Gtln, Gtnn - Hoang Thanh Thuy

7/23/2019 Gtln, Gtnn - Hoang Thanh Thuy

http://slidepdf.com/reader/full/gtln-gtnn-hoang-thanh-thuy 1/43

CHUYÊN Đ

GIÁ TR LN NHT - GIÁ TR NH NHT

Hoàng Thanh Thy



Chuyên đ Giá tr ln nht, Giá tr nh nht 1

Mc lc1 Đnh nghĩa và các tính cht 2

1.1 Đnh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tính cht ca GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Tính cht 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Tính cht 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Tính cht 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Tính cht 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5 Tính cht 5: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Các phương pháp tìm GTLN, GTNN 42.1 Phương pháp hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Ni dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Phương pháp s dng các bt đng thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 S dng bt đng thc Côsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 S dng bt đng thc Bunhiacôpxki . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 S dng bt đng thc Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Phương pháp min giá tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Ni dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Phương pháp lưng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.1 Ni dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.2 Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Phương pháp hình hc, to đ và vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1 Phương pháp cân bng đi xng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.2 Phương pháp cc biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.3 Phương pháp sp th t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 ng dng 383.1 Gii phương trình, bt phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Các đnh lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.2 Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Tìm điu kin cho tham s m đ phương trình, bt phương trình, h phươngtrình, h bt phương trình có nghim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Hoàng Thanh Thy




1 Đnh nghĩa và các tính cht

1.1 Đnh nghĩaCho hàm s f (x) xác đnh trên min D. Ta nói rng M là GTLN ca f (x) trên D, nunhư đng thi tho mãn hai điu kin sau đây:

1. f (x) ≤ M ∀x ∈ D

2. Tn ti x0 ∈ D sao cho f (x0) = M

Khi đó kí hiu M = maxD

f (x) Ta nói rng m là GTNN ca f (x) trên D, nu như đng

thi tho mãn hai điu kin sau đây:

1. f (x) ≥ m∀x ∈ D

2. Tn ti x0 ∈ D sao cho f (x0) = m

Khi đó kí hiu m = minD f (x)Chú ý:

• Khi nói đn GTLN hoc GTNN ca mt hàm s bao gi cũng phi bit nó xác đnhtrên tp hp nào.Cùng mt hàm s f (x) nhưng nu xác đnh trên các tp khác nhau thì nói chungcác GTLN, GTNN tương ng là khác nhau.

• Đ cho thun tin, phù hp vi chương trình ca các lp ph thông, trong tài liunày khi đ cp đn GTLN, GTNN trên tp hp nào đó, ta luôn gi thit là chúngcó tn ti.

1.2 Tính cht ca GTLN, GTNN1.2.1 Tính cht 1:

Gi s A ⊂ B, khi đó ta có:

1. maxx∈A

f (x) ≤ maxx∈B

f (x)

2. minx∈A

f (x) ≤ minx∈B

f (x)

1.2.2 Tính cht 2:

Gi s D = D1 ∪ D2. Khi đó ta có các công thc sau:

1. maxx∈D

f (x) = max{maxx∈D1

f (x), maxx∈D2

f (x)}

2. minx∈D

f (x) = min{minx∈D1

f (x), minx∈D2

f (x)}

Tính cht trên cho phép ta chuyn vic tìm GTLN, GTNN ca mt hàm s trên tp Dphc tp v vic tìm các giá tr tương ng trên các tp D1, D2 đơn gin hơn.Tng quát ta có th vit D thành hp ca n tp khác nhau.

Hoàng Thanh Thy




1.2.3 Tính cht 3:

Nu f (x) ≥ 0∀x ∈ D ta có:maxD

f (x) =

maxD

f 2(x)

minD

f (x) = minD

f 2(x)

Tính cht trên cho phép ta thay th vic tìm GTLN, GTNN ca hàm s f (x) v vic tìmGTLN, GTNN ca hàm s y = f 2(x) nu bit rng f (x) ≥ 0, ∀x ∈ D. Điu này rt haydùng nu f (x) có cha căn thc hoc du giá tr tuyt đi.

1.2.4 Tính cht 4:

1. maxD

(f (x) + g(x)) ≤ maxD

f (x) + maxD

g(x)

2. minD

(f (x) + g(x)) ≥ minD

f (x) + minD

g(x)

Du bng trong (1) xy ra khi có ít nht mt đim x0 ∈ D mà ti đó f (x) và g(x) cùngđt GTLN.Du bng trong (2) xy ra khi có ít nht mt đim x1 ∈ D mà ti đó f (x) và g(x) cùngđt GTNN.

1.2.5 Tính cht 5:

max f (x) = − min(−f (x))

Hoàng Thanh Thy




2 Các phương pháp tìm GTLN, GTNN

2.1 Phương pháp hàm s2.1.1 Ni dung phương pháp

Dùng đo hàm đ kho sát hàm s, sau đó lp bng bin thiên (nu cn thit) đ t đó gii quyt bài toán.Vì chúng ta ch kho sát hàm s 1 bin nên đ dùng đưc phươngpháp này đôi khi phi thc hin nhng phép bin đi thích hp đ làm gim s lưngbin, chng hn, tính các bin còn li theo mt bin, đt n ph.Chú ý: Khi s dng phương pháp này nu có các phép đi bin thì ta phi tìm li minxác đnh.

2.1.2 Các ví d

Ví d 2.1.1. Tìm GTLN, GTNN ca hàm s

y = x + 1x2 + x + 1

.

Li gii. Tp xác đnh ca hàm s là D = R. Ta có

y = −x2 − 2x

(x2 + x + 1)2.

Do đó y = 0 ⇔ x = 0; x = −2. Ta có bng bin thiên ca hàm s

x

y

y

−∞ −2 0 +

∞

0

−1/3

1

0

0 0− + −

T bng bin thiên suy raGTLN ca hàm s là max y = y(0) = 1.

GTNN ca hàm s là min y = y(−2) = −1

3 .

Ví d 2.1.2. Tìm GTNN ca f (x, y) = −2x2y + xy2 trên min

D = {(x; y) : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}.

Li gii.Nhn xét: T dng ca f (x, y) ta thy nu coi mt trong hai bin là hng s thì giá trca f (x, y) hoàn toàn xác đnh theo bin đó. Ta có

minD

f (x, y) = min

0≤y≤

2

min

0≤x≤

1

f (x, y).

Hoàng Thanh Thy




Xét g(x) = −2x2y + xy2. Ta có

g(x) = −4xy + y2.

Bng bin thiên:

xg(x)

g(x)

0 y/4 1

g(0) g(1)

0+ −−∞ +∞

(Chú ý: do 0 ≤ y ≤ 2 nên 0 ≤ y

4 < 1)

T bng bin thiên ta thymin0≤x≤1

g(x) = min

g(1); g(0)

= min(0; y2 − 2y)

= y2 − 2y.

(Vì vi 0 ≤ y ≤ 2 thì y2 − 2y ≤ 0)Suy ra

min f (x, y) = min0≤y≤2

(y2 − 2y) = −1.

Vy min f (x, y) = −1 khi x = 1; y = 1.


f (x) =√

1 + 2 cos x +√

1 + 2 sin x

trên minD = {x : 1 + 2 cos x ≥ 0;1 + 2 sin x ≥ 0}.

Li gii.Do f (x) ≥ 0, ∀x ∈ D nên vic tìm GTLN, GTNN ca f (x) có th quy v tìm GTLN,

GTNN ca f 2

(x).Xét

g(x) = f 2(x) = 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x + 2

1 + 2(sin x + cos x) + 4 sin x cos x.

Hoàng Thanh Thy




Đt t = sin x + cos x thì t =√

2cos

x − π

4

. Ta có

1 + 2 cos x ≥ 0

1 + 2 sin x ≥ 0⇔

cos x ≥ −1

2

sin x ≥ −1

2

⇔ −π6

+ 2kπ ≤ x ≤ 2π3

+ 2kπ(k ∈ Z)

⇔ −5π

12 + 2kπ ≤ x − π

4 ≤ 5π

12 + 2kπ

⇔ cos(5π

12 + 2kπ) ≤ cos(x − π

4) ≤ 1

⇔√

6 − √ 2

4 ≤ cos(x − π

4) ≤ 1

⇔√

3 − √ 1

2 ≤ t ≤

√ 2.

Vy bài toán quy v xét hàm

h(t) = 2 + 2t + 2√

2t2 + 2t − 1

trên min √ 3 − √

1

2 ≤ t ≤

√ 2.

Ta có

h(t) = 2 + 2. 2t + 1√ 2t2 + 2t

−1

> 0, vi mi

√ 3 − √

1

2 ≤ t ≤

√ 2.

Do đó h(t) đng bin trên D1 =√ 3 − √ 1

2 ;

√ 2

. Suy ra

min h(t) = h√

3 − √ 1

2

=

√ 3 + 1

max h(t) = h(√

2) = 4(√

2 + 1).

Do mi t ∈ D1 đu tn ti x ∈ D nên

min g(x) =√

3 + 1

max g(x) = 4(√ 2 + 1).

Tóm li, chúng ta s dng phương pháp này khi biu thc đã cho có th đưa v hàms tính đưc đo hàm. Và xin nhc li, khi bn đt n mi thì điu kin ca n mi philà điu kin chính xác, không đưc ly điu kin o.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.1.1. Tìm GTNN ca hàm s

f (x) = (1−

x)(2−

y)(4x−

2y)

Hoàng Thanh Thy




trên minD = {(x; y) : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}.

Hưng dn gii: Tương t Ví d 2.1.2.Đáp s: min f (x, y) = −2 khi x = 0; y = 1.

Bài tp 2.1.2. Tìm GTLN, GTNN ca

f (x) = 1

sin x + 4 − 1

cos x − 4, khi x ∈ R.

Hưng dn gii: Tương t Ví d 2.1.3, đt t = cos x − sin x.

Đáp s: min f (x) = 4

8 +√

2;max f (x) =

4

8 − √ 2

.

Bài tp 2.1.3. Tìm GTLN, GTNN ca:a) f (x) = |1 + 2 cos x| + |1 + 2 sin x|b) f (x) =

√ a + cos x +

√ a + sin x.

Hưng dn gii: Tương t Ví d 2.1.3.


y = cos2 x + sin x cos x

1 + sin2 x .

Hưng dn gii: Đt t = tan x.

Bài tp 2.1.5. (Đi hc Giao thông vn ti - 98 ). Tìm GTLN, GTNN ca hàm s

y = sin 2x

1 + x2 + cos

4x

1 + x2 + 1.

Hưng dn gii: Đt t = sin 2x

1 + x2 thì − sin1 ≤ t ≤ sin1. Khi đó

y = f (t) = −2t2 + t + 2.

Lp bng bin thiên ca hàm s.

Đáp s: min y = −2sin2 1−sin 1+2 khi x = ±1 và max y = f 1

4

=

17

8 khi sin

2x

1 + x2 =

1

4.

Bài tp 2.1.6. (Hc vin QHQT - 99 ). Cho x, y tha mãn x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1.Tìm GTLN, GTNN ca

P = x

y + 1 +

y

x + 1.

Hưng dn gii: Ta bin đi

P = x(x + 1) + y(y + 1)

(x + 1)(y + 1) =

(x + y)2 − 2xy + 1

xy + x + y + 1

= 2 − 2xy

xy + 2 .

Đt t = xy thì 0 ≤ t ≤ 1

4, xét hàm s f (t) =

2 − 2t

2 + t .

Đáp s: min P = f

1

4=

2

3 và max P = f (0) = 1.

Hoàng Thanh Thy




2.2 Phương pháp s dng các bt đng thcNi dung tư tưng ca phương pháp:

Cho A = f (x) có min xác đnh là D. Đ tìm GTLN, GTNN ca A ta s dùng các btđng thc như: Côsi, Bunhiacopxki, Jensen, Trebưsep... đ chng minh m ≤ f (x) ≤ M

trong đó m, M là các hng s. Sau đó phi ch ra đưc x1, x2 ∈ D đm = f (x1)

M = f (x2)

Cui cùng kt lun: M là GTLN ca A; m là GTNN ca A.Phn này nói riêng và các phn khác nói chung nu chia nh xem khi nào s dng bt

đng thc Côsi, khi nào dùng bt đng thc Bunhiacôpxki,... khi nào đánh giá th này,khi nào đánh giá th kia thì qu thc s rt dài dòng và có khi s làm cho vn đ tr nênrc ri.

Vì vy, mi s phân chia ca chúng tôi ch có tính cht tương đi. Đi vi mi phn,thm chí mi ví d chúng tôi s c gng trình bày mt cách d hiu nht c quá trìnhsuy nghĩ, phân tích đ tìm ra li gii trưc khi thc hin chi tit li gii đó. Đưa ra quytđnh như vy cũng bi vì chúng tôi mun hc sinh ca mình tr thành ch th ca mi

hot đng, ch đng, sáng to trong quá trình tìm ra li gii mi bài toán ch không phis ch là ngưi đc sách theo mt trình t lp đi lp li là " đ bài - li gii", " đ bài -li gii".....

2.2.1 S dng bt đng thc Côsi

• Cho a1, a2,...,an ≥ 0. Khi đó

a1 + a2 + · · · + ann

≥ n

√ a1a2 · · · an.

Du ” = ” xy ra khi và ch khi a1 = a2 = · · · = an.• Đc bit:

Khi n = 2 thì a1 + a2

2 ≥ √

a1a2.

Khi n = 3 thì a1 + a2 + a3

3 ≥ 3

√ a1a2a3.

• Các kiu vit khác thưng gp:

a + b

≥2√

ab

∀a, b

≥0.

a + b + c ≥ 3 3√ abc ∀a,b,c ≥ 0.

• Nhng đánh giá kiu bt đng thc Côsi:

(a + b)2 ≥ 4ab

a2 + b2 ≥ 2ab.

Ví d 2.2.1. Tìm GTLN ca

y = x√

1−

x2.

Hoàng Thanh Thy




Phân tích:Mun tìm GTLN ca mt tích các tha s mà mun s dng bt đng thc Côsi thì phiđánh giá tích đó nh hơn hoc bng tng các s hng, vi điu kin tng các s hng ys dn ti mt hng s. Li gii.

Áp dng bt đng thc ab ≤ a2 + b2

2 ta có

x√

1 − x2 ≤ x2 + 1 − x2

2 =

1

2.

Mt khác

y = 1

2 ⇔ x =

√ 1 − x2

⇔

x > 0

x2 = 1 − x2

⇔ x = 1√ 2 .

Vy GTNN ca y là 1

2 ti x =

1√ 2

.

Bình lun:S 1 trong 1−x2 có th thay đi đưc. Ch đánh giá quan trng nht đó là a2+b2 = const.Vy có th sa bài toán thành: Tìm GTLN ca

y = x√

2 − x2

y = x√ 3 − x2

...

Tng quát: y = x√

a − x2

S khác nhau là đim xy ra du ” = ”.M rng:

Áp dng bt đng thc Côsi cho 3 s kiu

a3 + b3 + c3 ≥ 3abc.

Tìm GTLN cay = x2.

3√

1 − 2x3

y = x2. 3√

2 − 2x3

y = x2. 3√

a − 2x3

Hc sinh cn xác đnh đưc đâu là a, b, c và tính đưc a3 + b3 + c3 = const.

Ví d 2.2.2. Tìm GTNN ca

y = x3 + 2007

x2

(x > 0).

Hoàng Thanh Thy




Phân tích:Tìm GTNN ca mt tng các s hng mà mun s dng bt đng thc Côsi thì phi đánhgiá tng đó ln hơn hoc bng tích các tha s, vi điu kin tích các tha s cũng s dnti mt hng s.Li gii. Ta có

y = x3 + 2007x2

= 1

2x3 +

1

2x3 +

669

x2 +

669

x2 +

669

x2

≥ 5 5

1

2x3.

1

2x3.

669

x2 .

669

x2 .

669

x2

= 5 5

6693

4 .

Du ” = ” xy ra khi và ch khi

1

2x3 =

669

x2 ⇔ x =

√ 1338.

Vy GTNN ca y là 5 5

6693

4 , đt đưc ti x = 5

√ 1338.

Bình lun:Tư tưng quan trng là to ra đưc mt tích các tha s sao cho kt qu là mt hng s.Vì vy mà có nhng bài toán tương t chúng ta phi thy đưc đưng li vn ging như bài này. Chng hn: Tìm GTNN ca

y = x2 + 3

x

y = x5 + 4

x2

...

Tng quát: y = xm + p

xn.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.2.1. Cho xy=a. Tìm GTNN ca x + y.Hưng dn gii:

• Đ tìm GTNN ca mt tng, hc sinh cn to ra mt tích là hng s.

• Đ tìm GTLN ca mt tích, hc sinh cn to ra mt tng là hng s.

Bài tp 2.2.2. Tìm GTLN ca:a) y = x +

√ 2 − x2

b) y = x(1 − x3), x ∈ [0;1]c) y = (x + 2)(2

−x), x

∈[−

2;2].

Hoàng Thanh Thy




Hưng dn gii:a) x2 + (

√ 2 − x2)2 = 2 = const.

b) y = x(1 − x)3 = 1

3.3x.(1 − x).(1 − x).(1 − x), có

3x + (1 − x) + (1 − x) + (1 − x) = 6 = const.

c) (x + 2) + (2 − x) = 4 = const.Bài tp 2.2.3. Tìm GTNN ca:

a) y = x

3 +

15

x (x > 0)

b) y = 2x + 1

x2 (x > 0)

Hưng dn gii:

a) x

3.15

x = 5 = const.

b) y = 2x + 1

x2

= x + x + 1

x2

. Mà x.x. 1

x2

= 1 = const.

Bài tp 2.2.4. Tìm GTLN ca A = x

(x + 2006)2.

Hưng dn gii:Ta có 2 hưng gii:

• Cách 1:

A = 4.2006.x

4.2006.(x + 2006)2

= (x + 2006)2 − (x − 2006)2

4.2006.(x + 2006)2

= 1

4.2006 − (x − 2006)2

4.2006.(x + 2006)2

≤ 1

4.2006.

• Cách 2: T (x + 2006)2 ≥ 4.x.2006 suy ra

A = x

(x + 2006)2 ≤ x

4.x.2006 =

1

4.2006.

Bài tp 2.2.5. Cho

x, y,z > 0x + y + z = 1 . Tìm GTNN ca E = x + y

xyz .

Hưng dn gii:

Áp dng bt đng thc Côsi ta có

1 = x + y + z = (x + y) + z ≥ 2

(x + y)z

⇒ 1 ≥ 4(x + y)z

⇒ x + y ≥ 4(x + y)2.z ≥ 16xyz

⇒ x + y

xyz ≥ 16.

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.2.6. Cho các s dương x, y,z tha mãn xyz (x + y + z ) = 1. Tìm GTNNca

A = (x + y)(x + z ).

Hưng dn gii: Nhân phá du ngoc. S dng

(x + y + z )1

x +

1

y +

1

z

.

Bài tp 2.2.7. Cho các s dương x, y,z tha mãn x2 + y2 + z 2 = 1. Tìm GTNN ca

A = xy

√ z − 1 + yz

√ x − 2 + zx

√ y − 3

xyz .

Hưng dn gii: Điu kin x ≥ 2; y ≤ 3; z ≤ 1. Vit

A =

√ z − 1

z +

√ x − 2

x +

√ y − 3

y .

Khi đó√

z − 1

z =

1(z − 1)

z ≤ 1 + z − 1

2z =

1

2√ x − 2

x =

2(x − 2)√

2x≤ 2 + x − 2

2√

2x=

1

2√

2√ y − 3

y =

3(y − 3)√

3y≤ 3 + y − 3

2√

3y=

1

2√

3.

Cng các bt đng thc li ta tìm đưc max A.

Bài tp 2.2.8. Tìm GTNN ca

f (x, y) = x + 4

(x − y)(y + 1)2 (x > y ≥ 0).

Hưng dn gii: Áp dng bt đng thc Côsi cho 4 s dương

2x − 2y; y + 1; y + 1; 8

(x − y)(y + 1)2.

Bài tp 2.2.9. Cho các s dương x, y,z tha mãn x2001 + y2001 + z 2001 = 3. Tìm GTLN

caf (x,y,z ) = x2 + y2 + z 2.

Hưng dn gii: Áp dng bt đng thc Côsi cho 1999 s 1 và 2 s x2001 ta có

1 + 1 + · · · + 1 + x2001 + x2001

2001 ≥ 2001

√ x2001x2001.

Suy ra1999 + 2x2001

20001 ≥ x2.

Tương t cho y và z .

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.2.10. Cho các s dương x, y,z có tng bng 1. Tìm GTLN ca hàm s

f (x,y,z ) =

x + 1

x

y +

1

y

z +

1

z

.

Hưng dn gii: S dng đánh giá

1 + x = x + y + z + x ≤ 4 4

x2yz.

Tương t cho 1 + y và 1 + z .

Bài tp 2.2.11. Cho x > y > 0. Tìm GTNN ca

a) f (x, y) = x + 1

y(x − y)

b) f (x, y) = x + 1

y(x − y)2.

Hưng dn gii:a) Vit x = (x − y) + y.

b) Vit x = 12

(x − y) + 12

(x − y) + y.

Bài tp 2.2.12. Cho các s dương x, y,z có tng bng 1. Tìm GTLN ca hàm s

f (x,y,z ) =√

1 − x +

1 − y +√

1 − z.

Hưng dn gii: Áp dng bt đng thc Côsi

(1 − x).

2

3 ≤

1 − x + 2

32

=

5

3 + x

2 ..

Tương t cho √ 1 − y và √ 1 − z .

2.2.2 S dng bt đng thc Bunhiacôpxki

• Cho 2 dãy s thc a1, a2,...,an và b1, b2,...,bn. Ta có

(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2 ≤ (a21 + · · · + a2

n)(b21 + · · · + b2n).


a1

b1=

a2

b2= · · · =

anbn

.

• Dng thông dng:

Khi n = 2 thì (a1b1 + a2b2)2 ≤ (a21 + a2

2)(b21 + b22)

Khi n = 3 thì (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ≤ (a21 + a2

2 + a23)(b21 + b22 + b23).

Cách vit khác ca bt đng thc Bunhiacopxki:

n

i=1

a2i

bi≥

n

i=1 ai

2

n

i=1 bi.

Hoàng Thanh Thy




• Chú ý:Vi các bt đng thc có điu kin, ta cn khéo léo bin đi đ nhn đưc biu thcđiu kin hoc s dng ngay biu thc điu kin đ bin đi. Hc sinh phi nhybén trong vic nhn ra du hiu đ s dng bt đng thc Bunhiacopxki:

Có điu kin kiu tng các bình phương là hng s.

Tìm GTLN ca tng các tích tng cp 2 s. Tìm GTNN ca tng các bình phương.

Ví d 2.2.3. Cho

a,b,c > 0

a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN ca

A = a + 3b + 5c.

Phân tích:Có du hiu ca dng a1b1 + a2b2 + a3b3 vi

a2

1 = 1; a2

2 = 32

; a2

3 = 52

vàb21 + b22 + b23 = a2 + b2 + c2 = 1.

Li gii.

Áp dng bt đng thc Bunhiacopxki cho 2 b s 1, 3, 5 và a, b, c ta có

(a + 3b + 5c)2 ≤ (12 + 32 + 52)(a2 + b2 + c2)

⇔ A2 ≤ 35.1 = 35

⇒ A ≤√

35.


a

1 =

b

3 =

c

5 = k > 0

a2 + b2 + c2 = 1⇔

a = k

b = 3k

c = 5k

35k2 = 1

⇔

k = 1√

35

a = 1√

35

b = 3√

35

c = 5√

35

Vy GTLN ca A là

√ 35.Ví d 2.2.4. Cho 3 s dương a, b, c và các s x, y tha mãn ax + by = c. Tìm GTNN

ca

T = x2

a +

y2

b .

Li gii. Ta có

c2 = (ax + by)2 =

a√

a. x√

a + b

√ b.

y√ b

2≤ (a3 + b3)

x2

a +

y2

b .

Hoàng Thanh Thy




Do đó

T = x2

a +

y2

b ≤ c2

a3 + b3.


ax + by = c,x√

ay√

b

= a

√ a

b√

b

⇔

ax + by = c,x

y =

a2

b2⇔

x = ca2

a3 + b3,

y = cb2

a3 + b3

Vy GTNN ca T là c2

a3 + b3.

Bình lun:Quan trng nht là s dng đưc điu kin a2 + b2 + c2 = 1. Vì vy các h s 1, 3, 5 thcs không quan trng. T đó có th xét các bài toán dng:Tìm GTLN ca

A = ma + nb + pc (m,n,p > 0)

bit

a,b,c > 0

a2 + b2 + c2 = q (q > 0).

M rng:Nu gi thit cho hơi khác là:

a, b, c > 0

a2 + 2b2 + c2 = 1

thì phi xác đnh các cp s mt cách linh hot đ s dng đưc điu kin này. Chnghn:

(a + 2b + 5c)2 ≤

12 + 3√

2

2+ 52

(a2 + (

√ 2b)2 + c2)

Suy ra

A ≤

110

4 .1 =

55

2 .

Và nu gi thit cho là a, b, c > 0a2 + 2b2 + 3c2 = 1

hay tng quát a, b, c > 0

αa2 + βb2 + γc2 = 1(α, β,γ > 0)

thì tình hình vn hoàn toàn tương t.

BÀI TP VN DNG

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.2.13. Cho x2 + y2 = 1. Tìm GTLN, GTNN ca A = 3x + 4y.Hưng dn gii:Đánh giá

(3x + 4y)2 ≤ (32 + 42)(x2 + y2) = 25.

Tng quát: Cho mx2 + ny2 = p (m, n, p > 0). Tìm GTLN, GTNN ca

A = αx + βy (α, β > 0).

Bài tp 2.2.14. Cho 2x + 3y = 1. Tìm GTNN ca B = 3x2 + 2y2.

Hưng dn gii:Ta có

1 = (2x + 3y)2 = 2√

3.√

3x + 2√

2.√

2y2

≤

2√ 3

+ 3√

2

(3x2 + 2y2)

=

43

+ 94

.B.

Tng quát: Cho αx + βy = γ . Tìm GTNN ca mx2 + ny2 (m, n > 0).

Bài tp 2.2.15. Cho 2

x +

3

y = 6. Tìm GTNN ca C = x + y.

Hưng dn gii:Nu s dng

(a1b1 + a2b2)2 ≤ (a21 + a2

2)(b21 + b22)

và cn tìm GTNN thì x + y phi v phi, do đó a1 =√

x; a2 =√

y và cn có

a1b1 + a2b2 = const

nên b1 = α√

x; b2 =

β √ y

. Mt khác, đ s dng đưc điu kin 2

x +

3

y = 6 thì

b21 + b22 = α2

x +

β 2

y =

2

x +

3

y = 6

suy raα =

√ 2; β =

√ 3.

Bài toán đã đưc gii quyt!

Bài tp 2.2.16. Cho 3x − 4y = 7. Tìm GTNN ca D = 3x2

+ 4y2

.Hưng dn gii:Tương t Bài tp 2.2.2.

Bài tp 2.2.17. Cho x2 + y2 = 1; u2 + v2 = 1. Tìm GTLN, GTNN ca

E = u(x − y) + v(x + y).

Hưng dn gii:Ta có

[u(x − y) + v(x + y)]2 ≤ (u2 + v2)[(x − y)2 + (x + y)2]

⇔ E

≤2(x2 + y2) = 2.

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.2.18. Cho xy + yz + zx = 4. Tìm GTNN ca B = x4 + y4 + z 4.

Hưng dn gii:Theo bt đng thc Bunhiacopxki thì

16 = (xy + yz + zx)2

≤(x2 + y2 + z 2)2

≤x4 + y4 + z 4.

Mà(x2y2 + y2z 2 + z 2x2)2 ≤ (x4 + y4 + z 4)2

nên16 ≤ 3.(x4 + y4 + z 4).

Bài tp 2.2.19. Gi s x0 là nghim ca phương trình

x4 + ax3 + bx2 + cx + 2 = 0.

Tìm GTNN ca C = a

2

+ b

2

+ c

2

.

Hưng dn gii:T x4

0 + ax30 + bx2

0 + cx0 + 2 = 0 suy ra

x40 + 2 = −(ax3

0 + bx20 + cx0).

Theo bt đng thc Bunhiacopxki ta có

(ax30 + bx2

0 + cx0)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x60 + x4

0 + x20).

T đó ta tìm đưc GTNN ca C theo x0.

Bài tp 2.2.20. Cho

xy ≤ 0

x2 + y2 = 100. Tìm GTLN ca

D = x

3 + y + y√

3 + x.

Hưng dn gii:

Áp dng bt đng thc Bunhiacopxki ta có

D2 = (x 3 + y + y√

3 + x)2

≤(x2 + y2)(6 + x + y)

⇒ D2 ≤ 100.(6 + x + y) ≤ 100.[6 +

2(x2 + y2)]

⇒ D2 ≤ 100.(6 +√

200).

Bài tp 2.2.21. Cho các s m, n tha mãn 16

m2 +

9

n2 = 1. Tìm GTNN ca

S =√

m2 + n2.

Hưng dn gii: Áp dng bt đng thc Bunhiacopxki cho 2 b s 16

m2; m2 và

9

n2; n2.

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.2.22. Cho

(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 1.

Tìm GTLN ca T = |x + 2y + 3z − 8|.

Hưng dn gii: Đ ý rng

x + 2y + 3z − 8 = (x − 1) + 2(y − 2) + 3(z − 1).

Bài tp 2.2.23. Cho x2 + y2 + z 2 − 4x + 2z ≤ 0. Tìm GTLN, GTNN ca

F = 2x + 3y − 2z.

Hưng dn gii: Điu kin ca x, y,z tương đương vi

(x − 2)2 + y2 + (z + 1)2 ≤ 5.

Vit li F thànhF = 2(x − 2) + 3 − 2(z + 1) + 6.

Sau đó s dng bt đng thc Bunhiacopxki.

Bài tp 2.2.24. Cho x(x − 1) + y(y − 1) + z (z − 1) ≤ 4

3. Tìm GTLN, GTNN ca hàm

sf (x,y,z ) = x + y + z.

Hưng dn gii: Ta có

x(x − 1) + y(y − 1) + z (z − 1) ≤ 4

3⇔ 3(x2 + y2 + z 2) ≤ 3(x + y + z ) + 4.

Mt khác theo bt đng thc Bunhiacopxki thì

(x + y + z )2 ≤ 3(x2 + y2 + z 2).

T đó ta d dàng tìm đưc GTLN, GTNN ca f (x,y,z ).

2.2.3 S dng bt đng thc TrêbưsepBt đng thc Trêbưsep: Cho hai dãy s sp th t ging nhau

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an

b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn

Khi đó ta có

(a1 + a2 + · · · + an)(b1 + b2 + · · · + bn) ≤ n(a1b1 + a2b2 + · · · |anbn).

Hoàng Thanh Thy




Ví d 2.2.5. Cho

a, b, c, d > 0

ab + bc + cd + da = 1. Tìm GTNN ca

S = a3

b + c + d +

b3

c + d + a +

c3

d + a + b +

d3

a + b + c.

Li gii.Không mt tính tng quát, gi s a ≥ b ≥ c ≥ d. Đt

A = b + c + d, B = c + d + a, C = d + a + b, D = a + b + c

thì ta có1

A ≥ 1

B ≥ 1

C ≥ 1

D.

Theo bt đng thc Trêbưsep ta có

S = a3

A + b3

B + c3

C + d3

D

≥ 1

4.(a3 + b3 + c3 + d3)

1

A +

1

B +

1

C +

1

D

≥ 1

16.(a + b + c + d)(a2 + b2 + c2 + d2)

1

A +

1

B +

1

C +

1

D

⇒ S ≥ 1

48.(A + B + C + D)

1

A +

1

B +

1

C +

1

D

(a2 + b2 + c2 + d2).

Mt khác theo bt đng thc Bunhiacopxki ta có

(A + B + C + D) 1

A +

1

B +

1

C +

1

D ≥ 16

a2 + b2 + c2 + d2 ≥ ab + bc + cd + da = 1.

Do đóS ≥ 1

48.16.1 =

1

3.

Du ” = ” xy ra khi và ch khi a = b = c = d = 1

2.

Ví d 2.2.6. Cho các s dương x, y. Tìm GTLN ca

S = (x + y)(x3 + y3)(x6 + y6)x10 + y10

.

Li gii.Gi s x ≤ y. Khi đó

x3 ≤ y3; x6 ≤ y6.

Theo bt đng thc Trêbưsep ta có

(x + y)(x3 + y3) ≤ 2(x4 + y4)

(x4 + y4)(x6 + y6)

≤2(x10 + y10).

Hoàng Thanh Thy




T 2 bt đng thc trên ta có

(x + y)(x3 + y3)(x6 + y6) ≤ 4(x10 + y10).

Do đó

S ≤

4(x10 + y10)

x10 + y10

= 4.

Vy S có GTLN là 4.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.2.25. Cho a1, a2,...,an là các s thc dương thay đi. Đt S =ni=1

ai. Tìm

GTNN ca

T =ni=1

ai

S − ai

.

Bài tp 2.2.26. Cho a1, a2,...,an là các s thc dương thay đi. Đt S =ni=1

ai. Tìm

GTNN ca

T =ni=1

ai

S − 2ai

.

Bài tp 2.2.27. Cho tam giác ABC có 3 góc nhn A, B,C . Tìm GTLN ca

T = a + b + c

a

A +

b

B +

c

C

.

Hoàng Thanh Thy




2.3 Phương pháp min giá tr2.3.1 Ni dung phương pháp

Ta có y0 là mt giá tr ca hàm s y = f (x) trên min D khi và ch khi h

f (x) = y0

x ∈ D

có nghim.Trong nhiu trưng hp điu kin có nghim y sau khi bin đi s đưa v dng

α ≤ y0 ≤ β.

Vì y0 là mt giá tr bt kì ca f (x) nên t đó thu đưc

min f (x) = α

max f (x) = β.

2.3.2 Các ví d

Ví d 2.3.1. Tìm GTLN, GTNN ca

f (x) = 2x2 + 10x + 3

3x2 + 2x + 1 .

Li gii.Gi y0 là mt giá tr ca hàm s đã cho thì phương trình sau có nghim:

2x2

+ 10x + 33x2 + 2x + 1

= y0 (1).

Vì 3x2 + 2x + 1 > 0, ∀x nên phương trình (1) tương đương vi

2x2 + 10x + 3 = y0(3x2 + 2x + 1)

⇔ (3y0 − 2)x2 + (y0 − 5)x + y0 − 3 = 0 (2).

Ta xét hai trưng hp:

• Trưng hp 1: Nu 3y0 − 2 = 0 ⇔ y0 = 2

3 thì y0 − 5 = 0 nên phương trình (2) có

nghim. Do đó f (x) nhn giá tr 23

vi x0 nào đó.

• Trưng hp 2: Nu 3y0 − 2 = 0 ⇔ y0 = 2

3 thì phương trình (2) là phương trình bc

hai, do đó (2) có nghim khi và ch khi

∆ = (y0 − 5)2 − (y0 − 3)(3y0 − 2) ≥ 0

⇔ − 2y20 + y0 + 19 ≥ 0

⇔ 1 − √ 152

2 ≤ y0 ≤ 1 +

√ 152

2 , và y0 = 2

3.

Hoàng Thanh Thy




Kt hp hai trưng hp ta đưc

1 − √ 152

2 ≤ y0 ≤ 1 +

√ 152

2 .

Vy GTLN ca f (x) là 1 +

√ 152

2 ; GTNN ca f (x) là

1

−

√ 152

2 .

Ví d 2.3.2. Tìm GTLN, GTNN ca hàm s f (x, y) = x2 + y2 xét trên min

D = {(x; y) : (x2 − y2 + 1)2 + 4x2y2 − x2 − y2 = 0}.

Li gii.Gi t0 là mt giá tr bt kì ca hàm s f (x, y) trên min D. Khi đó h phương trình saucó nghim

x2 + y2 = t0

(x2

−y2 + 1)2 + 4x2y2

−x2

−y2 = 0

(I ).

Ta có

(I ) ⇔

x2 + y2 = t0

(x2 + y2)2 − 3(x2 + y2) + 1 + 4x2 = 0

⇔

x2 + y2 = t0

t20 − 3t0 + 1 + 4x2 = 0

⇔

y2 + −t20 + 3t0 − 1

4 = t0 (1)

t2

0 − 3t0 + 1 + 4x2

= 0 (2)

Phương trình (2) có nghim n x khi và ch khi

t20 − 3t0 + 1 ≤ 0 ⇔ 3 − √ 5

2 ≤ t0 ≤ 3 +

√ 5

2 .

Li có

(1) ⇔ y2 + −t20 − t0 − 1

4 = 0.

Mà −

t20−

t0−

1 < 0,

∀t0 nên phương trình (1) luôn có nghim n y,

∀t0.

Như vy 3 − √ 52

≤ t0 ≤ 3 + √ 52

là điu kin cn và đ đ h (I ) có nghim. Do đó

max(x;y)∈D

f (x, y) = 3 +

√ 5

2 ; min

(x;y)∈Df (x, y) =

3 − √ 5

2 .

Ví d 2.3.3. Tìm GTLN, GTNN ca T = x2 + y2 trên tp

D = {(x; y) : (x − y)2 = x + y − xy}.

Hoàng Thanh Thy




Li gii.Gi T 0 là mt giá tr ca T . Khi đó h phương trính sau có nghim

T 0 = x2 + y2

(x − y)2 = x + y − xy(I ).

Ta có

(I ) ⇔

T 0 = x2 + y2

x2 + y2 = x + y + xy

⇔

T 0 = x2 + y2 (1)

T 0 = x + y + xy (2)

T (1) suy ra

T 0 = x + y + xy ≤ 2(x2 + y2) + x2

+ y2

2

⇒ T 0 ≤

2T 0 + T 0

2

⇔ 2T 0 ≤ 2

2T 0 + T 0

⇔ T 20 − 8T 0 ≤ 0

⇔ 0 ≤ T 0 ≤ 8.

Mt khác T (0, 0) = 0; T (2, 2) = 8. Vy ta có

max(x;y)∈D T = 8; min(x;y)∈D T = 0.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.3.1. Cho a, b, c là các s tho mãna + b + c = 5

ab + bc + ca = 8

Tìm GTLN, GTNN ca a.

Hưng dn gii:Ta có b + c = 5 − a và

bc = 8 − a(b + c) = 8 − a(5 − a).

Mt khác bc ≤ (b + c)2

4 =

(5 − a)2

4 nên

(5 − a)2

4 ≥ 8 − a(5 − a).

S dng tam thc ta đưc 1 ≤ a ≤ 7

3.

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.3.2. Tìm GTLN ca hàm s f (x, y) = |x − y| trên min

D = {(x; y) : x2 + 4y2 = 1}.

Hưng dn gii:Phá du giá tr tuyt đi, đưa v hai h và tìm điu kin đ hai h có nghim.

Đáp s: max(x;y)∈D

f (x, y) = √ 52

.


f (x) = 3 + 4x2 + 3x4

(1 + x2)2

trên R.

Hưng dn gii:

Đưa v phương trình(y0 − 3)x4 + 2(y0 − 2)x2 + y0 + 3 = 0.

• Nu y0 = 3 thì phương trình có nghim.

• Nu y0 = 0 thì phương trình có nghim khi và ch khi(y0 − 3)t2 + 2(y0 − 2)t + y0 + 3 = 0

t ≥ 0

Đáp s: minx∈R

f (x) = 52

;maxx∈R

f (x) = 3.

Bài tp 2.3.4. Cho hàm s

f (x) = x2 + px + q

x2 + 1 (x ∈ R).

Tìm p, q đmax f (x) = 9; min f (x) = −1.

Hưng dn gii:

Gi y0 là giá tr bt kì ca f (x) thì phương trình

y0 = x2 + px + q

x2 + 1 (1)

có nghim. Ta có(1) ⇔ (y0 − 1)x2 − px + (y0 − q ) = 0.

Khi y0 = 1, bài toán qui v tìm p, q đ phương trình ∆ ≥ 0 có nghim.Đáp s: ( p = 8; q = 7) hoc ( p = −8; q = 7).

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.3.5. Tìm GTLN, GTNN ca hàm s

y = x +√

2x2 + x + 1.

Hưng dn gii: Gi s y0 là mt giá tr nào đó ca hàm s. Khi đó

y0 = x + √ 2x2 + x + 1⇔ (y0 − x)2 = 2x2 + x + 1

⇔ y20 − 2y0x + x2 = 2x2 + x + 1

⇔ x2 + (1 − 2y0)x + (1 − y20)2 = 0.

Xét điu kin có nghim x ca phương trình này đ tìm ra min giá tr ca y0.


y = x + x2 + 1

x

, vi x > 0.

Hưng dn gii: Gi y0 là giá tr tuỳ ý ca y trên min x > 0. Khi đó h sau có nghimy0 = x +

x2 +

1

xx > 0

⇔

0 < x ≤ y0

(y0 − x)2 = x2 + 1

x

⇔

0 < x ≤ y0

y20 − 2y0x =

1

x

⇔

0 < x ≤ y0

2y0x2 − y20x + 1 = 0

Đáp s: minx>0

f (x) = 2.

Bài tp 2.3.7. Cho x2 + y2 > 0. Tìm GTLN, GTNN ca

f (x, y) = x2 − (x − 4y)2

x − 4y2 .

Hưng dn gii:Nu y = 0 thì min f (x) = max f (x) = 0.Nu y = 0 thì ta vit

f (x, y) =

x2y2 − x2y − 2

2 x

2y

2+ 1

.

Đt x

2y = t và xét g(t) =

4t − 4

t2 + 1.

Hoàng Thanh Thy




2.4 Phương pháp lưng giác2.4.1 Ni dung phương pháp

Phương pháp này nhm thay đi hình thc ca bài toán dn đn vic tìm GTLN, GTNNca hàm s lưng giác. Phương pháp này đc bit t ra hiu qu đi vi các hàm đi snhiu n vi dng thưng gp nht là khi có điu kin

x

2 + y

2 = 1. Khi đó ta đtx = sin t

y = cost, t ∈ [0;2π].

Trong trưng hp không có điu kin ca n s, thưng đt

x = tan t, t ∈

− π

2; π

2

.

2.4.2 Các ví d

Ví d 2.4.1. Tìm GTLN ca hàm sy = (1 + x)2006 + (1 − x)2006, vi x ∈ [−1;1].

Li gii. Vì x ∈ [−1;1] nên ta có th đt x = cos t, t ∈ [0; π]. Khi đó hàm s tr thành

y = (1 + cos t)2006 + (1 − cos t)2006

=

2cos2 t

2

2006+

2sin2 t

2

2006= 22006.

cos4012

t

2 + sin4012 t

2

≤ 22006. cos2

t

2

+ sin2 t

2

= 22006.

Vy GTLN ca y là 22006, đt đưc khi

cos4012 t

2 = cos2

t

2

sin4012 t

2 = sin2 t

2

, chng hn

sin t = 0

cos t = ±1thì x = ±1.


y = 1 + x4

(1 + x2

)2

.

Li gii. Đt x = tan t, t ∈

− π

2; π

2

. Khi đó hàm s đưc chuyn v dng

y = 1 + tan4 t

(1 + tan2 t)2 =

1 + sin4 t

cos4 t1

cos4 t

= sin4 t + cos4 t = 1 − 1

2 sin2 2t.

Vì 0≤

sin2 2t≤

1 nên

Hoàng Thanh Thy




• GTNN: min y = 1 − 1

2 =

1

2, đt khi

sin2 2t = 1 ⇔ cos2t = 0

Chng hn t = π

4 thì x = 1.

• GTLN: max y = 1 − 0 = 1, đt khi

sin2 2t = 0 ⇔ sin2t = 0

Chng hn t = 0 thì x = 0.


u = 2x + 3√

3y + 2, vi 4x2 + 9y2 = 16.

Li gii. T gi thit ta có x22

+3

y42

= 1.

Đt x

2 = cos α; (

3y

4 = sin α, α ∈ [0;2π]. Khi đó hàm đưc chuyn v dng

u = 4 cos α + 4√

3sin α + 2.

Ta có

u = 8(1

2 cos α +

√ 3

2 sin α) + 2 = 8 sin

α +

π

6

+ 2.

Vì −

1

≤sinα +

π

6 ≤

1 nên ta có

• GTNN: min u = −8 + 2 = −6, đt khi

sin

α + π

6

= −1 ⇔ α =

4π

3 ⇔

x = −1

2

y = −√

3

2

• GTLN: max u = 8 + 2 = 10, đt khi

sin

α + π

6

= 1 ⇔ α = π

3 ⇔ x =

1

2y =

√ 32


u = 4xy − 4y2

x2 + y2 .

Li gii. Ta xét hai trưng hp:

• Trưng hp 1: Nu y = 0 thì u = 0.

Hoàng Thanh Thy




• Trưng hp 2: Nu y = 0 thì chia c t s và mu s cho y2 ta đưc

u =

4x

y − 4

x2

y2 + 1

.

Đt x

y = tan t, t ∈

− π

2; π

2

. Khi đó hàm tr thành

u = 4tan t − 4

tan2 t + 1 =

4sin t

cos t − 4

1

cos2 t= 4sin t. cos t − 4cos2 t

= 2 s i n 2t − 2(1 + cos 2t)

= 2√ 2sin

2t − π4− 2.

Vì −1 ≤ sin

2t − π

4

≤ 1 nên ta có

GTNN: min u = −2√

2 − 2, đt đưc khi

sin

2t − π

4

= −1 ⇔ t = −π

8 ⇔ x

y = tan

π

8.

GTLN: max u = 2√

2

−2, đt đưc khi

sin

2t − π

4

= 1 ⇔ t = −3π

8 ⇔ x

y = tan

3π

8 .

Nhn xét: Trong trưng hp không có n s, phép lưng giác hoá đưc xác đnh theohai hưng sau:

• Hưng 1: Nu có th s dng đưc n ph t = g(x, y) đ chuyn hàm ban đu vhàm mt n theo t. Khi đó tuỳ thuc min giá tr ca g(x, y) ta la chn đt

g(x, y) = sin α hay g(x, y) = tan α.

• Hưng 2: Trong trưng hp còn li, phép lưng giác hoá thưng đưc s dng là

x = tan α và y = tan β ; α, β ∈

− π

2; π

2

.

Ví d 2.4.5. Tìm GTLN và GTNN ca

u = (x + y)(1 − xy)

(1 + x2)(1 + y2).

Hoàng Thanh Thy




Li gii. Đt

x = tan α

y = tan β , α , β ∈

− π

2; π

2

thì hàm s chuyn v dng

u = (tan α + tan β )(1 − tan α. tan β )

(1 + tan2 α)(1 + tan2 β )

=

sin(α + β ). cos(α + β )

cos α. cos β. cos α. cos β 1

cos2 α.

1

cos2 β

= 1

2. sin2(α + β ).

Vì −1 ≤ sin2(α + β ) ≤ 1 nên ta có

• GTNN: min u = −1

2, đt đưc khi

sin 2(α + β ) = −1

⇔ α + β = −π4

⇔ tan(α + β ) = −1

⇔ x + y

1 − xy = −1.

Chn x = 0; y = −1.

• GTLN: max u = 1

2, đt đưc khi

sin2(α + β ) = 1

⇔ α + β = π

4⇔ tan(α + β ) = 1

⇔ x + y

1 − xy = 1.

Chn x = 0; y = 1.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.4.1. Cho các s x, y tho mãn x2 + y2 = 1. Tìm GTLN ca

u = x 1 + y + y√

1 + x.

Hưng dn gii: Đt x = sin α; y = sin β .

Đáp s: GTLN: max u = 2 +√

2, đt khi x = y =

√ 2

2 .

Bài tp 2.4.2. Tìm GTLN và GTNN ca

a) y = x2

1 + x4

b) y = 1 + x6

(1 + x2)2

. Hưng dn gii:

Hoàng Thanh Thy




2.5 Phương pháp hình hc, to đ và vectơNi dung phương pháp

Đ tìm GTLN, GTNN bng phương pháp này ngưi ta thưng s dng các tính chtsau đây:

• Trong tt c các đưng gp khúc ni hai đim A, B cho trưc thì đưng thng niAB là đưng có đ dài bé nht.

• Trong mt tam giác tng hai cnh luôn ln hơn cnh th ba. Trưng hp xy ra dubng khi tam giác đó suy bin.

• Cho M = d. Khi đó đưng thng vuông góc k t M xung d ngn hơn mi đưngxiên k t M xung đưng thng y.

• Trong các tam giác cùng ni tip đưng tròn thì tam giác đu có chu vi và din tíchln nht.

Chúng ta s s dng phương pháp này khi mà trong ni dung các bài toán đã tim n yut hình hc mà có th ban đu ta chưa nhìn ra nó.

Đc bit cn nh các công thc sau:

* Trong mt phng:Khong cách gia hai đim A(x1; y1), B(x2; y2)

AB =

(x2 − x1)+(y2 − y1)2

Khong cách t đim M (x0; y0) đn ∆ : Ax + By + C = 0

d = |Ax0 + By0 + C |A2 + B2

Phương trình đưng tròn tâm I (a; b) bán kính R

(x − a)2 + (y − b)2 = R2.

* Trong không gian:Khong cách gia hai đim A(x1; y1; z 1), B(x2; y2; z 2)

AB = (x2 −

x1)+(y

2 −y1)2 + (z

1 −z 2)2.

Khong cách t đim M (x0; y0) đn mt phng α : Ax + By + Cz + D = 0

d = |Ax0 + By0 + Cz 0 + D|

A2 + B2 + C 2

Phương trình mt cu tâm I (a; b; c) bán kính R

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.

Hoàng Thanh Thy




Ví d 2.5.1. Tìm GTLN ca hàm s:

f (x) =√

x2 − x + 1 +√

x2 − 2x + 2, x ∈ R

Phân tích: Dùng phương pháp to đ mà li thy xut hin căn bc 2 như th này, hcsinh phi nghĩ ti công thc tính khong cách gia hai đim.

Bin đi

√ x2 − x + 1 =

(x − 1)2 + (

√ 3

2 )

√ x2 − 2x + 2 =

(x − 1)2 + 12

Li gii. Ta có: f (x) =

(x − 1)2 + (

√ 3

2 ) +

(x − 1)2 + 12

Xét

A(1

2;

√ 3

2 ); B(1;

−1); C (x, 0)

Khi đó f (x) = AC + CB ≥ AB, vi

AB =

(1 − 1

2)2 + (−1 −

√ 3

2 )2

=

1

4 +

(1 +√

3)

4

Vy f (x)≥ 5 + 2

√ 3

4 .

Du ” = ” xy ra khi A,B,C thng hàng: tc C ∈ AB. Mt khác phương trình đưngthng AB là:

x − 1

2

1 − 1

2

=y −

√ 3

2

−1 −√

3

2

⇔

x − 1

2

1 +

√ 3

2

+

y −√

3

2

1

2

C ∈ AB nên x − 1

2

1 +

√ 3

2

−

√ 3

2 .

1

2 = 0

⇔ x =

√ 3

4

1 +

√ 3

2

+ 1

2

⇔ x =

√ 3

4 + 2√

3+

1

2

Hoàng Thanh Thy




Bình lun: Như vy là da vào công thc tính khong cách gia hai đim và vic s dng hp lí bt đng thc tam giác mà chúng ta đã gii đưc bài toán. Quan trng nhtlà vic nhìn ra bóng dáng ca tng hai đon thng trong biu thc.

Mt câu hi nh đt ra là ti sao li chn đim A(1

2;

√ 3

2 ) mà không là A(

1

2;−√

3

2 );

B(1;−

1) mà không là B (1;1). Mc dù các biu thc tính khong cách AC, BC không hthay đi. Ta chn như trong li gii nhm cho A, B nm khác phía ca nhau so vi trchoành; C ∈ Ox. Nu ly đim B nm trên cũng không sao nhưng li gii s dài hơn biđ tìm đưc min(AC + CB) khi đó vn phi ly B đi xng B qua Ox tc B (1; −1). Vychi bng ta chn luôn B ≡ B ngay t đu.M rng: Các h s ca các biu thc liu có phi là bt kì không? Nu thay x2 − 2x + 2

bi biu thc x2 − 2x thì sao? Vit √

x2 − 2x =

(x − 1)2 − 1 liu có làm tip đưckhông? Trong khi đó công thc tính khong cách là:

(x2 − x1)+(y2 − y1)2. Du + ch

không phi là du −.Vy mi h s ca biu thc dưi căn là tuỳ ý nhưng phi tho mãn ∆x ≤ 0. Như vy

là các em cũng có th t ra cho mình và bn bè nhng biu thc đơn gin. Chng hn:Tìm GTNN ca

f (x) =√

x2 − 4x + 5 +√

x2 − 6x + 10

Và h s ca x2 trong hai biu thc dưi căn có nht thit phi bng nhau không? Nukhông bng thì sao?Ví d: f (x) =

√ x2 − 4x + 5 +

√ 2x2 − 4x + 6

BÀI TP VN DNG


1. f (x) =√

x2 + x + 1 +√

x2 + x − 1

2. f (x) = √ x2 − x + 1 +

x2 − √ 3x + 1

Hưng dn gii: Ging ví d.

Bài tp 2.5.2. Tìm GTLN ca:

f (x) =√

x2 − 6x + 45 −√

x2 − 6x + 10

Hưng dn gii: S dng AB − AC ≥ BC.

Bài tp 2.5.3. Tìm GTNN ca:

f (x) =√

2x2

−2x + 1 + 2x2 + (

√ 3 + 1)x + 1 + 2x2

−(√

3 + 1)x + 1

Hưng dn gii: Tt c đu có 2x2. Làm th nào đ dùng đưc công thc tính khongcách:

√ 2x2 − 2x + 1 =

(x − 1)2 + x2

2x2 + (

√ 3 + 1)x + 1 =

(x +

√ 3

2 )2 + (x +

1

2)2

2x2 − (√

3 + 1)x + 1 =

(x −

√ 3

2 )2 + (x − 1

2)2

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.5.4. Tìm GTNN ca: f (x, y) = x2 + y2 trên min

D = {(x, y) : x − 2y + 8 ≥ 0; x + y + z ≥ 0; 2x − y + 4 ≤ 0}.

Hưng dn gii: Hãy xác đnh min D trên mt phng Oxy ri xem ý nghĩa ca f (x, y) =x2 + y2 biu th cái gì?

Bài tp 2.5.5. Tìm GTLN, GTNN ca: f (x, y) = 4x + 3y trên min

D = {(x, y) : x2 + y2 + 16 = 8x + 6y}.

Hưng dn gii: Xác đnh min D chính là đưng tròn. Tính

f (x, y) = 4x + 3y = 1

2

8x + 6y

=

1

2

x2 + y2 + 16

Cn tìm GTLN, GTNN ca x2 + y2. Xem x2 + y2 biu th cái gì?

Hoàng Thanh Thy




2.6 Các phương pháp khác2.6.1 Phương pháp cân bng đi xng

Ni dung phương pháp:Phương pháp này thưng đưc s dng nu điu kin ràng buc các biu thc và biu

thc cn tìm GTLN, GTNN có tính đi xng vi các bin thì ta thưng d đoán GTLN,GTNN xy ra khi các bin đt giá tr bng nhau.

Sau đó dùng các bt đng thc đ chng minh d đoán này.

Ví d 2.6.1. Cho xy + yz + zx = 1. Tìm GTNN ca M = x4 + y4 + z 4.

Li gii. Ta có: x4 + y4 + z 4 ≥ x2y2 + y2z 2 + z 2x2 ≥ 2

3(xy + yz + zx)2

Suy ra M ≥ 1

3

M = 1

3 ⇐⇒ x = y = z =

1√ 3

.

Vy GTNN ca M là

1

3 .

Ví d 2.6.2. Cho

a, b > 0

a2 + b2 = 4. Tìm GTLN ca

T = ab

a + b + 2.

Phân tích: Phi to đưc ra: a +b +2, ab t gi thit. Mun vy phi phân tích a2+b2−4theo a + b + 2, ab và nhân t nào đó khác na và s đánh giá nhân t này chng hn.Li gii.

a2 + b2 − 4 = 0

⇒ (a + b)2 − 4 = 2ab

⇒ (a + b + 2)(a + b − 2) = 2ab

⇒ T = ab

a + b + 2 =

a + b − 2

2

Mà

(a + b)2

≥2(a2 + b2)

⇒ (a + b)2 ≥ 8

⇒ a + b ≥ 2√

2.

Vy T = a + b − 2

2 ≥ 2

√ 2 − 2

2 =

√ 2 − 1.

Du bng xy ra khi và ch khi a = b =√

2.

BÀI TP VN DNG

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 2.6.1. Cho

x, y,z > 0,

x + y + z = 3. Tìm GTNN ca

T =

x2 + xy + y2 +

y2 + yz + z 2 +√

z 2 + zx + x2.

Hưng dn gii: Ta có:

x2 + xy + y2 = 3

4(x + y)2 +

1

4(x − y)2

≥ 3

4(x + y)2

Tương t ta có:

y2 + yz + z 2 ≥ 3

4(y + z )2

z 2

+ zx + x2

≥ 3

4 (z + x)2

Bài tp 2.6.2. Cho

a, b > 0,

a + b = 1. Tìm GTNN ca:

(a + 1

b)2 + (b +

1

a)2.

Hưng dn gii: Dùng Côsi dng x2 + y2 ≥ 2xy.

Bài tp 2.6.3. Tìm GTLN ca:√

4a + 1 +√

4b + 1 +√

4c + 1

bit a, b, c > 0; a + b + c = 1.Hưng dn gii: Đ s dng đưc a + b + c thì phi bình phương các căn thc. Sau đódùng Bunhiacôpxki.

Bài tp 2.6.4. Cho

a,b,c > 0,

a + b + c = 1. Tìm GTNN ca

1

a2 + 2bc + 1

b2 + 2ac

1

c2 + 2ab

Hưng dn gii: S dng bt đng thc:

(x + y + z )(1

x +

1

y +

1

z ) ≥ 9.

Hoàng Thanh Thy




2.6.2 Phương pháp cc biên

Ni dung phương pháp:Ta bit, nu hàm s y = f (x) liên tc trên đon [a, b] thì GTLN, GTNN ca f (x)

trên đon [a, b] hoc là f (a) hoc là f (b), hoc là giá tr cc tr ca f . Như vy là khi tìmGTLN, GTNN ca A(x1, x2,...,xn) nu xi ∈ [a, b] thì ta nên lưu ý ti giá tr ca A khi

xi = a hay xi = b.Chú ý ti các bin đi thưng dùng sau:

xi ∈ [a, b] suy ra (xi − a)(xi − b) ≥ 0. Du bng xy ra khi xi = a ∨ xi = b.

x,y,z ∈ [a, b] suy ra (x − a)(y − a)(z − a) ≥ 0

(x − b)(y − b)(z − b) ≤ 0

Ví d 2.6.3. Cho a,b,c,d ∈ [0;1]. Tìm GTLN ca

abcd + 1

+ bacd + 1

+ cabd + 1

+ dabc + 1

.

Li gii. Vì a, b, c, d ∈ [0;1] nên bcd ≥ abcd. Li có (a − 1)(b − 1) ≥ 0 nên ab + 1 ≥ a + b.T đó suy ra

P ≤ a

abcd + 1 +

b

abcd + 1 +

c

abcd + 1 +

d

abcd + 1

⇒ P ≤ a + b + c + d

abcd + 1 ≤ 1 + ab + 1 + cd

abcd + 1

≤ 2 + ab + cd

abcd + 1 ≤ 2 + 1 + abcd

abcd + 1≤ 3 + abcd

abcd + 1 ≤ 3 + 3abcd

abcd + 1 = 3.

Vy GTLN ca P là 3, xy ra khi a = 0, b = c = d = 1.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.6.5. Cho

x1, x2,...,x10 ∈ [1;3],

x1 + x2 + · · · + x10 = 15

Tìm GTLN ca S = x31 + x3

2 + · · · + x310.

Bài tp 2.6.6. Cho

x,y,z ∈ [0; 3],

x + y + z = 5.

Tìm GTLN ca S = x2 + y2 + z 2

2.6.3 Phương pháp sp th t

Ni dung phương pháp:Nu vic sp th t li các hng s, các bin s không làm mt tính tng quát ca bài

toán thì nên thc hin vì chúng cho ta thêm gi thit đ tìm GTLN, GTNN. Và khi đãsp xp li các hng, các bin ta nên chú ý ti các phn t Max, min ca chúng.

Hoàng Thanh Thy




Ví d 2.6.4. Cho các s x1,...,x10 thay đi nhưng luôn tho mãnx1x2...x10 ≥ 0,

x1 + x2 + · · · + x10 = 2006

Tìm GTLN ca S =

9i=1

xixi+1.

Li gii. Gi s xk = max{x1, x2,...,x10}, ta có

S =k−1i=1

xixi+1 +9i=k

xixi+1

≤ xk

k−1i=1

xi + xk

9i=k+1

xi

≤ xk 9

i=1 xi − xk

= xk(2006 − xk) ≤ 20062

4 .

Du bng xy ra khi

x1x2 =

2006

2 ,

x3...x9 = 0. Vy GTLN ca S là

20062

4 .

BÀI TP VN DNG

Bài tp 2.6.7. Trong tam giác ABC , tìm GTLN ca

T = a + b + c

aA + bB + cC .

Hưng dn gii:

Gi s a ≤ b ≤ c khi đó A ≤ B ≤ C . Áp dng bt đng thc Trêbưsep ta có

(A + B + C )(a + b + c) ≤ 3(aA + bB + cC )

⇒ π

3 ≤ aA + bB + cC

a + b + c

⇒ 3π ≥ a + b + c

aA + bB + cC .

Du bng xy ra khi và ch khi ABC đu.

Hoàng Thanh Thy




3 ng dng

3.1 Gii phương trình, bt phương trình.3.1.1 Các đnh lí

Vn đ tn ti nghim ca mt phương trình, bt phương trình có điu kin thưng liênquan cht ch ti vic tìm GTLN, GTNN ca hàm s. Mi liên h y th hin qua cácđnh lí dưi đây.

Đnh lí 1. Xét phương trình, f (x) = α x ∈ D (1). Gi thit tn ti

M = maxx∈D

f (x), m = minx∈D

f (x)

Khi đó phương trình (1) có nghim khi và ch khi m ≤ α ≤ M

Đnh lí 2. Xét bt phương trình f (x)

≥ α x

∈ D (2). Bt phương trình này có nghim

khi và ch khi M ≥ α.

Đnh lí 3. Xét bt phương trình f (x) ≤ β x ∈ D (3). Bt phương trình này có nghim khi và ch khi m ≥ β

Đnh lí 4. Bt phương trình (2) đúng ∀x ∈ D ⇐⇒ m ≥ α.Bt phương trình (3) đúng ∀x ∈ D ⇐⇒ M ≤ β.

3.1.2 Các ví d

Ví d 3.1.1. Gii phương trình

√ x − 2 +

√ 4 − x = x2 − 6x + 11

Li gii. Đt f (x) =√

x − 2 +√

4 − x. Xét trên min 2 ≤ x ≤ 4.Theo bt đng thc Côsi ta có:

f 2(x) ≤ 2(x − 2 + 4 − x) = 4

Do f (x) ≥ 0 nên f (x) ≤ 2.Ta thy f (3) = 2. Vy max

2≤x≤4f (x) = 2.

Đt g(x) = x

2

− 6x + 11 = (x − 3)

2

+ 2. Suy ra g(x) ≥ 2, g(3) = 2. Vy min2≤x≤4 g(x) = 2.Vy phương trình đã cho tương đương vi h sauf (x) = 2

g(x) = 2⇔√

x − 2 +√

4 − x = 2

(x − 3)2 + 2 = 2

D thy h này có nghim duy nht x = 3. Đó chính là nghim ca phương trình đã cho.

Ví d 3.1.2. Gii phương trình:√

3xs2 + 6x + 7 +√

5x2 + 10x + 14 = 4

−2x

−x2.

Hoàng Thanh Thy




Li gii. Đt

f (x) =√

3xs2 + 6x + 7 +√

5x2 + 10x + 14

=

3(x + 1)2 + 4 +

5(x + 1)2 + 9

⇒f (x)

≥5.

∀x

∈D =

{4

−2x

−x2

≥0}

.f (x) = 5 ⇔ x = −1.Đt g(x) = 4 − 2x − x2 = 5 − (x + 1)2 ≤ 5, g(x) = 5 ⇔ x = −1.Ta có g(x) ≤ 5 ≤ f (x) Vy

f (x) = g(x) ⇔√

3xs2 + 6x + 7 +√

5x2 + 10x + 14 = 5 (1)

4 − 2x − x2 = 5 (2)

(2) ⇔ x = −1. Mà x = −1 cũng tho mãn (1). Vy x = −1 là nghim duy nht caphương trình đã cho.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 3.1.1. Gii phương trình:√

x2 − 2x + 5 +√

x − 1 = 2

Bài tp 3.1.2. Gii bt phương trình: x −

√ x2 − 1 +

x +

√ x2 − 1 ≤ 2

Bài tp 3.1.3. Gii h phương trình:

6x2√

x3 − 6x + 5 = (x3 + 4)(x2 + 2x − 6)

x + 2

x ≥ 1 +

2

x2

Bài tp 3.1.4. Gii phương trình:

2√

7x3 − 11x2 + 25x − 12 = x2 + 6x − 1


2x4 + (1 − 2x)4 = 127


√ 2 − x2 +

2 − 1

x2 = 4 − (x +

1

x)

Hoàng Thanh Thy




3.2 Tìm điu kin cho tham s m đ phương trình, bt phươngtrình, h phương trình, h bt phương trình có nghim.

Ví d 3.2.1. Tìm m đ phương trình sau có nghim:

20x2 + 10x + 3

3x2 + 2x + 1 = x2 + 2(2m

−3)x + 5m2

−16m + 20

Li gii. Đt f (x) = 20x2 + 10x + 3

3x2 + 2x + 1 . Dùng phương pháp min giá tr ta suy ra: max f (x) =

7.Đt g(x) = x2 + 2(2m − 3)x + 5m2 − 16m + 20. Theo tính cht ca hàm s bc hai thì:

min g(x) = g(3 − 2m) = m2 − 4m + 11 = (m − 2)2 + 7

T đó ta có: min g(x) > 7, ∀m = 2 và min g(x) = 7 khi m = 2.Vy:

+ Nu m = 2 thì maxx∈R

f (x) < minx∈R

g(x), suy ra phương trình đã cho vô nghim.

+ Nu m = 2 thì maxx∈R

f (x) = minx∈R

g(x) = 7 và phương trình đã cho tương đương vi

h:

20x2 + 10x + 3

3x2 + 2x + 1 = 7 (1)

x2 + 2x + 8 = 7 (2)

(2) tương đương vi (x + 1)2 + 7 = 7 ⇔ x = −1. Thay x = −1 vào (1) ta có:

V T (1) =

13

2 = 7 suy ra h trên vô nghim.

Vy h đã cho vô nghim.

Ví d 3.2.2. Tìm m đ bt phương trình sau đúng vi mi −2 ≤ x ≤ 1.

m2x + m(x + 1) − 2(x − 1) ≥ 0

Li gii. Bt phương trình đã cho có th vit li là:

f (x) = (m2 + m

−2)x + m + 2

≥0 (1)

Đ (1) đúng vi mi −2 ≤ x ≤ 1 thì phi có min−2≤x≤1

f (x) ≤ 0.

Vì f (x) là hàm bc nht nên ta có:

• Nu m2 + m − 2 ≥ 0 thì min−2≤x≤1

f (x) = f (−2) = −2m2 − m + 6. Ta có h

m2 + m − 2 ≥ 0

−2m2 − m + 6 ≥ 0⇔ 1 ≤ m ≤ 3

2

Hoàng Thanh Thy




• Nu m2 + m − 2 < 0 thì min−2≤x≤1

f (x) = m2 + 2m. Ta có h

m2 + m − 2 < 0

m2 + 2m ≥ 0⇔ 0 ≤ m < 1

Vy 0 ≤ m ≤ 32

là nhng giá tr cn tìm.

BÀI TP VN DNG

Bài tp 3.2.1. Tìm m đ phương trình sau có nghim: 2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0

Hưng dn gii: Ta có

(1) ⇔ 2x

2

− 2(m + 4)x + 5m + 10 = x − 3

⇔

2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 = (x − 3)2

x ≥ 3

⇔

x ≥ 3

f (x) = x2 − 2x + 1

2x − 5 = m

H này có nghim khi và ch khi

minx≥3

f (x)

≤m

≤maxx≥3

f (x)

Sau đó dùng phương pháp min giá tr đ gii quyt bài toán. Đáp s: m ≥ 3.

Bài tp 3.2.2. Tìm m đ h sau có nghimx5 − (x − 3)5 = m

0 ≤ x ≤ 3

Hưng dn gii: Đ ý ti bài toán ph: "Cho hàm s f (t) = tn + (1 − t)n, n ∈ N∗" thì

max0≤t≤1

f (t) = 1; min0≤t≤1

= 12n−1

Chuyn bài toán đã cho v dng này!

Đáp s: 243

16 ≤ m ≤ 243.

Bài tp 3.2.3. Tìm m đ bt phương trình sau đúng vi mi −4 ≤ x ≤ 6 (4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m

Hưng dn gii: S dng phương pháp điu kin cn và đ ta đi đn đáp s: m

≥6.

Hoàng Thanh Thy




Bài tp 3.2.4. Tìm m đ h bt phương trình sau có nghim2x2 − 7x + 3

x2 − mx + m ≤ 0

Hưng dn gii: Vit li h đã cho dưi dng:

f (x) = x2 − mx + m ≤ 01

2 ≤ x ≤ 3

H này có nghim khi và ch khi min1

2 ≤ x ≤ 3

f (x) ≤ 0, tìm đi tìm min1

2 ≤ x ≤ 3

f (x). T đó

đi đn đáp s:

k

≤ −

1

2 hoc k

≥4.

Bài tp 3.2.5. Tim m đ bt phương trình sau có nghim

x2 + 2|x − m| + m2 + m − 1 ≤ 0

Hưng dn gii: Bt phương trình có nghim khi và ch khi minx∈R

f (x) ≤ 0

Xét các kh năng:

+ m > 1

+ −

1

≤m

≤1

+ m < −1

Đáp s: −1 ≤ m ≤ 1

2.

Documents

Gtln, Gtnn - Hoang Thanh Thuy