Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 1/25
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng 1. Caxadx +=∫
2. Cx
dxx ++
=+
∫ 1
1
α
αα ( )1≠α
3. ∫ += Cxx
dxln
4. Ca
adxa
xx +=∫ ln
5. Cedxe xx +=∫6. Cxdxx +=∫ sin.cos
7. Cxdxx +−=∫ cos.sin
8. ∫ ∫ +=+= Ctgxdxxtgx
dx)1(
cos2
2
9. ∫ ∫ +−=+= Cgxdxxgx
dxcot)cot1(
sin2
2
10. ∫ += Cxx
dx2
1. Cbax
adxbax +
++=+
+
∫ 1
)(1)(
1
α
αα ( )1,0 ≠≠ xa
2. ∫ ++=+
Cbaxabax
dxln
1 )0( ≠a
3. Cea
dxebaxbax += ++
∫1
)0( ≠a
4. Cbaxa
dxbax ++=+∫ )sin(1
)cos( )0( ≠a
5. Cbaxa
dxbax ++−=+∫ )cos(1
)sin( )0( ≠a
6. ∫ ∫ ++=+
dxbaxtgbax
dx))(1(
)(cos2
2
Cbaxtga
++= )(1
)0( ≠a
7 ∫ ∫ ++=+
dxbaxgbax
dx))(cot1(
)(sin2
2
Cbaxga
++−= )(1
cot )0( ≠a
8. ∫ ++=+
Cbaxabax
dx 2 )0( ≠a
9. ∫ ++−=
−C
ax
ax
aax
dxln
2
122
)0( ≠a
10. ∫ +++=+
Caxxax
dx 2
2ln
B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ
I. Tích phân hàm đa thức
1) Tích phân dạng ( )b
a
A= P x dx∫
Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản. 2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm. II. Tích phân hàm hữu tỷ
1) Tích phân dạng ( )b
a
P xA= dx
nx∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 2/25
Phương pháp: Chia P(x) cho xn để đưa tích phân về dạng b
a
A= Q , dxk
ax
x
∫ trong đó
Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý: +) Hàm số 1
yx
= có một nguyên hàm là hàm số lny x=
+) Hàm số 1
ny
x= (n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm
số ( ) 1
1
1 ny
n x−= −
−
2) Tích phân dạng ( )b
a
P xA= dx
ax b+∫
Phương pháp: Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng ( )b
a
A= Q + dxax
kx
b
+ ∫
trong đó Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý: +) Hàm số 1
yax b
=+
có một nguyên hàm là hàm số 1
lny ax ba
= +
3) Tích phân dạng ( )
( )b
a
P xA= dx (k , 1)
axk
N kb
∈ >+∫
Phương pháp: 1. Đặt axt b= + ta có:
+) t b
xa
−=
+) dt
dt adx dxa
= ⇒ =
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng ( )b'
a'
A= dtk
Q t
t∫
4) Tích phân dạng2
dxA
ax bx c
β
α
=+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x1, x2)
Phương pháp: Thực hiện biến đổi tích phân như sau:
( ) ( )21 2
dx dxA
ax bx c a x x x x
β β
α α
= =+ + − −∫ ∫ = ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
1 2
1 2 2 1 1 2
1 1 x x x x dxdx
a x x x x a x x x x x x
β β
α α
− − − =− − − − −∫ ∫
( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1
1 1 1 1ln ln |dx x x x x
a x x x x x x a x x
ββα
α
− = − − − − − − −
∫
Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + có 2 nghiệm x1, x2 thì khi đó f(x) được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x1)(x – x2).
+) ( )( )1 1 1 1
x m x n m n x m x n
= − − − − − −
5) Tích phân dạng2
dxA
ax bx c
β
α
=+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c vô nghiệm)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 3/25
( )22 2
10
22
dx dx dxA C
ax bx c a bbx Ca x C
aa
β β β
α α α
= = = >+ + + ++ +
∫ ∫ ∫
1. Đặt ( )2tan 1 tan2
bx C u dx C u du
a+ = ⇒ = +
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A được ( )2' '
2' '
1 tan1 1
tan
C u duA du
a C u C a C
β β
α α
+= =
+∫ ∫
Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + vô nghiệm, khi đó ta luôn biểu diễn
tam thức về dạng 2
( )2
bf x a x C
a
= + +
(C>0).
6) Tích phân dạng2
dxA
ax bx c
β
α
=+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có nghiệm kép)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
2 22
1 1
2
2 2
dx dx dx bA x
ax bx c a a ab ba x x
a a
ββ β β
αα α α
= = = = − + + + + +
∫ ∫ ∫
7) Tích phân dạng( )
2
mx n dxA
ax bx c
β
α
+=
+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x1, x2)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )21 2 1 2
1mx n dx mx n dx mx n dxA
ax bx c a x x x x a x x x x
β β β
α α α
+ + += = =
+ + − − − −∫ ∫ ∫
( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
1
2 1 2
1 1m x x n mx m x x mx ndx dx
a x x x x a x x x x x x x x
mx nm dx dx
a x x a x x x x
β β
α α
β β
α α
− + + − += = + − − − − − −
+= +− − −
∫ ∫
∫ ∫
8) Tích phân dạng( )
2
mx n dxA
ax bx c
β
α
+=
+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c vô nghiệm)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: ( ) ( ) ( ) ( )22 2
10
22
mx n dx mx n dx mx n dxA C
ax bx c a bbx Ca x C
aa
β β β
α α α
+ + += = = >
+ + + ++ +
∫ ∫ ∫
1. Đặt ( )2tan 1 tan2
bx C u dx C u du
a+ = ⇒ = + , tan
2
bx C u
a= −
2. Đổi cận của tích phân 3. Thay vào A.
9) Tích phân dạng( )
2
mx n dxA
ax bx c
β
α
+=
+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có nghiệm kép)
Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 4/25
( ) ( )2 2 22
1 12 2 2
22 2 2
b mb mbm x n nmx n dx mx n dx m dxa a aA dx dxbax bx c a a ab b bxa x x xaa a a
β β β β β
α α α α α
+ + − − + + = = = = ++ + ++ + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
III. Tích phân hàm vô tỷ
1) Tích phân dạng: ( , , )nf ax b x C dx
β
α
+∫A =
Phương pháp:
1. Đặt u = n ax b+ nu ax b⇒ = +
nu b
xa
−⇒ =
1. nn u
dx dua
−
⇒ =
2. Đổi cận theo biến mới. 3. Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ.
2) Tích phân dạng: 2
dx
ax bx c
β
α + +∫A = (Hệ số a dương)
Phương pháp: Đặt 2u ax ax bx c= + + +
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
b bax a ax bx c ax
du a dx dxax bx c ax bx c
b ba ax bx c ax au
dx dxax bx c ax bx c
+ + + + + ⇒ = + =
+ + + +
+ + + + += =
+ + + +
2
2
dx du
bax bx c au
⇒ =+ + +
3) Tích phân dạng: 2
dx
ax bx c
β
α + +∫A = (Hệ số a âm)
Phương pháp:
1. Biến đổi: ( )
( )2
10
dxA k
a k x m
β
α
= >− − +∫
2. Đặt sin cos2 2
x m k t t dx k tdtπ π + = − ≤ ≤ ⇒ =
3. Tính các giá trị cận theo biến mới.
4. Thay vào A được: ' ' '
2 2' ' '
1 cos 1 cos 1 cos
cossin 1 sin
k tdt tdt tdtA
ta a ak k t t
β β β
α α α
= = =− − −− −∫ ∫ ∫
4) Tích phân dạng: 2A ax bx c dx
β
α
= + +∫ (Hệ số a dương)
Phương pháp:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 5/25
Đặt: 2 2
2
2
2
ax bdu dx
u ax bx c ax bx c
bdv dxv x
a
+ = = + + + +⇒ = = +
( )2
2
22
2 2
bax b x
b aA x ax bx c dx
a ax bx c
β
α
βα
+ + ⇒ = + + + − + +∫
( )2
2
2
2
2 2
ax bx Cbx ax bx c dx
a ax bx c
β
α
βα
+ + = + + + − + +∫
Ta có: ( ) ( ) ( )2 2
1 2 2
2 2 2
2 2
ax bx C ax bx c C cA dx dx
ax bx c ax bx c
β β
α α
+ + + + + −= =
+ + + +∫ ∫
2
2
2
C c dxA
ax bx c
β
α
−= ++ +∫
Vậy ta được: 2
2
2
2 2
b C c dxA x ax bx c A
a ax bx c
β
α
βα
− = + + + − + + + ∫
2
2
1 2
2 2 2
b C c dxA x ax bx c
a ax bx c
β
α
βα
− ⇒ = + + + −
+ + ∫
Tính 2 2
dxA
ax bx c
β
α
=+ +∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.
5) Tích phân dạng: 2A ax bx c dx
β
α
= + +∫ (Hệ số a âm)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau: 2
2
2
b c bA a x x dx a C x dx
a a a
β β
α α
= − − − − = − − +
∫ ∫
1. Đặt sin cos2 2 2
bx C t t dx C tdt
a
π π + = − ≤ ≤ ⇒ =
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được: '
2
'
sin cosA a C C t tdt
β
α
= − −∫
'2
'
'2
'
'2
'
1 sin .cos
os .cos
os
C a t tdt
C a c t tdt
C a c tdt
β
αβ
αβ
α
= − −
= −
= −
∫
∫
∫
5) Tích phân dạng: ( )
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +∫A = (Hệ số a dương)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 6/25
( )2
22 2m bm
ax b na aA dx
ax bx c
β
α
+ + −=
+ +∫
( )
2 2
2
2 2
ax bm mb dxdx n
a aax bx c ax bx c
β β
α α
+ + − + + + +∫ ∫
Tính: ( )
1 2
2ax bA dx
ax bx c
β
α
+=
+ +∫ đặt 2u ax bx c= + +
Tính 2 2
dxA
ax bx c
β
α
=+ +∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
6) Tích phân dạng: ( )
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +∫A = (Hệ số a âm)
Phương pháp: Ta biến đổi như sau: ( ) ( )
22
1 1
2
mx n dx mx n dxA
a b c a bx x C xa a a
β β
α α
+ += =
− − − − − − +
∫ ∫
1. Đặt sin cos2 2 2
bx C t t dx C tdt
a
π π + = − ≤ ≤ ⇒ =
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được: '
2'
[ ( sin ) ] cos1 2sin
bm C t n C tdt
aAa C C t
β
α
− +=
− −∫
'
'
[ ( sin ) ] cos1 2cos
bm C t n C tdt
a
ta
β
α
− +=
− ∫
'
'
1( sin )
2
mbm C t n dt
aa
β
α
= + −− ∫
7) Tích phân dạng: ax b
dxcx d
β
α
++∫A =
Phương pháp: Ta biến đổi như sau: ax b ax b
A dx dxcx d ax b cx d
β β
α α
+ += =+ + +∫ ∫
( )
2 2
2 2
(2 ) ( )2 2
2
2 2
a anmx n b
ax b m mdx dxmx nx k mx nx k
mx n dxa an dxb
m mmx nx k mx nx k
β β
α αβ β
α α
+ + −+= =+ + + +
+ + − + + + +
∫ ∫
∫ ∫
Tính ( )
1 2
2mx n dxA
mx nx k
β
α
+=
+ +∫ đặt 2u mx nx k= + +
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 7/25
Tính 2 2
dxA
mx nx c
β
α
=+ +∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
Chú ý: +) Khi dùng tính chất A A
B B= ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay
cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.
8) Tích phân dạng: ( )2 ,A f ax bx c x dx
β
α
= + +∫
Phương pháp: Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản mà ta có thể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:
+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân. +) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
Cụ thể:
a. Cách 1: Đặt 2t ax bx c= + +
b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
2 2( ,f x a x dx
β
α
−∫ sinx a t= ;2 2
tπ π ∈ −
2 2( ,f x x a dx
β
α
−∫ cos
ax
t= 0; ;
2 2t
π π π ∈ ∪
2 2( ,f x x a dx
β
α
+∫ tanx a t= ;2 2
tπ π ∈ −
IV. Tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng: sinnA xdx
β
α
= ∫ hoặc osnA c xdx
β
α
= ∫
Phương pháp:
a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k∈N), ta biến đổi như sau:
( ) ( )2 2 1 cos 2 1sin sin 1 cos 2
2 2
kk kk
k
xA xdx x dx dx x dx
β β β
α α α
− = = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất. b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k∈N), ta biến đổi như sau:
( ) ( )2 1 2 2 2sin sin .sin sin .sin 1 cos .sink k
k kA xdx x xdx x xdx x xdx
β β β β
α α α α
+= = = = −∫ ∫ ∫ ∫
1. Đặt cos sin sinu x du xdx xdx du= ⇒ = − ⇒ = −2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.
Trường hợp đối với osnA c xdx
β
α
= ∫ giải tương tự.
2. Tích phân dạng: tannA xdx
β
α
= ∫ hoặc cotnA xdx
β
α
= ∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 8/25
Phương pháp:
a) Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 ta giải trực tiếp như sau: sin
tan ln coscos
xA xdx dx x
x
β ββ
αα α
= = = − ∫ ∫ (Tử là đạo hàm của mẫu)
( ) [ ]2 2tan tan 1 1 tanA xdx x dx x x
β ββ
αα α
= = + − = − ∫ ∫
b) Trường hợp 3n ≥ , ta biến đổi như sau:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
tan tan .tan tan . 1 tan 1
tan . 1 tan tan
n n n
n n
A xdx x xdx x x dx
x x dx xdx
β β β
α α αβ β
α α
− −
− −
= = = + −
= + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Tính ( )2 21 tan . 1 tann
A x x dx
β
α
−= +∫ dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức.
Tính 22 tann
A xdx
β
α
−= ∫ ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất
hoặc bậc hai.
Trường hợp đối với cotnA xdx
β
α
= ∫ ta giải tương tự.
3. Tích phân dạng: sinn
dxA
x
β
α
= ∫ hoặc osn
dxA
c x
β
α
= ∫
Phương pháp: a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau:
( )22 2 2 2 2 2 2
1 1. . 1 cot .
sin sin sin sin sin sin
kk
k k
dx dx dx dxA x
x x x x x x
β β β
α α α−
= = = = +
∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây, ta đặt 2
cotsin
dxu x du
x= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng
tích phân của hàm đa thức. b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:
( ) ( )2 1 2 2 2 2
sin sin sin
sin sin sin 1 cosk kk k
dx xdx xdx xdxA
x x x x
β β β β
α α α α+ += = = =
−∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây, ta đặt cos sinu x du xdx= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng tích phân của hàm hữu tỷ
Trường hợp đối với cosn
dxA
x
β
α
= ∫ ta giải tương tự.
4. Tích phân dạng: cos sin
dxA
a x b x c
β
α
=+ +∫
Phương pháp:
1. Đặt tan2
xt = , khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 9/25
( )2 22
1 1 21 tan 1
2 2 2 1
x dtdt dx t dx dx
t
= + = + ⇒ = + 2
2 2
1 2cos , sin
1 1
t tx x
t t
−= =+ +
2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
5. Tích phân dạng: sin
cos sin
xdxA
a x b x
β
α
=+∫ ;
cos
cos sin
xdxB
a x b x
β
α
=+∫
Phương pháp:
Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng các tổ hợp kết quả sau:
sin cos cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx a x b xbA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
++ = + = =+ + +∫ ∫ ∫ ∫
cos sin cos sinln cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx b x a xbB aA dx a x b x
a x b x a x b x a x b x
β β ββ
αα α α
−− = − = = ++ + +∫ ∫ ∫
Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán.
6. Tích phân dạng: sin .cosn mA x xdx
β
α
= ∫
Phương pháp: a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta
biến đổi như sau:
( )
( )
2 2
2
sin .cos .cos sin . cos .cos
sin . 1 sin .cos
kn k n
kn
A x x xdx x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫Đến đây, ta đặt sin cosu x du xdx= ⇒ = , đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích
phân của hàm đa thức. b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( ) '2 2 ' 2 2sin .cos sin . cosk k
k kA x xdx x x dx
β β
α α
= =∫ ∫Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó:
( )22
1 tan1
dudu x dx dx
t= + ⇒ =
+2
2
1cos
1x
u=
+,
22
2sin
1
ux
u=
+Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ.
7. Tích phân dạng: 2 2( cos sin ).sin 2A f a x b x c xdx
β
α
= + +∫
Phương pháp:
1. Đặt 2 2cos sinu a x b x c= + + , khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 10/25
( ) ( )2 .sin .cos sin 2du b a x xdx b a xdx= − = −2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
8. Tích phân dạng: cos .sinm n
dxA
x x
β
α
= ∫
Phương pháp:
a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k') Ta thực hiện biến đổi như sau:
' 1
2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2
1 1. .
cos .sin cos .sin .sin cos sin sin
k k
k k k k
dx dx dxA
x x x x x x x x
β β β
α α α
−
− = = =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )' 1 ' 12 2 22 2 2
11 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .
sin cot sin
kk k kdx dx
x x xx x x
β
α
− − = + + = + +
∫ ∫
Đến đây, ta đặt 2
cotsin
dxu x du
x= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1)
Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( )1 12 1 2 2 2 2
cos cos cos
cos .sin cos .sin cos .sin 1 sin .sink kk n k n
n n
dx xdx xdx xdxA
x x x x x x x x
β β β β
α α α α+ ++ += = = =
−∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây, ta đặt sin cosu x du xdx= ⇒ = , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. V. Tích phân hàm mũ và logarit
1. Tích phân dạng: ( )xA f e dx
β
α
= ∫ , ( )xB f a dx
β
α
= ∫
Phương pháp: 1. Đổi biến x
u e= , tính dx theo u và du. 2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa
thức hoặc hàm số hữu tỷ.
Trường hợp tích phân ( )xB f a dx
β
α
= ∫ tương tự.
2. Tích phân dạng: (ln )A f x dx
β
α
= ∫ , ( )loga
B f x dx
β
α
= ∫
Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt: ln
dxu x du
xdv dx
v x
= = ⇒ = =
Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm đa thức hoặc hàm hữu tỷ.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 11/25
Trường hợp tích phân ( )loga
B f x dx
β
α
= ∫ tương tự.
VI. Phương pháp tích phân từng phần
1. Tích phân dạng: ( )cosA P x xdx
β
α
= ∫ , ( )sinB P x xdx
β
α
= ∫
Phương pháp:
Đặt: ( ) ( )'
cos sin
u P x du P x dx
dv xdx v x
= = ⇒
= = Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )sin ' sinA P x x P x xdx
ββ
αα
= − ∫
Để tính tích phân ( )' sinP x xdx
β
α∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu
được kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân ( )sinB P x xdx
β
α
= ∫ tương tự.
2. Tích phân dạng: ( ) lnA P x xdx
β
α
= ∫ , ( ) loga
B P x xdx
β
α
= ∫
Phương pháp:
Đặt: ( ) ( ) ( )
lndx
duu xx
dv P x dxv P x dx Q x
== ⇒ = = = ∫
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )ln
Q xA Q x x dx
x
ββ
αα
= − ∫
Tích phân ( )Q x
dxx
β
α∫ : sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính.
Trường hợp tích phân ( ) loga
B P x xdx
β
α
= ∫ tương tự.
3. Tích phân dạng: ( ) xA P x e dx
β
α
= ∫ , ( ) xB P x a dx
β
α
= ∫
Phương pháp:
Đặt: ( ) ( )'x x
u P x du P x dx
dv e dx v e
= = ⇒
= = Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( )'x xA P x e P x e dx
ββ
αα
= − ∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 12/25
Để tính tích phân ( )' xP x e dx
β
α∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được
kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân ( ) xB P x a dx
β
α
= ∫ tương tự.
4. Tích phân dạng: cos xA xe dx
β
α
= ∫ , sin xB xa dx
β
α
= ∫
Phương pháp:
Đặt: cos sin
x x
u x du xdx
dv e dx v e
= = − ⇒
= = Theo công thức tích phân từng phần ta có:
cos sinx xA xe xe dx
ββ
αα
= + ∫
Để tính tích phân sin xxe dx
β
α∫ ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ
biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A.
Trường hợp tích phân sin xB xa dx
β
α
= ∫ tương tự.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 13/25
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP Tính các tích phân sau đây:
1/I = 1
2
0
(3 5 1)x x dx− +∫
2/I = 1
2
12
(2 1)( 3)x x x dx+ − +∫
3/I = 4
1
1x dx
x
+∫
4/I = 3
2
4
3tg x dx
π
π∫
5/I = 4
2
6
(2cotg x 5)dx
π
π+∫
6/I = 2
0
1 cos xdx
1 cos x
π
−+∫
7/ I = ∫2
0
π
sin2 x.cos2xdx
8/I = ∫3
0
π
(2cos2 x-3sin2 x)dx
9 / I = 2
2
s i n ( x )4 d x
s i n ( x )4
π
− π
π −
π +∫
10 / I = ∫−
3
6
π
π(tgx-cotgx)2 dx
11/ I = 4
4
0
cos x dx
π
∫
12 / I = 2
3
0
sin x dx
π
∫
13*/ I = 3 32
3
sin x sin xcot gx dx
sin x
π
π
−∫
14/I = 2
4
0
sin x dx
π
∫
15/I = ∫3
4
22
2cos
2sin
1π
π xx dx
16/I = ∫4
6
π
πcotg2x dx
17/I = 22
sin x
4
e sin 2x dx
π
π∫
18/ I = ∫+4
02
2
cos
π
x
etgx
19/ I = ∫2
4
4sin
1π
π x dx
20/ I = ∫4
06cos
1π
x dx
21/I = dxxxnsix )cos(2cos 442
0
+∫
π
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 14/25
22/ I = 2
3
0
cos xdx
π
∫
23/ I = 32
0
4sin xdx
1 cosx
π
+∫
24/ I = 1
3 2
0
x 1 x dx−∫
25/I =1
5 2
0
x 1 x dx+∫
26/I =1
0
xdx
2x 1+∫
27/I =1
x0
1dx
e 4+∫
28/I =2
x1
1dx
1 e−−∫
29/I =2x2
x0
edx
e 1+∫
30/I =x1
x0
edx
e 1
−
− +∫
31/I =e
21
ln xdx
x(ln x 1)+∫
32/I =
7
3
30
x 1dx
3x 1
++∫
33/I =2
3 2
0
(x 3) x 6x 8 dx− − +∫
.34/I =1
2 23
1dx
x 4 x−∫
35/I =4
22
1dx
x 16 x−∫
36*/I =6
22 3
1dx
x x 9−∫
37/I =2
2 2
1
x 4 x dx−
−∫
38/I =2
2 3
0
x (x 4) dx+∫
39/I =24
4 3
3
x 4dx
x
−∫
40*/I =22
22
x 1dx
x x 1
−
−
+
+∫
41/I =ln 2
x
0
e 1dx−∫
42/I =1
0
1dx
3 2x−∫
43/I =2
5
0
sin xdx
π
∫
44*/I =3
0
1dx
cos x
π
∫
45/I =2x1
x0
edx
e 1
−
− +∫
46/I =ln 3
x0
1dx
e 1+∫
47/I =4
2
6
1dx
sin x cot gx
π
π∫
48/I =3 2e
1
ln x 2 ln xdx
x
+∫
49/I =e
1
sin(ln x)dx
x∫
50/I =1
3 4 5
0
x (x 1) dx−∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 15/25
51/I =1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx+ + +∫
52/I =2
31
1dx
x 1 x+∫
53/I =3
2 2
6
tg x cot g x 2dx
π
π+ −∫
54/I =1
2 3
0
(1 x ) dx−∫
55*/I =1
2x0
1dx
e 3+∫
56/I =xln 3
x 30
edx
(e 1)+∫
57/I =0
2x 3
1
x(e x 1)dx−
+ +∫
58/I =2
6 3 5
0
1 cos x sin x.cos xdx
π
−∫
59*/I =2 3
25
1dx
x x 4+∫
60/I =4
0
xdx
1 cos 2x
π
+∫
61/I =2xln 5
xln 2
edx
e 1−∫
62/I =2e
1
x 1.ln xdx
x
+∫
63/I =21
0
xdx
(x 1) x 1+ +∫
64/I =2
0
sin x.sin 2x.sin 3xdx
π
∫
65/I =2
4 4
0
cos 2x(sin x cos x)dx
π
+∫
66*/I =2
3 3
0
( cos x sin x)dx
π
−∫
67/I =73
8 42
xdx
1 x 2x+ −∫
68*/I =2
0
4cos x 3sin x 1dx
4sin x 3cos x 5
π
− ++ +∫
69/I =9
3
1
x. 1 xdx−∫
70/I =2
30
x 1dx
3x 2
++∫
71*/I = 6
0
xsin dx
2
π
∫
72*/I =2
0
xdx
2 x 2 x+ + −∫
73/I =3
3 2
0
x . 1 x dx+∫
74**/I =1
20
ln(1 x)dx
x 1
++∫
75/I =2
0
sin xdx
sin x cos x
π
+∫
76/I =e
1
cos(ln x)dxπ
∫
77*/I =2
2
0
4 x dx+∫
78/I =2
1
xdx
1 x 1+ −∫
79/I =e
1
1 3ln x ln xdx
x
+∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 16/25
80/I =3
2
2
ln(x x)dx−∫
81/I =e
2
1
(ln x) dx∫
82/I =
2e
e
ln xdx
x∫
83/I =
2e
1
ln xdx
ln x∫
84/I =2
2
1
x ln(x 1)dx+∫
85/I =3
23
1dx
x 3+∫
86/I =1
20
1dx
4 x−∫
87/I =
2
4
0
sin xdx
π
∫
88/I =3
2
6
ln(sin x)dx
cos x
π
π∫
89/I =2
1
cos(ln x)dx∫
90*/I =2
2
0
ln( 1 x x)dx+ −∫
91*/I =3
22
1dx
x 1−∫
92/I =38
1
x 1dx
x
+∫
93/I =33
21
xdx
x 16−∫
94/I =6
20
cos xdx
6 5sin x sin x
π
− +∫
95*/I =
2e
2e
1 1( )dx
ln xln x−∫
96/I =3
2
4
x 4 dx−
−∫
97/I =2
3 2
1
x 2x x 2 dx−
− − +∫
98/I =
3
4
4
cos 2x 1dx
π
π+∫
99/I =0
cos x sin xdxπ
∫
100/I =2
0
1 sin xdxπ
+∫
101/I =
3
4
4
sin 2x dx
π
π∫
102/I =0
1 sin xdxπ
−∫
103/I =1 3
2
1
ln(x x 1) dx−
+ + ∫
104*/I =2
0
x sin xdx
1 cos x
π
+∫
105*/I =1
2 x1
1dx
(x 1)(4 1)− + +∫
106*/I =41
x1
xdx
1 2− +∫
107/I =
2
4
0
x sin xdx
π
∫
108/I =
2
4
0
x cos xdx
π
∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 17/25
109/I =6
2
0
x.sin x cos xdx
π
∫
110*/I =2 x1
20
x edx
(x 2)+∫
111/I = 2x 2
0
e sin xdxπ
∫
112/I =2
2
1
1x ln(1 )dx
x+∫
113/I =e
21
e
ln xdx
(x 1)+∫
114/I =
12
0
1 xx.ln dx
1 x
+−∫
115/I =2t
1
ln xdx I 2
x
⇒ < ∫
116/I =3
0
sin x.ln(cos x)dx
π
∫
117/I =2e
2
1
cos (ln x)dx
π
∫
118/I =4
0
1dx
cos x
π
∫
119*/I =4
30
1dx
cos x
π
∫
120/I =21
3 x
0
x e dx∫
121/I =22
sin x 3
0
e .sin x cos xdx
π
∫
122/I =2
40
sin 2xdx
1 cos x
π
+∫
123/I =1
20
3dx
x 4x 5− −∫
124/I =2
21
5dx
x 6x 9− +∫
125/I =1
25
1dx
2x 8x 26− + +∫
126/I =1
0
2x 9dx
x 3
++∫
127/I =4
21
1dx
x (x 1)+∫
128*/I =0
2
2
sin 2xdx
(2 sin x)−π +∫
129/I =1
20
x 3dx
(x 1)(x 3x 2)
−+ + +∫
130/I =1
30
4xdx
(x 1)+∫
131/I =1
4 20
1dx
(x 4x 3)+ +∫
132/I =33
20
sin xdx
(sin x 3)
π
+∫
133/I =33
6
4sin xdx
1 cos x
π
π −∫
134/I =3
2
6
1dx
cos x.sin x
π
π∫
.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 18/25
135/I =3
0
sin x.tgxdx
π
∫
136/I = 3
4
1dx
sin 2x
π
π∫
137/I = 34
2 2 50
sin xdx
(tg x 1) .cos x
π
+∫
138/I =3
2 2
3
1dx
sin x 9cos x
π
π−+∫
139/I =2
2
cos x 1dx
cos x 2
π
π−
−+∫
140/I = 2
0
1 sin xdx
1 3cos x
π
++∫
141/I =2
0
cos xdx
sin x cos x 1
π
+ +∫
142/I = 4
21
1dx
x (x 1)+∫
143/I =1
33
1dx
x 4 (x 4)− + + +∫
144/I =33
0
sin xdx
cos x
π
∫
145/I =1
0
x 1 xdx−∫
146/I =6
4
x 4 1. dx
x 2 x 2
−+ +∫
147/I = 0
21
1dx
x 2x 9− + +∫
148/I =3
21
1dx
4x x−∫
149/I = 2
2
1
4x x 5 dx−
− +∫
150/I = 2
22
2x 5dx
x 4x 13−
−
+ +∫
151/I =1
x0
1dx
3 e+∫
152/I =
14x 2x2
2x0
3e edx
1 e
+
+∫
153/I =4
27
1dx
x 9 x+∫
154/I = 2
x 2
0
e sin xdx
π
∫
155/I = 42
4 40
cos xdx
cos x sin x
π
+∫
156/I =1
0
3dx
x 9 x+ −∫
157/I = 0
x sin xdxπ
∫
158/I = 2 2
0
x cos xdxπ
∫
159/I =1
0
cos x dx∫
160/I =1
0
sin x dx∫
161/I =
2
4
0
x sin x dx
π
∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 19/25
162/I =
2
4
0
x cos x dx
π
∫
163/I = 2
0
x cos x sin x dxπ
∫
164/I = 6
2
0
x cos x sin x dx
π
∫
165/I =4
x
1
e dx∫
166/I =4
3x
0
e sin 4x dx
π
∫
167/I = 2x 2
0
e sin x dxπ
∫
168/I =2 x1
20
x edx
(x 2)+∫
169/I =e
1
(1 x) ln x dx+∫
170/I =e
2
1
x ln x dx∫
171/I =
1
e2
1
ln x dx∫
172/I =e
1
x(2 ln x)dx−∫
173/I =
2e
2e
1 1( )dx
ln xln x−∫
174/I =2
2
1
(x x) ln x dx+∫
175/I =2
2
1
1x ln(1 )dx
x+∫
176/I =2
51
ln xdx
x∫
177/I =e
21
e
ln xdx
(x 1)+∫
178/I =
12
0
1 xx ln dx
1 x
+−∫
179/I =2
3
cos x.ln(1 cos x)dx
π
π−∫
180/22
sin x 3
0
e sin x cos x dx
π
∫
181/I= 2
40
sin 2xdx
1 sin x
π
+∫
182/I =2
40
sin 2xdx
1 cos x
π
+∫
183/I =2
21
5dx
x 6x 9− +∫
184/I =21
0
x 3x 2dx
x 3
+ ++∫
185/I =4
21
1dx
x (x 1)+∫
186/I =1
20
ln(1 x)dx
x 1
++∫
187/I41
60
1 xdx
1 x
++∫
188/I =1
15 8
0
x 1 x dx+∫
189/I =x1
x x0
edx
e e−+∫
190/I= e
1
e
ln x dx∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 20/25
.
191/I =2
sin x
0
(e cos x)cos x dx
π
+∫
192/I =2
0
sin 2x.cos xdx
1 cos x
π
+∫
193/I =2
0
sin 2x sin xdx
1 3cos x
π
++∫
194/I =24
0
1 2sin xdx
1 sin 2x
π
−+∫
195/I = 5 33
20
x 2xdx
x 1
+
+∫
196/I =3
2
4
tgxdx
cos x 1 cos x
π
π +∫
197/I =2
2
1
x 1( ) dxx 2−
−+∫
198/I =4
2
0
x.tg x dx
π
∫
199/I =5
3
( x 2 x 2 )dx−
+ − −∫
200/I =4
1
2dx
x 5 4− + +∫
201/I =2
1
xdx
x 2 2 x+ + −∫
202/I =2
21
ln(1 x)dx
x
+∫
203/I =2
0
sin 2xdx
1 cos x
π
+∫
204/I =20082
2008 20080
sin xdx
sin x cos x
π
+∫
205/I =2
0
sin x.ln(1 cos x)dx
π
+∫
206/I =23
21
x 1dx
x
+∫
207/I =34
20
sin xdx
cos x
π
∫
208/I =2
2
0
cos x.cos 4x dx
π
∫
209/I =1
2x x0
1dx
e e+∫
210/I =e
21
e
ln xdx
(x 1)+∫
211/I =1
0
1dx
x 1 x+ +∫
212/I =21
20
xdx
4 x−∫
213/I =1
20
xdx
4 x−∫
214/I =
142
20
xdx
x 1−∫
215/I =2
0
sin3xdx
cos x 1
π
+∫
216/I =
222
20
xdx
1 x−∫
217/I =22
41
1 xdx
1 x
−+∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 21/25
218/I =37
3 20
xdx
1 x+∫
219/I =xln 2
x0
1 edx
1 e
−+∫
220/I =1
0
x 1 x dx−∫
221/I =1
2
0
x 1dx+∫
222/I =2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+∫
223/I =23
0
x 1dx
x 1
++∫
224/I =1
2 2x
0
(1 x) .e dx+∫
225/I =2
20
cos xdx
cos x 1
π
+∫
226/I =
7
3
30
x 1dx
3x 1
++∫
227/I =2
6
1 sin 2x cos 2xdx
cos x sin x
π
π
+ ++∫
228/I =x 21
2x0
(1 e )dx
1 e
++∫
229/I =3
2 3
0
x (1 x) dx−∫
230/I = 32
20
sin x.cos xdx
cos x 1
π
+∫
231/I =
12
20
4x 1dx
x 3x 2
−− +∫
232*/I = 2
0
x sin x.cos xdxπ
∫
233/I =2
0
cos xdx
cos 2x 7
π
+∫
234/I =4
21
1dx
x (x 1)+∫
235/I =2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+∫
236/I =2
30
x 1dx
3x 2
++∫
237/I =4
27
1dx
x x 9+∫
238/I = 3 4
0
x sin x cos xdxπ
∫
239/I =2
3
2
cos x cos x cos xdx
π
π−
−∫
240*/I =1
2
1
ln( x a x)dx−
+ +∫
241/I =2
x0
1 sin xdx
(1 cos x)e
π
−+∫ .
242/I =2
0
sin 2x sin xdx
cos3x 1
π
++∫
243/I =4
2 20
sin 2xdx
sin x 2cos x
π
+∫
244/I =
232
20
xdx
1 x−∫
.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 22/25
245/I =
232
20
xdx
1 x−∫
246/I =21
22
2
1 xdx
x
−∫
247/I =21
20
xdx
4 x−∫
248/I =2
22
3
1dx
x x 1−∫
249/I =1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫
250/I =2
0
sin xdx
1 sin x
π
+∫
251/I =2
0
cos xdx
7 cos 2x
π
+∫
252/I =4
21
1dx
(1 x)x+∫
253/I =2
30
x 1dx
3x 2
++∫
254*/I =3
4
cos x sin xdx
3 sin 2x
π
π
++∫
255/I =2
3
2
cos x cos x cos xdx
π
π−
−∫
256/I =3
4
4
tg xdx
π
π∫
.
257*/I =2
x
0
1 sin xe dx
1 cos x
π
++∫
258/I =1
2 3
0
(1 x ) dx−∫
259/I =4
2
0
x.tg xdx
π
∫
260/I=2
2 20
1dx
(4 x )+∫
261/I = 21
30
3xdx
x 2+∫
262*/I = 52
51
1 xdx
x(1 x )
−+∫
263/I =3
20
cos xdx
1 sin x
π
−∫
264/I =23
60
sin xdx
cos x
π
∫
265/I =36
0
sin x sin xdx
cos2x
π
+∫
265/I =2
3
1dx
sin x 1 cos x
π
π +∫
266/I =3
6 21
1dx
x (1 x )+∫
267/I =2
20
sin xdx
cos x 3
π
+∫
268/I =
2
0
sin xdx
x
π
∫
.
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 23/25
269/I =2
2
0
sin x cos x(1 cos x) dx
π
+∫
270/I =4 44
0
sin x cos xdx
sin x cos x 1
π
−+ +∫
271/I =4 44
0
sin x cos xdx
sin x cos x 1
π
−+ +∫
272/I =2
0
sin x cos x cos xdx
sin x 2
π
++∫
273/I =
11 x
3a
edx
x∫
274/I =3 21
20
x 2x 10x 1dx
x 2x 9
+ + ++ +∫
275/I =31
2 30
xdx
(x 1)+∫
276/I =1
30
3dx
x 1+∫
277*/I =41
60
x 1dx
x 1
++∫
278/I =1
30
xdx
(2x 1)+∫
279/I =7
2
1dx
2 x 1+ +∫
280/I =
3
2
212
1dx
x 1 x−∫
281*/I =21
20
x ln(x 1 x )dx
1 x
+ +
+∫
282/I =4
2
1
(x 1) ln x dx−∫
283/I =3
2
0
x ln(x 1)dx+∫
284/I =32
21
3xdx
x 2x 1+ +∫
285/I =1
3 20
4x 1dx
x 2x x 2
−+ + +∫
286/I =
1
2
212
1dx
(3 2x) 5 12x 4x− + + +∫
287/I =1
0
1dx
x 1 x+ +∫
288/I =2
0
cos xdx
2 cos 2x
π
+∫
289/I =2
4
cos x sin xdx
3 sin 2x
π
π
++∫
290/I =2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+∫
291/I =2
5 4
0
cos x sin xdx
π
∫
292/I =2
4 4
0
cos 2x(sin x cos x)dx
π
+∫
293/I =2
0
1dx
2 sin x
π
+∫
294/I =2
0
1dx
2 cos x
π
−∫
295/I =2
22
3
1dx
x x 1−∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 24/25
296/I =37
3 20
xdx
1 x+∫
297*/I =2
31
1dx
x 1 x+∫
298/I =31
20
xdx
x 1 x+ +∫
299/I =1
21
1dx
1 x 1 x− + + +∫
300/I =3
4
6
1dx
sin x cos x
π
π∫
301/I =2
0
cos xdx
cos x 1
π
+∫
302/I =2
0
cos xdx
2 cos x
π
−∫
303/I =2
0
sin xdx
sin x 2
π
+∫
304/I =32
0
cos xdx
cos x 1
π
+∫
305/I = 2
0
1dx
2cos x sin x 3
π
+ +∫
306/I = 2
2
3
cos xdx
(1 cos x)
π
π −∫
307/I =4
3
0
tg x dx
π
∫
308*/I =1
2x1
1dx
3 e− +∫
309*/I =2
x
sin xdx
3 1
π
−π +∫
310*/I =2
0
sin xdx
cos x sin x
π
+∫
311/I =42
4 40
sin xdx
cos x sin x
π
+∫
312*/I =2
20
tgxdx
1 ln (cos x)
π
−∫
313*/I =2
0
sin xdx
cos x sin x
π
+∫
314*/I =1
x 21
1dx
(e 1)(x 1)− + +∫
315*/I =1
3x 1
0
e dx+∫
316*/I =21
20
xdx
x 4+∫
317*/I =32
4 20
cos xdx
cos 3cos x 3
π
− +∫
318*/Tìm x> 0 sao cho 2 tx
20
t edt 1
(t 2)=
+∫
319*/I =3
2
4
tan xdx
cos x cos x 1
π
π +∫
320*/I =1
2
0
3x 6x 1dx− + +∫
321*/I =4
5
0
tg x dx
π
∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: [email protected] Trang 25/25
-------------------------- HẾT -------------------------
Chúc tất cả các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao!
322/I =4
3
6
cotg x dx
π
π∫
323/I = 3
4
4
tg x dx
π
π∫
324*/I = 4
0
1dx
2 tgx
π
+∫
325/I =52
0
sin xdx
cos x 1
π
+∫
326/I =3
2
6
cos 2xdx
1 cos 2x
π
π −∫
327*/I =4
2
0
t gx 1( ) dx
tgx 1
π
−+∫
328*/I =1
312
xdx
x 1+∫
329*/I =3 32
41
x xdx
x
−∫
330/I =xln 3
x x0
edx
(e 1) e 1+ −∫
331/I =
14e
21e
1dx
x cos (ln x 1)
π−
+∫
333*/I =4
0
ln(1 tgx)dx
π
+∫