Embed Size (px)
Citation preview
Geometrines diferencialiniu lygciu teorijos savokos3 paskaita
Olga Štikoniene
Diferencialiniu lygciu ir skaiciavimo matematikos katedra, MIF VU
2015-09-24
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 1 / 48
Turinys
1 Ivadas i kokybine paprastuju DL teorijaKrypciu laukai
Diferencialines lygties krypciu laukas
2 Vektoriniai ir krypciu laukaiFazine erdve
Fazinis portretasVektoriniai laukai
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 2 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
Diferencialines lygties sprendiniai
Tegul f yra tolydi funkcija, aprežta srityje D ⊂ R2 (f ∈ C(D)).Nagrinekime 1 eiles DL
x = f (t, x(t)), (t, x) ∈ D.
Funkcija ϕ : I → R, yra DL sprendinys intervale, jei
ϕ ∈ C1(I);Taškas (t, ϕ(t)) ∈ D, ∀t ∈ I;ϕ(t) ≡ f (t, ϕ(t)).
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 3 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
Pavyzdžiai
Sprendinio egzistavimas apibrežiamas funkcijos f savybemis:DL, sritis D, sprendinys ϕ(x), apibr. sritis. I
1
Introduction
In this chapter we illustrate the qualitative approach to differential equationsand introduce some key ideas such as phase portraits and qualitativeequivalence.
1.1 PRELIMINARY IDEAS
1.1.1 Existence and uniqueness
Definition 1.1.1Let X (t, x) be a real-valued function of the real variables t and x, with domainD S; 1R2• A function x(t), with t in some open interval Is; IR, which satisfies
dxx(t) = dt = X(t,x(t)) (1.1)
is said to be a solution of the differential equation (1.1).A necessary condition for x(t) to be a solution is that (t, x (t))eD for each
tel; so that D limits the domain and range of x(t). If x(t), with domain I, isa solution to (1.1) then so is its restriction to any interval J c I. To preventany confusion, we will always take I to be the largest interval for which x(t)satisfies (1.1). Solutions with this property are called maximal solutions. Thus,unless otherwise stated, we will use the word 'solution' to mean 'maximalsolution'. Consider the following examples of (1.1) and their solutions; we give
x = X(t,x), D, x(t), I
in each case (C and C' are real numbers):
1. x= x - t,2. x= x 2
,
1+ t + Cel, IR;(C-t)-l, (-oo,C)0, IR(C'-t)-t, (C',oo);
(- 00,C)
[C,oo)IR',
2 Introduction
3. x= -x/t, {(t,x)lt,eO},
4. x = 2x1/2, {(t, x)lx ~ OJ,
CIt, (- 00,0)C'It, (0, (0);
{O,(t - C)2,0,
5. x = 2xt, 1R2, Ce,2, IR;
6. x= -x/tanh t, {(t,x)lt,eO}, Clsinht, (-00,0)C'/sinh t, (0, (0).
The existence of solutions is determined by the properties of X. Thefollowing proposition is stated without proof (Petrovski, 1966).
Proposition 1.1.1If X is continuous in an open domain, D's;;; D, then given any pair (to, xo)eD',there exists a solution x(t), tel, of x = X(t, x) such that toeI and x(to)= Xo'
For example, consider
x=2IxI I/2, (1.2)
where D = 1R2. Any pair (to, xo) with Xo ~°is given by (to, x(to)) whe:n x(t) is
the solution
() {O, te( - 00, C) (1.3)x t = (t-Cf, te[C,oo)
and C = to - ,Jxo. A solution can similarly be found for pairs (to,xo) whenxo<O.
Observe that Proposition 1.1.1 does not exclude the possibility thatx(to)= Xo for more than one solution x(t). For example, for (1.2) iJllfinitelymany solutions x(t) satisfy x(to)= 0; namely every solution of the form (1.3)for which C > to and solution x(t) == 0.
The following proposition gives a sufficient condition for each pair in D'to occur in one and only one solution of (1.1).
Proposition 1.1.2If X and oX/ox are continuous in an open domain D's;;; D, then given any(to, xo)eD' there exists a unique solution x(t) ofx = X(t, x) such that x(to) = Xo·
Notice that, while X = 21xl 1/2 is continuous on D( = 1R2), oX/ox( =: Ixl- 1/2
for x>°and -lxl- 1/2 for x < 0) is continuous only on D' = {(t,x)lx ,e OJ;it is undefined for x = 0. We have already observed that the pair (to, 0), toelRoccurs in infinitely many solutions of x= 21x1 1/2
•
On the other hand, X(t,x) =x - t and oX/ox =1are continuous throughoutthe domain D = 1R2. Any (to, xo) occurs in one and only one solution ofx= x - t; namely
when C = (xo - to - l)e- lo•
x(t) = 1 + t + Ce' (1.4)
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 4 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
1 teorema (Egzistavimas). Jei funkcija f ∈ C(D), tai ∀(t0, x0) ∈ D ∃ tokslygties x = f (t, x) sprendinys x(t) t ∈ I, kad t0 ∈ I ir x(t0) = x0.
Pavyzdys. x = 2|x| 12 , D = R2.
x0 ≥ 0∀(t0, x0) galima užrašyti kaip (t0, x(t0)), cia x(t) yra sprendinys:
x(t) ={
0, t ∈ (−∞,C);(t − C)2, t ∈ (C,+∞).
(∗∗) C = t0 −√
x0.
Analogiškai galima rasti sprendini, einanti per taška (t0, x0), kaix0 ≤ 0
x(t) ={−(t − C)2, t ∈ (−∞,C);0, t ∈ (C,+∞).
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 5 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
> > > >
tK4 K2 0 2 4
x t
K6
K4
K2
2
4
6
DL x = 2|x| 12 , D = R2. sprendinio grafikas.Pastaba. 1 teorema neeliuminuoja atveji, kai x(t0) = x0 daugiau, neivienam sprendiniui x(t).Pvz., pradine salyga x(t0) = 0 tenkina be galo daug sprendiniu:
bet koks sprendinys (**) su C > t0;x(t) ≡ 0.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 6 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
2 teorema (Vienatis). Jei funkcija f ∈ C(D) ir ∂f∂x ∈ C(D), tai ∀ duotam
taške (t0, x0) ∈ D ∃ ir vienintelis toks lygties x = f (t, x) sprendinys x(t),kad x(t0) = x0.
Pavyzdžiai.1 f (t, x) = 2|x| 12 ∈ C(D), D = R2, bet
∂f∂x
=
{|x|− 1
2 , x > 0;−|x|− 1
2 , x < 0∂f∂x∈ C(D′), D′ = {(t, x)|x 6= 0}.
t.y. per taška (t0, 0), t0 ∈ R eina be galo daug sprendiniu.2 f (t, x) = x− t⇒ ∂f
∂x = 1.f , ∂f
∂x ∈ C(R2) ∀ taškas (t0, x0) priklauso tik vienam DL x = x− tsprendiniui:x(t) = 1 + t + Cet, cia C = (x0 − t0 − 1)e−t0 .
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 7 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
Rasime DL y′ = 3y2/3 integraline kreive, einancia per taška (1, 1).Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra
y′ = 3y2/3, y(1) = 1.
Patikriname, kad funkcija y = (x− C)3 yra DL sprendiniai. Istatomepradines salygas: 1 = y(1) = (1− C)3 ⇒ C = 0 (kitos šaknys yrakompleksines). Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendini y = x3.Remiantis 2 teorema daugiau integraliniu kreiviu, einanciu per ši taška,nera.
Rasime integraline kreive, einanciaper taška (0, 0). Per ši taška eina jaurasta integraline kreive y = x3, ir darviena papildoma integraline kreivey ≡ 0. Vadinasi, šiuo atveju, Košiuždavinio sprendinys nera vienintelis,ir šis taškas nepriklauso DLsprendinio vienaties sriciai.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 8 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija
1)x = x− t 2)x = −x/t, t 6= 0 3)x = −t/x, 4)x = 12 (x
2 − 1)
5) x = 2xt 6)x = −x/ tanh t, t 6= 0 7)x =√
1− x2, |x| ≤ 1, 8)x = 2x12 , x ≥ 0.
Integraliniu kreiviu kokybini vaizda pilnai nusako DL dešinioji puse.
Kartais pavaizduotos integralines kreives yra panašios (2 ir 6 pav.).Tokios integraliniu kreiviu šeimos yra kokybiškai ekvivalencios.
Sprendinio vienaties nera 7 ir 8 pav.Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 9 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Geometrine interpretacija. Krypciu laukasNagrinesime DL
x = f (t, x), f ∈ C(D), D ⊂ R2.
Laisvai pasirinktam taškui (t; x) ∈ Dpriskirkime tiese su krypties koeficientuk = f (t; x); einancia per ši taška. Tiksliau,per taška (t; x) brežiame nedideleatkarpele su krypties koeficientu k:
Jeigu kiekvienam aibes D taškui yra priskirta kryptis (tiese), tuometsakysime, kad aibeje D yra apibrežtas krypciu laukas.
Pastaba. Norint geriau atvaizduoti krypciu lauka brežiniuose,braižoma tik nedidele tieses dalis taško aplinkoje.Mes nagrinesime tolydžiai diferencijuojamus krypciu laukus, kuriukryptys tolydžiai priklauso nuo taško padeties.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 10 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Apibrežimas.Kreive, kuri kiekvienamesavo taške liecia tame taške esanciakrypti vadinama integraline kreive.
Pastaba.Žodis „integraline kreive“atsirado istoriškai, nes kai kuriaispaprasciausias atvejais šias kreivesgalima rasti integruojant.
Nagrinekime tolydu krypciu lauka plokštumoje.Lauka vadinsime invariantišku postumio duotaja kryptimi atžvilgiu,jei kiekvienos tieses, kuri yra lygiagreti duotajai krypciai, taškuosekrypciu lauko kryptys vienodos.Lauka vadinsime nevertikaliuoju krypciu lauku, jei egzistuoja tiese,kuriai nelygiagreti jokia krypciu lauko kryptis.Visada galima parinkti koordinaciu sistema, kurioje ši tiese sutaptusu ordinaciu ašimi x, o abscisiu ašis t butu horizontali.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 11 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Teorema.Sakykime, plokštumoje duota kryptis, kurios atžvilgiu krypciulaukas yra invariantiškas ir nevertikalus. Tada tokio krypciu laukointegralines kreives randamos integravimu.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 12 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Kreive x = ϕ(t) yra integraline duotojo nevertikalaus invariantiškokrypciu lauko kreive, tada ir tik tada, jeigu
dϕ(t)dt≡ v(t), (1)
ir ji randama Barou formule
ϕ(t) =∫
v(t)dt + C. (2)
Lygties x′ = v(t) krypciu laukas.Analogiškai gautume, kad geometrinis nevertikalaus krypciu laukov(t, x) integralines kreives radimo uždavinys analiziškai užrašomaskaip DL
dx(t)dt
= v(t, x), (3)
ir teisinga teorema:
Teorema. Funkcijos x = ϕ(t) grafikas yra integraline kreive, tada ir tiktada, kai visiems t ∈ I teisinga (3).
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 13 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Bet kokia DL x = v(t, x), v ∈ C(D) apibrežia nevertikaluji krypciu lauka:taške (t, x) imama kryptis, kurios kampo su abscisiu ašimi tangentaslygus v(t, x). Toks krypciu laukas vadinamas funkcijos v krypciu laukuarba x = v(t, x) lygties krypciu lauku.Jeigu norime gauti kokybini integraliniu kreiviu vaizda (portreta),nebutina išspresti DL, pakanka nubraižyti integraliniu kreiviu eskizus.Braižant eskizus, labai patogu surasti kreives, kuriu visuose taškuoseyra ta pati kryptis. Tokios kreives vadinamos krypciu lauko izoklinemis.Izoklines lygtis yra
v(t, x) = k, k ∈ R. (4)
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 14 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Nevertikalaus invariantiško lauko izoklines yra vertikalios tieses t = k.
Taip pat naudinga surasti sritis, kuriose integraline kreive iškila i viršu(x < 0) arba i apacia (x > 0), cia
x =dxdt
=dv(t, x)
dt=∂v(t, x)∂t
+∂v(t, x)∂x
x =∂v(t, x)∂t
+∂v(t, x)∂x
v(t, x). (5)
Lygties x′ = v(t) krypciu laukas. Lygties x′ = v(x) krypciu laukas.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 15 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Nubraižysime DL x = t + t/x integraliniu kreiviu eskizus plokštumoje(t, x), kai x 6= 0.
1 Šios DL izoklines yra hiperboles
t + t/x = k ⇔ x =t
k − tsu asimptotemis x = −1 ir t = k.Ju asimptotes yra tieses − ir
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
...................
..............x
t...............................................................................................................................
..............
..............
..............
..............
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
................................
................
................
................
................................
................
................
................
........................................
............................
..................................
..................................
..................................
...................................................................
.................................
k = 1k = −1
k = −2 k = 2
k = 2k = 1
k = −2k = −1
......
......
......
......
......
...................................................................................................................................................
....................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
......
......
......
......
......
............................................................................................
.............................................................................
.................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......
........................................................................................................................
...........................
......
....................................................................................................
...............................................
..........................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..................................
....................................................................................................................................
1.7 pav. 1.8 pav.
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
......
..
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 16 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
2 Noredami tiksliau nubraižyti kreiviu eskizus, randame integralineskreives antraja išvestine
x = 1 +1x− 1
x2 (t +tx) =
(x + 1)(x− t)(x + t)x3 ,
ir pažymime jos teigiamumo ir neigiamumo sritis
............................................................................................................................................ .............. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
..................
..............x
t
...................................
= 1
pav. 1.8 pav.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
x = tx = −t
x = −1
ω+
ω+ω+
ω+
ω−ω−
ω−ω−ω−
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 17 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
3 Kadangi krypciu lauka apibrežianti funkcija yra nelygine kintamojot atžvilgiu
v(−t, x) = (−t) + (−t)/x = v(t, x),
todel patys sprendiniai yra lygines funkcijos. Dabar pakankamaitiksliai braižome integraliniu kreiviu eskizus.
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
................
..............x
t
x = 1
1.9 pav.
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................
......................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
............
........................................................................................................................................
............
........................................................................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
........................................................................
........................................................................ ....................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
.......................................
..........................................................
.........................................................................................................................................
....
........................
........................................
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 18 / 48
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Uždaviniai:1 Nubraižysime DL integraliniu kreiviu eskizus:
a) x = t; b) x = sin t; c) x = x− t; d) x = −x/t, t 6= 0;
e) x = −t/x, x 6= 0; f ) x =12(x2 − 1); g) x =
√1− x2, |x| ≤ 1;
h) x = 2√
x, |x| ≥ 0; i) x = x(1− x); k) x = x2; l) x = x3;
m) x = x; n) x = x3 − x; o) x = x log x, x > 0; p) x = x2 + t2;
r) x = x2 − t2.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 19 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Fazine erdve
Susipažinsime su geometrine DL prasme: vektoriniais ir krypciulaukais.Ivesime fazines ir išplestines fazines erdves, fazines ir integralineskreives savokas.Ištirsime paprasciausias DL ir DLS vienmateje erdveje.
Evoliuciniai procesaiDiferencialinemis lygtimis aprašomi evoliuciniai procesai, kuriepasižymi determinizmu, baigtiniu matavimu bei glodumu.Determinuotu vadinsime toki procesa, kurio ateiti ir praeiti nulemiadabartis, t.y. mes galime nusakyti ne tik dabartine determinuotoproceso bukle, bet ir jo bukle bet kuriuo laiko momentu tiek praeityje,tiek ateityje.Aibe determinuoto proceso busenu vadinama fazine erdve.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 20 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Determinuotas procesasVieno taško judejima trimateje erdveje pilnai apibrežia trys jokoordinates ir trys jo greicio komponentes. Žinodami šiuos šešisparametrus konkreciu laiko momentu, mes galime nusakyti judanciotaško padeti bet kuriuo momentu tiek praeityje, tiek ateityje.
Nedeterminuoti procesai
Šilumos sklidimas yra pusiau determinuotas procesas, nes mesgalime nusakyti tik kaip pasiskirstys kuno temperatura ateityje, o apiešio proceso evoliucija praeityje mes nieko negalime pasakyti.Visiškai nedeterminuoti procesai yra
Brauno judejimas,kvantiniu daleliu-bangu judejimas,
nes šiais atvejais mes negalime nusakyti nei kaip procesas vystysisateityje, nei kaip jis vystesi praeityje.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 21 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Procesas vadinamas baigtinio matavimo, jei jo fazine erdve aprašomabaigtiniu skaiciumi parametru, kuriu reikšmes ir apibrežia procesobusenas.
Baigtinio matavimo procesas
Jei materialus taškas juda tiese, tuomet jo busenai pilnai aprašytipakanka 2 parametru (koordinates ir greicio), t.y. fazine erdve yradvimate.Trimateje erdveje tokiam procesui apibudinti reikalingi 6parametrai. Jei nagrinesime n tašku judejima, tai ju fazine erdvebus 6n-mate (trys koordinates ir trys greicio komponenteskiekvienam taškui).Nagrinejant n kietu kunu judejima reikalinga 12n parametru (kokie?).
Begalinio matavimo procesaiNorint aprašyti stygos virpesius, bangu sklidima reikalingas begalinis skaiciusparametru. Tokius procesus nagrineja lygciu dalinemis išvestinemis teorija.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 22 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Procesas vadinamas glodžiu (tolydžiu, diferencijuojamu), jei jo fazineerdve turi glodžios daugdaros struktura, o proceso busenu kitimagalima aprašyti glodžiomis (tolydžiomis, diferencijuojamomis)funkcijomis.
Glodus procesas
Mechanines sistemos koordinates ir greiciai keiciasi kaip tolydžiaidiferencijuojamos funkcijos.
Nediferencijuojami procesaiProcesai, kuriuose vyksta trukiai, smugiai, glodumo savybenepasižymi.
Tik eksperimentiškai su tam tikru tikslumu galima nustatyti, kadprocesas yra determinuotas, baigtinio matavimo ir glodus.Mes laikysime, kad visi nagrinejami procesai turi šias savybes irpilnai sutampa su nagrinejamais matematiniais modeliais.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 23 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Dažniausiai šiame kurse, fazine erdve bus sritis (jungi ir atviraaibe) U ⊂ Rn.Fazines erdves taškus vadinsime faziniais taškais.Jeigu n-mateje fazineje erdveje ivestos koordinates (x1, . . . , xn),tuomet fazini taška galime sutapatinti su erdves Rn tašku(x1, . . . , xn).Dažnai patogu taško koordinates surašyti i vektoriu-stulpeli(n× 1-matrica) arba vektoriu-eilute (1× n-matrica): x1
...xn
= [x1, . . . , xn] = (x1 . . . xn)>, (x1 . . . xn).
Pastaba. Užrašas su laužtiniais skliausteliais vartojamas norint taupytivieta tekste.Pastaba. Dažnai fazinius kintamuosius vienmateje fazineje erdveježymesime x, dvimateje (x, y), trimateje (x, y, z). Parametra (laikas,kreives ilgis) nuo kurio priklauso procesas dažniausiai žymesimet ∈ R = Rt.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 24 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Ivairias proceso busenas atitinka fazines erdves taškai.Proceso evoliucijos metu, ji apibudinantis taškas keicia vietafazineje erdveje.Glodiems procesams taško pedsakas (fazines erdves taškai,kuriuose buvo fazinis taškas) fazineje erdveje apibrežia fazinetrajektorija x(t), t ∈ I = (t0; t1).
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 25 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Jeigu n-mateje fazineje erdveje ivesta koordinaciu sistema(x1, . . . , xn), tuomet fazine trajektorija apibrežiama glodžiomisfunkcijomis x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t) arba viena vektorine funkcijax(t) =
(x1(t), . . . , xn(t)
).
Fiksuotoje koordinaciu sistemoje šias komponentes galima surašyti ivektoriu-stulpeli:
x(t) =
x1(t)...
xn(t)
= [x1(t), . . . , xn(t)].
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 26 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Faziniu trajektoriju šeimos vaizdas fazineje erdveje vadinamas faziniuportretu.
Fazines erdves savoka leidžia evoliuciniu procesu tyrima suvesti igeometrinio uždavinio apie fazines trajektorijas sprendima.Fazinio taško judejimo greiti fazineje trajektorijoje apibrežia patstaškas. Vadinasi, kiekviename fazines erdves taške x0 = x(t0) yraapibrežtas vektorius v(x0), kuris dar vadinamas fazinio greiciovektoriumi
v(x0) =dx(t)
dt
∣∣∣t=t0
,
arba fiksuotoje koordinaciu sistemoje (x1, . . . , xn), rašysime
v(x0) =
v1(x0)...
vn(x0)
= [v1(x0), . . . , vn(x0)], vi(x0) =dxi(t)
dt
∣∣∣t=t0
.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 27 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Fazine trajektorija neaprašo fazinio taško priklausomybes nuolaiko t, taciau paprastai nurodoma, kokia kryptimi vystosievoliucinis procesas. Rodykle fazineje trajektorijoje žymima laikodidejimo kryptis.Noredami pavaizduoti, kaip procesas evoliucionuoja laikoatžvilgiu, naudosime išplestine fazine erdve Rt × U, kuri yra laikoašies ir fazines erdves Dekarto sandauga. Tada grafikas (t, x(t))bus kreive (n + 1)-mateje erdveje ir pilnai apibreš fazinio taškopriklausomybe nuo laiko t.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 28 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Fazine erdve
Pagrindinis PDL teorijos uždavinys ir yra ištirti evoliucinioproceso kitima fazinio greicio vektoriniame lauke.Prie svarbiu klausimu galima priskirti faziniu trajektoriju pobudi:
- koks ju pavidalas,- ar fazines trajektorijos lieka aprežtoje srityje,- ar jos yra periodines (uždaros),- ar jos nueina i begalybe ir t.t.
Bendruoju atveju, taip suformuluotas uždavinys tam tikra prasmeneišsprendžiamas.Paprasciausiais atvejais ši uždavini galima išspresti integruojant.Skaitiniais metodais visada galima rasti DL sprendini baigtiniameintervale. Taciau taip mes negalime gauti globalaus kokybiniovaizdo (fazinio portreto).
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 29 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Vektoriniai laukai
Vienareikšmis atvaizdis l : M → V, kurio apibrežimo sritis sutampa suM dar vadinamas lauku.
Skaliarinis laukasJeigu kiekviename aibes taške apibrežtas skaliaras (pvz.,temperaturos reikšme), tuomet toje aibeje turesime skaliarini lauka.
Sakysime, kad aibeje M apibrežtas glodus vektorinis laukas, jeigukiekvienam aibes M taškui priskirtas vektorines (tiesines) erdves Rn
elementas v. Atskiru atveju, aibe M gali buti fazine erdve.
Fazinio greicio laukas
Fazinio greicio vektoriai visuosefazines erdves taškuoseapibrežia fazinio greicio lauka
Fazinio greicio laukas.Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 30 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Apibrežimas. [Vektorinio lauko ypatingieji taškai]
Aibes M taškas, kuriam priskiriamas nulinis vektorius, vadinamasvektorinio lauko ypatinguoju tašku.
Apibrežimas. [Ramybes taškas]Fazines erdves taškai, kuriuose vektorinis laukas yra ypatingas,vadinami fazines erdves ramybes taškais.
Ramybes taškus galima surasti sprendžiant vektorine lygti
v(x) = 0
arba lygciu sistema v1(x1, . . . , xn) = 0,. . .
vn(x1, . . . , xn) = 0.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 31 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Dvimateje fazineje erdveje, kai ji yra plokštumos dalis, vektorinislaukas dažniausiai braižomas atidedant vektorius (kryptinesatkarpas) taškuose, kuriuose jis kokybiškai atspindi vektorinilauka.Tieseje vektorinis laukas dažniausiai braižomas atidedantvektorius (kryptines atkarpas) vertikaliai, t.y. braižomas grafikas(x, v(x)), o pacios tieses dalyse, kuriose vektorinis lauko funkcijosženklas yra vienodas, atidedamos rodykles, o ramybes taškaivaizduojami taškais.
Vektorinis laukas plokštumoje. Vektorinis laukas tieseje.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 32 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Baziniai vektoriai žymimi:
∂
∂x1 := [1, 0, . . . , 0],∂
∂x2 := [0, 1, . . . , 0], . . . ,∂
∂xn := [0, 0, . . . , 1].
Tada bet kokio vektoriaus išraiška koordinatese (x1, . . . , xn) yra
v(x) = v1(x)∂
∂x1 + · · ·+ vn(x)∂
∂xn .
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 33 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Vienmatis vektorinis laukas
Vienmateje fazineje erdveje vektorini lauka v(x) = v(x) ∂∂x pilnai
apibrežia funkcija v : U → R.Jeigu šioje fazineje erdveje keisime koordinaciu sistema y = g(x),tuomet bazinis vektorius taške y = g(x) bus
∂
∂y=
∂
∂g(x)=
1g′∂
∂x.
Todel bazinio vektoriaus žymuo ∂/∂x automatizuoja koordinaciukeitima.
Pavaizduokite vektorinius laukus tieseje
a) v = x∂
∂x; b) v = −x2 ∂
∂x; c) v = sin x
∂
∂x; d) v = x(1− x)
∂
∂x.
Nubraižykite vektorinius laukus plokštumoje
a) v = x∂
∂x+ y
∂
∂y; b) v = x
∂
∂x+ 2y
∂
∂y; c) v =
∂
∂x+ sin x
∂
∂y.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 34 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Vektorinis laukas v(x), x ∈ U apibrežia autonomine vektorine DL
dx(t)dt
= v(x), x ∈ U. (6)
Dažnai pilnaja išvestine pagal laika žymesime:
x :=dx(t)
dt.
[Fazine kreive] Kreive fazineje erdveje x = ϕ(s), s ∈ I ⊂ R, vadinamavektorinio lauko v(x) fazine kreive, jeigu kiekviename jos taške fazinisgreitis sutampa su vektorinio lauko vektoriumi tame taške.Turint fazini portreta, visada galima surasti fazinio greicio lauka.Atvirkšcias uždavinys nagrinejamas PDL teorijoje: pagal vektorinilauka reikia surasti jo fazines kreives.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 35 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Autonomines lygtys tieseje
Lygtys, kuriu dešinioji puse tiesiogiai nepriklauso nuo laiko t, t.y.
x = v(x), x ∈ S ⊂ R, D = R× S, (7)
vadinamos autonominemis DL.Ju sprendinio kitimo greitis priklauso tik nuo paties sprendinio, t.y. tokiulygciu sprendinys pats valdo savo keitimasi.Parodysime, kad autonomines lygtis galima suskirstyti i kokybiškaiekvivalencias lygciu klases.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 36 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Autonominiu DL svarbi savybe.Jeigu x = ϕ(t) yra DL
x = v(x), x ∈ S ⊂ R, D = R× S,
su apibrežimo sritimi I (t ∈ I), sprendinys, tai
ψ(t) = ϕ(t + C)
taip pat yra DL x = v(x) sprendinys ∀C ∈ R su ta pacia reikšmiu sritimiir apibrežimo sritimi {t|t + C ∈ I}.Išplaukia iš
ψ(t) = ϕ(t + C) = v(ϕ(t + C)) = v(ψ(t)
).
Integraline kreive ϕ(t) gaunasi iš integralines kreives ψ(t) poslinkiu tašies teigiama kryptimi.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 37 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Išvada. Tegul x = ϕ(t) yra DL x = v(x) sprendinys, apibrežtas ∀t ∈ R irϕ(I) – šio sprendinio reikšmiu sritis. Be to, tegu per kiekviena juostosD′ = R× ϕ(I) taška eina tik viena DL x = v(x) integraline kreive. Tadabet kuria kita šios lygties integraline kreive, esancia juostoje D′ galimaapibrežti lygtimi x = ϕ(t + C), t ∈ R. Taigi integralines kreivesjuostoje D′ gaunamos viena iš kitos poslinkiu t ašies kryptimi.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 38 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Pavyzdys. Lygtisx = x2
turi trivialu sprendini x(t) = 0, t ∈ R ir netrivialius sprendinius x = 1C−t ,
kai t > C bei x = 1C−t kai t < C. Pastaruosius sprendinius atitinkancios
integralines kreives yra hiperboles.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 39 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Integralines kreives dalina plokštuma R2 i dvi pusplokštumes x > 0 irx < 0.
Pusplokštumeje x > 0 bet kuria integraline kreive galima gautipaslinkus viršutine hiperboles x = −1
t šaka t ašies kryptimi.Analogiškai pusplokštumeje x < 0 bet kuria integraline kreivegalima gauti paslinkus apatine hiperboles x = −1
t šaka t ašieskryptimi.
Integraliniu kreiviu šeimu, kurios gaunamos viena iš kitos poslinkiu tašies kryptimi, kokybini vaizda nusako kiekvienas atskyrasissprendinys. Kiekvieno tokio sprendinio kokybini vaizda apibrežiafunkcija v.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 40 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Jeigu kokiame nors taške x = c funkcija v(c) = 0, tai funkcija
ϕ(t) ≡ c, t ∈ R
yra DL x = v(x) sprendinys. Toks sprendinys vadinamas stacionariuojusprendiniu, o taškas c vadinamas ramybes tašku.Jeigu v(x) 6= 0, t.y. v(x) > 0 arba v(x) < 0, tai kiekvienas DL sprendinysyra arba didejanti, arba mažejanti funkcija. Tokias sprendiniu savybespatogiau vaizduoti x ašyje negu (t; x) plokštumoje.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 41 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Pavyzdys.Taškas x = 0 yra lygties
x = x
ramybes taškas.Kai x > 0, visi šios lygties sprendiniai yra didejancios, o kai x < 0 –mažejancios funkcijos.
Integraliniu kreiviu kokybinis vaizdas ir x ašyje.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 42 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Pavyzdys.x = x
Taškas x = 0 yra ramybes taškas.Kai x > 0, visi šios lygties sprendiniai yra didejancios, o kai x < 0 –mažejancios funkcijos.
v(x)
Integralines kreives (t; x) plokštumoje ir kokybinis vaizdas x ašyje.Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 43 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Lygtiesx = x2 − 1
ramybes taškai x = ±1.Kai x > 1 arba x < −1, visi šios lygties sprendiniai yra didejancios, okai −1 < x < 1 – mažejancios funkcijos.
Integraliniu kreiviu kokybinis vaizdas plokštumoje (t; x) ir x ašyje.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 44 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Fazinis portretas – geometrinis sprendiniu kokybinis vaizdas xašyje,x ašis – fazine ašis,jos taškai – faziniai taškai.
Jeigu sprendinys x = ϕ(t) nera ramybes taškas, tai ϕ yra arbadidejanti, arba mažejanti funkcija. Todel, jeigu ramybes tašku yrabaigtinis skaicius, tai ji atitinkanciu skirtingu faziniu portretu taip pat yratik baigtinis skaicius.Sakydami "skirtingi", turime omenyje, kad jie skiriasi sritimis, kuriosesprendiniai dideja arba mažeja.Pavyzdžiui, lygties x = x2 fazinis portretas, skiriasi nuo fazinio portretolygties x = x.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 45 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Akivaizdu, kad vieno ramybes taško atveju yra galimi tik keturi skirtingifaziniai portretai
Autonomous equations 9
x
xx
.. • • •
Fig. 1.18. x= X 3, X = 0 is a fixed point. Fig. 1.19. x= X2
, X = 0 is a fixed point.
c c- .....----
(a)
c ..(e)
•(b)
c
(d)•
Fig. 1.20. The four possible phase portraits associated with a single fixed point. Thefixed point is described as an attractor in (a), a sbunt in (b) and (c) and a repellor in (d).
portraits in Fig. 1.20 for some value ofc. For example, x= x, X= x 3, X= X - a,x= (x - a)3, X= sinh x, x= sinh(x - a) all correspond to Fig. 1.20(d) for c = 0or a. Of course, two different equations, each having one fixed point, thatcorrespond to the same phase portrait in Fig. 1.20 have the same qualitativebehaviour. We say that two such differential equations are qualitativelyequivalent.
Now observe that the argument leading to Fig. 1.20 holds equally well ifthe fixed point at x = c is one of many in a phase portrait. In other words,the qualitative behaviour of x in the neighbourhood of any fixed point mustbe one of those illustrated in Fig. 1.20(a)-(d). We say that this behaviourdetermines the nature of the fixed point and use the terminology defined inthe caption to Fig. 1.20 to describe this.
This is an important step because it implies that the phase portrait of anyautonomous equation is determined completely by the nature of its fixedpoints. We can make the following definition.
Ramybes taškas a vadinamas atraktoriumi , taškai b ir c – šuntu, otaškas d – repeleriu.
Skirtingos diferencialines lygtys yra kokybiškai ekvivalencios, jeigu josturi ta pati fazini portreta, t.y. turi vienoda skaiciu ta pacia tvarkaišsidesciusiu ramybes tašku.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 46 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Pavyzdžiai.
DL x = x, x = x3
yra kokybiškai ekvivalencios. Jos turi viena ramybes taška –repeleri.
DL x = (x + 2)(x + 1), x = x2 − 1
taip pat yra kokybiškai ekvivalencios. Jos turi po du ramybestaškus. Vienas iš ju yra atraktorius, o kitas – repeleris. Be to,atraktoriu atitinka mažesnioji reikšme.
DL x = −(x + 2)(x + 1), x = x2 − 1
nera kokybiškai ekvivalencios.Jos turi po du pusiausvyros taškus: atraktoriu ir repeleri. Taciau jieyra išsideste priešinga tvarka.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 47 / 48
Vektoriniai ir krypciu laukai Vektoriniai laukai
Diferencialines lygtys gali tureti be galo daug ramybes tašku (pvz.lygtis x = sin x). Todel skirtingu faziniu portretu taip pat gali buti be galodaug. Taciau, bet kuris fazinis portretas gali tureti ne daugiau kaipketuris skirtingus ramybes taškus.
Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Geometrines DL savokos 2015-09-24 48 / 48
