Geometria analitica La parabola

Richiami di teoria L'equazione; punti e rette notevoli L a parabola è i l luogo geometrico dei punti del piano P(x; y) equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta d detta direttrice. I punti della parabo­l a sono pertanto tutti i punti del piano che soddisfano la condizione d i s t ( P ; F) = d i s t ( P ; d ) .

y FIG. 1

'*§

S d

H X

L a retta passante per F e perpendicolare a d prende i l nome di asse della parabola, es­sendo tale retta asse di simmetria per la parabola, e la interseca in un punto V detto vertice.

Generalmente si considerano solo parabole con asse parallelo agli assi coordinanti; per­tanto si possono presentare i due seguenti casi:

= ay 2 + fay + c

asse parallelo asse y (asse verticale) equazione cartesiana

parabola y = ax 2 + fax + c

coordinate vertice

coordinate fuoco F ( " 2 a ; 4a ) = ( ^ 4 a + ^ )

equazione direttrice

-1 - A 1 y= 4 a = 4 a + y v /

equazione asse

fa 2a

V A _b_ 4a' 2a

1 - A fa\ ( \ 2a 4a

-1 4a

43 _1_

~A~a

+ xv;yv

+ Xy

con a ^ O e A = b2 — Aac discriminante del trinomio di 2° grado che compare nel­l'equazione cartesiana della parabola.

Nel caso di una parabola con asse parallelo all'asse x si parla anche di parabola coricata.

41

•••••••>

unità 3 La parabola

Se a > 0, la parabola rivolge la concavità verso l'alto, ovvero verso l a direzione pos: va dell'asse y (verso destra, ovvero verso la direzione positiva dell'asse x); se a < 0 parabola rivolge la concavità verso il basso, ovvero verso la direzione negativa dell', se y (verso sinistra, ovvero verso la direzione negativa dell'asse x).

D a l valore di a dipende, oltre al la concavità, anche l 'apertura della parabola:

Esaminiamo alcuni casi particolari.

equazione cartesiana: y = ax2; vertice nell'origine 0 degli assi equazione cartesiana: x = ay2; vertice nell'origine 0 degli a:

4 2

equazione cartesiana: y = ax2 + c equazione cartesiana: y = ax2 + bx Vertice sull'asse y La parabola passa per l'origine O degli assi

Posizione reciproca di parabola e retta Si considerino una parabola V e una retta r ; come si può valutare la posizione d ret ta rispetto alla parabola?

\ i 1 |

V /

\ / r /

y

.y / / r

\ A / /

/

1 / ! FIC. 10 Retta esterna alla parabola FIC. 11 Retta tangente alla parabola FIC. 12 Retta secante la parabola

Si dice che: • la ret ta è esterna alla parabola la retta non ha punti in comune con la parai • la ret ta è tangente alla parabola <£=> la retta ha un solo punto (due punti coinci

t i ) in comune con l a parabola; • la ret ta è secante la parabola <̂> la retta ha due punti distinti di intersezione ci

parabola.

È possibile valutare la posizione di una parabola di equazione y = ax2 +bx + c ris; a una retta di equazione a'x + b'y + c' — 0 osservando che la ricerca delle loro ini

4 3

unità La parabola

zioni equivale alla ricerca delle soluzioni comuni tra l'equazione della parabola e Tee zione della retta, ovvero alla determinazione delle soluzioni del sistema di secondo gr

y — ax2 +bx + c a'x + b'y + d = 0

la cui equazione risolvente, ottenuta per sostituzione, r isulta essere, quasi sempre secondo grado nella variabile x (è opportuno infatti ricavare y).

Si presentano tre casi : • l'equazione risolvente i l sistema ha discriminante A < 0 i l sistema non ha

luzioni reali 4=> la retta non ha punti di intersezione con la parabola ret ta es na alla parabola (FIC. 10);

• l'equazione risolvente i l sistema ha discriminante A — 0 i l sistema ha due luzioni reali e coincidenti o la retta ha due punti coincidenti di intersezione coi parabola ret ta tangente alla parabola (FIC. 11 ) ;

• l'equazione risolvente i l sistema ha discriminante A > 0 <5 i l sistema ha due luzioni reali e distinte O la retta ha due punti distinti di intersezione con la p< boia ret ta secante la parabola (FIC. 12).

Se la retta considerata fosse parallela a l ­l'asse della parabola, avesse cioè equa­zione del tipo x — h, i l sistema si ridur­rebbe al la forma

y = ax2 + bx + c x — h

la cui soluzione rappresenta le coordina­te di un punto (A).

FIC. 1!

Determinazione dell'equazione delle rette tangenti a una parabole Considerati un punto P(xo;y0) e una parabola V di equazione y — ax2 + bx + c possono presentare tre situazioni:

FIC.

1. Il punto P(xo;yo) è esterno alla parabola V, 3 due rette per P tangenti alla parabola.

P{xo':yo) è un punto della parabola, P e V, 3! la retta per P tangente alla parabola (due rette coincidenti).

3. Il punto P(xo;yo) è interno alla parabola V, jQ rette per P tange alla parabola.

44

unità wM La parabola

Per determinare le equazioni delle rette tangenti nei casi 1 e 2 si possono applicare i s guenti procedimenti:

P r i m o m e t o d o . S i scrive l'equazione del fascio proprio / di rette con sostegno n punto P(xo;yo), y — yo = wn{x — XQ)\ si considera i l sistema formato dalle equazio del fascio e della parabola

(y-yo = m(x-x0) . |^ y — ax2 +bx + c

si ricava l'equazione risolvente e si impone la condizione di tangenza, ovvero A — 0.

Se i l punto P è esterno (caso 1), si ottengono due valori distinti di my che, sostituiti ne l'equazione del fascio di rette, consentono di determinare le equazioni delle due ret tangenti. Se i l punto P appartiene a l la parabola (caso 2) , si ottiene un solo valore di (due valori coincidenti) che, sostituito nell'equazione del fascio di fette, consente di d terminare l'equazione della retta tangente.

S e c o n d o m e t o d o . Solo se il punto P(x0; y0) appartiene alla parabola (caso 2) , si pi determinare facilmente l'equazione della retta tangente applicando l a formula del sdoppiamento:

y + yo X + XQ

—-— = ax • x0 + o • — h c.

A differenza della circonferenza (cap. 2), per la parabola v i è un unico modo per d terminare l'equazione delle tangenti condotte da un punto esterno.

I n modo analogo si procede se la parabola è coricata, cioè ha equazione x = ay2 + by +

NOTA BENE B 9 Poiché nell'equazione cartesiana di una generica parabola compaiono tre parametri i cogniti (a , b e c ) , per determinare una parabola ben definita sono necessarie tre co dizioni: ad esempio si conoscono i l vertice e i l fuoco, i l vertice e la direttrice, i l verti< e un punto, i l fuoco e un punto, tre punti della parabola non allineati ecc.

Fasci di parabole Date due parabole di equazioni V: y = ax2 + bx + c eV':y = a'x2 + b'x + d, se si cor binano linearmente le loro equazioni si ottiene:

Hy ax bx-c) + h'(y - a'x2 - b'x - d) = 0

con h,h' G E parametri non entrambi nulli .

Tale equazione rappresenta i l fascio di parabole generato d a ? e da V che sono det parabole generatrici del fascio. Esse corrispondono rispettivamente al caso in cui oh' — o h — 0 (l'ordine con cui si considerano le due parabole generatrici non è vincolante).

Supposto h 7̂ 0 (se fosse h = 0 dovrebbe essere h' ^ 0 e i l ragionamento sarebbe an; ti

logo), dividendo per h e ponendo k = —, l'equazione del fascio di parabole può esse: scritta nella forma y — ax2 — bx — c + k(y — a'x2 — b'x — d) = 0.

I n questo caso le equazioni delle due parabole generatrici si ottengono ponendo, neh'' quazione del fascio, una volta k = 0 (trovando V) e una volta k —> oo (trovando V).

4 5

unità u La parabola

FIC. 17

L e rette che appartengono al fascio di parabole sono dette parabole degeneri menti punti che appartengono a tutte le parabole del fascio sono detti punti base.

bx k(y a'x2 b'x — c') = 0 si può scrivere anche ne L'equazione y — ax2

forma

(1 + k)y - (a + ka')x2 - (b + kb')x - (c + kc') = 0;

attribuendo opportuni valori a k, in modo da annullare i var i termini dell'equazione ricavano quattro possibili caratteristiche per i l fascio:

1 . tutte le parabole del fascio hanno due punti in comune, distinti o coincidenti, e no presenti due parabole degeneri formate dalla retta per i punti base A e B e ó le due rette verticali per A e B (F IC . 17), dalla retta tangente in A e dalla retta \ ficaie per A (F IC. 18);

2. tutte le parabole del fascio hanno un solo punto in comune ed è presente una s parabola degenere (FIC. 19);

3 . le parabole del fascio non hanno punti in comune ed è presente una sola parab degenere (FIG. 2 0 ) ;

4. le parabole del fascio non hanno punti in comune e non è presente alcuna parab degenere (FIG. 21 ) .

r parabola degenere

n paràbola degenere

FIC. 18

s parabola degenere

r parabola degenere

FIC. 19

s parabola degenere

FIC. 21

4 6

unità u La parabola

N O T A B E N E

L a ricerca degli eventuali punti base del fascio di parabole avviene risolvendo i l sistema

y = ax2 + bx + c y = a'x2 + b'x + c'

equivalente al sistema

y = ax2 + bx + c a - a')x2 + (b - b')x + c - c' = 0

la cui seconda equazione permette di determinare le ascisse di ta l i punti . Le rette parallele all'asse della parabola e passanti per i punti comuni (distinti o coincidenti) sono da considerarsi parabole degeneri del fascio.

Per determinare invece le rette, parabole degeneri non parallele all'asse, appartenenti al fascio di equazione (1 + k)y — (a + ka')x2 — (b + kb')x — (c + kc') = 0, è sufficiente

a a/'

attribuire al parametro k i l valore che rende nullo i l termine in x2, k =

L'uti l izzo dei fasci di parabole faciliterà molto la soluzione di alcuni tipi di problemi.

1 . Fascio di parabole, ad asse verticale, di punti base A e B. Poiché qualsiasi parabola di un fascio può essere interpretata come parabola genera­trice, l'equazione del fascio di parabole avente due punti base A{XA\VA) e B(xs',yB) assegnati si determina combinando linearmente l'equazione della retta passante per A e B e l a coppia di rette parallele all'asse della parabola passanti sempre per A e B (considerate come parabole degeneri del fascio):

n V ~~ VA X — XA retta per A e B: = VB - VA %B - xA

ovvero

(UB - VA)X - {xB - xA)y + xByA - xAyB = 0,

coppia di rette parallele agli assi (x — X A ) ( X — X B ) = 0,

da cui si ottiene l'equazione cercata

(yB - VA)X - {xB - xA)y + xByA - XAVB + k(x ~ XA)(X - xB) = 0, con k e R .

2. Fascio di parabole, ad asse verticale, tangenti a una ret ta t i n un suo punto T. Questo problema può essere ricondotto a l caso precedente sostituendo la retta per A e B con la tangente data t: ax + by + c = 0 e considerando i l punto assegnato T { X T \ y r ) come A e B (due punti base coincidenti con i l punto di tangenza comune a tutte le parabole del fascio) ottenendo: ax + by + c + k(x — xT)2 = 0, con k e M..

I n questa seconda tipologia di problemi ricade quello di determinare i l fascio di para­bole di dato vertice V. E sufficiente infatti considerare V a l la stregua di T e come ret­ta tangente la retta perpendicolare all'asse della parabola e passante per V.

47

unità La parabola

Esercizi proposti • Per ogni esercizio è sempre preferibile rappresentare la situazione proposta i n sistema di riferimento cartesiano xOy.

Scrivi l'equazione della parabola V di fuoco F{ — 1 ; 2) e direttrice d:y = 0.

Risoluzione

P r i m o metodo. Notato che la direttrice coincide con l'asse x , l a parabola V cercata è ad asse verticale e la sua generica equazione è y = ax2 + bx + c con a ^ 0.

Essendo F b 1 - A

e d:y - 1 - A

( A = b2 — 4ac) le generiche coordinate del fuo< 2a Aa ) Aa

l'equazione della direttrice, possiamo uguagliare ta l i coordinate e tale equazione a quelle d nel testo del problema ottenendo:

b = - I

b = 2a (b = 2a 2a 1 - A

Aa da cui < 1 - A = 8a < 2 = 8a =><

- 1 - A = 0 V A = - 1

a e infine

l b2 - 4ac = - 1

4« " °

'b _ 1 2 ' b

< a _ 1 - 4 - '

• < a

ì V 4

- C = - l . c

1 1 5 e l'equazione cercata di V è: y = -x2 + -x + -.

Secondo metodo. I n base al la definizione di parabola quale luogo geometrico, indicato < P(x; y) i l generico punto della parabola, dovrà valere la relazione d i s t ( F ; F) = d i s t ( P ; d). S:

d i s t ( P ; F) = y/{x + l ) 2 + (y - 2)2 = y/x2 + 2x + 1 + y2 - Ay + A = ^x2 + y2 + 2x-Ay-t

d i s , ( P ; d ) = ^ L = M .

Uguagliando le due espressioni ed elevando a l quadrato si ottiene

V ^ 2 + y2 + 2x - Ay + 5 = \y\ x2 + y2 + 2x - Ay + 5 = y2 =^> x2 + 2x - Ay + 5 =

y = ì x 2 + \x + \, ritrovando la stessa soluzione precedente.

Scrivi l'equazione della parabola di fuoco F ( 2 ; 0) e direttrice d:y = 2.

[y = -\--

Scrivi l'equazione della parabola di fuoco F ( — - ; - j e direttrice d: y —

Scrivi l'equazione della parabola di fuoco F (—; 1 J e direttrice d: x = C T ' \x = y2-'.

4 8

unità La parabola

5 9 Scrivi l'equazione della parabola di vertice V[ - ; - j e direttrice d: 2y — 5 = 0.

' r 9 ì [y = —x + 5x — 4J

Scrivi l'equazione della parabola di vertice V ( — 3; — - 1 e direttrice d: y + 3 = 0. V J [y=1ex* + x]

Scrivi l'equazione della parabola di vertice V(l; 0) e direttrice d: IQx — 17 = 0. [x = -Ay2 + l ]

Scrivi l'equazione della parabola di vertice V(0; 0) e fuoco F ( 0 ; 1). [y = | x 2 ]

Scr ivi l'equazione della parabola di vertice V(—2;0) e fuoco F l —2;

Scrivi l'equazione della parabola di vertice V(—2;0) e fuoco F(—3;0).

[x = -|2/ 2-2]

Determina vertice, fuoco e direttrice delle seguenti parabole:

a. y = —x + 2x — 1 b. y = 2 x 2 — 4x 1 , 1 9 c. x = --y* + -y 2a A [ a T ( l ; 0 ) , F ( l ; - | ) , d : 4 y - l = 0, b. V ( l ; - 2 ) , F ( l ; - f ) , d:y = ,

c . V r ( - 2 ; l ) , F ( - 3 ; l ) , d : a ; + 1 = 0]

Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i punti A(—1; 6 ) , J5(2; 0) e C ( 4 ; 1 6 ) .

Svolgimento , P r i m o metodo. L'equazione cercata è del tipo y = ax2 + bx + c con a 7̂ 0 e le coordinate dei punti dati A , F , C devono soddisfare tale equazione per cui, , si ottiene:

... = a — b + c passaggio per A

... = Aa+ . . . ò + c passaggio per B = a+ . . . ò + c passaggio per C

e combinando linearmente l a l a con l a 2 a e l a l a con l a 3 a equazione

{ ...—a — ò + c ( 6 = a — ò + c 6 = — . . . a — . . . 6 , semplificando < a + ò = - . . . . = - . . . . a - 5 ò U a + ò = . . .

f 6 = a - ò + c r a = 2 e ricombinando l a 3 a con l a 2 a , < a + ò = , s i ottiene < ò =

I ...a = A l c = . . . L'equazione della parabola cercata r isulta essere y = 2x2 — Ax. Se non fosse stato specificato nel testo dell'esercizio che l a parabola è ad asse verticale, si sarebbe dovuto risolvere, con lo stesso metodo, anche i l problema partendo dall'equazione x = ay2 + by + c. I n generale, dati tre punti non allineati e ta l i che, a due a due, non abbiano stessa ascissa o stessa ordinata (non appartengano a una stessa retta parallela a un asse coordinante), v i so­no due parabole passanti per essi, una ad asse verticale e una ad asse orizzontale.

unità La parabola

• • 1

Secondo metodo. Si vuole scrivere i l fascio di parabole, ad asse verticale, avente come ] t i base A, B e successivamente imporre i l passaggio per C. trovando l'equazione richiesta

Come parabola degenere del fascio si considera la retta passante per A e B l a cui equazio

x + 1 y — 6 x + 1 y — 6 2x -y + . . . + 1 . . . - 6 ' . . .

e in forma implicita

2x + y - . . . = 0 .

L'equazione del fascio di parabole è pertanto

2x + y - . . . + k(x + . . . ) ( x - ... ) = 0.

Imponendo ora i l passaggio della generica parabola del fascio per C si ottiene:

. . . + 1 6 - . . . +/c(4+ . . . ) ( . . . - . . . ) = 0,

20 + k(... ) (2) = 0, da cui fc = - 2 .

Sostituendo tale valore di k nell'equazione del fascio si ottiene la parabola cercata: 2x + y - . . . - 2(x + . . . ) ( x - . . . ) = 0

e infine

y = 2 x 2 - 4x.

2x + y 2 (x „2 . . . ) = 0

Determina le equazioni delle parabole passante per i punti ^4(0; 0 ) , B{ —

e C

- I '

1 y — \2x 12^' ^ — 3 y

Determina l'equazione della parabola passante per i punti A{ —1;9),

[y = 3x2 - E

H 9 I Determina l'equazione della parabola passante per i punti A(0 ; 0) , JB(0; C ( 9 ; - 3 ) . [x = -3/:

U l Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i A{—2; —3) e B(5:4), che interseca l'asse x nel punto C di ascissa 7. [2/ = -\x2 + 2

• L t S Scrivi le equazioni delle parabole di vertice V(0; 2) e passanti per A(—8 [y = -±x2 + 2; x = -2y2 + g

• I £ B Determina l'equazione della parabola che passa per i punti A{—1;0), i : e ha vertice di ordinata —2. [2/ = è * 2

K E f l Determina, se esistono, i punti di intersezione t ra la retta e la parabola guito assegnate (è sufficiente risolvere i l sistema formato dalle due equazioni):

a. r: y = x — 4 V: y = x 2 — 4x

b. r : 2x - y + 3 = 0 V: y = x 2 + 4x + 4

c. r : 3x + y - 2 = 0 V: y = - 2 x 2 - 3x + 1

d. r : x - 2 y = 0 -p :x = - 2 y 2 + 6 y

[a. ( l ; - 3 ) , ( 4 ; 0 ) ; b. ( - 1 ; 1 ) ; c. nessuno; d. (0;0),

50

I unità u La parabola

Scr iv i le equazioni delle rette tangenti condotte dal punto P ( 2 ; - 2 ) al la parabola V di eq - x.

Notato che i l punto P non appartiene alla parabola essendo falso che — 2 = . . . — 2 e che sulta al la parabola, si può concludere che c i saranno rette tangenti.

Si scrive i l fascio di rette di centro P, y = m(x ) , da cui y = mx — — ... , « si pone a sistema con l'equazione della parabola, ottenendo

Sostituendo y si r icava un'equazione di 2° grado in x,

y — mx — mx — .... o

3 T — X

y = mx — x .... +l)x + (2m + = 0

Imponendo l a condizione di tangenza A = 0, si ha A = ( + l ) 2 — 4(2m + . . . ) = 0, m 2 + + 1 — 8m — . . . = 0, m 2 - . . . m — . . . = 0

le cui soluzioni sono m i = - 1 e m2 = . . . , che rappresentano i coefficienti angolari delle n te tangenti cercate.

Sostituendo nell'equazione del fascio si ottengono le rette cercate,

ti:y + ... = —x + ... , y = —x e Ì2'-y + ... = ...x — .... . y — 7x — 16.

Scr ivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(—2; —4) al la parat V di equazione y = x + 6x + 5. [y + 4 = 0; 4x - y + 4

1 H E o I Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P I - ; — 3J a l la para

la V di equazione y = Ax2 — 1 . [8x - y - 5 = 0; 4x + y + 2 = WHìM Scr ivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(—1; 2) al la parabole di equazione y = —x2 — 3x. [x + y - 1 --

B 3 H Scr ivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P{—1; 1) al la paraboh di equazione y = x2 + 2x + 4. [j/ = -2V2x - 2\/2 + 1; y = 2\/2x + 2\/2 4

Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P ( 3 ; 1) al la parabola

di equazione y = -x2 — 3x — 5. [nessu

E S I Scr ivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P ( 0 ; —2) alla parabola ,. 1 ,

di equazione x = --yz —y — 2. [x + y + 2 = 0; x-y-2 = 4

E f i f l Determina le equazioni delle parabole, ad asse verticale, passanti per i pui A(—1; 6) , P ( 2 ; 0) e tangenti la retta f di equazione Ax + y — 10 = 0.

[Pi:2/ = - 2 x 2 + 8 ; P2:y — _ 2 ~ 2 _ 16,

Determina l'equazione della parabola, ad asse orizzontale, di vertice V ( l ; — e tangente la retta t di equazione y — 2x — 1 .

51

unità La parabola

H * £ f l Determina per quali valori del parametro ///. coefficiente angolare variai del fascio di rette con sostegno nel punto P ( l ; 3 ) , tal i rette risultano esterne, tange secanti la parabola di equazione y = —x2 + 4x — 1 . Nel caso di rette tangenti, dei minane le equazioni e le coordinate dei punti di tangenza.

[rette esterne 4=> 0 < m < 4; rette tangenti » m = 0 V m = 4; rette secanti » m < 0 V m ;

rette tangenti: t\:y — 3 = 0, <2 :4a: — y — 1 = 0; punti di tangenza: T i ( 2 ; 3 ) ,T2 (0 ; -

WtìML Determina per quali valori del parametro ni. coefficiente angolare variai del fascio di rette con sostegno nel punto P ( 2 ; —4), ta l i rette risultano esterne, tang t i , secanti l a parabola di equazione y = 2x2 — x — 2. Determina le equazioni delle i te tangenti e le coordinate dei punti di tangenza.

[rette esterne «4- — 1 < m < 15; rette tangenti m = — 1 V m = 15; rette secanti ttra<-lVm> rette tangenti: t i : x + y + 2 = 0 ,Ì2: 15x — y — 34 = 0; punti di tangenza: T i ( 0 ; —2), T 2 ( 4 ; 2

Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i l punto P(—2; 7) e ta: gente la retta t di equazione y = 2x + 3 nel suo punto T di ordinata 7.

Risoluzione

P r i m o m e t o d o . Determinata l 'ascissa del punto T sostituendo yr = 7 nell'equazione della retta t, si ottiene T ( 2 ; 7) e si ricade nella tipologia dell'esercizio 24, l a cui risoluzione si ottie ne imponendo i l passaggio della generica parabola y = ax2 + bx + c per P e T e la condizio­ne di tangenza con l a retta t.

Passaggio per P:

passaggio per T:

condizione di tangenza:

y = 2x + 3 y = ax2 + bx + c

y = 2x + 3 ax2 + (b - 2)x + c - 3 = 0

Si avrà i l sistema

7 = 4a - 26 + c 7 = 4a + 26 + c ( ò - 2 ) 2 - 4 a ( c - 3 )

sostituendo ( ^ ^ ^ 9

l 2x + 3 = ax2 + bx + c

da cui

= 0

e risolvendo ( 2 a - l a )

7 = 4a - 26 + c 46 = 0 ( ò - 2 ) 2 - 4 a ( e - 3 ) = 0

c = 7 - 4a 6 = 0 4 a 2 - 4a + 1 = 0

7 = 4a + c ooe < 6 = 0

4 - 4ac + I2a = 0

c = 7 - 4 a (c = 7-4a 6 = 0 => ^ 6 = 0 ( 2 a - l ) 2 = 0 1 2 0 - 1 = 0

7 = 4a - 26 + c,

7 = 4a + 26 + c,

A = ( 6 - 2 ) 2 - 4 o ( c - 3 ) = 0.

e l a parabola cercata ha equazione y -x2 + 5.

52

unità La parabola

Secondo m e t o d o . Si vuole scrivere i l fascio di parabole tangenti la retta t nel suo punto T di ordinata 7 e successivamente imporre i l passaggio per P ( — 2 ; 7), trovando l'equazione richiesta.

Determinate le coordinate di T ( 2 ; 7) , si scrive l'equazione del fascio considerando la retta tangente t come parabola degenere e i l punto T come punto base doppio [A e B, punti base coincidenti), per cui l'equazione del fascio di parabole è: 2x — y + 3 + k(x — 2 ) 2 = 0. Impo­nendo ora i l passaggio della, generica parabola del fascio per P si ottiene:

- 4 - 7 + 3 + fe(-2 - 2 ) 2 = 0 - 8 + 16* = 0, da cui k = -.

Sostituendo tale valore di k nell'equazione del fascio si ottiene la parabola cercata:

2x - y + 3 + -(x - 2 ) 2 = 0 => 2x - y + 3 + \{x2 - Ax + 4) = 0 e infine

1 2 r

N O T A B E N E Q j | In questa tipologia di risoluzione ricade anche l'esercizio di determinare l'equazione una parabola di vertice V e passante per un punto P , V e P dati, se si considera V = e come retta tangente t la retta perpendicolare all'asse della parabola e passante per

WHIU Determina l'equazione della parabola passante per i l punto P ( 3 ; —2) e te gente l'asse x nel suo punto T di ascissa 1 . [y - -\x2 + x -

Determina l'equazione della parabola passante per i l punto P ( 3 ; - 2 ) e te gente l'asse y nel suo punto T di ordinata 1 . [* = b2

E U Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i l pur P ( 0 ; 5) e tangente la retta t di equazione 3x — 4y — 12 = 0 nel suo punto T di ordii ta nulla. [y I r 2 - i 2 r - I -

E 2 H Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i l pur

P ( — 2; - | e tangente la retta t di equazione 3x — y - 1 = 0 nel suo punto T di ascissa V J [y=%x* + fx--

B^y-M Determina l'equazione della parabola passante per i l punto P ( 3 ; —3) e aver vertice in V(2; - 1 ) . [Vi-.y= -2x2 + 8x- 9; V2-x = \y2 + \y +

Dato i l fascio $ di parabole di equazione y a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. l'equazione della parabola del fàscio avente vertice sull'asse y; d. l'equazione della parabola del fascio passante per i l punto P(—2; —5).

Svolgimento a. R iscr i t ta l'equazione del fascio $ come combinazione lineare y — + 1 - k(x2 + ... ) = 0,

ponendo k = . . . si ottiene l a retta y — . . . . + 1 = 0 (parabola degenere), mentre per k —> si r icava x2 + . . . = 0 , cioè x(x + . . . ) = 0, da cui x = 0 V x = coppia di rette parallele all'asse y (parabola degenere);

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unita u La parabola

i punti base A e B si ricavano dal sistema formato dalle due precedenti generatrici

: : : i ì = 0 e^uivaiente a {i : 0vx+=Z °. •

da cui si trovano A { X ^ e B l X

U - lv = dovendo i l generico vertice appartenere all'asse y, dovrà essere x y = = 0. cioè b = 0.

z a S i avrà allora . . . + . . . = 0, k — e sostituendo, nell'equazione del fascio, tale valore k si trova la parabola desiderata: y = x2 ; imponendo l 'appartenenza del punto P al la generica parabola del fascio si ottiene —5 = . . . k — 2k — . . . — 1 , - 5 = 2 . . . — . . . . 2k — ... e k = . . . Sostituendo nell'equazioni del fascio tale valore di k si trova l a parabola desiderata: y = x2 + .... '— ....

k j t f l Dato il fascio <f> di parabole di equazione y = 2x2 + (2 — 3k)x — 3fc + 1 , de mina: a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. l'equazione della parabola del fascio avente vertice di ascissa 4; d. l'equazione della parabola del fascio passante per i l punto P(—2; —1).

[a. y = 2x2 + 2x + 1 A x = - 1 ; b. A(-l; 1); c.y = 2x2 - 16x - 17; d.y = 2x2 + 8x 4

K l Dato i l fascio $ di parabole di equazione (k + 1 )x2 + kx — (2k + l)y — 1 = determina: a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. i valori di k che corrispondono alle parabole degeneri; d. l'equazione della parabola del fascio di asse di simmetria x = 2.

[a.y = x2 - 1 Ay = \x2 + \x\ b. A{-1; 0), 5 ( 2 ; 3); c. k = - 1 V k = - ì ; d.y = ~\x2 + |x +

D a t o i l fascio <h di parabole di equazione y = [k + 2)x2 — (5 + 3k)x + 8k 4 determina:

a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio;

c. l'equazione della parabola degenere del fascio; d. l'equazione della parabola del fascio passante per l'origine degli assi.

[a. y = 2x2 — 5x + 1 A rette immaginarie; b. c. y = x — 15; d.y = ^-x2 — ^

k £ 9 Nel fascio $ di parabole generato da V\\ y = — 2x2 + 5x + 3 T>2'- y = 2x2 — 3x — 2, determina: a. le coordinate dei punti base del fascio; b. i valori di k che corrispondono a parabole degeneri; c. l'equazione della retta appartenente al fascio;

d. l'equazione della parabola del fascio passante per P(0; —1). [a. A ( - | ; 0 ) , B ( | ; 3 ) ; b.* = lVfc = - l ; c . 2 x - 2 y +1 = 0; d.y = f a : 2 - \x -

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