Geometria szkolna

Maciej CzarneckiKatedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego

maczar@math.uni.lodz.pl

1

Spis treści

1 Geometria euklidesowa 31.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Norma, odległość, kąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Podprzestrzenie liniowe i afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Figury wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Przekształcenia afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Objętość i pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Aksjomaty geometrii płaskiej 112.1 Aksjomaty Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Aksjomaty Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Okrąg i prosta 13

4 Własności miarowe w trójkącie 17

5 Konstrukcje geometryczne 24

6 Wielokąty 266.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 Czworokąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Wielościany 317.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.2 Wielościany foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3 Objętość wielościanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Izometrie i podobieństwa płaszczyzny 378.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.2 Izometrie parzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.3 Izometrie nieparzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.5 Podobieństwa płaszczyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.6 Uwagi o izometriach przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9 Inwersje 43

10 Twierdzenia rzutowe 46

2

1 Geometria euklidesowa

1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa

Definicja 1.1. Rozważamy przestrzeń liniową Rn, n ­ 2, czyli zbiór

{x = (x1, . . . , xn) ; x1 ∈ R, . . . , xn ∈ R}

z działaniami: dodawania wektorów

x+ y = (x1 + y1, . . . , y1 + yn) dla x, y ∈ Rn

oraz mnożenia wektora przez skalar

a · x = (ax1, . . . , axn) dla x ∈ Rn, a ∈ R.

Działanie dodawania wektorów jest więc łączne i przemienne oraz ma element neutralny θ =(0, . . . , 0) oraz każdy wektor x ma wektor przeciwny −x = (−x1, . . . ,−xn). Ponadto mnożenie wek-tora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorach i względem dodawania skalarów, mawłasność mieszanej łączności (czyli a · (b · x) = (ab) · x) oraz 1 · x = x dla x ∈ Rn.

Definicja 1.2. W przestrzeni Rn określony jest (standardowy) iloczyn skalarny

〈x, y〉 = x1y1 + . . .+ xnyn.

Definicja 1.3. Rozważamy także strukturę punktów i wektorów zwaną przestrzenią afiniczną En, wktórej zbiorem punktów jest zbiór n–tek liczb rzeczywistych, funkcję przestrzeni liniowej pełni Rn, aoperacja przypisana dwóm punktom wektora jest dana wzorem

−→pq = q − p = (q1 − p1, . . . , qn − pn).

Wówczas dla każdego punktu p ∈ En oraz każdego wektora v ∈ Rn istnieje dokładnie jeden takipunkt q ∈ En, że −→pq = v (co zapisujemy po prostu q = p + v) oraz spełniona jest dla dowolnychpunktów równość trójkąta

−→pq +−→qr = −→pr.

Definicja 1.4. (Standardową) n–wymiarową przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afinicz-ną En wraz z określonym w przestrzeni jej wektorów Rn standardowym iloczynem skalarnym.

1.2 Norma, odległość, kąt

Definicja 1.5. Normą (lub długością) wektora v nazywamy liczbę (nieujemną)

‖v‖ =√〈v, v〉.

Kątem pomiędzy niezerowymi wektorami v, w nazywamy liczbę

^(v, w) = arc cos〈v, w〉‖v‖ ‖w‖

.

Mówimy także, że dwa wektory są prostopadłe, gdy mają zerowy iloczyn skalarny (o ile są niezerowetworzą wtedy kąt π

2 ).

3

Definicja 1.6. Odległością punktów p, q nazywamy liczbę (nieujemną)

|pq| = ‖−→pq‖ = ‖q − p‖.

Możemy też określić odległość niepustych podzbiorów X, Y ⊂ En

d(X, Y ) = inf{|xy| ; x ∈ X, y ∈ Y }.

Twierdzenie 1.7 (nierówność Schwarza). Dla dowolnych wektorów v, w spełniony jest warunek

|〈v, w〉| ¬ ‖v‖ ‖w‖,

a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe (czyli jeden jest iloczynem drugiegoprzez skalar).

Wniosek 1.8 (nierówność trójkąta). Dla dowolnych punktów p, q, r:

|pr| ¬ |pq|+ |qr|,

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt q leży na odcinku pr (czyli gdy dla pewnejliczby a ∈ [0, 1] zachodzi równość −→pq = a · −→pr).

Twierdzenie 1.9 (twierdzenie cosinusów). Dla dowolnych niezerowych wektorów v, w:

‖v + w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 + 2‖v‖ ‖w‖ cos^(v, w).

Wniosek 1.10 (twierdzenie Pitagorasa). Równość

‖v + w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2

spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v, w są prostopadłe.

1.3 Podprzestrzenie liniowe i afiniczne

Definicja 1.11. Kombinacją liniową wektorów v1, . . . , vk ∈ Rn o współczynnikach a1, . . . , ak ∈ Rnazywamy wektor a1 · v1 + . . .+ ak · vk.

Środkiem ciężkości punktów p0, p1, . . . , pk ∈ En o wagach a0, a1, . . . , ak ∈ R, spełniających waru-nek a0+a1, . . .+ak = 1 nazywamy punkt q = a0p0+a1p1+. . .+akpk taki, że−→p0q = a1

−−→p0p1+. . .+ak−−→p0pk.

Definicja 1.12. Układ wektorów jest liniowo niezależny, gdy żaden jego element nie jest żadnąkombinacją liniową pozostałych.

Podobnie, układ punktów jest w położeniu ogólnym, gdy żaden jego element nie jest żadnymśrodkiem ciężkości pozostałych.

Dwa wektory są równoległe (odpowiednio zgodnie zorientowane), gdy jeden jest iloczynem dru-giego przez pewną liczbę rzeczywistą (odpowiednio nieujemną).

Trzy (odpowiednio cztery) punkty są niewspółliniowe (odpowiednio niewspółpłaszczyznowe), gdysą w położeniu ogólnym.

Definicja 1.13. Podprzestrzeń liniowa (odpowiednio podprzestrzeń afiniczna) jest niepustym pod-zbiorem przestrzeni liniowej zamkniętym ze względu na kombinacje liniowe (odpowiednio środkiciężkości).

4

Definicja 1.14. Bazą podprzestrzeni liniowej jest taki liniowo niezależny układ jej wektorów, któregokombinacje liniowe opisują całą podprzestrzeń.

Baza (v1, . . . , vk) jest bazą ortonormalną, gdy 〈vi, vi〉 = 1 oraz 〈vi, vj〉 = 0 dla i, j = 1, . . . , k.Wymiarem podprzestrzeni liniowej jest liczba elementów jej bazy.

Stwierdzenie 1.15. Każdą podprzestrzeń afiniczną H ⊂ En można przedstawić w postaci

p+ U = {p+ u ; u ∈ U},

gdzie p jest punktem, a U podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej Rn.

Definicja 1.16. Wymiar podprzestrzeni afinicznej jest równy wymiarowi związanej z niej podprze-strzeni liniowej.Prosta (odpowiednio płaszczyzna, hiperpłaszczyzna) jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni Enwymiaru 1 (odpowiednio 2, n− 1).

Przykład 1.17. Podprzestrzeń afiniczna 0–wymiarowa jest pojedynczym punktem, prostą możnazapisać jako p, p+v = p+lin (v), gdzie v 6= θ, zaś płaszczyznę w postaci p, p+v, p+w = p+lin (v, w),gdzie v, w są wektorami liniowo niezależnymi.Hiperpłaszczyznę można określić przez jej dopełnienie ortogonalne pisząc p+ u⊥, gdzie u jest nieze-rowym (często po prostu jednostkowym) wektorem prostopadłym do wszystkich wektorów tej hiper-płaszczyzny.

Definicja 1.18. Podprzestrzenie afiniczne H1 = p1 +U1, H2 = p2 +U2 są równoległe, co zapisujemyH1 ‖ H2, gdy U1 ⊂ U2 lub U2 ⊂ U1.

Definicja 1.19. Załóżmy, że podprzestrzenie afiniczne H1 = p1 +U1, H2 = p2 +U2 mają co najwyżejjeden punkt wspólny. Wówczas kątem pomiędzy podprzestrzeniami H1, H2 nazywamy liczbę

^(H1, H2) = min{^(u1, u2) ; u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}.

Uwaga 1.20. Określa się także w nieco inny sposób kąt pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami jakokąt pomiędzy ich wektorami normalnymi (czyli prostopadłymi do tych hiperpłaszczyzn).

1.4 Figury wypukłe

Definicja 1.21. Odcinkiem o końcach p, q ∈ En, gdzie p 6= q, nazywamy zbiór

pq = {p+ a−→pq ; a ∈ [0, 1]} = {αp+ βq ; α, β ­ 0, α + β = 1}.

Trójkątem o wierzchołkach p, q, r ∈ En, gdzie punkty p, q, r są niewspółliniowe, nazywamy zbiór

4pqr = {p+ a−→pq + b−→pr ; a, b ­ 0, a+ b ¬ 1} = {αp+ βq + γr ; α, β, γ ­ 0, α + β + γ = 1}.

Analogicznie czworościan (odpowiednio sympleks k–wymiarowy) jest zbiorem wszystkich środkówciężkości o nieujemnych wagach swoich czterech niewspółpłaszczyznowych (odpowiednio k + 1 nieleżących na żadnej k–wymiarowej podprzestrzeni afinicznej) wierzchołków.

Definicja 1.22. Dla danej prostej L oraz punktów p, q ∈ L, p 6= q. Półprostą o początku p wyzna-czoną na L przez punkt q nazywamy zbiór

pq→ = {p+ a−→pq ; a ­ 0}.

5

Półpłaszczyznę na płaszczyźnie P o krawędzi L = p + lin (v) wyznaczoną przez punkt q ∈ P \ Lokreślamy jako

Lq→ = {p+ a−→pq + bv ; a ­ 0, b ∈ R} = {p+ a−→pq + w ; a ­ 0, w ‖ L}.

Analogicznie określamy półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę w E3 i punkt nie należący dotej płaszczyzny.

Definicja 1.23. Kąt płaski o wierzchołku p i ramionach wyznaczonych przez wektory nierównoległeu, v jest zbiorem

^p+ u, p, p+ v = ^upv = {p+ au+ bv ; a, b ­ 0}.

Jeżeli dane są trzy (odpowiednio n ­ 4) wektory niewspółpłaszczyznowe można określić kąt trój-ścienny (odpowiednio kąt n–ścienny) o wierzchołku p i wyznaczonych przez te wektory krawędziachjako

^(p;u, v, w) = {p+ au+ bv + cw ; a, b, c ­ 0}

(odpowiednio przez nieujemne kombinacje liniowe danych wektorów).

Uwaga 1.24. Można określić kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami P1, P2 przecinającymi sięwzdłuż prostej L wskazując wybranym punktem jeden z czterech obszarów ograniczonych tymi dwie-ma płaszczyznami.

Definicja 1.25. Kulą (odpowiednio sferą) o środku w punkcie p i promieniu R > 0 nazywamyzbiór B(p,R) (odpowiednio S(p, r)) wszystkich punktów przestrzeni odległych od p o co najwyżej R(odpowiednio: o R).Koło (odpowiednio okrąg) jest przecięciem kuli (odpowiednio sfery) z płaszczyzną.

Definicja 1.26. Mówimy, że podzbiór A ⊂ En jest wypukły, jeżeli dla dowolnych punktów p, q ∈ Azbiór A zawiera odcinek pq.

Przykład 1.27. Wszystkie sympleksy, kąty n–ścienne i kule są wypukłe, a żadna ze sfer nie jestwypukła.Aby określić niewypukły kąt płaski (odpowiednio n–ścienny) należy rozważyć dopełnienie kąta wrazz jego ramionami (ścianami).

1.5 Przekształcenia afiniczne

Definicja 1.28. Przekształcenie liniowe jest funkcją z Rn w Rn zachowujacą kombinacje liniowe, aprzekształcenie afiniczne — funkcją z En w En zachowujacą środki ciężkości.

1.29. Przekształcenie liniowe jest reprezentowane w bazie przez macierz, którą szczególnie łatwonapisać dla bazy kanonicznej.

Przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształcenia liniowego z translacją (przy utożsamie-niu En z Rn). Jeżeli więc A jest macierzą przekształcenie liniowego związanego z przekształceniemafinicznym f , to przekształcenie afiniczne jest postaci

f : x 7→ Ax+ b,

gdzie b = f(θ).

6

Definicja 1.30. Funkcję f przekształcającą En na siebie i spełniającą warunek

|f(x) f(y)| = |xy| dla x, y ∈ En

nazywamy izometrią.Podobieństwem o skali k > 0 jest funkcja f przekształcająca En na En taka, że

|f(x) f(y)| = k |xy| dla x, y ∈ En.

Uwaga 1.31. Wszystkie izometrie przestrzenie En (z działaniem składania) tworzą grupę, którąoznaczamy Isom (En). Także wszystkie podobieństwa En tworzą grupę Sim (En).

Definicja 1.32. Niech H = p+U oraz K = q+W będą podprzestrzenia mi afinicznymi przestrzeniEn takimi, że U⊕W = Rn. Dla dowolnego punktu x ∈ En jego rzutem równoległym na podprzestrzeńH w kierunku podprzestrzeni K nazywamy jedyny punkt πKH (x) ∈ H ∩ (x+W ).Rzut prostopadły na podprzestrzeń H jest rzutem równoległym na H w kierunku U⊥; oznaczamy goprzez πH .

Przykład 1.33. Jeżeli (u1, . . . , uk) jest bazą ortonormalną podprzestrzeni liniowej U , to rzut pro-stopadły na podprzestrzeń afiniczną H = p+ U wyraża się wzorem

πH(x) = p+ 〈−→px, u1〉+ . . .+ 〈−→px, uk〉

Stwierdzenie 1.34. Punkt będący rzutem prostopadłym punktu q na podprzestrzeń afiniczną H jestjedynym punktem podprzestrzeni H najbliższym punktowi q.

Definicja 1.35. Translacją o wektor v ∈ Rn nazywamy przekształcenie Tv : En → En dane wzorem

Tv(x) = x+ v dla x ∈ En.

Definicja 1.36. Symetrią względem podprzestrzeni afinicznej H ⊂ En nazywamy przekształceniesH : En → En dane wzorem

sH(x) = x+ 2−−−−−→x πH(x) dla x ∈ En.

Gdy H = {p} mówimy o symetrii środkowej względem punktu p, wtedy

sp(x) = 2p− x,

natomiast gdy H = p+ u⊥ jest hiperpłaszczyzną i ‖u‖ = 1, to symetria hiperpłaszczyznowa wyrażasię wzorem

sH(x) = x− 2〈x− p, u〉u.

Twierdzenie 1.37. Niech H ⊂ En będzie przestrzenią afiniczną. Wówczas

(i) sH ◦ sH = idEn,

(ii) sH jest izometrią,

(iii) sH(x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ H.

Dowód. Dowód przeprowadzimy tylko dla symetrii hiperpłaszczyznowej. Niech H = p + u⊥, gdzie‖u‖ = 1. Wówczas dla x, y ∈ En

7

(i)

sH ◦ sH(x) = sH (x− 2〈x− p, u〉u) = x− 2〈x− p, u〉u− 2 〈x− 2〈x− p, u〉u− p, u〉u= x− 2〈x− p, u〉u− 2〈x− p, u〉u+ 4〈x− p, u〉‖u‖2u = x

(ii)

|sH(x)sH(y)|2 = ‖x− 2〈x− p, u〉u− (y − 2〈y − p, u〉u)‖2

= ‖x− y‖2 + 4〈x− y, u〉2‖u‖2 − 4 〈x− y, 〈x− y, u〉u〉 = ‖x− y‖2 = |xy|2

(iii) sH(x) = x⇐⇒ 〈x− p, u〉 = 0⇐⇒ x ∈ p+ u⊥ = H.

Definicja 1.38. Obrotem płaszczyzny E2 dookoła początku układu o kąt α nazywamy przekształce-

nie Rα dane macierzą[

cosα − sinαsinα cosα

]. Obrót Rα

p dookoła punktu p ∈ E2 określamy przez złożenie

Tp ◦Rα ◦ T−p.Przekształcenie ortogonalne jest dane macierzą ortogonalną, czyli należącą do zbioru O(n) = {A ∈Mnn ; AAT = ATA = I}.

Definicja 1.39. Jednokładnością o środku p i skali s 6= 0 nazywamy przekształcenie Jsp : En → Endane wzorem

Jsp(x) = p+ s−→px = (1− s)p+ sx dla x ∈ En.

Twierdzenie 1.40 (Mazura—Ulama). Każda izometria przestrzeni En jest złożeniem przekształce-nia ortogonalnego z translacją.

Wniosek 1.41. Każde podobieństwo przestrzeni En jest złożeniem jednokładności, przekształceniaortogonalnego i translacji.

Przykład 1.42. Każda izometria płaszczyzny E2 jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z ob-rotem i translacją, a każde podobieństwo płaszczyzny jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamościz obrotem, jednokładnością i translacją.

1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego

Definicja 1.43. Symetralną odcinka pq, gdzie p 6= q, nazywamy hiperpłaszczyznę

sym pq =12p+

12q + (−→pq)⊥

Stwierdzenie 1.44. Symetralna odcinka jest jego hiperpłaszczyną symetrii, tzn. jeżeli H = sym pq,to sH(pq) = pq.

Dowód. Z nierówności trójkąta i inwolutywności symetrii wynika, że wystarczy wykazać równośćsH(p) = q. Zauważmy, że hieprpłaszczyzna H przechodzi przez punkt 1

2p + 12q i jej jednostkowym

wektorem normalnym jest u = q−p‖q−p‖ . Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową mamy więc

sH(p) =p− 2⟨p− 1

2p− 1

2q,

q − p‖q − p‖

⟩q − p‖q − p‖

= p− 〈p− q, q − p〉 q − p‖q − p‖2

= p+ q − p = q.

8

Stwierdzenie 1.45. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końcówtego odcinka.

Dowód. Niech H będzie symetralną odcinka pq, zaś E = {x ∈ En ; |xp| = |xq|}.Aby pokazać zawieranie H ⊂ E zauważmy, że punkt x ∈ H można przedstawić w postaci x =12p+ 1

2q + v, gdzie v ⊥ q − p. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

|xp|2 =∥∥∥∥1

2(p− q)− v

∥∥∥∥2

=∥∥∥∥1

2(p− q)

∥∥∥∥2

+‖−v‖2 =∥∥∥∥1

2(q − p)

∥∥∥∥2

+‖−v‖2 ==∥∥∥∥1

2(q − p)− v

∥∥∥∥2

= |xq|2,

czyli x ∈ E .Niech teraz x ∈ E . Wówczas ‖p− x‖2 = ‖q− x‖2, co pociąga za sobą ‖p‖2−‖q‖2 = 2〈p− q, x〉. Stądrzutem prostopadłym punktu x na prostą pq jest punkt

πpq(x) = p+〈x− p, q − p〉‖q − p‖2

(q−p) = p+12‖q‖

2 − 12‖p‖

2 − 〈p, q〉+ ‖p‖2

‖q − p‖2(q−p) = p+

12

(q−p) =12p+

12q.

Tym samym x ∈ 12p+ 1

2q + (−→pq)⊥ = H.

Definicja 1.46. Dwusieczną kąta płaskiego ^upv nazywamy półprostą pw~, gdzie w = u‖u‖ + v

‖v‖ .

Stwierdzenie 1.47. Na płaszczyźnie E2 dwusieczna kąta płaskiego jest zawarta w jego osi symetrii.

Dowód. Przyjmijmy od razu, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski ^upv są jednostkowe; wtedywektorem wyznaczajacym dwusieczną tego kąta jest jest wektor w = u+v, zaś wektorem normalnymdo prostej L = p+lin (w) jest v−u. Z założeń i nierówności Schwarza wynika także dodatniość liczbyt = ‖v − u‖2 = 2(1− 〈u, v〉).Dowolny punkt kąta jest postaci x = p + au + bv, gdzie a, b ­ 0. Ze wzoru na symetrię hiperpłasz-czyznową (dimL = 1 = dimE2 − 1) otrzymujemy

sL(x) =p+ au+ bv − 2⟨au+ bv,

v − u‖v − u‖

⟩v − u‖v − u‖

=p+ au+ bv − 2t

(−a+ b+ a〈u, v〉 − b〈u, v〉) (v − u)

=p+ au+ bv − 2t

(b− a)t

2(v − u) = p+ bu+ av,

skąd sL(x) ∈ ^upv.

Stwierdzenie 1.48. Na płaszczyźnie E2 dwusieczna kąta płaskiego jest zbiorem wszystkich punktówtego kąta równo odległych od ramion tego kąta.

Dowód. Załóżmy, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski ^upv są jednostkowe; wiemy wtedy, żev+w wyznacza dwusieczną, zatem punkt kąta postaci x = p+au+bv, a, b ­ 0, nalezy do dwusiecznejwtedy i tylko wtedy, gdy a = b.

Obliczymy odległość punktu kąta od ramienia pu→. Dla x = p+ au+ bv, a, b ­ 0, jest to długośćskładowej wektora −→px prostopadłej do wektora u. Ponieważ kierunek prostopadły do u w E2 wyznaczawektor u′ = v − 〈u, v〉u o długości ‖u′‖ =

√1− 〈u, v〉2 > 0, więc

d (x, pu→) =|〈x− p, u′〉|‖u′‖

‖u′‖2=|〈au+ bv, v − 〈u, v〉u〉|√

1− 〈u, v〉2=|b− b〈u, v〉2|√

1− 〈u, v〉2= b

√1− 〈u, v〉2.

Podobnie d (x, pv→) = a√

1− 〈u, v〉2. Zatem x jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylkowtedy, gdy a = b, czyli gdy należy do dwusiecznej.

9

1.7 Objętość i pole

Definicja 1.49. Iloczynem wektorowym wektorów v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) ∈ R3 nazywamywektor

v × w =(∣∣∣∣∣ v2 v3

w2 w3

∣∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣∣ v1 v3

w1 w3

∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣ v1 v2

w1 w2

∣∣∣∣∣)

Stwierdzenie 1.50. Dla u, v, w ∈ R3 \ {θ}

(i) v ⊥ v × w ⊥ w,

(ii) ‖v × w‖ = ‖v‖ ‖w‖ sin^(v, w),

(iii) 〈u× v, w〉 = det(u, v, w),

(iv) det(v, w, v × w) > 0, gdy v 6‖ w.

Definicja 1.51. Wyznacznikiem Grama wektorów v1, . . . , vk ∈ Rn nazywamy wyznacznik detG(v1, . . . , vk)macierzy [〈vi, vj〉]1¬i,j¬k.

Przykład 1.52. 1. detG(v, w) = (‖v‖ ‖w‖ sin^(v, w))2.

2. Dla u, v, w ∈ R3

detG(u, v, w) = (〈u× v, w〉)2 .

Stwierdzenie 1.53. Wyznacznik Grama jest niezmienniczy ze względu na

(i) permutację wektorów,

(ii) dodawanie do jednego z wektorów kombinacji liniowej pozostałych wektorów.

Definicja 1.54. Objętością k–wymiarową sympleksu k–wymiarowego conv (p0, p1, . . . , pk) nazywamyliczbę dodatnią

volk(conv (p0, p1, . . . , pk)) =1k!

√detG (−−→p0p1, . . . ,

−−→p0pk)

Objętość 2–wymiarową nazywamy polem i oznaczamy przez P , a objętość 2–wymiarową — po prostuobjętością i oznaczamy przez V .

Przykład 1.55. 1. P (4ABC) = 12

∥∥∥−→AB ×−→AC∥∥∥2. V (conv (A,B,C,D)) = 1

6

∣∣∣⟨−→AB ×−→AC,−−→AD⟩∣∣∣

10

2 Aksjomaty geometrii płaskiej

2.1 Aksjomaty Euklidesa

Euklides sformułował w dziele Elementy ok. 300 r. p.n.e. następujące aksjomaty geometrii płaskiej:

1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.

2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, otrzymując prostą.

3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego punktów końcowych ipromieniu równym jego długości.

4. Wszystkie kąty proste są przystające.

5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą.

2.2 Aksjomaty Hilberta

David Hilbert na przełomie XIX i XX wieku podał układ aksjomatów dla geometrii bez względu nawymiar. Ograniczenie się do przypadku dwuwymiarowego daje nieco prostszy, bardziej intuicyjny ibliższy euklidesowemy pierwowzorowi układ pewników.

Pojęciami pierwotnymi są:

• płaszczyzna P ,

• proste — podbiory płaszczyzny P ; ich zbiór oznaczymy przez L,

• odległość geometryczna — funkcja d : P × P → R ∪ {0}.

Aksjomatami Hilberta geometrii dwuwymiarowej są:

Aksjomaty incydencji

(I1) Dla dowolnych różnych punktów A,B ∈ P istnieje dokładnie jedna prosta l ∈ L taka,że A,B ∈ l.Oznaczamy ją przez (AB)

(I2) Każda prosta ma co najmniej dwa punkty.

(I3) Istnieją trzy punkty nie należące do jednej prostej.Takie punkty nazywamy niewspółliniowymi.

Aksjomaty uporządkowania

(O1) Na każdej prostej istnieją dwa wzajemnie odwrotne relacje liniowego porządku.Jeżeli jedną z nich oznaczymy przez ≺ (a przez X � Y rozumiemy X ≺ Y lub X = Y ),to odcinkiem [AB] nazywamy zbiór {X ∈ (AB) ; A � X � B}, a półprostą AB→ zbiór{X ∈ (AB) ; A � X � B}, gdy A ≺ B

(O2) (aksjomat Pascha) Jeżeli punkty A,B,C są niewspółliniowe, a l ∈ L, to jeżeli l ∩[AB] 6= ∅, to l ∩ [AC] 6= ∅ lub l ∩ [BC] 6= ∅.

Aksjomaty odległości

11

(D1) Dla dowolnych A,B ∈ P : d(B,A) = d(A,B)

(D2) Dla dowolnych A,B ∈ P : d(A,B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = B.

(D3) C ∈ [AB] wtedy i tylko wtedy, gdy d(A,B) = d(A,C) + d(C,B).

Aksjomaty symetrii

(S1) Dla dowolnej prostej l ∈ L istnieje dokładnie jedna funkcja sl odwzorowująca płasz-czyznę P na siebie przeprowadzająca proste na proste, zachowująca odległość d i taka, żezbiorem jej wszystkich punktów stałych jest prosta l.

(S2) Dla dowolnych półprostych AB→ i AC→ istnieje co najmniej jedna prosta l taka, żesl (AB→) = AC→.

Aksjomat równoległości

(E) (aksjomat Euklidesa) Dla dowolnej prostej l ∈ L i dowolnego punktu A ∈ P \ l istniejedokładnie jedna prosta m ∈ L taka, że A ∈ m oraz m ∩ l = ∅.

Twierdzenie 2.1. Płaszczyzna E2 z odległością euklidesową i prostymi określonymi jako 1–wymiarowepodprzestrzenie afiniczne spełnia aksjomaty Hilberta, a tym samym także aksjomaty Euklidesa.

12

3 Okrąg i prosta

Stwierdzenie 3.1. Okrąg o(O, r) z prostą l leżącą w jego płaszczyźnie

• nie ma punktów wspólnych, gdy d(O, l) > r,

• ma dokładnie jeden punkt wspólny, gdy d(O, l) = r,

• ma dokładnie dwa punkty wspólne, gdy d(O, l) < r.

Dowód. Wprowadźmy układ współrzędnych na płaszczyźnie zawierającej okrąg i prostą, któregoosiami są prosta prostopadła do l i przechodząca przez O oraz prosta równoległa do l i przechodzącaprzez O, przy czy prosta prosta l leży po nieujemnej stronie drugiej osi.

Wówczas okrąg ma równanie x2 + y2 = r2, zaś prosta równanie x = d, gdzie d = d(O, l). Roz-wiązując ten układ równań otrzymujemy, że nie ma one rozwiązań, gdy d > r, ma jedno rozwiązanie(r, 0), gdy d = r, a dwa rozwiązania

(d,±√r2 − d2

), gdy d < r.

Definicja 3.2. Prosta l położona w płaszczyźnie okręgu o(S, r) jest do tego okręgu

styczna, gdy d(S, l) = r,

sieczna, gdy d(S, l) < r,

zewnętrzna, gdy d(S, l) > r.

Stwierdzenie 3.3. Niech dane będą okręgi o(O1, r1) i o(O2, r2) leżące w jednej płaszczyźnie orazniech d = |O1O2| > 0. Wówczas okręgi te

1. nie mają punktów wspólnych, gdy d < |r1 − r2| lub d > r1 + r2,

2. mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy d = |r1 − r2| lub d = r1 + r2,

3. mają dokładnie dwa punkty wspólne, gdy |r1 − r2| < d < r1 + r2.

Ponadto, jeżeli O1 = O2, to okręgi są rozłączne, gdy r1 6= r2, a pokrywają się, gdy r1 = r2.

Dowód. Gdy d > 0 w prostokatnym układzie współrzędnych o początku O1 i pierwszej osi O1O2

dane okręgi mają równania x2 + y2 = r21 oraz (x − d)2 + y2 = r2

2. W przypadku istnienia rozwiązańtego układu są one równed2 + r2

1 − r22

2d,±

√(d+ r1 + r2) (d+ r1 − r2) (d− r1 + r2) (−d+ r1 + r2)

2d

Wyrażenie pod pierwiastkiem jest równe 0 wtedy i tylko wtedy, gdy d = |r1− r2| lub d = r1 + r2;

wtedy punkt wspólny jest dokładnie jeden. Dodatniość wyrażenia pod pierwiastkiem (czyli posiada-nie przez układ dokładnie dwóch rozwiązań) jest równoważna posiadaniu przez iloczyn drugiego itrzeciego wyrazu d2 − (r1 − r2)2 tego samego znaku co r1 + r2 − d.

Definicja 3.4. Mówimy, że współpłaszczyznowe okręgi o(O1, r1) i o(O2, r2), których środki oddalonesą o d > 0, są

zewnętrzne, gdy d > r1 + r2,

zewnętrznie styczne, gdy d = r1 + r2,

13

zewnętrzne, gdy |r1 − r2| < d < r1 + r2,

wewnętrznie styczne, gdy d = |r1 − r2|,

wewnętrzne lub zagnieżdżone, gdy d < |r1 − r2|.

Ponadto, gdy O1 = O2 mówimy, że okręgi są koncentryczne.

Twierdzenie 3.5 (o stycznych, najmocniejsze twierdzenie geometrii). Jeżeli proste PA oraz PB sąstyczne do okręgu o(O, r) w punktach odpowiednio A i B, to

|PA| = |PB|.

Innymi słowy, odcinki stycznych do danego okręgu poprowadzonych z danego punktu mają równedługości.

Dowód. Odległość punktu O od prostej PA jest równa promieniowi r danego okręgu, czyli takżedługości odcinka OA. Ponieważ rzut prostopadły punktu O na prostą PA jest jedynym punktemnajbliższym punktu O , jest nim więc A. Stąd

−→AP ⊥

−→AO i z twierdzenia Pitagorasa w wersji wekto-

rowej otrzymujemy|PA|2 = |PO|2 − r2.

To samo rozumowanie działa dla punktu B, więc |PA| =√|PO|2 − r2 = |PB|.

Twierdzenie 3.6 (o siecznej). Jeżeli punkty A,B,C okręgu o(O, r) są parami różne, punkt P leżyna prostej AB na zewnątrz okręgu, zaś prosta PC jest styczna do tego okręgu, to

|PA| · |PB| = |PC|2.

Dowód. Wybierzmy tak prostokątny układ współrzędnych o początku O tak, aby prosta AB byłarównoległa do pierwszej osi i leżała po jej nieujemnej stronie. Jeżeli w tym układzie P = (p, b), top2 + b2 > r2 oraz b ¬ r, zaś punkty A i B mają współrzędne

(±√r2 − b2, b

). Zatem

|PA| · |PB| =∣∣∣p+√r2 − b2

∣∣∣ · ∣∣∣p+√r2 − b2

∣∣∣ = p2 + b2 − r2.

Z drugiej strony podobnie jak w 3.5

|PC|2 = |PO|2 − r2 = p2 + b2 − r2.

Wniosek 3.7 (o siecznych). Jeżeli punkty A,B,C,D okręgu o(O, r) są parami różne, punkt P leżyna przecięciu prostych AB i CD oraz na zewnątrz okręgu, to

|PA| · |PB| = |PC| · |PD|.

Dowód. Niech E będzie takim punktem okręgu, że prosta PE jest styczna do okręgu. Wówczasstosując dwukrotnie twierdzenie o siecznej (3.6) otrzymujemy

|PA| · |PB| = |PE|2 = |PC| · |PD|.

14

Twierdzenie 3.8 (o kątach w kole). Niech punkty A,B,C okręgu o(O, r) będą parami różne. Wów-czas

(i) jeżeli punkt C leży na półpłaszczyźnie ABO~, to

|^AOB| = 2 · |^ACB|.

(ii) jeżeli punkt C nie leży na półpłaszczyźnie ABO~, to

|^AOB| = 2π − 2 · |^ACB|.

Innymi słowy, kąt środkowy w okręgu ma dwa razy większą miarę niż kąt wpisany oparty na tymsamym łuku.

Dowód. Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych o początku O tak, aby ujemna półoś drugiejosi była dwusieczną kąta środkowego ^AOB i niech |^AOB| = 2ϕ ∈ (0, π). Wówczas

A =(r cos

(ϕ− π

2

), r sin

(ϕ− π

2

))= (r sinϕ,−r cosϕ) ,

B =(r cos

(3π2− ϕ

), r sin

(3π2− ϕ

))= (−r sinϕ,−r cosϕ)

oraz C = (r cosα, r sinα), gdzie α ∈(ϕ− π

2 ,3π2 − ϕ

)o ile C ∈ ABO~ . Aby wyznaczyć cosinus kąta

między wektorami−→CA i

−−→CB obliczamy kolejno

−→CA = r (sinϕ− cosα,− cosϕ− sinα)−−→CB = r (− sinϕ− cosα,− cosϕ− sinα)∥∥∥−→CA∥∥∥ = r

√sin2 ϕ+ cos2 α− 2 sinϕ cosα + cos2 ϕ+ sin2 α + 2 cosϕ sinα

= r√

2√

1− sin(ϕ− α)∥∥∥−−→CB∥∥∥ = r√

2√

1 + sin(ϕ+ α)⟨−→CA,−−→CB

⟩= r2

(− sin2 ϕ+ cos2 α + cos2 ϕ+ sin2 α + 2 cosϕ sinα

)= r2 (1 + cos 2ϕ+ 2 cosϕ sinα) = 2r2 cosϕ(cosϕ+ sinα).

Zatem ⟨−→CA,−−→CB

⟩∥∥∥−→CA∥∥∥ ∥∥∥−→CA∥∥∥ =

cosϕ(cosϕ+ sinα)√1− sin(ϕ− α) + sin(ϕ+ α)− sin(ϕ− α) sin(ϕ+ α)

=cosϕ(cosϕ+ sinα)√

1 + 2 cosϕ sinα− sin2 ϕ cos2 α + cos2 ϕ sin2 α

=cosϕ(cosϕ+ sinα)√

cos2 ϕ+ 2 cosϕ sinα + sin2 α.

Jeżeli C ∈ ABO~, to α ∈(ϕ− π

2 ,3π2 − ϕ

), lub równoważnie

∣∣∣π2 − α∣∣∣ < π − ϕ, co wraz z monotonicz-nością cosinusa na przedziale [0, π] daje

cos(π

2− α

)> cos(π − ϕ), czyli sinα + cosϕ > 0.

15

Wtedy więccos |^ACB| = cos

(−→CA,−−→CB

)= cosϕ,

a gdy C 6∈ ABO~ ten cosinus jest równy − cosϕ = cos(π − ϕ).

Wniosek 3.9 (o kątach wpisanych). Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równemiary.

Wniosek 3.10 (o kącie pomiędzy styczną i sieczną). Jeżeli prosta l jest styczna do okręgu o(O, r) wpunkcie A, zaś prosta m przecina ten okrąg w punktach A i B, to kąt pomiędzy prostymi l i m mataką samą miarę jak kąt wpisany opraty na łuku AB.

Dowód. Jeżeli ^ACB jest kątem wpisanym w dany okrąg i opartym na łuku AB oraz |^ACB| =ϕ < π

2 , to z twierdzenia o kątach w kole (3.8 (i)) mamy, że |^AOB| = 2ϕ.Zastosujemy teraz własności trójkąta równoramiennego ∆AOB (których dowód nie zależy od

dowodzonego wniosku), aby stwierdzić, że |^OAB| = π2 − ϕ. Kąt ten dopełnia do kąta prostego kąt

pomiędzy prostymi l i m, czyli ^(l,m) = ϕ. W przypadku kąta wpisanego rozwartego wystarczyzastosować część (ii) tw. 3.8.

16

4 Własności miarowe w trójkącie

4.1. W trójkącie 4ABC oznaczamy standardowo:

długości boków : a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|,

miary kątów wewnętrzmnych: α = ^(−→AB,−→AC

), β = ^

(−→BA,−−→BC

), γ = ^

(−→CA,−−→CB

),

obwód : 2p = a+ b+ c,

pole: S.

Twierdzenie 4.2 (cosinusów). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Dowód. Z określenia długości boków w trójkącie wynika, że

〈A− C,B − C〉 = ab cos γ.

Ponadto B − A = B − C − (A− C), więc

c2 = ‖B − A‖2 = ‖B − C − (A− C)‖2

= ‖B − C‖2 + ‖A− C‖2 − 2〈A− C,B − C〉 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Wniosek 4.3 (twierdzenie Pitagorasa). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:

c2 = a2 + b2 ⇐⇒ γ =π

2.

Definicja 4.4. Okręgiem opisanym na trójkącie nazywamy okrąg przechodzący przez wszystkiewierzchołki trójkąta.

Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg zawarty w tym trójkącie i styczny do wszystkichprostych zawierających boki trójkąta.

Okręgiem dopisanym do trójkąta 4ABC po stronie boku BC nazywamy okrąg zawarty w kąciepłaskim ^BAC, ale nie w trójkącie 4ABC, i styczny do wszystkich prostych zawierających bokitrójkąta.

Stwierdzenie 4.5. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Jego środek jest punktem wspólnymwszystkich trzech symetralnych boków trójkąta.

Dowód. Zauważmy, że z nierównoległości boków trójkąta wynika nierównoległość ich symetralnych,bo są do boków prostopadłe.

Niech O bedzie punktem przecięcia symetralnym boków BC i CA. Wówczas z 1.45 mamy, że|OB| = |OC| i |OC| = |OA|, co razem daje |OA| = |OB|. Korzystając ponownie z 1.45 widzimy, żepunkt O należy także do symetralnej boku AB.

Tym samym o(O, |OA|) jest okręgiem opisanym na trójkącie 4ABC.

Stwierdzenie 4.6. W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Jego środek jest punktem wspólnym wszyst-kich trzech dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

Dowód. Postępujemy analogicznie jak w dowodzie 4.5 korzystając tym razem z 1.48.

17

4.7. Do oznaczeń standardowych w 4ABC dodajemy:

promień okręgu opisanego: R,

promień okręgu wpisanego: r.

promienie okręgów dopisanych: ra, rb, rc, odpowiednio po stronie boku BC, CA, AB.

Twierdzenie 4.8 (sinusów). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ= 2R.

Dowód. Wykażemy pierwszą równość. Niech u = B − A, v = C − A, wówczas

α = ^(u, v), β = ^(−u,−u+ v), a = ‖u− v‖, b = ‖v‖.

Ponieważ α, β ∈ (0, π), więc

sinα =√

1− cos2 α =

√√√√1− 〈u, v〉2‖u‖2‖v‖2

=

√‖u‖2‖v‖2 − 〈u, v〉2

‖u‖ ‖v‖

oraz

sin β =√

1− cos2 β =

√√√√1− 〈u, u− v〉2‖u‖2‖u− v‖2

=

√‖u‖2‖u− v‖2 − 〈u, u− v〉2

‖u‖ ‖u− v‖

=

√‖u‖4 − 2‖u‖2〈u, v〉+ ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖4 + 2‖u‖2〈u, v〉 − 〈u, v〉2

‖u‖ ‖u− v‖

=

√‖u‖2‖v‖2 − 〈u, v〉2

‖u‖ ‖u− v‖.

Ostateczniea

sinα=

‖u‖ ‖v‖ ‖u− v‖√‖u‖2‖v‖2 − 〈u, v〉2

=b

sin β.

Drugie równości dowodzimy analogicznie.Aby pokazać związek z promieniem okręgu opisanego skorzystamy z tweirdzenia o kątach w kole

(3.8). Niech O będzie środkiem okręgu o(O,R) opisanego na trójkącie 4ABC. Z 3.8 wynika, żekąt wewnętrzny ^AOB w trójkącie 4AOB ma miarę δ ∈ {2γ, 2π − 2γ}. Stosując do tego trójkątatwierdzenie cosinusów otrzymujemy

c2 = R2 +R2 − 2R ·R cos δ = 2R2(1− cos 2γ) = 4R2 sin2 γ,

czylic

sin γ= 2R.

Twierdzenie 4.9 (suma kątów w trójkącie). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:

α + β + γ = π.

18

Dowód. Załóżmy, że 0 < α ¬ β ¬ γ < π. Z twierdzenia sinusów wynika, że

a = 2R sinα, b = 2R sin β, c = 2R sin γ,

co po podstawieniu do twierdzenia cosinusów daje

4R2 sin2 γ = 4R2 sin2 α + 4R2 sin2 β − 8R2 sinα sin β cos γ,

a wraz z sin2 γ = 1− cos2 γ — równanie kwadratowe ze względu na cos γ:

cos2 γ − 2 sinα sin β cos γ + sin2 α + sin2 β − 1 = 0

o wyróżniku

∆ = 4(sin2 α sin2 β − sin2 α− sin2 β + 1) = 4(1− sin2 α)(1− sin2 β)= (2 cosα cos β)2.

Zatemcos γ = sinα sin β + cosα cos β lub cos γ = sinα sin β − cosα cos β,

inaczejcos γ = cos(β − α) lub cos γ = cos(π − (α + β))

Zauważmy, że γ, β−α, π−(α+β) ∈ (−π, π). Na tym przedziale funkcja cos przyjmuje każdą wartośćco najwyżej dwukrotnie, dla przeciwnych argumentów, co redukuje nasz wynik do

γ = |β − α| lub γ = |π − (α + β)|.

Równościγ = β − α, γ = α− β, γ = α + β − π

są sprzeczne z założeniem 0 < α ¬ β ¬ γ < π, pozostaje więc

α + β + γ = π.

Definicja 4.10. W danym trójkącie określamy:

symetralną boku jako symetralna odcinka będącego bokiem trójkąta,

dwusieczną kąta wewnętrznego jako dwusieczną kąta płaskiego wyznaczonego przez wektoryprowadzące od ustalonego wierzchołka trójkąta do pozostałych wierzchołków,

środkową — odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku,

wysokość — odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającąprzeciwległy bok.

4.11. Do oznaczeń standardowych w 4ABC dodajemy:

długości środkowych: ma, mb, mc, odpowiednio boków BC, CA, AB,

długości wysokości : ha, hb, hc, odpowiednio opuszczonych z wierzchołków A, B, C,

19

długości odcinków dwusiecznych: la, lb, lc, wyciętych przez brzeg trójkąta odpowiednio z dwu-siecznych kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A, B, C.

Stwierdzenie 4.12 (długość środkowej). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC środkowa bokua ma długość:

ma =

√2b2 + 2c2 − a2

2

Dowód. Niech A1 będzie środkiem boku BC, wtedy |BA1| = |CA1| = a2 . Oznaczmy ϕ = |^AA1B|,

wówczas |^AA1C| = π − ϕ. Oznaczając ma = |AA1| i stosując twierdzenie cosinusów do trójkątów4ADB i 4ADC otrzymujemy:

c2 =(a

2

)2

+m2a − ama cosϕ,

b2 =(a

2

)2

+m2a − ama cos(π − ϕ).

Dodając stronami i pamiętając, że cos(π − ϕ) = − cosϕ dostajemy równość

b2 + c2 =12a2 + 2m2

a

równoważną tezie.

Stwierdzenie 4.13 (długość wysokości). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC wysokośćopuszczona z wierzchołka A ma długość:

ha = b sin γ = c sin β.

Dowód. Jeżeli D jest spodkiem wysokości trójkąta 4ABC opuszczonej na bok BC, to kąt wewnętrz-ny trójkąta prostokątnego4ADB ma miarę β lub π−β w zależności od tego, czy D leży na półprostejBC~ czy też nie. W obu przypadkach ha = |AD| = c sin β.

Pierwszej równości dowodzimy analogicznie.

Twierdzenie 4.14 (o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie). Dwusieczna kąta wewnętrznegow trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków odpowiednio przyległych dotego kąta.Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC, jeżeli D jest punktem przecięcia boku BC dwusiecznąkąta płaskiego ^BAC oraz |BD| = a1, |CD| = a2, to

a1

a2=c

b, skąd także a1 =

ac

b+ c, a2 =

ab

b+ c.

Dowód. Oznaczmy ϕ = |^ADB|, wówczas |^ADC| = π − ϕ. Stosując twierdzenie sinusów do trój-kątów 4ADB i 4ADC otrzymujemy:

a1

sin α2

=c

sinϕ,

a2

sin α2

=b

sin(π − ϕ),

skąd a1a2

= cb, bo sin(π − ϕ) = sinϕ. Druga cześć tezy wynika z pierwszej i równości a1 + a2 = a.

Stwierdzenie 4.15 (długość odcinka dwusiecznej). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABCodcinek dwusiecznej boku a ma długość:

la =2

b+ c

√bc(p− b)(p− c).

20

Dowód. Niech D będzie punktem wspólnym dwusiecznej kąta wewnętrznego ^BAC i boku BC.Stosując do trójkąta 4ABD twierdzenie sinusów dostajemy

|AD|sin β

=|BD|sin α

2

,

co z kolei wraz z twierdzeniem o dwusiecznej 4.14 daje

la =ac

b+ c

sin βsin α

2

.

Z twierdzenie sinusów mamy a sin β = b sinα, a z twierdzenia cosinusów cosα = b2+c2−a22bc . Ostatecznie

la =c

b+ c

b sinαsin α

2

=bc

b+ c· 2√

1− cosα2

=bc√

2b+ c

√1− b2 + c2 − a2

2bc

=

√bc

b+ c

√a2 − (b− c)2 =

√bc

b+ c

√4a− b+ c

2a+ b− c

2=

2b+ c

√bc(p− b)(p− c).

Twierdzenie 4.16 (wzory na pole trójkąta). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:

(i) S = 12ab sin γ

(ii) S = 12aha

(iii) S =√p(p− a)(p− b)(p− c) (wzór Herona)

(iv) S = pr

(v) S = abc4R

(vi) S = 2R2 sinα sin β sin γ

(vii) S = 12(−a+ b+ c) ra.

Dowód. (i) Z definicji pola trójkąta i własności iloczynu wektorowego 1.50 otrzymujemy

S =12

√detG

(−−→CB,

−−→CB

)=

12

∥∥∥−−→CB ×−−→CB∥∥∥ =12ab sin γ.

(ii) wynika z (i) oraz 4.13.

(iii) Z twierdzenia cosinusów

cos γ =a2 + b2 − c2

2ab.

Zatem ze względu na γ ∈ (0, π)

sin γ =√

1− cos2 γ =

√√√√1−(a2 + b2 − c2

2ab

)2

=

√(2ab− a2 − b2 + c2)(2ab+ a2 + b2 − c2)

2ab

=

√((c2 − (a− b)2)) ((a+ b)2 − c2)

2ab

=

√(−a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c)(a+ b+ c)

2ab.

21

Jeżeli p = a+b+c2 , to

p− a =−a+ b+ c

2, p− b =

a− b+ c

2, p− c =

a+ b− c2

.

Ostatecznie na mocy (i)

S =12ab sin γ =

12ab

√16p(p− a)(p− b)(p− c)

2ab=√p(p− a)(p− b)(p− c).

(iv) Niech O będzie środkiem, a K, L, M punktami styczności okręgu wpisanego odpowiedniodo boków BC, CA, AB. Trójkąt 4ABC jest sumą mnogościową trójkątów 4BOC, 4COA,4AOB, z których każdy ma wysokość opuszczoną na bok wyjściowego trójkąta o długości r.

Stąd i z (ii)

S = P (4BOC) + P (4COA) + P (4AOB) =12|BC| · r +

12|CA| · r +

12|AB| · r = pr.

(v) wynika z (i) i sin γ = c2R (tw. sinusów).

(vi) wynika z (i) i a = 2R sinα, b = 2R sin β (tw. sinusów).

(vii) Analogicznie jak w (iv) możemy udowodnić, że pole czworokąta opisanego na okręgu o promie-niu ρ jest równe iloczynowi ρ i połowy obwodu czworokąta.

Niech okrąg o(O, ra) bedzie dopisany do trójkąta 4ABC po stronie boku BC. Narysujmy takąstyczną do okręgu o(O, ra), która przecina półproste AB~ i AC~w punktach odpowiednio B′ iC ′ leżących za punktami B i C.

Tym samym rozważany okrąg jest wpisany w trójkąt 4AB′C ′ oraz wpisany w czworokątBB′C ′C. Z (iv) i faktu przywołanego na początku

P (4AB′C ′) =12

(|AB′|+ |B′C ′|+ |C ′A|) · ra,

P (BB′C ′C) =12

(|BB′|+ |B′C ′|+ |C ′C|+ |CB|) · ra.

Zatem

S = P (4AB′C ′)−P (BB′C ′C) =12

(|AB′| − |BB′|+ |C ′A| − |C ′C| − |BC|)·ra =12

(c+b−a)ra.

Stwierdzenie 4.17. Środkowe w trójkącie przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jestśrodkiem ciężkości tego trójkąta.

Dowód. W trójkącie 4A1A2A3 dla dowolnych i, j, k ∈ {1, 2, 3} parami różnych środkowa boku AiAjłączy punkt Ak z 1

2Ai + 12Aj . Zatem do każdej ze środkowych należy punkt

13A1 +

13A2 +

13A3 =

13Ak +

13Ai +

13Aj ==

13Ak +

23

(12Ai +

12Aj

).

22

Stwierdzenie 4.18. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punk-cie, który jest ortocentrum tego trójkąta.

Dowód. Wysokości trójkąta 4ABC opuszczone z punktów A i B nie są równoległe, bo boki, naktóre są opuszczone nie są równoległe. Niech H będzie punktem przecięcia prostych zawierającychte wysokości. Wówczas −−→

AH ⊥−−→BC,

−−→BH ⊥

−→CA.

Obliczając ⟨−−→CH,

−→AB

⟩=⟨−→CA+

−−→AH,

−→AB

⟩=⟨−→CA,−→AB

⟩+⟨−−→AH,

−→AC +

−−→CB

⟩=⟨−→CA,−→AB

⟩+⟨−→AB +

−−→BH,

−→AC

⟩=⟨−→CA,−→AB

⟩+⟨−→AB,−→AC

⟩= 0

otrzymujemy, że także wysokość opuszczona z punktu C przechodzi przez punkt H.

Stwierdzenie 4.19 (lemat Aleksandrowa). Jeżeli punkt X leży we wnętrzu trójkąta 4ABC, to

(i) |^AXB| > |^ACB|,

(ii) |AB| < |AX|+ |XB| < |AC|+ |CB|.

Dowód. (i) W trójkącie 4AXB kąty przy wierzchołkach A i B są mniejsze od kątów przy tychwierzchołkach w 4ACB.

(ii) Na półprostej AX~wybierzmy za punktem X taki punkt B′, że |XB′| = |XB|. Trójkąty4BXCoraz 4B′XC mają boki wychodzące z X tej samej długości, a kąt w X jest większy w piewr-szym, więc z twierdzenia cosinusów dostajemy |B′C| < |BC|. Zatem

|BC|+ |CA| > |B′C|+ |CA| ­ |B′A| = |AX|+ |XB|.

23

5 Konstrukcje geometryczne

Definicja 5.1. Konstrukcją przy pomocy cyrkla i linijki nazywamy procedurę będącą ciągiem skoń-czonym złożonym z operacji następujących dwóch typów:

• kreślenie prostej przez dwa różne punkty,

• kreślenie okręgu o środku w danym punkcie i promieniu równym danemu odcinkowi.

Uwaga 5.2. Wykonalność konstrukcji przy pomocy cyrkla i linijki jest uzależniona od rozwiązalnościtzw. grupy Galois związanej z tą konstrukcją.

Znanymi przykładami konstrukcji niewykonalnych przy pomocy cyrkla i linijki są:

1. kwadratura koła — wyznaczenie boku kwadratu, którego pole równa się polu danego koła,

2. podwojenie sześcianu — wyznaczenie krawędzi sześcianu, którego objętość jest dwa razy większod objętości danego sześcianu,

3. trysekcja kąta — podział danego kąta na trzy kąty parami przystające.

Stwierdzenie 5.3. (konstrukcje pierwotne) Przy pomocy cyrkla i linijki można przeprowadzićkonstrukcje następujących obiektów:

• odcinek położony na danej prostej, o danym początku i równy danemu odcinkowi,

• suma i różnica danych odcinków położona na danej prostej,

• okrąg o danym środku i promieniu równym promieniowi danego okręgu,

• kąt płaski (także skierowany) o danym ramieniu i mierze równej mierze danego kąta płaskiego.

Stwierdzenie 5.4. (konstrukcje podstawowe) Przy pomocy cyrkla i linijki można przeprowadzićkonstrukcje następujących obiektów:

1. symetralna danego odcinka,

2. dwusieczna danego kąta płaskiego,

3. prosta prostopadła do danej prostej i przechodząca przez dany punkt,

4. prosta równoległą do danej prostej i przechodząca przez dany punkt,

5. prosta równoległa do danej prostej i odległa od niej o długość danego odcinka,

6. odcinek równy n–tej części danego odcinka, n ∈ N,

7. odcinek czwarty proporcjonalny do danych trzech odcinków (czyli odcinek o długości x = abc

,gdzie a, b, c są długościami danych odcinków),

8. prosta styczna do danego okręgu poprowadzona przez dany punkt leżący na zewnątrz tego okręgu,

9. obraz danego punktu w rzucie równoległym na daną prostą w kierunku innej danej prostej (nie-równoległej do pierwszej prostej),

10. obraz danego punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor,

24

11. obraz danego punktu w symetrii osiowej względem danej prostej,

12. obraz danego punktu w symetrii środkowej względem danego punktu,

13. obraz danego punktu w obrocie dookoła innego danego punktu, przy czym kąt obrotu jest równydanemu skierowanemu kątowi płaskiemu,

14. obraz danego punktu w jednokładności o skali równej stosunkowi dwóch odcinków opatrzonemuznakiem lub o skali bedącej liczbą wymierną.

Uwaga 5.5. Konstrukcje podstawowe można przeprowadzić przy dowolnych danych spełniających(dość oczywiste) założenia do tych konstrukcji. Należy pamiętać, że konstrucja prostej równoległejodległej o daną odległość (nr 5) daje dwie proste.

Rozwiązanie każdego zadania konstrukcyjnego składa się z następujących czterech części:

I. Analiza — poświęcona przetłumaczeniu zawartych w zadaniu własności na język prostych iokręgów;

II. Opis konstrukcji — zawierający etapy wykonania konstrukcji;

III. Dowód poprawności — potwierdzający, że otrzymany na drodze konstrukcji obiekt(y) speł-nia(ją) warunki zadania;

IV. Dyskusja — oceniająca etapy konstrukcji pod kątem ich wykonalności i liczby otrzymanychrozwiązań w zależności od danych.

25

6 Wielokąty

6.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta

Definicja 6.1. Wielokątem nazywamy spójny podzbiór płaszczyzny, który jest sumą mnogościowątakiej rodziny trójkątów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólnym bo-kiem lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielokąta nazywamytriangulacją.

Definicja 6.2. Punkt danego wielokąta, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem trójkątatriangulacji nazywamy wierzchołkiem wielokąta.Bok wielokąta to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera bokpewnego trójkąta tej triangulacji.

Definicja 6.3. Wielokąt o spójnym wnętrzu i n bokach (lub, co na jedno wychodzi, n wierzchołkach),n ­ 3, nazywamy n–kątem.Kątem wewnętrznym n–kąta nazywamy miarę kąta płaskiego, o wierzchołku w wierzchołku wielokąta,wyznaczonego przez jedyne dwa boki, których wspólnym końcem jest ten wierzchołek.

Definicja 6.4. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący jego wierzchołki, którego wnętrzezawarte jest we wnętrzu wielokąta.

Uwaga 6.5. Liczba przekątnych n–kąta wypukłego jest równa n(n−3)2 .

Trójkąt nie ma przekątnych, czworokąt wypukły ma dwie przekątne, a niewypukły — tylko jedną.

Definicja 6.6. Okrąg zawierający wszystkie wierzchołki danego wielokąta nazywamy okręgiem opi-sanym na tym wielokącie, zaś okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych zawiera-jących boki tego wielokąta nosi nazwę okręgu wpisanego w tenże wielokąt.

Uwaga 6.7. Istnienie okręgu opisanego na n–kącie lub wpisanego w n–kąt zależy od rozważanegowielokąta i jest pewnego tylko dla n = 3.

Definicja 6.8. Polem wielokąta P nazywamy liczbę P (P) równą sumie pól trójkątów pewnej trian-gulacji wielokąta P.

Pole wielokąta nie zależy od wyboru triangulacji.

Stwierdzenie 6.9. Pole wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r jest równe iloczynowi tegopromienia i połowy obwodu wielokąta.

Dowód. Analogiczny do 4.16(iv).

6.2 Wielokąty foremne

Definicja 6.10. Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt wypukły o wszystkich bokach równejdługości i wszystkich kątach wewnętrznych równych.

Twierdzenie 6.11. Dla dowolnego n ­ 3 i dowolnego a > 0 istnieje (z dokładnością do izometrii)dokładnie jeden n–kąt foremny o boku długości a.

26

Dowód. Dla ustalonego b > 0 i n ­ 3 rozważmy pierwiastki stopnia n–tego z liczby b na płaszczyźniezespolonej, czyli punkty

wk = n√b

(cos

2πkn

+ i sin2πkn

), k = 0, 1, . . . , n− 1.

Zauważmy, że dla dowolnego k spełniony jest warunek |^wk−10wk| = 2πn

jak również |^wk−1wkwk+1| =n−2nπ, czyli wielokąt w0w1 . . . wn−1 ma wszystkie katy wewnętrzne równe.Trójkat4wk−10wk ma ramiona o długości n

√b, więc z twierdzenia cosinusów otrzymujemy długość

podstawy

|wk−1wk| = 2 n√b

√1− cos 2π

n

2= 2 n√b sin

π

n

Dla b =(

a2 sin π

n

)nwielokąt w0w1 . . . wn−1 ma wszystkie boki długości a.

Jedyność takiego wielokąta z dokładnością do izometrii wynika z możliwości opisania odległościpomiędzy dowolnymi wierzchołkami tylko w zależności od a i n.

Wniosek 6.12. n–kąt foremny o boku długości a ma wszystkie kąty wewnętrzne równe n−2nπ, a

promień R okręgu opisanego i promień r okręgu wpisanego w ten wielokąt wyrażają się przez

R =a

2 sin πn

, r =a

2 tg πn

.

Dowód. Określając n–kąt foremny jak w dowodzie twierdzenia 2.5.2 widzimy, że R = n√b = a

2 sin πn

, ar jest wysokością trójkąta 4wk−10wk, a stąd a

2r = tg πn.

Wniosek 6.13. Pole n–kąta foremnego o boku a wynosi

P =na2

4 tg πn

.

Przykład 6.14. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny o kątach równych π3 , czworokątem

foremnym — kwadrat o wszystkich kątach prostych, zaś pięciokąt foremny ma kąty wewnętrzne 3π5 .

6.3 Czworokąty

Definicja 6.15. Równoległobokiem o wierzchołku p rozpiętym na nierównoległych wektorach u, vnazywamy zbiór

P(p;u, v) = {p+ au+ bv ; a, b ∈ [0, 1]}.Równoległoobok P(p;u, v) jest rombem, gdy ‖u‖ = ‖v‖, a kwadratem, gdy ponadto u ⊥ v; samostatni warunek określa prostokąt.

Stwierdzenie 6.16. Czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne mająwspólny środek.

Dowód. Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym (tylko taki ma dwie przekątne).Zauważmy, że

−→AB =

−−→DC ⇐⇒ B − A = C −D ⇐⇒ 1

2A+

12C =

12B +

12D,

zaś pierwszy warunek oznacza, że ABCD jest równoległobokiem P(A;−→AB,−−→AD

).

27

Definicja 6.17. Trapezem nazywamy czworokąt, w którym pewną parę boków opisują wektory rów-noległe. Trapez równoramienny to trapez nie będący równoległobokiem, w którym boki nierównoległemają równe długości.

Definicja 6.18. Deltoidem nazywamy czworokąt o prostopadłych przekątnych takich, że środekjednej z nich leży na drugiej przekątnej.

Stwierdzenie 6.19. Pole równoległoboku o sąsiednich bokach długości a, b i kącie pomiędzy nimi omierze α wynosi

P = ab sinα = ah,

gdzie h oznacza wysokość opuszczoną na bok a (czyli odległość pomiędzy prostymi równoległymi za-wierającymi boki o długości a).

Dowód. Triangulację równoległoboku P(p;u, v) tworzą dwa trójkąty 4(p, p+ u, p+ v), 4(p+ u, p+v, p+ u+ v). Oba rozpięte są na wektorach u i v, więc ze wzoru na pole trójkąta wynika, że

P (P(p;u, v)) = 2 · 12‖u‖ ‖v‖ sin^(u, v) = ab sinα.

Wysokość h = b sinα obliczamy z trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej o długości b.

Wniosek 6.20. (i) Pole prostokąta o sąsiednich bokach długości a i b wynosi P = ab.

(ii) Pole kwadratu o boku długości a wynosi P = a2.

Stwierdzenie 6.21. Pole trapezu o podstawach (bokach równoległych) długości a i b i wysokości(czyli odległości pomiędzy prostymi równoległymi zawierającymi te boki) równej h wynosi

P =a+ b

2h.

Dowód. Niech ABCD będzie trapezem, w którym AB ‖ CD i |AB| = a ­ b = |CD|. Wówczash = d(AB,CD).

Niech E będzie rzutem równoległym punktu A na prostą CD w kierunku prostej BC. Wówczas|DE| = a − b, a równoległobok ABCE jest sumą mnogościową trójkąta 4ADE i trapezu ABCD,przy czym h jest także wysokością trójkąta opuszczoną na bok DE. Stąd i ze wzorów na polerównoległoboku i trójkąta otrzymujemy

P (ABCD) = P (ABCE)− P (4ADE) = ah− 12

(a− b)h =a+ b

2h.

Stwierdzenie 6.22. Pole deltoidu (w szczególności rombu) o przekątnych długości d1 i d2 wynosi

P =d1d2

2.

Dowód. Triangulacją deltoidu o (prostopadłych) przekątnych d1 i d2 tworzą dwa trójkąty o wspólnejpodstawie długości d1 i wysokościach uzupełniających się do d2.

Twierdzenie 6.23 (warunek opisania okręgu na czworokącie). Na czworokącie można opisać okrągwtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe.

28

Dowód. W czworokącie ABCD oznaczmy przez α, β, γ, δ miary kątów wewnętrznych odpowiednioprzy wierzchołkach A,B,C,D.⇒) Załóżmy, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu o środku O i promieniu R. Wynika stąd,

że każdy kąt wewnętrzny tego czworokąta ma miarę mniejszą niż π, gdyż w przeciwnym wypadkujeden z wierzchołków leżałby wewnątrz koła. Kąty wewnętrzne o wierzchołkach A,C oparte są nadopełniających się łukach BD, a kąty środkowe oparte na tych łukach tworzą kąt pełny o mierze 2π,więc z twierdzenia o kątach w kole α + γ = 1

2 · 2π = π. Analogicznie β + δ = π = α + γ.⇐) Załóżmy, że α+ γ = β+ δ. Ponieważ pewna triangulacja dowolnego czworokąta zawiera dwa

trójkąty, więc suma kątów wewnetrznych czworokąta wynosi 2π. Zatem α + γ = β + δ = π, skądna mocy twierdzenia sinusów promienie okręgów opisanych na trójkątach 4ABC i 4ADC są równesobie, bo równe R = |AC|

2 sinβ = |AC|2 sin δ .

Jeżeli O1, O2 są odpowiednio środkami wspomnianych okręgów, to O1, O2 ∈ l = symAC. Naprostej l są dwa punkty odległe od punktu A o R, gdy R > |AC|

2 , lub jeden gdy R = |AC|2 , punkty

O1, O2 mogą być więc równe (co już kończy dowód) lub symetryczne względem prostej AC. Wtedyjednak trójkąty 4ABC i 4ADC są przystające, co daje β = δ. Z założenia otrzymujemy β = δ = π

2 ,ale wówczas środki okręgów opisanych na trójkątach prostokatnych 4ABC i 4ADC leżą na środkuwspólnej przeciwprostokatnej AC, czyli także O1 = O2.

Twierdzenie 6.24 (warunek wpisania okręgu w czworokąt). W czworokąt wypukły można wpisaćokrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

W czworokąt niewypukły nie można wpisać okręgu.

Dowód. Jeżeli czworokąt jest niewypukły, to jeden z jego kątów wewnętrznych, np. przy wierzchołkuA ma miarę większą niż π i z jego dwusiecznej jest zawsze bliżej do wierzchołka niż któregokolwiek zboków AB, AD. Tym samym okrag styczny do dwóch pozostałych boków CB, CD po przekroczeniuprzez promień wartości |OA| przecina już boki AB, AD i nie może być do nich styczny.

W czworokącie wypukłym ABCD oznaczmy przez a, b, c, d długości boków odpowiednio AB, BC,CD, DA.⇒) Załóżmy, że okrąg o środku O i promieniu r jest wpisany w czworokąt ABCD. Jeżeli okrąg

ten jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K,L,M,N , to

|AK| = |AN |, |BK| = |BL|, |CL| = |CM |, |DM | = |DN |,

bo trójkąty prostokątne 4AKO i 4ANO są przystające jako posidające wspólną przyprostokatnąAO oraz |OK| = |ON | = r itd. Zatem

a+ c = |AK|+ |KB|+ |CM |+ |MD| = |AN |+ |LB|+ |CL|+ |ND| = d+ b.

⇐) Załóżmy, że a+c = b+d. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrz-nych czworokąta ABCD przy wierzchołkach A i B (dwusieczne te nie są równoległe, bo AD 6‖ BC).Oznaczmy przez K,L,M,N rzuty prostopadłe punktu O na proste odpowiednio AB,BC,CD,DA.Z własności dwusiecznej wynika, że |OK| = |OL| = |ON |; oznaczmy tę wspólną wartość przez r.

Z wypukłości czworokąta ABCD mamy, że kąty ^BAO i ^ABO są ostre i K leży na boku AB.Z własności dwusiecznej wynika, że tylko punkt O może być środkiem okręgu wpisanego w czworokątABCD. Gdyby punkt L nie leżał na odcinku BC, to a+ c > b+ d i podobnie dla punktu D. Zatempunkt O leży wewnątrz czworokąta i M ∈ CD.

Oznaczając x = |OM | oraz

a1 = |AK|, a2 = |KB|, b1 = |BL|, b2 = |LC|, c1 = |CM |, c2 = |MD|, d1 = |DN |, d2 = |NA|

29

otrzymujemy|OD|2 = x2 + c2

2 = r2 + d21, |OC|2 = x2 + c2

1 = r2 + b22,

skąd po odjęciu stronamic2

1 − c22 = b2

2 − d21

lub inaczej c(c1 − c2) = (b2 + d1)(b2 − d1), co jednak wraz z założeniem daje

(b+ d− a)(c1 − c2) = (b2 + d1)(b2 − d1), awięc (b2 + d1)((c1 − c2)− (b2 − d1)) = 0.

Ostateczniec1 + c2 = b2 − d1, c1 − c2 = b2 − d1,

skąd c1 = b2, c2 = d1, ale wtedy r = x, czyli okrąg o środku O i promieniu r jest także styczny doboku CD.

Przykład 6.25. Dla równoległoboku warunkiem równoważnym opisania na nim okręgu jest bycieprostokątem, wpisania w ten równoległobok okręgu — bycie rombem.Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg.

30

7 Wielościany

7.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu

Definicja 7.1. Wielościanem nazywamy spójny podzbiór przestrzeni trójwymiarowej, który jestsumą mnogościową takiej rodziny czworościanów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nichjest ich wspólną ścianą, wspólną krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdytaki podział wielościanu nazywamy triangulacją.

Definicja 7.2. Punkt danego wielościanu, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem czwo-rościanu triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielościanu.Krawędź wielościanu to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawierakrawędź pewnego czworościanu tej triangulacji, zaś ścianą wielościanu jest wielokąt, którego wszyst-kimi bokami są krawędzie wielościanu, a wielokąt ten w dowolnej triangulacji zawiera ścianę czworo-ścianu tejże triangulacji.

Definicja 7.3. Sferę zawierającą wszystkie wierzchołki danego wielościanu nazywamy sferą opisanąna tym wielościanie, zaś sfera zawarty w wielościanie i styczną do wszystkich płaszczyzn zawierającychściany tego wielościanu nosi nazwę sfery wpisanej w tenże wielościan.

Definicja 7.4. Charakterystyką Eulera wielościanu P nazywamy liczbę

χ(P) = F − E + V,

gdzie F oznacza liczbę ścian, E — liczbę krawędzi, a V — liczbę wierzchołków wielościanu P.

Twierdzenie 7.5. Charakterystyka Eulera wielościanu wypukłego wynosi 2.

Uwaga 7.6. Charakterystykę Eulera równą 2 mają wszystkie wielościany, których suma mnogościowaścian (z topologią indukowaną) jest homeomorficzna ze sferą S2.Inną charakterystykę mają np. wielościany, których suma ścian jest homeomorficzna z torusem T 2 =S1 × S1 (prostopadłościan z wydrążoną na wylot prostopadłościenną dziurą itp.); wówczas χ = 0.

Stwierdzenie 7.7. Dla dowolnego wierzchołka wielościanu wypukłego suma miar kątów wewnętrz-nych ścian, dla których ten wierzchołek jest wierzchołkiem ściany, jest mniejsza niż 2π.

7.2 Wielościany foremne

Definicja 7.8. Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przy-stającycmi wielokątami foremnymi, każdy wierzchołek należy do tej samej liczby ścian. Przez Kn,k

oznaczamy wielościan foremny o ścianach będących n–kątami foremnymi stykającymi się po k wkażdym wierzchołku.

Twierdzenie 7.9. Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) co najwyżej pięć wielościanów forem-nych:

K3,3, K3,4, K3,5, K4,3, K5,3.

Dowód. Przypuśćmy, że wielościan foremny ma ściany będące n–kątami foremnymi i w każdym wierz-chełek tego wielościanu należy do dokładnie k ścian. Wówczas k ­ 3, a suma kątów płaskich przykażdym wierzchołku wynosi k n−2

nπ i jest mniejsza od 2π na mocy stwierdzenia 3.1.6, bo wielościan

foremny jest wypukły. Stąd 3(1− 2

n

)< 2 lub inaczej n < 6. Ponadto w takim wielościanie

E =nF

2, V =

nF

k.

31

Charakterystyka Eulera wielościanu foremnego, jako wypukłego jest więc równa

F − nF

2+nF

k= 2.

Rozważmy przypadki:n = 3) −F

2 + 3Fk

= 2, czyli F = 4k6−k , skąd k < 6. Dla k = 3 otrzymujemy F = 4, dla k = 4 wielościan

ma 8 ścian, a dla k = 5 — 20 ścian.n = 4) −F + 4F

k= 2, czyli F = 2k

4−k , co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 6.n = 5) −3F

2 + 5Fk

= 2, czyli F = 4k10−3k , co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 12.

Twierdzenie 7.10. Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) dokładnie pięć wielościanów forem-nych. Każdy z nich można określić podając wierzchołki w trójwymiarowym prostokątnym układziewspółrzędnych:

K3,3: (1, 0, 0),(−1

2 ,√

32 , 0

),(−1

2 ,−√

32 , 0

), (0, 0,

√2)

K3,4: (±1, 0, 0), (0,±1, 0), (0, 0,±1);

K3,5: (0,±1,±ϕ), (±1, 0,±ϕ), (±1,±ϕ, 0);

K4,3: (±1,±1,±1);

K5,3: (±1,±1,±1), (0,± 1ϕ,±ϕ), (± 1

ϕ, 0,±ϕ), (± 1

ϕ,±ϕ, 0).

gdzie ϕ =√

5+12 i tym samym 1

ϕ=√

5−12 .

Dowód. Dla K3,3 krawędź ma długość√

3, a każda z 4 ścian powstaje przez wybór dowolnych trzechwierzchołków.Określony w tezie wielościan K3,4 ma krawędź długości

√2, a trójkątne ściany mają po jednym

wierzchołku z każdej serii.Podany przykład wielościanu K4,3 ma krawędź długości 2, a każda z 6 kwadratowych ścian mawierzchołki o ustalonej jednej współrzędnej.Obliczenia dla K3,5 i K5,3 są nieco bardziej skomplikowane.

Przykład 7.11. Wielościany foremne mają następujace nazwy oraz liczby ścian, krawędzi i wierz-chołków:

K3,3: czworościan foremny, F = 4, E = 6, V = 4,

K3,4: ośmiościan foremny, F = 8, E = 12, V = 6,

K3,5: dwudziestościan foremny, F = 20, E = 30, V = 12,

K4,3: sześcian, F = 6, E = 12, V = 8,

K5,3: dwunastościan foremny, F = 12, E = 30, V = 20.

Przykład 7.12. Jeżeli R oznacza promień sfery opisanej, r — promień sfery wpisanej w n–ścianforemny o krawędzi długości a, to dla

1. czworościanu: R = a√

64 , r = a

√6

12 ,

2. sześcianu: R = a√

32 , r = a

2 ,

3. ośmiościanu: R = a√

22 , r = a

√6

6 .

32

7.3 Objętość wielościanów

Definicja 7.13. Pryzmą (3–wymiarową) nazywamy zbiór

Q(4, v) =⋃

0¬s¬1

(4+ sv),

gdzie 4 jest trójkątem, a v jest wektorem nierównoległym do płaszczyzny tego trójkąta.

Dowód.

Stwierdzenie 7.14. Pryzma jest wielościanem.Pewna triangulacja pryzmy Q(4(p0, p1, p2), v) składa się z trzech czworościanów, z których każdy

ma objętość równą 16 |〈−−→p0p1 ×−−→p0p2, v〉|.

Dowód. Zauważmy, że triangulację pryzmy Q(4(p0, p1, p2), v) stanowią trzy czworościany

41 = conv (p0, p0 + v, p1 + v, p2 + v),42 = conv (p0, p1, p1 + v, p2 + v),43 = conv (p0, p1, p2, p2 + v).

Istotnie, ich suma mnogościowa jest całą pryzmę, a części wspólne to wspólne ściany lub krawędź:

41 ∩42 = 4(p0, p1 + v, p2 + v),41 ∩43 = p0, p2 + v,

42 ∩43 = 4(p0, p1, p2 + v).

Czworościan 41 jest zaczepiony w punkcie p0 i rozpięty na wektorach v, −−→p0p1 + v, −−→p0p2 + v. Z defincjii własności wyznacznika Grama

V (41) =16|〈v × (−−→p0p1 + v) ,−−→p0p2 + v〉| = 1

6|〈−−→p0p1 ×−−→p0p2, v〉| .

Ten sam wynik otrzymujemy dla czworościanu 42 zaczepionego w punkcie p0 i rozpiętego na wek-torach −−→p0p1, −−→p0p1 + v, −−→p0p2 + v oraz czworościanu 43 zaczepionego w punkcie p0 i rozpiętego nawektorach −−→p0p1, −−→p0p2, −−→p0p2 + v.

Definicja 7.15. Równoległościanem (3–wymiarowym) nazywamy zbiór

P(p; v1, v2, v3) = {p+ a1v1 + a2v2 + a3v3 ; a1, a2, a3 ∈ [0, 1]},

gdzie p jest punktem, a wektory v1, v2, v3 są liniowo niezależne.Gdy v1, v2, v3 są parami prostopadłe mówimy o prostopadłościanie, a gdy ponadto ‖v1‖ = ‖v2‖ =

‖v3‖ — o sześcianie.

Stwierdzenie 7.16. Równoległościan jest wielościanem.Pewna triangulacja równoległościanu P(p; v1, v2, v3) składa się z sześciu czworościanów, z których

każdy ma objętość równą 16 |〈v1 × v2, v3〉|.

33

Dowód. Dzielimy równoległościan P(p; v1, v2, v3) na dwie pryzmy

Q(4(p, p+ v1, p+ v2), v3) oraz Q(4(p+ v1, p+ v2, p+ v1 + v2), v3)

i każdą z nich triangulujemy jak w 7.14 dbając o taką samą triangulację ich wspólnego równoległobokuP(p+ v1;−v1 + v2, v3):

41 = conv (p, p+ v3, p+ v1 + v3, p+ v2 + v3),42 = conv (p, p+ v1, p+ v1 + v3, p+ v2 + v3),43 = conv (p, p+ v1, p+ v2, p+ v2 + v3),44 = conv (p+ v1, p+ v1 + v3, p+ v2 + v3, p+ v1 + v2 + v3),45 = conv (p+ v1, p+ v2, p+ v2 + v3, p+ v1 + v2 + v3),46 = conv (p+ v1, p+ v2, p+ v1 + v2, p+ v1 + v2 + v3).

Układ pierwszych trzech trianguluje pierwszą pryzmę, ostatnich trzech — drugą pryzmę, wystarczywięc badać przecięcia 4i ∩4j dla i ∈ {1, 2, 3}, j ∈ {4, 5, 6}:

41 ∩44 = p+ v1 + v3, p+ v2 + v3,

41 ∩45 = {p+ v2 + v3},41 ∩46 = ∅,42 ∩44 = 4(p+ v1, p+ v1 + v3, p+ v2 + v3),42 ∩45 = p+ v1, p+ v2 + v3,

42 ∩46 = {p+ v1},43 ∩44 = p+ v1, p+ v2,

43 ∩45 = 4(p+ v1, p+ v2, p+ v2 + v3),43 ∩46 = p+ v1, p+ v2.

Równa objętość wszystkich sześciu czworościanów jest konsekwencją 7.14 i faktu, że podstawa pierw-szej pryzmy jest rozpięta na wektorach v1, v2, zaś drugiej — na v2−v1, v2, co przy tym samym wektorzepodniesienia daje te same iloczyny mieszane.

Twierdzenie 7.17 (objętość pryzmy i równoległościanu).

(i) V (Q(4(p0, p1, p2), v)) = 12 |〈−−→p0p1 ×−−→p0p2, v〉|,

(ii) V (P(p; v1, v2, v3)) = |〈v1 × v2, v3〉|.

Dowód. Wynika bezpośrednio z 7.14 i 7.16.

Przykład 7.18. Objętość prostopadłościanu o krawędziach wychodzących z jednego wierzchołkadługości a, b, c ma objętość V = abc.

Sześcian o krawędzi długości a ma objętość a3.

Stwierdzenie 7.19 (redukcja objętości czworościanu).

V (conv (A,B,C,D)) =13P (4ABC) · d(D,ABC)

34

Dowód. Niech−→AB = u,

−→AC = v,

−−→AD = w. Z definicji

V (conv (A,B,C,D)) =16|〈u× v, w〉| , P (4ABC) =

12‖u× v‖

Ponadto z 1.50 |〈u× v, w〉| = |〈u× v, w′〉|, gdzie w′ jest składową wektora w prostopadłą do lin (u, v).Ponieważ w′ ⊥ u× v, skąd

|〈u× v, w〉| = ‖u× v‖ · ‖w′‖,

a długość wektora w′ jest odległością punktu D od płaszczyzny podstawy ABC, więc

V (conv (A,B,C,D)) =16‖u× v‖ · d(D,ABC) =

13P (4ABC) · d(D,ABC).

Definicja 7.20. Ostrosłupem nazywamy zbiór postaci conv (P, p), gdzie P jest wielokątem wypukłym,a p punktem nie należącym do płaszczyzny tego wielokąta.

Mówimy, że ostrosłup conv (P, p) jest prawidłowy, gdy P jest wielokątem foremnym, a rzut pro-stopadły punktu p na jego płaszczyznę jest środkiem wielokąta (czyli np. środkiem okręgu na nimopisanego).

Definicja 7.21. Graniastosłupem nazywamy zbiór postaci

Q(P, v) =⋃

0¬s¬1

(P + sv),

gdzie P jest wielokątem wypukłym, a wektor v nie jest równoległy do jego płaszczyzny.Graniastosłup Q(P, v) jest prosty, gdy wektor v jest prostopadły do płaszczyzny wielokąta P,

prawidłowy, gdy ponadto P jest wielokątem foremnym.

Twierdzenie 7.22 (objętość ostrosłupa i graniastosłupa). Niech wielokąt P bedzie zawrty w płasz-czyźnie H. Wówczas

(i) V (conv (P, p)) = 13P (P) · d(p,H),

(ii) V (Q(P, v)) = P (P) · d(q + v,H) dla dowolnego q ∈ P.

Dowód. Niech {41, . . . ,4m} będzie triangulacją wielokąta P.

(i) Rodzina {conv (41, p), . . . , conv (4m, p)} stanowi triangulację ostrosłupa conv (P, p). Ponieważwszystkie trójkąty zawarte są w tej samej płaszczyźnie H, więc na mocy redukcji 7.19

V (conv (P, p)) =m∑j=1

V (conv (4j, p)) =13d(p,H)

m∑j=1

P (4j) =13d(p,H) · P (P) .

(ii) Graniastosłup Q(P, v) jest sumą mnogościową pryzmy Q(4j, v), j = 1, . . . ,m, a każde dwiespośrod nich przecinają się wzdłuż równoległoboku (o objętości 0) lub są rozłączne. Stąd

V (Q(P, v)) =m∑j=1

V (Q(4j, v)) .

35

Dla ustalonego j = 1, . . . ,m z 7.14 wynika, że pryzma Q(4j, v) ma triangulację złożoną ztrzech czworościanów o równych objętościach, a jeden z nich jest postaci conv (4j, rj), gdziepunkt rj ∈ 4j + v. Redukując objetość tego czworościanu jak w 7.19 dostajemy

V (Q(4j, v)) = 3 · 13P (4j) · d(rj, H) = P (4j) · d(rj, H).

Wszystkie punkty płaszczyzny H + v są równo odległe od płaszczyzny H, więc d(rj, H) =d(q + v,H) dla dowolnego q ∈ P oraz j = 1, . . . ,m.

Ostatecznie

V (Q(P, v)) =m∑j=1

P (4j) · d(q + v,H) = d(q + v,H) · P (P).

Przykład 7.23. Objętość czworościanu foremnego o krawędzi a wynosi a3√

212 .

Objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi a wynosi a3√

23 .

36

8 Izometrie i podobieństwa płaszczyzny

8.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe

Stwierdzenie 8.1. Jeżeli izometria f płaszczyzny E2 spełnia dla pewnych trzech niewspółliniowychpunktów A,B,C ∈ E2 warunki: f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C, to f jest tożsamością na E2.

Dowód. Jeżeli punkty A,B,C są niewspółliniowe i są punktami stałymi izometrii f , to dla dowolnegopunktu X ∈ E2 mamy |f(X)A| = |f(X)f(A)| = |XA|. Przypuśćmy, że f(X) 6= X. Wtedy zgodniez własnością symetralnej A ∈ symXf(X) i podobnie B ∈ symXf(X), C ∈ symXf(X), co jestsprzeczne z niewspółliniowością punktów A,B,C. Zatem dowolny punkt X ∈ E2 jest punktem stałymizometrii f , która tym samym jest tożsamością.

Wniosek 8.2. Jeżeli dwie izometrie f, g płaszczyzny E2 spełniają dla pewnych trzech niewspółlinio-wych punktów A,B,C ∈ E2 warunki: f(A) = g(A), f(B) = g(B), f(C) = g(C), to f = g.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że przy powyższych założeniach izometria h = g◦f−1 spełnia założeniapoprzedniego stwierdzenia, jest więc tożsamością.

Twierdzenie 8.3. Każda różna od tożsamości izometria płaszczyny jest symetrią osiową lub złoże-niem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Dowód. Niech f będzie nietożsamościową izometrią płaszczyzny, a A,B,C punktami niewspółlinio-wymi. Oznaczmy A′ = f(A), B′ = f(B), C ′ = f(C). Ze stwierdzenia 4.1.1 co najmniej jeden z nichnie przechodzi na siebie, np. A′ 6= A. Oznaczmy przez k symetralną odcinka AA′, zaś B1 = sk(B),C1 = sk(C). Jeżeli B1 = B′ i C1 = C ′, to na mocy wniosku 4.1.2 f = sk.Załóżmy teraz, że punkty B,C nie przechodzą w symetrii sk odpowiednio na B′, C ′, np. B1 6= B′.Oznaczmy przez l symetralną odcinka B1B′, zaś C2 = sl(C1). Zauważmy, że z izometryczności skmamy |AB| = |A′B1|, a izometryczności f również |AB| = |A′B′|. Stąd |A′B1| = |A′B′|, co wraz zwłasnością symetralnej daje A′ ∈ l, a więc także sl(A′) = A′. Tym samym złożenie symetrii osiowychsl ◦ sk przekształca A na A′ oraz B na B′. Jeżeli dodatkowo C2 = C ′, to na mocy 4.1.2 f = sl ◦ sk.Załóżmy wreszcie, że C2 6= C ′ i niech m oznacza symetralną odcinka C2C ′. Z izometryczności f , sk,sl otrzymujemy kolejno

|AC| = |A′C ′|, |BC| = |B′C ′|, |AC| = |A′C1|, |BC| = |B1C1|, |A′C1| = |A′C2|, |B1C1| = |B′C2|,

skąd |A′C2| = |A′C ′| oraz |B′C2| = |B′C ′|. Z własności symetralnej mamy więc, że A′, B′ ∈ m, takwięc złożenie symetrii osiowych sm ◦ sl ◦ sk przekształca punkty A,B,C na punkty odpowiednioA′, B′, C ′ i na mocy stwierdzenia 4.1.2 f = sm ◦ sl ◦ sk.

8.2 Izometrie parzyste

Stwierdzenie 8.4. Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach równoległych jest trans-lacją.Dokładniej, jeżeli l1 ‖ l2 oraz A1 ∈ l1, A2 ∈ l2 są takie, że l1 ⊥ w =

−−−→A1A2 ⊥ l2, to sl2 ◦ sl1 = T2w.

Dowód. Wektor u = w‖w‖ jest jednostkowym wektorem normalnym do prostych l1, l2. Rozważane

symetrie można opisać więc wzorami

sli(x) = x− 2〈x− Ai, u〉u, i = 1, 2.

37

Zatem dla x ∈ E2

sl2 ◦ sl1(x) =sl2 (x− 2〈x− A1, u〉u) = x− 2〈x− A1, u〉u− 2 〈x− 2〈x− A1, u〉u− A2, u〉u=x− 2〈x− A1, u〉u− 2〈x− A2, u〉u+ 4〈x− A1, u〉u

=x+ 2〈A2 − A1, u〉u = x+ 2⟨w,

w

‖w‖

⟩w

‖w‖= x+ 2w = T2w(x).

Stwierdzenie 8.5. Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przecinających się wjednym punkcie jest obrotem.Dokładniej, jeżeli l1 ∩ l2 = {O} oraz dla pewnych A1 ∈ l1, A2 ∈ l2

∣∣∣−→̂A1OA2

∣∣∣ = α, to sl2 ◦ sl1 = R2αO .

Dowód. Załóżmy, że proste l1, l2 przecinają się w punkcie O oraz że v1, v2 są jednostkowymi wektoramikierunkowymi, zaś n1, n2 — jednostkowymi wektorami prostopadłymi odpowiednio do l1, l2, przyczym ^(v1, v2) = α, a baza (v1, v2) przestrzeni liniowej R2 ma tę samą orientację, co baza (n1, n2).

Zapisujemy v2 i n2 w bazie ortonormalnej (v1, n1):

v2 = cosα v1 + sinα n1, n2 = − sinα v1 + cosα n1.

Dowolny punkt X płaszczyzny można zapisać w postaci X = O + r cosϕ v1 + r sinϕ n1, gdzier = |OX|, a ϕ jest kątem skierowanym pomiędzy v1 a

−−→OX. Zatem

sl1(X) =X − 2〈X −O, n1〉n1 = O + r cosϕ v1 + r sinϕ n1 − 2〈r cosϕ v1 + r sinϕ n1, n1〉n1

=O + r cosϕ v1 − r sinϕ n1,

skąd

sl2 (sl1(X))) =sl1(X)− 2 〈sl1(X)−O, n2〉n2 = O + r cosϕ v1 − r sinϕ n1

− 2〈r cosϕ v1 − r sinϕ n1,− sinα v1 + cosα n1〉(− sinα v1 + cosα n1)=O + r cosϕ v1 − r sinϕ n1 + 2r sin(ϕ+ α)(− sinα v1 + cosα n1)=O + r (cosϕ − 2 sin(ϕ+ α) sinα) v1 + r (− sinϕ+ 2 sin(ϕ+ α) cosα)n1

=O + r (cosϕ + cos(ϕ+ 2α)− cosϕ) v1 + r (− sinϕ+ sin(ϕ+ 2α) + sinϕ)n1

=O + r cos(ϕ+ 2α) v1 + r sin(ϕ+ 2α) n1 = R2αO (X).

8.3 Izometrie nieparzyste

Stwierdzenie 8.6. Złożenie trzech symetrii osiowych płaszczyzny o osiach:

1. parami równoległych jest symetrią osiową o osi równoległej do tych trzech osi.

2. przecinających się w dokładnie jednym punkcie jest symetrią osiową o osi przechodzacej przezten punkt.

Dowód. Rozważmy proste l1, l2, l3 i złożenie symetrii osiowych sl3 ◦ sl2 ◦ sl1 .

38

1. Jeżeli l1 ‖ l2 ‖ l3, to złożenie sl2 ◦ sl1 jest translacją o pewien wektor v ⊥ l1 (i tym samym pro-stopadły także do pozostałych prostych). Określmy l′3 = T− v2 (l3). Wtedy na mocy stwierdzenia4.2.1 sl3 ◦ sl′3 = Tv i dalej

sl3 ◦ sl2 ◦ sl1 = sl3 ◦ Tv = sl3 ◦ sl3 ◦ sl′3 = sl′3 ,

przy czym oczywiście l′3 ‖ l1 ‖ l2 ‖ l3.

2. Jeżeli l1 ∩ l2 ∩ l3 = {O}, to złożenie sl2 ◦ sl1 jest obrotem o pewien kąt α dookoła punktu O.Określmy l′3 = R

−α2O (l3) 3 O. Wtedy na mocy stwierdzenia 4.2.2 sl3 ◦ sl′3 = Rα

O oraz

sl3 ◦ sl2 ◦ sl1 = sl3 ◦RαO = sl3 ◦ sl3 ◦ sl′3 = sl′3 .

Stwierdzenie 8.7. Dla prostej l i równoległego do niej wektora u spełniony jest warunek sl ◦ Tu =Tu ◦ sl.

Dowód. Niech l1, l2 będą prostymi równoległymi taki, że sl2 ◦ sl1 = Tu jak w stwierdzeniu 4.2.1.Wówczas z założenia l1 ⊥ l ⊥ l2, a zgodnie ze stwierdzeniem 4.2.2 także

sl1 ◦ sl = sl ◦ sl1 , sl2 ◦ sl = sl ◦ sl2

(bo obrót o kąt π jest tym samym przekształceniem co obrót o kąt−π względem tego samego punktu).Stąd

sl ◦ Tu = sl ◦ sl2 ◦ sl1 = sl2 ◦ sl ◦ sl1 = sl2 ◦ sl1 ◦ sl = Tu ◦ sl

Definicja 8.8. Symetrią osiową z poślizgiem nazywamy złożenie symetrii osiowej z translacją owektor równoległy do osi tej symetrii.

Twierdzenie 8.9. Złożenie trzech dowolnych symetrii osiowych płaszczyzny jest symetrią osiową zpoślizgiem.

Dowód. Niech l1, l2, l3 będą dowolnymi prostymi. Na mocy stwierdzeń 8.4 i 8.5 złożenie sl2 ◦ sl1 jesttranslacją lub obrotem.

Jeżeli l1 ‖ l2, to sl2 ◦ sl1 jest translacją o pewien wektor w prostopadły do l1 i l2. Niech u oznaczaskładową wektora w równoległą do prostej l3, a v składową do niej prostopadłą. Niech ponadto m1 im2 będą takimi prostymi, że Tv = sm2 ◦ sm1 . Wtedy m1 ‖ l3 ‖ m2 i z 8.6(i) istnieje prosta l ‖ l3 taka,że

sl3 ◦ sm2 ◦ sm1 = sl.

Stądsl3 ◦ sl2 ◦ sl1 = sl3 ◦ Tw = sl3 ◦ Tv ◦ Tu = sl3 ◦ sm2 ◦ sm1 ◦ Tu = sl ◦ Tu,

przy czym u ‖ l3 ‖ l.Gdy l1 ∩ l2 = {O}, to sl2 ◦ sl1 jest obrotem dookoła punktu O o pewien kąt α. Niech k1 i k2 będą

takimi prostymi, że k2 ‖ l3 i sk2 ◦ sk1 = RαO. Wówczas

sl3 ◦ sl2 ◦ sl1 = sl3 ◦RαO = sl3 ◦ sk2 ◦ sk1 = Tw ◦ sk1

i prowadzimy rozumowanie jak w pierwszym przypadku prowadzące do wniosku, że sl3 ◦ sl2 ◦ sl1 jestsymetrią z poślizgiem.

39

8.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny

Stwierdzenie 8.10. Złożenia parzystej liczby symetrii osiowych płaszczyzny nie można przedstawićjako złożenia nieparzystej liczby symetrii osiowych płaszczyzny, i na odwrót.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że pojedyncza syemtria osiowa na płaszczyźnie odwraca orientację.

Definicja 8.11. Izometrię płaszczyny nazywamy izometrią parzystą (odpowiednio nieparzystą), jeże-li można ją przedstawić jako złożenie parzystej (odpowiednio nieparzystej) liczby symetrii osiowych.

Stwierdzenie 8.12. Zbiorem punktów stałych izometrii płaszczyzny jest pusty lub jest podprzestrze-nią afiniczną.

Dowód. Z wniosku 1.8 wynika, że jeżeli dwa różne punkty płaszczyzny są punktami stałymi f ∈Isom (E2), to prosta łącząca te punkty składa się z punktów stałych izometrii f .

Twierdzenie 8.13 (klasyfikacja izometrii płaszczyzny). Wszystkie izometrie płaszczyzny w zależno-ści od parzystości i zbioru punktów stałych można opisać w tabeli:

parzysta nieparzystapłaszczyzna tożsamość —

prosta — symetria osiowapunkt niezerowy obrót —

zbiór pusty niezerowa translacja symetria osiowa z niezerowym poślizgiem

Dowód. Zgodnie z twierdzeniem 8.3 każda izometria płaszczyzny jest tożsamością lub złożeniemn ∈ {1, 2, 3} symetrii osiowych. Złożenie dwóch symetrii osiowych jest translacją lub obrotem (8.4 i8.5), a złożenie trzech symetrii osiowych — symetrią osiową lub symetrią osiową z poślizgiem (8.6 i8.9). Tym samym pełna lista izometrii płaszczyzny przedstawia się następująco:

1. tożsamość (także jako zerowa translacja lub zerowe obroty),

2. symetrie osiowe (także jak symetrie osiowe z zerowym poślizgiem)

3. niezerowe translacje,

4. niezerowe obroty,

5. symetrie osiowe z niezerowym poślizgiem.

Spośród nich jedynie tożsamość ma całą płaszczyznę punktów stałych, a symetria osiowa — prostą(swoją oś). Punktem stałym obrotu jest tylko jego środek, a pozostałe przekształcenia punktówstałych nie posiadają.

Definicja 8.14. Dwa podzbioryX, Y ⊂ En (zwane też figurami) są przystające, gdy istnieje izometriaprzestrzeni En przekształcająca jeden z nich na drugi. Piszemy wtedy X ≡ Y .

Twierdzenie 8.15 (cechy przystawania trójkątów). W trójkątach 4ABC i 4A′B′C ′ wprowadźmyoznaczenia standardowe jak w 4.1, dla drugiego z trójkątów przez dodanie ′ do wszystkich oznaczeń.

Wówczas, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków

I. (bbb) a = a′, b = b′, c = c′,

II. (bkb) a = a′, b = b′, γ = γ′,

40

III. (kbk) a = a′, β = β′, γ = γ′,

to 4ABC ≡ 4A′B′C ′.Dowód. I. Konstrukcja poszukiwanej izometrii przebiega analogicznie jak w 8.3.

II. wynika z I i twierdzenia cosinusów:

(c′)2 = (a′)2 + (b′)2 − 2a′b′ cos γ′ = a2 + b2 − 2ab cos γ = c2.

III. wynika z I, twierdzenia o sumie kątów w trójkącie i twierdzenia sinusów:

α′ = π − β′ − γ′ = π − β − γ = α, b′ =a′ sin β′

sinα′=a sin βsinα

= b, c′ =a′ sin γ′

sinα′=a sin γsinα

= c.

8.5 Podobieństwa płaszczyny

Stwierdzenie 8.16. Jednokładność o skali s jest podobieństwem o skali |s|.Dowód. Dla x, y ∈ En∣∣∣Jsp(x)Jsp(y)

∣∣∣ = ‖(1− s)p+ sx− ((1− s)p+ sy)‖ = |s| ‖x− y‖ = |s| |xy|.

Stwierdzenie 8.17. Każde podobieństwo przestrzeni En jest złożeniem jednokładności z izometrią.

Dowód. Jeżeli f jest podobieństwem o skali k > 0, to złożenie g = f ◦ J1kθ jest izometrią oraz

f = g ◦ Jkθ .

Definicja 8.18. Dwa podzbiory X, Y ⊂ En są podobne, gdy istnieje podobieństwo przestrzeni Enprzekształcające jeden z nich na drugi. Piszemy wtedy X ∼ Y .

Twierdzenie 8.19 (cechy podobieństwa trójkątów). W trójkątach 4ABC i 4A′B′C ′ wprowadźmyoznaczenia standardowe jak w 4.1, dla drugiego z trójkątów przez dodanie ′ do wszystkich oznaczeń.

Wówczas, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków

I. (bbb) a′

a= b′

b= c′

c,

II. (bkb) a′

a= b′

b, γ = γ′,

III. (kk) β = β′, γ = γ′,

to 4ABC ∼ 4A′B′C ′.Dowód. I. Niech k = a′

a= b′

b= c′

c. Wówczas trójkąt 4A′′B′′C ′′ = JkA(4ABC) ma boki o dłu-

gościach ka = a′, kb = b′, kc = c′ i na mocy 8.15.I jest przystający do 4A′B′C ′. Oznaczającizometrię realizującą to przystawanie przez g otrzymujemy, że podobieństwo f = g ◦ JkA prze-kształca 4A′B′C ′ na 4A′B′C ′.

II. wynika z I i twierdzenia cosinusów.

III. Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie mamy α′ = α, skąd

a′

a=

2R′ sinα′

2R sinα=R′

R.

Podobnie b′

b= c′

c= R′

Ri wystarczy skorzystać z I.

41

8.6 Uwagi o izometriach przestrzeni

Każda izometria przestrzeni trójwymiarowej E3 jest złożeniem co najwyżej czterech symetrii płasz-czyznowych. Dowód opiera się na własności płaszczyzny symetralnej odcinka 1.45 i jest zupełnieanalogiczny do 8.3.

Przenosząc własności złożeń symetrii osiowych na płaszczyźnie można bezpośrednio wywniosko-wać, że:

1. Złożenie dwóch symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach równoległych jest translacją.

2. Złożenie dwóch symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach przecinających się wzdłuż prostejjest obrotem wokół tej prostej.

3. Złożenie trzech symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach parami równoległych jest symetriąpłaszczyznową.

4. Złożenie trzech symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach przecinających się wzdłuż jednejprostej jest symetrią płaszczyznową.

5. Złożenie czterech symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach parami równoległych jest transla-cją.

6. Złożenie czterech symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach przecinających się wzdłuż jednejprostej jest obrotem wokół tej prostej.

7. Złożenie trzech symetrii płaszczyznowych o płaszczyznach prostopadłych do pewnej płaszczy-zny jest symetrią płaszczynową z poślizgiem.

Powyższa lista nie obejmuje oczywiście wszystkich możliwych przypadków w wymiarze 3.

42

9 Inwersje

Definicja 9.1. Inwersją względem sfery S(c, r) nazywamy przekształcenie ιc,r : En \ {c} → En danewzorem

ιc,r(x) = r2 x− c‖x− c‖2

+ c.

Bezpośrednio ze wzoru wynika, że inwersja względem sfery S(c, r) przypisuje punktowi x 6= c takipunkt x′ ∈ cx~, że |cx| · |cx′| = r2.

Przykład 9.2. Oznaczmy przez ι := ιθ,1 (czyli inwersję względem sfery jednostkowej). Wówczasι(x) = x

‖x‖2 , a gdy n = 2 wzór przyjmuje postać ι(z) = 1z̄.

Stwierdzenie 9.3.ιc,r = Tc ◦ Jr

2

θ ◦ ι ◦ T−cDefinicja 9.4. Dyfeomorfizmem konforemnym pomiędzy obszarami D,E ⊂ En nazywamy dyfe-omorfizm f : D → E taki, że istnieje dodatnia funkcja różniczkowalna λ : D → R+ taka, że dladowolnego punktu p ∈ D oraz dowolnych wektorów v, w ∈ Rn spełniony jest warunek

〈dfp(v), dfp(w)〉 = λ(p)〈v, w〉.Stwierdzenie 9.5. Inwersja względem dowolnej sfery S:

(i) jest inwolucją, tzn. jest sama do siebie odwrotna,

(ii) jest dyfeomorfizmem konforemnym,

(iii) ma zbiór wszystkich punktów stałych będący sferą S.

Dowód. (i) Dla x 6= c

ιc,r ◦ ιc,r(x) = ιc,r

(r2 x− c‖x− c‖2

+ c

)= r2

r2 x−c‖x−c‖2∥∥∥r2 x−c‖x−c‖2

∥∥∥2 + c = x− c+ c = x.

(ii) Translacja i jednokładność są izometriami, więc wystarczy sprawdzić konforemność dla inwersjiwzględem sfery jednostkowej. Przeprowadzimy rachunek dla n = 2. Wtedy

ι(x, y) =(

x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)jest dyfeomorfizmem E2 \{(0, 0)} na siebie, a macierz jej różniczki w punkcie p = (x, y) 6= (0, 0)ma postać

dιp =

−x2+y2(x2+y2)2

−2xy(x2+y2)2

−2xy(x2+y2)2

x2−y2(x2+y2)2

Stąd dla v = (v1, v2), w = (w1, w2) ∈ R2

〈dιp(v), dιp(w)〉 =1

(x2 + y2)2

⟨((−x2 + y2)v1 − 2xyv2,−2xyv1 + (x2 − y2)v2

),(

(−x2 + y2)w1 − 2xyw2,−2xyw1 + (x2 − y2)w2

)⟩=

1(x2 + y2)2

((−x2 + y2)2v1w1 + 4x2y2v2w2 + 4x2y2v1w1 + (x2 − y2)2v2w2

)=

(x2 − y2)2 + 4x2y2

(x2 + y2)2〈v, w〉.

Zatem λ(x, y) = (x2−y2)2+4x2y2

(x2+y2)2 , czyli ι jest dyfeomorfizmem konforemnym.

43

(iii) Dla x 6= c

ιc,r(x) = x⇐⇒ r2

‖x− c‖2(x− c) = x− c⇐⇒ ‖x− c‖ = r ⇐⇒ x ∈ S(c, r).

Stwierdzenie 9.6. Niech ι będzie inwersją względem sfery S(c, r). Wówczas:

(i) jeżeli H jest hiperpłaszczyzną oraz c ∈ H, to ι(H) = H,

(ii) jeżeli H jest hiperpłaszczyzną oraz c 6∈ H, to ι(H) zawiera się w pewnej sferze przechodzącejprzez c,

(iii) jeżeli S jest sferą oraz c ∈ S, to ι(S \ {c}) jest hiperpłaszczyzną,

(iv) jeżeli S jest sferą oraz c 6∈ S, to ι(S) jest pewną sferą.

Dowód. Ponieważ translacja i jednokładność przeprowadzają hiperpłaszczyzny na hiperpłaszczyznyoraz sfery na sfery, wystarczy wykazanie powyższych faktów dla inwersji podstawowej. Ograniczymysię do przypadku n = 2, wtedy

ι(x, y) =(

x

x2 + y2,

y

x2 + y2

),

a ze stwierdzenia 9.5(i) także ι−1 = ι.Dobierzemy odpowiednio układ współrzędnych tak aby przekształacana prosta (hiperpłaszczyzna)

była prostopadła do pierwszej osi, a w przypadku przekształacania okręgu (sfery) — jego środek leżałna pierwszej osi.

(i) H : x = 0, skąd ι(H) : xx2+y2 = 0, czyli także ι(H) = 0.

(ii) H : x = d, przy czym d 6= 0, skąd ι(H) : xx2+y2 = d. Tym samym obraz zawiera się w okręgu o

równaniu(x− 1

2d

)+ y2 =

(12d

)2, który oczywiście przechodzi przez punkt (0, 0).

(iii) Wynika z (ii) oraz inwolutywności inwersji.

(iv) S : (x− d)2 + y2 = r2, przy czym d 6= r. Wówczas równanie obrazu jest postaci(x

x2 + y2− d

)2

+(

y

x2 + y2

)2

= r2,

czyli równoważnie

x2 + d2(x2 + y2)2 − 2dx(x2 + y2) + y2 = r2(x2 + y2)2,

a to z kolei (x− d

d2 − r2

)2

+ y2 =(

r

|d2 − r2|

)2

.

Zauważmy ponadto, że jeżeli 1 + r2 = d2, to ι(S) = S.

44

Wniosek 9.7. Niech S = S(c, r), S ′ = S(c′, r′). Wówczas ιc,r(S ′) = S ′ wtedy i tylko wtedy, gdyS ⊥ S ′ lub, co na jedno wychodzi, |cc′|2 = r2 + (r′)2.

Twierdzenie 9.8 (Liouville’a). Dowolny dyfeomorfizm konforemny pomiędzy obszarami w En jest

(i) funkcją holomorficzną, gdy n = 2,

(ii) odwzorowaniem postacix 7→ λA ι(x) + b,

gdzie λ > 0, A ∈ O(n), b ∈ Rn, zaś ι jest tożsamością lub inwersją.

Wniosek 9.9. Dowolny dyfeomorfizm konforemny całej przestrzeni En na siebie jest podobieństwem.

Wniosek 9.10. Dowolny dyfeomorfizm konforemny kuli jednostkowej Bn na siebie jest odwzorowa-niem postaci

x 7→ A ι(x),

gdzie A ∈ O(n), zaś ι jest tożsamością lub inwersją względem sfery prostopadłej do Sn−1 = ∂Bn.

45

10 Twierdzenia rzutowe

Twierdzenie 10.1 (Talesa). Niech proste AB i A′B′ przecinają się w punkcie O /∈ {A,B,A′, B′}oraz

−−→OB = a

−→OA i

−−→OB′ = a′

−−→OA′.

Wówczas a = a′ wtedy i tylko wtedy, gdy AA′ ‖ BB′.

Dowód. Zauważmy, że

−−→BB′ = −

−−→OB +

−−→OB′ = −a

−→OA+ a′

−−→OA′ = a

(−−→OA+

−−→OA′

)+ (a′ − a)

−−→OA′ = a

−−→AA′ + (a′ − a)

−−→OA′

Zatem, gdy a = a′, to−−→BB′ ‖

−−→AA′.

Na odwrót, gdyby−−→BB′ ‖

−−→AA′ i a 6= a′, to mielibyśmy

−−→AA′ ‖

−−→OA′, a to daje sprzeczność, bo

O 6= A′ jest jedynym punktem wspólnym prostych AB i A′B′.

Wniosek 10.2 (twierdzenie Talesa w wersji tradycyjnej). Jeżeli proste AB i CD są równoległe,proste k i l takie, że AB 6‖ k 6‖ l, a punkty A′, B′, C ′, D′ są rzutami równoległymi na prostą l wkierunku prostej k punktów odpowiednio A, B, C, D, to

|A′B′||C ′D′|

=|AB||CD|

.

Wniosek 10.3 (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa). Niech proste AB i A′B′ przecinająsię w punkcie O /∈ {A,B,A′, B′} oraz

|OB′||OA′|

=|OB||OA|

,

to AA′ ‖ BB′.

Twierdzenie 10.4 (Cevy). Dla danego trójkąta 4ABC niech punkty D,E, F /∈ {A,B,C} leżą naprostych odpowiednio BC,CA,AB w taki sposób, że

−−→BD = k

−−→DC,

−−→CE = l

−→EA,

−→AF = m

−−→FB.

Wówczas proste AD,BE,CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie lub są parami równoległewtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1.

Dowód. Z założenia wynika, że k, l,m 6= −1 (bo wtedy B = C lub C = A lub A = B) oraz

D =1

k + 1B +

k

k + 1C, E =

1l + 1

C +l

l + 1A, F =

1m+ 1

A+m

m+ 1B.

⇒) Załóżmy najpierw, że proste AD,BE,CF przecinają się w punkcie O. Wówczas istnieją liczbyrzeczywiste d, e, f takie, że

O = (1− d)A+ dD = (1− e)B + eE = (1− f)C + fF.

Podstawiając za D,E, F widzimy, że

O = (1− d)A+d

k + 1B +

dk

k + 1C =

el

l + 1A+ (1− e)B +

e

l + 1C =

f

m+ 1A+

fm

m+ 1B + (1− f)C.

46

Przedstawienie punktu O jako środka ciężkości trzech niewspółliniowych punktów A,B,C jest jed-noznaczne, otrzymujemy więc mnożąc współczynniki przy A,B,C w różnych postaciach, że

def

(k + 1)(l + 1)(m+ 1)=

def klm

(k + 1)(l + 1)(m+ 1),

skąd klm = 1 (bo gdyby np. d = 0, mielibyśmy O = A, a więc także e = f = 1 i A = O = E = Fsprzecznie z założeniem).Gdy proste AD,BE,CF są parami równoległe, to podobnie parami równoległe są wyznaczające jewektory:

−−→AD =

1k + 1

−→AB +

k

k + 1−→AC

−−→BE =

1l + 1

−−→BC +

l

l + 1−→BA = −

−→AB +

1l + 1

−→AC

−→CF =

1m+ 1

−→CA+

m

m+ 1−−→CB =

m

m+ 1−→AB −

−→AC

Pary wektorów równoległych mają zerowe wyznaczniki złożone z ich współrzędnych w bazie(−→AB,−→AC

):∣∣∣∣∣ 1

k+1kk+1

−1 1l+1

∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣ −1 1l+1

mm+1 −1

∣∣∣∣∣ = 0,

skąd k = − 1l+1 oraz m = − l+1

l. Tym samym klm = 1.

⇐) Załóżmy, że klm = 1, czyli m = 1kl

.Dowolny punkt prostej AD, odpowiednio BE, ma postać

(1− d)A+d

k + 1B +

dk

k + 1C,

el

l + 1A+ (1− e)B +

e

l + 1C, gdzie d, e ∈ R

Zatem punkt wspólny prostych AD i BE istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy układ

1− d =el

l + 1,

d

k + 1= 1− e, dk

k + 1=

e

l + 1

o niewiadomych d, e oraz macierzy uzupełnionej

M =

1 ll+1 1

1k+1 1 1kk+1 −

1l+1 0

posiada rozwiązanie, to zaś — ze względu na niezerowy minor powstały przez skreślenie pierwszegowiersza i pierwszej kolumny oraz detM = 0 — zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nie wszystkieminory powstałe przez skreślanie ostatniej kolumny są równe 0, to zaś równoważne jest warunkowikl + k + 1 6= 0.

Niech więc najpierw kl + k + 1 6= 0. Wówczas ze wzorów Cramera otrzymujemy

d =k + 1

kl + k + 1, e =

k(l + 1)kl + k + 1

i punktem współnym prostych AD,BE jest

O =kl

kl + k + 1A+

1kl + k + 1

B +k

kl + k + 1C.

47

Z założenia mamy, że F = klkl+1A + 1

kl+1B i wystarczy przyjąć f = kl+1kl+k+1 , aby zauważyć, że (1 −

f)C + fF = O. Tym samym proste AD,BE,CF przecinają się w punkcie O.Jeżeli zaś kl + k + 1 = 0, to l = −k+1

k= −1− 1

ki m = 1

kl= − 1

k+1 , skąd

E = −kC + (k + 1)A, F =k + 1k

A− 1kB.

Zatem wektory−−→BE = (k + 1)A−B − kC,

−→CF =

k + 1k

A− 1kB − C

są równoległe do wektora−−→AD = −A+ 1

k+1B+ kk+1C, co oznacza równoległość prostych AD,BE,CF .

Twierdzenie 10.5 (Menelausa). Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy punktyD,E, F są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = −1.

Dowód. ⇐) Z założenia więc, że D 6= E 6= F 6= D oraz klm = −1, czyli m = − 1kl

. Wówczas

D =1

k + 1B +

k

k + 1C, E =

1l + 1

C +l

l + 1A, F =

kl

kl − 1A− 1

kl − 1B.

Wyrażając za pomocą k, l wektory

−−→DE =

l

l + 1A− 1

k + 1B +

(1

l + 1− k

k + 1

)C =

l

l + 1A− 1

k + 1B − kl − 1

(k + 1)(l + 1)C

−−→DF =

kl

kl − 1A+

(− 1kl − 1

− 1k + 1

)B − k

k + 1C =

kl

kl − 1A− k(l + 1)

(kl − 1)(k + 1)B − k

k + 1C

widzimy, że przyjmując α = k(l+1)kl−1 otrzymujemy

−−→DF = α

−−→DE, co oznacza współliniowość punktów

D,E, F .⇒) Jeżeli punkty D,E, F są współliniowe i parami różne, to istnieje liczba α taka, że

−−→DF = α

−−→DE.

Zatemαl

l + 1A− α

k + 1B − α(kl − 1)

(k + 1)(l + 1)C =

1m+ 1

A+km− 1

(k + 1)(m+ 1)B − k

k + 1C

i α = l+1l(m+1) = k(l+1)

kl−1 , co upraszcza się do klm = −1.

Wniosek 10.6. Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy oraz dodatkowym założeniu,że punkty D,E, F leżą odpowiednio na bokach BC,CA,AB proste AD,BE,CF przecinają się wdokładnie jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1.

Dowód. Dodatkowe założenie oznacza dodatniość liczb k, l,m, co powoduje, że proste AD,BE,CFnie mogą być równoległe.

Twierdzenie 10.7 (Desarguesa). Niech dla danych trójkątów 4ABC, 4A′B′C ′ punkt K będziepunktem przecięcia prostych AB i A′B′, L — prostych BC i B′C ′, zaś M — prostych CA i C ′A′.

Wówczas proste AA′, BB′, CC ′ przecinają się w dokładnie jednym punkcie wtedy i tylko wtedy,gdy punkty K. L, M są współliniowe.

Twierdzenie 10.8 (Pascala). Jeżeli parami różne punkty A, B, C, D, E, F położone są na pewnejstożkowej oraz K jest punktem przecięcia prostych AB i DE, L — prostych AF i CD, a M —prostych BC i EF , to punkty K, L, M są współliniowe.

48

Wniosek 10.9 (twierdzenie Pappusa). Jeżeli punkty A, B, C są współliniowe, punkty A′, B′, C ′ sąwspółliniowe i wszystkie są parami różne oraz K jest punktem przecięcia prostych AB′ i A′B, L —prostych B′C i BC ′, a M — prostych CA′ i C ′A, to punkty K, L, M są współliniowe.

Twierdzenie 10.10 (Brianchona). Jeżeli sześciokąt ABCDEF jest opisany na pewnej stożkowej,to proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie.

49

Literatura

[A] J. Aarts, Plane and Solid Geometry, Springer

[AF] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathematical Society

[BEG] D. Brannan, M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge University Press

[D] R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM

[MS] M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN

50