Géométrie et topologie Géométrie et topologie en cosmologie relativisteen cosmologie relativiste

J.-P.Luminet

Observatoire de Paris (LUTH)

Les 4 niveaux de la géométrieLes 4 niveaux de la géométrie

?

géométrie différentiellegéométrie différentielle

métrique : localemétrique : locale

topologietopologie

non métrique : globalenon métrique : globale

Problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736) : Géométrie de position

• Topologie• Théorie des graphes

problèmes indépendants de la

métrique

même métriquemême métrique

différentes topologiesdifférentes topologies

même topologiemême topologie

différentes métriquesdifférentes métriques

Genre 0 Genre 1 Genre 2

€

dx 2 = dy 2 + dz2

Homotopie & degré de connexitéHomotopie & degré de connexité

Genre 0

Classes d’équivalen

ce des lacets = groupe

d’homotopie G

G(S2) = Id G(T2) = G(S1) + G(S1) = Z + Z

Sphère Tore Bretzel

domaine fondamental

a

a

a

ab b

a

a

b

bholonomies a,b G

g G

g G

Revêtement universelS2 (k>0) E2 (k=0) H2

(k<0)

pavage du plan hyperbolique

Double toreDouble tore

2 trous -> 8 côtés (octogone)

UC = H2

Pavage de H2 par des octogones

(Poincaré)

Espaces multiplement connexesEspaces multiplement connexes

• X : espace de revêtement universel => H 3, E 3, S 3 pour la cosmologie

• G : groupe d’holonomies sous-groupe discret sans point fixe du groupe d’isométries de X

at r

bt r

M = X/G

Classification des surfaces

5 surfaces euclidienn

es

E2

+ 4 MC

2 pavages du plan euclidien

• Tore • bouteille de Klein

Revêtement universel

Dom. fondamental

homogènenon

homogène

Groupe d’holonomie

2 surfaces sphériques

∞ surfaces hyperboliques(nombre de trous)

Classification des espaces homogènes 3D

E3, S3, H3• Espace de revêtement universel X

• Polyèdre Fondamental FP

• Groupe d’holonomie G

M=X/Gg∈G

Espèces d’Espaces

Espaces Euclidiens (« plats »)Espaces Euclidiens (« plats ») : 18 formes finis et infinis

Espaces SphériquesEspaces Sphériques : infinité dénombrable tous finis

Espaces Hyperboliques Espaces Hyperboliques : infinitéfinis et infinis

Espaces euclidiens (« plats »)

U.C : 0 direction compacte - 1 forme E3

Table : 1 direction compact - 2 formes

Cheminée: 2 directions compactes - 5 formes

Compacts: 3 directions compactes - 10 formes

€

X = E 3 Γ = R3 × SO(3)

G : translations, réflexions

2 Espaces « tabulaires »

5 Espaces « cheminée »

4 Espaces Compacts Non-

Orientables

6 Espaces Compacts

Orientables

Espaces hyperboliquesEspaces hyperboliques X H 3 = PSL(2,C)

• Infinité de tels espaces

• Pour les espaces hyperboliques compacts : Classification par volumes croissants

(Weeks)

• Plus petit espace connu : Espace de Weeks (vol(M) = 0.92 R3)

€

0.16668R3 < vol(M) < ∞

• X S 3 = SO(4)

• G = (Zp, Dm*, T*, O*, I*)

Espaces sphériquesEspaces sphériques

€

vol(M) =2π 2R3

G

Espaces sphériques

U.C. S3

Espaces lenticulaires S3/Zp

Espaces prismatiques S3/Dm

Espaces polyédriques S3/T*, S3/O*, S3/I*

Espaces lenticulaires

p tranches

L(p,1)

L(p,q), q <p/2

q pavages de l’hypersphère

avec p lentilles

L(p,2)

L(p,3)

120 copies

pavent S3

Espace dodécaédrique de Poincaré

©Jeff Weeks

geometry = matter-energy

Gij = k Tij

Spacetime metric ==> does

not specify global

properties of spacetime

ds2 = gij dxixj

2 Examples

1. Kerr black holes1. Kerr black holes

2. Friedmann-Lemaître 2. Friedmann-Lemaître solutionssolutions

M4 = R M

simply-connected E3, S3, H3 ?

L’espace est-il fini ou infini?

Cosmology Topology

1687 Newton : E3

1900 Schwarzschild: E3/G = T3

1917 Einstein: S3

1917 De Sitter: S3/Z2 = P3

1922 Friedmann : S3

1924 Friedmann : H3, H3/G

1927 Lemaître : P3, H3

1929 Robertson : S3, E3, H3

1931 Einstein-de Sitter: E3

1885 Fedorov : subgroups of E3

1890 Clifford-Klein : subgroups of S3

1906 Poincaré: S3/I*

1930-32 Threlfall-Seifert : S3/G

1934 Nowacki : E3/G

1960 Wolf : E3/G, S3/G

1978 Thurston, Fomenko, Weeks: H3/G

1971 Ellis: « small universe » M/G

Einstein to Weyl, 1918 : « I have an obscure feeling that spherical space must be preferred to elliptical space; the latter has a class of loops which cannot be continuously stretched to zero, it is why I like it less »

CMBCMB

ConcordancConcordance modele model

Inflation => scale invariant density Inflation => scale invariant density fluctuationsfluctuations

NOWNOW

• • Espace « plat » infini (monoconnexe) (k = 0)Espace « plat » infini (monoconnexe) (k = 0)••Densité d’énergie :Densité d’énergie : tottot = 1.00 ( = 1.00 (mm = 0.28, = 0.28, = =

0.72)0.72)• • Expansion accéléréeExpansion accélérée

T

G

Horizon

Infini

Hypothèse 1

L’univers est infini

Hypothèse 2L’univers est fini

(sans bord) mais plus grand que l’univers visible

T

G

Horizon

Hypothèse 3

L’univers est fini (sans bord) et plus petit que l’univers visible

T

G

Horizon

GG G

G G

G G G

Peut-être testablePas testable Testable

Quelle est la taille et la Quelle est la taille et la forme de l’espace ?forme de l’espace ?

Hypersphère : espace fini sans bord

Sphère = Surface (2D) d’un volume (3D)

sphérique

Lignes droites

€

x 2 + y 2 + z2 = R2

Hypersphère = Surface (3D) d’un hypervolume (4D)

€

x 2 + y 2 + z2 + w2 = R2

A finite flat space without boundary

• Torus

QuickTime™ et undécompresseur codec YUV420

sont requis pour visionner cette image.

Si le rayon d’injectivité de l’espace est plus petit que l’échelle d’observation, on doit observer des images multiples d’une même source.

Effet de mirage topologique

• zmax ~ 3 for galaxies

• zmax ~1100 for lss

Ex.: Espace de Weeks

Hypertore

Espace observé

Espace réel

Les images fantômes sont vues à différents époques (différents z)

Curvature radius

Euclidean spaces : no curvature scale

size of E3/G arbitrary

Hyperbolic spaces : 0.166 Rc

3 < vol(H3/G) ≤ ∞

Spherical spaces : 0 < vol(S3/G) ≤ vol(S3) = 22Rc

3

(Rigidity theorem)

€

RC = cH 0 |1−Ωm−Ωλ |

Spatial ScalesTopological scales

r+

r+ = outradius = smallest sphere circumscribable around the FP

r-

r- = inradius = largest sphere inscribable in the FP

rinj

rinj =injectivity radius = half the smallest geodesic from one

topological image to another

How to see topology?3D data (,,z)(galaxies, clusters) Cosmic Crystallography

2D data(CMB)T/T(,)at z ~ 1100 Statistical analysis of anisotropies

Comment détecter les images topologiques ?

• reconnaissance directeproblèmes : évolution, morphologie, angle-de-vue

•corrélations statistiques idée : les séparations (distances dans l’espace observable) entre les images multiples d’une même source sont des combinaisons simples des longueurs caractéristiques du polyèdre fondamental

Pics dans un Histogramme de

Séparations de Paires (PSH)

Cosmic Crystallography

Cosmic Crystallography: Simulations

Sky map simulation in hypertorus.

The F.P. is a cube with length = 60% the horizon size and

contains 100 « original » sources (red dots). One observes 1939 topological images (blue dots).

Pair Separation Histogram.Spikes emerge at values and with amplitudes depending on

topological lengths and holonomies.

PSH in Poincaré space

Premières images fantômes à z ~ 2

Rayonnement fossile : Carte WMAP, 2003Rayonnement fossile : Carte WMAP, 2003

T = 2,726 K - fluctuations à 0,00001 K

Chladni Patterns

Hypergeometric series, Euler, 1769

Cosmic Microwave Background

Observed on a 2-sphere

€

δT =l

∑ almYlmm

∑

€

Cl =1

2l +1alm

2

−l

l

∑

Multipole moments

The l = 0 term is often called the monopole term, and corresponds to the surface of a completely smooth and featureless sphere. In terms of the CMB, the monopole term is the 2.726 Kelvin microwave background, which is uniform out to a few milliKelvin.

The l = 0 term is often called the monopole term, and corresponds to the surface of a completely smooth and featureless sphere. In terms of the CMB, the monopole term is the 2.726 Kelvin microwave background, which is uniform out to a few milliKelvin.

The l = 1 term is called the dipole, and corresponds to a sphere with one part more positive than average and the other more negative. In terms of the CMB “positive” means warmer than

background, and “negative” means cooler.

The l = 1 term is called the dipole, and corresponds to a sphere with one part more positive than average and the other more negative. In terms of the CMB “positive” means warmer than

background, and “negative” means cooler.

The dipole variation of the CMB is approximately +/- .003 Kelvin, relative to the monopole term, and is a relic of our movement relative to the CMB, and not cosmological in origin.

The dipole variation of the CMB is approximately +/- .003 Kelvin, relative to the monopole term, and is a relic of our movement relative to the CMB, and not cosmological in origin.

The CMB multipolesQuadrupole

Power spectrum

l=180°/

Doppler peaks(Boomerang, Archeops, etc.)

Large scales (COBE, WMAP)

dTl2 = l(l+1)Cl/2

WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003)

flat infinite

universe

•Universe seems to be positively curved

= 1.02 ± 0.02 at 1

tot = 1.02 (m =0.28)

Curvature radius

(UC space S3)radius 98 Gly

€

RC = cH 0 |1−Ωm−Ωλ |

Rh

=

c

H0

dz

( 1 + z )

3

m

+

− ( 1 + z )

2

( m

+

− 1 )0

1100

∫

L’espace est-il « presque » plat??

Curvature Radius:

Horizon Radius:

Horizon 2-sphere radius 46 Gly

us

WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003)

flat infinite

universe

• Lack of power at large scales (> 60°)

L’espace est fini et a une forme précise !L’espace est fini et a une forme précise !

l = 2 quadrupole : 14%l = 3 octopole : 72%

« Low l anomalies »

flat infinite

universe CDM

l=2 l=3

error bars: 762 K2 608 K2

quadrupole plane and octopole planes aligned with local

planes

Possible explanations Not reliable : Cosmic variance, bad data analysis (“I never

believe anything less than a 5 result”) ==> wait for 2nd WMAP release… 2005? Low l alignements : Solar system effect (Schwarz et al. 2004;

Hansen et al. 2004) ==> cosmic quadrupole could be still lower!

Reliable : A special feature in the inflation potential (“Inflation can do everything”) ==> no physical model

Reliable : Other new physics/geometry, e.g. space is finite and cannot vibrate at scales larger than its size ==> non trivial topology!

Cosmic Microwave Background

€

δTT

=14

δρρ

+Φ+vb + (˙ Φ −˙ Ψ )dS∫

Origin of primordial fluctuations

Motion of plasma: Doppler

effect

Line of-sight:

Integrated Sachs-Wolfe effect

Density fluctuation +

Gravitational potential =

Sachs-Wolfe term

Simply-connected flat space

SW+D+ISW

Cut-off at large scale in cubic

torus RWULL: Phys.Rev.D69 (2004),

Simply-connected spherical space

Multiconnected spherical space

(PDS)

Aurich et al. MNRAS (2005)

Fundamental Polyhedron

from inside

S3/I* vol(PDS) = vol(S3) /120

Twist : 36°

Poincaré Dodecahedral Space

LWRLU, Nature 425, 593 (2003)

The « football Universe »

Luminet et al., Nature, 2003

36°

Power spectrum for l = 2,3,4

0=1.016, m=0.28)

Comparison to Cl data

variation of quadrupole (l=2)

and octopole (l=3) with

Best fit:

0 = 1.016(m=0.28)

Spectre de puissance simuléSpectre de puissance simulé

l

(Dodécaèdre de Poincaré – 0102 – kmax=1500)

Total

Sachs-Wolfe

Doppler

ISW

l(l+

1)C

l

Spectre de puissance simuléSpectre de puissance simulé

l

l(l+

1)C

l

-CDM

PDS

WMAP

L’espace dodécaédrique en « 2D »

Univers observable

Rayon = 53 milliards a.l.

Espace physique

Rayon = 43 milliards a.l.

Volume(Espace) = 80 % Vol(Uobs) !

Mirage cosmique !

Nearly Flat Spherical WP Spaces

Lens Prism Tetrahedral Octahedral Dodecahedral

FP

Holonomygroup

Zp D*m T* O* I*

Volume

Volume ( S

3

)

1/ p 1/4 m 1/24 1/48 1/120

min f orobservability

1+1/n2 1+1/4m2 1.025 1.015 1.009

Recall : tot = 1.054+0.048-0.041 => k =+1

Espace octaédrique

(tot > 1.015)

Espace tétraédrique

(tot > 1.025)

Volume(PDS) = 80 % Vol(Rh)

==> topological lensingSix pairs of back-to-back matched

circlestwisted by /5

Angular diameter ≤ 35°

Planck Surveyor

WMAP?

PDS predictions• fit low quadrupole

• fit low octopole

• < tot < 1.02

Pairs of Matched Circles

If Size of Space smaller than Rlss:

The lss surface overlaps

Cornish, Spergel & Starkman, 1998

Circles in the sky

Paire de

cercles

Chercher des cercles dans le ciel !

Matching is perfect (Sachs-Wolfe term alone)

Size of torus

« left » duplicate

« right » duplicate

Pairs of circles in computed PDS map

For

= 1.02(Caillerie et al. 2005)

Search for matched circlesGeneral 6 parameters search Location of first circle center (2) Location of second circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1)

Search costWMAP : 3.106 pixels : full search takes 1023 operations

Reduced 4 parameters search (back-to-back circles) Location of first circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1)

=> 10 million years on the computer!

No circles

Number of Circles depends on the size of space and topology

A few circles many circles

Size of circles decreases as

vol(PDS) increases

PDS excluded if PDS excluded if tottot < 1.009 < 1.009

Best fit LWRLU

Prediction of PDS :

Six pairs of back-to-back matched circles twisted by /5

Angular diameter ~ 35°

Testing PDS with WMAP observations

• Cornish et al (Phys Rev 2004): No

• Roukema et al (Astron. Astrophys. 2004): Yes• Aurich et al (MNRAS 2005): Yes?

Search for circles:

Search for circles > 25°

Back-to-back circles are NOT a generic situation

Simply-connected space

WMAP data

No signalspikes

Simulation in a flat torus

Cornish et al., 2003

If space is not homogeneous, circles are not back-to-back

Example : Klein bottle

Back-to-back Circles?

Position of matched circles depends on observer’s position

Half-turn flat space, the observer moves from (0,0,0) along x-direction

Found 6 pairs of matched circles in a dodecahedral pattern

Radius of circles 11 ± 1° => tot = 1.010 ± 0.001 (for m = 0.28 ± 0.02)

Roukema et al., 2004

Matched temperatures

Location and size of circles

Hint for 6 pairs of matched circles at tot = 1.015

Aurich, Lustig, Steiner, MNRAS 2005

Problem for inflation ? Standard models of inflation predict 1- << 1 and size

of space L >> Rlss

Can we have inflation with >1 and L >~ Rlss ?(Uzan, Ellis & Kirchner 2003, Linde 2003)

During inflation, a(t) = a0 exp(Ht) ~ 1.1 ==> Ne-foldings ~ 60 (“low scale inflation”)

Problem : fine-tuning

Quantum origin of topology?• Quantum

cosmology

• Brane cosmology

Classical GR Theorem: No

topological change after Planck era

==>

present-day topology is a remain of the

quantum era

Sum over topologiesWavefunction of the universe :

Wheeler-De Witt equation H(3g,) + R = 0

Sum over topologies dominated by small volumes and complex

topologies (Carlip, 1993)

• Closed spaces are favoured• S3 is the only closed simply-

connected manifold multiconnected closed spaces

favoured Zeldovich, Starobinsky, Goncharov, Bytsenko,

Fagundes, Linde (2004)

superspace

3-geometry

universe worldline(3g) =

Dimensions supplémentaires

Supercordes,théorie branaire

(10 ou 11 dim)

corde fermée

corde ouverte

Estampe XVIIe s., BnF