Giáo trình giải tích hàm

7/31/2019 Giáo trình giải tích hàm

http://slidepdf.com/reader/full/giao-trinh-giai-tich-ham 1/212

Më ®Çu

TiÕp theo Gi¸o tr×nh Kh«ng gian T«p« - §é ®o - TÝch ph©n, gi¸o tr×nh Gi¶i

tÝch Hµm ®− îc t¸c gi¶ biªn so¹n trong ch− ¬ng tr×nh x©y dùng bé gi¸o tr×nh hoµn

chØnh cho sinh viªn hÖ §¹i häc s− ph¹m ngµnh To¸n Tr− êng §¹i häc T©y B¾c.

Häc phÇn Gi¶i tÝch Hµm hiÖn nay ®ang ®− îc gi¶ng d¹y t¹i Tr− êng §¹i häc

T©y B¾c trong n¨m ®¬n vÞ häc tr×nh. §iÒu kiÖn tiªn quyÕt lµ sinh viªn ®· häc

xong çc häc phÇn Lý thuyÕt tËp hîp vµ L«gic To¸n, §¹i sè tuyÕn tÝnh, PhÐp tÝnh

vi ph©n - tÝch ph©n hµm mét biÕn, PhÐp tÝnh vi ph©n tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn,

Hµm biÕn phøc, Kh«ng gian t«p« - §é ®o - TÝch ph©n. Khi biªn so¹n gi¸o tr×nh

nµy, chóng t«i ®· chó ý nhiÒu ®Õn yÕu tè s− ph¹m ®Ó ®¶m b¶o cho viÖc tr×nh bµy

çc vÊn c¬ b¶n võa tinh gi¶n, logic m¹ch l¹c võa ®¶m b¶o ®− îc hµm l− îng kiÕn

thøc cÇn thiÕt nhÊt, ®ång thêi chóng t«i chó ý nhiÒu ®Õn viÖc h×nh thµnh cho sinh

viªn nh÷ng ph− ¬ng ph¸p vµ kÜ n¨ng cÇn thiÕt cña m«n häc th«ng qua kÜ thuËt

chøng minh çc ®Þnh lý, mÖnh ®Ò quan träng vµ qua viÖc s− u tÇm, ph©n lo¹i mét

hÖ thèng bµi tËp phong phó kÌm theo h− íng dÉn gi¶i vµ lêi gi¶i chi tiÕt. Ngoµi

ra, néi dung cña gi¸o tr×nh lµ mét ®¬n vÞ kiÕn thøc trän vÑn, cã mèi liªn hÖ chÆt

chÏ víi nhiÒu kiÕn thøc to¸n häc quen thuéc nªn chóng t«i cã thÓ tin t− ëng gi¸o

tr×nh sÏ trë thµnh tµi liÖu gÇn gòi, dÔ hiÓu ®èi víi sinh viªn trong qu¸ tr×nh häc

tËp.

Nh©n dÞp gi¸o tr×nh ®− îc ®− a vµo sö dông, t¸c gi¶ xin bµy tá sù biÕt ¬n ®èi

víi nh÷ng ng− êi thÇy t«n kÝnh ®· d¹y dç trùc tiÕp còng nh− gi¸n tiÕp qua nh÷ng

tµi liÖu quý b¸u cña hä mµ t¸c gi¶ ®· sö dông lµm nguån tµi liÖu tham kh¶o chÝnh

cña gi¸o tr×nh, qua ®ã t¸c gi¶ ®· ®− îc trang bÞ nh÷ng tri thøc, ph− ¬ng ph¸p luËn

vµ sù tù tin s½n sµng chia sÎ nh÷ng kinh nghiÖm vµ tri thøc trong NCKH dÉn

®Õn mét trong çc kÕt qu¶ cña sù d¹y dç ®ã lµ chÝnh lµ sù ra ®êi cña gi¸o tr×nhnµy. T¸c gi¶ xin c¶m ¬n çc ®ång nghiÖp trong tæ Gi¶i tÝch khoa To¸n - Lý - Tin,

tr− êng §¹i häc T©y B¾c ®· d¹y thùc nghiÖm vµ ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn bæ Ých gióp

3



hoµn thiÖn gi¸o tr×nh. §Æc biÖt, t¸c gi¶ xin c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, Phßng Qu¶n

lý khoa häc vµ Quan hÖ quèc tÕ, çc ®ång nghiÖp vµ sinh viªn Khoa To¸n - Lý

- Tin tr− êng §¹i häc T©y B¾c vÒ sù gióp ®ì quý b¸u còng nh− sù t¹o ®iÒu kiÖn

thuËn lîi ®Ó gi¸o tr×nh nµy ®− îc ®− a vµ sö dông. Do kinh nghiÖm khoa häc cña

t¸c gi¶ cßn nhiÒu h¹n chÕ, ch¾c ch¾n tµi liÖu kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu

sãt. T¸c gi¶ mong muèn tiÕp tôc nhËn ®− îc nhiÒu gãp ý ®Ó t¸c gi¶ hoµn thiÖn

gi¸o tr×nh, gãp phÇn tèt h¬n trong viÖc n©ng cao chÊt l− îng gi¶ng d¹y vµ häc tËp

cña sinh viªn Khoa To¸n - Lý - Tin Tr− êng §¹i häc T©y B¾c.

S¬n La, th¸ng 12 n¨m 2007

T¸c gi¶

Ph¹m Minh Th«ng

4



Môc lôc

1 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«ng gian Banach 9

1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 ChuÈn trªn kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«ng gian Banach . . . . . . . 11

1.3 TËp compact trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . . . . . . . 13

1.4 Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14

2 Kh«ng gian çc hµm kh¶ tÝch bËc p 1 . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 BÊt ®¼ng thøc Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 BÊt ®¼ng thøc Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Chuçi trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Chuçi vµ sù héi tô cña chuçi . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 §Þnh nghÜa vµ çc tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Kh«ng gian L(E ; F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Mét sè vÝ dô vÒ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . 39

5



5 Kh«ng gian con vµ kh«ng gian th− ¬ng . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Kh«ng gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Tæng trùc tiÕp t« p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Siªu ph¼ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Kh«ng gian th− ¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu . . . . . . . . . . . 52

6.2 Kh«ng gian kh¶ li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Bµi tËp ch− ¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Ba nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm 64

1 Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.1 Nöa chuÈn liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2 §Þnh lý ¸nh x¹ më vµ ®å thÞ ®ãng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1 §Þnh lý ¸nh x¹ më . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2 §Þnh lý ®å thÞ ®ãng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3 §Þnh lý Hahn- Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1 §Þnh lý Hahn-Banach ®èi víi kh«ng gian vector thùc . . . 73

3.2 §Þnh lý Hahn- Banach ®èi víi kh«ng gian vector phøc . . 76

3.3 Mét sè hÖ qu¶ quan träng cña ®Þnh lý Hahn-Banach . . . . 79

4 Bµi tËp ch− ¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 To¸n tö trong kh«ng gian Banach 84

6



1 To¸n tö liªn hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2 To¸n tö compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3 To¸n tö h÷u h¹n chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4 Phæ cña to¸n tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1 Mét sè kh¸i niÖm cÇn thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Phæ cña to¸n tö trong kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . 96

4.3 Phæ cña to¸n tö compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Bµi tËp ch− ¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4 Kh«ng gian Hilbert vµ to¸n tö trong kh«ng gian Hilbert 116

1 D¹ng hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

1.1 §Þnh nghÜa vµ çc tÝnh chÊt ®¬n gi¶n . . . . . . . . . . . . 116

1.2 Hai bÊt ®¼ng thøc quan träng . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2 TÝch v« h− íng vµ kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3 HÖ trùc giao, trùc chuÈn vµ phÐp chiÕu trùc giao . . . . . . . . . . 124

3.1 HÖ trùc giao vµ trùc chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2 PhÐp chiÕu trùc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Hilbert . . . . . . . 131

5 C¬ së trùc chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 To¸n tö liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 138

7 To¸n tö tù liªn hîp vµ to¸n tö compact trong kh«ng gian Hilbert . 143

7.1 To¸n tö tù liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . 143

7



7.2 To¸n tö tù liªn hîp compact- §Þnh lý Hilbert-Schmidt . . . 148

8 Bµi tËp ch− ¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5 H− íng dÉn gi¶i bµi tËp 157

1 Ch− ¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2 Ch− ¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3 Ch− ¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4 Ch− ¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8



Ch− ¬ng 1

Kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«nggian Banach

Trong suèt tµi liÖu nµy chóng ta kÝ hiÖu K lµ tr− êng sè thùc R hoÆc tr− êng

sè phøc C vµ çc kh«ng gian vector ®− îc nãi ®Õn ®Òu lµ kh«ng gian vector trªn

tr− êng K.

1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô

1.1 ChuÈn trªn kh«ng gian vector

§Þnh nghÜa 1.1. Hµm ρ x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian vector E ®− îc gäi lµ mét chuÈn

trªn E nÕu ρ tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn sau:

1) ρ(x) 0 víi mäi x ∈ E vµ ρ(x) = 0 ⇒ x = 0,

2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) víi mäi λ ∈ K vµ víi mäi x ∈ E ,

3) ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y) víi mäi x, y ∈ E .

Khi ρ tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn 2) vµ 3), cßn ®iÒu kiÖn 1) thay bëi ®iÒu kiÖn:

1’) ρ(x) 0 víi mäi x ∈ E , th× ρ ®− îc gäi lµ mét nöa chuÈn trªn E .

9



MÖnh ®Ò 1.2. Gi¶ sö ρ lµ mét nöa chuÈn trªn E . Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ E ta cã:

|ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y) (3’)

Chøng minh. Cho x, y ∈ E , tõ ®iÒu kiÖn 3) ta cã:

ρ(x) = ρ(x − y + y) ρ(x − y) + ρ(y)

suy ra

ρ(x) − ρ(y) ρ(x − y) (∗)

Thay ®æi vai trß cña x vµ y vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 2) ta nhËn ®− îc

ρ(y) − ρ(x) ρ(y − x) = ρ(x − y) (∗∗)

Cuèi cïng, tõ (∗) vµ (∗∗) ta cã |ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y).

Tõ çc tÝnh chÊt cña chuÈn vµ ®Þnh nghÜa kho¶ng çch chóng ta cã mÖnh ®Ò

sau:

MÖnh ®Ò 1.3. NÕu ρ lµ mét chuÈn trªn E th× c«ng thøc:

d(x, y) := ρ(x

−y), (x, y

∈E ) (1.1)

x¸c ®Þnh mét kho¶ng çch trªn E tho¶ m·n:

∀x,y,z ∈ E, ∀λ ∈ K,

d(x + z, y + z) = d(x, y),

d(λx, λy) = |λ|d(x, y)(1.2)

Kho¶ng çch d x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (1.1) ®− îc gäi lµ kho¶ng çch sinh bëi

chuÈn ρ.

Cho E lµ kh«ng gian vÐc t¬ vµ a, b

∈K. Ta gäi tËp hîp sau ®©y lµ ®o¹n víi

çc mót a, b:

[a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0 t 1}

10



§Þnh nghÜa 1.4. TËp con X trong kh«ng gian vector E ®− îc gäi lµ:

a) TËp låi nÕu [a, b] ⊂ X víi mäi a, b ∈ X .

b) TËp c©n nÕu λx ∈ X víi mäi x ∈ X vµ víi mäi λ ∈ K mµ |λ| 1.

c) TËp hót nÕu víi mçi x ∈ E ®Òu tån t¹i sè ε > 0 sao cho λx ∈ X víi mäi

λ ∈ K mµ |λ| ε.

MÖnh ®Ò 1.5. Gi¶ sö ρ lµ mét nöa chuÈn trªn E . Khi ®ã çc tËp hîp:

B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : ρ(x) 1}

lµ låi, c©n, hót.

Chøng minh. Tr− íc tiªn ta chøng minh B lµ tËp låi, c©n vµ hót: Cho a, b ∈ B

vµ 0 t 1. Ta cã:

ρ(ta + (1 − t)b) ρ(ta) + ρ((1 − t)b) = tρ(a) + (1 − t)ρ(b) < t + 1 − t = 1

MÆt kh¸c, ρ(λx) = |λ|ρ(x) ρ(x) < 1. Suy ra B lµ låi vµ c©n.

Cuèi cïng, nÕu x ∈ E th× do λx ∈ B, ∀λ : |λ| <1

ρ(x) + 1nªn B lµ tËp hót.

ViÖc chøng minh B lµ låi, c©n vµ hót hoµn toµn t− ¬ng tù.

1.2 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«ng gian Banach

§Þnh nghÜa 1.6. Kh«ng gian vector E cïng víi mét chuÈn ρ x¸c ®Þnh trªn E

®− îc gäi lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn.

Mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn th− êng gäi ng¾n gän lµ kh«ng gian

®Þnh chuÈn.

Khi E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn ρ th× víi mçi x ∈ E ta viÕt

ρ(x) = x vµ gäi sè x lµ chuÈn cña vector x.

11



Theo mÖnh ®Ò 1.3, kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ mét kh«ng gian metric víi

kho¶ng çch d sinh bëi chuÈn x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

d(x, y) := x − y, x , y ∈ E.

Nh− vËy, trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn, khi nãi tíi çc kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n

cña d·y ®iÓm, d·y Cauchy, vÒ tËp më, tËp ®ãng, vÒ giíi h¹n cña ¸nh x¹ gi÷a çc

kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ çc kh¸i niÖm liªn quan kh¸c th× chóng ta hiÓu ®ã chÝnh

lµ nh÷ng kh¸i niÖm t− ¬ng øng trong kh«ng gian metric víi kho¶ng çch sinh bëi

chuÈn cña kh«ng gian.

§Þnh nghÜa 1.7. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn E ®− îc gäi lµ kh«ng gian

Banach nÕu E cïng víi metric sinh bëi chuÈn trªn E lµ mét kh«ng gian metric

®Çy.

MÖnh ®Ò 1.8. NÕu E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn th× hµm chuÈn x → x lµ liªn

tôc ®Òu trªn E .

Chøng minh. Tr− íc hÕt ta chó ý r»ng tÝnh liªn tôc ®Òu ë ®©y theo nghÜa cña ¸nh

x¹ liªn tôc ®Òu gi÷a çc kh«ng gian metric. Cho ε > 0 bÊt k×, chän δ = ε. Khi

®ã, theo mÖnh ®Ò 1.3, víi mäi x, y ∈ E , nÕu d(x, y) = x − y < δ th×

|x − y| x − y = d(x, y) = δ = ε.

Chøng tá hµm . : E → R liªn tôc ®Òu trªn E .

MÖnh ®Ò 1.9. NÕu E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn th× çc phÐp to¸n vec t¬ trong E

lµ liªn tôc:

Chøng minh. Nhê çc ®¸nh gi¸ d− íi ®©y

(x + y) − (x0 + y0) x − x0 + y − y0λx − λ0x0 |λ|x − x0 + |λ − λ0|x0

12



víi chó ý E × E hay K× E ®− îc xÐt nh− kh«ng gian metric tÝch cña çc kh«ng

gian metric víi kho¶ng çch trªn E lµ kho¶ng çch sinh bëi chuÈn vµ kho¶ng

çch trªn K lµ kho¶ng çch Euclide th«ng th− êng.

1.3 TËp compact trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn

§Þnh nghÜa 1.10. TËp con X trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E ®− îc gäi lµ:

a) tËp bÞ chÆn nÕu: sup{x : x ∈ X } < +∞.

b) tËp hoµn toµn bÞ chÆn nÕu: Víi mäi ε > 0 tån t¹i tËp h÷u h¹n A ⊂ E sao

cho

(∀x ∈ X )(∃y ∈ A) | x − y < ε ⇔ X ⊂ y∈A

B(y, ε)

TËp con h÷u h¹n A ⊂ E tho¶ m·n b) gäi lµ mét ε- l− íi h÷u h¹n cña X .

c) tËp compact nÕu: mäi d·y {xn} ⊂ X cã mét d·y con {xnk} héi tô tíi mét

phÇn tö x ∈ X .

NhËn xÐt 1. NÕu X lµ tËp hoµn toµn bÞ chÆn trong E th× víi mçi ε > 0 ®Òu cã

thÓ chän cho X mét ε - l− íi h÷u h¹n A gåm toµn çc phÇn tö cña X .

ThËt vËy, cho ε > 0 cã thÓ chän cho X mét ε/2 l− íi h÷u h¹n A ⊂ E . Khi ®ã

X =

y∈AB(y,

ε

2)

∩ X =y∈A

B(y,

ε

2) ∩ X

ë ®©y

B

y,ε

2

= {x ∈ E : x − y <

ε

2} , A = {y ∈ A : B(y,

ε

2) ∩ X = ∅}

Víi mçi y ∈ A, chän zy ∈ B(y, ε2 ) ∩ X . Ta kiÓm l¹i {zy : y ∈ A} ⊂ X lµ ε- l− íi

h÷u h¹n cña X . Cho x

∈X , chän y

∈A ®Ó

x

−y

< ε

2. Suy ra B(y, ε

2 )

∩X

= ∅

nªn y ∈ A vµ

x − zy x − y + y − zy <ε

2+

ε

2= ε

13



NhËn xÐt 2. Mäi tËp hoµn toµn bÞ chÆn ®Òu lµ tËp bÞ chÆn. ThËt vËy, nÕu X lµ

tËp hoµn toµn bÞ chÆn th× víi ε = 1 tån t¹i x1, x2, . . . , xn lµ ε - l− íi h÷u h¹n cña

X . Gi¶ sö x

∈X tuú ý, chän 1 k n ®Ó

x

−xk

< 1. Suy ra

x xk + x − xk xk + 1 max1kn

xk| + 1

Do ®ã

supn∈X

x max1kn

xk + 1 < +∞VËy X lµ tËp bÞ chÆn.

§èi víi kh«ng gian ®Þnh chuÈn, ®Æc tr− ng Hausdorff cña tËp compact ®− îc

ph¸t biÓu bëi ®Þnh lý sau ®©y:

§Þnh lý 1.11 (Hausdorff). TËp con X trong kh«ng gian Banach E lµ compact

nÕu vµ chØ nÕu X lµ ®ãng vµ hoµn toµn bÞ chÆn.

1.4 Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian Banach

VÝ dô 1. Kh«ng gian Euclide n- chiÒu

Víi mçi sè tù nhiªn n, ký hiÖu Kn lµ tÝch Descartes cña n lÇn tr− êng v« h− íng

K:Kn := {x = (x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn ∈ K}

Víi mçi x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn, ta ®Æt:

x = n

i=1

|xi|2 1

2

. (1)

Ta sÏ chøng tá c«ng thøc (1) x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn Kn, gäi lµ chuÈn Euclide.

ThËt vËy, hiÓn nhiªn hµm x → x tho¶ m·n çc tiªn ®Ò 1) vµ 2) trong ®Þnh nghÜa

chuÈn. Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Bunhiakovski sau ®©yn

i=1

|aibi|

ni=1

|ai|2

12

.

n

i=1

|bi|2

12

14



chóng ta cã thÓ chøng minh tiªn hµm . tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 3) trong ®Þnh nghÜa

chuÈn:

ThËt vËy, víi mäi x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn)∈Kn ta cã:

ni=1

|xi + yi|2

ni=1

(|xi| + |yi|)2 =n

i=1

|x2i | + 2

ni=1

|xiyi| +n

i=1

|y2i |

ni=1

|x2i | + 2

ni=1

|x2i | 12

. n

i=1

|x2i | 12

+n

i=1

|y2i |

=

⎛⎝ n

i=1

|x2i | +

ni=1

|y2i |⎞⎠2

chøng tá

x + y x + y víi mäi x, y ∈ Kn

Nh− vËy, hµm . tho¶ m·n c¶ ba ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa chuÈn nªn nã lµ

mét chuÈn trªn Kn - gäi lµ chuÈn Euclide, ®ång thêi Kn víi chuÈn Euclide lµ mét

kh«ng gian ®Þnh chuÈn - gäi lµ kh«ng gian Euclide n chiÒu.

Cuèi cïng, víi x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn ta cã:

max1in

|xi − yi| x − y n. max1in

|xi − yi|.

nªn x − y → 0 ⇔ ∀i = 1, n, |xi − yi| → 0, suy ra, sù héi tô trong Kn lµ sù héi

tô theo to¹ ®é vµ mét d·y lµ d·y Cauchy trong Kn khi vµ chØ khi tÊt c¶ çc d·y

to¹ ®é cña nã ®Òu lµ d·y Cauchy trong K. L¹i do K lµ kh«ng gian metric ®Çy

suy ra Kn lµ kh«ng gian ®Çy. VËy Kn lµ kh«ng gian Banach.

VÝ dô 2. Kh«ng gian çc hµm liªn tôc

Ký hiÖu C [a; b] lµ kh«ng gian çc hµm liªn tôc trªn ®o¹n h÷u h¹n [a, b]. §Æt:

f

= sup

{|f (x)

|: x

∈[a, b]

}, f

∈C [a; b]

DÔ dµng thÊy r»ng hµm f → f x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn kh«ng gian C [a; b]

vµ víi chuÈn ®ã, C [a; b] trë thµnh mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn.

15



Ta sÏ kiÓm l¹i C [a; b] lµ mét kh«ng gian Banach: Cho {f n} lµ mét d·y Cauchy

trong C [a; b], khi ®ã víi mäi sè ε > 0 cho tr− íc, tån t¹i sè tù nhiªn n0 sao cho

víi mäi m, n

∈N∗, m , n n0 ta ®Òu cã:

f n − f m = supx∈[a;b]

f n(x) − f m(x) < ε

Suy ra

(∀m, n n0) |f n(x) − f m(x)| ε víi mäi x ∈ [a, b]. (1.3)

Nh− vËy víi mçi x ∈ [a, b] cè ®Þnh, d·y sè {f n(x)} lµ mét d·y Cauchy trong K.

Do K lµ kh«ng gian metric ®Çy nªn d·y ®ã héi tô trong K. §Æt

f (x) = limn→∞

f n(x)

∈K, x

∈[a, b]

ta ®− îc hµm sè f : [a; b] → K. Ta sÏ chØ ra f ∈ C [a; b] vµ d·y {f n} héi tô ®Õn

f trong C [a; b], nghÜa lµ f n − f → 0. ThËt vËy, gi¶ sö x0 ∈ [a; b] lµ ®iÓm tuú

ý, ta chøng minh f liªn tôc t¹i x0. Trong (1.3) b»ng çch cè ®Þnh x ∈ [a, b] vµ

n n0, cho m → ∞ ta ®− îc

|f n(x) − f (x)| ε víi mäi x ∈ [a, b] vµ n n0 (1.4)

Cho x0 ∈ [a; b], n = n0 ta cã

|f n0(x0) − f (x0)| ε (1.5)

V× f n0 liªn tôc t¹i x0 nªn tån t¹i δ > 0 sao cho víi mäi x ∈ [a; b]

|x − x0| < δ ⇒ |f n0(x) − f n0(x0)| < ε (1.6)

Tõ çc bÊt ®¼ng thøc (1.4), (1.5) vµ (1.6) ta suy ra: Víi mäi x ∈ [a; b] tho¶ m·n

|x − x0| < δ ta ®Òu cã:

|f (x) − f (x0)|

|f (x) − f n0(x)| + |f n0(x) − f n0(x0)| + |f n0(x0) − f (x0)| < 3ε

Chøng tá f liªn tôc t¹i x0. V× x0 ∈ [a; b] lµ ®iÓm tuú ý ta suy ra f liªn tôc trªn

®o¹n [a; b], nghÜa lµ f ∈ C [a; b].

16



Còng tõ (1.4) suy ra f n − f = supx∈[a,b]

|f n(x) − f (x)| ε víi mäi n n0.

Chøng tá limn→∞

f n − f = 0, nghÜa lµ d·y {f n} héi tô ®Õn f trong C [a; b].

VÝ dô 3. Kh«ng gian çc hµm bÞ chÆn

Gi¶ sö S lµ tËp tuú ý. Ký hiÖu B (S ) lµ kh«ng gian tÊt c¶ çc hµm bÞ chÆn

trªn S , tøc lµ sup{|f (s)| : s ∈ S } < +∞. §Æt

f := sup{|f (s)| : s ∈ S } < +∞, f ∈ B (S ) (1.7)

Cã thÓ thÊy c«ng thøc (1.7) x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn B (S ), do ®ã B (S ) lµ mét

kh«ng gian ®Þnh chuÈn. H¬n n÷a, cã thÓ chØ ra B (S ) lµ kh«ng gian Banach.

VÝ dô 4. Kh«ng gian çc d·y kh¶ tæng bËc p. KÝ hiÖu

KN∗

= {x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) : xn ∈ K, n ∈ N∗}

lµ tËp hîp tÊt c¶ çc d·y sè cña K. Víi mçi sè thùc p 1 tuú ý, ký hiÖu l p lµ

tËp hîp tÊt c¶ çc d·y sè kh¶ tæng bËc p:

l p = {x = (xn) ⊂ KN∗

:

∞n−1

|xn| p < +∞}

Chóng ta sÏ chøng tá l p lµ mét kh«ng gian Banach víi chuÈn x¸c ®Þnh bëi

c«ng thøc:

x p := ∞

n=1

|xn| p 1

p

, x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ l p. (1.8)

§Ó chøng minh l p lµ kh«ng gian vector vµ c«ng thøc (1.8) thùc sù x¸c ®Þnh mét

chuÈn trªn l p, tr− íc tiªn, chóng ta cÇn chøng minh çc bæ ®Ò quan träng sau ®©y:

Bæ ®Ò 1.12. NÕu p, q > 1 víi1 p +

1q = 1 th× víi mäi α, β ∈ R

+

ta cã:

α.β α p

p+

β q

q(1.9)

17



Chøng minh. Tr− íc hÕt, nÕu α = 0 hoÆc β = 0 th× bæ ®Ò hiÓn nhiªn ®óng. Gi¶

sö α > 0, β > 0. XÐt hµm sè

f (t) =

t p

p +

t−q

q , (t > 0)

Do f (t) = t−q−1(t p+q−1) = 0 ⇔ t = 1 vµ f (t) < 0 trªn kho¶ng (0; 1), f (t) > 0

trªn kho¶ng (1;+∞) nªn f cã gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ f (1) = 1 p

+ 1q

= 1. Nh− vËy

t p

p+

tq

q 1 víi mäi t > 0

Thay t = α1

q .β −1

p vµo bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®− îc

αp

q .β −1

p

+β

q

p .α−1

q

1

Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc trªn víi αβ vµ l− u ý r»ng pq

+ 1 = p, q p

+ 1 = q,

ta ®− îcα p

p+

β q

q α.β

Bæ ®Ò 1.13 (BÊt ®¼ng thøc Holder). Cho p, q ∈ R, p, q > 1, 1 p

+ 1q

= 1. Khi ®ã,

nÕu (xn) ∈ l p, (yn) ∈ lq th×:

∞n=1

|xnyn| ∞

n=1

|xn| p 1

p

. ∞

n=1

|yn|q1

q

(1.10)

Gän h¬n, b»ng çch sö dông ký hiÖu trong c«ng thøc (1.8) ta cã:

∞n=1

|xnyn| x p.y p. (1.11)

Chøng minh. HiÓn nhiªn bæ ®Ò ®óng nÕu x p = 0 hoÆc yq = 0. VËy chØ cÇn

chøng minh tr− êng hîp x p > 0, yq > 0. Víi mçi sè tù nhiªn n 1, ¸p dông

bæ ®Ò 1.12 cho α = |xn|xp vµ β = |yn|yq ta ®− îc

|xnyn|x pyq

1

p

|xn| px p p +

1

q

|yn|qyqq

18



LÊy tæng hai vÕ theo n ta ®− îc∞

n=1

|xnyn|

x pyq

1

px p.∞

n=1 |xn

| p +

1

qyq.∞

n=1 |yn

|q =

1

p

+1

q

= 1

Suy ra∞n=1

|xnyn| ∞

n=1

|xn| p 1

p

. ∞

n=1

|yn|q1

q

Bæ ®Ò 1.14 (BÊt ®¼ng thøc Minkowski). Cho p ∈ R, p 1. NÕu x, y ∈ l p th×

x + y ∈ l p vµ

x + y p x p + y p

Chøng minh. Tõ bÊt ®¼ng thøc

|xn + yn| p (|xn| + |yn|) p 2 p max{|xn| p, |yn| p} 2 p(|xn| p + |yn| p), ∀n 1

ta cã ∞n=1

|xn + yn| p 2 p ∞

n=1

|xn| p +∞n=1

|yn| p

< +∞

Suy ra x + y ∈ l p.

BÊt ®¼ng thøc Minkowski hiÓn nhiªn ®óng víi p = 1.

Gi¶ sö p > 1, chän q > 1 ®Ó 1 p

+ 1q

= 1. Do q( p − 1) = p vµ do trªn ta cã

∞n=1

|xn + yn|( p−1)q =∞n=1

|xn + yn| p < +∞

NghÜa lµ (|xn + yn| p−1)∞n=1 ∈ lq. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Holder tíi (xn) ∈ l p vµ

(|xn + yn| p−1) ∈ lq víi l− u ý thªm r»ng 1q

= p−1 p

ta ®− îc

∞

n=1 |xn

|.

|xn + yn

| p−1

x

p

∞

n=1 |xn + yn

|( p−1)q

1q

= x p ∞

n=1

|xn + yn| p p−1

p

19



T − ¬ng tù ta cã

∞

n=1

|yn|.|xn + yn| p−1 yq

∞

n=1

|xn + yn| p

p−1

p

Tõ çc bÊt ®¼ng thøc trªn ta nhËn ®− îc:

∞n=1

|xn + yn| p ∞n=1

|xn|.|xn + yn| p−1 +∞n=1

|yn|.|xn + yn| p−1

(x p + y p) ∞

n=1

|xn + yn| p p−1

p

Chia hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn cho ∞

n=1

|xn + yn| pp−1

p

ta ®− îc:

x + y p = x p + y p.

MÖnh ®Ò 1.15. NÕu p 1 th× l p lµ mét kh«ng gian Banach.

Chøng minh. Tr− íc hÕt, hiÓn nhiªn . p tho¶ m·n ®iÒu kiÖn thø nhÊt trong ®Þnh

nghÜa chuÈn. Cho x, y ∈ l p vµ λ ∈ K theo bæ ®Ò 1.14 ta cã x + y ∈ l p vµ hiÓn

nhiªn λx := (λxn) ∈ l p, ®ång thêi ta cã

λx p = ∞

n=1

|λ| p.|xn| p 1

p

= |λ|. ∞

n=1

|xn| p 1

p

= |λ|.x p

Nh− vËy . p tho¶ m·n ®iÒu kiÖn thø hai trong ®Þnh nghÜa chuÈn. Sö dông bÊt

®¼ng thøc Minkowski ta cã . p tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cßn l¹i. VËy l p lµ mét kh«ng

gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn . p.

B©y giê ta chøng minh l p lµ kh«ng gian Banach: Cho {x(k)}∞k=1 lµ d·y Cauchy

trong l p, x(k) = (x(k)n )∞n=1, khi ®ã, víi mäi sè ε > 0 cho tr− íc, tån t¹i sè tù nhiªn

k0 sao cho víi mäi k, l ∈ N∗ : k, l k0 ta ®Òu cã: Suy ra, víi mäi m ∈ N∗ ta cã:

x(k) − x(l) = m

n=1

|x(k)n − x(l)

n | p 1

p

< ε.

20



Suy ra, víi mäi m 1 vµ k, l k0 ta cã:

x(k) − x(l) =

m

n=1

|x(k)n − x(l)

n | p

1

p

< ε. (1.12)

Tõ (1.12) suy ra víi mäi n 1 d·y {x(k)n }k1 lµ d·y Cauchy trong K. V× K lµ

kh«ng gian Banach nªn tån t¹i xn = limk→∞

x(k)n , n ∈ N∗. §Æt x = (xn)∞n=1, ta sÏ

chøng tá r»ng x ∈ l p vµ x(k) → x trong l p. Trong (1.12), cè ®Þnh m 1 vµ k k0

cho l → ∞ ta ®− îc mn=1

|x(k)n − xn| p

1p

ε víi mäi m 1, ∀k k0

suy ra

∞n=1

|x(k)n − xn| p 1

p ε, (∀k k0)

Chøng tá (x(k0)n − xn)∞n=1 ∈ l p. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Minkovski cho çc d·y

(x(k0)n )∞n=1 ∈ l p, (x

(k0)n − xn)∞n=1 ∈ l p ta ®− îc: ∞

n=1

|xn| p 1

p

∞n=1

|x(k0)n | p

1

p

+ ∞

n=1

|x(k0)n − xn| p

1

p

< +∞

suy ra x ∈ l p. Còng tõ (1.12), cè ®Þnh k k0 vµ cho l → ∞ ta ®− îc

x

(k)

− x p

ε, ∀k

k0

®iÒu nµy chøng tá x(k) − x p → 0 khi k → ∞, nghÜa lµ x(k) → x trong l p.

VÝ dô 5. Kh«ng gian l∞ vµ kh«ng gian c0

§Æt

l∞ = {(xn) ∈ KN∗ : supn

|xn| < +∞} vµ c0 = {(xn) ∈ l∞ : limn→∞

xn = 0}.

Khi ®ã, l∞ = B (N∗) kh«ng gian çc hµm bÞ chÆn trªn N∗ nªn l∞ lµ kh«ng gian

Banach víi chuÈn c¶m sinh bëi chuÈn trªn l∞.

Cã thÓ chøng minh r»ng c0 lµ kh«ng gian con ®ãng cña l∞ nªn c0 còng lµ

kh«ng gian Banach.

21



2 Kh«ng gian çc hµm kh¶ tÝch bËc p 1

Cho X lµ tËp ®o ®− îc Lebesgue trong Rk vµ μ lµ ®é ®o Lebesgue trªn σ - ®¹i

sè L çc tËp ®o ®− îc Lebesgue trªn Rk. Víi mçi p 1, ký hiÖu L p(X ) lµ tËp tÊt

c¶ çc hµm kh¶ tÝch (Lebesgue) bËc p trªn X (hai hµm t− ¬ng ®− ¬ng xem lµ mét)

L p(X ) = {f : x → R ®o ®− îc :

X

|f | pdμ < +∞}

Chóng ta sÏ chøng tá L p(X ) lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn x¸c ®Þnh bëi

c«ng thøc:

f

p :=

X |f

| pdμ

1p

ViÖc chøng minh L p(X ) lµ kh«ng gian vector vµ hµm L p(X ) f :→ f p ∈ Rlµ mét chuÈn hoµn toµn t− ¬ng tù nh− ®èi víi kh«ng gian l p çc d·y kh¶ tæng bËc

p, thay cho phÐp lÊy tæng lµ phÐp lÊy tÝch ph©n. Tr− íc hÕt chóng ta chøng minh

çc bÊt ®¼ng thøc Holder vµ bÊt ®¼ng thøc Minkowski trong L p(X ) bëi çc Bæ

®Ò sau ®©y.

2.1 BÊt ®¼ng thøc Holder

§Þnh lý 2.1. Gi¶ sö p, q > 1 sao cho 1 p

+ 1q

= 1. Khi ®ã víi mäi f ∈ L p(X ), g ∈Lq(X ), ta cã

X

|f.g|dμ

X

|f | pdμ 1

p

X

|g|qdμ 1

q

(2.1)

Hay víi nh÷ng ký hiÖu ®· nªu th×

fg

1

f

p

g

q

Chøng minh. NÕu f = 0 hoÆc g = 0 th× f = 0 h.k.n hoÆc g = 0 h.k.n. Suy

ra f.g = 0 h.k.n. vµ do ®ã fg1 = 0. VËy bÊt ®¼ng thøc Holder lµ ®óng trong

22



tr− êng hîp nµy. XÐt tr− êng hîp f p > 0, gq > 0. Víi mçi x ∈ X ¸p dông

bæ ®Ò 1.12 víi

α =|f (x)|

f pvµ β =

|g(x)|

gqta ®− îc

|f (x)g(x)|f pgq

1

p

|f (x)| pf p p +

1

q

|g(x)|qgq

q

LÊy tÝch ph©n hai vÕ theo ®é ®o μ ta cã

1

f pgq

X

|f (x)g(x)|dμ 1

pf p p

X

|f (x)| pdμ +1

qgqq

X

|g(x)|qdμ

Hay

f g

1

f pgq 1

p |f p

p|f p p +1

q |gq

q|gqq =1

p +1

q = 1

Suy ra

fg1 f pgqBÊt ®¼ng thøc ®− îc chøng minh.

2.2 BÊt ®¼ng thøc Minkowski

Bæ ®Ò 2.2. NÕu f, g ∈ L p(X ), p 1 th× f + g ∈ L p(X ) vµ λf ∈ L p(X ) víi mäiλ ∈ K . Ngoµi ra

f + g p f p + g p vµ λf p = |λ|f p (2.2)

Chøng minh. Do

|f (x) + g(x)| p (|f (x)| + |g(x)|) p 2 p max(|f (x)| p, |g(x)| p)

2 p(|f (x)| p + |g(x)| p), ∀x ∈ X

nªn X

|f + g| pdμ 2 p X

|f | pdμ + 2 p X

|g| pdμ < +∞

23



Suy ra f + g ∈ L p(X ). HiÓn nhiªn λf ∈ L p(X ) vµ

λf p = |λ|f p, ∀λ ∈ K

B©y giê ta sÏ chøng minh bÊt ®¼ng thøc:

f + g p f p + g p

Tr− íc hÕt do ( p − 1)q = p nªn X

(|f + g| p−1)qdμ =

X

|f + g| pdμ < +∞

Suy ra |f + g| p

−1

∈ Lq(X ).¸

p dông bÊt ®¼ng thøc Holder tíi f vµ |f + g| p

−1

víi l− u ý r»ng ( p − 1)q = p X

|f |.|f + g| p−1dμ

X

|f | pdμ 1

p

X

|f + g| pdμp−1

p

Hay X

|f (x)f + g| p−1dμ f pf + g p−1 p

T − ¬ng tù X

|g(x)f + g| p−1dμ g pf + g p−1 p

Çc bÊt ®¼ng thøc trªn cho ta

f + g p p =

X

|f (x) + g(x)| pdμ

X

|f (x)f + g| p−1dμ +

X

|g(x)f + g| p−1dμ

f pf + g p−

1 p + g pf + g

p−

1 p

suy ra f + g p f p + g p.

24



§Þnh lý 2.3. L p(X ) lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn

f p =

X

|f (x)| pdμ

1

p

(2.3)

Chøng minh. Bæ ®Ò 2.2 chøng tá L p(X ) lµ kh«ng gian vector vµ hµm f → f plµ mét chuÈn trªn L p(X ), ë ®©y cÇn chó ý phÇn tö 0 ∈ L p(X ) chÝnh lµ hµm bÊt

kú b»ng kh«ng h.k.n. trªn X . B©y giê ta chøng minh L p(X ) lµ ®Çy, muèn vËy

chØ cÇn chøng minh mäi chuçi trong L p(X ) héi tô tuyÖt ®èi lµ héi tô. ThËt vËy,

cho chuçi∞n=1

f n trong L p(X ) víi∞n=1

f n p < +∞. Ta cã thÓ xem f n nhËn gi¸

trÞ h÷u h¹n kh¾p n¬i. Víi mçi n 1, ®Æt

gn(x) =

nk=1

|f k(x)|, x ∈ X

Khi ®ã gn ∈ L p(X ) vµ

gn p n

k=1

f k p C :=

∞n=1

f k p < +∞

Suy ra X

g pn(x)dμ C p víi mäi n 1

Bëi v× víi mäi x ∈ X , d·y sè gn(x) ®¬n ®iÖu t¨ng nªn tån t¹i

g(x) = limn→∞

gn(x) =∞k=1

|f k(x)| víi mäi x ∈ X

Do ®ã g vµ g p lµ ®o ®− îc. Theo bæ ®Ò Fatou ta cã X

g p(x)dμ =

X

limn→∞

g pn(x)dμ limn→∞

X

g pn(x)dμ C p

BÊt ®¼ng thøc nµy suy ra g p vµ vÞ vËy g lµ h÷u h¹n h.k.n. Nh− vËy tån t¹i tËp

N ⊂ X víi μ(N ) = 0 sao cho

g(x) =∞k=1

|f k(x)| < +∞ víi mäi x ∈ X \ N

25



Suy ra chuçi∞n=1

f n héi tô h.k.n. ®Õn hµm ®o ®− îc f . H¬n n÷a

X |

f (x)

| pdμ

X |g(x)

| pdμ C p

Nãi çch kh¸c f ∈ L p(X ). TiÕp theo chóng ta chøng minh∞n=1

f n héi tô tíi f

trong L p(X ). Cã thÓ xem f h÷u h¹n kh¾p n¬i. Víi mçi n 1 ®Æt

hn(x) = nk=1

f k(x) − f (x) p, x ∈ X

Khi ®ã {hn} lµ d·y çc hµm ®o ®− îc héi tô h.k.n. ®Õn 0 vµ

|hn(x)| ∞

k=1

|f k(x)| + f (x)| p 2 pg p(x), h.k.n

Do g p kh¶ tÝch, theo ®Þnh lý Lebesgue vµ qua giíi h¹n d− íi dÊu tÝch ph©n ta ®− îc

limn→∞

X

|hn(x)|dμ = 0

Do ®ã limn→∞ n

k=1

f k − f p = limn→∞

X|

n

k=1

f k(x) − f (x)| pdμ = 0.

3 Chuçi trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn

3.1 Chuçi vµ sù héi tô cña chuçi

§Þnh nghÜa 3.1. Gi¶ sö E lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ {xn}n∈N∗ lµ mét d·y

çc phÇn tö cña E . Ta gäi tæng h×nh thøc sau:

x1 + x2 + . . . + xn + . . . = ∞n=1

xn (3.1)

lµ mét chuçi trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E .

26



PhÇn tö xn ®− îc gäi lµ phÇn tö tæng qu¸t cña chuçi (3.1).

Víi mçi n ∈ N∗, phÇn tö sn = x1 + x2 + . . . + xn ®− îc gäi lµ tæng riªng thø

n vµ d·y{

sn}n∈N∗ ®− îc gäi lµ d·y tæng riªng cña chuçi (3.1).

§Þnh nghÜa 3.2. NÕu d·y çc tæng riªng {sn} héi tô tíi phÇn tö s ∈ E th× chuçi

(3.1) ®− îc gäi lµ héi tô vÒ s vµ s ®− îc gäi lµ tæng cña chuçi. KÝ hiÖu lµ:

∞n=1

xn = s.

Tr− êng hîp ng− îc l¹i, ta nãi chuçi (3.1) lµ ph©n kú.

MÖnh ®Ò 3.3. NÕu chuçi (3.1) héi tô th× phÇn tö tæng qu¸t dÇn ®Õn 0, tøc lµ

limn→∞

xn = 0

Chøng minh. Gi¶ sö ∞n=1

xn = s, khi ®ã, gäi {sn} lµ d·y tæng riªng cña chuçi

th× theo ®Þnh nghÜa ta cã limn→∞

sn = s. Do xn = sn − sn−1 víi mäi n > 1 nªn

limn→∞

xn = limn→∞

[sn − sn−1] = limn→∞

sn − limn→∞

sn−1 = s − s = 0

§Þnh lý 3.4 (Tiªu chuÈn Cauchy). Chuçi∞n=1

xn trong kh«ng gian Banach E héi

tô khi vµ chØ khi

(∀ε > 0)(∃n0) | (∀n n0), (∀ p 1)xn+1 + . . . + xn+ p < ε

ThËt vËy, v× E lµ kh«ng gian Banach nªn chuçi héi tô nÕu vµ chØ nÕu d·y çc

tæng riªng sn cña nã lµ d·y Cauchy, tøc lµ

∀ε > 0, ∃n0, ∀n > n0, ∀ p 1 : sn+ p − sn = xn+1 + . . . + xn+ p < ε.

27



MÖnh ®Ò 3.5. NÕu∞n=1

xn vµ∞n=1

yn lµ hai chuçi héi tô trong kh«ng gian ®Þnh

chuÈn E th× chuçi∞

n=1

(αxn + βyn) héi tô víi mäi α, β ∈ K vµ

∞n=1

(αxn + βyn) = α

∞n=1

xn + β

∞n=1

xn

Chøng minh. Gäi an, bn, sn theo thø tù lµ tæng riªng thø n cña chuçi∞n=1

xn,

∞n=1

yn vµ∞n=1

(αxn + βyn). Khi ®ã ta cã:

sn = αan + βbn víi mäi n ∈ N∗.

Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i çc giíi h¹n:

limn→∞

an = a ∈ E, limn→∞

bn = b ∈ E

nªn tån t¹i giíi h¹n limn→∞

sn vµ ta cã:

limn→∞

sn = α limn→∞

an + β limn→∞

bn = αa + βb ∈ E.

Theo ®Þnh nghÜa chuçi∞

n=1

(αxn + βyn) héi tô vµ:

∞n=1

(αxn + βyn) = αa + βb = α∞n=1

xn + β ∞n=1

yn.

MÖnh ®Ò 3.6. Gi¶ sö ∞n=1

xn héi tô trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E , cã tæng lµ s

vµ 1 k1 < k2 < .. . < kn < . . . lµ mét d·y t¨ng çc sè tù nhiªn. Khi ®ã chuçi∞

n=1yn víi, víi sè h¹ng tæng qu¸t:

y1 = x1 + . . . +xk1, y2 = xk1+1 + . . .+xk2, . . . , yn = xkn−1+1 + . . . +xkn, (n ∈ N∗),

còng héi tô vµ cã tæng lµ s.

28



Víi tÝnh chÊt trªn ta nãi cã thÓ nhãm mét çch tuú ý çc sè h¹ng cña chuçi

héi tô.

Chøng minh. ThËt vËy, râ rµng kn n víi mäi n ∈ N∗ nªn kn → ∞ khi n → ∞.Gäi sn, tn theo thø tù lµ tæng riªng thø n cña chuçi

∞n=1

xn vµ chuçi∞n=1

yn. Khi

®ã víi mäi n 1 ta cã:

tn = y1 + . . . + yn = (x1 + . . . + xk1) + . . . + (xkn−1+1 + . . . + xkn) = skn

Suy ra:∞

n=1

yn = limn→∞

tn = limn→∞

skn = limn→∞

sn =∞

n=1

xn

3.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi

§Þnh nghÜa 3.7. Chuçi∞n=1

xn trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E gäi lµ héi tô tuyÖt

®èi nÕu chuçi sè ∞n=1

xn héi tô.

Bëi v× chuçi ∞n=1

xn lµ chuçi sè d− ¬ng nªn chuçi ∞n=1

xn héi tô tuyÖt ®èi nÕu

vµ chØ nÕu d·y çc tæng riªng cña chuçi sè ∞n=1

xn bÞ chÆn, nghÜa lµ

supn1

nk=1

xk < +∞

§Þnh lý 3.8. Trong kh«ng gian Banach mäi chuçi∞n=1

xn héi tô tuyÖt ®èi ®Òu héi

tô. H¬n n÷a, tÝnh chÊt héi tô còng nh− tæng cña chuçi kh«ng phô thuéc vµo thø

tù çc phÇn tö.

29



Chøng minh. §Çu tiªn ta chøng minh r»ng chuçi∞n=1

xn héi tô. ThËt vËy, do E

lµ kh«ng gian Banach nªn chØ cÇn chØ ra r»ng d·y çc tæng riªng cña chuçi lµ d·y

Cauchy. Cho ε > 0, do∞n=1

xn

héi tô nªn tån t¹i n0 sao cho

xn+1 + . . . + xn+ p < ε víi mäi n > n0, ∀ p 1

Suy ra

xn+1 + . . . + xn+ p < xn+1 + . . . + xn+ p < ε víi mäi n n0, ∀ p 1

VËy chuçi∞n=1

xn héi tô.

§Ó chøng minh kh¼ng ®Þnh thø hai chóng ta xÐt mét ho¸n vÞ tuú ý σ cña tËp

çc sè tù nhiªn N, nghÜa lµ mét song ¸nh σ : N→ N. §Æt

sn = x1 + . . . + xn, tn = xσ(1) + . . . + xσ(n).

Ta sÏ chøng minh limn→∞

sn = limn→∞

tn. Cho ε > 0 chän n0 sao cho

n>n0

xn < ε2 .

Víi mäi n > n0 sao cho A = σ−1({1, . . . , n0}) ⊂ {1, . . . , n} ta cã

sn− tn = n0

k=1

xk +

n0+1kn

xk −k∈A

xσ(k) − k∈A,kn

xσ(k) 2

k>n0

xk < ε.

Suy ra∞k=1

xk = limn→∞

sn = limn→∞

tn =∞k=1

xσ(k).

§Þnh lý sau ®©y cã thÓ coi lµ ®Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý 3.8.

§Þnh lý 3.9. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ ®Çy nÕu mäi chuçi trong nã héi tô tuyÖt

®èi lµ héi tô.

Chøng minh. Cho{

xn

}lµ d·y Cauchy bÊt kú trong E . Nh− vËy víi mçi k 1

tån t¹i nk k sao cho

x p − xq <1

2kvíi mäi p, q nk

30



B»ng çch ®Æt

n1 = n1, n2 = max(n1, n2) + 1, . . . , nk = max(n1, . . . , nk) + 1, . . .

cã thÓ xem n1 < n2 < .. . < nk < . . .. §Æt yk = xnk+1 − xnk , khi ®ã∞k=1

yk =∞k=1

xnk+1 − xnk ∞n=1

1

2k< +∞

nghÜa lµ chuçi∞n=1

yk héi tô tuyÖt ®èi. Theo gi¶ thiÕt chuçi nµy héi tô, vËy

y1 + y2 + . . . + ym = (xn2 − xn1) + (xn3 − xn2) + . . . + (xnm+1− xn1)

= xnm+1− xn1 → t =

∞

n=1

yk.

Suy ra xnm → t + xn1 vµ do ®ã

xm − (t + xn1) xm − xnm + xnm − t − xn1 → 0 khi m → ∞.

VËy d·y {xn}∞n=1 héi tô ®Õn phÇn tö t + xn1 ∈ E khi n → ∞, chøng tá mäi d·y

Cauchy trong E ®Òu héi tô nªn E lµ kh«ng gian Banach.

4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc

4.1 §Þnh nghÜa vµ çc tÝnh chÊt

Cho E, F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn tr− êng K. Khi ®ã, E, F võa lµ

kh«ng gian vector võa lµ kh«ng gian metric víi metric sinh bëi chuÈn trªn E, F .

V× thÕ, trong bµi nµy chóng ta sÏ kh¶o s¸t vÒ çc ®Æc tr− ng cña mét líp çc ¸nh

x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn.

¸nh x¹ f : E

→F ®− îc gäi lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc nÕu:

a) f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh gi÷a çc kh«ng gian vector, nghÜa lµ:

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) víi mäi x, y ∈ E vµ víi mäi α, β ∈ K,

31



b) f lµ ¸nh x¹ liªn tôc trªn E theo nghÜa ¸nh x¹ liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian

metric, nghÜa lµ, víi x0 ∈ E tuú ý vµ víi bÊt kú ε > 0 cho tr− íc, tån t¹i sè

δ = δ(x0, ε) > 0 sao cho:

(∀x ∈ E ) (x − x0 < δ ⇒ f (x) − f (x0) < ε).

§Þnh lý 4.1. Gi¶ sö f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh gi÷a çc kh«ng gian ®Þnh

chuÈn E vµ F . Khi ®ã çc tÝnh chÊt sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng:

a) f liªn tôc ®Òu trªn E ;

b) f liªn tôc trªn E ;

c) f liªn tôc t¹i 0 ∈ E ;

d) f bÞ chÆn trªn h×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ, tøc lµ

sup{f (x) : x 1} < +∞;

e) Tån t¹i h»ng sè C 0 ®Ó f (x) C x víi mäi x ∈ E .

Chøng minh. a) ⇒ b) vµ b) ⇒ c) lµ hiÓn nhiªn.

c) ⇒ d). Do f liªn tôc t¹i 0 ∈ E vµ f (0) = 0 nªn tån t¹i sè δ = δ(ε) > 0 sao

cho

(∀x ∈ E )(x = x − 0 < δ ⇒ f (x) = f (x) − f (0) 1)

Suy ra, víi mäi x ∈ E mµ x 1 th× δ2 x δ

2 < δ nªn

f (x) =2

δf δ

2x 2

δ

suy ra: sup{f (x) : x 1} 2δ

< +∞, nghÜa lµ f bÞ chÆn trªn h×nh cÇu

®ãng ®¬n vÞ.

d) ⇒ e) Theo gi¶ thiÕt ta cã 0 C = sup{f (x) : x 1} < +∞. Cho

x ∈ E, x = 0, khi ®ã, do xx = 1 nªn

f (x)x =

f x

x C.

32





Chøng minh. Ký hiÖu çc sè trong ®¼ng thøc (4.1) lÇn l− ît lµ α,β,δ,η:

α = supx1

f (x),

β = supx=1 f (x),

δ = supx=0

f (x)x = sup

x=0

f x

x,

η = inf {C > 0 : f (x) C.x víi mäi x ∈ E }.

Do x ∈ E, x = 0 :

x

x

⊂ {x ∈ E : x = 1} ⊂ {x ∈ E : x 1}

nªn ta cã α β δ. L¹i do

η = inf {C > 0 : f (x) C.x víi mäi x ∈ E }= inf {C > 0 :

f (x)x C, 0 = x ∈ E }

nªn

η = inf {C > 0 :f (x)x C, 0 = x ∈ E } sup

x=0

f x

x = δ

VËy α β δ η.

MÆt kh¸c, do f (x) η.x víi mäi x ∈ E nªnf (x)x η víi mäi

x ∈ E, x = 0, do ®ã:

α = supx1

f (x) sup0=x1

f (x)x sup

x=0

f (x)x = δ η

Tõ çc lËp luËn trªn ta suy ra α = β = δ = η.

4.2 Kh«ng gian

L(E ; F )

Ký hiÖu L(E ; F ) tËp hîp tÊt c¶ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian

®Þnh chuÈn E ®Õn kh«ng gian ®Þnh chuÈn F . DÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng L(E ; F )

34



lµ kh«ng gian vector víi hai phÐp to¸n céng vµ phÐp nh©n víi v« h− íng x¸c ®Þnh

theo tõng ®iÓm sau ®©y:

(f + g)(x) := f (x) + g(x)

(αf )(x) := αf (x) , f, g ∈ L(E ; F ), α ∈ K, x ∈ E.

B©y giê, nhê ®Þnh lý 4.1, víi mçi f ∈ L(E ; F ) cã thÓ ®Æt t− ¬ng øng víi sè

thùc f x¸c ®Þnh bëi:

f := sup{f (x) : x ∈ E, x 1} (4.2)

§Þnh lý (4.3) d− íi ®©y chØ ra r»ng c«ng thøc (4.2) thùc sù x¸c ®Þnh mét chuÈn

trªn L(E ; F ) vµ do ®ã L(E ; F ) còng lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn.

§Þnh lý 4.3. L(E ; F ) lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn f x¸c ®Þnh bëi c«ng

thøc (4.2). Ngoµi ra, nÕu F lµ kh«ng gian Banach th× L(E ; F ) còng lµ kh«ng

gian Banach.

Chøng minh. §Çu tiªn ta kiÓm l¹i hµm f → f tõ L(E ; F ) ®Õn R tho¶ m·n

çc ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa cña chuÈn:

+) HiÓn nhiªn f 0 víi mäi f ∈ L(E ; F ). NÕu f = 0 th× do víi mäi

x ∈ E ta cã

f (x)

f .x = 0suy ra

f = 0 ∈ L(E ; F ). Nh− vËy ®iÒu kiÖn

1) trong ®Þnh nghÜa chuÈn tho¶ m·n.

+) §iÒu kiÖn 2) tho¶ m·n mét çch hiÓn nhiªn.

λf = sup{λf (x) : x 1} = |λ| sup{f (x) : x 1}= |λ|.f víi mäi λ ∈ K, ∀f ∈ L(E ; F )

+) Cuèi cïng ta kiÓm tra ®iÒu kiÖn 3): ∀f, g ∈ L(E ; F ) ta cã:

f + g = sup{f (x) + g(x) : x 1}

sup{f (x) + g(x) : x 1} sup{f (x) : x 1} + sup{g(x) : x 1}= f + g

35



Nh− vËy L(E ; F ) lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn f → f .

B©y giê gi¶ sö F lµ kh«ng gian Banach vµ {f n} lµ d·y Cauhy trong L(E ; F ),

nghÜa lµ:

(∀ε > 0)(∃n0) : (∀m, n ∈ N∗)(m, n n0) ⇒ f n − f m ε)

Suy ra: (∀ε > 0)(∃n0) : (∀m, n ∈ N∗)

m, n n0 ⇒ f n(x) − f m(x) εx víi mäi x ∈ E (1)

Tõ bÊt ®¼ng thøc (1) ë trªn ta suy ra víi mçi x ∈ E d·y {f n(x)} lµ Cauchy trong

F . Do F lµ kh«ng gian Banach nªn tån t¹i giíi h¹n

f (x) = limn→∞ f n(x), x ∈ E

V× f n lµ tuyÕn tÝnh víi mäi n 1 nªn f : E → F lµ tuyÕn tÝnh. Cßn kiÓm

l¹i r»ng f ∈ L(E ; F ) vµ f n → f trong L(E ; F ). B»ng çch cè ®Þnh x ∈ E vµ

n n0 cho m → ∞ trong (1) ta nhËn ®− îc

f n(x) − f (x) εx vµ víi mäi x ∈ E (4.3)

Nh− vËy

f (x)

f (x) − f n0(x) + f n0(x)

(ε + f n0).x víi mäi x ∈ E

Suy ra f ∈ L(E ; F ). L¹i theo (4.3) ta cã f n − f ε, chøng tá f n → f trong

L(E ; F ). §Þnh lý ®− îc chøng minh.

Kh«ng gian liªn hîp t«p«: Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn tr− êng K.

Chóng ta kÝ hiÖu E = L(E,K) vµ gäi E lµ kh«ng gian liªn hîp t«p« cña E .

Mçi phÇn tö cña E gäi lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn E .

Chó ý. - Tõ bæ ®Ò 4.2, trong kh«ng gian

L(E ; F ) ta cã:

f = supx1

f (x) = supx=1

f (x) = supx=0

f (x)x

= inf {C > 0 : f (x) C.x víi mäi x ∈ E }

36



- §èi víi çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc f ∈ L(E ; F ) ta lu«n cã:

f (x) f .x víi mäi x ∈ E.

- NÕu f : E → F lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh th× ¸nh x¹ ng− îc f −1 : F → E còng

lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

§Þnh nghÜa 4.4. Cho f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Khi ®ã:

a) f ®− îc gäi lµ mét ®¼ng cÊu nÕu f lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc hai chiÒu,

nghÜa lµ f : E → F cïng víi f −1 : F → E lµ liªn tôc. KÝ hiÖu f : E F .

Hai kh«ng gian ®Þnh chuÈn E vµ F ®− îc gäi lµ ®¼ng cÊu nÕu tån t¹i phÐp

®¼ng cÊu gi÷a E vµ F . KÝ hiÖu E

F .

b) f ®− îc gäi lµ phÐp ®¼ng cù nÕu f lµ ®¼ng cÊu b¶o toµn chuÈn, nghÜa lµ f

lµ ®¼ng cÊu tho¶ m·n:

f (x) = x víi mäi x ∈ E.

KÝ hiÖu f : E ∼= F .

Hai kh«ng gian ®Þnh chuÈn E vµ F ®− îc gäi lµ ®¼ng cù nÕu tån t¹i phÐp ®¼ng

cù gi÷a E vµ F . KÝ hiÖu E ∼= F .

NhËn xÐt 1. Mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn f : E → F ®Òu liªn tôc vµ lµ

®¬n cÊu. Tõ ®ã suy ra, nÕu f : E → F lµ toµn ¸nh tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn th×

f lµ phÐp ®¼ng cù.

NhËn xÐt 2. NÕu f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn th× f = 1.

ThËt vËy, theo ®Þnh nghÜa ta cã:

f = supx1

f (x) = supx1

x = 1.

NhËn xÐt 3. NÕu f : E → F lµ ®¼ng cÊu th× ¶nh qua f cña mäi tËp hoµn toµn

bÞ chÆn trong E lµ tËp hoµn toµn bÞ chÆn trong F ; nghÞch ¶nh qua f cña mäi tËp

hoµn toµn bÞ chÆn trong F lµ tËp bÞ chÆn trong E .

37



MÖnh ®Ò 4.5. Gi¶ sö f : E → F lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh. Khi ®ã f lµ ®¼ng cÊu

nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i çc sè d − ¬ng C 1, C 2 sao cho

C 1x f (x) C 2x víi mäi x ∈ E

Chøng minh. Gi¶ sö f : E → F lµ ®¼ng cÊu. Khi ®ã

f (x) f .x víi mäi x ∈ E vµ f −1(y) f −1.y víi mäi y ∈ F.

Thay y bëi f (x) vµo bÊt ®¼ng thøc thø hai ë trªn ta ®− îc

x f −1.f (x) víi mäi x ∈ E.

Do ®ã nÕu C 1 = 1f −1 vµ C 2 = f th× víi mäi x ∈ E ta cã:

C 1x f (x) C 2x

Ng− îc l¹i, nÕu cã C 1, C 2 > 0 ®Ó

C 1x f (x) C 2x víi mäi x ∈ E

th× f : E → F lµ liªn tôc. MÆt kh¸c nÕu thay x bëi f −1(y), y ∈ F , bÊt ®¼ng

thøc trªn cho ta

f −1(y) 1

C 1y víi mäi y ∈ F

suy ra f −1 : F → E liªn tôc. VËy f lµ mét ®¼ng cÊu.

MÖnh ®Ò 4.6. Víi mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn F tån t¹i mét phÐp ®¼ng cù chÝnh

t¾c ϕ : L(K, F ) → F .

Chøng minh. Chóng ta sÏ chøng minh ¸nh x¹ ϕ x¸c ®Þnh nh− d− íi ®©y lµ phÐp

®¼ng cù:ϕ : L(K, F ) → F

f → f (1)

38



DÔ thÊy ϕ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn v× víi mäi f ∈ L(K, F )

ta cã:

ϕ(f )

=

f (1)

= sup

|λ|1 |λ

|.

f (1)

= sup

|λ|1 f (λ)

=

f

.

MÆt kh¸c víi y ∈ F tuú ý, xÐt ¸nh x¹ f y : K → F x¸c ®Þnh bëi:

f y(λ) = λy,λ ∈ K.

Cã thÓ kiÓm tra trùc tiÕp thÊy f y ∈ L(K, F ) vµ ϕ(f y) = f y(1) = 1.y = y, nghÜa lµ

ϕ lµ toµn ¸nh. Nh− vËy ϕ : L(K, F ) → F lµ toµn ¸nh tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn

nªn ϕ lµ phÐp ®¼ng cù.

§Þnh lý 4.7. NÕu f ∈ L(E ; F ),g ∈ L(F, G) th× g ◦ f ∈ L(E, G) vµ

g ◦ f g.f

Chøng minh. HiÓn nhiªn g ◦ f lµ tuyÕn tÝnh. MÆt kh¸c do

(∀x ∈ E ) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) g.f (x) g.f x.

Suy ra g ◦ f liªn tôc vµ g ◦ f gf .

4.3 Mét sè vÝ dô vÒ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc

VÝ dô 1. Gi¶ sö Kn lµ kh«ng gian Euclide n chiÒu. Khi ®ã:

a) Víi mçi a ∈ Kn cè ®Þnh, ¸nh x¹ f a : Kn → K x¸c ®Þnh bëi:

f a(x) =n

i=1

ai.xi, x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn

lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn Kn

tho¶ m·n f a = a.

b) ¸nh x¹ f : Kn → (Kn) ®Æt t− ¬ng øng mçi a ∈ Kn víi f a ∈ (Kn) x¸c

®Þnh nh− trong a) lµ phÐp ®¼ng cù.

39



Chóng ta lÇn l− ît chøng minh çc kh¼ng ®Þnh trªn:

a) DÔ thÊy f a lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Nhê bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Bunhiakowski,

víi mäi x = (x1, . . . , xn)∈Kn ta cã:

|f a(x)| n

i=1

|ai|.|xi| (n

i=1

|ai|2)1

2 .(n

i=1

|xi|2)1

2 = a.x

Suy ra f a ∈ (Kn) vµ f a a.

Ta thÊy, nÕu a = 0 th× f a = 0 vµ do ®ã f a = a = 0. Gi¶ sö a = 0, chän

x0 =1

a(a1, a2, . . . , an)

khi ®ã ta cã x0 = 1 nªn

f a = supx1

f (x) f (x0) =a2

a = a

Suy ra f a = a.

b) DÔ thÊy ¸nh x¹ f : Kn → (Kn) x¸c ®Þnh bëi f (a) := f a lµ ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh. Theo chøng minh phÇn a) ë trªn ta cã

f (a) = f a = a víi mäi a ∈ Kn

.

Nh− vËy, f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn nªn f liªn tôc vµ lµ ®¬n cÊu. H¬n

n÷a, chóng ta sÏ chØ ra f lµ toµn cÊu. ThËt vËy, cho g ∈ (Kn), ®Æt

a = (g(e1), . . . , g(en)) ∈ Kn

ë ®©y {ei}ni=1 lµ c¬ së chÝnh t¾c trong Kn, th× dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng f (a) = g.

Tãm l¹i, f : Kn

→(Kn) lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn nªn f lµ phÐp

®¼ng cù.

VÝ dô 2. Cho ξ = (ξn) ∈ l∞. Khi ®ã:

40



a) ¸nh x¹ f ξ : l1 → K x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

f ξ(x) =

∞

n=1

ξnxn, x = (xn)∞n=1 ∈ l1

x¸c ®Þnh mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn l1 tho¶ m·n f ξ = ξ∞.

b) ¸nh x¹ f : l∞ → (l1) ®Æt t− ¬ng øng mçi ξ = (ξn) ∈ l∞ víi f ξ x¸c ®Þnh

nh− trong a) lµ mét phÐp ®¼ng cù.

Chøng minh. a) B»ng ®Þnh nghÜa, dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng f ξ lµ ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh. Víi mäi x = (x1, . . . , xn, . . .) ∈ l1 ta cã:

|f ξ(x)| ∞n=1 |ξn||xn|

∞n=1 |xn| supn1 |ξn| = ξ∞x1

suy ra f ξ liªn tôc vµ f ξ ξ∞.

Chän d·y {en}∞n=1 ⊂ l1 víi en = (0, 0, · · · , 1thø n

, 0, . . .). Khi ®ã, en = 1 vµ

f ξ(en) = ξn víi mäi n 1. Do ®ã:

f ξ = supx1

|f ξ(x)| supn1

|f ξ(en)| = supn1

|ξn| = ξ∞

VËy

f ξ

=

ξ

∞

b) DÔ thÊy ¸nh x¹ f : l∞ → (l1) x¸c ®Þnh bëi: f (ξ) = f ξ lµ ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh. H¬n n÷a, theo chøng minh trong phÇn a) ë trªn ta cã

f (ξ) = f ξ = ξ víi mäi ξ ∈ l∞,

chøng tá f b¶o toµn chuÈn. Nh− vËy f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn nªn

f liªn tôc vµ lµ ®¬n cÊu.

TiÕp theo ta chøng minh f lµ toµn cÊu: Cho g

∈(l1), ®Æt ξn = g(en), n 1

vµ chän ξ = (ξn) th× do

supn1

|ξn| = supn1

|g(en)| supx1

|g(x)| < +∞

41



nªn ξ = (ξn) ∈ l∞. Ta sÏ chØ ra f (ξ) = g. ThËt vËy, víi mäi m ∈ N∗ ta cã:

x −m

n=1

xnen1 = (x1, . . . , xm, xm+1, . . .) − (x1, . . . , xm, 0, . . .)1

= (0, . . . , 0, xm+1, . . .)1 =∞

n=m+1

|xn|

V× x = (xn) ∈ l1 nªn chuçi sè ∞n=1

|xn| héi tô, do ®ã∞

n=m+1

|xn| → 0 khi m → ∞.

Suy ra x −m

n=1xnen1 → 0 khi m → ∞, chøng tá chuçi

∞n=1

xnen héi tô trong l1

tíi x:∞n=1

xnen = x.

Do g lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ liªn tôc nªn víi mäi x = (xn) ∈ l1 ta cã:

g(x) = g ∞

n=1

xnen

= g

lim

m→∞

mn=1

xnen

= lim

m→∞ g m

n=1

xnen

= limm→∞

mn=1

g(xnen) =∞n=1

xng(en) =∞n=1

ξnxn = f ξ(x) = f (ξ)(x).

Suy ra f (ξ) = g, chøng tá f lµ toµn ¸nh. Nh− vËy f lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh b¶o

toµn chuÈn nªn f lµ phÐp ®¼ng cù gi÷a l∞ vµ (l1).

VÝ dô 3. NÕu ξ = (ξn) ∈ l1 th× ¸nh x¹ f ξ : c0 → K x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc

f ξ(x) =

∞n=1

ξnxn, x = (xn) ∈ c0,

x¸c ®Þnh mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn c0 tho¶ m·n f ξ = ξ1. H¬n n÷a, ¸nh

x¹ f : l1 → (c0) ®Æt t− ¬ng øng mçi ξ ∈ l1 víi f ξ ∈ (c0) lµ ®¬n cÊu tuyÕn tÝnh

b¶o toµn chuÈn.

Chøng minh. B»ng ®Þnh nghÜa dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng f ξ lµ ¸nh x¹ tuyÕntÝnh.

42



Víi mäi x = (xn) ∈ c0 ta cã:

|f ξ(x)| ∞

n=1

|ξn||xn| (supn1

|xn|)∞

n=1

|ξn| = ξ1x∞.

Suy ra f ξ liªn tôc vµ f ξ ξ1 (∗).

§Ó chøng minh f ξ = ξ1, nhê bÊt ®¼ng thøc (∗) ta chØ cÇn chøng minh

f ξ ξ1. ThËt vËy, víi mçi n 1 cã thÓ chän ®− îc sè εn ∈ K víi |εn| = 1

sao cho εnξn = |ξn|. §Æt

xk0 = (ε1, . . . , εk, 0, 0, . . .), k = 1, 2, . . .

Khi ®ã xk0

∈c0 vµ

xk

0

= 1 víi mäi k

∈N∗. Suy ra, víi mäi k

∈N∗ ta cã:

f ξ |f ξ(xk0)| =

kn=1

εnξn =k

n=1

|ξn|

ChuyÓn qua giíi h¹n khi k → ∞ ta ®− îc:

f ξ ∞n=1

|ξn| = ξ1 khi k → ∞.

Chøng tá f ξ ξ1. KÕt hîp víi kh¼ng ®Þnh f ξ ξ1 ë trªn ta cã

f ξ

=

ξ

1.

Cã thÓ kiÓm tra trùc tiÕp thÊy ¸nh x¹ f : l1 → (c0) ®Æt t− ¬ng øng mçi ξ ∈ l1

víi f ξ ∈ (c0) nh− trong a) lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. H¬n n÷a, theo chøng minh trªn

ta cã f (ξ) = f ξ = ξ1 víi mäi ξ ∈ l1 nªn f b¶o toµn chuÈn. Tõ tÝnh chÊt

b¶o toµn chuÈn suy ra f lµ ®¬n ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc.

VÝ dô 4. Cho p, q > 1, 1 p

+ 1q

= 1. Khi ®ã víi mäi ξ ∈ lq c«ng thøc

f ξ(x) =∞

n=1

ξnxn, x = (xn)

∈l p.

lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn l p tho¶ m·n f ξ = ξq. H¬n n÷a, ¸nh x¹

f : lq → (l p) ®Æt t− ¬ng øng mçi ξ = (ξn) ∈ lq víi f ξ ∈ (l p) lµ mét phÐp ®¼ng cù.

43



ThËt vËy, tr− íc hÕt, dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng f ξ lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh

trªn l p. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Holder, víi mäi x = (xn) ∈ l p ta cã:

|f ξ(x)| ∞n=1

|ξn||xn| ∞n=1

|ξn|q1

q

. ∞n=1

|xn| p1

p

= ξqx p.

Suy ra f ξ lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn l p vµ f ξ ξq.

XÐt ¸nh x¹ f : lq → (l p) ®Æt t− ¬ng øng mçi ξ ∈ lq víi f ξ ∈ (l p). DÔ thÊy f

lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Ta sÏ chØ ra f lµ ¸nh x¹ ®¼ng cù.

Tr− íc hÕt, f lµ toµn ¸nh: Cho g ∈ (l p). Chän d·y {en}∞n=1 ⊂ l p víi

en = (0, 0, · · · , 1thø n

, 0, . . .), n = 1, 2, . . . .

§Æt ξn = g(en), n 1, vµ ξ = (ξn)n1. Do víi mäi m ∈ N∗ ta cã:

x −m

n=1

xnen p = ∞

n=m+1

|xn| p 1

p

nªn

limm→∞

x −m

n=1

xnen p = limm→∞

∞n=m+1

|xn| p 1

p

= 0

chøng tá chuçi∞

n=1

xnen héi tô ®Õn x trong l p. L¹i do g lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh

liªn tôc nªn víi mäi x

∈l p ta cã:

g(x) = g ∞

n=1

xnen

=∞n=1

g(xnen) =∞n=1

xng(en)

=

∞n=1

ξnxn = f ξ(x) = f (ξ)(x)

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

⇒ g = f (ξ).

Nh− vËy, nÕu ξ = (ξn) = (g(en))n1 ∈ lq th× ¸nh x¹ f : lq → (l p) x¸c ®Þnh bëi

f (ξ) = f ξ lµ toµn ¸nh.

Ta sÏ ®ång thêi chøng minh ξ ∈ lq vµ f ξ ξq. ThËt vËy, víi mçi n 1

cã thÓ chän αn ∈ K víi |αn| = 1 ®Ó αnξn = |ξn|. §Æt

xm =m

n=1

|ξn|q−1αnen = (|ξ1|q−1α1, |ξ2|q−1α2, . . . , |ξm|q−1αm, 0, 0, . . .)

44



Râ rµng xm ∈ l p víi mäi m 1. Do (q − 1) p = q nªn Víi mäi m ∈ N∗ ta cã:

xm p =

m

n=1 |ξn|q−1.|αn|

p

1p

=

m

n=1

|ξn|(q−1) p

1p

=

m

n=1

|ξn|q1p

.

MÆt kh¸c, víi mäi m 1 ta cã

mn=1

|ξn|q =m

n=1

|ξn|q−1αnξn = |f ξ(xm)| f ξxm = f ξ m

n=1

|ξn|q 1

p

Suy ra, víi mäi m ∈ N∗ ta cã mn=1

|ξn|q 1

q

= m

n=1

|ξn|q1−1

p

f ξ

Cho m → ∞ ta ®−

îcξq =

∞n=1

|ξn|q 1

q

f ξ

Nh− vËy ξ ∈ lq vµ f ξ = ξq, ®ång thêi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : lq → (l p) ®ang

xÐt lµ toµn ¸nh b¶o toµn chuÈn nªn lµ ®¼ng cÊu.

5 Kh«ng gian con vµ kh«ng gian th− ¬ng

5.1 Kh«ng gian con

Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ F lµ kh«ng gian vector con cña E .

Khi ®ã, F còng lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn c¶m sinh bëi chuÈn trªn E .

Kh«ng gian F nh− vËy gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E .

NhËn xÐt 1. Chóng ta dÔ dµng chøng minh ®− îc çc kh¼ng ®Þnh sau:

a) NÕu E lµ kh«ng gian Banach vµ F lµ kh«ng gian con ®ãng cña E th× F

còng lµ kh«ng gian Banach.

b) NÕu F lµ kh«ng gian con Banach cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E th× F lµ

kh«ng gian con ®ãng cña E .

45



MÖnh ®Ò 5.1. NÕu F lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E th× bao

®ãng F cña F còng lµ kh«ng gian con cña E .

Chøng minh. ThËt vËy, râ rµng F = ∅. Cho x, y ∈ F , α, β ∈ K. Khi ®ã, tånt¹i çc d·y {xn} ⊂ F, {yn} ⊂ F ®Ó xn → x, yn → y. Suy ra d·y {αxn + βyn}lµ d·y phÇn tö cña F héi tô ®Õn αx + βy nªn αx + βy ∈ F .

5.2 Tæng trùc tiÕp t« p«

Tr− íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm tæng trùc tiÕp cña çc kh«ng gian vector con

trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh: Ta nãi kh«ng gian vector E lµ tæng trùc tiÕp cña çc

kh«ng gian con M vµ N vµ ®− îc kÝ hiÖu lµ E = M ⊕ N , nÕu mäi vector x ∈ E

®Òu viÕt ®− îc duy nhÊt d− íi d¹ng x = y + z, trong ®ã y ∈ M, z ∈ N .

NhËn xÐt 2. a) E = M ⊕ N ⇔ E = M + N = {y + z : y ∈ M, z ∈ N } vµ

M ∩ N = {0}. ThËt vËy, nÕu E = M ⊕ N th× hiÓn nhiªn E = M + N . NÕu

x ∈ M ∩ N th× M + N x + 0 = 0 + x ∈ M + N . Do tÝnh duy nhÊt cña sù biÓu

diÔn, suy ra x = 0. Ng− îc l¹i, gi¶ sö E = M + N vµ M ∩ N = {0}. Khi ®ã víi

mäi x ∈ E tån t¹i y ∈ M vµ z ∈ N ®Ó x = y + z. NÕu y ∈ M vµ z ∈ N dÓ

x = y + z th× y − y = z − z ∈ M ∩ N = {0}. Suy ra y = y vµ z = z. VËy

E = M ⊕ N .

b) NÕu E = M ⊕ N th× tån t¹i hai ¸nh x¹ p : E → M vµ q : E → N

sao cho mäi x ∈ E ®Òu viÕt ®− îc dy nhÊt d− íi d¹ng x = p(x) + q(x). H¬n

n÷a, nhê tÝnh duy nhÊt cña sù biÓu diÔn mçi vector cña E thµnh tæng cña çc

vector cña M vµ N , chóng ta suy ra p, q lµ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. ThËt vËy, nÕu

46



x1, x2 ∈ E, α1, α2 ∈ K th×

∈M

p(α1x1 + α2x2) +

∈N

q(α1x1 + α2x2) = α1x1 + α2x2

= α1[ p(x1) + q(x1)] + α2[ p(x2) + q(x2)]

= [α1 p(x1) + α2 p(x2)] ∈M

+ [α1q(x1) + α2q(x2)] ∈N

∈ M ⊕ N

Do tÝnh duy nhÊt cña sù biÓu diÔn ta suy ra: p(α1x1 + α2x2) = α1 p(x1) + α2 p(x2)

q(α1x1 + α2x2) = α1q(x1) + α2q(x2)

Nh− vËy, p, q lµ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

c) p(x) = x víi mäi x ∈ M , Im p = M, ker p = N .

q(x) = x víi mäi x ∈ N vµ Im q = N, ker q = M .

Hai ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh p : E → M vµ q : E → N gäi lµ çc phÐp chiÕu kh«ng

gian E lªn çc kh«ng gian con M vµ N .

§Þnh nghÜa 5.2. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn cßn M, N lµ çc kh«ng gian

con cña E . NÕu E = M ⊕ N vµ çc phÐp chiÕu p : E → M vµ q : E → N liªn

tôc th× ta nãi kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ tæng trùc tiÕp t«p« cña çc kh«ng giancon M vµ N cña E . KÝ hiÖu lµ E = M ⊕ N .

Chó ý. Trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn chóng ta ký hiÖu M ⊕ N ®Ó chØ tæng trùc

tiÕp t«p«, trong khi ®ã, ®èi víi kh«ng gian vector, ký hiÖu ®ã chØ ®Ó chØ tæng trùc

tiÕp cña cña çc kh«ng gian vector con nh− ®· biÕt trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh.

MÖnh ®Ò 5.3. NÕu E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ E = M ⊕ N th× M vµ N lµ

çc kh«ng gian con ®ãng cña E .

Chøng minh. Ta chøng minh M lµ kh«ng gian con ®ãng cña E vµ ®èi víi N

chøng minh t− ¬ng tù: Cho {xn} ⊂ M vµ xn → x ∈ E . Do p lµ liªn tôc nªn

47



p(x) = limn→∞ p(xn) = lim

n→∞ xn = x. V× x = p(x) nªn x ∈ Im p = M , chøng tá M

lµ ®ãng trong E .

5.3 Siªu ph¼ng

§Þnh nghÜa 5.4. Kh«ng gian con H cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E ®− îc gäi lµ

siªu ph¼ng thuÇn nhÊt trong E nÕu H lµ kh«ng gian con thùc sù lín nhÊt trong

E , nghÜa lµ H lµ kh«ng gian con cña E , H = E vµ nÕu F lµ kh«ng gian con bÊt

kú cña E tho¶ m·n H ⊂ F ⊂ E th× hoÆc H = F hoÆc F = E .

NÕu H lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt cña E vµ x ∈ E th× tËp con M = x + H ®− îc

gäi lµ siªu ph¼ng trong E .

MÖnh ®Ò 5.5. Gi¶ sö H lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E . Khi

®ã çc kh¼ng ®Þnh sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng

a) H lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt cña E ;

b) E = Ka + H víi mäi a ∈ E \ H ;

c) Tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f = 0 trªn E sao cho H = ker f .

Trong tr− êng hîp nµy ta gäi ph− ¬ng tr×nh f (x) = 0 hoÆc gäi chÝnh phiÕm hµm

tuyÕn tÝnh f lµ ph− ¬ng tr×nh cña siªu ph¼ng thuÇn nhÊt H .

Chøng minh. a)⇒ b) lµ hiÓn nhiªn v× Ka + H = H víi mäi a /∈ H .

b)⇒ c). Cho a ∈ E \ H . theo gi¶ thiÕt E = Ka + H . V× Ka ∩ H = {0}, nªn

E = Ka ⊕ H . Nh− vËy mäi x ∈ E viÕt duy nhÊt d− íi d¹ng x = f (x)a + y víi

y ∈ H vµ f ∈ E ∗. Râ rµng ker f = H .

c) ⇒ a) Do f = 0 nªn H = ker f = E . Gi¶ sö H ⊂ F ⊂ E víi F lµ kh«ng

gian con cña E . NÕu F = H th× tån t¹i a ∈ F \ H . Do ®ã f (a) = 0. V× mäi

48



x ∈ E cã thÓ viÕt nh−

x =f (x)a

f (a)+

x − f (x)a

f (a) ∈ Ka + H ⊂ F

nªn x ∈ F . VËy F = E .

HÖ qu¶ 5.6. NÕu f vµ g lµ hai ph− ¬ng tr×nh cña cïng mét siªu ph¼ng thuÇn nhÊt

H th× tån t¹i α ∈ K \ {0} ®Ó g = αf .

Chøng minh. LÊy a ∈ E \H tuú ý. Do H lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt nªn theo mÖnh

®Ò trªn mäi x ∈ E viÕt nh− x = λa + y, λ ∈ K, y ∈ H . Suy ra f (x)f (a)

= λ = g(x)g(a)

víi x ∈ E . VËy víi α = g(a)f (a) ta cã g(x) = αf (x) víi mäi x ∈ E , chøng tá

g = αf .

§Þnh lý 5.7. Gi¶ sö f lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian ®Þnh chuÈn E .

Khi ®ã f liªn tôc khi vµ chØ khi ker f lµ kh«ng gian con ®ãng cña E .

Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn lµ tÇm th− êng. Ng− îc l¹i, gi¶ sö ker f lµ ®ãng. V×

f = 0 nªn tån t¹i e ∈ E sao cho f (e) = 1. Do ker f lµ ®ãng vµ e /∈ ker f , tån

t¹i r > 0 ®Ó B(e, r) ∩ ker f = ∅, ë ®©y B(e, r) = {x ∈ E : x − e < r} =

e + B(0, r). Khi ®ã

f (B(0, r)) ⊂ {λ ∈ K : |λ| < 1}.

ThËt vËy, nÕu tr¸i l¹i, tån t¹i x0 ∈ B(0, r) ®Ó |f (x0| 1. Do ®ã − x0f (x0) ∈ B(0, r)

vµ vËy th× e − x0f (x0) ∈ B(e, r) ∩ ker f . Tr¸i gi¶ thiÕt B(e, r) ∩ ker f = ∅. Nh−

vËy sup{|f (x)| : x r} 1. §iÒu nµy m©u thuÉn víi |f (x0)| 1. Suy ra

sup{|f (x)| : x 1} 1

r< +∞

Chøng tá f liªn tôc trªn E .

49



5.4 Kh«ng gian th− ¬ng

Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ M lµ kh«ng gian con ®ãng cña E . Ký

hiÖu E/M lµ tËp th− ¬ng cña E theo quan hÖ t− ¬ng ®− ¬ng ∼ x¸c ®Þnh bëi:

x, y ∈ E : x ∼ y ⇔ x − y ∈ M.

Khi ®ã E/M = {x + M : x ∈ E } vµ quan hÖ b»ng nhau trªn E/M x¸c ®Þnh bëi:

x + M = y + M ⇔ x − y ∈ M.

DÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng E/M lµ kh«ng gian vector víi çc phÐp to¸n vector

x¸c ®Þnh theo çc phÐp to¸n gi÷a çc phÇn tö ®¹i diÖn cña çc phÇn tö cñaE/M

.

(x + M ) + (y + M ) := (x + y) + M, λ(x + M ) := λx + M.

Ta sÏ chøng tá c«ng thøc sau x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn E/M :

x + M = dist(x, M ) = inf {x − y : y ∈ M }. (5.1)

Chó ý r»ng do M lµ kh«ng gian con cña E nªn y ∈ M ⇔ −y ∈ M , v× thÕ ®¼ng

thøc sau ®óng:

dist(x, M ) = inf {x + y : y ∈ M }.

§Þnh lý 5.8. E/M lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc

(5.1). Ngoµi ra nÕu E lµ Banach th× E/M còng lµ Banach.

Chøng minh. Tr− íc tiªn ta chøng minh hµm E/M x + M → x + M ∈ R lµ

mét chuÈn trªn E/M b»ng çch kiÓm tra trùc tiÕp çc ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa

chuÈn:

1) HiÓn nhiªn x + M = dist(x, M ) 0 víi mäi x ∈ E vµ do M ®ãng nªn

nÕu x + M = dist(x, M ) = 0 suy ra x ∈ M vµ do ®ã x + M = 0 + M chÝnh

lµ vector kh«ng cña E/M .

50



2) Cho λ ∈ K \ {0} vµ x + M ∈ E/M . Ta cã

λ(x + M ) = λx + M = inf {λx − y : y ∈ M }=

|λ|

inf {

x−

y

λ: y

∈M

}= |λ| inf {x − z : z ∈ M } = |λ|.x + M

HiÓn nhiªn ®¼ng thøc nµy còng ®óng c¶ trong tr− êng hîp λ = 0.

3) Cho x1 + M, x2 + M ∈ E/M . Víi mäi ε > 0 cho tr− íc, theo ®Þnh nghÜa

infimum, tån t¹i y1, y2 ∈ M sao cho:

x1 − y1 x1 + M + ε,

x2 − y2 x2 + M + ε.

Suy ra

(x1 + x2) + M (x1 + x2) −∈M

(y1 + y2) x1 − y1 + x2 − y2 x1 + M + x2 + M + 2ε.

Cho ε → 0 ta ®− îc:

(x1 + M ) + (x2 + M ) = (x1 + x2) + M x1 + M + x2 + M .

Tõ çc chøng minh trªn suy ra E/M lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn.

TiÕp theo, gi¶ sö E lµ kh«ng gian Banach, ta chøng minh E/M còng lµ kh«ng

gian Banach. Nhê ®Þnh lý 3.9 ch− ¬ng 1, chóng ta chØ cÇn chøng minh mäi chuçi

trong E/M héi tô tuyÖt ®èi lµ héi tô. Cho∞n=1

(xn + M ) víi∞n=1

xn + M < +∞.

Víi mçi sè tù nhiªn n 1, theo ®Þnh nghÜa infimum cã thÓ chän yn ∈ M ®Ó

xn − yn xn + M +1

2n

Suy ra∞n=1

xn − yn ∞n=1

xn + M +∞n=1

12n

< +∞. §iÒu nµy chøng tá chuçi

∞n=1

(xn − yn) trong E héi tô tuyÖt ®èi. Do E lµ kh«ng gian Banach nªn chuçi

51



®ã héi tô trong E . §Æt x =∞n=1

(xn − yn) ∈ E , khi ®ã víi mäi m ∈ N∗, do

m

n=1

yn ∈ M vµ theo ®Þnh nghÜa chuÈn trªn E/M ta cã:

(x + M ) −m

n=1

(xn + M ) =x −

mn=1

xn

+ M

= dist

x −m

n=1

xn , M

x −m

n=1

xn

+

mn=1

yn

=x −

mn=1

(xn − yn)

Cho m → ∞ ta ®− îc limm→∞

(x + M ) −m

n=1(xn + M ) = 0, chøng tá chuçi

∞

n=1

(xn + M ) héi tô trong E/M ®Õn x + M . Nh− vËy mäi chuçi héi tô tuyÖt ®èi

trong E/M ®Òu héi tô nªn E/M lµ kh«ng gian Banach.

§Þnh nghÜa 5.9. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn E/M ®− îc gäi lµ kh«ng gian th− ¬ng cña

kh«ng gian ®Þnh chuÈn E theo kh«ng gian con ®ãng M .

Chó ý. Qua chøng minh ®Þnh lý 5.8 chóng ta thÊy ®iÒu kiÖn M lµ kh«ng gian con

®ãng lµ ®iÒu kiÖn ®¶m b¶o cho c«ng thøc (5.1) x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn E/M .

6 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu

6.1 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu

§Þnh lý 6.1. Mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn n chiÒu trªn K, (n 1), ®Òu ®¼ng cÊu

víi kh«ng gian Euclide n- chiÒu Kn.

Chøng minh. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn n chiÒu trªn K. Chóng ta sÏ

chøng minh E Kn theo ph− ¬ng ph¸p quy n¹p theo n:

+) Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn mét chiÒu sinh bëi vector a ∈ E, a = 0.

XÐt ¸nh x¹ ϕ : K → E x¸c ®Þnh bëi ϕ(λ) = λa, λ ∈ E . DÔ thÊy ϕ lµ phÐp ®¼ng

cÊu nªn E K. Nh− vËy ®Þnh lý ®óng trong tr− êng hîp n = 1.

52



+) Gi¶ sö dim E = n > 1 vµ ®Þnh lý ®óng víi n − 1. Do dim E = n nªn cã

thÓ chän mét c¬ së tuú ý e1, e2, . . . , en cña E . Khi ®ã, mçi x ∈ E ®Òu biÓu diÔn

®− îc mét çch duy nhÊt d− íi d¹ng:

x =n

i=1

f i(x)ei

trong ®ã f i : E → K, i = 1, n, lµ çc phiÕm hµm tuyÕn tÝnh kh¸c kh«ng. Do ®ã

H i = ker f i lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt trong E nªn H i lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn

n − 1 chiÒu. Theo gi¶ thiÕt qui n¹p H i Kn−1 nªn H i lµ kh«ng gian Banach, vµ

do ®ã lµ kh«ng gian con ®ãng cña E . Tõ ®ã, theo ®Þnh lý 5.7, f i liªn tôc víi

mäi 1 i n.

Gäi {ei, i = 1, n} lµ c¬ së chÝnh t¾c cña E vµ xÐt ¸nh x¹ ϕ : Kn → E x¸c

®Þnh bëi:

ϕ(ξ) =n

i=1

ξiei, ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Kn.

Râ rµng ϕ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. H¬n n÷a, víi mäi ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Kn ta cã:

ϕ(ξ) n

i=1

|ξi|ei n

i=1

ei2 1

2

. n

i=1

|ξi|2 12

= n

i=1

ei212 ξ

chøng tá ϕ liªn tôc.

Theo çch x¸c ®Þnh ¸nh x¹ ϕ, dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng ϕ lµ song ¸nh vµ

¸nh x¹ ng− îc ϕ−1 : E → Kn x¸c ®Þnh bëi ϕ−1(x) = (f 1(x), . . . , f n(x)), x ∈ E .

Do çc ¸nh x¹ f i liªn tôc nªn víi mäi x ∈ E ta cã:

ϕ−1(x) = (f 1(x), . . . , f n(x)) =

n j=1

f j(x)2

n j=1

f j2.x2 √n. max j=1,n f j.x.

Chøng tá ¸nh x¹ ϕ−1 liªn tôc. VËy ¸nh x¹ ϕ : Kn → E lµ ®¼ng cÊu.

53



HÖ qu¶ 6.2. Mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu lµ kh«ng gian Banach.

Chøng minh. Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn m chiÒu, m ∈ N. Khi ®ã, theo

®Þnh lý (6.1) tån t¹i phÐp ®¼ng cÊu ϕ : E → K m. Gi¶ sö {xn}n1 lµ d·y CauchybÊt kú trong E , khi ®ã víi mäi sè ε > 0 cho tr− íc, tån t¹i sè tù nhiªn n sao cho:

(∀k, l ∈ N∗)(k, l N ⇒ xk − xl < ε),

suy ra víi mäi k, l ∈ N∗:k, l N ⇒ ϕ(xk) − ϕ(xl) = ϕ(xk − xl) ϕ.xk − xl < ϕε

chøng tá d·y {ϕ(xn)}n1 lµ d·y Cauchy trong Km. Do Km lµ kh«ng gian Banach

nªn tån t¹i giíi h¹n limn→∞ ϕ(xn) = y0 ∈ Km

. L¹i do ϕ−1

liªn tôc nªn tån t¹i giíih¹n:

limn→∞

xn = limn→∞

ϕ−1

ϕ(xn)

= ϕ−1(y0) := x0 ∈ E.

Nh− vËy, mäi d·y Cauchy trong E ®Òu héi tô nªn E lµ kh«ng gian Banach.

§Ó ph¸t biÓu mét sè hÖ qu¶ kh¸c cña ®Þnh lý 6.1 ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm sau:

§Þnh nghÜa 6.3. Hai chuÈn .1 vµ .2 trªn cïng mét kh«ng gian vector E gäi

lµ t− ¬ng ®− ¬ng vµ ®− îc kÝ hiÖu lµ

.

1

∼ .

2 nÕu tån t¹i çc sè d− ¬ng m, M sao

cho

mx f (x) M x víi mäi x ∈ E

HÖ qu¶ 6.4. Hai chuÈn tïy ý trªn kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu lµ t − ¬ng

® − ¬ng.

Chøng minh. Cho E lµ kh«ng gian vector n chiÒu vµ .1, .2 lµ hai chuÈn bÊt

kú trªn E . XÐt hai kh«ng gian ®Þnh chuÈn (E, .1) vµ (E, .2). Chóng ta sÏ

chøng minh ¸nh x¹ ®ång nhÊt id : (E, .1) → (E, .2) lµ ®¼ng cÊu. Khi ®ã,id : (E, .1) → (E, .2) lµ liªn tôc nªn tån t¹i M > 0 ®Ó

x2 M x1 víi mäi x ∈ E

54



Còng vËy do id : (E, .2) → (E, .1) liªn tôc nªn tån t¹i m > 0 ®Ó

x1 mx2 víi mäi x ∈ E

Suy ra mx1 x2 víi mäi x ∈ E , ë ®©y m = 1m

.

ThËt vËy, gi¶ sö e1, . . . , en lµ mét c¬ së cña E , khi ®ã mäi vector x ∈ E biÓu

diÔn ®− îc duy nhÊt d− íi d¹ng x =n

i=1

f i(x)ei, trong ®ã çc ¸nh x¹ f i : E →K, i = 1, n, lµ çc d¹ng tuyÕn tÝnh trªn E . Theo chøng minh ®Þnh lý 6.1, hai ¸nh

x¹

(E, .1) −→ Kn

x → (f 1(x), . . . , f n(x))vµ Kn → (E, .2)

ξ = (ξ1, . . . , ξn) → ni=1 ξiei

lµ ®¼ng cÊu.

MÆt kh¸c v× ¸nh x¹ ®ång nhÊt id : (E, .1) → (E, .2) cã thÓ viÕt nh−

(E, .1) x → (f 1(x), . . . , f n(x)) →n

i=1

f i(x)ei = x ∈ (E, .2)

nªn nã lµ ®¼ng cÊu.

HÖ qu¶ 6.5. Mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu E

vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn F lµ liªn tôc.

Chøng minh. Cho f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Khi ®ã c«ng thøc

x1 = x + f (x), x ∈ E

x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn E . V× E h÷u h¹n chiÒu nªn theo hÖ qu¶ 6.4 chuÈn nµy

t− ¬ng ®− ¬ng víi chuÈn ®· cho trªn E nªn tån t¹i sè C > 0 ®Ó

x1 C x víi mäi x ∈ E

Suy ra f (x) (C − 1).x víi mäi x ∈ E , chøng tá f lµ liªn tôc.

55



§Þnh lý 6.6 (Riesz). Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã çc kh¼ng ®Þnh

sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng:

a) E h÷u h¹n chiÒu.

b) Mäi tËp bÞ chÆn trong E lµ hoµn toµn bÞ chÆn.

c) H×nh cÇu ®¬n vÞ B = {x ∈ E : x 1} cña E lµ tËp hoµn toµn bÞ chÆn.

Chøng minh. a)⇒ b). Gi¶ sö dim E = n < +∞. Theo ®Þnh lý 6.1 ta cã

E Kn. V× mäi tËp bÞ chÆn trong Kn lµ hoµn toµn bÞ chÆn vµ cã thÓ kiÓm tra

®− îc r»ng tÝnh hoµn toµn bÞ chÆn ®− îc b¶o toµn qua phÐp ®¼ng cÊu nªn mäi tËp

bÞ chÆn trong E lµ hoµn toµn bÞ chÆn.

b)⇒ c) V× b¶n th©n h×nh cÇu ®¬n vÞ B lµ tËp bÞ chÆn trong E nªn theo gi¶

thiÕt b) nã lµ tËp hoµn toµn bÞ chÆn.

c)⇒ a). Gi¶ sö B hoµn toµn bÞ chÆn. Nh− vËy víi ε = 12

tån t¹i a1, . . . , an ∈ B

®Ó B ⊂n

i=1

B(ai,12

). Gäi M lµ kh«ng gian con sinh bëi a1, . . . , an:

M = a1, a2, . . . , an = n

i=1

λiai | λi ∈ K

Ta sÏ chøng tá M = E vµ khi ®ã E lµ h÷u h¹n chiÒu víi sè chiÒu kh«ng v− ît

qu¸ n. ThËt vËy, gi¶ sö ng− îc l¹i, M = E , khi ®ã tån t¹i x ∈ E \ M . V× M lµ

kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña E nªn b¶n th©n M lµ kh«ng gian Banach do

®ã M ®ãng trong E . Suy ra

d = ρ(x, M ) = inf {x − y : y ∈ M } > 0

Theo ®Þnh nghÜa inf , cã thÓ chän y0 trong M sao cho d x − y0 < 32 d. §Æt

z =x − y0

x − y0 th× z = 1 nªn z ∈ B ⊂n

i=1

B(ai,12 ), do ®ã cã thÓ chän ®− îc chØ

sè i : 1 i n, sao cho z − ai < 12

. V×

y0 + x − y0ai ∈ M, khi ®ã z − ai =x − y0

x − y0 − ai

56



nªn ta cã

x − y0.(z − ai) = x − (y0 + x − y0ai).

LÊy chuÈn hai vÕ ta ®− îc:

x − y0.(z − ai) = x − (y0 + x − y0ai)

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn z − ai <1

2vµ y + x − yai ∈ M ta suy ra:

3

2d > x − y0 > 2x − yz − ai = 2x − (y + x − yai) 2d

§iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra víi sè d > 0. M©u thuÉn nµy do gi¶ thiÕt ph¶n chøng

lµ sai, chøng tá M = E vµ do ®ã E lµ h÷u h¹n chiÒu.

6.2 Kh«ng gian kh¶ li

§Þnh nghÜa 6.7. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn E gäi lµ kh¶ li nÕu E cã mét tËp con

®Õm ®− îc trï mËt trong E . .

Theo ®Þnh nghÜa, kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ kh¶ li nÕu tån t¹i mét d·y

{xn}n∈N∗ çc phÇn tö cña E sao cho víi mçi x ∈ E ®Òu cã Ýt nhÊt mét d·y con

{xkn}n∈N∗ héi tô ®Õn x.

MÖnh ®Ò 6.8. Kh«ng gian c0 vµ kh«ng gian l p víi p 1 lµ çc kh«ng gian kh¶

li.

Chøng minh. Chóng ta cã thÓ xem K = R.

a) §Æt A = {x = (xn) ⊂ Q sao cho chØ cã mét sè h÷u h¹n xn = 0}. Khi ®ã

A lµ tËp ®Õm ®− îc chøa trong c0. Cho x = (xn) ∈ c0 vµ ε > 0 cho tr− íc. Chän

n0 ®Ó |xn| < ε víi n > n0. Víi mçi 1

n

n0, chän ξn ∈ Q ®Ó |xn − ξn| < ε.XÐt ξ = (ξ1, . . . , ξn0 , 0, . . .) ∈ A. Khi ®ã

x − ξ = (x1 − ξ1, . . . , xn0 − ξn0 , xn0+1, . . .) < ε

57



b) XÐt A nh− trong a). Râ rµng A ⊂ l p. Cho x = (xn) ∈ l p vµ ε > 0. Chän n0

®Ó

n>n0

|xn| p < ε p. Víi mçi 1 n n0 lÊy ξn ∈ Q ®Ó

|xn − ξn| < εn1

p

0

víi mäi n : 1 n n0.

XÐt ξ = (ξ1, . . . , ξn0 , 0, . . .) ∈ A. Ta cã

x − ξ p = n0

n=1

|xn − ξn| p

+n>n0

|xn| p)1p (ε p + ε p)

1p = 2

1p ε.

Chøng tá A trï mËt trong l p vµ do ®ã l p kh¶ li.

58



7 Bµi tËp ch− ¬ng 1

Bµi 1. Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ X lµ mét tËp con ®ãng cña E . Chøng

minh r»ng nÕu x /∈ X th× tån t¹i l©n cËn U cña x vµ l©n cËn V cña X sao cho

U ∩ V = ∅.

Bµi 2. Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ A, B ⊂ E . Chøng minh r»ng

a) NÕu A lµ më th× A + B lµ më.

b) NÕu A compact vµ B ®ãng th× A + B lµ ®ãng.

c) Cho vÝ dô A, B ⊂ R lµ çc tËp ®ãng mµ A + B kh«ng ®ãng.

d) NÕu A, B bÞ chÆn, hoµn toµn bÞ chÆn, compact th× A + B còng vËy.

Bµi 3. Chøng minh r»ng nÕu M lµ kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian ®Þnh

chuÈn E víi0

M = ∅ th× M = E .

Bµi 4. Chøng minh r»ng mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn E ®Òu kh«ng cã kh«ng gian

con thùc sù nµo lµ tËp më.

Bµi 5. Chøng minh r»ng mäi kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn ®Òu lµ kh«ng gian

t«p« liªn th«ng.

Bµi 6. Chøng minh r»ng mäi d·y Cauchy trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E nÕu cã

mét d·y con héi tô th× d·y ®ã còng héi tô ®Õn giíi h¹n ®ã.

Bµi 7. Cho A ⊂ E víi E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng A lµ bÞ

chÆn khi vµ chØ khi víi mäi d·y sè {λn} : λ → 0 vµ víi mäi d·y {xn} ⊂ A, d·y

{λnxn} ®Òu héi tô ®Õn 0 trong E .

Bµi 8. Cho {Bn} lµ d·y çc tËp bÞ chÆn trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E . Chøngminh r»ng tån t¹i d·y sè d− ¬ng εn → 0 sao cho

∞n=1

εnBn lµ tËp bÞ chÆn.

59





ë ®©y C 0[0, 1] = {f ∈ C [0, 1] : f (0) = 0}. Chøng minh r»ng

a) ϕ lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ C 0[0, 1] lªn c0.

b) ϕ : C 0[0, 1]/ ker ϕ → c0 lµ ®¼ng cÊu b¶o toµn chuÈn.

Bµi 16. Chøng minh r»ng trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E nÕu mäi chuçi héi tô

tuyÖt ®èi ®Òu héi tô th× E lµ kh«ng gian Banach.

Bµi 17. Cho E lµ kh«ng gian vÐc t¬ tÊt c¶ çc hµm sè thùc kh¶ tÝch Lebesgue

trªn ®o¹n [a; b] ⊂ R. Chøng minh r»ng hµm ρ : E → R x¸c ®Þnh bëi:

ρ(f ) :=

[a;b]

|f |dμ, f ∈ E

lµ mét nöa chuÈn trªn E nh− ng kh«ng lµ mét chuÈn.

Bµi 18. Cho C [0;1] lµ kh«ng gian tÊt c¶ çc hµm sè thùc liªn tôc trªn [0;1] víi

chuÈn ∞. Chøng minh r»ng c«ng thøc:

f 1 :=

1 0

|f (x)|dx, f ∈ C [0; 1]

còng lµ mét chuÈn trªn C [0;1] nh− ng chuÈn nµy kh«ng t− ¬ng ®− ¬ng víi chuÈn

∞.

Bµi 19. Cho f : E → F lµ toµn ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn

E ®Õn kh«ng gian ®Þnh chuÈn F . Chøng minh r»ng f lµ ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi

tån t¹i sè d− ¬ng m sao cho

f (x) mx víi mäi x ∈ E.

Bµi 20. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ A : (C [a; b], ∞) → R x¸c ®Þnh bëi:

A(f ) :=

b a

f (x)dx, f ∈ C [a; b]

lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn C [a; b]. TÝnh A.

61



Bµi 21. Cho g ∈ C [a; b] cè ®Þnh, g(x) 0 víi mäi x ∈ [a; b]. Chøng minh r»ng

¸nh x¹

ϕg : (C [a; b],

∞)

→R

x¸c ®Þnh bëi:

ϕg(f ) :=

b a

f (x)g(x)dx, f ∈ C [a; b]

lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn C [a; b]. TÝnh ϕg.

Bµi 22. Cho g ∈ C [a; b] cè ®Þnh. Chøng minh r»ng ¸nh x¹

A : (C [a; b], ∞) → (C [a; b], ∞)

x¸c ®Þnh bëi:

A(f )(x) := f (x)g(x), f ∈ C [a; b], x ∈ [a; b]

lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn C [a; b]. TÝnh A.

Bµi 23. Cho E, F lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn, y1, . . . , yn ∈ F ,

ϕ1, . . . , ϕn ∈ E cè ®Þnh. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ A : E → F x¸c ®Þnh bëi:

A(x) :=

nk=1

ϕk(x)yk, x ∈ E

lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc.

Bµi 24. Cho X = {x ∈ C [0; 1] | x(0) = x(1) = 0}. Chøng minh r»ng:

a) X lµ kh«ng gian con Banach cña C [0;1].

b) ¸nh x¹ ϕ : X → X x¸c ®Þnh bëi:

ϕ(x)(t) := t2x(t), x

∈X, t

∈[0; 1]

lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh ϕ.

c) ϕ lµ ®¬n ¸nh nh− ng kh«ng lµ toµn ¸nh.

62



Bµi 25. D¹ng tuyÕn tÝnh F trªn C [a; b] ®− îc gäi lµ d− ¬ng nÕu F (f ) 0 víi mäi

f 0, f ∈ C [a; b]. Chøng minh r»ng nÕu F lµ d¹ng tuyÕn tÝnh d− ¬ng trªn C [a; b]

th× F liªn tôc. TÝnh

F

.

63



Ch− ¬ng 2

Ba nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝchhµm

Trong ch− ¬ng nµy chóng ta sÏ tr×nh bµy ba ®Þnh lý quan träng ®− îc xem nh−

nh÷ng nguyªn lý cña Gi¶i tÝch hµm. §ã lµ nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu, ®Þnh lý ¸nh x¹

më vµ ®Þnh lý ®å thÞ ®ãng, vµ quan träng nhÊt ph¶i kÓ ®Õn §Þnh lý Haln- Banach

vµ mét sè hÖ qu¶ quan träng cña nã. Çc nguyªn lý nµy cã thÓ ®− îc tr×nh bµy

d− íi çc d¹ng kh¸c nhau trong çc líp kh«ng gian tæng qu¸t hoÆc trong líp çc

kh«ng gian riªng biÖt. Tuy nhiªn, trong khu«n khæ cña gi¸o tr×nh nµy chóng ta

giíi h¹n viÖc tr×nh bµy çc nguyªn lý ®ã chØ trong líp çc kh«ng gian ®Þnh chuÈnhoÆc kh«ng gian Banach.

1 Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu

1.1 Nöa chuÈn liªn tôc

§Ó ph¸t biÓu vµ chøng minh nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu, tr− íc tiªn chóng ta nªu

kh¸i niÖm vÒ nöa chuÈn liªn tôc trªn mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn E : Nöa chuÈn

64



ρ : E → R ®− îc gäi lµ liªn tôc trªn kh«ng gian ®Þnh chuÈn E nÕu vµ chØ nÕu

(∀x0 ∈ E )(∀ε > 0)(∃δ > 0) : (∀x ∈ E ), (x − x0 < δ ⇒ |ρ(x) − ρ(x0)| < ε).

MÖnh ®Ò 1.1. Gi¶ sö E lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ ρ : E → R lµ mét nöachuÈn trªn E , khi ®ã çc mÖnh ®Ò sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng:

i) ρ liªn tôc ®Òu trªn E .

ii) ρ liªn tôc trªn E .

iii) ρ liªn tôc t¹i 0 ∈ E .

iv) ρ bÞ chÆn, nghÜa lµ tån t¹i sè C > 0 sao cho ρ(x) C x víi mäi x ∈ E .

KÝ hiÖu:

ρ = inf {C > 0 | ρ(x) C x víi mäi x ∈ E }

vµ gäi ρ lµ chuÈn cña ρ. Hoµn toµn t− ¬ng tù nh− ®èi víi çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

liªn tôc, ta cã:

ρ = supE x=0

ρ(x)

x = supx1

ρ(x) = supx=1

ρ(x)

Bæ ®Ò 1.2. Cho p, q lµ çc nöa chuÈn liªn tôc trªn kh«ng gian vÐc t¬ E . NÕu

p(x) 1 kÐo theo q(x) 1 th× p(x) q(x) víi mäi x ∈ E .

Chøng minh. Gi¶ sö tr¸i l¹i, khi ®ã tån t¹i x ∈ E vµ tån t¹i sè d− ¬ng c sao cho

q(x) < c < p(x). §Æt y = xc

. Khi ®ã q(y) < 1 nh− ng p(y) > 1. §iÒu nµy m©u

thuÉn víi gi¶ thiÕt.

§Þnh nghÜa 1.3. Cho E lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ { pα}α∈J lµ hä çc nöa

chuÈn liªn tôc trªn E . Ta nãi hä { pα}α∈J lµ

a) bÞ chÆn ®iÓm nÕu víi mçi x ∈ E cè ®Þnh, tËp { pα(x) : α ∈ J } bÞ chÆn trªnR, nghÜa lµ: C (x) = sup{ pα(x) : α ∈ J } < +∞ víi mäi x ∈ E .

b) bÞ chÆn ®Òu nÕu sup{ pα : α ∈ J } < +∞.

65



NhËn xÐt 1. NÕu hä nöa chuÈn { pα}α∈J trªn kh«ng gian ®Þnh chuÈn E bÞ chÆn

®Òu th× bÞ chÆn ®iÓm v×

pα(x) pαx víi mäi x ∈ E.

Çc ph¶n vÝ dô trong çc bµi tËp cuèi ch− ¬ng ®· chØ ra r»ng trong kh«ng gian

®Þnh chuÈn kh¼ng ®Þnh ng− îc l¹i kh«ng ®óng. Cô thÓ h¬n, mét hä nöa chuÈn trªn

kh«ng gian ®Þnh chuÈn E nÕu bÞ chÆn ®iÓm th× nãi chung kh«ng bÞ chÆn ®Òu. Tuy

nhiªn, khi E lµ kh«ng gian Banach, nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu d− íi ®©y chØ ra r»ng

mäi hä bÞ chÆn ®iÓm trªn E ®Òu bÞ chÆn ®Òu. ViÖc chøng minh nguyªn lý nµy

cÇn sö dông ®Õn §Þnh lý Baire vÒ ph¹m trï.

Tr− íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm vÒ ph¹m trï: TËp con A cña kh«ng gian metric

X ®− îc gäi lµ kh«ng ®©u trï mËt nÕu◦

A = ∅. Kh«ng gian metric X gäi lµ thuéc

ph¹m trï mét nÕu nã cã thÓ viÕt nh− hîp ®Õm ®− îc çc tËp kh«ng ®©u trï mËt.

Tr¸i l¹i, X ®− îc gäi lµ thuéc ph¹m trï hai.

§Þnh lý Baire vÒ ph¹m trï: Mäi kh«ng gian metric ®Çy ®Òu thuéc ph¹m trï

thø hai.

Nh− vËy, nÕu E lµ kh«ng gian Banach vµ

{An

}n1 lµ mét d·y çc tËp con cña

E sao cho E =∞n=1

An, th× tån t¹i Ýt nhÊt mét tËp An0 vµ x0 ∈ E, r > 0 sao cho

B(x0, r) ⊂ An0.

§Þnh lý 1.4 (Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu). Mäi hä nöa chuÈn liªn tôc trªn kh«ng gian

Banach E nÕu bÞ chÆn ®iÓm th× bÞ chÆn ®Òu.

Chøng minh. Cho { pα}α∈J lµ hä nöa chuÈn liªn tôc, bÞ chÆn ®iÓm trªn kh«ng

gian Banach E :

C (x) = sup{ pα(x) : α ∈ J } < +∞ víi mäi x ∈ E

66



Víi mçi n 1 ®Æt

An = {x ∈ E : pα(x) n víi mäi α ∈ J } =

α∈J p−1

α ((−∞; n])

Do pα : E → R liªn tôc vµ mçi kho¶ng (−∞; n] lµ tËp ®ãng trong R nªn

p−1α ((−∞; n]) ®ãng trong E , do ®ã An =

α∈J

p−1α ((−∞; n]) lµ tËp ®ãng trong E .

MÆt kh¸c nÕu x ∈ E th× theo gi¶ thiÕt C (x) < +∞ nªn tån t¹i sè tù nhiªn n ∈ N®Ó C (x) n, khi ®ã x ∈ An. Nh− vËy E =

n∈N

An. Theo ®Þnh lý Baire, tån t¹i

n0 ∈ N vµ x0 ∈ An0 ®Ó

B(x0, r) = x0 + B(0, r) ⊂ An0 víi r > 0 nµo ®ã

Suy ra, víi mäi x ∈ E, x 1 va víi mäi α ∈ J ta cã:

pα(x) =1

r pα(rx)

1

r[ pα(x0 + rx) + pα(x0)]

n0 + C (x0)

r

VËy

supα∈J

pα n0 + C (x0)

r< +∞

Chøng tá hä { pα : α ∈ J } bÞ chÆn ®Òu. §Þnh lý ®− îc chøng minh.

§Þnh nghÜa 1.5. Cho E vµ F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã

a) Hä {f α}α∈J ⊂ L(E, F ) ®− îc gäi lµ bÞ chÆn ®iÓm nÕu víi mçi x ∈ E , tËp

{f α(x) : α ∈ J } bÞ chÆn trong F , nghÜa lµ

C (x) = sup{f α(x) : α ∈ J } < +∞ víi mäi x ∈ E,

b) Hä {f α}α∈J ⊂ L(E, F ) ®− îc gäi lµ bÞ chÆn ®Òu nÕu

sup{f α : α ∈ J } < +∞

Bëi v×, víi mçi α ∈ J , f α : E → F lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc nªn hµm pα : E → R

cho bëi c«ng thøc

pα(x) = f α(x), x ∈ E

67



lµ mét nöa chuÈn liªn tôc trªn E tho¶ m·n pα = f α víi mäi α ∈ J . Râ rµng

hä {f α}α∈J ⊂ L(E, F ) bÞ chÆn ®iÓm nÕu vµ chØ nÕu hä çc nöa chuÈn { pα}α∈J bÞ chÆn ®iÓm vµ bÞ chÆn ®Òu nÕu vµ chØ nÕu hä

{ pα

}α∈J bÞ chÆn ®Òu. Tõ nhËn

xÐt nµy chóng ta suy ra ®Þnh lý quan träng sau ®©y:

§Þnh lý 1.6 (§Þnh lý Banach - Steinhaux). Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Banach vµ

F lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn tuú ý. Khi ®ã mäi hä çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc

tõ E ®Õn F nÕu bÞ chÆn ®iÓm th× bÞ chÆn ®Òu.

HÖ qu¶ 1.7. NÕu {f n}n1 lµ d·y çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian

Banach E vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn F héi tô ®iÓm tíi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f :

E →

F :

f (x) = limn→∞

f n(x), x ∈ E

th× f ∈ L(E ; F ). H¬n n÷a f limn→∞

f n.

Chøng minh. V× víi mäi x ∈ E , d·y {f n(x)}n∈N∗ héi tô nªn d·y {f n}n∈N∗ trong

L(E, F ) bÞ chÆn ®iÓm. Do E lµ kh«ng gian Banach nªn theo §Þnh lý Banach -

Steinhaux ®·y ®ã bÞ chÆn ®Òu, nghÜa lµ

M = supn1

f n

< +∞

Suy ra, víi mäi X ∈ E ta cã

f (x) = limn→∞

f n(x) = limn→∞

f n(x) ( limn→∞

f n)x M x.

Chøng tá f lµ liªn tôc vµ f lim f n.

2 §Þnh lý ¸nh x¹ më vµ ®å thÞ ®ãng

Trong bµi nµy chóng ta sÏ tr×nh bµy hai ®Þnh lý quan träng tiÕp theo, ®ã lµ

®Þnh lý ¸nh x¹ më vµ ®Þnh lý ®å thÞ ®ãng ®èi víi çc ¸nh x¹ gi÷a çc kh«ng

68



gian ®Þnh chuÈn. Chóng ta biÕt r»ng ¸nh x¹ f : E → F tõ kh«ng gian t«p« E

®Õn kh«ng gian t«p« F lµ liªn tôc nÕu nghÞch ¶nh qua f cña mäi tËp më trong

F ®Òu lµ tËp më trong E . VÊn ®Ò ®Æt ra ë ®©y lµ: §èi víi çc ¸nh x¹ liªn tôc

f : E → F th× ¶nh cña nh÷ng tËp më trong E cã ph¶i lµ tËp më trong F hay

kh«ng ? Trong tr− êng hîp riªng, khi f : E → F lµ toµn ¸nh tuyÕn tÝnh gi÷a çc

kh«ng gian Banach, th× c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh ®− îc chøng minh trong ®Þnh lý ¸nh

x¹ më.

2.1 §Þnh lý ¸nh x¹ më

§Þnh nghÜa 2.1. Gi¶ sö f : X →

Y lµ ¸nh x¹ gi÷a çc kh«ng gian metric X vµ

Y . Ta nãi f lµ ¸nh x¹ më nÕu ¶nh f (G) cña mäi tËp më G trong X lµ tËp më

trong Y .

NhËn xÐt 1. f : X → Y lµ më nÕu vµ chØ nÕu f (B(x, r)) lµ l©n cËn cña f (x) víi

mäi x ∈ X vµ víi mäi r > 0.

NhËn xÐt 2. NÕu f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh gi÷a çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn

E vµ F th× f lµ më nÕu vµ chØ nÕu f (B(0, r)) lµ l©n cËn cña 0 ∈ F víi mäi r > 0.

§Þnh lý 2.2 (§Þnh lý ¸nh x¹ më). Mäi toµn ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc f : E → F

tõ kh«ng gian Banach E lªn kh«ng gian Banach F ®Òu lµ ¸nh x¹ më.

Chøng minh. B− íc 1 Ta sÏ chøng minh r»ng tån t¹i sè δ > 0 sao cho

f ({x ∈ E : x < 1}) ⊃ {y ∈ F : y < δ} (1)

Víi mçi i 0 ®Æt Bi = {x ∈ E : x < 12i

}. Do f lµ toµn ¸nh vµ do E =∞

n=1nB1,

ta cãF = f (E ) =

∞n=1

nf (B1)

69



Do F lµ kh«ng gian Banach nªn theo §Þnh lý Baire ¾t tån t¹i sè n0 ∈ N∗ ®Ó

◦nf (B1) = n

◦f (B1) = ∅

Suy ra◦

f (B1) = ∅. Nh− vËy tån t¹i v ∈ F vµ δ > 0 sao cho

{y ∈ F : y − v < 2δ} ⊂ f (B1)

Tõ bao hµm thøc trªn ta nhËn ®− îc

{y ∈ F : y < 2δ} ⊂ f (B1) − v ⊂ f (B1) − f (B1)

⊂ f (B1 − B1) ⊂ f (B0)

v× B1 − B1 = {x − x : x, x ∈ B1} ⊂ B0, nghÜa lµ

{y ∈ F : y < 2δ} ⊂ f (B0)

Chia hai vÕ cña bao hµm thøc trªn cho 2n ta ®− îc

{y ∈ F : y <δ

2n−1} ⊂ f (Bn) víi mäi n 1 (2)

Cho y ∈ F, y < δ. Víi n = 1 ¸p dông (2) tíi y, ta t×m ®− îc x1 ∈ B1 ®Ó

y − f (x1) < δ2

L¹i ¸p dông (2) víi n = 2 tíi y − f (x1) ta t×m ®− îc x2 ∈ B2 ®Ó

y − f (x1) − f (x2) <δ

22

TiÕp tôc nh− vËy ta lËp ®− îc d·y {xn} víi xn ∈ Bn, ∀n ∈ N∗, tho¶ m·n:

y − f (x1) − . . . − f (xn) <δ

2n

Do f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nªn bÊt ®¼ng thøc trªn ®− îc viÕt thµnh:

y − f (x1 + . . . + xn) <δ

2n

70



Do∞n=1

xn <∞n=1

12n

= 1 vµ do E lµ kh«ng gian Banach nªn chuçi∞n=1

xn héi tô

trong E . §Æt x =∞

n=1

xn. Ta cã

x = ∞

n=1

xn

∞n=1

xn < 1

VËy x ∈ B0 = {x ∈ E : x < 1}. Tõ tÝnh liªn tôc cña hµm f vµ tÝnh liªn tôc

cña chuÈn ta nhËn ®− îc

y − f (x) = limn→∞

y − f n

k=1

xk

lim

n→∞δ

2n= 0

Suy ra y = f (x) vµ (1) ®− îc chøng minh

B− íc 2 Cho G ⊂ E lµ më vµ y0 ∈ f (G). LÊy x0 ∈ G ®Ó f (x0) = y0. Do G lµ

më nªn tån t¹i r > 0 ®Ó B(x0, r) = x0 + B(0, r) ⊂ G. Nh©n hai vÕ cña (1) víi r

ta ®− îc

{y ∈ F : y < rδ} ⊂ f (B(0, r))

Suy ra

f (G) ⊃ f (B(x0, r)) = f (x0 + B(0, r)) = y0 + f (B(0, r))

⊃ y0 + {y ∈ F : y < rδ}= {y ∈ F : y − y0 < rδ} = B(y0, rδ).

V× y0 ∈ f (G) tuú ý nªn f (G) lµ më trong F . §Þnh lý ®− îc chøng minh.

HÖ qu¶ sau ®©y cßn ®− îc gäi lµ nguyªn lý Banach vÒ ¸nh x¹ më.

HÖ qu¶ 2.3. Mäi song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian Banach ®Òu

lµ ®¼ng cÊu.

Chøng minh. Gi¶ sö E, F lµ çc kh«ng gian Banach vµ f : E → F lµ song ¸nh

tuyÕn tÝnh liªn tôc. Cho G ∈ E lµ tËp më tuú ý. Theo ®Þnh lý ¸nh x¹ më th× f lµ

71



¸nh x¹ më nªn f (G) lµ tËp më trong F . Nhê çch biÓu diÔn (f −1)−1(G) = f (G)

ta suy ra nghÞch ¶nh qua f −1 cña mäi tËp më trong E lµ tËp më trong F , chøng

tá f −1 : F

→E liªn tôc. Nh− vËy, E

→F lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ

f −1 : F → E liªn tôc nªn f lµ mét ®¼ng cÊu.

2.2 §Þnh lý ®å thÞ ®ãng

Chóng ta biÕt r»ng nÕu E, F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn th× tËp hîp

E × F = {(x, y) : x ∈ E, y ∈ F }

lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi çc phÐp to¸n vector vµ víi chuÈn x¸c ®Þnh bëi

(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2),

λ(x, y) := (λx, λy),

(x, y) := x + y.

§Þnh nghÜa 2.4. Cho f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh gi÷a çc kh«ng gian ®Þnh

chuÈn E vµ F . Khi ®ã

Γ(f ) := {(x, y) ∈ E × F : y = f (x)}

lµ kh«ng gian con cña E ×

F vµ gäi lµ ®å thÞ cña f .

Ta nãi f : E → F cã ®å thÞ ®ãng nÕu Γ(f ) lµ kh«ng gian con ®ãng cña E ×F .

§Þnh lý 2.5. Mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh

chuÈn ®Òu cã ®å thÞ ®ãng.

Chøng minh. Gi¶ sö f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian

®Þnh chuÈn E ®Õn kh«ng gian ®Þnh chuÈn F , ta chøng minh f cã ®å thÞ ®ãng.

ThËt vËy, gi¶ sö {(xn, yn)} ⊂ Γ(f ) lµ d·y bÊt k× héi tô tíi (x, y) trong E × F .

Khi ®ã xn → x trong E vµ yn = f (xn) → y trong F . V× f lµ liªn tôc nªn

y = limn→∞

f (xn) = f (x), chøng tá (x, y) ∈ Γ(f ). Theo ®Þnh nghÜa f cã ®å thÞ

®ãng.

72



Khi E vµ F lµ çc kh«ng gian Banach chóng ta cã ®Þnh lý sau mµ cã thÓ coi

nh− hÖ qu¶ cña ®Þnh lý ¸nh x¹ më.

§Þnh lý 2.6 (§Þnh lý ®å thÞ ®ãng). Mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cã ®å thÞ ®ãng gi÷açc kh«ng gian Banach ®Òu liªn tôc.

Chøng minh. Cho f : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cã ®å thÞ ®ãng tõ kh«ng gian

Banach E vµo kh«ng gian Banach F . Do E × F lµ kh«ng gian Banach vµ Γ(f )

lµ ®ãng trong E × F nªn Γ(f ) còng lµ kh«ng gian Banach. XÐt çc ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh liªn tôc

p : Γ(f ) → E

(x, f (x)) → x

vµq : Γ(f ) → F

(x, f (x)) → f (x).

Râ rµng p lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ Γ(f ) lªn E . Theo hÖ qu¶ 2.3 cña

®Þnh lý ¸nh x¹ më, ¸nh x¹ p−1 : E → Γ(f ) : x → (x, f (x)) lµ liªn tôc. Do tÝnh

liªn tôc cña p−1 vµ q vµ do f = q ◦ p−1, suy ra f liªn tôc.

3 §Þnh lý Hahn- Banach

§Þnh lý Hahn-Banach d− íi ®©y nãi vÒ sù th¸c triÓn mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnhvµ nã cã rÊt nhiÒu øng dông quan träng, ®− îc hÇu hÕt çc tµi liÖu vÒ gi¶i tÝch hµm

gÇn ®©y ph¸t biÓu vµ chøng minh d− íi hai d¹ng c¬ b¶n lµ d¹ng h×nh häc vµ d¹ng

gi¶i tÝch trong çc líp kh«ng gian kh¸c nhau. Trong bµi nµy chóng ta sÏ tr×nh bµy

§Þnh lý Hahn-Banach d− íi d¹ng phæ biÕn nhÊt, ®ã lµ d¹ng gi¶i tÝch trong kh«ng

gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn.

3.1 §Þnh lý Hahn-Banach ®èi víi kh«ng gian vector thùc

§Þnh lý 3.1. Gi¶ sö F lµ kh«ng gian vÐc t¬ con cña kh«ng gian vect¬ thùc E vµ

p lµ nöa chuÈn trªn E . Khi ®ã, ®èi víi mäi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f : F → R

73



tho¶ m·n

f (x) p(x) víi mäi x ∈ E.

®Òu tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f : E → R

sao cho

f (x) = f (x) víi mäi x ∈ F vµ f (x) p(x) víi mäi x ∈ E.

Chøng minh. §Ó chøng minh ®Þnh lý chóng ta cÇn sö dông Bæ ®Ò Zorn sau ®©y:

NÕu mäi tËp con thø tù tuyÕn tÝnh cña tËp s¾p thø tù bé phËn X = ∅ ®Òu cã cËn

trªn th× X cã phÇn tö cùc ®¹i.

B− íc 1. Chóng ta gäi mét më réng cña f cÆp (D, g), trong ®ã D lµ kh«ng

gian con cña E chøa F cßn g : D→R lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tho¶ m·n:

gF

= f vµ g(x) p(x) víi mäi x ∈ D.

Ký hiÖu F lµ tËp tÊt c¶ çc më réng cña f . Râ rµng (F, f ) lµ mét më réng

cña f nªn F = ∅. Trong F ta ®− a vµo quan hÖ thø tù ””x¸c ®Þnh bëi:

(D1, g1) (D2, g2) ⇔ D1 ⊂ D2 vµ g2 | D1 = g1

Ta sÏ chøng tá r»ng F cã phÇn tö cùc ®¹i. Theo bæ ®Ò Zorn chØ cÇn chØ ra mäi

tËp con thø tù tuyÕn tÝnh cña nã cã cËn trªn. Cho {Dα, gα}α∈I ⊂ F lµ tËp con

s¾p thø tù tuyÕn tÝnh bÊt kú cña F . §Æt B =α∈I

Dα. NÕu x, y ∈ B vµ r, s ∈ Rta chän α, β ∈ I ®Ó x ∈ Dα, y ∈ Dβ . Do {(Dα, gα)}α∈I lµ thø tù tuyÕn tÝnh nªn

cã thÓ xem (Dα, gα) (Dβ , gβ ). Suy ra x, y ∈ Dβ vµ do ®ã rx + sy ∈ Dβ ⊂ B.

Nh− vËy B lµ kh«ng gian vect¬ con cña cña E chøa mäi Dα. Ngoµi ra trªn B

cã thÓ x¸c ®Þnh phiÕm hµm h : B → R x¸c ®Þnh bëi: NÕu x ∈ B vµ α ∈ I

sao cho x ∈ Dα th× ta ®Æt h(x) = gα(x). Sù x¸c ®Þnh gi trÞ cña h nh− vËy

kh«ng phô thuéc vµo α ∈ I ®Ó x ∈ Dα. ThËt vËy, nÕu β ∈ I mµ x ∈ Dβ th× do

tËp {(Dα, gα)}α∈I s¾p thø tù tuyÕn tÝnh nªn lu«n x¶y ra mét trong hai kh¶ n¨ng

(Dα, gα) (Dβ , gβ ) hoÆc (Dβ , gβ ) (Dα, gα). Trong c¶ hai tr− êng hîp ta ®Òu

74



cã gβ (x) = gα(x) v× khi ®ã hoÆc x ∈ Dα ⊂ Dβ hoÆc x ∈ Dβ ⊂ Dα. H¬n n÷a, do

çc gα lµ tuyÕn tÝnh nªn dÔ thÊy h còng lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. §ång thêi, tõ

tÝnh chÊt cña çc gα ta suy ra h tho¶ m·n:

h(x) p(x) víi mäi x ∈ B.

Nh− vËy (B, h) ∈ F vµ lµ cËn trªn cña {(Dα, gα)}α∈I . Theo bæ ®Ò Zorn th× F

cã phÇn tö cùc ®¹i (D, g).

B− íc 2. Gäi (D, g) lµ phÇn tö cùc ®¹i cña F . Chóng ta sÏ chøng minh D = E ,

khi ®ã ®Æt f = g ®Þnh lý sÏ ®− îc chøng minh hoµn toµn.

ThËt vËy, gi¶ sö ng− îc l¹i: D = E , khi ®ã cã thÓ chän ®− îc phÇn tö v ∈ E \D.

XÐt kh«ng gian con H = Rv + D. Do v /∈ D nªn H = Rv ⊕ D, v× vËy mçix ∈ H ®Òu biÓu diÔn ®− îc duy nhÊt d− íi d¹ng x = λv + y víi λ ∈ R, y ∈ D.

Víi mäi y, z ∈ D ta cã:

g(y) + g(z) = g(y + z) p(y + z) p(y + v) + p(z − v).

Suy ra

g(z) − p(z − v) p(y + v) − g(y) víi mäi y, z ∈ D. (3.1)

Tõ bÊt ®¼ng thøc (3.1) suy ra:

α = supz∈D

{g(z) − p(z − v)} g(0) − p(0 − v) = − p(v) > −∞,

β = inf y∈D

{ p(y + v) − g(y)} p(0 + v) − g(0) = p(v) < +∞,

α = supz∈D

{g(z) − p(z − v)} inf y∈D

{ p(y + v) − g(y)} = β.

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

(3.2)

Chän ®iÓm bÊt kú ξ ∈ [α, β ], khi ®ã tõ (3.2) suy ra, víi mäi y, z ∈ D ta cã:

g(z) − p(z − v) ξ p(y + v) − g(y). (3.3)

V× víi mäi x ∈ H ®Òu viÕt ®−

îc duy nhÊt d−

íi d¹ng x = λv +y víi λ ∈ R, y ∈ D,nªn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ¸nh x¹ k : H → R bëi

k(x) = k(λv + y) = λξ + g(y).

75



DÔ dµng kiÓm tra thÊy k lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn H vµ kD

= g. Chóng ta

sÏ chøng minh k(x) p(x) víi mäi x ∈ H .

ThËt vËy, víi mçi x = λv + y∈

H = Rv⊕

D, xÐt çc tr− êng hîp cã thÓ x¶y

ra sau ®©y:

+) NÕu λ = 0 th× k(x) = g(x) p(x).

+) NÕu λ > 0, ¸p dông vÕ thø hai cña (3.3) trong ®ã y thay bëi yλ

∈ D ta ®− îc

k(x) = λξ + g(y) = λ[ξ + g(y

λ)] λ

py

λ+ v

− gy

λ

+ g

y

λ

= λ

py

λ+ v

= p(λv + y) = p(x).

+) NÕu λ =−

μ < 0, (μ > 0), ¸p dông vÕ thø nhÊt cña (3.3) cho z = y

μ ∈D

ta ®− îc

k(x) = λξ + g(y) = −μξ + g(y) = μ− ξ + g

y

μ

μ

− g y

μ

+ p

y

μ− v

+ g

y

μ

= μp(

y

μ− v) = p(−μv + y) = p(λv + y) = p(x).

Nh− vËy (H, k) ∈ F vµ (D, g) (H, k). Tr¸i víi tÝnh cùc ®¹i cña (D, g) ∈ F .

M©u thuÉn nµy chøng tá ph¶i cã D = E . §Þnh lý ®· ®− îc chøng minh.

3.2 §Þnh lý Hahn- Banach ®èi víi kh«ng gian vector phøc

XÐt kh«ng gian vÐc t¬ phøc E . Chóng ta cã thÓ xem E lµ kh«ng gian vÐc t¬

thùc b»ng çch xem phÐp nh©n víi v« h− íng R× E → E lµ thu hÑp cña phÐp

nh©n víi v« h− íng C× E → E , ®ång thêi ¸nh x¹ f : E → R ®− îc gäi lµ phiÕm

hµm tuyÕn tÝnh thùc trªn kh«ng gian vÐct¬ phøc E nÕu

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) víi mäi x, y∈

E,α,β ∈ R

.

§Ó nhËn ®− îc ®Þnh lý Hahn- Banach ®èi víi kh«ng gian vect¬ phøc tõ ®Þnh lý

Hahn - Banach thùc ta cÇn bæ ®Ò sau.

76



Bæ ®Ò 3.2. Cho E lµ kh«ng gian vect¬ phøc. Khi ®ã ¸nh x¹ f : E → C lµ ¸nh

x¹ tuyÕn tÝnh (phøc) khi vµ chØ khi f cã thÓ biÓu diÔn ® − îc d − íi d¹ng

f (x) = f 1(x) − if 1(ix), x ∈ E

víi f 1 : E → R lµ tuyÕn tÝnh thùc.

Chøng minh. Gi¶ sö f : E → C lµ tuyÕn tÝnh phøc. B»ng çch viÕt f (x) =

f 1(x) + if 2(x), ë ®©y f 1(x) = Re f (x) vµ f 2(x) = Im f (x). Râ rµng f 1, f 2 :

E → R lµ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh thùc. Ta chØ cßn ph¶i chøng minh f 2(x) =

−f 1(ix). ThËt vËy, thay x bëi ix vµo ®¼ng thøc f (x) = f 1(x) + if 2(x), ta ®− îc

f (ix) = f 1(ix) + if 2(ix). MÆt kh¸c, do f lµ tuyÕn tÝnh phøc nªn f (ix) = if (x) =

if 1(x) − f 2(x), tõ ®ã ta cã

f 1(ix) + if 2(ix) = −f 2(x) + if 1(x) víi mäi x ∈ E.

§ång nhÊt phÇn thùc hai vÕ ta ®− îc: f 1(ix) = −f 2(x) hay lµ f 2(x) = −f 1(ix)

víi mäi x ∈ E .

Ng− îc l¹i, gi¶ sö f (x) = f 1(x) − if 1(ix), x ∈ E víi f 1 : E → R lµ ¸nh x¹

tuyÕn tÝnh thùc. Khi ®ã

f (x + y) = f (x) + f (y) víi mäi x, y ∈ E (3.4)

Gi¶ sö λ = α + iβ,α,β ∈ R vµ x ∈ E , khi ®ã

f (λx) = f 1(αx + iβx) − if 1(αx − iβx)

= αf 1(x) + βf 1(ix) − iαf 1(ix) + iβf 1(x)

= (α + iβ )f 1(x) − (α + iβ )if 1(ix)

= (α + iβ )[f 1(x)

−if

1(ix)] = λf (x)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎭(3.5)

Tõ çc ®¼ng thøc (3.4) vµ (3.5) suy ra f : E → C lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh phøc.

77



§Þnh lý 3.3 (Hahn - Banach). Gi¶ sö F lµ kh«ng gian vect¬ con cña kh«ng gian

vect¬ phøc E vµ p lµ mét nöa chuÈn trªn E . Khi ®ã, víi mäi phiÕm hµm tuyÕn

tÝnh phøc f : F

→C tho¶ m·n

|f (x)| p(x) víi mäi x ∈ F

tån t¹i mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f : E → C sao cho

f F

= f vµ |f (x)| p(x) víi mäi x ∈ E

Chøng minh. Do f : F → C lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh phøc nªn theo bæ ®Ò 3.2

tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh thùc f 1 : F → R sao cho

f (x) = f 1(x) − if 1(ix), x ∈ F

Do f 1(x) |f 1(x)| |f (x)| nªn f 1(x) p(x) víi mäi x ∈ F . Theo ®Þnh lý 3.1,

tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh thùc f 1 : E → R sao cho

f 1F

= f 1 vµ |f 1(x)| p(x) víi mäi ∈ E.

§Æt f (x) = f 1(x)− if 1(ix), x ∈ E . Khi ®ã, theo bæ ®Ò 3.2, f lµ phiÕm hµm tuyÕn

tÝnh phøc vµ

f (x) = f 1(x) − if 1(ix) = f (x) víi mäi x ∈ F.

Cho x ∈ E víi f (x) = 0. Ta cã thÓ viÕt f (x) = |f (x)|.eiϕ, ë ®©y ϕ lµ argument

cña f (x). Suy ra

|f (x)| = e−iϕf (x) = f (e−iϕx) = f 1(e−iϕx) − if 1(ie−iϕx) ∈ R.

Do f 1(x) ∈ R víi mäi x ∈ E nªn f 1(ie−iϕx) = 0, v× thÕ

|f (x)| = f 1(e−iϕx) p(e−iϕx) = p(x).

VËy |f (x)| p(x) víi mäi x ∈ E .

78



3.3 Mét sè hÖ qu¶ quan träng cña ®Þnh lý Hahn-Banach

HÖ qu¶ 3.4. Gi¶ sö F lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn (thùc hoÆc

phøc) E vµ f lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn F . Khi ®ã tån t¹i phiÕm hµmtuyÕn tÝnh liªn tôc f trªn E sao cho

f F

= f vµ f = f

Chøng minh. §Æt p(x) = f x, x ∈ E , khi ®ã p lµ nöa chuÈn trªn E tho¶

m·n: |f (x)| p(x) víi mäi x ∈ F . Theo ®Þnh lý 3.3, tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn

tÝnh f trªn E sao cho

f F = f vµ |f (x)| p(x) víi mäi x ∈ E

Suy ra f f . MÆt kh¸c, do F ⊂ E nªn

f = supx∈F,x1

|f (x)| supx∈E,x1

|f (x)| = f .

Do ®ã f = f .

HÖ qu¶ 3.5. Gi¶ sö F lµ kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E vµ

x0 ∈ E \ F . Khi ®ã tån t¹i f ∈ E ®Ó

f F

= 0, f = 1 vµ f (x0) = dist(x0, F ) = inf {x0 − y : y ∈ F }

Chøng minh. §Æt δ = inf {x0 − y : y ∈ F }, do F ®ãng vµ x0 /∈ F nªn δ > 0.

XÐt D = Kx0 + F vµ phiÕm hµm g : D → K x¸c ®Þnh bëi

g(λx0 + y) = λδ.

Do x0 /

∈F nªn D = Kx0

⊕F vµ do ®ã mçi x

∈D viÕt ®− îc duy nhÊt d− íi d¹ng

x = λx0 + y víi λ ∈ K vµ y ∈ F , suy ra g lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. H¬n n÷a

|g(λx0 + y)| = |λ|δ |λ|x0 +

y

λ

= λx0 + y víi mäi λx0 + y ∈ D, λ = 0

79



Suy ra g liªn tôc vµ g 1 (∗).

MÆt kh¸c víi 0 < r < 1 tuú ý, do δ = inf {x0 − y : y ∈ F }, t×m ®− îc y ∈ F

®Ó

x0 − y <δr

, hay rx0 − y < δ

Tõ ®ã suy ra |g(x0 − y)| = δ > rx0 − y. V× x0 − y > δ > 0 nªn

g = supx=0

g(x)x

g(x0 − y)

x0 − y > r.

ChuyÓn qua giíi h¹n khi r → 1− ta ®− îc g 1 (∗∗).

KÕt hîp çc bÊt ®¼ng thøc (∗) vµ (∗∗) ta ®− îc g = 1.

Cuèi cïng, ¸p dông hÖ qu¶ (3.4) tån t¹i f ∈ E ®Ó f D

= g vµ f = g = 1.

Suy ra f F

= 0, f = 1 vµ f (x0) = δ = inf {x0 − y : y ∈ F }.

HÖ qu¶ 3.6. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ x ∈ E , x = 0. Khi ®ã tån t¹i

f ∈ E ®Ó

f (x) = x vµ f = 1

Chøng minh. ChØ viÖc ¸p dông hÖ qu¶ 3.5 tíi F = {0} vµ x0 = x ta t×m ®− îc

f ∈ E tho¶ m·n.

NhËn xÐt. Nhê hÖ qu¶ 3.4, víi mçi x ∈ E, x = 0 tån t¹i f ∈ E sao cho f = 1

vµ |f (x)| = x. Tõ ®ã suy ra:

x sup{|f (x)| : f ∈ E vµ f 1} sup{f .x : f ∈ E , f 1} x

Nh− vËy ta cã bÊt ®¼ng thøc quan träng sau:

x = sup{|f (x)| : f ∈ E vµ f 1}

80




Bµi 1. XÐt kh«ng gian con cf cña kh«ng gian c0 cho bëi

cf := {x = (ξn) ∈ KN∗ sao cho ∃n0 víi mäi n > n0 : ξn = 0}

vµ d·y {f k}∞k=1 ⊂ cf víi f k(x) = kξk, x = (ξn) ∈ cf , k ∈ N∗.

Chøng minh r»ng d·y {f k} bÞ chÆn ®iÓm trªn cf nh− ng kh«ng bÞ chÆn ®Òu.

Bµi 2. §Æt E = {f ∈ C [0; 1] : ∃δ = δ(f ) > 0 sao cho f

[0,δ]= 0}

a) Chøng minh r»ng

D = f ∈ E : n|f 1

n| 1 víi mäi n ∈ N∗.

lµ c©n, ®ãng, hót trong E , nh− ng kh«ng lµ l©n cËn cña 0 ∈ E , ë ®©y D lµ hót

trong E nÕu

∀f ∈ E, ∃ε > 0 : λf ∈ D víi mäi λ : |λ| < ε

b) Víi mäi n 1, ®Æt

ϕn(f ) = nf (1

n), f ∈ E

Chøng minh r»ng d·y {ϕn}∞n=1 ⊂ E lµ bÞ chÆn ®iÓm nh−

ng kh«ng bÞ chÆn ®Òu.

Bµi 3. Gi¶ sö E vµ F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ g : E → F lµ song ¸nh

tuyÕn tÝnh sao cho g−1 : F → E liªn tôc. Chøng minh g cã ®å thÞ ®ãng.

Bµi 4. Chøng minh r»ng mäi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh kh¸c kh«ng trªn kh«ng gian

®Þnh chuÈn ®Òu lµ ¸nh x¹ më.

Bµi 5. Dùa vµo §Þnh lý Banach vÒ ¸nh x¹ më, chøng minh r»ng kh«ng gian ®Þnh

chuÈn C [0;1] víi chuÈn

f 1 = 1

0

|f (x)|dx, f ∈ C [0; 1]

kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Banach.

81



Bµi 6. Chøng minh r»ng mäi kh«ng gian con ®ãng thùc sù cña kh«ng gian ®Þnh

chuÈn E lµ giao cña mét hä çc siªu ph¼ng ®ãng trong E .

Bµi 7. Cho E = C [0;1]. Víi mçi n 1 xÐt ¸nh x¹ f n : E → E cho bëi

f n(x)(t) = x(t1+ 1n ), x ∈ C [0;1], t ∈ [0; 1].

Chøng minh r»ng

a) f n : E → E lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc.

b) {f n} héi tô ®iÓm tíi ¸nh x¹ ®ång nhÊt, nghÜa lµ f n(x) → x víi mäi x ∈ E .

c) {f n} kh«ng héi tô theo chuÈn tíi ¸nh x¹ ®ång nhÊt.

Bµi 8. Cho E,F,G lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng

nÕu j : F → G lµ mét ®¬n ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ f : E → F lµ mét ¸nh x¹

tuyÕn tÝnh sao cho ¸nh x¹ j ◦ f : E → G liªn tôc, th× f cã ®å thÞ ®ãng.

Bµi 9. Cho E, F lµ çc kh«ng gian Banach vµ ϕ : E → F lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh. Chøng minh r»ng ϕ ∈ L(E ; F ) khi vµ chØ khi f ◦ ϕ ∈ E víi mäi f ∈ F .

ë ®©y E , F lµ kh«ng gian liªn hîp cña E, F .

Bµi 10. XÐt kh«ng gian con C 1[0;1] çc hµm sè kh¶ vi liªn tôc trªn [0;1] cñakh«ng gian C [0;1] çc hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [0;1] vµ ¸nh x¹

ϕ : C 1[0;1] → C [0;1]x(t) → x(t)

Chøng minh r»ng:

a) ϕ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

b) ker ϕ lµ kh«ng gian con ®ãng cña C 1[0;1] vµ ϕ cã ®å thÞ ®ãng.

c) ϕ kh«ng liªn tôc.

d) C 1[0; 1] kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian con Banach cña C [0;1].

82



Bµi 11. Ta gäi tËp con S cña kh«ng gian vÐc t¬ E lµ c¬ së Hamel nÕu S lµ tËp

®éc lËp tuyÕn tÝnh trong E vµ mäi vÐc t¬ cña E ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña

mét sè h÷u h¹n çc vÐct¬ nµo ®ã cña S . Chøng minh r»ng nÕu E lµ kh«ng gian

Banach v« h¹n chiÒu th× E kh«ng cã c¬ së Hamel ®Õm ®− îc.

Bµi 12. TËp con L trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn E ®− îc gäi lµ mét

®a t¹p tuyÕn tÝnh nÕu vµ chØ nÕu L cã d¹ng: L = M + x0, trong ®ã x0 ∈ E

cßn M lµ kh«ng gian con cña E . Chøng minh r»ng TËp con L trong kh«ng

gian ®Þnh chuÈn E lµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi αx + βy ∈ L víi mäi

x, y ∈ L, ∀α, β ∈ K : α + β = 1.

Bµi 13. Siªu ph¼ng H trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E cã ph− ¬ng tr×nh f (x) = 0

(trong ®ã f : E → K lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh kh¸c kh«ng trªn E ) ®− îc gäi

lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt. Mét çch tæng qu¸t, ta gäi ®a t¹p tuyÕn tÝnh cã d¹ng

H + x0, trong ®ã H lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt lµ mét siªu ph¼ng trong E . Chøng

minh r»ng ®a t¹p L trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ siªu ph¼ng khi vµ chØ khi

tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh kh¸c kh«ng f trªn E vµ tån t¹i sè α ∈ K sao cho

L = {x ∈ E : f (x) = α}.

Bµi 14. Chøng minh r»ng kh«ng gian ®Þnh chuÈn E h÷u h¹n chiÒu khi vµ chØ khi

mäi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn E ®Òu liªn tôc.

Bµi 15. Chøng minh r»ng tËp M ⊂ l p, p 1 lµ compact t− ¬ng ®èi trong l p khi

vµ chØ khi:

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗) : supx∈M

∞n=n0+1

|xn| p < ε, x = (xn)∞n=1 ∈ l p.

83



Ch− ¬ng 3

To¸n tö trong kh«ng gian Banach

Trong ch− ¬ng nµy chóng ta sÏ nghiªn cøu vÒ tÝnh chÊt cña çc ¸nh x¹ tuyÕntÝnh ®Æc biÖt trong kh«ng gian Banach, ®− îc gäi chung lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh, ®ång

thêi, ®Ó ®¬n gi¶n trong çch viÕt, nÕu A : E → F lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ x ∈ A

th× ®«i khi chóng ta viÕt lµ Ax thay cho A(x) ®Ó chØ ¶nh cña x qua A. §ã lµ to¸n

tö liªn hîp, to¸n tö compact, to¸n tö h÷u h¹n chiÒu. §Æc biÖt, chóng ta sÏ giíi

thiÖu kh¸i niÖm vÒ phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ çc tÝnh chÊt tæng qu¸t cña phæ,

®ång thêi còng nghiªn cøu vÒ ®Æc tr− ng phæ cña mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh ®Æc

biÖt ®· giíi thiÖu ë trªn. §Ó ®¬n gi¶n trong çch viÕt, nÕu A : E

→F lµ to¸n tö

tuyÕn tÝnh vµ x ∈ A th× ®«i khi chóng ta viÕt lµ Ax thay cho A(x) ®Ó chØ ¶nh cña

x qua A.

1 To¸n tö liªn hîp

§Þnh nghÜa 1.1. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Ta gäi kh«ng gian liªn hîp

t«p« E = L(E,K) cña E lµ kh«ng gian liªn hîp thø nhÊt cña E . Kh«ng gian

liªn hîp cña E ®− îc ký hiÖu lµ E vµ gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña E .

Nh− vËy

E = (E ) = L(E ;K).

84



MÖnh ®Ò 1.2. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã ¸nh x¹

ηE : E → E

x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

ηE (x)(f ) = f (x), x ∈ E, f ∈ E

lµ ®¬n cÊu gi÷ nguyªn chuÈn tõ E vµo E . Nãi çch kh¸c ηE lµ phÐp nhóng ®¼ng

cù kh«ng gian E vµo E .

Chøng minh. HiÓn nhiªn víi mäi x ∈ E , phiÕm hµm ηE (x) lµ tuyÕn tÝnh trªn E

vµ do |ηE (x)(f )| = |f (x)| xf víi mäi f ∈ E

nªn ηE (x) lµ liªn tôc trªn E vµ ηE (x) x víi mäi x ∈ E , nghÜa lµ ηE (x) ∈E .

MÆt kh¸c, víi mçi x ∈ E, x = 0, theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Hahn- Banach, tån

t¹i f ∈ E sao cho

f = 1 vµ f (x) = x

Tõ ®ã, theo ®Þnh nghÜa chuÈn ta cã:

ηE (x) |ηE (x)(f )| = |f (x)| = x víi mäi x ∈ E.

VËy ηE (x) = x víi mäi x ∈ E nªn ηE : E → E lµ ®¬n cÊu gi÷ nguyªn

chuÈn tõ E vµo E .

VÝ dô 1. Tõ çc vÝ dô ë Ch− ¬ng 1 môc 4.3 chóng ta ®· biÕt çc cÆp kh«ng gian

®¼ng cù sau ®©y:

(Kn) ∼= Kn, (1) ∼= ∞, ( p) ∼= q víi p, q ∈ R, p, q > 0,1

p+

1

q= 1.

85



§Þnh nghÜa 1.3. Gi¶ sö E vµ F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f ∈ L(E ; F ).

Khi ®ã to¸n tö tuyÕn tÝnh f : F → E x¸c ®Þnh bëi f (u) := u ◦ f, u ∈ F , ®− îc

gäi lµ to¸n tö liªn hîp thø nhÊt cña f . To¸n tö f = (f ) : E

→F ®− îc gäi lµ

to¸n tö liªn hîp thø hai cña f .

MÖnh ®Ò 1.4. NÕu f ∈ L(E ; F ) th× f ∈ L(E ; F ) vµ f = f . §ång thêi,

ηF ◦ f = f ◦ ηE ,

ë ®ã ηE : E → E lµ phÐp nhóng ®¼ng cù E vµo kh«ng gian liªn hîp thø hai E

cña E .

Chøng minh. Do f (u) = u

◦f, u

∈F , nªn dÔ thÊy f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Ta

cã:

f (u) = u ◦ f f u víi mäi u ∈ F .

Suy ra f liªn tôc vµ f f . §Ó chøng minh f = f ta chØ cßn ph¶i

chØ ra f f . Tr− íc hÕt ta chØ ra ηF ◦ f = f ◦ ηE mµ cã thÓ viÕt ng¾n

gän f = f E

nÕu ta ®ång nhÊt E víi ηE (E ) ⊂ E . ThËt vËy, tõ ®Þnh nghÜa cña

ηE , ηF vµ do f = (f ) nªn víi mäi x ∈ E vµ víi mäi u ∈ F ta cã:

(f

◦ηE )(x)(u) = f (ηE (x))(u) = ηE (x)

◦f (u)

= ηE (x)

f (u)

= [f (u)](x) = u(f (x))

=

ηF (f (x))

(u) =

(ηF ◦ f )(x)

(u)

E

f

−−−→F

ηE⏐⏐ ⏐⏐ηF

E ←−−−f

F

Suy ra f ◦ ηE = ηF ◦ f .

B©y giê ¸p dông bÊt ®¼ng thøc f f víi f thay bëi f ta cã f f .

MÆt kh¸c, tõ ®¼ng thøc f ◦ ηE = ηF ◦ f vµ tõ tÝnh gi÷ nguyªn chuÈn cña ηE vµ

ηF ta cã

f

= supx∈E,x1

f (x)

= supx∈E,x1

ηF

(f (x))

= supx∈E,x1

(ηF ◦

f )(x)

= ηF ◦ f = f ◦ ηE ηF .f = f f Tõ çc chøng minh trªn suy ra f = f .

86



MÖnh ®Ò 1.5. NÕu f, g : E → F lµ çc to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng

gian ®Þnh chuÈn E vµ F th× víi mäi α, β ∈ K ta cã:

(αf + βg) = αf + βg .

Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa ta cã

(αf + βg)(u)(x) = u((αf + βg)x) = u(αf (x) + βg(x)

= αu(f (x)) + βu(g(x))

= α(f u)(x) + β (gu)(x) ∀u ∈ F , ∀x ∈ E

NghÜa lµ (αf + βg) = αf + βg.

MÖnh ®Ò 1.6. a) NÕu f ∈ L(E ; F ), g ∈ L(F ; G) th× (g ◦ f ) = f ◦ g.

b) (1E ) = 1E .

Chøng minh. a) Tõ ®Þnh nghÜa to¸n tö liªn hîp ta cã:

(g ◦ f )(v)(x) = [v(g ◦ f )](x) = v(g(f (x)))

= (gv)(f (x)) = f (gv)(x)

= (f

◦g)(v)(x) víi mäi v

∈G vµ víi mäi x

∈E

NghÜa lµ (g ◦ f ) = g ◦ f .

b) XÐt ¸nh x¹ bÊt kú f ∈ L(E ; E ). Theo a) ta cã:

f = (f ◦ 1E ) = (1E )

◦ f ∈ L(E ; E )

f = (1E ◦ f ) = f ◦ (1E ) ∈ L(E ; E )

⇒ (1E )

= 1E .

MÖnh ®Ò 1.7. Gi¶ sö E vµ F lµ çc kh«ng gian Banach vµ f

∈ L(E, F ). Khi ®ã

f : E → F lµ ®¼ng cÊu nÕu vµ chØ nÕu f : F → E lµ ®¼ng cÊu. Khi ®ã

(f )−1 = (f −1)

87



Chøng minh. Gi¶ sö f : E → F lµ ®¼ng cÊu, khi ®ã tån t¹i ¸nh x¹ g : F → E

tho¶ m·n

g

◦f = 1E , f

◦g = 1F

ë ®©y 1E vµ 1F ký hiÖu çc ¸nh x¹ ®ång nhÊt cña E vµ F . Tõ mÖnh ®Ò 1.6 ta cã:

f ◦ g = (g ◦ f ) = (1E ) = 1E

g ◦ f = (f ◦ g) = (1F ) = 1F

Suy ra f : F → E lµ ®¼ng cÊu.

Ng− îc l¹i, gi¶ sö f : F → E lµ ®¼ng cÊu. Do f = (f ) nªn theo chøng

minh ë trªn suy ra f : E → F lµ ®¼ng cÊu. Do f E = f nªn f : E → Im F

lµ ®¼ng cÊu. Suy ra Im f lµ kh«ng gian Banach vµ do ®ã lµ kh«ng gian con ®ãng

cña F . Ta sÏ chøng minh Im f = F . ThËt vËy, gi¶ sö Im f = F , theo hÖ qu¶

3.5, ch− ¬ng 2 (hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Hahn-Banach), tån t¹i v ∈ F , v = 0 sao cho

v

Im f = 0. Suy ra f (v) = v ◦ f = 0. Do f lµ ®¬n ¸nh nªn tõ f (v) = 0 suy ra

v = 0. §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt v = 0. M©u thuÉn nµy chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n

chøng sai. VËy Im f = F vµ f : E F .

2 To¸n tö compact

Trong bµi nµy chóng ta ®i nghiªn cøu vÒ mét sè tÝnh chÊt quan träng cña to¸n

tö compact gi÷a çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«ng gian Banach. §ã lµ: ®Æc

tr− ng cña to¸n tö compact; çc phÐp to¸n ®èi víi to¸n tö compact; to¸n tö nghÞch

®¶o cña mét ®¼ng cÊu compact vµ ®Æc biÖt lµ §Þnh lý Schauder vÒ to¸n tö liªn

hîp cña mét to¸n tö compact.

§Þnh nghÜa 2.1. Gi¶ sö E vµ F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn. To¸n tö tuyÕn tÝnhf ®− îc gäi lµ to¸n tö compact nÕu ¶nh qua f cña h×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ trong E

B[0, 1] = {x ∈ E : x 1}

88



lµ tËp compact t− ¬ng ®èi trong F .

Chó ý r»ng tËp con X cña F ®− îc gäi lµ compact t− ¬ng ®èi trong E nÕu bao

®ãng X cña X lµ tËp compact trong F .

NhËn xÐt 1. NÕu f lµ to¸n tö compact th× f (B[0, 1]) bÞ chÆn trong F nªn f liªn

tôc, v× vËy to¸n tö compact cßn ®− îc gäi lµ to¸n tö hoµn toµn liªn tôc.

MÖnh ®Ò 2.2. Gi¶ sö E vµo F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã ®èi víi

to¸n tö tuyÕn tÝnh f : E → F , çc kh¼ng ®Þnh sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng:

a) f lµ to¸n tö compact;

b) NÕu A lµ tËp bÞ chÆn trong E th× f (A) lµ tËp compact t − ¬ng ®èi trong F ;

c) Víi mäi d·y bÞ chÆn {xn} ⊂ E , tån t¹i mét d·y con {xnk} ®Ó {f (xnk)}héi tô trong F .

Chøng minh. b) ⇒ a). LÊy n ∈ N∗ sao cho A ⊂ nB[0, 1]. V× f lµ ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh nªn f (A) ⊂ f (nB[0, 1]) ⊂ nf (B[0, 1]). L¹i do ¸nh x¹ y → ny lµ ®¼ng cÊu

nªn tõ tÝnh compact t− ¬ng ®èi cña f (B[0, 1]) suy ra tÝnh compact t− ¬ng ®èi cña

nf (B[0, 1]). Tõ ®ã suy ra tËp f (A) ⊂ nf (B[0, 1]) còng lµ tËp compact t− ¬ng ®èi

trong F .

b) ⇒ c). HiÓn nhiªn.

c) ⇒ a). LÊy d·y (yn)n∈N∗ ⊂ f (B[0, 1]) tïy ý, khi ®ã tån t¹i d·y (xn)n∈N∗ ⊂B[0, 1] sao cho f (xn) = yn, (∀n). Theo gi¶ thiÕt, d·y (xn) cã d·y con (xkn) sao

cho ykn = f (xkn) → y ∈ F , nghÜa lµ d·y (yn)n cã d·y con héi tô trong F , do

vËy f (B[0, 1]) lµ compact t− ¬ng ®èi.

VÝ dô 1. Tõ ®Þnh lý Riesz suy ra nÕu E lµ v« h¹n chiÒu th× ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn

E liªn tôc nh−

ng kh«ng ph¶i lµ to¸n tö compact.

VÝ dô 2. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn E h÷u h¹n chiÒu khi vµ chØ khi to¸n tö ®ång

nhÊt trªn E lµ to¸n tö compact.

89



MÖnh ®Ò 2.3. NÕu f, g lµ çc to¸n tö compact tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn E ®Õn

kh«ng gian ®Þnh chuÈn F th× αf + βg còng lµ to¸n tö compact.

Chøng minh. ThËt vËy, cho {xn} ⊂ E bÞ chÆn. Do f lµ compact tån t¹i d·y con{xnk} ®Ó f (xnk) → y. Còng vËy do g lµ compact tån t¹ixnkj

®Ó g(xnkj) → z.

Suy ra αf (xnkj) + βg(xnkj

) → y + z. VËy αf + βg lµ compact.

MÖnh ®Ò 2.4. NÕu f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G) ë ®©y E, F, G lµ çc kh«ng gian

®Þnh chuÈn, th× g ◦ f : E → G lµ compact nÕu f hoÆc g lµ compact.

Chøng minh. Cho {xn} ⊂ E lµ d·y bÞ chÆn trong E . §Çu tiªn gi¶ sö f lµ

compact. Khi ®ã cã d·y con{

xnk

}®Ó f (xnk)

→y. Do g lµ liªn tôc nªn

(g◦f )(xnk) = g(f (xnk)) → g(y) ∈ G. VËy g◦f : E → G lµ to¸n tö compact. TiÕp

theo, gi¶ sö g lµ compact. Do f lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ tËp {xn : n ∈ N∗} ⊂ E

bÞ chÆn nªn tËp {f (xn)} ⊂ F bÞ chÆn. VËy, do g lµ compact tån t¹i d·y con

g(f (xnk)) → z ⇔ (g ◦ f )(xnk) → z. Suy ra g ◦ f lµ compact.

§Þnh lý 2.5. NÕu {f n} ⊂ L(E, F ) lµ d·y çc to¸n tö compact tõ kh«ng gian

Banach E vµo kh«ng gian Banach F héi tô tíi f trong L(E, F ) th× f còng lµ

to¸n tö compact.

Chøng minh. Do F lµ ®Çy, theo ®Æc tr− ng Hausdorff vÒ tÝnh compact cña mét

tËp con trong kh«ng gian metric ®Çy, chØ cÇn chøng minh f (BE ) lµ hoµn toµn bÞ

chÆn, víi

BE = {x ∈ E : x 1}.

Cho ε > 0, chän n0 ®Ó

f − f n0 < ε ⇒ f (x) − f n0(x) ε víi mäi x ∈ BE

Do f n0 lµ compact, tån t¹i x1, . . . , xn ∈ BE ®Ó

∀x ∈ BE , ∃1 i n : f n0(x) − f n0(xi) < ε

90



Cho x ∈ BE . Chän 1 i n tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc trªn. Ta cã

f (x) − f (xi) f (x) − f n0(x) + f n0(x) − f n0(xi) < 2ε

VËy x1, . . . , xn lµ 2ε- l− íi h÷u h¹n cña f (BE ). Do ®ã f lµ to¸n tö compact.

§Þnh lý Shauder d− íi ®©y nªu lªn mèi liªn hÖ gi÷a vÒ tÝnh compact gi÷a to¸n

tö tuyÕn tÝnh liªn tôc f ∈ L(E, F ) vµ to¸n tö liªn hîp cña nã.

§Þnh lý 2.6 (Schauder). Cho E, F lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn vµ

f ∈ L(E, F ). Khi ®ã:

a) NÕu f lµ to¸n tö compact th× to¸n tö liªn hîp f : F → E cña f còng lµ

to¸n tö compact.

b) NÕu F lµ kh«ng gian Banach vµ to¸n tö liªn hîp f : F → E lµ to¸n tö

compact th× f lµ to¸n tö compact.

Chøng minh. Chóng ta ký hiÖu BE lµ h×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ trong E vµ BF lµ

h×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ trong F .

a) Gi¶ sö f : E → F lµ compact. §Ó chøng minh f lµ to¸n tö compact, nhê

®Þnh nghÜa, chóng ta chøng minh f (BF ) hoµn toµn bÞ chÆn trong E :

Cho ε > 0, do f (BE ) lµ hoµn toµn bÞ chÆn trong F nªn tån t¹i ε-l− íi h÷u h¹n

{y1, . . . , yn} cña f (BE ). XÐt tËp con L ⊂ Kn cho bëi

L = {(v(y1), . . . , v(yn)) : v ∈ BF }

Do

sup{|v(y j)| : 1 j n, v ∈ F , v 1} = max1 jn

y j < +∞

nªn L bÞ chÆn trong Kn

vµ do ®ã hoµn toµn bÞ chÆn trong Kn

, ë ®©y Kn

xÐt víichuÈn max:

(ξ1, . . . , ξn) = max1 jn

|ξ j |.

91



V× L hoµn toµn bÞ chÆn trong Kn nªn cã thÓ chän cho L mét ε- l− íi h÷u h¹n gåm

toµn çc phÇn tö cña L:

{v1(y1), . . . , v1(yn); . . . ; vm(y1), . . . , vm(yn)}.

Ta sÏ chøng tá tËp hîp {f (v1), . . . , f (vm)} lµ 3ε-l− íi h÷u h¹n cña f (BF ) trong

E . Cho v ∈ BF , chän 1 k0 m sao cho

max1 jn

|vk0(y j) − v(y j)| < ε

§iÒu nµy cã ®− îc do (vk(y1), . . . , vk(yn)), 1 k m lµ ε- l− íi h÷u h¹n cña L.

TiÕp theo víi mäi x ∈ BE vµ chän jx ∈ N∗ : 1 jx n sao cho f (x)−y jx < ε.

Suy ra

f (v) − f (vk0) = sup{|(f (v) − f (vk0))(x)| : x 1}= sup{|(v − vk0)(f (x))| : x 1} sup{|v(f (x) − y jx)| : x 1}+ sup{|(v − vk0)(y jx)| : x 1} + sup{|vk0(y jx − f (x))| : |x 1} sup{vf (x) − y jx : x 1} + sup{|v(y jx) − vk0(y jx)| : x 1}+ sup{vk0y jx − f (x) : x 1} < ε + ε + ε = 3ε.

VËy {f (vk), 1 k m} lµ 3ε-l− íi h÷u h¹n cña f (BF ), suy ra f lµ to¸n tö

compact.

b) Gi¶ sö F lµ kh«ng gian Banach vµ f lµ to¸n tö compact, ¸p dông ®iÒu võa

chøng minh ë trªn cho f ta cã f lµ to¸n tö compact. MÆt kh¸c, do f = f E

suy ra f lµ to¸n tö compact.

3 To¸n tö h÷u h¹n chiÒu

§Þnh nghÜa 3.1. Cho E, F lµ çc kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f : E → F lµ ¸nh

x¹ tuyÕn tÝnh. Ta nãi f lµ to¸n tö h÷u h¹n chiÒu nÕu Im f lµ kh«ng gian con h÷u

h¹n chiÒu cña F .

92



MÖnh ®Ò 3.2. Mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc h÷u h¹n chiÒu ®Òu lµ to¸n tö

compact.

Chøng minh. Gi¶ sö f : E → F lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc h÷u h¹n chiÒu, tøclµ Im f lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu vµ do ®ã lµ kh«ng gian con Banach cña

F nªn ®ãng trong F . Do BE [0, 1] = {x ∈ E | x 1} lµ tËp bÞ chÆn trong E vµ

f liªn tôc nªn f (BE [0, 1]) lµ tËp bÞ chÆn trong Im f . Ta ®· biÕt, mäi tËp bÞ chÆn

trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu ®Òu lµ tËp compact t− ¬ng ®èi nªn f (BE [0, 1]) lµ

tËp compact t− ¬ng ®èi trong Im f vµ do ®ã lµ compact t− ¬ng ®èi trong F , tøc lµ

f lµ to¸n tö compact.

VÝ dô 1. NÕuE

hoÆcF

h÷u h¹n chiÒu th× mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ E

vµo F ®Òu lµ to¸n tö compact.

ThËt vËy, nÕu E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu vµ f : E → F lµ

to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc, khi ®ã dÔ thÊy dimIm f dim f nªn Im f lµ kh«ng

gian con h÷u h¹n chiÒu cña F nªn f lµ to¸n tö h÷u h¹n chiÒu. Theo mÖnh ®Ò 3.2,

f lµ to¸n tö compact. Tr− êng hîp F h÷u h¹n chiÒu th× mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn

tôc tõ E ®Õn F ®Òu lµ to¸n tö h÷u h¹n chiÒu, dã ®ã lµ to¸n tö compact.

MÖnh ®Ò 3.3. Chof ∈ L(E, F )

víiE

,F

lµ çc kh«ng gian Banach. Khi ®ãf

lµ

to¸n tö h÷u h¹n chiÒu nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i u1, . . . , un ∈ E vµ y1, . . . , yn ∈ F

®Ó

f (x) =

n j=1

u j(x)y j, x ∈ E

Chøng minh. §iÒu kiÖn ®ñ lµ hiÓn nhiªn v× khi ®ã Im f lµ kh«ng gian con cña

kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu sinh bëi y1, . . . , yn nªn dimIm f n. Ng− îc l¹i, gi¶

sö f lµ h÷u h¹n chiÒu. Chän y1, . . . , yn lµ c¬ së cña Im f . Khi ®ã mäi y ∈ Im f

®Òu biÓu diÔn ®− îc duy nhÊt d− íi d¹ng:

y =n

j=1

f j(y)y j

93



víi çc f j : Im f → K, j = 1, n, lµ çc phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn Im f . Do Im f

lµ h÷u h¹n chiÒu nªn çc f j lµ liªn tôc. Theo §Þnh lý Hahn- Banach, tån t¹i çc

phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f j

∈F ®Ó f jIm f

= f j. §Æt u j = f j

◦f

∈E . Khi

®ã, víi mäi x ∈ E ta cã:

f (x) =n

j=1

f j(f (x))y j =n

j=1

f j(f (x))y j =n

j=1

(f j ◦ f )(x)y j =n

j=1

u j(x)y j.

4 Phæ cña to¸n tö

4.1 Mét sè kh¸i niÖm cÇn thiÕt

1. §¹i sè çc to¸n tö. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Banach trªn tr− êng sè thùc hay

sè phøc. KÝ hiÖu L(E ) lµ kh«ng gian Banach tÊt c¶ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn

tôc tõ E vµo E . DÔ dµng kiÓm tra thÊy L(E ) kh«ng chØ lµ kh«ng gian Banach

mµ cßn lµ mét vµnh cã ®¬n vÞ víi çc phÐp to¸n céng vµ nh©n x¸c ®Þnh víi çc

cÆp f, g ∈ L(F ) nh− sau:

+) PhÐp céng: (f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ E ;

+) PhÐp nh©n; g.f := g◦

f .

Ta gäi L(E ) lµ ®¹i sè Banach çc to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn E . PhÇn

tö ®¬n vÞ cña L(E ), kÝ hiÖu lµ 1E , chÝnh lµ to¸n tö ®ång nhÊt cña E vµ phÇn tö

kh«ng, kÝ hiÖu lµ 0, chÝnh lµ to¸n tö kh«ng trªn E .

2. Hµm gi¶i tÝch nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach

§Ó cã thÓ nghiªn cøu vÒ phæ cña to¸n tö trong kh«ng gian Banach E chóng ta

më réng kh¸i niÖm hµm gi¶i tÝch nhËn gi¸ trÞ v« h− íng tíi tr− êng hîp hµm nhËn

gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach tæng qu¸t.

Cho D lµ tËp më trong K vµ hµmf : D → E x¸c ®Þnh trªn D nhËn gi¸ trÞ

trong kh«ng gian Banach E . Ta nãi

94



a) f gi¶i tÝch t¹i λ0 ∈ D nÕu

f (λ) =∞

n=0

(λ − λ0)nan víi mäi λ : |λ − λ0| < ρ(λ0, ∂D),

ë ®©y an ∈ E víi mäi n ∈ N.

b) Gi¶i tÝch trªn D nÕu nã gi¶i tÝch t¹i mäi λ ∈ D.

Khi K = C hµm gi¶i tÝch ®− îc gäi lµ hµm chØnh h×nh. Chóng ta sÏ ký hiÖu

chuçi∞n=0

(λ − λ0)nan, (an ∈ E ), bëi∞n=0

an(λ − λ0)n vµ gäi lµ chuçi luü thõa víi

hÖ tö trong E .

NhËn xÐt 1. NÕu f : D → E gi¶i tÝch vµ T : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn

tôc tõ kh«ng gian Banach E vµo kh«ng gian Banach F th× T ◦ f : D → F lµ gi¶itÝch. ThËt vËy, víi λ0 ∈ D, do f gi¶i tÝch t¹i λ0 tån t¹i an ∈ E , n ∈ N), sao cho

f (λ) =∞n=0

an(λ − λ0)n, ∀λ : |λ − λ0| < ρ(λ0, ∂D).

Do T lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc nªn víi mäi λ : |λ − λ0| < ρ(λ0, ∂D) ta cã:

(T ◦ f )(λ) = T (f (λ)) = T ∞

n=0

an(λ − λ0)n

=∞n=0

T (an)(λ − λ0)n

VËy T ◦ f gi¶i tÝch t¹i λ0.

§Þnh lý 4.1 ( Liouville). NÕu f : C→ E lµ hµm chØnh h×nh vµ bÞ chÆn trªn C

M = sup{f (z) : z ∈ C} < +∞

th× f lµ hµm h»ng.

Chøng minh. Gi¶ sö ph¶n chøng r»ng f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, khi ®ã tån t¹i

z1, z

2 ∈ C®Ó f (z

1)

= f (z

2). Do hÖ qu¶ 3.6 cña §Þnh lý Hahn-Banach (ch− ¬ng

2), tån t¹i u ∈ E ®Ó

u(f (z1) − f (z2)) = f (z1) − f (z2) = 0 suy ra u(f (z1)) = u(f (z2)).

95



MÆt kh¸c, theo nhËn xÐt ë trªn ta cã u ◦ f : C→ C lµ hµm chØnh h×nh vµ do

|(u ◦ f )(z)| = |u(f (z))| uf (z) víi mäi z ∈ C

nªn

sup{|u(f (z))| : z ∈ C} u sup{f (z) : z ∈ C} < +∞

nªn u ◦ f bÞ chÆn trªn C. Tõ ®ã, theo ®Þnh lý Liouville ®èi víi hµm chØnh h×nh

v« h− íng th× u ◦ f lµ hµm h»ng trªn C, tr¸i víi ®iÒu ®· kh¼ng ®Þnh (u ◦ f )(z1) =(u ◦ f )(z2)). M©u thuÉn nµy chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng lµ sai, vËy f lµ hµm

h»ng.

4.2 Phæ cña to¸n tö trong kh«ng gian Banach

§Þnh nghÜa 4.2. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f ∈ L(E ) lµ to¸n tö trong

E . Ta nãi sè λ ∈ K lµ mét gi¸ trÞ chÝnh quy cña f nÕu to¸n tö λ1E − f lµ kh¶

nghÞch trong L(E ). Tr¸i l¹i, λ ®− îc gäi lµ gi¸ trÞ phæ cña f .

TËp tÊt c¶ çc gi¸ trÞ chÝnh quy cña f ®− îc ký hiÖu lµ s(f ) vµ tËp çc gi¸ trÞ

phæ cña f ®− îc ký hiÖu lµ σ(f ).

NhËn xÐt 2. a) Theo ®Þnh nghÜa, sè λ lµ gi¸ trÞ chÝnh quy cña f ∈ L(E ) khi vµ

chØ khi λ1E − f lµ ®¼ng cÊu.

b) NÕu E lµ kh«ng gian Banach vµ f ∈ L(E ) th× víi mäi λ ∈ K ta cã

λ1E − f ∈ L(E ). Nhê §Þnh lý Banach-Steinhaux ta suy ra:

Sè λ ∈ K lµ gi¸ trÞ chÝnh quy cña f khi vµ chØ khi víi mçi y ∈ E , tån t¹i duy

nhÊt x ∈ E sao cho λx − f (x) = y.

c) Theo ®Þnh nghÜa ta cã: σ(f ) = K\

s(f ).

Do λ1e(x) = λx víi mäi x ∈ E nªn chóng ta cã thÓ viÕt λ − f thay cho

λ1E − f .

96



Sau ®©y lµ çc ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ ®Æc tr− ng phæ cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh

liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian Banach.

§Þnh lý 4.3. Cho E lµ kh«ng gian Banach trªn tr− êng K, khi ®ã, tËp hîp phæ

σ(f ) cña f ∈ L(E ) lµ tËp compact trong K vµ hµm λ → (λ − f )−1 gi¶i tÝch trªn

tËp s(f ) çc gi¸ trÞ chÝnh quy cña f . Ngoµi ra nÕu K = C th× σ(f ) = ∅.

Chøng minh. a) Cho λ ∈ K víi |λ| > f , khi ®ã dof |λ| < 1 nªn

∞n=0

f n

λn+1

∞n=0

1

|λ|f

|λ|n

< ∞.

Nh− vËy chuçi

∞n=0

f n

λn+1 héi tô tuyÖt ®èi trong L(E ). Do L(E ) lµ kh«ng gian

Banach nªn chuçi nµy héi tô trong L(E ) tíi g(λ):∞n=0

f n

λn+1= g(λ) ∈ L(E ). Víi

mçi x ∈ E ta cã:g(λ)(λ − f )

(x) =

∞n=0

f n

λn+1

◦ (λ − f )

(x)

=

limm→∞

mn=0

f n

λn+1

(λx − f (x))

= limm→∞

mn=0

f n

λn+1

λx − f (x)

= lim

m→∞

mn=0

f n(x)

λn− f n+1(x)

λn+1

= limm→∞

x − f m+1(x)

λn+1

= x − lim

m→∞f m+1(x)

λn+1

Do víi mäi m ∈ N vµ víi mäi x ∈ E ta cã

f m+1(x)

λn+1

f m+1

λn+1.

x

, suy ra lim

m→∞

f m+1(x)

λn+1

= 0.

VËy

g(λ)(λ − f )

(x) = x = 1E (x) víi mäi x ∈ E , chøng tá

g(λ)(λ − f ) = 1E . (1)

97



T − ¬ng tù, víi mçi x ∈ E ta cã:

(λ − f )g(λ)(x) = (λ − f ) ◦ ∞

n=0

f n

λn+1(x)

= (λ − f )

limm→∞

mn=0

f n

λn+1

(x)

= (λ − f )

limm→∞

mn=0

f n(x)

λn+1

= lim

m→∞(λ − f )

mn=0

f n(x)

λn+1

= limm→∞

mn=0

f n(x)

λn− f n+1(x)

λn+1

= limm

→∞x − f m+1(x)

λn+1 = x − limm

→∞

f m+1(x)

λn+1= x

Suy ra

(λ − f )g(λ) = 1E . (2)

Tõ çc kÕt luËn (1) vµ (2) suy ra λ − f kh¶ nghÞch vµ

(λ − f )−1 = g(λ) =∞n=0

f n

λn+1

§Õn ®©y chóng ta ®· chøng minh: NÕu λ ∈ K : |λ| > f th× λ − f kh¶ nghÞch

trong L(E ), nghÜa lµ λ ∈ s(f ) = K \σ(f ). §iÒu nµy chøng tá tËp phæ cña f tho¶m·n:

σ(f ) ⊂ {λ ∈ K : |λ| f }

vµ do ®ã σ(f ) bÞ chÆn trong K.

TiÕp theo, chóng ta sÏ chøng minh σ(f ) lµ tËp ®ãng trong K vµ do ®ã σ(f ) lµ

tËp compact trong K. ThËt vËy, cho λ0 ∈ s(f ) = K \ σ(f ), ®Æt δ =1

(λ0 − f )−1vµ nÕu A ∈ L(E ) lµ ®¼ng cÊu vµ n ∈ N ta sÏ ký hiÖu A−1

n

bëi A−n, khi ®ã,

víi mäi λ ∈ K : |λ − λ0| < δ ta cã:

(λ0 − f )−1.|λ − λ0| < 1

98



cho nªn∞

n=0

(λ0 − f )−n−1|λ − λ0|n (λ0 − f )−1.∞

n=0 (λ0 − f )−1.|λ − λ0|

n

< ∞.

Suy ra chuçi∞n=0

(−1)n(λ0 − f )−n−1(λ − λ0)n héi tô tuyÖt ®èi trong L(E ). Nh−

vËy hµm:

g(λ) =∞n=0

(−1)n(λ0 − f )−n−1(λ − λ0)n

gi¶i tÝch trªn h×nh cÇu {λ ∈ K : |λ − λ0| < δ}. Ngoµi ra, cã thÓ chøng minh ®− îc

r»ng: Víi mäi λ ∈ C sao cho |λ − λ0| < δ vµ víi mäi x ∈ E , g(λ) tho¶ m·n:

g(λ) ◦ (λ − f )

(x) =

(λ − f ) ◦ g(λ)

(x)

= [(λ − λ0) + (λ0 − f )] ◦ g(λ)(x)

= x + limn→∞

(−1)n

[(λ0 − f )−1]n+1(λ − λ0)n+1

(x) = x.

Suy ra g(λ) ◦ (λ − f ) = (λ − f ) ◦ g(λ) = 1E , chøng tá (λ − f )−1 kh¶ nghÞch vµ

(λ − f )−1 = g(λ) víi mäi λ ∈ K : |λ − λ0| < δ. Nãi çch kh¸c

{λ ∈ K : |λ − λ0| < δ} ⊂ s(f )

nªn λ0 lµ ®iÓm trong cña s(f ). Do λ0 lµ ®iÓm tuú ý suy ra s(f ) lµ tËp më vµ do

®ã σ(f ) lµ tËp ®ãng trong K. H¬n n÷a, qua chøng minh trªn ta thÊy t¹i mçi ®iÓmbÊt kú λ0 ∈ s(f ) hµm g(λ) = (λ − 1)−1 khai triÓn ®− îc thµnh chuçi luü thõa

trong l©n cËn cña λ0 nªn g(λ) gi¶i tÝch t¹i λ0. Suy ra g(λ) gi¶i tÝch trªn s(f ).

b) Gi¶ sö K = C nh− ng tån t¹i f ∈ L(E ) ®Ó σ(f ) = ∅, khi ®ã s(f ) = C vµ

hµm g(λ) = (λ − f )−1 chØnh h×nh trªn C. Theo chøng minh phÇn a) ta thÊy: víi

mäi λ ∈ C : mµ |λ| > f ta cã

g(λ) =∞

n=0

f n

λn+1

vµ do ®ã

g(λ) ∞n=0

f |λ|

n

.1

|λ| =1

|λ| − f

99



Suy ra g(λ) → 0 khi |λ| → ∞ nªn tån t¹i sè r > 0 sao cho g(λ) 1 víi mäi

λ : |λ| > r. MÆt kh¸c, do g(λ) lµ liªn tôc trªn tËp compact {λ ∈ C : |λ| r} nªn

M = sup{g(λ) : |λ| r} < ∞VËy sup{g(λ) : λ| ∈ C} < ∞, tøc lµ R(λ) chØnh h×nh vµ bÞ chÆn trªn C. Theo

§Þnh lý Liouville ®èi víi hµm nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach th× g(λ) lµ hµm

h»ng trªn C. Nh− ng v× lim|λ|→∞

g(λ) = 0 ta cã g(λ) ≡ 0 ∈ L(E ) víi mäi λ ∈ C.

Tuy nhiªn ta l¹i cã g(0) = f −1 = 0. Çc kh¼ng ®Þnh m©u thuÉn nµy chøng tá gi¶

thiÕt ph¶n chøng σ(f ) = ∅ lµ sai. VËy σ(f ) = ∅.

§Þnh lý 4.3 kh¼ng ®Þnh tËpσ(f )

bÞ chÆn nªnsup{|λ| : λ ∈ σ(f )} < +∞

vµ

chóng ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y:

§Þnh nghÜa 4.4. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ f ∈ L(E ). Ta gäi sè

rf = sup{|λ| : λ ∈ σ(f )}

lµ b¸n kÝnh phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh f .

Theo ®Þnh lý 4.3, nÕu E lµ kh«ng gian Banach phøc th× víi mäi f

∈ L(E ),

σ(f ) = ∅ nªn rf > 0. Trong tr− êng hîp E lµ kh«ng gian Banach thùc th× cã thÓ

σ(f ) = ∅ vµ khi ®ã ta coi b¸n kÝnh phæ cña f lµ rf = −∞.

§Þnh lý 4.5 d− íi ®©y cho ta c«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh phæ rf cña to¸n tö tuyÕn

tÝnh liªn tôc f trong kh«ng gian Banach phøc. Tuy nhiªn, ®Ó chøng minh ®Þnh

lý chóng ta cÇn më réng kh¸i niÖm vÒ chuçi Laurent trong kh«ng gian Banach:

Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Banach phøc, chuçi Laurent trong E lµ tæng h×nh thøc cã

d¹ng:+∞

n=−∞an(λ − λ0)n, an ∈ E, n = 0, ±1, ±2, . . .

Hoµn toµn t− ¬ng tù víi E = C ta chó ý tíi çc kÕt qu¶ quan träng sau ®©y:

100



a) NÕu

0 r = limn→−∞

sup −n

an < R =

1

limn→∞

sup n an

+∞

th× chuçi Laurentz trªn héi tô ®Òu trªn mäi tËp con compact cña vµnh kh¨n

{λ ∈ C : r < |λ − λ0| < R} tíi hµm chØnh h×nh f (λ).

b) NÕu f lµ hµm chØnh h×nh trªn vµnh kh¨n {λ ∈ C : r < |λ − λ0| < R} víi

gi¸ trÞ trong E th× f khai triÓn ®− îc thµnh chuçi Laurentz trªn vµnh kh¨n nµy:

f (λ) =

∞n=−∞

an(λ − λ0)n

§Þnh lý 4.5. Cho E lµ kh«ng gian Banach phøc vµ f ∈ L(E ). Khi ®ã b¸n kÝnh

phæ cña f lµ

rf = limn→∞

f n 1n (4.1)

Chøng minh. Tr− íc tiªn chóng ta chøng tá giíi h¹n trong vÕ ph¶i cña (4.1) tån

t¹i. ThËt vËy, cè ®Þnh sè tù nhiªn k tuú ý, khi ®ã víi mäi sè tù nhiªn n 1 ta

viÕt n = pk + r, (0 r < k). Ta cã

f n

1

n = f pk+r

1

n f k

p

n .f r

n = f k

1

k−r

kn .f r

n

LÊy giíi h¹n trªn (lim sup) cña hai vÕ khi n → ∞ ta ®− îc:

lim supn→∞

f n 1

n f k 1

k víi mäi k ∈ N∗.

TiÕp theo, lÊy giíi h¹n d− íi (lim inf ) khi k → ∞ ta ®− îc:

lim supn→∞

f n 1n lim inf

k→∞f k 1

k = limn→∞

inf f n 1n

Nh− vËy ta cã lim supn→∞

f n 1n = lim inf

n→∞f n 1

n nªn tån t¹i giíi h¹n limn→∞

f n 1n .

101



Gi¶ sö λ ∈ C vµ |λ| > limn→∞

f n 1n , khi ®ã v× lim

n→∞n

f n|λ|n+1 =

limn→∞

f n 1nλ < 1

nªn theo dÊu hiÖu Cauchy chuçi sè ∞

n=0

f n|λ|n+1 héi tô vµ do ®ã chuçi

∞

n=0

f n

λn+1héi

tô trong L(E ). H¬n n÷a, theo chøng minh ®Þnh lý 4.3, phÇn a) ta cã:

g(λ) = (λ − f )−1 =

∞n=0

f n

λn+1

Nh− vËy λ /∈ σ(λ) víi mäi λ ∈ K mµ |λ| > limn→∞

f n 1n , suy ra

rf limn→∞

f n 1

n

§Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ng− îc l¹i, víi mçi u ∈ L(L(E );K), xÐt khaitriÓn Laurent cña hµm chØnh h×nh v« h− íng u ◦ g t¹i 0 ∈ C trªn vµnh kh¨n

{λ ∈ C : rf < |λ| < +∞}.

Bëi v×

g(λ) =

∞n=0

f n

λn+1víi mäi λ ∈ C : |λ| > rf .

nªn khai triÓn Laurent ®ã chÝnh lµ

(u ◦ g)(λ) =

∞n=0

uf nλn+1 víi mäi λ ∈ C : |λ| > rf

Suy ra

limn→∞

u(f n)

λn+1

= 0 víi mäi λ ∈ C : |λ| > rf .

§Æc biÖt

supn1

u(f n)

λn+1

< ∞ víi mäi λ ∈ C : |λ| > rf

VËy víi mäi λ ∈ C, |λ| > rf , d·y { f n

λn+1} bÞ chÆn yÕu trong L(E ). Theo ®Þnh lý

Banach-Steinhaux, d·y f n

λn+1 bÞ chÆn trong L(E ). Nãi kh¸c ®i

M λ = sup f n

|λ|n+1: n ∈ N

< ∞ víi mäi λ ∈ C : |λ| > rf

102



hay f n M λ|λ|n+1 víi mäi n ∈ N vµ víi mäi λ ∈ C : |λ| > rf .

LÊy c¨n bËc n hai vÕ vµ qua giíi h¹n khi n → ∞ ta ®− îc

limn→∞ f n 1n lim

n→∞ M 1

n

λ |λ|.|λ| 1n = |λ| víi mäi |λ| > rf

Suy ra limn→∞

f n 1n rf . Thµnh thö rf = lim

n→∞f n 1

n .

MÖnh ®Ò d− íi ®©y nãi vÒ mèi liªn hÖ gi÷a phæ cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn

tôc víi phæ cña to¸n tö liªn hîp cña nã.

MÖnh ®Ò 4.6. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ A ∈ L(E ). Khi ®ã σ(A) = σ(A),

ë ®ã A lµ to¸n tö liªn hîp cña A.

Chøng minh. Tõ mÖnh ®Ò 1.7 ta cã: λ − A lµ ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi (λ − A)

lµ ®¼ng cÊu. V× vËy:

λ ∈ s(f ) ⇔ ∃

(λ − A)−1

= (λ − A)−1 ⇔ λ ∈ s(A).

VËy λ ∈ σ(A) khi vµ chØ khi λ ∈ σ(A), nghÜa lµ σ(A) = σ(A).

4.3 Phæ cña to¸n tö compact

Trong môc nµy chóng ta tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ chÝnh vÒ phæ cña to¸n tö

compact trong kh«ng gian Banach thùc hoÆc kh«ng gian Banach phøc E .

§Þnh lý 4.7. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö compact. Khi

®ã víi mçi λ ∈ K, λ = 0 th× N λ := ker(λ − A) lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu

vµ Rλ = Im(λ − A) lµ kh«ng gian con ®ãng cña E .

Chøng minh. a) Tr− íc tiªn chóng ta chøng minh dim N λ < ∞: Ký hiÖu Bλ

lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ cña N λ: Bλ = {x ∈ N λ : x 1}. Khi x ∈ Bλ ta cã

(λ−A)(x) = 0 hay A(x) = λ(x), suy ra A(Bλ) = λBλ. Do A lµ to¸n tö compact

103



vµ Bλ lµ tËp bÞ chÆn nªn theo mÖnh ®Ò 2.2 ch− ¬ng 3, A(Bλ) = λBλ hoµn toµn bÞ

chÆn trong E . Theo gi¶ thiÕt λ = 0, suy ra Bλ hoµn toµn bÞ chÆn. L¹i theo §Þnh

lý Riesz, N λ lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu vµ do ®ã lµ kh«ng gian con h÷u h¹n

chiÒu cña E .

b) TiÕp theo ta chøng minh Rλ lµ kh«ng gian con ®ãng cña E cã ®èi chiÒu

h÷u h¹n: Trong phÇn a) chóng ta ®· chøng minh dim N λ < +∞ nªn N λ cã c¬

së {e1, . . . , en}. Nh− vËy mäi x ∈ N λ ®Òu biÓu diÔn duy nhÊt ®− îc d− íi d¹ng

x =n

j=1

g j(x)e j, trong ®ã çc g j : N λ → K lµ phiÕm hµm. V× sù biÓu diÔn ®ã lµ

duy nhÊt suy ra g j lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. MÆt kh¸c, do N λ h÷u h¹n chiÒu nªn

g j liªn tôc. Theo hÖ qu¶ 3.4, ch− ¬ng 2 çc phiÕm hµm g j cã thÓ th¸c triÓn liªn

tôc tíi f j ∈ E : f jN λ = g j , j = 1, n. Suy ra

f j(ei) = δij, ∀i, j : 1 i, j n

Râ rµng c«ng thøc E x →n

j=1

f j(x)e j x¸c ®Þnh ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc P tõ

E lªn N λ tho¶ m·n P x = x víi mäi x ∈ N λ, v× nÕu x ∈ N λ th×

x =n

j=1

g j(x)e j =n

j=1

f j(x)e j = P x

Suy ra P (x − P x) = P x − P (P x) = P x − P x = 0 hay x − P x ∈ ker P . Thµnh

thö E = M ⊕ N λ víi M = ker P lµ kh«ng gian con ®ãng vµ do ®ã lµ kh«ng gian

con Banach cña E . Tr− íc hÕt ta thÊy:

(λ − A)(E ) = (λ − A)(M ) + (λ − A)(N λ) = (λ − A)(M )

§Ó chøng minh Rλ lµ tËp ®ãng, ta cÇn chøng minh tån t¹i sè r > 0 ®Ó:

(λ

−A)y

r

y

víi mäi y∈

M. (4.2)

Khi ®ã, nÕu {yn}n∈N∗ ⊂ Rλ = (λ − A)(M ) th× ¾t tån t¹i d·y {xn} ⊂ M sao cho

yn = (λ − A)(xn) víi mäi n ∈ N∗. Gi¶ sö yn = (λ − A)(xn) → y ∈ E . Tõ c«ng

104



thøc (4.2) ta cã

yn − ym = (λ − A)xn − (λ − A)xm = (λ − A)(xn − xm) r

xn

−xm

víi mäi n, m 1.

V× d·y {yn} héi tô nªn nã lµ d·y Cauchy trong E , kÐo theo {xn} lµ d·y Cauchy

trong M vµ v× vËy xn → x ∈ M . Ta cã

y = limn→∞ yn = lim

n→∞(λ − A)xn = (λ − A)(x) ∈ (λ − A)(M ) ∈ Rλ

Nh− vËy Rλ lµ tËp ®ãng trong E .

B©y giê, b»ng ph¶n chøng ta chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña c«ng thøc (4.2):

Gi¶ sö mäi r > 0 ®Òu kh«ng tho¶ m·n (4.2), khi ®ã víi mäi n

∈N∗ ®Òu tån t¹i

xn ∈ M : (λ − A)(xn) 1nxn. §Æt xn = xn

xn ta cã xn ∈ M, xn = 1 vµ

(λ − A)(xn) 1n

víi mäi n 1, do ®ã limn→∞

(λ − A)(xn) = 0. V× {xn} lµ d·y

bÞ chÆn vµ A lµ to¸n tö compact nªn theo mÖnh ®Ò 2.2 ch− ¬ng 3, cã thÓ t×m ®− îc

d·y con {zn} ⊂ {xn} ®Ó A(zn) → z0 ∈ E khi n → ∞. MÆt kh¸c, do λ = 0 vµ

{zn} lµ d·y con cña d·y {xn} nªn

limn→∞

λzn − A(zn) = limn→∞

(λ − A)(zn) = 0.

suy ra tån t¹i giíi h¹n limn→∞ zn =

z0

λ := y0 ∈ M . Tõ ®ã ta cã:

(λ − A)(y0) = limn→∞

(λ − A)(zn) = limn→∞

λ.zn − limn→∞

A(zn) = z0 − z0 = 0

chøng tá y0 ∈ N λ vµ do ®ã y0 ∈ M ∩ N λ = {0} nªn y0 = 0. §iÒu nµy lµ v« lý v×

theo çch x©y dùng d·y {zn} ta cã y0 = limn→∞

zn = 1. M©u thuÉn nµy chøng

tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng lµ sai, nghÜa lµ ph¶i tån t¹i sè r > 0 ®Ó kh¼ng ®Þnh trong

c«ng thøc (4.2) ®óng.

§Þnh lý ®· ®− îc chøng minh hoµn toµn.

Chó ý. Ng− êi ta chøng minh ®− îc r»ng víi çc gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý 4.7, Rλ cã

®èi chiÒu h÷u h¹n, nghÜa lµ dim E/Rλ < +∞.

105



Sau ®©y chóng ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm vÒ gi¸ trÞ riªng cña mét to¸n tö tuyÕn

tÝnh f : E → E vµ chøng minh mét sè tÝnh chÊt vÒ mèi liªn hÖ gi÷a gi¸ trÞ riªng

phæ cña mét to¸n tö trong mét sè tr− êng hîp ®Æc biÖt.

§Þnh nghÜa 4.8. Sè λ ∈ K gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö A ∈ L(E ) nÕu tån t¹i

x ∈ E, x = 0 ®Ó Ax = λx. Vect¬ x nh− vËy gäi lµ vect¬ riªng cña A øng víi

gi¸ trÞ riªng λ. Kh«ng gian N λ = ker(λ − A) gäi lµ kh«ng gian riªng cña gi¸ trÞ

riªng λ.

MÖnh ®Ò 4.9. NÕu λ lµ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö A ∈ L(E ) th× λ lµ gi¸ trÞ phæ

cña A. H¬n n÷a, nÕu dim E < ∞ th× tËp çc gi¸ trÞ phæ cña A chÝnh lµ tËp çc

gi¸ trÞ riªng cña A.

Chøng minh. Tr− íc hÕt, nÕu λ lµ gi¸ trÞ trÞ riªng cña A th× tån t¹i x ∈ E, x = 0

sao cho Ax = λx, suy ra (λ − A)(x) = 0, chøng tá to¸n tö λ − A kh«ng ph¶i

lµ ®¬n ¸nh nªn kh«ng thÓ lµ ®¼ng cÊu, tøc kh«ng kh¶ nghÞch trong L(E ). Theo

®Þnh nghÜa, λ ∈ σ(A).

Ta thÊy, sè λ kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña A th× λ − A ∈ L(E ) lµ ®¬n cÊu

vµ nÕu dim E < ∞ th× ®¬n cÊu ®ã chÝnh lµ ®¼ng cÊu nªn λ /∈ σ(A).

§Þnh lý sau ®©y nãi r»ng khi A lµ compact mäi gi¸ trÞ phæ kh¸c kh«ng cña A

®Òu lµ gi¸ trÞ riªng cña nã.

§Þnh lý 4.10. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö compact.

Khi ®ã, nÕu sè λ = 0 lµ gi¸ trÞ phæ cña A th× λ lµ gi¸ trÞ riªng cña A.

Chøng minh. (Ph¶n chøng) Gi¶ sö λ = 0 lµ gi¸ trÞ phæ nh− ng kh«ng lµ gi¸ trÞ

riªng cña A. Khi ®ã Aλ := λ − A lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ E lªn

Im Aλ = Rλ. Theo ®Þnh lý 4.7 ch− ¬ng 3, Rλ lµ kh«ng gian con ®ãng cña E

nªn Rλ lµ kh«ng gian Banach. L¹i theo §Þnh lý Banach vÒ ¸nh x¹ më suy ra

Aλ : E → Rλ lµ ®¼ng cÊu.

106





nªn ta cã

Axn − Axm = λxn − [Aλxn − λxm + Aλxm]

= |λ|xn −Aλxn

−λxm + Aλxm

λ |λ

|2

BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi m, n ∈ N, chøng tá d·y {A(xn)}n∈N kh«ng

thÓ cã d·y con nµo héi tô trong khi, theo çch x©y dùng ë trªn, d·y {xn}n∈N lµ

d·y bÞ chÆn trong E . §iÒu nµy tr¸i víi kh¼ng ®Þnh trong mÖnh ®Ò 2.2 ch− ¬ng 3

vÒ ®Æc tr− ng compact cña cña to¸n tö A. M©u thuÉn nµy chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n

chøng ban ®Çu lµ sai. Nh− vËy, mäi gi¸ trÞ phæ kh¸c kh«ng cña to¸n tö compact

A ®Òu lµ gi¸ trÞ riªng cña A.

HÖ qu¶ 4.11. NÕu E lµ kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö

compact th× tËp phæ σ(A) cña A chØ gåm sè 0 vµ tÊt c¶ çc gi¸ trÞ riªng cña A.

Chøng minh. Ta ®· biÕt mäi gi¸ trÞ riªng cña A ∈ L(E ) ®Òu lµ gi¸ trÞ phæ cña A

vµ víi çc gi¶ thiÕt ®· cho, nhê ®Þnh lý 4.10, mäi gi¸ trÞ phæ kh¸c kh«ng cña A

®Òu lµ gi¸ trÞ riªng cña A. H¬n n÷a, sè 0 còng lµ gi¸ trÞ phæ cña A v× nÕu tr¸i l¹i

th× A kh¶ nghÞch, l¹i do A lµ to¸n tö compact nªn 1E = A◦A−1 lµ to¸n tö compact

nªn B[0, 1] = 1E (B[0, 1]) lµ tËp compact trong E . Nhê §Þnh lý Riesz suy ra E

lµ kh«ng gian h¹n chiÒu. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt dim E = ∞.

§Þnh lý sau ®©y m« t¶ cô thÓ h¬n vÒ cÊu tróc tËp phæ cña to¸n tö compact.

§Þnh lý 4.12. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö compact. Khi

®ã tËp phæ σ(A) chØ gåm mét sè h÷u h¹n hay ®Õm ® − îc çc gi¸ trÞ. Trong tr− êng

hîp σ(A) gåm mét sè ®Õm ® − îc çc gi¸ trÞ cã thÓ viÕt thµnh d·y σ(A) = {λn}n∈N∗

víi |λ1| . . . |λn| . . . vµ limn→∞

λn = 0.

Chøng minh. Chóng ta chØ cÇn chøng minh: víi mäi sè r > 0 tËp hîp

{λ ∈ σ(A) : |λ| r}

108



lµ tËp h÷u h¹n. ThËt vËy, nÕu tr¸i l¹i ¾t tån t¹i sè r0 > 0 vµ mét d·y {λn}n∈N∗ ⊂σ(A) sao cho:

|λn| r0 víi mäi n 1 vµ λm = λn khi m = n.

Nh− vËy, mçi sè λn ®ã lµ mét gi¸ trÞ phæ kh¸c kh«ng cña to¸n tö compact A trªn

kh«ng gian Banach E nªn theo ®Þnh lý 4.10, λn lµ gi¸ trÞ riªng cña A nªn tån t¹i

xn ∈ E , xn = 0 ®Ó Axn = λxn, (n ∈ N∗).

§Æt xn =xn

xnta cã xn = 1 vµ A(xn) = λnxn víi mäi n ∈ N∗. V× d·y gi¸

trÞ riªng {λn}n∈N∗ cña A ®«i mét kh¸c nhau nªn d·y çc vect¬ riªng {xn}n∈N∗

t− ¬ng øng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ThËt vËy, b»ng qui n¹p, gi¶ sö x1, . . . , xn lµ ®éc

lËp tuyÕn tÝnh vµ gi¶ sö n+1 j=1

α jx j = 0 (1)

khi ®ãn+1 j=1

λ jα jx j = A(n+1 j=1

α jx j) = 0 (2)

B»ng çch nh©n hai vÕ cña ®¼ng thøc (1) víi λn+1 råi trõ ®i ®¼ng thøc (2) ta ®− îc

n j=1

(λn+1 − λ j)α jx j = 0

Do x1, . . . , xn lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn

(λn+1 − λ j)α j = 0 víi mäi j = 1, . . . , n

L¹i do λn+1 = λ j víi mäi j = 1, n nªn ta cã α j = 0, j = 1, n. Thay vµo (1) ta

®− îc αn+1xn+1 = 0. Do xn+1 = 0 ta cã αn+1 = 0. VËy α j = 0, ∀ j = 1, n + 1.

Thµnh thö hÖ x1, . . . , xn+1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Theo nguyªn lý quy n¹p suy ra

mäi hÖ con h÷u h¹n cña d·y {xn}n∈N∗ ®Òu ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn d·y ®ã ®éc lËp

tuyÕn tÝnh.

109



B©y giê, víi mçi n ∈ N∗, gäi X n lµ kh«ng gian vect¬ con cña E sinh bëi

x1, . . . , xn:

X n = n

j=1

α jx j : α j

∈K, j = 1, n.

Khi ®ã ta cã: dim X n = n vµ X n X n+1 víi mäi n ∈ N∗. Theo hÖ qu¶ 3.5 cña

§Þnh lý Hahn-Banach trong ch− ¬ng 2, víi mçi n ∈ N∗, tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn

tÝnh liªn tôc f n ∈ E sao cho

f n |Xn= 0, f nXn+1

= 1.

Nh− vËy tån t¹i yn+1 ∈ X n+1 sao cho

yn+1 = 1, f n(yn+1) 12

Suy ra

yn+1 + x |f n(yn+1 + x)| 1

2víi mäi x ∈ X n

Ta viÕt

yn+1 = α(n+1)1 x1 + . . . + α(n+1)

n xn + α(n+1)n+1 xn+1.

Do (λn+1 − A)(xn+1) = 0 vµ A(x j) = λ jx j víi mäi j ∈ N∗, nªn

(λn+1 − A)(yn+1) ∈ X n víi mäi n ∈ N∗.

Víi m, n ∈ N∗, n m ta cã:

A(ym) = A(α(m)1 x1 + . . . + α(m)

m xm)

= α(m)1 A(x1) + . . . + α(m)

m A(xm)

= α(m)1 λ1x1 + . . . + α(m)

m λmxm) ∈ X m ⊂ X n

do ®ã x = (λn+1

−A)(yn+1) + A(ym)

∈X n. Suy ra

Ayn+1 − Aym = λn+1yn+1 − [(λn+1 − A)yn+1 + Aym]= λn+1yn+1 + x = |λn+1|yn+1 +

x

λn+1

1

2|λn+1| r0

2

110



BÊt ®¼ng thøc trªn chøng tá d·y {Ayn}n∈N∗ kh«ng cã bÊt kú d·y con nµo héi tô

trong khi {yn}n∈N∗ lµ d·y bÞ chÆn trong E vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö compact. §iÒu

nµy l¹i m©u thuÉn víi mÖnh ®Ò 2.2 ch− ¬ng 3 vÒ ®Æc tr− ng cña to¸n tö compact.

M©u thuÉn nµy chøng tá r»ng, víi mçi sè r > 0, tËp hîp {λ ∈ σ(A) : |λ| > r} lµ

tËp h÷u h¹n.

Nhê chøng minh trªn, víi mçi n ∈ N∗ ta ®Æt

An = {λ ∈ σ(A) : |λ| 1

n}.

Khi ®ã An lµ tËp h÷u h¹n vµ do ®ã tËp hîp

σ(A) \ {0} ⊂ ∞n=1

Ancã lùc l− îng cïng l¾m lµ ®Õm ®− îc nªn σ(A) cïng l¾m lµ ®Õm ®− îc.

111




Bµi 1. Cho E, F lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn vµ A : E

→F lµ to¸n

tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. Chøng minh r»ng :

a) NÕu A lµ toµn ¸nh th× to¸n tö liªn hîp A : F → E lµ ®¬n ¸nh.

b) NÕu to¸n tö liªn hîp A : F → E lµ to¸n ¸nh th× A lµ ®¬n ¸nh.

Bµi 2. Chøng minh r»ng mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc h÷u h¹n chiÒu ®Òu lµ to¸n

tö compact.

Bµi 3. Cho E, F lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng nÕu

E hoÆc F h÷u h¹n chiÒu th× mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ E ®Õn F ®Òu lµ

to¸n tö compact.

Bµi 4. Chøng minh r»ng kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ h÷u h¹n chiÒu khi vµ chØ

khi to¸n tö ®ång nhÊt 1E lµ to¸n tö compact.

Bµi 5. Chøng minh r»ng kh«ng gian ®Þnh chuÈn E h÷u h¹n chiÒu khi vµ chØ khi

kh«ng gian liªn hîp E h÷u h¹n chiÒu.

Bµi 6. Chøng minh r»ng nÕu E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn v« h¹n chiÒu vµ A :E → E lµ to¸n tö compact th× A kh«ng cã to¸n tö ng− îc liªn tôc.

Bµi 7. Cho a = (an) ∈ l∞ cè ®Þnh vµ sè p 1. XÐt ¸nh x¹

A : l p → l px = (xn) → Ax := (anxn).

Chøng minh r»ng A lµ to¸n tö compact khi vµ chØ khi limn→∞

an = 0 khi n → ∞.

Bµi 8. Chøng minh r»ng to¸n tö A : C [0;1] → C [0;1] x¸c ®Þnh bëi:

(Ax)(t) := tx(t), x ∈ C [0;1], t ∈ [0; 1]

kh«ng ph¶i lµ to¸n tö compact.

112



Bµi 9. Víi mçi sè tù nhiªn n, gäi An : l2 → l2 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi:

An(x) =n

k=1

xkek, víi x = (xn) ∈ l2, ek = (δkn)∞n=1.

a) Chøng minh r»ng çc ¸nh x¹ An lµ çc to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh

An, n ∈ N∗.

b) D·y {An}n∈N∗ héi tô ®iÓm ®Õn ¸nh x¹ ®ång nhÊt I trªn l2 nh− ng kh«ng

héi tô ®Òu ®Õn I trªn l2.

Bµi 10. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ F lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn,

A : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè m > 0

sao chox mAx víi mäi x ∈ E

th× Im A lµ kh«ng gian con ®ãng cña F .

Bµi 11. Chøng minh r»ng to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian Banach E vµo

kh«ng gian Banach F cã to¸n tö liªn hîp A : F → E lµ toµn ¸nh khi vµ chØ khi

A cã ¶nh ®ãng vµ ®¬n ¸nh.

Bµi 12. Gi¶ sö E

lµ kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu vµA

lµ to¸n tö compact tõ

E vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn F . Chøng minh r»ng tån t¹i {xn} ⊂ E , xn = 1

sao cho limn→∞

Axn = 0.

Bµi 13. Gi¶ sö . lµ mét chuÈn trªn C [0;1] sao cho

a) (C [0;1], .) lµ kh«ng gian Banach.

b) NÕu f n → 0 th× f n(x) → 0 víi mäi x ∈ [0, 1].

Chøng minh r»ng chuÈn

.

t− ¬ng ®− ¬ng víi chuÈn

.

∞, tøc lµ tån t¹i hai

h»ng sè C 1, C 2 > 0 sao cho

C 1f ∞ f C 2f ∞ víi mäi f ∈ C [0; 1]

113



Bµi 14. Cho M ⊂ p, p 1. Chøng minh r»ng tËp M lµ compact t− ¬ng ®èi khi

vµ chØ khi víi mäi ε > 0 tån t¹i n 1 sao cho supx∈M

j>n

|x j| p < ε.

Bµi 15. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ f ∈ L(E ). Chøng minh r»ng mäi gi¸ trÞriªng cña f ®Òu lµ gi¸ trÞ phæ cña f .

Bµi 16. Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu vµ f ∈ L(E ). Chøng

minh r»ng tËp çc gi¸ trÞ phæ cña f chÝnh tËp lµ gi¸ trÞ riªng cña f .

Bµi 17. Chøng minh r»ng nÕu E lµ kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu vµ f ∈ L(E )

lµ to¸n tö compact th× sè 0 lµ gi¸ trÞ phæ cña f .

Bµi 18. Cho α = (αn) ∈ RN∗

, αn = 0, ∀n ∈ N∗ vµ αn → 0 khi n → ∞. XÐtkh«ng gian

l2 = {x = (xn) ∈ KN∗ |∞n=1

x2n < +∞}

vµ ¸nh x¹:ϕα : l2 → l2

x = (xn) → ϕα(x) := (αnxn)

a) Chøng minh r»ng ϕα lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn l2.

b) Sè 0 lµ gi¸ trÞ phæ cña ϕα nh− ng kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña ϕα.

Bµi 19. Chøng minh r»ng nÕu E lµ kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu vµ A ∈ L(E )

lµ to¸n tö compact, th× tËp phæ σ(A) cña A gåm sè 0 vµ tÊt c¶ çc gi¸ trÞ riªng

cña A.

Bµi 20. Cho E lµ kh«ng gian Banach, A ∈ L(E ), λ ∈ C. Chøng minh r»ng nÕu

tån t¹i mét d·y phÇn tö {xn}n∈N∗ ⊂ E sao cho xn = 1 víi mäi n ∈ N∗ vµ

limn→∞

(λxn − Axn) = 0 th× λ lµ gi¸ trÞ phæ cña A.

Bµi 21. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ A ∈ L(E ). Chøng minh r»ng nÕu

λ ∈ σ(A) th× λn ∈ σ(An), trong ®ã n lµ sè nguyªn d− ¬ng.

114



Bµi 22. Cho E lµ kh«ng gian Banach vµ A ∈ L(E ) lµ phÐp ®¼ng cÊu. Chøng

minh r»ng nÕu λ ∈ σ(A), λ = 0 th× λ−1 ∈ σ(A−1).

Bµi 23. Cho A : C [0;2π] → C [0;2π] lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian çc hµm sè phøcliªn tôc trªn [0;2π] vµo chÝnh kh«ng gian ®ã x¸c ®Þnh bëi:

A(x)(t) = eitx(t), x ∈ C [0;2π], t ∈ [0;2π].

a) Chøng minh r»ng A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc.

b) T×m tËp hîp phæ cña A.

Bµi 24. Cho to¸n tö A : C [0; 1] → C [0;1] x¸c ®Þnh bëi:

A(x)(t) = x(0) + tx(1), x ∈ C [0;1], t ∈ [0; 1].

T×m tËp phæ σ(A), b¸n kÝnh phæ r(A) vµ to¸n tö R(A, λ) = (A−λ)−1, λ ∈ s(A).

Bµi 25. Gäi A : C [0; 1] → C [0;1] lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi:

A(x)(t) =

t 0

x(s)ds, x ∈ C [0;1], t ∈ [0; 1].

T×m tËp hîp phæ σ(A) vµ to¸n tö R(A, λ) = (A − λ)−1, λ ∈ s(A).

115



Ch− ¬ng 4

Kh«ng gian Hilbert vµ to¸n tö trongkh«ng gian Hilbert

Néi dung cña ch− ¬ng nµy tr×nh bµy mét sè vÊn ®Ò c¬ b¶n cña gi¶i tÝch trong

kh«ng gian Hilbert - mét líp kh«ng gian Banach cã nhiÒu tÝnh chÊt h×nh häc quan

träng. §ã lµ viÖc nghiªn cøu vÒ sù tån t¹i phÐp chiÕu trùc giao, vÒ §Þnh lý biÓu

diÔn Riesz ®èi víi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc; vÒ c¬ së trùc chuÈn còng nh−

sù tån t¹i c¬ së trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert vµ cuèi cïng lµ viÖc nghiªn

cøu vÒ ®Æc tr− ng cña çc to¸n tö ®Æc biÖt nh− to¸n tö liªn hîp, to¸n tö compact

trong kh«ng gian Hilbert.

1 D¹ng hermite

1.1 §Þnh nghÜa vµ çc tÝnh chÊt ®¬n gi¶n

§Þnh nghÜa 1.1. D¹ng hermite trªn kh«ng gian vector phøc E lµ ¸nh x¹

ϕ : E ×

E → C(x, y) → ϕ(x, y)

tho¶ m·n çc tÝnh chÊt sau:

116



1) ϕ(x1 + x2, y) = ϕ(x1, y) + ϕ(x2 + y) víi mäi x1, x2, y ∈ E .

2) ϕ(λx,y) = λϕ(x, y) víi mäi x, y ∈ E víi mäi λ ∈ C

3) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) víi mäi x, y ∈ E .

ë ®©y kÝ hiÖu z chØ sè phøc liªn hîp cña sè phøc z.

NhËn xÐt 1. a) Tõ çc tÝnh chÊt ë trªn ta suy ra mét sè tÝnh chÊt trùc tiÕp cña

d¹ng Hermite trªn kh«ng gian vÐct¬ E :

4) ϕ(x, y1 + y2) = ϕ(x, y1) + ϕ(x, y2) víi mäi x, y1, y2 ∈ E ;

5) ϕ(x,λy) = λϕ(x, y).

6) NÕu çc hÖ {xi}, {y j} ⊂ E vµ αi, β j ∈ C, (i = 1, m , j = 1, n) th×:

ϕ(mi=1

λixi,n

j=1

β jy j) =mi=1

n j=1

λiβ jϕ(xi, y j) (1.1)

ThËt vËy

ϕ(mi=1

λixi,n

j=1

β jy j) =mi=1

ϕ(λixi,n

j=1

β jy j)

=

m

i=1

λiϕ(x

i,

n

j=1

β j

y j

) =

m

i=1

λi

n

j=1

ϕ(xi, β

jy j

)

=mi=1

λi

n j=1

β jϕ(xi, y j) =mi=1

n j=1

λiβ jϕ(xi, y j)

7) ϕ(x, x) ∈ R víi mäi x ∈ E .

ThËt vËy, theo tÝnh chÊt 3) ta cã: ϕ(x, x) = ϕ(x, x) víi mäi x ∈ E . Suy ra

ϕ(x, x) ∈ R víi mäi x ∈ E .

§Þnh nghÜa 1.2. D¹ng hermite ϕ trªn kh«ng gian vector E ®− îc gäi lµ d¹ng hermite d − ¬ng vµ viÕt lµ ϕ 0 nÕu ϕ(x, x) 0 víi mäi x ∈ E . Ngoµi ra, nÕu

ϕ(x, x) = 0 chØ khi x = 0 th× ϕ ®− îc gäi lµ d¹ng hermite x¸c ®Þnh d − ¬ng .

117



1.2 Hai bÊt ®¼ng thøc quan träng

MÖnh ®Ò 1.3 (BÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz). Gi¶ sö ϕ lµ d¹ng Hermite

d − ¬ng trªn kh«ng gian vect¬ E . Khi ®ã

|ϕ(x, y)|2 ϕ(x, x).ϕ(y, y) víi mäi x, y ∈ E (1.2)

Chøng minh. §Æt a = ϕ(x, x), b = ϕ(x, y), c = ϕ(y, y). Chó ý r»ng a, c lµ çc

sè thùc kh«ng ©m vµ bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ: |b|2 ac. Víi mäi λ ∈ Cta cã:

0 ϕ(x + λy,x + λy) = ϕ(x, x) + λϕ(x, y) + λϕ(y, x) + λλϕ(y, y).

Hay

a + λb + λb + λλc 0 víi mäi λ ∈ C. (1.3)

NÕu mét trong çc sè a hoÆc c d− ¬ng, ch¼ng h¹n c > 0 ta thay λ = − bc

vµo bÊt

®¼ng thøc (1.3) ë trªn ta ®− îc

0 a − b

cb − b

cb +

bb

c2c = a − bb

chay |b|2

a.c.

NÕu a = c = 0 ta thay λ =

−b, a = c = 0 vµo bÊt ®¼ng thøc (1.3) ta ®− îc

−2|b|2 0 do ®ã b = 0 vµ ta vÉn thu ®− îc |b|2 ac.

Tãm l¹i, trong mäi tr− êng hîp ta ®Òu cã |b|2 ac.

MÖnh ®Ò 1.4 (BÊt ®¼ng thøc Minkowski). NÕu ϕ lµ d¹ng Hermite d − ¬ng trªn

kh«ng gian vector E th× ϕ(x + y, x + y)

ϕ(x, x) +

ϕ(y, y) víi mäi x, y ∈ E (1.4)

Chøng minh. Bëi v×ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, y)

= ϕ(x, x) + 2Re ϕ(x, y) + ϕ(y, y)

118



Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz ta cã:

Re ϕ(x, y) |ϕ(x, y)|

ϕ(x, x)ϕ(y, y).

Suy raϕ(x + y, x + y) ϕ(x, x) + 2

ϕ(x, x)ϕ(y, y) + ϕ(y, y)

=

ϕ(x, x) +

ϕ(y, y)2

.

2 TÝch v« h− íng vµ kh«ng gian Hilbert

§Þnh nghÜa 2.1. Ta gäi d¹ng hermite ϕ x¸c ®Þnh d− ¬ng trªn kh«ng gian vect¬ E

lµ tÝch v« h− íng trªn E .

NÕu ϕ lµ tÝch v« h− íng trªn E th× chóng ta ký hiÖu ϕ(x, y) bëi x, y vµ gäi

x, y lµ tÝch v« h− íng cña hai vect¬ x vµ y.

Bæ ®Ò 2.2. D¹ng hermite ϕ 0 trªn E lµ tÝch v« h− íng nÕu vµ chØ nÕu ϕ kh«ng

suy biÕn, cã nghÜa lµ

x ∈ E, x = 0 ⇔ ϕ(x, y) = 0 víi mäi y ∈ E

hoÆc

y ∈ E, y = 0 ⇔ ϕ(x, y) = 0 víi mäi x ∈ E.

Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn. Ta chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ: Theo

gi¶ thiÕt nÕu x ∈ E, x = 0 th× tån t¹i y ∈ E : ϕ(x, y) = 0. BÊt ®¼ng thøc Cauchy

- Schwartz cho ta

0 < |ϕ(x, y)|2

ϕ(x, x).ϕ(y, y)

vµ do ®ã ϕ(x, x) > 0

119



§Þnh nghÜa 2.3. Kh«ng gian vect¬ E cïng víi mét tÝch v« h− íng ., . ®· cho

trªn E ®− îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert .

Víi x ∈ E ta ®Æt x =

x, x, x ∈ E. (2.1)

Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc Cauchy -Schwartz cã d¹ng

|x, y| xy víi mäi x, y ∈ E

cßn bÊt ®¼ng thøc Minkowski viÕt lµ

x + y x + y víi mäi x, y ∈ E.

MÆt kh¸c hiÓn nhiªn

1) x 0 víi mäi x ∈ E vµ v× ., . lµ tÝch v« h− íng, nªn nÕu x = 0 th×

x = 0.

2) λx = λx, λx =

λλx, x = |λ|x víi mäi λ ∈ C vµ x ∈ E

Thµnh thö c«ng thøc (2.1) x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn E , gäi lµ chuÈn sinh bëi

tÝch v« h− íng.

Nh− vËy, mäi kh«ng gian tiÒn Hilbert ®Òu lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn

sinh bëi tÝch v« h− íng .

§Þnh nghÜa 2.4. Kh«ng gian tiÒn Hilbert E ®− îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert nÕu

E cïng víi chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng trªn E lµ mét kh«ng gian Banach.

MÖnh ®Ò 2.5. NÕu E lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert th× tÝch v« h− íng cña nã liªn tôc

trªn E × E .

Chøng minh. Cho x0, y0 ∈ E × E tuú ý. BÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz cho

ta

|x, y − x0, y0| = |x, y − x0, y + x0, y − x0, y0| |x − x0, y| + |x0, y − y0| x − x0y + x0y − y0

120



Suy ra lim(x,y)→(x0,y0)

|x, y−x0, y0| = 0, chøng tá lim(x,y)→(x0,y0)

x, y = x0, y0.

Trong kh«ng gian tiÒn Hilbert E , hai vector x vµ y ®− îc gäi lµ trùc giao víi

nhau vµ kÝ hiÖu lµ x ⊥ y hoÆc y ⊥ x nÕu x, y = 0.

MÖnh ®Ò sau ®©y cã h×nh ¶nh h×nh häc trùc quan lµ §Þnh lý Pythagore trong

h×nh häc s¬ cÊp vµ còng lµ sù kh¸i qu¸t ho¸ cña ®Þnh lý ®ã nªn ®¼ng thøc trong

mÖnh ®Ò vÉn ®− îc gäi lµ ®¼ng thøc Pythagore.

MÖnh ®Ò 2.6 (§¼ng thøc Pythagore). Trong kh«ng gian tiÒn Hilbert E ta cã:

a) NÕu x ⊥ y th× x + y2 = x2 + y2.

b) NÕu x1, . . . , xn lµ hÖ h÷u h¹n vector ®«i mét trùc giao, tøc lµ xi

⊥x j = 0

víi mäi i, j = 1, n , i = j, th× ni=1

xi

2

=n

i=1

xi2

Chøng minh. Chóng ta ®ång thêi chøng minh c¶ hai kh¼ng ®Þnh trong mÖnh ®Ò

b»ng çch chøng minh ngay kh¼ng ®Þnh b) b»ng quy n¹p:

+) Víi n = 2, gi¶ sö x1 ⊥ x2, khi ®ã x1, x2 = x2, x1 = 0 nªn

x1 + x2

2 =

x1 + x2, x1 + x2

=

x1, x1

+

x1, x2

+

x2, x1

+

x2, x2

= x12 + x22

Nh− vËy kh¼ng ®Þnh b) ®óng víi n = 2 vµ do ®ã kh¼ng ®Þnh a) ®óng.

+) Gi¶ sö n > 2 vµ ®¼ng thøc ®óng víi hÖ n − 1 vector ®«i mét trùc giao bÊt

kú. Cho x1, . . . , xn ∈ E víi xi ⊥ x j = 0 víi mäi j, j = 1, n , i = j, v×

x1 + . . . + xn−1, xn = x1, xn + . . . + xn−1, xn = 0

nªn (x1 + . . . + xn−1) ⊥ xn. Sö dông gi¶ thiÕt quy n¹p vµ kh¼ng ®Þnh a) ta cã

x1 + . . . + xn−1 + xn2

= (x1 + . . . + xn−1) + xn2

= x1 + . . . + xn−12 + xn2

= x12 + . . . + xn−12 + xn2.

121



Nh− vËy ®¼ng thøc ®óng víi hÖ n vector trùc giao tuú ý.

MÖnh ®Ò 2.7 (§¼ng thøc h×nh b×nh hµnh). Trong kh«ng gian tiÒn Hilbert E ta

cã: x + y2 + x − y2 = 2(x2 + y2) víi mäi x, y ∈ E

Chøng minh. Ta cã

x + y2 + x − y2 = x + y, x + y + x − y, x − y= x, x + x, y + y, x + y, y

+ x, x − x, y − y, x + y, y = 2(x2 + y2).

NhËn xÐt. a) Trong mÆt ph¼ng nÕu xÐt h×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh lµ hai vector

x vµ y th× vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc trªn chÝnh lµ tæng b×nh ph− ¬ng ®é dµi hai ®− êng

chÐo cßn vÕ ph¶i chÝnh lµ tæng b×nh ph− ¬ng ®é dµi çc c¹nh cña h×nh b×nh hµnh

®ã. V× lÏ ®ã mµ ®¼ng thøc trªn ®− îc gäi lµ ®¼ng thøc h×nh b×nh hµnh.

b) §¼ng thøc h×nh b×nh hµnh còng lµ mét ®iÒu kiÖn ®Ó mét kh«ng gian ®Þnh

chuÈn E lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert, nghÜa lµ cã thÓ x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng

qua chuÈn ®· cho trªn E sao cho chuÈn ®· cho ®ã trïng víi chuÈn sinh bëi tÝch

v« h− íng khi vµ chØ khi chuÈn ®ã tho¶ m·n ®¼ng thøc h×nh b×nh hµnh.

VÝ dô 1. Kh«ng gian Euclide n - chiÒu. XÐt kh«ng gian vector

Cn = {x = (x1, . . . , xn), x1, . . . , xn ∈ C}

Khi ®ã dÔ thÊy c«ng thøc:

x, y =

n j=1

x j y j, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ C (2.2)

x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng trªn Cn nªn Cn lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert.

122



DÔ thÊy chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng (2.2) trïng víi chuÈn Euclide trªn Cn:

x =

x, x =

n

j=1

|x j|2

12

nªn Cn víi tÝch v« h− íng trªn lµ mét kh«ng gian Hilbert.

VÝ dô 2. Kh«ng gian l2. XÐt kh«ng gian Banach çc d·y sè b×nh ph− ¬ng kh¶

tæng

l2 = {x = (xn)n∈N∗ : x2 = ∞

n=1

|xn|2 1

2

< ∞}.

V× ∞n=1

|xnyn| ∞n=1

|xn|2 +∞n=1

|yn|2

nªn dÔ thÊy, c«ng thøc

x, y =

∞n=1

xnyn, x = (xn)n∈N∗, y = (yn)n∈N∗ ∈ l2. (2.3)

x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng trªn l2. H¬n n÷a, chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng ®ã lµ:

x2 =

x, x =

∞n=1

|xn|2, x = (xn)n∈N∗ ∈ l2

vµ víi chuÈn nµy l2 lµ kh«ng gian Banach (xem mÖnh ®Ò 1.15, ch− ¬ng 1), nªn l2

víi tÝch v« h− íng x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (2.3) lµ mét kh«ng gian Hilbert.VÝ dô 3. Kh«ng gian L2(X, Σ, μ). Gi¶ sö (X, Σ, μ) lµ kh«ng gian ®o víi ®é ®o

μ. XÐt kh«ng gian Banach L2(X, Σ, μ). Còng nh− çc vÝ dô trªn, dÔ kiÓm l¹i

r»ng c«ng thøc

f, g) =

X

f (x)g(x)dμ(x), f , g ∈ L2(X, Σ, μ)

x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng trªn L2(X, Σ, μ). V× L2(X, Σ, μ) lµ kh«ng gian

Banach víi chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng nµy:

f 2 =

X

|f |2dμ 1

2

=

f, f ), f ∈ L2(X, Σ, μ)

nªn L2(X, Σ, μ) lµ mét kh«ng gian Hilbert.

123



3 HÖ trùc giao, trùc chuÈn vµ phÐp chiÕu trùc giao

3.1 HÖ trùc giao vµ trùc chuÈn

§Þnh nghÜa 3.1. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert. HÖ çc vector {xα}α∈I gäi lµ

hÖ vector trùc giao nÕu xα ⊥ xβ víi mäi α = β vµ xα = 0 víi mäi α. Ngoµi ra

nÕu xα = 1, ∀α ∈ I th× {xα}α∈I gäi lµ hÖ vector trùc chuÈn.

Nh− vËy {xα}α∈I lµ hÖ trùc chuÈn nÕu vµ chØ nÕu

xα, xβ = δαβ =

0 nÕu α = β

1 nÕu α = β víi mäi α, β ∈ I.

Chó ý r»ng nÕu {xα}α∈I lµ hÖ trùc giao th× hÖ xα

xα

α∈I lµ hÖ trùc chuÈn.

MÖnh ®Ò 3.2. Trong kh«ng gian tiÒn Hilbert mäi hÖ vector trùc giao ®Òu ®éc lËp

tuyÕn tÝnh.

Chøng minh. Cho {xα}α∈I ⊂ E lµ hÖ trùc giao. Gi¶ sö {xα1, . . . , xαn} lµ hÖ con

h÷u h¹n bÊt kú cña hÖ ®· cho vµ gi¶ sö λ j ∈ C, j = 1, n, sao chon

j=1

λ jxαj = 0.

Khi ®ã, víi mçi k : 1 k n, nh©n v« h− íng hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi xαk ,

ta ®− îcn

j=1

λ jxαj , xαk = λkxαk2 = 0

Do xαk = 0 suy ra λk = 0 víi mäi k = 1, n.

B©y giê chóng ta xÐt vÊn ®Ò ng− îc l¹i: XuÊt ph¸t tõ mét d·y vector ®éc lËp

tuyÕn tÝnh cho tr− íc h·y x©y dùng mét d·y vector trùc giao sao cho çc kh«ng

gian con sinh bëi hai hÖ vector nµy trïng nhau. Bµi to¸n nµy ®− îc gi¶i quyÕt nhê

§Þnh lý Gram-Schmidt d− íi ®©y mµ çch chøng minh cña nã chÝnh lµ thñ tôc trùc

giao ho¸ Gram-Schmidt.

124



§Þnh lý 3.3 (Gram-Schmidt). Gi¶ sö {xn}n1 lµ mét d·y çc vector ®éc lËp

tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Hilbert E . Khi ®ã tån t¹i mét d·y trùc giao {yn}n1

sao cho yn lµ tæ hîp cña x1, . . . , xn víi mäi n 1.

Chøng minh. D·y trùc giao {yn}n1 ®− îc x©y dùng quy n¹p theo n:

+) Víi n = 1 ®Æt y1 = x1.

+) Gi¶ sö ®· x©y dùng ®− îc çc vector y1, . . . , yn ®«i mét trùc giao sao cho

mçi vector yk trong sè çc vector ®ã ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña çc vector

x1, . . . , xk, (k = 1, n) . Khi ®ã cã thÓ t×m ®− îc yn+1 d− íi d¹ng:

yn+1 = xn+1 + λ1y1 + . . . + λnyn

§Ó yn+1 trùc giao víi tÊt c¶ çc vector y1, . . . , yn ta ph¶i cã

xn+1, y j +n

k=1

λkyk, y j = 0, 1 j n

Chó ý r»ngn

k=1

λkyk, y j = λ jy j2 nªn tõ ®¼ng thøc trªn suy ra

λ j =

−

xn+1, y j

y j2

, 1 j n

vµ do ®ã

yn+1 = xn+1 −n

j=1

xn+1, y jy j2

y j

Tõ gi¶ thiÕt suy ra mäi tæ hîp tuyÕn tÝnh cña çc vector y1, . . . , yn ®Òu lµ tæ hîp

tuyÕn tÝnh cña x1, . . . , xn, nªn tõ ®¼ng thøc cuèi cïng suy ra yn+1 lµ tæ hîp tuyÕn

tÝnh cña x1, . . . , xn+1, ®ång thêi theo çch x©y dùng th× hÖ y1, . . . , yn, yn+1 ®«i

méi trùc giao vµ mçi vector yk trong sè çc vector ®ã ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh

cña çc vector x1, . . . , xk, (k = 1, n + 1).

Cø tiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn ta thu ®− îc d·y vector {yn}n1 tho¶ m·n mäi yªu

cÇu cña ®Þnh lý.

125



§Þnh lý 3.4. NÕu {xn}∞n=1 lµ mét hÖ trùc giao trong kh«ng gian Hilbert E th×

chuçi∞n=1

xn héi tô khi vµ chØ khi chuçi sè ∞n=1

xn2 héi tô. §ång thêi ta cã:

∞n=1

xn

2

∞n=1

xn2 (3.1)

Tr− êng hîp ®Æc biÖt khi d·y {en}n∈N∗ lµ mét hÖ trùc chuÈn trong E th× víi mäi

d·y sè {λn}n∈N∗ , chuçi∞n=1

λnxn héi tô khi vµ chØ chuçi sè ∞n=1

|λn|n héi tô. Khi

®ã ∞n=1

xn

2

=

∞n=1

|λn|2.

Chøng minh. Tr−

íc hÕt, víi mçi n ∈ N∗ hÖ {x1; . . . ; xn} trùc giao nªn theo ®¼ngthøc Pythagore ta cã: n

k=1

xk

2

=n

k=1

xk2

dã ®ã, nÕu chuçi∞n=1

xn héi tô th× chuçi∞n=1

|λn|2 héi tô.

Ng− îc l¹i, gi¶ sö chuçi∞n=1

xn2 héi tô, gäi {sn}n∈N∗ lµ d·y tæng riªng cña

chuçi∞

n=1

λnxn: sn =n

k=1

xk, n

∈N∗. Khi ®ã, víi mäi n, p

∈N∗ ta cã:

sn+ p − sn2 = n+ p

k=n+1

xk

2

=

n+ pk=n+1

xk2,

suy ra r»ng d·y {sn}n∈N∗ lµ d·y Cauchy trong E , v× E lµ kh«ng gian Hilbert nªn

d·y ®ã héi tô chuçi∞n=1

xn héi tô trong E .

PhÇn thø hai cña ®Þnh lý ®¬n thuÇn lµ tr− êng hîp ®Æc biÖt cña tr− ßng hîp võa

chøng minh.

126





d) ker p = Im(1E − p) vµ Im p = ker(1E − p).

ThËt vËy, gi¶ sö x ∈ ker p suy ra x = x − px = (1E − p)x ∈ Im(1E − p).

Ng− îc l¹i, gi¶ sö y = x − px ∈ Im(1E − p), suy ra py = px − p( px) = px − px = 0, vµ do ®ã y ∈ ker p. Thay ®æi vai trß gi÷a p vµ 1E − p ta nhËn ®− îc

®¼ng thøc thø hai.

§Þnh nghÜa 3.6. - Ta nãi çc tËp con M, N cña kh«ng gian tiÒn Hilbert E lµ trùc

giao víi nhau vµ viÕt M ⊥ N nÕu x ⊥ y víi mäi x ∈ M, y ∈ N .

- NÕu x ∈ E tho¶ m·n x ⊥ y víi mäi y ∈ M th× ta nãi vector x trùc giao víi

M vµ ký hiÖu lµ x ⊥ M .

- Víi M ⊂ E tuú ý, ta gäi tËp hîp M ⊥ = {x ∈ E : x ⊥ M } lµ phÇn bï trùc

giao cña tËp M .

Bæ ®Ò 3.7. Cho M lµ tËp con cña kh«ng gian tiÒn Hilbert E , khi ®ã:

a) NÕu N ⊂ E, N ⊥ M th× M ∩ N ⊂ {0}.

b) M ⊆ (M ⊥)⊥ := M ⊥⊥.

c) M ⊥ lµ kh«ng gian con ®ãng cña E .

Chøng minh. a) NÕu x ∈ M ∩ N th× x2 = x, x = 0 do ®ã x = 0.

b) Cho x ∈ M , khi ®ã x, y = 0 víi mäi y ∈ M ⊥ do ®ã x ∈ M ⊥⊥.

c) Râ rµng 0 ∈ M ⊥ nªn M ⊥ = ∅. Víi mäi x, y ∈ M ⊥, z ∈ M,α,β ∈ C ta

cã:

αx + βy,z = αx, z + β y, z = 0

suy ra M ⊥ lµ kh«ng gian vector con cña E . B©y giê gi¶ sö {xn}n∈N∗ ⊂ M ⊥ lµ

d·y bÊt kú héi tô tíi x ∈ E vµ gi¶ sö y ∈ M tuú ý. Do tÝch v« h− íng lµ liªn tôcnªn x, y = lim

n→∞xn, y = 0, suy ra x ∈ M ⊥ vµ do ®ã M ⊥ ®ãng trong E .

128



§Þnh nghÜa 3.8. Gi¶ sö M vµ N lµ hai kh«ng gian con ®ãng cña E . Ta nãi E

lµ tæng trùc giao cña M vµ N vµ kÝ hiÖu lµ E = M ⊥⊕ N nÕu E = M + N vµ

M

⊥N .

Tõ ®Þnh nghÜa vµ bæ ®Ò 3.7 suy ra nÕu E lµ tæng trùc giao cña çc kh«ng gian

con M vµ N th× nã lµ tæng trùc tiÕp ®¹i sè cña M vµ N . §iÒu nµy cã nghÜa

lµ víi mäi x ∈ E viÕt ®− îc duy nhÊt nh− x = p(x) + q(x) víi p(x) ∈ M vµ

q(x) ∈ N . V× x = p(x) + q(x), y = p(y) + q(y) nªn x + y = ( px + py) + (qx +

qy) = p(x + y) + q(x + y). Do tÝnh duy nhÊt ta cã p(x + y) = p(x) + p(y) vµ

q(x + y) = q(x) + q(y) víi mäi x, y ∈ E . T − ¬ng tù p(λx) = λpx, q(λx) = λqx,

víi mäi x ∈ E, λ ∈ C, nghÜa lµ çc ¸nh x¹ p, q : E → E lµ çc to¸n tö tuyÕn

tÝnh. MÆt kh¸c M ⊥ N nªn p, q lµ çc to¸n tö trùc giao vµ ta th− êng gäi lµ çc

phÐp chiÕu trùc giao lªn M vµ N .

Ng− îc l¹i, gi¶ sö p : E → E lµ to¸n tö trùc giao, tøc lµ px ⊥ y − py víi mäi

x, y ∈ E . Khi ®ã ta ®· biÕt Im p lµ ®ãng trong E vµ x− px ⊥ Im p víi mäi x ∈ E .

Nh− vËy E = Im p ⊕ (Im p)⊥.

§Þnh lý sau ®©y kh¼ng ®Þnh vÒ sù tån t¹i cña phÐp chiÕu trùc giao, ®ång thêi

còng lµ ®iÒu kiÖn ®Ó thÓ ph©n tÝch mét kh«ng gian Hilbert thµnh tæng trùc giao

cña çc kh«ng gian con.

§Þnh lý 3.9. Víi mäi kh«ng gian con ®ãng F cña kh«ng gian Hilbert E ®Òu tån

t¹i phÐp chiÕu trùc giao tõ E lªn F .

Chøng minh. Chóng ta sÏ chøng minh theo hai b− íc sau ®©y:

B− íc 1. §Çu tiªn ta chøng minh r»ng víi mäi x ∈ E tån t¹i duy nhÊt y ∈ F sao

cho

x

−y

= d(x, F ) = d(x, F ) := inf {

x−

y

: y∈

F }

.

Cho x ∈ E , theo ®Þnh nghÜa cña infimum, víi mäi n 1 tån t¹i yn ∈ F sao cho

d(x, F ) x − yn d(x, F ) +1

n

129



Suy ra d(x, F ) = limn→∞

x − yn. Ta sÏ chøng tá r»ng d·y {yn}n∈N∗ héi tô tíi

y ∈ F vµ x − y = d(x, F ). ThËt vËy, víi m, n ∈ N∗, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc

h×nh b×nh hµnh ®èi víi çc vector x

−yn vµ x

−ym.

2x − yn − ym2 + yn − ym2 = 2(x − yn2 + x − ym2).

Suy ra

0 yn − ym2 = 2(x − yn2 + x − ym2) − 4x − yn + ym

2

2

(1)

Cho ε > 0, ®Æt d(x, F ) = α ta cã α = limn→∞

x − yn, do vËy tån t¹i n0 ∈ N∗ sao

cho

x

−yn

2 α2 + ε víi mäi n n0 (2)

MÆt kh¸c, do yn + ym ∈ F nªn

α2

x − yn + ym

2

2

víi mäi n, m ∈ N∗ (3)

Tõ (1) vµ (2) vµ (3) ta cã:

0 yn − ym2 = 2(α2 + ε + α2 + ε) − 4α2 = 4ε víi mäi n,m > n0

Chøng tá {yn}n∈N∗ lµ d·y Cauchy trong E vµ do d·y ®ã héi tô tíi y ∈ E . V×

{yn} ⊂ F vµ do F lµ tËp ®ãng nªn y ∈ F .B©y giê, gi¶ sö cßn cã phÇn tö y ∈ F sao cho α = x − y. T − ¬ng tù chøng

minh trªn, ¸p dông ®¼ng thøc h×nh b×nh hµnh ®èi víi çc vector x − y vµ x − y

ta cã

y − y2 = 2(x − y2 + x − y2) − 4x − y + y

2

2

4α2 − 4α2 = 0

suy ra y = y.

Nh−

vËy, víi mçi x ∈ E tån t¹i duy nhÊt y ∈ F sao cho x − y = d(x, F ),v× vËy nÕu ®Æt p(x) := y ta ®− îc ¸nh x¹ p : E → F tho¶ m·n:

x − p(x) = d(x, F ) víi mäi x ∈ E

130



B− íc 2. Ta sÏ chøng minh ¸nh x¹ p x¸c ®Þnh nh− ë trªn lµ phÐp chiÕu trùc giao

tõ E lªn F . ChØ cÇn chØ ra Im p ⊥ Im(1E − p) v× hiÓn nhiªn Im p = F vµ p2 = p.

Cho z

∈Im p = F vµ v = x

−y

∈Im(1E

−p), ë ®©y y = px, x

∈E . NÕu

α = d(x, F ) = x − y = v th× do y + λz ∈ Im p = F nªn ta cã

α2 x − (y + λz)2 = (x − y − λz, (x − y − λz)= v − λz,v − λz = v2 − λv, z − λz, v + λλz2,

= α2 − λv, z − λz, v + |λ|2z2 víi mäi λ ∈ C

hay lµ −λv, z − λz, v + |λ|2z2 0 víi mäi λ ∈ C. Chän λ = t.v, z víi

t ∈ R tuú ý th×

−t|v, z|22 − tz2 0 víi mäi t ∈ R

nªn nÕu lÊy t =1

z2 + 1ta cã ngay v, z = 0. Nh− vËy ta cã z ⊥ v víi mäi

z ∈ Im p vµ v ∈ Im(1E − p), suy ra Im p ⊥ Im(1E − p).

HÖ qu¶ 3.10. NÕu F lµ kh«ng gian con ®ãng bÊt kú cña kh«ng gian Hilbert E

th× E = F ⊥⊕ F ⊥.

4 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gianHilbert

Nhê ®Þnh lý 3.9 vÒ sù tån t¹i phÐp chiÕu trùc giao chóng ta suy ra §Þnh lý

Riesz m« t¶ sù biÓu diÔn phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Hilbert

sau ®©y:

§Þnh lý 4.1 (Riesz). Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert. Khi ®ã

a) Víi mäi a ∈ E t − ¬ng øng x → x, a x¸c ®Þnh phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn

tôc f a trªn E víi f a = a.

131



b) Ng − îc l¹i víi mäi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f trªn E , tån t¹i duy nhÊt

a ∈ E ®Ó f = f a, tøc lµ f (x) = x, a víi mäi x ∈ E .

Chøng minh. a). Do tÝch v« h− íng lµ hµm tuyÕn tÝnh theo biÕn thø nhÊt, f a lµtuyÕn tÝnh trªn E . MÆt kh¸c bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz cho ta

|f a(x)| = |x, a| a.x, ∀x ∈ E

Do ®ã f a a. NÕu a = 0 th× f a = 0, cßn nÕu a = 0 ta cã

f a f a a

a

=|f a(a)|a =

a2

a = a

VËy f a = a víi mäi a ∈ Cn

.

Ng− îc l¹i, cho f ∈ E . NÕu f = 0 th× chän a = 0. Gi¶ sö f = 0. Khi

®ã H = ker f lµ siªu ph¼ng (thuÇn nhÊt) ®ãng trong E nªn ta cã thÓ biÓu diÔn

E = H ⊥⊕ H ⊥. Do H lµ siªu ph¼ng thuÇn nhÊt nªn H ⊥ lµ kh«ng gian con mét

chiÒu cña E . VËy H ⊥ = {λb : λ ∈ C}, H ⊥ b = 0 tuú ý. B»ng çch viÕt x ∈ E

d− íi d¹ng

x = y + λb, y ∈ H, λ ∈ C

vµ t¸c ®éng f vµo hai vÕ còng nh− nh©n v« h− íng hai vÕ víi b ta cã f (x) = λf (b)vµ x, b = λb2, do ®ã

f (x) =x, bb2

f (b) =

x,f (b)

b2b

víi mäi x ∈ E

Thµnh thö nÕu chän a =f (b)

b2.b th× f = f a.

TÝnh duy nhÊt: NÕu a ∈ E sao cho f = f a th× x, a = x, a víi mäi x ∈ E

hay

x, a − a = 0 víi mäi x ∈ E, suy ra a = a.

132



VÝ dô 1. D¹ng tæng qu¸t cña phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Euclide

Cn: Theo ®Þnh lý 4.1, f ∈ (Cn) khi vµ chØ khi tån t¹i a = (a1, . . . , an) ∈ Cn sao

cho f (x) =

x, a

víi x

∈E . Do vËy, nÕu x = (x1, . . . , xn)

∈Cn th×:

f (x) =

n j=1

x ja j =

n j=1

α jx j, α j = a j ∈ C, j = 1, n.

5 C¬ së trùc chuÈn

Néi dung chÝnh cña phÇn nµy lµ ®Þnh lý vÒ ®iÒu kiÖn tån t¹i c¬ së trùc chuÈn

trong kh«ng gian Hilbert E vµ sù khai triÓn çc vector cña E theo c¬ së trùc

chuÈn ®ã.

§Þnh nghÜa 5.1. Gi¶ sö {ei}i∈I lµ hÖ çc vector trong E . Ta nãi{ei}i∈I lµ hÖ ®Çy

®ñ nÕu tõ ®iÒu kiÖn x ⊥ ei víi mäi i ∈ I suy ra x = 0.

§Þnh nghÜa 5.2. HÖ {ei}i∈I gäi lµ c¬ së trùc giao nÕu nã lµ hÖ trùc giao vµ ®Çy

®ñ. Ngoµi ra nÕu ei = 1 víi mäi i ∈ I th× c¬ së trùc giao nµy gäi lµ c¬ së trùc

chuÈn.

§Þnh lý 5.3 (BÊt ®¼ng thøc Bessel). Gi¶ sö {en}n1 lµ hÖ trùc chuÈn trong E .

Khi ®ã, víi mäi vector x ∈ E ta cã:

∞n=1

|x, en|2 x2. (5.1)

Chøng minh. Cho x ∈ E tuú ý, do d·y {en}n∈N∗ lµ hÖ trùc chuÈn nªn víi mçi

133



n ∈ N∗, ¸p dông ®¼ng thøc Pythagore cho hÖ {e1; . . . ; en} ta ®− îc:

0

x −

n

k=1

x, ekek

2

=

x −

n

k=1

x, ekek, x −n

j=1

x, e je j

x2 −

n j=1

x, e jx, e j −n

k=1

x, ekek, x +n

k=1

n j=1

x, ekx, e j ek, e j

= x2 −n

k=1

x, ekx, ek −n

k=1

x, ekx, ek +n

k=1

x, ekx, ek

= x2 −n

k=1

|x, ek|2 hay lµn

k=1

|x, ek|2 x2 víi mäi n ∈ N∗.

ChuyÓn qua giíi h¹n hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn khi n → ∞ ta ®− îc:

∞k=1

|x, ek|2 x2 víi mäi x ∈ E.

§Þnh lý 5.4. Cho {en}n1 lµ hÖ trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert E . Khi ®ã

çc kh¼ng ®Þnh sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng:

a) {en}n1 lµ c¬ së trùc chuÈn cña E .

b) x =∞

n=1x, en

en víi mäi x

∈E .

c)x, y =∞n=1

x, eny, en víi mäi x, y ∈ E .

d) x2 =∞n=1

|x, en|2 víi mäi x ∈ E .

Chøng minh. a) ⇒ b): Cho x ∈ E tuú ý, chóng ta chøng minh chuçi∞n=1

x, enen

héi tô ®Õn x. ThËt vËy, nhê bÊt ®¼ng thøc Bessel suy ra chuçi sè ∞

n=1

|x, en|2 héi

tô, do ®ã theo tiªu chuÈn Cauchy ta cã

limn→∞

n+ pk=n+1

|x, en|2 = 0 víi mäi p ∈ N∗.

134



Nh− ng theo ®¼ng thøc Pythagore ta cã:

n+ p

k=n+1

x, ekek

2

=

n+ p

k=n+1

x, ekek2 =

n+ p

k=n+1

|x, ek|2 víi mäi n, p ∈ N∗.

suy ra chuçi∞n=1

x, enen héi tô tuyÖt ®èi trong E . L¹i v× E lµ kh«ng gian Hilbert

nªn chuçi∞n=1

x, enen héi tô trong E . §Æt y =∞n=1

x, enen, do tÝch v« h− íng

liªn tôc vµ ei, e j = δij, (∀i, j ∈ N∗), nªn ta cã

x − y, em =

x −∞n=1

x, enen, em

= x, em −

∞n=1

x, enen, em

= x, em − x, em = 0 víi mäi m ∈ N∗.

Theo gi¶ thiÕt d·y {en}n∈N∗

lµ hÖ ®Çy ®ñ, suy ra x − y = 0. VËy

x =

∞n=1

x, enen.

b) ⇒ c): Do tÝnh chÊt liªn tôc cña tÝch v« h− íng, víi mäi x, y ∈ E ta cã:

x, y = limn→∞

nk=1

x, ekek,

n j=1

y, e je j

= lim

n→∞

nk=1

n j=1

x, eky, e jek, e j

= limn→∞

n

k=1

x, eky, ek =∞

n=1

x, eny, en

c) ⇒ d): Thay y = x trong gi¶ thiÕt c) ta ®− îc kh¼ng ®Þnh d).

d) ⇒ a): Gi¶ sö x ∈ E : x ⊥ en hay x, en = 0 víi mäi n ∈ N∗. Khi ®ã, theo

gi¶ thiÕt d) ta cã: x2 =∞n=1

|x, en|2 = 0 suy ra x = 0.

§Þnh lý 5.5. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert, khi ®ã çc kh¼ng ®Þnh sau lµ t − ¬ng

® − ¬ng:

a) E cã c¬ së trùc chuÈn ®Õm ® − îc.

b) E ®¼ng cÊu gi÷ nguyªn chuÈn víi l2.

c) E lµ kh«ng gian v« h¹n chiÒu kh¶ ly, nghÜa lµ E cã mét tËp con ®Õm ® − îc

trï mËt trong E .

135



Chøng minh. a) ⇒ b). Gi¶ sö d·y {en}n∈N∗ lµ c¬ së trùc chuÈn cña E , khi ®ã

theo ®Þnh lý 5.4, víi mäi x ∈ E ta cã x =∞n=1

x, enen vµ x =

∞n=1

|x, en|2.

Nh− vËy, t− ¬ng øng x

→ {x, en

}n

∈N∗ x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ b¶o toµn chuÈn

θ : E → l2 x¸c ®Þnh bëi

θ(x) := (x, en)n∈N∗ , x ∈ E.

Do tÝch v« h− íng lµ tuyÕn tÝnh ®èi víi thµnh phÇn thø nhÊt nªn dÔ dµng kiÓm tra

thÊy θ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.

Ng− îc l¹i, cho ξ = (ξn)n∈N∗ ∈ l2. Nhê ®¼ng thøc Pythagore ta cã

limn→∞

n+ pk=n+1

ξkek2

= limn→∞

n+ pk=n+1

|ξk|2 = 0 víi mäi p ∈ N∗.

chøng tá chuçi∞n=1

ξnen héi tô tuyÖt ®èi vµ do ®ã héi tô trong E . §Æt x =∞n=1

ξnen

ta cã

x, en = n

k=1

ξkek, en

=

∞n=1

ξkek, en = ξn víi mäi n ∈ N∗

chøng tá θ(x) = ξ.

Nh− vËy, ¸nh x¹ θ : E → l2 lµ toµn ¸nh tuyÕn tÝnh b¶o toµn chuÈn nªn θ lµ

phÐp ®¼ng cù, chøng tá E ∼= l2.

b) ⇒ c). Theo b) ta cã E ∼= l2 nªn chóng ta chØ cÇn chøng minh l2 lµ kh«ng

gian kh¶ ly: XÐt tËp

A = {(ξ1, . . . , ξn, 0, . . .) : ξk ∈ Q+ iQ, k = 1, . . . , n , n ∈ N∗} ⊂ l2

ë ®ã Q lµ tr− êng sè h÷u tØ. Khi ®ã A lµ tËp ®Õm ®− îc. Chóng ta sÏ kiÓm l¹i A trï

mËt trong l2. ThËt vËy, cho ξ ∈ l2 vµ ε > 0, chän n0 ∈ N∗ ®Ó ∞n=n0+1

|ξn|2 < ε2.

Víi mçi 1 n n0 cã thÓ chän ηn ∈ Q + iQ ®Ó |ξn − ηn| <ε√n0

. §Æt

136



η = (η1, . . . , ηn0 , 0, . . .). Khi ®ã η ∈ A vµ

ξ − η =

n0

n=1

|ξn − ηn|2 +

n>n0

|ξn|2

12

n0n=1

|ξn − ηn|21

2

+

n>n0

|ξn|21

2

ε + ε = 2ε

c) ⇒ a). Gi¶ sö {xn} lµ d·y trï mËt trong E . Gäi n1 lµ chØ sè bÐ nhÊt ®Ó xn1 = 0,

gäi n2 > n1 lµ chØ sè bÐ nhÊt ®Ó hÖ {xn1 ; xn2} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, gäi n3 > n2

lµ chØ sè bÐ nhÊt ®Ó hÖ {xn1 ; xn2; xn3} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ... TiÕp tôc qu¸ tr×nh

nµy ta lËp ®− îc d·y vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh {xnk}k∈N∗ sao cho kh«ng gian con

sinh bëi {xnk}k∈N∗ trï mËt trong E . Râ rµng víi x ∈ E , x ⊥ xn víi mäi n ∈ N∗

nÕu vµ chØ nÕu x ⊥ xnk víi mäi k ∈ N∗. Sö dông thñ tôc trùc giao ho¸ Gram-Schmidt ta x©y dùng ®− îc hÖ trùc chuÈn {ek}k∈N∗ tõ d·y {xnk}k∈N∗ sao cho mçi

vector ek lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña xn1 , . . . , xnk vµ do ®ã xnk còng lµ tæ hîp tuyÕn

tÝnh cña e1, . . . , ek víi mäi k ∈ N∗. Tõ ®ã suy ra nÕu x ⊥ ek víi mäi k ∈ N∗ th×

x ⊥ xnk víi mäi k ∈ N∗ vµ do ®ã x ⊥ xn víi mäi n ∈ N∗. L¹i do d·y {xn}n∈N∗

lµ trï mËt trong E nªn tån t¹i d·y con {xmn}n∈N∗ héi tô ®Õn x. V× tÝch v« h− íng

liªn tôc nªn

x2

= x, x = limn→∞ xmn, x = limn→∞xmn, x = limn→∞ 0 = 0,

suy ra x = 0. VËy {en}n∈N∗ lµ hÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ vµ do ®ã lµ c¬ së trùc chuÈn

cña E .

§Þnh lý sau ®©y nãi vÒ ®iÒu kiÖn tån t¹i c¬ së trùc chuÈn trong kh«ng gian

Hilbert.

§Þnh lý 5.6. Mäi kh«ng gian Hilbert kh¸c kh«ng gian kh«ng ®Òu cã c¬ së trùc

chuÈn.

Chøng minh. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert vµ E = {0}. Ký hiÖu C lµ tËp tÊt

c¶ çc hÖ trùc chuÈn trong E . V× E = {0} nªn tån t¹i a ∈ E , a = 1, khi ®ã

137



{a} ∈ C nªn C = ∅. X¸c ®Þnh trªn C quan hÖ thø tù theo quan hÖ bao hµm nh−

sau: víi A, B ∈ C , A B ⇔ A ⊆ B. Víi quan hÖ thø tù nµy C tho¶ m·n ®iÒu

kiÖn cña bæ ®Ò Zorn. ThËt vËy, gi¶ sö

{Aα

}α∈I

⊂C lµ tËp thø tù tuyÕn tÝnh, vµ

x, y ∈ A = α∈I

Aα, x = y. Chän α, β ∈ I ®Ó x ∈ Aα, y ∈ Aβ . V× {Aα}α lµ thø

tù tuyÕn tÝnh nªn cã thÓ xem Aα Aβ hay Aα ⊆ Aβ . Suy ra x, y ∈ Aβ vµ do

®ã x ⊥ y, x = y = 1. Theo bæ ®Ò Zorn C cã phÇn tö cùc ®¹i A = {xα}α∈J .NÕu x ∈ E : x ⊥ xα víi mäi xα ∈ A th× x = 0 v× nÕu x = 0 th× cã thÓ xem

x = 1, khi ®ã C A ∪ {x} A, ®iÒu nµy tr¸i víi tÝnh cùc ®¹i cña A. Nh− vËy

A lµ hÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ cña E .

6 To¸n tö liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert

Cho E lµ kh«ng gian Hilbert, theo §Þnh lý Riesz, tån t¹i song ¸nh b¶o toµn

chuÈn θE : E → E vµ tho¶ m·n:

(θE x)(y) = y, x víi mäi x, y ∈ E vµ θE x = x víi mäi x ∈ E

DÔ dµng kiÓm tra thÊy r»ng:

θE (x + y) = θE (x) + θE (y),

θE (λx) = λθE (x). víi mäi x, y ∈ E, λ ∈ C.

Víi çc tÝnh chÊt trªn ta nãi θE : E → E lµ phÐp ®¼ng cÊu ph¶n tuyÕn tÝnh.

B©y giê cho A : E → F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian Hilbert

E vµo kh«ng gian Hilbert F . XÐt E vµ F nh− çc kh«ng gian Banach ta cã ¸nh

x¹ liªn hîp A : F → E x¸c ®Þnh bëi A(f ) = f ◦ A víi mäi f ∈ F . Khi E, F

lµ çc kh«ng gian Hilbert, nhê biÓu ®å sau:

E

A

−−−→ F θE

⏐⏐ ⏐⏐θF

E ←−−−A

F

138



ë ®ã, do θE : E → E vµ θF : F → F lµ çc phÐp ®¼ng cÊu ph¶n tuyÕn tÝnh b¶o

toµn chuÈn nªn ta cã thÓ thay to¸n tö liªn hîp A : F → E cña A bëi to¸n tö

A∗ = θ−1

E ◦ A ◦ θF : F → E

vµ vÉn gäi A∗ lµ to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö A : E → F . Tõ ®Þnh nghÜa cña θE ,

θF vµ cña A ta cã: Víi a ∈ E , θE (a) = f a ∈ E x¸c ®Þnh bëi:

θE (a)(x) = f a(x) = x, a = x, θ−1E (f a), x ∈ E.

Tõ ®ã ta cã çc nhËn xÐt sau:

a)

Ax,y

=

x, A∗y

víi mäi x

∈E, y

∈F .

ThËt vËy: theo ®Þnh nghÜa ta cã:

x, A∗y =

x, (θ−1E AθF )(y)

=AθF (y)

(x)

=

θF (y)

(Ax) = Ax,y víi mäi x ∈ E, y ∈ F

b) (λA)∗ = λA∗ víi mäi λ ∈ K.

ThËt vËy, víi mäi x ∈ E, y ∈ F , do a) ta cã:

x, (λA)∗y = (λA)x, y = λAx,y = λx, A∗y = x, (λA∗)y

Suy ra (λA)∗ = λA∗.

c) NÕu A, B : E → F , C : F → G lµ çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc

kh«ng gian Hilbert th×

(A + B)∗ = A∗ + B∗ vµ (C ◦ A)∗ = C ∗ ◦ B∗.

ThËt vËy, víi mäi x

∈E, y

∈F ta cã:

x, (A + B)∗y = (A + B)x, y = Ax + Bx,y= Ax,y + Bx,y = x, A∗y + x, B∗y = x, (A∗ + B∗)y.

139



Do ®ã (A + B)∗ = A∗ + B∗. T − ¬ng tù, víi mäi x ∈ E, y ∈ G ta cã:

x, (C ◦ A)∗y = (C ◦ A)x, y = C (Ax), y

= Ax,C ∗y = x, (A∗ ◦ C ∗)ysuy ra (C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C ∗.

d) NÕu A lµ ®¼ng cÊu th× A∗ lµ ®¼ng cÊu vµ

(A∗)−1 = (A−1)∗ (6.1)

§Þnh lý 6.1. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A ∈ L(E ); N (A), N (A∗) vµ

R(A), R(A∗) theo thø tù ký hiÖu lµ h¹t nh©n vµ ¶nh cña A vµ A∗. Khi ®ã

N (A)⊥⊕ R(A∗) vµ N (A∗)

⊥⊕ R(A).

Chøng minh. ChØ cÇn chøng minh

N (A) = R(A∗)⊥

vµ N (A∗) = R(A)⊥

.

HÖ thøc thø nhÊt suy tõ

x ∈ N (A) ⇔ Ax = 0 ⇔ Ax,y = 0 víi mäi y ∈ E

⇔ x, A∗y = 0 víi mäi y ∈ E

⇔ x ⊥ R(A∗) ⇔ x ⊥ R(A∗)

HÖ thøc thø hai nhËn ®− îc tõ hÖ thøc thø nhÊt khi thay A bëi A∗ víi l− u ý

A = A∗ ⇒ N (A∗) = R(A∗∗)⊥

= R(A)

§Þnh lý 6.2. NÕu A ∈ L(E ) vµ n(A) = {Ax,x : x = 1} th× σ(A) ⊂ n(A).

Sau nµy n(A) gäi lµ miÒn sè cña A.

140



Chøng minh. ThËt vËy, gi¶ sö λ /∈ n(A) vµ δ = ρ(λ, n(A)). Do n(A) lµ ®ãng

nªn δ > 0. Víi mäi x ∈ E, x = 1 ta cã:

δ

|λ

− Ax,x

|=

|λ

x, x

− Ax,x

|= |λx − Ax,x| (λ − A)x.x = (λ − A)xsuy ra

(λ − A)x δx víi mäi x ∈ E

VËy Aλ = λ − A lµ ®¼ng cÊu tõ E lªn ¶nh R(Aλ) = Im Aλ vµ do ®ã R(Aλ) lµ

kh«ng gian con ®ãng cña E .

§Ó chøng minh λ /∈ σ(A) chóng ta sÏ chØ ra R(Aλ) = E . ThËt vËy, theo ®Þnh

lý 6.1 ta cã

E = N (A∗λ) ⊥⊕ R(Aλ).

Gi¶ sö ng− îc l¹i, nÕu R(Aλ) = E th× N (A∗λ) = {0} nªn cã thÓ chän mét phÇn tö

x0 ∈ N (A∗λ), x0 = 1. Khi ®ã

λx0 − A∗x0 = (λ − A)∗x0 = A∗λx0 = 0

hay A∗x0 = λx0. Tõ ®ã suy ra

n(A) Ax0, x0 = x0, A∗x0 = x0, λx0 = λx0, x0 = λ /∈ n(A).

M©u thuÉn nµy chøng tá R(Aλ) = E vµ do ®ã λ /∈ σ(A).

VÝ dô 1. Gi¶ sö A : Cn → Cn lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, ë ®©y Cn lµ ®− îc xÐt nh−

kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h− íng

x, y =n

k=1

ξkηk, x = (ξ1, . . . , ξn), y = (η1, . . . , ηn)

NÕu {ek : k = 1, n} lµ c¬ së trùc chuÈn chÝnh t¾c cña Cn th× víi x ∈ Cn ta cã

Ax = An

k=1

x, ekek =

n

k=1

x, ekAek =

n

k=1

x, ek.

n

j=1

Aek, e je j

=n

j=1

nk=1

Aek, e jx, ek

e j.

141



Nh− vËy A hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi ma trËn [a jk ]1 j,kn víi

a jk = Aek, e j, j ,k = 1, n

vµ do ®ã A∗ x¸c ®Þnh bëi ma trËn (b jk)1 j,kn víi

b jk = A∗ek, e j = ek, Ae j = Ae j, ek = a jk víi mäi 1 j, k n

Suy ra víi mäi x ∈ Cn ta cã:

A∗x =

n j=1

nk=1

A∗ek, e jx, ek

e j =

n j=1

nk=1

Ae j, ekx, ek

e j.

VÝ dô 2. Gi¶ sö X lµ tËp ®o ®−

îc trong Rn

vµ L2(X ) kh«ng gian Hilbert çc hµmb×nh ph− ¬ng kh¶ tÝch ®èi víi ®é ®o Lebesgue trong Rn cßn K (x, y) lµ hµm b×nh

ph− ¬ng kh¶ tÝch trªn X × X . Khi ®ã c«ng thøc

(Af )(x) =

X

K (x, y)f (y)dy

x¸c ®Þnh to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trong L2(X ). Theo §Þnh lý Fubini ta cã

A∗g, f

=

f, A∗g

=

Af,g

=

X

(Af )(x)g(x)dx

=

X

X

K (x, y)f (y)dy

g(x)dx =

X

X

K (x, y)g(x)dx

f (y)dy

Suy ra

A∗g, f =

X

X

K (x, y)g(x)dx

f (y)dy =

X

K (x, y)g(x)dx,f

VËy A∗g(x) = X K (y, x)g(y)dy.

142



7 To¸n tö tù liªn hîp vµ to¸n tö compact trongkh«ng gian Hilbert

7.1 To¸n tö tù liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert

§Þnh nghÜa 7.1. Cho E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A ∈ L(E ). Ta nãi A lµ to¸n tö

tù liªn hîp nÕu A = A∗.

NhËn xÐt 1. Víi A ∈ L(E ) ta lu«n cã Ax,y = x, A∗y víi mäi x, y ∈ E . Suy

ra, A lµ to¸n tö tù liªn hîp nÕu vµ chØ nÕu Ax,y = x,Ay víi mäi x, y ∈ E .

MÖnh ®Ò 7.2. NÕu A, B ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp th× A + B vµ λA, (λ ∈ R)

còng lµ to¸n tö tù liªn hîp. Ngoµi ra, nÕu AB = BA th× AB lµ to¸n tö tù liªnhîp.

Chøng minh. Ta cã

(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B vµ (λA)∗ = λA = λA.

Víi x, y ∈ E ta cã:

(AB)x, y = Bx,A∗y = x, (B∗A∗)y = x, (BA)y = x, (AB)y.

Suy ra AB lµ to¸n tö tù liªn hîp.

MÖnh ®Ò 7.3. Gi¶ sö A ∈ L(E ) lµ tù ®¼ng cÊu. Khi ®ã A lµ to¸n tö tù liªn hîp

nÕu vµ chØ nÕu A−1 lµ to¸n tö tù liªn hîp.

Chøng minh. ThËt vËy, do c«ng thøc (6.1) ta cã

A−1∗

=

A∗−1nªn nÕu A lµ

to¸n tö tù liªn hîp th×:

A−1x, y = x, (A−1)∗y = x, (A∗)−1y

= x, A−1y víi mäi x, y ∈ E

nghÜa lµ A−1 tù liªn hîp. Ng− îc l¹i, nÕu A−1 tù liªn hîp th× theo chøng minh

trªn ta cã A =

A−1−1

lµ to¸n tö tù liªn hîp.

143



§Þnh lý sau ®©y nªu lªn mét tiªu chuÈn quan träng vÒ to¸n tö tù liªn hîp.

§Þnh lý 7.4. Cho E lµ kh«ng gian Hilbert. Khi ®ã to¸n tö A ∈ L(E ) lµ to¸n tö

tù liªn hîp khi vµ chØ khi Ax,x ∈ R víi mäi x ∈ E .

Chøng minh. Gi¶ sö A lµ to¸n tö tù liªn hîp. Khi ®ã

Ax,x = x,Ax = Ax,x víi mäi x ∈ E

Do ®ã Ax,x ∈ R víi mäi x ∈ E .

Ng− îc l¹i, gi¶ sö Ax,x ∈ R víi mäi x ∈ E . Tõ çc ®¼ng thøc sau

A(x + y), x + y = Ax,x + Ax,y + Ay,x + Ay,yA(x + iy), x + iy = Ax,x − iAx,y + iAy,x + Ay,ysuy ra

Ax,y + Ay,x = A(x + y), x + y − Ax,x − Ay,y−iAx,y + iAy,x = A(x + iy), x + iy − Ax,x − Ay,y

Do gi¶ thiÕt Ax,x lµ sè thùc víi mäi x ∈ E nªn cã thÓ viÕt

Ax,y

+

Ay,x

= 2s

−iAx,y + iAy,x = 2t s, t ∈ R.

Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh nµy víi çc Èn lµ Ax,y vµ Ay,x ta ®− îcAx,y = s + it

Ay,x = s − it

Nh− ng

s − it = Ay,x = y, A∗x = A∗x, y víi mäi x, y ∈ E

VËyAx,y = s + it = s − it = A∗x, y víi mäi x, y ∈ E

do ®ã A = A∗.

144





Chøng minh. §Æt M = sup{|Ax,x| : x 1}. Tõ

|Ax,x| Ax.x Ax2 víi mäi x ∈ E,

Suy ra |Ax,x| A víi mäi x ∈ E : x 1 nªn M A. MÆt kh¸c, víi

x, y ∈ E , ta cãA(x + y), x + y = Ax,x + Ax,y + Ay,x + Ay,yA(x − y), x − y = Ax,x − Ax,y − Ay,x + Ay,y

nªnA(x + y), x + y − A(x − y), x − y = 2Ax,y + 2Ay,x

= 2Ax,y + 2y,Ax = 2[Ax,y + Ax,y] = 4ReAx,y.

Nh−

vËy, cïng víi ®¸nh gi¸ |Az,z| M z2

víi mäi z ∈ E , ta cã thÓ viÕt

| ReAx,y)| 1

4

|A(x + y), x + y)| + |A(x − y), x − y)|

M

4

x + y2 + x − y2

=M

2

x2 + y2

¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn tíi x ∈ E víi x = 1, Ax = 0 vµ y = AxAx ta nhËn

®− îc

Ax = | ReAx,Ax

Ax| M

2(1 + 1) = M.

Râ rµng bÊt ®¼ng thøc nµy ®óng víi mäi x : x 1, suy ra A M . VËyA = M .

Bëi v×

sup{|Ax,x| : x 1} = sup{|Ax,x| : 0 < x 1}= sup{x2,

A x

x

,x

x

: 0 < x 1} sup{|Ax,x| : x = 1}

ta còng cã A = sup{|Ax,x| : x = 1}.

§Þnh lý 7.8. Gi¶ sö A ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp. Khi ®ã

σ(A) ⊂ [m, M ]

146



ë ®©y m = inf {Ax,x : x = 1}, M = sup{Ax,x : x = 1}. H¬n n÷a

m, M ∈ σ(A).

Chøng minh. Tr− íc hÕt ta chøng minh σ(A) ⊂ n(A) ⊂ [m, M ]. ThËt vËy, baohµm thøc ®Çu lµ ®Þnh lý 6.2. Bao hµm thøc thø hai do ®Þnh nghÜa cña n(A) vµ

m, M . Cßn kiÓm l¹i m, M ∈ σ(A). Bëi v×

λ /∈ σ(A) ⇔ ∃(λ − A)−1 ⇔ ∃(−λ) − (−A)−1 ⇔ −λ /∈ σ(−A)

nªn −σ(A) = σ(−A). Tõ ®ã, ®Ó chøng minh m, M ∈ σ(A) b»ng çch thay A

bëi −A ta chØ cÇn chøng minh M ∈ σ(A). MÆt kh¸c v×

λ /∈ σ(A) ⇔ ∃(A − λ)−1

= [(A − μ) − (λ − μ)]−1

⇔ λ − μ /∈ σ(A − μ)

nªn σ(A − μ) = σ(A) − μ víi mäi μ ∈ R. Nh− vËy cã thÓ xem M 0 b»ng çch

thay A xÐt cho A − m. Thµnh thö cã thÓ xem 0 m M . Theo ®Þnh lý 7.7:

A = sup{|Ax,x| : x = 1} = M

Do ®ã tån t¹i d·y {xn} ⊂ E , xn = 1 víi mäi n 1 ®Ó

Axn, xn

= M

−δn, δn

→0

V×

Axn Axn A = M

ta cã

Axn − Mxn2 = Axn − Mxn, Axn − Mxn= Axn2 − M Axn, xn − M Axn, xn + M 2xn= Axn2 − 2M Axn, xn + M 2

M 2

− 2M (M − δn) + M 2

= 2Mδn víi mäi n 1

Nh− vËy

Axn − Mxn

2Mδn → 0, khi n → ∞

147



MÆt kh¸c nÕu M /∈ σ(A) th× tån t¹i C > 0 ®Ó

Axn − Mxn C xn víi mäi n 1

ta gÆp m©u thuÉn. VËy M ∈ σ(A).

7.2 To¸n tö tù liªn hîp compact- §Þnh lý Hilbert-Schmidt

Trong bµi nµy chóng ta tr×nh bµy ®Þnh lý quan träng Hilbert- Schmidt vÒ biÓu

diÔn to¸n tö tù liªn hîp compact theo çc vector riªng cña nã. Tr− íc hÕt chóng

ta nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña phæ cña to¸n tö compact tù liªn hîp.

a) Theo ®Þnh lý 7.8, nÕu m = inf

{Ax,x

:

x

= 1

}, M = sup

{Ax,x

:

x = 1} th×

σ(A) ⊂ [m, M ], m,M ∈ σ(A).

b) Theo ®Þnh lý 4.12 ch− ¬ng 3, tËp phæ σ(A) lµ tËp h÷u h¹n hoÆc ®Õm ®− îc.

Trong tr− êng hîp σ(A) lµ tËp ®Õm ®− îc th× nã cã thÓ viÕt nh− σ(A) = {λn} víi

{|λn|} lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m tíi kh«ng.

c) NÕu λ ∈ σ(A), λ = 0 th× λ lµ gi¸ trÞ riªng cña A.

d) Theo ®Þnh lý 4.7 ch− ¬ng 3, nÕu λ = μ, N (λ − A) := ker(λ − A) th×N (λ − A) ⊥ N (μ − A) vµ ®ã lµ çc kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña E , trong

khi R(λ − A) := Im(λ − A) lµ kh«ng gian con ®ãng cña E ®èi chiÒu h÷u h¹n :

dim E/R(λ − A) < ∞.

e) Do b) cã thÓ viÕt σ(A) \ {0} = {λn}n∈N∗ víi λn = λm víi mäi n = m vµ

|λn| |λm| víi mäi n > m. Trong tr− êng hîp σ(A) lµ v« h¹n th× λn → 0 khi

n → ∞. Sau ®©y ta coi σ(A) lµ v« h¹n. §Æt

qn = dim N (λn − A)

lµ sè chiÒu cña kh«ng gian riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λn. Khi ®ã do d) qn lµ h÷u

h¹n víi n 1.

148



Gi¶ sö {e1, . . . , eq1},

{e(q1+1), . . . , e(q1+q2)},

. . . . . . . . . . . . . . . .

{e(q1+q2+...+qn−1+1), . . . , e(q1+q2+...+qn)}theo thø tù lµ c¬ së trùc chuÈn cña N (λ1 − A), N (λ2 − A), . . . , N (λn − A), . . .,

khi ®ã {en}n1 lµ hÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ çc vector riªng cña A. ThËt vËy, nÕu

x0 lµ vector riªng cña A víi x0 = 1 vµ x0 ⊥ en víi mäi n 1. Nh− vËy

x0 ⊥ N (λn − A) víi mäi n 1. Chän n0 1 ®Ó λn0 lµ gi¸ trÞ riªng cña A øng

víi x0: Ax0 = λn0x0 hay x0 ∈ N (λn0 − λ). Suy ra x0 ⊥ x0 vµ do ®ã x0 = 0. §Æt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

μ1 = . . . =μq1 = λ1

μq1+1 = . . . =μq1+q2 = λ2

. . . . . . . . . . . . . . .

μq1+q2+...+qn−1+1 = . . . =μq1+q2+...+qn = λn

Khi ®ã μn lµ gi¸ trÞ riªng cña vector riªng en víi mäi n 1.

§Þnh lý 7.9 (Hilbert- Schmidt). Gi¶ sö A ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp compact.

Khi ®ã víi mäi x∈

E tån t¹i duy nhÊt x0

∈E sao cho Ax0 = 0 vµ

x =∞n=1

x, enen + x0

vµ nh− vËy

Ax =∞n=1

μnx, enen víi mäi x ∈ E

Chøng minh. HiÓn nhiªn chØ cã cïng l¾m mét vector x0 ∈ E tho¶ m·n ®¼ng

thøc thø nhÊt. Gäi L lµ bao ®ãng cña bao tuyÕn tÝnh cña {en}n1

L = span{e1; . . . ; en} == n

j=1

λ je j : λ j ∈ C, n ∈ N∗

149



Khi ®ã mäi x ∈ E viÕt duy nhÊt nh− x = x1 + x0 víi x1 ∈ L cßn x0 ∈ L⊥. Bëi

v× {en}n∈N∗ lµ ®Çy ®ñ trong L, (x ∈ L, x ⊥ en víi mäi n 1 ⇒ x = 0), theo

®Þnh lý 5.4 ta cã

x1 =∞n=1

x1, enen =∞n=1

x, enen

Thµnh thö

x =∞n=1

x, enen + x0

CÇn kiÓm l¹i Ax0 = 0. Gi¶ sö Ax0 = 0, ®Æt M = L⊥. NÕu u ∈ M th×

u, en = 0 víi mäi n 1. Do ®ã

Au,en

=

u,Aen

=

u, μnen

= μn

u, en

= 0 víi mäi n 1

VËy Au ∈ M . Nh− vËy nÕu ®Æt A1 = AM

th× A lµ to¸n tö tù liªn hîp compact

trong M . To¸n tö A1 = 0 v× A1x0 = Ax0 = 0. Khi ®ã A1 cã gi¸ trÞ riªng λ víi

|λ| = A1 = 0 (®Þnh lý 7.8). Gi¶ sö eλ lµ vector riªng cña A1 øng víi gi¸ trÞ

riªng λ. §ã còng lµ vector riªng cña A øng víi gi¸ trÞ riªng λ. Ta cã hÖ trùc

chuÈn {en}n∈N∗{eλ} çc vector riªng cña A, tr¸i víi tÝnh ®Çy ®ñ cña hÖ trùc

chuÈn çc vector riªng {en}.

§Ó nhËn ®− îc ®¼ng thøc thø hai, t¸c ®éng A vµo hai vÕ cña ®¼ng thøc thø nhÊt ta ®− îc

Ax =∞n=1

x, enAen + Ax0 =∞n=1

μnx, enen víi mäi x ∈ E

150




Bµi 1. Cho ϕ lµ d¹ng hermite trªn K - kh«ng gian vector E . Chøng minh r»ng:

a) NÕu K = R th×

4ϕ(x, y) = ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y).

b) NÕu K = C th×

4ϕ(x, y) = ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y)

+ iϕ(x + iy,x + iy) − iϕ(x − iy,x − iy).

Bµi 2. Cho E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc sao cho víi mäi x, y ∈ E ta cã:

x + y2 + x − y2 = 2(x2 + y2).

Chøng minh r»ng hµm ϕ : E × E → R x¸c ®Þnh bëi:

ϕ(x, y) := x + y2 − x2 − y2, x,y ∈ E

lµ tÝch v« h− íng trªn E .

Bµi 3. Cho {x1; x2; . . . ; xn} lµ hÖ vÐc t¬ trong kh«ng gian tiÒn Hilbert E . Ta gäi

®Þnh thøc:

G(x1, . . . , xn) =

x1, x1 x1, x2 . . . x1, xnx2, x1 x2, x2 . . . x2, xn

......

. . ....

xn, x1 xn, x2 . . . xn, xn

lµ ®Þnh thøc Gram cña hÖ vector {x1; . . . ; xn}. Chøng minh r»ng trong kh«ng gian

tiÒn Hilbert, mét hÖ vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi ®Þnh thøc Gram cña

hÖ vÐc t¬ ®ã kh¸c kh«ng.

Bµi 4. KiÓm l¹i r»ng c«ng thøc sau x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng trªn l1:

x, y =

∞n=1

xnyn, x = (xn), y = (yn) ∈ l1

151



Chøng minh r»ng l1 víi tÝch v« h− íng trªn lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert nh− ng kh«ng

ph¶i lµ kh«ng gian Hilbert.

Bµi 5. Cho kh«ng gian Banach C [0;2π] çc hµm sè (thùc hoÆc phøc) liªn tôc trªn

®o¹n [0;2π] víi chuÈn

f = supt∈[0;2π]

|f (t)| (1)

Chøng minh r»ng chuÈn (1) ë trªn kh«ng ®− îc sinh bëi bÊt kú tÝch v« h− íng nµo

trªn C [0;2π].

Bµi 6. Chøng minh r»ng c«ng thøc:

f, g

=

1

−1

f (x)g(x)dx

x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng trªn kh«ng gian vector C [−1;1] çc hµm sè phøc liªn

tôc trªn ®o¹n [−1;1] nh− ng víi tÝch v« h− íng ®ã C [−1;1] kh«ng ph¶i lµ kh«ng

gian Hilbert.

Bµi 7. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert vµ F lµ kh«ng gian vector con thùc sù trï

mËt trong E . Chøng minh r»ng trong kh«ng gian TiÒn Hilbert F tån t¹i mét siªu

ph¼ng ®ãng H sao cho trong F kh«ng tån t¹i vector kh¸c kh«ng trùc giao víi H .

Bµi 8. Cho {xn} vµ {yn} lµ hai d·y trong kh«ng gian Hilbert víi

xn 1, yn 1 víi mäi n 1 vµ limn→∞

xn, yn = 1.

Chøng minh r»ng

(a) limn→∞

xn = limn→∞

yn = 1

(b) limn→∞

xn − yn = 0

Bµi 9. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A : E → E lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh tho¶

m·n:Ax,y = x,Ay víi mäi x, y ∈ E.

Chøng minh r»ng A liªn tôc.

152







c) Chuçi∞n=1

xn2 héi tô.

Bµi 23. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x¸c ®Þnh bëi:

(Ax)(t) =

t 0

x(s)ds,t ∈ [0; 1]

lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. T×m to¸n tö liªn hîp cña A.

Bµi 24. T×m to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x¸c ®Þnh bëi:

(Ax)(t) =

1

0

tx(s)ds,t ∈ [0;1].

Bµi 25. Cho u, v lµ hai phÇn tö cè ®Þnh cña kh«ng gian Hilbert E vµ A : E → E

lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi:

Ax = x, uv, x ∈ E.

T×m to¸n tö liªn hîp A∗ cña A.

Bµi 26. T×m to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x¸c ®Þnh bëi:

(Ax)(t) = tx(t), t ∈ [0;1].

T×m tËp hîp phæ vµ tËp çc gi¸ trÞ riªng cña A. TÝnh A.

Bµi 27. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp.

Chøng minh r»ng A2 = A2.

Bµi 28. Cho E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp. Chøng

minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó sè λ lµ gi¸ trÞ chÝnh quy cña A lµ tån t¹i sè

m > 0 sao cho:

λx − Ax mx víi mäi x ∈ E.

155



Bµi 29. Cho E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp. ta gäi

A lµ to¸n tö d− ¬ng nÕu Ax,x 0 víi mäi x ∈ E . Chøng minh r»ng phÐp chiÕu

trùc giao lªn kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Hilbert lµ to¸n tö d− ¬ng.

Bµi 30. Cho E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A ∈ L(E ) lµ to¸n tö tù liªn hîp compact

kh¸c kh«ng. Chøng minh r»ng A lµ to¸n tö d− ¬ng khi vµ chØ khi mäi gi¸ trÞ riªng

kh¸c kh«ng cña A ®Òu lµ sè d− ¬ng.

156



Ch− ¬ng 5

H− íng dÉn gi¶i bµi tËp

1 Ch− ¬ng 1

Bµi 1. Do X ®ãng vµ x /∈ X nªn

r = d(x, X ) = inf {x − y : y ∈ X } > 0.

§Æt

U = B(x,r

2), V =

y∈X

B(y,r

2)

Khi ®ã, U lµ l©n cËn më cña x, V lµ l©n cËn më cña X vµ U ∩ V = ∅.Bµi 2. a) Do A më nªn víi mçi y ∈ B, tËp A + b = {x + b : x ∈ A} më. Tõ ®ã,

nhê sù biÓu diÔn

A + B =b∈B

(A + b)

ta suy ra A + B lµ tËp më.

b) Gi¶ sö {xn + yn}n∈N∗ ⊂ A + B, xn + yn → z ∈ E , (xn ∈ A, yn ∈ B).

Ta chøng minh z ∈ A + B. ThËt vËy, do A lµ tËp compact nªn tån t¹i d·y con

{xkn}n∈N∗ cña d·y {xn} sao cho xkn → x ∈ A. Khi ®ã, xkn + ykn → z ∈ E . L¹i

do B ®ãng nªn B ykn → z − x := y ∈ B, tõ ®ã z = x + y ∈ A + B. VËy

A + B ®ãng.

157



c) XÐt çc tËp con cña R:

A = {1; m +1

n| m, n ∈ N∗}

B = {−m | m ∈ N∗}.Khi ®ã, A, B lµ çc tËp ®ãng trong R nh− ng A + B kh«ng ph¶i lµ tËp ®ãng. ThËt

vËy, râ rµng d·y

1

n= (m +

1

n) + (−m) ∈ A + B nh− ng lim

n→∞1

n= 0 /∈ A + B.

d) HiÓn nhiªn nÕu A, B bÞ chÆn, nghÜa lµ A ⊂ B[0, r1], B ⊂ B[0, r2] th×

A + B bÞ chÆn v× A + B ⊂ B[0, r1 + r2].

Cho ε > 0, nÕu A, B hoµn toµn bÞ chÆn th× tån t¹i ε2

- l− íi h÷u h¹n H 1 cña A

vµ tån t¹i ε2 - l− íi h÷u h¹n H 2 cña B. Khi ®ã H 1 + H 2 lµ mét ε - l− íi h÷u h¹ncña A + B.

ViÖc chøng minh A+B compact nÕu A, B compact hoµn toµn nhê ®Þnh nghÜa.

Bµi 3. Gi¶ sö M lµ lµ kh«ng gian con ®ãng cña E víi0

M = ∅. Khi ®ã, tån t¹i

x0 ∈ M vµ tån t¹i sè r > 0 sao cho

B(x0, r) = x0 + B(0, r) ⊂ M

Víi x∈

E bÊt k×, chän ε > 0 ®ñ nhá sao cho εx∈

B(0, r), khi ®ã:

x =1

ε[(x0 + εx) − x0] ∈ 1

ε[B(x0, r) + M ]

Do M lµ kh«ng gian con cña E vµ B(x0, r) ⊂ M nªn

1

ε[B(x0, r) + M ] ⊂ M.

VËy x ∈ M , suy ra E = M .

Bµi 4. Gi¶ sö M lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E , khi ®ã 0 ∈ M .

NÕu M më th× tån t¹i sè r > 0 sao cho B(0, r)

⊂M .Ta thÊy

r

2xx ∈ B(0, r), ∀x ∈ E, x = 0

L¹i do M lµ kh«ng gian con ta suy ra nÕu x ∈ E th× x ∈ M . VËy M = E .

158



Bµi 5. Theo ®Þnh nghÜa, ta chøng minh trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E kh«ng tån

t¹i tËp con thùc sù kh¸c trèng nµo võa ®ãng võa më. ThËt vËy, gi¶ sö ng− îc l¹i, E

kh«ng lµ kh«ng gian t«p« liªn th«ng, khi ®ã tån t¹i tËp A

= ∅, A

= E võa ®ãng

võa më trong E . §Æt B = E \ A, khi ®ã B võa ®ãng võa më vµ B = ∅, B = E .

LÊy a ∈ A, b ∈ B vµ xÐt ®o¹n:

[a, b] = {ta + (1 − t)b | t ∈ R, 0 t 1}

ta thÊy [a, b] lµ tËp ®ãng liªn th«ng trong E . MÆt kh¸c, ta cã

[a, b] = (A ∩ [a, b]) ∪ (B ∩ [a, b]) (1)

V× [a, b] ®ãng trong E vµ çc tËp A, B võa ®ãng võa më trong E nªn çc tËp(A ∩ [a, b]), (B ∩ [a, b]) võa ®ãng, võa më trong kh«ng gian t«p« con [a, b] cña E

mµ hai tËp nµy kh¸c rçng, kh¸c [a, b]. L¹i do sù biÓu diÔn (1) ta suy ra ®o¹n [a, b]

kh«ng liªn th«ng. §iÒu nµy m©u thuÉn víi kh¼ng ®Þnh trªn. VËy E lµ kh«ng gian

t«p« liªn th«ng.

Bµi 6. Gi¶ sö {xn}n∈N∗ lµ d·y Cauchy trong E vµ {xkn} lµ d·y con cña d·y {xn}víi xkn → x ∈ E khi n → ∞. Ta chøng minh xn → x. ThËt vËy, cho tr− íc

ε > 0, khi ®ã:

+) Do {xn} lµd·y Cauchy nªn tån t¹i n1 ∈ N∗ sao cho:

(∀n, p ∈ N∗) (n n1 ⇒ xn+ p − xn <ε

2) (1)

+) Do xkn → x nªn tån t¹i n2 ∈ N∗ sao cho:

(∀n ∈ N∗) (n n2 ⇒ xkn − x <ε

2) (2)

Chän n0 = max{n1; n2} víi chó ý r»ng kn n nªn tõ (1) ta cã:

(∀n ∈ N∗) (n n0 ⇒ xkn − xn <ε

2) (3)

159



Tõ (2) vµ (3) ta suy ra:

xn − x xkn − xn + xkn − x <ε

2+

ε

2= ε.

Chøng tá xn → x khi n → ∞.

Bµi 7. Gi¶ sö A lµ tËp bÞ chÆn trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E , tøc lµ tån t¹i sè

M > 0 sao cho x M víi mäi x ∈ A. NÕu {xn} lµ d·y tuú ý trong E vµ

{λn} ⊂K lµ d·y bÊt k× tho¶ m·n: limn→∞

λn = 0. Khi ®ã:

λnxn = xn.|λn| M.|λn| → 0 khi n → ∞.

Suy ra limn→∞

λnxn = 0.

Ng− îc l¹i, gi¶ sö víi mäi d·y {xn} ⊂ A vµ víi mäi d·y sè λn → 0 ta ®Òu cã

λnxn → 0 nh− ng A kh«ng bÞ chÆn. Khi ®ã, víi mçi n ∈ N∗, tån t¹i xn ∈ A sao

cho xn n. Chän d·y λn = 1n

→ 0, khi ®ã

λnxn = |λn|xn 1

n.n = 1, ∀n

suy ra λnxn 0 khi n → ∞. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt, chøng tá A bÞ

chÆn.

Bµi 8. Do d·y {Bn} lµ d·y tËp bÞ chÆn trong E nªn tån t¹i d·y sè d− ¬ng t¨ng

{rn} sao cho Bn ⊂ B[0, rn], (n ∈ N∗). XÐt çc tr− êng hîp:

+) NÕu supn∈N∗

rn = r ∈ R th× chän d·y εn = 1n

→ 0, khi ®ã

n∈N∗εnBn ⊂ B[0, r],

nghÜa lµ tËp

n∈N∗εnBn bÞ chÆn.

+) NÕu supn∈N∗

rn = +∞ th× limn→∞

rn = +∞. Chän d·y εn = 1rn

→ 0. Khi ®ã

εnBn

⊂B[0, 1],

∀n nªn n∈N∗ εnBn

⊂B[0, 1], nghÜa lµ tËp n∈N∗ εnBn bÞ chÆn.

Bµi 9. Gi¶ sö f : E → F liªn tôc vµ {xn} ⊂ E lµ d·y héi tô ®Õn 0, khi ®ã

f (xn) → f (0) = 0. Nh− vËy d·y {f (xn)} lµ d·y héi tô trong E nªn bÞ chÆn.

160



Ng− îc l¹i, gi¶ sö víi mäi d·y {xn} trong E mµ xn → 0, d·y {f (xn)} ®Òu bÞ

chÆn nh− ng f kh«ng liªn tôc, khi ®ã

supx1 f (x) = +∞.

Suy ra: ∀n ∈ N∗, ∃xn ∈ E : xn 1 vµ f (xn) n2. §Æt

yn =xn

n, n ∈ N∗

ta ®− îc d·y yn → 0. Theo gi¶ thiÕt, d·y {f (yn)} bÞ chÆn trong F nªn tån t¹i sè

M > 0 sao cho

f (yn) M víi mäi n ∈ N∗.

Nh− ng khi ®ã ta cã:

+∞ < M f (yn) =1

nf (xn) 1

nn2 = n víi mäi n ∈ N∗.

§©y lµ ®iÒu v« lý, chøng tá f liªn tôc trªn E .

Bµi 10. KÝ hiÖu chuÈn cò trªn E, F ®Òu b»ng . vµ chuÈn míi t− ¬ng ®− ¬ng víi

chuÈn ®ã b»ng .1. Gi¶ sö f : (E, .) → (F, .) lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc.

Khi ®ã, tån t¹i sè C > 0 sao cho:

f (x) C x víi mäi x ∈ E.

V× .1 ∼ . nªn tån t¹i çc sè C 1, C 2 sao cho:

f (x)1 C 1f (x) vµ x C 2x1 víi mäi x ∈ E.

Tõ ®ã suy ra

f (x)

1 (CC 1C 2).

x

1 víi mäi x

∈E.

Chøng tá ¸nh x¹ f : (E, .1) → (E, .1) liªn tôc.

161



Bµi 11. §Ó chøng minh f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc ta chØ cÇn chøng minh

f (λx) = λf (x) víi mäi x ∈ E vµ víi mäi λ ∈ R

ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt, b»ng quy n¹p ta chøng minh ®− îc:

f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ E (1)

Tõ ®ã ta cã:

0 = f (0) = f (x + (−x)) = f (x) + f (−x), ∀x ∈ E

f (x) = f

nx

n

= nf

x

n

, ∀x ∈ E, ∀n ∈ N∗

suy ra f (−x) = −f (x)

f x

n

=

1

nf (x)

⎫⎬⎭ ∀x ∈ E, ∀n ∈ N∗.

Víi n ∈ N∗ ta cã:

f ((−n)x) = f (n(−x)) = nf (−x) = −nf (x) (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra:

f (mx) = mf (x), ∀x ∈ E, ∀m ∈ Z

B©y giê, víi r =m

n∈ Q, (m ∈ Z, n ∈ N∗) vµ víi mäi x ∈ E ta cã:

f (rx) = f m

nx

= f

m.x

n

= mf

x

n

= m.

1

nf (x) = rf (x).

NghÜa lµ ta cã:

f (rx) = rf (x), ∀x ∈ E, ∀r ∈ Q.

§Æt M = sup{f (x) : x ∈ E, x 1} ta chøng minh ®− îc:

f (x) M x víi mäi x ∈ E.

162



Cuèi cïng, gi¶ sö x ∈ E vµ λ ∈ R, chän d·y {rn} ⊂ Q sao cho rn → λ. Nhê

çc chøng minh trªn ta cã:

f (λx)

−λf (x)

=

f (λx)

−f (λnx) + f (λnx)

−λf (x)

f (λx) − f (λnx) + f (λnx) − λf (x)= f (λx − λnx) + λnf (x) − λf (x)= f ((λ − λn)x) + (λn − λ)f (x) M (λ − λn)x + |λ − λn|M x= 2M x.|λn − λ| → 0 khi n → ∞.

Suy ra f (λx) − λf (x) hay lµ f (λx) = λf (x) víi mäi x ∈ E vµ víi mäi λ ∈ R.

Bµi 12. Gi¶ sö σ : N → N lµ mét song ¸nh bÊt k×. §Æt

S n = x1 + . . . + xn

T n = xσ(1) + . . . + xσ(n).

Ta ph¶i chøng minh limn→∞

S n = limn→∞

T n. Cho ε > 0 chän n0 sao cho

n>n0

xn <

ε2

.

Víi mäi n > n0 sao cho A = σ−1({1, . . . , n0}) ⊂ {1, . . . , n} ta cã

S n − T n = n0k=1

xk + n0+1kn

xk −k∈A

xσ(k) − k∈A,kn

xσ(A)

2k>n0

xk < ε.

Suy ra∞k=1

xk = limn→∞

S n = limn→∞

T n =

∞k=1

xσ(k).

Bµi 13. Tr− íc hÕt ta thÊy∞n=1

enn =

∞n=1

1

n

nªn chuçi∞n=1

enn

kh«ng héi tô tuyÖt ®èi.

163



B©y giê ta chøng minh chuçi∞n=1

enn

héi tô giao ho¸n. ThËt vËy, cho tr− íc

ε > 0 vµ gi¶ sö σ : N∗ → N∗ lµ mét song ¸nh bÊt k×. Chän n0 ∈ N∗ sao cho1

n0< ε vµ chän n1 sao cho:

σ(n) > n0 víi mäi n > n1.

Víi mçi n ∈ N∗, chän mn > n sao cho d·y {mn} lµ d·y t¨ng vµ

σ({1;2; . . . ; mn}) ⊃ {1;2; . . . ; n}

Khi ®ã, víi mäi n n0 ta cã:

∞

k=1

ekk

−∞

k=1

eσ(k)

σ(k)

n

k=1

ekk

−mn

k=1

eσ(k)

σ(k)

+

∞

k>n

ekk

+

∞

k>mn

eσ(k)

σ(k)

=

∞

n<k<mn

ekk

+

∞

k>n

ekk

+

∞

k>mn

eσ(k)

σ(k)

=

1

n + 1+

1

n + 1+

1

mn + 1 ε + ε + ε = 3ε.

Suy ra∞k=1

eσ(k)

σ(k) =

∞k=1

ek

k

Bµi 14. +) NÕu a ∈ H th× f (a) = 0 vµ d(a, H ) = 0 nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng

minh.

+) Gi¶ sö a /∈ H , khi ®ã E = Ka ⊕ H nªn

f = supx=0

|f (x)|x = sup

λa+y=0

|f (λa + y)|λa + y

= supλ

=0,y

∈H

|λ|f (a)

|λ|

a + y

λ= sup

v

∈H

|f (a)|

a + v

=

|f (a)|d(a, H )

VËy

d(a, H ) =|f (a)|f

164



Bµi 15. a) Theo çc phÐp to¸n ®èi víi hµm sè vµ phÐp to¸n trong c0 ta thÊy ϕ lµ

¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, v× víi mäi f, g ∈ C 0[0, 1] vµ víi mäi α, β ∈ K ta cã:

ϕ(αf + βf ) = {(αf + βf )(

1

n)}n = {αf (

1

n) + βf

1

n}n= α{f (

1

n)}n + β {g(

1

n)}n = αϕ(f ) + βϕ(g).

Ta cã:

ϕ(f ) = supn∈N∗

|f (1

n)| sup

x∈[0;1]

|f (x)| = f ,

suy ra ϕ liªn tôc vµ ϕ 1.

b) Chøng minh ¸nh x¹ ϕ : C [0, 1]/ ker ϕ → c0 x¸c ®Þnh bëi:

ϕ(f + ker ϕ) := ϕ(f )

lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh gi÷ nguyªn chuÈn dùa vµo ®Þnh nghÜa.

Bµi 16. Gi¶ sö mäi chuçi héi tô tuyÖt ®èi trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E ®Òu héi

tô, ta chøng minh E lµ kh«ng gian Banach. ThËt vËy, cho {xn} lµ d·y Cauchy

trong E . Nh− vËy víi mçi k 1 tån t¹i nk k sao cho

x p

−xq

<

1

2k

,∀ p, q nk.

Ta cã thÓ xem n1 < n2 < .. . < nk < . . .. §Æt

n1 = n1,

n2 = max(n1, n2) + 1, . . . ,

nk = max(n1, . . . , nk) + 1, . . .

vµ ®Æt

yk = xnk+1

−xnk

Khi ®ã ∞k=1

yk =∞k=1

xnk+1 − xnk ∞n=1

1

2k< +∞

165



nghÜa lµ∞

n=1 yk héi tô tuyÖt ®èi. Theo gi¶ thiÕt chuçi nµy héi tô, vËy

y1 + y2 + . . . + ym = (xn2 − xn1) + (xn3 − xn2) + . . . + (xnm+1− xn1)

= xnm+1− xn1 → T = ∞

n=1

yk.

Suy ra xnm → T + xn1 vµ do ®ã

xm − (T + xn1) xm − xnm − xnm − T − xn1 → 0 khi m → ∞

VËy xn → T + xn1 khi n → ∞.

Bµi 17. HiÓn nhiªn ρ lµ nöa chuÈn nh− ng kh«ng lµ mét chuÈn v× tõ ®iÒu kiÖn

ρ(f ) = 0 suy ra f = 0 h.k.n. chø kh«ng suy ra ®− îc f

≡0.

Bµi 18. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy .1 lµ mét chuÈn trªn C [0; 1] víi chó ý r»ng nÕu

f ∈ C [0, 1], f 1 = 0 ⇒ f ≡ 0.

Gi¶ sö ng− îc l¹i, .1 ∼ .∞, khi ®ã tån t¹i sè C > 0 sao cho

f ∞ C f 1 víi mäi f ∈ C [0, 1]. (1)

Chän n ∈ N∗ sao cho 1 > C n+1

vµ chän f (t) = tn, t ∈ [0;1], khi ®ã f ∈ C [0, 1]

vµ nÕu theo (1) th×:

1 = f ∞ C f 1 = C

1 0

|f (t)|dt = C

1 0

tndt =C

n + 1

§iÒu nµy m©u thuÉn víi çch chän n. Chøng tá .1 ∼ .∞.

Bµi 19. NÕu f : E → F lµ ®¼ng cÊu th× ¸nh x¹ ng− îc f −1 : F → E lµ ¸nh x¹

tuyÕn tÝnh liªn tôc nªn tån t¹i sè C > 0 sao cho

f −1(y)

C

y

víi mäi y

∈F. (1)

§Æt y = f (x), m = 1C

ta cã

f (x) mx víi mäi x ∈ E. (2)

166



Ng− îc l¹i, gi¶ sö ®iÒu kiÖn (2) tho¶ m·n víi mét sè m > 0. Tõ (2) suy ra

f (x) = 0 ⇔ x = 0

nghÜa lµ f lµ ®¬n ¸nh. Theo gi¶ thiÕt f lµ toµn ¸nh nªn f lµ song ¸nh. V× f lµ

¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nªn f −1 còng lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. H¬n n÷a, ®¼ng thøc (2)

t− ¬ng ®− ¬ng víi ®¼ng thøc (1) víi C = 1m

nªn ta suy ra tÝnh liªn tôc cña f −1.

VËy f lµ ®¼ng cÊu.

Bµi 20. Víi f, g ∈ C [a, b], α , β ∈ R ta cã:

A(αf + βg) =

b

a

(αf (t) + βg(t))dt = α

b

a

f (t)dt + β

b

a

g(t)dt

= αAf + βAg.

VËy A lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn C [a, b].

Ta cã:

|Af | =

b a

f (t)dt

b a

|f (t)|dt

b a

( supt∈[a;b]

|f (t)|)dt

= supt∈[a;b]

|f (t)|.b

a

dt = (b − a)f ∞.

Suy ra A liªn tôc vµ

A b − a. (1)

TÝnh A: Chän f (t) ≡ 1, t ∈ [a; b], khi ®ã f ∞ = 1 nªn:

A

= sup

g1 |Ag

|

|Af

|=

b

a

dt = b

−a. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra A = b − a.

167



Bµi 21. DÔ thÊy ϕg lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn C [a, b]. Do

|ϕg(f )

|=

b

a

f (t)g(t)dt b

a

g(t) supt∈[a;b] |

f (t)

|dt

= supt∈[a;b]

|f (t)|b

a

g(t)dt =

⎛⎝ b

a

g(t)dt

⎞⎠f ∞, ∀f ∈ C [a, b].

nªn ϕg liªn tôc vµ

ϕg b

a

g(t)dt (1)

TÝnh

ϕg

: Chän f 0(t)

≡1, t

∈[a; b] ta cã f 0

∈C [a, b] vµ

f 0

= 1 nªn:

ϕg = supf 1

|Af | |Af 0| =

b a

g(t)dt. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra ϕg =b a

g(t)dt.

Bµi 22. Tr− íc hÕt A lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn C [a, b] v× víi mäi f 1, f 2 ∈ C [a, b]

vµ víi mäi α, β ∈ R ta cã:

A(αf 1 + βf 2)(x) = [(αf 1 + βf 2)(x)].g(x)

= αf 1(x)g(x) + βf 2(x)g(x)

= α(Af 1)(x) + β (Af 2)(x)

= (α.Af 1 + β.Af 2)(x), ∀x ∈ [a; b].

VËy

A(αf 1 + βf 2) = α.Af 1 + β.Af 2.

Ta cã:Af ∞ = sup

x∈[a;b]|(Af )(x)| = sup

x∈[a;b]|f (x)g(x)|

supx∈[a;b]

|f (x)|. supx∈[a;b]

|g(x)| = g∞.f ∞.

168





b) Víi x, y ∈ C [0, 1], α , β ∈ R ta cã:

ϕ(αx + βy)(t) = t2(αx + βy)(t) = t2(αx(t) + βy(t))

= α.t2x(t) + βt2y(t) = αϕ(x)(t) + βϕ(y)(t)

= [αϕ(x) + βϕ(y)](t), ∀t ∈ [0; 1].

VËy ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y), nghÜa lµ ϕ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Ta cã:

ϕ(x)∞ = supt∈[0;1]

|ϕ(x)(t)| = supt∈[0;1]

|t2x(t)|

supt∈[0;1]

|x(t)| = x∞, ∀x ∈ C [0, 1].

Suy ra ϕ liªn tôc vµ ta cã

ϕ

1, (1)

TÝnh ϕ: Chän d·y {xn}n2 ⊂ X x¸c ®Þnh bëi:

xn(t) =

ntn−1

víi 0 t 1 − 1n

n − nt víi 1 − 1n t 1

Khi ®ã xn = 1 víi mäi n 2, do ®ã:

ϕ = supx1

ϕ(x)∞ xn∞ = supt∈[0;1]

|t2xn(t)| =

1 − 1

n

2

, ∀n 2.

Cho n → ∞ ta ®− îc:

ϕ 1 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra ϕ = 1.

c) Gi¶ sö x ∈ X . Khi ®ã x ∈ ker ϕ ⇔ ϕ(x)(t) = t2x(t) = 0 víi mäi t ∈ [0;1].

Suy ra x(t) ≡ 0, t ∈ [0;1]. VËy ϕ lµ ®¬n ¸nh.

Chän y(t) = t(1 − t), t ∈ [0; 1]. Khi ®ã y ∈ X nh− ng cã thÓ chØ ra kh«ng tån

t¹i x ∈ X ®Ó ϕ(x) = y. Suy ra ϕ kh«ng lµ toµn ¸nh.

Bµi 25. Tr−

íc hÕt ta thÊy nÕu F lµ d¹ng tuyÕn tÝnh d−

¬ng trªn C [a, b] th× F b¶otoµn thø tù, nghÜa lµ nÕu f (t) g(t), ∀t ∈ [a; b] th× F (f ) F (g) v×

0 F (g − f ) = F (g) − F (f ).

170





2 Ch− ¬ng 2

Bµi 1. +) Víi mçi x = (xn)

∈C f ,

∃n0

∈N∗ sao cho xn = 0,

∀n > n0. Khi ®ã,

víi mäi k ∈ N∗ ta cã:

|f k(x)| = k|xk| =

k|xk| nÕu k n0

0 nÕu k > n0

Do ®ã

C (x) = supk∈N∗

|f k(x)| = sup{1.|x1|; 2|x2|; . . . ; n0|xn0|} < +∞

Theo ®Þnh nghÜa, d·y {f k}k∈N∗ bÞ chÆn ®iÓm.

+) Chän d·y {ek} ∈ C f víi ek = (δkn)n∈N∗, (δkn lµ kÝ hiÖu Kronecker). Khi

®ã, do

ek∞ = 1, ∀k ∈ N∗ nªn

f k = sup{|f k(x)| | x ∈ cf , x 1} f k(ek) = k, ∀k ∈ N∗

Suy ra d·y {f k}k∈N∗ kh«ng bÞ chÆn ®Òu v×:

supk∈N∗

f k

sup

k∈N∗k = +

∞+) NÕu cf lµ kh«ng gian Banach th× mäi hä to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn cf

bÞ chÆn ®iÓm ph¶i bÞ chÆn ®Òu.

Bµi 2. Tr− íc hÕt ta chøng minh D lµ tËp låi, c©n, ®ãng trong E :

+) D låi: Cho f, g ∈ D bÊt k×, khi ®ã

(∀n ∈ N∗)

n|f ( 1

n)| 1

n|g( 1n

)| 1

Suy ra, víi mäi t ∈ [0; 1] ta cã:

n |[tf + (1 − t)g]| tn|f (1

n)| + (1 − t)n|g(

1

n)| t + (1 − t) = 1, ∀n ∈ N∗

172



VËy tf + (1 − t)g ∈ D.

+) D c©n: Víi mäi f ∈ D vµ víi mäi λ : |λ| 1 ta cã:

n|λf ( 1n )| |λ|n|f ( 1n )| 1 ⇒ λf ∈ D.

+) D ®ãng: Gi¶ sö {f k}k1 lµ d·y bÊt k× trong D, f k → f trong E khi k → ∞.

Khi ®ã ta cã:

n|f k(1

n)| 1, ∀k, n ∈ N∗

Trong bÊt ®¼ng thøc trªn, cè ®Þnh n ∈ N∗ bÊt k×, cho k → ∞ ta ®− îc:

n|f (1

n)| 1, ∀n ∈ N∗ ⇒ f ∈ D

TiÕp theo, ta chøng minh D lµ tËp hót trong E . ThËt vËy, cho f ∈ E bÊt k×, khi

®ã, tån t¹i δ > 0 sao cho f

[0;δ]= 0. Chän n0 ∈ N∗ sao cho 1

n< δ, khi ®ã

n|f (1

n)| = 0, ∀n > n0

Tõ ®ã ta cã thÓ chon ®− îc sè d− ¬ng ε sao cho

εn|f (1

n)| 1, ∀n : 1 n n0

Suy ra, víi mäi λ : |λ| ε ta cã

n|λf (1

n)| εn|f (

1

n)| 1, ∀n ∈ N∗.

NghÜa lµ λf ∈ D. VËy D lµ tËp hÊp thô trong E .

+) D kh«ng lµ l©n cËn cña 0 ∈ E : Gi¶ sö ng− îc l¹i, thÕ th× tån t¹i sè

r > 0 sao cho B[0; r] = {f ∈ E | f r} ⊂ D. Chän n0 ∈ N∗ sao cho

n0 > r−2 ⇔ r√

n0 > 1. XÐt hµm sè f 0 ∈ C [0;1] x¸c ®Þnh bëi:

f 0(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩

r√n0

nÕu x = 1n

, 1 n n0

tuyÕn tÝnh trªn çc ®o¹n [ 1n+1 ; 1

n], 1 n n0

0 nÕu 0 x 1n0+1

173



Khi ®ã f 0 ∈ E, f 0 r nªn f 0 ∈ B[0; r] ⊂ D. MÆt kh¸c ta cã

n0|f 0(1

n0)| = n0

r√n0

= r√

n0 > 1

Tøc lµ f 0 /∈ D. §iÒu nµy m©u thuÉn víi f 0 ∈ B[0; r] ⊂ D. Chøng tá D kh«ng lµ

l©n cËn cña 0 ∈ E .

b) +) Hä {ϕn : n ∈ N∗} ⊂ E : DÔ thÊy ϕn lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn

E, ∀n ∈ N∗. Cho {f k}k∈N∗ ⊂ E, f k → 0 trong E khi k → ∞, tøc lµ f k∞ → 0

khi k → ∞. Khi ®ã, víi mäi n ∈ N∗ ta cã:

|ϕn(f k)| = n|f k(1

n)| nf k 1

n= f k → 0 khi k → ∞

VËy, víi mäi n ∈ N∗, ϕn liªn tôc t¹i 0 ∈ E vµ do ®ã liªn tôc trªn E .

+) DÔ thÊy, víi mçi f ∈ E , tËp {ϕn(f ) : n ∈ N∗} bÞ chÆn trong K, tøc lµ hä

{ϕn : n ∈ N∗} bÞ chÆn ®iÓm. NÕu hä {ϕn : n ∈ N∗} bÞ chÆn ®Òu th× tån t¹i sè

M > 0 sao cho ϕn < M, ∀n ∈ N∗. Khi ®ã, víi mäi f ∈ E, f < r = M −1

ta cã:

n|f (1

n)| = |ϕn(f )| ϕn.f < M.M −1 = 1, ∀n ∈ N∗

Suy ra f ∈ D vµ do ®ã B[0, r] ⊂ D, nghÜa lµ D lµ l©n cËn cña 0 ∈ E . §iÒu nµy

m©u thuÉn víi kh¼ng ®Þnh ë trªn. Chøng tá hä {ϕn : n ∈ N∗} kh«ng bÞ chÆn ®Òu.

Bµi 3. Gi¶ sö {(xn, g(xn))}n1 ⊂ Γg lµ d·y bÊt k× sao cho (xn, g(xn)) → (x, y) ∈E × F . Khi ®ã xn → x ∈ E, g(xn) → y ∈ F . Do g−1 : F → E liªn tôc nªn

xn = g−1[g(xn)] → g−1(y) ∈ E . L¹i do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n trong kh«ng

gian ®Þnh chuÈn nªn ta cã x = g−1(y). Suy ra g(x) = y, nghÜa lµ (x, y) ∈ Γg .

Nh− vËy Γg lµ tËp ®ãng trong E × F . Theo ®Þnh nghÜa, g cã ®å thÞ ®ãng.

Bµi 4. Gi¶ sö f : E → K lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh tuú ý vµ A ⊂ E lµ tËp

më. Víi mçi y0 ∈ f (A), ∃x0 ∈ A | y0 = f (x0). Do A më, x0 ∈ A nªn ∃r > 0

sao cho

B[x0, r] = x0 + B[0, r] ⊂ A ⇒ B[0, r] ⊂ A − x0

174



Suy ra A − x0 lµ tËp hÊp thô. Do f = 0 nªn tån t¹i a ∈ E sao cho f (a) = 1. V×

A − x0 lµ tËp hÊp thô nªn tån t¹i ε > 0 sao cho λa ∈ A − x0, ∀λ : |λ| ε. Tõ ®ã

ta cã:

λ = λf (a) = f (λa) ⊂ f (A) − f (x0) = f (A) − y0, ∀λ : |λ| ε

§¼ng thøc trªn chøng tá

B[0, ε] = {λ ∈ K : |λ| ε} ⊂ f (A) − y0 ⊂ K⇔ B[y0, r] ⊂ f (A)

Nh− vËy y0 lµ ®iÓm trong cña f (A). Do y0 ∈ f (A) lµ tuú ý, ta suy ra f (A) lµ tËp

më trong K vµ do ®ã f lµ ¸nh x¹ më.

Bµi 5. Tr− íc hÕt ta ®· biÕt (C [0;1], .∞) lµ kh«ng gian Banach. Gi¶ sö (C [0;1], .1)

lµ kh«ng gian Banach. XÐt ¸nh x¹ ®ång nhÊt:

id : (C [0; 1], .∞) → (C [0;1], .1)

Ta cã

id(f )1 = f 1 =

1

0

|f (t)|dt supt

∈[0;1]

= f ∞, ∀f ∈ (C [0; 1], .∞)

Nh− vËy ¸nh x¹ id lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian Banach

nªn lµ ®¼ng cÊu, do ®ã tån t¹i sè M > 0 sao cho

M f ∞ f 1, ∀f ∈ C [0;1]

Chän n ∈ N∗ : M > 1n+1 th× ®¼ng thøc trªn kh«ng tho¶ m·n víi hµm f ∈

C [0;1], f (t) = tn. Ta gÆp m©u thuÉn. M©u thuÉn nµy chøng tá (C [0;1], .1)

kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Banach.

Bµi 6. Gi¶ sö M lµ kh«ng gian con ®ãng bÊt k× cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn

E, M = E . Khi ®ã, theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Hahn-Banach, víi mçi v ∈ E \ M ,

175



tån t¹i f v ∈ E , f v(v) > 0, sao cho f v

M

= 0. §Æt H v = ker f v th× H v lµ siªu

ph¼ng vµ do f v liªn tôc nªn H v ®ãng trong E . Ta cã M ⊂ H v = ker f v víi mäi

v

∈E

\M nªn M

⊂ v∈E \M

H v . Ng− îc l¹i, nÕu v /

∈M th× v

∈ker f v = H v nªn

v /∈ v∈E \M

H v. VËy

v∈E \M

H v ⊂ M . Tãm l¹i ta cã:

M =

v∈E \M

H v.

Bµi 7. a) f n lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc: DÔ thÊy f n lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Ta cã

f n(x) = supt∈[0;1]

|f n(x)(t)| = supt∈[0;1]

|x(t1+ 1n )|

supt∈[0;1] |x(t)| = x, ∀x ∈ C [0;1].

Suy ra f n liªn tôc vµ f n 1, ∀n ∈ N∗.

b) {f n}n∈N∗ héi tô ®iÓm tíi ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn C [0; 1]: Tr− íc hÕt ta thÊy:

limn→∞

(t − t1+ 1n ) = 0, ∀t ∈ [0;1]

Víi mçi x ∈ C [0; 1], do x(t) liªn tôc vµ do ®ã liªn tôc ®Òu trªn [0;1] nªn víi mçi

ε > 0 vµ víi n ®ñ lín ta cã:

|x(t1+ 1

n ) − x(t)| < ε, ∀t ∈ [0;1]

Suy ra, víi n ®ñ lín ta cã:

supt∈[0;1]

|x(t1+ 1

n ) − x(t)| ε

§iÒu nµy cã nghÜa lµ:

limn→∞

f n(x)

−x

∞ = lim

n→∞

supt∈[0;1] |

x(t1+ 1n )

−x(t)

|= 0

Hay

f n(x) → x = id(x) khi n → ∞.

176



Bµi 8. Gi¶ sö {(xn, f (xn))}n∈N∗ ⊂ Γf lµ d·y bÊt k×, xn → x, f (xn) → y. Do

j : F → G liªn tôc nªn ( j ◦ f )(xn) = j(f (xn)) → j(y) khi n → ∞. L¹i do

j

◦f : E

→G liªn tôc nªn xn

→x

⇒( j

◦f )(xn)

→( j

◦f )(x) = j(f (x)). Tõ tÝnh

duy nhÊt cña giíi h¹n trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn ta suy ra: j(f (x)) == j(y).

Theo gi¶ thiÕt j lµ ®¬n ¸nh nªn ta cã: y = f (x). VËy (x, y) ∈ Γf . Tõ ®ã suy ra

Γf ®ãng trong E × F , nghÜa lµ f cã ®å thÞ ®ãng.

Bµi 9. §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn.

§iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö f ◦ϕ ∈ E , ∀f ∈ F , ta chøng minh ϕ ∈ L(E ; F ). Muèn

vËy, chØ cÇn chøng minh

supx∈E,x1

ϕ(x) < +∞

Víi mçi x ∈ B[0, 1] ⊂ E cè ®Þnh, xÐt ¸nh x¹:

ϕx : F → Kf → ϕx(f ) := f (ϕ(x))

DÔ thÊy ϕx lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Banach F . Do

|ϕx(f )| = |f (ϕ(x))| ϕ(x).f , ∀f ∈ F

nªn ϕx liªn tôc trªn F vµ ta cã:

ϕx ϕ(x).

B©y giê xÐt hä {ϕx : x ∈ B[0, 1] ⊂ E } ⊂ L(F ;K). Ta chøng minh hä nµy bÞ

chÆn ®iÓm vµ do ®ã bÞ chÆn ®Òu. ThËt vËy, víi mçi f ∈ F cè ®Þnh, do f ◦ ϕ liªn

tôc nªn ta cã:

supx∈B[0,1] |

ϕx(f )

|= sup

x∈B[0,1] |f (ϕ(x))

| sup

x∈B[0,1]

f ◦ ϕ.x = f ◦ ϕ < +∞.

177





Nh− vËy ϕ kh«ng liªn tôc t¹i 0, vµ do ®ã kh«ng liªn tôc trªn C 1[0;1].

d) Do C [0;1] lµ kh«ng gian Banach nªn nÕu C 1[0;1] lµ kh«ng gian Banach

th× mäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ C 1[0;1] ®Õn C [0;1] cã ®å thÞ ®ãng ®Òu liªn tôc. Do

¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ϕ cã ®å thÞ ®ãng nh− ng ϕ kh«ng liªn tôc, suy ra C 1[0; 1] kh«ng

ph¶i lµ kh«ng gian Banach.

Bµi 11. Gi¶ sö E cã c¬ së Hamel ®Õm ®− îc {en}n∈N∗ . Víi mçi n ∈ N∗ ta ®Æt

E n = e1; . . . ; en (kh«ng gian con sinh bëi {e1; . . . ; en}). Khi ®ã E n lµ çc

kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu nªn lµ kh«ng gian con Banach, vµ do ®ã lµ çc kh«ng

gian con ®ãng cña E . H¬n n÷a ta cã E =∞n=1

E n. V× E lµ kh«ng gian ®Çy nªn

theo ®Þnh lý Baire, tån t¹i n0

∈N∗ vµ tån t¹i sè r > 0, tån t¹i x0

∈E n0 sao cho

B[x0, r] = B[0, r] + x0 ⊂ E n0 . Do E n0 lµ kh«ng gian con cña E vµ do x0 ∈ E n0

nªn ta cã B[0, r] ⊂ E n0 . Khi ®ã, víi mäi x ∈ E, x = 0, do rx

x ∈ B[0, r] ⊂ E n0 ,

suy ra x ∈ E n0 . VËy E = E n0 , ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt dim E = +∞.

Bµi 12. CÇn: Gi¶ sö L lµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh trong E , nghÜa lµ L = x0 + M , trong

®ã M lµ kh«ng gian con cña E . Khi ®ã, víi x = x0 + x1 ∈ L, y = x0 + x2 ∈L, (x1, x2 ∈ M ) vµ α ∈ K, râ rµng ta cã:

αx + (1 − α)y = x0 + [αx1 + (1 − α)x2] ∈M

∈ x0 + M = L

§ñ: LÊy ®iÓm tuú ý x0 ∈ L. Ta chøng minh M = L − x0 lµ kh«ng gian con cña

E . ThËt vËy, HiÓn nhiªn 0 = x0 − x0 ∈ M nªn M = ∅. Víi x = x1 − x0 ∈M, y = x2 − x0 ∈ M, λ ∈ K ta cã:

λx = λ(x1 − x0) = λx1 + (1 − λ)x0 ∈L

−x0 ∈ L − x0 = M,

x + y = 21

2x +

1

2y = 21

2(x

1 −x

0) +

1

2(x

2 −x

0)

= 2 1

2x1 +

1

2x2

∈L

− x0

∈ M

179





cña M . Chän n0 ∈ N∗ sao cho:

∞

n=n0+1 |y jn

| p

1

p

<ε

2

,

∀ j = 1, k

Víi mçi x = (xn) ∈ l p, chän 1 j k sao cho x − y j p < ε2

. Khi ®ã ta cã:

∞n=n0+1

|xn| p 1

p

∞n=n0+1

|xn − y jn| p 1

p

+

∞n=n0+1

|y jn| p 1

p

< x − y j p +ε

2< ε.

Ng− îc l¹i, víi mçi ε > 0, xÐt tËp:

L = {(x1, . . . , xn0) ∈ Kn0 | ∃x = (x1, . . . , xn0 , xn0+1, . . .) ∈ M },

trong ®ã n0 ∈ N∗ ®− îc chän sao cho ∞n=n0+1

|xn| p 1

p

<ε

2, ∀x = (xn) ∈ M.

Râ rµng tËp L hoµn toµn bÞ chÆn trong Kn0 nªn tån t¹i mét ε2

- l− íi A cña L gåm

çc phÇn tö cña L, ch¼ng h¹n

A = {x1, . . . , xk}, x j = (x j1, . . . , x jn0), j = 1, k

T − ¬ng øng ta chän ®− îc cho M mét ε- l− íi gåm çc phÇn tö cña L mµ mçi phÇn

tö trong ε - l− íi ®ã lµ mét d·y cã n0 thµnh phÇn ®Çu tiªn lËp thµnh phÇn tö cña

A. Nh− vËy, M hoµn toµn bÞ chÆn vµ do ®ã lµ mét tËp compact t− ¬ng ®èi trong

l p.

181



3 Ch− ¬ng 3

Bµi 1. a) Gi¶ sö u

∈ker A. Khi ®ã A(u) = u

◦A = 0

∈E , nghÜa lµ u(Ax) =

0, ∀x ∈ E . Do A : E → F lµ toµn ¸nh ta suy ra: Víi mäi y ∈ F, u(y) = 0.

§iÒu ®ã chøng tá u = 0 ∈ F . VËy ker A = {0} nªn A lµ ®¬n ¸nh.

b) Gi¶ sö x ∈ ker A. Khi ®ã Ax = 0. Ta sÏ chøng minh x = 0, muèn vËy,

nhê ®Þnh lý Hahn-Banach, ta chØ cÇn chøng minh f (x) = 0 víi mäi f ∈ E (v×

khi ®ã ta suy ra x = 0 v× nÕu x = 0 th× cã f ∈ E : f (x) = x = 0). ThËt

vËy, Do A : F → E lµ toµn ¸nh nªn víi mçi f ∈ E , tån t¹i g ∈ F sao cho

g ◦ A = A(g) = f . Tõ ®ã ta cã:

f (x) = g(Ax) = g(0) = 0

Nh− vËy ta ®· chøng minh ker A = {0}, tøc lµ A lµ ®¬n ¸nh.

Bµi 2. Gi¶ sö f : E → F lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc h÷u h¹n chiÒu, tøc lµ Im f

lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu vµ do ®ã lµ kh«ng gian con Banach cña F nªn

®ãng trong F . Do BE [0, 1] = {x ∈ E | x 1} lµ tËp bÞ chÆn trong E vµ f

liªn tôc nªn f (BE [0, 1]) lµ tËp bÞ chÆn trong Im f . Ta ®· biÕt, mäi tËp bÞ chÆn

trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu ®Òu lµ tËp compact t− ¬ng ®èi nªn f (BE [0, 1]) lµtËp compact t− ¬ng ®èi trong Im f vµ do ®ã lµ compact t− ¬ng ®èi trong F , tøc lµ

f lµ to¸n tö compact.

Bµi 3. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu vµ f : E → F lµ to¸n

tö tuyÕn tÝnh liªn tôc, khi ®ã dÔ thÊy dimIm f dim f nªn Im f lµ kh«ng gian

con h÷u h¹n chiÒu cña F nªn f lµ to¸n tö h÷u h¹n chiÒu. Theo bµi tËp 2 ch− ¬ng

3, f lµ to¸n tö compact.

Tr− êng hîp F h÷u h¹n chiÒu th× mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ E ®Õn F

®Òu lµ to¸n tö h÷u h¹n chiÒu, dã ®ã lµ to¸n tö compact.

182





lµ tËp hoµn toµn bÞ chÆn trong l p, nhê ®Þnh nghÜa tÝnh hoµn toµn bÞ chÆn vµ cã thÓ

chän ε- l− íi h÷u h¹n gåm toµn çc phÇn tö cña tËp hîp ®ã, b»ng ®¸nh gi¸ ®¬n

gi¶n ta suy ra:

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗) | (∀n ∈ N∗)(n > n0 ⇒ |an| < ε)

Chøng tá limn→∞

an = 0.

Ng− îc l¹i, gi¶ sö limn→∞

an = 0. Gäi K = A(B[0, 1]) vµ x = (xn)∞n=1 ∈B[0, 1] ⊂ l p ta cã:

x p =

∞n=1

|xn| p 1

p

1.

Do d·y (an) héi tô nªn bÞ chÆn, tøc lµ tån t¹i sè M > 0 sao cho |an| M víi

mäi n 1. Khi ®ã, víi mäi x ∈ B[0;1] ta cã:

Ax p =

∞n=1

|anxn| p 1

p

= |an|.x p |an| |an| < M

Nh− vËy, tËp K = A(B[0, 1]) bÞ chÆn trong l p.

MÆt kh¸c, v× limn→∞

an = 0 nªn víi mçi ε > 0 bÊt k× cho tr− íc, tån t¹i sè

n0 ∈ N∗ sao cho |an| < ε víi mäi n

n0. Khi ®ã ta cã: ∞n=n0+1

|anxn| p1

p

= |an| ∞

n=n0+1

|xn| p 1

p

|an| ∞

n=1

|xn| p 1

p

|an| < ε.

Theo bµi tËp 15 ch− ¬ng 2 ta suy ra K lµ tËp compact t− ¬ng ®èi trong l p, tøc lµ A

lµ to¸n tö compact.

Bµi 8. XÐt tËp

L = {f ∈ C [0, 1] : f

[0, 12

]= 0}

184



NÕu A lµ to¸n tö compact th× AL

còng lµ to¸n tö compact. Tuy nhiªn ta thÊy

AL

cã to¸n tö ng− îc. ThËt vËy: NÕu Af = g th×

g(t) = tf (t) =0 nÕu 0 t 1

2

tf (t) nÕu 12 < t 1

do ®ã g ∈ L vµ tõ biÓu thøc trªn ta suy ra A lµ ®¬n ¸nh. Ng− îc l¹i, víi g ∈ L ta

cã thÓ chän f ∈ L víi

f (t) =

0 nÕu 0 t 1

21t

g(t) nÕu 12 < t 1

khi ®ã ta cã A−1g = f . H¬n n÷a, nÕu

{gn

} ⊂L, gn

→g th× dÔ thÊy

A−1gn − A−1g∞ 2gn − g∞ → 0 khi n → ∞

nªn A−1 liªn tôc. Tõ ®ã ta suy ra 1L = A ◦ A−1 lµ to¸n tö compact, suy ra L lµ

kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. §iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra, chøng tá A kh«ng thÓ lµ

to¸n tö compact.

Bµi 9. a) HiÓn nhiªn An, n = 1, 2, . . . lµ çc to¸n tö tuyÕn tÝnh. Ta cã:

Anx2 = n

k=1xkek2 = (x1, . . . , xk, 0, . . .)2

=

nk=1

|xk|2 x2, ∀x = (xn) ∈ B[0, 1] ⊂ l2

Suy ra An liªn tôc vµ An 1, ∀n 1. Do en = 1 nªn An Anen2 =

1, ∀n 1. Tõ ®ã ta cã An = 1, ∀n ∈ N∗.

b) Víi mçi x = (xn) ∈ l2 cè ®Þnh, do∞

n=1

|xn|2 < +∞ nªn víi mçi ε > 0 bÊt

k× cho tr− íc, tån t¹i n0 ∈ N∗ sao cho∞

k=n+1

|xk|2 < ε2, ∀n n0.

185



Khi ®ã, víi mäi n n0 ta cã:

Anx − x2 = (x1, . . . , xn, 0, . . .) − (x1, . . . , xn, xn+1, . . .)2

= (0, . . . , 0, xn+1, xn+2, . . .)2 = ∞k=n+1

|xk|2 < ε.

Chøng tá d·y {Anx} héi tô ®Õn x trong l2. Nãi çch kh¸c, d·y {An}n∈N∗ héi tô

®iÓm ®Õn ¸nh x¹ ®ång nhÊt I cña l2.

B©y giê ta chøng minh d·y {An} kh«ng héi tô ®Òu ®Õn ¸nh x¹ ®ång nhÊt I

trªn l2. Gi¶ sö ng− îc l¹i, An ⇒ I trªn l2. Khi ®ã, víi ε = 12

, tån t¹i n0 ∈ N∗ sao

cho khi n n0 ta cã:

An1 − I < ε = 12

nªn Anx − x2 < 12

víi mäi x = (xn) ∈ B[0, 1]

Cè ®Þnh n1 > n0 vµ xÐt x = en1+1 ∈ B[0, 1] ta cã x2 = 1 nªn:

An − I An1x − x2 = (0, . . . , 0, 1 thø n + 1

, 0, . . .)2 = 1

Çc kh¼ng ®Þnh trªn m©u thuÉn, chøng tá d·y {An} kh«ng héi tô ®Òu ®Õn I trªn

l2.

Bµi 10. Tõ ®iÒu kiÖn x mAx ta suy ra A lµ ®¬n ¸nh vµ ¸nh x¹ ng− îc

A−1 : Im A → E lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc, do ®ã A : E → Im A lµ phÐp

®¼ng cÊu, tøc lµ Im A ®¼ng cÊu víi E . Theo gi¶ thiÕt E lµ kh«ng gian Banach

nªn Im A lµ mét kh«ng gian Banach vµ lµ kh«ng gian con Banach cña F , v× vËy

Im A ®ãng trong F .

Bµi 11. CÇn: NÕu A : F → E lµ toµn ¸nh th× A lµ ®¬n ¸nh (Xem bµi tËp 1

ch− ¬ng 3).

Ta chøng minh Im A ®ãng trong F . ThËt vËy, ®Ó ý r»ng A : F → E lµ to¸n

tö tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian Banach nªn theo ®Þnh lý ¸nh x¹ më, A

186



lµ ¸nh x¹ më, v× vËy A(BF [0, 1]) lµ l©n cËn cña 0 ∈ E , nghÜa lµ tån t¹i δ > 0

sao cho

{f

∈E

| f

δ

} ⊂A(BF [0, 1])

Do A lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ta suy ra:

{f ∈ E | f 1} ⊂ A(BF [0,1

δ])

Víi mäi x ∈ E ta cã:

x = sup{|f (x)| : f ∈ E , f 1} sup{|(Ag)x| : g ∈ F , g 1

δ}

1

δsup

{|(Ag)x

|: g

∈F ,

g 1

}=

1

δsup{|g(Ax)| : g ∈ F , g 1} =

1

δAx

B©y giê gi¶ sö {yn}n∈N∗ ⊂ Im F : yn → y ∈ F . Khi ®ã, tån t¹i {xn}n∈N∗ ⊂ E

sao cho Axn = yn, ∀n. Do d·y {Axn} héi tô ®Õn y ∈ F nªn d·y ®ã lµ d·y

Cauchy. Theo trªn ta cã:

xn − xm 1

δAxn − Axm → 0 khi n, m → ∞.

Nh− vËy d·y{

xn

}n

∈N∗ lµ d·y Cauchy trong E . V× E lµ kh«ng gian Banach nªn

xn → x ∈ E . L¹i do A liªn tôc vµ tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n trong kh«ng gian

®Þnh chuÈn ta suy ra Ax = y. VËy y ∈ Im A nªn Im A ®ãng trong F .

§ñ: Gi¶ sö A : E → F lµ ®¬n ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ kh«ng gian Banach

E ®Õn kh«ng gian Banach F vµ Im A lµ kh«ng gian con ®ãng cña F . Ta chøng

minh to¸n tö liªn hîp A : F → E lµ toµn ¸nh. ThËt vËy, v× Im A ®ãng trong

kh«ng gian Banach F nªn Im A lµ kh«ng gian con Banach cña F . Nhê ®Þnh lý

Banach vÒ ¸nh x¹ më ta thÊy ¸nh x¹ A : E → Im F lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh gi÷a

çc kh«ng gian Banach nªn A : E → Im F lµ ®¼ng cÊu, v× vËy tån t¹i sè C > 0

sao cho:

x C Ax, ∀x ∈ E.

187



Cho f ∈ E . XÐt ¸nh x¹ ϕ : Im A → K x¸c ®Þnh bëi: Víi y ∈ Im A, ∃!x ∈ E :

Ax = y, ®Æt

ϕ(y) = ϕ(Ax) := f (x), x

∈E.

DÔ thÊy ϕ lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Ta cã:

|ϕ(y)| = |ϕ(Ax)| = |f (x)| f x C f .Ax = C f y, ∀y ∈ F.

Suy ra ϕ liªn tôc. Theo ®Þnh lý Hahn-Banach, tån t¹i g ∈ F sao cho:

g

ImF = ϕ

Khi ®ã ta cã:

(Ag)(x) = g(Ax) = ϕ(Ax) = f (x) víi mäi x ∈ E ,

tøc lµ A(g) = f . Tõ ®ã suy ra A : F → E lµ toµn ¸nh.

Bµi 12. §Æt C = inf {Ax : x ∈ E, x = 1}. XÐt hai tr− êng hîp:

+) NÕu C = 0 th× theo ®Þnh nghÜa inf , tån t¹i d·y {xn} ⊂ E : xn = 1 vµ

limn

→∞

Axn = 0, tøc lµ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

+) NÕu C > 0 th× víi mäi x ∈ E, x = 0 ta cã: Ax C x. Nh− vËy ta cã:

Ax C x, víi mäi x ∈ E.

Tõ ®ã suy ra A lµ ®¬n ¸nh vµ ¸nh x¹ ng− îc A−1 : Im A → E lµ ¸nh x¹ tuyÕn

tÝnh liªn tôc, do ®ã A : E → Im A lµ phÐp ®¼ng cÊu, tøclµ Im A ®¼ng cÊu víi E .

Theo gi¶ thiÕt E lµ kh«ng gian Banach nªn Im A lµ mét kh«ng gian Banach vµ lµ

kh«ng gian con Banach cña F ,. Tõ ®ã, nhê gi¶ thiÕt A lµ to¸n tö compact ta suy

ra 1E = A−1 ◦ A : E → Im A → E lµ to¸n tö compact nªn E lµ kh«ng gian h÷uh¹n chiÒu. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy kh«ng thÓ x¶y ra tr− êng hîp

C > 0.

188



Tãm l¹i, ta cã

inf {Ax : x ∈ E, x = 1} = 0

nªn tån t¹i d·y

{xn

} ⊂E :

xn

= 1 vµ lim

n→∞Axn = 0.

Bµi 13. XÐt ¸nh x¹ ®ång nhÊt id :

C [0;1], .∞ →

C [0;1], .. Ta thÊy id lµ

song ¸nh tuyÕn tÝnh gi÷a çc kh«ng gian Banach nªn nÕu id liªn tôc th× id lµ phÐp

®¼ng cÊu vµ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. §Ó chøng minh id liªn tôc, ta chøng

minh id cã ®å thÞ ®ãng:

Gi¶ sö {(f n, f n)}n∈N∗ ⊂ Γid sao cho (f n, f n) → (f, g) ∈ C [0;1], .∞

×C [0;1], . khi n → ∞. Khi ®ã ta cã: f n − f ∞ → 0 vµ f n − g → 0.

+) Tõ ®¼ng thøc

f n −

f ∞ →

0 ta suy ra:

limn→∞

f n(x) = f (x), ∀x ∈ [0;1] (1)

+) Do f n − g → 0 nªn tõ gi¶ thiÕt b) ta cã limn→∞

(f n − g)(x) = 0, ∀x ∈ E ,

suy ra

limn→∞

f n(x) = g(x), ∀x ∈ [0; 1] (2)

Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n trong K nªn tõ (1)&(2) ta suy ra: f (x) = g(x) víi

mäi x ∈ [0;1], tøc lµ g = f , tõ ®ã suy ra (f, g) ∈ Γid, suy ra id cã ®å thÞ ®ãng.

Nhê ®Þnh lý ®å thÞ ®ãng ta suy ra id liªn tôc.

Nh− vËy id lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc gi÷a çc kh«ng gian Banach nªn

theo nguyªn lý Banach vÒ ¸nh x¹ më, id lµ phÐp ®¼ng cÊu gi÷a

C [0;1], .∞

vµC [0;1], .. Do id vµ id−1 liªn tôc ta suy ra tån t¹i çc sè m, M > 0 sao cho:

mf ∞ f M f ∞ víi mäi f ∈ C [0; 1].

Bµi 14. Gi¶ sö M lµ tËp compact, khi ®ã M hoµn toµn bÞ chÆn trong l p nªn víi

ε > 0 bÊt k×, tån t¹i y1 = (y1n), . . . yk = (yk

n)

∈M lµ mét ε

2 - l− íi cña M . Chän

n0 ∈ N∗ sao cho: ∞n=n0+1

|y jn| p 1

p

<ε

2, ∀ j = 1, k

189



Víi mçi x = (xn) ∈ l p, chän 1 j k sao cho x − y j p < ε2

. Khi ®ã ta cã:

∞

n=n0+1 |xn

| p

1p

∞

n=n0+1 |xn

−y jn

| p

1p

+ ∞

n=n0+1 |y jn

| p

1p

< x − y j p +ε

2< ε.

Ng− îc l¹i, víi mçi ε > 0, xÐt tËp:

L = {(x1, . . . , xn0) ∈ Kn0 | ∃x = (x1, . . . , xn0 , xn0+1, . . .) ∈ M },

trong ®ã n0 ∈ N∗ ®− îc chän sao cho

∞n=n0+1

|xn| p1p

< ε2 , ∀x = (xn) ∈ M.

Râ rµng tËp L hoµn toµn bÞ chÆn trong Kn0 nªn tån t¹i mét ε2 - l− íi A cña L gåm

çc phÇn tö cña L, ch¼ng h¹n

A = {x1, . . . , xk}, x j = (x j1, . . . , x jn0), j = 1, k

T − ¬ng øng ta chän ®− îc cho M mét ε- l− íi gåm çc phÇn tö cña L mµ mçi phÇn

tö trong ε - l− íi ®ã lµ mét d·y cã n0 thµnh phÇn ®Çu tiªn lËp thµnh phÇn tö cña

A. Nh− vËy, M hoµn toµn bÞ chÆn vµ do ®ã lµ mét tËp compact t− ¬ng ®èi trong

l p.

Bµi 15. NÕu λ lµ gi¸ trÞ riªng cña f ∈ L(E ) th× tån t¹i x ∈ E, x = 0 sao

cho f (x) = λx hay (f − λ idE )(x) = 0. suy ra x ∈ ker(f − λ idE ), do ®ã

ker(f − λ idE ) = {0}. VËy f − λ idE kh«ng ph¶i lµ ®¬n ¸nh nªn kh«ng lµ song

¸nh, do ®ã kh«ng tån t¹i (f − λ idE )−1. Theo ®Þnh nghÜa phæ cña to¸n tö, λ lµ

gi¸ trÞ phæ cña f .

Bµi 16. Theo bµi tËp 15, mäi gi¸ trÞ riªng cña f ®Òu lµ gi¸ trÞ phæ cña f . Ta

chØ cÇn chøng minh nÕu E h÷u h¹n chiÒu th× mäi gi¸ trÞ phæ cña f ®Òu lµ gi¸ trÞ

190



riªng cña f . ThËt vËy, nÕu λ kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña f th× kh«ng tån t¹i

x ∈ E, x = 0 sao cho (f − λ idE )(x) = 0, nãi çch kh¸c, f − λ idE : E → E lµ

®¬n cÊu. Do E < +

∞nªn f

−λ idE lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh vµ do ®ã lµ ®¼ng

cÊu. Suy ra λ kh«ng lµ gi¸ trÞ phæ cña f . Nh− vËy ta ®· chøng minh mäi gi¸ trÞ

riªng cña f ®Òu lµ gi¸ trÞ phæ vµ mäi gi¸ trÞ phæ cña f ®Òu lµ gi¸ trÞ riªng, tøc lµ

tËp gi¸ trÞ phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu chÝnh lµ tËp

çc gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh ®ã.

Bµi 17. NÕu sè 0 kh«ng lµ gi¸ trÞ phæ cña f th× f kh¶ nghÞch trong L(E ), nghÜa

lµ tån t¹i ¸nh x¹ ng− îc f −1 ∈ L(E ). Do f lµ to¸n tö compact nªn idE = f −1 ◦ f

lµ to¸n tö compact. Theo bµi tËp 4, E lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. §iÒu nµy

m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt E v« h¹n chiÒu. VËy 0 /∈ σ(f ).

Bµi 18. a) Tr− íc hÕt ta thÊy d·y (αn) héi tô nªn supn

αn < +∞. Víi x = (xn) ∈ l2

th× ∞n=1

|αnxn|2 sup

n

|αn|2.∞n=1

|xn|2 < +∞

nªn ϕα(x) = (αnxn) ∈ l2. ViÖc kiÓm tra ϕα lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh lµ hoµn toµn

®¬n gi¶n. Do

ϕα(x)2 = ∞n=1

|αnxn|2 supn

|α|n ∞n=1

|xn|2 = α∞.x2, ∀x ∈ l2

nªn ϕα liªn tôc vµ ϕα α∞.

b) NÕu ϕα(x) = (αnxn) = 0 ∈ l2 th× αnxn = 0 víi mäi n. Theo gi¶ thiÕt

αn = 0, ∀n nªn ta cã xn = 0, ∀n, nghÜa lµ x = 0. VËy ϕα lµ ®¬n cÊu nªn sè 0

kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña ϕα.

Do l2 lµ kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu nªn ®Ó chøng minh sè 0 lµ gi¸ trÞ

phæ cña ϕα, theo bµi tËp 17, ta chøng minh ϕα lµ to¸n tö compact. ThËt vËy, xÐt

tËp ϕα(B[0, 1]), trong ®ã B[0, 1] lµ h×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ trong l2. Do limn→∞

αn = 0

nªn víi ε > 0 bÊt k× cho tr− íc, tån t¹i n0 ∈ N∗ sao cho víi mäi n n0 ta cã

191



|αn| <√

ε. Khi ®ã, víi mäi ϕα(x) = (αnxn) ∈ ϕα(B[0, 1]), x = (xn) ∈ B[0, 1],

ta cã: ∞

k=n+1 |αnxn

|2

|αn

|2

∞

k=n+1 |xn

|2 ε

∞

k=1 |αnxn

|2 ε

Theo tiªu chuÈn vÒ tÝnh compact t− ¬ng ®èi trong l p, p 1 (Bµi tËp 14), ta suy ra

ϕα(B[0, 1]) lµ tËp compact t− ¬ng ®èi trong l2. VËy ϕα lµ to¸n tö compact. Tõ ®ã

suy ra 0 ∈ σ(ϕα).

Bµi 19. Nhê çc bµi tËp 15 : Mäi gi¸ trÞ riªng cña A ®Òu lµ gi¸ trÞ phæ cña A;

Nhê bµi tËp 17: Sè 0 lµ gi¸ trÞ phæ cña A.

VËy ta chØ cÇn chøng minh mäi gi¸ trÞ phæ kh¸c 0 cña A ®Òu lµ gi¸ trÞ riªng

cña A. ThËt vËy, gi¶ sö λ = 0 lµ gi¸ trÞ phæ cña A nh− ng λ kh«ng ph¶i lµ gi¸trÞ riªng cña A. Khi ®ã Aλ := A − λ lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ E lªn

Im Aλ = Rλ, mµ nã lµ kh«ng gian con ®ãng cña E bëi ®Þnh lý 4.7. Tõ ®Þnh

lý ¸nh x¹ më Banach ta suy ra Aλ : E → Im Aλ lµ ®¼ng cÊu. Víi n 0, ®Æt

X n = Im Anλ. Ta cã X n+1 X n, ∀n 0.

ThËt vËy hiÓn nhiªn X n+1 ⊂ X n, ∀n 0 vµ X 1 = X 0 = 1E (A0λ = E ). Gi¶

sö X n+1 X n, ∀0 n m nh− ng X m+2 = X m+1. Chän x ∈ X m \ X m+1. Do

X m+2

= X m+1

, tån t¹i y∈

X m+1

®Ó Aλy = Aλx. VËy th× Aλ(x−

y) = 0. Do

Aλ lµ ®¬n ¸nh, x = y ∈ X m+1. Tr¸i gi¶ thiÕt x /∈ X m+1.

MÆt kh¸c do Aλ : E ∼= ImAλ, suy ra X n = Im Anλ lµ kh«ng gian con ®ãng

cña E víi mäi n 0. Bëi hÖ qu¶ 3.5, Ch II, víi mäi n 0 tån t¹i f n ∈ E sao

cho

f nXn+1

= 0 vµ f Xn

= 1

Nh− vËy tån t¹i xn ∈ X n sao cho

xn = 1 vµ f (xn)

1

2

Suy ra

xn − x |f (xn − x)| 1

2, ∀x ∈ X n+1

192



Bëi v×Axn − Axm = λxn + Aλxn − λxm − Aλxm,

Aλxn − λxm − Aλxm ∈ X n+1

nªn ta cãAxn − Axm = λxn + Aλxn − λxm − Aλxm

= |λ|xn +Aλxn − λxm − Aλxn

λ |λ|

2, ∀0 n < m

(Chó ý r»ngAλxn − λxm − Aλxn

λ∈ X n+1). Nh− vËy, d·y {Axn} kh«ng thÓ cã

d·y con nµo héi tô, ®iÒu nµy tr¸i víi tÝnh compact cña A.

Bµi 20. Gi¶ sö ng− îc l¹i, λ /∈ σ(A), khi ®ã Aλ = A − λ idE : E → E lµ mét

phÐp ®¼ng cÊu nªn A−1

λ lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc, do ®ã tån t¹i sè m > 0 saocho

mx Aλx = Ax − λx, ∀x ∈ E. (1)

Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i d·y {xn} ⊂ E, xn = 1 sao cho

limn→∞

(Axn − λxn) = 0,

do ®ã:

limn→∞

Axn

−λxn

= 0 (2)

MÆt kh¸c, tõ (1) vµ gi¶ thiÕt xn = 1, ∀n, ta suy ra:

limn→∞

Axn − λxn m > 0 (3)

Çc hÖ thøc (2) vµ (3) m©u thuÉn víi nhau, chøng tá λ ∈ σ(A).

Bµi 21. Ta sÏ chøng minh mÖnh ®Ò t− ¬ng ®− ¬ng: NÕu tån t¹i sè nguyªn d− ¬ng n

sao cho λn /∈ σ(An) th× λ /∈ σ(A). ThËt vËy, nÕu ®Æt

B = A

n

−1

+ λA

n

−2

+ . . . + λ

n

−2

A + λ

n

−1

1E

th× ta cã:

An − λn1E = (A − λ1E )B = B(A − λ1E ).

193



Tõ ®ã, nÕu λn /∈ σ(An) th× tån t¹i C ∈ L(E ) sao cho:

(An − λn1E )C = C (An − λn1E ) = 1E .

Hay lµ

(A − λ1E )(BC ) = (CB)(A − λ1E ) = 1E .

Suy ra A − λ1E cã to¸n tö ng− îc liªn tôc vµ (A − λ1E )−1 = BC = CB, nghÜa

lµ λ /∈ σ(A).

Bµi 22. Ta sÏ chøng minh nÕu λ−1 /∈ σ(A−1) th× λ /∈ σ(A). ThËt vËy, nÕu λ−1 lµ

gi¸ trÞ chÝnh quy cña A−1 th× A−1 − λ−11E lµ phÐp ®¼ng cÊu. Theo gi¶ thiÕt A,vµ

do ®ã −λA,λ = 0, còng lµ phÐp ®¼ng cÊu. Suy ra

A − λ1E = (−λA)(A−1 − λ−11E )

lµ phÐp ®¼ng cÊu, nghÜa lµ λ /∈ σ(A).

Bµi 23. a) KiÓm tra trùc tiÕp thÊy A lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ A 1.

b) Do C [0;2π] lµ kh«ng gian Banach vµ víi mäi λ ∈ C, to¸n tö A − λI :

C [0;2π] → C [0;2π] lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc (I lµ to¸n tö ®ång nhÊt cña C [0;2π]), ta

suy ra λ /∈ σ(A) khi vµ chØ khi: Víi mçi y ∈ C [0;2π], ph− ¬ng tr×nh Ax − λx = y

cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ C [0;2π], tøc lµ ph− ¬ng tr×nh:

eitx(t) − λx(t) = y(t) hay [eit − λ]x(t) = y(t), ∀t ∈ [0;2π]

cã nghiÖm duy nhÊt x = x(t), t ∈ [0;2π]. §iÒu nµy x¶y khi vµ chØ khi λ = eit

víi mäi t ∈ [0;2π] hay |λ| = 1. Tõ ®ã suy ra:

σ(A) = {λ ∈ C : |λ| = 1}.

Bµi 24. Tr− íc hÕt ta thÊy:

+) λ = 0 lµ gi¸ trÞ riªng cña A øng víi vÐc t¬ riªng

x = x(t) = (t − 1)2 − 1, t ∈ [0; 1];

194



+) λ = 1 lµ gi¸ trÞ riªng cña A øng víi vÐct¬ riªng

x = x(t) = t, t ∈ [0; 1].

Tõ ®ã {0; 1} ⊂ σ(A).

Gi¶ sö λ ∈ C, λ = 0, λ = 1. Víi mçi y ∈ C [0; 1], xÐt ph− ¬ng tr×nh:

Ax − λx = y ⇔ x(0) + tx(1) − λx(t) = y(t), ∀t ∈ [0; 1] (1)

Trong ph− ¬ng tr×nh (1) lÇn l− ît cho t = 0; t = 1 ta ®− îc:

x(0) =y(0)

1

−λ

; x(1) =y(1)

1

−λ

− y(0)

(1

−λ)2

Thay vµo (1) ta ®− îc ph− ¬ng tr×nh t− ¬ng ®− ¬ng víi (1) lµ:

y(0)

1 − λ+

ty(1)

1 − λ− ty(0)

(1 − λ)2− λx(t) = y(t), t ∈ [0;1]. (2)

Râ rµng, víi mçi y ∈ C [0; 1] ph− ¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt:

x(t) = − 1

λy(t) +

y(0)

λ(1 − λ)+

ty(1)

λ(1 − λ)− ty(0)

λ(1 − λ)2

§iÒu ®ã chøng tá ¸nh x¹ A

−λI : C [0; 1]

→C [0; 1] lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn

tôc. Do C [0;1] lµ kh«ng gian Banach nªn A − λI lµ ®¼ng cÊu. Theo ®Þnh nghÜa

λ /∈ σ(A). Nh− vËy, víi mäi λ ∈ C, nÕu λ = 0, λ = 1 th× λ ∈ s(A) = C \ σ(A).

Suy ra σ(A) = {0; 1}.

Ta cã r(A) = sup{|λ : λ ∈ σ(A)} = 1.

Theo kÕt qu¶ trªn ta cã: R(A, λ) = (A − λI )−1 : C [0; 1] → C [0;1] lµ to¸n tö

x¸c ®Þnh bëi:

R(A, λ)(x)(t) = −1

λx(t) +x(0)

λ(1 − λ) +tx(1)

λ(1 − λ) −tx(0)

λ(1 − λ)2 , t ∈ [0; 1].

trong ®ã λ = 0, λ = 1, x ∈ C [0;1].

195







+) Víi x, y ∈ E cè ®Þnh, do

|λ1x + y − λ2x + y| |λ1 − λ2|x

nªn hµm sè

R λ → λx + yliªn tôc. §Æt

g(λ) = ϕ(λx,y) =1

2(λx + y2 − λx − y2), λ ∈ R

ta ®− îc g : R→ R lµ hµm sè liªn tôc. Theo chøng minh trªn ta cã:

g(λ1 + λ2) = ϕ(λ1x + λ2x, y) = ϕ(λ1x, y) + ϕ(λ2x, y)

= g(λ1) + g(λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R.

Suy ra

g(λ) = aλ,λ ∈ R, (a ∈ R cè ®Þnh)

Nh− ng do g(1) = a = ϕ(x, y) nªn ta cã:

ϕ(λx,y) = g(λ) = λa = λϕ(x, y), ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R.

Chøng tá ϕ lµ d¹ng Hermite trªn E .

+) Cuèi cïng

ϕ(x, x) = 2x2 − x2 − x2 = 2x2 0, ∀x ∈ E.

vµ ϕ(x, x) = 0 chØ khi x = 0 ∈ E nªn ϕ lµ tÝch v« h− íng trªn E .

Bµi 3. +) Gi¶ sö G(x1, . . . , xn) = 0, ta chøng minh hÖ vector {x1; x2; . . . ; xn} ®éc

lËp tuyÕn tÝnh. ThËt vËy, nÕu λ1, λ2, . . . , λn ∈ C sao cho λ1x1+λ2x2+. . .+λnxn =

0. Khi ®ã:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

λ1

x1, x1

+ λ2

x2, x1

+ . . . + λn

xn, x1

= 0

λ1x1, x2 + λ2x2, x2 + . . . + λnxn, x2 = 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·λ1x1, xn + λ2x2, xn + . . . + λnxn, xn = 0

(1)

198



HÖ (1) lµ hÖ ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt n ph− ¬ng tr×nh n Èn λ1, . . . , λn

vµ cã ®Þnh thøc hÖ sè chÝnh lµ ®Þnh thøc Gram G(x1, . . . , xn) cña hÖ vector

{x1; x2; . . . ; xn

}, v× vËy, víi G(x1, . . . , xn)

= 0 th× hÖ (1) cã nghiÖm duy nhÊt

λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. §iÒu nµy chøng tá hÖ vector {x1; x2; . . . ; xn} ®éc lËp

tuyÕn tÝnh.

+) Ng− îc l¹i, gi¶ sö G(x1, . . . , xn) = 0. XÐt hÖ ph− ¬ng tr×nh (1) víi çc Èn

λ1, λ2, . . . , λn. V× ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè cña cña hÖ llµ ®Þnh thøc Gram

G(x1, . . . , xn) = 0 nªn hÖ (1) cã nghiÖm kh«ng tÇm th− êng (λ1, λ2, . . . , λn). Khi

®ã, tõ hÖ (1) ta cã

n

i=1

λixi, x j

= 0⇒

n

i=1

λixi, λ jx j

= λ j

n

i=1

λixi, x j

= 0,∀ j = 1, n

Suy ra: ni=1

λixi,

n j=1

λ jx j

= n

i=1

λixi

2

= 0

Chøng tá cã sù biÓu diÔnn

i=1λixi = 0 víi çc hÖ sè λ1, λ2, . . . , λn kh«ng ®ång

thêi b»ng kh«ng, nghÜa lµ hÖ vector {x1; x2; . . . ; xn} phô thuéc tuyÕn tÝnh.

Bµi 4. Tr− íc hÕt ta chøng minh nÕu x = (xn), y = (yn) ∈ l1 th× (xnyn) ∈ l1. ThËt

vËy, do çc chuçi sè d− ¬ng ∞n=1

|xn|, ∞n=1

|yn| héi tô nªn limn→∞ |xn| = lim

n→∞ |yn| = 0,

v× vËy, tån t¹i sè n0 sao cho |xn| < 1, |yn| < 1 víi mäi n n0. Suy ra

|xn|2 |xn| vµ |yn|2 |yn| víi mäi n n0. Theo dÊu hiÖu so s¸nh, çc chuçi∞n=1

|xn|2,∞n=1

|yn|2 héi tô, tõ ®ã, nhê bÊt ®¼ng thøc |xnyn| |xn|2 + |yn|2 víi mäi

n ∈ N, ta suy ra chuçi sè ∞n=1

|xnyn| héi tô. H¬n n÷a, nhê ®Þnh nghÜa, dÔ dµng

kiÓm tra ®− îc r»ng ¸nh x¹ (x; y) → x, y =∞n=1

|xnyn| lµ tÝch v« h− íng trªn l1,

®ång thêi, chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng nµy x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

x =

∞n=1

|xn|2, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ l1.

199



TiÕp theo, theo chøng minh trªn ta thÊy l1 ⊂ l2, h¬n n÷a, l1 lµ kh«ng gian

vector con cña l2 vµ chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng trªn l1 trïng víi chuÈn cña

kh«ng gian Banach l2. V× vËy, nÕu víi tÝch v« h− íng trªn, l1 lµ kh«ng gian Hilbert,

th× b¶n th©n nã lµ kh«ng gian Banach con cña l2 nªn sÏ lµ kh«ng gian con ®ãng

cña l2. Nh− ng ë ®©y chóng ta sÏ chØ ra l1 kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian con ®ãng cña

l2, vµ do vËy kh«ng thÓ kh«ng gian Hilbert. ThËt vËy, chän d·y (xk)k∈N∗ ⊂ l1

x¸c ®Þnh bëi:

xk = (xkn)∞n=1 víi xkn =1

n1+ 1

k

, n = 1, +∞ , k = 1, 2, . . .

Râ rµng, v× chuçi Riemann∞

n=1

1ns

héi tô khi s > 1 nªn, víi mçi k ∈ N∗, chuçi

sè ∞n=1

1

n1+1

k

héi tô, nghÜa lµ xk =

1

n1+ 1

k

+∞

n=1∈ l1 víi mäi k = 1, 2, . . . Nãi çch

kh¸c, d·y (xk)∞k=1 ⊂ l1

V× r»ng, nÕu d·y l1 yk = (ξkn)∞n=1 héi tô ®Õn phÇn tö y = (ξn)∞n=1 ∈ l1,

khi k → ∞, theo chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng trong l1 (tøc lµ chuÈn trong

kh«ng gian Banach l2) th× sù héi tô ®ã lµ sù héi tô theo tõng thµnh phÇn, nghÜa

lµ limk→∞

ξkn = ξn, ∀n = 1, 2, . . . nªn nÕu d·y (xk)k∈N∗ ⊂ l1 x¸c ®Þnh ë trªn héi tô

®Õn phÇn tö x = (ξn)

∈l2 th× do

limk→∞

1

n1+ 1

k

=1

n, n = 1, 2, . . . ta suy ra x =

1

n

∞n=1

∈ l2.

Nh− ng l¹i do chuçi sè d− ¬ng∞n=1

1n

kh«ng héi tô nªn x =

1n

∞n=1

/∈ l1. §iÒu nµy

chøng tá l1 kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian con ®ãng cña l2 theo chuÈn sinh bëi tÝch v«

h− íng ®ang xÐt.

Bµi 5. NÕu chuÈn sup ®· cho sinh bëi tÝch v« h− íng nµo ®ã trong C [0;2π] th×

bÊt ®¼ng thøc h×nh b×nh hµnh sau ph¶i lu«n tho¶ m·n víi mäi f, g ∈ C [0;2π]:

f + g2 + f − g2 = 2(f 2 + g2) (1)

200



B»ng çch chän

f (t) = max(sin t; 0), g(t) = max(− sin t; 0), t ∈ [0;2π]

ta thÊy f + g = f − g = f = g = 1. Nh− vËy, víi çc hµm f, g võa

chän th× bÊt ®¼ng thøc h×nh b×nh hµnh (1) kh«ng thÓ tho¶ m·n. Chøng tá chuÈn

®· cho kh«ng thÓ ®− îc sinh bëi tÝch v« h− íng nµo trªn C [0;2π].

Bµi 6. B»ng ®Þnh nghÜa tÝch v« h− íng, dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r»ng c«ng thøc

f, g :=

1 −1

f (x)g(x)dx (1)

x¸c ®Þnh mét tÝch v« h− íng trªn C [−1;1] nªn C [−1;1] lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert

vµ chuÈn trªn C [−1;1] sinh bëi tÝch v« h− íng nµy lµ:

f = 1 −1

|f (x)|2dx 1

2

, f ∈ C [0; 1] (2)

Ta chøng minh C [−1;1] víi chuÈn (2) kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Banach, tøc lµ

C [−1;1] víi tÝch v« h− íng (1) kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian Hilbert. XÐt d·y hµm

sè liªn tôc {f n}n1 x¸c ®Þnh bëi:

f n(t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0 nÕu − 1 t 0

nt nÕu 0 t 1n

1 nÕu 1n t 1

Khi ®ã d·y ({f n}n1 lµ d·y Cauchy v×

|f m(t) − f n(t)| =

⎧⎪⎨⎪⎩

0 khi − 1 t 0

|f m(t) − f n(t)| 1 khi 0 t max{ 1m

; 1n}

0 khi max{1m;

1n} t 1

201



f m − f n2 =

1

−1

|f m(t) − f n(t)|2dt =

0

−1

|f m(t) − f n(t)|2dt +

+ max{

1

m ;

1

n }0

|f m(t) − f n(t)|2dt + 1

max{ 1

m; 1n}|f m(t) − f n(t)|2dt

0 + max{ 1

m;

1

n} + 0 = max{ 1

m;

1

n} → 0 khi m, n → ∞.

Tõ ®ã, nÕu f lµ mét hµm liªn tôc trªn [−1;1] sao cho

limn→∞ f n − f 2 = lim

n→∞

1

−1

|f n(t) − f (t)|2dt = 0

th× ¾t ph¶i cã giíi h¹n ®iÓm limn

→∞

|f n(t) − f (t)| = 0, t ∈ [−1;1], tõ ®ã suy ra:

f (t) = limn→∞

f n(t) =

0 khi − 1 t 0

1 khi 0 t 1

§iÒu nµy tr¸i víi tÝnh liªn tôc cña f .

Bµi 7. V× F lµ kh«ng gian vector con thùc sù cña E nªn tån t¹i 0 = a ∈ E \ F .

XÐt kh«ng gian vector con mét chiÒu L sinh bëi a: L = {λa,λ ∈ C}. Gäi

H = L⊥ ∩ F . Khi ®ã, H lµ siªu ph¼ng ®ãng trong F vµ mäi phÇn tö b ∈ F \ {0}

®Òu kh«ng trùc giao víi H , v× nÕu b trùc giao víi H th× b = λa, λ = 0 nªn a ∈ F ,m©u thuÉn !

202



Bµi 8. a) Sö dông BÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz, víi mäi n ∈ N∗ ta cã:

|xn, yn| xn.yn xn 1

|xn, yn

|

xn

.

yn

yn

1

⇒ |xn, yn| xn 1

|xn, yn

|

yn

1

(1)

Theo gi¶ thiÕt, limn→∞

= 1 nªn trong (1) cho n → ∞ ta ®− îc limn→∞

xn =

1, limn→∞

yn = 1.

b) Víi mäi n ∈ N∗ ta cã:

xn − yn2 = xn − yn, xn − yn = xn2 + yn2 − xn, yn − xn, yn (2)

Do limn→∞

xn, yn = 1 suy ra limn→∞

xn, yn = 1. LÊy giíi h¹n hai vÕ cña (2) khi

n → ∞ ta ®−

îc limn→∞ xn − yn2

= 0, suy ra limn→∞ xn − yn = 0.

Bµi 9. Çch 1: Do E lµ kh«ng gian Hilbert, tøc lµ víi chuÈn sinh bëi tÝch v«

h− íng th× E lµ mét kh«ng gian Banach, nªn ®Ó chøng minh ¸nh x¹ A : E → E

liªn tôc, ¸p dông kÕt qu¶ bµi tËp 9 ch− ¬ng 2, ta chØ cÇn chøng minh A ◦ f liªn

tôc víi mäi f ∈ E . ThËt vËy, v× f ∈ E nªn theo §Þnh lý Riesz vÒ sù biÓu diÔn

phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trong kh«ng gian Hilbert, tån t¹i a ∈ E sao cho

f (y) = y, a víi mäi y =∈ E . Do ®ã

(u ◦ A)(x) = u(Ax)Ax,a = x,Aa, ∀x ∈ E.

Suy ra (u ◦ A)(x) = |x,Aa| Aa.x víi mäi x ∈ E . BÊt ®¼ng thøc nµy

chøng tá u ◦ A liªn tôc vµ u ◦ A Aa.

Çch 2: Víi chuÈn sinh bëi tÝch v« h− íng, E lµ mét kh«ng gian Banach. §Ó

chøng minh to¸n tö tuyÕn tÝnh A : E → E liªn tôc, ¸p dông ®Þnh lý ®å thÞ ®ãng,

ta chØ cÇn chøng minh A cã ®å thÞ ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö {xn}n∈N∗ lµ d·y phÇn

tö bÊt kú cña E sao cho (xn, Axn)

→(x, y)

∈E

×E , khi ®ã xn

→x, Axn

→y.

L¹i do hµm E × E (x, y) → x, y lµ hµm liªn tôc nªn ta cã

(∀u ∈ E ) limn→∞

Axn, u = y, u (1)

203



KÕt hîp víi gi¶ thiÕt ta suy ra:

(∀u ∈ E ) limn→∞

Axn, u = limn→∞

xn, Au = x,Au = Ax,u (2)

Tõ (1) vµ (2), do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n trong C ta suy ra:

(∀u ∈ E ) Ax,u = y, u ⇔ (∀u ∈ E ) Ax − y, u = 0 (3)

Tõ (3) ta suy ra Ax − y = 0 hay lµ Ax = y, chøng tá A cã ®å thÞ ®ãng.

Bµi 10. T − ¬ng tù nh− Bµi 10, ta chøng minh A cã ®å thÞ ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö

{xn}n∈N∗ lµ d·y phÇn tö bÊt kú cña E sao cho (xn, Axn) → (x, y) ∈ E × E , khi

®ã xn → x, Axn → y. Khi ®ã, do tÝnh liªn tôc cña tÝch v« h− íng ta suy ra:

(∀u ∈ E ) limn→∞

Axn, u = y, u (4)

Tõ gi¶ thiÕt vÒ tÝnh liªn tôc cña phiÕm hµm x → Ax,u, (∀u ∈ E ), ta suy ra

(∀u ∈ E ) limn→∞

Axn, u = Ax,u (5)

Tõ (4) vµ (5), do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n trong C ta suy ra:

(∀u ∈ E ) Ax,u = y, u ⇔ (∀u ∈ E ) Ax − y, u = 0 (6)

Tõ (6) ta suy ra Ax − y = 0 hay Ax = y, chøng tá A cã ®å thÞ ®ãng.

Bµi 11. Do L lµ kh«ng gian con ®ãng cña E nªn E = L ⊕ L⊥. Khi ®ã, mçi phÇn

tö x ∈ E ®Òu biÓu diÔn ®− îc duy nhÊt d− íi d¹ng x = u + v víi u ∈ L, v ∈ L⊥.

Ngoµi ra, theo chøng minh §Þnh lý 3.9, Ch− ¬ng 4 vÒ sù tån t¹i phÐp chiÕu trùc

giao ta cã:

v = x − u = dist(x, L) x − y víi mäi y ∈ L (∗)

Do ®ã x ⊥ L khi vµ chØ khi u = 0 vµ x = v. KÕt hîp víi bÊt ®¼ng thøc (∗) tasuy ra:

x x − y víi mäi y ∈ L.

204



Bµi 12. Theo gi¶ thiÕt |λn| M = supn∈N∗

|λn| < +∞ víi mäi n ∈ N∗ nªn theo bÊt

®¼ng thøc Bessel ta cã:

∞n=1

|λnx, en|2 M 2

∞n=1

|x, en|2 M 2x2, (∀x ∈ E ).

Suy ra Ax2 = Ax,Ax =∞n=1

|λn|2|x, en|2 M 2x2, (∀x ∈ E ). Chøng tá

A liªn tôc vµ A M = supn∈N∗

|λn|. H¬n n÷a, cã thÓ chØ ra ®− îc A = M .

Bµi 13. Víi mçi n ∈ N∗ xÐt ¸nh x¹ An : E → E x¸c ®Þnh bëi

Anx :=n

k=1

λkx, ekek, x ∈ E.

Do dim R(An) < +∞ nªn An lµ to¸n tö h÷u h¹n chiÒu, do ®ã An lµ to¸n tö

compact. MÆt kh¸c, víi mçi ε > 0 tån t¹i n0 sao cho |λn| < ε víi mäi n n0 vµ

víi n n0 ta cã:

A − An = supx1

Ax − Anx = supx1

∞k=n+1

λkx, ekek < ε.

Chøng tá A lµ giíi h¹n trong L(E ) cña d·y to¸n tö compact nªn theo §Þnh lý 2.5

Ch− ¬ng 3, A lµ to¸n tö compact.

Bµi 14. Gi¶ sö p : E → L lµ to¸n tö compact. Do pL

= idL : L → L lµ to¸n tö

compact nªn dim L < +∞. Ng− îc l¹i, nÕu dim L < +∞ th× p : E → L lµ to¸n

tö h÷u h¹n chiÒu nªn p lµ to¸n tö compact.

Bµi 15. Víi mçi n xÐt ¸nh x¹ An : E → F x¸c ®Þnh bëi

Anx =n

k=1

x, ekAek. (1)

DÔ thÊy An lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz, víi mäi

x ∈ E ta cã

Anx n

k=1

|x, ek|Aek n

k=1

x.ek|Aek = n

k=1

Aek

.x

205





f (M ) hoµn toµn bÞ chÆn trong L vµ do ®ã tån t¹i x1, . . . , x p ∈ M sao cho víi

x ∈ M : x − f (xi0) <ε

3víi mét xi0 nµo ®ã, 0 i0 p. Khi ®ã, nÕu x ∈ M

th×

x − xi0 x −

n1k=1

x, ekek

+ n1

k=1

x, ekek −n1k=1

xi0 , ekek

+ n1

k=1

xi0, ekek − xi0

<ε

3+

ε

3+

ε

3= ε.

Nh− vËy M lµ tËp hoµn toµn bÞ chÆn trong E vµ do ®ã nã lµ tËp compact t− ¬ng

®èi trong E .

Bµi 17. Gäi B lµ h×nh cÇu ®ãng ®¬n vÞ trong E . Ta chØ cÇn chøng minh {An}n∈N∗

héi tô ®Òu trªn B ®Õn A. Tõ gi¶ thiÕt ta cã A(B) lµ tËp compact t− ¬ng ®èi trong

E nªn ¸p dông kÕt qu¶ ë bµi 16 ë trªn ta thu ®− îc kÕt qu¶ cÇn chøng minh.

Bµi 18. Tr− íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm héi tô yÕu: D·y {xn}n∈N∗ trong kh«ng gian

Hilbert E ®− îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn phÇn tö x0 ∈ E nÕu limn→vc

x, xn = x, x0víi mäi x ∈ E . KÝ hiÖu lµ xn x0.

B©y giê, gi¶ sö d·y {en}n∈N∗ lµ hÖ trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert E ,

theo bÊt ®¼ng thøc Bessel ta cã:∞n=1

|x, en|2 x2 víi mäi x ∈ E.

Chøng tá chuçi∞n=1

|x, en|2 héi tô vµ do ®ã ¾t cã limn→∞

|x, en| = 0 = x, 0 víi

mäi x ∈ E . Chøng tá en 0 trong khi ®ã en = 1 0 nªn en 0.

Bµi 19. Ta cã

|xn, yn − x, y| |xn, yn − x, yn| + |x, yn − x, y|= |xn − x, yn| + |x, yn − x, y| xn − x.yn + |x, yn − x, y|

207



Do yn y nªn theo ®Þnh lý Banach - Steinhaux ta cã supn

yn < +∞. L¹i theo

gi¶ thiÕt xn − x → 0 nªn tõ ®¸nh gi¸ ë trªn ta cã |xn, yn − x, y| → 0 khi

n

→ ∞. Chøng tá lim

n→∞

xn, yn

=

x, y

.

Tr− êng hîp xn x vµ yn y th× kh«ng suy ra ®− îc xn, yn → x, y. ThËt

vËy, nÕu {en}n∈N∗ lµ hÖ trùc chuÈn trong E th× víi mçi n ∈ N∗ cã thÓ chän xn = yn

vµ x = y = 0. Khi ®ã xn, yn = 1 víi mäi n ∈ N∗ nªn xn, yn x, y = 0.

Bµi 20. Víi mäi n ∈ N∗ ta cã:

xn − x2 = xn − x, xn − x = xn2 − xn, x − x, xn + x2 (1)

Theo gi¶ thiÕt, xn x nªn limn→∞

xn, x

=x, x

=

x

2 vµ limn→∞

x, xn

=

x, x = x2, ®ång thêi limn→∞

xn = x nªn limn→∞

xn2 = x2. Tõ ®ã,

chuyÓn qua giíi h¹n bÊt ®¼ng thøc (1) ta ®− îc limn→∞

xn − x = 0, chøng tá d·y

{xn}n∈N∗ héi tô m¹nh ®Õn x ∈ E .

Bµi 21. Ta sÏ chøng minh Aen → 0 b»ng ph¶n chøng: Gi¶ sö ng− îc l¹i, Aen 0

khi n → ∞. Khi ®ã tån t¹i ε0 > 0 vµ tån t¹i d·y con {Aekn}n∈N∗ cña d·y

{Aen}n∈N∗ sao cho

Aekn

ε0 víi mäi n

∈N∗. (1)

V× A ∈ L(E ) lµ to¸n tö compact vµ d·y {ekn}n∈N∗ bÞ chÆn trªn E nªn d·y

{Aekn}n∈N∗ cã Ýt nhÊt mét d·y con {Ae jkn}n∈N∗ héi tô ®Õn phÇn tö x0 ∈ E nµo

®ã. Khi ®ã râ rµng Ae jkn x0 vµ tõ (1) ta cã x0 ε. MÆt kh¸c theo bµi tËp

18 ta cã: en 0, suy ra Aen 0 vµ do ®ã Ae jkn 0. Do tÝnh duy nhÊt cña giíi

h¹n yÕu trong kh«ng gian Hilbert suy ra x0 = 0. Nh− vËy ta gÆp m©u thuÉn víi

kh¼ng ®Þnh x0 ε0 > 0. Chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai, vËy limn→∞ Aen = 0.

Bµi 22. a)⇒

b): HiÓn nhiªn nhê tÝnh liªn tôc cña tÝch v« h− íng.

b) ⇒ c): Víi mçi n ∈ N∗, xÐt sn =n

k=1

xk. Theo gi¶ thiÕt chuçi∞n=1

xn héi tô

yÕu trong E nªn víi mçi x ∈ E d·y sè {sn, x}n∈N∗ héi tô nªn bÞ chÆn. Suy ra

208



d·y {sn, x}n∈N∗ bÞ chÆn ®iÓm trªn E . Theo nguyªn lý Banach-Steinhaux, d·y

®ã bÞ chÆn theo chuÈn, nghÜa lµ sn M víi mäi n ∈ N∗. Tõ ®ã ta cã:

sn2 = nk=1

xk2

=

nk=1

xk2 M 2 víi mäi n ∈ N∗.

Chøng tá chuçi sè ∞n=1

xk2 héi tô.

c) ⇒ a): Víi mäi n, p ∈ N∗, theo ®¼ng thøc Pythagore ta cã:

sn+ p − sn2 = n+ p

k=n+1

xk

2

=

n+ pk=n+1

xk2

Theo gi¶ thiÕt c) chuçi sè ∞n=1

xn2 héi tô nªn víi mäi p ∈ N∗ ta cã

limn→∞

n+ pk=n+1

xk2 = 0.

Suy ra limn→∞

sn+ p − sn = 0 vµ do ®ã d·y tæng riªng {sn}n∈N∗ cña chuçi∞n=1

xn

lµ d·y Cauchy trong kh«ng gian Hilbert E nªn héi tô. Theo ®Þnh nghÜa chuçi∞

n=1

xn héi tô trong E

Bµi 23. DÔ thÊy A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. Víi x ∈ L2[0;1], ¸p dông bÊt ®¼ng thøc

Cauchy-Bunhiakovski ta cã:

1 0

x(s)ds2 1

0

|x(s)|ds2

1 0

x(s)2ds = x2

suy ra, víi mäi x ∈ L2[0;1] ta cã:

Ax = 1 0

(Ax(t))2dt = 1 0

t 0

x(s)ds2

dt 1 0

1 0

x(s)ds2

dt = x

VËy A liªn tôc.

209



Gäi A∗ lµ to¸n tö liªn hîp cu¶ A. Khi ®ã Ax,y = x, A∗y, víi mäi

x, y ∈ L2[0;1]. Ta cã:

Ax,y =

1 0

(Ax)(t)y(t)dt =

1 0

t 0

x(s)dsy(t)dt

=

1 0

t 0

x(s)y(t)dsdt =

1 0

x(s) 1

s

y(t)dt

ds

x, A∗y =

1 0

x(t)(A∗y)(t)dt =

1 0

x(s)(A∗y)(s)ds

Tõ ®ã ta cã:

(A∗y)(s) =1

s

y(t)dt,y ∈ L2[0;1], x ∈ [0;1].

Bµi 24. Víi mäi t ∈ [0; 1] ta cã:

|(Ax)(t)|2 = 1

0

tx(s)ds2 = t2

1 0

x(s)ds2 t2

1 0

|x(s)|2ds = t2x2. (1)

Tõ ®ã, víi mäi x ∈ L2[0;1] ta cã:

1 0

|(Ax)(t)|2dt =

1 0

1 0

tx(s)ds2dt x2

1 0

t2dt =1

3x2

chøng tá Ax ∈ L2[0;1]. MÆt kh¸c, dÔ dµng kiÓm tra thÊy A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ

tõ (1) suy ra A liªn tôc. B©y giê, víi mäi x, y ∈ L2[0; 1] ta cã Ax,y = x; A∗y.

Do

Ax,y =

1

0

(Ax)(t)y(t)dt =

1

0 1

0

tx(s)dsy(t)dt =

1

0

x(s)1

0

ty(t)dtds

x, A∗y =

1 0

x(t)(A∗y)(t)dt =

1 0

x(s)(A∗y)(s)ds

210



suy ra

(A∗y)(s) =

1 0

ty(t)dt víi mäi y ∈ L2[0;1], s ∈ [0;1].

Bµi 25. DÔ thÊy A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ do

Ax = x, uv = |x, u|.v (u.v).x víi mäi x ∈ E

nªn A liªn tôc. B©y giê ta t×m to¸n tö liªn hîp A∗ cña A. Víi x, y ∈ E ta cã:

Ax,y = x, uv, y = x, u.v, y = x, y, vu = x, A∗y

suy ra A∗x = x, vu, x ∈ E .

Bµi 26. Víi mäi x ∈ L2[0;1] nhê ®¸nh gi¸ d− íi ®©y suy ra Ax ∈ L2[0;1]:

1 0

|tx(t)|2dt

1 0

|x(t)|2dt = x2

DÔ thÊy A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ còng nhê ®¸nh gi¸ trªn suy ra A liªn tôc vµ

A 1. Víi mäi x, y ∈ L2[0;1] ta cã:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Ax,y =

1

0

tx(t)y(t)dt,

x,Ay =1

0

x(t)ty(t)dt =1

0

tx(t)y(t)dt⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ⇒ Ax,y = x,Ay

VËy A∗ = A vµ A lµ to¸n tö tù liªn hîp.

Víi mçi ε ∈ (0, 1) dÔ dµng kiÓm tra ®− îc r¨ng hµm xε d− íi ®©y thuéc L2[0; 1]

vµ xε = ε:

xε(t) =

0 víi 0 t 1 − ε√

ε víi 1 − ε < t 1

Suy ra

Axε2 =

1 0

t2x2ε(t)dt =

1 1−ε

εt2dt = ε2(1 − ε)2 = xε2(1 − ε)2

211



Nh− vËy, víi mäi ε ∈ (0;1) ta cã:

A Axε

xε

(1 − ε)

Cho ε → 0 ta ®− îc A 1. KÕt hîp víi chøng minh ë trªn ta cã A = 1.

T×m tËp hîp phæ σ(A) cña A: Víi λ ∈ K ta thÊy λ /∈ σ(A) khi vµ chØ khi

víi mçi y ∈ L2[0; 1] ph− ¬ng tr×nh λx − Ax = y cã nghiÖm duy nhÊt x ∈ L2[0;1].

Ph− ¬ng tr×nh nµy chÝnh lµ (λ−t)x(t) = y(t) h.k.n. trªn [0; 1] víi ®é ®o Lebesgue,

cã nghiÖm duy nhÊt x(t) =y(t)

λ − tkhi vµ chØ khi λ − t = 0 víi mäi t ∈ [0;1].

§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi λ /∈ [0;1]. Suy ra σ(A) = [0; 1].

T×m tËp gi¸ trÞ riªng cña A: V× mäi gi¸ trÞ riªng ®Òu lµ gi¸ trÞ phæ nªn nÕu

λ lµ gi¸ trÞ riªng cña A th× λ ∈ [0; 1] vµ tån t¹i x ∈ L2[0; 1], x = 0 sao cho

(λ − t)x(t) = 0 h.k.n. trªn [0;1]. §iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra víi x = 0 h.k.n.

trªn [0; 1]. VËy tËp çc gi¸ trÞ riªng cña A lµ tËp trèng.

Bµi 27. Víi A ∈ L(A) ta lu«n cã:

A2 = supx1

A2x = supx1

A(Ax) supx1

A.Ax

= A. sup

x

1

Ax = A.A = A2.

⎫⎪⎬⎪⎭

⇒ A2 A2

Ng− îc l¹i, víi mäi x ∈ E, x 1 ta cã:

Ax2 = Ax,Ax = x, A∗Ax = x, A2x x.A2x A2.x2 A2

Suy ra

A2 =

supx1

Ax2

= supx1

Ax. supx1

Ax = supx1

Ax2 A2.

VËy ta cãA

2

= A2.

Bµi 28. NÕu λ lµ gi¸ trÞ chÝnh quy cña A th× λ − A lµ ®¼ng cÊu nªn tån t¹i sè

C > 0 sao cho (λ − A)−1(y) C y víi mäi y ∈ E . V× λ − A lµ ®¼ng cÊu

212



nªn bÊt ®¼ng thøc nµy t− ¬ng ®− ¬ng víi x C (λ − A)(x) víi mäi x ∈ E .

§Æt m = 1/C ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.

Ng− îc l¹i, ®Æt Aλ = λ−

A, tõ ®iÒu kiÖn ®· cho suy ra Aλ lµ ®¬n cÊu. Do

A∗ = A nªn R(A∗λ) = R(Aλ), do ®ã R(Aλ) = E . VËy víi u ∈ E ®Òu tån t¹i Ýt

nhÊt mét d·y {xn}n∈N∗ ⊂ E sao cho limn→∞ Aλxn = u. Víi n, p ∈ N∗ ta cã:

Aλxn+ p − Aλxn = Aλ(xn+ p − xn) mxn+ p − xn → 0.

Suy ra tån t¹i giíi h¹n limn→∞

xn = x ∈ E vµ do Aλ liªn tôc suy ra Aλx = u. Nh−

vËy Aλ : E → E lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ do ®ã lµ ®¼ng cÊu, nghÜa lµ λ

lµ gi¸ trÞ chÝnh quy cña A.

Bµi 29. Gi¶ sñ F lµ kh«ng gian con ®ãng cña E vµ p : E → F lµ phÕp chiÕu trùc

giao tõ E lªn F . Khi ®ã, víi mäi x ∈ E nÕu y = p(x) th× y = x − z, víi z ⊥ F .

Do ®ã

p(x), x = y, y + z = y, y + z, y = y, y 0.

Theo ®Þnh nghÜa, p lµ to¸n tö d− ¬ng.

Bµi 30. Gi¶ sö A lµ to¸n tö d− ¬ng vµ λ lµ gi¸ trÞ riªng kh¸c kh«ng cña E , khi ®ã

tån t¹i x ∈ E, x = 0 sao cho Ax = λx. Do Ax,x = λx, x 0 suy ra λ > 0.Ng− îc l¹i, v× A lµ to¸n tö compact nªn tËp phæ, vµ do ®ã tËp çc gi¸ trÞ riªng

cña A, cïng l¾m lµ ®Õm ®− îc. Gäi {λn} lµ d·y tÊt c¶ çc gi¸ trÞ riªng kh¸c kh«ng

cña A. Khi ®ã, tån t¹i hÖ trùc chuÈn {en} trong E sao cho mçi vector en lµ vector

riªng t− ¬ng øng víi gi¸ trÞ riªng λn vµ

Ax =n

λnx, enen suy ra Ax,x =n

λn|x, en|2 0

chøng tá A lµ to¸n tö d− ¬ng.

213



Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Phan §øc ChÝnh. Gi¶i tÝch hµm. NXB§H& THCN, Hµ néi 1978.

Documents

Giáo trình giải tích hàm