Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich powierzchnie 05Amaterialy.wb.pb.edu.pl/edwinkozniewski/files/2014/04/wyk_05A.pdf · Podobnie powierzchnie opisuje sie¸ za pomoca¸ uk ladu

Scriptiones GeometricaVolumen I (2014), No. 5A, 1–17.

Geometria odwzorowan inzynierskichpowierzchnie 05A

E. Kozniewski

Zak lad Informacji Przestrzennej

1. O krzywych i powierzchniach

Dotychczas zajmowalismy sie g lownie odwzorowaniem prostej i p laszczyzny oraz obiektami,ktore dajaa sie z lozyc z figur zawartych w p laszczyznie, majacych lamana jako brzeg. Opisy-walismy je takze analitycznie. Rozwazalismy rowniez znane ze szko ly powierzchnie: stozek,walec i sfere. Obecnie zajmiemy sie krzywymi i powierzchniami w ogolniejszym sensie. Anal-itycznie krzywa zapisuje sie za pomoca uk ladu rownan parametrycznych:

x = x(t), y = y(t), z = z(t), (1)

gdzie parametr t ∈< t1, t2 > a funkcje x = x(t), y = y(t), z = z(t) sa ciag le we wspolnymprzedziale okreslonosci. Podobnie powierzchnie opisuje sie za pomoca uk ladu funkcji ciag lych,tym razem dwu zmiennych (parametrow):

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (2)

o parametrach u ∈< u1, u2 >, v ∈< v1, v2 >. Ogolny opis powierzchni jest przedmiotemdyscypliny matematycznej zwanej topologia, bardziej szczego lowy ale i zawezony opis nalezydo geometrii rozniczkowej. W geometrii i grafice inzynierskiej mowi sie o krzywych i powierzch-niach, ktore maja zastosowanie w technice, w szczegolnosci w budownictwie i architekturze.

2. Niektore sposoby tworzenia powierzchni

Powierzchnie czesto otrzymuje sie przez tzw. zakreslanie przestrzeni, czyli przez przemieszczaniekrzywej wzd luz pewnej trajektorii 1.

2.1. Zakreslanie przez obrot - powierzchnie obrotowe

Za lozmy, ze dana jest os obrotu (ang. axis of revolution) oraz krzywa definiujaca (ang. pathcurve). Na rysunku 5A-01 jako krzywa definiujaca przyjeto prosta skosna do osi obrotu iotrzymano powierzchnie zwana hiperbolioda jednopow lokowa (obrotowa).

Edwin Kozniewski c© 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich, powierzchnie 05A

Rys. 5A-01: Sposob tworzenia hiperboloidy obrotowej poprzez obrot prostej doko la innej prostej

skosnej. Hiperboloida otrzymana poprzez obrot prostej - krzywej tworzacej (ang. path curve) doko la

prostej - osi obrotu (ang. axis of revolution)

Jesli osia obrotu krzywej opisanej rownaniami (1) jest os Oz uk ladu wspo lrzednych, torownania opisujace powierzchnie maja postac:

x =√

x2(t) + y2(t)cosu, y =√

x2(t) + y2(t)sinu, z = z(t), t ∈< t1, t2 >, u ∈< u1, u2 > . (3)

Kazdy punkt (o wspo lrzednych x = x(t), y = y(t), z = z(t)) krzywej definiujacej obraca sie po

Rys. 5A-02: Powierzchnia torusa zrealizowana w programie AutoCAD.

okregu zwanym rownoleznikiem. Powierzchnie te mozna utworzyc za pomoca programu Au-toCAD przy uzyciu funkcji REVSURF (ang. surface of revolution) przy wartosci parametrowSURFTAB1=n1 (n1 - liczba powielen krzywej definiujacej - po ludnikow w przypadku krzywejp laskiej lezacej w p laszczyznie osi obrotu), SURFTAB2=n2 (n2 - liczba okregow zakreslonychprzez wybrane punkty obrotu - rownoleznikow). Gdy krzywa definiujaca jest prosta - to wzaleznosci od jej po lozenia wzgledem osi obrotu otrzymujemy:- powierzchnie stozka (obrotowego), jesli prosta definiujaca przecina os obrotu (powierzchniaznana z geometrii szko lnej),

1Krzywa opisujaca ruch punktu w kinematyce

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich, powierzchnie 05A 3

- powierzchnie walca (obrotowego), jesli prosta definiujaca jest rownoleg la do osi obrotu(powierzchnia znana z geometrii szko lnej),- powierzchnie hiperboloidy (obrotowej), jesli prosta definiujaca jest skosna wzgledem osiobrotu (rys. 5A-01).Gdy krzywa definiujaca jest okrag - to w zaleznosci od jej po lozenia wzgledem osi obrotuotrzymujemy:- sfere, jesli srodek okregu lezy osi obrotu (powierzchnia znana z geometrii szko lnej),- powierzchnie pierscieniowa (torus) 2 , jesli srodek okregu nie lezy na osi obrotu (w zasadzieprzyjmuje sie, ze okrag lezy w p laszczyznie osi obrotu i odleg losc srodka okregu jest wiekszaod promienia okregu 3 ) (rys. 5A-02).

2.2. Zakreslanie przez przesuniecie - powierzchnie walcowe

Dana jest krzywa definiujaca (ang. path curve, defining curve) oraz wektor kierunkowy (ang.direction vector) (rys. 5A-03). Powierzchnia jest zbiorem prostych (w AutoCADzie jestto zbior odcinkow) przecinajacych krzywa definiujaca. Rownania takiej powierzchni, przyza lozeniu, ze liczby a, b, c sa wspo lrzednymi wektora przesuniecia zas krzywa definiujaca marownania (1) maja postac:

x = x(t) + au, y = y(t) + bu, z = z(t) + cu, t ∈< t1, t2 >, u ∈< u1, u2 > . (7)

Przedzia l < u1, u2 > w praktycznych zastosowaniach, np. w komputerowej grafice inynierskiejjest ograniczony, natomiast formalnie jest zbiorem wszystkich lizcb rzeczywistych.

2.3. Zakreslanie przez ruch srubowy - powierzchnie srubowe

Dana jest krzywa definiujaca (ang. path curve, defining curve) oraz wektor kierunkowy (ang.direction vector), kat obrotu (ang. angle of revolution). Na rysunku 5A-05 krzywa definiujacajest odcinek. Powierzchnia otrzymana za pomoca ruchu srubowego odcinka (prostej) nazywasie powierzchnia srubowa lub helikoida. Krzywa, ktora wyznacza koniec odcinka nazywamylinia srubowa (rys. 5A-05a3). Przy za lozeniu, ze odcinek ma d lugosc a, zas skok linii srubowejma d lugosc b rownania linii srubowej w odpowiednio przyjetym uk ladzie maja postac:

x = acost, y = asint, z =b

2πt, t ∈< 0, 2π >, (8)

2Jesli, w pewnym uk ladzie wspo lrzednych, okrag o rownaniach

x = b + acosϑ, z = asinϑ, ϑ ∈< 0, 2π >, 0 < a < b. (4)

obraca sie doko la osi Oz, to powstaje powierzchnia zwana torusem, ktorej rownania parametryczne sa postaci

x = bcosϕ + acosϑcosϕ, x = bsinϕ + acosϑsinϕ, z = asinϕ, ϑ ∈< 0, 2π >, ϕ ∈< 0, 2π >, 0 < a < b. (5)

Jest to powierzchnia stopnia 4, gdyz daje sie ona, po eliminacji parametrow, przedstawic rownaniem

(x2 + y2 + z2 − a2 − b2)2 = 4b2(a2 − z2) (6)

i istnieja proste przecinajace te powierzchnie w czterech punktach.3W praktyce projektowania architektonicznego korzysta sie rowniez z powierzchni pierscieniowych, gdzie

warunek odleg losci srodka okregu od osi obrotu nie jest spe lniony, np. przy projektowaniu kopu l (por. rys.5B-17).


Rys. 5A-03: Powierzchnia walcowa otrzymana przez przesuniecie krzywej tworzacej (ang. path

curve) wzd luz odcinka - wektora kierunkowego (ang. direction vector)

i helikoidy:

x = (acost)u, y = (asint)u, z =b

2πt, t ∈< 0, 2π >, u ∈< 0, 1 > . (9)

W przypadku opisujacym helikoide powsta la przez obrot prostej w opisie parametrycznymparametr u przebiega ca ly zbior liczb rzeczywistych. Przez eliminacje parametrow otrzymu-jemy rownanie powierzchni srubowej w postaci jawnej: y = xtg 2πz

b.

2.4. Elipsa jako obraz okregu w powinowactwie

Sposrod roznych definicji elipsy na uwage zas luguje taka, wed lug ktorej elipsa jest obrazemokregu w powinowactwie. Przygladnijmy sie tej sytuacji rozwiazujac nastepujace zadanie.

Zadanie 1 Skonstruowac elipse jako obraz okregu w powinowactwie okreslonym przez os k ipare odpowiadajacych sobie punktow (Oo, Oe) (rys. 5A-07a).

Rozwiazanie zadania 1 opisane zosta lo na rysunkach 5A-07 ÷ 5A-11. Pokazano tam kon-strukcje punktu elispy jako obrazu dowolnie wybranego punktu na okregu w stosownie do-branym powinowactwie. Powinowactwo to moze byc zadane zupe lnie dowolnie. Jednakstosowny wybor czyni ca la konstrukcje bardziej elegancka i, jak sie wydaje, zdecydowaniebardziej przyjazna wykonawcy. Konstrukcje taka mozna powtarzac dowolna liczbe razy.Wielokrotne stosowanie takiej metody by loby jednak dosc uciazliwe nawet przy za loeniu,ze by loby realizowane na komputerze. W praktyce przyjmuje sie inny, o wiele prostszy, al-gorytm konstrukcji wynikajacy z w lasnosci okregu i powinowactwa jako odwzorowania geom-etrycznego. Jest to tzw. konstrukcja siatkowa (rys. 5A-12). Rzecz ciekawa, ze konstrukcjata moze byc wykorzystana w implementacji komputerowej. Implementacja taka zosta la zre-alizowana, gdyz standardowe aplikacje programu AutoCAD zawieraja funkcje rysujace elipse


Rys. 5A-04: Ruch w przestrzeni powsta ly przez z lozenie dwoch ruchow: obrotowego i postepowego

(w sensie geometrycznym jest to superpozycja dwu przekszta lcen: obrotu i przesuniecia)

Rys. 5A-05: Kszta ltowanie powierzchni srubowej (tzw. helikoidy) poprzez z lozenie obrotu z prze-

sunieciem

tylko w oparciu o jej osie, nie posiadaja natomiast polecen realizujacych konstrukcje elipsy woparciu o srednice sprzezone oraz funkcji rysujacych hiperbole i parabole 4.

4Procedury rysujace elipse, parabole i hiperbole zrealizowano w jezyku AutoLISP (E. Kozniewski: Nak ladki

na AutoCAD’a STOZKOWE I WIELOSCIANY wspomagajace realizacje rysunkow technicznych i nauczanie


Rys. 5A-06: Elipsa jako krzywa posiadajaca dwa ogniska F1, F2: a) zwiazki geometryczne miedzy

d lugosciami po losi i odleg loscia ogniska od srodka; b) promienie elipsy z danego punktu tworza

jednakowe katy ze styczna w tym punkcie - kat padania ”promienia” dzwiekowego jest rowny katowi

odbicia; c)-d) akustyczna w lasnosc elispy i elipsoidy - ogniska jako zrod lo i punkt wzmocnienia

dzwieku.

2.5. Opisy algebraiczne elipsy

Omawiajac w lasnosci warto przypomniec analityczny opis tej krzywej. W stosownie dobranymuk ladzie wspo lrzednych rownanie elipsy ma postac:

x2

a2+

y2

b2= 1, (10)

gdzie liczby a, b oznaczaja d lugosci po losi elipsy (rys. 5A-06). Jesli ponadto przez c oznaczymyodleg losc ogniska od srodka elipsy, to prawdziwa jest zaleznosc:

b2 + c2 = a2, (11)

ktora moze byc wykorzystana do konstrukcyjnego wyznaczania ogniska. Ponadto dla dowol-nego punktu danej elipsy suma promieni r1,r2 jest sta la i rowna 2a (r1 + r2 = 2a). W lasnoscta moze byc wykorzystana do konstrukcji elipsy, moze tez byc jej definicja. Do konstrukcjiwystarczy wtedy sznurek i dwie szpilki. Elipsa ma interesujace w lasnosci skupiajace promienienp. dzwiekowe (rys. 5A-06b) o ile zrod lo dzwieku znajduje sie w ognisku. Elipsa jest krzywastopnia drugiego i ma interesujace w lasnosci, ktore zosta ly wykorzystane przy projektowaniuwnetrz o specjalnych w lsnosciach akustycznych 5.

geometrii wykreslnej. Bia lystok 1994).5Przyk ladem takich rozwiazan projektowych moze byc sala w zamku Lubomirskich herbu ”Sreniawa”

w Wisniczu Starym k/Bochni, ktora ma w lasnosci akustyczne bedace konsekwencja elipsoidalnego kszta ltu


Rys. 5A-07: Za lozenia do zadania 1. Dany jest okrag o srodku Oo a) powinowactwo okreslone jest

przez przyjecie dowolnie osi k (stycznosc nie jest konieczna) i punktu Oe jako obrazu punktu Oo; b)

wybieramy dwie srednice prostopad le okregu (dla wygody konstruujemy kwadrat opisany na okregu

- po lozenie rownoleg le do osi k jednej ze srednic jest przyjazne ale nie konieczne) (cdn)

Rys. 5A-08: W okreslonym juz powinowactwie konstruujemy obraz srednicy okregu rownoleg lej do

osi k (cdn)

Inna postacia analityczna elipsy jest jej opis parametrczny:

x = acost, y = bsint, t ∈< 0, 2π > . (12)

Taki opis u latwia obliczanie pola powierzchni obszaru ograniczonego elipsa, ktore wynosiabπ.

2.6. Mimosrodowa w lasnosc elipsy

Najogolniejsza definicja elipsy, obejmujaca rowniez parabole i hiperbole, jest definicja stozkowej.Niech dane beda punkt F i prosta k nie incydujace ze soba. Stozkowa o ognisku F i kierownicyk nazywamy zbior punktow X spe lniajacych warunek:

d(X, F )

d(X, k)= e, (13)

gdzie d(X, F ) oznacza odleg losc punktu X od ogniska F , d(X, k) oznacza odleg losc punktuX od kierownicy k, zas e jest pewna liczba dodatnia zwana mimosrodem stozkowej. Wowczas

sklepienia. Zwiedzajacy moze byc swiadkiem nastepujacego zjawiska. Wystarczy cicho mowic w jednym rogusali, by przez druga osobe g los by l dobrze s lyszany w drugim rogu. Obserwujac rysunek 5A-06 nietrudnozauwazyc, ze punkty o takiej w lasciwosci znajduja sie w ogniskach elipsoidy, ktorej fragmentem jest sklepieniesali (rys. 5A-06c ÷ d). Dzwiek wydawany w punkcie F1 poprzez skupienie promieni w punkcie F2 ulegawzmocnieniu.


dla e < 1 mamy elipse, dla e = 1 - parabole i dla e > 1 - hiperbole. Ostatnia definicja mascis ly zwiazek z przekrojami stozka.

Rys. 5A-09: Konstruujemy: a4) obraz drugiej srednicy okregu i otrzymujemy tzw. srednice

sprzezone elipsy; a5) wybieramy na okregu dowolny punkt 1o i prowadzimy przez ten punkt i przez

srodek okregu (a wiec przez punkt, ktorego obraz w powinowactwie znamy) prosta. Znajdujemy

przy okazji drugi punkt 2o na okregu (cdn)

Rys. 5A-10: Znajdujemy: a6) obraz prostej oraz a7) obrazy 1e, 2e punktow 1o, 2o (cdn)

3. Hiperboloida obrotowa i schody krecone

Zadanie 2 A) Skonstruowac w programie AutoCAD, w trybie 2D, dowolna aksonometriehiperboloidy obrotowej jednopow lokowej, ktorej rownoleznikiem jest dana, narysowana wczesniejelipsa o danych osiach (rys.14A). B) Narysowac (tradycyjnie p-o) w rzutach prostokatnych(Monge’a) i w aksonometrii prawieprostokatnej 8 × 2 (16 × 2) 6 tworzacych hiperboloidy(rys.5A-14B). C) Narysowac za pomoca programu AutoCAD, w trybie 3D, hiperboloide jednopow lokowa.

Rozwiazanie zadania 2A. Narysowanie hiperboloidy obrotowej srodkami klasycznymi p-o,dok ladniej wybranej liczby jej tworzacych, w aksonometrii wymaga uzycia powinowactwaosiowego. I to niezaleznie, czy wykonujemy ja na komputerze w trybie 2D czy cyrklem ilinijka. Dopiero realizacja konstrukcji 3D odbywa sie za pomoca przekszta lcen w przestrzeni

6Liczba 16 × 2 oznazca, ze mamy narysowac dwie rodziny tworzacych hiperboloidy (rys. 5A-14A).


Rys. 5A-11: Wybierajac dowolna liczbe punktow na okregu otrzymujemy dowolna liczbe punktow

elipsy jako obrazu okregu w przyjetym powinowactwie (koniec)

Rys. 5A-12: Algorytm konstrukcji siatkowej elipsy jako konsekwencja w lasnosci powinowactwa

okregu i elipsy. W celu uporzadkowania systemu znajdowania obrazu okregu odcinki [Oo4o], [O∗

o4∗o]

dzielimy na dowolna liczbe rownych czesci odpowiednio punktami 1o, 2o, 3o; 1∗o, 2∗o, 3∗o. Zauwazmy,

ze trojkaty [AoOo1o], [B∗

oO∗

o1∗o] sa przystajace, zas katy ∠(AoOo1o), ∠(B∗

oO∗

o1∗o) sa rowne. Zatem

trojkaty [AoOo1o], [AoBoPo] sa podobne, a wiec kat ∠(AoPoBo) jest prosty i wobec tego punkt

Po lezy na okregu. Obraz Pe punktu Po lezy wiec na elipsie. Poniewaz powinowactwo zachowuje

stosunek podzia lu odcinka punkt Pe mozemy otrzymac dzielac odcinki [Oe4e], [O∗

e4∗e] na taka sama

liczbe rownych czesci punktami 1e, 2e, 3e; 1∗e, 2∗e, 3∗e i prowadzac odpowiednie proste. Jak widac

do konstrukcji wystarcza srednice sprzezone a liczba punktow podzia lu decyduje od dok ladnosci

aproksymacji krzywej lamana

(OBROT/REVOLUTION, w AutoCADzie jest to polecenie POWOBROT/REVSURF). Kon-strukcje 2D przedstawia rys. 5A-14. Przy za lozeniu, ze kreslimy tylko 8 tworzacych niemusimy korzystac z powinowactwa (rys. 5A-14), gdyz w tym przypadku podzia l elipsy jestzrealizowany przez przekatne rownoleg lboku. W przypadku innej, wiekszej liczby tworzacychwykorzystujemy powinowactwo (rys. 15 ÷ 17). Rysunek 5A-14 jest przede wszystkim


Rys. 5A-13: Ilustracja konstrukcji siatkowej elipsy: a) danej za pomoca srednic sprzezonych

cwiczeniem w rysowaniu za pomoca edytora graficznego (AutoCAD).Rozwiazanie zadania 2B. Opis rozwiazania przeprowadzimy komentujac sekwencje rysunkow5A-15 ÷ 5A-17. Zak ladamy (rys. 15a), ze:rys. 5A-15a) dana jest elipsa o danych dwoch srednicach sprzezonych przy czym srednicete musza byc zadane zgodnie z zasadami aksonometrii prawieprostokatnej (3:4), to znaczyprzyjmujemy uk lad osi aksonometrii i dwa po lowiace sie odcinki jeden wzd luz osi Oy, drugiskrocony w stosunku 3:4 wzd luz osi Ox (na rys. 15a srednice sprzezone przyjeto w dowolnejaksonometrii);rys. 5A-15a1) w celu odwzorowania elipsy na okrag konstrujemey os powinowactwa rownoleg lado jednej ze srednic przechodzaca przez koniec drugiej (to ostatnie za lozenie nie jest konieczneale wygodne);rys. 5A-15a2) konstruujemy rownoleg lobok i odpowiadajacy mu kwadrat definiujacy powinowactwo;rys. 5A-15a3) rysujemy okragirys. 5A-15a4) dzielimy go na n (n=16) rownych czesci;rys. 5A-16a5) przekszta lcamy przez powinowactwo otrzymane punkty rysujac przez dwa ztych punktow prosta w uk ladzie okregu;rys. 5A-16a6) znajdujemy obraz tej prostej;rys. 5A-16a7) znajdujemy obrazy dwoch punktow lezacych na tej prostej;rys. 5A-17a8) przekszta lcamy przez powinowactwo otrzymane pozosta le punkty rownomiernegopodzia lu okregu, otrzymujemy punkty podzia lu elipsy (n = 16 punktow);irys. 5A-17a9) rysujemy druga, przesunieta rownolegle, elipse i laczymy punkty dolnej elipsy zpunktami gornej elipsy przyjmujac przesuniecie o t(t = 4) punktow. Nalezy dodac, ze ustaw-ienie prostej tworzacej wzgledem osi obrotu jest zupe lnie dowolne.Na rysunku 5A-17a9 narysowano tylko jedna rodzine prostych, by rysunek ten by l mozliwie jaknajbardziej czytelny. Otrzymana powierzchnia moze pe lnic w praktyce interersujace funkcje


Rys. 5A-14: Konstrukcja rzutu aksonometrycznego hiperboloidy obrotowej w AutoCADzie metoda

2D. Zak ladamy, ze: a1) elipsa jest dana jako krzywa ciag la o danych osiach (dwoch srednicach

sprzezonych prostopad lych - ELLIPSE/ELIPSA). Rysujemy: a2) dowolna srednice i prosta do

niej rownoleg la za pomoca polecenia COPY/KOPIUJ; a3) obcinamy odcinki brzegiem elipsy

(TRIM/UTNIJ); a4) laczymy odcinkiem srodki odcinkow (PLINE/WIELOLINIA MIDpoint MID-

point(INTersec)); a5) Wyd luzamy (EXTEND/WYD LUZ) do brzegu elipsy; a6) Usuwamy linie pier-

wotne i pomocnicze (ERASE/WYMAZ); a7) konstruujemy rownoleg lobok; a8) i przekatne wyz-

naczajace punkty regularnego podzia lu elipsy na osiem czesci odpowiadajacego podzia lowi okregu

rownoleznika na osiem rownych czesci; A) Kopiujemy elipse pionowo i laczymy odpowiednie punkty

(”przesuwajac” gorne punkty, odpowiadajace dolnym punktom, o 2). Przesuniecie to moze byc

dowolne, wazne jest jednak, by zapewnic skosnosc tworzacej i osi paraboloidy. W tym wypadku

nie moze to byc wiec przesuniecie o 4. Dlaczego? Dlatego, ze wtedy odleg losc tworzacej od osi

by laby rowna zero (os i tworzaca by lyby prostymi przecinajacymi sie) i otrzymalibysmy tworzace

stozka. Otrzymana rodzina tworzacych, to rodzina prostych wzajemnie skosnych. Ale na hiper-

boloidzie obrotowej lezy jeszcze inna rodzina tworzacych. Jezeli bedziemy laczyc punkty ”prze-

suwajac” gorne w prawo o 2, to otrzymamy podobna rodzine tworzacych wzajemnie skosnych.

Warto dodac, ze proste z tych obu rodzin przecinaja sie; B) (hiperboloida w rzutach prostokatnych

(Monge’a) rozwiazanie klasyczne p-o). Zak ladamy, ze dane sa: okrag szyjny oraz dwa dowolnie

przyjete, symetryczne wzgledem p laszczyzny okregu szyjnego, okregi rownoleznikowe (rys. 5A-14B).

Tworzace kszta ltujemy rysujac w rzucie poziomym proste styczne do okregu szyjnego i znajdujac

punkty wspolne tych prostych (slady) z okregiem - rzutem poziomym okregow rownoleznikowych.

konstrukcyjne. Ma zastosowanie m.in. przy budowie silosow, ch lodni kominowych, wiezcisnien itp. 7.

7W Ciechanowie znajduje sie wieza cisnien, w ktorej konstrukcja nona jest ustroj hiperboloidy obrotowej,sam zbiornik ma kszta lt powierzchni torusoidalnej (S. Przew locki: Geometria wykreslna w budownictwie.Arkady. Warszawa 1982.)


Rozwiazanie zadania 2C. Za pomoca polecenia REVSURF/POWOBROT tworzymy hiper-boloide obrotowa. Przyjmujemy prosta pionowa oraz inna prosta skosna (PLINE/PLINIA zuzyciem filtru na przyk lad .xy).

Rys. 5A-15: Wykorzystanie powinowactwa i posrednictwa okregu do konstrukcji elipsy wraz z

punktami rownomiernego podzia lu: a) elipsa dana za pomoca srednic sprzezonych; a1) wybor osi

powinowactwa; a2)-a4) konstrukcja okregu - obrazu elipsy wraz z punktami podzia lu okregu

Zadanie 3 W oparciu o dokonany w zadaniu 1 podzia l stozkowej narysowac (tradycyjnie p-o) w rzutach prostokatnych i w aksonometrii prawieprostokatnej (3:4) schody krecone o osmiustopniach na jeden pe lny obrot (rys. 5A-18).

Rozwiazanie zadania 3. Konstrukcja schodow polega na ”podnoszeniu” na odpowiedniawysokosc czesci elipsy (rys. 5A-18a1 ÷ rys. 5A-18a2). Jest jednak pewien szczego l mi-anowicie wyznaczenie stycznych pionowych do elipsy (i odpowiednich punktow stycznosci).Do tego celu wykorzystamy powinowactwo osiowe (rys. 5A-18a3). Os schodow przekszta lcamydo uk ladu okregu (rys. 5A-18a3÷5A-18a4) i rysujemy proste styczne do okregu, rownoleg ledo przekszta lconej prostej (rys. 5A-19a7 ÷ rys. 5A-19a8), rownoczesnie znajdujemy punktystycznosci. Nastepnie ”wracamy” z prostymi stycznymi do uk ladu elipsy (rys. 5A-20a9 ÷

rys. 5A-20a10). Znajdujemy rownoczesnie punkty stycznosci prostych pionowych do elipsy wpodstawie schodow, ktore odpowiednio ”podnosimy”. Na rys. 5A-20a10 ”podniesiono” dwapunkty stycznosci. Rysunek 5A-21a10 w powiekszeniu pokazuje szczego ly konstrukcji.Przedstawiony algorytm konstrukcji schodow kreconych - to klasyczna konstrukcja za pomocasrodkow p-o chociaz w przestawianym materiale wyk ladow przedstawiona technika komput-erowa 2D. Cyrklem i linijka wykonywalibysmy te konstrukcje analogicznie. Interesujacym jestrowniez pokazac istote konstrukcji w innej logice niz klasyczna metoda konstrukcji.


Rys. 5A-16: Zasada znajdowania punktow i prostych - obrazow w powinowactwie

Rys. 5A-17: Punkty rownomiernego podzia lu elipsy i tworzace hiperboloidy jednopow lokowej obro-

towej

3.1. Konstrukcja schodow kreconych w programie AutoCAD za pomoca polecen

geometrii bry l

Schody krecone mozna zrealizowac za pomoca polecen geometrii bry l. Pos lugujac sie poleceni-ami geometrii bry l konstruujemy walec (CYLINDER) o wysokosci stopnia schodow i dowolna


Rys. 5A-18: Zasada konstrukcji aksonometrii schodow kreconych. Okreslenie powinowactwa

Rys. 5A-19: Konstrukcja obrazu osi schodow w powinowactwie i prostych stycznych do okregu i

punktow styzcnosci

kostke (BOX). Nastepnie za pomoca operacji boolowskich (UNION, SUBTRACT, INTER-SECT) kszta ltujemy odpowiedni schodek, ktory nastepnie kopiujemy w liczbie rownej liczbie

stopni, i kazdy i-ty schodek obracamy odpowiednio o kat 2πi

n, dla i = 1, 2, ..., n i przesuwamy

w odpowiedni punkt osi schodow. Nastepnie konstruujemy poleceniem WALEC/CYLINDERwalec o wymienionej wyzej osi stanowiacy nosny s lup schodow kreconych i dokonujemypo laczenia poleceniem SUMA/UNION. Konstrucja tych obiektow naturalnie nie wymaga


Rys. 5A-20: Konstrukcja konturowych stycznych pionowych do elips kszta ltujacych schody krecone

Rys. 5A-21: Fragment schodow kreconych w aksonometrii (jest to powiekszenie fragmentu rysunku

5A-20a10)

pos lugiwania sie powinowactwem. Obiekt jest bowiem konstruowany w przestrzeni wirtu-alnej, zas efekt wizualizacji w aksonometrii jest realizowany przez polecenie VPOINT.


Rys. 5A-22: Propozycja ukszta ltowania czesci dachu za pomoca powierzchni srubowej. Wewnatrz

domu i obok schody krecone zrealizowane za pomoca polecen geometrii bry l w AutoCADzie (BOX,

CYLINDER) i operacji boolowskich (UNION, SUBTRACT, INTERSECT) (fragment realizacji stu-

denckiego projektu ”Dom z kwiaciarnia” z przedmiotu architektura i urbanistyka na kierunku Bu-

downictwo Politechniki Bia lostockiej).

Rys. 5A-23: Schody skonstruowane za pomoca programu w jezyku PASCAL i importowane do

AutoCADa jako plik o rozszerzeniu DXF

3.2. Konstrukcja schodow kreconych w programie AutoCAD realizowana poza

AutoCADem

Skomplikowany obiekt geometryczny jakim sa schody krecone mozna narysowac za pomocaspecjalnie przygotowanego programu komputerowego, np. w jezyku PASCAL przygotowujacego


kod wejsciowy dla AutoCADa 8 przedstawiono. Program w PASCALu umozliwiajacy parame-tryczne ukszta ltowanie schodow przygotowuje odpowiedni plik w trybie DXF, ktory jestnatepnie importowany (DXFIN) do programu AutoCAD. Punkt ciezkowsci rozwiazania prob-lemu zosta l przeniesiony tym razem do srodowiska kompilatora jezyka PASCAL (rys. 5A-23).Schemat postepowania jest nastepujacy:

napisanie programu w jezyku PASCAL i jego kompilacja:

algorytm →edytorASCII→ schody.pas →TPC→ schody.exe

uruchomienie programu w Windows i importowanie do AutoCADa:

→schody.exe→ schody.dxf →AutoCAD(DXFIN)→ schody.dwg

Prezentowany program umozliwia narysowanie schodow o okreslonych przez parametry: liczbaschodkow, wysokosc schodka, wielkosc promienia zewnetrznego, wielkosc promienia wewnetrznego,liczba elementow sk ladowych schodka (prymitywow atomowych budowy bry ly, liczby skokowlinii srubowej indukowanej przez schody krecone). Zbudowany ”poza AutoCADem” (obiektgeometryczny) jest obiektem (entycja, prymitywem) AutoCADa. Konstrukcja pliku schody.dxfzosta la wykonana tak, by by l to pe lny obiekt wirtualny, ktory mozna cieniowac, chowackrawedzie niewidoczne itp.

Literatura

[Fol95] J. D. Foley i inni: Wprowadzenie do grafiki komputerowej (Introduction to Com-puter Graphics). Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa 1995.[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreslna z perspektywa stosowana. WydawnictwoNaukowe PWN. Warszawa 1995.[Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.Warszawa 1990.[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrecznik geometrii wykreslnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.Warszawa 1994.[Pik97] A. Pikon: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyzsze. WydawnictwoHELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, 1997.[Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreslna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.[Prz00] S. Przew locki: Geometria wykreslna w zastosowaniach dla budownictwa i architek-tury. Wydawnictwo Uniwersytetu Warminsko-Mazurskiego. Olsztyn 2000.

8Kozniewski E., Or lowski M.: Rysunki w srodowisku AutoCADa wykonywane poza AutoCADem. ZeszytyNaukowe PB BUDOWNICTWO nr 24. Bia lystok 2003.

Documents

Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich powierzchnie 05Amaterialy.wb.pb.edu.pl/edwinkozniewski/files/2014/04/wyk_05A.pdf · Podobnie powierzchnie opisuje sie¸ za pomoca¸ uk ladu