Embed Size (px)
Citation preview
5
1. Individualus namų darbas Nr. 1
(Tiesinės algebros ir analizinės geometrijos elementai)
1.1. Teorijos klausimai
1. Matricos sąvoka. Matricų rūšys.
2. Veiksmai su matricomis.
3. Determinanto apibrėžimas. Determinanto savybės. Minoro ir adjunkto sąvokos.
4. Atvirkštinė matrica.
5. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos sprendimas atvirkštinės
matricos metodu.
6. Kramerio formulės.
7. Gauso metodas.
8. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos, ir jų sprendimas.
9. Vektoriai. Veiksmai su vektoriais. Vektorių tiesinė priklausomybė.
10. Antros eilės kreivės: kanoninės lygtys, pagrindinės savybės.
1.2. Užduočių formuluotės
1. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu.
2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą atvirkštinės matricos, Gauso bei Kramerio metodais.
3. Apskaičiuokite determinantą.
4. Išspręskite matricinę lygtį.
5. Įsitikinkite, jog vektoriai p q r, , ir yra nekomplanarūs.Vektorių
a išreikškite vektorių
p q r, , ir tiesiniu dariniu.
6. Suteikti antros eilės kreivei kanoninę išraišką. Nubraižykite grafiką.
7. Išspręskite uždavinį.
1.3. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Panaudodami Gauso metodą, išspręskime tiesinių lygčių sistemą.
a
x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2 3
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5
5
2 2 10
2 3 3 12
,
,
,
.
Sprendimas. Užrašome sistemos koeficientų ir laisvųjų jos narių matricą:
.
3
0
5
5
0000
0000
1110
0111
~
~
2
5
5
5
1110
1110
1110
0111
~
212
10
5
5
1332
1221
1110
0111
24
23
14
13
LL
LL
LL
LL
Pastarąją matricą atitinka nauja tiesinių lygčių sistema, ekvivalenti duotajai:
.30
,00
,5
,5
4
432
321
x
xxx
xxx
Ši sistema neturi sprendinių (yra nesuderinta), kadangi ketvirtoji sistemos lygtis neturi sprendinių. Vadinasi, neturi
sprendinių ir duotoji sistema.
b
x x x
x x x
x x x
x x
x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
1 2
1
2 3 10
3 3
4 6
5 7
,
,
,
,
.
6
Sprendimas.
1 1 1
2 3 1
1 3 1
4 0 1
5 1 0
1
10
3
6
7
2
4
5
1 1 1
0 1 3
0 4 2
0 4 5
0 4 5
1
8
4
2
2
4
4
4
1 1 1
0 1 3
0 0 14
0 0 17
0 0 17
1
8
28
34
34
2 1
3 1
4 1
5 1
3 2
4 2
5 2
L L
L L
L L
L L
L L
L L
L L
~ ~ ~
~ ~ ~ .
1 1 1
0 1 3
0 0 1
0 0 1
0 0 1
1
8
2
2
2
1 1 1
0 1 3
0 0 1
0 0 0
0 0 0
1
8
2
0
0
1 1 1
0 1 3
0 0 1
1
8
24 3
5 3
L L
L L
Užrašome naują lygčių sistemą:
x x x
x x
x
1 2 3
2 3
3
1
3 8
2
,
,
.
Ši sistema turi vienintelį sprendinį 1 2 2; ; .
c
2 2 1
2 2 1
4 10 5 5 7 1
2 14 7 7 11 1
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
,
,
,
.
Sprendimas.
2 2 1 1 1
1 2 1 1 2
4 10 5 5 7
2 14 7 7 11
1
1
1
1
1 2 1 1 2
2 2 1 1 1
4 10 5 5 7
2 14 7 7 11
1
1
1
1
2
4
1 2 1 1 2
0 6 3 3 5
0 18 9 9 15
0 12 6 6 10
1
1
5
2
3
2
1 2 1 1 2
0
2 1
3 1
4 2
3 2
4 2
~ ~
~ ~
L L
L L
L L
L L
L L
6 3 3 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
1
0
0
1 2 1 1 2
6 3 3 5
1
1
~
~ .
Šią matricą atitinka dviejų lygčių sistema:
x x x x x
x x x x
1 2 3 4 5
2 3 4 5
2 2 1
6 3 3 5 1
,
.
Tarkime, kad x3, x4 ir x5 yra laisvieji kintamieji, t.y. jiems galima priskirti bet kokias realiąsias reikšmes.
Tada
x x x x x x x2 3 4 5 3 4 51
61 3 3 5
1
6
1
2
1
2
5
6 ,
x x x x x x x x x x x
x
1 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5
5
1 2 2 1 21
6
1
2
1
2
5
62
2
3
1
3
.
Tegu x t x t x t t t t3 1 4 2 5 3 1 2 3 , , , , , .R Tuomet sistemos bendrąjį sprendinį galime pateikti taip:
2
3
1
3
1
6
1
2
1
2
5
63 1 2 3 1 2 3 1 2 3
t t t t t t t t t t; ; ; ; , , , R .
2 pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą
7
2 3 4 8
3 1
3 3
1 2 3
1 2 3
1 3
x x x
x x x
x x
,
,
,
taikydami atvirkštinės matricos metodą
Sprendimas. Sistemą galima užrašyti taip:
2 3 4
1 1 3
3 0 1
8
3
1
2
3
1
x
x
x
,
Jeigu sistemos koeficientų matricą pažymėsime A, t.y.
A
x
x
x
A
2 3 4
1 1 3
3 0 1
8
3
1
2
3
11, . tai
Ieškome atvirkštinės matricos A-1:
AA
A A A
A A A
A A A
A
111 21 31
12 22 32
13 23 33
12 3 4
1 1 3
3 0 1
20; ;
.511
32
,1031
42,5
31
43
,903
32,10
13
42
,310
43,3
03
11
,1013
31,1
10
31
33
3231
2322
2113
1211
A
AA
AA
AA
AA
A
1 1
20
1 3 5
10 10 10
3 9 5
0 05 0 15 0 25
0 5 0 5 0 5
0 15 0 45 0 25
, , ,
, , ,
, , ,
.
Dabar:
x
x
x
A
1
2
3
1
8
1
3
0 05 0 15 0 25
0 5 0 5 0 5
0 15 0 45 0 25
8
1
3
1
2
0
, , ,
, , ,
, , ,
.
Ats: ; ; .1 2 0
3 pavyzdys.Apskaičiuokime ketvirtosios eilės determinantą
A
2 1 2 3
4 0 2 2
3 2 1 4
1 3 3 5
.
Sprendimas. Duotąjį determinantą pakeisime jam lygiu determinantu, kurio atrojoje eilutėje yra nuliai, išskyrus
elementą – 2, esantį ketvirtąjame stulpelyje. Tuo tikslu antrojo ir ketvirtojo stulpelių nekeičiame, o prie pirmojo ir trečiojo
stulpelių pridedame ketvirtąjį stulpelį, padaugintą atitinkamai iš 2 ir 1. Po to gautąjį determinantą skleidžiame pagal antrąją
eilutę:
.
239
325
118
2
239
325
118
12
5239
4325
2000
3118
42
A
Dabar iš trečios eilutės atimame antrąją eilutę (kad galėtume atlikti veiksmus su mažesniais skaičiais).
8
A
2
8 1 1
5 2 3
4 1 1
.
Prie antrojo stulpelio pridedame trečiąjį stulpelį, ir determinantą
išreiškiame antrojo stulpelio elementais, padaugintais iš atitinkamų adjunktų:
A
2
8 0 1
5 5 3
4 0 1
2 5 18 1
4 110 8 4 120
2 2.
Ats.: A 120 .
4 pavyzdys. Išspręskime matricinę lygtį
X
1 1 1
2 1 0
1 1 1
1 1 3
4 3 2
1 2 5
.
Sprendimas. Pažymėkime
A
1 1 1
2 1 0
1 1 1
1 1 3
4 3 2
1 2 5
, C .
Taigi, XA C. Kadangi
A
1 1 1
2 1 0
1 1 1
1 0 2 1 0 2 2 0,
tai duotos matricinės lygties sprendinį galima užrašyti taip: X CA-1. Ieškosime matricos A atvirkštinės matricos A-1:
A A111 1
121 2
11 0
1 11 1
2 0
1 12
, ,
A A131 3
212 1
12 1
1 12 1 3 1
1 1
1 10
, ,
A A
A A
A
222 2
232 3
313 1
323 2
333 3
11 1
1 12 1
1 1
1 12
11 1
1 01 1
1 1
2 02
11 1
2 11
, ,
, ,
,
A
1 1
2
1 0 1
2 2 2
3 2 1
.
Gauname:
X
1
2
1 1 3
4 3 2
1 2 5
1 0 1
2 2 2
3 2 1
1
2
1 2 9 0 2 6 1 2 3
4 6 6 0 6 4 4 6 2
1 4 15 0 4 10 1 4 5
1
2
6 4 0
8 10 4
10 6 0
3 2 0
4 5 2
5 3 0
.
Ats.: .X
3 2 0
4 5 2
5 3 0
Pastaba.Į individualaus namų darbo užduotis įeina ir kitokio pavidalo matricinės lygtys būtent:
A X C A X B C ir , kai A B C X, , ir
9
yra matricos ir A B, – kvadratinės matricos. Tokių matricinių lygčių sprendiniai užrašomi atitinkamai taip:
X A C X A CB 1 1 1, , kai
A B A B 0 0 0 0, . Jeigu arba arba, kai A nėra kvadratinė matrica, tai matricinė lygtis sprendžiama
analogiškai kaip tiesinių lygčių sistema.
Spręsdami matricines lygtis, atkreipkite dėmesį į tai, kad matricų daugyba nėra komutatyvi.
5 pavyzdys. Įsitikinkime, kad vektoriai p 3 2 1; ; ,
q 1 1 2; ;
ir r 2 1 3; ; yra nekomplanarūs, ir vektorių
a 11 6 5; ; išreikškime šių
trijų vektorių tiesiniu dariniu.
Sprendimas. Erdvėje R3 maksimalus tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius yra lygus trims. Jais gali būti bet
kurie trys nekomplanarūs vektoriai. Bet kurį kitą šios erdvės vektorių vieninteliu būdu galime išreikšti duotųjų trijų vektorių
tiesiniu dariniu.
Pirmiausia įsitikinsime, jog duotieji vektoriai p q r, ir yra nekomplanarūs. Apskaičiuojame šių vektorių mišriąją
sandaugą
p q r
3 2 1
1 1 2
2 1 3
8.
Kadangi p q r 0, tai vektoriai nekomplanarūs, o tai reiškia, jog vektorių
a galime išreikšti vektorių
p q r, ir
tiesiniu dariniu, būtent: a p q r 1 2 3 .
Į pastarąją lygybę įrašę vektorius a i j k p i j k q i j k r i j k 11 6 5 3 2 2 2 3, , ir ,
gauname:
.322235611
;322235611
;322235611
321321321
333222111
321
kjikji
kjikjikjikji
kjikjikjikji
Ši vektorinė lygtis yra ekvivalenti tiesinių lygčių sistemai:
3 2 11
2 6
2 3 5
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,
,
.
Kadangi sistemos determinantas
3 1 2
2 1 1
1 2 3
8 0,
tai, išsprendę šią sistemą, randame vienintelį jos sprendinį 1 2 42 3 1 , , .
Tada a p q r 2 3 .
6 pavyzdys.
a) Suteikime antros eilės kreivei 5 9 30 18 9 02 2x y x y kanoninę išraišką. Nubraižykime grafiką.
Sprendimas. Sugrupuojame lygties narius:
5 30 9 18 9 0
5 6 9 2 9 0
2 2
2 2
x x y y
x x y y
,
.
Išskiriame dvinarių kvadratus:
5 2 3 9 9 9 2 1 1 9 0
5 3 9 1 45 9 9 0
5 3 9 1 45
2 2
2 2
2 2
x x y y
x y
x y
,
,
,
arba
x y
3
9
1
51
2 2
.
10
Transformuojame koordinačių sistemą XOY:
x x
y y
3
1
,
.
Ši transformacija yra koordinačių sistemos XOY lygiagretusis postūmis į naują pradžios tašką O 3 1; , nekeičiant
ašių krypčių. Naujojoje koordinačių sistemoje X O Y lygtis įgauna išraišką
x y2 2
9 51.
Tai kanoninė elipsės lygtis. Jos centras yra taške O 3 1; , o pusašės atitinkamai lygios 3 ir 5 (1 pav.).
b) Suteikime antros eilės kreivei 3 5 6 13 02
y x y kanoninę išraišką. Nubraižykime grafiką.
Sprendimas. Sugrupuojame lygties narius ir išskiriame dvinario kvadratą:
3 6 5 13 0
3 2 5 13 0
2
2
y y x
y y x
,
,
3 2 1 1 5 13 0
3 1 5 10 0
3 1 5 2 0
3 1 5 2
2
2
2
2
y y x
y x
y x
y x
,
,
,
.
Transformuojame koordinačių sistemą XOY:
x x
y y
2
1
,
.
Gauname
3 52 y x ,
arba
y x2 5
3.
Tai parabolės kanoninė lygtis. Taškas O 2 1; yra parabolės viršūnė, O X – simetrijos ašis (2 pav.).
7 pavyzdys.
a) Parašykime hiperbolės kanoninę lygtį, jeigu hiperbolė eina per tašką M 3 2; , ir jos ekscentrcitetas lygus 2.
Sprendimas. Hiperbolės kanoninė lygtis:
x
a
y
b
2
2
2
21 ; (1)
čia 2a – hiperbolės realioji ašis, 2b – hiperbolės menamoji ašis, 2c – atstumas tarp hiperbolės židinių,
c a b2 2 2 . (2)
Hiperbolės ekscentricitetas
c
a1. (3)
Mūsų atveju 2 . Taigi, c
ac a 2 22 2 arba . Taikydami (2) formulę, gauname: a b a2 2 22 , b a2 2 .
b a lygiaaðë hiperbolë .
Hiperbolė eina per tašką M 3 2; , taigi jos koordinatės tenkina (1) lygtį:
3 21
3 21
1
2
2
2
2
2 2
a a
a a
a
,
,
.
Hiperbolės kanoninė lygtis
x y2 2
1 .
b) Parašykime parabolės lygtį, kai
židinys yra taške F(2;3), o tiesė
x+y+1 0 yra parabolės direktrisė.
1 pav.
2 pav.
11
Sprendimas. Parabole vadinama aibė plokštumos taškų, vienodai nutolusių nuo židinio ir direktrisės. Pažymėkime
bet kurį (kintamą) parabolės tašką M(x;y). Iš parabolės apibrėžimo
FM d
;
čia d yra taško M atstumas nuo tiesės.
FM x y FM x y
dx y
2 3 2 3
1
2
2 2; ; .
.
Sulyginę, gauname
x yx y
2 31
2
2 3.
Abi gautos lygybės puses pakeliame kvadratu:
2 2 3 1
2 4 4 6 9 1 2 2 2 1
2 10 14 25 0
2 2 2
2 2 2 2
2 2
x y x y
x x y y x y xy x y
x xy y x y
,
,
.
Tai parabolės bendroji lygtis.
1 variantas
Eil.
Nr
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
1
5 4 5 1
8 6 2 5
,
,
,
.
2. 3 2 4 10
4 10
4 5 2 0
1 2 3
2 3
1 2 3
x x x
x x
x x x
,
,
.
3. 1 1 6 6
3 1 6 2
2 3 9 6
3 2 3 7
.
4. AX B
A
B
,
.
1 1 2
1 1 1
1 0 1
3 2 1
4 1 2
5 2 3
,
5.
p
q
r
a
2 1 1
2 1 4
1 1 2
4 8 3
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
x y x y
b
y x y
9 16 18 64
71 0
2 6 5 0
2 2
2
;
.
7. Parašykite apskritimo, einančio per tris taškus A 1 3; , B 2 4; ,
C 6 2; , lygtį.
12
2 variantas
Eil.
Nr
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 3 1
3 3 3 9
3 2 5
8 3 0
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
,
,
,
.
2. 2x1
3 6 4
3 4 4
4 3 2 4
2 3
1 2 3
1 2 3
x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 4 2 1 1
0 1 5 3
1 1 4 2
4 3 1 5
.
4. AX = B
A=
1 1 2
2 1 2
1 - 1 - 1
,
.B
3 0
2 1
1 2
5.
a
p
q
r
3 8 2
2 3 1
3 2 4
4 1 3
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a x y x y
b x x y
2 2
2
4 6 8 3 0
4 4 16 0
;
.
7. Raskite kanoninę elipsės lygtį, kai duotas jos taškas E 4
2
35;
ir ekscentricitetas 5
3.
3 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 3 3 6 2 20 0
3 6 9 34 0
6 9 12 2 39 0
6 9 9 66 0
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 5
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
,
,
,
.
2. 4 3 2 4
3 4 4
2 3 6 4
1 2 3
1 2 3
2 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 5 2 3 1
1 2 1 0
3 1 5 2
2 5 1 1
.
4. XA B
A
B
2 3 1
1 0 1
2 2 1
1 2 3
1 2 1
0 2 3
,
.
5.
p
q
r
a
1 0 1
0 2 1
1 3 0
8 9 4
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6. a) 9x2 – 4y2 –18x+
+20y – 25 0;
b) y2+2x+2y – 11 0.
7. Raskite plokštumos taškų, kurių kiekvienas yra du kartus arčiau taško
A(1;0) negu taško B(–2;0), aibės lygtį.
13
4 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 3 2 8 0
3 3 12 0
9 7 28 24 2 0
15 12 48 3 3 0
1 2 3 4 5
1 2 3
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
,
,
,
.
2. 3 2 8
2 2 12
3 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 3 5 3 12
4 2 5 27
7 8 1 40
6 4 5 41
.
4. X A B
A
B
1 2 3
3 2 4
2 1 0
2 0 1
0 1 1
,
.
5.
p
q
r
a
3 1 1
4 2 0
0 1 1
13 6 4
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a 4
b
x y x
y
y x y
225
28
100 4 0
22 2 5 0
;
.
7. Elipsė eina per taškus M 1
3
2; .
ir N -2;0 Parašykite elipsės
kanoninę lygtį, raskite židinių koordinates ir ekscentricitetą.
5 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 5
7 14 21 28 35
8 16 24 32 40
3 6 9 12 15
,
,
,
.
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
3 2 4 3
6 2 5 3
,
,
.
3. 4 3 2 2
1 4 4 3
3 2 3 1
2 4 1 1
.
4. AX B
A
B
1 1 2
2 1 2
3 1 1
0 0 3
1 0 1
1 2 0
,
.
5.
a
p
q
r
2 7 11
1 2 3
1 3 1
1 1 2
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
25 9 50
36 164 0
3 4
20 0
2 2
2
x y x
y
y x y
;
.
7. Raskite kanoninę elipsės lygtį, kai duoti du jos taškai E1 3 2 3; ir
2;332E .
6 variantas
14
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 2 9 3
4 2 16 4
2 6 6
8 4 31 7
20 12 3 81 9
1 2 3 4
1 2 4
1 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
,
,
,
,
.
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
3 2 4 3
6 2 5 3
,
,
.
3. 5 1 3 2
2 2 1 5
3 1 5 1
1 0 2 1
.
4. AX B
A
B
2 3 1
1 0 1
2 2 1
1 0
2 2
1 3
,
.
5.
p
q
r
a
2 1 0
1 1 0
3 2 5
23 14 30
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4 6
8 3 0
2 4 0
;
.
7. Raskite kanoninę hiperbolės lygtį, jei jos ekscentricitetas
5
2 ir
taškas M 4 2 2; .
7 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 4 4 2 1
2 3 3 4
2 2 2
3 5 5 6
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
,
,
,
.
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 0
2 3 4 10
3 2 10
,
,
.
3. 2 3 11 2
1 1 5 1
2 1 3 3
1 1 3 3
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 1 1
2 1 0
1 1 1
1 1 3
4 3 2
1 2 5
5.
p
q
r
a
3 2 4
4 3 5
1 4 4
5 19 9
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
42
42
24
16 27 0
23 2 5 0
x y x
y
y x y
;
.
7. Parašykite kanoninę hiperbolės, kurios pusašių suma lygi 17, o eks-
centricitetas 13
12, lygtį. Nubraižykite grafiką.
15
8 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 3 4 5 7 1
2 6 3 4 2
4 2 13 10 0
5 21 13 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
,
,
,
.
2. 5 4 3 2
6 2 0
7 3 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 2 4 2 1
3 2 1 2
5 2 5 1
3 2 2 1
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 1 2
2 1 2
1 1 1
0 1 0
1 0 2
0 0 1
5.
a
p
q
r
2 2 2
2 3 4
3 1 0
4 1 3
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4 4
8 4 0
10 8
7 0
;
.
7. Raskite taško M, kuris judėdamas plokštumoje visąlaik išlieka du
kartus arčiau taško A(–1;0) negu taško B(–2;0), trajektorijos lygtį.
9 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 0
4 5 6 7 1
0
2 3 4 5 0
,
,
,
.
2. 5 4 3 2
6 2 0
7 3 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3.
3 2 3 4
3 1 3 3
2 2 4 1
1 1 2 3
.
4. AX B
A
B
,
,
.
2 3 1
1 0 1
2 2 1
1 2 3 0
1 1 0 2
2 3 1 1
5.
p
q
r
a
0 3 1
1 1 2
2 1 0
1 7 0
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 25 24
50 89 0
4 2
8 0
2 2
2
x y x
y
x x y
;
.
7. Raskite kanoninę elipsės lygtį, kai duotas atstumas tarp elipsės
viršūnių 2 3 bei elipsės taškas M 3 2 3; .
16
10 variantas
Eil.
Nr
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 2 17 13 0
2 2 4 26 16 0
4 15 7 0
6 4 0
4 4 8 52 32 0
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5
3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
,
,
,
,
.
2. 3 2 10
2 2 3
2 4 3 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 2 2 11 5
1 1 5 2
2 3 3 2
1 3 3 4
.
4. XA B
A
B
,
,
.
3 4 5
2 3 1
3 5 1
1 0 4
0 1 7
1 2 1
5.
p
q
r
a
1 4 2
3 1 1
3 1 1
21 12 12
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
y x y
2 2
2
4 4
8 8 0
3 2
20 0
;
.
7. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, kai jos ekscentricitetas lygus 1,2
o židiniai sutampa su elipsės x y
2 2
64 281 židiniais.
11 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 8 2
2 6 6 0
6 2 22 8 4
6 20 13 2
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
,
,
,
.
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2 3 12
3 4 0
,
,
.
3. 3 0 1 4
1 5 3 3
0 2 3 3
5 2 1 4
.
4. AX B
A
B
,
,
.
4 6
2 1
2 5
1 3
5.
a
p
q
r
2 8 3
6 7 8
5 3 10
4 1 5
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 9 8
41 0
2 4
9 0
2 2
2
x y x
y x y
;
.
7. Raskite taško M, kuris judėdamas plokštumoje visą laiką išlieka du
kartus arčiau taško A(–1,0) negu tiesės x –4, trajektorijos lygtį.
17
12 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
1 3 4 5
2 3 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 2
3 4
2 2 4 4 12
4 7 8 5 4
,
,
,
.
2. 3 5 2 1
2 3 5
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 1 1 4 1
5 2 4 2
1 3 1 3
1 4 2 4
.
4. AXC B
A
B
C
,
,
,
.
5 2
2 1
2 0
3 4
3 5
1 2
5.
p
q
r
a
0 2 1
0 1 1
5 3 2
15 20 1
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
y y x
2 2
2
6
2 15 0
6 4
5 0
;
.
7. Raskite kanoninę hiperbolės, kurios realiosios ašies ilgis 8 ir eks-
centricitetas 5
2, lygtį.
18
13 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 6 3
4 2 4 11
2 2 5 1
2 7 4
1 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 3 4
x x x
x x x x
x x x
x x x
,
,
,
.
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 6
2 4 5
3 2 0
,
,
.
3. 1 6 6 4
3 2 6 4
2 6 9 2
3 7 3 8
.
4. XA B
A
B
1 1 2
1 1 1
1 0 1
6 5 3
4 1 2
2 1 7
,
.
5.
p
q
r
a
3 4 4
4 3 3
0 0 4
4 22 6
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
16 9 64
18 71 0
8 4 0
2 2
2
x y x
y
x x y
;
.
7. Parašykite apskritimo x y 2 4 25
2 2 liestinės, nubrėžtos
per tašką M(–2;–1), lygtį. Nubraižykite grafiką.
14 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1.
7 3 4 13
4 6 4 5
8 2 8
3 3 2 0
1 2 4
1 2 3 4
1 4
1 2 3 4
x x x
x x x x
x x
x x x x
,
,
,
.
2. 5 4 3 1
2 3 2
3 4 7 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 4 1 4 1
1 1 1 5
1 2 2 1
2 1 1 2
.
4. AXB C
A
B
C
,
,
,
.
1 2
2 3
2 3
4 1
1 3
4 2
5.
a
p
q
r
2 12 0
1 1 1
1 2 3
1 3 4
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x x y
y
y x y
2 2
2
4
2 1 0
3 8
11 0
;
.
7. Raskite kanoninę hiperbolės lygtį, kai duotas atstumas tarp jos židinių
F F1 2 4 3 ir hiperbolės taškas M 6 3; .
19
15 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 2 9 3 0
2 4 16 4 0
2 6 6 0
4 8 31 7 0
12 20 3 81 9 0
1 2 3 4 5
1 2 4 5
2 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
,
,
,
,
.
2. 3 2 8
2 2 12
3 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 2 5 2 3
2 2 3 1
4 4 1 2
1 5 2 2
.
4. AXC B
A
B
C
,
,
,
.
2 3
1 1
2 1
2 3
4 3
1 1
5.
p
q
r
a
1 1 2
3 2 0
1 1 1
11 1 4
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 4 12
4 1 0
8 6
7 0
2 25
2
x y x
y
y x y
;
.
7. Raskite parabolės, kurios viršūnė yra taške O(0;0), lygtį. Parabolė
simetriška Ox ašiai ir eina per tašką M(9;6).
16 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
1 2 3 4 5
2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 8 2 0
2 6 6 0
2 6 22 8 4 0
6 20 13 2 0
,
,
,
.
2. 6 6 1
5 2 4 1
4 3 8 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 3 5 12 2
4 2 27 3
7 8 40 5
6 4 41 3
.
4. AX B
A
B
,
,
.
1 2 3
3 2 4
2 1 0
1 0
2 1
1 1
5.
p
q
r
a
0 2 3
2 3 1
1 0 2
1 2 4
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 4 12
8 23 0
2 4
27 0
2 2
2
x y x
y
x x y
;
.
7. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, kai jos židiniai yra elipsės
x y2 2
289 2251 viršūnėse, o viršūnės – šios elipsės židiniuose.
Nubraižykite grafiką.
20
17 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 6
2 3 2 2
2 4 2 4 12
6 10 4 2 8 16
3 5 2 4 8
,
,
,
,
.
2. 3 5 2 1
2 3 5
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 1 4 1 2
4 1 2 3
1 5 3 1
3 4 1 3
.
4. XB C
B
C
,
,
.
3 2
5 4
2 4
6 8
5.
a
p
q
r
1 1 1
2 1 3
3 2 2
5 5 3
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 4 12
4 17 0
8 4 0
2 2
2
x y x
y
x x y
;
.
7. Raskite kanoninę elipsės lygtį, kai duotosios elipsės taškas 2 3
8
3;
,
nutolęs nuo dešiniojo elipsės židinio per 8
3 ilgio vienetų.
18 variantas
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x
1 2 4 5
1 2 3 5
1 2 4
1 2 3 4 5
1 2 3 5
2 4
2 2 2 2
3 4
4 2 2 2 3
3 3
,
,
,
,
.
2. 2 3 4 2
3 4 5 2
5 3 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 2 2 4 1
5 2 4 5
2 3 1 2
3 1 2 2
.
4. AX B
A
B
,
,
.
1 2 0
2 3 1
0 2 1
2 1 1
3 2 1
1 2 0
5.
p
q
r
a
1 1 4
3 0 2
1 2 1
13 2 18
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
6
2 1
2 4
2 0
;
.
7. Hiperbolės židiniai yra taškuose F F1 27 0 7 0; ; ir . Hiperbolė
eina per tašką A(2;0). Raskite jos asimptočių lygtis bei kampą tarp jų.
21
19 (36 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
1 2 3 4
1 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 5
2 3 0
3 2 0
2 3 4 0
6 3 8 0
14 14 0
,
,
,
,
.
2. 2 3 4
2 4
3 5 7
1 2 1
1 2 1
1 2 2
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 4 5 2 1
4 0 1 5
3 3 1 2
4 4 0 3
.
4. AXB C
A
B
C
,
,
,
.
3 1
5 2
2 3
1 2
2 3
1 2
5.
p
q
r
a
1 1 1
1 2 3
1 3 4
2 12 0
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
16 9 64
18 71 0
4 3
8 0
2 2
2
x y x
y
x x y
;
.
7. Raskite kanoninę hiperbolės lygtį, kai atstumas tarp jos židinių 4 5 ir
asimptočių lygtys y x 1
2.
20 (37 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5
2 3 4 2 11
5 6 10 5 26
8 10 16 8 42
,
,
,
2. 3 4 5
2 3 4 19
4 5 4 9
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 3 5 3 2
4 2 5 3
7 8 1 5
6 4 5 3
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 1 2
1 1 1
1 0 1
9 0 11
3 5 2
5.
p
q
r
a
1 2 3
5 3 2
1 4 1
0 10 10
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
y x y
2 2
2
4 6
12 7 0;
2 4
8 0
.
7.
Parašykite hiperbolės lygtį, kai jos židiniai elipsės x y
2 2
8 51 vir-
šūnėse, o viršūnės – šios elipsės židiniuose. Nubraižykite grafiką.
22
21 (38 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
1 2 3 4 5
1 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 3 4 4 0
6 11 0
3 6 15 9 9 0
8 15 38 23 23 0
,
,
,
.
2. x x
x x
x x x
1 2
2 3
1 2 3
1
2 1
2
,
,
.
3. 3 3 2 3
2 1 2 3
4 4 2 2
3 0 1 1
.
4. AXB C
A
B
C
,
,
,
.
1 2
2 3
2 3
4 1
1 3
4 2
5.
a
p
q
r
2 6 5
1 1 0
0 1 1
2 2 1
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
9 16 36
48 36 0
2 12
13 0
2 2
2
x y x
y
x x y
;
.
7.
Apskaičiuokite trikampio, kurį sudaro hiperbolės x y
2 2
4 91 asim-
ptotės ir tiesė 9x+2y–24 0, plotą.
22 (39 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 7 4 8 98
5 4 3 5 61
4 8 4 72
2 3 8 30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 3 4
x x x x
x x x x
x x x
x x x
,
,
,
.
2. 3 4 3 4
3 4
2 6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 4 4 3 4
5 0 3 4
2 1 1 0
1 5 2 3
.
4. AXB C
A
B
C
,
,
,
.
1 3
2 5
1 2
2 3
2 1
3 2
5.
p
q
r
a
2 3 4
3 4 5
1 2 0
6 1 19
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 25 24
50 89 0
4 2
7 0
2 2
2
x y x
y
y x y
;
.
7. Raskite kanoninę elipsės lygtį, kai atstumas tarp jos židinių 4 5 ir
elipsės taškas A 3 2 2 2; .
23
23 (40 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 3 3 0
2 8 8 0
4 6 4 5 0
4 3 7 13 0
1 2 3 4
1 4 5
1 2 3 4 5
1 3 4 5
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x
,
,
,
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 3 21
4 12
2 12
,
,
.
3. 2 3 2 5
1 1 1 2
2 1 3 2
1 1 3 4
.
4. XA B
A
B
,
,
.
5 3 1
1 3 2
5 2 1
8 3 0
5 9 0
2 15 0
5.
p
q
r
a
3 2 1
2 1 3
1 2 2
8 12 2
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
9 16 36
64 44 0
2 8
2 0
2 2
2
x y x
y
y x y
;
.
7. Parašykite apskritimo, kurio centras yra taške C(8;6), o tiesė
5x–12y–46 0 yra jo liestinė, lygtį.
24 (41 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 5
1 2 3 5
1 2 3 4 5
2 6 0
2 4 15 0
2 3 8 27 0
4 6 14 48 0
8 12 28 96 0
,
,
,
,
.
2. x x x
x x
x x
1 2 3
1 3
2 3
4
2 3
2 5
,
,
.
3. 1 1 0 1
0 2 1 0
3 1 4 1
5 3 5 3
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 1 2
2 1 1
1 3 2
1 1 1
3 1 2
2 2 1
5.
a
p
q
r
2 6 4
0 1 0
0 1 1
2 2 2
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 4 20
12 25 0
2 4
11 0
2 2
2
x y x
y
y y x
;
.
7. Parašykite hiperbolės lygtį, jeigu M1 3
5
2
; yra hiperbolės taškas, o
asimptočių lygtys xy .
24
25 (42 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 1
3 7 4 3
2 2
6 13 7 6
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
,
,
,
.
2. x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 10
3 4 0
2 2 10
,
,
.
3. 2 3 4 0
4 2 2 4
1 1 1 1
1 4 0 2
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 1 1
2 1 0
1 1 1
1 1 3
4 3 2
1 2 5
5.
p
q
r
a
1 2 3
2 1 2
3 2 1
6 6 4
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4 8
12 0
4 2
6 0
;
.
7. Raskite kanoninę hiperbolės lygtį, kai duotas jos taškas M 8 2 3; ir
menamoji ašis 4.
26 (43 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 3
2 5 6 8 7
3 10 9 12 13
3 7 9 12 10
,
,
,
.
2. 3 4 4
4 3 22
4 3 4 6
1 2
1 2
1 2 3
x x
x x
x x x
,
,
.
3. 1 0 7 6
1 9 0 6
2 8 5 1
0 5 1 2
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 2 3
3 2 4
2 1 0
1 3 0
10 2 7
10 7 8
5.
p
q
r
a
3 0 4
2 4 5
4 1 2
10 10 0
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
9 9 36
18 55 0
2 4 0
2 2
2
x y x
y
y x y
;
.
7. Parašykite kanoninę hiperbolės lygtį, kai hiperbolė eina per tašką
M 6 2 2; ir asimptočių lygtys yra y x 2
3.
25
27 (44 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
1 2 3 4 5
1 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 3 4 5
2 3 5 0
9 27 0
2 2 15 2 37 0
4 6 24 3 50 0
6 2 24 0
,
,
,
,
.
2. x x
x x
x x
1 3
2 3
1 2
2 3
2 3
3 5
,
,
.
3. 1 3 1 1
0 2 1 0
3 1 5 1
8 2 9 4
.
4. XA B
A
B
,
,
.
1 1 2
2 1 0
1 1 1
1 1 3
4 3 2
1 2 5
5.
a
p
q
r
3 4 5
1 0 3
1 2 1
0 1 1
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4
2 7 0
6 8
47 0
;
.
7. Parašykite hiperbolės lygtį, jei jos asimptočių lygtys y x
3
4, o direktrisių
lygtys x 16
5.
28 (45 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 3 12 0
4 2 16 0
2 6 2 6 4 0
3 12 8 6 28 0
7 28 8 21 8 0
,
,
,
,
.
2. 2 3 4
5 2 4
3 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 1 5 1 1
1 2 3 4
4 4 1 2
1 2 3 4
.
4. AX B
A
B
,
,
.
2 3 1
4 1 1
5 1 1
1 3 2
5 1 5
1 1 3
5.
p
q
r
a
3 2 1
5 1 1
2 3 1
1 5 2
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 24
2 31 0;
2 12
11 0
2 2
2
x y x
y
y x y
.
7. Užrašykite apskritimo, einančio per taškus M(0;4) ir N(2;2), lygtį, jeigu
apskritimo skersmuo sutampa su tiese 2x+3y–6 0.
26
29 (46 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 2 3 0
2 2 6 6 0
2 3 12 2 15 0
8 5 21 4 22 0
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
,
,
,
.
2. 3 2 4
2 3 2
2 1
1 2 3
1 2
2 3
x x x
x x
x x
,
,
.
3. 1 1 6 4
3 1 6 4
2 3 9 2
3 2 3 8
.
4.
XA B
A
B
,
,
.
3 4 5
2 3 1
3 5 1
3 1 4
5.
p
q
r
a
6 5 4
1 2 3
6 4 8
1 1 1
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
4 25 16
150 141 0
3 4
5 0
2 2
2
x y x
y
y x y
;
.
7. Parašykite tiesių, einančių per tašką P(2;3) ir statmenų hiperbolės
4 9 362 2
x y asimptotėms, lygtis. Nubraižykite grafiką.
30 (47 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 4 5
2 4 5
4 2 3 0
2 3 6 4 2 0
2 4 4 0
2 4 0
2 4 0
,
,
,
,
.
2. x x
x x
x x x
1 2
2 3
1 2 3
3
2 4
3 5
,
,
.
3. 6 3 8 8
5 4 4 4
6 4 7 6
2 1 5 4
.
4. AX B
A
B
,
,
.
2 3 1
4 1 1
5 1 1
1 3 2
5 1 5
1 1 3
5.
a
p
q
r
3 5 5
1 0 3
0 2 1
2 1 0
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4
2 7 0
6 8
47 0
;
.
7. Sudarykite elipsės lygtį, jeigu jos didžioji ašis lygi 26, o židiniai yra
taškuose F F1 210 0 14 0 ; ; .
27
31 (48 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. x x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 4 10
2 3 6
4
2 6 4 8 20
,
,
,
.
2. 3 4 4
2 3 6 4
4 3 2 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
,
,
.
3. 1 5 1 2
1 4 0 1
4 4 3 5
4 4 2 4
.
4. AX B
A
B
,
,
.
2 3 1
1 0 1
2 2 1
1 2 3
1 2 1
0 2 3
5.
p
q
r
a
0 5 1
3 2 1
1 1 0
15 5 6
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4 8
12 0
6 4
1 0
;
.
7. Raskite taškų, vienodai nutolusių nuo taško A(2;2) ir nuo Ox ašies,
aibės lygtį.
32 (49 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 3 5 2 4 2
7 4 3 5
5 7 4 6 3
15 2 10
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
,
,
,
.
2. x x
x x x
x x x
1 2
1 2 3
1 2 3
5
4 2 22
3 5 11
,
,
.
3. 12 5 3 2
27 2 5 3
40 8 1 5
41 4 5 3
.
4.
XA B
A
B
,
,
.
1 1 2
1 1 1
1 0 1
7 4 5
5.
p
q
r
a
2 3 4
3 2 1
1 6 7
0 1 2
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
x x y
2 2
2
4 4
32 52 0
10 4
17 0
;
.
7. Duotos trikampio viršūnės A(-2;9), B(-4;5), C(5;8). Parašykite apie
trikampį apibrėžto apskritimo lygtį.
28
33 (50 variantas)
Eil.
Nr.
Užduotys Eil.
Nr.
Užduotys
1. 3 3 2 6 0
3 2 4 3 0
9 5 3 10 12 0
15 8 6 16 21 0
1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
,
,
,
,
2. 2 2
2 6
2 4
3
1 2 3
2 3
x
x x x
x x
,
,
.
3. 6 5 9 5
2 1 1 0
3 2 4 2
1 1 2 0
.
4. AX B
A
B
,
,
.
1 3 2
2 1 2
3 3 2
1
2
0
5.
a
p
q
r
4 3 5
1 1 0
1 0 0
1 2 1
; ; ,
; ; ,
; ; ,
; ; .
6.
a
b
x y x
y
y y x
2 2
2
4 8
8 28 0;
8
16 0
.
7. Parašykite lygtį elipsės, jeigu žinomi du jos taškai. M1 4 3 ; ir
M2 22 2 3; .
