GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano

Intersecções – Dois Planos I

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES

Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos.

x

xz

xy

α

i

δ

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal).

x

xz

xy

x

α

fα

hα

hα

fα

i

≡ i2

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).

θ

fθ

hθ

fθ

hθ

≡ i1

≡ i2

≡ i1

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante horizontal).

x

xz

xy

x

α

fα

hα

hα

fα

i

i2

Como ambos os planos são projectantes horizontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante horizontal, uma recta vertical, localizada na intersecção dos traços horizontais dos dois planos.

φ

(hφ)(hφ)

(i1)

Um plano horizontal υ tem 2 cm de cota. Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?

x

(fυ)

(hφ)

≡ i2

≡ i1

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).

A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta fronto-horizontal.

Um plano frontal φ tem 2 cm de afastamento. Um plano de topo α faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?

x

hα

fα

(hφ)

≡ i2

≡ i1

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).

A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta frontal.

Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Um plano de topo θ faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?

x

(fυ)

hθ

fθ

(i2)

i1

Como ambos os planos são projectantes frontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante frontal, uma recta de topo, localizada na intersecção dos traços frontais dos dois planos.

A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta de topo.

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante).

x

xz

xy

α

fα

hα

i

θ

fθ

hθ

x

hα

fα

i2

fθ

hθ ≡ i1

H2

H1

F2

F1

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal.

F

H

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante).

x

xz

xy

δ

fδ

hδ

x

fδ

hδ

υ

(fυ) i

(fυ) ≡ i2F2

F1

i1

F

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal).

Como a recta i pertence aos dois planos, o traço frontal da recta i situa-se na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A partir da projecção horizontal (F1) do traço frontal da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal, com a mesma orientação do traço horizontal (hδ) do plano δ.

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano de rampa ρ (não projectante).

x

xz

xy

x

φ

(hφ) (hφ)

ρ

fρ

hρ

fρ

hρ

i

≡ i1r1

H2

H1

F2

F1

r2

P2

P1

i2r

F

H

P

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).

Como a projecção horizontal da recta i tem afastamento igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa.Para obter o traço frontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção frontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção frontal da recta i.

Um plano de topo α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

fρ

hρ

fα

hα

≡ i2

H2

H1

F2

F1

i1

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal).

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal.

Um plano horizontal υ tem 2cm de cota. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?

x

fρ

hρ

(fυ) ≡ i2

F2

F1

H2

H1

r1

r2

P2

P1

i1

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal).

Com a projecção frontal da recta i tem cota igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa.Para obter o traço horizontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção horizontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção horizontal da recta i.

Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Um plano oblíquo δ tem os seus traços coincidentes, e o seu traço horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?

x

(hφ)≡ i1

fδ ≡ hδ

H2

H1

i2

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).

Como a recta i pertence aos dois planos, o traço horizontal da recta i situa-se na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. A partir da projecção frontal (H2) do traço horizontal da recta i, é possível obter a sua projecção frontal, com a mesma orientação do traço frontal (fδ) do plano δ.

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos.

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

θ

i

fθ

hθ

fθ

hθ

H2

H1

H

F

F2

F1

i1

i2

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços horizontais paralelos entre si.

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

δfδ

hδ

i

hδ

fδ

F2

F1

i1

i2

Como os traços horizontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta horizontal, localizado pelo traço frontal comum aos dois planos.

A projecção horizontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços horizontais dos planos.

F

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços frontais paralelos entre si.

Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos.

A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos.

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

δ

fδ

fδ

hδhδ

H

H2

H1

i2

i1

Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta o eixo x num ponto B com -3 cm de abcissa, e os seus traços são paralelos aos traços contrários do plano α. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

y ≡ z

A0 ≡ A1 ≡ A2

B0 ≡ B1 ≡ B2

fα

hα

fθ

hθ

H2

H1

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

F2

F1

i2

i1

Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 3 cm afastamento e tem o traço frontal com 2 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

y ≡ z

A0 ≡ A1 ≡ A2

hα

fα

fρ

hρ

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

H2

H1

F2

F1

i2

i1

Um plano oblíquo φ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem os seus traços coincidentes, tendo o traço horizontal -4 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

hφ

fφ

fρ ≡ hρ

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

H2

H1

F2

F1

i1

i2

Um plano oblíquo ψ intersecta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. O plano ψ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo ω intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano ω é perpendicular a hψ, e o seu traço frontal é paralelo a fψ. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?

x

y ≡ z

fψ

hψ hω

fω

H1

H2

Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos.

A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos.

i2

i1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas).

x

(fυ)

r2

r1

s1

s2

R2

R1

S2

S1

i1

≡ i2

x

xz

xy

υ

(fυ)

r

s

α

iR

S

Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.

Um plano vertical α corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano oblíquo δ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto A (-3; 2; 3). A recta h é horizontal e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

y ≡ z

fα

hα

A2

A1f1

h2

h1

f2

≡ i1

M2

M1

N2

N1

i2

Como o plano α é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas h e f com o plano α, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção frontal da recta i.

Um plano oblíquo α está definido por duas rectas paralelas, a e b. A recta a contém os pontos R (2; 4; 3) e S (-3; 0; –2). A recta b contém o ponto T (-2; 2; 2). Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

y ≡ z

R2

R1

S2

S1

T2

T1

a2

a1b1

b2

(hφ)

Como o plano φ é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas a e b com o plano φ, se obtem os pontos A e B, que permitem obter a projecção frontal da recta i.

≡ i1

A2

A1

B2

B1

i2

Um plano oblíquo θ está definido pelos pontos A (3; 2; 2), B (0; 1; 5) e C (-2; 5; 1). Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.

x

y ≡ z

A2

A1

C2

C1

B1

B2

(fυ)

Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Para obter a projecção horizontal da recta i, é necessário recorrer a duas rectas auxiliares do plano θ (utilizandoos pontos dados). Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.

r2

r1

s2

s1

≡ i2 M2

M1

N2

N1i1