GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS O que você deve saber sobre As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem

GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICASGEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

O que você deve saber sobre

As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e podem ser determinadas com base no conceito de lugar geométrico e no cálculo das distâncias entre pontos no plano cartesiano.

GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

Dados um ponto C e uma distância r, é o lugar geométrico plano dos pontos que estão à mesma distância r de C.

Equação reduzida da circunferência

Considere o ponto C de coordenadas (xC, yC), chamado centro, e a

distância r, chamada raio. Os pontos pertencentes à circunferência

devem atender à equação:

Tal equação é obtida a partir da aplicação do teorema de Pitágoras a todos os pontos da circunferência.

I. Circunferência

Equação geral

Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se:

com a, b e c constantes reais.

Posição relativa entre um ponto e uma circunferência

A posição relativa entre um ponto P e uma circunferência é dada pela comparação entre a distância d, de P ao centro da circunferência, e seu raio r.

I. Circunferência


x2 + y2 2xCx 2yC

y + xC2 + yC

2 r2 =

Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

A posição relativa entre uma reta s e uma circunferência é dada pela comparação entre a distância d da reta ao centro da circunferência e seu raio r.

Posição relativa entre duas circunferências

As posições relativas entre duas circunferências, 1 e 2, são dadas pela comparação entre seus raios r1 e r2, respectivamente, e a distância d entre seus centros.

I. Circunferência


I. CircunferênciaPosição relativa entre duas circunferências


Dados dois pontos F1 e F2 (focos), é o lugar geométrico plano no qual a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva aos focos é constante e maior que a distância entre os focos.

Elementos

• Focos: os pontos F1 e F2

• Eixo maior: o segmento A1A2, que passa pelos focos (A1A2 = 2a)

• Centro: o ponto O, médio de A1A2

• Eixo menor: o segmento B1B2, perpendicular a A1A2,

que passa por O (B1B2 = 2b).

• Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos

II. Elipse


Equação

• Elipse com eixo maior na horizontal (a > b):

• Elipse com eixo maior na vertical (a < b):

Excentricidade

A razão e = (com c a). Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da elipse se assemelha a uma circunferência; à medida que e se aproxima de 1, ela se torna mais achatada.

II. Elipse


ac

Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico plano dos pontos que equidistam de r e F.

Elementos

• Foco: o ponto F• Diretriz: a reta r• Eixo de simetria: a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco• Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de simetria• Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz, i.e, p = FD

III. Parábola


Equação


Todas as relações acima são válidas para uma parábola que tenha diretriz vertical, desde que troquemos as posições das variáveis

x e y, xV e yV.

• Forma geral:

• Pelas coordenadas do vértice:

• Equação reduzida concavidade para cima:

concavidade para baixo:

• Parábola com diretriz na vertical:

III. Parábola

Dados dois pontos F1 e F2 (chamados focos), é o lugar geométrico plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e menor que F1F2.

Elementos

• Focos: os pontos F1 e F2

• Distância focal: a distância

2c = F1F2 entre os focos

• Vértices: os pontos A1 e A2,

intersecções de F1F2 com a hipérbole

• Centro: o ponto médio O de A1A2

• Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 (A1A2 = 2a)

• Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B1B2 (B1B2 = 2b)

IV. Hipérbole


Equação reduzida

Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a interceptam. Suas equações são dadas por:

r1: bx - ay = 0

r2: bx + ay = 0

IV. Hipérbole


• Eixo geral horizontal:

• Eixo real na vertical:

Excentricidade

É a razão e = (com c > a). À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe:

IV. Hipérbole


ca

(UEG-GO)

Calcule a área no interior de um círculo cujo centro está na origem do sistema de coordenadas e que é tangente à reta de equação 4x + 3y = 12.

1

GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


RESPOSTA:

b) O ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências também é o ponto comum entre uma dessas tangentes e a reta que passa pelos centros das circunferências.

(UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x2 + y2 - 4y = 0 e x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas:

a) esboce os seus gráficos;b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências.

(UFPB) Nos focos da elipse que contorna uma praça, estão dois quiosques, representados pelos pontos A(2, 80) e B(2, -80). Um terceiro quiosque, sobre a elipse, está representado pelo ponto C(2, -100).

Nesse contexto, a equação da elipse é:

8EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: B


a)

b)

c)

d)

e)

.

..1

0001040062 22

yx

.

..1

0001060032 22

yx

.

..1

4006000102 22

yx

.

..1

400660032 22

yx

.

..1

40062

00010

22

xy

(UFPB) Uma quadra de futsal está representada na figura pelo retângulo ABCD, onde A = (-20, -10) e C = (20, 10).Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F1 = (6 , 0) e F2 = (-6 , 0). O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C.

Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras.

9EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


01. A distância entre o centro do círculo e um vértice dahipérbole é de 12 m.

02. A quadra tem 800 m2 de área.

04. A equação da hipérbole é

08. A excentricidade da hipérbole é

igual a

16. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo.

1.36180

35

5 5

x2 y2

RESPOSTA:SOMA: 01 + 02 + 16 = 19

.

(ITA-SP)

Sabendo que 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS11

RESPOSTA:


(UnB-DF) O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e eixo menor iguais a 540 . 107 km e 140 . 107 km, respectivamente.

Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor

em que d é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS14

RESPOSTA:


710d

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