GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano

Sólidos I - Poliedros

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES - Sólidos

O sólido geométrico é uma forma limitada por porções de superfícies, planas e (ou) curvas.

Os poliedros são sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas poligonais.

Quando as faces do poliedro são todas iguais, o poliedro é considerado regular.

Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais. As faces laterais, se o prisma é recto, poderão ser rectângulos ou quadrados. Se o prisma é oblíquo, as faces poderão ser paralelogramos ou losangos. Perspectiva em baixo no lado esquerdo de um prisma pentagonal regular recto. No lado direito, a perspectiva de um prisma pentagonal regular oblíquo.

Uma pirâmide é um poliedro, com uma base e um vértice. A pirâmide toma o nome do polígono da base. Perspectiva em baixo no lado esquerdo de uma pirâmide quadrangular regular. No lado direito, a perspectiva de uma pirâmide quadrangular.

x

xz

xy

O contorno aparente de um sólido é a linha fechada que separa as partes do sólido que são visíveis das partes que são invisíveis.

Na projecção de um sólido numa representação bidimensional de uma forma tridimensional, é possível distinguir as partes visíveis das partes invisíveis. Assim sendo, a linha quebrada fechada [A1D1C1H1G1F1] constitui o limite exterior da projecção, é o contorno aparente horizontal do sólido.

O vértice E é o vértice com menor cota, ficando oculto pela massa do sólido, sendo invisível, bem como todas as arestas que nele convergem na projecção horizontal.

O vértice F é o vértice com menor afastamento, ficando oculto pela massa do sólido, sendo invisível, bem como todas as arestas que nele convergem na projecção frontal.

B2

A2

A

A1

B

C

D

E

F

G

H

G2

H2

D2

C2 F2

E2

D1

C1

H1

G1

E1

B1

F1

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES HORIZONTAIS

Pretendem-se as projecções de uma pirâmide regular situada no 1.º diedro, com 4 cm de altura, e de que o quadrado [ABCD] é a base. O quadrado [ABCD] está contido num plano horizontal ν com 1 cm de cota.

x

O2

O1

A2

A1

(fυ) B2

B1

C2

C1

D2

D1

V2

≡ V1

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES FRONTAIS

Pretendem-se as projecções de um cubo situada no 1.º diedro, e de que o quadrado [ABCD] é uma das faces do cubo. O quadrado [ABCD] está contido no Plano Frontal de Projecção. A face [EFGH] do cubo, oposta ao quadrado [ABCD] está contida num plano frontal φ, com 4 cm de afastamento.

x

C2

C1

A2

A1

B2

B1

D2

D1

(hφ)

≡ E2

E1

≡ G2

G1

≡ H2

H1

≡ F2

F1

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES DE PERFIL

x

Pretendem-se as projecções de um prisma oblíquo situada no 1.º diedro, e de que o quadrado [ABCD] é a base mais à direta, e o quadrado [EFGH] a base mais 5 cm à esquerda. O quadrado [ABCD] está contido num plano de perfil π. A direcção do eixo do prisma é obtida através das suas projecções.

fπ ≡ hπ

A2

D2

B2

C2

D1

C1

A1

B1

fπ1 ≡ hπ1

E2

G2

F2

H2

F1

H1

E1

G1

São dados dois pontos, A (2; 1; 2) e B (-2; 2; 2). A e B são vértices de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano horizontal ν e situado no 1.º diedro. O triângulo [ABC] é a base de uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide.

x

y ≡ z

A2

A1

B2

B1

(fυ)C2

C1

O2

O1

V2

≡ V1

Um prisma hexagonal regular, com bases frontais e situado no 1.º diedro, tem o ponto O (6; 4) como o centro da circunferência que circunscrita o hexágono da base com maior afastamento do prisma. Um lado do hexágono mede 3 cm. Duas faces laterais do prisma estão contidas em planos horizontais. O prisma tem 5 cm de altura. Desenha as projecções do prisma.

x

O2

O1(hφ)

(hφ1)

A2 ≡ A’2

A1

A’1

B2 ≡ B’2

B1

B’1

C2 ≡ C’2

C1

C’1

D2 ≡ D’2

D1

D’1

E2 ≡ E’2

≡ E’1

F2 ≡ F’2

≡ F’1 O’1

≡ O’2

≡ F1 ≡ E1

Um prisma quadrangular regular, com bases de perfil e situado no 1.º diedro, tem o quadrado [ABCD] como base mais à esquerda. A (1; 4) é o extremo de menor afastamento da diagonal [AC], que é de topo e mede 5 cm. O prisma tem 8 cm de altura. Desenha as projecções do prisma.

x

fπ ≡ hπ fπ1 ≡ hπ1

A2

A1

≡ C2

C1

B2

D2

B1≡ D1≡ O1

≡ O2

B’2

D’2

A’2 ≡ C’2≡ O’2

A’1

C’1

B’1 ≡ D’1≡ O’1

Um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1.º diedro, tem o quadrado [ABCD] como a base de menor afastamento, contido num plano frontal φ. A (1; 1; 2) e C (-3; 1; 5) são dois vértices opostos do quadrado [ABCD]. O prisma tem 5 cm de altura. As projecções do eixo do prisma fazem com o eixo x, ângulos de 60º (a.e.) e 45º (a.e.), respectivamente as projecções horizontal e frontal. Desenha as projecções do prisma.

x

y ≡ z

A2

A1

C2

C1(hφ)

(hφ1)

O2

O1

B2

B1

D2

D1

e1

e2

A’1

C’1B’1 D’1

O’1

O’2

A’2

B’2

C’2

D’2

Uma pirâmide pentagonal oblíqua, situada no 1.º diedro, tem o pentágono regular [ABCDE] como base, contido num plano horizontal ν, com 7 cm de cota. A circunferência circunscrita ao pentágono é tangente ao Plano Frontal de Projecção; e o seu centro, o ponto Q, tem 4 cm de afastamento e –2 cm de abcissa. O vértice A tem afastamento nulo e –2 cm de abcissa, e o B é o vértice mais à esquerda do pentágono. O ponto V (2; 5; 1) é o vértice da pirâmide. Desenha as projecções da pirâmide.

x

y ≡ z

(fυ) Q2

Q1

V2

V1

A1

≡ A2B2

B1

C2

C1

D2

D1

E2

E1

REPRESENTAÇÃO DE LINHAS E PONTOS PERTENCENTES ÀS FACES/ARESTAS DE

POLIEDROS Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano horizontal ν. M é um ponto qualquer da directriz (que é o quadrado). A geratriz g (como é qualquer geratriz) é definida pelo ponto M (ponto da directriz) e pelo vértice V (vértice da superfície).

x

O2

O1

A2

A1

(fυ) B2

B1

C2

C1

D2

D1

V2

≡ V1

M2

M1

g2

g1

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano horizontal ν. Para localizar um segmento de recta horizontal [RS] com2 cm de cota, contido na face [CDV] da pirâmide, é utilizada uma recta horizontal h.

x

O2

O1

A2

A1

(fυ) B2

B1

C2

C1

D2

D1

V2

≡ V1

h2

R2

R1

S2

S1

h1

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano horizontal ν. A determinação de um ponto P, que pertence à superfície da pirâmide, mas não está contido em nenhuma aresta do sólido, através de uma geratriz g, definida pelo ponto F e o vértice.

x

O2

O1

A2

A1

(fυ) B2

B1

C2

C1

D2

D1

V2

≡ V1

F2

F1

g2

g1

P2

P1

DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE PLANOS QUE CONTÉM FACES DE POLIEDROS

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano horizontal ν. Para determinar os traços do plano que contém a face [BCV] da pirâmide, é necessário desenhar as projecções de duas rectas do plano, que neste caso serão as rectas horizontais h (a recta que contém o segmento de recta [BC]) e h’ (uma recta paralela a h e passando por V).

x

O2

O1

A2

A1

(fυ) B2

B1

C2

C1

D2

D1

V2

≡ V1

≡ h2

h1h’1

h’2

F2

F1

F’2

F’1

fα

hα

Uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura é situada no 1.º diedro. Os pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6; 7) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC] que é a base da pirâmide, contido num plano horizontal ν. O vértice C é o vértice de menor afastamento da base. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal. Desenha as projecções de um segmento de recta horizontal [RS], contido na face [ABV] da pirâmide, com 4 cm de cota, com R situado na aresta [AV] e S na aresta [BV]. Desenha as projecções de um ponto T, com 4 cm de cota e 4,5 cm de afastamento, pertencente à superfície da pirâmide e contido na face [ABV]. Analisa a visibilidade do ponto T em ambas as projecções.

x

y ≡ z

A2

A1

B2

B1

(fυ) C2

C1

O2

O1

V2

≡ V1

h2R2

R1

S2

S1

h1

T2

T1

Tal como o segmento de recta [RS], o ponto T está visível na projecção frontal mas invisível na projecção horizontal,

Uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura é situada no 1.º diedro. Os pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6; 7) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC] que é a base da pirâmide, contido num plano horizontal ν. O vértice C é o vértice de menor afastamento da base. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal. Determina os traços do plano que contém a face [ABV] da pirâmide.

x

y ≡ z

A2

A1

B2

B1

(fυ) C2

C1

O2

O1

V2

≡ V1

≡ h2

h1

h’1

h’2

F2

F1

F’2

F’1

fα

hα