Giải bài toán Markowitz - tối ưu hóa danh mục đầu tư

3.1. Tổng quan về bài toán Markowitz

Quy hoạch toàn phương có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, nhất là trong lĩnh vực kinh tế. Một ứng dụng điển hình đó là bài toán Markowitz. Harrry Markowitz là nhà toán học và nhà kinh tế học, ông đã nghiên cứu quá trình đầu tư trong kinh tế và đề xuất lên bài toán Markowitz về tối ưu hóa danh mục đầu tư. Với công trình này ông đã đạt giải Nobel về kinh tế. Bài toán này được mô hình hóa dưới dạng quy hoạch toàn phương, thông qua việc giải bài toán các nhà đầu tư sẽ có thêm phương hướng để lựa chọn danh mục đầu tư của mình.Để hiểu được bài toán này, trước hết chúng ta cần có một chút kiến thức về lĩnh vực kinh tế [2]. Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu một vài khái niệm và các đại lượng ngẫu nhiên có tính quy luật trong kinh tế:+ Lợi suất đầu tư vào một tài sảnLợi suất đầu tư trên một tài sản tài chính là thu nhập mà tài sản này mang lại và sự tăng vốn (tăng giá trị tài sản) của chính tài sản đó. Như vậy lợi suất tăng vốn bao gồm cả hiệu suất sinh lợi do thu nhập từ tài sản mang lại và giá trị vốn tăng thêm so với giá mua ban đầu của tài sản. Công thức đánh giá lợisuất của một tài sản là:

Rt=Dt+Pt−Pt−1

Pt−1

Trong đó:- Rt là lợi suất của tài sản đầu tư trong thời kỳ t.

- Dt là thu nhập từ tài sản mà nhà đầu tư nhận được trong thời kỳ t.- Pt là giá trị của tài sản ở cuối kỳ t.- Pt −1 là giá trị của tài sản ở cuối kỳ t − 1.

Công thức trên cũng được dùng để đánh giá hiệu quả của các tài sản đầu tư trong quá khứ. Để đánh giá hiệu quả đầu tư trong tương lai nhà đầu tư phảitính đến sự không chắc chắn của lợi suất. Công thức tính lợi suất kỳ vọng:

E (R) =n

i=1

PiRi

chính là công thức để đánh giá hiệu quả đầu tư mong đợi về một tài sản cá biệt. Nếu nhà đầu tư tin rằng tương lai chắc chắn thu được các lợi suất mong đợi hoặc nếu các quan sát trong quá khứ có thời gian đủ dài để bộc lộ đầy đủ xu hướng thì có thể đánh giá lợi suất kỳ vọng bằng trung bình cộng của các lợisuất thực hiện trong N thời kỳ, tương đương với:

1E (R) =

N

NRt t =1

+ Lợi suất của một danh mục đầu tưCông thức trên để đánh giá hiệu quả của một tài sản. Nếu nhà đầu tư không chỉ đầu tư vào một tài sản mà đầu tư vào nhiều loại tài sản thì phải có những phương pháp đánh giá hiệu quả đầu tư cho một danh mục tài sản. Một danh mục đầu tư chứng khoán bao gồm nhiều loại chứng khoán khác nhau. Mỗi loại chứng khoán lại có lợi suất đầu tư riêng. Vì thế lợi suất ước tính của một danh mục đầu tư chứng khoán là bình quân của lợi suất thu được từ mỗi chứngkhoán trong danh mục đầu tư đó. Công thức tính:

E (rp) = w1E (r1) + w2E (r2) + · · · + wnE (rn) =n

i=1

wiE (ri)

Trong đó w1, w2, . . . , wn là tỷ trọng vốn đầu tư vào từng loại tài sản, E (ri) là lợi suất đầu tư tương ứng.+ Rủi ro danh mục đầu tưRủi ro của từng chứng khoán là sự biến thiên của kết quả đó từ một nguyên nhân ban đầu, được lượng hóa bằng độ lệch chuẩn của lợi suất thu được. Cũng giống như từng chứng khoán riêng lẻ, rủi ro tổng thể của danh mục chứng khoán là khả năng biến động trong tương lai về kết quả thu được từ danh mục đầu tư. Vì thế khi phân tích rủi ro của một danh mục đầu tư chứng khoán nguời ta phải quan tâm đến rủi ro của cả danh mục chứ không phải rủi ro của một loại chứng khoán nào.

22

Trong một danh mục đầu tư mỗi loại chứng khoán có mức rủi ro khác nhau. Vì thế đa dạng hóa đầu tư (không bỏ tất cả trứng vào một rổ) trở thành một nguyên tắc trong đầu tư chứng khoán và là giải pháp quan trọng để giảm thiểu rủi ro cho toàn danh mục.Thực tế cũng chứng minh rằng, nhiều khi bổ sung vào một danh mục đầu tư các chứng khoán có tính rủi ro lại là yếu tố quan trọng góp phần giảm thiểu rủi ro cho toàn danh mục đầu tư. Bởi vì một khi danh mục đầu tư có nhiều loại chứng khoán khác nhau thì giữa chúng sẽ có tác động tương tác, bù trừ rủi ro lẫn nhau và tạo ra một kết quả đầu tư chung cho toàn danh mục. Để xác định hệ số rủi ro giữa hai chứng khoán và giữa chứng khoán với từng danh mục người ta cần xem xét hệ số covariance (tích sai - đồng phương sai) và hệ số tương quan (correlation coefficient) của danh mục đầu tư. Công thức tính hệ số covariance giữa hai chứng khoán như sau:

Cov(ra, rb) = A,B = Pi[ra − E (ra)][rb − E (rb)]

Công thức covariance chỉ cho thấy mối tương tác giữa hai chứng khoán cùng chiều hay ngược chiều mà chưa chỉ ra mức độ biến động của chúng. Để định lượng mức độ biến động này ta sử dụng đến hệ số tương quan để giới hạncovariance trong khoảng từ −1 đến +1, công thức tính:

Cor(ra, rb) = Cov(ra, rb)/ a b

+ Lý thuyết danh mục đầu tư hiện đạiNhững người theo lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại cho rằng thị trường chứng khoán là một thị trường hiệu quả, có nghĩa là giá cả chứng khoán phản ứng tức thì với hầu hết các thông tin về đầu tư nên không nhà phân tích nào được coi là sáng suốt trên khía cạnh tổng thể của thị trường. Trọng tâm chính của nhà quản lý danh mục đầu tư là lựa chọn một tập hợp các khoản mục đầu tư có thể mang lại cho nhà đầu tư thu nhập mong đợi cao nhất theo từng mức rủi ro nhất định.Ta vừa xem xét một vài khái niệm về lĩnh vực kinh tế, Markowitz dựa vào các lý thuyết trên và đưa ra mô hình Markowitz [5] về cách lựa chọn danh mục đầu tư hiệu quả nhất. Nào chúng ta hãy cùng tìm hiểu mô hình[10] này trong sự tác động giữa các biến ngẫu nhiên.

3.1.1. Phát biểu bài toán Markowitz cơ bản và các tính chất

Mục tiêu của bài toán Markowitz là tìm tỷ trọng của các chứng khoán trong danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro) của toàn

23

danh mục mà đạt được một mức thu nhập nhất định. Giải bài toán với các mức thu nhập mục tiêu nguời ta xác định được một tập hợp các danh mục đầu tư hiệu quả. Từ đây nhà đầu tư có thêm một phương hướng đầu tư dựa trên quan điểm của mình về việc đánh đổi thu nhập và rủi ro.Trong phần này bài toán chỉ tập trung vào mô tả kỹ bài toán trong sự tác động của các biến ngẫu nhiên, các tính chất cơ bản nhất.Phát biểu bài toán:Min : rủi ro của toàn danh mục đầu tưThỏa mãn:

• giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính của toàn danh mục đầu tư phải lớn hơn mức tối thiểu (mức mục tiêu đề ra) cho phép.

• các tỷ trọng đầu tư ứng với từng chứng khoán: các tỷ trọng này phải không âm và có tổng bằng 1.

Các ký hiệu sử dụng:Chỉ số j : chỉ mục đầu tư thứ j (hay chứng khoán j)Các tham số:

• R j lợi nhuận trả về của chứng khoán j (biến ngẫu nhiên)

• m j giá trị lợi nhuận kỳ vọng của biến ngẫu nhiên R j

• M giá trị lợi nhuận tối thiểu (giá trị mục tiêu đề ra) của toàn danh mục đầu tư trả về.

Biến: x j tỷ trọng đầu tư vào chứng khoán j.

Mô hình toán học:

min Var[ j R j x j]Thỏa mãn: j m j x

j ≥ M

j x j = 1x j ≥ 0 ∀ j

(3.1)

Trong bài toán này, hàm mục tiêu là hàm của biến ngẫu nhiên R j . Ta có thể viết lại hàm mục tiêu theo hệ số covariance:

Var[j

R j x j ] =

x jCov[R j Rk ]xk jk

24

3.1.2. Các khái niệm và thông số

Hàm mục tiêu là hàm bậc hai của biến x. Hệ số Cov[R j , Rk ] là dữ liệu vào (input) của bài toán. Biến ngẫu nhiên R thể hiện tỷ lệ hoàn vốn hay tỷ lệ lợi nhuận trả về của danh mục đầu tư sau một năm, R có tập giá trị là I và được biểu thị bởi ri, đi

cùng là xác suất pi, ∀i ∈ I thỏa mãn: i pi = 1.

Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên R:

E [R] = ri pi i

Khi f là hàm của biến ngẫu nhiên R thì giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiênf (R) là:

E [ f (R)] =i

f (ri ) pi

Hệ số covariance của biến ngẫu nhiên R:

Var[R] = E [(R − E [R])2 ]

Sử dụng kết quả phía trên ta có:

Var[R] =(ri − E [R])2 pi i

Hệ số covariance là độ đo của rủi ro. Ngoài ra ta có công thức về độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên R sau:

= p

Var[R]

Lợi nhuận trả về của toàn danh mục đầu tư chứng khoán là j R j x j

E [ j R j x j ] = E [( j R j x j − E [ j R j x j ])2]

= E [( j R j x j − j x j E [R j ])2]

= E [( x j (R j − E [R j ]))2]

= E [( jk x j(R j − E [R j ])xk (Rk − E [Rk ]))]

3.1.3. Thuộc tính của bài toán

Lời giải tối ưu của bài toán là tối ưu toàn cục bởi theo lý thuyết tối ưu mô hình có các ràng buộc là tuyến tính và hàm mục tiêu là hàm lồi. Sử dụng định nghĩa hàm lồi:

f ( x1 + (1 − )x2) ≤ f (x1) + (1 − ) f (x2 ) ∀ ∈ [0, 1]

25

Xét hàm mục tiêu f (x) = jk x jCov[R j , Rk ]xk là hàm bậc hai khi và chỉ khi ma trận của hệ số tương quan Cov[R j , Rk ] là ma trận đối xứng xác định dương. Ma trận là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi jk x jCov[R j , Rk ]xk ≥

0, ∀x j , xk ∈ R hay Var[ j R j x j ] ≥ 0 luôn đúng theo định nghĩa.

3.1.4. Một số kết quả nghiên cứu

Ở phần này ta công nhận một số kết quả nghiên cứu làm tiền đề cho phần tiếp theo. Để tìm hiểu sâu hơn các bạn có thể tham khảo Rudolf [7] Đầu tiên ta viết lại bài toán dưới dạng các ràng buộc là đẳng thức tuyến tính. Tập cácbiến x được thay bằng biến và 0 là véctơ chuyển vị của véctơ .Bài toán:

min 2 = min 0V

thỏa: 0 = E0e = 1

Khi đó theo Merton(1972) độ lệch chuẩn của toàn danh mục đầu tư trả về:

r 1 2=d

(cE − 2bE + a) (3.2)

a, b, c, d là các số thực được tính bởi:

a ≡ 0V −1 , b ≡ 0V −1e, c ≡ e0V −1e, d ≡ ac − b2

Đồ thị của phương trình (1.6) có dạng hypecbol và được gọi là đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư. Véctơ tỷ trọng của mỗi chứng khoán trongdanh mục đầu tư có thể tính bởi:

V −1=

d(cE −

b) −

V −1e

d(bE − a) (3.3)

Mỗi đường hypecbol (đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư) nằm trong khoảng giữa của hai đường tiệm cận như hình (3.1):Đường tiếp tuyến cho hypecbol này, trong lĩnh vực kinh tế gọi là đường phân bổ vốn (Capital Market Line - CML) tiếp xúc với hypecbol tại một điểm, tại vị trí điểm này thì danh mục đầu tư là tối ưu nhất (hình (3.2)). Như vậy khi tạo danh mục đầu tư tối ưu nhà đầu tư phải tính các độ lệch chuẩn, phương sai, covariance, xác định đường cong hiệu quả của danh mục, và sau đó xác định danh mục đầu tư hoàn chỉnh.Chúng ta cùng tìm hiểu phần tiếp theo đó là một vài tiếp cận về mặt toán học để xác định danh mục đầu tư chứng khoán tối ưu. Đối với bài toán Markowitz

26

Hình 3.1: Đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư và các tiệm cận

Hình 3.2: Đường cong hiệu quả và đường phân bổ vốn

này thì có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chúng ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng các phương pháp giải quy hoạch toàn phương như phương pháp gradient, phương pháp điểm trong,.. đã trình bày trong chương hai. Tuy nhiên các phương pháp này quá phức tạp, thời gian thực hiện lâu do các bài toán Markowitz trong thực tế phải phân tích với số liệu đầu vào lớn, cài đặt lại khó khăn. Phương pháp giải [7] sau đây dựa trên các đề nghị của Markowitz sẽ cho ta một tiếp cận khác đối với bài toán, tiếp cận này dễ dàng hơn, và thuận tiện để lập trình, cài đặt trên máy tính.