4,3)
1′(−4, 1′) ∈ 1,2: 1′ = −4 + 2 2 = −1 ⇒ 1′(−4, −1)
iv) Hallando 1:
1 = (1, ) = √(4 − 0)2 + (3 − 1)2 = √20 = 2√5
1: ( − 4)2 + ( − 3)2 = 20
1 ′ = (1′, ) = √(−4 − 0)2 + (−1 − 1)2 = √20 = 2√5
1′: ( + 4)2 + ( + 1)2 = 20
v) También se cumple que:
(1, ) = 2(2, ) ⇒ 2√5 = 22 ⇒ 2 = √5

L
C(1,2)
CB
AC
A
19
(1′, ) = 2(2′, ) ⇒ 2√5 = 22′ ⇒ 2′ = √5 vi) Como son circunferencias tangentes exteriores en el punto (0, 1) y de acuerdo a la
condición, se tienen dos casos: 1° Caso: 1 > > 2 es decir: 4 > 0 > 2
2(2, 2) ∈ 1,2: 2 (2, 2 + 2 2 ) ∧ (2, ) = √(2 − 0)2 + (2 + 2
2 − 1) 2
2 = 2 + 2 2 =
2: ( + 2)2 + 2 = 5
2° Caso: 1′ < < 2′ es decir: −4 < 0 < 2′
2′(2′, 2′) ∈ 1,2: 2′ (2′, 2′ + 2 2 ) ∧ (2′, ) = √(2′ − 0)2 + (2′ + 2
2 − 1) 2
2 ′ = 2′ + 2
2′: ( − 2)2 + ( − 2)2 = 5
PROBLEMAS PROPUESTOS
Halle la ecuación de la circunferencia cuyo radio mide 4 u y es tangente a la recta : 3 − 4 − 1 = 0 en el punto (3, 2).

(1′, ) = 2(2′, ) ⇒ 2√5 = 22′ ⇒ 2′ = √5 vi) Como son circunferencias tangentes exteriores en el punto (0, 1) y de acuerdo a la
condición, se tienen dos casos: 1° Caso: 1 > > 2 es decir: 4 > 0 > 2
2(2, 2) ∈ 1,2: 2 (2, 2 + 2 2 ) ∧ (2, ) = √(2 − 0)2 + (2 + 2
2 − 1) 2
2 = 2 + 2 2 =
2: ( + 2)2 + 2 = 5
2° Caso: 1′ < < 2′ es decir: −4 < 0 < 2′
2′(2′, 2′) ∈ 1,2: 2′ (2′, 2′ + 2 2 ) ∧ (2′, ) = √(2′ − 0)2 + (2′ + 2
2 − 1) 2
2 ′ = 2′ + 2
2′: ( − 2)2 + ( − 2)2 = 5
Halle la ecuación de la circunferencia cuyo radio mide 4 u y es tangente a la recta : 3 − 4 − 1 = 0 en el punto (3, 2).

2. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4) y es tangente a la circunferencia 2 + 2 + 6 + 2 + 5 = 0, en el punto (−2, 1).
Rpta: ( + 1)2 + ( − 3)2 = 5. 3. Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica con 1 2 + 2 − 8 + 6 − 5 = 0 y que
pasa por el punto (1, 2). Rpta: ( − 4)2 + ( + 3)2 = 34.
4. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta : 4 − 5 − 3 = 0 y
es tangente a las rectas 1: 2 − 3 − 10 = 0 y 2: 3 − 2 + 5 = 0. Rpta: 1 ( + 3)2 + ( − 7)2 = 169 o 2 ( + 19)2 + ( − 7)2 = 809.
5. Halle las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las rectas 1: 2 − 3 +
3 = 0 y 2: 3 − 2 + 17 = 0 y cuyos centros se encuentran en la recta : 4 − 5 + 2 = 0. Rpta.:1: ( + 8)2 + ( + 6)2 = 25 , 2 ( + 18)2 + ( + 14)2 = 81.
SECCIONES CÓNICAS Definición 1. La superficie cónica de revolución es una superficie engendrada por una recta generatriz () que gira alrededor de otra recta llamada eje de la superficie cónica (), con la cual se corta en un punto llamado vértice . Definición 2. Las secciones cónicas son curvas que resultan de la intersección de un plano (plano secante) con la superficie cónica de revolución. Definición general de cónica Una cónica es un conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano, tal que la razón entre su distancia de un punto fijo del plano (llamado foco) y su distancia de una recta fija (llamada recta directriz) es siempre igual a una constante positiva llamada excentricidad: . Observación. El foco no está contenido en la recta directriz.
= (, ) (, )
1. Si 0 < < 1, la cónica es una elipse. 2. Si = 1, la cónica es una parábola. 3. Si > 1, la cónica es una hipérbola.
21
: Foco : Recta directriz (, ): Punto genérico de la cónica : Eje focal : Vértice de la cónica : Radio focal : Cónica PARÁBOLA Definición. Una parábola () es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tal que su distancia de una recta fija, llamada directriz (), es siempre igual a su distancia de un punto fijo, llamado foco () y que no pertenece a la recta directriz, es decir

x = -p
x = -p
: Foco : Recta directriz (, ): Punto genérico de la cónica : Eje focal : Vértice de la cónica : Radio focal : Cónica PARÁBOLA Definición. Una parábola () es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tal que su distancia de una recta fija, llamada directriz (), es siempre igual a su distancia de un punto fijo, llamado foco () y que no pertenece a la recta directriz, es decir

x = -p
x = -p
(, ) = (, ) ⇒ √( − )2 + 2 = | + |
√12
( − )2 + 2 = ( + )2 ⇒ 2 − 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2
: 2 = 4 2° Caso: es el eje de ordenadas
(, ) = (, ) ⇒ √2 + ( − )2 = | + |
√12
2 + ( − )2 = ( + )2 ⇒ 2 + 2 − 2 + 2 = 2 + 2 + 2
: 2 = 4 II) Ecuaciones Ordinarias de la Parábola Resultan cuando el vértice de la parábola se encuentra en cualquier punto del plano cartesiano (, ), y el eje focal () es paralelo a uno de los ejes coordenados. 1° Caso: es paralelo al eje de abscisas
X
Y
V
p < 0 X
M (x, -p)
y = -p -p
x = h - p
x = h - p
(, ) = (, )
: ( − )2 = 4( − ) 2° Caso: es paralelo al eje de ordenadas
(, ) = (, )
: ( − )2 = 4( − ) Ejemplo 10 Esboce la gráfica de la parábola : 2 − 4 + 8 + 28 = 0, indicando sus elementos. Solución: i) Completando cuadrados tenemos:
2 − 4 + 4 − 4 + 8 + 28 = 0 ⇒ ( − 2)2 = −8 − 24
: ( − 2)2 = −8( + 3) ii) Se trata de una parábola con eje focal paralelo al eje de ordenadas y sus elementos son: (, ) = (2, −3) 4 = −8 ⇒ = −2 (, + ) = (2, −5) : = − ⇒ = −1 : = ⇒ = 2 : ; ( ± 2, + ) | | = |4| = |−8| = 8 ( + 2, + ) = (−2, −5) ( − 2, + ) = (6, −5)
X
Y
p > 0
x= h
p < 0 x= h
x = 2
y= -1
(, ) = (, )
: ( − )2 = 4( − ) 2° Caso: es paralelo al eje de ordenadas
(, ) = (, )
: ( − )2 = 4( − ) Ejemplo 10 Esboce la gráfica de la parábola : 2 − 4 + 8 + 28 = 0, indicando sus elementos. Solución: i) Completando cuadrados tenemos:
2 − 4 + 4 − 4 + 8 + 28 = 0 ⇒ ( − 2)2 = −8 − 24
: ( − 2)2 = −8( + 3) ii) Se trata de una parábola con eje focal paralelo al eje de ordenadas y sus elementos son: (, ) = (2, −3) 4 = −8 ⇒ = −2 (, + ) = (2, −5) : = − ⇒ = −1 : = ⇒ = 2 : ; ( ± 2, + ) | | = |4| = |−8| = 8 ( + 2, + ) = (−2, −5) ( − 2, + ) = (6, −5)
X
Y
p > 0
x= h
p < 0 x= h
x = 2
y= -1
Ejemplo 11 La ordenada del vértice de una parábola horizontal es menor que 9, su lado recto mide 8 y un extremo de este es el punto (3,9). Halle la ecuación de la parábola. Solución: i) Como la parábola es horizontal tiene por ecuación: ( − )2 = 4( − ), con < 9. ii) También: | | = |4| = 8 ⇒ = ±2 iii) Un extremo del lado recto: ( + , ± 2) = (3,9) ⇒ + = 3 ∧ ± 2 = 9
Si = 2 ⇒ = 1 ∧ = 5 ⇒ (1,5)
: ( − 5)2 = 8( − 1) Si = −2 ⇒ = 5 ∧ = 5 ⇒ ′(1,5)
′: ( − 5)2 = −8( − 5)
Ejemplo 12 El vértice de una parábola vertical es el punto (−2,3) y una cuerda focal esta sobre la recta : 2 − + 2 = 0. Halle la ecuación de la parábola y determine sus elementos. Solución: i) Como la parábola es vertical y tiene su vértice en (−2,3) entonces tiene por ecuación:
: ( + 2)2 = 4( − 3) ii) Las coordenadas de su foco serán: (, + ) = (−2, 3 + )

iii) Finalmente: : ( + 2)2 = −20( − 3)
(, ) = (−2, 3) (, + ) = (−2, −2) : = ⇒ = −2 : = − ⇒ = 8 | | = |4| = 20 Extremos del lado recto: ( ± 2, + ) (−12, −2) ; (8, −2)
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halle las ecuaciones de las parábolas que tienen como recta directriz al eje de ordenadas
y foco sobre el eje , siendo (−10, 8) un punto de paso de la parábola. Rpta. 2 = −32( + 8) ; 2 = −8( + 2)
2. El vértice y el foco de una parábola coinciden con los extremos del lado recto de la
parábola 2 − 16 − 4 + 20 = 0. Halle la ecuación de la parábola . Rpta. ( − 5)2 = −64( − 10) ; ( − 5)2 = 64( + 6)
3. Halle la ecuación de la parábola horizontal, sabiendo que su foco y su vértice coincide con
los extremos de un diámetro de la circunferencia 2 + 2 − 8 + 6 = 0. Rpta. ( − 3)2 = 40( + 1) ; ( + 3)2 = −40( − 9)
4. Halle la ecuación de la parábola cuyos extremos de su lado recto son los puntos (3, 5) y
(3, −3). Rpta. ( − 1)2 = 8( − 1) ; ( − 5)2 = −8( − 1)
5. Halle la ecuación de la parábola horizontal que pasa por los puntos (6, 7) y (6, −1), y su
vértice pertenece a la recta + + 5 = 0. Rpta. ( − 3)2 = 8
7 ( + 8) ELIPSE Definición. Una elipse () es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos 1 y 2) del plano es siempre igual a una cantidad constante positiva (2 )., es decir

iii) Finalmente: : ( + 2)2 = −20( − 3)
(, ) = (−2, 3) (, + ) = (−2, −2) : = ⇒ = −2 : = − ⇒ = 8 | | = |4| = 20 Extremos del lado recto: ( ± 2, + ) (−12, −2) ; (8, −2)
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halle las ecuaciones de las parábolas que tienen como recta directriz al eje de ordenadas
y foco sobre el eje , siendo (−10, 8) un punto de paso de la parábola. Rpta. 2 = −32( + 8) ; 2 = −8( + 2)
2. El vértice y el foco de una parábola coinciden con los extremos del lado recto de la
parábola 2 − 16 − 4 + 20 = 0. Halle la ecuación de la parábola . Rpta. ( − 5)2 = −64( − 10) ; ( − 5)2 = 64( + 6)
3. Halle la ecuación de la parábola horizontal, sabiendo que su foco y su vértice coincide con
los extremos de un diámetro de la circunferencia 2 + 2 − 8 + 6 = 0. Rpta. ( − 3)2 = 40( + 1) ; ( + 3)2 = −40( − 9)
4. Halle la ecuación de la parábola cuyos extremos de su lado recto son los puntos (3, 5) y
(3, −3). Rpta. ( − 1)2 = 8( − 1) ; ( − 5)2 = −8( − 1)
5. Halle la ecuación de la parábola horizontal que pasa por los puntos (6, 7) y (6, −1), y su
vértice pertenece a la recta + + 5 = 0. Rpta. ( − 3)2 = 8
7 ( + 8) ELIPSE Definición. Una elipse () es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos 1 y 2) del plano es siempre igual a una cantidad constante positiva (2 )., es decir

Resultan cuando el centro de la elipse se encuentra en el origen de coordenadas (0, 0), y el eje focal () coincide con uno de los ejes coordenados. 1° Caso: es el eje de abscisas : Centro 1 2 : Eje mayor |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Vértices 1 2 : Eje menor |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Focos 1 2 : Distancia focal |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Rectas directrices : Longitud del semieje mayor : Eje focal : Longitud del semieje menor : Eje normal : Longitud del centro al foco 1 , 2 : Radios focales o radios vectores =
: excentricidad
= 22
Por definición de elipse:
(, 1) + (, 2) = 2
√( + )2 + 2 + √( − )2 + 2 = 2 √( + )2 + 2 = 2 − √( − )2 + 2
( + )2 + 2 = 42 − 4√( − )2 + 2 + ( − )2 + 2
4√( − )2 + 2 = 42 − 4 √( − )2 + 2 = 2 −
22 − 22 + 22 + 22 = 4 − 22 + 22
2(2 − 2) + 22 = 2(2 − 2) Como > entonces 2 > 2 2 − 2 > 0. Si reemplazamos 2 − 2 = 2, tenemos:
22 + 22 = 22 Multiplicando por 1
22:
X
Y
V
L
EFL
(0,-b)
27
2° Caso: es el eje de ordenadas Por definición de elipse:
(, 1) + (, 2) = 2
√2 + ( + )2 + √2 + ( − )2 = 2 √2 + ( + )2 = 2 − √2 + ( − )2
2 + ( + )2 = 42 − 4√2 + ( − )2 + 2 + ( − )2
4√2 + ( − )2 = 42 − 4 √2 + ( − )2 = 2 −
22 + 22 − 22 + 22 = 4 − 22 + 22
22:
2 = 1 ∧ 2 = 2 + 2
II) Ecuaciones Ordinarias de la Elipse Resultan cuando el vértice de la elipse se encuentra en cualquier punto del plano cartesiano (, ), y el eje focal () es paralelo a uno de los ejes coordenados.
X
Y
VL
EFL
2° Caso: es el eje de ordenadas Por definición de elipse:
(, 1) + (, 2) = 2
√2 + ( + )2 + √2 + ( − )2 = 2 √2 + ( + )2 = 2 − √2 + ( − )2
2 + ( + )2 = 42 − 4√2 + ( − )2 + 2 + ( − )2
4√2 + ( − )2 = 42 − 4 √2 + ( − )2 = 2 −
22 + 22 − 22 + 22 = 4 − 22 + 22
22:
2 = 1 ∧ 2 = 2 + 2
II) Ecuaciones Ordinarias de la Elipse Resultan cuando el vértice de la elipse se encuentra en cualquier punto del plano cartesiano (, ), y el eje focal () es paralelo a uno de los ejes coordenados.
X
Y
VL
EFL
1° Caso: es paralelo al eje de abscisas Por definición de elipse: (, 1) + (, 2) = 2
: ( − )2
2 + ( − )2
X
Y
V
L
(h,k-b)
: ( − )2
2 + ( − )2
2 = 1
Ejemplo 13 Esboce la gráfica de la elipse : 642 + 1002 − 384 + 1200 − 2224 = 0 y determine sus elementos. Solución: i) Factorizamos y completamos cuadrados:
64(2 − 6 + 9) + 100(2 + 12 + 36) − 2224 − 576 − 3600 = 0
64( − 3)2 + 100( + 6)2 = 6400 : ( − 3)2
100 + ( + 6)2
64 = 1 Se trata de una elipse horizontal, es decir aquella cuyo eje focal es paralelo al eje de abscisas. ii) Teniendo la ecuación de la elipse en su forma ordinaria, podemos obtener la siguiente
información: 2 = 100 = 10; 2 = 64 = 8 ; 2 = 2 − 2 = 36 = 6
(, ) = (3, −6) ; 1( − , ) = 1(−7, −6) ; 2( + , ) = 2(13, −6)
1( − , ) = 1(−3, −6) ; 2( + , ) = 2(9, −6)
1(, − ) = 1(3, −14) ; 2(, + ) = 2(3,2)
: = ± 2
3 ; 2: = 59 3
: = = −6 ; : = = 3
= 22
10 = 3 5
Por definición de elipse: (, 1) + (, 2) = 2
: ( − )2
2 + ( − )2
2 = 1
Ejemplo 13 Esboce la gráfica de la elipse : 642 + 1002 − 384 + 1200 − 2224 = 0 y determine sus elementos. Solución: i) Factorizamos y completamos cuadrados:
64(2 − 6 + 9) + 100(2 + 12 + 36) − 2224 − 576 − 3600 = 0
64( − 3)2 + 100( + 6)2 = 6400 : ( − 3)2
100 + ( + 6)2
64 = 1 Se trata de una elipse horizontal, es decir aquella cuyo eje focal es paralelo al eje de abscisas. ii) Teniendo la ecuación de la elipse en su forma ordinaria, podemos obtener la siguiente
información: 2 = 100 = 10; 2 = 64 = 8 ; 2 = 2 − 2 = 36 = 6
(, ) = (3, −6) ; 1( − , ) = 1(−7, −6) ; 2( + , ) = 2(13, −6)
1( − , ) = 1(−3, −6) ; 2( + , ) = 2(9, −6)
1(, − ) = 1(3, −14) ; 2(, + ) = 2(3,2)
: = ± 2
3 ; 2: = 59 3
: = = −6 ; : = = 3
= 22
10 = 3 5
Ejemplo 14 Halle la ecuación de la elipse que tiene excentricidad igual a 2/3, uno de sus focos es el punto (−3,0) y la ecuación de la recta directriz correspondiente al otro foco es + 13 = 0. Solución: i) Como la recta directriz es horizontal entonces su eje focal es vertical y por la ubicación del
foco dado, tenemos:
1: = − 2
= −13 ∧ 2(, + ) = 2(−3, 0) ∧ = = 2
3
= 3 2 2 = 9
4 2
− 9 4 2
= − 9 4 = −13 ∧ + = 0 − 13
4 = −13
= 4 = −4 ∧ = 6 ∧ = √2 − 2 = √36 − 16 = √20
: ( + 4)2
36 + ( + 3)2
31
Ejemplo 15 Una elipse que tiene excentricidad igual a 1/2, tiene un vértice en el punto (0,2) y un foco en el punto (6,2). Halle la ecuación de esta elipse y de sus rectas directrices. Solución: i) Como el vértice y el foco tienen la misma ordenada entonces el eje focal de la elipse es
horizontal y por tanto se tiene la siguiente información:
: = = 2 ∧ : ( − )2
2 + ( − 2)2
2 = 2
ii) Por la ubicación del vértice y del foco, se tienen dos casos:
1° Caso: 1( − , ) = 1(0,2) ∧ 1( − , ) = 1(6,2)
(1, 1) = − = 6 ∧ = 2 = 6 ∧ = 12 ∧ = √2 − 2 = √108
− 12 = 0 = 12 ∧ : = ± 2
= 12 ± 144 6 = 12 ± 24
: ( − 12)2
144 + ( − 2)2
2° Caso: 1( − , ) = 1(0,2) ∧ 2( + , ) = 2(6,2)
(1, 2) = + = 6 ∧ = 2 = 2 ∧ = 4 ∧ = √2 − 2 = √12
− 4 = 0 = 4 ∧ : = ± 2
= 4 ± 16 2 = 4 ± 8
′: ( − 4)2
16 + ( − 2)2

Ejemplo 15 Una elipse que tiene excentricidad igual a 1/2, tiene un vértice en el punto (0,2) y un foco en el punto (6,2). Halle la ecuación de esta elipse y de sus rectas directrices. Solución: i) Como el vértice y el foco tienen la misma ordenada entonces el eje focal de la elipse es
horizontal y por tanto se tiene la siguiente información:
: = = 2 ∧ : ( − )2
2 + ( − 2)2
2 = 2
ii) Por la ubicación del vértice y del foco, se tienen dos casos:
1° Caso: 1( − , ) = 1(0,2) ∧ 1( − , ) = 1(6,2)
(1, 1) = − = 6 ∧ = 2 = 6 ∧ = 12 ∧ = √2 − 2 = √108
− 12 = 0 = 12 ∧ : = ± 2
= 12 ± 144 6 = 12 ± 24
: ( − 12)2
144 + ( − 2)2
2° Caso: 1( − , ) = 1(0,2) ∧ 2( + , ) = 2(6,2)
(1, 2) = + = 6 ∧ = 2 = 2 ∧ = 4 ∧ = √2 − 2 = √12
− 4 = 0 = 4 ∧ : = ± 2
= 4 ± 16 2 = 4 ± 8
′: ( − 4)2
16 + ( − 2)2

1. Esboce la gráfica de las siguientes elipses a) 82 + 162 + 32 + 64 + 64 = 0 b) 1692 + 362 + 1014 − 288 − 3987 = 0 y determine todos sus elementos.
Rpta.: ) (+2)2
169 + (+3)2
36 = 1
2. El punto (−2, 1) es el centro de una elipse horizontal cuyas longitudes de sus ejes mayor y menor son 12 y 8 unidades respectivamente. Grafique y halle la ecuación de esta elipse indicando todos sus elementos.
Rpta. : (+2)2
16 = 1
3. Los focos de una elipse son los puntos (3, −3) y (3,5) y la longitud de su lado recto es 12 unidades. Halle la ecuación de la elipse y de sus directrices.
Rpta. (−1)2
64 + (−3)2
48 = 1 ; 1: = −15 ; 2: = 17
4. Una partícula gira siguiendo una órbita elíptica y en un instante dado se encuentra respectivamente a una distancia de 5 y 3 unidades de dos puntos A y B, que están ubicados en los focos de esta órbita y separados por 6 unidades. Determine la distancia máxima y mínima a la que se encontrará la partícula del punto B.
Rpta.: Distancia máxima: 7 u; distancia mínima: 1 u.

2
33
HIPÉRBOLA Definición. Una hipérbola () es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos 1 y 2) del plano es siempre igual a una cantidad constante positiva (2 ) y es menor que la distancia entre los focos, es decir:
: | (, 1) − (, 2)| = 2 Ecuaciones de la Hipérbola I) Ecuaciones Canónicas de la Hipérbola Resultan cuando el centro de la hipérbola se encuentra en el origen de coordenadas (0, 0), y el eje focal () coincide con uno de los ejes coordenados. 1° Caso: es el eje de abscisas
: Centro 1 2 : Eje transverso |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Vértices 1 2 : Eje conjugado |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Focos 1 2 : Distancia focal |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Rectas directrices : Longitud del semieje transverso : Eje focal : Longitud del semieje conjugado : Eje normal : Longitud del centro al foco 1 , 2 : Radios focales o radios vectores =
: excentricidad
= 22
1, 2: Asíntotas
(0,-b)
HIPÉRBOLA Definición. Una hipérbola () es el conjunto de puntos (, ) del plano cartesiano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos 1 y 2) del plano es siempre igual a una cantidad constante positiva (2 ) y es menor que la distancia entre los focos, es decir:
: | (, 1) − (, 2)| = 2 Ecuaciones de la Hipérbola I) Ecuaciones Canónicas de la Hipérbola Resultan cuando el centro de la hipérbola se encuentra en el origen de coordenadas (0, 0), y el eje focal () coincide con uno de los ejes coordenados. 1° Caso: es el eje de abscisas
: Centro 1 2 : Eje transverso |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Vértices 1 2 : Eje conjugado |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Focos 1 2 : Distancia focal |1 2 | = 2, > 0 1, 2: Rectas directrices : Longitud del semieje transverso : Eje focal : Longitud del semieje conjugado : Eje normal : Longitud del centro al foco 1 , 2 : Radios focales o radios vectores =
: excentricidad
= 22
1, 2: Asíntotas
(0,-b)
1 = ; 2 = −
∧ (0,0) 1: = ; 2: = −
Por definición de hipérbola:
|(, 1) − (, 2)| = 2
|√( + )2 + 2 − √( − )2 + 2| = 2 √( + )2 + 2 − √( − )2 + 2 = ±2
√( + )2 + 2 = ±2 + √( − )2 + 2
( + )2 + 2 = 42 ± 4√( − )2 + 2 + ( − )2 + 2
4 − 42 = ±4√( − )2 + 2 − 2 = ±√( − )2 + 2
22 − 22 + 4 = 22 − 22 + 22 + 22
2(2 − 2) − 22 = 2(2 − 2) Como > entonces 2 > 2 2 − 2 > 0. Si reemplazamos 2 − 2 = 2, tenemos:
22 − 22 = 22 Multiplicando por 1
22:
: 2
2 − 2
2 = 1 ∧ 2 = 2 + 2 2° Caso: es el eje de ordenadas
X
Y
V
L
EF
L
(0,-c)
∧ (0,0) 1: = ; 2: = −
|(, 1) − (, 2)| = 2
|√2 + ( + )2 − √2 + ( − )2| = 2 √2 + ( + )2 − √2 + ( − )2 = ±2
√2 + ( + )2 = ±2 + √2 + ( − )2
2 + ( + )2 = 42 ± 4√2 + ( − )2 + 2 + ( − )2
4 − 42 = ±4√2 + ( − )2 − 2 = ±√2 + ( − )2
22 − 22 + 4 = 22 + 22 − 22 + 22
22:
: 2
2 − 2
2 = 1 ∧ 2 = 2 + 2 II) Ecuaciones Ordinarias de la Hipérbola Resultan cuando el vértice de la hipérbola se encuentra en cualquier punto del plano cartesiano (, ), y el eje focal () es paralelo a uno de los ejes coordenados. 1° Caso: es paralelo al eje de abscisas
X
Y
V
L
EFL
(h-c,0)
(h,k-b)
1 = ; 2 = −
∧ (0,0) 1: = ; 2: = −
|(, 1) − (, 2)| = 2
|√2 + ( + )2 − √2 + ( − )2| = 2 √2 + ( + )2 − √2 + ( − )2 = ±2
√2 + ( + )2 = ±2 + √2 + ( − )2
2 + ( + )2 = 42 ± 4√2 + ( − )2 + 2 + ( − )2
4 − 42 = ±4√2 + ( − )2 − 2 = ±√2 + ( − )2
22 − 22 + 4 = 22 + 22 − 22 + 22
22:
: 2
2 − 2
2 = 1 ∧ 2 = 2 + 2 II) Ecuaciones Ordinarias de la Hipérbola Resultan cuando el vértice de la hipérbola se encuentra en cualquier punto del plano cartesiano (, ), y el eje focal () es paralelo a uno de los ejes coordenados. 1° Caso: es paralelo al eje de abscisas
X
Y
V
L
EFL
(h-c,0)
(h,k-b)
1: − = ( − ) ; 2: − = −
( − ) Por definición de hipérbola: |(, 1) − (, 2)| = 2
: ( − )2
2 − ( − )2
2° Caso: es paralelo al eje de ordenadas
1: − = ( − ) ; 2: − = −
( − ) Por definición de hipérbola: |(, 1) − (, 2)| = 2
: ( − )2
2 − ( − )2
2 = 1
Propiedad de la Hipérbola El producto de las distancias desde un punto cualquiera (, ) de una hipérbola a sus asíntotas (1; 2) es siempre igual a una cantidad constante positiva.
(, 1). (, 2) = donde:
= 22
X
Y
V
L
EF
L
(h,k-c)
2 = 1 22 − 22 = 22 … . (∗) Con asíntotas:
1: = − = 0 ∧ 2: = −
+ = 0 ii) Sea (, ) un punto cualquiera de la hipérbola , entonces:
(, 1) = | − | √2 + 2 ∧ (, 2) =
| + | √2 + 2
| + | √2 + 2
2 + 2 iv) De (∗) y 2 = 2 + 2:
(, 1). (, 2) = |22|
2 = 22
2 = HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR () Definición: Es aquella hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud, es decir 2 = 2 = , por lo que el rectángulo fundamental pasa a ser un cuadrado, en el cual las asíntotas son perpendiculares entre sí. Las ecuaciones canónicas y ordinarias de una son: 1. Ecuaciones Canónicas de una :
a) es el eje :
2
2 − 2
2 = 1 2 − 2 = 2 b) es el eje :
2
2 − 2
2 = 1 2 − 2 = 2 En ambos casos, las ecuaciones de sus asíntotas son: : = ± 2. Ecuaciones Ordinarias de una :
a) es paralelo al eje :
( − )2
2 − ( − )2
2 = 1 ( − )2 − ( − )2 = 2 b) es paralelo al eje :
( − )2
2
2 = 1 22 − 22 = 22 … . (∗) Con asíntotas:
1: = − = 0 ∧ 2: = −
+ = 0 ii) Sea (, ) un punto cualquiera de la hipérbola , entonces:
(, 1) = | − | √2 + 2 ∧ (, 2) =
| + | √2 + 2
| + | √2 + 2
2 + 2 iv) De (∗) y 2 = 2 + 2:
(, 1). (, 2) = |22|
2 = 22
2 = HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR () Definición: Es aquella hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud, es decir 2 = 2 = , por lo que el rec

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GEOMETRÍA ANALÍTICA ANÁLISIS MATEMÁTICO€¦ · vi ELBER ROGELIO VERA RODRIGUEZ - ANA MARÍA ZELA APAZA 4.1 INTRODUCCIÓN Es sabido que la matemática juega un rol fundamental