Geometrija 1

8/20/2019 Geometrija 1

1/107

D R Ž A V N I U N I V E R Z I T E T

U N O V O M P A Z A R U

D e p a r t m a n za m a t e m a t i ku

Vladica Stojanović

GEOMETRIJA 1

Novi Pazar, 2012.


2/107

ii


3/107

Sadržaj

1 UVOD 1

1.1 Istorijski razvoj geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Induktivni i deduktivni metod u geometriji . . . . . . 1

1.1.2 Euklidovi ”Elementi” i V postulat . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Aksiomatsko zasnivanje geometrije . . . . . . . . . . . 4

1.2 Osnovni pojmovi i stavovi u geometriji . . . . . . . . . . . . . 5

2 INCIDENTNOST I URE-DENJE 7

2.1 Aksiome incidencije i njihove posledice . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Aksiome poretka i njihove posledice . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 GEOMETRIJSKE FIGURE U RAVNI 153.1 Duž i poluprava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Pojam i osobine duži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2 Poluprava. Definicija i osobine . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.3 Orijentacija dǔzi i poluprave . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Poligon i poligonska površ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Poluravan i ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Definicija i osobine poluravni . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2 Ugaona linija i ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.3 Orijentacija uglova i ravni . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Konveksni skupovi u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 PODUDARNOST 35

4.1 Aksiome podudarnosti i njihove posledice . . . . . . . . . . . 35

4.2 Pojam izometrijskih transformacija . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Relacija podudarnosti geometrijskih figura . . . . . . . . . . . 40

iii


4/107

iv

4.4 Podudarnost geometrijskih figura u ravni . . . . . . . . . . . 41

4.4.1 Podudarnost duži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2 Podudarnost uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.3 Pravi, ǒstri i tupi uglovi. Upravne prave . . . . . . . . 484.4.4 Podudarnost trouglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 NEPREKIDNOST 595.1 Aksiome neprekidnosti i njihove posledice . . . . . . . . . . . 595.2 Sistem merenja duži i uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Po jam kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 PARALELNOST 716.1 Aksioma paralelnosti i njene posledice . . . . . . . . . . . . . 716.2 Relacija paralelnosti pravih i ravni . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Primena paralelnosti u planimetriji . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 Paralelogram i trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.2 Značajne tǎcke trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Krug i mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.4 Merenje figura u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4 Vektori u geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5 Konstrukcije lenjirom i šestarom . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.6 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Literatura 103


5/107

Glava 1

UVOD

1.1 Istorijski razvoj geometrije

Ako bi hteli da po jam geometrije definišemo u par reči, onda najčešćekažemo da ona predstavlja nauku o prostoru , tj. izučava osobine objekatakoji se mogu prostorno modelovati. Na taj način, celokupan sadřzaj ge-ometrije podred̄en je odgovarajućem, konkretnom prostornom modelu. Ipak,

savremena shvatanja podrazumevaju da se svaka matematička disciplina za-snuje na strog i formalan način, pa je i u današnjoj geometriji prihvaćen istiprincip. Da bismo bolje razumeli način zasnivanja geometrije kao nauke,dajemo najpre kratak istorijski osvrt na njen razvoj i promene koje je ona,tokom njega, doživljavala. Smatramo da ćemo time bolje razumeti ne samobitne istorijske trenutke, već i celokupnu transformaciju geometrije od čistoempirijske do savremene, deduktivno zasnovane teorije.

1.1.1 Induktivni i deduktivni metod u geometriji

Geometrija spada u red najstarijih matematičkih disciplina, sa veomadugom i bogatom tradicijom. Stare, drevne civilizacije (Egipćani, Sumeri,Vavilonci i drugi) koristili su isključivo induktivni metod zaključivanja u ge-ometriji. To znači da su od pojedinačnih, empirijskih zapažanja induktivnimputem dolazili su do odred̄ enih opštijih zaključaka. Na taj način, došlo sedo prvih saznanja o površini geometrijskih figura, zapremini kvadra, prizme

1


6/107

2

i piramide, i slično.

U VI veku p.n.e. dominaciju u nauci i kulturi preuzimaju stari Grci.Njima se pripisuje zasluga u novom, drugačijem poimanju geometrije i naukeuopšte. Osnov za to jeste deduktivni metod zaključivanja, čija je osnovnakarakteristika težnja ka opisivanju (i dokazivanju) opštih stavova i činjenicakoji će zatim vǎziti u bilo kom pojedinačnom slučaju. Koliko je namapoznato, načelo dedukcije u dokazivanju geometrijskih tvrd̄enja prvi uvodičuveni starogrčki filozof Tales iz Mileta (624–547 p.n.e.). Njemu se pripisujedokaz II stava o podudarnosti trouglova, odred̄ivanje periferijskih uglova nadprečnikom kruga, izračunavanje visine Keopsove piramide, itd.

Talesova načela dalje razvija poznati starogrčki filozof i matematičar

Pitagora (oko 580–500 p.n.e.). Posebno se baveći geometrijom i teorijombrojeva, došao je do niza vǎznih rezultata. Smatra se da je prvi otkrio zbirunutrǎsnjih uglova trougla, dokazao ostala tri stava podudarnosti trouglova,kao i legendarnu teoremu o pravouglom trouglovu koja nosi njegovo ime.Već tada, obilje dokazanih geometrijskih tvrd̄enja dovodi do potrebe zasistematizacijom dotadašnjih saznanja. Ovo načelo sprovodi u delo samPitagora, ukazujući da se geometrijska tvrd̄enja moraju dokazivati primenomranije poznatih ili očiglednih činjenica. Upravo zato, smatramo ga tvorcemdeduktivnog metoda, ne samo u geometriji, već u nauci, uopšte.

Deduktivni metod zasnivanja geometrije prihvaćen je od strane većinestarogrčkih naučnika tog doba, ali i kasnije. Sistematični radovi o naučnom

zasnivanju geometrije vezuju se za filozofe Hipokrata i Demokrita, ali nama,na žalost, nije poznat njihov sadržaj. Rodonačelnikom aksiomatskog zasni-vanja geometrije smatramo istaknutog starogrčkog filozofa Platona (427–347p.n.e.). Iako se nije eksplicitno bavio matematikom, Platon u svojoj čuvenojškoli ”Akademija” razvija i neguje geometriju kao deduktivnu teoriju, odva-

jajući od nje empirijske, opažajne primese. Po njemu, geometrija se zasnivana odred̄enom broju opšte prihvaćenih činjenica: aksioma i postulata . Ovadva pojma dalje naročito ističe Platonov genijalni učenik Aristotel (384–322p.n.e.). On aksiome smatra tvrd̄enjima koja se ne dokazuju, a opštijeg sukaraktera, tj. vǎze u dve ili više naučnih teorija. S druge strane, postu-lati su takod̄e opšte priznata i prihvaćena tvrd̄enja, ali važe samo u jednoj

odred̄enoj naučnoj disciplini. Na taj način, Aristotel detaljnije razrad̄ujePlatonove ideje, utvrd̄ujući svojevrsno pravilo po kojem se svaki novi pojam može opisati pomoću njemu srodnog, poznatog pojma, ali i njihove specifične

razlike, odnosno osobine koju novi pojam, za razliku od prethodnog, poseduje .Na primer, kvadrat možemo opisati kao pravougaonik (srodan pojam), alitakav da su mu sve stranice jednake (specifično svojstvo kvadrata).


7/107

3

1.1.2 Euklidovi ”Elementi” i V postulat

Najznačajniji doprinos razvoju geometrije antičke Grčke dao je, sasvimsigurno, starogrčki matematičar Euklid (oko 365–270 p.n.e.). On je napisaodotad najsistematičnije delo iz geometrije, čuvene ”Elemente”, gde je po-kušao da dosledno sprovede deduktivni metod u geometriji. Upravo zato,njegovo delo vekovima je smatrano najsavřsenijem delom ljudskog uma iuzor logičkog zaključivanja, ne samo u geometriji već i u nauci, uopšte.

Euklid izlaganje počinje navod̄enjem niza definicija kojima se opisujuosnovni geometrijski pojmovi: tačka, linija, prava, ravan, itd. Evo nekih odtih definicija:

I. Tačka je ono čiji je deo nǐsta.

II. Linija je dužina bez širine.

III. Prava je linija jednakopostavljena u odnosu na sve svoje tačke.

IV. Površ je ono što ima dužinu i širinu.

V. Ravan je površ jednakopostavljena u odnosu na sve svoje prave.

Sa današnje tačke gledišta, naravno, jasno je da ove definicije nisu logičkikorektne, niti su prihvatljive u formalnom smislu. Euklid, takod̄e, navodisistem od 14 osnovnih tvrd̄enja, aksioma i postulata. Ovaj sistem, ubrzose pokazalo, nije potpun, tj. iz njega se ne može izvesti svako geometrijskotvrd̄enje. Već je Arhimed (287–212 p.n.e.) u svom delu ”O lopti i valjku”dodao pet novih postulata kojima se omogućava uvod̄enje pojma mere ge-ometrijskih figura. Jedan od tih postulata, tzv. Eudoks-Arhimedova ak-sioma prestiživosti , i danas predstavlja jedno od osnovnih tvrd̄enja savremenegeometrije.

Med̄utim, za razvoj geometrije od posebnog je značaja famozni Euklidov

V postulat , koji možemo formulisati na sledeći način:

- Ako izvesna prava, presecajući dve komplanarne prave, obrazuje sanjima s jedne iste strane dva ugla čiji je zbir manji od zbira dva pravaugla, tada se te dve prave, neograničeno produžene, seku sa te istestrane date sečice (slika 1.1).


8/107

4

Mnogi matematičari posle

Euklida smatrali su da V pos-tulat, zbog svoje složenosti,predstavlja teoremu koja semože dokazati na osnovu os-talih tvrd̄enja. Na taj način,oni su na ǰcešće otkrivali novatvrd̄enja i time obogaćivalidotadǎsnja saznanja iz ge-ometrije.

Slika 1.1.

Tek u XIX veku, ruski matematičar Nikolaj Lobačevski (1792–1856), u

pokušaju da, kao i mnogi pre njega, negacijom V postulata dod̄e do kontra-diktornih tvrd̄enja, otkriva potpuno novu teoriju. Na taj način, on shvatada sem dotad poznate - euklidske (paraboličke ), postoji niz ”drugačijih”geometrija koje se bitno razlikuju od nje.

Potpuno nezavisno od Lobačevskog do iste geometrije došao je i mad̄arskimatematičar Janoš Boljaj (1802–1860). U njihovu čast, ta prva neeuklid-ska geometrija i danas nosi naziv geometrija Lobačevskog–Boljaja ili hiper-bolička geometrija . Pored nje, često se koristi i neeuklidska geometrija koju,posebnim sistemom aksioma, uvodi nemački matematičar Bernhard Riman(1826-1866). Danas se ova geometrija obično naziva Rimanova ili eliptǐcka geometrija .

1.1.3 Aksiomatsko zasnivanje geometrije

Otkrivanje neeuklidskih geometrija iz korena menja dotadašnja shvatanjane samo geometrije, véc i zasnivanje bilo koje deduktivne teorije. Uočeno

je da se osnovni objekti geometrije, tačke, prave i ravni mogu apstraho-vati, a njihove osobine formulisati sistemom aksioma koje nisu očigledneu euklidskom smislu. Zasnivanje geometrije na apstraktnim pojmovima ineočiglednim aksiomama podstaklo je matematičare da dalja istraživanjausmere ka samim osnovama geometrije i drugih matematičkih disciplina.

Na ta j način, počinju da se razmatraju fundamentalni problemi vezani nesamo za aksiomatiku geometrije, već i za formalno, aksiomatsko zasnivanjebilo koje deduktivne teorije. To su, pre svega, problemi neprotivurečnosti,nezavisnosti i potpunosti . Prvi od njih odnosi se na osobinu da deduktivnateorija, zasnovana na odgovarajućem sistemu aksioma, nema dve med̄usobnoprotivurečne aksiome. Dalje, sistem aksioma biće nezavisan ako nijedna


9/107

5

od njih ne može biti izvedena iz ostalih aksioma date teorije1. Najzad,

potpunost sistema aksioma znači da se bilo koje tvrd̄enje može, na osnovunjega, pokazati.

Aksiomatsko zasnivanje geometrije podstaklo je mnoge matematičare dasuptilno analizira ju osnovne geometrijske po jmove i tvrd̄enja. Tako nemačkimatematičari Dedekind i Kantor sedamdesetih godina XIX veka uvode tzv.aksiome neprekidnosti. Deceniju kasnije, takod̄e nemački matematičar Moric Paš u svojoj knjizi ”Predavanja iz novije geometrije” uvodi aksiome poretka.Na ta j način, otklanjaju se krupni nedostaci Euklidove aksiomatike i omogu-ćava formiranje neprotivurečnog, nezavisnog i potpunog sistema aksiomasavremene geometrije, kakav poznajemo i danas. Prvi je taj cilj ostvarioDavid Hilbert (1862–1943), nemački matematičar, koji 1899. godine u svom

delu ”Osnovi geometrije” daje preciznu aksiomatiku i dovoljno apstraho-vane definicije tačaka, pravih i ravni kao osnovnih geometrijskih objekata.Ova, poluformalna aksiomatika Hilberta predstavlja prvi korak u današnjem,savremenom poimanju geometrije kao deduktivne, matematičke nauke.

1.2 Osnovni pojmovi i stavovi u geometriji

Kao i svaka deduktivna teorija, geometrija se zasniva na odred̄enimpojmovima koje smatramo poznatim i izvesnom sistemu tvrd̄enja koje nedokazujemo. Pojmove koje ne definišemo u geometriji nazivao osnovnim ge-ometrijskim pojmovima , a tvrd̄enja koja ne dokazujemo aksiomama . Naosnovu njih, uvode se ostali, izvedeni pojmovi i dokazuju odgovarajućatvrd̄enja - teoreme ili stavovi.

U cilju zasnivanja geometrije, polazimo od proizvoljnog skupa S , dvejuklasa C l i C π njegovih podskupova i dveju relacija definisanih na njemu.Skup S nazivamo prostorom , a njegove elemente tačkama i obeležavamoih latinskim slovima A , B , C , . . . Elemente klase C l nazivamo pravim lini- jama ili pravama , a obeležavamo ih slovima a , b , c , d , . . . , p , q , . . . Elementeklase C π nazivamo ravnima , a obeležavamo ih sa α, β , . . . , π , . . . Najzad,svaki neprazan podskup tačaka prostora S nazivamo geometrijskim objek-tom

(likom, figurom). Znači, tačke, prave i ravni jesu (osnovni) geometrijskiobjekti.S druge strane, jedna od relacija na skupu S jeste troelementna relacija

izmed̄u , koju obeležavamo sa B (skraćeno od engleskog termina between).Ovom relacijom, kao što i sam njen naziv kǎze, označavamo da se jedna

1Često se kǎze i da je dati skup aksioma minimalan .


10/107

6

tačka, recimo B , nalazi izmed̄u drugih dveju tačaka A i C , što kraće zapisu-

jemo sa B (A,B,C ).Druga od relacija je četvoroelementna relacija podudarnosti ured̄enih

parova tačaka (relacija kongruencije ili ekvidistancije). Činjenicu da jeured̄en par tačaka (A, B) podudaran sa parom tačaka (C, D) zapisujemo(A, B) ∼= (C, D).

Na kraju, definišemo i sam sistem aksioma koje karakterišu osnovne ge-ometrijske objekte i relacije. Po prirodi zakonitosti koje opisuju, sve aksiomedelimo na pet grupa:

I. Aksiome incidencije ili pripadanja (9 aksioma)

II. Aksiome rasporeda ili poretka (6 aksioma)

III. Aksiome podudarnosti (7 aksioma)

IV. Aksiome neprekidnosti (2 aksiome)

V. Aksiome paralelnosti (1 aksioma)

U daljem tekstu detaljnije ćemo izložiti ovaj sistem aksioma, zajedno saodgovarajućim stavovima koji iz njih proizilaze. Važno je istaći da se posled-nja, aksioma paralelnosti može posmatrati odvojeno od ostalih aksioma, pase i sadržaj našeg daljeg izlaganja može smatrati podeljenim na dva dela.Prvi se odnosi na tzv. apsolutnu geometriju , koju odred̄uju prve četiri grupe

aksioma. Ovaj deo opisan je u naredne četiri glave koje neposredno slede.U poslednjem poglavlju, zajedno sa aksiomom paralelnosti, detaljnije suopisane činjenice koje se odnose na euklidsku geometriju .


11/107

Glava 2

INCIDENTNOST I

URE-DENJE

2.1 Aksiome incidencije i njihove posledice

Osnovni geometrijski objekti, tačke, prave i ravni nalaze se u med̄u-sobnim odnosima koje, u terminima Teorije skupova, izražavamo relacijama

”pripada” i ”sadrži”. Ove relacije u geometriji nazivamo relacijama inciden-cije , a istovetan naziv ima i ova, prva grupa aksioma koja opisuje njihoveosnovne osobine. Ipak, pre uvod̄enja samih aksioma, potrebno je definisatipojmove kolinearnosti i komplanarnosti .

Definicija 2.1.1. Tri ili vǐse tačaka A, B , C , . . . su kolinearne ako postoji prava koja ih sadrži. Ukoliko takva prava ne postoji, za date tačke kaže se

da su nekolinearne.

Definicija 2.1.2. ˇ Cetiri ili više tačaka A, B , C, D . . . su komplanarne akopostoji ravan koja ih sadrži. Ukoliko takva ravan ne postoji, za date tačke

kažemo da su nekomplanarne.

Definicija 2.1.3. Dve ili više pravih p, q , . . . su komplanarne ako postoji ravan koja ih sadrži. Ukoliko takva ravan ne postoji, za date prave kažemo

da su nekomplanarne ili mimoilazne.

Sada navodimo sistem aksioma incidencije koga sačinjava sledećih devetaksioma:

7


12/107

8

Aksioma I 1: Svaka prava sadrži najmanje dve razne tačke.

Aksioma I 2: Postoji najmanje jedna prava koja sadrži dve tačke.

Aksioma I 3: Postoji najviše jedna prava koja sadrži dve razne tačke.

Aksioma I 4: Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke.

Aksioma I 5: Postoji najmanje jedna ravan koja sadrži tri tačke.

Aksioma I 6: Postoji najviše jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke.

Aksioma I 7: Ako dve razne tačke neke prave pripadaju izvesnoj ravni,onda i sve tačke te prave pripadaju datoj ravni.

Aksioma I 8: Ako dve ravni imaju zajedničku tačku, onda one imaju bar još jednu zajedničku tačku.

Aksioma I 9: Postoje četiri nekomplanarne tačke.

Dokazaćemo neka važnija tvrd̄enja koja se dobijaju na osnovu aksiomaincidencije.

Teorema 2.1.1. Svaka prava jednoznačno je odred̄ena dvema svojim raznim tačkama.

Dokaz. Prema aksiomi I 1 svaka prava p sadrži najmanje dve razne tačkeA i B. Obratno, za svake dve razne tačke A i B, na osnovu aksiome I 2,postoji najmanje jedna, a na osnovu aksiome I 3 najviše jedna prava p kojaih sadrži. Dakle, postoji tačno jedna prava koja sadrži dve razne tačke.

Teorema 2.1.2. Svaka ravan jednoznačno je odred̄ena trima nekolinearnim tačkama.

Dokaz. Slično kao u prethodnoj teoremi, tvrd̄enje je direktna posledicaaksioma I 4, I 5 i I 6.

Teorema 2.1.3. Ako dve različite ravni imaju bar jednu zajedničku tačku,onda je njihov presek prava.

Dokaz. Neka su α i β ravni sa osobinama α ̸= β i α ∩ β ̸= ∅. Dakle, postojitačka A ∈ α ∩ β pa, na osnovu aksiome I 8, ravni α i β ima ju još najmanje

jednu zajedničku tačku B ∈ α ∩β . Tačkama A i B , na osnovu teoreme 2.1.1, jednoznačno je odred̄ena prava p = p(A, B). Na osnovu aksiome I 7, prava ppripada ravnima α i β , t. važi p ⊆ α ∩ β .


13/107

9

Dokazaćemo sada da je p = α ∩ β . U tom cilju, pretpostavimo da,

suprotno tome, postoji tačka C ∈ α ∩ β koja ne pripada pravoj p (slika 2.1).

Slika 2.1.

Tada su A, B i C tri nekoline-arne tačke kojima je, na osnovuprethodne teoreme, jednoznačnoodred̄ena ravan π(A,B,C ).Med̄utim, kako je A, B,C ∈ α iA,B,C ∈ β , primenom iste teo-reme nalazimo da je α = β = π .Ovo je, najzad, u suprotnostisa pretpostavkom da su α i β različite ravni.

2.2 Aksiome poretka i njihove posledice

Ovu grupu aksioma sačinjava niz tvrd̄enja kojima se obezbed̄uje zasni-vanje tzv. geometrije poretka , pre svega na pravoj, ali i u ravni, odnosnoprostoru. Osnov za to daje troelementna relacija B (”izmed̄u”) koju smoopisali u uvodnom delu. Da se podsetimo, zapis B (A,B,C ) označava da se

tačka B nalazi izmed̄u tačaka A i C . Svojstva relacije ”izmed̄u” sadržanasu sledećim skupom aksioma rasporeda :

Aksioma II 1: Ako su A,B, C tri kolinearne tačke takve da važi B (A,B,C ),onda su te tačke med̄usobno različite.

Aksioma II 2: Ako su A,B, C tri kolinearne tačke takve da važi B (A,B,C ),onda je i B (C,B,A).

Aksioma II 3: Ako su A,B, C tri kolinearne tačke takve da važi B (A,B,C ),onda nije B (A,C,B).

Aksioma II 4

: Ako su

A i

B dve razne tačke neke prave

p, onda postoji

tačka C ∈ p takva da je B (A,B,C ).

Aksioma II 5: Ako su A, B,C tri razne kolinearne tačke, onda važi naj-manje jedna od relacija

B (A,B,C ), B (A,C,B), B (C,A,B).


14/107

10

Aksioma II 6: (Pašova aksioma) Neka su A, B,C tri nekolinearne ta-

Slika 2.2.

čke i p prava koja pripada ravni odred̄enoj tačkama

A,B,C , ne sadrži tačku A i seče pravu BC u tački P takvoj da je B (B,P,C ). Tada prava

p seče pravu AC u tački Q takvoj da je B (A,Q,C )ili pravu AB u tački Rtakvoj da je B (A,R,B)(slika 2.2).

Prvih pet aksioma poretka odnose se na geometriju prave, pa ih običnonazivamo linearnim aksiomama poretka . Med̄utim, iz linearnih aksiomaporetka ne može se, kao što ćemo uskoro videti, izgraditi potpuna geometrijaporetka tačaka na pravoj. Poslednja, Pǎsova aksioma, odnosi se na ge-ometriju ravni i pokazuje se neophodnom u izgradnji te teorije. Ne ulazécidetaljnije u tzv. geometriju poretka , navodimo nekoliko važnijih tvrd̄enja.

Teorema 2.2.1. Ako su A, B,C tri razne kolinearne tačke, onda važi tačno jedna od relacija

B (A,B,C ), B (A,C,B), B (C,A,B).

Dokaz. Prema aksiomi II 5 vǎzi bar jedna od triju navedenih relacija. Neka,recimo, važi B (A,B,C ). Iz aksiome II 3 sledi da tada nije B (A,C,B). Naosnovu aksiome II 2 iz B (A,B,C ) sledi da je B (C,B,A), odakle ponovnomprimenom I I 3 zaključujemo da ne važi B (C,A,B).

Narednim tvrd̄enjem vršimo identifikaciju prave naročito definisanimskupovima tačaka.

Teorema 2.2.2. Neka su A, B dve razne tačke prave p. Tada se prava ppoklapa sa skupom p′ koji se sastoji iz tačaka A, B i svih tačaka X ∈ p takvih da važi neka od relacija

B (A,B,X ), B (A,X,B), B (X,A,B). (2.1)Dokaz. Iz definicije skupa p′ jasno sledi da je p′ ⊆ p. Pokažimo da važi iobratna relacija. Neka je X proizvoljna tačka prave p. Ako je X = A iliX = B, onda je očito X ∈ p′, opet po definiciji skupa p′. Najzad, ako jeX ̸= A, B, onda su A, B,X tri razne kolinearne tačke prave p, pa na osnovuprethodne teoreme važi tačno jedna od relacija (2.1).


15/107

11

Naglasimo da se na sličan način kao u prethodno j teoremi može izvršiti

identifikacija ravni pomoću pravih, odnosno prostora S pomoću ravni. Naovim činjenicama se, ipak, nećemo detaljnije zadržavati.

Teorema 2.2.3. Ako su A, B dve razne tačke prave p, tada postoji tačka C ∈ p takva da je B (A,C,B).

Dokaz. Neka je D proizvoljna tačka van prave AB (slika 2.3). Kako jeD ̸ = B, na pravoj BD, prema aksiomi II 4, postoji tačka E takva da jeB (B,D ,E ). Tǎcka E je van prave AB (zašto?), pa je E ̸= A. Tada, prema

Slika 2.3.

aksiomi II 4, na pravoj AE postoji tačka F takva da jeB (A,E,F ). Dakle, A,B,E

jesu tri nekolinearne tačke, pričemu prava DF ne sadrži niti

jednu od njih i seče, redom,prave BE i AE u tačkama Di F takvim da je B (B,D ,E ) iB (A,E,F ). Prema Pašovoj ak-siomi II 6 prava DF tada moraseći pravu AB u tǎcki C takvojda je B (A,C,B).

Navodimo sada, u kratkim crtama, još neka uopštenja relacije ”izmed̄u”neophodna za dalju izgradnju geometrije poretka i još nekih, fundamentalnihgeometrijskih objekata. Pre svega, pokazujemo kako relaciju B mǒzemoproširiti i uopštiti na proizvoljan konačan skup tačaka.

Definicija 2.2.1. Za konačan skup od n ≥ 3 kolinearnih tačaka {A1, . . . , An}kaže se da je linearno ured̄en ako za svako 1 ≤ i < j < k ≤ n važi B (Ai, A j, Ak). Tada pišemo, kraće, B (A1, . . . , An).

Sa ovako definisanom relacijom B u mogućnosti smo da govorimo olinearnom poretku proizvoljnog konačnog broja tačaka na pravoj. U tom

slučaju, vǎzi

Teorema 2.2.4. Neka je {A1, . . . , An} konačan skup od n ≥ 3 kolinearnih tačaka takvih da za svako i = 2, . . . , n − 1 važi B (Ai−1, Ai, Ai+1). Tada važi B (A1, . . . , An).


16/107

12

2.3 Zadaci za vežbu

Zadatak 2.1. Ako su A, B i C nekolinearne tačke, dokazati da su one med̄usobom različite tačke.

Zadatak 2.2. Ako su A,B, C i D četiri nekomplanarne tačke, dokazati dasu svake dve od tih tačaka med̄u sobom različite, a svake tri od tih tačakanekolinearne.

Zadatak 2.3. Dokazati da dve razne prave mogu imati najviše jednu za- jedničku tačku.1

Zadatak 2.4. Dokazati da je svaka ravan jednoznačno odred̄ena:

(a) Pravom i tačkom izvan nje. (b) Dvema pravama koje se seku.

Zadatak 2.5. Koliko je najviše ravni odred̄eno:(a) Dvema pravama koje se seku i trima nekolinearnim tačkama;(b) Dvema nekomplanarnim pravama i sa četiri nekomplanarne tačke?

Zadatak 2.6. Dat je skup od n ≥ 3 tačaka od kojih ni koje tri nisu koli-nearne. Odrediti n tako da tačke tog skupa odred̄uju podjednak broj pravihi ravni.

Zadatak 2.7. Dokazati da za svaku pravu, odnosno ravan, postoji bar jednatačka koja joj ne pripada.

Zadatak 2.8. Ako prava p ne pripada ravni α, onda ona sa datom ravniima najviše jednu zajedničku tačku.2 Dokazati.

Zadatak 2.9. Van ravni α date su tri nekolinearne tačke A,B, C takve da je AB ∩ α = {M }, BC ∩ α = {N }, AC ∩ α = {P }. Dokazati da su M , N , P kolinearne tačke.

Zadatak 2.10. Dokazati da nekomplanarne (mimolilazne) prave nemajuzajedničkih tačaka, kao i da postoje bar dve mimoilazne prave.

Zadatak 2.11. Dokazati da postoji beskonačno mnogo pravih, odnosnoravni, koje sadrže zadatu proizvoljnu tačku.

1Za takve prave kažemo da se seku, a njihovu zajedničku tačku nazivamo presečnomtačkom (presekom) datih pravih.

2Za pravu ko ja ima tačno jednu zajednišku tačku sa nekom ravni kažemo prodire daturavan.


17/107

13

Zadatak 2.12. Neka su A, B,C nekolinearne tačke, a P,Q, R tačke takve

da je B (B,P,C ), B (A,Q,C ) i B (A,R,B). Dokazati da tačke P,Q ,R nepripadaju jednoj pravoj.

Zadatak 2.13. Neka su A, B,C,D četiri kolinearne tačke. Dokazati datada važi:3

(i) B (A,B,C ) ∧ B (B,C,D) =⇒ B (A,B,D) ∧ B (A,C,D);

(ii) B (A,B,C ) ∧ B (A,C,D) =⇒ B (A,B,D) ∧ B (B,C,D);

(iii) B (A,B,D) ∧ B (B,C,D) =⇒ B (A,B,C ) ∧ B (A,C,D).

3Čitaocu posebno skrećemo pažnju na važnost ovog zadatka, koji često koristimo ukasnijim teoretskim izlaganjima.


18/107

14


19/107

Glava 3

GEOMETRIJSKE FIGURE

U RAVNI

Na osnovu kompletne aksiomatike incidencije i poretka moguće je iz-graditi tzv. elementarnu geometriju . Aksiomatika incidencije omogućavazasnivanje longometrije (incidencija na pravoj), planimetrije (incidencija uravni) i stereometrije (incidencija u prostoru). S druge strane, aksiomatikaporetka dovoljna je za izgradnju kompletne teorije poretka na pravoj, ravnii prostoru. Dodatno, ona omogućava uvod̄enje niza geometrijskih objekata

o kojima će ovde biti reči.

3.1 Duž i poluprava

Najpre razmatramo neke od najvažnijih geometrijskih figura na pravoj,koje su nam, makar intuitivno, dobro poznate od ranije. Pored njih, uposlednjem delu opisaćemo tipičan ”geometrijski” postupak uvod̄enja ori-

jentacije na pravoj.

3.1.1 Pojam i osobine duži

U prethodnoj sekciji pokazali smo da izmed̄u bilo kojih dveju tačaka Ai B postoji tačka C . Induktivnim postupkom lako je zakljǔciti da postojibeskonačno mnogo takvih tačaka, pa dolazimo do sledećeg po jma.

15


20/107

16

Definicija 3.1.1. Neka su A i B dve razne tačke neke prave p. Otvorena

duž , u oznaci (AB), jeste skup svih tačaka prave p koje se nalaze izmed̄u Ai B, tj.

(AB) ={

X X ∈ p ∧ B (A,X,B)}.

Zatvorenom duži [AB] nazivamo skup tačaka

[AB] = (AB) ∪ {A, B}.

Tačke A i B nazivamo krajevima (otvorene ili zatvorene ) dǔzi.

Grafička interpretacijadǔzi data je na slici3.1. Naglasimo da, uko-

liko zatvorenost duži čijisu kra jevi tačke A, B nije

Slika 3.1.

od značaja, datu duž označavamo samo sa AB. Na osnovu gore navedenedefinicije jasno je, takod̄e, da svaka duž jeste podskup prave p odred̄enekrajnjim tačkama date duži. U daljem izlaganju, na relativno jednostavannačin možemo pokazati još neke osobine duži.

Teorema 3.1.1 (Osnovna teorema o razbijanju duži). Svaka tačka C ∈ (AB) razlǎze dǔz (AB) na dve otvorene, disjunktne duži (AC ) i (CB).

Dokaz. Pokazaćemo najpre da se sve tačke duži (AB), izuzev tačke C ,nalaze na bar jednoj od duži (AC ) ili (CB). Zaista, neka je X ∈ (AB)

proizvoljna tačka takva da je X ̸= C . Na osnovu aksiome I I 5 važi bar jednaod relacija

B (A,X,C ), B (A,C,X ) ili B (C,A,X ).

Razmotrimo sada pojedinačno svaku od njih:

(i) Ako je B (A,X,C ), onda je, po definiciji, X ∈ (AC ).

(ii) Ako je B (A,C,X ), onda, zbog B (A,X,B), na osnovu zadatka 2.13zaključujemo da važi B (C,X ,B). Dakle, sada je X ∈ (CB).

(iii) Pokazaćemo, najzad, da relacija B (C,A,X ) nije moguća. Zaista,ako je B (C,A,X ), onda na osnovu aksiome II 2 važi B (X,A,C ). Kako je iB (A,C,B), to na osnovu zadatka 2.13 mora biti B (X,A,B). Odavde sledi

da nije B (A,X,B), tj. tačka X ne pripada duži (AB), što je u suprotnostisa polaznom pretpostavkom.

Na kraju, pokazujemo da je (AC ) ∩ (CB) = ∅. Zaista, ako bi postojalatačka D ∈ (AC ) ∩ (CB), onda za nju važi B (A,D,C ) i B (C,D ,B). No, izB (A,D,C ) i B (A,C,B) sledi, na osnovu zadatka 2.13, da je B (D ,C,B), ato je u suprotnosti sa relacijom B (C,D ,B).


21/107

17

Teorema 3.1.2. Duž, prava i ravan su beskonačni skupovi tačaka.

Dokaz. Za svaku duž (AB) postoji, prema teoremi 2.2.3, bar jedna tačkaC koja joj pripada. Slično, na dužima (AC ) i (BC ) možemo naći bar po

jednu tačku X ∈ (AC ) i Y ∈ (BC ). Kako smo za ove dve duži pokazali dasu disjunktne, to je X ̸ = Y , pri čemu je očito X, Y ∈ (AB). Ponavlja jućiisti postupak na sve novodobijene duži jasno je da dobijamo beskonačanskup tačaka koje pripadaju duži (AB). Sličan postupak možemo ponoviti iu slučaju pravih i ravni (svaka od njih sadrži bar jednu duž, pokažite!).

3.1.2 Poluprava. Definicija i osobine

Pojam poluprave definǐse se na osnovu posebne relacije definisane naskupu tačaka neke prave p.

Definicija 3.1.2. Tačke A, B ∈ p su sa iste strane tačke O ∈ p ako nije B (A,O,B). Tada pišemo, kraće, A, B . . O. U suprotnom, tačke A i B su sa različitih strana tačke O, što zapisujemo A, B ÷ O.

Teorema 3.1.3. Relacija . . O je relacija ekvivalencije na skupu tačaka prave p, različitih od tačke O.

Dokaz. Pokazujemo da relacija . . O zadovoljava osobine relacije ekviva-lencije:

(i) Refleksivnost: Za svaku tačku A ∈ p \ {O} nije B (A,O,A). Zaista,prema aksiomi II 1, sve tri tačke koje su u relaciji ”izmed̄u” morajubiti različite. Dakle, važi A, A . . O.

(ii) Simetričnost: Ako za ma koje dve tačke A, B ∈ p \ {O} važi A, B . . O,onda, po definiciji relacije . . O, nije B (A,O,B). Prema aksiomi II 2tada nije ni B (B,O,A), pa je B , A . . O.

(iii) Tranzitivnost: Neka su A, B,C ∈ p \ {O} takve da važi A, B . . O iB, C . . O. Po definiciji relacije . . O, zaključujemo da za tačke A, Bvaži poredak B (A,B,O) ili B (B,A,O), dok za B, C važi B (B,C,O)ili B (C,B,O). Upored̄ujući sve moguće slučajeve koji ovde nastaju(proverite ih sami, za vežbu!), a na osnovu zadatka 2.13 dobijamo da

je B (A,C,O) ili B (C,A,O), odnosno da važi A, C . . O.


22/107

18

Narednom definicijom konačno uvodimo pojam poluprave.

Definicija 3.1.3. Skup svih tačaka neke prave p koje se nalaze sa iste strane tačke O ∈ p naziva se otvorena poluprava prave p. Unija tog skupa i tačke O je zatvorena poluprava date prave, a sama tačka O početak ili kraj poluprave.

Otvorenu polupravu prave p sa početkom u tački O obǐcno označavamosa (O, p), dok za zatvorenu polupravu koristimo oznaku [O, p). Ukoliko,ipak, pripadnost početne tačke O datoj polupravoj nije od značaja, pisaćemo

jednostavno Op. Pokazaćemo sada, slično kao i kod duži, tzv. osnovnu

teoremu o razbijanju prave.

Teorema 3.1.4. Svaka tačka O ∈ p razlaže skup ostalih tačaka prave p na dve otvorene, disjunktne poluprave prave p.

Dokaz. Prema aksiomi I 1, prava p pored tačke O sadrži bar još jednu tačkuA ∈ p. S druge strane, prema aksiomi II 4 posto ji i tačka A

′ ∈ p takva da je B (A,O,A′). Znǎci, vǎzi A, A′ ÷ O, tj. tačke A i A′ nalaze se sa različitihstrana tačke O.

Kako smo u teoremi 3.1.3 pokazali da je . . O relacija ekvivalencije, totačke A i A′ na pravoj p odred̄uju dve različite klase ekvivalencije, označimoih, respekktivno, sa

OA = {X ∈ p | A, X . .

O} i OA′ = {Y ∈ p | A′, Y . .

O}.

Dakle, kao što znamo od ranije, klase ekvivalencije OA i OA′ su disjunktniskupovi tačaka prave p koje su u relaciji . . O ili sa tačkom A ili sa tačkomA′. Na osnovu poslednje definicije, zaključujemo da oba skupa jesu otvorenepoluprave prave p.

Pokažimo, na kraju, da ne postoji i treća klasa ekvivalencije, odnosnopoluprava prave p sa istim početkom O. Zaista, neka je P ∈ p proizvoljnatačka, različita od tačke O. Tada, prema teoremi 2.2.1, važi tačno jedna odrelacija

B (A,P,O), B (A,O,P ) ili B (P,A,O).

U prvom i trećem slučaju jasno je da P ∈ OA. Za B (A,O,P ), na osnovuB (A,O,A′) i zadatka 2.13, imamo da je ili B (O, A′, P ) ili B (O,P,A′). Na-

jzad, obe ove relacije daju P ∈ OA′.


23/107

19

3.1.3 Orijentacija duži i poluprave

Najpre uvodimo pojam tzv. relacije smera , kojom se sve poluprave jedneiste prave mogu klasifikovati na poseban način.

Definicija 3.1.4. Neka su a i b dve poluprave iste prave p. Ako jedna od navedenih polupravih sadrži drugu polupravu, kažemo da su a i b polupraveistog smera , što zapisujemo a ⇒ b. U suprotnom, poluprave a i b su suprotnog smera , u oznaci a b.

Slika 3.2.

Na slici 3.2 prikazane su grafički ove dve relacije. Sada, na sličan način,možemo definisati i relaciju smera nad dužima jedne iste prave.

Definicija 3.1.5. Dve duži AB i CD (otvorene ili zatvorene ) jedne iste prave p su istog smera ako su odgovarajuće poluprave AB i CD istog smera.U protivnom, duži AB i CD su suprotnog smera .

Za relaciju istosmernosti polupravih (pa samim tim duži) važe sledećeosobine.

Teorema 3.1.5. Relacija ⇒ je relacija ekvivalencije na skupu polupravih jedne iste prave p.

Dokaz. Refleksivnost i simetričnost relacije ⇒ sledi direktno na osnovunjene definicije. Dokǎzimo zato osobinu tranzitivnosti. Neka su a,b, c ⊆ pproizvoljne poluprave takve da je a ⇒ b i b ⇒ c. Na osnovu definicije relacije⇒, mogući su tada sledeći odnosi ovih polupravih:

(1) a ⊆ b ∧ b ⊆ c =⇒ a ⊆ c

(2) a ⊆ b ∧ c ⊆ b =⇒ a ⊆ c ∨ c ⊆ a(3) b ⊆ a ∧ b ⊆ c =⇒ a ⊆ c ∨ c ⊆ a

(4) b ⊆ a ∧ c ⊆ b =⇒ c ⊆ a.

Dakle, u svim slučajevima važi a ⇒ c, čime smo pokazali tranzitivnostrelacije ⇒ i tvrd̄enje u celini.


24/107

20

Teorema 3.1.6. Skup L svih polupravih neke prave p može se razložiti na

dva podskupa L1 i L2 koji imaju sledeće osobine:

(i) L1, L2 ̸= ∅;

(ii) L1 ∩ L2 = ∅;

(iii) (∀a, b ∈ Li, i = 1, 2) a ⇒ b;

(iv) (∀a ∈ L1)(∀b ∈ L2) a b.

Dokaz. Neka je A ∈ p proizvoljna tačka. Prema teoremi o razlaganju prave,tačka A odred̄uje dve komplementrane poluprave a i a′. Ove poluprave,saglasno definiciji 3.1.4, jesu suprotnog smera. Uočimo sada sledeće skupovepolupravih

L1 = {b ∈ L | b ⇒ a}, L2 = {b ∈ L | b ⇒ a′}.

Skupovi L1 i L2 jesu klase ekvivalencije relacije ⇒, pa zadovoljavaju svegore navedene osobine.

Ostaje još da pokažemo da sve poluprave prave p pripadaju nekom odova dva skupa, odnosno da je L = L1 ∪ L2. Zaista, neka je b ∈ L proizvoljnapoluprava sa početkom u tački B ∈ p i b′ njoj komplementarna poluprava.Tada razlikujemo sledeće četiri mogućnosti (prikažite ih grafički):

(1) A ∈ b, B ∈ a =⇒ a′ ⊆ b =⇒ b ∈ L2;

(2) A ∈ b, B ∈ a′

=⇒ a ⊆ b =⇒ b ∈ L1;(3) A ∈ b′, B ∈ a =⇒ b ⊆ a =⇒ b ∈ L1;

(4) A ∈ b′, B ∈ a′ =⇒ b ⊆ a′ =⇒ b ∈ L2.

Dakle, poluprava b uvek pripada nekom od skupova L1 i L2.

Definicija 3.1.6. Svaki od skupova L1 i L2 iz prethodne teoreme naziva se orijentacijom ili smerom na pravoj p.

Na svakoj pravoj, prema definiciji smera i prethodno dokazanoj teoremi,postoje tačno dva smera. Uobičajeno, nazivamo ih suprotnim , što ukazujena mogućnost da jedan smer zovemo pozitivnim , a drugi negativnim . Pojamorijentacije omogućava da celokupnu geometriju poretka na pravoj izgradimona potpuno nov način. U tom cilju, uvodimo dve pomoćne relacije ”pre” i”posle”, koje se obično koriste u Teoriji brojeva.

Definicija 3.1.7. Neka su A i B dve razne tačke orijentisane prave p, tj.prave na kojoj je izabran jedan od dva moguća smera. Neka su, dalje, a i b


25/107

21

poluprave kojima su, respektivno, tačke A i B krajevi, a koje su orijentisane

saglasno smeru na pravoj p. Ako je b a, onda kažemo da je na orijenti-sanoj pravoj p tačka A pre tačke B, i pišemo A ≺ B. Obratno, ako je a b, kažemo da je tačka A posle tačke B, u oznaci A ≻ B.

Za relaciju A ≺ B lako se pokazuje da predstavlja relaciju potpunog ured̄enja tačaka na orijentisanoj pravoj p, odnosno da je na tom skupukonektivna (definisana za svake dve tačke prave p), antisimetrična i tranzi-tivna . (Proverite ovu činjenicu sami!) Zahvaljujući njo j, Teorija brojeva i ge-ometrija na orijentisanoj pravoj su ekvivalentne. Štaviše, naredno tvrd̄ enje,čiji dokaz ostavljamo Vama kao vežbu, ukazuje na to da je ova relacija ek-vivaletna ranije definisanoj relaciji ”izmed̄u”.

Teorema 3.1.7. Za svake tri tačke orijentisane prave p važi

B (A,B,C ) ⇐⇒ A ≺ B ≺ C ∨ C ≺ B ≺ A.

3.2 Poligon i poligonska povřs

Koristeći po jam duži, možemo definisati još neke važne klase geometrijskih likova u ravni. Jedna od najvažnijih jeste klasa mnogouglova do kojedolazimo tek nakon uvod̄enja sledećeg pojma.

Definicija 3.2.1. Neka je {A1, . . . , An} konačan skup nekolinearnih tačaka.Poligonalna (izlomljena ) linija jeste skup

P = [A1A2] ∪ · · · ∪ [An−1An].

Tačke A1, . . . , An jesu temena , a duži [A1A2], . . . , [An−1An] su stranice poligonalne linije P . Temena koja pripadaju jednoj istoj stranici su susedna temena . Slično, dve stranice koja imaju za jedničko teme su susedne stranice .

Ako sva temena poligonalne linije P pripadaju jednoj ravni, ona je ravna .U suprotnom, poligonalna linija P je prostorna . Najzad, P je prosta akonjene stranice, sem susednih, nemaju zajedničkih tačaka.

Definicija 3.2.2. Poligon (mnogougao) je zatvorena poligonalna linija,tj. poligonalna linija čije se krajnje tačke A1 i An poklapaju.


26/107

22

Slika 3.3.

Na slici 3.3 prikazana je otvorena poligonalna linija odred̄ena tačkamaA1, A2, . . . , A5, kao i poligon - sedmougao čija su temena tačke A1, A2, . . . , A7.U narednom delu našeg izlaganja posmatraćemo isljučivo ravne poligone, zakoje uvodimo važan po jam poligonskih površi . U tom cilju, najpre definiše-mo odgovara juće ”pomoćne” po jmove.

Posmatrajmo prost ravan poligon P i proizvoljnu tačku O koja pri-pada istoj ravni kao i poligon P , ali nije na samom poligonu. Neka su a, bproizvoljne poluprave u ravni datog poligona koje kao početak imaju tačkuO, a ne sadrže niti jedno teme (i niti jednu stranicu) poligona P . Označimodalje sa k(a) i k(b), respektivno, ukupan broj zajedničkih tačaka polupravih

a i b sa poligonom P

(slika 3.4). Pokazuje se(̌sto ovde nećemo činiti)da koeficijenti k(a), k(b)moraju istovremeno bitiili parni ili neparni bro-

jevi, odnosno da za nekiprirodan broj n ∈ Nvaži jednakost

k(a) + k(b) = 2n. Slika 3.4.

Odavde se neposredno pokazuje sledeća činjenica, koju često koristimo udaljem izlaganju.

Teorema 3.2.1. Svaka prava s u ravni prostog ravnog poligona P koja ne sadřzi niti jedno teme i stranicu datog poligona ima sa njim paran broj za-

jedničkih tačaka.


27/107

23

Dokaz. Neka je S ∈ s \ P proizvoljna tačka i s1, s2 disjunktne poluprave na

koje je prava s razložena tačkom S . Tada je k(s) = k(s1) + k(s2) = 2n.

Pri navedenim pretpostavkama, sada možemo definisati osnovne relacijetačaka ravni u odnosu na poligon P .

Definicija 3.2.3. Tačka O je unutar poligona P ako je k(a) = 2n − 1,za neko n ∈ N. U suprotnom, O se nalazi izvan poligona P .

Daljom analizom relacije ”unutar prostog ravnog poligona” dolazimo doosnovnih pojmova i razultata ovog odeljka.

Definicija 3.2.4. Skup svih tačaka unutar prostog ravnog poligona P naziva

se otvorena poligonska površ, koju označavamo sa (P ). Otvorena poligon-ska površ zajedno sa samim poligonom P čini zatvorenu poligonsku površ,u oznaci [P ].

Teorema 3.2.2 (Žordanova teorema o razlaganju ravni). Svaki prost ravan poligon P u ravni π razlaže skup ostalih tačaka te ravni na dva disjunk-tna podskupa. Jedan od njih je otvorena poligonska površ, a drugi spoljašnjost

te površi.

Dokaz. Neka je s ⊂ π proizvoljna prava koja ne sadrži temena poligona P ,ali sa njim ima zajedničkih tačaka. Prema prethodnoj teoremi ukupan brojtakvih tačaka je paran. Ako ove tačke označimo, redom, sa P 1, P 2, . . . , P 2n,

Slika 3.5.

onda, ne umanjujućiopštost, za navedenetačke možemo pretpo-staviti da vǎzi relacijaB (P 1, P 2, . . . , P 2n).

S druge strane, neka je X ∈ s tačka za koju je B (P 1, X , P 2), a Y ∈ sproizvoljna tačka takvada je B (Y, P 1, P 2). Tada

je, jasno, tačka X unu-

tar, a Y izvan poligonaP (slika 3.5).

Pokazaćemo sada da unutrašnjost i spoljašnjost poligona P ne moguimati zajedničkih tačaka. Zaista, ako bi postojala tačka M ∈ π koja pri-pada i unutrašnjosti i spoljašnjosti poligona P , onda bi postojale bar dvepoluprave m1 i m2 sa početkom u M , takve da ne sadrže temena poligona


28/107

24

P i jedna od njih ima neparan, a druga paran broj zajedničkih tačaka sa P .

Tada je, dakle, k(m1) + k(m2) neparan bro j, što je nemoguće.Najzad, pokazujemo da svaka tačka A ∈ π \ P pripada ili unutrašnjosti

ili spoljašnjosti datog poligona. Zaista, neka je a poluprava sa početkom uA, koja se nalazi u ravni poligona P i ne sadrži niti jedno njegovo teme.Poluprava a sa poligonom P ima ili neparan ili paran broj zajedničkihtačaka, pa je tačka A, u zavisnosti od toga, ili unutar ili izvan poligona.

Naredno tvrd̄enje, koje navodimo bez dokaza, omogućava dalji postupakrazlaganja poligonskih površi.

Teorema 3.2.3. Neka je P prost ravan poligon i L poligonalna linija u istoj ravni, sa krajevima koji se nalaze na poligonu P , a ostale tačke unutar

njega. Tada L razlǎze P na dve otvorene poligonske površi.

Kao neposredna posledica ove teoreme, indukcijom se lako pokazujesledeća činjenica.

Posledica 3.2.1. Svaki prost ravan poligon može se, svojim unutrǎsnjim dijagonalama 1, razložiti na konačan broj disjunktnih trougaonih površi.

Navedeno tvrd̄enje omogućava tzv. metod triangulacije poligonskihpovřsi i ima važnu ulogu u Teoriji merenja geometrijskih figura, o čemu ćekasnije biti više reči.

3.3 Poluravan i ugao

Koristeći slične ideje kao u prethodnim razmatranjima, dolazimo do jošdva važna geometrijska pojma.

3.3.1 Definicija i osobine poluravni

Pojam poluravni uvodimo pomoću relacija ”sa iste strane prave” i ”sarazličite strane prave”.

Definicija 3.3.1. Neka su A, B tačke neke ravni π i p prava koja pripada toj ravni i ne sadrži A i B. Za tačke A i B kažemo da su sa iste straneprave p ako je (AB) ∩ p = ∅ i pišemo A, B . . p. U suprotnom, tačke A i Bsu sa raznih strana prave p, što zapisujemo A, B ÷ p.

1Duž ko ja spa ja dva nesusedna temena poligona naziva se dijagonalom tog poligona.


29/107

25

Teorema 3.3.1. Relacija . . p je relacija ekvivalencije na skupu tačaka

ravni π, koje ne pripadaju pravoj p ⊂ π.

Dokaz. Refleksivnost i simetričnost relacije . . p slede direktno na osnovunjene definicije. Neka su, sada, A, B,C tri razne tačke ravni π takve da važiA, B . . p i B, C . . p. Tada razlikujemo sledeće slučajeve, prikazane i na slici3.6.

(i) Tǎcke A,B,C pripadaju jednoj pravoj s ⊂ π. Prava s tada sečepravu p ili sa njom nema zajedničkih tačaka. Ako je s ∩ p = {O}, onda

je A, B . . O i B, C . . O. Na osnovu ranije pokazane tranzitivnosti relacije. . O dobijamo A, C . . O, pa je i A, C . . p. S druge strane, ako je s ∩ p = ∅,

onda je i (AC ) ∩ p = ∅, pa neposredno sledi A, C . . p.

Slika 3.6.

(ii) Tačke A, B i C nisu kolinearne. Kako je (AB)∩ p = ∅ i (BC )∩ p = ∅,to prava p ne može seći pravu AC izmed̄u tǎcaka A i C , jer bi na osnovuPašove aksiome ona tada morala seći još i duž AB ili BC . Znači, važiA, C . . p, čime je pokazana tranzitivnost relacije . . p.

Definicija 3.3.2. Skup svih tačaka neke ravni π koje se nalaze sa jedne iste strane prave p ⊂ π naziva se otvorena poluravan . Unija tog skupa i prave p je zatvorena poluravan date ravni. Prava p u oba slučaja naziva se granica ili med̄uprava odgovarajuće poluravni.

Otovrenu poluravan ravni π sa granicom p označavamo sa ( p, π), dokodgovara juću zatvorenu poluravan obeležavamo sa [ p, π). Analogno teoremio razlaganju prave, možemo formulisati i pokazati sledeće tvrd̄enje.

Teorema 3.3.2 (Osnovna teorema o razlaganju ravni). Svaka prava p ravni π razlaže skup ostalih tačaka te ravni na dve otvorene poluravni.


30/107

26

Dokaz. Neka je O proizvoljna tačka prave p, a A tačka ravni π koja ne pri-

pada pravoj p. Prema aksiomi I I 4 postoji i tačka A′ takva da je B (A,O,A′).Očito, A′ /∈ p (zašto?) i (AA′) ∩ p = {O}, pa važi A, A′ ÷ p. Neka su, dalje,

( p, A) = {X ∈ π | X, A . .

p } i ( p, A′) = {Y ∈ π | Y, A′ . .

p }

klase ekvivalencije relacije . . p. Očito, reč je o disjunktnim skupovimatačaka, pri čemu svaki od njih, po definiciji relacije . . p, predstavlja otvorenupoluravan ravni π. Pokažimo, kao i obično, da ne postoji i treća klasa ek-vivalencije, odnosno tačka B takva da je A, B ÷ p i A′, B ÷ p. Zaista, akotakva tačka postoji, onda su A, A′ i B tri nekolinearne tačke (zašto?), takveda prava p seče duži AB i A′B. Med̄utim, na osnovu Pašove aksiome, prava

p tada ne može seći i duž AA′2, a to je u suprotnosti sa polaznom pret-postavkom A, A′ ÷ p.

3.3.2 Ugaona linija i ugao

Posebno važan pojam geometrije ravni jeste, kao što znamo, pojam ugla.Njega definǐsemo se tek na osnovu odgovarajućeg pojma ugaone linije irelacije ”sa iste strane” koju nad njom uvodimo.

Definicija 3.3.3. Geometrijski lik koji se sastoji od jedne tačke O i dveju polupravih p i q kojima je zajednički kraj tačka O , naziva se ugaona linija i obeležava sa ∠ pq .

Definicija 3.3.4. Neka je ∠ pq ugaona linija u ravni π i A, B proizvoljne tačke iste ravni koje ne pripadaju samoj liniji ∠ pq . Tačke A i B su sa istestrane ugaone linije ∠ pq ako postoji poligonalna linija P čiji su krajevi A i B, a sa ugaonom linijom ∠ pq nema zajedničkih tačaka. Tada pišemoA, B . . ∠ pq . U suprotnom, kažemo da su tačke A i B sa raznih strana ugaone linije ∠ pq , u oznaci A, B ÷ ∠ pq

Pokazujemo sada već uobičajeno svojstvo koje, slično prethodnim, goredefinisana relacija poseduje.

Teorema 3.3.3. Relacija . . ∠ pq je relacija ekvivalencije.

2Ova tvrdnja nije očigledna. Pokušajte da je dokažete, koristeći kao ideju zadatak 2.12!


31/107

27

Dokaz. Refleksivnost i simetričnost slede neposredno iz definicije relacije

. . ∠ pq , pa ostaje da pokažemo još i njenu tranzitivnost. Neka su, stoga,A,B,C tri razne tačke ravni π i ∠ pq ugaona linija takva da je A, B . . ∠ pq i B, C . . ∠ pq . Tada, po definiciji ove relacije, postoje poligonalne linijeP 1, P 2 ⊂ π sa sledećim osobinama:

(i) P 1 spaja tačku A satǎckom B , pri čemu je

P 1 ∩ ∠ pq = ∅;

(ii) P 2 spaja tačku B satǎckom C i važi

P 2 ∩ ∠ pq = ∅.

No, tada P = P 1∪P 2 jeste po-ligonalna linija u ravni π koja

Slika 3.7.

spa ja tačke A i C , a pritom je P ∩ ∠ pq = ∅ (slika 3.7). Dakle, zaista važiA, C . . ∠ pq , čime je tvrd̄enje pokazano u celini.

Definicija 3.3.5. Neka je ∠ pq ugaona linija neke ravni π. Skup svih tačaka u ravni π koje se nalaze sa iste strane ugaone linije ∠ pq naziva se otvoreni ugao i obeležava sa ( pq ). Unija ugaone linije ∠ pq i otvorenog ugla ( pq )

naziva se zatvoreni ugao i obeležava sa [ pq ].

Samu ugaonu liniju ∠ pq zovemo granicom ili med̄om ugla pq , poluprave p i q kracima , a tačku O temenom svakog od navedenih uglova. Uobičajeno,ugao kod koga zatvorenost nije od značaja simbolički obeležavamo sa pq .Na kraju, slično ranije navedenim teoremama o razlaganju ravni pomoćupravih, može se pokazati da odgovara juće tvrd̄enje važi i kod uglova.

Teorema 3.3.4. Svaka ugaona linija ∠ pq ravni π razlaže skup ostalih tačaka iste ravni na dva otvorena ugla.

Dokaz. Dokaz se izvodi analogno teoremama o razlaganju ravni pomoću

prave, pa ga ostavljamo čitaocu za samostalni rad.


32/107

28

3.3.3 Orijentacija uglova i ravni

Da bi uveli pojam orijentacije u ravni, prethodno treba najpre definisatipojam orijentisanog ugla, a zatim i relaciju istosmernosti uglova. Pritom,razlikujemo kao dva moguća slučaja uglove sa istim, zajedničkim temenom,odnosno uglove sa različitim temenima.

Definicija 3.3.6. Ugao ab čiji kraci a i b čine ured̄ en par polupravih (a, b) jeste orijentisan . Krak a je početni (prvi ), a krak b zavřsni (drugi ) krak tog orijentisanog ugla.

Definicija 3.3.7. Dva orijentisana ugla ab i cd koji pripadaju istoj ravni i imaju zajedničko teme O nazivaju se istosmernim , u oznaci ab ⇒ cd,ako važi jedan od sledećih uslova:

(i) Za a = c ili b = d jedan od uglova ab ili cd sadrži onaj drugi,pisaćemo ab⊂⊃ cd.

(ii) Za a ̸= c i b ̸= d važe, prema uslovu (i), sledeće relacije

ab ⇒ ad ∧ ad ⇒ cd.

Ako dati uglovi nisu istosmerni, kažemo da su suprotnosmerni i pišemo

ab cd.

Slika 3.8.

Na slici 3.8 prikazani su neki od slučajeva istosmernih, odnosno suprot-nosmernih uglova sa zajedničkim temenom. Ukoliko uglovi nemaju istoteme, važi:

Definicija 3.3.8. Dva orijentisana ugla ab i cd neke ravni sa različitim

temenima O i S nazivaju se istosmernim , u oznaci ab ⇒ cd, ako postoje orijentisani opruženi uglovi 3 pq i rs sa temenima O i S , respektivno,tako da za poluprave p, q,r, s važi

p ⇒ r ∧ q ⇒ s,

3Ugao je opružen ako mu kraci leže na jednoj istoj pravoj.


33/107

29

dok sami uglovi zadovoljavaju sledéce uslove

ab ⇒ pq ⊂⊃ rs ⇒ cd.

Napomena 3.3.1. Ovde se relacija ⇒ kod uglova posmatra u smislu prethodne definicije 3.3.7 (slika 3.9).

Slika 3.9.

Analogno odgovarajućem tvrd̄enju o istomernosti polupravih, pokazujese

Teorema 3.3.5. Relacija istosmernosti uglova je relacija ekvivalencije.

Jedna od posledica relacije istosmernosti uglova i prethodnog tvrd̄enja

jeste mogućnost razlaganja svih uglova jedne ravni na klase istosmernihuglova.

Teorema 3.3.6. Skup svih orijentisanih uglova K neke ravni π može se razložiti na dva podskupa K1 i K2 koji imaju sledeće osobine:

(i) K1, K2 ̸= ∅;

(ii) K1 ∩ K2 = ∅;

(iii) (∀ ab, cd ∈ Ki, i = 1, 2) ab ⇒ cd;

(iv) (∀ ab ∈ K1)(∀ cd ∈ K2) ab cd.

Dokaz. Analogno kao u dokazu teoreme 3.1.6.

Svaki od dva podskupa K1 i K2 iz prethodne teoreme naziva se smer iliorijentacija u posmatranoj ravni π. Orijentacije K1 i K2 zovemo suprotnim med̄usobom , a ravan π u kojoj je izabrana jedna od orijentacija, orijenti-sanom ravni .


34/107

30

Naglasimo, na kraju, da u tzv. apsolutnoj geometriji (geometriji bez

aksiome paralelnosti), pojam orijentacije nije transmisibilan . To znači damožemo govoriti samo o orijentaciji jedne iste ravni, jer pojam orijentacijeuglova u različitim ravnima ne može biti definisan. Tek nakon uvod̄enjapojma paralelnosti možemo definisati orijentaciju na tzv. klasama paralelnihpravih i ravni.

3.4 Konveksni skupovi u ravni

Na kraju ovog poglavlja, definisaćemo još jednu zanimljivu klasu ge-ometrijskih likova.

Definicija 3.4.1. Skup K ⊆ S je konveksan ako za svake dve njegove tačke A, B ∈ K važi (AB) ⊆ K.

Dakle, skup K je konveksan ako za bilo koje svoje dve tačke sadrži injima odred̄enu duž, tj. sve tačke koje se nalaze izmed̄u njih. Na slici 3.10prikazani su neki primeri konveksnih skupova. Poslednji skup prikazan naistoj slici nije konveksan, jer postoje tačke toga skupa izmed̄u kojih se nalazetačke koje mu ne pripadaju.

Slika 3.10.

Na osnovu prethodne definicije, lako se pokazuju sledeća tvrd̄enja, kojima ukazujemo na neke tipične klase konveksnih geometrijskih figura uravni.

Teorema 3.4.1. Prava i ravan jesu konveksni skupovi tačaka.

Dokaz. Za proizvoljnu pravu p i dve razne, proizvoljne tačke A, B ∈ p, naosnovu definicije duži sledi da je (AB) ⊂ p. Slično, ako je π proizvoljnaravan prostora S i A, B ∈ π, onda prema aksiomi I 7 važi p(A, B) ⊂ π.Samim tim i duž (AB) pripada ravni π .


35/107

31

Teorema 3.4.2. Poluprava i poluravan jesu konveksni skupovi tačaka.

Dokaz. Neka su A, B proizvoljne tačke neke poluprave Op. Tada, podefiniciji poluprave i relacije . . O, važi A, B . . O, odnosno tačno jedna odrelacija B (O,A,B) ili B (O , B , A). Pretpostavimo, recimo, da je tačna prvarelacija i uočimo proizvoljnu tačku X ∈ (AB). Tada je, dakle, B (O,A,B) iB (A,X,B), pa na osnovu zadatka 2.13 sledi da je B (O,A,X ) i B (O,X ,B).Odavde je, jasno, A, X . . O i B, X . . O, odnosno važi X ∈ Op.

Slično se pokazuje i drugi deo tvrd̄enja. Neka su A, B proizvoljne tačkeneke poluravni π sa graničnom pravom p. Tada, po definiciji poluravni irelacije . . p, vǎzi (AB) ∩ p = ∅. No, onda je za proizvoljnu tačku X ∈ (AB)ispunjen uslov (AX ) ∩ p = ∅, odnosno X ∈ π.

Sa geometrijskim figurama, kao i sa skupovima uopšte, mogu se izvoditioperacije razlike, unije i preseka. Kada je reč o konveksnim skupovima,pokazuje se da važi sledeća osobina konveksnih skupova.

Teorema 3.4.3. Presek dva konveksna skupa jeste konveksan skup4.

Dokaz. Neka su K i K ′ konveksni skupovi i A, B ∈ K ∩ K ′ ma koje dverazne tačke. Duž AB pripada skupu K , jer je A, B ∈ K , a iz istog razlogapripada i skupu K ′. Dakle, duž AB pripada skupu K ∩K ′, pa je skup K ∩K ′

zaista konveksan skup.

Dokaz prethodne teoreme se

na isti način može proširiti ina više od dva skupa. (Nekato čitalac uradi za vežbu.) Naslici 3.11 prikazan je presektri konveksna skupa. TačkeA i B pripadaju svakomod navedenih skupova, pa isvaka med̄utačka tačaka Ai B takod̄e pripada datimskupovima.

Slika 3.11.

4S tim u vezi, vǎzno je napomenuti sledéce: Da bi teorema o preseku konveksnihskupova imala smisla i onda kada je presek jednočlan ili čak prazan skup, dogovorno sesvaki skup o d jedne tačke, kao i prazan skup smatraju konveksnim skupovima.


36/107

32

3.5 Zadaci za vežbu

Zadatak 3.1. Ako tačke A, B pripadaju otvoreno j duži (CD), onda tačkeC, D ne pripadaju duži (AB). Dokazati.

Zadatak 3.2. Ako su O,A, B,C tačke takve da je A, B ÷ O i A, C ÷ O,onda su to tačke jedne iste prave i važi B , C . . O. Dokazati.

Zadatak 3.3. Ako su O,A,B, C, D tačke takve da je A, B ÷ O, B, C ÷ O iC, D ÷ O, onda su to tačke jedne iste prave i važi A, D ÷ O. Dokazati.

Zadatak 3.4. Ako su A i B dve tačke neke prave p, dokazati da ove

dve tačke zajedno sa duži AB i dvema polupravama iste prave, jednomsa početkom u A koja ne sadrži tačku B , drugom sa početkom u B koja nesadřzi tǎcku A, predstavljaju ceo skup tačaka prave p.

Zadatak 3.5. Ako je P unutrašnja tačka trougla ABC , dokazati da svakapoluprava sa početkom u tački P ima sa tim trouglom tačno jednu za-

jedničku tačku. Koliko najviše zajedničkih tačaka ima takva poluprava akone sadrži stranice ∆ABC , a P ne pripada njegovoj unutrašnjosti?

Zadatak 3.6. Ako su P i Q unutrašnje tačke stranica AB i AC trouglaABC , dokazati da se duži BQ i CP seku u nekoj tački S koja pripadaunutrašnjosti ∆ABC .

Zadatak 3.7. Ako su P,Q ,R unutrašnje tačke stranica BC , CA, ABtrougla ABC , dokazati da se duži AP i QR seku u nekoj tački S kojapripada unutrašnjosti ∆ABC .

Zadatak 3.8. Ako su A, B,C,D tačke takve da je A, B . . p, B, C ÷ p iC, D . . p, dokazati da tada važi A, C ÷ p i B , D ÷ p.

Zadatak 3.9. Dokazati da je svaka ugaona linija ravna geometrijska figura,tj. da postoji ravan koja je sadrži.

Zadatak 3.10. Neka je u istoj ravni data ugaona linija ∠ pq i prava a kojane sadrži niti jednu od polupravih date linije. Dokazati da prava a i ugaonalinija ∠ pq mogu imati najviše dve zajedničke tačke.

Zadatak 3.11. Koliko različitih uglova odred̄uju četiri razne prave ako sesvake dve seku i pritom:

(a) bilo koje tri nemaju zajedničku tačku;(b) tačno tri se seku u jedno j tački?


37/107

33

Zadatak 3.12. Dokazati da svaka trougaona površ jeste konveksan skup

tǎcaka.

Zadatak 3.13. Dokazati da je pOq konveksan akko se može prikazati kaopresek dveju poluravni.

Zadatak 3.14. Svaka tačka koja je sadržana u dva ugla jednog trougla,pripada i trećem uglu tog trougla. Dokazati.

Zadatak 3.15. Sve tačke koje pripadaju unutrašnjosti proizvoljnog ∆ABC ujedno pripadaju i svakom od njegovih uglova. Dokazati.

Zadatak 3.16. Dokazati da je četvorougaona površ konveksan skup tačaka

akko sadrži obe dijagonale tog četvorougla.Zadatak 3.17. Dokazati da se dijagonale AC i BD konveksnog ravnogčetvorougla ABCD seku u tački S koja pripada unutrašnjosti tog četvorougla.Iskazati zatim obratan stav i dokazati ga.

Zadatak 3.18. Dokazati da su tačke u kojima se seku dijagonale konvek-snog ravnog petougla temena konveksnog ravnog petougla koji je sadřzanu prvome. Iskazati analogno tvrd̄enje u slučaju proizvoljnog konveksnogn-tougla.


38/107

34


39/107

Glava 4

PODUDARNOST

4.1 Aksiome podudarnosti i njihove posledice

Relacija podudarnosti, kao što smo već istakli u uvodnom delu, pred-stavlja jednu od osnovnih relacija parova tačaka geometrijskog prostoraS . Ako je ured̄en par tačaka (A, B) podudaran sa parom tačaka (C, D),pisaćemo (A, B) ∼= (C, D). Pritom, ovu relaciju karakterišu sledeće aksiome:

Aksioma III 1: Za svake dve tačke A, B ∈ S važi (A, A) ∼= (B, B).

Aksioma III 2: Za svake dve tačke A, B ∈ S važi (A, B) ∼= (B, A).

Aksioma III 3: Ako su A, B,C,D ,E,F ∈ S takve da važi (A, B) ∼= (C, D)i (A, B) ∼= (E, F ), onda važi i (C, D) ∼= (E, F ).

Aksioma III 4: Ako su C i C ′ proizvoljne tačke duži (AB) i (A′B′), re-

spektivno, takve da je (A, C ) ∼= (A′, C ′) i (C, B) ∼= (C ′, B′), onda je i (A, B) ∼= (A′, B′).

Aksioma III 5: Ako su A, B ∈ S dve razne tačke i A′ krajnja tačka neke

poluprave p, onda postoji tačka B′ ∈ p takva da je (A, B) ∼= (A′, B′).

Aksioma III 6: Ako su A, B,C ∈ S proizvoljne nekolinearne tačke i A′, B′

tačke ruba neke poluravni π takve da je (A, B) ∼= (A′, B′), onda postoji tačno jedna tačka C ′ ∈ π za koju važi (A, C ) ∼= (A′, C ′) i (B, C ) ∼=(B′, C ′).

35


40/107

36

Aksioma III 7: Ako su A, B,C i A′, B′, C ′ dve trojke nekolinearnih tačaka

i D, D′ tačke polupravih BC i B′C ′, respektivno, takve da je (A, B) ∼=(A′, B′), (A, C ) ∼= (A′, C ′), (B, C ) ∼= (B′, C ′) i (B, D) ∼= (B′, D′),onda važi i (A, D) ∼= (A′, D′).

Navodimo sada neke od vǎznijih posledica aksioma podudarnosti.

Teorema 4.1.1. Relacija podudarnosti parova tačaka prostora S je relacija ekvivalencije.

Dokaz. Neka su A, B ∈ S proizvoljne tačke. Prema aksiomi III 2 imamoda je (B, A) ∼= (A, B) i (B, A) ∼= (A, B), pa na osnovu aksiome III 3 važi(A, B) ∼= (A, B). Dakle, relacija podudarnosti parova tačaka je refleksivna.

Uočimo sada dva para tačaka A, B i C, D prostora S , takve da je (A, B) ∼=(C, D). Na osnovu refleksivnosti je (A, B) ∼= (A, B), pa ponovnom pri-menom aksiome I II 3 dobijamo (C, D) ∼= (A, B). Ovim je pokazana simetri-čnost relacije podudarnosti parova tačaka.

Na kraju, pokazujemo tranzitivnost iste relacije. Zaista, neka su (A, B),(C, D) i (E, F ) tri para tačaka prostora S takve da važi (A, B) ∼= (C, D) i(C, D) ∼= (E, F ). Tada, na osnovu već pokazane simetričnosti ove relacijesledi (C, D) ∼= (A, B) i (C, D) ∼= (E, F ), pa prema aksiomi III 3 imamo da

je (A, B) ∼= (E, F ).

Teorema 4.1.2. Ako su A, B ∈ S dve razne tačke i A′ krajnja tačka neke poluprave p, onda postoji jedinstvena tačka B′ ∈ p takva da je (A, B) ∼=

(A′, B′).

Dokaz. Prema aksiomi III 5, na polupravoj p postoji tačka B′ takva da

je (A, B) ∼= (A′, B′), pa treba još dokazati da je ona jedinstvena. U tomcilju, pretpostavimo suprotno, da na istoj polupravoj osim tačke B ′ postojibar još jedna tačka B′′ takva da je (A, B) ∼= (A′, B′′). Ako obeležimo saC proizvoljnu tačku van prave AB (slika 4.1), onda prema aksiomi III 6u nekoj od poluravni čiji je rub prava A′B′ postoji tačka C ′ takva da je(A, C ) ∼= (A′, C ′) i (B, C ) ∼= (B′, C ′).

Slika 4.1.


41/107

37

Primenom aksiome III 7 nalazimo da je i (B, C ) ∼= (B′′, C ′). Med̄ utim,

tada su A, B,C tri nekolinearne tačke i A′, C ′ tačke ruba A′C ′ poluravni(A′C ′, B′) takve da je (A, C ) ∼= (A′, C ′), dok su B′ i B′′ tačke te iste polu-ravni takve da je

(A, B) ∼= (A′, B′) ∧ (B, C ) ∼= (B′, C ′),

a, s druge strane,

(A, B) ∼= (A′, B′′) ∧ (B, C ) ∼= (B′′, C ′).

Ovo je, naravno, u suprotnosti sa aksiomom I II 6, čime je tvrd̄enje pokazanou celini.

Na kraju ovog odeljka, navodimo bez dokaza vǎzno tvrd̄enje, poznatokao osnovna teorema o podudarnosti kolinearnih tačaka .

Teorema 4.1.3. Neka su p i p′ dve prave prostora S . Ako su A,B, C tri razne tačke prave p i A′, B′ dve tačke prave p′ takve da je (A, B) ∼= (A′, B′),tada u prostoru S postoji jedinstvena tačka C ′ takva da je (A, C ) ∼= (A′, C ′)i (B, C ) ∼= (B′, C ′). Pri tome, tačka C ′ pripada pravoj p′ i poretku tačaka A,B,C odgovara isti poredak odgovarajućih tačaka A′, B′, C ′, tj. važi

(i) B (A,B,C ) =⇒ B (A′, B′, C ′);

(ii) B (A,C,B) =⇒ B (A′, C ′, B′);

(iii) B (C,A,B) =⇒ B (C ′, A′, B′).

Napomena 4.1.1. Prethodna teorema nam omogućava definisanje relacijepodudarnosti za ma koji konačan niz tačaka. Naime, za neko k ∈ N rećićemo da su tačke A1, A2, . . . , Ak podudarne tačkama A

′1, A

′2, . . . , A

′k ako za

svako i, j = 1, 2, . . . , k važi (Ai, A j) ∼= (A′i, A

′ j). Tada pišemo

(A1, A2, . . . , Ak) ∼= (A′1, A

′2, . . . , A

′k).

4.2 Pojam izometrijskih transformacija

Aksiome podudarnosti omogućavaju nam da u geometrijskom prostoru S definišemo naročitu klasu preslikavanja (transformacija) tog prostora. Ovetransformacije, kao što ćemo videti kasnije, imaju veoma široku i raznovrsnuprimenu u izučavanju osobina različitih geometrijskih objekata.


42/107

38

Definicija 4.2.1. Bijektivno preslikavanje I : S → S naziva se izometri-

jska transformacija ili izometrija prostora S ako za svaki par tačaka X, Y ∈ S i njima odgovarajuće slike X ′ = I(X ), Y ′ = I(Y ) važi relacija

(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′).

Na slici 4.2 prikazali smo, pri oznakama iz prethodne definicije, tipičnukarakteristiku izometrijske transformacije I koja ”čuva” osobinu podudarno-

Slika 4.2.

nosti parova tačaka prostora S .Najjednostavniji primer takve tra-nsformacije jeste identičko preslika-vanje prostora S , koje svaku tačku

iz S prevodi u tu istu tačku. Kakoza svake dve tačke X, Y ∈ S važi(X, Y ) ∼= (X, Y ), to je jasno daidentičko preslikavanje zaista preds-

tavlja izometrijsku transformaciju datog prostora. Inače, ovo preslikavanjenazivamo koincidencijom i obeležavamo sa ξ . Pored toga, izometrijske tra-nsformacije prostora S imaju sledeća važnija svojstva:

Teorema 4.2.1. Kompozicija dveju izometrijskih transformacija prostra S je takod̄e izometrijska transformacija tog prostora.

Dokaz. Neka su I1, I2 : S → S dve proizvoljne izometrijske transformacije

prostora S . Označimo sa X, Y proizvoljne tačke tog prostora, sa X 1 = I1(X )i Y 1 = I1(Y ) tačke koje u izometriji I1 odgovaraju tačkama X i Y , a saX 2 = I2(X 1) i Y 2 = I2(Y 1) tačke koje u izometriji I2 odgovaraju tačkamaX 1 i Y 1. Tada u kompoziciji I2 ◦ I1 tǎckama X i Y odgovaraju redom tačkeX 2 i Y 2 (slika 4.3).Pritom, na osnovudefinicije izometrijskihtransformacija važi(X, Y ) ∼= (X 1, Y 1) i(X 1, Y 1) ∼= (X 2, Y 2),pa primenom ranije

pokazane osobine tra-Slika 4.3.

nzitivnosti relacije podudarnosti sledi da je (X, Y ) ∼= (X 2, Y 2). Dakle, kom-pozicija I2◦I1 zaista predstavlja izometrijsku transformaciju prostora S .

Teorema 4.2.2. Inverzna transformacija izometrijske transformacije pros-tora S predstavlja takod̄e izometrijsku transformaciju tog prostora.


43/107

39

Dokaz. Neka je I bilo koja izometrijska transformacija prostora S . Ako

su X i Y proizvoljne tačke tog prostora, a X ′ = I(X ) i Y ′ = I(Y ), biće(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′). Na osnovu osobine simetričnosti relacije podudarnostiparova tačaka tada važi i (X ′, Y ′) ∼= (X, Y ). Najzad, kako su tačke X i Y slike tačaka X ′ i Y ′ pri inverznom preslikavanju I−1, to je ovo preslikavanjetakod̄e izometrijska transformacija.

Na osnovu prethodno pokazanih rezultata zaključujemo da važi sledećačinjenica:

Posledica 4.2.1. Skup svih izometrijskih transformacija prostora S pred-stavlja (nekomutativnu ) grupu.

Grupu svih izometrijskih transformacija prostora S obeležavamo sa G(I).Dalje, dajemo još neke opšte karakterizacije izometrijskih transformacijatačaka na pravoj, u ravni, odnosno celokupnom prostoru S .

Teorema 4.2.3. Neka su A, B dve razne tačke neke prave p i A′, B′ tačke iste prave takve da je (A, B) ∼= (A′, B′). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : p → p takva da je

I(A) = A′ i I(B) = B ′.

Dokaz. S obzirom da je A ̸= B i (A, B) ∼= (A′, B′), biće A′̸= B′. Porednavedenih tačaka uočimo na pravoj p dve proizvoljne tačke X i Y . Premaosnovnoj teoremi o podudarnosti kolinearnih tačaka postoje jedinstveno

odred̄ene tačke X ′, Y ′ ∈ p takve da je

(A,X,B) ∼= (A′, X ′, B′) ∧ (A,Y,B) ∼= (A′, Y ′, B′).

Tada, dakle, vǎzi relacija (A,X ,Y,B) ∼= (A′, X ′, Y ′, B′), pa mora biti i(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′). Stoga, ako preslikavanje I : p → p definišemo saI(X ) = X ′, odnosno I(Y ) = Y ′, jasno je da je reč o izometrijskoj transfor-maciji prave p.

Posledica 4.2.2. Svaka izometrijska transformacija prave p koja ima bar dve razne invarijantne (nepokretne ) tačke jeste koincidencija na pravoj p.

Na kraju, navodimo bez dokaza odgovarajuća tvrd̄enja koja se odnose

na karakterizaciju izometrija u ravni, odnosno unutar prostora S .Teorema 4.2.4. Neka su A, B,C ma koje tri nekolinearne tačke ravni πi A′, B′, C ′ tačke te iste ravni takve da je (A,B,C ) ∼= (A′, B′, C ′). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : π → π takva da je

I(A) = A′, I(B) = B ′, I(C ) = C ′.


44/107

40

Posledica 4.2.3. Svaka izometrijska transformacija ravni π koja ima bar

tri nekolinearne invarijantne tačke jeste koincidencija u toj ravni.

Teorema 4.2.5. Neka su A, B,C,D ma koje četiri nekomplanarne tačke prostora S i A′, B′, C ′, D′ tačke tog istog prostora takve da je (A,B,C,D) ∼=(A′, B′, C ′, D′). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : S →S takva da je

I(A) = A′, I(B) = B ′, I(C ) = C ′, I(D) = D′.

Posledica 4.2.4. Svaka izometrijska transformacija I : S → S koja pose-duje najmanje četiri nekomplanarne invarijantne tačke jeste koincidencija.

4.3 Relacija podudarnosti geometrijskih figura

U prethodnim razmatranjima podudarnost smo posmatrali kao relacijudefinisanu nad parovima tačaka, odnosno, u opštijem slučaju, nad konačnimskupovima tačaka geometrijskog prostora S . Sada, koristeći izometrijsketransformacije možemo opisati relaciju podudarnosti ma kojih figura u tomprostoru.

Definicija 4.3.1. Neka su Φ, Φ′ ⊂ S proizvoljne geometrijske figure. Kaza-ćemo da je figura Φ podudarna sa figurom Φ′, u oznaci Φ ∼= Φ′, ako postoji izometrijska transformacija I : S → S takva da je I(Φ) = Φ′.

Na osnovu prethodne definicije mogu se pokazati sledeća važnija svojstvarelacije podudarnosti.

Teorema 4.3.1. Relacija podudarnosti geometrijskih figura u prostoru S je relacija ekvivalencije.

Dokaz. Slično kao i ranije, za datu relaciju pokazujemo osobine relacijeekvivalencije:

(i) Refleksivnost: Geometrijska figura Φ ⊂ S podudarna je sama sebi, jervaži ξ (Φ) = Φ, gde je ξ koincidencija prostora S .

(ii) Simetričnost: Ako su Φ, Φ′ ⊂ S geometrijske figure za koje je Φ ∼= Φ′,onda po definiciji postoji izometrija I takva da je I(Φ) = Φ′. Premateoremi 4.2.2, inverzna transformacija I−1 je takod̄e izometrija, pričemu očito važi I−1(Φ′) = Φ, odnosno Φ′ ∼= Φ.


45/107

41

(iii) Tranzitivnost: Neka su Φ, Φ′, Φ′′ proizvoljne figure prostora S takve

da je Φ ∼= Φ′ i Φ′ ∼= Φ′′. Označimo sa I1, I2 izometrije datog prostoraza koje važi I1(Φ) = Φ

′ i I2(Φ′) = Φ′′. Kako je, prema teoremi 4.2.1,

kompozicija I2 ◦ I1 takod̄e izometrija, a pritom je očito (I2 ◦ I1)(Φ) =Φ′′, to je Φ ∼= Φ′′.

Na osnovu pokazane teoreme jasno je da unutar geometrijskog prostoraS možemo posmatrati klase podudarnih geometrijskih figura . Direktnom pri-menom aksioma podudarnosti i teorema 4.2.3 i 4.2.4 iz prethodnog dela lako

je pokazati da su med̄usobno podudarne svake dve prave, poluprave, ravni ipoluravni (proverite, za vežbu). Ipak, podudarnost složenijih geometrijskihfigura posebno se ispituje.

4.4 Podudarnost geometrijskih figura u ravni

U daljem izlaganju dajemo osnovne činjenice koje se odnose na podu-darnost ravnih geometrijskih figura. Najpre opisujemo neke od osobina po-dudarnih duži i uglova, kao i načine njihovog upored̄ivanja. Zatim ćemoizvršiti klasifikaciju uglova, pri čemu posebno proučavamo prave uglove injihovu ulogu u zasnivanju relacije normalnosti dveju pravih u ravni. Na

kraju, formulǐsemo dobro poznate stavove o podudarnosti trouglova i nekeod njihovih važnijih primena.

4.4.1 Podudarnost duži

Intuitivno, podudarnost duži, kao i ostalih geometrijskih ob jekata, vezu- jemo za pojam ”kretanja” koje jednu od njih ”vodi” ka drugoj. Ipak, udetaljnijem istraživanju relacije podudarnosti duži moramo najpre pokazatisledeću činjenicu.

Teorema 4.4.1. Pri svakoj izometrijskoj transformaciji I : S → S dǔz se preslikava u njoj podudarnu duž.

Dokaz. Neka je AB prizvoljna duž za koju je I(A) = A′ i I(B) = B′.Označimo dalje sa X ∈ AB proizvoljnu tačku, a sa X ′ sliku tačke X priizometriji I. Kako je tada (A,X,B) ∼= (A′, X ′, B′), to iz relacije B (A,X,B)primenom osnovne teoreme o podudarnosti 4.1.3 sledi da je B (A′, X ′, B′).


46/107

42

Dakle, važi X ′ ∈ A′B′, pa smo pokazali da je I(AB) ⊆ A′B′. Sada, na sličan

način, koristeći inverznu transformaciju I−1 pokazuje se obratna relacija, asamim tim i jednakost skupova tačaka I(AB) i A′B′.

Koristeći relaciju podudarnosti duži dolazimo do novih pojmova i os-obina duži kao geometrijskih objekata.

Definicija 4.4.1. Tačka O ∈ AB je središte duži AB ako je AO ∼= OB .

Teorema 4.4.2. Svaka duž ima tačno jedno središte.

Dokaz. Neka je AB proizvoljna duž, C tačka izvan prave AB i π ravanodred̄ena nekolinearnim tačkama A, B,C . Kako je (A, B) ∼= (B, A), premaaksiomi I II 6 u ravni π, sa one strane prave AB sa koje nije tačka C , postoji

jedinstvena tačka D takva da je (A, C ) ∼= (B, D) i (B, C ) ∼= (A, D) (slika4.4). Tada, primenom teoreme 4.2.4 zaključujemo da postoji jedinstvenaizometrijska transformacija I ravni π koja tačke A, B,C respektivno presli-

Slika 4.4.

kava u tačke B,A,D. U tojtransformaciji, očito, pravamaAB i CD odgovaraju iste teprave, pa njihova presečna tačka,označimo je sa O, mora biti in-varijantna. Pritom, iz relacijaI(O) = O, I(A) = B , I(B) = Asledi (O, A) ∼= (O, B). Pritom

mora biti B (A,O,B), jer bi usuprotnom tačka O bila početakpoluprave kojoj pripadaju obetačke A i B. Prema teoremi 4.1.2

odatle sledi da je A = B , što je, očito, nemoguće. Dakle, važi O ∈ AB , tj.tačka O jeste sredǐste duži AB .

Dokažimo još da je sredǐste O jedinstveno odred̄eno. Zaista, ukoliko bipostojala još neka tačka O′ ∈ AB za koju je (O′, A) ∼= (O′B), onda bi uizometriji I, koju smo ranije definisali, postojale dve invarijantne tačke O iO′. Prema posledici teoreme 4.2.3 ta izometrija mora biti koincidencija, tj.svaka tačka prave AB bi bila invarijantna. Ovo je, očito, nemoguće jer tački

A odgovara tačka B , pri čemu je A ̸= B.

Na kraju, koristeći relaciju podudarnosti duži opisaćemo postupak nji-hovog upored̄ivanja.

Definicija 4.4.2. Za dǔz AB kažemo da je manja od dǔzi C D ako postoji tačka E ∈ C D takva da je AE ∼= C E . Tada simbolički pišemo AB < CD.


47/107

43

Pokazuje se da relacija “


48/107

44

krakovima Op i Oq datog ugla, respektivno. U izometrijskoj transforma-

ciji I nekolinearnim tačkama O,A, B odgovaraju takod̄e nekolinearne tačkeO′, A′, B′, polupravama Op, Oq poluprave O′ p′, O′q ′, a ugaonoj liniji AOBugaona linija A′O′B′ (slika 4.6). Najzad, ako poluravni (OA,B), (OB,A) i(O′A′, B′), (O′B′, A′) obeležimo respektivno sa α, β i α′, β ′, bíce I(α) = α′

i I(β ) = β ′. Pritom je pOq = α ∩ β i p′O′q ′ = α′ ∩ β ′, pa konačnodobijamo I( pOq ) = I(α ∩ β ) = I(α) ∩ I(β ) = α′ ∩ β ′ = p′O′q ′.

Slika 4.6.

Teorema 4.4.4 (Osnovna teorema o podudarnosti uglova). Dva ugla pOq i p′O′q ′ su podudarna akko na kracima Op, Oq i O ′ p′, O′q ′ tih uglova postoje respektivno tačke P, Q i P ′, Q′ takve da je

(O,P,Q) ∼= (O′, P ′, Q′). (4.1)

Dokaz. Ako su pOq i p′O′q ′ opruženi uglovi, tvrd̄enje teoreme je očigle-dno. Pretpostavimo stoga da ova dva ugla nisu opružena, štaviše, dovoljno

je kao i ranije posmatrati slučaj konveksnih uglova pOq i p′O′q ′.(=⇒:) Neka su pOq i p′O′q ′ konveksni podudarni uglovi. Tada, po

definiciji podudarnosti, postoji izometrijska transformacija I : S → S takvada je I( pOq ) = p′O′q ′. Ako su P ∈ Op i Q ∈ Oq proizvoljne tačkekrakova ugla pOq , a P ′ = I(P ), Q′ = I(Q) slike datih tačaka pri izometrijiI, onda je, očito, P ′ ∈ O′ p′ i Q′ ∈ O′q ′. Najzad, kako je O′ = I(O), to jeOP ∼= O′P ′, OQ ∼= O′Q′ i P Q ∼= P ′Q′, tj. važi relacija (4.1).

(⇐=:) Neka su P ∈ Op,Q ∈ Oq i P ′ ∈ O′ p′, Q′ ∈ O′q ′ tačke odgo-varajućih krakova uglova pOq i p′O′q ′ za koje važi relaci

Documents

Geometrija 1