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Note sulla Geometria delle Masse

Sistemi discreti e continui, baricentri, momenti statici, momenti d’inerzia

Gerardo Carpentieri

22/01/2014

- 2 - G. Carpentieri

______________________

Versione: Gennaio 2014

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Indice

1. Generalità ......................................................................................................... 7

2. Sistemi di punti materiali, massa totale e baricentro ................................... 8

3. Sistemi continui ............................................................................................. 10

4. Proprietà del baricentro ............................................................................... 14

4.1. Determinazione grafica del baricentro .................................................... 17

5. Momento d’inerzia assiale di un sistema materiale discreto e matrice

d’inerzia .................................................................................................................. 18

6. Figure piane e sistemi di figure piane .......................................................... 25

7. Distanze orientate e Momenti Statici ........................................................... 26

8. Tensore d’Inerzia e Momenti d’Inerzia ........................................................ 29

8.1. Momenti d’Inerzia Principali .................................................................... 30

8.2. Cerchio di Mohr del Tensore d’Inerzia .................................................... 32

8.3. Regole pratiche .......................................................................................... 33

9. Ellisse centrale d’inerzia ............................................................................... 34

10. Nocciolo centrale d’inerzia ....................................................................... 36

11. Spostamenti rigidi dei sistemi di riferimento ......................................... 37

11.1. Traslazione ......................................................................................... 37

11.2. Rotazione ........................................................................................... 37

11.3. Rototraslazione .................................................................................. 39

11.4. Momenti Statici rispetto ad assi traslati ed assi baricentrici ............. 39

11.5. Momenti Statici rispetto ad assi ruotati .............................................. 41

11.6. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi traslati ......................................... 41

11.7. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi ruotati .......................................... 43

12. Esempi classici ........................................................................................... 45

12.1. Sezioni circolari ................................................................................. 45


12.1.1. Settore circolare ........................................................................ 45

12.1.2. Corona circolare ........................................................................ 48

12.1.3. Corona circolare sottile: t << (r1, r2)......................................... 49

12.1.4. Cerchio........................................................................................ 49

12.1.5. Quarto di cerchio ............................................................................... 50

12.1.6. Semicerchio ........................................................................................ 52

12.2. Ellisse .................................................................................................. 52

12.3. Triangolo ............................................................................................ 53

12.4. Rettangolo .......................................................................................... 57

12.5. Sezione a I .......................................................................................... 59

12.6. Sezione a C ......................................................................................... 61

13. Caratteristiche geometriche delle sezioni più comuni ........................... 66

14. Codice di calcolo automatico per le triangolazioni piane ....................... 71

14.1. Descrizione......................................................................................... 71

14.2. Pre-processing ................................................................................... 71

14.3. Solutore .............................................................................................. 72

14.4. Post-processing ................................................................................. 73

14.5. Codice di calcolo MatLab® ................................................................ 75

14.6. Esempio numerico ............................................................................. 82

14.6.1. Soluzione esatta ......................................................................... 82

14.6.2. Soluzione in MatLab® ............................................................... 84

15. Riferimenti ................................................................................................. 86


Indice delle figure

Fig. 1 Sistema di punti materiali S. .......................................................................... 8

Fig. 2 a) corpo continuo 3D, b) superficie 2D, c) curva 3D. .................................. 10

Fig. 3 Proprietà distributiva del baricentro. ......................................................... 14

Fig. 4 Sinistra: piano di simmetria, destra: retta di simmetria. ........................... 16

Fig. 5 Determinazione grafica del baricentro. ...................................................... 17

Fig. 6 a) Momento d’inerzia assiale di un sistema di punti materiale; b) momento

d’inerzia assiale rispetto ad un asse di versore α. ................................................. 18

Fig. 7 Sinistra: teorema degli assi paralleli, destra: dimostrazione. .................... 23

Fig. 8 Vettore posizione e sistema di riferimento. ................................................. 25

Fig. 9 Sinistra: semipiano delle distanze orientate positive e semipiano delle

distanze orientate negative, destra: relazione tra distanze orientate e coordinate

cartesiane. .............................................................................................................. 26

Fig. 10 Tracciamento del cerchio di Mohr per rotazione degli assi di riferimento.

................................................................................................................................ 32

Fig. 11 Costruzione del cerchio di Mohr per il calcolo dei momenti principali

d’inerzia. ................................................................................................................. 33

Fig. 12 (a) Ellisse centrale d’inerzia, (b) diametri coniugati ed antipoli. ............ 35

Fig. 13 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento traslato. .... 37

Fig. 14 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento ruotato. .... 38

Fig. 15 Assi baricentrici e baricentro di una figura piana. ................................... 40

Fig. 16 Settore circolare. ........................................................................................ 45

Fig. 17 Sinistra: corona circolare, destra: corona circolare sottile. ..................... 49

Fig. 18 Sinistra: cerchio, centro: quarto di cerchio, destra: semicerchio. ......... 50

Fig. 19 Ellisse. ......................................................................................................... 53

Fig. 20 Triangolo. ................................................................................................... 54

Fig. 21 Rettangolo. ................................................................................................. 57


Fig. 22 Sezione a I. .................................................................................................. 59

Fig. 23 Sezione a C. ................................................................................................. 62

Fig. 24 Triangolazione generica. ........................................................................... 72

Fig. 25 Esempio di triangolazione. ........................................................................ 82

Fig. 26 Output con indicazione della posizione del baricentro. ............................ 85



1. Generalità

La geometria delle masse studia le proprietà delle masse e dei sistemi di

masse; questi ultimi intesi sia come insiemi di un numero finito di punti

materiali (detti sistemi discreti) che come insiemi di infiniti punti materiali

(sistemi continui). In particolare, tra le proprietà fondamentali di tali sistemi

si annoverano la massa, il baricentro ed i momenti d’inerzia.

Nei paragrafi che seguono verranno esposti i metodi per il calcolo di tali

proprietà con riferimento ai sistemi materiali e, come caso particolare, alle

figure piane ed ai sistemi di figure piane (ovvero insiemi costituiti da un

numero finito di figure piane). Verranno, quindi, esposte le definizioni ed i

teoremi alla base di tale disciplina nonché ed alcune regole pratiche per una

determinazione più speditiva di tali proprietà (rette di simmetria, assi

principali d’inerzia, ecc.).

La trattazione è arricchita da alcuni esempi di calcolo numerici, specifici per

sistemi piani molto comuni nelle applicazioni pratiche ingegneristiche.

In conclusione viene presentato un breve codice di calcolo, realizzato in

ambiente MatLab® utile per il calcolo delle caratteristiche geometriche (area,

baricentro, momenti d’inerzia principali) di triangolazioni generiche

bidimensionali.



2. Sistemi di punti materiali, massa totale e baricentro

Def. 1: Massa: quantità di materia posseduta da un corpo.

Prop. 1: La massa è una funzione definita positiva.

Ip. 1: La massa è costante nel tempo.

Def. 2: Sistema di punti materiali: insieme costituito da un numero N (finito o

infinito) di punti a ciascuno dei quali viene associata una massa (Fig. 1):

NN mPmPmPS ,,...,,,, 2211 (1)

Oss. 1: Un sistema di punti materiali costituito da un numero N finito di punti

si dice “discreto”; altrimenti, se il numero di punti è infinito si dice “continuo”.

Fig. 1 Sistema di punti materiali S.

Def. 3: Massa totale di un sistema di punti materiali.

N

ssmM

1

(2)

Def. 4: Baricentro. Il baricentro è la media “pesata” della posizione dei punti

del sistema S ed è individuato da:

1

1

N

s ss

N

ss

m P O

G O

m

(3)



dove O è un punto qualsiasi dello spazio euclideo detto “origine” e Ps è un

generico punto del sistema materiale S al quale è associata una massa ms.

Teor. 1: Il baricentro G di un sistema S di N punti materiali non dipende dalla

scelta del punto di origine O del sistema di riferimento.

Dim. Teor. 1

La formula (3) si può riscrivere come:

1 1 1

1 1 1

Ω Ω Ω ΩN N N

s s s s ss s s

N N N

s s ss s s

m P O m P m O

G O O

m m m

1

1

Ω

Ω

N

s ss

N

ss

m P

G O O

m

->

N

ss

N

sss

m

Pm

G

1

1

CVD.

Oss. 2: In termini di coordinate cartesiane è possibile porre:

GGG zyxG ,,

ssss zyxP ,,

0,0,0O

(4)

In tal modo, le coordinate cartesiane del baricentro risulteranno:

N

sssG xm

Mx

1

1

N

sssG ym

My

1

1

N

sssG zm

Mz

1

1

(5)



3. Sistemi continui

Def. 5: Corpo continuo. È un insieme di infiniti punti materiali le cui posizioni

geometriche, rispetto ad un fissato sistema di riferimento, individuano un

dominio regolare1 dello spazio (vedi Fig. 2).

(a) (b) (c)

Fig. 2 a) corpo continuo 3D, b) superficie 2D, c) curva 3D.

Def. 6: Densità volumetrica. È una funzione definita positiva nel dominio D del

corpo B e che integrata sul volume di tale corpo ne fornisce la massa totale:

: :B

ρ D R M ρ P dV (6)

ovvero:

dV

dm

V

mP

V

0lim (7)

Oss. 3: Il baricentro di un corpo continuo, quindi, ricordando la (3) sarà:

B

dVPOPM

OG 1

(8)

Ovvero, assumendo le (5):

1 Un dominio si dice regolare se la sua frontiera è costituita da un insieme finito di curve o superfici regolari a tratti.



B

G dVPxM

x 1

B

G dVPyM

y 1

(9)

B

G dVPzM

z 1

Def. 7: Densità superficiale. È una funzione definita positiva nel dominio D della

superficie piana S e che integrata sull’area di tale superficie ne fornisce la

massa totale:

: :S

ρ D R M ρ P dS (10)

ovvero:

dS

dm

S

mP

S

0lim (11)

Oss. 4: Il baricentro della superficie, quindi, si può calcolare come:

S

dSPOPM

OG 1

(12)

Ovvero, in termini di coordinate cartesiane:

S

G dSPxM

x 1

S

G dSPyM

y 1

(13)

S

G dSPzM

z 1

Oss. 5: Nel caso in cui la superficie S appartiene al piano x, y del sistema di

riferimento si avrà: zG =0.



Def. 8: Densità lineare. È una funzione definita positiva nel dominio D della

curva γ e che integrata sulla lunghezza di tale curva ne fornisce la massa

totale:

: :γ

ρ D R M ρ P ds (14)

ovvero:

ds

dm

l

mP

l

0lim (15)

Oss. 6: Il baricentro della curva, quindi, si può calcolare come:

dsPOPM

OG1

(16)


dsPxM

xG

1

dsPyM

yG

1

(17)

dsPzM

zG

1

Def. 9: Sistema omogeneo. Un sistema S si dice omogeneo se la funzione densità

è costante in ogni suo punto:

0 P , SP (18)

Oss. 7: La massa totale ed il baricentro di un corpo tridimensionale omogeneo

BO diventano:

VdVM O

B

O

O

(19)

OB

dVOPV

OG1

(20)



dove V è il volume del corpo B0, uguale a:

OB

V dV (21)

Oss. 8: La massa totale ed il baricentro di un corpo bidimensionale omogeneo

SO diventano:

SdSM O

S

O

O

(22)

1

OS

G O P O dSS

(23)

dove S è l’area della superficie S0, uguale a:

OS

S dS (24)

Oss. 9: La massa totale ed il baricentro di un corpo monodimensionale

omogeneo γO diventano:

LρdsρM O

γ

O

O

(25)

Oγ

dsOPL

OG1

(26)

dove L è la lunghezza della superficie γ0, uguale a:

Oγ

L ds (27)



4. Proprietà del baricentro

Teor. 2: Proprietà distributiva del baricentro. Il baricentro di un sistema

materiale costituito da più punti è uguale al baricentro che si ottiene

suddividendo in modo arbitrario il sistema in n parti e considerando, per la i-

sima parte, un unico punto con la massa totale di quella parte e posizionato

nel baricentro di quella parte (Fig. 3).

Fig. 3 Proprietà distributiva del baricentro.

Dim. Teor. 2

Se si suddivide il sistema originario in due sole parti si ha:

2211 ,,, MGMGS ed il baricentro risulterà, per la proprietà suddetta:

21

2211

MM

OGMOGMOG

(28)

Il sistema si scriverà:

NNkkkk mPmPmPmPSSS ,111121 ,...,,,,,...,,, (29)

Il baricentro del sistema siffatto si scriverà:



N

kss

k

ss

N

ksss

k

sss

N

ss

N

sss

mm

OPmOPm

m

OPm

OG

11

11

1

1 (30)

Tuttavia si ricorda che i baricentri delle due parti consentono di scrivere:

OGMOPm

m

OPm

OGk

sssk

ss

k

sss

111

1

11 (31)

OGMOPm

m

OPm

OGN

ksssN

kss

N

ksss

221

1

12 (32)

Infatti:

11

k

ss

M m

21

N

ss k

M m

(33)

Sostituendo la (31) e la (32) nella (30) si ottiene la tesi.

CVD.

Def. 10: Punto di simmetria. Il punto P’ si dice simmetrico rispetto al piano π

del punto P se:

1) il punto medio del segmento πPP ;

2) πPP .



Fig. 4 Sinistra: piano di simmetria, destra: retta di simmetria.

Def. 11: Piano di simmetria. Sia ES . Si dice che il piano π è un piano di

simmetria per S se (Fig. 4):

1) P’ è simmetrico di P rispetto a π;

2) sia P che P’ appartengono ad S.

Def. 12: Retta di simmetria geometrica. Sia ES . Si dice che r è una retta di

simmetria geometrica per S se (Fig. 4):

1) P’ è simmetrico di P rispetto ad r;

2) sia P che P’ appartengono ad S.

Def. 13: Retta di simmetria materiale. Sia ES . Si dice che π è un piano di

simmetria materiale per S (sistema discreto) se:

1) P’ è simmetrico di P rispetto ad π;

2) m(P) = m(P’);

Se invece S è un sistema continuo occorre aggiungere:

3) ρ(P) = ρ(P’).



Prop. 2: Se un corpo ha un piano di simmetria materiale (ovvero una retta di

simmetria materiale) allora il baricentro appartiene a quel piano (ovvero a

quella retta).

4.1. Determinazione grafica del baricentro

Oss. 10: Il baricentro di un sistema di S di N punti materiali si può ricavare

ricercando per via grafica il centro di un sistema di vettori paralleli, di

intensità proporzionale alla massa ed applicati in corrispondenza di ciascun

punto materiale (Fig. 5).

Fig. 5 Determinazione grafica del baricentro.

Con riferimento alla Fig. 5, il baricentro del sistema di 4 punti materiali è stato

ottenuto riportando in ciascun punto due vettori di intensità proporzionale

alle relative masse e perpendicolari. Successivamente, sono stati costruiti, per

i due sistemi vettoriali siffatti, i poligoni funicolari per il calcolo della massa

totale. Si noti che i due punti P e P’ sono stati scelti a caso. I lati di tali poligoni

sono stati, quindi, numerati e riportati, parallelamente a loro stessi, lungo le

direzioni dei vettori disegnati in precedenza. La prima e l’ultima direzione di

ciascun poligono consentono di ottenere due rette la cui intersezione è

proprio il baricentro G ricercato.



5. Momento d’inerzia assiale di un sistema materiale discreto e matrice

d’inerzia

Def. 14: Momento d’inerzia assiale. Dato un sistema S di N punti materiali ed

una retta r, il momento d’inerzia assiale è la quantità positiva (Fig. 6):

N

s

sssr PPmI1

2

(34)

(a) (b)

Fig. 6 a) Momento d’inerzia assiale di un sistema di punti materiale; b) momento d’inerzia assiale

rispetto ad un asse di versore α.

Si introduca il seguente versore della retta r, passante per l’origine, in un

sistema di riferimento cartesiano:

332211 eαeαeαeαα ii , 1α (35)

Il valore assoluto nella (34) si può riscrivere come:

2 22 2 2 2sin sin sins s s s s s s sP P P O θ P O α θ P O α θ

2 2 21 coss sP O α θ

22 2 2 2 2 22cos coss s s s s sP O α P O α θ P O α P O α θ 2

22 2

s sP O α P O α

2 Il prodotto scalare tra due vettori u e v è pari a: |u||v|cosθ, essendo θ l’angolo compreso tra i due vettori.



Conviene, a questo punto, assumere:

ssss zyxP ,,

(36) 000 ,,O

Sostituendo:

2 22 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3s s s s s s s sP P x y z α α α x α y α z α

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3s s s s s s s s s s s sx y z α x y z α x y z α x α y α z α

313221 222 ααzxααzyααyx ssssss

Sostituendo nella (34):

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3

1

N

r s s s s s s ss

I m y z α x z α x y α

1 2 3 2 3 12 2 2s s s s s sx y α α z y α α z x α α

N

s

sss

N

s

sss

N

s

sss yxmαzxmαzymα1

222

3

1

222

2

1

222

1

N

s

sss

N

s

sss

N

s

sss zxmααzymααyxmαα1

31

1

32

1

21 222

Def. 15: Momenti d’inerzia rispetto agli assi di riferimento. Dato un sistema

materiale S di n punti ed un sistema di riferimento, i momenti d’inerzia

rispetto ai tre assi saranno:

N

s

sssx zymII1

22

11 (37)

N

s

sssy zxmII1

22

22 (38)

N

s

sssz yxmII1

22

33 (39)

Def. 16: Momenti d’inerzia centrifughi. Dato un sistema materiale S di n punti

ed un sistema di riferimento, i momenti d’inerzia centrifughi sono le quantità:



N

s

sssyxxy yxmIIII1

2112 (40)

N

s

ssszyyz zymIIII1

3223 (41)

N

s

ssszxxz zxmIIII1

3113 (42)

Oss. 11: Le sei precedenti quantità sono anche dette “prodotti d’inerzia”.

In definitiva:

13312332122133

2

322

2

211

2

1 222 IααIααIααIαIαIαIr

Nel caso piano, siccome α3 = 0, si ha:

122122

2

211

2

1 2 IααIαIαIr

Ovvero:

1 1 11 2 2 22 3 3 33 1 2 12 2 1 21 2 3 23rI α α I α α I α α I α α I α α I α α I

3 2 32 1 3 13 3 1 31α α I α α I α α I

Infine, utilizzando la notazione indiciale:

αIααIαIααIh k

khkh

kh

hkkhr

3

1

3

1

3

1,

(43)

ovvero, in termini di componenti:

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

r

α I I I α

I α I I I α

α I I I α

(44)

Def. 17: Matrice d’inerzia. È la matrice rappresentativa, funzione della base

scelta 321 eeeB ,, , di una trasformazione lineare (ovvero un tensore,

ovvero un’applicazione lineare) detta “tensore d’inerzia”:



333231

232221

131211

III

III

III

I (45)

Prop. 3: Cambiando la base B ma mantenendo fissa l’origine O del sistema di

riferimento si ottiene una diversa rappresentazione (matrice d’inerzia) dello

stesso tensore d’inerzia.

Prop. 4: Cambiando la base B e l’origine O si ottiene la rappresentazione

(matrice d’inerzia) di un tensore diverso da quello iniziale.

Oss. 12: Per le definizioni date dei prodotti d’inerzia, la matrice d’inerzia ed

anche il tensore d’inerzia risultano simmetrici.

Def. 18: Sistema principale d’inerzia. Data la simmetria del tensore d’inerzia,

per il teorema spettrale, esso risulterà ortogonalmente diagonalizzabile e

dovrà esistere una base, con origine O fissata, rispetto alla quale la matrice

rappresentativa del tensore d’inerzia è diagonale. Gli assi del sistema siffatto

sono detti “principali d’inerzia”.

Def. 19: Se come origine si sceglie il baricentro G del sistema di riferimento, la

terna principale d’inerzia si dice “terna centrale d’inerzia” e gli assi sono detti

“assi centrali d’inerzia”.

Oss. 13: La soluzione del problema di diagonalizzazione, fissata l’origine O,

della matrice d’inerzia coincide con il problema agli autovalori ed agli

autovettori. In particolare le soluzioni possono essere di tre tipo:

a) 3 autovalori distinti: esiste una sola terna principale d’inerzia;

b) 2 autovalori (uno singolo ed uno doppio): il primo fissa un asse principale

d’inerzia ed il secondo fissa un piano di assi principali d’inerzia qualsiasi;

c) 1 autovalore triplo: tutte le terne con origine in O sono principali

d’inerzia.



Cor. 1: Prodotti d’inerzia per un corpo continuo tridimensionale. Dato un corpo

continuo tridimensionale di dominio D con densità volumetrica ρ(P), definita

puntualmente, i prodotti d’inerzia saranno:

D

dVPρzyI 22

11

D

dVPρxyI12

(46)

D

dVPρzxI 22

22

D

dVPρyzI23

(47)

D

dVPρyxI 22

33

D

dVPρxzI13

(48)

Cor. 2: Prodotti d’inerzia per un corpo superficiale. Dato un corpo continuo

bidimensionale di dominio D nel piano x, y e con densità superficiale ρ(P),

definita puntualmente, i prodotti d’inerzia saranno:

D

dSPρyI 2

11

D

dSPρxyI12

(49)

D

dSPρxI 2

22 023 I (50)

D

IIdSPρyxI 2211

22

33 013 I (51)

e la matrice d’inerzia diventa:

2211

2221

1211

00

0

0

II

II

II

I (52)

Teor. 3: Teorema degli Assi Paralleli (o di Huygens-Steiner o del trasporto). Dato

un sistema S di punti N materiali, il momento d’inerzia rispetto ad un asse r

parallelo ad un asse baricentrico rG è pari a:

2MdII

Grr (53)

dove M è la massa totale del sistema S e d è la distanza tra gli assi r e rG.

Dim. Teor. 3



Si assuma un sistema di riferimento con z ≡ r ed il piano yz passante per G.

Siano: *sP la proiezione del generico punto sP su z’ ≡ rG; sP la proiezione del

generico punto sP su z (Fig. 7).

Fig. 7 Sinistra: teorema degli assi paralleli, destra: dimostrazione.

Esistono le seguenti relazioni tra le coordinate del generico punto sP nei due

sistemi di riferimento:

ss xx dyy ss ss zz (54)

Il momento d’inerzia rispetto ad r sarà:

22 2 2

1 1

N N

r z s s s s s ss s

I I m x y m x y d

2 2 2

1

2N

s s s ss

m x y d dy

2 2 2

1 1 1

2N N N

s s s s s ss s s

m x y m d m dy

2 12G

N

s ss

r

m y

I Md dMM

(55)

Siccome:



01

M

ym

y

N

s

ss

G (56)

sostituendo la (56) nella (55) si ottiene la tesi.

CVD



6. Figure piane e sistemi di figure piane

Def. 20: Figura piana (o regione regolare): insieme connesso3 chiuso4 con

interno non vuoto e la cui frontiera è costituita da un numero finito di curve

regolari.

Def. 21: Sistema di figure piane: insieme costituito da un numero finito di figure

piane.

Def. 22: Vettore posizione. Dati un piano π dello spazio geometrico euclideo E

ed un suo generico punto O, detto origine, è possibile definire una

corrispondenza biunivoca tra un qualsiasi punto P del piano π ed il vettore

applicato ad O (Fig. 8):

2211:, exexOPOPxxOP (57)

Def. 23: Spazio vettoriale V2: insieme dei vettori liberi ordinari appartenenti al

piano π.

Def. 24: Sistema di riferimento cartesiano ortonormale: insieme dell’origine O e

di una base di versori ortogonali 21,ee .

Fig. 8 Vettore posizione e sistema di riferimento.

3 Un insieme si dice connesso quando, presi due punti appartenenti all’insieme, questi possono essere collegati per il tramite di almeno una curva continua costituita da punti tutti appartenenti all’insieme. 4 Un insieme si dice chiuso se contiene il suo interno e la sua frontiera.



7. Distanze orientate e Momenti Statici

Def. 25: Retta orientata. Una retta r giacente nel piano π si dice orientata se è

possibile individuare un senso di percorrenza (o verso) su di essa.

Def. 26: Semipiani positivi (negativi). Data una retta orientata r giacente nel

piano π, si definisce semipiano positivo π+ (negativo π-) l’insieme dei punti che

giacciono alla sinistra (alla destra) di un ipotetico osservatore che percorre la

retta in senso positivo e con la testa rivolta verso il lettore.

Def. 27: Distanza orientata. Data una retta orientata r giacente nel piano π, la

distanza orientata P

r è pari al valore della minima distanza del punto P dalla

retta r computata positivamente se il punto P giace nel semipiano positivo,

altrimenti computata con segno negativo.

Oss. 14: Dato un sistema di riferimento 21,, eeOS ed un generico punto

P , le distanze orientate di P rispetto agli assi del sistema di riferimento

sono pari a (Fig. 9):

12

21

x

x

(58)

Fig. 9 Sinistra: semipiano delle distanze orientate positive e semipiano delle distanze orientate

negative, destra: relazione tra distanze orientate e coordinate cartesiane.



Def. 28: Densità. Data una figura piana ed un punto P , ad esso è

possibile associare una quantità scalare definita positiva funzione del vettore

posizione del punto x P O nel sistema di riferimento 21,, eeOS :

d

dmmx

0lim (59)

Def. 29: Area. L’area di una figura piana è pari a:

dA (60)

Def. 30: Massa. La massa di una figura piana è pari a:

dxm (61)

Ip. 2: Densità costante.

xx , (62)

Oss. 15: La massa di una figura piana con densità ρ costante è pari a:

Am (63)

Def. 31: Momenti statici di massa. I momenti statici di massa di una figura piana

rispetto agli assi di un sistema di riferimento 21,, eeOS sono pari

alle quantità:

1 1 2Σ Σm

S ρ x δ d ρ x x d 2 2 1Σ Σm

S ρ x δ d ρ x x d (64)

Oss. 16: Assumendo l’Ip. 2 è possibile calcolare le quantità precedenti come:

dxdS m

211 dxdS m

122 (65)

Def. 32: Momenti statici di area. Data una figura piana , è possibile

definire i momenti statici di area rispetto agli assi di un sistema di riferimento

21,, eeOS come:

dxdS 211 dxdS 122 (66)



Def. 33: Vettore dei momenti statici.

2

1

S

SS (67)



8. Tensore d’Inerzia e Momenti d’Inerzia

Def. 34: Momenti d’Inerzia di massa. Data una figura , si dicono momenti

d’inerzia di massa rispetto agli assi di un sistema di riferimento

21,, eeOS le seguenti quantità:

2 211 1 2

Σ Σ

2 222 2 1

Σ Σ

12 1 2 1 2

Σ Σ

Σ Σ

Σ Σ

Σ Σ

m

m

m

I ρδ d ρx d

I ρδ d ρx d

I ρδ δ d ρx x d

(68)

Def. 35: Momenti d’Inerzia di area. Data una figura con densità costante,

si dicono momenti d’inerzia di area rispetto agli assi di un sistema di

riferimento 21,, eeOS le seguenti quantità:

2 211 1 2

Σ Σ

2 222 2 1

Σ Σ

12 1 2 1 2

Σ Σ

Σ Σ

Σ Σ

Σ Σ

I δ d x d

I δ d x d

I δ δ d x x d

(69)

Oss. 17: Per come sono stati definiti, i momenti d’inerzia mI11 , mI 22 , 11I ed 22I

sono delle quantità definite positive.

Def. 36: Tensore d’inerzia. Data una figura con densità costante ed un

sistema di riferimento 21,, eeOS , è possibile individuare un tensore

(d’Inerzia) che può essere rappresentato con una matrice le cui componenti

sono i momenti d’inerzia:

2212

1211

II

III O (70)



Def. 37: Momento d’Inerzia polare. Data una figura con densità costante

ed un sistema di riferimento 21,, eeOS , si dice momento d’inerzia polare

la traccia della matrice associata al tensore d’inerzia:

dxxIIItrI OO

2

2

2

12211 (71)

Oss. 18: Il momento d’inerzia polare rimane costante (invariante) rispetto ad

un qualunque sistema di riferimento ruotato 21 ,, eeOS rispetto al

sistema originario 21,, eeOS .

8.1. Momenti d’Inerzia Principali

Teor. 4: Sistema di riferimento principale d’inerzia. Data una figura piana

ed un sistema di riferimento 21,, eeOS , esisterà un altro sistema

di riferimento (ruotato) *

2

*

1* ,, eeOS , detto principale d’inerzia, rispetto al

quale la matrice associata al tensore d’inerzia OI risulta diagonale:

*

22

*

11*

0

0

I

II O (72)

Dim. Teor. 4

La matrice associata al tensore d’inerzia nel sistema di riferimento

21,, eeOS è, in generale, del tipo:

2212

1211

II

III O (73)

I termini della matrice d’inerzia associata al sistema principale d’inerzia sono

detti momenti d’inerzia principali e possono essere ricercati risolvendo il

problema agli autovalori ed agli autovettori del tensore d’inerzia. In

particolare, i momenti principali d’inerzia coincidono con gli autovalori e gli

autovettori coincidono con i versori *

2

*

1 ,ee .



Gli autovalori possono essere trovati risolvendo la seguente equazione

caratteristica:

0det2212

1211

II

II (74)

Oss. 19: La simmetria del tensore OI assicura l’esistenza di due radici

dell’equazione (74) e l’ortogonalità dei versori *

2

*

1 ,ee . Svolgendo l’equazione

(74) si ottiene:

2

12

2

22112211

22I

IIIIi

, i = 1,2. (75)

Risulterà:

*

ii I , i = 1,2. (76)

I coseni direttori del primo versore *

1e potranno essere determinati

risolvendo il sistema:

0

0

2

1

*

112212

12

*

1111

n

n

III

III (77)

ed imponendo:

12

2

2

1 nn (78)

Il secondo versore potrà essere determinato sfruttando la condizione di

ortogonalità:

0*

2

*

1 ee (79)

Oss. 20: Se α è l’angolo del quale occorre ruotare ciascun asse del sistema S per

ottenere il sistema S*, allora risulterà:

cos1 n ;

sin2 n . (80)



8.2. Cerchio di Mohr del Tensore d’Inerzia

Teor. 5: Dato un sistema levogiro 21,, eeOS ed un sistema non levogiro

mnOS ,, ruotato di un angolo θ rispetto al primo, allora i momenti

d’inerzia seguenti (Fig. 10):

dI nnn

2 ,

dI nmmn (81)

formano, al variare di θ, una circonferenza di centro e raggio pari a:

,

02

2211

II

y

xC

C

C

2

211 2212

2

I IR I

(82)

Fig. 10 Tracciamento del cerchio di Mohr per rotazione degli assi di riferimento.

Def. 38: Poli del cerchio di Mohr del tensore d’inerzia. Data una figura piana

ed un sistema di riferimento 21,, eeOS , è possibile individuare

due punti del cerchio di Mohr, detti rispettivamente primo e secondo polo, che

hanno coordinate pari a:

12

11

1I

IP ,

12

22

2I

IP (83)

Oss. 21: Dal tracciamento del cerchio di Mohr si evincono, graficamente, i

valori dei momenti d’inerzia principali nonché l’angolo α del quale occorre



ruotare il sistema originario S per ottenere il sistema principale d’inerzia S*

(Fig. 11):

RxI C *

11 , RxI C *

22 ,

(84)

21

122

2

1

II

Iarctg

Fig. 11 Costruzione del cerchio di Mohr per il calcolo dei momenti principali d’inerzia.

8.3. Regole pratiche

Oss. 22: Un asse di simmetria è un asse centrale d’inerzia.

Oss. 23: Qualunque asse perpendicolare ad un asse di simmetria è un asse

principale d’inerzia.



9. Ellisse centrale d’inerzia

Def. 39: Ellisse centrale d’inerzia (o ellisse di Culmann). Data una figura piana

ed un sistema di riferimento principale d’inerzia 21,, eeOS ,

l’ellisse centrale d’inerzia è quell’ellisse che ha centro nel baricentro G della

figura Σ, assi orientati come gli assi principali d’inerzia (siano *1x , *

2x ) e

semiassi i raggi d’inerzia *1ρ , *

2ρ :

A

Iρ

** 1

1 A

Iρ

** 2

2 (85)

In definitiva l’ellisse centrale d’inerzia ha equazione:

1

2

2

2

2

1

1

*

*

*

*

ρ

x

ρ

x (86)

Def. 40: Diametro coniugato. Data una ellisse centrale d’inerzia ed una retta r,

si definisce diametro coniugato d quella retta passante per i punti P1 e P2

individuati dalle rette r1 ed r2 parallele ad r e tangenti all’ellisse.

Def. 41: Antipoli. Dato un diametro coniugato d rispetto ad una retta r, si

definisce antipolo del punto C’ di intersezione delle rette d ed r, quel punto C,

opposto a G lungo d, tale che il semidiametro ρd è la media geometrica delle

distanze coniugate d1 e d2 (Fig. 12):

2

21 dρdd (87)

Essendo:

1d GC 2d GC



(a) (b)

Fig. 12 (a) Ellisse centrale d’inerzia, (b) diametri coniugati ed antipoli.



10. Nocciolo centrale d’inerzia

Def. 42: Nocciolo centrale d’inerzia. Data una figura piana ed un sistema

di riferimento principale d’inerzia 21,, eeOS , il nocciolo centrale d’inerzia

è il luogo dei punti costituito dagli antipoli corrispondenti alle rette che non

tagliano la figura.

Cor. 3: Il baricentro G della figura Σ appartiene al nocciolo centrale d’inerzia in

quanto è l’antipolo corrispondente alla retta impropria che non taglia la figura.

Cor. 4: La frontiera del nocciolo è il luogo degli antipoli corrispondenti alle

rette tangenti alla frontiera di Σ e tali da non tagliarla.

Cor. 5: I punti interni al nocciolo sono gli antipoli corrispondenti a tutte le

possibili rette esterne alla figura Σ.

Cor. 6: Il nocciolo centrale d’inerzia è una figura convessa5.

Cor. 7: I tratti rettilinei del nocciolo sono gli antipoli corrispondenti ai fasci di

rette passanti per i punti angolosi della figura Σ.

5 Una figura si dice convessa se, presi due punti qualunque appartenenti alla figura, il segmento che li unisce è tutto contenuto nella figura.



11. Spostamenti rigidi dei sistemi di riferimento

11.1. Traslazione

Teor. 6: Dati due sistemi di riferimento cartesiani ortonormali 21,, eeOS

ed 1 2, ,S O e e traslati, ovvero tali che 1 1/ /e e , 2 2/ /e e e

1 21 2t O O t e t e , allora il vettore posizione di un generico punto

P nel sistema di riferimento S’ può essere ottenuto come (Fig. 13):

txx (88)


iii txx , i = 1,2. (89)

Fig. 13 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento traslato.

11.2. Rotazione

Teor. 7: Dati due sistemi di riferimento cartesiani ortonormali levogiri (o

antiorari) (o destrorsi) 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e ruotati di un angolo α,

computato con segno positivo se antiorario, allora il vettore posizione di un

generico punto P nel sistema di riferimento S’ può essere ottenuto come

(Fig. 14):



xRx (90)


cossin

sincos

cossin

sincos

212

211

2

1

2

1

xxx

xxx

x

x

x

x

(91)

Fig. 14 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento ruotato.

Dim. Teor. 7

I versori del sistema di riferimento S possono scriversi come:

211 sincos eee

212 cossin eee (92)

Il vettore posizione del punto P, quindi, si può scrivere:

2211 exexx (93)

Sostituendo nella precedente i versori appena calcolati:

212211 cossinsincos eexeexx (94)

riordinando:

221121 cossinsincos exxexxx (95)

dovendo risultare tuttavia:



2211' exexxx (96)

uguagliando le componenti di x ed 'x si ottiene la tesi. CVD.

11.3. Rototraslazione

Teor. 8: Dati due sistemi di riferimento cartesiani ortonormali levogiri (o

antiorari) (o destrorsi) 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e ed un generico punto

P , è sempre possibile trovare un vettore t ed una matrice R(α) tale che:

txRx ' (97)

11.4. Momenti Statici rispetto ad assi traslati ed assi baricentrici

Teor. 9: Leggi del trasporto. Dati due sistemi di riferimento cartesiani

ortonormali 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e traslati, ovvero tali che 1 1/ /e e ,

2 2/ /e e e 1 21 2t O O t e t e , allora i momenti statici di una figura

rispetto agli assi traslati sono pari a:

AtSS 211 AtSS 122 (98)

Ovvero, in termini di distanze orientate di O rispetto ad O’:

1 1 1S S τ A ASS 222 (99)

Dim. Teor. 9

Per definizione i momenti statici di rispetto agli assi del sistema

1 2, ,S O e e saranno:

dS 11 dS 22 (100)

Tuttavia occorre notare che:

111 222 (101)

Dove:

21 t 12 t (102)



sono le distanze orientate di O rispetto agli assi del sistema S’. Sostituendo le

(101) nelle (100) si ottiene:

dS 111 dS 222 (103)

Svolgendo i precedenti integrali e ricordando le (66) e la (60) si ottiene la tesi.

CVD.

Def. 43: Assi baricentrici. Data una figura ed un sistema di riferimento

21,, eeOS , si definiscono assi baricentrici quegli assi, paralleli agli assi di

S, rispetto ai quali sono nulli i momenti statici (99) (Fig. 15):

0111 ASS G 0222 ASS G (104)

Def. 44: Baricentro. Il baricentro G di una figura è il punto

d’intersezione degli assi baricentrici.

Oss. 24: Dalle (104) è possibile ottenere le distanze orientate di O rispetto a G:

A

S11

A

S22 (105)

Applicando le definizioni delle distanze orientate (58) si otterrebbero le

coordinate cartesiane di O rispetto a G. Le quantità ricercate, ovvero le

coordinate di G rispetto ad O saranno, quindi, le opposte:

21 g 12 g (106)

Fig. 15 Assi baricentrici e baricentro di una figura piana.



Sostituendo nelle precedenti, in definitiva, le coordinate del baricentro G

rispetto al sistema di riferimento originario 21,, eeOS si possono

ottenere come:

A

Sg 2

1 A

Sg 1

2 (107)

11.5. Momenti Statici rispetto ad assi ruotati

Teor. 10: Dato un sistema di riferimento 1 2, ,S O e e ruotato di un angolo α

rispetto ad un sistema di riferimento originario 21,, eeOS , allora il

vettore dei momenti statici rispetto al sistema ruotato si può esprimere come:

2

1

2

1

cossin

sincos

S

S

S

SSRS O

(108)

Dim. Teor. 10

Ricordando la definizione di momento statico (66) nonché le relazioni

ottenute nel caso di rotazione del sistema di riferimento (91):

1 2 1 2 2 1

Σ Σ

2 1 1 2 1 2

Σ Σ

Σ sin cos Σ sin cos

Σ cos sin Σ sin cos

S x d x α x α d S α S α

S x d x α x α d S α S α

(109)

11.6. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi traslati

Teor. 11: Leggi del trasporto dei momenti d’inerzia. Dati due sistemi di

riferimento cartesiani ortonormali 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e traslati,

ovvero tali che 11 //ee , 22 //ee e 1 21 2t O O t e t e , allora i momenti

d’inerzia di una figura rispetto agli assi traslati sono pari a:

AtStII 221211 2

(110) AtStII 2

12122 2



AttStStII 2111221212

Dim. Teor. 11

Dalle definizioni di momenti d’inerzia e ricordando le formule ottenute in caso

di traslazioni degli assi:

22 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Σ Σ Σ Σ

Σ Σ 2 Σ ΣI δ d δ τ d δ δ τ τ d δ d

21 1 1

Σ Σ

Σ 2 Στ d τ δ d

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Σ Σ Σ Σ

Σ Σ 2 Σ ΣI δ d δ τ d δ δ τ τ d δ d

22 2 2

Σ Σ

Σ 2 Στ d τ δ d (111)

12 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

Σ Σ Σ Σ

Σ Σ Σ ΣI δ δ d δ τ δ τ d δ δ d τ δ d

2 1 1 2

Σ Σ

Σ Στ δ d τ τ d

Con ovvio significato dei simboli, sostituendo:

ASII 2

11111 2

(112) ASII 2

22222 2

ASSII 2112211212

Ricordando che:

21 t 12 t (113)

sostituendo nella precedente si ottiene agevolmente la tesi.

CVD.

Cor. 8: Leggi di Huyghens. Se gli assi del sistema di partenza sono baricentrici,

ovvero se GO , risulteranno nulli i momenti statici 021 SS e, quindi, le

(110) diventano:



AtII 2

211

(114) AtII 2

122

AttII 211212

11.7. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi ruotati

Teor. 12: Dato un sistema di riferimento 1 2, ,S O e e ruotato di un angolo α

rispetto ad un sistema di riferimento originario 21,, eeOS , allora il

vettore dei momenti statici rispetto al sistema ruotato si può esprimere come:

cossin2sincos 12

2

22

2

1111 IIII

cossin2cossin 12

2

22

2

1122 IIII

2 212 11 22 12sin cos sin cos cos sinI I α α I α α I α α

(115)

Dim. Teor. 12

Dalle definizioni di momenti d’inerzia e ricordando le formule ottenute in caso

di rotazione degli assi:

22

11 2 1 2

Σ Σ

Σ sin cos ΣI x d x α x α d

2 2 2 21 2 1 2

Σ

sin cos 2 sin cos Σx α x α x x α α d

22

22 1 1 2

Σ Σ

Σ cos sin ΣI x d x α x α d

2 2 2 21 2 1 2

Σ

cos sin 2 sin cos Σx α x α x x α α d

12 1 2 1 2

Σ

sin cos cos sin ΣI x α x α x α x α d

(116)

Svolgendo:

2 2 2 211 1 2 1 2

Σ Σ Σ

sin Σ cos Σ 2sin cos ΣI α x d α x d α α x x d (117)



dxxdxdxI 21

2

2

22

1

2

22 cossin2sincos

2 2 212 1 2 1 2

Σ

sin cos sin cos sinI x α α x α α x x α

21 2 cos Σx x α d

2 2 212 1 2 1 2

Σ Σ Σ

sin cos Σ sin cos Σ sin ΣI α α x d α α x d α x x d

21 2

Σ

cos Σα x x d

Sostituendo le (69) nella precedente si ottiene la tesi.

CVD.



12. Esempi classici

Nella presente sezione vengono studiate alcune delle figure piane più comuni,

come il settore circolare ed i relativi casi particolari, i poligoni e le sezioni

costituiti da insiemi di rettangoli. Per ciascun caso vengono derivate le

relazioni per il calcolo dell’area, del baricentro e dei momenti d’inerzia

principali.

12.1. Sezioni circolari

Dato il settore circolare rappresentato in Fig. 16 calcolare: area, posizione del

baricentro, momenti d’inerzia principali rispetto agli assi baricentrici e

direzioni principali d’inerzia assumendo:

1 300r mm 2 900r mm 16

πθ 2

3

πθ

Successivamente particolarizzare le relazioni ottenute per i casi di:

- corona circolare:

01 θ , πθ 22 ;

- quarto di cerchio:

01 r , rr 2 , 01 θ , 2

2

πθ ;

- cerchio:

01 r , rr 2 , 01 θ , πθ 22 .

Fig. 16 Settore circolare.

12.1.1. Settore circolare

Dominio



212121 sincosΣ rrrθθθθrxθrx ,:,

Area

2 2 22 12 1 188496

2

θ θA r r mm

Momenti statici

Σ

21 ΣdxS , Σ

12 ΣdxS

Passando alle coordinate polari6:

22 2

2

1

1 1 1

3 332 7 32 1

1 1 2sin cos cos cos 8.56 103 3

rr θθ

θr θ r

r rrS r dr θdθ θ θ θ x mm

3 3

7 32 12 1 2 1sin sin 8.56 10

3

r rS S θ θ x mm

Baricentro

3 3

2 2 1 1 22 2

2 12 1

sin sin2454.39

3G

S r r θ θx mm

A θ θr r

3 3

1 2 1 1 22 2

2 12 1

cos cos2454.39

3G

S r r θ θy mm

A θ θr r

Si noti che, in generale:

2 1

2G G

θ θy x tg

.

Momenti d’inerzia rispetto agli assi x1, x2

Σ

2

21 ΣdxI , Σ

2

12 ΣdxI 12 1 2

Σ

ΣI x x d

6 , cos , sin

D D

f x y dxdy f ρ θ ρ θ ρdρdθ



2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

cossin

4sinsin

4232

1

θ

θ

θ

θ

r

r

r

r

θ

θ

r

r

θθθrθdθdrrθrdθrdrI 7

4 4

10 42 11 2 1 1 1 2 2sin cos sin cos 4.24 10

8

r rI θ θ θ θ θ θ x mm

Analogamente:

4 4

10 42 12 2 1 1 1 2 2sin cos sin cos 4.24 10

8

r rI θ θ θ θ θ θ x mm

Infine:

2 2 2 2

1 1 1 1

312 sin cos sin cos

r θ r θ

r θ r θ

I dr r θ r θ rdθ r dr θ θdθ

2

2

11

24 cos

4 2

θr

r θ

θr

4 4

2 2 10 42 112 2 1cos cos 4.05 10

8

r rI θ θ x mm

Momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici paralleli a x1 ed x2

2 9 41 1 3.49 10G

GI I Ax x mm

2 9 42 2 3.49 10G

GI I Ay x mm

9 412 12 1.58 10G

G GI I Ax y x mm

Centro e raggio del cerchio di Mohr

7 2 sin cos

sin2

x x xxdx c



9 41 2 3.49 102

G G

C

I Ix x mm

,

2

29 41 2

12 1.58 102

G GGI I

R I x mm

Assi e Momenti principali d’inerzia

Si noti che il settore circolare analizzato ha un asse di simmetria, ovvero un

asse centrale d’inerzia, inclinato rispetto all’asse x1 di:

2 1

2 4

θ θ πα

I momenti principali d’inerzia risultano:

9 45.08 10ξ CI x R x mm

9 41.91 10η CI x R x mm

12.1.2. Corona circolare

Dominio (Fig. 17)

1 2 1 2Σ cos , sin :0 2 ,x r θ x r θ θ π r r r

Area

2

1

2

2 rrπA

Baricentro

0 GG yx

Momenti principali d’inerzia

4 42 1

1 1 2 24

G Gξ ξ

r rI I I I I I π

01212 GII



Fig. 17 Sinistra: corona circolare, destra: corona circolare sottile.

12.1.3. Corona circolare sottile: t << (r1, r2)

Il raggio medio e lo spessore risultano:

2

21 rrr

12 rrt

Un generico elemento infinitesimo della corona circolare si può vedere come

un rettangolo di base rdθ ed altezza t. Ergo, il momento d’inerzia di tale

elemento rispetto all’origine del sistema di riferimento (momento d’inerzia

polare) è pari a:

23

12trθrd

tθrddIO

Integrando sul dominio si ottiene, infine:

ππ

OO trπtrθrdrtπdII

2

0

323

2

0

22

1

Data la simmetria, si ha:

31 2

2OI

I I πr t

12.1.4. Cerchio

Dominio (Fig. 18)



1 2Σ cos , sin :0 2x r θ x r θ θ π

Area

2rπA

Baricentro

0 GG yx


4

4

2211

rπIIII GG

01212 GII

Fig. 18 Sinistra: cerchio, centro: quarto di cerchio, destra: semicerchio.

12.1.5. Quarto di cerchio

Dominio

1 2Σ cos , sin :02

πx r θ x r θ θ

Area

4

2rπA

Baricentro



π

ryx GG

3

4


16

4

21

rπII

8

4

12

rI

Momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici paralleli a x1 ed x2

24 22 4

1 1 2

4 1 4

16 4 3 16 9

GG

r r rI I Ay π π πr

π π

42 1 2

1 4

16 9

G GI I πrπ

24 24

12 12

4 4 1

8 4 3 9 8G

G G

r r rI I Ax y π r

π π


41 22

1 4

2 16 9

G G

C

I Ix πr

π

2

241 2

12

4 1

2 9 8

G GGI I

R I rπ


4

πα

* 4 41 2

1 4 4 1

16 9 89CI x R πr r

ππ



* 4 42 2

1 4 4 1

16 9 89CI x R πr r

ππ

12.1.6. Semicerchio

Dominio

1 2Σ cos , sin :0x r θ x r θ θ π

Area

2

2

rA π

Baricentro

0Gx π

ryx GG

3

4


4

1 28

rI I π

12 0I


24 22 4

1 2

4 1 8

8 2 3 8 9ξ G

r r rI I Ay π π πr

π π

42

28

η G

rI I Ax π

12.2. Ellisse

Si riportano le caratteristiche inerziali di una ellisse centrata nell’origine e di

semidiametri a e b (Fig. 19).



Fig. 19 Ellisse.

Dominio

1 2Σ cos , sin :0 2 , , ,x a θ x b θ θ π a b a b

Area

abπA

Baricentro

0 GG yx


3

114

abπ

II G

baπ

II G 3

224

12.3. Triangolo

Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia rispetto agli assi

baricentrici del triangolo rappresentato nella Fig. 20.



Dati Numerici:

a = 800 mm

b = 900 mm

Fig. 20 Triangolo.

Dominio

a

xbxaxRxx 1

21

2

211 100Σ &:,

Area

112

1 11 2 1 1

Σ 0 0 0 0

12

xb aaa a

x xA dA dx dx b dx b x

a a

22360000

2 2

a abb a mm

a

Baricentro

111

1 22 22 1

1 2 1 2 2 1 1

Σ 0 0 0 00

12 2

xxb

baa a aax xbS x dA dx x dx dx dx

a



221

1

0

11

2

axab

dxa a

32 28 31

1

0

11 1.08 10

2 3 6

a

xab abS x mm

a

27 3

2 9.6 106

a bS x mm

2 266.673

G

S ax mm

A

1 300.003

G

S by mm

A

Momenti d’inerzia

111

1 33 32 2 2 1

1 2 1 2 2 1 1

Σ 0 0 0 00

Σ 13 3

xxb

baa a aax xbI x d dx x dx dx dx

a

331

1

0

11

3

axab

dxa a

43 310 41

1

0

11 4.86 10

3 4 12

a

xab abI x mm

a

32 10 4

2 1

Σ

Σ 3.84 1012

a bI x d x mm

111

122

12 1 2 1 1 2 2 1 1

Σ 0 0 0 0

Σ2

xxb

baa a axI x x d x dx x dx x dx



22 2 21

1 1

0

12 40

axb a b

x dxa

2 3 22 21 1 1 1

12 1 1 1 12 2

0 0

1 2 22 2

a ax x x xb b

I x dx x dxa aa a

2 4 32 2 210 41 1 1

12 2

0

22.16 10

2 2 3 244

ax x xb a b

I x mmaa

Momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici

32 10 4

1 1 1.62 1036

GG

abI I Ay x mm

32 10 4

2 2 1.28 1036

GG

a bI I Ax x mm

2 29 4

12 12 7.2 1072

GG G

a bI I Ax y x mm


2 2 10 41 2 1.45 102 72

G G

C

I I abx a b x mm

2 2 4 2 2 4

22

1 9212

41( ) 7.40 10

722

G GG a b a a b b x mm

I IR I


12

1 2

2138.36

2

G

G G

Iα atg

I I

3 3 2 2 4 2 2 4 1* 0 41

1( ( )) 2.19 10

72C a b ab a b a a b b x mmI x R



3 3 2 2 4 2 2 4 92

4* 1( ( )) 7.10 10

72C a b ab a b a aI x R b b x mm

12.4. Rettangolo

Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia principali del rettangolo

rappresentato nella seguente Fig. 21.

Fig. 21 Rettangolo.

Dominio

dxcbxaRxx 21

2

211Σ &:,

Area

1 2 1 2

Σ

b db d

a ca c

A dA dx dx x x b a d c

Baricentro

2 2 22

1 2 1 2 2 1

Σ2 2

db db

aa c c

x d cS x dA dx x dx x b a



2 2

12 1 1 1 2 2

Σ2 2

bb dd

caa c

x b aS x dA x dx dx x d c

2

2 ab

A

SxG

2

1 dc

A

SyG

Momenti d’inerzia rispetto agli assi x1 ed x2

3 3 3

2 2 21 2 1 2 2 1

Σ

Σ3 3

db db

aa c c

x d cI x d dx x dx x b a

3 3 3

2 12 1 1 1 2 2

Σ

Σ3 3

bb dd

ca c a

x b aI x d x dx dx x d c

2 2 2 2 2 21 2

12 1 2 1 1 2 2

Σ

Σ2 2 2 2

b db d

a c a c

x x b a c dI x x d x dx x dx


Si assuma:

abB

cdH

123

Σ32

2

3

22

21

2

2

2

2

2

2

2

1

Σ

2

21

BHxxdxxdxdxI

H

H

B

B

H

H

B

B

G

123

Σ3

2

22

2

2

3

1

2

2

2

2

2

1

2

1

Σ

2

12

HBx

xdxdxxdxI

H

H

B

B

H

H

B

B

G



12.5. Sezione a I

Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia principali della sezione a I

rappresentata nella Fig. 22.

Fig. 22 Sezione a I.

Dominio

321 ΣΣΣΣ

, : &x x R x b x t21 1 2 1 1 2 1Σ 0 0

htxttb

xtb

Rxx 121

31

1

312

21222

Σ &:,

Hxhtbb

xbb

Rxx 21

21

1

212

21322

Σ &:,

Area

22311 tbhttbA



Baricentro

Le aree e le ordinate dei baricentri delle tre parti della sezione sono:

111 tbA 2

1

1

tyG

htA 32 2

12

htyG

223 tbA 2

2

3

tHyG

Il momento statico può, quindi, essere ottenuto come la somma dei momenti

statici delle tre parti:

332211

3

1

2

1

1

11 GGG yAyAyASSSS

222

2

2213

1

111

tHtb

htht

ttbS

2

2222

2

331

2

1112

1

2

1

2

1tbHtbhtthttbS

Le coordinate del baricentro della sezione complessiva sono:

2 2 21 1 1 3 3 2 2 2 2

1

1 1 3 2 2

1 1 1

2 2 2G

b t ht t t h b t H b tSy

A b t t h b t

2 1

2G

S bx

A


Il sistema di riferimento traslato nel baricentro della sezione risulterà un

sistema principale d’inerzia in quanto risulta nullo il momento d’inerzia

centrifugo:

,1 ,2 ,312 12 12 12 1 1 2 2 3 3 0

G G GGG G GI I I I A x A x A x



Il motivo è che è nulla l’ascissa baricentrica di ciascuna parte della sezione

rispetto al sistema baricentrico.

I momenti principali risultano, quindi:

3

1

2

1

1

11

,,, GGGG IIII

3

2

2

2

1

22

,,, GGGG IIII

Dove:

2

1

11

3

111

1212

tytb

tbI G

G,

23

,2 31 3 1

12 2

GG

t h hI t h t y

23

,3 2 2 21 2 2

12 2

GG

b t tI b t H y

12

3

111

2

btI G ,

3

,2 32

12

G htI

3

,3 2 22

12

G t bI

12.6. Sezione a C

Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia principali della sezione a

C rappresentata nella Fig. 23.



DATI NUMERICI

b1 = 200 mm

b3 = 480 mm

h1 = 750 mm

t1 = t3 = 75 mm

t2 = 60 mm

Fig. 23 Sezione a C.

Dominio

321 ΣΣΣΣ

htxthtbtxtRxx 32131212

2

211Σ &:,

132321

2

212 0Σ htxttxRxx &:,

3231

2

213 00Σ txbxRxx &:,

Area

21 1 1 2 3 3 96000A b t h t b t mm

Baricentro

L’area e le coordinate delle tre parti della sezione risultano:

111 tbA 2

1

21

btxG

2

1131

thtyG



122 htA 2

2

2

txG

2

1

32

htyG

333 tbA 2

3

3

bxG

2

3

3

tyG

I momenti statici totali risultano, perciò:

1 2 3

1 1 1 1 1 1 2 2 3 3G G GS S S S A y A y A y

1 2 3

2 2 2 2 1 1 2 2 3 3G G GS S S S A x A x A x

Sostituendo:

7 331 11 1 1 3 1 2 1 3 3 3 3.34 10

2 2 2

tt hS b t t h t h t b t x mm

7 331 22 1 1 2 2 1 3 3 1.24 10

2 2 2

bb tS b t t t h b t x mm

Le coordinate del baricentro risulteranno:

31 21 1 2 2 1 3 3

2

1 1 1 2 3 3

2 2 2129.06G

bb tb t t t h b t

Sx mm

A b t h t b t

31 11 1 3 1 2 1 3 3 3

1

1 1 1 2 3 3

2 2 2348.05G

tt hb t t h t h t b t

Sy mm

A b t h t b t

Momenti d’inerzia rispetto al sistema di riferimento traslato nel baricentro

La somma dei momenti delle singole parti consentono di ottenere i momenti

principali d’inerzia della sezione:

,1 ,2 ,3 9 41 1 1 1 8.97 10

G G GGI I I I x mm

,1 ,2 ,3 9 42 2 2 2 1.65 10

G G GGI I I I x mm



Dove:

23

,1 1 1 11 1 1 3 1

12 2

GG

b t tI b t t h y

2

1

312

3

122

1212

G

G yh

ththt

I ,

2

3

33

3

333

1212

tybt

tbI G

G,

23

,1 1 1 12 1 1 2

12 2

GG

t b bI t b t x

2

2

12

3

212

2212

txht

thI G

G, 2

3

33

3

333

2212

bxbt

btI G

G,

Il momento d’inerzia centrifugo risulta, invece:

,1 ,2 ,3 9 412 12 12 12 1.49 10

G G G GI I I I x mm

Essendo:

22

1

13

1

211111

1

12

tht

bttbyxAI GG

G,

22

1

3

2

12222

2

12

ht

thtyxAI GG

G,

22

33

33333

3

12

tbtbyxAI GG

G,


9 41 2 5.31 102

G G

C

I Ix x mm



2

2 9 41 212 3.95 10

2

G GGI I

R I x mm

Assi e momenti principali d’inerzia

12

1 2

2111.09

2

G

G G

Iα atg

I I

* 9 41 9.26 10CI x R x mm

* 9 42 1.36 10CI x R x mm



13. Caratteristiche geometriche delle sezioni più comuni

Rettangolo

BHA

2

2H

y

Bx

G

G

123

12333

33

HBI

HBI

BHI

BHI

ηy

ξx

Triangolo scaleno

2

BHA

3G

Hy

3 3

3 2

12 36

sin

48

x ξ

η

BH BHI I

B H αI



Sezione a doppia T simmetrica

bhBHA

2

2H

y

Bx

G

G

12

1233

33

bBhBhHI

bhBHI

η

ξ

Sezione a T simmetrica

bhBHA

bhBH

bhBHy

Bx

G

G

22

2

12

2 22 2

3 2 2

4

12

13 3

12

ξ

η

BH bh BHbh H hI

BH bh

I B H bh b bB B

Cerchio

4

2DπA

2

2D

y

Dx

G

G

64

64

5

4

4

DπII

DπII

ηξ

yx



Semicerchio

8

2DπA

π

Dy

Dx

G

G

3

22

48

8 9ξ

πI R

π

Corona circolare

4

22 dDπA

2

2D

y

Dx

G

G

D dI Iξ η

π 4 4

64

Scatolare simmetrico

bhBHA

2

2H

y

Bx

G

G

BH bhI

B H b hI

ξ

η

3 3

3 3

12

12



Sezione a C simmetrica

bhBHA

2

2

22

Hy

bhBH

hBbbHBx

G

G

3 3

12ξ

BH bhI

Esagono regolare

2

2

33RA

Ry

Rx

G

G

2

32

3

I I Rξ η45 3

16



Trapezio isoscele

H

bBA

2

bB

bBhy

Bx

G

G

2

3

2

B b b

I HB b

ξ

2 2348

36

Ellisse

BHπ

A4

2

2H

y

Bx

G

G

3

3

64

64

ξ

η

πI BH

πI B H

Croce simmetrica

bhHbBA

2

2H

y

Bx

G

G

B b H bhI

H h B b hI

ξ

η

3 3

3 3

12

12



14. Codice di calcolo automatico per le triangolazioni piane

14.1. Descrizione

Nella presente sezione viene presentato e fornito un piccolo tool per il calcolo

dell’area, del baricentro e delle caratteristiche inerziali di qualsiasi tipo di

triangolazione piana. Per triangolazione si intende una figura piana costituita

da uno o più triangoli aventi o meno vertici e lati in comune. Si può notare che,

scegliendo triangoli di dimensioni opportunamente piccole è possibile

approssimare qualsivoglia figura piana come una triangolazione. Vengono in

supporto, infatti, algoritmi molto utilizzati ad esempio in programmi di CAD

(non esposti in questo documento) che hanno il compito di modellare figure,

anche non piane, come delle triangolazioni. Le triangolazioni sono tipicamente

interscambiabili tra software di calcolo e di grafica nei formati “stl” e “dxf”.

14.2. Pre-processing

La fase di pre-processing di questo programma consiste nelle seguenti

operazioni. In primo luogo occorre preparare due file di input denominati

“nodes.txt” e “triangles.txt” contenenti, rispettivamente, le coordinate dei nodi

della triangolazione e la matrice delle connettività di tutti i triangoli (Fig. 24).

In particolare, ogni riga del file nodes.txt sarà, per il generico nodo i-simo, del

tipo:

iii zyx (118)

Invece, per il generico triangolo l, la riga del file triangles.txt sarà nella forma:

kji (119)

dove i, j e k rappresentano gli indici dei nodi ai vertici del generico triangolo, le

cui coordinate cartesiane corrispondono a quelle delle omonime righe del file

nodes.txt.

Siano, quindi, n ed nt, rispettivamente, il numero totale di nodi ed il numero

totale di triangoli.



Fig. 24 Triangolazione generica.

14.3. Solutore

Il solutore, in prima battuta, esegue il calcolo del baricentro di ogni triangolo

come media delle coordinate cartesiane dei nodi ai vertici. In particolare, per il

generico triangolo l di vertici i, j e k, le coordinate del baricentro risulteranno:

3

kji

Gl

xxxx

; 3

kji

Gl

yyyy

; 3

kji

Gl

zzzz

; (120)

A questo punto, assumendo la seguente corrispondenza:

41,i ; 2j ; 3k ; (121)

è possibile utilizzare la seguente “formula di Gauss” per il calcolo dell’area di

ciascun triangolo:

3

1

112

1

i

iiiilyxyxA (122)

Si noti che tale formula è valida anche per un generico poligono di più di tre

lati estendendo opportunamente la sommatoria precedente.

A questo punto è, quindi, possibile calcolare i momenti statici totali rispetto ai

due assi come:

tn

l

GllyAS

1

1

tn

l

GllxAS

1

2 (123)

Le coordinate del baricentro risulteranno, in definitiva:

A

SxG

2 A

SyG

1 (124)



avendo indicato con A l’area totale della triangolazione.

Il calcolo prosegue, quindi, con la traslazione del sistema di riferimento

originario nel baricentro appena calcolato, utilizzando le formule di

traslazione viste in precedenza. Rispetto a tale nuovo sistema di riferimento di

assi x’, y’ è, quindi, possibile utilizzare ancora le formule di Gauss per il calcolo

dei momenti d’inerzia di ciascun triangolo:

3

1

2

11

2

1112i

iiii

iiiilx

yyyyyxyxI (125)

3

1

2

11

2

1112i

iiii

iiiily

yyyyyxyxI (126)

3

1

1111

1112

22

i

iiiiiii

iiiilyx

xyxyxyxyxyxI (127)

I momenti complessivi, quindi, si ottengono sommando i momenti d’inerzia

dei singoli triangoli:

1

tn

x x ll

I I

(128)

1

tn

y y ll

I I

(129)

1

tn

x y x y ll

I I

(130)

A questo punto, infine, il calcolo termina con la costruzione della matrice

d’inerzia e con la soluzione del problema agli autovalori ed autovettori del

tensore d’inerzia per l’ottenimento delle direzioni principali. In particolare

tale soluzione viene ottenuta sia con l’ausilio dei cerchi di Mohr che con un

comando automatico in MatLab.

14.4. Post-processing

La fase finale del programma consiste nella stampa a video di una figura con la

rappresentazione della triangolazione con il baricentro e nella stampa di un

file di output, denominato “RESULTS.txt”, contenente: coordinate nodali,

caratteristiche dei singoli triangoli, posizione del baricentro, area, momenti



d’inerzia principali e caratteristiche del cerchio di Mohr. Si noti che tutti i

risultati forniti in output sono in unità di misura congruenti con le unità di

misura fornite nel file delle coordinate “nodes.txt”.



14.5. Codice di calcolo MatLab®















14.6. Esempio numerico

Il codice precedente è stato utilizzato per la sezione a doppio T in Fig. 25,

opportunamente schematizzata come una triangolazione costituita da 22

triangoli e 24 nodi. La sezione ha le seguenti dimensioni:

b1 = 3 mm b2 = 5 mm

t1 = t2 = t3 = 1 mm

h = 3 mm H = 5 mm

Fig. 25 Esempio di triangolazione.

14.6.1. Soluzione esatta

Utilizzando le formule esatte per la sezione a doppio T della Sezione 12.5 si ha:

Area

A b t ht b t mm21 1 3 2 2 3 3 5 11

Baricentro



1 2 3

1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 0 5 .G G G

S S S S A y A y A y

33 2 5 5 4 5 31 5 . . . mm

21 1 1 3 0 .A b t mm .

G

ty mm1

1 0 52

22 3 3 0 .A t h mm .

G

hy t mm2 1 2 5

2

23 2 2 5 0 .A b t mm .

G

ty H mm2

3 4 52

..

G

Sy mm

A

1 31 52 86

11

2 2 502

.G

bx mm


, , , . . . .G G GGI I I I mm1 2 3 4

1 1 1 1 16 96 2 64 13 87 33 47

, . . .G

G

b t tI b t y mm

231 41 1 1

1 1 1 0 25 16 71 16 9612 2

, . . .G

G

t h hI t h t y mm

232 43

1 3 1 2 25 0 39 2 6412 2

, . . .G

G

b t tI b t H y mm

233 42 2 2

1 2 2 0 42 13 45 13 8712 2

, , , .G G GGI I I I mm1 2 3 4

2 2 2 2 12 92

, .G t bI mm

31 41 1

2 2 2512



, .G htI mm

32 43

2 0 2512

, .G t bI mm

32 42 2

2 10 4212

14.6.2. Soluzione in MatLab®

I risultati precedenti confermano, a meno di approssimazioni numeriche,

l’output fornito dal codice, del quale si riporta un estratto nel seguito. La Fig.

26 viene prodotta in output dal codice ed indica la posizione del baricentro

con un punto rosso.

TOTAL AREA

A = 1.100000E+001;

BARICENTER

xG = 2.500000E+000;

yG = 2.863636E+000;

MOHR CIRCLE DATA

Radius = 1.027273E+001;

Center = 2.318939E+001;

EIGENVALUES

1.291667E+001;

0.000000E+000;

0.000000E+000;

3.346212E+001;

EIGENVECTORS

0.000000E+000;



1.000000E+000;

1.000000E+000;

0.000000E+000;

PRINCIPAL MOMENT OF INERTIA

IxP,G = 3.346212E+001;

IyP,G = 1.291667E+001;

phi = -1.080748E-017;

INERTIA ELLIPSOID

ro_x = 1.744136E+000;

ro_y = 1.083625E+000;

Fig. 26 Output con indicazione della posizione del baricentro.



15. Riferimenti

AA. VV. (2012). Manuale dell'Ingegnere. Nuovo Colombo. Hoepli.

Ascione, L. (2007). Elementi di Scienza delle Costruzioni. CUES.

Belluzzi, O. (1966). Scienza delle Costruzioni. Zanichelli.

Cavallo, A., Setola, R., & Vasca, F. (1994). Guida operativa a MATLAB. Liguori.

Demidovic, B. (2005). Esercizi e problemi di analisi matematica. Editori Riuniti.

Fabrizio, M. (2002). Elementi di Meccanica Classica. Zanichelli.

Furiozzi, B., Messina, C., & Paolini, L. (2003). Prontuario per il calcolo di

elementi strutturali. Le Monnier.

Palm III, W. (2011). Matlab Un'introduzione per gli ingegneri. McGraw-Hill.

Viola, E. (1993). Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni, Vol. 1. Pitagora.

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