GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PRESEKA POPREČNOG … · om1 v1 v2 v3 ime i prezime: index br: 1 6.10.2015. 13.10.2015. 20.10.2015. 7. geometrijske karakteristike popreČnog preseka

OM1 V1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 1 6.10.2015. 13.10.2015. 20.10.2015.

7. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESEKA GREDE

STATIČKI MOMENTI

(7.1) ∫∫ ⋅=⋅=A

zA

y dAySdAzS 1111

KOORDINATE TEŽIŠTA PRESEKA T

AS

zcA

Syb y

Tz

T1

11

1 ==== (7.4)

TEŽIŠTE ČETVRTINE KRUGA PRESEK SASTAVLJEN IZ VIŠE DELOVA

πRzy TT 3

411 ==

(7.5)

A

zAzAzAzAzA

AS

Az

A

yAyAyAyAyA

AS

Ay

AAAAAA

TTTT

i

iTiyT

TTTT

i

iTizT

ii

414

313

212

111

111

414

313

212

111

111

4321

11

11

−++=

MOMENTI INERCIJE POPREČNOG PRESEKA GREDE

∫∫ ==A

zA

y dAyIdAzI 211

211 (7.6) AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

∫=A

zy dAzyI 1111 (7.7) CENTRIFUGALNI ILI DEVIJATORSKI MOMENT INERCIJE

∫=A

O dArI 211 (7.8) POLARNI MOMENT INERCIJE

PROMENA MOMENATA INERCIJE PRI TRANSLACIJI KOORDINATNOG SISTEMA (STEINER-OVA TEOREMA)

(7.13) AcII yy2

1+=

AbII yz2

1 += (7.14)

bcAII yzzy +=11

=⋅=

−++==⋅=

−++==

∑

∑

∑


SOPSTVENI MOMENTI INERCIJE

3

121 bhI y =

hbI z3

121

=

0=yzI

3

361 bhI y =

hbI z3

361

=

22

721 hbI yz −=

0

41 4

=

==

yz

zy

I

RII π

( )

0

234

81

81

224

41

=

−=

==

yz

y

yz

I

R)R(RI

RII

ππ

π

π

.

42

24

4

42

24

01647041

054880

05488043

4161

R,R)R(RI

R,II

R,R)R(RI

yz

y

−=−=

==

=−=

π

ππ

π

438yz π


0

41 4

241

=

−==

yz

zy

I

)RR(II π

0

30

=

≈=

yz

zy

I

tRII π

PROMENA MOMENATA INERCIJE PRI ROTACIJI KOORDINATNOG SISTEMA

(7.17)

(7.19) (7.15)

GLAVNE OSE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE (7.24)

zy

yz

III

tg−

−=2

2α (7.22)

AI

iAI

i 22

11 == (7.27) GLAVNI POLUPREČNICI INERCIJE

ϕϕ

ϕϕ

sinycoszz −=′

′

IcossinIsinIcosII

yzzyzy

yzzyy

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

22

22

22 2

−+−=

−+=

′′

′

′

cosysinzy +=

cossincosIsinII yzzyz ϕϕϕϕ 2++=

)sin(cosIcossin)II(I

ϕϕ

ϕϕ 22 sinIcosIIII

I zyzy +−

−+

=

ϕϕ

222

22

2222

cosIsinII

I

sinIcosIIII

I

yzzy

zy

yzz

yzzyzy

y

+−

=

−−

++

=

′′

′

′

022

22

12

222

221

=

+−

−+

==

+−

++

==

I

I)II

(II

II

I)II

(II

II

yzzyzy

min

yzzyzy

max


atg =12α

++

=12αtg −+

=12αtg −−

=12αtg +−

=12αtg

I kvadrant II kvadrant III kvadrant IV kvadrant

aarctg21

1 =α ( )aarctg−= 18021

1α ( )aarctg+= 18021

1α ( )aarctg−= 36021

1α


GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PRESEKA POPREČNOG PRESEKA GREDE

PRIMERI PRIMER 1. Za presek prikazan na skici odrediti veličine i pravce glavnih centralnih momenata inercije i nacrtati elipsu inercije.

Presek ima osu simetrije ( z1 ) : - na osi simetrije leži težište - osa simetrije je ujedno i jedna od glavnih osa y1 z1 y z T1 ( 0 ; ) T2

1 m 120200600 ...A =⋅= 1 ( 0 ; )

T2 ( 0 ; ) T22 m 080100800 ...A =⋅= 2 ( 0 ; )

_______________________________ 2

21 m 200 .AAA =+=

=⋅+⋅

=A

zAzAz TT

T212111

1 m 200.=

TTiTi zzz 11 −= ______________________________________

=+= 21yyy III 4m 016670.=

________________________________________________________________

=+= 21zzz III 4m 003670.=

_________________________________________________________________

41 m 016670.II y ==

42 m 003670.II z ==

===AIii y

11 m 2890.=

______________________

===AI

ii z2

2 m 1350.=


______________________ Moment inercije I1 se može sračunati i na sledeći način

AcIIAcII nnny ⋅−+=⋅−= 2212 m 100.c −=

( ) 4233 m 01667020010080010031200600

31 .......I y =⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅⋅=

PRIMER 2. Za presek prikazan na skici odrediti veličine i pravce glavnih centralnih momenata inercije i nacrtati elipsu inercije.

Presek je centralno simetričan : - težište se poklapa sa centrom simetrije

21 cm 482107 ...A =⋅= T1 ( ; )

22 cm 482107 ...A =⋅= T2 ( ; )

23 cm 01401014 ...A =⋅= T3 ( ; )

____________________ 2

321 cm 830 .AAAA =++=

=−= IIay

Iayy III ( ) 433 cm 819186110701408

121 ..... =⋅−⋅⋅=

_______________________________________

=+= IIbz

Ibzz III ( ) 433 cm 56338018121521

121 .... =⋅+⋅⋅=

________________________________________

=+⋅=++= 31321 2 yzyzyzyzyzyz IIIIII 4cm 08430.−=


_________________________________

=+−

±+

= 2221 22 yz

zyzy, I)

II(

III

=21,I 7951868628 .. ±= ______________________________________________________________

41 cm 471147.I = 4

2 cm 89109.I =

zy

yz

III

tg−

−=2

2 1α

> ili <

−=12 αtg 48241.= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 0

cossin 2 1 ∈⇒ α kvadrantu

____________________________

°=⋅= 28.001.4824 21

1 arctgα

==AI

i 11 cm .106=

_____________________

==AIi 2

2 cm .891=

_____________________


PRIMER 3. Za dati presek, odrediti glavne centralne momente inercije, pravce glavnih centralnih osa, nacrtati Mohr-ov krug inercije i elipsu inercije.

=⋅R4 552.π3

= cm

bi ci y0Ti z0Ti yTi zTi

_________

T1 ( ; ) 26012=

⋅1

10= cm

2A T1 ( ; )

T2 ( ; ) 22

1 cm T 55562

6 .A =⋅

=π

__________________________________

1 AAAA =−+=

2 ( ; )

T3 ( ; ) T22 cm 1234 =⋅=A 3 ( ; )

5504. 00 TTiTi yyy −= 0TiTi zz = 0Tz− 2321 cm

=−+

== ∑ AyAyAy1 A

yAA

TTT

iTiiT

31321211100 = 9.7 cm

y

________________________________________

=−+

== ∑ AzAzAzAz TT 2121111

=5.37 cmAz

AT

iTiiT

31300

___________________ ______________ _ ______ ( )=⋅+= ∑

iiiyy

i AcII 2

= + + + - [ ]=935.27 cm4

____________________________________________________________________________ ______

( )=⋅+= ∑ iiizz AbII 2

i

( ) +⋅−+⋅⋅= 136

600331201 23 . ( ) 0814351271341215556852 232 .... =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−+⋅⋅−⋅+ cm4

______________________

( )=⋅⋅+= ∑ iiiiyzyz AcbII

i

= + + + - [ 4

___________________________________________________________________________________________________ ]= 471.65 cm

_


76533171185654712

081435279352

0814352793522

22

2221 .......I)

II(

III yz

zyzy, ±=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=+−

±+

=

cm4

cm4 9417181 .I = 054551049417181

1 ...

AI

i === cm

cm4 406512 .I = 52

5510446512

2 ...

AIi === cm

> ili <

=−

−=zy

yz ⎛ sinII

Itg

22 1α = 1.887 0

0cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝

2 1 ∈⇒ α kvadrantu

___________________

( ) °=+= 04121086218021 .. =1α

__________________________

lipsa i osa 2 "prate presek" ) Mohrov krug

____________________________

(e


PRIMER 4. Za dati presek, odrediti glavne centralne momente inercije, pravce glavnih centralnih osa i elipsu inercije. (presek sastavljen od valjanih profila čije su geometrijske karakteristike date u tablicama)

Iz tablica: za L 200.100.18 : Iy , Iz , Iξ , Iη , A , ey , ez Iξ , Iη - u tablicama su glavni momenti inercije

ηξ IIIII zyyz ⋅−⋅= znak centrifugalnog momenta se posebno određuje prema položaju krajeva ugaonika (kao kod pravouglog trougla)

profil ey [cm] ez [cm] A [cm2] Iy [cm4] Iz [cm4] Iyz [cm4] L 200.100.18 7.29 2.34 51.0 347 2060 -429

U 320 2.60 - 75.8 10870 597 - y1 z1 η ζ T1 ( 7.29 ; 2.34 ) T2

1 cm 51=A 1 ( 5.91 ; -8.17 ) T2 ( -2.60 ; 16.0 ) T2

2 cm 875.A = 2 ( -3.98 ; 5.49 ) ____________________

221 cm 8126875051 ...AAA =+=+=

( ) 381

81266028752970512211 .

.....

AyAyAy TT

T =−⋅+⋅

=+

= cm

51108126

0168753420512211 ..

....A

zAzAz TTT =

⋅+⋅=

+= cm

( ) 1690687549510870051178347 22 =⋅++⋅−+= ....Iη cm4

( ) 56398759835970519152060 22 =⋅−++⋅+= ....Iζ cm4

( ) ( ) 45488754959830051178915429 −=⋅⋅−++⋅−⋅+−= ......Iηζ cm4

( ) 72401127345482

5639169062

563916906 22

21 ±=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=,I


185131 =I cm4 0812

812618513

1 ..

i == cm

40332 =I cm4 645

81264033

2 ..

i == cm

( )80730

563916906454822 1 .tg =−

−⋅−=α 02

021

1>>

αα

cossin

kvI 2 1∈α

°== 46198073021

1 ..arctgα


PRIMER 5. Za date preseke, odrediti glavne centralnie momente inercije, pravce glavnih centralnih osa, vrednosti poluprečnika elipse inercije i skicirati elipse inercije. a)

b)

c)

d)

Documents

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PRESEKA POPREČNOG … · om1 v1 v2 v3 ime i prezime: index br: 1 6.10.2015. 13.10.2015. 20.10.2015. 7. geometrijske karakteristike popreČnog preseka