PIRMIDEEsta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que ah sirvieron de tumba a sus faraones. La ms grande de stas es la de Keops, que data del 2600 a.J.C. aproximadamente, y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y 146 m de altura. Est formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesa Ca ra latera lh Arista latera l haproximadamente 20 toneladas.La pirmide es un poliedro limitado por un ngulo poliedro y un plano que CLASIFICACINI. Una pirmide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., segn sus bases, sean tringulos, cuadrilteros,corta todas sus aristas en p un to s di s t in to s de l vrtice.L a a lt ura de l a pirmide es la distancia del vrtice al plano de la base.Criterios anlogos a los utilizados en prismas AlturaCa ra la te ral V rticeBa se pentgonos, etc.II. Pirmide Regular:Es aquella pirmide cuya base es un polgono regular, sus caras laterales son tringulos issceles iguales. La altura de una pirmide regular cae en el centro de gravedad de la base.APOTEMA DE UNA PIRMIDE REGULAR:Es el segmento perpendicular trazado desde el vrticepermiten tambin clasificar las pirmides en: Pirmides rectas y oblicuas Pirmides regulares e irregulares Pirmides de bas e triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.En una pirmide regular. Apotema es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Es de notar que el apotema de la pirmide forma, junto con el apotema de la base y la altura de la pirmide, un tringulo rectngulo.Ap o tema de la pirmide a una arista bsica.1. SLATERAL= Semipermetro de la base a po tema2. STOTAL = SLATERAL + SBASEBASE3. Volumen= 1 S h3Sh ApD CL2O MLA B 2Ap 2 h 2 a p 2Apo tema d e la baseEs el slido geomtrico que tiene como base un polgono cualquiera y como caras laterales tringulos escalenos que tienen un vrtice comn, que viene a ser el vrtice de la pirmide. Ap Apotema de la pirmidea p Apotema de la ba seIII. Pirmide IrregularEs aquella que no cumple con las condiciones de la pirmide regular, puede ser: acutngulo u obtusngulo.GeometraCompendio de Ciencias VIIE5 9Compendio de Ciencias VIIEGeometraTeoremaSi se corta una pirmide cualquiera por un plano paralelo a la base, se obtiene una pirmide parcial semejante a la pirmide total. Apotema del Tronco de Pirmide RegularEs el segmento que une los puntos medios de las bases de una cara lateral.OMN F H S2h ApC S1ABPirmide O - MNF Pirmide O - ABC S LATERAL Suma d e semipe rme tro sApo te ma de l tro ncoLuego se cumple:OM N OF OBOChOAH1. 1. d e la s ba se s2. S= S+ S + S de la pir mid e .TOTALLATERAL13. V h S+ S + S S SMNF2OM OA2 2hS ABCH 22.V3 3 O MNF = OM = LL h 3 En la figura: 11 OAH3. V33O ABC S1: rea de la base superior del tronco de pirmideS2: rea de la base inferior del tronco de pirmideAp: Apotema del tronco de pirmideTRONCO DE PIRMIDE REGULAREs el slido que se determina al cortar a una pirmide regular con un plano paralelo a su base. Su sca ra s laterales son trapecios issceles iguales.FIGURAS DE REVOLUCINQU ENTENDEMOS POR FIGURAS DE REVOLUCIN?En el tema anterior hemos estudiado los poliedros, sin embargo existen figuras geomtricas que no pertenecen a tal familia. Efectivamente, si pensamos en un bote, en un embudo, una pelota o un huevo, estos representan figuras no polidricas, ya que carecen de caras poligonales. Tales figuras pertenecen a una nueva familia: la de los cuerpos de revolucin.Son figuras de revolucin las que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.A A ABEje BEje BEjeEl cilindro como rotacinde un rect ngulo alrede dor de un lado. El cono como rota cinde un tringulo rectngulo alrede dor de un ca te to. La esfera como rota cinde un semicrculoalre dedor de su dimetro.6 0GeometraCompendio de Ciencias VIIELos segmentos AB que generan las respectivas superficies de cilindro y el cono reciben el nombre de generatriz,siendo en el caso del cilindro, equivalente a su altura.Las tres figuras anteriores muestran los tres slidos de revolucin ms conocidos: el cilindro, el cono y la esfera, sin embargo, no son las nicas, pues sabemos cmo los alfareros utilizan el torno para obtener bellas piezas que no son otra cosa que figuras de revolucin.EXPERIENCIA: Generando figuras de revolucinRecorta piezas de cartn con formas de rectngulo, tringulo issceles y crculo, pasando despus a perforarlas oportunamente como muestran las figuras.Utiliza hilo elstico a fin de crear un eje de giro en cada una de ellas y observars que al tomar los extremos y girar stos con gran rapidez, producirs con dichas piezas el efecto ptico propio de las figuras de revolucin. Identifica cada una de ellas.CONO RECTO O DE REVOLUCINEs el slido generado por la rotacin de un tringulo rectngulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos, tomado como eje. El cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la base y la hipotenusa es la generatriz del cono.DESARROLLO DE SU SUPERFICIEg ghg SLATERALr SL = r gST = r (g + r) V = 1 r2 h3CONO OBLICUOEs el slido que se determina al cortar a un cono recto con un plano no paralelo a su base. Su base es un elipse.hELIPSE6 1Compendio de Ciencias VIIEGeometraTRONCO DE CONO RECTO O DE REVOLUCINEs el slido que se determina al cortar a un cono recto con un plano paralelo a su base. Se puede considerar como el slido generado por la rotacin de un trapecio rectngulo del lado perpendicular a las bases.1. SLATERAL = g (r + R)R+)r2. STOTAL = g (r + R) + ( 2 2ghh(+R rR 3. V = 3 2 2 + Rr)1. Cuntas caras laterales tiene una pirmide, si lasuma de todos los ngulos de sus caras es igual a24 ngulos rectos?Rpta.: ............................................................2. La arista de la base de una pirmide cuadrangular regular mide 12cm. El rea lateral es 240 cm 2 . El apotema de la pirmide mide.Rpta.: ............................................................3. En una pirmide regular hexagonal las aristas bsicas miden 2m y las aristas laterales miden 6m. Calcule el rea lateral.Rpta.: ............................................................4. En una pirmide triangular regular la altura mide15 cm y las aristas de la base miden 6 cm. Calcule el rea de la seccin paralela a la base, sabiendo que dista 5 cm del vrtice de la pirmide.Rpta.: ............................................................5. Las aristas laterales de una pirmide cuadrangular regular forman 60 con el plano de la base; si su altura mide 6 m , calcule el volumen.Rpta.: ............................................................ 7. La altura de un cono recto es igual al dimetro desu base, calcule el rea lateral en funcin de h, si su altura es h.Rpta.: ............................................................8. Calcule el rea de un cono equiltero de altura h, en funcin de h.Rpta.: ............................................................9. Un tringulo equiltero de altura h gira alrededor de su base. Cul es el volumen engendrado, en funcin de h?Rpta.: ............................................................10. Calcule el volumen de un cono cuya base es el crculo inscrito en una cara de un cubo y el vrtice est en el centro de la cara opuesta, sabiendo que la arista del cubo es a.Rpta.: ............................................................11. En un cono cuya altura mide 7 cm se traza una seccin paralela a la base que dista 3 cm del vrtice. Calcule la razn entre el rea de esta seccin con el rea de la base.Rpta.: ............................................................6. El volumen de un cono recto es 32 0 cm 3 . Si el 12. Con un sector circular de radio R y ngulo 120 seradio de la base mide 8 cm, calcule la longitud de lageneratriz.Rpta.: ............................................................ construye un cono recto. Calcule el radio de la base del cono en funcin de R.Rpta.: ............................................................6 2GeometraCompendio de Ciencias VIIE13. En un cono se ubica un punto en la generatriz y desde l se traza una perpendicular al radio y otra a la altura, si stas miden 4 cm y 6 cm respectivamente y el punto dista 10 cm del vrtice del cono, el producto del rea lateral y total es:Rpta.: ............................................................14. Los radios de dos esferas tangentes exteriormente miden 1 dm y 3 dm. El rea lateral del cono inscrito a ambas esferas es:Rpta.: ............................................................15. Se tiene un cono de revolucin cuyo volumen se desea calcular, sabiendo que en su interior se pueden inscribir dos esferas tangentes exteriores cuyos radios miden 1m y 3m.Rpta.: ............................................................16. Calcule el volumen de un cono equiltero inscrito en una esfera cuyo radio mide 2 m.Rpta.: ............................................................ 17. Calcular el rea total del cono generado por un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 12 y 16 cm, al girar alrededor del cateto mayor.Rpta.: ............................................................18. La base de una pirmide regular es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 2 cm de radio; si el apotema de la pirmide es de 18 cm, Cul es el rea total?Rpta.: ............................................................19. Los volmenes de dos conos cuyas bases son iguales, estn en la relacin de 5 a 7; si la altura del cono menor es de 14 cm, cul ser la altura del cono mayor?Rpta.: ............................................................20. A 18 cm del vrtice de un cono se traza un plano paralelo a la base del cono, cortando en una seccin circular de 81 cm 2 de rea. Hallar el volumen de dicho cono, si su altura es de 30 cm.Rpta.: ............................................................1. Calcular el rea total del cono, si VO=24 y 3. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de unVC=26. cubo de 24 cm 2 de rea total. Determinar elvolumen del cono.VRpta.: ............................................................A O CRpta.: ............................................................2. Calcular el volumen de una pirmide hexagonal regular, sabiendo que las aristas laterales miden el doble del lado de la base.El lado de la base es a.Rpta.: ............................................................ 4. La altura de una pirmide regular es de 12cm y labase es un tringulo equiltero de 6cm de lado.Cul es su rea total?Rpta.: ............................................................5. La arista lateral de una pirmide cuadrangular regular mide 25cm y el rea de la base es de400 cm 2 Cul es la altura de la pirmide?Rpta.: ............................................................6 3CAPTULOREA DE LASUPERFICIEESFRICAUn baln de ftbol ayuda a intuir un mtodo para calcular el rea de la superficie esfrica. En el caso del baln, basta sumar las reas de las caras de los polgonos que lo componen para conocer el rea de su superficie; por otra parte, cuanto mayor sea el nmero de caras del baln, ms se ajustar su superficie a la superficie de la esfera.El icosaedro truncado, m odelo del actualbaln de ftbol, consta de 12 pentgonos y 20 hexgonos y ocupa el 87,74% de la esfera. El rom bicosidodecaedro, nuevodiseo de baln que ocupa el94,32% de la esfera. Est form ado por 12 pentgonos, 30 cuadradosy 20 tringulos.No es difcil imaginar la esfera como caso lmite de un baln compuesto por finsimas pirmides con vrtice en elcentro de la esfera, y bases en las caras de la superficie del baln. El volumen de todas las pirmides tiende a coincidir con el volumen de la esfera, y la altura de cada pirmide con el radio de la esfera, por lo que:V= Suma de los vo lme ne s de tod a s la s pir mide s = 1 (SR), donde S es la supe rficie tota l de la s ba se se sfe ra 3y ta mbi n la de la e sfe ra .Como el volumen de las pirmides es igual al volumen de la esfera, tenemos: 1 S R 4 R33 3por lo que: S 4 R2Es curioso observar que el rea de la esfera equivale a cuatro veces el rea de uno de sus crculos mximos.SUPERFICIE ESFRICAEs la superficie generada por la rotacin de una semicircunferencia alrededor de su dimetro tomado como eje.Ejer Circunferencia menorRCircunferencia mximaR S= 4 R 2Compendio de Ciencias VIIEGeometra6 4GeometraCompendio de Ciencias VIIEPARTES DE LA SUPERFICIE ESFRICA1. Zona EsfricaEs la parte de la superficie de la esfera comprendida entre dos planos paralelos; cuando los dos planos son secantes se obtiene la zona de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene la zona de una base o casquete esfrico.a. Zona de dos bases 3. EsferaEs el slido generado por la rotacin de un semicrculo alrededor de su dimetro tomado como eje.R V 4 R33PARTES DE VOLMENES DE ESFERAR b 1. Sector Esfrico: Es el slido generado por un sector circular que gira alrededor de un eje coplanar quepasa por su vrtice sin cortarlo.S 2 R hb. Zona de una base o casquete esfrico Rh V 2 R 2 hR 3h2. Anillo Esfrico: Es el slido generado por la rotacin de un segmento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro del crculo al queR pertenece el segmento circular.A2. Huso Esfrico S 2Rh Rh V 1 AB2 hR 6BEs la parte de la superficie esfrica limitada por dos semicircunferencias mximas que tienen un mismo dimetro.R 3. Segmento esfrico: Es la parte del volumen de una esfera limitada por dos planos paralelos cuando los dos planos son secantes se obtiene un segmento esfrico de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene un segmento esfrico de una base.R HUSOR V 1 h 3 h r 2 r 2 SHUSO R2 / 90 62 126 5Compendio de Ciencias VIIEGeometra4. Cua esfrica: Es la parte de la esfera limitada porhdos semicrculos mximos que tienen un mismodimetro.RR2V 1 h3 r hR62cua 3 Vcu a R2 70TEOREMAS DE PAPPUSTEOREMAEl rea que genera un segmento de lnea cuando gira alrededor de una recta (eje) es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro degra veda d multiplicado por la longitud delsegmento de lnea. L G d Eje A: rea de la figura que va a girard: distancia del centro de gravedad (G) al eje de giroV: volumen obtenido por la rotacinTONELrRrea genera da 2d LG: Centro de gravedad de la figura (lnea)d: Distancia del centro de gravedad al eje de giroL: Permetro de la figura.Eje h 2R2 r 2 V 3TEOREMAEl volumen quegenera una superficie G d cuando giraalrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por elrea de la figura . TORO O ANILLO CIRCULARRrV 2 2 r2 RVolumen 2d A6 6GeometraCompendio de Ciencias VIIE1. HaIIar eI voIumen en cm 3 de un segmento esfricode una base, cuyo casquete tiene rea 40 m 2 y eIradio de Ia esfera mide 10 m.Rpta.: ............................................................2. En una esfera de radio R una zona esfrica de aItura R/4 es equivaIente a un huso. HaIIar eI nguIo correspondiente aI huso.Rpta.: ............................................................3. HaIIar eI rea de Ia superficie deI sIido que se genera aI girar Ia figura sombreada aIrededor deI ejediametraI C D , BC = 120 y r= 6C1200rO 6. Un trapecio issceIes con su nguIo agudo de 60gira aIrededor deI eje que pasa por uno de sus Iados no paraIeIos. HaIIar eI voIumen deI cuerpo de revoIucin, si Ias bases miden 6 y 20, adems Ios Iados no paraIeIos miden 14.Rpta.: ............................................................7. CaIcuIar eI voIumen deI segmento esfrico mostrado, si su aItura mide 1, mientras que A B 2 2 .Rpta.: ............................................................8. EI Iado de un rombo mide a una esfera de radio R es tangente a todos Ios Iados deI rombo, Ia distancia deI centro de Ia esfera aI pIano deI rombo de Ia esfera aI pIano deI rombo es b. HaIIar eI rea deI rombo.Rpta.: ............................................................B9. Se tienen 2 esferas concntricas, se traza un pIanoDsecante a Ia esfera mayor y tangente a Ia esfera menor,Rpta.: ............................................................4. En Ia figura: m A B 30 0 y m B C 90 0HaIIar eI rea de Ia superficie que genera eI permetro de Ia regin sombreada, aI girar una vueIta aIrededor deI dimetro C D . Radio de Ia esfera R.C determinando un crcuIo de 1 6 m 2. CaIcuIar eI rea deI casquete menor formado en Ia esfera mayor, sabiendo que eI radio de Ia esfera menor es 3m.Rpta.: ............................................................10. CaIcuIar eI rea de una esfera sabiendo que Ias reas de Ios crcuIos menores paraIeIos distantes 3m y situados a un mismo Iado aI centro tienen reas m 2900B O300H ARpta.: ............................................................5. En un cono equiItero de generatriz L, haIIar eI rea deI casquete menor determinado en Ia esfera inscrita, por Ia superficie IateraI.Rpta.: ............................................................ y 1 6 m 2 .Rpta.: ............................................................11. Un pIano R que pasa por una recta tangente en A aI crcuIo mximo de una semiesfera, forma 15 con eI pIano P que contiene dicho crcuIo. CaIcuIar Ia reIacin entre Ias reas deI casquete y Ia zona esfrica determina en Ia semiesfera por un pIano Q que pasa paraIeIo aI pIano R por eI extremo B deI dimetro AB en eI crcuIo determinado por eI pIano R en Ia semiesfera.Rpta.: ............................................................6 7Compendio de Ciencias VIIEGeometra12. EI Iado de un cuadrado ABCD, mide 10. HaIIar eI voIumen deI sIido engendrado aI girar eI cuadrado, una vueIta aIrededor de un eje copIanar que pasa por eI punto D haciendo un nguIo de 8 conC D exteriormente aI cuadriItero.Rpta.: ............................................................13. HaIIar eI voIumen deI sIido engendrado aI girar eIexgono reguIar ABCDEF, 360 aIrededor deI eje C D .B CxA DF a E 17. Se tiene una zona esfrica equivaIente a un huso esfrico (en Ia misma esfera de radio R). CaIcuIar eI nguIo deI huso esfrico si Ia aItura de Ia zona es R/3.Rpta.: ............................................................18. La aItura y eI radio de Ia base de un cono circuIar recto tienen Ia misma Iongitud que eI radio de una esfera de 1 m 3 de voIumen. HaIIar eI voIumen deI cono.Rpta.: ............................................................19. En eI grfico, caIcuIe eI voIumen deI sIido generado por Ia regin AMN aI girar una vueIta aIrededor deA D si BM = 2 , MC 3 , siendo O eI centro deIcuadrado ABCD.Rpta.: ............................................................14. HaIIar Ia reIacin de voIumen de Ios sIidos generados aI girar Ias regiones MBN y AMNCaIrededor deI eje MN si AM = MB y BN = NC. B M CoNA DBN Rpta.: ............................................................M20. DeI grfico, caIcuIe eI voIumen de Ia cua esfricaA C cuyo huso esfrico correspondiente est sombreado,Rpta.: ............................................................15. Usando eI teorema de Pappus-GuIdin deducir Ia posicin deI centro de gravedad de:A) Una cemicircunferencia. B) Un semicrcuIo.C) Un cuarto de circunferencia.D) Un cuarto de crcuIo.16. Un c uadrante de crcuIos AOB, de radioOA=OB=6, gira 9 aIrededor de OA . HaIIar eI rea de Ia porcin de superficie generada.Rpta.: ............................................................ de taI forma que eI rea de Ia regin trianguIar ABCsea mxima (O: centro).AO RB CRpta.: ............................................................6 8GeometraCompendio de Ciencias VIIE1. A qu distancia deI centro de una esfera de radio R, debe trazarse un pIano secante para que Ias reas de Ios casquetes determinados estn en reIacin de 1 a 3?Rpta.: ............................................................2.Cunto debe medir Ia aItura de un casquete esfrico para que una esfera de 4m de radio, su rea sea Ia quinta parte deI rea de Ia esfera?Rpta.: ............................................................3.Un tringuIo issceIes de base 4 y aItura respectiva 2, gira 360 aIrededor de una perpendicuIar a Ia base, trazada por uno de sus extremos. HaIIar eI voIumen generado.Rpta.: ............................................................ 4.EI rea de Ia esfera inscrita en un cubo es 18cm2.CaIcuIar eI rea de Ia esfera circunscrita aI cubo. Rpta.: ............................................................5. CaIcuIar Ia reIacin de voImenes de Ias esferas inscrita y circunscrita a un tetraedro reguIar.Rpta.: ............................................................6 9PLANO CARTESIANO:El producto 2 es el conjunto de todos los pares ordenados del plano que est determinado por 2rectas numricas reales perpendiculares, siendo estashorizontal y vertical respectivamente. Dichas rectas son los ejes de coordenadas rectangulares o Plano cartesiano y a la interseccin de los ejes de denomina origen de coordenadas. * Tomando en sentido antihorario, se enumeran loscuadrantes en: IC; IIC ; IIIC y IV C.* Al plano cartesiano se le denominan tambin, sistema de coordenadas, sistema de coordenadas rectangulares o sistema x - y.* El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se denomina plano numrico y se denota por 2 , asi:2 ^ (x , y) / x , y + Eje Y YII CI Cx ( - )x (+ )Eje Xy (+ )y (+ )123+ XIII CIV Cx ( - )x (+ )y ( - )y ( - )21-- 3 - 2 - 1 (0,0)12-Se le denomina asi:* Eje X, horizontal llamado Eje de las abscisas oEje de las X.* Eje y vertical llamado Eje de las ordenadas o Eje de las Y* Al conjunto de los ejes, se les llama; Eje coordenadas.* Al punto de interseccin de los ejes, se le llamaOrigen de coordenadas* En el eje X, se considera positivo el sentido de la derecha del origen.* En el eje Y, se considera positivo el sentido hacia arriba del origen.Nota:* Los ejes de coordenadas determinan en el plano cartesiano cuatro regiones, las cuales se denominan cuadrantes. EL PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO:En todo plano cartesiano existen infinitos puntos y a cada punto se le asocia un nico par o pareja de nmeros, el cual se le denomina: Par ordenado ( x o , yo ) .Eje de ordenadasP(x o , yo )yoEje de abscisasx oorigen de coordenadas.Compendio de Ciencias VIIEGeometra7 0GeometraCompendio de Ciencias VIIENOTACIN:* Punto: P = ( x o , yo ) Si: P M M Q r ; luego PLM MNQx o : es abscisa.yo : es ordenada. ( x x o ) P M rDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: (x x ) MQ1 x r xConociendo las coordenadas de dos puntos cualesquiera P ( x o , yo ) y Q ( x1 , y1 ) , usted podr determinar la distancia entre ellos. Entonces: x o1x x1 r 1Y Analogamente: y o r y1y r 11 rQ(x1 , y1 )d Adems: De la grfica anterior, diremos PM = a yMQ = b; obtendremos:(y1 - yo ) x x o a ax1 bx ox y1 P(x o , yo )M x x ba b1y (x 1 - yo )o Analogamente:x X y yo o a y ay1 by oy y ba b1x121PMQ: d 2 (x x o )2 (y 1 y 0 ) PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:1o d (x1 x o ) 2 (y x )2 Sean los puntos P ( x o , yo ) ; Q ( x 1 , y1 ) y M (x, y)DIV ISI N DE U N SE G ME N T O E N U N A punto medio de P Q ; tal que PM = MQRAZN DADA:Conociendo las coordenadas de dos puntos cualesquiera ( x1 , y1 ) y M(x,y) un punto del P Q ,tal que: P M rM Q P M 1MQY x1aM(x; y)bM(x, y) Q(x1 , y1 )(y - y)1 xa y1oP(x o , y o ) yx oy1 y a P(x o , yo ) (x - x )1 (y - y ) yo1(y - yo ) XOy (x - x o )o x x y yx o x o 1 y o 1x x 2 217 1Compendio de Ciencias VIIEGeometraRECTA:CARACTERSTICAS DE LA RECTA:a) ngulo de Inclinacin: YP(x1, y1) Q(x2, y2)(y2 - y1)Es el ngulo que forman la recta con el eje de las abscisas, medido en sentido antihorario. (x2 - x1) M XY* En la figura:La pendiente de la recta es m tg y y21 y y21 PMQX tg x x m x x2121d) Clculo de la medida angular entre dos Rectas:b) Pendiente de una Recta:Es la tangente trigonomtrica de la medida delY 2ngulo de inclinacin de la recta. 1QYP XMXSean:En la figura:* Sea m la pendiente de la recta 2 m1: Pendiente de lam2: Pendiente de lam tg ; 90 m () Luego: m tg , m tg()1 2 P Q M: * Sea m1 la pendiente de la recta 1 Luego: T g T g( )T g T g T g) m tg 1 ; 90 m () 1 T g . T gc) Clculo de la Pendiente:Conociendo las coordenadas de dos puntos de la Reemplazando: T g m T g m2 1m mT g 21recta, se puede calcular su pendiente de esta manera: 1 m . m217 2GeometraCompendio de Ciencias VIIENota:a) Si: 1 // 2 0 0 b) Ecuacin forma pendiente y su ordenada al origen: Es la tangente trigonomtrica de la medida del ngulo de inclinacin de la recta. m m12Yb) Si: 1 2 90 0 A(xo, yo) (yo - b) yo = mxo + b m . m12 1 (o, b)xeXECUACIN DE LA RECTA:a) Ecuacin Forma, Punto y su Pendiente:Sea un punto P(x, y) de la recta cuya pendiente esm se representa mediante la ecuacin.yo y m (x o x ) Donde: A ( x o , y o ) : Punto genrico(o, b) : Intersecto con el eje Y.m: Pendiente.c) Ecuacin forma de coordenadas de origen:La recta que pasa por (o, b) y (a, o) tiene comoYA(xo , y o) P(x, y) y yo ecuacin: x y 1a bYx y o (o, b)X (x o, yo)X(a ; o)y yy y m o oSi: A( x o y o ) x x ox o x o bb* De la figura: m a o m aLuego: Ecuacin Luego: Aplicamos ecuacin pendiente y ordenada deorigen.yo y m(x o x ) PuntoPendiente : y o m x o bby o a x o bDonde: P(x, y): Punto de Paso.A ( x o , y o ) : Punto genrico.m: Pendiente. Luego: x y o o 1ab Ecuacin de coordenadas al origen7 3Compendio de Ciencias VIIEGeometrad) Ecuacin forma simtrica:Y e) Ecuacin, distancia de un Punto a una Recta:: Ax + By + C = 0 y un Punto.P ( x 1 , y1 ) que no pertenece a la recta.cP(x1 - y1) Q(x ; y) YP(x1; y1)(x ; y)dXdy y x xc d XA x + B y + Cd(P, ) = 1 1 A2 + B21. Hallar las medidas de los ngulos de inclinacin de 5. L1 y L2 son dos rectas paralelas entre si.L1 y L2.t1 : 2 x 3 y 6 0 y t 2 : 3 x 2 y 7 0 Rpta.: ............................................................2. Del problema anterior, hallar la medida del ngulo entre L1 y L2.Rpta.: ............................................................3. L1 y L2 son rectas perpendiculares entre si.1L : (x; y) (x : y ) 2 / y 2 x 3L2 : pasa por el origen de coordenadas. Hallar la ecuacin de L2.Rpta.: ............................................................4. L1 y L2, son dos rectas perpendiculares entre si.L1 : pasa por (2; 7) L : (x :y ) / y 4 x 31L2 : pasa por el punto (0; 0) Hallar la ecuacin de L2.Rpta.: ............................................................6. L1 y L2 son dos rectas paralelas entre si.2L1 : (x :y ) / y m x b2L2 : (x : y ) / y 2 x Adems, L1,pasa por (2; 3) Hallar: m + bRpta.: ............................................................7. Hallar la pendiente de la recta que contiene el ladoL2 : 4 (x :y) 2 / y 1 x AB de un AB C , si A (3; -7), C(5; 5) y M(2; 4),donde M es punto medio de B C .Hallar la ecuacin de L1.Rpta.: ............................................................ A) 5/2 B) -5/2 C) 5D) - 5 E) - 5/47 4GeometraCompendio de Ciencias VIIE8. Hallar el ngulo de inclinacin de la recta L, cuya ecuacin es:L ( x ;y ) 2 / 4 x 3 y 24A) 37 B) 53 C) 143 D) 127 E) 1239. Hallar la pendiente de una recta que forma con el semieje positivo OY un ngulo de medida 30. La pendiente de dicha recta es negativa. 15. En u x ringulo ABC, M es punto medio de AB y N, punto medio de B C . A(2; 8), C(5; 12). Hallar la longitud de M N .n tA) 5 B) 2 C) 5/2D) 5/3 E) 316. En un tringulo PQR, P(0; 3) . Q(7; 11) y R(5; 9).A)82B)83C)87D)86E)85Hallar la longitud PF si F es punto medio de Q R .A) 3 B) 3 / 3 C) 2D) 2 / 2 E) -1/2 17. Un tringulo ABC tiene su vrtice A en el origen de10. En un cuadrado ABCD, el ngulo de inclinacin dela recta que contiene el lado AD , tiene medida 32. Hallar la medida del ngulo de inclinacin de la coordenadas y el ngulo recto en B. Si C(12; 8) yB C //Y, el rea de dicha regin triangular es:diagonal AC , sabiendo que la ordenada de C es menor que la de D.A) 77 B) 13 C) 157 D) 147 E) 167 A) 96 2D) 48 2 B) 112 2E) 24 2 C) 192 211. En un tringulo equiltero ABC, el ngulo de 18. En la figura, ABCD es un cuadrado.inclinacin AB mide 27. Si la ordenada de C es 2L1 (x ;y) / y 3 x 123A) 33B) 87C)93D) 147E) 137mayor que la de B, hallar la medida del ngulo de inclinacin de B C . Hallar la medida del ngulo de inclinacin de L2. A) 7512. Hallar la medida del ngulo que determinan las rectas L1 y L2, de ecuaciones:2L1 : (x :y ) / x y 2 0L2 : B) 105 C) 115 D) 135 E) 120 Y A BC D0 X L1L1(x : y ) 2 / x 3 y 1 0 119. Dos rectas r1 y r2 son perpendiculares entre si.A) 102 B) 105 C) 115D) 125 E) 11013. La distancia entre los puntos A(1; 3) y B(-5; a) esa . El valor de a es: r ( x ;y ) 2 / 2 x 3 y 6A) 2B) - 2C) - 2/3D) 2/3E) 3/22r = pasa por (-2; -3) La pendiente de r2 es:A) 15B) 15/31C) 15D) 15/2E) 15/714. Los puntos P(7; n) y Q(n; -3) estn a igual distanciaA) 1B) 2C) 3D) 4E) 5del punto R(n; n). Hallar el valor de n. 20. Para el problema anterior, hallar la ecuacin de r2.y 1 x 2A) y =2x+1 B) 2 C) y = 3xD) y 3 x2 E) y 2 x37 5Compendio de Ciencias VIIEGeometra1. Dos rectas L1 y L2, son perpendiculares entre siL1 pasa por A (n, n + 3) y B (2; 7), L2 pasa porC(- 7 : 5) y (8; 13). El valor de n es:A) 23/62 B) 62/23 C) 61/23D) 23/11 E) 16/7 4. Para el problema anterior, hallar la ecuacin de 2 .rA) 2x+y -14=0 B) x + 2y + 6 = 0C) x + 2y 14 = 0 D) 2x + y 6 = 0E) x + 2y 2 = 05. L1 y L2 son dos rectas. El ngulo de inclinacin de2. ABC es un tringulo recto en B. Si : A(7; 9). B(-4; L1 mide 22 y la pendiente de L2 es 3 . La6) y C(a; a + 2); el valor de a es: medida del ngulo que forman estas rectas es:A) 16/7B) 7/16C) 7/16A)72B)38C)82D) 16/5E) 16/7D)76E)783. Las rectas r1 y r2 son paralelas entre si.1r (x ;y ) 2 / x 2 y 6 0r pasa por (2; 6), Hallar la pendiente de r .2 2A)2B)1/2C)2D)1/2E)67 6