РОЗ’ЯЗАТИ ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК ОЗНАЧАЄ:

За відомими його елементами, знайти невідомі елементи.

Існує 4 типи задач.

1. За двома катетами.

2.За гіпотенузою і катетом.

3.За гіпотенузою і гострим кутом.

4.За катетом і протилежним кутом.Для розв’язання цієї задачі треба знати: теорему Піфагора і співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Розглянемо окремо ці задачі.

Розв’язати прямокутний трикутник:

Задача1Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за двома катетами: a=3, b=4.

Розв’язання

Хай АС=3, ВС=4. Треба знайти:

гіпотенузу АВ та гострі кути А і В.

Гіпотенузу знайдемо за теоремою Піфагора:

АВ2=АС2+ВС2. Звідси АВ2=32+42;

АВ2=9+16; АВ2=25; ,525 ==АВ АВ=5.

Кут А знайдемо із співвідношення: ;6,05

3 ===AB

ACSinA

Тоді ∠А=36052/.

Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 900, то ∠В=900-36052/=5308/.

Задача2Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за гіпотенузою с=13 і катетом а=5.

Розв’язання

Хай АВ=13 і ВС=5.Треба знайти катет АС та гострі кути: А та В.

За теоремою Піфагора: АС2=АВ2-ВС2;

АС2=132-52; АС2=169-25; АС2=144; АС=12.

Кут А знайдемо із співвідношення: ;3846,013

5 ===AB

BCSinA

Тоді ∠А=22037/; Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 900, то:

∠В=900-22037/=67023/.Відповідь: 12, 22037/, 67023/.

Задача3Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за гіпотенузою с=2 та гострим кутом α=200.

Розв’язання

Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 900, то:

∠В=900-200=700. ∠В=700.

АС будемо шукакти із співвідношення: ,SinBАВ

АС =,700SinАВАС ⋅=

АС=2*0,9397=1,8794 ≈ 1,88; АС=1,88.

ВС шукаємо із співвідношення: ;SinAАВ

ВС = ВС=АВSin200;

BC=2*0,3420=0,6840 ≈ 0,68. ВС=0,68.

Відповідь: 700, 1,88, 0,68.

Задача4Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за катетом а=3 і гострим кутом α=30 027 / .

Розв’язання

Хай ВС=3 і α=30027/. Треба знайти АС, АВ, ∠В.

АВ знайдемо із співвідношення:

;SinAАВ

ВС = .92,55068,0

3

'27300≈==

Sin

ВСАВ АВ=5,92.

АС знайдемо із співвідношення: ;tgAАС

ВС =

.10,55879,0

3

'27300≈==

tg

ВСАС АС=5,10.

Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника 900, то:

∠В=900-30027/=59033/. Відповідь: 5,92; 5,10; 59033/.

Для тих, хто хоче знати більше:

Задача1 Знайти Х за даними зображеними на малюнку.

Розв’язання

Треба знайти висоту AD проведену до сторони трикутника АВС.

Тобто треба знайти AD.

Розглянемо ∆ABD. Він прямокутний.

;SinBAB

ADенняспіввідношізТоді = Знаходимо, що AD=AB*SinB;

Тобто AD=a Sinα.

Задача2 Треба знайти сторону прямокутника AD та його діагональ АС.

Розв’язання

Так як протилежні сторони прямокутника рівні, тобто: AB=CD=a.

Розглянемо прямокутний трикутник ACD.

AC знайдемо із співвідношення:

,αSinAC

CD =;

αSin

CDAC = .

αSin

aAC =

.,,αα

αtg

aAD

tg

CDADtg

AD

CD ===

Задача3Знайти Х та У за даними на малюнку.

Розв’язання

Розглянемо прямокутний трикутник ACD.

Знайдемо АС:

;,, ααα lCosACADCosACCosAD

AC ===

Знайдемо DC:

;,, ααα lSinDCADSinDCSinAD

DC === Розглянемо ∆ АВС:

.22

,2

,2αα

αα

αSin

l

Sin

lCosAB

Sin

ACABSin

AB

AC ====

.2

2.2

2.2.2 α

αααα

ααα Cosl

Sin

CosSinlBCSin

Sin

lBCABSinBCSin

AB

BC ⋅=⋅⋅=⋅===

BD=BC-DC BD=l*Cosα − – l*Sinα = l*(Cosα – Sinα)

∠DAC=∠BAD=α

Задача4 Знайти Х та У за даними малюнка.

Розв’язання

Розглянемо ∆ CDB:

,,, βββ bCosDBCBCosDBCosCB

DB ===

Розглянемо ∆АСВ:

.,, βββ btgACCBtgACtgCB

AC ===

Задача5 Знайти Х та У за даними малюнка.

Розв’язання

Розглянемо ∆ АВС: ,αtgAC

AB =.

αα tg

a

tg

ABAC ==

Розглянемо ∆ ADC: ,βSinAC

DC =

,βACSinDC = .α

ββα tg

aSinSin

tg

aDC =⋅=

,βCosAC

AD = ,βACCosAD =

.α

ββα tg

aCosCos

tg

aAD =⋅=

Задача6Знайти Х за даними малюнка.

Розв’язання

Проведемо ВК ⊥ AD.

K

Тоді BC=KD=6. BK=CD= 32

∠ABK=300. Тоді ,300tgBK

AK =

.23

332300 =⋅== BKtgAK

AD=AK+KD, AD=2+6=8.

Відповідь: 8.

Задача7Знайти Х за даними малюнка.

Так як трапеція ABCD рівнобічна, то:

AD=BC+2ED.

Розв’язання

Знайдемо ED.

Розглянемо ∆ CDE. ∠CDE=600.

Тоді ,600tgED

CE = ;600tg

CEED =

.13

3 ==ED Тоді AD=5+2*1=7.

Відповідь: 7.

Задача8Знайти Х за даними малюнка.

Розв’язання

Розглянемо ∆ ADC: Він прямокутний

Катет DC лежить проти кута 300, а тому дорівнює половині гіпотенузи АС.

Отже АС=8. Розглянемо ∆ АВС.

Він рівнобедрений. Тому АЕ=ЕС=4.

Розглянемо трикутник АВЕ. Він прямокутний.

,300tgАЕ

ВЕ = ,300tgAEBE ⋅= .3

34

3

34 =⋅=BE