CAPTULOOBJETIVOS Conocer las reas de las diferentes regiones
cuadrangulares. Relacionar las reas de las diferentes regiones
cuadrangulares.INTRODUCCINEXPERIENCIA: EL REA EN LOS PRODUCTOS
NOTABLESEs posible que conozcas de lgebra ciertos productos
notables, como son: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b) (a b) = a2
b2Si te resultaran difciles de memorizar, te sugerimos que los
recuerdes visualizndolos de un modo geomtrico:a. Toma una cartulina
en forma de cuadrado y observa que al cortarla como se muestra en
la figura, el rea del cuadrado se conserva, si bien aparece como
suma de las reas de los rectngulos y cuadrados en que ha quedado
descompuesto. a bbab=a2++ a ab(a + b)2 = a2 + 2ab + b2b. Por otra
parte, toma otra cartulina con forma cuadrada y recorta un cuadrado
de una de sus esquinas; la figura restante puedes cortarla en dos
trozos por la lnea de puntos y redistribuirla adosando al pie del
rectngulo mayor el trozopunteado. a b =a a ab b b = a b ab (a2 b2)
= ............................ = (a + b) . (a b)Comparando las reas
, deducirs que: (a + b) . (a b) = a2 b2GeometraCompendio de
Ciencias VIEAritmticaCompendio de Ciencias IVEObserva que las
construcciones anteriores no dependen del tamao de los cortes que
produzcas. Puedes comprobarloal comprar tu experiencia con la de
otro compaero.5 95 9Compendio de Ciencias VIEGeometraREA DE
REGIONES CUADRANGULARESFRMULA GENERALEl rea de una regin
cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus
diagonales multiplicando con el seno de la medida del ngulo
determinado por dichas diagonales.Regin Cuadrangular ConvexaB REA
DE UNA REGIN TRAPECIALEl rea de una regin trapecial es igual al
producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la
longitud de la altura de dicho trapecio. a B CCS A BCD (AC)(BD) se
n 2 h SM N P QA Db 1 (a b) h2A DRegin Cuadrangular no Convexa B
CNSM N P Q M P N Q se n 2 M NS A B C D (M N).hA DM N : Mediana del
trapecio.M PREA DE UNA REGINPARALELOGRMICAREA DE UNA REGIN
ROMBOIDALEl rea de una regin romboidal es igual al producto de las
longitudes de un lado y a la altura relativa a dicho lado.B C REA
DE UNA REGIN RECTANGULAREl rea de una regin rectangular es igual al
producto de las longitudes de dos de sus lados consecutivos.B ChS A
B C D b . hADb hSA B C DA Db b . hREA DE UNA REGIN ROMBALEl rea de
una regin rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus
diagonales.B REA DE UNA REGIN CUADRADAEl rea de una regin cuadrada
es igual al cuadrado de la longitud de su lado.B CA C dSD D . d SA
B C DS 2d 2Compendio de Ciencias IVEAritmticaD A D6 06 0 A B C D
2GeometraCompendio de Ciencias VIEFRMULAS ADICIONALES R E A D E U N
A R E G I N C U A D R A N G U L A R CIRCUNSCRITA A UNA
CIRCUNFERENCIAEl rea de un cuadriltero circunscrito a una
circunferencia es igual al semipermetro multiplicado por el
inradio. PROPIEDADES DE REAS EN REGIONES CUADRANGULARESP R OP I E D
A D E S P A R A T OD A R E G I N C UA D RA NG U LA R1. Si P, Q, R y
S son puntos medios de los lados del cuadriltero luego se cumple:B
b B QC Cr S P . rA B C D PRa c Donde:p a c b dA D 2d A S DS 1 S R E
A D E U N A R E G I N C U A D R A N G U L A R INSCRITA EN UNA
CIRCUNFERENCIA P Q R S 2 AB C DEl rea de una regin c uadriltera
insc rita en una circunferencia es igual a la raz cuadrada del
producto de las diferencias del semipermetro de dicha regin
cuadrilteracon la longitud de cada uno de sus lados. 2. Si P, Q, R
y S son puntos medios de los lados del cuadriltero luego se
cumple:QBb PRa CSc S S SA D 1 S3 2 4S A B C D Donde: p (p a)(p b)(p
c)(p d ) a b c d2 3. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados
delcuadriltero luego se cumple:Q R E A D E U N A R E G I N C U A D
R A N G U L A R P R S S S SI N S C R I T A Y C I R C U N S C R I T
A A U N A CIRCUNFERENCIA.El rea de una regin cuadriltera inscrita y
circunscrita a una circunferencia es igual a la raz cuadrada del
producto de las longitudes de sus lados.Bab 1 3 2 4S4. En todo
cuadriltero al trazar las diagonales se forman cuatro tringulos
parciales cumplindose.BCAC SA B C DdcD a b c d A D S1 S3 S2
S4AritmticaCompendio de Ciencias IVE6 16 1Compendio de Ciencias
VIEGeometraPROPIEDADES PARA TRAPECIOS1. Si la figura mostrada es un
trapecio se cumple:B C PROPIEDADES PARA PARALELOGRAMOS1. Si ABCD es
un paralelogramo y P es un punto cualquiera se cumple:B P CA DA D
S1 S3 2 S AP D 1 S2 A B C D S AB C D S S3 4 2. Si ABCD es un
paralelogramo y P es un punto inte- rior de la regin se cumple:2.
Si ABCD es un trapecio y P, Q son puntos medios secumple: B CB Q C
PA DA P D S AB Q P S Q C D P S A B P SP C D SB P C S AP D3. Si ABCD
es un trapecio y P es punto medio de A Bluego se cumple: 3. Si ABCD
es un paralelogramo y P es un punto exterior al romboide se
cumple:B CB C PP A DA DS B P C S A P D S A B C D2 SP C D 1 S2 AB C
DCompendio de Ciencias IVEAritmtica6 26 2GeometraCompendio de
Ciencias VIEProblema Desarrollado m n Problema por Desarrollar:m
nDemostrar S A B C D 2B se n S A B C D sen 2C B mn mAResolucin:BM =
asen DBa N Cbsen A n CResolucin:DN = bsenAdems: a + b = nA m M
bDSABC= SADC = m BM2 =m DN2 =m m(asen)2m(bsen)2 (+ )SABC+ SADC=
sen(a+ b)2SABCD nPor lo tanto: ABCD= m n2 sen L.q.q.d.1. El
permetro de un rombo es igual a 40. Una diagonalmide 12. Calcule el
rea de la regin rombal.Rpta.:
...........................................2. Las bases de un
trapecio miden 4 y 10 la mediana es igual a la altura. Calcule el
rea de la regin trapecial.Rpta.:
...........................................3. Dos lados de un
paralelogramo miden 6 y 8, su altura mide 7. Calcule el rea de la
regin paralelogrmica.Rpta.:
........................................... 4. En la figura se
muestran cuadrados: S1 = 9 y S2 = 16,Calcule S3.Rpta.:
...........................................5. Las diagonales de un
trapecio miden 7 y 16, son perpendiculares entre s. Calcule el rea
de la regin trapecial.AritmticaCompendio de Ciencias IVERpta.:
...........................................6 36 3Compendio de
Ciencias VIEGeometra6. Se tiene un trapecio ABC0 (B C : base menor)
BC = 2; A0 = 8; mA = m0 = 530 Calcule: SABC0Rpta.:
...........................................7. El permetro de un
rectangulo es 46 y la diagonal mide17 Calcule el area regin
rectangularRpta.: ...........................................8. Las
diagonales de un cuadrado suma 32 Calcule el area del
cuadradoRpta.: ...........................................9. Se
tiene u n trapecio AB C0 (B C : base men or) BC = 4 y A 0 = 10 , m
A = 750 y m 0 = 300 C alcu le S ABC 0Rpta.:
........................................... 14. En un romboide ABC0
se toma un punto interior P y luego en D C se toma el punto M, si
las areas de lasregiones ABP, BPC y APM0 miden 3 m2; 4m2 y 8
m20etermine PMCRpta.:
...........................................15. 0el grafico ABC0 es
un paralelogramo, AM = MN = N0y SABC0 = 40 Calcule el SBCH SEC0B
CHEA M N DRpta.: ...........................................16. 0e
la figura mostradaCalcule Sx en funcin de S1 yS2 (M y N puntos de
tangencia)10. En un rombo ABC0 se traza la altura B H ; AH = H0,
rBH = 6 u, calcule el area de la regin rombal ABC0M ORpta.:
...........................................11. Si SABC0 = 50
0etermine SxD C NBRpta.:
...........................................17. En la figura:A E 127
,2 AM = M0 y A0 = 10 cmRpta.:
...........................................12. En un romboide ABC0
se considera en BC un punto P luego AP y B0 se cortan en OP,
determine el area del cuadrilatrero PO0C si las areas de la
regionestriangulares BOP y AOD son 4 m2 y 9 m2Rpta.:
...........................................13. En el trapecio
mostrado E y F son puntos medios Calcule Sx y Sy Calcule el area de
la regin BMCB CA M DRpta.:
...........................................18. Segn la figura ABC0
es un trapecio, si el area de la regin sombreada es 30 u2 Calcule
el area de la regin ABL, si ademas: AN = 3N0 y L N // C D.B C LA N
DRpta.: ........................................... Rpta.:
...........................................Compendio de Ciencias
IVEAritmtica6 46 4GeometraCompendio de Ciencias VIE19. En el
siguiente grafico ABC0 es un cuadrado cuya area es 16 cm2 y CQ = 2
cm Calcule AC siendo 0 y E punto de tangencia 20. En el grafico
ABC0 es un paralelogramo AP = QC Calcule Sx en funcin de S1 y S2B Q
CB CQA D PE A P DRpta.:
...........................................Rpta.:
...........................................1. Se tiene un trapecio
ABC0; M punto medio de A C,SBC0 SBA0 = 20 Calcule SMB0Rpta.:
...........................................2. Las diagonales de un
paralelogramo miden 8 y 10 adem as de ellas lo dividen en do s
triangulos rectangulos Calcule el area de la regin limitada por el
paralelogramoRpta.: ...........................................3.
Calcule el area del romboide ABC0, si SBMC = 9 ySPM0 = 4 4. En la
figura BC0E es un paralelogramo; SABO = 4 ySCOE0 = 10 Calcule el
area de la regin ABC0B C OA E DRpta.:
...........................................5. En la figuara ABC0:
Trapecio, si MH = 6 y C0 = 80etermine SABC0B CB C HMMA P D A
DRpta.: ........................................... Rpta.:
...........................................AritmticaCompendio de
Ciencias IVE6 56 5Compendio de Ciencias IVEAritmticaCompendio de
Ciencias VIGeometraEOBJETIVOS Conocer las reas de las diferentes
regiones ubicadas en el crculo Aplicar las propiedades principales
de las regiones triangulares y cuadrangulares en el clculo de las
regiones circulares.INTRODUCCINAlgunas figuras geomtricas sirven
para ilustrar de un modo sencillo relaciones aritmticas muy
complejas que exigen ser demostradas por el mtodo de induccin A
continuacin te presentaremos dos de estos ejemplos; haz jugar la
vista contandocuadrados como convenga a cada expresin algebraica y
justifica que son ciertas para cualquier valor de n n+ 1 nn n1+ 2+
3+ ...+ n= n(n+ 1)2 1+ 3+ 5+ 7+ ...+ (2n1)= n2UN PROBLEMA CLSICO:
EL REA DEL CRCULOTres problemas muy especiales contribuyeron en
gran medida al desarrollo de la matematica en el periodo helnico la
duplicacin del cubo, la triseccin del ngulo y la cuadratura del
crculo. El problema de la duplicacin del cubo o problema de Delos,
de origen griego, consiste en determinar el lado de un cubo de
volumen doble del otro cubo de lado dado El problema de la
triseccin del ngulo, es decir, dividir un angulo cualquiera en tres
partes iguales, llam seguramente la atencin por la gran
discrepancia entre la sencillez de sus trminos y la imposibilidad
de resolverlo con los medios elementales de la geometra, regla y
compas, imposibilidad tanto mas llamativa cuanto que con esos
medios poda dividirse un angulo cualquiera en 2; 4; 8; partes
iguales, y tambin podan trisecarse algunos angulos muy particulares
como el recto, el llano, etc En cuanto al problema de la cuadratura
del crculo, nacido seguramente de la necesidad practica de calcular
el area de un crculo, consiste geomtricamente en determinar con
regla y compas el lado de un cuadrado equivalente a un crculo de
radio dadoUna primera caracterstica comn de estos tres problemas es
que no encajaban dentro de la geometra de polgonos ypoliedros, de
segmentos, crculos y cuerpos redondos, y que su solucin slo poda
obtenerse utilizando otras figuras o medios que iban mas alla de
las construcciones fundadas en las intersecciones de rectas y
circunferencias, o como posteriormente se denominaron,
construcciones exclusivamente con regla y compas En segundo lugar,
y esto ha de haber llamado la atencin a los gemetras griegos,
algunos de los mtodos que resolvan uno de esos problemas a veces
resolvan tambin otro de ellos,hecho que revelaba alguna relacin
entre dichos problemas, relacin que, sin embargo, permaneci siempre
oculta para ellos6 66 6GeometraCompendio de Ciencias VIE0e la
investigacin de estos problemas se ocuparon numerosos pensadores
griegos del periodo helnico, el mas antiguo de los cuales es el
filsofo Anaxagoras (499-428 aJC), quien, segn Plutarco, se habra
ocupado de la cuadratura del crculo mientras estaba en Atenas
encarcelado bajo la acusacin de impiedad0atos mas concretos se
tienen de Hipcrates de Quos, tambin del siglo V aJC, que puede
considerarse como el primer matematico profesional: Se cuenta que
era un comerciante que, asaltado y saqueado por piratas, vino a
pedir justicia a Atenas, donde frecuent a los filsofos y se
convirti en habil gemetra Y en efecto, las contribuciones
geomtricas que se la atribuyen son importantes, destacandose entre
ellas las investigaciones relacionadas con el problema de la
duplicacin del cubo, que l convierte en un problema de geometra
plana, y con el problema de la cuadratura del crculo, con el cual
estan vinculadas sus clebres lnulas cuadrablesEl problema de la
cuadratura del crculo, encarado por Hipcrates de Quos a travs de la
bsqueda de figuras circulares cuadrables fue, enfocado por algunos
sofistas contemporaneos desde otro punto de vista, que infructuoso
entonces, result frtil mas adelante As se atribuye al sofista
Antifn el raciocinio siguiente: si se inscribe en un crculo un
cuadrado y despus, bisecando los arcos respectivos, se inscribe un
octgono y as sucesivamente, se llegara a un polgono cuyos lados
seran tan pequeos que el polgono podra confundirse con el crculo
Este raciocinio tiene el mrito de haber introducido en la
consideracin del problema de polgonos inscritos que mas tarde, en
manos de Arqumedes, proporcion uno de los primeros resultados
positivosOtro sofista, Brisn, compaero del anterior, agreg la
consideracin de los polgonos circunscritos afirmando, con razn, que
el area del crculo esta comprendida entre los polgonos inscritos y
circunscritosAl margen de las construcciones con reglas y compas,
la invencin de curvas especiales para resolver los tres problemas
clasicos, sealan un proceso importante en la evolucin del
pensamiento griego Abandonando la norma platnica, que solo
consideraba perfectas la circunferencia y la esfera, figuras con
las que pretenda explicar el universo, pretensin que perdur veinte
siglos an a travs de Coprnico hasta la innovacin kepleriana, los
nuevos gemetras griegos engendran curvas con definiciones
convencionales, y hasta utilizan movimientos, dando ingerencia a la
cinematica; doble imperfeccin de la geometra que habra horrorizado
a PlatnUno de los primeros innovadores fue el sofista Hipias de
Elis, de finales del siglo V aJC, a quien se debe una curva que le
permiti resolver el problema de la triseccin del angulo y que mas
tarde se denomin cuadratriz, pues por obra de un matematico del
siglo siguiente, 0inostrato, se demostr que con esa curva poda
rectificarse la circunferencia o, lo que es lo mismo, resolver el
problema equivalente de la cuadratura del crculo(J BABINI J REY
PASTOR Historia da la Matematica / Ed Gedisa)REA DE REGIONES
CIRCULARESREA DE UN CRCULOEl area de un crculo es igual a
multiplicado por el cuadrado del radio REA DE UN SECTOR CIRCULAREs
aquella porcin de crculo limitados por un angulo central y su arco
correspondienteAritmticaCompendio de Ciencias IVE2S rr : ra dio d
el crculo AO r 2S 360B : Medida del ngulo central6 76 7Compendio de
Ciencias VIEGeometraREA DE UNA CORONA CIRCULAR PROPIEDADES1. En
todo triangulo rectangulo se cumple que la suma de las areas de las
figuras semejantes construidas sobre los catetos es igual al area
de la figura semejante construida sobre la hipotenusaBA CC o ro naA
(R2 r 2 )Co ronaA (A T)2 S S1 S 2T: Punto de tangenciaREA DE UN
TRAPECIO CIRCULAR. 2. Lnulas de Hipocrates.Si en un triangulo
rectangulo sobre sus lados se construyen exteriormente
semicircunferencia se cumple que la suma de las areas de las lnulas
formadas esigual al area del triangulo rectanguloBA Cx S1 S2AT ra
pe cioC ircula r (R2 r2 ) 360 3. Si en un triangulo rectangulo
tomando como diametro sus lados se construyen circulos, se
cumple:REA DE UN SEGMENTO CIRCULARR R X A B CR 4. Si en un
triangulo rectangulo se construyen semicrculos sobre sus lados, se
cumple:B2 se n ASe gm ento R 360 2 Circula r A CS A B C X
YCompendio de Ciencias IVEAritmtica6 86 8GeometraCompendio de
Ciencias VIEProblema Desarrollado0emostrarSABC = S1 + S2 Problema
por Desarrollar0emostrar:B SABC = S3 S4BA CA
CResolucinBResolucin:XA CABC: AB2 + BC2 = AC2(A B)2S1 S3 S 2 S42 82
(B C)8 ()2 2 (A C) S S X 8 3 42S1 S 2 (A C) (A B B C ) X6
9AritmticaCompendio de Ciencias IVE88 A C 2Por lo tanto: X = S1 +
S2Entonces: SABC = S1 + S2 Lqqd6 9Compendio de Ciencias
VIEGeometra1. E n la f igu r a la m B C 60 y el rad io de la 5. En
el grafico, calcule el area de la regin sombreadacircunferencia de
centro O mide 6 m calcule el area de la regin sombreada Si O1 y O2
son centros2CA B ORpta.:
...........................................Rpta.:
........................................... 6. En el grafico;
calcular el area del sector circular2. En una circunferencia de
radio 3 m se traza unaAcuerda 3 m 0etermine el area del segmento
circular 10determinadoRpta.:
........................................... 36 O10B3. En la figura
O y O' son los centros; y R Calcule el area de la regin sombreada 3
m. Rpta.: ...........................................7. En el
grafico; calcule el area de la corona circularAB = 4 Si O es
centroO OR RARORpta.:
...........................................rB4. En la figura se
muestra un hexagono de lado 4 mC alcu le el area de la regin s om
breada si lacircunferencia es tangente a los arcos y los arcos
tienen por centros los vrtices del exagono Rpta.:
...........................................8. En el grafico:
Calcule el area del segmento circular sombreado Si O A y O B son
radiosA660O 6 BRpta.: ...........................................
Rpta.: ...........................................Compendio de
Ciencias IVEAritmtica7 07 0GeometraCompendio de Ciencias VIE9.En el
grafico; calcule el area de la regin sombreada Si O yQ son centros
OB = 4 14. En el grafico: Calcule el area de la regin sombreada Si
BC = 4, O es centro y ABC0 es un cuadradoB COO Q BRpta.:
...........................................A D10.En el grafico;
calcule el area de la regin sombreadaA2 Rpta.:
...........................................15. En el grafico: el
area del circulo es 16 Calcule el area de la regin cuadrada R :
radioB CRO 2 B2RRpta.:
...........................................R11.En el grafico:
Calcule el area del sector circular AOB SiOA = 6, O es centroA A R
R OO 60B Rpta.: ...........................................16. En
el grafico: Calcule el area de la regin sombreada Si OA = OB = 4 Si
O y P son centrosARpta.:
...........................................12.En el grafico;
calcule el area de la regin sombreada P y Oson centrosO P B5A P O B
Rpta.: ...........................................17. En el
grafico: 0etermine el area de la regin sombreada Si AB = 6 O es
centroRpta.: ...........................................B13.En el
grafico: Calcule R; si O es centro y el area de la reginsombreada
es 104 37A CR ORpta.: ...........................................
Rpta.: ...........................................18. Calcule el
area de un crculo inscrito a un triangulo rectangulo cuyos catetos
miden 8 y 15Rpta.:
...........................................AritmticaCompendio de
Ciencias IVE7 17 1Compendio de Ciencias VIEGeometra19. En la
figura: Calcule el area de la regin sombreada Si: AB = 12, BC = 16
O es centroB 21. En el grafico: ABC0 es un cuadrado A B 2 2.Calcule
el area de la regin sombreada Si: O1 y O2son centrosB COM NO1A
CRpta.: ...........................................20. En el
grafico: Calcule el area de una corona circular Si: AB = 4, OA = R,
OP = r Ademas P es punto de tangencia A O2 DRpta.:
...........................................Compendio de Ciencias
IVEAritmticaAO PBRpta.:
...........................................7 27 2GeometraCompendio
de Ciencias VIE1. En el grafico; calcule el area del semicrculo, A
B esdiametro 4. En el grafico, calcule el area de la regin
sombreadaA B es diametroM P6A O BRpta.:
...........................................2. En el grafico;
calcule el area de la regin sombreada Si O es centro A 45 B2
2Rpta.: ...........................................5. En el
grafico; calcule el area del crculo insritoA4 O 4Rpta.:
...........................................3. En el grafico; AB =
BC = 8 Calcule el area de la regin sombreada Si O es centro RO
60RBAritmticaCompendio de Ciencias IVERpta.:
...........................................AB O CRpta.:
...........................................7 37 3Compendio de
Ciencias IVEAritmticaCompendio de Ciencias VIGeometraEPRISMATe
habras percatado que en general los edificios seconstruyen
verticalmente y con caractersticas comunes que sugieren la idea de
prismas En la figura adjunta se muestra un prisma de base
pentagonalLos prismas son poliedros cuyas caras basicas, paralelas
entre s, son dos polgonos iguales, siendo sus caras laterales
paralelogramosSi las aristas laterales del prisma son
perpendiculares a la base, se dice que el prisma es recto; en caso
contrario, el prisma es oblicuoLos prismas rectos se llaman
regulares si sus bases son polgonos regularesSegn sean los polgonos
de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares,
pentagonales,hexagonales, etc Tambin aparece en una carta de
Eratstenes al rey Ptolomeo, cuando dice: Cuntase que uno de los
antiguos poetas tragicos haca aparecer en escena a Minos en el
momento en que se construa la tumba de Glauco, y al observar que
slo meda cien pies por cada lado, dijo: Es un espacio muy pequeo
para sepulcro de un rey; duplicadlo conservando su forma cbica,
duplicadlo cada lado y sigue Eratstenes es evidente que se
equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana, se
cuadruplica, mientras que una slida se octuplica; y entonces, se
propuso a los gemetras la cuestin de duplicar una figura slida dada
conservando su forma, y ese problema se llam duplicacin del
cuboArista la teralArista b sica Argum ento de Eratstenes sobre
duplicacin de m edidas.Volumen de los paraleleppedosComo ya se
coment, uno de los problemas clasicos que preocup a los griegos fue
el de la duplicacin del cubo, es decir, encontrar el lado de un
cubo cuyo volumen sea el doble que el volumen de otro cubo dadoEste
fue llamado el problema de 0elos La historia cuenta que los
atenienses apelaron al oraculo de 0elos para saber cmo detener la
peste que asolaba la ciudad en el 430 aJC Se dice que el oraculo
respondi que deban doblar el tamao del altar de Apolo Siendo este
altar un cubo, el problemaera el de su duplicacin Una vez mas
conviene sealar que ste es uno de los tresproblemas clasicos que no
pueden resolverse mediante regla y compas, por lo que los
matematicos griegos tuvieron que investigar otros mtodos de
resolucin Hipcrates de Quos, con el estudio de medias
proporcionales; Arquitas de Tarento mediante superficies de
revolucin; Menecmo, concibiendo el problema a travs de las cnicas y
0iocles, mediante el diseo de una curva, la cisoide, resuelven el
problema a la vez que permiten dar un gran avance a la geometra y
engeneral a las matematicas7 47 4GeometraCompendio de Ciencias
VIEPRISMA 3. Arista Pe rmetro Es aquel slido geomtrico que se
encuentra limitado 1. SLateral la te ra l d e la Ba se 2.superior e
inferiormente por dos regiones poligonales paralelas y congruentes
y lateralmente se encuentra limitado por regiones paralelogramicas
S S 2 STo ta l Lateral Ba seSeccinRectaCaraLateral Arista Lateral
BaseAltura Volumen S AlturaBa sea hBaseSECCIN RECTA (S.R)Es la
seccin determinada en el prisma por un plano perpendicular y
secante a todas sus aristas lateralesA un prisma se le nombra
teniendo en cuenta el Prisma RegularEs un prisma recto, cuyas bases
son polgonos regulares Prisma OblcuoEs aquel prisma cuyas aristas
laterales son oblicuas a las bases, sus caras laterales son
paralelogramosSeccin Recta del prisma (SR)Es la seccin del prisma
con un plano perpendicular a las aristas lateralesnmero de lados de
su base Arista Pe rm etro de la 1. SLa te ra l Lareral Se cci n Re
cta Se le llama prisma triangular si su base tiene 3lados, se le
llama prisma cuadrangular si su base tiene 4 lados y as
sucesivamente 2. S Tota l= S La teral + 2SBaseCLASIFICACIN Prisma
Recto:Es aquel prisma que tiene sus aristas laterales Volumen = SBa
se (Altura) Arista perpendiculares a las bases; sus caras laterales
sonrectangulares Vo lu men S(se cci n re cta ) La te ra l
3.SeccinRecta BaseAritmticaCompendio de Ciencias IVEAristaLaterala
h Arista la teral aBase h= altura7 57 5Compendio de Ciencias
VIEGeometraPARALELEPPEDOSSon prismas cuyas caras son
paralelogramosDiagonal de un Paraleleppedo:Es el segmento de recta
que une dos vrtices no coplanares; todo Paraleleppedo tiene cuatro
diagonales quese intersectan en su punto medio Tronco de un prisma
triangular rectoEs el slido que se determina al cortar a un prisma
recto con un plano no paralelo a su baseCLASIFICACINa Paraleleppedo
Rectangular, cOctoedro y Rectoedro:Es un paralelepipedo cuyas caras
son rectangulosD 1. La tra la Suma de las reasde las ca ras la tera
lescb 2. S Tota l = SLa te ra l + S + S11D2 a2 b 2 c2 V S (a b c)3.
32STo ta l 2ab 2bc 2ac3Volumen abcCompendio de Ciencias
IVEAritmticaCILNDROSuperficie CilndricaSe llama superficie
cilndrica a aquella superficie generada por una recta que,
apoyandose sobre una curva, se mueve paralelamente a una direccin
dadaLas rectas que forman la superficie cilndrica se llaman
generatrices y la curva por cuyos puntos pasan se llama directriz
Si la directriz es una circunferencia, resulta una superficie
cilndrica circular7 67 6GeometraCompendio de Ciencias VIESuperficie
de RevolucinSe llama superficie de revolucin a aquella superficie
generada por una lnea cualquiera llamada generatrz al girar
alrededor de una recta fija llamada eje, a la cual esta
invariablemente unidaXgCircunferencia Superficie Cilndrica de
RevolucinSe llama superficie cilndrica de revolucin a la superficie
de revolucin cuya generatriz es una recta paralela al ejeXY : ejeg:
gen e ra trizO Q : ra d ioR: lo ngitud d el ra d io d e la circu
nfere n ciaxgQQYXY : ejeg : generatrizyCILNDROLa regin del espacio
situada en el interior de una X Xsuperficie cilndrica ilimitada se
llama cilindro indefinido o espacio cilndricoLa porcin del cilindro
indefinido comprendido entre dosplanos paralelos que intersectan
todas las generatrices se g g hllama cilindro finito Las secciones
de cilindro indefinido quecortan dichos planos se llaman bases del
cilindro finito y su distancia alturaRY Y rea de la Superficie
Lateral de un CilindroEl area lateral de un cilindro circular recto
es igual al producto de la longitud de la circunferencia de su
basepor su alturaCilindro recto Cilindro oblicuoSi los planos son
perpendiculares a las generatrices el cilindro es recto; en caso
contrario, es oblicuo En ambos casos las bases son congruentes
Cilindro de RevolucinSe genera al girar una regin rectangular, una
vuelta, alrededor de un eje que contiene a un lado Las bases son
crculos y la altura mide igual que la generatriz Estambin llamado
cilindro circular recto AL 2 R h rea de la Superficie Total de un
CilindroAT 2 R (h R) h : Longitud de su altura R : Longitud del
radio de la baseAritmticaCompendio de Ciencias IVE7 77 7Compendio
de Ciencias VIEGeometraEn cilindros semejantes se cumple:
Desarrollo de la superficie total de un cilindroH hh AT AL H 2 R2t
lAAh2 r 2 2R RectngulohyVolumen del Cilindro RectoEl volmen de un
cilindro circular recto es igual al producto del area de su base
por la longitud de su alturaV R2 hProblema Desarrollado:0emostrar
que: 0 = a2+ b2 + c2 Problema por DesarrollarEn un cilindro recto
el area de la siguiente superficie total es:AST = 2r(g +
r)cdbagResolucin:F GrE cd HB a CbbA a D Resolucin:BAD: b2 + a2FBD:
c2 + (BD)2 = (BD)2= d2 (+ )a2 + b2 + c2 = d2Por lo tanto: d a 2 b 2
c 2Compendio de Ciencias IVEAritmtica7 87 8GeometraCompendio de
Ciencias VIE1. Cuantas caras tiene un prisma de 300 aristas?Rpta.:
...........................................2. 0etermine el volumen
de un prisma triangular regular cuya altura mide 4 m Si el
desarrollo de la superficie prismatica en un rectangulo cuya
diagonal mide 5 mRpta.:
...........................................3. El area total de un
paraleleppedo rectangulo es478 m2; sus aristas estan en progrsin
aritmtica siendo la suma de ellos 27 m Calcule el volumenRpta.:
...........................................4. Cual es el volumen de
un prisma regular hexagonal de 14 3 m de altura si el apotema de su
base mide7 3 m.Rpta.: ...........................................5.
La altura de un prisma recto mide 6 m, la base es un rectangulo en
el cual uno de sus lados es doble delongitud Si el area total es de
144 m2 Calcule lalongitud de una de las diagonales del
apotemaRpta.: ...........................................6. En la
figura se tiene un cilindro recto; en el plano ABC0 es paralelo a
su eje Y tiene un area de 72 m2 si la distancia del plano al eje es
de 2 m y m B C 1 20; determine el volumen del cilindroCRpta.:
........................................... 7. El desarrollo de la
superficie lateral de un cilindro rectoes un cuadrado cuya diagonal
mide 8 2 . 0etermine el volumenRpta.:
...........................................8. Cuantos metros cbicos
de tierra habra que cavar para construir un tnel de seccin
semicircular, si la maxima altura del tnel es 3 m y su largo es una
cuadra( = 3,14)Rpta.: ...........................................9.
Un cilindro recto se ubica verticalmente en una habitacin, si las
areas de sus proyecciones sobre el techo y sobre una pared son 25
m2 y 80 m2 respectivamenteRpta.:
...........................................10. El area lateral de
un prisma triangular regular es A0etermine el area del cilindro
recto circunscrito al prisma en funcin de ARpta.:
...........................................11. En una vasija cuya
forma es la de un paraleleppedo rectangular de 300 cm de largo, 25
cm de ancho y 22 metros de alto se vierten 6 litros de agua A qu
distancia del borde llega el agua?Rpta.:
...........................................12. El desarrollo de la
superficie lateral de un prisma es un rectangulo cuya diagonal mide
15 metros si la altura es 12 m, determine el area lateralRpta.:
...........................................13. Calcule el volumen
del prisma triangular regular cuya arista basica mide 2 m si su
arista lateral es el doble del diaemtro de la circunferencia
inscrita en la baseRpta.:
...........................................AritmticaCompendio de
Ciencias IVE7 97 9Compendio de Ciencias VIEGeometra14. El radio de
la base de un recipiente cilndrico 4 cm en l se introduce un cuerpo
que hace subir en el nivel de agua que contiene en 4 cm, si su
arista lateral es el doble del diametro de la circunferencia
inscrita en la baseRpta.:
...........................................15. Un recipiente
cilndrico de altura 10 cm y radio basico6 cm esta lleno de agua Se
vierte este contenido en otro recipiente de altura de 5 cm y radio
basico 12 cmA qu distancia del borde superior llega el nuivel
deagua? 18. Las dimensiones de una habitacin 3 m de alto por8 m de
ancho Si esta habitacin se desea pintar por dentro y por fuera sin
considerar el piso Cuantos metros cuadrados de superficie se
pintaron?Rpta.: ...........................................19. Un
rectangulo ABC0 gira en torno al lado A B un angulo de 90 0etermine
el volumen del slido engendrado Si AB = 4 m y BC = 2 mRpta.:
...........................................Rpta.:
...........................................16. 0etermine el volumen
de un cilindro de revolucin, si el area total es de 280 m2 y la
relacin del radio a la altura es de 2 a 5?Rpta.:
...........................................17. Calcule el area de
un prisma cuadrangular regular, si su arista basica mide 2 m, a su
arista lateral es el doble del diametro de la circunferencia
inscrita en la baseRpta.:
........................................... 20. La arista del
tetraedro regular mide 6 m si una superficie cilndrica pasa por una
de sus aristas y por todos sus vrtices, calcule el radio de la base
del cilindroRpta.: ...........................................1. Si
las dimensiones de un rectoedro son 2 u; 3 u y 5 uCalcule su
volumen 4. Si el diametro de la base de un cilindro recto mide18 u
y su altura 3 u Calcule su volumenA) 40 u3B)30 u3C ) 45 u3A) 222
u3B) 220 u3C ) 242 u30) 15 u3E)30 2 u 30) 242 u3E) 250 u32. Calcule
el volumen de un prisma cuadrangular regularsi el permetro de la
base es 12 u y su altura 5 uA) 40 u3 B) 160 u3 C ) 9 u30) 60u3 E)
35 u33. Calcule el volumen de un prisma triangular regular si los
lados de la base miden 5 u; 8u y 5 u; Ademas la altura mide 10 uA)
180 u3 B) 160 u3 C ) 90 u30) 150 u3 E) 120 u3 5. Calcule el volumen
del cilindro recto; si O A 2 8 u.A) 61 u3B) 60 u3C ) 62 u30) 64
u3E) 50 u3Compendio de Ciencias IVEAritmtica8 08 0
