1

Metodi Numerici per la Grafica - A.A. 2005/06

Geometria per la Computer Graphics

Serena Morigi

2

A.A. 2005/06 2

860,000 facce860,000 860,000 faccefacce

H.Hoppe

3

A.A. 2005/06 3

Oggetti geometrici e trasformazioni• Rappresentiamo gli

oggetti usandoprimitive:– punti– linee, segmenti– piani, poligoni

• Vogliamo determinaredistanze, trasformazioni…

4

A.A. 2005/06 4

Sistemi di coordinate

x

y

z

• Right handed coordinate system

In CG si usa la convenzione dell’asse z

uscente dallo schermo

5

A.A. 2005/06 5

Scalari Punti e vettori: definizioni• Scalare entità che ha come unico attributo un valore

numerico che specifica una quantità

• Punto entità che ha come unico attributo unaposizione nello spazio (o nel piano)

• Vettore Entità I cui attributi sono: modulo(lunghezza) e un orientamento (direzione e verso). Non ha una posizione fissata nello spazio.

Punti ≠ Vettori

6

A.A. 2005/06 6

Spazio vettoriale (lineare)

• Contiene entità VETTORI e SCALARI• Operazioni:

– Moltiplicazione scalare per vettore– Somma vettori

-0.5v

v

7

A.A. 2005/06 7

vettore + vettore = vettore

Regola del Parallelogramma

8

A.A. 2005/06 8

COMBINAZIONE LINEARE

Vwvavavaw nn

∈+++= .....2211

Dato un insieme di n vettori di uno spazio lineare V e un insieme di scalari, la combinazione lineare

produce un vettore in V.In uno spazio lineare di vettori in R3, la base v0,v1,v2 costituisce un sistema di coordinate

9

A.A. 2005/06 9

SPAZIO VETTORIALE con Prodotto scalare (o prodotto interno)

Norma 2 o norma Euclidea

( )∑=

===n

ii

T xxxxxx1

22

,

∑=

ℜ==x

i

nii

T inyxxyyx1

,

Dati due vettori produce uno scalare

10

A.A. 2005/06 10

Lunghezza di un vettore• La lunghezza di un vettore è data da:

• Un vettore di lunghezza =1.0 è chiamatovettore unitario

• Normalizzare un vettore significa renderlounitario:

222zyx vvvv ++=

vv

11

A.A. 2005/06 11

Prodotto Scalare

θcos||||||||, ⋅⋅=>< wvwv

θ

L v

w

||w||||v||, θcos >

12

A.A. 2005/06 12

Vettore Proiezione /proiezione ortogonale• Se ||v||=1.0 allora è la lunghezza del

vettore proiezione u di w su v

w

v

u

vwvvvwu >=

13

A.A. 2005/06 13

Prodotto Scalare in coordinate

v

w

xv

yv

xw

yw

x

y

O

wvwv

ww

vv

yyxxwvyxw

yxv

+=><==

,),(

),(

14

A.A. 2005/06 14

Componenti del punto P• Decomporre v nelle

sue componenti:v = v|| + v⊥

– v|| = n => v|| || n

– v⊥ = v – v|| => v⊥⊥n

O

nP

vv⊥

v||

15

A.A. 2005/06 15

Vettori perpendicolari

v

v⊥

),(),(0,

vvvv xyvyxvwv

−±=⇒=

=><⊥

16

A.A. 2005/06 16

Cross Product

[ ]xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

babababababa

bbbaaakji

−−−=×

=×

ba

ba

17

A.A. 2005/06 17

Proprietà del Cross Product

0

sin

=×

=×

=×

×

ba

ba

baba

ba

θ

area del parallelogramma ab

è un vettore perpendicolare sia a a che a b, nella direzione definitadalla regola della mano destra

se a e b sono paralleli

18

A.A. 2005/06 18

Esempio: Normale ad un triangolo

• Determina la normale di lunghezzaunitaria di un triangolo definito da punti3D a, b, e c

ab

c

19

A.A. 2005/06 19

Esempio: Normale ad un triangolo

( ) ( )

∗

∗

∗

=

−×−=

nnn

acabn

b-a

c-a

ab

c

20

A.A. 2005/06 20

Esempio: Area di un triangolo

• Trova l’area del triangolo definito daipunti 3D a, b, e c

ab

c

21

A.A. 2005/06 21

Esempio: Area di un triangolo

( ) ( )acab −×−=21area

b-a

c-a

ab

c

22

A.A. 2005/06 22

Esempio: Allineamento al Target

• Un oggetto è in posizione p in direzioneunitaria h. Vogliamo ruotarlo in modo che la sua direzione sia rivolta verso un target t. Trova un asse unitario a e un angolo θ attorno al quale ruotare.

•

•

ph

t

23

A.A. 2005/06 23

Esempio: Allineamento al Target

•

•

ph

tt-pθ

a

( )( )

( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−⋅

=

−×−×

=

−

ptpth

pthptha

1cosθ

24

A.A. 2005/06 24

Classe vettoreclass Vector3 {public:

Vector3() {x=0.0f; y=0.0f; z=0.0f;}Vector3(float x0,float y0,float z0) {x=x0; y=y0; z=z0;}void Set(float x0,float y0,float z0) {x=x0; y=y0; z=z0;}void Add(Vector3 &a) {x+=a.x; y+=a.y; z+=a.z;}void Add(Vector3 &a,Vector3 &b) {x=a.x+b.x; y=a.y+b.y; z=a.z+b.z;}void Subtract(Vector3 &a) {x-=a.x; y-=a.y; z-=a.z;}void Subtract(Vector3 &a,Vector3 &b) {x=a.x-b.x; y=a.y-b.y; z=a.z-b.z;}void Negate() {x=-x; y=-y; z=-z;}void Negate(Vector3 &a) {x=-a.x; y=-a.y; z=-a.z;}void Scale(float s) {x*=s; y*=s; z*=s;}void Scale(float s,Vector3 &a) {x=s*a.x; y=s*a.y; z=s*a.z;}float Dot(Vector3 &a) {return x*a.x+y*a.y+z*a.z;}void Cross(Vector3 &a,Vector3 &b)

{x=a.y*b.z-a.z*b.y; y=a.z*b.x-a.x*b.z; z=a.x*b.y-a.y*b.x;}float Magnitude() {return sqrtf(x*x+y*y+z*z);}void Normalize() {Scale(1.0f/Magnitude());}

float x,y,z;};

25

A.A. 2005/06 25

Spazio Affine• In uno spazio lineare manca il concetto

di posizione.• Estensione dello spazio vettoriale che

include l’entità PUNTO.• Nuova operazione:

- somma punto + vettore: definisce un nuovo punto

- Differenza punto-punto: definisce un vettore

26

A.A. 2005/06 26

Punto + vettore = punto

A

B=A+v

27

A.A. 2005/06 27

punto - punto = vettore

A

BB –A

A

BA – B

28

A.A. 2005/06 28

punto + punto : non definita!!

29

A.A. 2005/06 29

Map tra punti e vettori

• Se abbiamo un sistema di coordinate con origine O

• Definiamo la corrispondenza tra punti e vettori:

vOvOPPP

+→−=→

r

30

A.A. 2005/06 30

COMBINAZIONE AFFINE

1..........

21

2211

=++++++=

n

nn

aaacertiperPaPaPaP

E’ una combinazione lineare di punti con i coefficienti a somma 1

Le coordinate (a1,a2,...,an) sono le coordinate baricentriche di P nello spazio affine

Combinazioni affini con i coefficienti (a1,a2,...,an) limitati in [0,1] si dicono combinazioni convesse

31

A.A. 2005/06 31

Convex hull• Dato un insieme di punti

• L’insieme dei punti P che possono essere rappresentati dalla combinazione convessa di questi è chiamato convex hull (guscio convesso) dell’insieme

• E’ il più piccolo insieme convesso che contiene questi punti

nPPP ,.....,, 21

P

32

A.A. 2005/06 32

Coordinate Baricentriche (2D)• Definire la posizione di un punto rispetto ad altri

punti A,B,C.• P = αA + βB + γC, dove A, B, C non sono allineati,

e α, β, γ ∈ R.• (α, β, γ) sono COORDINATE BARICENTRICHE di

P rispetto a A, B, C (uniche!)• Se P è all’interno del triangolo, α, β, γ ∈ [0, 1], α+β+γ = 1

A B

C

P

R

QQ, R??

33

A.A. 2005/06 33

Coordinate Baricentriche (2D)

A B

C

P

triangolodel area'ldenota,,

,,,,

,,,,

,,,,

⋅⋅⋅

++= CCBABAP

BCBAACP

ACBACBP

Prrrr

34

A.A. 2005/06 34

Linea in uno spazio affine:Rappresentazione parametrica di una retta

),(,0 ∞−∞∈+= tvtP(t)l

P0

vt > 0

t < 0 t = 0

35

A.A. 2005/06 35

Equazione parametrica di un raggio

P0

v

36

A.A. 2005/06 36

Equazione parametrica di un raggio

),0(,0 ∞+∈+= tvtP(t)l

P0

vt > 0

t = 0

37

A.A. 2005/06 37

Distanza fra due punti

B

A

xB

yB

xA

yA

x

y

O

22 )()(

,

||||),(dist

ABAB yyxx

ABAB

ABBA

−+−=

=>−−

38

A.A. 2005/06 38

Distanza tra un punto e una linea

Trova un punto Q’ tale che (Q− Q’)⊥vdist(Q, l) = ||Q − Q ’ ||

P0

v

Q

Q’ = P0 +tv

2

202

022

200

0

0

||||,||||||||),(dist

||||,

,,

0,,0,

0,

vvPQPQQQlQ

vvPQ

vvvPQt

vvtvPQvtvPQ

vQQ

>−<−−=′−=

>−<=

><>−<

=

=>−<=>−−<

=>′−<

l

39

A.A. 2005/06 39

Interpretazione geometrica

P0

v

Q

Q’

.||||,||||

||||),(dist

||||,||||),(dist

:

2

202

0

220

20

20

22

vvPQPQ

LPQQQ

vLvPQPQQQL

>−<−−=

=−−=′⇒

=>−<−=′+

Pitagora l

L

40

A.A. 2005/06 40

Distanze tra punti e linee in 3D

• La rappresentazione parametrica di unalina è indipendente dalle coordinate

• v e P0 e il punto Q possono essere in 2D o in 3D o in altre dimensioni….

41

A.A. 2005/06 41

Equazione implicita di una retta in 2D0,R,,,0 ≠∈=++ BACBACByAx

x

y Ax+By+C > 0

Ax+By+C < 0

Ax+By+C

= 0

42

A.A. 2005/06 42

Intersezione linea-segmento

0))((linea laintersecaQQsegmentoIl

2211

21

≤++++⇔⇔

CByAxCByAx

x

yAx+By+C > 0

Ax+By+C < 0

Q1 (x1, y1)

Q2 (x2, y2)

43

A.A. 2005/06 43

Rappresentazione di un piano in unospazio 3D

• Il piano π è definito da una normale n e un puntonel piano (P0).

• Un punto Q appartiene al piano ⇔ = 0• La normale n è perpendicolare a tutti i vettori nel

pianon

P0Q

π

44

A.A. 2005/06 44

Distanza tra un punto e un piano

• Proietta il punto sul piano nelladirezione della normale:

dist(Q, π) = ||Q’ – Q||

n

P0Q’ π

Q

45

A.A. 2005/06 45

Distanza tra un punto e un piano

n

P0Q’π

Q

.||||,||||||'||),(dist

||||,

0,,0,

0,R,||)(

2

202222

20

0

0

0

nnPQnsQQQ

nnQPs

nnsnPQnsnPQ

nPQsnQQssnQQnQQ

>−<==−=

>−<=

=>−<=>+−<

=>−′<+=′⇒∈=−′⇒−′

π

46

A.A. 2005/06 46

Rappresentazione implicita di un piano in 3D

0,R,,,,0 ≠∈=+++ CBADCBADCzByAx

• (x, y, z) sono le coordinate di un punto sul piano• (A, B, C) sono le coordinate di un vettore

normale al piano

Ax+By+Cz+D > 0

Ax+By+Cz+D < 0

Ax+By+Cz+D = 0

47

A.A. 2005/06 47

Distanza tra due linee in 3D

P1

P2

u

v

d

La distanza è considerata tra due punti Q1 e Q2 tali che (Q1 – Q2) ⊥ u e (Q1 – Q2) ⊥ v

Q1

Q2

l1

l2

tvPtlsuPsl

+=+=

22

11

)()(

48

A.A. 2005/06 48

Distanza tra due linee in 3D

P1

P2

u

v

d

Q1

Q2

l1

l2

tvPtlsuPsl

+=+=

22

11

)()(

⎩⎨⎧

=>−+−<=>−+−<

0,)(0,)(

21

21

vtvsuPPutvsuPP

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−>−<

=>−<

0||||,),(

0,||||),(2

21

221

vtvusvPP

uvtusuPP

49

A.A. 2005/06 49

Distanza tra due linee in 3D

P1

P2

u

v

d

Q1

Q2

l1

l2

tvPtlsuPsl

+=+=

22

11

)()(

2222121

2

22221

221

,||||||||,,,||||~

,||||||||,||||,,~

>−−<

=

>−−<

=

vuvuPPuvuPPuut

vuvuPPuvPPvvus

50

A.A. 2005/06 50

Distanza tra due linee in 3D

P1

P2

u

v

d

Q1

Q2

l1

l2

tvPtlsuPsl

+=+=

22

11

)()(

||)~()~(||),(dist 2121 tlslll −=

51

A.A. 2005/06 51

Esempio di utilizzo: warping

52

A.A. 2005/06 52

Esempio di utilizzo: warping

TARGET

AB

C

A′B′

C′

Prendiamo le coordinate baricentricheα, β, γ di P’ rispetto a A’, B’, C’

Color(P) = Color(α A + β B + γ C)

P′P

P′

53

A.A. 2005/06 53

Sistemi di riferimento• Un sistema di riferimento (frame) è definito

dalla quaterna (Po,v1,v2,v3) dove – Po è un punto di origine– E una base [v1,v2,v3]In esso si può rappresentare univocamente un punto

3322110 vavavaPP +++=

54

A.A. 2005/06 54

Coordinate omogenee• Rappresentare sia vettori che punti con

terne di scalari è ambiguo..• Adottiamo un sistema di coordinate che

permetta di rappresentare punti e vettori in due modi distinti

• Un punto si può esprimere come

• Un vettore si può esprimere come332211 vavavaw ++=

3322110 vavavaPP +++=

55

A.A. 2005/06 55

Coordinate omogenee• Assumendo la convenzione che

1*P=P e 0*P=0

• Un punto si può esprimere come

• Un vettore si può esprimere come0332211 0 Pvavavaw ⋅+++=

0332211 1 PvavavaP ⋅+++=

56

A.A. 2005/06 56

Coordinate omogenee• Quindi ogni punto/vettore viene espresso da

4 coordinate: la quarta coordinata dei vettori vale 0, la quarta coordinata dei punti vale 1

• In forma matriciale, le coordinate di un vettore:

le coordinate di un punto:

[ ]Taaa 0321[ ]Taaa 1321

57

A.A. 2005/06 57

Coordinate omogenee• Ogni punto/vettore si ottiene moltiplicando

le sue coordinate per la matrice 4x4 del sistema di riferimento:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

3

2

1

321 0

Pvvv

aaav [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

3

2

1

321 1

Pvvv

aaaP

58

A.A. 2005/06 58

Cambio di sistema di riferimento

• Dati due sistemi di riferimento:

• Esprimiamo origine e vettori di uno in termini dell’altro:

• Questo definisce la matrice 4x4 di cambiamanto del sistema di riferimento

{ } { }

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+++=++=++=++=

1000

,,,,,,,

434241

333231

232221

131211

03432421410

3332321313

3232221212

3132121111

03210321

aaaaaaaaaaaa

M

PvavavaQvavavauvavavau

vavavau

QuuuPvvv

59

A.A. 2005/06 59

Cambio di sistema di riferimento• Abbiamo quindi

• Dato un vettore/punto e le sue rappresentazioni a nel primo e b nel secondo sistema, abbiamo:

aMbbMa

Pvvv

a

Pvvv

Mb

Quuu

b

Pvvv

M

Quuu

T

TTTT

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

)( −==

⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

60

A.A. 2005/06 60

Esempio: posizionare la camera• Sistema del mondo: (x,y,z,O)• Sistema di vista: (xv,yv,zv,COP)• Esprimiamo il sistema di vista in termini del

sistema del mondo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ozyx

M

COPzyx

v

v

v

COP

yv

zv xv

z

xy

61

A.A. 2005/06 61

Esempio: posizionare la camera

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ozyx

zyxCOPzyx

copcopcop

v

v

v

1000101000010

COP

yv

zv xv

z

xy

Posizione di COP nel sistema del mondo

62

A.A. 2005/06 62

Esempio: posizionare la camera• Dato un punto P della scena avente coordinate

(xp,yp,zp,1) nel sistema di coordinate mondo• Le coordinate di P nel sistema di vista sono date da

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1

1

p

p

p

T

zyx

M

COP

yv

zv xv

z

xy

P

63

A.A. 2005/06 63

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

• Consideriamo le trasformazioni che modificano le coordinate di un oggetto per ottenerne un altro simile ma differente per posizione, orientamento e dimensione.

• Altera la geometria lasciando invariata la topologia

64

A.A. 2005/06 64

Traslazione in 2D• Traslazione di d=(dx,dy)

Ogni punto dell’oggettoViene traslato di d

Ov

v+d

yyy

xxx

dvvdvv

+=′+=′

65

A.A. 2005/06 65

Rotazione in 2D• Rotazione rispetto all’origine di un angolo θ.

O

θ

Angoli positivi significadirezione anti-orariacounter-clockwise.

66

A.A. 2005/06 66

Rotazione in 2D

O

θ

• Rotazione rispetto all’origine di un angolo θ.

Angoli positivi significadirezione anti-orariacounter-clockwise.

67

A.A. 2005/06 67

Rotazione in 2D –rappresentazione matriciale• Moltiplica (x, y) per la

matrice di rotazione:

O

θ P (x, y)

P’ = Rθ (P)

θθθθ

θθθθ

θ

cossinsincos

cossinsincos

)(

yxyyxx

yx

yx

PRP

+=′−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=′

68

A.A. 2005/06 68

Scala in 2D

O

• Uniforme sx=sy• Non unifome sx≠sy• rispetto all’origine

eriflessionsyosxeingrandiscsysxiscerimpicciolsysx

ysyyxsxx

yx

sysx

yx

PSP

001,

1,0**

00

)(

69

A.A. 2005/06 69

Trasformazione lineare• Ogni trasformazione lineare è rappresentata da

una matrice M non singolare tale che

• Ogni matrice non singolare rappresenta unatrasformazione lineare

vMv ⋅=′ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

11

baba

M

2121 ''' vvvv ∈=>∈ vv

70

A.A. 2005/06 70

Trasformazione affine

222

111

dvbvav

dvbvav

yxy

yxx

++=′

++=′

+⋅=′ dvMv

Composizione di trasformazioni lineari e traslazioni

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

y

x

y

x

y

x

dd

vv

baba

vv

22

11'

'

71

A.A. 2005/06 71

Trasformazioni affiniin Coordinate omogenee

vMv ⋅=′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′

++=′

++=′

1100122

11

222

111

y

x

y

x

y

x

yxy

yxx

vv

dbadba

vv

dvbvav

dvbvav

72

A.A. 2005/06 72

Trasformazioni affiniin Coordinate omogenee

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′

11000)cos()sin(0)sin()cos(

1

11001001

1

11000000

1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

vv

vv

vv

dd

vv

vv

sysx

vv

ϑϑϑϑ

73

A.A. 2005/06 73

Invertibilità delle trasformazioni

)/1,/1()()()(

)()()(

1

1

1

'1'

1

yx

T

ssSsSdTdT

RRRPMPMPP

IMM

=

−=

==−

=>−=

=

−

−

−

−

−

ϑϑϑ

74

A.A. 2005/06 74

Concatenazione di trasformazioni• Dato un vettore/punto v, e una matrice di

rotazione lungo l’asse x Rx, generiamo ilvettore/punto ruotato v′:

• Se poi vogliamo ruotare quel vettore rispettoall’asse y, possiamo semplicemente:

( ) vRv ⋅=′ θx

( )( ) ( )( )vRRv

vRv

⋅⋅=′′

′⋅=′′

θφ

φ

xy

y

75

A.A. 2005/06 75

• Se v è trasformato in v’ mediante una sequenza di trasformazioni

• Per la proprietà associativa si può considerare un’unicamatrice di trasformazione

• Nota: NON vale la proprietà commutativa del prodotto , quindi l’ordine è importante

Concatenazione di trasformazioni

( )( )( )vMMMMv ⋅⋅⋅⋅=′ 1234

( ) vMMMMv ⋅⋅⋅⋅=′ 1234

vMvMMMMM

⋅=′⋅⋅⋅=

total

total 1234

76

A.A. 2005/06 76

Esempio

x

y

77

A.A. 2005/06 77

Trasformazioni rispetto ad un punto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡′′

11001001

1000)cos()sin(0)sin()cos(

1001001

1

originedall' diverso puntoun ad rispetto rotazione1100

1001

1000000

1001001

1

originedall'diversopuntoun ad rispetto scala

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

vv

dydx

dydx

vv

vv

dydx

ss

dydx

vv

ϑϑϑϑ

78

A.A. 2005/06 78

Traslazione 3D

• Espandiamo questa equazione in

• Ovvero

dvv +=′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

z

y

x

z

y

x

z

y

x

ddd

vvv

vvv

zzz

yyy

xxx

dvv

dvvdvv

+=′

+=′+=′

79

A.A. 2005/06 79

Trasformazioni affini 3D in coordinate omogenee

• Forma matriciale generale

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

110001z

y

x

z

y

x

z

y

x

vvv

dihgdfeddcba

vvv

80

A.A. 2005/06 80

Traslazione 3D in coordinate omogenee• Forma matriciale generale

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

11000100010001

1z

y

x

z

y

x

z

y

x

vvv

ddd

vvv

81

A.A. 2005/06 81

Rotazioni in 3D

• Rotazione attorno all’asse z in forma matriciale:

in forma più compatta:

vv ⋅=′ )(ϑzR

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

110001000)cos()sin(0)sin()cos(

1z

y

x

z

y

x

z

y

x

vvv

ddd

vvv

ϑϑϑϑ

82

A.A. 2005/06 82

Matrici di rotazione attorno agli assi x, y, e z :

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000010000cossin00sincos

θθθθ

θzR

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

10000cossin00sincos00001

θθθθ

θxR

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

10000cos0sin00100sin0cos

θθ

θθ

θyR

Rotazioni attorno ad uno stesso asse sono commutative

83

A.A. 2005/06 83

Rotazione attorno ad un asse arbitrario

• Rotazione attono ad un asse unitario a di un angolo θ

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−−−−−−++−+−−−−+

=

10000)1()1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(

,

22

22

22

zzxzyyzx

xzyyyzyx

yzxzyxxx

a

acasacaasacaasacaaacasacaasacaasacaaaca

θθθθθ

θθθθθ

θθθθθ

θaR

84

A.A. 2005/06 84

• Ogni dimensione ha il suo scale factor

si hanno quindi le equazioni

Scala Uniforme/Non-Uniforme

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

11000000000000

1z

y

x

z

y

x

z

y

x

vvv

ss

s

vvv

zzz

yyy

xxx

vsv

vsvvsv

=′

=′=′

85

A.A. 2005/06 85

• Altera 2 o 3 dei valori delle coordinate proporzionalmente al valore delle altre coordinate;

• Hij i coord. da cambiare, j coord. che deforma

Trasformazione affine di SHEAR

]1['100001000010001

)(

zyzx

xz

vvsvvv

s

sH

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=s

Analogamente per Hxy, Hyx, Hyz, Hzx, Hxy, Hzy

86

A.A. 2005/06 86

Trasformazioni di Shear

• Una generica matrice di trasformazione di shear:

• Con shear singolo, solo una delle costanti è non nulla

• Shears sono usate in CG per semplici deformazioni o effetti cartoon-like.

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000010101

...65

43

21

61 zzzzzz

zzH

87

A.A. 2005/06 87

Rigid-Body transformation

• Una trasformazione si definisce rigida se riposiziona gli oggetti lasciando invariata la loro forma e dimensione

• Concatenazione di rotazioni e traslazioni• Preserva lunghezze ed angoli fra linee