GEOMETRIAIPERBOLICA

COS’ È LA GEOMETRIA IPERBOLICA?

Il 5° postulato (delle rette parallele) appariva diverso dagli altri, e da molti non veniva riconosciuto perché era dimostrabile solo in un piano illimitato, quindi non in tutte le condizioni. Lo stesso Euclide lo utilizza per dimostrare uno solo dei suoi teoremi, come se anche lui non fosse totalmente sicuro della sua veridicità. La geometria iperbolica è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele, non ritenuto accettabile, con il cosiddetto postulato iperbolico

Dopo che si era sempre cercato di dimostrare la validità del 5° postulato di Euclide, all'inizio del XIX secolo, Gauss cominciò a pensare di costruire una geometria che non ritenesse valido il quinto postulato di Euclide, ma non pubblicò mai i risultati dei

suoi studi raggiunti per evitare di andare contro chi non la pensasse come lui (i seguaci di Kant). Su questa

idea lavorarono anche, indipendentemente l'uno

BREVI CENNI STORICI

Carl Friedrich Gauss

dall'altro, l'ungherese Bolyai, che nel 1829 ne scoprì l’

esistenza e nel 1832 ne pubblico i risultati, e il matematico russo

Lobacewskji che costruirono una geometria basata sulla considerazione che, data una

retta r ed un punto P fuori di essa, esistesse

più di una parallela a r; a questa geometria fu dato il nome di geometria iperbolica.

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij

János Bolyai

LE PARALLELE NELLA GEOMETRIA IPERBOLICANella geometria

euclidea si afferma che:Data una retta r ed un

punto P, esiste un'unica retta parallela

a r passante per P.

Nella geometria iperbolica invece:

Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.

Quindi i 5 assiomi della geometria iperbolica sono:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.

2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.

3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.

4. Tutti gli angoli retti sono congruenti.5. Data una retta r e un punto P disgiunto da r,

esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.

La geometria iperbolica si dimostra attraverso alcuni modelli

Un modello è uno spazio, comprendente le nozioni di punto, retta e angolo, su cui

valgono i 5 assiomi della geometria iperbolica.

I modelli iperbolici sono:

Modello del Disco

Modello di Klein

Modello dell’ Iperboloide

Modello di Beltrami

Modello del Semipiano

PROPIETA’

Sia B il punto di l più vicino a P, il segmento PB è perpendicolare a l. Ogni retta passante per P è identificata dall’ angolo θ che forma con PB. Se due rette x e y sono parallele a l, queste formano angoli diversi θ1 e θ2: ogni altra retta compresa fra θ1 e θ2 è parallela a l.

• Parallelismo

Le rette iperboliche possono essere:• Asintoticamente parallele se si incontrano solo

all’infinito.

• Ultraparallele se sono parallele e divergo all’ infinito.

Come nella geometria euclidea, un segmento è una porzione di retta

delimitata da due punti (i suoi estremi), ed

un poligono è una figura delimitata da una successione di segmenti, tale che due segmenti successivi si intersecano agli estremi. Le relazioni fra lunghezze dei lati e angoli interni in geometria iperbolica sono però ben diverse da quelle presenti nella geometria euclidea. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è strettamente minore di 180°.

• I Poligoni

Un quadrato è un poligono con 4 lati di eguale lunghezza e 4 angoli uguali α. Nella geometria euclidea α deve essere un angolo retto. In quella iperbolica, può essere un qualsiasi angolo acuto.

•Il Quadrato

Perciò facendo un piccolo confronto

geometria eclidea geometria iperbolicaPer un punto passa una ed una sola retta parallela ad

una retta dataPer un punto passano due rette parallele ad una retta

data e infinite rette ultraparallele

La somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi La somma degli angoli di un triangolo è minore di

180 gradi

Due rette parallele sono sempre equidistantiDue rette parallele non sono equidistanti; esse si

avvicinano l’una all’altra in una direzione e divergono nell’altra.

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele

Due retta perpendicolari ad una stessa retta sono ultraparallele

Esistono rettangoli Non esistono rettangoli

Due rette parallele hanno infinite perpendicolari comuniDue rette parallele o incidenti non hanno alcuna

perpendicolare in comune; due rette ultraparallele hanno una unica perpendicolare comune.

Vale il teorema di Pitagora: la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è

uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa

Il teorema di Pitagora non vale ma si avvicina al vero col tendere a zero dell’area del triangolo

Gli angoli interni di un quadrato sono di 90 gradiGli angoli interni di un quadrato possono essere un

qualsiasi angolo acuto

Fine