Gia sư Thành Được ĐỀ THI THỬ THPT NĂM 2016 Môn: TOÁN fileGia sư Thành Được 1 ĐỀ THI THỬ THPT NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút Câu 1

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

ĐỀ THI THỬ THPT NĂM 2016

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = –x³ + 3x + 1.

Câu 2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 1

x 2

tại điểm có hoành độ bằng 1

Câu 3. (1,0 điểm)

a. Cho số phức z thỏa mãn z(i + 2) + z = 5 + 3i. Tính modun của số phức z.

b. Giải phương trình log2 (3x – 1) + log2 (x + 3) – 3 = 0

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I =

2

1

x(1 ln 2x)dx

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 3 = 0 và điểm

M(1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng (Δ) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm N đối xứng

với M qua mặt phẳng (P).


a. Cho tan x = –3. Tính giá trị của biểu thức A = 3 3

3sin x cos x

sin x 2cos x

b. Gọi X là tập hợp các số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Chọn ngẫu

nhiên đồng thời 2 số từ X. Tính xác suất để tích hai số là một số chẵn.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh BC. Cạnh SC tạo với đáy một góc 60°. Tính theo a

thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC, SD.

Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, điểm D(3; 5) là chân

đường cao của ΔABC hạ từ B. Đường thẳng BC đi qua điểm E(–1; –3). Đường cao hạ từ A của ΔABC có

phương trình x + y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Câu 9. (1,0 điểm) Giải phương trình (2x² – 2x + 1)(2x – 1) + (8x² – 8x + 1) 2x x = 0 trên tập số thực R.

Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 4 4 4 49

x y z x y z

. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức P = (x y)(y z)(z x)

xyz


2

ĐÁP SỐ.

1. Bạn đọc tự giải.

2. phương trình tiếp tuyến y = –3x + 1

3a. |z| = 5 3b. x = 1

4. I = 7 3

ln 22 4

5. (Δ):

x 1 2t

y 2 t

z 3 2t

và N(–3; 4; –1)

6a. A = 4 6b. 348/503

7. 32a 3

3 và

a 3

2

8. A(0; 6), B(1; –1), C(6; 4)

9. Đặt a = 2x – 1 và b = 2x x (điều kiện 0 ≤ x ≤ 1)

Phương trình đã cho trở thành: (1 – 2b²)a + (1 – 2a²)b = 0

<=> (a + b)(1 + 2ab) = 0 <=> b = –a hoặc ab = –1

Với b = –a => x = 5 5

10

Với ab = –1. Chứng minh được phương trình vô nghiệm.

10. Đặt a = x/y; b = y/z; c = z/x => abc = 1 và a, b, c > 0.

Giả sử a là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c => 0 < a ≤ 1.

Điều kiện đề bài <=> a + b + c + ab + bc + ca = 37/4 => b + c = 237a 4a 4

4a(a 1)

P = (a – 1)(b – 1)(c – 1) = 1 – a(b + c) – bc + a + b + c – 1 = 2 2a(37a 4a 4) 1 37a 4a 4

a4a(a 1) a 4a(a 1)

P = 3 2

2

8a 37a 37a 8

4a 4a

. Đặt g(a) = P => g’(a) =

4 3 2

2 2

4a 8a 37a 8a 4

2(a a)

g’(a) = 0 <=> a = 1/2 => max P = 3/4 khi (a, b, c) = (1/2; 1/2; 4) hoặc (1/2; 4; 1/2) hoặc (4; 1/2; 1/2)


3


Môn TOÁN


Câu 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3

x 1

Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – 2x² + mx – 2 đạt cực tiểu tại xo = 2.


a. Tìm các căn bậc hai của số phức z = 1 9i

5i1 i

b. Giải phương trình 4log9 x + logx 3 = 3.

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I = π/2

0

(x 2cos x)cos x.dx

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; –1), B(3; 0; 5) và mặt phẳng

(P): 2x – y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường

thẳng (Δ) đi qua điểm A, cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P).


a. Giải phương trình cos 2x = 3cos x + 4

b. Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3 2

n nC 6A = 13n. Tìm hệ số của số hạng chứa x31

trong khai triển của P

= (x + 1/x²)n.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a và góc ACB = 30°.

Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và góc hợp bởi cạnh bên SB và

đáy là 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I). Tiếp

tuyến của (I) tại A có phương trình 2x + y + 3 = 0. Chân đường phân giác trong góc A là D(1; 7) và đường

thẳng chứa cạnh AC có phương trình là y – 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C.

Câu 9. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2 2 2 4 2

2 2 2 2

x y xy x y xy x 1 0

4x y x 4(y 1) 4 y 1 7x 1 2x

trên R.

Câu 10. (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = 2

2 2

a b c 3c

(b c) 2bc (a c) 2ca 2(a b)


4

ĐÁP SỐ

1. Bạn đọc tự giải

2. m = –4.

3a. 2i và –2i 3b. 3 và 3

4. I = π – 1

5. x – y + 3z – 7 = 0 và (Δ): x 1 y 2 z 1

1 4 2

6a. x = π + k2π, k thuộc Z 6b. 9880

7. V = a³/2 và d = 2a 15

5

8. B(–3; 9), C(9; 3).

9. Biến đổi phương trình thứ nhất: (y² – x + 1)(x² + 1 – y²) = 0

Với y² – x + 1 = 0 => y² = x – 1. Thay vào phương trình còn lại 24x 1 6x 8 4 x 2 7x 1 0 (*)

Với x ≥ 2, ta có 4x – 8 ≥ 0; x² – 4x + 8 > 0 => x² > 4(x – 2) => 2x > 4 x 2

4x² – 7x – 2 ≥ 0 => 4x² – 1 ≥ 7x + 1 > 0.

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

Với y² = x² + 1 thay vào phương trình còn lại: 25x x 1 + 4x² = 4x + 7x 1 – 2x

<=> 2 25x x 1 (x 1) (4x 3x) (2x 1) 7x 1 0

<=> 2 2

2

2

4x 3x 4x 3x(4x 3x) 0

2x 1 7x 15x x 1 (x 1)

<=> 2

2

1 1(4x 3x)( 1 ) 0

2x 1 7x 15x x 1 x 1

<=> 4x² – 3x = 0 (vì x ≥ –1/7 nên phần còn lại dương)

<=> x = 0 hoặc x = 3/4

Với x = 0 => y = ±1; x = 3/4 => y = ±5/4

Hệ phương trình có tập hợp nghiệm là S = {(0; 1), (0; –1), (3/4; 5/4), (3/4; –5/4)}

10. Áp dụng BĐT cô–si: 2bc ≤ (b + c)²/2; 2ca ≤ (c + a)²/2

=> P ≥ 2

2 2

2a 2b c 3c

3(b c) 3(c a) 2(a b)

2

2 2 2

2a 3a a 2a 2a 2a 3a2

3(b c) 2 (b c) b c 3(b c) b c 2

. Tương tự:

2

2b 2b 3b

3(c a) c a 2

=> P ≥ 2 22a 2b 3 3c c 2 2 3 c 3c

(a b) (1 c) 4b c c a 2 2(a b) b c c a 2 2(1 c)

1 1 4 4

b c c a a b 2c 1 c

=> P ≥

8 2c 11

1 c 1 c 2

= g(c)

g’(c) = 2

2 2 2 2

8 2 2( 3 10c 3c )

(1 c) (1 c) (1 c )

g’(c) = 0 <=> c = 1/3. Lập bảng biến thiên với 0 < c < 1 => min P = g(1/3) = 3/2 khi a = b = c = 1/3.


5


Môn TOÁN


Câu 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x³ – 3x² + 3

Câu 2. (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – ex–1

trên [0; 2].


a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (7 – i)(3 – 4i)z = (8 + 6i)²

b. Giải phương trình 33x

= 9x+1

+ 9x – 3

x+2.


π/4

2

0

3 2 tan xdx

cos x

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (Δ): x 2 y 1 z 3

1 2 2

và

mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của (Δ) và (P). Viết phương trình mặt phẳng Q chứa

(Δ) và vuông góc với (P).


a. Cho tan x = 3/2. Tính A = 24sin x sin 2x

cos 2x 1

b. Một tổ học sinh có 5 em nữ và 7 em nam được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để không có hai em

nữ nào đứng cạnh nhau.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Biết SA = SB = SD = BD = a.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến (SCD).

Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có E(–2; 2) là trung điểm của

cạnh AB. Gọi F là trung điểm của cạnh CD. Đường thẳng AF và BD lần lượt có phương trình là x + y – 4 =

0 và x – 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.

Câu 9. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên R:

2 2 3

2

x(x 3xy 5y 10y 3x 5) 3(y 1) (1)

(x 1)(y y 1) 1 (3y 1)(1 3x 5) (2)

Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 2 2(a 1) (b 1)

c(2 a b)(a c)(b 1) (b c)(a 1)


6

ĐÁP SỐ


2. min y = 2 – e; max y = 0

3a. –2 + 2i 3b. {0; 2}

4. 2

5. (5; –7; 3) và (Q): y + z + 4 = 0

6a. A = 3 6b. 7/99

7. 3a 2

6 và d(B, (SCD)) =

a 2

2

8. A(–1; 5), B(–3; –1), C(3; –3), D(5; 3).

9. phương trình (1) <=> x³ – 3x²(y + 1) + 5x(y + 1)² – 3(y + 1)³ = 0 có nghiệm là x = y + 1. Thay vào (2) ta

được y³ – y² + y = (3y 2) 3y 2 (3y 2) 3y 2 (*)

Xét hàm số g(t) = t³ – t² + t => g’(t) = 3t² – 2t + 1 > 0 với mọi t => g(t) đồng biến trên R

(*) <=> g(y) = g( 3y 2 )

<=> y = 3y 2 <=> y = 1 hoặc y = 2.

Hệ phương trình có tập nghiệm S = {(2; 1), (3; 2)}

10. Ta có 2 2 2(a 1) (b 1) (a b 2)

(a c)(b 1) (b c)(a 1) 2ab a b c(a b 2)

và 2ab ≤ (a + b)²/2

=> P ≥ 2

2

2(a b 2) a b 2c(2 a b) 2 c(2 a b)

(a b) 2(a b) 2c(a b 2) a b 2c

với a + b = 3 – c

=> P ≥ 2(5 c)

c(c 1)3 c

= g(c)

Đạo hàm g’(c) = 3 2 2

2 2

2c 11c 12c 25 (c 1)(2c 13c 25)

(3 c) (3 c)

=> g’(c) = 0 <=> c = 1.

Lập bảng biến thiên => min P = g(1) = 2 khi a = b = c = 1.


7


Môn TOÁN


Câu 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x 1

x 3

Câu 2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x³ – 3x² – 2 biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng y = 9x + 2016.


a. Tính modun của số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z + (1 – z )i = 15

b. Giải bất phương trình log2 (x² – x) + log1/2 (x – 1) ≤ 2


2

2

0

2x ln(x 4)dx

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và đường

thẳng (Δ): x 1 y 2 z 2

2 2 1

. Tìm tọa độ giao điểm M của (Δ) và (P). Viết phương trình đường thẳng d đi

qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với (Δ).


a. Giải phương trình sau: 2cos (2x – π/3) – 3 sin 2x = 1

b. Chia ngẫu nhiên 12 bạn trong đó có An và Bình vào 3 nhóm sao cho mỗi nhóm có 4 người. Tính xác suất

sao cho An và Bình ở cùng một nhóm.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a;

AD = 2a; SA = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm I của đường chéo AC. Tính theo a

thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC.

Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Biết CD =

2AB và B(–2; 7). Hình chiếu vuông góc của D trên cạnh AC là H(–1; 4). Gọi M là trung điểm của đoạn HC.

Đường thẳng chứa DM có phương trình là 3x + y + 9 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D.

Câu 9. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập các số thực: 2 4 2 2 32x (x y) x (y 1) 3(y 1) (1)

(y 1)(7x 2y 2) x 3 2y 18 (2)

Câu 10. (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 2 2

2

2(x y)(x y z) z (x y z)

13(x y) 12(x y)z 24x(y z) xy yz


8

ĐÁP SỐ


2. phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 3 và y = 9x – 29

3a. |z| = 5 3b. (1; 4]

4. I = –4 + 16ln 2

5. (–3; 2; 4) và d: x 3 y 2 z 4

1 3 4

6a. x = kπ; k là số nguyên 6b. 1/11.

7. 3a 2

4 và d(AB, SC) =

a 6

3

8. A(1; 3), C(–9; 8) và D(–3; 0).

9. Phương trình (1) <=> 2x

6 + 2x²(y + 1)² – 3(y + 1)³ = 0 (*)

Vì y + 1 = 0 không thỏa mãn phương trình (2) nên xét y ≠ –1

(*) <=> 2 2

3x x2( ) 3 0

y 1 y 1

(3)

Xét hàm số g(t) = 2t³ + t có g’(t) = 6t² + 1 > 0 với mọi t => g(t) đồng biến trên R

phương trình (3) <=> g(t) = g(1) <=> t = 1 <=> x² = y + 1.

Thay vào phương trình (2) ta được 2 2 2x (7x x ) x 3 2x 16

<=> 3

3

16 2 2 2(2x 6 1) x 3 2(x 3) x 3 x 3 2( )

x x x x

<=> 2

x 02 2g( x 3) g( ) x 3

x x x (x 3) 4

<=> x = 1 => y = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0).

10. (x + y + z)² ≥ 4x(y + z) = 4(xy + xz) và 24x(y + z) ≤ 6(x + y + z)²

=> P ≥ 2

2 2

2(x y)(x y z) z4

13(x y) 12(x y)z 6(x y z)

Đặt x + y = tz => P ≥ 2 2

2 2 2 2

2tz(tz z) z 2t 2t 14 4

13t z 12tz 6(tz z) 19t 24t 6

= g(t)

g’(t) = 2

2 2

10t 14t 12

(19t 24t 6)

g’(t) = 0 <=> t = 2 hoặc t = –3/5 (ℓ)

Lập bảng biến thiên => min P = g(2) = 41/10 khi 2x = 6y = 3z.


9


Môn TOÁN


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x

x 1 (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ là yo = 2


a. Giải phương trình 52x

– 24.5x–1

– 1 = 0

b. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = 2 + 9i


π/6

0

2cos x ln(1 2sin x)dx

Câu 4. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các đỉnh

A(0; 0; 0), B(3; 4; 0), D(4; –3; 0), C’(7; 1; 5). Tìm tọa độ của A’ và viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp

hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.


a. Cho cot α = –3. Tính A = 1 – 2sin 2α + cos 2α

b. Trong kỳ thi xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi bốn môn trong đó có ba môn bắt buộc và

một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn gồm Vật lí, Hóa học và ba môn khác. Lớp 12A có 32 học sinh

đăng kí dự thi, trong đó 9 học sinh chọn môn Vật lí và 13 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học

sinh bất kỳ của lớp 12A. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó không có đồng thời học sinh chọn môn Vật lý

và học sinh chọn môn Hóa học.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a; AB = a. Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AD. Tam giác SAD vuông tại S. Tính theo

a thể tích của khối chóp S.IBCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CI.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có E(2; 1) là giao của ba đường

phan giác trong. Đường thẳng AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D(2, –4). Đường thẳng chứa

cạnh BC có phương trình là x – 2y – 5 = 0. Xác định tọa độ các điểm A, B, C biết điểm B có hoành độ âm.


3

2 3 3

(x 1) 6y (4 3y)( 1 3y 1)

(3y 2)(3x x 9y 3 3x 5) 6x 3x 5 10x 22

Câu 9. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 2

2 2

2 2 16(a b c) 2 (a 2b)(a 2c)

(3a b)(3a c) (a b c)(a 2b) 3b 14bc 8c


10

ĐÁP SỐ

1b. Phương trình tiếp tuyến là y = x + 4.

2a. x = 1 2b. 4 và 3.

3. 2ln 2 – 1

4. A’(0; 0; 5) và (S): (x – 7/2)² + (y – 1/2)² + (z – 5/2)² = 75/4.

5a. A = 3 5b. 131/248

6. V = a³/2 và d(SA, IC) = a3

3

7. A(2; 6), B(–3; –4) và C(5; 0)

8.

3

2 3 3

(x 1) 6y (4 3y)( 1 3y 1) (1)

(3y 2)(3x x 9y 3 3x 5) 6x 3x 5 10x 22 (2)

(1) <=> (x – 1)³ = ( 1 3y – 1)³ <=> x = 1 3y

<=> x² = 1 + 3y (với x ≥ 0)

Thay vào (2) ta được phương trình 2 3 3(x 1)(x 3 3 3x 5) 6x 3x 5 10x 22

<=> 3 2 2 3x 3x 9x 19 3(x 2x 1) 3x 5 0

<=> 3 2 3(x 1) 3(x 1) 3x 5 4(3x 5) 0 (*)

Vì x ≥ 0 nên đặt (x + 1) = k 3 3x 5 với điều kiện k > 0.

(*) <=> k³ + 3k² – 4 = 0 <=> k = 1 hoặc k = –2 (ℓ)

k = 1 <=> x + 1 = 3 3x 5 <=> x³ + 3x² – 4 = 0

<=> x = 1 V x = –2 (loại) => y = 0.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0)

9. Ta có (a 2b)(a 2c) ≤ (2a + 2b + 2c)/2 = a + b + c

(3a + b)(3a + c) ≤ (6a + b + c)²/4; (a + b + c)(a + 2b) ≤ (2a + c + 3b)²/4

và 3b² + 14bc + 8c² = (3b + 2c)(b + 4c) ≤ (4b + 6c)²/4

=> P ≥ 2

2 2 2

8 8 64(a b c) 2(a b c)

(6a b c) (2a c 3b) (4b 6c)

Mặt khác 1/x² + 1/y² ≥ 2/xy và xy ≤ (x + y)²/4 => 1/x² + 1/y² ≥ 8/(x + y)² (*)

Áp dụng (*) ta có 2 2 2

8 8 64

(6a b c) (2a c 3b) (8a 4b 2c)

Suy ra 2 2 2 2 2 2

8 8 64 64 64 8

(6a b c) (2a c 3b) (4b 6c) (8a 4b 2c) (4b 6c) (a b c)

Nên P ≥ 2

2

8(a b c) 2(a b c)

(a b c)

Đặt t = a + b + c => P ≥ 8/t² + t² – 2t = g(t).

g’(t) = 2t – 2 – 16/t³ → g’’(t) = 2 + 48/t4 > 0 với mọi t > 0

g’(t) = 0 <=> t = 2 và g’’(2) > 0 => g(t) có giá trị nhỏ nhất là g(2)

=> min P = g(2) = 2 khi a = 2/5 và b = c = 4/5.


11


Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = –x³ + 3x² – 2

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = x 3

x 2

tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.


a. Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z² – 4z + 5 = 0. Tính |z1 – z2|.

b. Giải phương trình log2 (x + 3) – log1/2 x² = 2.


0

2

1

1dx

x 2x 2

Câu 4. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –3; 1) và mặt phẳng α: x – 2y + 2z +

8 = 0. Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng α. Viết phương trình mặt cầu tâm B và đi qua A.


a. Tính giá trị của biểu thức P = 25sin x (sin x + sin 3x) – 7(1 + cos 2x) biết cos x = 3/5

b. Chọn một số có 5 chữ số. Tính xác suất sao cho số được chọn là số viết theo thứ tự ngược lại vẫn giống

như số ban đầu.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a. Hình chiếu

vuông góc của S trên (ABC) là trung điểm H của cạnh AC. Biết SA tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính theo

a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng

của B qua C. Hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (T): (x – 3/4)² + (y – 2)² = 169/16 và điểm M(6; 5).

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ dương.

Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:

3 2 3

2

x x xy(x y 2) x 3(y 1) (1)

x (y 1) x 4 2 y 3y (2)

Câu 9. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 3 3

2 2 2 2

8 4 x y

z(x y)(x y 2z) 18(x y ) 3(x y) 6z


12

ĐÁP SỐ

1b. y = x – 3

2a. 2 2b. {1; –2}

3. π/4

4. (S): x² + (y – 1)² + (z + 3)² = 36

5a. P = 18 5b. 1/100.

6. VS.ABC = a³/2 và d(SA, BC) = 2a 39

13

7. A(–5/2; 2), B(2; –1), C(4; 2), D(–1/2; 5)

8. (1) <=> x³ + x²(y – 1) + x(y – 1)² – 3(y – 1)³ = 0 (*)

Nếu y = 1 => x = 0 thỏa hệ phương trình

Nếu y ≠ 1, đặt x = k(y – 1)

(*) <=> k³ + k² + k – 3 = 0 <=> (k – 1)(k² + 2k + 3) = 0 <=> k = 1 => x = y – 1

(2) <=> 2x (x 2) x 4 1 x 3(x 1) (với điều kiện 1 ≥ x ≥ –4)

<=> 3 2x 2x 3x 3 x 4 1 x

<=> 2

3 2 9 ( x 4 1 x)x 2x 3x

3 x 4 1 x

<=> 3 2 2[2 (x 4)(1 x)]x 2x 3x

3 x 4 1 x

<=> 2

2 2(x 3x)(x 1)(x 3x)

(3 x 4 1 x)[2 (x 4)(1 x)]

<=> 2

2

2(x 3x)[x 1 ] 0

(3 x 4 1 x)(2 4 3x x )

<=> x² + 3x = 0 (vì x ≤ 1)

<=> x = 0 V x = –3.

Hệ phương trình có tập nghiệm là S = {(0; 1), (–3; –2)}

9. (x + y + 2z)² ≤ (1 + 2)[(x + y)² + 2z²] = 3(x + y)² + 6z²

2xy ≤ x² + y² => 4/(x² + y²) ≤ 2/(xy) = z

8/[z(x + y)] = 4xy/(x + y) ≤ (x + y)²/(x + y) = x + y

=> P ≤ 3 3x y z x y

x y 2z 18

Mặt khác x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) ≥ (x + y).xy = 2(x + y)/z

=> P ≤ x y z x y

x y 2z 9z

Đặt t = (x + y)/z (với t > 0)

Nên P ≤ t 1 t

t 2 9

= g(t). => g’(t) =

2

1 1

(t 2) 9

=> g’(t) = 0 <=> t = 1.

Lập bảng biến thiên suy ra max P = g(1) = 5/9 khi x = y = 1 và z = 2.


13


Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = –x³ + 6x² – 9x + 2

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = 2x 1

2x 1

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:

y = –4x + 1.


a. Tìm b, c sao cho phương trình z² + bz + c = 0 có một nghiệm là z1 = 1 – 3i.

b. Giải bất phương trình log2 (2x² + 3x) < log1/2 (x + 1) + log2 (4x + 6)


1

2

0

1 2ln(x 1)dx

(x 1)

Câu 4. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(–2; 1; 3) và mặt phẳng α: x + 2y – 2z –

3 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng α. Tìm tọa độ của tiếp điểm.


a. Giải phương trình (1 + sin x)cos x = sin x + cos² x.

b. Cho một đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn 3 đỉnh bất kỳ để tạo thành tam giác. Tính xác suất để tam giác đó

là tam giác cân.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Hình chiếu vuông góc của S

lên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB. Biết góc BAC = 30°, AC = 2a, SA = a. Tính theo a thể tích của

khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có E(–5/2; –15/2) là trung

điểm của cạnh CD. Gọi I là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho góc EAI = 45°. Hai đường thẳng AE và AI

lần lượt cắt cạnh BD tại H(–3; –4) và G(2; –3/2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và D.

Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực: 2

3

(x 2) x y 1 (3x 2y 6)y 2y 1 (1)

(y 2)(3 x 2 5x 6 3y 4) 3(3x 2) (2)

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P = 2

2 2 2

4 3x 4 3y z( 1)3 x 3 y 3 z


14

ĐÁP SỐ

1b. y = –4x – 1 và y = –4x + 7

2a. b = –2 và c = 10 2b. (0; 1)

3. I = 3/2 – ln 2.

4. (S): (x + 2)² + (y – 1)² + (z – 3)² = 9 và tiếp điểm A(–1; 3; 1)

5a. x = π/4 + kπ; x = k2π 5b. 3/19.

6. VS.ABC = 3a 3

12 và d(B; (SAC)) =

a 5

5

7. A(–4; 3), B(5; 0), C(2; –9) và D(–7; –6)

8. (1) <=> (x + 2)² – 3(x + 2)y + 2y² + x y 1 2y 1 = 0

<=> (x + 2 – y)(x + 2 + 2y) + x 2 y

x y 1 2y 1

= 0

<=> (x + 2 – y)(x + 2y + 2 + 1

x y 1 2y 1 ) = 0 (*)

Vì x + y + 1 ≥ 0 và y ≥ 1/2 => x + 2y + 2 > 0

(*) <=> y = x + 2. Thay vào (2) ta có 3x(3 x 2 5x 6 3x 2) = 9x + 6 (3)

x = 0 không thỏa mãn (3) => 3 63 x 2 5x 6 3x 2 9 0

x

Đặt g(x) = 3 63 x 2 5x 6 3x 2 9

x (với x = y – 2 ≥ –3/2 và x ≠ 0)

=> g’(x) = 223

3 5 1 6

x2 x 2 2 5x 6 (3x 2)

> 0 với mọi x ≥ –3/2 và x ≠ 0

=> g(x) đồng biến trên (–3/2; 0) và (0; +∞)

mà g(–1) = 0 và g(2) = 0 => (3) có 2 nghiệm x1 = –1 và x2 = 2

Hệ phương trình có tập nghiệm {(–1; 1), (2; 4)}

9. Đặt x = 3 tan (A/2), y = 3 tan (B/2) và z = 3 tan (C/2) trong đó 0 ≤ A, B, C < π

Điều kiện đề bài <=> tan (A/2) tan (B/2) + tan (B/2) tan (C/2) + tan (C/2) tan (A/2) = 1

<=> C 1 tan(A / 2) tan(B / 2) A B π A B

tan cot tan( )2 tan(A / 2) tan(B / 2) 2 2 2

<=> A + B + C = π + k2π

mà 0 ≤ A, B, C < π nên A + B + C = π.

P = (2sin A + 2sin B + 1)sin² (C/2)

P = 2 2A B A B C C A B C

(4sin cos 1)(1 cos ) (4cos cos 1)(1 cos )2 2 2 2 2 2

Vì cos [(A – B)/2] ≤ 1 nên P ≤ [4cos (C/2) + 1][1 – cos² (C/2)]

Đặt t = cos (C/2) => P ≤ (4t + 1)(1 – t²) = 1 + 4t – t² – 4t³ = g(t)

g’(t) = 4 – 2t – 12t²

g’(t) = 0 <=> t = 1/2 (loại t < 0).

Lập bảng biến thiên.

max P = g(1/2) = 9/4 <=> C = 2π/3 và A = B = π/6 => x = y = 2 3 – 3 và z = 3


15

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 3 x

x 1

b. Tìm m để đường thẳng (Δ): y = mx + m + 3 tiếp xúc với đồ thị (C).


a. Cho số phức z = 1 3

i2 2 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = 4z³ – 3i z ³

b. Giải phương trình log2 (4x² – x) – 4log4 x = 1.

Câu 3. (1,0 điểm) Tính tích phân I = 1

2

0

2[x ](3x 2)dx

(x 1)

Câu 4. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y + 4z – 3 = 0

và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp

xúc với (S) sao cho tâm I của (S) nằm ở giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(α) và (β).


a. Giải phương trình sin 2x + cos 2x + 2cos x + 2sin x + 3 = 0

b. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số lập được từ E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Chọn ngẫu nhiên hai số từ

X. Tính xác suất để hai số được chọn có tổng hai số là một số lẻ.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy

và cạnh SC tạo với mặt đáy một góc 45°. Gọi O là trung điểm của AC. Tính theo a thể tích của khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SO, CD.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác trong

góc A cắt đường tròn đường kính AC tại E(2; 6). Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là x + 2y – 4 = 0.

Biết AC = 2AB và đỉnh A có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực: 2

x x 1 3y (y 1) y 3(x 1) (1)

y 1 (1 4 y) 3 x x y 3y 1 (2)

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 2 2 2 2 2x y 4(x y ) 2x 2y z

(x y)z 4xy 2xyz(x y)


16

ĐÁP SỐ

1b. m = –1

2a. –4 và 3 2b. x = 1/2

3. 3 – 6ln 2

4. (β): 2x – 2y + z + 11 = 0 và d(α, β) = 4

5a. x = –π/2 + k2π, k là số nguyên 5b. 108/215

6. VS.ABCD = 3a 2

3 và d(SO, CD) =

a 2

3

7. A(–4; 4), B(–2; 8) và C(4; 0)

8. phương trình (1) <=> (x 1) x 1 3(x 1) x 1 y y 3y y (3)

Điều kiện –1 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 4.

Xét hàm số g(t) = t³ – 3t² – t trên [0; 2] => g’(t) = 3(t – 1)² – 4 < 0 với 0 ≤ t ≤ 2

→ g(t) đồng biến trên (0; 2)

(3) <=> g( x 1) g( y) <=> y = x + 1

(2) <=> 2x 2 (1 3 x)( 3 x) x (x 1) 3(x 1) 1

<=> 3 2x 2 3 x 3 x x 4x 4

<=> 25 2 (x 2)(3 x) 9(x 2)(x x 2)

x 2 3 x 3

<=> 2

2 2(x x 2)(x 2)(x x 2) 0

( x 2 3 x 3)[ (x 2)(3 x) 2]

<=> 2 2

(x x 2){x 2 } 0( x 2 3 x 3)[ (x 2)(3 x) 2]

<=> x² – x – 2 = 0 vì x ≥ –1

<=> x = –1 V x = 2.

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(–1; 0), (2; 3)}

9. (x + y)z ≤ [(x + y)² + z²]/2 ≤ (2x² + 2y² + z²)/2

mà 4xy ≤ (x + y)² và 4(x² + y²) ≥ 2(x + y)²

=> P ≥ 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2

2(x y) 4(x y) 2x 2y z2

2x 2y z 2(x y) 2(x y)2x 2y z

Đặt 2 2 22x 2y z t(x y) 2 => t > 0

=> P ≥ 2

1 22t

t t 1

= g(t)

g’(t) = 6 4 3 5 4 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 4t 2t 3t 4t 1 (t 1)(2t 2t 5t t t 1)2

t (t 1) t (t 1) t (t 1)

g’(t) = 0 <=> t = 1.

max P = g(1) = 4 khi z = 2x = 2y.


17

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = –2x³ + 3x² + 1

b. Tìm m để hàm số y = x³ – 2mx² + m²x đạt cực đại tại x = 1.


a. Cho số phức z1 = 2 – 3i là nghiệm của phương trình az² + bz – 13 = 0. Tìm a, b và nghiệm còn lại.

b. Giải bất phương trình log2 (2x) ≤ 5 + 2log1/4 (x + 6).


π

π/2

2sin x[ ln(cos x 2)]dx

2 cos x

Câu 4. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 3; –4), B(–2; –3; 3) và mặt phẳng

(α): x – 3y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (α). Tìm

tọa độ giao điểm của AB và (α).


a. Cho sin α = –3/5 và –π/2 < α < 0. Tính giá trị của biểu thức A = 25(cos α + sin 2α) tan α.

b. Một vận động viên bắn cung có xác suất bắn vào tâm 10 điểm là 0,1; xác suất bắn được 9 điểm là 0,2; xác

suất bắn được 8 điểm là 0,3; xác suất bắn được điểm 7 là 0,2. Trong một cuộc thi, vận động viên được bắn

ba lần. Tính xác suất để vận động viên đó được điểm trung bình là 9.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = a và AD = 3a. Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = 2HC. Cạnh bên SC tạo với đáy một

góc 45°. Gọi M là trung điểm của cạnh SA. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa

hai đường thẳng SH, BM.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, có D(1; –1), E(2; –1)

lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AC. Đường cao hạ từ B của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại M(5;

–1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có tung độ âm.

Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên R:

2 2

2

x 1 y 2 xy y y 5 x 4

x 1 (x 1)(x y) 2(y 1) y 1

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = xy + yz + zx – 2xyz + z xy x yz y zx


18

ĐÁP SỐ

1b. m = 3

2a. a = –1; b = 4 và z2 = 2 + 3i 2b. (0; 2]

3. 1

4. (β): 3x + 5y + 6z + 3 = 0 và AB ∩ (α) = E(0; 0; –1/2)

5a. 3 5b. 0,016

6. V = a³ và d(SH, BM) = 2a 5

5

7. A(3; –3), B(1; –3) và C(1; 1)

8. Phương trình thứ hai <=> ( x 1 y 1) [(x 1) (y 1)][(x 1) 2(y 1)] 0

<=> ( x 1 y 1)[1 ( x 1 y 1)(x 2y 1)] 0 (*)

Điều kiện x ≥ – 1 và y ≥ 1

(*) <=> y = x + 2

phương trình đầu <=> 2 2x 1 x(x 2) x 2 x 4x 9

<=> 2 2 2x 1 1 x 3x x 4x 9 3 0

<=> 2 2

2

2 2

x x 4xx 3x 0

x 1 1 x 4x 9 3

<=> 2 2

x x 4x( x 3 ) 0

x 1 1 x 4x 9 3

(3)

Vì |x| < 2x 1 1 và |x + 4| ≤ |x + 2| + 2 < 2x 4x 9 3 và x ≥ –1

=> 2 2 2 2

x x 4 x x 4x 3 (1 ) (x 1) (1 )

x 1 1 x 4x 9 3 x 1 1 x 4x 9 3

> 0

(3) <=> x = 0 => y = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 2)

9. Giả sử x là số nhỏ nhất trong ba số dương x, y, z => 0 < 3x ≤ x + y + z = 1 => 0 < x ≤ 1/3.

1 – 2x > 0 => yz – 2xyz = yz(1 – 2x) ≤ (y + z)²(1 – 2x)/4 = (1 – x)²(1 – 2x)/4

và 2x y z 1 x

x yz x(x y z) yz (x y)(x z)2 2

Chứng minh tương tự 1 z

z xy2

và

1 yy zx

2

P ≤ x(1 – x) + (1 – x)²(1 – 2x)/4 + (3 + x + y + z)/2 = –x³/2 + x²/4 + 9/4 = g(x)

g’(x) = –3x²/2 + x/2

Với 0 < x ≤ 1/3 thì x/2 – 3x²/2 ≥ 0

=> g’(x) ≥ 0 với 0 < x ≤ 1/3

Vậy max P = g(1/3) = 61/27 khi x = y = z = 1/3.


19


Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x 1

x 1

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = –3x + 2016.


1

x

0

1e [ln(x 1) ]dx

x 1


a. Cho tan x = 2 (0 < x < π/2). Tính giá trị của biểu thức A = 9(sin 3x + sin x)sin x

b. Giải phương trình log3 (x² + x + 1) = log3 (x + 3) + 1.


a. Tìm mođun của số phức z thỏa z(2 + i)² = 25i

b. Tìm hệ số của x8 trong khai triển P(x) = (x – 2/x²)

17 với x ≠ 0.


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–3; 0; –3), B(1; 0; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y

+ 2z + 3 = 0. Tìm tọa độ của điểm C đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng trung

trực (Q) của BC.


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a và AD = a 3 . Biết SAB là tam

giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cạnh SA tạo với mặt đáy góc 60°. Tính theo

a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BD.


Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1; 3). Gọi E là điểm thuộc cạnh

AB sao cho 3AE = AB. Biết đường thẳng DE có phương trình x + y – 2 = 0 và điểm D có hoành độ âm. Tìm

tọa độ của các đỉnh hình vuông ABCD.

Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

4 2 2x(32x 8x 2) (y y 1) y 1

4( y 1 1) 2x 1 (2x 8)(y 1) 11 y 1 4 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x > 2; y > 1; z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

P = 2 2 2

1 1

y(x 1)(z 1)2 x y z 4x 2y 6


20

ĐÁP SỐ

1b. y = 1 1

x3 3

và y = 1 13

x3 3

2. I = e ln 2

3a. 8 3b. x1 = –2; x2 = 4.

4a. |z| = 5 4b. –5440

5. C(1; –2; 1) và (Q): y + z – 1 = 0

6. V = 2a³ và d(SA; BD) = a6

2

7. A(0; 0), B(4; 2), C(2; 6) và D(–2; 4).

8. phương trình thứ nhất <=> (2x)5 – (2x)³ + 2x = 5 3(y 1) (y 1) y 1 (*)

Xét hàm số g(t) = t5 – t³ + t có g’(t) = 5t

4 – 3t² + 1 > 0 với mọi t → g(t) đồng biến trên R

phương trình (*) <=> g(2x) = g( y 1 ) <=> 2x = y 1 (3)

Thay (3) vào phương trình thứ hai => 3 24(2x 1) 2x 1 (2x) 8(2x) 22x 4 0

<=> 24(2x 1) 2x 1 (2x 1)(4x 14x 4) 0

<=> 2(2x 1)(4 2x 1 8 4x 14x 12) 0

<=> 4(2x 3)

(2x 1)[ (2x 3)(2x 4)] 02x 1 2

<=> 4

(2x 1)(2x 3)( 2x 4) 02x 1 2

<=> x = 1/2 hoặc x = 3/2 hoặc ( 2x 1 2)(2x 4) 4 (4)

Đặt t = 2x 1 . Phương trình (4) <=> (t + 2)(t² – 5) = –4 <=> t³ + 2t² – 5t – 6 = 0

<=> (t + 3)(t² – t – 2) = 0

<=> t = 2 (vì t > 0) => x = 3/2. Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = {(1/2; 0); (3/2; 8)}

9. 27y(x – 1)(z + 1) ≤ (y + x – 1 + z + 1)³ <=> y(x – 1)(z + 1) ≤ (x + y + z)³/27

4(x² + y² + z² – 4x – 2y + 6) = 4[(x – 2)² + (y – 1)² + z² + 1] ≥ (x – 2 + y – 1 + z + 1)² = (x + y + z – 2)²

=> 2 2 22 x y z 4x 2y 6 ≥ x + y + z – 2

=> P ≤ 3

1 27

x y z 2 (x y z)

Đặt t = x + y + z => P ≤ 3

1 27

t 2 t

= g(t) với t > 3 => g’(t) =

2 4

1 81

(t 2) t

g’(t) = 0 <=> t4 = 81(t – 2)² <=> t² = 9(t – 2) <=> (t – 3)(t – 6) = 0 <=> t = 6 (vì t > 3)

Lập bảng biến thiên → max P = g(6) = 1/8 khi x = 3, y = 2, z = 1


21


Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = –x³ + 3x – 2

b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x³ – 3x + m + 2 = 0.


1 x

2

0

xedx

(x 1)


a. Cho tan x = 3/5. Tính giá trị của biểu thức A = sin x sin 2x sin 3x

cos x cos 2x cos3x

b. Giải phương trình log6 (x – 1) + log6 (3x + 9) = 1 + log6 2x


a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa (4 – i)z + (3 + 2i) z = 7 + 5i

b. Hộp thứ nhất có 5 bi đỏ và 6 bi vàng, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi vàng. Nếu lấy ngẫu nhiên mỗi hộp

một viên bi thì xác suất hai bi cùng màu là P1. Nếu lấy ngẫu nhiên đồng thời hai bi trong một hộp được chọn

ngẫu nhiên thì xác suất hai bi cùng màu là P2. Tính tỉ số P1/P2.

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2; 3; 2), B(4; –3; –1) và C(1; 1; 3).

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua C và vuông góc với AB. Tìm điểm D đối xứng với C qua đường

thẳng AB.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AD = 3a và AB = 4a. Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 2HD. Biết SA = 5a/2. Tính theo a thể

tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AC.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 2AD.

Hình chiếu vuông góc của đỉnh C trên đường thẳng BD là M(–1; 3) và trung điểm của BD là E(–2; 2). Biết

phương trình đường thẳng AB là 4x – 7y + 10 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ABCD.


2

2 2 3

x 1 2xy 4x y 2y

( y 2 6 x)(3x 2) x y 9x 9xy 6 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = 2

2 2

a b 1 c(a 1)( )

(b c)(a bc) (a c)(b ac) a ab


22

ĐÁP SỐ

1b. Bảng kết quả

m –∞ 0 –4 +∞

số nghiệm 1 2 3 2 1

2. e/2 – 1.

3a. 15/8 3b. x = 3

4a. –2 và 7 4b. 12/11

5. (P): 2x – 2y – z + 3 = 0 và D(–1; 1; –1)

6. V = 6a³ và d(SD, AC) = 36a/17

7. B(–6; –2), D(2; 6), A(1; 2) và C(–4; 6)

8. Điều kiện y ≥ 2 và y/2 ≤ x ≤ 6

phương trình (1) <=> x – 1 = (2x y)(y 2)

<=> 2x – y + y – 2 = 2 (2x y)(y 2) <=> ( 2x y y 2 )² = 0 <=> y = x + 1.

Thay vào phương trình (2) 2 2 3(3x 2)( x 1 6 x) x (x 1) 9x 9x(x 1) 6 0

<=> 4 3 2( x 1 6 x 3)(3x 2) (x 7x 10x ) 0

<=> 2 2[5 2 (x 1)(6 x) 9](3x 2)x (x 7x 10)

x 1 6 x 3

<=> 2

2 2

2

2( x 7x 10)(3x 2)x (x 7x 10)

( x 1 6 x 3)( x 7x 6 2)

<=> 2 2

2

2(3x 2)(x 7x 10)[x ] 0

( x 1 6 x 3)( x 7x 6 2)

<=> x² – 7x + 10 = 0 (vì x ≥ 1 nên phần còn lại dương)

<=> x = 2 V x = 5

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(2; 1), (5; 6)}

9. Ta có

2 2

a a

(b c)(a bc) (ab ac)(a bc)

≥

2 2

2a 2a

a bc ab ac a 1

Cmtt 2

b

(a c)(b ac) ≥

2

2b

b 1

→ P ≥ 2

2 2

2a 2b (a 1)(b c)

a 1 b 1 ab

Mặt khác 2 2

2 2

2a (a 1)(b c) 2b (a 1)(b c)

a 1 2ab b 1 2ab

≥

2

2

b c (a 1)(b c)2 2

b a(b 1)

mà a² + 1 = a² + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) và b² + 1 = (b + c)(b + a)

=> P ≥ b c a c

2 2b a

≥ 4 (vì c ≥ 0)

min P = 4 khi a = b = 1 và c = 0.


23


Môn TOÁN



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = –x³ + 3x²

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo thỏa f(xo) = f’(xo – 1).


a. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – 5 – 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = 10

zz

b. Giải phương trình log3 (5 – x)² – log3 (x – 1) – log3 (x + 1) = 1


1

0

[2x ln(x 1) x 1]dx


a. Cho tan x = 3/4. Tính giá trị của biểu thức A = 2 2

2

4sin x 2 cos x

sin 2x 4sin x 2

b. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của P(x) = (1/x – x²)15

.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C; AB = BC = a; CD

= 2a; SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa

hai đường thẳng AD, SB.

Câu 6. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1), B(3; 2; –2), C(0; 2; 1), D(0; –

2; 2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC).

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn

CD. Biết A(2; 3), hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên đường thẳng CD là E(29/5; 8/5), đường phân giác

trong của góc ABC đi qua trung điểm M(1; 0) của cạnh CD. Tìm tọa độ của B, C, D.


3 2 2

2

x 2x 2x 4 2xy 4y (x 2x) y 1 0

(2y 5x 4) ( 3x 2 5x y x )(xy 3y 6x 3) 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

= 2 2 2

z y x xy yz zx 13 x y z 3

(x y) (z x) (y z) (x y)(y z)(z x)


24

ĐÁP SỐ

1b. y = –9x + 27.

2a. 6 và 2 2b. x = 2

3. 1

4a. A = 7 4b. –3003

5. V = a³; d = 2a/3.

6. (ABC): x + y + z – 3 = 0 và E(1; –1; 3)

7. B(5; 4), C(4; 1) và D(–2; –1)

8. Điều kiện x ≥ 2/3; y ≥ –1 và y ≥ x² – 5x

phương trình thứ nhất <=> (x + 2)[x² – 2(y + 1) – x y 1 ] = 0

<=> x² – 2(y + 1) – x y 1 = 0 (vì x + 2 > 0)

Vì x > 0, đặt y 1 = kx (k > 0) => x² – kx – 2k²x² = 0 <=> 1 – k – 2k = 0 <=> k = 1 (loại k = –1/2)

Do đó y = x² – 1. Thay vào phương trình thứ hai ta có

(2x² + 5x + 2) = 3 2( 5x 1 3x 2)(x 3x 7x 6)

<=> (x + 2)(2x + 1) = 2( 5x 1 3x 2)(x 2)(x 5x 3)

<=> (2x + 1) ( 5x 1 3x 2) = (2x + 1)(x² – 5x + 3) (x + 2 > 0)

<=> 5x 1 (x 1) 3x 2 x = x² – 3x + 2 (2x + 1 > 0)

<=> 2 2x 3x 2 x 3x 2

5x 1 x 1 3x 2 x

= x² – 3x + 2

<=> (x – 1)(x – 2)(1 + 1 1

5x 1 x 1 3x 2 x

) = 0

<=> x = 1 V x = 2.

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(1; 0), (2; 3)}

9. Theo đề bài thì x + y + z ≤ 1 => xy + yz + zx + 1 ≥ xy + yz + zx + x + y + z.

xy + z ≥ xy + z(x + y + z) = (z + x)(z + y)

yz + x ≥ yz + x(x + y + z) = (x + y)(x + z)

zx + y ≥ zx + y(x + y + z) = (y + z)(x + y)

Suy ra xy + yz + zx + 1 ≥ (z + x)(z + y) + (x + y)(z + x) + (y + z)(x + y)

Nên P ≥ 2 2 2

z y x 1 1 13 x y z 3

(x y) (z x) (y z) x y y z z x

<=> P ≥ 2 2 2

x y z x y z x y z3 x y z 3

(x y) (y z) (z x)

mà 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 93[ ] ( ) [ ]

(x y) (y z) (z x) x y y z z x 2(x y z)

Khi đó P ≥ 27 3

3 x y z 3 6 3 x y z 34(x y z) 4(x y z)

Xét hàm số g(t) = 3

3 t 34t trên (0; 1]. Đạo hàm g’(t) =

2

3 3

4t 2 t 3

Vì 4t4 – t – 3 = (t – 1)(4t³ + 4t² + 4t + 3) ≤ 0 với 0 < t ≤ 1 nên 4t² ≤ 2 t 3 => g’(t) ≤ 0 với 0 < t ≤ 1

=> min g(t) = g(1) = 27/4 => min P = 51/4 khi x = y = z = 1/3.


25


Môn TOÁN


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x³ + 3mx² + 3(m² – 1)x – 4m (1), với m là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = –1.

b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1.


a. Biết z1 = 2 – i là nghiệm của phương trình z³ – 3z² + az + b = 0. Tìm nghiệm số thực của phương trình đó.

b. Giải phương trình sau trên R: ln² x² = 2ln x ln (2x – 3)²


a. Giải phương trình: cos 2x – sin 2x + cos x + sin x = 1.

b. Trong một đề thi có 50 câu hỏi với 4 đáp án lựa chọn, một học sinh đã làm 90% số câu hỏi, còn lại các

câu khó đã được chọn ngẫu nhiên dựa vào chức năng random của máy tính cầm tay, chẳng hạn như sử dụng

chức năng RanInt#(1, 4) thì sẽ hiện số ngẫu nhiên từ 1 đến 4 tương ứng đáp án từ A đến D. Giả sử trong

90% câu đã làm có đúng 80% câu đúng thì xác suất học sinh này được 8 điểm là bao nhiêu? Xem như xác

suất đúng mỗi câu khi chọn ngẫu nhiên là 0,25.


1 32

0

x[ 3x ln(x 1)]dxx 1

Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh là 2a. Mặt

phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 6. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 2), B(2; 4; 3) và mặt phẳng

(P): x – 2y – 2z – 6 = 0. Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên mặt phẳng (P). Tính diện

tích của tứ giác ABCD.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E là hình chiếu vuông

góc của đỉnh C trên BD. Biết I(2; 11/2), F(5; 3/2) và H(8; 6) lần lượt là trung điểm của AB, DE và CE. Tìm

tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.


3 2 2 3

2 2

x 3x y 3xy 2y x 2y 0

x y y 3 x (3 x)( 3 2y 2x) 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = 3 – (ab + bc + ca)² + a²b + b²c + c²a + 82 2 2a b c 6


26

ĐÁP SỐ

1b. m = 0

2a. z = –1 2b. {1; 3}

3a. x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π; x = –π/4 + kπ 3b. 3/1024

4. I = ln 2

5. V = a³ và d = 2a 15

5

6. SABCD = 27/2.

7. A(–1; 1), B(5; 10), (11; 6) và D(5; –3)

8. Điều kiện xác định x ≥ –3 và y ≥ –3/2

phương trình thứ nhất <=> (x – 2y)(x² – xy + y² + 1) = 0 <=> x = 2y.

phương trình thứ hai <=> 3 24y y 3 2y (3 2y)( 3 2y 4y) 0 (3)

vì y = 0 không thoản mãn phương trình nên đặt 3 2y = ky

(3) <=> k³ – 4k² – k + 4 = 0 <=> k = –1 V k = 1 V k = 4

+ k = –1 => y = –1

+ k = 1 => y = 3

+ k = 4 => y = 1/2

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là {(–2; –1), (1; 1/2), (6; 3)}

9. Theo đề ta có 9 = (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

Đặt t = ab + bc + ca suy ra a² + b² + c² = 9 – 2t

Mặt khác a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca => 9 – 2t ≥ t => t ≤ 3

ta có a(1 – c)² ≥ 0 <=> a(1 – 2c + c²) ≥ 0 <=> a + c²a ≥ 2ac

Tương tự c + b²c ≥ 2cb và b + a²b ≥ 2ab

=> a + b + c + a²b + b²c + c²a ≥ 2(ab + bc + ca)

=> 3 + a²b + b²c + c²a ≥ 2t

=> P ≥ –t² + 2t + 8 15 2t = g(t)

g’(t) = 8

2t 215 2t

=> g’(t) < 0 với 0 ≤ t < 3

=> P = g(t) ≥ g(3) = 21.

Vậy min P = 21 khi a = b = c = 1


27


Môn TOÁN


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = x³ + 3x² – 2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = f’’(m – x/2) tiếp xúc với đồ thị (C).


a. Biết z1 = 1 + i là nghiệm của phương trình z³ + az² + bz + a = 0. Tìm a và b.

b. Giải phương trình log3 (3x + 6) = 3 – x


a. Cho tan x + cot x = 5/2 và 0 < x < π/2. Tính giá trị của biểu thức A = tan³ x + cot³ x

b. Trong mặt phẳng cho 20 điểm trong đó chỉ có n điểm nằm trên đường thẳng a, các điểm còn lại nằm ngoài

đường thẳng a và không có ba điểm nào khác thẳng hàng. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm. Biết xác suất để ba điểm

đó tạo thành tam giác là 17/19. Tìm số nguyên dương n.


1 22

2

0

2x[ ln(x 1)]dxx 1

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 1) và B(2; –1; –1). Tìm tọa

độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng Oyz. Viết phương trình đường thẳng Δ đối xứng với AB

qua mặt phẳng Oyz.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 3a; SA vuông góc với

mặt đáy và SA = AB. Góc tạo bởi cạnh SD và mặt đáy là 30°. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ΔABC có trực tâm H(3; 3). Tam giác ABC

nội tiếp đường tròn đường kính AD với D(5; –1) và phương trình tiếp tuyến tại B là 3x + y – 4 = 0. Biết góc

BAD = 45°. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.


2 2

2

3xy 6xy 1 y x 3x y

(1 3xy x) 1 3xy (2x xy)(y 4y 5) x 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện y ≤ x ≤ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P = 24(x z) x y 4(y z) 2 1

( )(2x 2y z)3z(4y z) y z x y 2z x y z


28

ĐÁP SỐ

1b. m = –3/2

2a. a = –4 và b = 6 2b. x = 3

3a. A = 65/8 3b. n = 10

4. I = ln 2

5. (0; –3; 3) và (Δ): {x = –t; y = –3 + t; z = 3 – 2t}

6. V = 3a³ và d(SC; BD) = 3a/4.

7. A(3; 5), B(1; 1), C(7; 1)

8. Điều kiện x > 0 (vì x = 0 không thỏa hệ phương trình) và xy ≤ 1/3.

Hệ phương trình <=>

2

2

1 13y 6y y 3y (1)

x x

1 1( 3y 1) 3y (2 y)[(2 y) 1] (2)x x

Đặt z = 1

3yx . Phương trình (2) <=> z³ + z = (2 – y)³ + 2 – y

<=> (z + y – 2)[z² + z(2 – y) + (2 – y)² + 1] = 0

<=> z + y – 2 = 0 <=> z = 2 – y.

Thay vào (1) ta có: 6y² = (2 – y)² – y(2 – y) <=> 4y² + 6y – 4 = 0

<=> y = –2 hoặc y = 1/2

với y = –2 => z = 4 => x = 1/10

với y = 1/2 => z = 3/2 => x = 4/15

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(1/10; –2), (1/2; 4/15)}

9. Ta có (y + z/4 + 3z/4)² ≥ 4(y + z/4).3z/4 <=> 4(y + z)² ≥ 3z(4y + z)

Mặt khác 22 1 1 1 1 (1 1 1) 9

x y z x y x y z x y x y z 2x 2y z

Nên P ≥ 2 3 2

2 3 2

(x z) x z (y z) 4(y z) (x z) (x z) 4(y z)9 9

(y z) y z x y 2z (y z) (y z) x z y z

Đặt x + z = t(y + z) => t ≥ 1

=> P ≥ t³ – t² + 4/(t + 1) + 9 = g(t)

g’(t) = 3t² – 2t – 4/(t + 1)² = (t – 1)(3t³ + 7t² + 6t + 4)/(t + 1)² ≥ 0 với mọi t ≥ 1

min P = g(1) = 11 <=> z = 2x = 2y


29


Môn TOÁN


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = –x³ + 3x² – 2


b. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = f’’(x + m) là tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f’(x).


a. Biết z1 = –1 + 2i là nghiệm phức của phương trình az³ + az² + bz – 5 = 0. Tìm các nghiệm còn lại.

b. Giải bất phương trình log4 (9x + 5.6

x–1) ≤ x.


a. Cho 4sin 2x – sin x – cos x = 1 và 0 < x < π/2. Tính giá trị của biểu thức A = 7sin 2x + (sin x + cos x – 1)²

b. Hai bạn An và Bình tham gia một kỳ thi trong đó có hai môn thi trắc nghiệm là Vật Lý và Hóa Học. Đề

thi mỗi môn gồm 4 mã đề khác nhau và các mã đề giữa hai môn cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và

phát theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong hai môn thi đó, An và Bình không có chung mã đề thi.


π/2

2

0

(x cos x 2xsin x)dx

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; –1; 3), mặt phẳng (α): 2x – 2y + z –

6 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên (α). Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng

MH và mặt cầu (S) tâm M và bán kính bằng 6.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; góc ABC = 60° và BD = 3a. Biết SA

vuông góc với mặt đáy và mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AC.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC; B(7; 3). Gọi

M là trung điểm của AB. Biết N(2; –2) là trung điểm của DM. Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D.


2 2

2 2

163x y 9 2 x( x 2 2y 4)

xy 2x 2

y 1 2y 3y 1 xy x x 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = 2

3 3 3(a b c) 2 53a 3b 3c 3abc 6abc

( ) ( )b c 1 c a 1 a b 1 a b c a b c


30

ĐÁP SỐ

1b. m = –1

2a. z2 = 1 và z3 = –1 – 2i 2b. x ≥ –1

3a. A = 4 3b. 9/16

4. I = π²/4

5. H(3; 1; 2), các giao điểm là A(9; –5; 5) và B(1; 3; 1)

6. V = 9a³/4 và d = 3a 3

4

7. A(–1; –1), C(9; –1) và D(1; –5)

8. Điều kiện xác định x ≥ 2 và y ≥ 2.

phương trình thứ hai <=> y 1 x + (y – 1)² – x² + y² – y – xy = 0

<=> (y – 1 – x)(1

y 1 x + 2y – 1 + x) = 0

<=> y – 1 – x = 0 (vì y ≥ 2; x > 1) <=> y = x + 1

Thay vào phương trình thứ nhất: 2 2

2

163x x 10 2 x( x 2 2x 2)

x x 2

<=> 2 2 2 2 2

2

16( x 2 x) ( x x 2) x x 10 0

x x 2

(*)

Đặt t = 2x x 2 > 0 và xét hàm số g(t) = t² – 12 + 16/t => g’(t) = 2t – 16/t²

g’(t) = 0 <=> t = 2. Lập bảng biến thiên => g(t) ≥ g(2) => t² – 12 + 16/t ≥ 0.

Vế trái của phương trình (*) không âm và chỉ bằng 0 khi x = 2 => y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 3)

9. Ta có a + b + c = ab + bc + ca ≤ (a + b + c)²/3 => a + b + c ≥ 3

Mặt khác: 3a³/(b + c + 1) + a(b + c + 1)/3 ≥ 2a²; 3b³/(a + c + 1) + b(a + c + 1)/3 ≥ 2b²

và 3c³/(a + b + 1) + c(a + b + 1)/3 ≥ 2c²

=> 3a³/(b + c + 1) + 3b³/(c + a + 1) + 3c³/(a + b + 1) + (2ab + 2bc + 2ca + a + b + c)/3 ≥ 2(a² + b² + c²)

<=> 3a³/(b + c + 1) + 3b³/(c + a + 1) + 3c³/(a + b + 1) + 3(a + b + c)/3 ≥ 2(a² + b² + c²)

mà a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca = a + b + c

=> 3a³/(b + c + 1) + 3b³/(c + a + 1) + 3c³/(a + b + 1) ≥ a + b + c

Vì 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/(a + b + c) <=> (ab + bc + ca)/abc ≥ 9/(a + b + c) <=> (a + b + c)/abc ≥ 9/(a + b + c)

nên 3abc/(a + b + c) ≤ (a + b + c)/3

Do đó P ≥ [(2/3)(a + b + c)]11

– [(2/3)(a + b + c)]5 ≥ 2

11 – 2

5 = 2016.

min P = 2016 khi a = b = c = 1.


31


Môn TOÁN


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 1

x 1


b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo thỏa mãn y(xo) = y’(xo) + 1.


a. Cho số phức z thỏa mãn z + 3 z = 4 + 2i. Chứng tỏ z là nghiệm phức của phương trình x³ – 4x² + 6x – 4 =

0.

b. Giải bất phương trình ln² (x + 2)² ≤ 2[ln (x² + 2x) – ln x] ln 8x


a. Giải phương trình: 2cos x + 2cos (5π/2 – x) = cos 2x

b. Trong một hộp có 6 bi đỏ và n bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 bi từ trong hộp thì xác suất trong ba bi

lấy được có cả bi xanh và bi đỏ là 0,8. Tìm n biết n là số tự nhiên lớn hơn 3.


1 22

20

3x( 3x 1)dx

3x 1

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 3) và đường thẳng Δ có phương

trình x 2 y 1 z 1

1 2 2

. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng Δ. Viết phương trình

mặt cầu tâm A và tiếp xúc với Δ.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; BC = 2AC = 2a và mặt phẳng

(SAC) tạo với mặt đáy một góc 60°. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với trung điểm H của

cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH, SB.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có góc ACB = 45°. Gọi D, E

lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh B và C của tam giác ABC. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC tại H(–2; –2) và K(6; –2). Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 và đỉnh

C có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.


2 2

2

2x y xy 5x y 2 y 2x 1 3 3x

x y 1 4x y 5 x 2y 2

Câu 9. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy ≥ 1 và z(x + y) ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = x 2z y 2z

6ln(x y 2xy)1 y 1 x


32

ĐÁP SỐ

1b. phương trình tiếp tuyến: y = 2x + 7

2a. z = 1 – i. Tính z³ – 4z² + 6z – 4 = 0. 2b. x = 2

3a. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên 3b. n = 4

4. 2

5. H(1; –1; 3) và (S): (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 5

6. V = 3a 3

4 và d = 3a/4

7. A(–1; –1), C(9; –1) và D(1; –5)

8. Điều kiện y + 1 ≥ 2x và x ≤ 1

với x = 1 => y = 1 không thỏa mãn phương trình thứ hai

với x ≠ 1, phương trình thứ nhất <=> (x + y – 2)(2x – y – 1) = y x 2

y 2x 1 3 3x

<=> (x + y – 2)[1 + ( y 2x 1 3 3x )(y – 2x + 1)] = 0

<=> x + y – 2 = 0 (phần còn lại dương vì y – 2x + 1 ≥ 0) <=> y = 2 – x

Thay vào phương trình thứ hai: x² + x – 3 = 3x 7 2 x

<=> 3(x 2) 2 x

(x 2)(x 1) 03x 7 1 2 x 2

<=> 3 1

(x 2)(x 1 ) 03x 7 1 2 x 2

<=> x = –2 (vì x ≤ 1 nên phần còn lại không có nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (–2; 4)

9. P = x y 2z 2z

6ln(x y 2xy)1 y 1 x 1 x 1 y

Ta có 1/(x + 1) + 1/(y + 1) ≥ 4/(2 + x + y) 2 2x y x x y y x y 2xy 1 x y xy

11 y 1 x (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x y xy

và z(x + y) ≥ 2 => z ≥ 2/(x + y)

Do đó P ≥ 1 + 16

(2 x y)(x y) + 6 ln (x + y + 2)

Đặt t = x + y => P ≥ 1 + 16/[t(2 + t)] + 6 ln (t + 2) = g(t)

=> g’(t) = 2

2 2

2(t 2)(3t 12t 8)

t (t 2)

Theo đề 1 ≤ xy ≤ (x + y)²/4 => x + y ≥ 2 => t ≥ 2 => g’(t) ≥ 0

=> P ≥ g(2) = 3 + 6 ln 4

min P = 3 + 6 ln 4 khi x = y = 1 và z = 2


33


Môn TOÁN


Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x 1

x 1


b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đồ thị hàm số y = y’(x) + 2.


a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 + 3i)z – (1 – 2i) z = –2 + 9i.

b. Giải phương trình log2 x + log1/4 (x + 3) = 1


a. Cho cos x = 1/3. Tính giá trị của biểu thức A = 3sin x (sin x + 3sin 2x)

b. Một hộp có 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh và n quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu. Xác

suất để hai quả cầu khác màu là 74/105. Tìm số nguyên dương n.

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I = 2

1

3 1 x

0

(x x )e dx

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(–2; 2; 1), N(1; 0; 3) và mặt phẳng

(α): 2x + y – 2z – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của đường thẳng MN lên α.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; SA vuông góc với mặt đáy.

Biết SA = 3a/2; BC = 2a và AC = a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

và khoảng cách giữa hai đường thẳng SI, AC.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính

AD. Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình 2x + y – 3 = 0; D(5; 3) và H(1; 3) là trực tâm của tam giác

ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.


2

3

y 3 x (x 1)(2 y ) 2

y 2y 2 x 1 1 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0 và a² + b² + c² = 9. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức P = 2 216(2a c 2ab 4bc) 11(2 ab c) 27

a b c 1


34

ĐÁP SỐ

1b. y = 3x + 11

2a. 1 và –2 2b. x = 6

3a. A = 8 3b. n = 6

4. I = 1/2

5. {x = 3 – 3t; y = 1 + 2t; z = 1 – 2t

6. V = a³3

4 và d = 3a/4

7. A(1; 5), B(1; 1), C(5; 5)

8. Điều kiện xác định 3 ≥ x ≥ 1 và y² ≤ 2.

phương trình thứ hai có nghiệm khi y³ + 2y – 1 ≥ 0 => y³ + 2y ≥ 1 > 0 => y > 0

Vì y 3 x ≤ (y² + 3 – x)/2 và 2(x 1)(2 y ) ≤ (x + 1 – y²)/2

=> 2y 3 x (x 1)(2 y ) ≤ 2 hay phương trình thứ nhất có nghiệm <=> x = 3 – y²

Thay vào phương trình thứ hai 22 2 y = y³ + 2y – 1

<=> (y – 1)(y² + y + 3 + 2

2y 2

1 2 y

) = 0

<=> y = 1 => x = 2. Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = {(2; 1)}

9. Ta có 2 ab ≤ a + b.

Mặt khác: (a – b)(a + b – 2c) ≥ 0 <=> a² + 2bc ≥ 2ac + b²

=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2a² + c² + 2ab + 4bc => (a + b + c)² ≤ 2a² + c² + 2ab + 4bc

Do đó P ≤ 216(a b c) 11(a b c) 27

a b c 1

Đặt t = a + b + c => t² = 9 + 2ab + 2bc + 2ca > 9 => t > 3

=> P ≤ 16/(t – 1) – t² + 11t – 27 = g(t)

Ta có đạo hàm g’(t) = (t – 5)(–2t² + 5t + 1)/(t – 1)²

g’(t) = 0 <=> t = 5 (vì t > 3 nên –2t² + 5t + 1 < 0)

Lập bảng biến thiên => max P = g(5) = 7 khi a = b = 2 và c = 1

Documents

Gia sư Thành Được ĐỀ THI THỬ THPT NĂM 2016 Môn: TOÁN fileGia sư Thành Được 1 ĐỀ THI THỬ THPT NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút Câu 1