ESCHER E LA MATEMATICA Fra gli artisti che utilizzarono schemi matematici per realizzare le loro opere spicca la figura di Escher.Mauritius Cornelius Escher nasce a Leeuwarden, Olanda, nel 1898; oggi la sua casa natale è stata trasformata nel Princessehof Museum.Figlio di un ingegnere, studia al Technical College di Delft e quindi alla Scuola di architettura e arti decorative di Haarlem, sotto la guida del grafico portoghese Samuel Jesserun de Mesquita, iniziando qui la sua passione per la xilografia (tecnica d’incisione dei disegni su una superficie di legno duro dal quale si ottengono poi le stampe su carta).Dal 1922 al '35 visse in Italia; ogni primavera intraprendeva lunghi viaggi in regioni isolate e poco conosciute, prendendo appunti ed eseguendo schizzi che poi, durante l'inverno, utilizzava come base per la realizzazione delle opere definitive.Nell'estate del '23, a Ravello, conobbe Jetta Umiker, figlia di un industriale svizzero; la sposò un anno dopo; in sua compagnia nel 1936 visitò la moschea di Cordoba e l'Alhambra, la fortezza araba di Granada. Rimase particolarmente colpito dagli ornamenti moreschi del palazzo.

Nel '35 è costretto dal fascismo a scappare in Svizzera, dove inizia gli studi sulla prospettiva e le illusioni ottiche abbandonando la produzione di paesaggi per dedicarsi ai disegni astratti che riproducevano le immagini mentali maturate dopo la visita a Granada. Nel '37 si trasferisce a Bruxelles e dopo l'invasione tedesca, definitivamente in Olanda.La fama del suo lavoro crebbe dopo la guerra; nel 1951 si occuparono di lui le riviste Time e Life. Nel '54 presenta a Washington le sue paradossali opere tra cui Relativity (del '53) e lo stesso anno lo Stedelijk Museum di Amsterdam ospitò una grande mostra delle sue opere in occasione del Convegno internazionale di matematica. Qui Escher conobbe i matematici Donald Coxeter e Roger Penrose, che influenzarono il suo lavoro con proposte e suggerimenti. Ormai l'artista era apprezzato più dagli scienziati che dai critici d'arte.

All'inizio del '59 fu pubblicato il suo trattato "La divisione regolare del piano".Nel 60 tenne un discorso al Congresso dell'Unione internazionale dei cristallografi a Cambridge, in Inghilterra, e una serie di lezioni al Massachusetts Institute of Technology (MIT).Nel 1972 morì a Laren, in una casa di riposo per artisti mentre ancora lavorava ai suoi mondi impossibili.

ESCHER E I PARADOSSI

Dal contatto con Penrose nacque una collaborazione molto proficua, frutto principale fu l’opera Waterfall.Escher, per realizzare il paradossale effetto dell’acqua che “risale” nel canale, sfrutta la figura impossibile creata da Penrose poco tempo prima, chiamata, appunto, “triangolo di Penrose”.Ma la passione naturale di questo artista per i paradossi giunge a concepire immagini impensate, anche senza un preciso “sottofondo matematico”.

E’ l’esempio di “Mani che disegnano” del 1948.Il paradosso principale affrontato in quest’opera è quello dell’autoreferenzialità dovuta al fatto che ognuna delle mani sta disegnando l’altra. Altro elemento contraddittorio è il contrasto tra la tridimensionalità delle mani e la bidimensionalità dei polsini delle camicie. L’effetto che sottolinea Escher è quello di sottolineare che ogni disegno è una forma di illusione. L’inganno prodotto da Escher è sviluppato con tale logica visiva che all’osservatore non possono sfuggire gli effetti contraddittori prodotti. Molte sue opere sono costruite come dei paradossi logici: sembrano basate

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Relativty -1953

decisamente. Infatti dopo aver compiuto diversi studi arrivò a realizzare tutta una serie di opere denominate “limite del quadrato”.Mani che disegnano triangolo di Penrose

Questo è uno dei suoi primi studi. Apparentemente non soddisfa un modello matematico ben preciso. In realtà non è così. Infatti a questo studio soggiace lo schema seguente. Anche aiutandoci con questa ulteriore schematizzazione potrebbero sfuggirci i legami con il paradosso di Achille e la Tartaruga o con i metodi eleatici.Ma dopo un’osservazione attenta essi non potranno fare altro che rivelarsi in tutta la loro chiarezza. Se noi studiamo la lunghezza dei lati C1, C2, C3 e così via ci accorgiamo che la loro lunghezza non si riduce in modo casuale. Escher riduce le loro dimensioni secondo i valori successivi della serie che è stata studiata da Gregorio da San Vincenzo per risolvere il primo dei paradossi di Zenone, ottenendo così effettivamente una rappresentazione dell’infinito. Egli fu decisamente soddisfatto tanto che quella del “Limite del Quadrato”, fu una delle serie più replicate.In seguito egli ricevette il contributo di un altro grande matematico, Henry Poincarè che stava sviluppando in quel momento la geometria iperbolica. Questo lo portò a trasferire la ricerca dell’infinito non solo sul quadrato ma anche sulla circonferenza. I risultati furono ancora una volta veramente notevoli.L’esempio più grande è questo “Limite del Cerchio IV” su premesse vere (le immagini), per mezzo di ragionamenti corretti (la composizione), e tuttavia portano a conclusioni contraddittorie (mondi impossibili).

Nella litografia del 1958, chiamata Belvedere, possiamo osservare richiami all’architettura rinascimentale italiana. Anche il titolo dell’opera non è certo casuale, infatti questa struttura permette osservazioni veramente “ardite”, sottolineate dalla posizione dei due individui che osservano dalle sue balconate; la dama al piano di sopra sembra osservare attraverso la facciata principale in una direzione ma l’uomo al piano di sotto pare osservare, in tutt’altra

Belvedere Su e giù

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direzione, attraverso la medesima facciata. Altro elemento “fuori dal normale” è la scala a pioli. Al piano di sotto appare interna all’edificio, salvo poi appoggiarsi alla balconata esterna del piano superiore. Per convincersi dell’impossibilità di costruire tale edificio è sufficiente osservare le colonne del piano inferiore, sembrano incrociarsi e compiere delle pericolose pieghe. Anche in quest’opera il modello matematico adottato da Escher è chiaramente indicato. Si tratta del cubo di Necker, tenuto in mano dall’ uomo seduto in basso sulla panca.

Altre figure possono essere accomunate a questa proprio per l’uso distorto che viene fatto della prospettiva.E’ il caso dell’opera intitolata “Su e giù”. In particolare quest’opera presenta un unico punto di fuga utilizzato prima come Zenit, nella parte inferiore e poi come Nadir, nella parte superiore. La particolarità di quest’opera sta proprio nel fatto che si tratta sempre della medesima situazione, un assolato cortile e una scalinata con due ragazzi, una che si porge dalla finestra e l’altro che la guarda seduto sulla scala; tuttavia il punto di vista è duplice e la zona di fusione, il punto di fuga presenta connotazioni paradossali. E’ infatti l’area piastrellata che nell’opera ha la duplice funzione di soffitto e anche di pavimento.Dopo il soggiorno in Spagna, affascinato dalle decorazioni dell’Alhambra di Granada, egli intraprese lunghe ricerche nel campo delle tassellazioni, della possibilità, cioè, di ricoprire una superficie piana con figure o gruppi di figure senza

lasciare spazi liberi.

I risultati furono sorprendenti. Prima si cimentò con figure diverse, col solo intento di ricoprire una maggior estensione possibile, poi passò a realizzare tassellazioni sempre più regolari e con il minor numero di figure. A questo punto un

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ulteriore interesse lo colpì ed egli cercò, attraverso le tassellazioni di rappresentare un concetto difficile, anzi, impossibile: l’infinito. Prima provò lavorando sui contorni della figura, sfumandoli e rendendoli sempre più indefiniti. Ma non fu soddisfatto. Fin’ora egli aveva lavorato con figure che avevano la stessa area, testimone ne è il fatto che proprio per spiegare la sua tecnica e i procedimenti che seguiva, realizzò un’opera ad uso “didattico”. In dodici passaggi successivi egli dimostra come, a partire da una superficie indefinita (1), egli costruisce un reticolo geometrico, regolare e particolareggiato (2,3,4). A partire dalpunto 5 interviene la sua creatività: egli modifica ogni quadrato della scacchiera in modo uguale e facendo in modo che conservi sempre la stessa area.Modificando via via più marcatamente i contorni egli dava sviluppo ad una tassellazione più complessa (6,7). L’ultima parte era destinata a “dare vita” alla composizione aggiungendo particolari in modo da eliminare la componente puramente geometrica della composizione ma facendola apparire una cosa quasi naturale (8,9,10). Negli ultimi due riquadri compie anche studi sulle diverse possibilità di vivificare la composizione infatti osserviamo che nel punto 11 le figure a sfondo nero somigliano a pesci-volanti e guardano verso sinistra. Nel punto 12 invece le stesse figure somigliano a uccelli e guardano verso destra. La stessa cosa accade per le figure a sfondo bianco tra le caselle 10 e 11.

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TASSELLAZIONI

La divisione regolare del pianoLa divisione regolare del piano, detta tassellazione, è l'insieme di forme chiuse che ricoprono il piano completamente senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti. Una tassellazione regolare è un ricoprimento del piano con poligoni regolari in modo che ogniVertice venga a contatto con lo stesso numero di poligoni.

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Ogni tipo di tassellazione viene indicata con la notazione { p.q } che è denominata simbolo di Schläfli e indica che che ci sono q poligoni regolari di p lati che si incontrano in ogni vertice.

Di solito le figure che vengono usate per le tassellazioni sono poligoni e altre forme regolari, tuttavia Escher rimase affascinato da ogni tipo di tassellazione, regolare ed irregolare, sperimentandole a volte anche contemporaneamente in quelle opere dette metamorfosi, dove le figure cambiano e interagiscono con le altre e a volte addirittura si liberano ed abbandonano il piano in cui giacciono. L'interesse di Escher per il ricoprimento del piano iniziò nel 1936, quando approdò in Spagna e vide le decorazioni in maiolica e stucco del palazzo trecentesco Alhambra che ospitava la reggia e la sede amministrativa dell'ultima corte araba di Spagna. La ricchezza delle decorazioni, la dignità e la semplice bellezza dell'intero edificio lo commossero. Nei giorni seguenti si impegnò a lungo per schizzare questi motivi e più tardi egli stesso dichiarerà che essi furono la sua più fonte di ispirazione.Anche in questo campo si Escher si trovò spesso a confronto con i matematici: mentre essi si preoccupano di ricoprire il piano con poligoni regolari, Escher sperimentò le sue particolari tassellazioni applicando simmetrie, glisso- simmetrie , traslazioni e rotazioni ad una grande varietà di figure. Egli inoltre si preoccupa di elaborare le figure regolari distorcendole fino ad Ottenere animali, uccelli e altre forme ancora

Tassellazioni euclidee e non euclideeE' possibile determinare se { p,q} è una tassellazione del piano euclideo, del piano iperbolico,o del piano ellittico guardando la somma 1/p + 1/q.

Le tassellazioni del piano euclideo sono: { 3.6 } nella quale per ogni vertice si incontrano 6 triangoli equilateri; { 4.4 } nella quale per ogni vertice si incontrano 4 quadrati; e { 6.3 } nella quale per ogni vertice si incontrano tre esagoni.

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{ 4.4} { 3.6 } { 6.3 }

Infatti se un vertice convergono q poligoni, lì l’angolo giro viene ad essere diviso in q parti uguali, ciascuna di ampiezza 360°/q. Il poligono regolare di p lati deve essere quindi scelto in modo tale che la somma dei suoi angoli interni sia uguale a p*360°/q. Ricordando che la somma degli angoli interni di un poligono di p lati è uguale (p-2)*180°, si vede che deve essere soddisfatta la relazione

p*360°/q.= (p-2)*180° →p/q = (p-2)/2 → p/q =p/2 –1 → 1/q + 1/p = 1/2Ovviamente di questa equazione vanno prese le soluzioni intere con p≥3Si può dimostrare però che deve essere anche p≤6 , quindi le possibili soluzioni sono ( 3,6) (4,4) (6,3) DimostrazioneL’equazione può essere scritta nella forma q = 2 + 4/(p-2)Affinchè q sia intero, (p-2) deve essere divisore di 4 e perciò minore o uguale a 4Sa cui si deduce anche p≤6

Un ragionamento analogo si può fare nell’ambito delle geometrie non euclidee (geometria iperbolica e geometria ellittica)Ricordiamo che, mentre nel piano euclideo un triangolo ha esattamente la somma degli angoli interni pari a 180° , nel piano iperbolico tale somma è minore di 180° e nel piano ellittico è maggiore.Di conseguenza la somma degli angoli interni di un poligono di p lati è esattamente pari a (p- 2)180° nel piano euclideo,minore in quello iperbolico, maggiore in quello ellittico.I parametri della tassellazione devono allora soddisfare la relazione1/q + 1/p ≤ 1/2nel piano iperbolico e la relazione1/q + 1/p ≥ ½

Vediamo alcuni esempi di tassellazioni del piano iperbolico:

p= 3 q =12

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p= 6 q=4

p=5 q=4

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Escher nel suo Circle Limit III, utilizza una tassellazione { 8.3 }, come è indicato nella figura Si noti che i nasi e le punte della pinna sinistra dei pesci sono ai vertici alternati degli ottagoni.

Per quanto riguarda quest’opera di Escher è interessante notare altre proprietà del piano iperbolico ( modello di Poincaré)

L’insieme dei punti interni alla circonferenza corrisponde al piano euclideo I punti della circonferenza <<limite>> del piano corrispondono ai punti all’infinito del piano

euclideoLe figure, che diventano sempre più piccole, sono simili dal punto di vista euclideo, ma sono congruenti dal punt

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Per rappresentare l’infinito egli pensò di variare non solo i contorni delle figure rappresentate ma anche le dimensioni, abbandonando quindi composizioni di figure equivalenti. La cosa lo soddisfò decisamente. Infatti dopo aver compiuto diversi studi arrivò a realizzare tutta una serie di opere denominate “limite del quadrato”.

Questo è uno dei suoi primi studi. Apparentemente non soddisfa un modello matematico ben preciso. In realtà non è così. Infatti a questo studio soggiace lo schema seguente. Anche aiutandoci con questa ulteriore schematizzazione potrebbero sfuggirci i legami con il paradosso di Achille e la Tartaruga o con i metodi eleatici.Ma dopo un’osservazione attenta essi non potranno fare altro che rivelarsi in tutta la loro chiarezza. Se noi studiamo la lunghezza dei lati C1, C2, C3 e così via ci accorgiamo che la loro lunghezza non si riduce in modo casuale. Escher riduce le loro dimensioni secondo i valori successivi della serie che è stata studiata da Gregorio da San Vincenzo per risolvere il primo dei paradossi di Zenone, ottenendo così effettivamente una rappresentazione dell’infinito. Egli fu

decisamente soddisfatto tanto che quella del “Limite del Quadrato”, fu una delle serie più replicate.

In seguito egli ricevette il contributo di un altro grande matematico, Henry Poincarè che stava sviluppando in quel momento la geometria iperbolica. Questo lo portò a trasferire la ricerca dell’infinito non solo sul quadrato ma anche sulla circonferenza. I risultati furono ancora una volta veramente notevoli.

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L’esempio più grande è questo “Limite del Cerchio IV” chiamato anche Angeli e Diavoli.Georg Cantor (1845-1918) riformulò il paradosso di Zenone nel 1872 come un procedimento che dato un segmento lo divideva in tre parti e ne cancellava quella centrale. Continuando tale processo sui segmenti via via rimanenti possiamo ottenere un insieme infinito di punti sparsi chiamato appunto polvere di Cantor.Altri matematici hanno applicato il medesimo processo ai triangoli (filtro di Sierpinski) e ai tetraedri (Spugna di Menger) ottenendo frattali e mostrando che il paradosso di Zenone si può intendere anche come una prima anticipazione di essi.Alla fine di questa breve trattazione potremmo fare diverse riflessioni ma forse è sufficiente osservare che spesso le crisi dei paradigmi e le scintille per le rivoluzioni matematiche e logiche sono innescate e stimolate dai paradossi. Al loro apparire provocano tragedie personali e collettive ma, col passare del tempo, magari anche millenni, essi finiscono per essere integrati nel corpo della scienza, non di rado occupandone una posizione di rilievo. Di sicuro è nell'abisso dei paradossi che si riflette, come in uno specchio crepato, la complessità e inafferabilità del mondo.

Escher Limite del quadrato.

Escher Limite del cerchio IV “Angeli e Diavoli”

Tappeto di Menger.La spugna non è altro che una realizzazione tridimensionale del tappeto

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Filtro di Sierpinski

Nastro di Moebius

Nel 1858 il matematico ed astronomo tedesco August Ferdinand Moebius (1790-1860) descrisse per la prima volta una nuova superficie dello spazio tridimensionale, superficie che oggi è nota con il nome di Nastro di Moebius.

Nel suo lavoro Moebius ha spiegato come sia possibile costruire in modo molto semplice la superficie che oggi porta il suo nome: si prende una striscia rettangolare di carta sufficientemente lunga; tenendo fermo con una mano un suo estremo si opera sull'altro estremo una torsione di 180° lungo l'asse orizzontale e poi si fanno coincidere gli estremi della striscia.

Questa superficie ha interessanti proprietà. Una consiste nel fatto che se la si percorre lungo l'asse più lungo con un dito, ci si accorge che la si percorre tutta ritornando esattamente al punto di partenza, senza dover attraversare il bordo della striscia; il nastro di Moebius ha, cioè, una sola faccia, non due, una esterna ed una interna come per esempio nel caso di una superficie cilindrica.

Volendo pitturare la superficie del nastro procedendo lungo l'asse orizzontale, è possibile colorare tutta la superficie senza staccare mai il pennello e senza attraversare il bordo della superficie

Escher 1963: formiche su nastro di MoebiusUn rappresentazione del nastro di Moebius realizzata da Escher. Le formiche percorrono l'intera superficie del nastro di Moebius - e non solo una sua faccia, come quando camminiamo lungo un marciapiede.

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