UNIDAD EDUCATIVA DEL EJÉRCITO

PROYECTO DE MATEMÁTICAS

NOMBRE: ALAIN ORLANDO MÁRQUEZ ARCECURSO: 6º DAÑO: 2015

Geometría y El Tiro Parabólico en Angry   Birds.

Pregunta: ¿Cuál es la ecuación que describe un tiro parabólico de

uno de los pájaros de Angry Birds, y cómo se encuentra está según

para el lanzamiento?

Para resolver esta pregunta se debe tener en cuenta varios factores

que pueden afectar el resultado final de la ecuación que describa

determinada trayectoria de uno de los pájaros, como las unidades de

medida – ¿Cuáles son? ¿Pueden ser expresadas en términos de

metros? ¿Cómo? – La aceleración en el plano vertical – ¿Cómo se

calcula? ¿Es equivalente a la aceleración de la gravedad en la tierra

(9.8m/s2)?  – entre otros, que se vuelven más simples de encontrar al

resolver y aclarar los anteriores dos.

Procedimiento:

¿Variables presentes?

Velocidad en “y” (Vy)

Velocidad en “x” (Vx)

Desplazamiento en “x” (X)

Desplazamiento en “y” (Y)

Aceleración en “y” (a)

Ángulo de inclinación del lanzamiento (ø)

Tiempo (t)

¿Cuáles variables tenemos?

(Mediante tracker y estableciendo un sistema de referencia se

pueden obtener estos valores)

Estas son:

El ángulo (ø)

Velocidad en Y en el punto máximo. (Vy=0)

El tiempo del recorrido (t)

Valor de las variables, dadas por el programa utilizado (Tracker):

t=4.4

ø= 57.8

Desplazamiento, en el punto más alto de y =(3.708m) y el total en

x=(9.2m)

¿Qué sabemos?

La aceleración en Y es constante. (Caída Libre)

Que el movimiento está sobre un mismo plano (Es simétrico; El

tiempo que se demora en subir es el mismo que se demora en bajar)

La velocidad en X es constante. (Vx-> Vf = Vi)

¿Que asumimos? Que la cauchera por la cual los pájaros son

lanzados es igual a 1m.

—————————————————

Ahora necesitamos obtener las variables que nos hacen falta para de

esta manera encontrar la ecuación que representa la parábola

determinada.

Primero se necesita encontrar el valor de la gravedad para el juego.

Para esto es necesario realizar varios pasos:

1) Encontramos la vix con esta ecuación:

X=Vix*t Por lo tanto 9.2m (que es el recorrido total del pájaro en x)

=vix*3.8s ( que es el tiempo empleado para recorrer esta

distancia)

gracias a esto sabemos que la velocidad inicial en x es igual a

2.42m/s

Ahora bien

Conociendo la velocidad inicial en X se puede despejar la velocidad

inicial en y mediante la siguiente fórmula:

Por lo tanto:

Tan(57.8)=Viy(m/s)/2.42(m/s)

Ahora despejamos:

Viy= 2.42(m/s)/Tan(57.8)

Viy= 3.84 (m/s)

Por tanto Vitotal = 4.538

Ahora podemos obtener la aceleración en y mediante esta ecuación.

y = (-g/(2Vi²cos²Θ))x² + (tanΘ)x + 0

Si sabemos El punto más alto es de 3.708m y este se encuentra

cuando en X el pájaro ha recorrido 4.589m. Estos dos puntos

equivaldrían al vértice de la parábola:

Vértice= (h, k)

h=4.589

k=3.708

Vértice: (4.589, 3.708)

Hasta el momento la parábola sería medianamente modelada por

esta ecuación:

(x-h)2 = -4p (y – k)

(x-4.589)2 = -4p (y-3.708)

Ahora para encontrar el valor de “p” y de “4p”, reemplazamos “x” y

“y” por un punto cualquiera de la parábola, y despejamos:

x= 1.5

y=2.04

(1.5 – 4.589)2 = -4p(2.04-3.708)

-5.720 =-4p

p= 1.4300

Entonces la forma final que representaría a esta parábola generada

por el pajarito rojo sería modelada por la ecuación:

(x-4.589)2 = -5.720 (y-3.708)

Ahora vamos a pasar de una forma canónica a una forma general:

f(x)=ax2+bx+c

a= (1/4p)

b=(-h/2p)

c=((h2/4p)+k)

Reemplazamos, y:

a= (1/-4*1.4300)

a= -0.17

b= (-4.589/-2*1.43)

b= -1.60

c= (4.589^2/-4*1.43)+ 3.708)

c=0

Por tanto la forma general de la ecuación:

y = -0.17x² + 1.6x

si remplazamos a en la ecuación y = (-g/(2Vi²cos²Θ))x² + (tanΘ)x +

0 nos da que:

-0.17= (-g/(2Vi²cos²Θ))

Por lo tanto -g =2.6

 

Discusión: Lo más difícil de este proyecto consideramos que ha sido

intentar hacerlo lo más realista posible dado que era hecho con base

en un juego virtual. Hicimos uso del programa screen-o-

matic.com para conseguir el video de la parábola formada por el

pájaro con la que trabajamos. Después, usamos el software gratuito

tracker (video analysis tool) para hallar los valores necesarios dentro

del video. Con Geogebra confirmamos si la ecuación que habíamos

concluido era correcta y nos permitió caer en cuenta de si estabamos

cometiendo algún error, de esta manera permitiéndonos identificar

y corregir de la manera más rápida posible. La parte esencial del

proyecto estuvo en asumir la medida de la cauchera como de un

metro y tomar todas las medidas con base en esto. Pudimos también

haber asumido la aceleración de la gravedad como 9.8m/s2 y

encontrar la medida de la cauchera en la tierra según esto, pero no

hubiera sido preciso ni realista dado que si los pájaros estuvieran en

la tierra, donde la aceleración de la gravedad es correspondiente a

este valor, estos caerían mucho más rápido de lo que lo hacen en el

juego. Fue un proyecto entretenido y distinto lo cual lo hizo mucho

más motivador.