Upload
trangiang
View
241
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
1/45
DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu1: (1đ) Cho hàm số z = arctg y
x chứng minh z’’xx + z’’yy= 0
Z = artag y
xZ’X =
)2)(1(
1
y
x y
=22 y x
y
222)(1
1.
2'
y x
x
y
x y
x y z
Nên ')
22('' x
y x
y xx z
= -
y. 2)22(2
2)22(2
y x xy
y x x
y y x x yy z '
22 )(''
= 222222 )(
2)()2(.
y x xy
y x y x
Vậy yy z xx z '''' .02)22(
22
y x
xy xy
(đpcm )
Câu 3: (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’ x-yz’y=x
Z =x + f(xy) vì f(t) khả vi f ’(t) = f ’(xy) x xy f x x z
')((' )('.')(1 xy f x xy (a);
Z’Y = )(
'.
')(0
'))(
'( xy f y xy y xy f x )(
'. xy f x
(b) Thay (a) và (b) ta có y z y x z x '.'. ))(.())(1( '' xy f x y xy yf x
= )(')(' xy xyf xy xyf x x (đpcm) Câu 4: (1đ) Cho hàm số z = y f (x2-y2), với f(t) là hàm số khả vi CMR
2'
1'
1
y
z z
y z
y y x
)22( y x yf z )(.2)(.).()(( 22'22''22'22' y x f xy y x f y x y y x yf z x x x
và
)(.2)()(.)()())(( 22'22222''2222'22'
y x f y y x f y x f y x y y x f y x yf y z y y Khi đó y z
y x z
x
'.1'.
1 ))(2)(.(1)(2.1 22'22222' y x f y y x f y
y x xyf x
= y
y x f )22( (đpcm)
Câu 5: (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r= 22 y x CMR z’’xx + z’’yy=0
r r
z ln1
ln ,với 2 y xr Ta có:r
x
y x
x xr
22
2
2'
r
y
y x
y yr
222
2'
2
/.
1'.
1)ln('
r
x
r
x
r r
r r z x x x
)(
2..2
.'2
.
1
)'('' 4
22
4
2
422 ar
r x
r
r r
x xr
r
r r
xr r
x
z x
x xx
Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức tính tương tự tađược :
)(4
222'' b
r
r y yy z
Cộng 2 vế (a) và (b)
4
222
4
22
4
222)(222
''''r
r y x
r
r y
r
r x z z yy xx
= 0
(đpcm )
Câu 6: (1đ) Cho hàm số
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
2/45
2
x y x
xy
y
xarctg x
y
x y x
y
xarctg z y x
y
x xarctg z x 22
)(1
1.
1.'
222
22
Khi đó )(2'.22
22 a
y x
y x x
y
x xarctg z x x
)(2'.22
)(1
1..'
2
22
2
22
2
22
b y y x
y x z y y
y x
x y
y
x y
x x z y y
Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được
)('')(222'.' 22222
22
22
y x z yz xz y x y
x xarctg y
y x
y x x
y
x xarctg z y xz y x y x
Câu 7: (1đ)
)2 ,1 ,1222 ( A , z y xu
Ta có :
2 z2 y2 x
x
2 z2 y2 x2
x2
xu
2 z2 y2 x
y
2 z2 y2 x2
y2
yu
2 z2 y2 x
z
2 z2 y2 x2
z2
zu
2
1
2 )2(
21
21
1
x
) A( u
2
1
2 )2( 2121
1
y
) A( u
2
2
2 )2( 2121
2
z
) A( u
Biết rằng: AOl tạo với 3 trục của Oxyz cỏc gúc , , cosin Chỉ phương:
2
1
2
)2( 21
21
1cos
2
1
2
)2( 21
21
1cos
2
2
2
)2( 21
21
2cos
Vậy:
1...cos)(
cos)(
cos)()(
22
22
21
21
21
21
l
Au
y
Au
x
Au
l
Au
Câu 8: (1đ) Cho trường vô hướng A(1,0),T¹iTÝnh u )1,1()ln(.2
l y x y x xul
Bg: Ta có y x2
1 y x
x ) y xln( 2 xu
y x2
1 y x x2
xu
23012 101 1)01ln(.2)( x Au 25012 101 1.2 y ) A( u Biết rằng )1 ,1( l
véctơ Chỉ phương
2
1
)1(1
1
2
1
)1(1
10 2222
coscos)cos,(cos
l
y
l
xl
Biết rằng cos y ) A( u
cos x
) A( u
l
) A( u
2
2
2
125
2
123 ..
Câu 9: (1đ) Cho trường vô hướng
(gradu).divTÝnh
)3 x2 y( eu 2 xy
Bg: Ta có
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
3/45
3
y u
x u gradukh¸c MÆt
;
)232.(.2)32(.)232(.2)32(. 22232
y x x x yee y x ye x y xy yee x ye y xy xy xy
xu xy xy xy
xu
và xye y y xy y xye y x
u .2)2323
(.2
2
) y4 y3 xy2 y( e 224 xy
)242
33
222
42
32
24
(22
)242
33
222
()22()232
22
(.
2
2
xy x x x y y y xy y xy
e
x
u
y
u
xy x x x y xy
e xy xy
e y x x x y xy
e x
y
u
2 2 (gradu)div
Câu 10: (1đ) Cho hàm ẩn ),( y x z z
Có PT x z
yarctg x z
Ta có yd y z dx x z y x z d ''),( mà 0),,(
z x x z
yarctg F
x z
yarctg x z
z y x
2)(22)(1
1.
1'2)(2
2)(212)(2
12)(1
1.2)(
' x z y
x z
x z
y x z y F
x z y
x z y y
x z y
y
x z
y x z
y x F
2)(
2
)2
)(2
(
2)(
2
)2
)(2
(1
2)(
21
2)(1
1.
2)(
'
x z y
x z y y
x z y
x z y y
x z y
y
x z
y x z
y
z F
22
22
22
22
22
)('
''
1
)(
))((
)(
))((
'
''
x z y y
x z
F
F z
x z y
x z y y
x z y
x z y y
F
F z
z
y
y
z
x x
nnªVËy
dy x z y y
x z dxdy z dx z d
y x y x z 22),( )(''
dã,Do
Câu 11: (1đ) cho hàm ẩn
),( z y x x có PT :
23 xy x x4 z Víi 243),,( xy x x z z y x F 1'
2'43'
22
z F
xy F y x F d
y
xã,Khi
22
22
43
1
'
''
43
2
'
''
y x F
F x
y x
xy
F
F x
x
z z
x
y y
Như vậy = dz y x
dy y x
xydz xdy xd z y z y x 2222),( 43
1
43
2''
Câu 12: (1đ) cho hàm ẩn ),( z y x x có PT ) y2 y x( e z 2 x2
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
4/45
4
o z y y xe F x
z y x )2( 22
),,(
Ta có:1'
)1(.2)22(')1242()2(.2' 2222222
z
x x
y
x x x
x
F
ye ye F y y xee y y xe F
)2412(
1
'
''
2412
)1(2
)2412(
)1(2
'
''
22222
2
y y xe F
F x
y y x
y
y y xe
ye
F
F x
x
x
z z x
x
x
y
y
Như vậy)2412(
)1(2''
22
2
),( y y xe
dz dye ydz xdy xd
x
x
z y z y x
DẠNG CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1: (2đ) Tìm cực trị của hàm số )4)(( y x y xe z x
Mxđ : R y x ),( ta có 42)4)(()()4()4)((' x y x y xe y xe y xe y x y xe z x x x x x
ye y xe y xe z x x x y 24)()4('
Xét tọa độ các điểm tới hạn của h/số : M(x,y)
0)('
0)('
M y z
M x z
)189'(
2
2
4
2
086
2
042)2(
2
042)4)((
0)24(22
x
y
x
y
x
y
x x
y
x y x y xe
ye
y x
x
Hàm số có 2 điểm tới hạn: )2,2(1 M và )2,4(2 M Ta lại có:
42)4)(('' x y x y xe z Ar x xx
yx xy
x z z B s x y x y xe y x y x ''''104)4)((2)()4(
x y x yy x x x e ye z C t ye ye 2)24('')24()24( // Tại M1(-2,2),ta có:
0.2
0.4.40.2)1(''
0)2.24(''.210)2(4)422.(0)('')(
2
)1(
4422
)1(
2
)1()1(
22
11
e A
ee AC Be M z C
e z Bee M z M A
M
yy M
M xy M xx
Hàm số không đạt cực trị tại M1(-2,2)Tại M2(-4,2),ta có :
0.2
0.4.40
.2
0)2.24(
2)104(4)424)(24(()(''
4
882
4
4
442
e A
ee AC B
eC
e B
ee M z A xx
Vậy hàm số đạt cực đại tại M2(-4,2) và 44)2,4(max .4)424)(24(
ee z z
Câu 2: (2đ) Tìm cực trị của hàm số xy y x z 322
Ta có MXĐ :
2),( R y x D và
x y y z
y x x z
323'
323'
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
5/45
5
Xét tọa độ các điểm tới hạn M(xo,yo) của Z(x,y) :
)2(
)1(
033
033
0'
0'
2
2
2
2
x y
y x
x y
y x
z
z
y
x
Thay (2) vào (1) y y4
0
10)
4
3)
2
1)((1(0)1(
2
123
y
y y y y y y
Với : 121111 y x y Với : 022202 y x y Ta có 2 điểm tới hạn của :M1(1,1) và M2(0,0): ta có
y z
z z
x z
yy
yx xy
xx
6''
3''''
6''
Tại M1(1,1) thì
027)6.6()3(
6)1(''
3''
61.6''
22
)1(
)1(
AC B
M z C
z B
z A
yy
M xy
M xx
Vậy
06
0
A H/s đạt cực tiểu tại M1(1,1)
Tại M2(0,0) ta có
090)3(
''
3''
00.6''
2200.6)(
)(
)(
2
2
2
AC B
z C
z B
z A
M yy
M xy
M xx
hàm số không đạt cực trị tại M2(o,o) .Như vậy hàm số đó cho đạt cực tiểu tạiM1(1,1) = - 1
Câu 3: (2đ) Tìm cực trị của hàm số 0,2)2)(22( ab yby xax z MXĐ : 2),( R y x Ta có :
)2()(22)2('
)2()(22)2('
)2()2()2)(2( 22
a x xb y yb ya x x z
b y ya x xa xb y y z
b y ya x x ybx xax z
y
x
Xét hệ PT:
0))(2(2
0)2()(2
0'
0'
b ya x x
b y ya x
y z
x z
b ya x
ya x
b y x
o y x
b ya x
b ya xo x
b y y
a x
22
02
20
0
2
20
Kết hợp các khả năng với ab 0a 0 ,b0, ta có 5 điểm tới hạn sau :M1(0,0) ,M2(0,2b), M3(a,b) , M4(2a,0) ,M5(2a,2b)
Ta lần lượt xét các điểm tới hạn trên với
))((42)(2'''')2(2))2()(2('' '
b ya x yb ya x yx z xy z
b y yb y ya x z x xx
và )2(2'' a x x yy z với M1(0,0) )1('' M xx z r 0)20.(0.2 b
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
6/45
6
0)20(0.2)(''
4)0)(0(4)(''
2
1
a M yy z t
abba M xy z s
0.02)4(2 abrt s 02216 ba (ab 0) mà r = 0
M1(0,0) không là điểm cực trị Với M2(0,2b)
0)22(2.2)('' 2 bbb M xx z r
0)20(0.2)('')(4)2)(0(4)(''
2
2
a M yy z t abbba M xy z s
022162 bart s
M2(0,2b) không là điểm cực trị Với M3 (a,b)
2
3
3
2
3
4)2(2)(''
0))((4)(''
4)2(.2)(''
aaaa M yy z t
bbaa M xy z s
bbbb M xx z r
2216202 bart s 02216 ba mà r= -4b2 0
hàm số đạt cực đại tại M3 (a,b)* Với M4 (2a,0)
0)20(0.2)4('' b M xx z r
obaabrt saaa M yy z t
abbaa M xy z s
2222
4
4
160)4(0)22(2.2)(''
4)0)(2(4)(''
Hệ số không đạt cự trị tại M4(2a,0)
Với M5 (2a,2b) ta có:
0160)22(2.2)(''
4)2)(2(4)(''
0)22(2.2)(''
222
5
5
5
bart saaa M yy z t
abbbaa M xy z s
bbb M z r
Hệ số không đạt cự trị tại M5(2a,2b) Như vậy hệ số đạt cực đại tại M3 (a,b) khiđó
222222
),(max )2)(2( babbaa Z Z ba
Câu 4 : (2đ) y x y xy x z ln10ln422
Mxđ: 0,0:),( y x y x D
ta có: x
y x x z 4
2'
y x y y z
4
2' ; Xét hệ pt tọa độ cỏc điểm tới hạn M (x,y):
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
7/45
7
04
2
04
2
0'
0'
y x y
x y x
y z
x z
0
)(4)(3
044
xy
y x y x
y x y x
0)4
3)((
0)4
1)((
xy y x
xy y x
00
0
y x
y x
y x
loại Với khụg D
3
32
3
40
43
0
y x xy
y x
xy
y x
4
0
04
12
x
y x
y x xy (vụ n0)
3
4
4
04
3
04
1
xy
xy
xy
xy ( vụ n0)
vậy hệ pt có 1 n0 332 y x
Hệ số có 1 điểm tới hạn )3
32,
3
32( M
Xét: 24
2'' x
z r xx
2
4
2''
1''''
y yy z t
yx z xy z s
tại
0154.41
44
1''
1''
44
1''
)3
32,
3
32(
2 3
4)(
)(
34)(
rt s
z t
z s
z r
M
M yy
M xy
M xx
và r = 4 > 0 h/số cực tiểu tại:
)3
32,
3
32( M và
3
4ln74
3
4ln
2
14
3
4.3)
3
32,
3
32(min z Z
Câu 5 : (2đ)
y x y x z 33
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
8/45
8
MXĐ:(x,y)R 2
Ta có : 123' x x z
123' y y z
Xét hệ PT tọa độ các điểm tới hạn của h/số:
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
013
013
0'
0'
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
z
z
y
x
h/số có 4 điểm tới hạn:
)3
1,3
1(4),3
1,3
1(3
)3
1,
3
1(2),
3
1,
3
1(1
M M
M M
Ta lại có: 6xxx'z'r
y yy z t
yx z xy z s
6''
''''
lần lượt xét các điểm tới hạn ta có : Tại )3
1,
3
1(1
M
032
012
32.322
323
1.6)1(
''
323
1.6)1(
''
r
rt s
M yy z t
s
M xx z r
h/số đạt cực đại tại )31,
31(1 M và
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
9/45
9
9
34max
)3
1,
3
1(max
Z
z Z
Tại )3
1,
3
1(2 M
01232.32
323
1.6''
''
32)3
1.(6''
2
)(
)(
2
2
rt s
zt
z s
zr
M yy
xy
M xx
h/số ko đạt cực trị tại M2
Tại
32)3
1.(6''
0''
323
1.6''
)3
1,
3
1(
)(
)(
3
3
3
M yy
xy
M xx
xt
z s
zr
M 01232.322 rt S
h/số dạt cực trị tại : )3
1,
3
1(3 M
Tại )3
1,
3
1(4 M
323
1.6)4(
''
''''
323
1.6)
4(''
M yy z t
yx z xy z s
M xx z r
01232.322 rt S
mà 032 r
h/số đạt cực tiểu tại)
3
1,
3
1(4 M
với9
34)
3
1,
3
1(min z Z
Như vậy h/số đạt cực đại tại
9
34max1 );
3
1,
3
1( Z M
Đạt cực tiểu tại:
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
10/45
10
9
34min4 );
3
1,
3
1( Z M
Câu 6 : (2đ)
Tỡm cực trị của hàm số z = x4+y4 – 2x2 + 4xy -2y2
z’x = 4x3 – 4x + 4yz’y = 4y3 – 4y + 4xz’’xy = 4, z’’x2 = 12x2 – 4
z’’y2 = 12y2 – 4
0 x y y
0 y x x
0' z
0' z
2
2
y
x
0 y x3
x
0 ) xy2
y2
x )( y x(
0 y x3
x
03
y3
x
0 y
0 x
0 x23 x
0 y x
0 y x3 x
0 xy
0 y x3 x
0 y x
2 y
2 x
2 y
2 x
0 y
0 x
+ Xét A(0,0) z’’x2 = - 4 = z’’y2
z’’x2y – z’’x2. z’’y2 = 0+ Xét (x,y) theo đường (0,y) => z(0,y) – z(0,0) = y2(y2-2) z(y,y) – z(0,0) = 2y4 >0
Khi y lõn cận 0.
Từ 2 trường hợp trên => (0,0) k 0 là Cực trị * Xét A ¹i cùc vµothay d 2 ,2 * Xét B tiÓcùc vµothay 2 ,2
Câu 7 : (2đ)
Tỡm cực trị của hàm số:
z = xy+ y20
x50 với x>0, y>0
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
11/45
11
Giải: Bước 1
2 y
20 x
2 x
50 x
' z
y' z
Tỡm cỏc điểm dừng
)2(
)1(0
0
0
2
2
2
2
20
50
20
50
y
x
y
x
x
y
x
y
Thay (2) vào (1) ta có
0 y. y0 y 481
2
2 y
20
50
=> 8y – y4 = 0 => y(8-y3) = 0
0)224)(2(38
0
y y y y
y
032)1(42
20
y y
y y
2 y
5 x rabµi theolo¹i
Vậy có 1 điểm dừng M1(5,2).
Bước 2: Tính AC B2
3
4000
3
40''
11''
10 0''
2
33
2
y z C
z B x
z A
y
y x xy
x
Tại điểm dừng M(5,2) ta có
0341 )2 ,5(
=> hàm số đạt cực trị ta lại có
0 )2 ,5( A125100 Tại M hàm số đạt cực tiểu.
Câu 8 : (2đ)
Tỡm cực trị cuả hàm số z= x3 + y3 – x2y
Giải: Bước 1:
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
12/45
12
22
y
2 x
x y3' z
xy2 x3' z
Tỡm cỏc điểm dừng
có hệ
)2(0223
)1(0223
x y
xy x
Từ (1) => x(3x-2y) =0
y x y x x
3223
0
thay x=0 vào (2) ta có 3y2=0 =>y=0
thay x=2/3.y vào (2) ta có
042703 222
942 y y y y
23 y2= 0 => y=0
Vậy ta có điểm dừng M(0,0)
Bước 2:
Tớnh AC B2
y x z A x
26'' 2
y zC y
y y x x x xy z B
6'' 2
6).26(2
42''
xét tại điểm dừng M(0,0) ta có
0 )0 ,0(
=> chưa có k.luận về cực trị, xét hàm số tại (0,0): z=0; z>0 với x=y
Câu 9 : (2đ)
Tỡm cực trị của hàm số
1
122
22
y x
y x z
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
13/45
13
122
)122(
1221222
'
y x
y x
y x
x y x
x z 322
2
322
222
1
222
1
)22()1(2
y x
x xy y
y x
x xy x y x
322
2
1
222'
y x
y xy x
y z
Ta có
02222
022220'
0'
y xy x
x xy y
y z x
z
0222
0)122)((2 y xy x
y x y x
0222
0122
222
0
2
2
y xy x
y x
y xy x
y x
x=y=2
Ta có: 122212222122 y x y x 13 22 y x 331
122
22
z
y x
y x
=> max z=3
2122
y x y x
=> A(2,2) là cực đại Với Zmax=3
Câu 10 : (2đ)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số: Z= x2+2xy - 4x +8y
trờn miền D:
2010
y x
Giải: Ta có:
8 x2' z
4 y2 x2' z
y
x
Tỡm cỏc điểm tới hạn
6 y
4 x
08 x2 y' z
04 y2 x2 x' z
Vậy ta thấy hàm số đạt cực trị thỡ điểm cực trị k 0 thuộc miền D
17)2,1(3)0,1(
16)2,0(0)0,0(
z z z z : XÐt
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
14/45
14
=> Gớa trị Max =17 Giỏ trị Min = -3
Câu 11 : (2đ)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số: Z= x2+y2 -12x +16y
trờn miền D: 2522 y x
Giải: Ta có:
16 y2' z
12 x2' z y
x
Tỡm cỏc điểm tới hạn
8 y
6 x
016 x2 y' z
012 x2 x' z
Vậy ta thấy hàm số đạt cực trị thỡ điểm cực trị k 0 thuộc miền D
70 )5 ,5( z
90 )5 ,5( z
190 )5 ,5( z
30 )5 ,5( z
: XÐt
=> Gớa trị Max =190 Giỏ trị Min = -90
Câu 12 : (2đ)
y 2
2 y x
y=1
1
3 21
1 2 3
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
15/45
15
Đổi thứ tự lấy t/phân
1
0
dy I 2
2
2
3
),(
y
y
dx y x f
miền lấy t/phân D =
23
2
2
10
:2),( y x
y
y
R y x
D được giới hạn bởi các đường
y =0 ; y =1 ;2
2 y
x ; 32223 y x y x
Miền D = 321 D D D với
230
32:),(3
10
22
1
:),(2
02
2
10
:),(1
x y
x y x D
y
x y x D
y x
x y x D
Vậy 21
0
dx I x
dy y x f 2
0
),(2
2
1
dx
1
0
),( dy y x f 23
0
3
2
),( x
dy y x f dx
Câu 13 : (2đ) Đổi thứ tự lấy t/phân:
x
x x
dx I 2
2
2
0 2
dy y x f ),(
y2
2 y x
1
1/2 1 2 x
Miền lấy t/phân D =
x y x x
x R y x
222
20:2),(
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
16/45
16
D được g/hạn bởi các đườngx =0 ; x =2
211
211
122)1(22
y x
y x
y x x x y
2
22
y x x y
321 D D D D với D1 =
211
2
2
10
:),( y x
y
y
y x
2
2
2
21
:),(2 x
y
y
y x D
2211
10:),(3
x y
y
y x D Vậy 2
2
2
111
0
y
y
dy I dx y x f ),(
dx y x f dy
y
),(2
11
1
0 2
dx y x f dy
y
),(22
12
2
Câu 14 : (2đ)
1
0
1
21
),( y
y
dx y x f dy
y
1
y=1
1
-1 x
x=1-y
miền lấy tích phân ),( y x D
y x y
y
121
10
Miền D được giới hạn bởi các đường: y=0 ,y =1 ,x=1 -y và21 y x 122 y x
(lấyphần )0 x 21 D D D
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
17/45
17
Với: :),(1 y x D
021
01
y x
x
x y x
y x D1010
:),(2
xdy y x f dx
xdy y x f dx I
1
0
),(0
1
0
1
21
0
).(
Câu 1 : (3đ) L
dx)yxxy(I
dy)yxxy(
Theo công thức Green: D
dxdy)xy(I
cosar 0
22:D
Ddxdy)xy(
Ddxdy)1x1y(I
Trong đó D là hình tròn :4
2a2y2)2
ax(
đổi toạ độ cực thì:
D
cosar 02
42
Câu 2 : (3đ) L
ydx xdy I
y
a
L
-a 0 a x
*Tính trực tiếp : Ta có PT đường cong là nửa trên của đường tròn : )0(,222 aa y x là
a xa
xa y 22
dx
xa
xdx
xa
xdy
22
222
2
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
18/45
18
vậy L
ydx xdy I
dxa
a xa
x x xa
22.22
a
a xa
dxa
a
a
dx xa
dxa
a xa
a xa
dxa
a xa
x xa
22
2
222
22
222
2
22
222
a
a
a
a
xa
dxa
dx xa I
22
2
222
a
a
dx xa I 221 ,đặt x=asint
22 t
2
2
2sin221
t aa I .d(asint)
2
2
2cos
2
2
2
.cos.cos
tdt a
dt t at a
= 2
22
2cos12
dt
t
a
22
)sin(sin
)2
(22
2
2sin
2
2
2
22
2
a
a
t t
a
a
aa x
a xa
a
d
xa
dx I
2222
)(1
)(
a
aa
a
a
a
a
x
arcsin
arcsinarcsin
02
2
2.2
22
12
aa
I a I I
b.Dùng công thức Green:
y
a BL
D
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
19/45
19
A C
-a 0 a x
Xét miền kín được tạo bởi đường cong L và đ/thẳng y=o
L ABC
ydx xdy ydx xdy I
ABC
AC
ydx xdy ydx xdy
-Ta có: ABC
ydxx xdy I 1
Theo đ/lý Green với:
D
dxdy y
p
x
Q I
x
Q xQ
y
p y p
)(1
1
1
D
dxdy 0)11( -Mặt khác:
AC
ydx xdy I 2
Với:
00:
dy y
a xa AC
a
a
dx x I 0.00.2
Vậy 00021 I I I
Câu 3(3đ) L
xydydx y x )(
x=y2
1 B
m L
A n
O 1 x
y=x
a.Tính trực tiếp
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
20/45
20
tacó: Am B Bm A L
Trong đó Bm A có PT:
xydydx y y x
10
2
A Bn có PT:
1
0
2
1
0
22
1
0
2
0
1
32
)2(
)23(
)(
2)(
)(
)(
)(01
dy y y
dy y y
dy y y y
dy y y y y
xydydx y x
xydydx y x
xydydx y x I
dydx y y x
A B
B A
L
n
m
1
0
23 )23( dy y y y
12
10)1
3
1
4
3(
343
1
0
234
y
y y
b.Sử dụng công thức Green L
y x y x dyQdx p I ),(),( Với:
y x
Q
y
p
xy y xQ
y x y x p 1
),(
),(
Theo công thức Green ta có:
D
dxdy y
p
x
Q I )(
Với D là miền kín biểu diễn trên h/vẽ D
dxdy y I )1(
1
0 2)1(
y
y
dx ydy
12
1
12
683
0)2
1
3
2
4
1(
)
23
2
4
(
)2(
))(1(
1
0
234
1
0
23
1
0
2
y y y
dy y y y
dy y y y
Câu4(3đ) c
dy2xdx2yI
YCR
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
21/45
21
-R R X
Cách1:Đường tròn có Pt tham số:
R
Ro.2xodx
dt)tcosR(t2cos2R
o)tsinR(t2sin2RI
t0,tsinRytcosRx
o
dt t t R )cos(sin 333
4t3costcos3t3cos
4
t3sintsin3t3sin
dt)t3costcos3o
t3sintsin3(4
3RI
33R4
316.
43R
3
1
3
133
4
3R
o3
t3sin
tsin33
t3costcos3
4
3R
Cách2:
o
R
ordr )sinr cosr (d2
oy
2R2y2x
dxdy)yx(2I
3
3R4
o)cos(sin
3
3R2
o
d)sin(cos3
3R2
d)o
R
o 3
3r ).(sin(cos2I
Câu5(3đ): AB
dyyx
Y
B
a
t A
a X
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
22/45
22
2to,
tsinay
tcosax:B A
Nhận xét : yx khi4
to
yx khi2
t4
2
4
dt)tcostsint2(cos2a
4
odt)tcostsint2(cos2aI
o2
4
tdtcos)tsint(cos2a
4
otdtcos)tsint(cos2aI
0
4
24
t2cos
4
t2sint
2
12a
o4
4
t2cos
4
t2sint
2
12a
2
4
dt)2
t2sin
2
t2cos1(2a
4
2
dt)2
t2sin
2
t2cos1(2a
Câu6(3đ) dy)2y1
AB y
2x(ydxlnx2
Y
B
C A
1
1 X
Đặt :p = 2xlny 2y1y
2xQ
Nhận xét:y
x2
x
Q
y
p
Vậy tích phân ko phụ thuộc dạng đường cong .Bằng cách lấy tích phân dọc theo biên của tam giác ACB ,với C(o,1)
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
23/45
23
2
1
dy)2y1o(
o
1odx)1ln.x2(
AC CBQdypdxQdypdxI
)31
52ln
352(2
1dy
2
1
2y1I
2
1dy
2y1
2y
1
22y1yI
dy
yV
2y1
ydU
dydV
2y1U
dy2
1
2y1I
)2152ln(
21
225I
)21ln()52ln(
)252(I
1
2)2y1yln(I
1
22y1y
2
1
2
1 2y1
dydy2y1
2
1
2y1ydy2y1
112y
1
22y1yI
Câu7(3đ)
c 2y2x
dy)xy(dx)yx(
Biểu diễn Pt đường tròn trong dạng tham số:
2to,tsinay
tcosax
dt)tcosa)(tcosatsina(
2
o 2a
)tsina)(tsinatcosa(I
2
o2dt
2
odt)t2cost2(sin
t
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
24/45
24
a x
Câu8(3đ)
c 2y2x
xdyydxI
y
t
1 x
Pt tham số:
2to,
tsiny
tcosx
I=
2
o2dt
2
o t2sint2cos
dttcos.tcos)tsin)(tsin(
Câu9(3đ) Cho các hàm số
ysin2mxycosxe)y,x(Q
ycosx2m2ysinxe)y,x(p
a.
Qdy pdx
ymx ye x
Q
ym ye y
p
x
x
sin2cos
sin2cos
2
2
là vi phân toàn phần khi : om2m
x
Q
y
p
nhận được m = o,m = 1
b.theo công thức ta có :
x
o
y
2
ycosxe(dxxe)y,x(U
2dy)ysin2x
1ycos2xysinxe
Câu10(3đ)
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
25/45
25
dx)ycosyysinx AB
dy)ysinyycosx()x(h
a.Đặt)ysinyycosx()x(hQ
)ycosyysinx()x(hp
Điều kiện để tích phân ko phụ thuộc đường đi là :x
Q
y
p
x x
x
x x x
x
x
x
x
x
eh
h
hhh
y y y xh
y y y xh x
Q
y
p
yh y y y xh x
Q
y y y x y xh y
p
)(
)(
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
1'
'
)sincos(
)sincos('
cos)sincos('
)sincoscos(
b.
y
A(o,)
0 B(,o) x
o
o
o A Bo
ydy y
dxody y y
Qdy PdxQdy Pdx I
sin
.)sin(0
Sử dụng công thức tích phân từng phần :
yvdydu
ydydv yu
cossin
oo
yo
y y
ydyo
y y I o
sincos
coscos
Câu11(3đ)
AB 2y2x
dy)ynx(dx)ymx(
a.Ta có :
)2y2x(
xy22nx2ny
y
p
2)2y2x(
mxy22x2y
y
p
Điều kiện để biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số
U(x,y) nào đó là với m = n =1
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
26/45
26
10101
,,0)1(2)1)((
2
2
22
22
22
mnm
n y x
m xyn y x
xynxny
mxy x y
b/
B(a,o) C(a,a)
A(a,o) x
dxa x
a xdy
ya
ya I
y x
y xQ
y x
y x p
Qdy pdxQdy pdx I
a
a
o
C A BC
0
2222
2222 ,
2)
4(2)arctgo1arctg(2
o
aa
o a
xarctg
a
1.a2dx
2x2a
a2
a
o
dx2x2a
xaa
o
dx2x2a
xa
a
o
a
o
dx2x2a
xady
2y2a
ya
Câu12(3đ) Tính tích phân mặt loại 2 sau đây:
dxdy2zdzdx2ydydzs
2x
z
a
a
y
ax
a
o
a
o
a
o
a
o
a
o
a
o
v
a a
o
a
o
v v
v
zdz dydxdz ydydx
dz dy xdx zdxdyd z
ydxd ydz xdxd ydz
dxdydz z y x I
2
22
222
)(2
0
))(())()(( 22
o
a y
o
a x
o
a z
o
a y
o
a x
))()(()(
2
o
a
z o
a
yo
a
xo
a
z
4a34a4a4a
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
27/45
27
Câu13(3đ) Cho trường vectơ
)2zx.2yz,2xy(F
dxdy2zx
dzdx2yzs
dydz2xy
áp dụng công thức :Ostrogratski
1:
)(
222
222
z y xV
dxdydz x z y
v
Đổi qua toạ độ cầu :
102
0
r oV
5
4
5
1.2.2
2
o o
1
odr 4r ddd
Câu14(3đ)
Đổi qua toạ độ trục
20
22
202
r
z r
dz r d dr I
r
.2
32
0
2
02
2
dr r
r 222
0
3 )2
2(.2
3
16)
3
1
2
1(2.2
)122
(2
4
2
0
64
r r
Câu 15 (3đ)2z2y2x2U
2z2y2xU
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
28/45
28
u
xxux2xu.u2
tương tự ;u
yyu
u
zzu
)u
z,
u
y,
u
x(gradu Thông lượng của trường vectơ gradu qua mặt cầu 1z2y2x:S là
s
dxdyu
zdzdx
u
ydydz
u
xzdxdyydzdx
sxdydz
vì 1S U
áp dụng c/thức ostrogradsky ta có v
dxdyz3 trong đó V là h/cầu 12z2y2x
.3 (thể tích V) 43
4.3
Câu1(4đ)
x y
y
y
x y y
y
y
y x y
cos
1ln'
1cosln'
lncos'
Đặt y
y z y z
''ln
thay vào ,ta đượ c : x
z z cos
1'.
dx x
x
z dx
x zdx z
2
2
sin1
cos2cos
1'.
)sin1)(sin1(
)(sin
x x
xd
)42
(ln2
2
lnsin1
sin1ln
2
1
sin1
)(sin
2
1
sin1
)(sin
2
1
xtg C
z
C x
x
x
xd
x
xd
Thay lại ,ta có nghiện tổng quát của PT: )42
(ln22ln
xtg C y
b/ 2sin'' x y y x
+Đây là PT vi phân tuyến tính cấp 2 ko thuần nhất
+Xét PT thuần nhất tương ứng 0'' y y PT đặc trưng :
12
11012
k
k k
PT đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt do đó nghiệm tổng quát của PT đặctrưng :
x x eC eC y .. 21
+Ta tìm 1 No riêng của Pt vi phân tuyến tính cấp 2 ko thuần nhất đã cho:
)(2)(12cos22
)2
2cos1(
2sin''
x f x f x x x
x x x x y y
với )(.2
)( 11 x P e x
x f ox
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
29/45
29
= 0, n = 0 nên no riêng có dạng yR1= Ax +B y’R1 = A y’’R1= 0thay vào pt : y’’- y = f 1(x) =
2
x
0 (Ax+B)=2
x
0
2
1
B
A
No riêng : yR1 =2
x
Với f 2(x) = x x 2cos2
x xQ x x P oxe 2sin).(02cos)(1
pt : y’’-y= x x x f 2cos2
)(2
có N0 riêng dạngyR2= (Ax+B)cos2x + Csin2x y’R2 =Acos2x – 2(Ax + B)sin2x +2Ccos2x= (A+2C)cos2x – 2(Ax +B)sin2x y’’R2 = - 2(A +2C)sin2x – 2Asin2x – 4(Ax+B) cos2x =-4(A+C)sin2x – 4(Ax+B)cos2xThay vào pt ta được : (-4A – 5C)sin2x – 5(Ax+B)cos2x
= x x 2cos2
25
2
10
1
.5
4
0
10
1
05
2
15
0)54(
C
B
A
B
A
C A
No riêng: x x x y R 2sin25
22cos
10
1' 2
Như vậy, No riêng của pt vi phân khg thuần nhất đã cho là : yR = yR1 +yR2 x x x x 2sin
25
22cos
10
1
2
Vậy No tổng quát của pt đã cho
x x x x
eC eC y y y x x
Rtq
2sin25
22cos
10
1
2
.. 21
Câu2(4đ) a. Tìm No riêng của PT:
1
1
3ln
'
01'3ln
x y y
y
x y y y
đặt y
y z y z
''ln
Thay vào ta được:
1
13'
x z
z Tích phân 2 vế :
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
30/45
30
2
1)12(
2
122
1.
2
1
13
'
C x z
C x z
x
dx
z
dx z
Thay y z ln ta có:
2
1)12(2ln C x y
do 2)1615( e y thay vào:
8
3
2
1
8
1
2
1)
4
1.2.(4
2
1)1
16
152).(
2(
2ln
C
C
C e
Vậy,No riêng của Pt đã cho là :
2
1)
8
312(2ln x y
b.Tìm No tổng quát : )(2
2'3'' x poxe x y y
-Đây là PT tuyến tính cấp 2 ko thuần nhất- PT đặc trưng tương ứng của PT tuyến tính cấp 2 thuần nhất
0'3'' y y là:
32
01
0)3(032
k
k
k k k k
no t/quát của PT thuần nhất là:
xeC C
xeC oxeC y
3.21
3.2
.1
ta tìm 1 No riêng của PT vi phân cấp 2 Ko thuần nhất đã cho có dạng : )2( C bxax x RY (Vì )01 k
23629
26'3''
26''
223'
23
xC bxax
bax R y R y
bax R y
C bxax R y
C bxax
27
2
9
1.
3
2
3
2
9
1
032
0)(6
19
232
)(629
bC
ba
cb
ba
a
xC b
xbaax
Vậy một no riêng của PT là :
)5
22(
9
)27
2
9
12
9
1(
x x x
x x x R y
No t/quát của Pt đã cho là :
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
31/45
31
)5
22(
9
321
x x x x
eC C
R y ytqY
Câu3(4đ) a. x x x y y cossinsin'
)cos(sin' x y x y (*)
Đặt x y z cos x z y x y z sin''sin''
Thay vào (*) ta đượ c:
x z
z
z x z
z x x z
sin1
'
)1(sin'
.sinsin'
Tích phân 2 vế :
C z
xdx z
dz
xdx z
dx z
co s1ln
sin1
sin1
'
(C là hằng số )
+Thay x y z cos ta được No t/quát của Pt là :C xe x y
C xe x y
C x x y
coscos1
cos1co s
co s1cosln
b. x x y y 2cos'' x x x 2cos22
- Đây là PT vi phân tuyến tính cấp 2 Ko thuần nhất - Xét PT vi phân thuần nhất tương ứng : 0'' y y PT đặc trưng : 12,1012 k k
vậy
PT thuần nhất có No t/quát xeC xeC y 2.1 - Xét Pt Ko thuần nhất đã cho :
)(2)(1
2cos22
''
x f x f
x x x
y y
Ta sẽ lần lượt tìm No riêng ứng với Pt : y’’- y = f 1(x) (1) là yR1 và y’’ – y = f 2(x) (2) là yR2 ta có :
2)(1
x x f
)(1. x P oxe )2,1( k k Ta tìm N0 riêng dạng : yR1 = e0X .(Ax + B)
y’R1 = A y’’R1 = 0 Thay vào (1) :
0 – (Ax +B) =2
x
0
2
1
B
A
N0 riêng yR1 =2
x
Ta có : f 2(x) = x x P oxe 2cos.)(1 x xQ 2sin).(0
Ta tìm N0 riêng dạngyR2 = e0x.((ax+b)cos2x+ Csin2x)
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
32/45
32
yR2 = (ax+b)cos2x + Csin2x
y’R2 = acos2x – 2(ax+b)sin2x+ 2Ccos2x
= (a+2c)cos2x – 2(ax+b) sin2x y’’R2 = -2(a+2c)sin2x – 2asin2x – 4(ax+b)cos2x= -4(a+c)sin2x – 4(ax+b)cos2xThay vào (2) - (4a +5c)sin2x – 5(ax+b)cos2x = x x 2cos2
25
2
10
1.
5
4
0
10
1
2
15
05
054
c
b
a
a
b
ca
Vậy yR2 = x x x 2sin25
22cos
10
1
Như vậy theo n/lý chồng chất N0, N0 riêng của pt đã cho sẽ là : x x
x x
RY RY RY
2sin25
2
2cos102
21
Vậy N0 tq của pt đã cho là :
x x x x
eC eC Y Y Y x x Rtq
2sin25
22cos
102
21
Câu 4 : (4đ) a) 2ydx + (y2 – 6x)dy = 0
23'
032
y x y
x
y
x y
dy
dx
Đây là pt vi phân t2 cấp 1 không thuần nhất với :
2;
3)()(
yQ
y P y y
C/thức N0 t/quát là :
dy y P edy y P e x )()(
C dyQ y )(
Đặt
dy y
dy y p I 3)(
ydy ydy y
y
dyQe J
y y
dy
ydy P y
.ln2
3
2.ln3
ln33
)()(
Đặt
2
2
ln
yv
y
dydu
ydydv
yu
2
8
3ln2
4
3
4
3ln2
4
3
.2
2ln
2
2
2
3
y y y
ydy y y
y
dy y y
y J
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
33/45
33
Vậyno t/quát của pt là:
C y y y y x 2
8
3ln2
4
3ln3
(C là hằng số ) b. xe y y y 420'9''
+Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 ko thuần nhất +Xét Pt thuần nhất tương ứng :
020'9'' y y y Pt đặc trưng:
52
410)5)(4(
02092
k
k k k
k k
Pt đặc trưngcó 2No thực phân biệt52,41 k k nên no t/quát của Pt thuần nhất là :
xeC y 41 xeC 5.2
-Xét Pt vi phân ko thuần nhất đã cho
1
)(4
)(
)(
4
4
.20'9''
k
pee f f e y y y
xo x x
x
x
x
Ta tìm 1 No riêng có dạng:
xe x A
xe x xe A R y
xe x A
xe Ax x Ae R y
A x xe R y
4)21(8
4).41(44.4''
4)41(
4.44'
.4
thay vào ta có :
1
..20
)41(9)21(8
20'9''
44
44
44
4
Ae Ae
ee Ax
e x Ae x A
e y y y
x x
x x
x x
x R R R
no riêng : xe x R y 4.
Vậy, No t/quát của pt đã cho là :
xe x
xeC
xeC
R y ytqY
4.
52
41
Câu5(4đ)
a.Tìm No riêng: x x x y
y ln.ln.' - Đặt:
t yt
et
et ydx
dt
dt
dy
dx
dy y
t e
xdx
dt
xdt dt t edx
t e x
'.'.
'1
thay vào Pt ta được :
t et t q
t t p
t et yt
y
t et
t et
yt y
t e
2.)(
1)(
2.1'
..
'.
Đây là Pt vi phân t2 cấp 1 ko thuần nhất đối với t No t/quát:
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
34/45
34
C dt qee y t dt pdt p t t
)(.
)()(
+Ta có : dt t p I )(
2
22
2..12..ln
)()(
ln1
t edt t e
dt t et t
dt t et t e
dt t qdt t pe J
t dt t
Vậy No t/quát:)
2
2.(
2
2ln C
t et C
t et e y
Thay t = lnx , )2
2(ln C x
x y xt e
do:2
2
)(e
e y thay vào ta có :
022
)2
).(ln(
22
2
)(
C eC e
C e
e y e
Vậy N0 riêng của pt
2
2)(
lnln
'
e x y
x x x x
y y
=> x x y ln2
2
b) Tìm N0 t/quát: xe x y y y .'2''
Đây là pt viphân t2 cấp 2 không thuần nhất.
Xét pt thuần nhất tương ứng: y’’ –2y’ + y = 0 pt đặc trưng k 2 – 2k + 1 = 0 (k – 1)2 = 0 N0 kép k 1 = k 2 = 1 pt thuần nhất có N0 t/quát :
xcc xe y )21(
Ta tìm 1 N0 riêng của pt không t/nhất đã cho có dạng: ).(.2 bax xe x R y vì 112.)( k e x x f
yR = eX (ax3 + bx2) yR
bx xbaaxbx
xbaaxe y
b xabaxe
bxaxbxaxe
x R
x
x
2)3(232
)3(''
2)3(
23
2
23
23
223
b xba xbaaxe y
x R
2)23(2)6(''
23
Thay vào pt đã cho ta được:
x
x R R R
xeb xbba
xbbabae
y y y
24)26(
)3(26
'2''2
(6a – 2b) x + 2b = x
0
6
1
02
126
b
a
b
ba
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
35/45
35
Vậy N0 riêng: xe x x xe x R y .6
3)0
6
1.(.
2
N0 t/quát của pt đã cho là:
12
3321
66
)(
C xC x
ee x
xC C eY Y Y
x x
x Rtq
Câu 6 : (4đ) a)Tìm N0 riêng y’ + tgy = y
x
cos
y’cosy + siny = x Đặt z = siny z’ = y’cosy Thay vào ta có: z’ + z = x Đây trở thành pt vi phân t2 cấp 1 khg t/nhất với :
x xq
x p
)(
1)(
CT N0 t/quát Z =
C dxqee xdx pdx p x x
)(.
)()(
Ta có : xdxdx x p I )(
xdx x
edx xqdx x pe J .)()(
Đặt:
xev
dxdu
dx xedv
xu
)1(.
)1(.
x xec
c xe x xe x J
Như vậy:)1(.sin x xec y (c là h/số)
do: y(0) = 0 =c.e0 + (0 – 1) = c – 1 c = 1Vậy N0 riêng cần tìm là : siny = 1 x xe )1arcsin( x xe y
b) Tìm N0 t/quát của pt: xe x y y y 6'5'' . Đây là pt vi phân t2 cấp 2 khg thuần nhất
Xét pt thuần nhất tương ứng:
y’’ – 5y’ + 6y = 0 pt đặc trưng k 2 – 5k +6 = 0 (k - 2) (k – 3) = 0
32
21
k
k
pt có 2 N0 thực phân biệt pt thuần nhất có N0 t/quát xec xec y 3.22.1 - Xét pt khg thuần nhất đã cho: y’’–5y’+6y = xe x = f 1(x)+f 2(x)
+ Với f 1(x) = x y’’–5y’+6y = f 1(x) = )(1. x poxe 2,10( k k )Ta tìm N0 riêng có dạng :
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
36/45
36
baxbaxoxe R y ).(1
y’R1 =a y’’R1 = 0Thay vào ta có:
0 – 5a + 6(ax +b) =x6ax + 6b – 5a = x
36
5
6
5
6
1
056
16
ab
a
ab
a
No riêng:36
5
6
11 x R y
+ Với :21
2
2
,1)()(
6'5'')(
k k xQe x f
y y ye x f
o x
x
ta tìm No riêng dạng:
xe A R y
R y A xe R y
.2''
2'.
2
Thay vào ta được :
xe R y
A xe xe A
xe xe A xe A xe A
2
12
2
1.2
..6.5.
Theo n/lý chồng chất No riêng của Pt đã cho là :
36
5
6
1
2
1
21
xe
R y R y R y
Vậy No của Pt đã cho :
36
5
6
1
2
1
32
21
x xe
xeC xeC R y ytq y
(C1 ,C2 là các hằng số)
Câu7(4đ) a. 42' y x
x
y y
21
.3
1
4
'
x x y y
y
Đặt
6
2'.3'
3
1
y
y y z
y z
z y
y
y
y
3
1''3
44
Thay vào ,ta có :
23
3'
21'
3
1
x z x
z
x z x
z
Với23
)(,
3
)( x x
q x x
p
đây là Pt vi phân t2 cấp 1 ko thuần nhất c/thức No t/quát:
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
37/45
37
xC xC xe Z
x x
dx
dx x x
dx xe
dx xQe J
xdx x
dx P I
C dxQe
e Z
x
x
dx P
x
xdx P
dx P
x
x
x
ln3ln3
ln33
)3.(1
)3.(
)(.
ln33
.
3
ln3
2
3
2ln3
)(
)(
)(
)(
)(
Thay: xC x y y
Z ln311 333
No t/quát:
xC x y
ln333
1 (C là hằngsố)
b. xe x y y y .3'4''
Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 ko thuần nhất xét Pt thuần nhất t.ứng: 03'4'' y y y xét Pt đặc trưng t.ứng:
32
110)3)(1(
0342
k
k k k
k k
Pt đặc trưng có 2 No thực phân biệt No t/quát của Pt thuần nhất : x x eC eC Y 321 .. - Xét Pt ko thuần nhất đã cho :
)(.
.3'4''
1
)(
x P e
f e x y y y x
x x
Do 11 k ta tìm No riêng của Pt ko thuần nhất có dạng: ).(. bax xe x R y )2( bxax xe
222''
)2(2
22'
axbaax xe R y
b xbaax x
e
bxaxbax xe R y
b xba )2(
)(2)4(2 ba xbaax xe
Thay vào ta được :
xbaxb xbaax
ba xbaaxe
y y y x
R R R
33
4)48(4
)(2)4(
3'4''
2
2
2
4
1
4
1
0)(2
14
.)(24
ab
a
ba
a
xe xbaax
xe
No riêng x x
R e x x x
e xY
4
)1(
4
)1(..
Vậy No t/quát của Pt:
4
)1(32
1
x xeeC
eC Y Y Y
x x
x Rtq
Câu8(4đ)
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
38/45
38
a.Tìm No riêng của Pt: 22
''
x x
e y y
y ye y y
Đặt:Z= '2'2
'' z
y
y
y
y z y
Thay vào 2'2 x
e z z 2
2
1
2
1'
x
e z z
với
2
2
1)(
2
1)(
x
eq x
x P
Đây là Pt vi phân t2 cấp 1 ko thuần nhất ,No tổng quát : Z =
dx xQee
dx x P dx x P )(.
)()( C
x x
x x
dx x P
edxedxee
dx xQe J
xdx
dx x P I
2
1
2
1
2
1.
)(.
2
1
2)(
22
)(
22
2
21
21
. x x
x
eeC
C ee Z x
no t/quát 22 21
.
x x
eeC y
Thay :4
7
4
9
2
12
1.)( 2
020
C C
eeC oY
- Vậy No riêng của Pt : 22
2
1
4
7 x xee y
b.Tìm No t/quát của Pt: xe x y y y 5'6''
- Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 ko thuần nhất hệ số hằng số! - Xét Pt thuần nhất tương ứng:
05'6'' y y y Pt đặc trưng:
52
110)5)(1(
0562
k
k k k
k k
Pt có 2 No thực phân biệt, vậy No t/quát của Pt thuần nhất : x x eC eC Y 521 ..
- Xét Pt ko thuần nhất đã cho:
)(2)(15'6''
x f x f
x
e x y y y
với)2,10(
)(1.)(1
k k
x poxe x x f
Ta tìm No riêng dạng : )(1 baxeY
ox R Của Pt:
)(15'6'' x f x y y y (1)
01''1' R ya R y
thay vào
5
66
5
1
615
560
ab
aoba
a
xbaxa
561
xY R
+Với1
)()(21
.
k
pee f xo x x
x
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
39/45
39
Ta tìm No riêng dạng: x
R AxeY 2 của Pt:
x Ae ye f y y y
x R
x x
1'
)2(5'6''
2
)(2
)2(
)1(12''
x x Ae
x x Ae R y
thay vào PT (2) 222 5'6'' R R R Y Y Y
4
14
5)1(62
Ae Ae
x x x Ae
x x
x
No riêng: x R xeY 4
12
- Theo nguyên lý chồng chất No No riêng của Pt thuần nhất :
x xe x
R y R y R y
4
1
5
6
21
- Vậy ,No t/quát của Pt đã cho:
x x
x Rtq
e x xeC
eC y y y
4565
2
1
Câu9(4đ) a. tgx y y ''
-Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 ko thuần nhất- Xét Pt thuần nhất tương ứng :
0'' y y pt đặc trưng: iik k 001 2,1
2
Pt đặc trưng có cặp No phức liên hợp ik 02,1 No tổng quát của Pt thuần nhất :
xC xC
xC xC oxe y
cos2sin1
)cos2sin1(
-Xét Pt vi phân ko thuần nhất đã cho: y’’+y = tgx ta sẽ tìm 1 No riêng của Pt t2 ko thuần nhất dạng:
x xC x xC R y cos)(2sin)(1
theo P2 biến thiên hằng số Largrange ,ta có )(2,)(1 xC xC là No của hệ :
)2(sin)('cos)('
)1(0co s)('sin)('
21
21
tgx x xC x xC
x xC x xC
)('
)('cos
sin)(')1(
1
12
xtgxC
xC x
x xC
Thay vào (2)
xtgx x
tgx xC tgx
x xC tgx x xC
sin.cos
)(')('sin.cos)('
1
11
= xsin
xcos
x2sinxcos
xcos
xsin
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
40/45
40
dx x
xdxC C
x xdxdxC xC
x x
x
x
xtgx xC
xcos
sin'
cossin')(
cos
1cos
cos
sin
sin.)('
2
2)(2
11
22
)(sin2co s
2sin xd
x
x
(đặt t=sinx)
t
t t
dt t t
dt
dt t t
dt t
t dt
t
t
1
1ln
2
11
1
1
1
2
1
)1)(1(
11
1
11
1 2
2
2
2
x
x x xC
sin1
sin1ln
2
1sin)(2
Vậy No riêng :
x
x x
x
x x x
x x y x xC x xC y
R
R
sin1
sin1lncos
2
1
)sin1
sin1ln
2
1(sincos
cossincos)(sin)( 21
Như vậy,No tổng quát của Pt đã cho : R y ytq y
x
x x
xC xC
sin1
sin1lncos
2
1
co s2sin1
b. xe y y y 44'3''
-Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 ko thuần nhất hệ số hằng số-Xét Pt thuần nhất tương ứng: y’’- 3y’- 4y =0 Pt đặc trưng:
12
410)1)(4(
0432
k
k k k
k k
Pt đặc trưng có 2 no thực phân biệt no t/quát của Pt thuần nhất x x eC eC y 2
41
-Xét Pt vi phân cấp 2 ko thuần nhất đã cho:
14)(
4)(
44'3''
k xo p xe
xe x f xe y y y
Ta tìm no riêng của Pt dạng:
)21(48
))41(44(4''
)41(4
'
44.
x x Ae
x x Ae R y
x x Ae R y
x Axe A xe x R y
Thay vào ta có :
5
115
.5
4123168.
.4)41(3)21(
84'3''
44
4
44
4
A A
ee A
x x xe A
e Ax x Ae x
Ae y y y
x x
x
x x
x R R R
No riêng : 25 x
e x y R
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
41/45
41
Vậy No t/quát của Pt:
x x x
Rtq
e x
eC eC
y y y
42
41
5
Câu10(4đ) a.
x y y
2co s
1''
- Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 ko thuần nhất hệ số hằng- Xét Pt vi phân thuần nhất tương ứng :y’’+ y = 0 Pt đặc trưng:
ik k 2,12 01
Pt đặc trưng có 2 No phức liên hợp nên No t/quát của Pt thuần nhất:
xC xC
xC xC oxe y
cos2sin1
)cos2sin1(
-Xét Pt đã cho : x
y y2co s
1''
Ta tìm 1 No r iêng có dạng: x xC x xC y R cos)(sin)( 21
theo p2 biến thiên hằng số Largrange ,C1(x) và C2(x) là No của hệ :
x xC xC
xC xC
2cos
1sin2'cos1'
0cos2'sin1'
xtg x x
x x
x x x
C
tgxC C
222
21
12
1
1
sincos
cos
)cos
sin(cos2cos
1'
''
x2tg1
dxdx1'C1C
x
xd
x
xdx22 sin21
)(sin
sin21
co s
2
21 t
dt
b. Giải PT: xe y y y 44'5'' - Đây là Pt vi phân t2 cấp 2 hệ số hằng- Xét Pt thuần nhất tương ứng: y’’+5y’ +4y =0 Pt đặc trưng:
42110)4)(1(
0452
k k k k
k k
Pt đặc trưng có 2 no thực phân biệt No t/quát của Pt thuần nhất : xeC xeC y 421 - Xét Pt vi phân ko thuần nhất đã cho : )(44'5'' x f xe y y y
24
)()(
k
xo p xe x f
nên ta tìm No riêng có dạng:
)12(
48
)41(444.''
)41(4
'
4.
x x
Ae
x xe A R y
x x
Ae R y
xe Ax R y
Thay vào pt trên R y R y R y 4'5'' =
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
42/45
42
x x xe A x 4)41(5816. 4 3
144.3 A xe xe A Vậy xe x R y 4.
3
1
Như vậy ,no t/quát của Pt đã cho là :
x xe
xeC
xeC
R y ytq y
4
3
1421
Câu11(4đ) a. x2e1
1y6'y5''y
-Pt đặc trưng
32k
21k06k52k
No t/quát của Pt thuần nhất : x3e2c
x2e1cy
sử dụng p2 biến thiên hằng số:
x
x x
x x
e
eC eC
eC eC
2
32
21
32
21
1
1'3'20
''
dxe
eC
e
e
C e
eC
x
x
x
x
x
x
2
3
22
3
22
32
11
'1
1'
Đặt tdxdxxedtxet
t
dtdx
2karctgttdt)2t1
11(
2t1
dt2t
t
dt
2t1
3t2C
2kxarctgexe
x2e1
x2exex2e1
x3e
xe.2'Cx2e
x3e2'C1'C
dxx2e1
x2e1C
Đặtt
dtdxxet
1k)x2e1ln(
2
1
1k)2t1ln(
2
1
dt2t1
t
t
dt
2t1
2t
1C
Pt ko thuần nhất có No
x x x x x
earctgee K
ee K y
32
221 )1ln(
2
1
xarctge
x3e
x2e)
x2e1(
ln2
x2ex3e2Kx2e1K
b) Pt đặc trưng
22k
11k02k32k
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
43/45
43
Pt thuần nhất có No t/quát x2e2Cxe1Cy Ta tìm 1 No riêng của pt ko thuần nhất có
dạng: xe)bx2ax(xe)bax(xy a2bax2
bax2bx2axxe*''y
bax2bx2axxe*'y
Thay vào pt ban đầu ba2ax2xexe.x)bx2
ax(2)bax2bx
2
ax(3
)b2a2bxax42ax(xe
xe)2x(2
x
xe)12x(x*y
1a2b
;2
1a
0ba2
1a2xxe
vậy Pt ko thuần nhất có No t/quát
xe)2x(2
xx2e2Cxe1C
*yyy
Câu12(4đ)
a. x xe y y y 13'2''
-Pt đặc trưng 0122 k k có No kép 121 k k Pt thuần nhất có dạng t/quát: )21( xC C xe y -áp dụng p2 biến thiên hằng số lagrange:
xee xC C
e xC C x x
x
13)1(''
0)''(
21
21
xC xC
xC C
132')1(1'
02'1'
1
1
21
22
2
23
25
21
23
23
)1(2
)1(5
2.3)1(3)1(3
13''
)1(2
13'
k x
xC
x x
x x xC C
k xC
xC
23
23
2
5
)1(2)1(2
)1(56
2
1
x x xk x
xk e y x
25
25
)1(5
4
)1)(5
62(
21
21
x xk k e
x xk k e
x
x
b. x
y
x
y y sin'
Đặt:x
yz 'xzz'yxzy
x
dx
z2cos1
zdzsindx
zxsin
dzx
1
zsin
'zzsinz'xzz
z
z x
dx
z
z d
co s1
co s1ln2
11co s
)(cos
2
2cos
2sin
ln2
1ln
2
z
z
Cx xarctgCx z
Cx z
Cx
2
2lnln
Câu13(4đ)
a. )cos(' y x y
Đặt z = x-y z’ = 1 – y’ thay vào Pt ta được : 1 – z’ = cosz z’ = 1-cosz dx
z
dz
cos1
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
44/45
44
xC y x
g xC
z g dx
z
dz
)2
(cot
2cot
2
2sin2 b. xe y y y 312'7'' (2)
pt đặc trưng 01272 k k có No: 42,31 k k Pt thuần nhất có No t/quát : xeC xeC y 4231 Pt (2)có No riêng dạng
x Axe y 3*
)96(3'*'
)31(3'*
x x Ae y
x x Ae y
thay vào (2) : 13
12)31(7963
A xe
x x x x Ae
Vậy (2) có No t/quát: x xe xeC xeC y 342
31
câu14(4đ) a. x
x
y y '
-Đây là Pt vi phân t2 bậc 1 dạng: y’+ py = q có No t/quát:
dxQeC e y Pdx Pdx
x x
dx
dx x
xdxQe
x x
dx Pdx
Pdx
2
1.
1ln
No t/quát )x2C(xy b. x3ey3'y4''y
-Pt đặc trưng : 03k42k có No: 12k,31k Pt thuần nhất có No t/quát :
xe2Cx3e1Cy ta tìm 1 No riêng của Pt ko thuần nhất dạng:
)x96(x3 Ae'*'y
)x31(x3 Ae'*y
x3 Axe*y
Thay vào Pt và đồng nhất hệ số : x3xe
2
1*yx3e
x3)x31(4x96x3 Ae
Pt có No t/quát)1(12C1C1)o(y
x3e2
xxe2Cx3e1Cy
)2(92
12C1C39)o('y
x3xe2
3x3e2
1
xe2Cx3e1C3'y
8/18/2019 Giải Các Dạng Bài Tập Giải Tich 2
45/45
-Giải hệ
x x x xeee yC C
C C
C C
C C
33
12
11
21
21
211154
14
11
4
1511
4
15
2
152
)2(2
173
)1(1