July 15 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro

Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp

Biên tập PPS : vinhbinhpro

http:my.opera.com/vinhbinhpro

Phần III Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số

http://my.opera.com/vinhbinhpro

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Biên tập PPS : vinhbinhpro

1. Định nghĩa :

a) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu :

0 0: ( ) : ( )M Mx D f x x D f x

Kí hiệu : max ( )D

M f x

b) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu :

0 0: ( ) : ( )m mx D f x x D f x

Kí hiệu : min ( )D

m f x

2.GTLN ,GTNN trên một khoảng( , ) ,( ; ) ,( ; )a b a b

B1: Tìm các điểm 1 2, ,... ;mx x x a b tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm .Xác định điểm Cực trị của hàm số

B2 : Tính 1 2 li( ), ( ),... ( ) , m ( ) , lim ( )x

ma x b

f x ff f x f x xx

B3 : So sánh các giá trị vừa tìm được tìm ra GTLN ,GTNN của hàm số f trên

một khoảng

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

http://my.opera.com/vinhbinhpro

3. GTLN & GTNN của hàm số trên một đoạn [a , b ]

B1: Tìm các điểm cực trị : 1 2, ,..., nx x x trên đoạn [ a , b ]

B2: Tính 1 2( ), ( ),...., ( ), ( ), ( )nf x f ax f fx bf

B3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên để tìm ra GTLN ,GTNN của hs trên [a,b]

Chú ý :1. Nếu không cho trước khoảng hay đoạn thì phải hiểu là tìm GTLN ,GTNN

trên tập xác định của hàm số

2. Giá trị cực đại ,giá trị cực tiểu chưa hẳn là GTLN,GTNN của hàm số.

a b

f(a)

f(b)

gtCĐ

gtCT

gt CĐ đồng thời là

GTLN trên [a,b]

gt CT không phải

là GTNN trên [a,b]

f(a) mới là GTNN trên [a,b]

a b

f(b)

f(a)

gtCĐ

gtCT

f(b) là GTLN

trên [a,b]

f(a) là GTNN

trên [a,b]

Bài tập áp dụng

http://my.operra.com/vinhbinhpro

Bài tập 1: Tìm GTLN , GTNN ,nếu có, của hàm số sau :

2 10( )y x x

x

Hướng dẫn3

2 2

1 2 10 2( ; ) '

xD y x

x x

3

10

2'y x

33 0

3

4

1

2, lim , lim

xxy y yTính :

So sánh các kết quả trên ta có :0,

Max y không có

3 30

1 3

2 4;

min y y

Bài tập áp dụng

vinhbinhpro

Bài tập 2: Tìm GTLN , GTNN ,nếu có, của hàm số sau: 26 4y x x trên [ 0 ; 3 ]

Hướng dẫn2

2

2 2

2 6 41 4 6

4 4'

x x xB y x x

x x

20 2 6 4 0 1 2' x hay xy x x

5 5 8 2

12 1

1

3 30 3

B2 ( ) y( )

(

2

) ( )

y

y y

B3 So sánh 4 giá trị trên ta có kết quả :

3 00 312

; ;3 13 minMax y y

Bài tập áp dụng

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 3: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :22 1sin cosy x x

Hướng dẫn

4 4 1B1: ' sin cos sin sin cosy x x x x x

4 1

00

2

1

cos ( )

sin ( )'

xy

x

Nghiệm của pt (2) gây nhiều khó khăn

trong việc tính giá trị cực trị .

Đến đây học sinh phải đổi phương pháp - Dùng một biến số phụ.

Đặt 1 1 )cos (t x t : miền giá trị của biến t . Thay 212sin tx

2 22 1 1 2 3t tt ty

4 11

1 14

0B1: [ ; ]'y tt

252 0

8

11

4B2: ( ) y( )1y y

B3 : So sánh 3 giá trị trên ta có kết quả:11 11

250

8[ ; ] [ ; ]

; mint t

Max y y25

80mi; n

xx R R

Max y y

Bài tập áp dụng

http://my.operra.com/vinhbinhpro

Bài tập 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :

3 3 9

4sin cos sin cosy x x x x

Hướng dẫn

2 2 9

4sin cos sin cos sin cos sin cosy x x x x x x x x

91

4sin cos sin cos sin cosy x x x x x x

Đặt :2 1

2 22

[ ; ] sisin cos n cos,t

t xt x x x

23 2

21 9 11

2 4

14 9 12 9

2 8( )

t tt tt yy t

231 2 3 2

4: 'B y t t

2

2 0 1

2

: '

t

B yt

(loại )

49 9 4 2 9 4 2

32

13 2

8 82

2:B y y y

Kết quả : 9 49

32

4 2

8min

x Rx R

a yM x y

(Đại số lớp 11)

Bài tập áp dụng Biên tập pps: vinhbinhpro

Bài tập 5: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :

2

2

2 1

1 2

x xy

x x

Hướng dẫn

Đặt :21 1 1, ;t x x x * Tìm miền giá trị của t

2

2 2

11

1 1'

x x xt

x x

2

2 2

0 20 1

1 2'

xt x x x

x x

x

y’

y

-1 12

2

0+ ̶

-1 1

1 2;t

2

2 2 22

21 2 1 2 1 11

2

tt x x yt

t

2

2

4 1

2'

t ty

t

20 4 1 0 2 3 2 3( )( )

'loa n ni ha

y t t t hay t

2 22 3 2 0

23 2 1 2( ) , ( , ( )) )(y y y

1 1

2 2

2[ ; ]x

Max y

1 1

2 3 2[ ; ]

minx

y

Bài tập áp dụng

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 6: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau : 3 2 2sin cos siny x x x

Hướng dẫn

33 21 2 12 1 ssin cos sin ,in sin sin ( )y x xx x Rx x x

Đặt : 3 21 1 2 1sin , ;t x t y t t t

Bài toán trở thành tìm GTLN ,GTNN của y(t) trên [-1 , 1]

2 23 4 1 0 3 4 1 0'( ) , '( )y t t t y t t t1

13

t hay t

1 51

13

123

27( )y y y

11

5;t

Max y11

23

27;

mint

y

5x R

Max y 23

27min

x R

y

Bài tập 7

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

9( )f x x

xtrên [ 2 ; 4 ] (trích đề thi TNPT -năm 2008)

Hướng dẫn: Xét trên đoạn [ 2 ; 4 ]

22

2 2

9 9'( ) 1 ; '( ) 0 9 0 3

xf x f x x x

x x(loại x = -3 )

2 313 25

( ) * ( ) 6 ; (4)2 4

f f f

* Kết luận :

[2;4] [2;4]

13max ( ) ; min ( ) 6

2f x f x

Bài tập 8

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2( ) ln 1 2f x x x trên [ -2 ; 0 ](trích đề thi TNPT -năm 2009)

Hướng dẫn: Xét trên khoảng ( -2 ; 0 )

2

22 2 12 1

'( ) 2 ; '( ) 0 2 1 01 2 1 2 2

x xf x x f x x x x

x x(loại bỏ x = 1 )

1( ) 0 * ( ) 4 ln5

10 2 l 2

42; nf f f

* Kết luận : [ 2;0][ 2;0]

1max ( ) 4 ln5 ; min ( ) ln 2

4xxf x f x

4 44 41

4 ln5 ln ( 5) ; * ln2 ln ( 2 )5 4

0 02

e edo e do e

Bài tập 9

vinhbinhpro

Cho x ,y ,z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 1 1

2 2 2

x y zP x y z

yz zx xy

Hướng dẫn:

(trích Đề thi ĐH khối B- 2007)

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y z x y zP

xyz2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

x y y z z xx y z xy yz zx

2 2 2 2 2 21 1 1

2 2 2 2 2 2

x y z xy yz zx x y zP

xyz x y z

Đặt :2 3

2 2

1 1 1( ) ( 0) ; '( ) ; '( ) 0 1

2

t tf t t f t t f t t

t t t0 +∞t 1

0 +-f’

f 3/2

Vậy:3

0 ; ( )2

t f t

+∞

9

2P

Dấu = xảy ra 1x y z

Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là 9/2