Geometri...Geometri I den här modulen lyfter vi fram valda delar av det centrala innehållet i geometrin utifrån skilda didaktiska perspektiv och visar hur en varierad undervisning

GeometriI den här modulen lyfter vi fram valda delar av det centrala innehållet i geometrinutifrån skilda didaktiska perspektiv och visar hur en varierad undervisning utgårfrån medvetenhet kring exempelvis bedömning, begreppsbildning och val avrepresentationer. Vi ger också exempel på hur du kan utnyttja olika arbetssätt för attskapa en rik lärandemiljö i klassrummet.

Delarna i modulen1. Didaktisk ämnesanalys2. Bedömning och undervisning3. Representationer och lärande4. Ett varierat arbetssätt5. Matematikens språk i klassrummet6. Geometriska konstruktioner7. Resonemang i geometrin8. Normer i klassrummet

I den första delen av modulen diskuterar vi hur didaktik och ämnesinnehåll kanföras samman. Vi visar där hur du kan planera din undervisning utifrån en didaktiskanalys av den matematik du undervisar om. Den didaktiska ämnesanalysen utgöräven en grund för bedömning. Du bedömer elevernas förmågor, och indirektdin egen undervisning, och du använder bedömning formativt i undervisningen.Del 2 handlar om bedömning utifrån en didaktisk ämnesanalys. Del 3 handlarom olika representationer i matematiken och om hur du kan variera dessa. Därdiskuteras också möjligheten att använda dynamisk geometri och IKT. De två därpåföljande delarna centrerar kring olika arbetssätt, som vart och ett på olika vis kanskapa en god lärandemiljö. Del 4 handlar om olika aspekter av ett undersökandearbetssätt och del 5 behandlar att arbeta med matematikens språk i klassrummet.Del 6 handlar om geometriska konstruktioner relaterat till årskurs 4 – 6. I del 7diskuteras den roll resonemang spelar i geometrin och hur du kan ge det matematiskaresonemanget plats i klassrummet. Del 8, slutligen, utgör en naturlig sammanfattningav hela modulen och behandlar hur du kan etablera och förändra normer förmatematikklassrummet. De olika delarna i den här modulen motsvarar till sitt innehållde olika delarna i geometrimodulerna för åk 1 -– 3 och åk 7 – 9.

Efter att ha studerat innehållet i modulen kan du förändra och förädla dinmatematikundervisning på flera olika sätt. Du ges också förutsättningar attförändra den fortbildningskultur som finns på din skola till att bli en varaktigtförändringsbenägen utbildningsmiljö där elevernas matematiska utveckling ståri centrum. Du kommer att märka styrkan i ett kollegialt lärande när du diskuterartexternas innehåll med dina kollegor och omsätter detta i din egen undervisning.

PlaneringsstödI del 2 förutsätts att du har planerat terminens undervisning. Det är alltså bra om duhar gjort din planering innan ni börjar arbeta med modulen. I rutan ”Se även” hittar du

Revision: 2 Datum: 2017-04-27

ett planeringsstöd i form av ett pdf-formulär. Detta kan du använda i din planering avlektioner och aktiviteter under hela modularbetet.

Om Moment BUnder arbetet med modulen föreslår vi att ni disponerar tiden i Moment B på följandesätt:

• Diskussion om texterna ni läst i moment A, under en tredjedel av tiden.• Gemensam förberedelse av en aktivitet, under två tredjedelar av tiden.

Ansvariga för modulenGöteborgs universitet, i samarbete med Chalmers tekniska högskola, Högskolan iGävle och Malmö högskola.


Del 4. Ett varierat arbetssättI den här delen arbetar du med variation av undervisningen ur flera perspektiv. Dethandlar om de arbetssätt som du använder vid organiserandet av klassrumsarbetet.Geometri lämpar sig väl för ett undersökande arbetssätt och laborationer kangenomföras såväl i grupp som i form av demonstration i helklass.

Målet är att du får ökad insikt i hur ett varierat arbetssätt fokuserat på ett visstmatematikinnehåll kan stärka inlärningen hos eleverna.


Del 4: Moment A – individuell förberedelseLäsLäs först texten ”Undersökande arbetssätt i geometriundervisningen”. Den behandlarhur du kan använda ett varierat arbetssätt i ditt klassrum.

Läs sedan ”Möbiusband – en laboration”. Där beskrivs en laboration som ska ligga tillgrund för den aktivitet du genomför i moment C. Avsikten är att du ska fundera överhur du kan variera din undervisning och därigenom på bästa sätt främja dina eleversbegreppsutveckling.

Se filmFilmen ”Rosi-Anne undervisar om volym” visar hur Rosi-Anne varierar arbetssättet närhon undervisar om volym i årskurs 5. I texten ”Rosi-Anne undervisar om volym” kandu läsa om Rosi-Annes mål med undervisningen. Uppmärksamma, när du ser filmen,dels hur Rosi-Anne uttrycker sig, dels vilka olika arbetssätt hon låter eleverna användasig av under lektionen.

Material


MaterialUndersökande arbetssätt i geometriundervisningenM. Löwing

Möbiusband – en laborationC. Bennet och M. Löwing

Rosi-Anne undervisar om volymC. Bennet och M. Löwing

Rosi-Anne undervisar om volymSkolverkethttps://www.youtube.com/watch?v=HgpPAyDQGTcFilformatet kan inte skrivas ut


Grundskola åk 4 – 6

Undersökande arbetssätt i geometriundervisningen november 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (8)

Modul: Geometri Del 4: Ett varierat arbetssätt

Undersökande arbetssätt i geometriundervisningen

Madeleine Löwing Göteborgs universitet

En nyckel till att göra geometrin begriplig för eleverna är att försöka synliggöra matematiska

begrepp och samband på ett enkelt sätt. Frågeställningar som löses med hjälp av geometri

förekommer i olika situationer såväl i vardagen som i yrkeslivet och för att besvara dessa

frågeställningar krävs att man behärskar lämpliga matematiska modeller, många gånger i

form av formler. Dessa modeller vilar i sin tur på grundläggande begrepp och egenskaper

hos geometriska objekt. Geometri handlar delvis om egenskaper hos figurer och kroppar.

För att förstå detta krävs att eleven behärskar ett antal grundläggande begrepp och har ett

språk för att kommunicera dessa begrepp. Undervisningen under de tidigare skolåren syftar

därför till att eleverna ska lära sig centrala geometriska begrepp.

Redan mycket små barn har en intuitiv uppfattning om geometri när de börjar utforska

världen. Barnen har alltså en förförståelse av geometri innan de kommer till skolan. För

små barn är orienteringsförmåga eller rumsuppfattning centralt för att de ska kunna förstå

och orientera sig i sin omvärld, såväl inomhus som utomhus, samt beskriva lägen och fö-

remåls placering. Mätning är också centralt för barn. De jämför spontant längder och stor-

lek på föremål. De mäter varandra och tar reda på vem som är längst och vem som är kort-

ast. De får en uppfattning om volym när de till exempel leker med plasthinkar och kakfor-

mar i sandlådan. Vid bakning lär de sig att använda decilitermått och mäta upp olika voly-

mer. Barn kan senare beskriva hur de förflyttar sig eller kan förflytta ett föremål. Många

gånger beskriver vi föremål i geometriska termer. Detta kräver att elever kan såväl namnge

som beskriva egenskaper hos olika geometriska objekt samt mäta olika storheter.

Matematikundervisningen under de tidiga skolåren handlar till en början om informella

upptäckter av geometri som kan synliggöras i elevernas vardag och i naturen. Den infor-

mella geometriundervisningen utgår ofta från en arrangerad laboration där eleven får

(åter)upptäcka innebörden i begrepp och upptäcka geometriska samband. Det innehåll som

eleverna på detta sätt möter ska bilda utgångspunkt för arbetet i senare årskurser och ska då

succesivt bli mera formellt.

I årskurserna 1 – 3 ska eleverna exempelvis klassificera geometriska figurer, de behöver

kunna avgöra vad som menas med en kvadrat eller en parallellogram. Det räcker då inte

med att ”känna igen” figurerna. Det krävs att de förstår alla kvadratens egenskaper, såsom

att kvadraten faktiskt är en parallellogram, men att alla parallellogrammer inte är kvadrater.

Detta kräver att du på olika sätt planerar undervisning där de begrepp du vill att eleverna

ska förstå synliggörs. I undervisningen är det inte aktiviteten och materialet i sig som avgör

om det sker en inlärning eller inte, utan det är hur du synliggör de aktuella begreppen.



Att arbeta undersökande För att effekten av din undervisning ska bli så bra som möjligt är det avgörande att du som

lärare i årskurserna 4 - 6 vet vilken kunskap eleverna har med sig från tidigare årskurser när

det gäller geometri. När du planerar aktiviteter är det även viktigt att du är medveten om

hur progression för begreppsutveckling kan se ut, för att kunna stimulera elevernas lärande

på rätt sätt. Du behöver ha en karta över det matematiska landskapet. Detta återkopplar till

den didaktiska ämnesanalys du läste om i del 1.

Eleverna ska själva vara aktiva i lärandeprocessen och din undervisning ska ge dem möjlig-

het att successivt formalisera sina geometrikunskaper. I arbetet med den grundläggande

geometrin undersöker elever egenskaper hos olika geometriska begrepp, de hittar samband

och redogör muntligt för resultat av gemensamma och egna upptäckter. Med ett undersö-

kande arbetssätt stärks förhoppningsvis elevernas matematiska språk och de ges möjlighet

att fördjupa sina förmågor. Eleverna utvecklar sitt språk och sina kognitiva förmågor i sym-

bios, men det krävs att de får adekvat återkoppling.

Under de tidiga årskurserna är det därför viktigt att eleverna får undersöka och reflektera

över geometriska begrepp och därigenom utveckla ett öppet förhållningssätt till geometri. I

olika undersökande aktiviteter kan du låta dem möta aktuella geometriska begrepp, se vari-

ationer och olika aspekter av begreppen samt succesivt få möta begreppen i alltmer kom-

plexa sammanhang. För att lära sig något nytt måste de behärska redan kända begrepp och

på så sätt kunna urskilja det nya. För att stimulera denna utveckling kan du utmana elevens

tänkande genom laborativa uppgifter.

För att förklara ett geometriskt begrepp kan du använda ett material och ställa frågor som

utmanar elevernas tänkande. Begreppen i sig är abstrakta och något som eleven ska kunna

tänka kring. Det är för att underlätta denna abstraktion som du använder dig av ett material

eller en metafor. Genom denna konkretisering lyfter man med materialets eller metaforens

hjälp fram begreppet. Det sätt på vilket materialet används avgör om undervisningen leder

till avsedd inlärning, abstraktion, eller inte. Matematiskt kunnande utvecklas genom att ele-

ven får röra sig mellan handling och tänkande i samband med olika aktiviteter.

I detta sammanhang är det en fördel om eleverna arbetar i grupper och undersöker och

resonerar, men det är avgörande för utvecklingen av deras kunskaper att du uppmärksam-

mar deras resonemang och slutsatser och ger återkoppling. Eleven klarar en hel del själv

men för att komma vidare i sin utveckling behöver hon utmaningar och möjlighet att disku-

tera med dig som kan. Den sociala interaktionen är betydelsefull och beskrivs av Lev

Vygotsky (1896–1934), som att eleverna rör sig i en närmaste utvecklingszon (zone of proxi-

mal development), som sträcker sig från det innehåll de själva behärskar till begrepp som de

kan arbeta med och utveckla i samarbete med andra.

Arbetssättet bör vara formativt, vilket innebär att du genom att försöka ta del av elevernas

tänkande förvissar dig om att eleverna på ett adekvat sätt uppfattar innehållet i undervis-

ningen. Detta är speciellt viktigt när det gäller de mest grundläggande begreppen som be-



handlas under de tidiga årskurserna, eftersom vad eleven redan kan och vet har betydelse

för hennes möjlighet att fördjupa sin förståelse. Märker du att eleverna inte har förstått,

eller har missuppfattat ett begrepp bör du återkomma till det i din fortsatta undervisning.

Begreppet diagonal Vi börjar med ett exempel på undersökande arbetssätt av begreppet diagonal: Inledningsvis

presenterar du det nya begreppet för eleverna. Då visar du och förklarar vad som menas

med en diagonal samt benämner det nya begreppet. Diagonal är exempel på ett geometriskt

begrepp som ingen kan gissa sig till utan någon måste tala om såväl namn som innebörd.

Till en början kan en elev ha svårt för en tydlig matematisk definition av diagonal, eftersom

ordet diagonal används på olika sätt i vårt vardagsspråk. Den matematiska definitionen är

att en diagonal är en sträcka som förbinder två inte närliggande hörn i en månghörning (polygon). När

eleven fått klart för sig innebörden i begreppet diagonal, alltså vad som menas med en dia-

gonal i en månghörning kan eleverna tillsammans i grupper undersöka hur många diagona-

ler det finns i olika månghörningar. Innan arbetet börjar bör du ha förvissat dig om att ele-

verna har nödvändiga förkunskaper. Det krävs att de känner till figurer som fyrhörning,

femhörning och så vidare samt begreppen sida, sträcka och hörn. När eleverna arbetar med

uppgiften blir din roll att föra arbetet framåt på elevernas villkor genom att ställa problema-

tiserande frågor men även uppmuntra interaktion mellan elever.

Beroende på årskurs och elevernas kunskaper kan uppgiften utökas till att eleverna tar reda

på hur många diagonaler det finns i en n-hörning. De finner förhoppningsvis då att antalet

diagonaler är n(n - 3)/2, för n ≥ 3.

När eleverna i grupp har undersökt antalet diagonaler i olika månghörningar, sett ett möns-

ter och kommit fram till en slutsats, samlar du alla grupperna för att hjälpa dem att sam-

manfatta sina upptäckter. Den rätta slutsatsen lyfts fram, men även felaktiga slutsatser och

deras troliga orsaker diskuteras eftersom det är betydelsefullt för de elever som tänkt an-

norlunda att få klart för sig vad som inte stämmer och hur det ska vara istället. Efter detta

arbete, då gruppen och klassen gemensamt har kommit fram till hur många diagonaler det

finns i en fyrhörning, femhörning och så vidare följer individuellt arbete. Detta för att ge

den enskilda eleven möjlighet att själv pröva om hon har förstått genom att öva på några

uppgifter. Genom enskilt arbete med egna övningar på ett vanligt pappersark får såväl ele-

ven själv som du reda på hur eleven uppfattat innehållet. Eleven kan sedan klistra in pap-

persarket i sitt geometrihäfte, en vanlig skrivbok, eller sätta in det i en pärm. Geometrihäftet

eller pärmen kan samtidigt bli en egen terminologibok.

I det ovan beskriva exemplet varieras arbetssättet allt eftersom undervisningen fortgår enligt

mönstret

1. Vilka nödvändiga kunskaper har eleven redan?

2. Presentation av ett grundläggande begrepp (om det behövs) samt en tydlig förklaring av

hur laborationen ska gå till.

3. Eleverna undersöker begreppet i grupper.



4. Gemensam diskussion utifrån iakttagelser i grupperna, slutsatser dras.

5. Eleverna arbetar enskilt med uppgifter kring begreppet.

6. Eventuellt en kunskapsuppföljning (diagnos)

Detta är ett exempel på ett varierat arbetssätt. Det kan alltså innebära att du börjar med att

presentera ett nytt begrepp, sedan får eleverna undersöka begreppet med hjälp av en väl-

strukturerad övning, laboration. När de har bekantat sig med begreppet och fått möjlighet

att diskutera med kamrater så samlar du eleverna för en gemensam diskussion där du sam-

manfattar och lyfter fram den korrekta innebörden i begreppet. Därefter ger du eleverna ett

övningspapper där de var och en kan visa om de förstått. Såväl eleven som du får därmed

kvitto på om undervisningen givet resultat. På detta sätt blir det möjligt för eleven att bygga

upp sitt kunnande inom geometri.

Laboration ett undersökande arbetssätt En del av det ovan beskrivna arbetssättet, då eleverna själva undersöker antalet diagonaler i

olika månghörningar kan kallas för en laboration. Idén bakom laborativ matematik-

undervisning är att eleverna genom laborationer ska få uppleva och (åter)upptäcka någon

del av matematiken. På så sätt ges eleven möjlighet att se samband och förstå hur begrepp

hänger ihop. För eleven handlar det om att själv skapa och uppleva matematik. Eleverna

ska genom laborationen kunna följa hur till exempel geometriska begrepp kan utvecklas

utgående från givna premisser. Samtidigt ska de ges möjlighet att under arbetets gång bygga

upp ett språk med vars hjälp det går att diskutera de aktuella geometribegreppen. Laborat-

ionen är ett arbetssätt, alltså ett medel, att nå undervisningsmålet och kunskapskraven. På så

sätt bidrar laborationen som arbetssätt till att ge eleven möjlighet att utveckla de förmågor

som beskrivs i matematikkursplanens syfte.

Laborationen kan dels väcka elevens nyfikenhet, dels stimulera eleverna till att diskutera

såväl resultatet som själva processen. Om laborationen utförs på ett väl planerat sätt så kan

ett material som används dessutom vara konkretiserande och hjälpa till att förklara en be-

skrivande formel. För att laborera behövs inte alltid specialtillverkat konkretiserande

material, utan en rad laborationer kan, på samma sätt som vårt exempel med diagonalerna,

lika väl utföras enbart med papper och penna. En laboration kan ibland till och med utföras

som ett rent tankeexperiment, förutsatt att eleverna har rätt förkunskaper. När du planerar

att eleverna ska laborera så gäller alltid att du tänker igenom vad eleven behöver ha förstått

för att ha möjlighet att genomföra laborationen på det sätt som är tänkt (se punkterna 3 och

4 i planeringsstödet).

En laboration kan också genomföras utan att eleverna själva hanterar något material. Du

kan genomföra laborationen i form av en demonstration där du själv stegvis visar något

samtidigt som du med hjälp av frågor engagerar eleverna i en diskussion. Ett exempel på

detta ges i texten ”Möbiusband – en laboration”.



Andra tillfällen där det finns olika möjligheter att laborera är när eleven ska fördjupa sitt

kunnande inom mätning av storheter. Omkrets och area är två centrala begrepp där det

handlar om mätning av två olika storheter. Då krävs att eleven kan skilja på dessa båda

storheter. Omkrets handlar om en längdmätning där man mäter de olika sträckorna som

utgör sidor i den aktuella figuren. Ordet omkrets används i många sammanhang men avser

alltid längden av en sträcka runt ett område. Area innebär att man anger ett mätetal för

storleken av en viss yta. Inledningsvis handlar det om att täcka ytan, vilket i undervisningen

kan göras med hjälp av en areamall, ett genomskinligt rutnät. Ett rutnät läggs då över figu-

ren och arean kan uttryckas med hjälp av antalet rutor. Detta är en direkt mätning. När

eleverna har förstått areabegreppet, abstraherat, utför de beräkningarna utifrån en indirekt

mätning. Det innebär att eleverna använder linjalen och mäter sidornas längder. Först mäter

de den ena sidans längd (cm) som de omtolkar i antal rutor (cm2) som får plats längs sidan.

Därefter mäter de den andra sidans längd och förväntas då tolka (beräkna) hur många rader

med rutor (cm2) som får plats. Både när det gäller omkretsen och arean av en figur används

samma linjal och eleverna mäter i båda fallen sidornas längder. Förfarandet är alltså det-

samma, men tankearbetet är olika.

Det centrala är att eleven genom sitt arbete får möjlighet att förstå och sedan utifrån några

övningar befästa de båda begreppen omkrets och area. Detta kan vara en laboration där

eleverna får möjlighet att prata om begreppet och lära sig ord för att uttrycka sig korrekt.

Efter laborationen och diskussionerna förväntas eleven ha abstraherat begreppen och kan

fortsättningsvis tänka om dem utan konkretiserande material.

Själva laborationerna kan ordnas på olika sätt. Det viktiga är att eleven har relevanta för-

kunskaper för att förstå vad de förväntas upptäcka. När det gäller area så bör du prata om

begreppet till exempel i termer av storleken av en yta genom att täcka den. Sedan kan ele-

verna få pröva att täcka med A4-papper, mosaikbitar eller liknande och diskutera. När de

kommit lite längre i sin begreppsbildning kan de övergå till en areamall. I dessa olika fall

kommer de att tala om arean i termer av antal A4-ark, mosaikbitar eller rutor. Senare ska

benämningen av enheten utvecklas vidare till generella areaenheter som cm2 eller m2.

En central laboration i detta sammanhang gäller relationen mellan area och omkrets. För att

eleverna ska få syn på sambandet krävs det en laboration där de håller en parameter kon-

stant och undersöker den andra. Låt eleverna forma olika figurer med nio mosaikbitar och

sedan bestämma omkretsen. Omkretsen mäts i enheten sidor på mosaikbiten.

Figur 1: Area = 9 rutor, omkrets = 12 sidor



Figur 2: Area = 9 rutor, omkrets = 20 sidor

Eleverna får undersöka många olika figurer med arean 9 rutor. De kan sedan ta en annan

area, ett annat antal rutor, och upprepa sin undersökning. Den avslutande diskussionen är

här betydelsefull för elevens möjligheter att befästa den vunna kunskapen.

Det går även att hålla omkretsen konstant och undersöka hur arean kan variera. Låt elever-

na få ett snöre och knyt ihop ändarna så att det blir en bestämd fixerad omkrets. Låt elever-

na lägga snöret på ett rutat papper och markera hörn med hjälp av nålar. Sedan kan de

räkna rutorna innanför snöret och på så sätt bestämma arean.

Med hjälp av geometri går det att förutsäga vad som kommer att ske i olika situationer.

Känner du till exempel till formeln för hur arean av olika ytor bestäms så kan du beräkna

hur mycket kakel det går åt till badrumsgolvet eller, utifrån givna förutsättningar, beräkna

hur mycket gräsfrö som behöver för att så en gräsmatta.

Inom geometriundervisningen passar det bra att laborera som en del i ett varierat arbetssätt.

I de tidiga skolåren gäller det att eleverna får undersöka tvådimensionella geometriska figu-

rer och tredimensionella kroppar samt lära sig begrepp för att kunna beskriva deras egen-

skaper. När eleverna kommer till senare årskurser förväntas de att kunna tolka bilder av

geometriska kroppar och föreställa sig en tredimensionell kropp. Det gäller för eleverna att

kunna tänka sig höjder i pyramider, rymddiagonaler i rätblock och så vidare. För att an-

vända en sådan inre representation krävs att eleverna under tidigare årskurser får undersöka

de tredimensionella kropparna.

Arbetet under de tidigare årskurserna lägger således grunden för eleverna till att känna igen

och benämna såväl två- som tredimensionella geometriska kropparna och att identifiera

dessas delar. Det är därför angeläget att eleverna får studera och identifiera egenskaper hos

olika föremål såsom lådor, burkar och andra förpackningar. De kan till exempel klippa isär

en låda och studera dess uppbyggnad. Lådans form gör att den kan användas för att kon-

kretisera det geometriska begreppet rätblock. Genom laborationen kan eleven få syn på

vilka tvådimensionella figurer ett rätblock är uppbyggt av. De kan också bygga olika krop-

par med hjälp av plana figurer. Detta laborativa arbete är en förutsättning för att eleverna

senare ska kunna beräkna kroppens volym eller begränsningsarea.

Ett varierat arbetssätt innebär att eleverna när de ska utveckla sin geometrikunskap ges

möjlighet att få möta och bearbeta ett innehåll på olika sätt. Beroende på vad eleven ska lära

sig kan laboration och genomgång komma i olika ordning. Det är emellertid viktigt att du

gör tydliga sammanfattningar där olika aspekter av innehållet synliggörs för alla elever och

att eleverna sedan individuellt får undersöka och visa sitt kunnande.



En didaktisk karta En central utgångspunkt i geometriundervisningen är att eleverna ska förstå mätandets idé.

I texten har vi sett hur mätning av area lämpar sig väl för ett undersökande arbetssätt. När

du mäter något är det ofta för att uttrycka en egenskap som längd, omkrets eller area med

hjälp av ett mätetal. Många gånger är inte själva mätetalet viktigt utan jämförelsen, vem som

är längst, om bänken får plats och så vidare. Att mäta längden av en sträcka är ofta en enkel

process jämfört med att mäta area och volym som ofta sker genom indirekta mätningar följt

av en beräkning. Ett exempel på sådan indirekt mätning beskrev vi tidigare när arean av en

rektangel beräknades.

Grundläggande för mätning är att det handlar om jämförelse med ett känt mått såsom

grundenheterna i SI-systemet 1m, 1 kg, 1 sekund etcetera. Undervisning om mätning brukar

inledningsvis handla om direkt jämförelse. Vilken pinne är längst? Du kan lägga pinnarna

bredvid varandra och få svar. När detta inte är möjligt skaffar vi en referent, en tredje

sträcka, som vi kan flytta med och använda för att jämföra. Sedan fortsätter arbetet vidare

till standardmått och hur ett mätinstrument, en linjal, är uppbyggd och hur den ska använ-

das. Försäkra dig om att eleverna har förstått att det är antalet små sträckor, centimeter,

som beskriver längden av ett föremål. Det är viktigt att du förvissar dig om att de har för-

stått idén bakom mätandet. Det klassiska sättet att testa detta är att låta dem få en avbruten

linjal och med dess hjälp mäta en sträcka.

Eleverna kommer i skolan och vardagen att möta många olika mättekniker. För att de ska

förstå och kunna använda dessa är det avgörande att de förstår att mätning handlar om

jämförelse. Oftast sker detta med hjälp av en standardiserad referent i form av ett mätverk-

tyg, till exempel linjal. En sträckas längd beskrivs av en storhet, exempelvis 5 cm, som i sin

tur består av ett mätetal 5 och en enhet cm.

I figur 3 på nästa sida kan du se en didaktisk karta som beskriver en förkunskapsstruktur

inom grundläggande mätning av längd och area. Varje ruta beskriver begrepp som eleven

ska abstrahera och behärska, från mätandets idé fram till beräkningar av längder och areor

generellt. Pilarna anger en förkunskapsstruktur, men inte nödvändigtvis en undervisnings-

struktur. Strukturschemat kan utgöra en översiktlig didaktisk karta där varje ruta samman-

fattar ett önskat resultat av din undervisning, tidigare undervisning och kommande under-

visning.



Figur 3: Didaktisk karta. Översikt mätning.

Grundskola 4-6

Möbiusband – en laboration november 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (4)

A

B

C

D

Modul: Geometri Del: 4 Ett varierat arbetssätt

Möbiusband – en laboration

Christian Bennet och Madeleine Löwing, Göteborgs universitet

Med hjälp av geometri, kan du finna matematiska modeller med vilka det går att förutsäga

vad som kommer att ske i olika situationer. Känner du till formeln för hur arean av olika

ytor kan bestämmas så kan du också planera hur mycket tapeter det går åt för att tapetsera

ett rum etcetera. Detta brukar vara ett sätt att motivera för eleverna varför vi läser geometri.

Vi ska här beskriva ett exempel som brukar vara inspirerande och tankeväckande. Det är

Möbius band, en form där det inte är självklart för eleverna att förutsäga vad som sker.

Syftet är att visa hur du med en laboration kan synliggöra för eleverna hur kunskap om

geometriska begrepp kan hjälpa oss att förstå och förutsäga skeenden i vår omvärld. Texten

börjar med en presentation av Möbius band. Sedan beskrivs hur du med hjälp av en de-

monstration kan diskutera bandets egenskaper med eleverna. Därefter beskrivs hur eleverna

själva kan fortsätta undersökningen av bandets egenskaper. Idén med den här laborationen

är alltså inte i första hand att ge eleverna möjlighet att lära sig något om Möbius band, utan

att visa hur svårt det kan vara att förutsäga vad som händer med en till synes enkel kropp

om man delar upp den i olika delar.

De föremål vi normalt stöter på har minst två sidor och minst två kanter. Exempelvis har

ett pappersark två sidor i form av en fram- och en baksida och fyra kanter. Här kolliderar

vårt vardagsspråk delvis med det matematiska språket, så här kallar vi papprets lång- och

kortsidor för kanter för att skilja dem från fram- och baksidorna. Klistrar vi ihop papperets

kortsidor får vi en cylinder med två sidor i form av en ut- och en insida och två kanter, en

upptill och en nedtill i form av två slutna kurvor. En boll är ett undantag här. Den har inga

kanter, men en ut- och en insida.

Du ska nu studera en annan konstruktion. Klipp en remsa på längden av ett A4-papper eller

ett A3-papper. Låt remsan vara några centimeter bred. Tejpa sedan ihop remsans båda

kortsidor, men vrid först remsan ett halvt varv.

Figur 1: En pappersremsa

Tejpa alltså ihop remsan så att A sammanfaller med D och B med C. Resultatet blir ett så

kallat möbiusband. Det är uppkallat efter en tysk matematiker, August Möbius, som stude-

rade denna konstruktion i mitten av 1800-talet. I själva verket studerades det samtidigt och

oberoende av Möbius också av en annan tysk matematiker, Johann Listing, men det är Mö-

bius som har fått namnge bandet. Ditt möbiusband ser nu ut ungefär så här:

Grundskola 4-6


Figur 2: Ett möbiusband gjort i papper

Du kan nu rita ett streck (använd gärna en bred färgpenna) ungefär i mitten av remsan och

upptäcker då att du efter dubbla remsans längd kommer tillbaka till utgångspunkten. Mö-

biusbandet har alltså bara en sida. På samma sätt kan du följa remsans kant med fingret och

också då komma tillbaka till utgångspunkten, varför möbiusbandet alltså bara har en kant.

Möbiusbandets märkliga egenskaper kan beskrivas på följande sätt: Om du tänker dig en

liten tvådimmensionell insekt som kryper längs möbiusbandet så har hon därmed samma

kant både till höger om sig och till vänster om sig, eftersom det bara finns en kant! Ritar

hon ett rött streck på sin vänstra sida och ett grönt på sin högra medan hon går, kommer

hon tillbaka till utgångspunkten efter ett varv, men nu med det röda strecket till höger och

det gröna till vänster. Observera här att vi betraktar ytan som tvådimensionell, inte som ett

tredimensionellt band. Den tvådimensionella insekten lever så att säga i ytan, snarare än på

ytan och kommer då tillbaka till utgångspunkten efter ett varv, inte efter två. Vill du testa

detta så tillverka möbiusbandet av ett genomskinligt overheadark! Felix Klein, en av de

mest inflytelserika matematikerna i slutet av 1800-talet kallade sådana ytor för icke orienter-

bara. En orienterbar yta, eller ett orienterbart rum, är alltså en yta, eller ett rum, där man

lokalt kan definiera höger och vänster så att dessa inte ändras om man flyttar runt i rummet

och sedan återvänder till samma plats. Exempelvis är det vanliga euklidiska rummet orien-

terbart, medan möbiusbandet alltså inte är det.

Ett möbiusband är också ett exempel på en ändlig men obegränsad yta. Om remsan du

utgick ifrån har arean d (du har framsidan uppåt och beräknar arean) kommer ditt möbius-

band att ha arean 2d (eftersom framsidan och baksidan hänger ihop och bildar en sida).

Samtidigt kan du gå rakt fram längs bandet (i mitten av bandet) utan att någonsin komma

till en kant. På ett sätt liknar möbiusbandet ett klot; klotets yta är begränsad, men du kan gå

runt på klotet utan att någonsin komma fram till en kant. Redan under antiken användes

Grundskola 4-6


möbiusbandet som en symbol för oändligheten eller evigheten och i modern tid ingår det i

en vanlig symbol för kretslopp:

Figur 3: Symbol för kretslopp

Möbiusbandet är spännande att undersöka och det är inte helt lätt att beskriva dess egen-

skaper. Du kan arbeta laborativt i form av en demonstration på följande sätt och avsikten är

att eleverna ska få möjlighet att upptäcka att det finns enkla kroppar som bryter mot våra

intuitioner om hur omvärlden är beskaffad:

Visa två remsor som du har klippt från två A3-ark, gärna av olika färg. Diskutera och visa

klassen hur många kanter och hur många sidor remsorna har. Det är viktigt att ni är överens

om terminologin så klargör vad du i detta fall menar med kant, fram- och baksida eller ut-

och insida.

Tejpa sedan ihop den ena remsan till en cylinder och diskutera igen antalet sidor och antalet

kanter. Fråga vad som händer om du klipper i cylindern mitt på sidan (se figur 4).

Figur 4: En cylinder

Tejpa sedan ihop den andra remsan till ett möbiusband enligt instruktionerna ovan. Låt

eleverna gissa hur många kanter och sidor det har. Ta fram en elev och låt eleven rita ett

streck mitt i bandet för att undersöka sidan. Låt sedan eleven följa kanten med fingret.

Undersök och diskutera er fram till att detta band bara har en sida och bara en kant. Trolig-

en har eleverna blivit nyfikna.

Låt nu klassen arbeta i grupper. I varje grupp får eleverna tillverka egna möbiusband. Låt

dem rita en linje ungefär i mitten av möbiusbandet och konstatera att de återkommer till

utgångspunkten med pennan, utan att passera kanten. Låt dem sedan gissa vad som händer

om de klipper isär bandet längs mittlinjen och därefter utföra detta. Resultatet blir ett enda

Grundskola 4-6


dubbelt så långt band med två sidor och två kanter. Detta är alltså inte längre ett möbius-

band. Låt eleverna diskutera varför det blir så.

Förklaringen är att när du klipper mitt i bandet blir det inte två stycken möbiusband, vilket

framkommer om vi analyserar bandet: Den nya figuren får en ny kant som skapats av saxen

och en andra kant som består av den gamla kanten. Resultatet efter klippningen blir alltså

ett nytt, dubbelt så långt band med två kanter. Det går att konstatera att det nya bandet har

två sidor. Det är vridet ett helt varv men är inte ett möbiusband.

Fortsätt undersökningen med nya möbiusband. Fråga eleverna vad som händer om de klip-

per en tredjedel av bandets bredd från kanten. Kan de förutsäga vad som händer? Låt sedan

eleverna utföra detta. Resultatet blir ett band som inte är ett möbiusband och ett som är

det. Studera var de nya kanterna som uppstår när man klipper hamnar och diskutera varför

det blir på det här viset.

När bandets klipps utefter en linje som delar bandets bredd i förhållandet 1 till 2 klipps en

remsa av längs kanten som har dubbelt så lång omkrets som det ursprungliga möbiusban-

det. Detta band kommer att ha samma egenskaper som det som klipptes ut vid det förra

tillfället, men vara smalare. Kvar blir ett band i mitten som är resterna av det ursprungliga

möbiusbandet, alltså ett nytt och smalare möbiusband. Detta band kommer att hänga ihop

med det större bandet.

Samla eleverna i helklass igen efter grupparbetet och diskutera vad ni har kommit fram till.

Denna laboration ger ett enkelt exempel på att det ibland kan vara svårt att förutsäga vilka

egenskaper ett föremål får om man manipulerar det, till exempel genom att klippa i det på

olika sätt. Ta tillfället i akt att diskutera hur kunskap om geometriska begrepp kan hjälpa oss

att förstå och förutsäga skeenden i vår omvärld.

Om eleverna är mogna för det kan du även diskutera begreppet orientering, antingen i hel-

klass eller, om du förbereder detta väl, i grupper. I de senare årskurserna i högstadiet kanske

du också kan diskutera Kleins flaska, som är en motsvarighet till det tvådimensionella mö-

biusbandet men i tre dimensioner. Du kan hitta både skrivet material och filmer kring mö-

biusbandet och Kleins flaska på internet.

Grundskola åk 4-6

Ett varierat arbetssätt november 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (1)

Modul: Geometri Del 4: Ett varierat arbetssätt

Rosi-Anne undervisar om volym

Christian Bennet och Madeleine Löwing, Göteborgs universitet

I den här filmen visar läraren Rosi-Anne hur hon varierar arbetssättet under en lektion där

klassen arbetar med begreppet volym. Målet med lektionen är att eleverna ska ges möjlighet

att förstå innebörden i begreppet volym hos en kub. Rosi-Anne inleder med en gemensam

presentation av begreppet. Hon använder olika förklaringsmodeller och använder uttryck

som "den plats kuben tar", "hur mycket kuben rymmer" och "kubens rymd". Fundera, när

du ser filmen, på hur dessa olika ordval kan te sig ur ett elevperspektiv. Rosi-Anne lyfter

sedan tydligt fram de begrepp som behövs och noterar dessa på tavlan. Efter genomgången

får eleverna arbeta konkretiserande i par. Genom att eleverna arbetar i par ges de möjlighet

att lära av varandra. Lägg märke till att Rosi-Anne ger klara instruktioner och att hon under

arbetet försäkrar sig om att alla elever förstår.

Under arbetet har Rosi-Anne noterat elevernas olika sätt att tänka och återkommer till flera

av dessa i en avslutande genomgång.

Genom att Rosi-Anne låter eleverna bygga kuber av tre olika storlekar, ges eleverna möjlig-

het att generalisera begreppet volym, något som syftar mot en senare abstrahering i form av

en matematisk formel för rätblockets volym.

Tillsammans med motsvarande filmer i geometrimodulerna för åk 1-3 och 7-9, ingår filmen

i en svit som illustrerar en progression i arbetet med begreppet volym från en konkret för-

ankrad undervisning om area i åk 1-3 till formeln för rätblockets volym i åk 7-9.

Filmen är inspelad med elever i Skuttungeskolan, Uppsala, och deras lärare Rosi-Anne Bergling.

Del 4: Moment B – kollegialt arbeteDiskutera

• Vilka laborationer har du tidigare använt i geometri? Har några av dessa liknatlaborationen med möbiusbandet?

• Hur uppfattar ni avsikten med laborationen med möbiusbandet?• Vilka klassrumsnormer ändras när du arbetar laborativt? Vilka elever lyckas du

engagera?• Hur låter du elevernas diskussioner i grupp komma hela klassen till del?• Vad är viktigt att tänka på när du sammanfattar laborationens resultat?• Resonera, med utgångspunkt i den film ni har sett om vilka olika arbetssätt

läraren låter eleverna använda sig av under lektionen och varför.

Förbered en aktivitetNu är det dags att förbereda en aktivitet i form av en laboration. Använd denlaboration med möbiusbandet som vi presenterade i moment A. Fundera igen igenomvilken avsikten med laborationen är. Uppmärksamma hur delaktiga enskilda elever ärunder de olika arbetssätten.

Material


Del 4: Moment C – aktivitetGenomför den laboration ni planerade i moment B. Uppmärksamma hur delaktigaeleverna är under de olika arbetssätt ni använder.

Material


Del 4: Moment D – gemensam uppföljningUtvärdera och diskuteraDet är nu dags att gemensamt utvärdera den laboration ni utförde under moment C.Ni ska också diskutera vad som är viktigt att tänka på vid ett laborativt arbetssätt. Härföljer några förslag på diskussionspunkter:

• I vad mån lyckades laborationen med möbiusbandet? Vad gick bra, vad kundedu ha gjort annorlunda?

• Reflektera över vad som är viktigt för dig som lärare att tänka på när du utför enlaboration i helklass?

• Hade eleverna den förförståelse som krävdes? Kunde eleverna dra deslutsatser som du tänkt dig? Fick ni olika respons i olika klasser eller olikaårskurser?

Kunskaper befästs via reflexion. Ägna en kort stund åt att reflektera över och skriftligtsammanfatta dina erfarenheter av den här delen av modulen.

Material


Documents

Geometri...Geometri I den här modulen lyfter vi fram valda delar av det centrala innehållet i geometrin utifrån skilda didaktiska perspektiv och visar hur en varierad undervisning