Giáo trình Giải tích Tác giả: Huỳnh Thế Phùng, Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế, 2010

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH I

Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế

Ngày 26 tháng 9 năm 2006

www.daykemquynhon.ucoz.com

1

Mục lục

Chương 1. Đường thẳng thực 4

1.1. Trường Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Hệ tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Định lý Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4. Tập số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Các phép toán qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4. Số e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2. Chuỗi dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Tôpô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Lân cận - Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng . . . . . . . . . . 15

1.4.3. Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2. Các thao tác trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình . . . . . . . . . 19

1.5.4. Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chương 2 Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực 26


2

2.1. Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2. Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3. Một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


2.4.1. Định nghĩa một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy . . . . . . . . . . . . 39

2.4.3. Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chương 3 Đạo hàm và Vi phân của hàm một biến 48

3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1. Vi phân bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1. Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.2. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1. Đa thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.2. Ước lượng phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


3

3.4.3. Các khai triển quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n . . . . . . . 58

3.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.4. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Chương 1.

ĐƯỜNG THẲNG THỰC

1.1. Trường Số thực

1.1.1. Hệ tiên đề

Tập số thực R là tập hợp trên đó có hai phép toán cộng (+), nhân (·) và quanhệ thứ tự ≤ sao cho R là một trường có thứ tự đầy đủ. Cụ thể,

(a) + và · là các phép toán hai ngôi trên R sao cho (R,+,·) lập thành mộttrường. Tức là,

+ :R× R −→ R,

(x, y) −→ x + y.

· :R× R −→ R,

(x, y) −→ xy = x · y.

thoả mãn

(R.1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ R;

(R.2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ R;

(R.3) Tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R;

(R.4) Với mọi x ∈ R tồn tại phần tử − x ∈ R sao cho x + (−x) = 0;

(R.5) xy = yx với mọi x, y ∈ R;

(R.6) (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ R;

(R.7) Tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x với mọi x ∈ R;

(R.8) Với mọi x ∈ R \ {0} tồn tại phần tử x−1 ∈ R sao cho x(x−1) = 1;

(R.9) (x + y)z = xz + yz với mọi x, y, z ∈ R.

(b) R là một trường sắp thứ tự toàn phần. Tức là:

(R.10) x ≤ x với mọi x ∈ R;


5

(R.11) (x ≤ y) ∧ (y ≤ x) ⇒ x = y với mọi x, y ∈ R;

(R.12) (x ≤ y) ∧ (y ≤ z) ⇒ x ≤ z với mọi x, y, z ∈ R;

(R.13) Với mọi x, y ∈ R ta phải có x ≤ y hoặc y ≤ x;

(R.14) x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z với mọi x, y, z ∈ R;

(R.15) (0 ≤ x) ∧ (0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ xy với mọi x, y ∈ R.

Như thông thường, ta viết y ≥ x thay vì viết x ≤ y và viết x < y (hoặc y > x)mỗi khi x ≤ y và x 6= y.

Cho A ⊂ R. Ta nói A bị chặn trên nếu tồn tại v ∈ R sao cho a ≤ v với mọia ∈ A. Lúc đó v được gọi là một cận trên của A.

Giả sử A là một tập bị chặn trên, β được gọi là một cận trên đúng của A nếunó là cận trên bé nhất của A. Tức là,

+ ∀a ∈ A : a ≤ β;

+ ∀u < β, ∃a ∈ A : u < a.

(c) R là một trường được sắp thứ tự đầy đủ. Tức là

(R.16) Mọi tập khác rỗng bị chặn trên trong R đều tồn tại cận trên đúng.

Tương tự, ta có các định nghĩa về tập bị chặn dưới, cận dưới và cận dưới đúng.Cận trên đúng của A được ký hiệu là supA còn cận dưới đúng được ký hiệu là infA.Một tập vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.

Định lý 1.1. Mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều tồn tại cận dưới đúng.

Định lý 1.2. Cho A ⊂ R. Lúc đó

a) β = sup A ⇔ {(a ≤ β; ∀a ∈ A) và (∀ε > 0,∃a ∈ A : β − ε < a)}.b) α = inf A ⇔ {(α ≤ a; ∀a ∈ A) và (∀ε > 0, ∃a ∈ A : a < α + ε)}.c) A bị chặn dưới nếu và chỉ nếu −A bị chặn trên, và lúc đó sup(−A) = − inf A.

1.1.2. Định lý Archimedes

Để dễ sử dụng, ta vẫn gọi số nguyên dương là các số 1, 2, ..., n,..., mà được địnhnghĩa một cách quy nạp như sau: 1 là phần tử đơn vị; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; · · · ; n =(n − 1) + 1; · · · . Ta gọi số nguyên là các số 0, ±1, ±2, ... ±n,.... Tập hợp các sốnguyên, số nguyên dương lần lượt được ký hiệu là Z và N∗. Tập hợp N := N∗ ∪ {0}được gọi là tập các số tự nhiên. Q là ký hiệu tập các số hữu tỷ. Đó là các số có dạngm

n:= mn−1 với m ∈ Z, n ∈ N∗. Cuối cùng, các số thực x ∈ R \Q được gọi là số vô

tỷ. Với hai số thực a, b cho trước, ta gọi:

Đoạn hay khoảng đóng [a, b] là tập {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};Khoảng hay khoảng mở (a, b) là tập {x ∈ R | a < x < b};


6

Khoảng nửa đóng trái [a, b) là tập {x ∈ R | a ≤ x < b};Khoảng nửa đóng phải (a, b] là tập {x ∈ R | a < x ≤ b};

Định lý 1.3 (Định lý Archimedes). Với mọi λ > 0, x ∈ R tồn tại n ∈ Z sao chox ∈ [(n− 1)λ, nλ).

Chứng minh. Giả sử pλ ≤ x với mọi p ∈ Z. Lúc đó tập A := {pλ | p ∈ Z} bịchặn trên, nên tồn tại cận trên đúng β. Theo Định lý 1.2 tồn tại p ∈ Z sao chopλ > β − λ, hay β < (p + 1)λ ∈ A, vô lý. Vậy tồn tại p ∈ Z sao cho x < pλ. Lúcđó tập B := {pλ | p ∈ Z; pλ > x} khác rỗng và bị chặn dưới bởi x, nên tồn tạiα = inf B. Cũng theo Định lý 1.2, tồn tại nλ ∈ B sao cho nλ < α + λ

2. Từ đây

ta có (n − 1)λ < α nên (n − 1)λ 6∈ B, hay (n − 1)λ ≤ x. Mặt khác, nλ ∈ B nênx ∈ [(n− 1)λ, nλ).

Áp dụng định lý này với λ = 1 ta suy ra, với mọi số thực x tồn tại số nguyênn ∈ Z sao cho n ≤ x < n + 1. Số n như vậy được gọi là phần nguyên của x và đượcký hiệu bởi [x].

Hệ quả 1.1. Giữa hai số thực bất kỳ a < b luôn tồn tại số hữu tỷ r sao choa < r < b.

Chứng minh. Vì b − a > 0 nên theo Định lý Archimedes tồn tại n ∈ N∗ sao cho

n >1

b− a, hay

1

n< b − a. Cũng theo Định lý Archimedes tồn tại m ∈ Z sao cho

m− 1

n≤ a <

m

n. Từ đó, a <

m

n< b.

1.1.3. Trị tuyệt đối

Với mỗi số thực x, ta ký hiệu trị tuyệt đối của nó bởi |x|. Đó là số thực đượcđịnh nghĩa như sau

|x| :=

x; nếu x > 0,

−x; nếu x < 0,

0; nếu x = 0.

Ta dễ dàng kiểm chứng được các tính chất sau của trị tuyệt đối.

(i) |x| ≥ 0; ∀x ∈ R.(ii) |x| = 0 ⇔ x = 0.

(iii) |x + y| ≤ |x|+ |y|; ∀x, y ∈ R.(iv) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ R.


7

1.1.4. Tập số thực mở rộng

Tập số thực mở rộng R bao gồm R và hai phần tử −∞, ∞ với quy ước nhưsau:

(i) Với mọi x ∈ R:−∞ < x < ∞

vàx +∞ = ∞+ x = ∞; x + (−∞) = −∞+ x = −∞;

x

−∞ =x

∞ = 0.

(ii) Với mọi x > 0

x.∞ = ∞.x = ∞; x.(−∞) = (−∞).x = −∞.

(iii) Với mọi x < 0

x.∞ = ∞.x = −∞; x.(−∞) = (−∞).x = ∞.

Ngoài ra, các phép toán sau không được định nghĩa trong R:

0.∞; ∞.0; ∞+ (−∞); (−∞) +∞.

Lúc này, nếu A là một tập không bị chặn trên trong R ta có thể đặt sup A = ∞.Tương tự, nếu A không bị chặn dưới thì inf A = −∞. Để thuận lợi người ta cũngquy ước sup ∅ = −∞ và inf ∅ = +∞. Cuối cùng, với các định nghĩa khoảng nhưtrong Mục 1.1.2. ta có

R = (−∞,∞); R = [−∞,∞].

1.2. Dãy số

1.2.1. Dãy hội tụ

Ta gọi một dãy số là một ánh xạ f từ tập các số nguyên dương N∗ (hoặc tậpsố tự nhiên N) vào R. Lúc đó, nếu ký hiệu xn = f(n) với mỗi n ∈ N∗ thì dãy f cònđược gọi là dãy {x1, x2, · · · , xn, · · · } hay, đơn giản hơn, (xn)n.

Cho dãy f = (xn)n. Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) vớimọi k. Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f . Trong thực tế, người ta thườngđặt nk := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f(ϕ(k)) = f(nk) = xnk

. Do đó, dãy con f ◦ ϕcủa dãy (xn)n chính là dãy

{xn1 , xn2 , · · · , xnk, · · · } hay (xnk

)k,

trong đó n1 < n2 < · · · < nk < · · · .


8

Một số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (xn)n nếu với mọi số ε dương tồntại chỉ số n0 đủ lớn sao cho |xn− a| < ε, với mọi n ≥ n0. Khi đó ta nói dãy số (xn)n

hội tụ (đến a) và viết theo một trong các cách sau

xn −→n→∞

a; xn −→ a; a = limn→∞

xn; a = lim xn

Nếu (xn)n không hội tụ (đến một số thực nào) ta gọi nó là dãy phân kỳ.

Dãy (xn)n được gọi là phân kỳ đến +∞ (−∞) và ký hiệu

limn→∞

xn = +∞ ( limn→∞

xn = −∞)

nếu∀A ∈ R, ∃n0, ∀n ≥ n0 : xn > A (xn < A).

Dãy (xn)n được gọi là bị chặn nếu tồn tại m,M ∈ R sao cho xn ∈ [m, M ] vớimọi n, hay một cách tương đương, tồn tại M > 0 sao cho |xn| ≤ M với mọi n.

Mệnh đề 1.4. Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn.

Mệnh đề 1.5. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

Mệnh đề 1.6. Nếu dãy số (xn)n hội tụ đến một số dương (âm), thì tồn tại n0 saocho xn > 0 (xn < 0) với mọi n ≥ n0.

1.2.2. Các phép toán qua giới hạn

Định lý 1.7. Cho hai dãy số hội tụ (xn)n và (yn)n và c là một số thực. Lúc đó cácdãy (xn ± yn)n, (xnyn)n, (cxn)n cũng hội tụ và

a) limn→∞

(xn ± yn) = limn→∞

xn ± limn→∞

yn.

b) limn→∞

(cxn) = c limn→∞

xn.

c) limn→∞

(xnyn) = limn→∞

xn. limn→∞

yn.

d) Nếu limn→∞

yn 6= 0, thì dãy(xn

yn

)ncũng hội tụ và lim

xn

yn

=lim xn

lim yn

.

Mệnh đề 1.8. Cho 2 dãy số hội tụ (xn)n và (yn)n. Lúc đó

a) Nếu xn ≥ 0 với mọi n thì limn→∞

xn ≥ 0.

b) Nếu xn ≥ yn với mọi n thì limn→∞

xn ≥ limn→∞

yn.

c) Nếu limn→∞

xn = a = limn→∞

yn và (zn)n là dãy số sao cho với một số n0 ∈ N nào

đó xn ≥ zn ≥ yn với mọi n ≥ n0, thì limn→∞

zn = a.


9

Mệnh đề 1.9. Nếu dãy (xn)n hội tụ về 0 còn dãy (yn)n bị chặn, thì dãy (xnyn)n

hội tụ về 0.

Mệnh đề 1.10. Cho 2 dãy số (xn)n, (yn)n với (xn)n phân kỳ đến ±∞. Lúc đó,

a) Nếu dãy (yn)n bị chặn thì limn→∞

(xn ± yn) = limn→∞

xn.

b) Nếu tồn tại số dương ε sao cho yn ≥ ε với mọi n thì limn→∞

(xnyn) = limn→∞

xn.

Mệnh đề 1.11. Cho dãy số (xn)n ⊂ R \ {0}, ta có

limn→∞

xn = 0 ⇔ limn→∞

1

|xn| = +∞.

1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ

Dãy số (xn)n được gọi là dãy tăng (giảm, không giảm, không tăng) nếu với mọin ta có xn < xn+1 (xn > xn+1, xn ≤ xn+1, xn ≥ xn+1). Dãy thoả mãn một trongbốn tính chất đó được gọi là dãy đơn điệu.

Định lý 1.12. Cho dãy (xn)n.

a) Nếu (xn)n không giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Lúc đó

limn→∞

xn = sup{xn | n ∈ N}.

b) Nếu (xn)n không tăng và bị chặn dưới thì hội tụ. Lúc đó

limn→∞

xn = inf{xn | n ∈ N}.

c) Mọi dãy đơn điệu không bị chặn đều phân kỳ đến ∞ hoặc −∞.

Hệ quả 1.2. Cho hai dãy (xn)n, (yn)n sao cho

(i) (xn)n không giảm, (yn)n không tăng;

(ii) xn ≤ yn với mọi n ∈ N.Lúc đó cả hai dãy trên đều hội tụ và lim xn ≤ lim yn.

Nếu thêm điều kiện lim(yn − xn) = 0 thì lim xn = lim yn.

Cho dãy bị chặn (xn)n. Với mỗi k ∈ N, ta đặt:

uk := inf{xn | n ≥ k}; vk := sup{xn | n ≥ k}.Lúc đó, uk ≤ uk+1 ≤ vk+1 ≤ vk với mọi k. Từ Hệ quả 1.2 ta thấy cả hai dãy nàyđều hội tụ và u = lim

k→∞uk ≤ lim

k→∞vk = v. Người ta gọi u (v) là giới hạn dưới (giới hạn

trên) của dãy (xn)n và ký hiệu là limn→∞

xn ( limn→∞

xn) hay lim infn→∞

xn (lim supn→∞

xn).


10

Trường hợp dãy (xn)n không bị chặn, ta cũng có (uk)k, (vk)k là các dãy đơnđiệu trong [−∞,∞]. Do đó ta có thể định nghĩa giới hạn dưới và giới hạn trên (cóthể bằng vô cùng) của (xn)n trong mọi trường hợp. Kết quả sau cho ta cái nhìn rõràng hơn về các giới hạn này.

Mệnh đề 1.13.

a) (xn)n không bị chặn trên ⇔ lim sup xn = +∞.

b) (xn)n không bị chặn dưới ⇔ lim inf xn = −∞.

c) lim xn = −∞⇔ lim sup xn = −∞.

d) lim xn = +∞⇔ lim inf xn = +∞Định lý 1.14. Cho (xn)n và u, v ∈ R.

a) lim inf xn = u khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn:

(i) ∀ε > 0,∃n0,∀n ≥ n0 : xn > u− ε;

(ii) ∀ε > 0,∀m ∈ N, ∃n > m : xn < u + ε.

b) lim sup xn = v khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn:

(i) ∀ε > 0,∃n0,∀n ≥ n0 : xn < v + ε;

(ii) ∀ε > 0,∀m ∈ N, ∃n > m : xn > v − ε.

c) (xn)n hội tụ khi và chỉ khi lim sup xn = lim inf xn ∈ R

Một điểm s ∈ R được gọi là điểm tụ của dãy số (xn)n nếu tồn tại một dãy con(xnk

)k ⊂ (xn)n sao cho xnk−→k→∞

s.

Định lý 1.15. Cho (xn)n là một dãy bị chặn. Lúc đó tồn tại các giới hạn trên, dưới:

−∞ < u := limn→∞

xn ≤ v := limn→∞

xn < ∞.

Hơn nữa, nếu ký hiệu C là tập các điểm tụ của dãy, ta có u = min C và v = max C.Hệ quả 1.3. Một dãy bị chặn là hội tụ khi và chỉ khi nó có một điểm tụ duy nhất.

Hệ quả 1.4 (Định lý Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy số bị chặn đều tồn tại dãy conhội tụ.

Dãy số (xn)n được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu với mọi ε > 0 tồn tạin0 ∈ N sao cho |xn − xm| < ε với mọi m,n ≥ n0.

Mệnh đề 1.16. Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.

Định lý 1.17 (Tiêu chuẩn Cauchy). (xn)n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.


11

1.2.4. Số e

Xét hai dãy số

un := 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!; vn := 1 +

1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!+

1

n!= un +

1

n!.

Dễ thấy un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn với mọi n và vn − un → 0. Theo Hệ quả 1.2 cả haidãy này đều hội tụ và có cùng giới hạn. Người ta ký hiệu giới hạn này bởi số e. Đây làmột giá trị đặc biệt và có vai trò rất quan trọng trong giải tích. Chúng ta có thể ướclượng thô số e bởi các bất đẳng thức: 2 = u1 ≤ e ≤ v1 = 3; 8

3= u3 ≤ e ≤ v3 = 17

6.

Thật ra, số e còn được thiết lập từ một giới hạn khác. Cụ thể, ta có

Định lý 1.18.

e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n

.

Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt zn := (1 + 1n)n ta có thể khai triển:

zn =n∑

k=0

n!

k!(n− k)!

1

nk

= 1 +1

1!+

1

2!(1− 1

n) +

1

3!(1− 1

n)(1− 2

n) + · · ·+ 1

n!(1− 1

n)(1− 2

n)...(1− n− 1

n).

Dễ chứng minh được rằng zn−1 < zn < un với mọi n. Do đó tồn tại giới hạnlim zn ≤ e. Mặt khác, với mọi số nguyên dương cố định m ta có

zn ≥ 1 +1

1!+

1

2!(1− 1

n) + · · ·+ 1

m!(1− 1

n)(1− 2

n)...(1− m− 1

n); ∀n ≥ m.

Cho n → +∞ ta có lim zn ≥ um. Vì m được lấy tuỳ ý ta suy ra lim zn ≥ e và bổ đềhoàn toàn được chứng minh.

1.3. Chuỗi số

1.3.1. Định nghĩa - Tính chất

Cho dãy số (an)n. Với mỗi n ta đặt sn := a1 + a2 + · · · + an, như vậy ta đượcmột dãy mới (sn)n, gọi là dãy các tổng riêng. Nếu dãy này hội tụ về một giá trị Sta nói chuỗi số

(A) :∞∑i=1

ai.

hội tụ, S là tổng của chuỗi và viết


12

S =∞∑i=1

ai = limn→∞

n∑i=1

ai.

Nếu dãy (sn)n không hội tụ ta nói chuỗi∞∑i=1

ai phân kỳ.

Mệnh đề 1.19. Giả sử (A) và (B) là các chuỗi số hội tụ và c là một số thực. Lúc

đó, các chuỗi∞∑i=1

(ai ± bi),∞∑i=1

c.ai hội tụ và ta có

a)∞∑i=1

(ai ± bi) =∞∑i=1

ai ±∞∑i=1

bi;

b)∞∑i=1

c.ai = c.∞∑i=1

ai.

Mệnh đề 1.20. Nếu chuỗi (A) hội tụ thì limi→∞

ai = 0.

Định lý 1.21 (Tiêu chuẩn Cauchy).

Chuỗi (A) hội tụ ⇐⇒ ∀ε > 0,∃n0 ∈ N,∀n ≥ n0,∀p ∈ N :

∣∣∣∣∣n+p∑i=n

ai

∣∣∣∣∣ < ε.

Ví dụ 1.1. Chuỗi∑

1nphân kỳ còn chuỗi

∑1n2 hội tụ.

Cho chuỗi (A). Với mỗi k ∈ N ta gọi chuỗi sau là phần dư thứ k của (A):

(Ak) :∞∑

i=k+1

ai.

Hệ quả 1.5. Với mọi k ∈ N, hai chuỗi (A) và (Ak) đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

1.3.2. Chuỗi dương

Chuỗi số (A) được gọi là chuỗi dương nếu ai ≥ 0 với mọi i ∈ N. Lúc đó, dãy cáctổng riêng (sn)n là không giảm. Dãy này sẽ hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên.Trong trường hợp ngược lại, dãy dần đến +∞. Tóm lại, ta luôn luôn có:

- Hoặc∞∑i=1

ai = S ∈ [0, +∞);

- Hoặc∞∑i=1

ai = +∞.

Hệ quả 1.6. Cho hai chuỗi dương (A), (B) sao cho ai ≤ bi với mọi i ∈ N. Lúc đó,nếu (B) hội tụ thì (A) cũng hội tụ, hay một cách tương đương, nếu (A) phân kỳ thì(B) cũng phân kỳ.


13

Định lý 1.22. Cho hai chuỗi số dương (A), (B). Nếu tồn tại giới hạn

limi→∞

ai

bi

= k ∈ (0, +∞),

thì hai chuỗi này đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

Định lý 1.23 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho chuỗi dương (A). Đặt

ρ := limn→∞

n√

an.

Lúc đó, nếu ρ < 1 thì (A) hội tụ, nếu ρ > 1 thì (A) phân kỳ.

Định lý 1.24 (Tiêu chuẩn D’Alembert). Cho chuỗi dương (A). Đặt

α := limn→∞

an+1

an

; β := limn→∞

an+1

an

.

Lúc đó, nếu α > 1 thì (A) phân kỳ, nếu β < 1 thì (A) hội tụ.

Định lý 1.25 (Tiêu chuẩn Raabe). Cho chuỗi dương (A). Đặt

α1 := limn→∞

n

(an

an+1

− 1

); β1 := lim

n→∞n

(an

an+1

− 1

).

Lúc đó, nếu α1 > 1 thì (A) hội tụ, nếu β1 < 1 thì (A) phân kỳ.

Ví dụ 1.2. Xét các chuỗi∑

sin(1

n),

∑ 1

n!,

∑ 1

n√

n.

1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ

Chuỗi (A) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

∞∑i=1

|ai| < ∞.

Mệnh đề 1.26. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

Tuy vậy, điều ngược lại không đúng, một chuỗi hội tụ có thể không hội tụ tuyệt

đối. Chuỗi như vậy được gọi là bán hội tụ. Ví dụ, chuỗi∞∑

n=1

(−1)n 1nlà bán hội tụ.

Chuỗi (A) được gọi là chuỗi đan dấu nếu ai = (−1)i.bi; bi ≥ 0 với mọi i ∈ N.Định lý 1.27 (Định lý Leibnitz). Nếu (A) là chuỗi đan dấu và (|an|)n là dãy giảmvề 0, thì (A) hội tụ.


14

Chuỗi (A) được gọi là hội tụ giao hoán nếu với mọi song ánh σ : N→ N, chuỗi

(Aσ) :∞∑i=1

aσ(i) hội tụ.

Định lý 1.28 (Định lý Dirichlet). Nếu chuỗi (A) hội tụ tuyệt đối thì nó là hội tụgiao hoán. Hơn nữa, với mọi song ánh σ : N→ N, (Aσ) và (A) có cùng tổng.

Định lý 1.29 (Định lý Riemann). Nếu chuỗi (A) bán hội tụ thì với mọi S ∈ R luôntồn tại một song ánh σ : N→ N sao cho

∞∑i=1

aσ(i) = S.

Bây giờ cho hai chuỗi (A) và (B). Ta thiết lập chuỗi tích:

(AB) :∞∑

k=2

ck,

trong đó

ck :=k−1∑i=1

ai.bk−i, k ≥ 2.

Định lý 1.30. Nếu (A) và (B) là hai chuỗi hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích (AB) hộitụ và

∞∑

k=2

ck =

( ∞∑r=1

ar

).

( ∞∑s=1

bs

).

1.4. Tôpô trên tập số thực

1.4.1. Lân cận - Tập mở

Với mỗi x ∈ R và số δ > 0 ta gọi khoảng mở (x− δ, x+ δ) là một δ−lân cận củax và ký hiệu là Nδ(x). Một tập U ⊆ R được gọi là một lân cận của x nếu Nδ(x) ⊆ Uvới một δ > 0 nào đó. Lúc đó ta cũng nói x là một điểm trong của U .

Một tập con U của R được gọi là mở nếu với mọi x ∈ U , x cũng là một điểmtrong của U . Tức là

U mở ⇐⇒ ∀x ∈ U,∃δ > 0, Nδ(x) ⊆ U.

Mệnh đề 1.31. Mọi khoảng mở (a, b) đều là một tập mở trong R.


15

Họ τ tất cả các tập con mở của R được gọi là tôpô của R. Tập R các số thựccùng với tôpô τ được gọi là đường thẳng thực.

Định lý 1.32. Tôpô τ của đường thẳng thực có các tính chất sau:

a) Tập rỗng ∅ là mở.

b) Bản thân R là mở.

c) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở.

d) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở.

Bổ đề 1.1. Mọi họ các khoảng mở khác rỗng và rời nhau trên R đều đếm được.

Định lý 1.33. Mọi tập con mở của R đều là hợp của một họ đếm được các khoảngmở rời nhau.

Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của Avà được ký hiệu là Int A. Rõ ràng A mở khi và chỉ khi A = Int A. Trường hợp tổngquát ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.34. Với mọi A ⊂ R, Int A là tập mở và là tập con mở lớn nhất của A.

1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng

Cho A là một tập con của R. Số thực a được gọi là một điểm tụ của A nếu

∀δ > 0, (Nδ(a) \ {a}) ∩ A 6= ∅,a được gọi là điểm dính của A nếu

∀δ > 0, Nδ(a) ∩ A 6= ∅.

Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A′, còn tập các điểm dính của A đượcký hiệu là A và được gọi là bao đóng của A.

Mệnh đề 1.35. Cho tập con A của R và số thực a. Lúc đó,

a) a ∈ A ⇐⇒ ∃(xn)n ⊂ A, xn → a.

b) a ∈ A′ ⇐⇒ ∃(xn)n ⊂ A; xn 6= a,∀n ∈ N, xn → a.

Hệ quả 1.7. Với Q là tập các số hữu tỷ trên R, ta có

Q = Q′ = R = (R \Q) = (R \Q)′.

Hệ quả 1.8. Với mọi tập con A của R, ta có

a) A = A ∪ A′. Nói riêng A ⊆ A và A′ ⊆ A.

b) A = A.


16

Mệnh đề 1.36. Cho A, B là các tập con của R. Lúc đó,

a) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B.

b) A ∪B = A ∪B.

c) A ∩B ⊆ A ∩B.

Một tập con A của R được gọi là tập đóng nếu A = A. Từ định nghĩa và từcác tính chất của bao đóng ta suy ra ngay các khẳng định sau

Hệ quả 1.9. Cho A là một tập con của R. Lúc đó, hai khẳng định sau là tươngđương:

a) A là tập đóng;

b) ∀(xn)n ⊂ A : xn → a =⇒ a ∈ A.

Hệ quả 1.10. Với mọi tập con A của R, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứaA.

Quan hệ giữa các tập đóng và tập mở được phát biểu qua định lý sau:

Định lý 1.37. Một tập con A của R là đóng khi và chỉ khi phần bù R \ A của nólà tập mở.

Định lý sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.32 và Định lý 1.37.

Định lý 1.38. Họ các tập đóng của R có các tính chất sau:

a) Tập rỗng ∅ là dóng.

b) Bản thân R là đóng.

c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.

d) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng.

Hệ quả 1.11.

a) Khoảng đóng bị chặn [a, b] trong R là đóng.

b) Tập một điểm là đóng.

c) Tập hữu hạn điểm là đóng.

Từ Định lý 1.32 và Định lý 1.38 ta nhận thấy rằng tập rỗng ∅ và bản thân Rvừa đóng vừa mở. Một câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là ngoài hai tập này còn có tậpnào trong R có tính chất đó nữa hay không. Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó.

Định lý 1.39. Đường thẳng thực R không còn có tập con nào vừa đóng vừa mởngoài ∅ và R.


17

1.4.3. Tập compact

Một tập con A của R được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn)n trong A,tồn tại dãy con (xnk

)k ⊂ (xn)n hội tụ đến một điểm x ∈ A.

Định lý 1.40. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.

Một họ F = (Oλ)λ∈I được gọi là một phủ của tập A nếu

A ⊆⋃

λ∈I

Oλ.

Hơn nữa, nếu tất cả các Oλ đều mở thì F được gọi là một phủ mở của A. Một phủcon của F là họ con G = (Oλ)λ∈J , với J ⊆ I sao cho ta vẫn có

A ⊆⋃

λ∈J

Oλ.

Một họ (Fλ)λ∈I các tập con của R được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếuvới mọi tập hữu hạn các chỉ số K ⊆ I ta có

⋂

λ∈K

Fλ 6= ∅.

Định lý 1.41. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi mọi phủ mở củanó tồn tại một phủ con hữu hạn. Tức là, nếu (Oλ)λ∈I là phủ mở của A thì tồn tạiλ1, λ2, · · · , λk ∈ I sao cho

A ⊆k⋃

i=1

Oλi.

Hệ quả 1.12. Nếu họ (Fλ)λ∈I các tập con compact của R có tính chất giao hữu hạnthì chúng có giao khác rỗng. Tức là

⋂

λ∈I

Fλ 6= ∅.

1.5. Thực hành tính toán trên Maple

1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple

Maple là một trong các phần mềm tính toán phong phú, hỗ trợ cho hầu hết cáclĩnh vực của Toán học như giải tích số, đồ thị, đại số tuyến tính, đại số hình thức,phương trình vi phân, phương trình toán lý,... Maple tạo ra một môi trường làm việchoàn toàn thoải mái, giúp cho người dùng có thể thực hiện các tính toán trực tiếp


18

đơn giản hoặc viết các đoạn chương trình tính toán phức tạp. Vì đây không phải làmột cuốn sách chuyên khảo về Maple nên chúng tôi không có tham vọng giới thiệuquá sâu mà chỉ muốn cho sinh viên làm quen với phần mềm, đủ để giải quyết tốtnhững bài toán có liên quan trong phạm vi giáo trình. Sử dụng phần mềm này, sinhviên không những giải được những bài toán phức tạp mà nếu tính toán bằng tayphải mất hằng tháng trời (hoặc không tính nổi) mà còn giúp sinh viên nhìn thấyđược bản chất của nhiều vấn đề một cách nhanh chóng và sinh động. Thật ra, đâykhông phải là phần mềm tính toán duy nhất. Tuy nhiên, nếu biết sử dụng Maplemột cách thành thạo, sinh viên dễ dàng tiếp cận với các chương trình tính toán phổbiến khác hiện nay như Mathematica, Matlab,...

Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào một cụm xử lý (bằng cách nhấn chuộtvào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/AfterCusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờđợi ta đưa lệnh vào thực hiện.

Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt làchữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khóđể học thuộc, vì số lượng không nhiều). Kết thúc mỗi câu lệnh đều có dấu ";" hoặc":" và sau đó nhấn phím Enter. Nếu sử dụng dấu ";" thì kết quả tính toán sẽ hiểnthị ngay dòng dưới, còn nếu sử dụng dấu ":" thì kết quả sẽ không hiện ra.

1.5.2. Các thao tác trên tập hợp

a) Định nghĩa tập hợp.

Cú pháp: [> (Tên tập hợp):= {(danh sách các phần tử của tập hợp)};

Ví dụ:

[> A:={1, 2, 3, 4, 15}:

[> B:={a, b, x, y, z};

B := {a, b, x, y, z}

b) Các phép toán trên tập hợp. Ta đã biết 3 phép toán trên tập hợp là ∪ (ký hiệuunion), ∩ (ký hiệu intersect) và \ (ký hiệu minus).

Cú pháp: [> (Tập hợp 1) (phép toán) (Tập hợp 2);

Ví dụ:

[> {2, 6, 1, 3 } union {2, 3, 7, 18};

{1, 2, 3, 6, 7, 18}

[> M:={1, 3, 5}:


19

[> N:={5, 1, 2, 6}:

[> P:=M minus N;

P := {3}

c) Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp. Ta có 3 phép kiểm tra là ∈ (kí hiệu member),⊂ (kí hiệu verify(subset)) và ⊃ (kí hiệu verify(superset)). Kết quả ta đượctrue hoặc false.

Cú pháp: [> member(phần tử, tập hợp);

[> verify(Tập hợp 1, Tập hợp 2, ’subset’/’superset’);

Ví dụ:

[> member(3, {1, 3, 5});

true

[> verify({1, 3, 5}, {2, 3, 5}, ’subset’);

false

[> verify({1, 3, 5, 6}, {3, 5}, ’superset’);

true

1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình

a) Giải phương trình, bất phương trình.

Cú pháp: [> solve(phương trình/bất phương trình, {biến});

Ví dụ:

[> solve(x*x - 1 = 0, {x});

{x = 1}, {x = −1}

[> ptb3:=u∧3 - 1 = 0:

[> solve(ptb3, {u});

{u = 1}, {u = −1

2+

1

2I√

3}, {u = −1

2− 1

2I√

3}

[> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x});


20

{1 < x, x < 2}

[> bpt:=x*x - 3*x + 2 >= 0;

bpt := 0 ≤ x2 − 3x + 2

[> solve(bpt, {x});

{x ≤ 1}, {2 ≤ x}

b) Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.

Cú pháp: [> solve({danh sách phương trình/bất phương trình}, {ds biến});

Ví dụ:

[> p1:=sqrt(x) + sqrt(2-y)=sqrt(2);

p1 :=√

x +√

2− y =√

2

[> p2:=sqrt(2-x) + sqrt(y)=sqrt(2);

p2 :=√

2− x +√

y =√

2

[> solve({p1, p2}, {x, y});

{x = 0, y = 0}, {x = 2, y = 2}

[> q1:=sqrt(4*u-7) < u;

q1 :=√

4u− 7 < u

[> q2:=sqrt(u+5) + sqrt(5-u)>4;

q2 := 4 <√

u + 5 +√

5− u

[> solve({q1, q2}, {u});

{7

4≤ u, u < 4}


21

1.5.4. Tính giới hạn của dãy số

Cú pháp: [> limit(x[n], n=infinity);

Ví dụ: [> limit ((n+1)/n, n=infinity);

1

Chú ý rằng nếu viết Limit thì chỉ hiện ra công thức hình thức của giới hạn đó. Nếumuốn tính giới hạn này bằng bao nhiêu ta dùng lệnh value(%). Chẳng hạn:

[> Limit ((n*n+1)/(3-2*n*n), n=infinity);

limn→∞

n2 + 1

3− 2n2

[> value(%);−2

Ta cũng có thể định nghĩa dãy trước khi gọi thực hiện giới hạn. Ví dụ:

[> y[n]:= (3*n*n-5)/(4*n+5*n*n);

y[n] :=3n2 − 5

4n + 5n2

[> limit(y[n], n=infinity);

3

5

1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn

Cú pháp: [> sum(x[n], n=n1..n2); (nếu dùng Sum thì cho ra công thức hình thức)

trong đó, n1 là chỉ số đầu và n2 là chỉ số cuối của tổng cần tính.

Ví dụ:

[> sum(1/(n*(n+1)), n=2..10);

9

22

[> Sum(1/(n*n), n=1..infinity);

∞∑n=1

1

n2

[> value(%);

1

6π2


22

1.6. Bài tập

1.1. Chứng minh các tính chất sau trên trường số thực Ra) 0 + 0 = 0,

b) a + c = b + c =⇒ a = b,

c) a.0 = 0.a = 0,

d) a.b = 0 =⇒ (a = 0) ∨ (b = 0),

e) (a.c = b.c) ∧ (c 6= 0) =⇒ (a = b),

f) (−a).b = −(a.b),

g) (a.b)−1 = a−1.b−1,

h) (a > b) ∧ (c > 0) =⇒ (a.c > b.c),

i) a > b =⇒ a + c > b + c,

j) a > b > 0 =⇒ a2 > b2,

với mọi a, b, c ∈ R.1.2. Chứng minh Q là trường thứ tự không đầy đủ bằng cách chỉ ra rằng tậpS := {x ∈ Q | x2 < 3} trong Q là bị chặn trên nhưng không tồn tại sup S trong Q.

1.3. Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R sao cho a < b, tồn tại q ∈ Q, r ∈ R\Q thoảmãn a < q < b, a < r < b.

1.4. Cho S ⊂ R. Chứng minh

sup(−S) = − inf(S) và inf(−S) = − sup(S).

1.5. Cho A và B là hai tập con khác rỗng trong R. Chứng minh rằng

sup(A ∪B) = max{sup A, sup B}, inf(A ∪B) = min{inf A, inf B}.

1.6. Chứng minh trường số phức C không phải là trường có thứ tự. (Gợi ý: Chứngminh số ảo i không so sánh được với 0).

1.7. Khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu tồn tại) của các dãy sau

xn = n−√

n2 − n; xn =√

n(n + a)− n;

xn = n +3√

1− n3; xn =n

2sin

nπ

2;

xn =sin2 n− cos3 n

n; xn = (

√n4 + 2n + 1− n2)(2n + 1).

1.8. Cho (xn) ⊂ R. Ta định nghĩa một dãy mới:

un :=x1 + x2 + · · ·+ xn

n.


23

Chứng minh rằng

a) Nếu (xn) là đơn điệu thì (un) cũng vậy.

b) Nếu (xn) hội tụ thì (un) cũng hội tụ và giới hạn của hai dãy trùng nhau.

1.9. Cho hằng số c > 0. Thiết lập dãy truy hồi

x1 :=c

2; xn+1 :=

c + x2n

2, n ≥ 1.

Tìm điều kiện của c sao cho dãy (xn) hội tụ, xác định giới hạn của dãy trong nhữngtrường hợp đó.

1.10. Xét dãy xn := xn−1 +1

xn−1

với x0 := 1. Chứng minh rằng

limn→∞

xn = +∞.

1.11. Xét dãy xn := an/bn với a0, b0 dương cho trước và an := 2an−1 + 3bn−1,bn := an−1 + 2bn−1, ∀n ≥ 1.

a) Chứng minh an > 0, bn > 0, ∀n ∈ N.b) Tính xn+1 theo xn.

c) Chứng tỏ dãy (xn) đơn điệu và có giới hạn độc lập đối với a0 và b0.

1.12. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy

x0 := 1; xn :=2

xn−1

+ 1, n ≥ 1.

1.13. Cho hai số b > a > 0. Xét hai dãy (xn) và (yn) với

x0 := a; y0 := b; xn :=√

xn−1yn−1, yn :=1

2(xn−1 + yn−1), n ≥ 1.

Chứng minh hai dãy đó hội tụ và có chung giới hạn.

1.14. Tìm giới hạn trên, giới hạn dưới, giới hạn (nếu có) của các dãy số sau

xn =sin(n2)

n + 1; xn =

(−1)n(n + 1) + n

n;

xn = n−√

n2 − 1; xn =n2 + (−1)n(2n + 1)

n.

1.15. Tính các giới hạn sau

limn→∞

(−1)n 2n

n2 + 1; lim

n→∞n2 −√n3 + 1

n2 +√

n3 + 1; lim

n→∞

√n2 sin4(n) + (n + 1)3

(n + 1)2.


24

1.16. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số

∞∑n=1

cos

(n

n2 + 1

);

∞∑n=1

cos

(n2 + 1

2n

);

∞∑n=1

tan

(n2 + 1

2n

),

∞∑n=1

sin

(n

n2 + 1

);

∞∑n=1

sin

(n2 + 1

2n

);

∞∑n=1

(n + 1)52n

3n + n2,

∞∑n=1

tan

(2 + n2

n3 + 1

);

∞∑n=1

1 + (−1)nn

n2;

∞∑n=1

1

n + 1sin

(1

n+ e−n

),

∞∑n=1

2√

n + n√

n2 + 1

n3 − 10;

∞∑n=1

sin(n2 + 1)

n2 + 1.

1.17. Tính tổng của các chuỗi

∞∑n=1

2n + 1

n2(n + 1)2;

∞∑n=1

1

4n2 − 1;

∞∑n=1

n−√n2 − 1√n(n + 1)

.

∞∑n=1

n

(2n− 1)2(2n + 1)2;

∞∑n=1

1

(√

n +√

n + 1)√

n(n + 1).

1.18. Cho ba chuỗi

(A) :∞∑1

an; (B) :∞∑1

bn; (C) :∞∑1

cn

thoả mãn an < bn < cn, ∀n. Chứng minh rằng nếu (A) và (C) hội tụ thì (B) cũnghội tụ. Nếu (A) và (C) phân kỳ thì (B) có phân kỳ không?

1.19. Chứng minh rằng nếu chuỗi dương∑∞

1 an hội tụ thì chuỗi∑∞

1 a2n cũng hội

tụ. Điều ngược lại còn đúng không?

1.20. Chứng minh tập các điểm tụ của một dãy số thực bất kỳ là đóng. Tập đó cóbị chặn không?

1.21. Tìm một dãy trong R sao cho tập các điểm tụ của nó là đoạn [0,1].

1.22. Chứng minh rằng với mọi tập đóng E ⊂ R đều tìm được một dãy (xn) saocho tập các điểm tụ của nó chính là E.

1.23. Hãy xây dựng một tập mở U trên R sao cho Q ⊂ U ⊂ R và U 6= R.1.24. Tìm E từ đó cho biết E có phải là tập đóng hay không, với

a) E =

{1

n

∣∣∣ n ∈ N∗},

b) E =

{1

m+

1

n

∣∣∣ m,n ∈ N∗},


25

c) E :=

{n

n2 + 1

∣∣∣ n ∈ Z},

d) E :=

{n

|n|+ 2

∣∣∣ n ∈ Z}.

1.25. Chứng minh Z, N là các tập đóng trong R.

1.26. Tìm Q, R \Q. Từ đó suy ra Q là một tập không đóng, không mở trong R.

1.27. Cho A,B ⊂ R. Chứng minh

a) Nếu A ⊂ B thì Int(A) ⊂ Int(B),

b) Int(A ∩B) = Int(A) ∩ Int(B), Int(A ∪B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B).

1.28. Hãy xác định các tập Int(E), ∂E và E với

a) E = Z⋃ ( ∞⋃

n=1

(n− 1

n, n +

1

n

))

b) E = N⋃ ( ∞⋃

n=1

(2

3n− 1,

1

3n−1− 1

))

c) E = {m ∈ Z | m < 0}⋃ ( ∞⋃

n=1

(2n− 2

2n− 1,2n− 1

2n

])

1.29. Chứng minh một tập đếm được khác rỗng trong R là không mở.

1.30. Chứng minh E là tập đóng với mọi E ⊂ R. Hơn nữa, đó là tập đóng bé nhấtchứa E.

1.31. Chứng minh rằng nếu E mở thì không tồn tại min E, max E. Điều ngược lạicó đúng không?

1.32. Chứng minh rằng nếu E là tập đóng bị chặn trong R thì tồn tại min E vàmax E.

1.33. Chứng minh rằng nếu E là một tập vừa đóng vừa mở trong R thì E = ∅ hoặcE = R.

1.34. Một điểm x0 được gọi là điểm cô lập của tập hợp E ⊂ R nếu tồn tại ε > 0sao cho Nε(x0) ∩ E = {x0}. Chứng minh rằng với mọi tập E ⊂ R, tập các điểm côlập của E là không quá đếm được.


Chương 2

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC

2.1. Hàm số

2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số

Một ánh xạ f từ một tập con X của R vào R được gọi là một hàm số, X đượcgọi là miền xác định của f còn f(X) được gọi là miền giá trị của nó. Đồ thị củahàm số f là tập hợp:

Gr(f) := {(x; f(x)) | x ∈ X} ⊆ R× R.

Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)),x ∈ X trong mặt phẳng toạ độ Descartes vuông góc Oxy.

Hàm f : X −→ R được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu tập X là đối xứng (tức là∀x, x ∈ X ⇒ −x ∈ X) và

∀x ∈ X, f(−x) = f(x) (f(−x) = −f(x)) .

Rõ ràng, một hàm số là chẵn (lẻ) nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là một hình đốixứng qua trục Oy (qua tâm toạ độ O) trong mặt phẳng Oxy.

Hàm f : R −→ R được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số dương L sao cho

f(x + L) = f(x); ∀x ∈ R. (2.1)

Lúc đó, L được gọi là một chu kỳ của f (Thật ra, người ta thường chọn số dương Lbé nhất, nếu có, thoả mãn (2.1) làm chu kỳ của f).

Hàm f được gọi là hàm không giảm (không tăng; tăng; giảm) trên (a, b) ⊆ Xnếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b),

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2); f(x1) < f(x2); f(x1) > f(x2)).


27

Một hàm thoả mãn một trong bốn tính chất trên được gọi là hàm đơn điệu trênkhoảng (a, b).

Hàm f được gọi là lồi (lõm) trên khoảng (a, b) ⊆ X nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b)và mọi số λ ∈ (0, 1) ta có

f(λx1+(1−λ)x2) ≤ λf(x1)+(1−λ)f(x2) (f(λx1+(1−λ)x2) ≥ λf(x1)+(1−λ)f(x2)).

2.1.2. Các phép toán trên hàm số

Cho X ⊆ R. Ta đặtF := {f | f : X → R}.

Với mọi f, g ∈ F ta gọi f bé hơn hoặc bằng g và viết f ≤ g nếu với mọi x ∈ X,f(x) ≤ g(x). Tương tự, ta có thể định nghĩa các quan hệ bé hơn, lớn hơn, lớn hơnhoặc bằng trên F . Dễ kiểm chứng được rằng đây là các quan hệ thứ tự bộ phậntrên F . f được gọi là bằng g, và viết f = g, nếu f(x) = g(x) với mọi x ∈ X.

Với mọi f, g ∈ F , ta định nghĩa f ± g, f.g, fg, f ∨ g, f ∧ g : X → R là các hàm

được xác định bởi, ∀x ∈ X :

(f ± g)(x) := f(x)± g(x);

(f.g)(x) := f(x).g(x);(f

g

)(x) :=

f(x)

g(x);

(f ∨ g)(x) := max{f(x), g(x)};(f ∧ g)(x) := min{f(x), g(x)}.

Cho f : X → R và g : Y ⊂ R→ R là các hàm số sao cho f(X) ⊂ Y . Hàm hợp củaf và g, ký hiệu g ◦ f , là hàm được xác định bởi

(g ◦ f)(x) := g[f(x)] với mọi x ∈ X.

Dễ thấy rằng, nói chung, g ◦ f 6= f ◦ g.

Cho f là hàm số xác định trên X sao cho f : X → Y là một song ánh. Lúc đótồn tại ánh xạ ngược f−1 : Y → X. f−1 được gọi là hàm ngược của f . Nếu quanniệm đồ thị của f−1 là tập

{(x, y) | y ∈ Y ; x = f−1(y)}thì đồ thị của f và f−1 trùng nhau. Nhưng nếu xem đồ thì hàm f−1 là tập

Gr(f−1) := {(x; y) | x ∈ Y ; y = f−1(x)}thì hai đồ thị là đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Cụ thể là

∀(x, y) ∈ R2 : (x, y) ∈ Gr(f) ⇐⇒ (y, x) ∈ Gr(f−1).


28

2.1.3. Một số hàm cơ bản

a. Hàm đa thức, hàm phân thức Với mỗi số thực x và số nguyên dương nngười ta định nghĩa luỹ thừa bậc n của x một cách quy nạp như sau: x1 := x;xn := (xn−1).x với n ≥ 2.

Hàm đa thức bậc n là hàm có dạng y = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0.

Hàm phân thức là thương của hai hàm đa thức:

y =anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x + b0

.

b. Các hàm lượng giác Là các hàm đã được khảo sát kỹ trong chương trình phổthông, thông qua các số đo trong hình tròn đơn vị:

Hàm y = sin(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm lẻ vàtuần hoàn với chu kỳ 2π.

Hàm y = cos(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm chẵnvà cũng tuần hoàn với chu kỳ 2π.

Hàm y = tan(x) = tg(x) được xác định bởi

tan(x) :=sin(x)

cos(x).

Hàm này có miền xác định là mọi x 6= π2

+ kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R.

Hàm y = cot(x) = cotg(x) được xác định bởi

cot(x) :=cos(x)

sin(x).

Hàm này có miền xác định là mọi x 6= kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R.Các hàm tan và cot đều là các hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π.

c. Các hàm lượng giác ngược

Hàm sin là một song ánh từ [−π2, π

2] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là

hàm arcsin. Vậy y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [π2, π

2].

Hàm cos là một song ánh từ [0, π] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi làhàm arccos. Vậy y = arccos(x) ⇐⇒ x = cos(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [0, π].

Hàm tan là một song ánh từ (−π2, π

2) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm

arctan. Vậy y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (π2, π

2).

Hàm cot là một song ánh từ (0, π) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàmarccot. Vậy y = arccot(x) ⇐⇒ x = cot(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (0, π).


29

2.2. Giới hạn của hàm số

2.2.1. Các định nghĩa

a. Giới hạn hàm số tại một điểm Cho hàm f xác định trong Nδ(x0) \ {x0}, tanói f có giới hạn bằng l ∈ R tại x0 nếu

∀ε > 0,∃δ1 > 0,∀x ∈ Nδ1(x0) \ {x0} : |f(x)− l| < ε.

Lúc đó, ta viếtlim

x→x0

f(x) = l.

Ví dụ 2.1. Hàm f(x) =x2 − 1

x− 1có giới hạn bằng 2 tại x0 = 1. Hàm f(x) = x sin

(1

x

)

có giới hạn bằng 0 tại 0.

b. Giới hạn hàm số tại vô cùng

+ Cho hàm f xác định trên khoảng (a; +∞), ta nói f có giới hạn bằng l ∈ Rtại +∞ nếu

∀ε > 0,∃M, ∀x > M : |f(x)− l| < ε.

Lúc đó, ta viếtlim

x→+∞f(x) = l.

+ Tương tự, nếu hàm f xác định trên khoảng (−∞; b), ta có định nghiã giớihạn tại −∞ như sau:

limx→−∞

f(x) = l ⇔ ∀ε > 0,∃m, ∀x < m : |f(x)− l| < ε.

Ví dụ 2.2.

limx→+∞

x√x2 + 1

= 1; limx→−∞

x√x2 + 1

= −1.

c. Giới hạn trái, phải Cho hàm f xác định trên khoảng (x0; x0 + δ) ((x0− δ; x0)),ta nói f có giới hạn phải (trái) bằng l ∈ R tại x0 nếu

∀ε > 0,∃δ1 > 0,∀x ∈ (x0; x0 + δ1)(∀x ∈ (x0 − δ1; x0)) : |f(x)− l| < ε.

Lúc đó, ta viếtl = lim

x→x0+f(x) (l = lim

x→x0−f(x)).

d. Giới hạn bằng vô cùng Trong các định nghĩa trên, giới hạn của hàm f là mộtsố thực l. Bây giờ ta sẽ xét đến các trường hợp ở đó giá trị hàm f tiến ra vô cùngkhi x dần đến x0.


30

+ Cho hàm f xác định trong Nδ(x0) \ {x0}, ta nói f có giới hạn bằng +∞ tạix0 nếu

∀K, ∃δ1 > 0,∀x ∈ Nδ1(x0) \ {x0} : f(x) > K.

Ký hiệu:lim

x→x0

f(x) = ∞.

+ Tương tự, ta có định nghĩa:

limx→x0

f(x) = −∞⇔ ∀L,∃δ1 > 0,∀x ∈ Nδ1(x0) \ {x0} : f(x) < L.

+ Khi f xác định trên (0; +∞), ta có định nghĩa giới hạn vô cùng tại vô cùng:

limx→+∞

f(x) = +∞⇔ ∀K, ∃M, ∀x > M : f(x) > K.

Việc đưa ra các định nghĩa

limx→+∞

f(x) = −∞; limx→−∞

f(x) = +∞; limx→−∞

f(x) = −∞

cũng như các giới hạn trái, phải bằng vô cùng được dành cho các bạn.

Ví dụ 2.3. Hàm hằng f = C trên (a, b) 3 x0:

limx→x0

C = C.

Hàm đồng nhất f(x) = x trên (a, b) 3 x0:

limx→x0

x = x0.

Hàm f(x) = 1x:

limx→0+

1

x= +∞; lim

x→0−1

x= −∞; lim

x→±∞1

x= 0.

2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn

Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn qua dãy). Cho f xác định trên Nδ(x0) \ {x0}. Lúc đó

limx→x0

f(x) = l ⇐⇒ (∀(xn) ⊂ Nδ(x0) \ {x0}, xn → x0 ⇒ f(xn) → l).

Lưu ý rằng định lý trên đúng cả khi l = ±∞. Ngoài ra, ta cũng có các phátbiểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía.

Mệnh đề 2.2. Nếu f có giới hạn l ∈ R tại x0 thì đó là giới hạn duy nhất.


31

Mệnh đề 2.3. Nếu f có giới hạn l ∈ (a; b) tại x0 thì tồn tại δ > 0 sao chof(x) ∈ (a; b) với mọi x ∈ Nδ(x0) \ {x0}.Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Hàm f có giới hạn hữu hạn tại x0 khi và chỉkhi

∀ε > 0,∃δ0 > 0,∀x, x′ ∈ Nδ0(x0) \ {x0}, |f(x)− f(x′)| < ε.

Định lý 2.5. Giả sử limx→x0

f(x) = l ∈ R, limx→x0

g(x) = m ∈ R và λ ∈ R. Lúc đó,

a) limx→x0

(f ± g)(x) = l ±m;

b) limx→x0

(λf)(x) = λl;

c) limx→x0

(fg)(x) = lm;

d) Nếu m 6= 0 thì limx→x0

(f

g

)(x) =

l

m;

e) Nếu f ≤ g thì l ≤ m.

Các phát biểu a)-d) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phảicó nghĩa.

Mệnh đề 2.6. Giả sử f ≤ g ≤ h trên Nδ(x0) \ {x0} và

limx→x0

f(x) = limx→x0

h(x) = l.

Lúc đólim

x→x0

g(x) = l.

Định lý 2.7. Giả sử f là một hàm đơn điệu trên (a; b) và c là một điểm nằm trongkhoảng này. Lúc đó tồn tại các giới hạn một phía hữu hạn của hàm f tại c.

Chú ý rằng cũng tồn tại các giới hạn

limx→a+

f(x) ∈ R; limx→b−

f(x) ∈ R.

Hơn nữa, nếu f bị chặn trên (a; b) thì các giới hạn đó hữu hạn.

2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn

Hàm f được gọi là một vô cùng bé khi x → x0 nếu

limx→x0

f(x) = 0;

Hàm f được gọi là một vô cùng lớn khi x → x0 nếu

limx→x0

|f(x)| = +∞.


32

Hệ quả 2.1. f là một vô cùng lớn khi x → x0 nếu và chỉ nếu 1flà một vô cùng bé

khi x → x0.

Cho α và β là hai vô cùng bé khi x → x0. Ta nói

- α và β là hai vô cùng bé tương đương và viết α ∼ β nếu

limx→x0

α(x)

β(x)= 1.

- α là vô cùng bé bậc cao hơn β và viết α = o(β) nếu

limx→x0

α(x)

β(x)= 0.

- α và β là các vô cùng bé cùng bậc nếu

limx→x0

α(x)

β(x)= m ∈ R \ {0}.

Rõ ràng, điều này xảy ra khi và chỉ khi α ∼ mβ.

2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản

a. Giới hạn của các hàm đa thức và phân thức

Từ phép lấy giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ta dễ dàng nhận được giớihạn của hàm đa thức và phân thức. Cụ thể, nếu P (x) và Q(x) là các đa thức thì tacó

limx→x0

P (x) = P (x0);

limx→x0

P (x)

Q(x)=

P (x0)

Q(x0); nếu Q(x0) 6= 0.

b. Giới hạn của các hàm lượng giác

Ta cũng dễ dàng chứng minh được các công thức giới hạn sau

limx→x0

sin(x) = sin(x0).

limx→x0

cos(x) = cos(x0).

limx→x0

tan(x) = tan(x0); x0 6= π

2+ kπ.

limx→x0

cot(x) = cot(x0); x0 6= kπ.


33

2.3. Sự liên tục

2.3.1. Định nghĩa

Một hàm số f xác định trên Nδ(x0) được gọi là liên tục tại x0 nếu tồn tại giớihạn của f tại điểm đó và

limx→x0

f(x) = f(x0).

Ta nói f gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, ta có cácđịnh nghĩa yếu hơn: f được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu nó xác định trong(x0 − δ; x0] ([x0; x0 + δ)) và

limx→x0−

f(x) = f(x0) ( limx→x0+

f(x) = f(x0)).

Bây giờ giả sử f gián đoạn tại x0. x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được nếutồn tại giới hạn

limx→x0

f(x) 6= f(x0),

được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu tồn tại các giới hạn trái phải tại đó nhưng

limx→x0−

f(x) 6= limx→x0+

f(x).

Cuối cùng, x0 được gọi là điểm gián đoạn loại II nếu nó không thuộc vào hai dạngtrên.

Hàm f được gọi là liên tục trên (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảngđó. Nếu f liên tục trên (a; b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a ta nói f liêntục trên [a; b].

Định lý 2.8. Ba phát biểu sau tương đương

a) f liên tục tại x0;

b) ∀ε > 0, ∃δ > 0,∀x ∈ Nδ(x0) : |f(x)− f(x0)| < ε;

c) ∀(xn) ⊆ R : xn → x0 =⇒ f(xn) → f(x0).

Ví dụ 2.4. Các hàm f(x) = C (C ∈ R), f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) vàhàm sau đây đều liên tục trên R

f(x) :=

{x sin( 1

x); x 6= 0;

0; x = 0.


34

2.3.2. Các định lý cơ bản

Định lý 2.9. Cho f , g là hai hàm liên tục tại x0 và c là một số thực. Lúc đó, cáchàm f ± g, cf , fg đều liên tục tại x0. Nếu hơn nữa, g(x0) 6= 0 thì hàm f

gcũng liên

tục tại điểm đó.

Hệ quả 2.2.

a) Một hàm đa thức thì liên tục trên R.b) Một hàm phân thức liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của mẫu.

c) Các hàm tan, cot liên tục trên miền xác định của chúng.

Định lý 2.10. Nếu hàm f liên tục tại x0 và hàm g liên tục tại y0 = g(x0) thì hàmhợp g ◦ f liên tục tại x0.

Định lý 2.11. Giả sử hàm f liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0. Lúc đó tồn tạic ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Định lý 2.12 (Định lý giá trị trung gian). Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a; b] thìf nhận mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b).

Từ nay ta sẽ gọi khoảng là một trong các tập có dạng: [a; b], [a; b), (a; b], (a; b).Từ Định lý 2.12 suy ra rằng một hàm f liên tục trên một khoảng I thì có miền giátrị J = f(I) cũng là một khoảng.

Mệnh đề 2.13. Một hàm đơn điệu trên một khoảng chỉ có thể có điểm gián đoạnloại I.

Hệ quả 2.3. Nếu hàm f đơn điệu trên một khoảng I, có tập giá trị f(I) cũng làmột khoảng thì nó liên tục trên I.

Định lý 2.14 (Tính liên tục của hàm ngược). Giả sử y = f(x) liên tục, tăng (giảm)trên khoảng I. Lúc đó tồn tại hàm ngược x = f−1(y) cũng liên tục và tăng (giảm)trên khoảng J = f(I).

Hệ quả 2.4. Mọi hàm lượng giác ngược đều liên tục và đơn điệu chặt trên miềnxác định của chúng.

Định lý 2.15. Cho f liên tục trên khoảng I = [a; b]. Lúc đó tồn tại x∗, x∗ ∈ I saocho

m := f(x∗) ≤ f(x) ≤ f(x∗) =: M ; ∀x ∈ I.

Hơn nữa, f(I) = [m; M ].

Định lý này có thể mở rộng cho trường hợp hàm liên tục trên tập đóng bị chặn,ngoại trừ khẳng định cuối cùng nói rằng miền giá trị là một đoạn.

Một hàm f được gọi là liên tục đều trên một tập A ⊆ R nếu

∀ε > 0,∃δ > 0,∀x, x′ ∈ A : |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| < ε.


35

Chẳng hạn, hàm f(x) = sin(x) liên tục đều trên R, hàm g(x) = sin( 1x) liên tục

nhưng không liên tục đều trên (0; 1).

Định lý 2.16. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đóng, bị chặn thì liên tục đềutrên khoảng đó.

2.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ

a) Căn bậc n

Mệnh đề 2.17. Với mọi số nguyên dương n, hàm fn(x) = xn là một hàm tăng vàlà song ánh liên tục từ [0; +∞) lên [0; +∞).

Kết hợp kết quả này với Định lý 2.14 suy ra tồn tại hàm ngược f−1n đơn điệu

tăng và liên tục trên [0; +∞), mà ta gọi là hàm căn bậc n và ký hiệu: n√

x := x1n :=

f−1n (x). Tức là

∀x, y ∈ [0; +∞) : y = n√

x ⇔ x = yn.

Mệnh đề 2.18.

a) Cho m > n ≥ 1. Lúc đó

1 < m√

x < n√

x nếu x > 1 và 1 > m√

x > n√

x > 0 nếu x ∈ (0, 1).

b) limn→+∞

n√

x = 1 với mọi x > 0.

Chứng minh.

a) Chú ý rằng, với x > 1 ta có 1 < xn < xm nên 1 < mn√

xn < mn√

xm. Tương tựcho trường hợp 0 < x < 1.

b) Với x > 1, dãy ( n√

x)n giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ đến α ≥ 1. Chỉcòn phải kiểm chứng α = 1.

b) Luỹ thừa hữu tỷ

Với mỗi số thực x > 0, ta định nghĩa x0 := 1; x−n := 1xn , n ∈ N∗. Cuối cùng,

với p ∈ Z và q ∈ N∗ ta định nghĩa hàm luỹ thừa bậc pq: x

pq := q

√xp = (xp)

1q . Từ các

định lý về sự liên tục của hàm thương và hàm hợp ta dễ dàng chứng minh được tínhliên tục của hàm f(x) = x

pq trên (0; +∞). Việc định nghĩa luỹ thừa vô tỷ sẽ được

xét đến sau khi có định nghĩa hàm mũ.

c) Các hàm exp, ln

Bổ đề 2.1. Nếu (un) là một dãy số hội tụ về 0 thì

limn→+∞

(1 +

un

n

)n

= 1.


36

Chứng minh. Với mọi ε > 0, tồn tại m ∈ N∗ sao cho m√

e < 1 + ε. Từ đó, tồn tạin0 ∈ N sao cho |un| < min{ε, 1

m}, với mọi n ≥ n0. Với n như vậy ta cũng có

1− ε = 1− nε

n≤

(1− ε

n

)n

<(1 +

un

n

)n

<

[(1 +

1

mn

)mn] 1m

< m√

e < 1 + ε.

Định lý 2.19. Với mỗi số thực x giới hạn sau tồn tại

exp(x) := limn→+∞

(1 +

x

n

)n

.

Chứng minh. Với x ≥ 0 cố định, ta đặt vn :=(1 + x

n

)n. Dễ chứng minh được rằng,

với m = [x] + 1, ta có

1 ≤ vn−1 < vn < vmn =(1 +

x

mn

)mn

<

(1 +

1

n

)nm

< em; ∀n ∈ N.

Từ đó suy ra exp(x) tồn tại với x ≥ 0.

Mặt khác, với x < 0 ta có

limn→+∞

(1 +

x

n

)n

= limn→+∞

(1− x2

n2

)n

(1 + −x

n

)n =1

exp(−x).

Vậy exp(x) cũng tồn tại với x < 0 và exp(x) exp(−x) = 1 với mọi x.

Định lý 2.20. Hàm exp có các tính chất

a) exp(x + y) = exp(x) exp(y); x, y ∈ R;b) exp(p

q) = e

pq với mọi p ∈ Z và q ∈ N∗;

c) exp(x) ≥ 1 nếu x ≥ 0 và 0 < exp(x) < 1 nếu x < 0.

Từ tính chất b) người ta thường ký hiệu exp(x) bởi ex với mọi x ∈ R và gọi làhàm mũ cơ số e.

Chứng minh. Ta có

(1 + xn)n(1 + y

n)n

(1 + x+yn

)n=

(1 +

xy

n(1+x+yn

)

n

)n

,

màxy

n(1 + x+yn

)→ 0,


37

nên, từ Bổ đề 2.1, suy ra

limn→∞

(1 + xn)n(1 + y

n)n

(1 + x+yn

)n= 1.

a) đã được chứng minh.

Sử dụng a) nhiều lần ta chứng minh được, với mọi p ∈ N∗, exp(px) = exp(x)p

và exp(−px) = exp(px)−1 = exp(x)−p từ đó, exp(px) = exp(x)p với mọi p ∈ Z. Bâygiờ lấy p ∈ Z và q ∈ N∗ ta có

ep = exp(1)p = exp(p) = exp(qp

q) = exp(

p

q)q.

Từ đó, exp(pq) = e

pq , suy ra b). Cuối cùng, khẳng định c) được suy ra từ chứng minh

Định lý 2.19

Định lý 2.21. Hàm ex tăng, liên tục trên R và

limx→−∞

ex = 0; limx→+∞

ex = +∞; limx→0

ex = 1; limx→0

ex − 1

x= 1.

Chứng minh. Với mọi x < y ta có ey−x > 1 nên ey = exey−x > ex, vậy ex là hàmtăng.

Với x > −1 ta có ex ≥ 1 + x nên limx→∞

ex = ∞.

Với x < 1 ta có 0 < ex =1

e−x≤ 1

1− xnên lim

x→−∞ex = 0.

Với −1 < x < 1 ta có 1 + x ≤ ex ≤ 1

1− x, nên lim

x→0ex = 1.

Cuối cùng, với −1 < x < 1 ta có x ≤ ex − 1 ≤ x

1− x, nên lim

x→0

ex − 1

x= 1.

Từ Định lý 2.21 hàm f(x) = ex tăng, liên tục từ (−∞; +∞) lên (0; +∞). Dođó, tồn tại hàm ngược f−1 từ (0; +∞) lên (−∞; +∞) mà ta gọi là hàm lôgarit nêpevà được ký hiệu là ln. Vậy

∀x ∈ (0; +∞), y ∈ R : y = ln(x) ⇔ x = ey.

Hệ quả 2.5. Hàm ln liên tục, tăng trên (0; +∞), hơn nữa,

a) ln(xy) = ln(x) + ln(y); x > 0, y > 0;

b) limx→0+

ln(x) = −∞ và limx→+∞

ln(x) = +∞.

c) limx→0

ln(1 + x)

x= 1.


38

c) Hàm mũ, hàm lôgarit

Bây giờ cho 1 6= a > 0. Ta định nghĩa hàm mũ cơ số a bởi công thức sau

ax := ex ln(a); x ∈ R.

Dễ kiểm chứng được rằng đây là một hàm liên tục trên R, có miền giá trị(0; +∞) và là hàm đơn điệu tăng (giảm) nếu a > 1 (a < 1). Hàm này tồn tại hàmngược liên tục xác định trên (0; +∞) mà ta ký hiệu là loga. Vậy

∀x ∈ (0; +∞), y ∈ R : y = loga(x) ⇔ x = ay.

Hệ quả 2.6. Cho 1 6= a > 0. Lúc đó

a) ax+y = ax.ay, axy = (ax)y; x, y ∈ R,b) loga(xy) = loga(x) + loga(y), loga(x

α) = α. loga(x); x, y > 0, α ∈ R.

d) Hàm luỹ thừa bậc bất kỳ Cho α là một số thực bất kỳ, ta định nghĩa luỹthừa bậc α là hàm:

fα(x) = xα := eα. ln(x); x > 0.

Có thể kiểm chứng được rằng với α ∈ Q hàm này trùng với hàm luỹ thừa hữutỷ được định nghĩa trong b). Tức là,

xα = q√

xp; ∀α =p

q∈ Q,∀x > 0.


2.4.1. Định nghĩa một hàm số

Cú pháp: [> f:= x− > (biểu thức hàm theo x);

Sau đó, muốn tính giá trị hàm tại một điểm x0 ta chỉ cần viết f(x0). Ta có thể dùngmột biến khác thay cho x và tên hàm khác thay cho f . Biểu thức hàm ở đây có thểmột biểu thức đơn giản nhưng cũng có thể là một biểu thức phức tạp như giới hạn,tổng...

Ví dụ:

[> f:= x− > x∧2 - x +1;

f := x → x2 − x + 1

[> f(2);

3


39

[> g:= u− > limit(n*u∧2/(u*(2*n+5)+3), n= infinity);

g := u → limn→∞

nu2

u(2n + 5) + 3

[> g(3);3

2

2.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy

Muốn vẽ đồ thị hàm số trước tiên ta phải khởi động thư viện chuyên dụngplots bằng lệnh

[> with(plots);

sau đó, mới thực hiện các lệnh vẽ đồ thị.

a) Vẽ đồ thị hàm y = f(x).

Cú pháp: [> plot(f(x), x=a..b, y=c..d);

Lúc đó, đồ thị hàm y = f(x) được vẽ trong phạm vi hình chữ nhật [a, b]× [c, d].Nếu không khai báo các phạm vi thì máy sẽ tự vẽ theo một toạ độ thích hợp.

Ví dụ:[> f:= x − > x*sin(1/x);

f := x → x sin

(1

x

)

[> plot(f(x), x=-1..1, y=-0.5..1);

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Hình 2.1: Đồ thị hàm số x sin 1x

b) Vẽ đồ thị đường cong ẩn dạng F (x, y) = 0.


40

Cú pháp: [> implicitplot(F(x,y)=0,x=a..b, y=c..d);

với [a, b]× [c, d] là phạm vi cần vẽ.

Ví dụ:Để vẽ Êlip x2

4+ y2

9= 1 trong hình chữ nhật [−2, 2]× [−3, 3], ta viết

[> implicitplot(x∧2/4 + y∧2/9 -1 =0, x=-2..2, y=-3..3);

–3

–2

–1

1

2

3

y

–2 –1 1 2x

Hình 2.2: Đồ thị Ellipse x2

4+ y2

9= 1

c) Vẽ nhiều đồ thị trên cùng một hệ truc toạ độ.

Cú pháp: [> plot([f1(x), ..., fm(x)], x=a..b, y=c..d, color=[c1, ..., cm]});

Lúc đó, đồ thị các hàm fi(x), 1 ≤ i ≤ m, được vẽ tương ứng với các màu ci,1 ≤ i ≤ m trên cùng một hệ trục toạ độ. Việc vẽ nhiều đồ thị trên cùng một hệ trụctoạ độ cho chúng ta một công cụ rất mạnh để đánh giá việc xấp xỉ một hàm bởi cáchàm đa thức. Chẳng hạn để biết hàm ex được xấp xỉ tốt như thế nào bởi hàm

g(x) =(1 +

x

9

)9

ta dùng lệnh

[> g:=x − > (1+x/9)∧9;

g := x →(1 +

x

9

)9

[> plot([exp(x), g(x)], x=-4..2, color=[red, blue]);

d) Vẽ đồ thị hàm từng khúc. Đó là hàm được xác định trên từng khoảng với cáccông thức khác nhau. Để khai báo một hàm như thế ta dùng cú pháp sau

[> f:= piecewise(đk1, f1(x), đk2, f2(x), ..., đkk, fk(x), fk+1(x));


41

1

2

3

4

5

6

7

–4 –3 –2 –1 1 2x

Hình 2.3: Xấp xỉ hàm ex bởi hàm (1 + x9)9

Điều đó có nghĩa là

f(x) :=

f1(x), nếu điều kiện đk1 đúng,

f2(x), nếu điều kiện đk2 đúng và đk1 sai,...

fk(x), nếu điều kiện đkk đúng và tất cả các điều kiện trước sai,

fk+1(x), nếu không có điều kiện nào đúng.

Ví dụ:

[> f(x):=piecewise(x<-1, 1, x<1, -x∧2, 2*x+1);

f(x) :=

1 x < −1

−x2 x < 1

2x + 1 otherwise.

[> plot(f(x), x=-2..2, color=blue);

–1

0

1

2

3

4

5

–2 –1 1 2x

Hình 2.4: Đồ thị hàm từng khúc


42

Trong ví dụ này ta thấy, mặc dù hàm gián đoạn tại −1 và 1, đồ thị vẫn đượcvẽ liên tục. Đó là vì Maple tự động nối các điểm gián đoạn lại thành đường liền nét.Muốn thấy rõ các điểm gián đoạn ta đưa vào tham số discont=true.

Ví dụ: Nếu viết như sau, ta sẽ được kết quả ở Hình 2.5.

[> plot(f(x), x=-2..2, color=blue, discont=true);

–1

1

2

3

4

5

–2 –1 1 2x

Hình 2.5: Đồ thị hàm từng khúc gián đoạn thực sự

2.4.3. Tính giới hạn của hàm số

Cú pháp: [> limit(f(x), x=a); (dùng Limit thì chỉ cho công thức hình thức)

Ví dụ:

[> Limit(sin(x)/x, x=0);

limx→0

sin(x)

x

[> value(%);1

[> limit((1+1/x)∧x, x=infinity);

e

2.5. Bài tập

2.1. Tìm miền xác định của các hàm sau

y =√

x2 − x− 2, y =√

sin x, y =√

cos(x2),

y = tan(x2 + 1), y =x− 3

x2 − 1, y =

√−x +1√

2 + x.


43

2.2. Cho f(x) =1− x

1 + x. Tìm f(0), f(−x), f(x + 1), f(x) + 1, f( 1

x),

1

f(x).

2.3. Cho f(x) = sin(x + 1), g(x) =√

x2 + 2. Tìm g ◦ f , f ◦ g.

2.4. Ký hiệu [x] và {x} lần lượt là phần nguyên và phần thập phân của một số thựcx. Tức là {x} = x− [x]. Vẽ đồ thị các hàm số

a) y = [x]; x ∈ R; b) y = {x}; x ∈ R; c) y = {x2}; x ∈ [−2, 2].

2.5. Tìm f ◦ f , f 2, f ◦ g, g ◦ f , g2, g.f với

a) f(x) = x3; g(x) = sin x.

b) f(x) = sgn(x); g(x) = |x|.c) f(x) =

1

x + 1; g(x) = sin x.

2.6. Tìm f nếu biết

a) f(x + 1) = x2 − 3x + 2, ∀x ∈ R.b) f

(x +

1

x

)= x2 +

1

x2, ∀x 6= 0.

c) f(1

x

)= x +

√1 + x2, ∀x 6= 0.

2.7. Cho biết sự liên hệ giữa đồ thị hai hàm y = f(x) và y = g(x) := |f(x + 1)− 2|.2.8. Vẽ đồ thị các hàm số

a) y = |x− 1|+ |x− 2|;

b) y =|x|+ 1

2− x.

2.9. Tìm hàm ngược của các hàm sau

a) y = 5x + 1; b) y = x3; c) y =1− x

1 + 2x, x 6= −1

2.

2.10. Xét tính chẵn lẻ của các hàm

a) f(x) = 2x2 + 1; b) f(x) = x2 sgn(x); c) f(x) =1

1− x+

1

1 + x.

2.11. Chứng minh rằng mọi hàm f có miền xác định đối xứng đều có thể viết dướidạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ.

2.12. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ (nếu có) của các hàm sau

a) f(x) = sin(3x) + 2 sin(2x);

b) f(x) = cos(x2); c) f(x) = cos2 x;

d) f(x) = [x]; e) f(x) = {x}.


44

2.13. Cho hàm số f . Tìm sự liên hệ giữa đồ thị hàm f và các hàm:

a) g(x) = f(x) + y0; b) g(x) = f(x + x0);

c) g(x) = f(x + x0) + y0; d) g(x) = |f(x)|.2.14. Vẽ đồ thị các hàm số sau trên miền xác định của chúng

a) y =√{x}; b) y = [x] +

√{x};

c) y = sin(1

x

); d) y = x sin

(1

x

); e) y = x2 cos

(1

x

).

2.15. Tìm các giới hạn

limx→a

xn − an − nan−1(x− a)

(x− a)2; lim

x→0

√x + 3

√x + 4

√x√

2x + 1;

limx→0

m√

1 + αx n√

1 + βx− 1

x; lim

x→∞(

3√

x3 + x2 − 1− x);

limx→0

m√

1 + αx− n√

1 + βx

x; lim

x→−∞x− 1√1 + x2

;

limx→0

(√1

x+ 1−

√1

x

); lim

x→∞

√x2 + x− 3

√x3 − x2 + 5

x.

2.16. Tìm các giới hạn

limx→0

√1 + tan x−√1 + sin x

x3; lim

x→0

1− cos x. cos(2x). cos(3x)

1− cos x;

limx→0

√cos x− 3

√cos x

sin2 x; lim

x→0sin

(sin(πx)

2x

);

limx→0

arcsin(tan x

1 + tan x); lim

x→a

sin x− sin a

x− a.

2.17. Đặt

f(x) := 1 +1

2+ · · ·+ 1

[x]; x ∈ [1, +∞).

a) Chứng minh f là hàm không giảm.

b) Dùng tiêu chuẩn Cauchy (tại vô cùng) chứng minh limx→+∞

f(x) = +∞.

2.18. Tính các giới hạn

limx→0

√1 + tan x−√1 + x

x3; lim

x→∞(x2 − 1)e1+cos x

(2− sin x)√

x5 + 5x2 + 1.

2.19. Khảo sát sự hội tụ của các dãy số sau

xn =

(1− 2n2 + n3

1 + n3

)n

; xn = (2n + 1) arctan

(1

n2 + 2

).


45

2.20. Xét sự hội tụ của các dãy:

xn =

(n2 + (−1)nn

n2 + 2

)n

; xn = arctann(n

n + 1); xn =

cos(n!)

1 +√

n;

xn = arccos

((−1)nn

n + 1

); xn = sinn

(nπ

3n + 1

); xn =

n√n2 + 1;

xn =n + 2 + n cos(nπ)

nπ − sin(n); xn =

(n2 + n + 1

n2 + n

)n

; xn =n! + 5 ln n

3n + n3;

xn =2n(n + 1)!− n ln n

3nn! + n5; xn =

arctan(n2 + 2)

2n + 1; xn =

(1− n + n2

n2 + n

)n

.


limn→∞

(n + 1)3 + 2n

3n + (n + 1)2; lim

n→∞(n2 + 3).2n+1

3n. ln(n + 1).

2.22. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số

∞∑n=1

ln(1 + n)

arctan(n! + 2n);

∞∑n=2

1

n ln2 n;

∞∑n=1

e− arctan n;

∞∑n=1

esin n−n;∞∑

n=1

1 +√

(n2 + 1)(3n− ln n)

(n− 1)3(2 +√

n).

2.23. Chứng minh nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm f khi x → x0 thì ∀ε >0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Nδ(x0)\{x0}, |f(x) − f(2x0 − x)| < ε. Điều ngược lại còn đúngkhông?

2.24. Cho

f(x) =

{1 nếu x ∈ Q,

0 nếu x ∈ R \Q.

Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm f tại mọi điểm trên R.

2.25. Cho f(x) = arctan(1

x

). Chứng minh với mọi a ∈ [−1, 1] tồn tại dãy (xn) ⊂ R

sao cho xn → 0 và f(xn) → a.

2.26. Định nghĩa

f(x) =

{x3 nếu x ∈ Q,

x nếu x ∈ R \Q.

Hàm f có giới hạn tại những điểm nào?

2.27. Cho f là một hàm tuần hoàn trên R và limx→+∞

f(x) = l ∈ R. Chứng minh f

là hàm hằng trên R.


46

2.28. Cho hai hàm f(x) = x sin(1

x

)và g(x) = sgn(x). Chứng minh không tồn tại

giới hạn của hàm g ◦ f tại 0.

2.29. Cho f là một hàm xác định, không âm trong một lân cận của điểm x0 và liêntục tại điểm đó. Chứng minh hàm

√f(x) cũng liên tục tại x0.

2.30. Chứng minh nếu f liên tục tại một điểm x0 thì |f | cũng vậy. Điều ngược lạicòn đúng không?

2.31. Tìm tất cả các điểm gián đoạn của các hàm sau

a) f(x) =√{x}; b) f(x) = [x] +

√{x}; c) f(x) = [x] + {x}2.

2.32. Tìm tất cả các điểm gián đoạn của hàm:

f(x) =

0; x ∈ R \Q,1

q; x =

p

qvới p ∈ Z, q ∈ N∗ và p

qlà phân số tối giản .

2.33. Tìm m và n để hàm sau

f(x) =

1− cos x

x2nếu x > 0,

m nếu x = 0,

2x2 − n nếu x < 0.

liên tục trên R. Với f xác định như trên, tìm số S dương lớn nhất sao cho f(x) > 0với mọi x ∈ (−S, S).

2.34. Cho f là một hàm liên tục trên tập (a, b)\{x0}. Nếu tồn tại limx→x0

f(x) = l ∈ Rthì bằng cách bổ sung giá trị f(x0) := l ta được hàm f liên tục trên (a, b). Lúc đóta nói hàm f có thể thác triển liên tục lên khoảng (a, b). Trong các hàm sau, hàmnào có thể thác triển liên tục lên R? Nếu được thì bổ sung những giá trị nào tạinhững điểm nào?

a) f(x) = x sin(1

x

); b) f(x) =

1

xsin x.

c) f(x) =1

xsin

(1

x

); d) f(x) =

1

2x((1 + x)n − 1), n ∈ N∗.

2.35. Cho f là hàm liên tục trên R thoả mãn limn→∞

f(nx) = 0, với mọi x ∈ [1, 2].

Chứng minh limx→+∞

f(x) = 0.

2.36. Cho I = [a, b]. Chứng minh nếu f : I → I liên tục thì tồn tại x ∈ I sao chof(x) = x. Khẳng định trên còn đúng không nếu I = (a, b)?

2.37. Cho f, g : [0, 1] → [0, 1] là các hàm liên tục. Nếu g không giảm và f ◦g = g ◦fthì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm trên [0, 1].


47

2.38. Chứng minh nếu f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn hữu hạn limx→±∞

f(x),

thì f liên tục đều trên R.2.39. Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn I = [a, b]. Chứng minh rằng nếuphương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên I, thì tồn tại một số δ > 0 sao cho

f 2(x) ≥ δ; ∀x ∈ I.

Điều khẳng định trên còn đúng khi I = (a, b) hay không?

2.40. Cho f : R→ R. Chứng minh các khẳng định sau tương đương:

a) f liên tục trên R.b) f−1(V ) mở với mọi tập mở V ⊂ R.c) f−1(F ) đóng với mọi tập đóng F ⊂ R.d) f(A) ⊂ f(A), với mọi A ⊂ R.

2.41. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm trong khoảng (0, π2):

ln(x2 + 1)− cos x + sin x = 0.

2.42. Chứng minh phương trình sau có ít nhất hai nghiệm thực trái dấu trongkhoảng (−1, 1):

x2ecos(1−x2) − sin(ex) = 0.

2.43. Chứng minh phương trình sau có ít nhất hai nghiệm thực trái dấu trongkhoảng (−π

2, π

2):

sin(π

2ex + x2

)− x tan

(x

2

)= 0.

2.44. Chứng minh rằng nếu hàm f(x) liên tục, thì hàm f 2(x) cũng liên tục. Điềungược lại còn đúng không?

2.45. Cho hàm số thực f được xác định bởi, f(x) = 0 với x là số vô tỷ, và f(x) = 1q

với x = pqlà phân số tối giản của số hữu tỷ x. Chứng minh f gián đoạn tại mọi

điểm hữu tỷ khác không và liên tục tại mọi điểm còn lại.

2.46. Hãy xác định giá trị tham số m để các hàm số sau liên tục trên R. Vẽ đồ thịcủa các hàm số lúc đó.

f(x) :=

{−x2 + m; x ≥ −1,

(m− 2)x− 3; x < −1.g(x) :=

{(2m + 1)x− 1; x < −1,

x3 + mx; x ≥ −1.

2.47. Chứng minh rằng nếu hàm f liên tục tại một điểm x0 ∈ R, ở đó f(x0) 6= 0,thì tồn tại δ > 0 sao cho f(x).f(x0) > 0 với mọi x ∈ Nδ(x0).

2.48. Tìm các giá trị của a và b để mỗi hàm số sau liên tục

f(x) :=

ax + 2; x < 0,

b; x = 0,sin(ax)

x; x > 0.

g(x) :=

bx2 + 2; x < 0,

2a− b; x = 0,ln(1 + ax)

x; x > 0.


Chương 3

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC

3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao


Cho hàm f xác định trên Nδ(x0). Ta nói f có đạo hàm tại x0 nếu tồn tại giớihạn (có thể vô hạn)

f ′(x0) := limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

f ′(x0) được gọi là đạo hàm của hàm f tại x0. Nếu f ′(x0) hữu hạn ta nói f khả vitại x0. Ta cũng gọi đạo hàm trái, phải của f tại x0 lần lượt là các giới hạn sau

f ′−(x0) := limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h;

f ′+(x0) := limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Rõ ràng, f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại các đạo hàm trái, phải tạiđiểm đó và f ′−(x0) = f ′+(x0). Nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f khả vi

trên (a; b). Ta nói f khả vi trên [a; b] nếu f khả vi trên (a; b) và có các đạo hàm hữuhạn f ′+(a), f ′−(b).

Ý nghĩa hình học f ′(x0) (f ′−(x0), f ′+(x0)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến (tiếptuyến trái, tiếp tuyến phải) của đồ thị hàm f tại điểm M0(x0, f(x0)).

Ý nghĩa cơ học Nếu s(t) là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của quãng đường đi vàothời gian, thì s′(t) thể hiện vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Cònnếu v(t) là hàm biểu diễn vận tốc tức thời của chất điểm thì v′(t) thể hiện gia tốctức thời của chuyển động.


49

Đạo hàm cấp cao Giả sử f khả vi trên khoảng (a; b). Lúc đó f ′ là một hàm sốtrên (a; b). Hàm số này có thể lại có đạo hàm. Nếu đạo hàm đó tồn tại ta gọi đólà đạo hàm cấp hai của f , và ký hiệu là f ′′. Vậy, f ′′ := (f ′)′. Tương tự, ta có địnhnghĩa đạo hàm cấp ba f (3) = (f ′′)′, và các cấp cao hơn bằng công thức quy nạpf (n+1) := (f (n))′, với quy ước f (0) = f , f (1) = f ′. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàmta thấy s′′(t) là gia tốc tức thời của chuyển động khi s(t) là hàm biểu diễn quãngđường đi.

Tính chất của hàm khả vi

Mệnh đề 3.1. f khả vi tại x0 khi và chỉ khi f được biểu diễn dưới dạng

f(x) = f(x0) + A(x− x0) + α(x− x0),

với A là một hằng số và α(x − x0) là một vô cùng bé của x − x0 tại x0. Lúc đó,A = f ′(x0).

Hệ quả 3.1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại điểm đó.

3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý 3.2. Cho f và g là hai hàm khả vi tại x0. Lúc đó các hàm f ± g, fg, λf

vàf

g(nếu g(x0) 6= 0) cũng khả vi tại x0. Hơn nữa, ta có

a) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g′(x0);

b) (λf)′(x0) = λf ′(x0);

c) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0);

d)

(f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− g(x0)f′(x0)

g(x0)2.

Định lý 3.3. Nếu ϕ khả vi tại x0 và f khả vi tại ϕ(x0), thì f ◦ ϕ khả vi tại x0 và

(f ◦ ϕ)′(x0) = f ′[ϕ(x0)].ϕ′(x0).

Định lý 3.4. Nếu f : (a; b) → (c; d) là song ánh liên tục và khả vi tại x0 ∈ (a; b)sao cho f ′(x0) 6= 0. Lúc đó ánh xạ ngược f−1 cũng khả vi tại y0 = f(x0) và ta có

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0).

3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp

Sử dụng định nghĩa ta có thể tính được đạo hàm của các hàm hằng (f(x) = C),hàm đồng nhất (f(x) = x), hàm sin, hàm cos và hàm ex. Từ đó, sử dụng các quy


50

tắc tính đạo hàm trong Mục 3.1.2. chúng ta dễ dàng suy ra các công thức tính đạohàm của các hàm sơ cấp như sau:

1. y = C (= const) y′ = 0, ∀x.

2. y = x y′ = 1, ∀x.

3. y = ex y′ = ex, ∀x.

y = ax (a > 0) y′ = ax ln a, ∀x.

4. y = ln x y′ =1

x, ∀x > 0.

y = loga(x) (a > 0) y′ =1

x ln a, ∀x > 0.

5. y = xα (α ∈ R) y′ = αxα−1, ∀x > 0.

6. y = sin(x) y′ = cos(x), ∀x.

7. y = cos(x) y′ = − sin(x), ∀x.

8. y = tan(x) y′ =1

cos2(x), ∀x 6= (2n + 1)

π

2.

9. y = cot(x) y′ = − 1

sin2(x), ∀x 6= nπ.

10. y = arcsin(x) y′ =1√

1− x2, − 1 < x < 1.

11. y = arccos(x) y′ = − 1√1− x2

, − 1 < x < 1.

12. y = arctan(x) y′ =1

1 + x2, ∀x.

13. y = arccot(x) y′ = − 1

1 + x2, ∀x.

3.2. Vi phân

3.2.1. Vi phân bậc nhất

Cho hàm f xác định trên khoảng (a; b) 3 x0. Với mỗi số gia của biến số ∆x,ta ký hiệu số gia của hàm số bởi ∆y = f(x0 + ∆x)− f(x0). Ta muốn biểu diễn ∆ybằng một xấp xỉ tuyến tính của ∆x, cụ thể, ta cần tìm số A sao cho

∆y = A.∆x + ◦(∆x), với x0 + ∆x ∈ (a; b). (3.1)

Từ Mệnh đề 3.1 ta thấy biểu diễn (3.1) có được khi và chỉ khi f có đạo hàmhữu hạn tại x0, và A chính là đạo hàm của f tại điểm đó. Từ đó,

f(x0 + ∆x)− f(x0) = f ′(x0).∆x + ◦(∆x).


51

Lúc này f khả vi tại x0 và biểu thức:

df(x0) := f ′(x0).∆x

được gọi là vi phân bậc nhất của hàm f tại x0 ứng với số gia ∆x của biến số.

Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến độc lập đúng bằng số gia của biếnsố: dx = ∆x. Do đó, người ta thường viết vi phân dưới dạng df(x0) = f ′(x0).dx.Bây giờ nếu f khả vi tại một điểm x ∈ (a; b) tuỳ ý thì ta cũng có vi phân củaf tại điểm đó là biểu thức df(x) = f ′(x).dx. Trong thực hành ta thường viết tắt:dy = df = f ′dx. Từ các quy tắc tính đạo hàm ta dễ dàng suy ra các quy tắc tính vi

phân tương ứng:

d(f + g) = df + dg.

d(λ.f) = λ.df.

d(f.g) = f.dg + g.df.

d(f

g

)=

g.df − f.dg

g2.

Tính bất biến của vi phân bậc nhất.

Giả sử hàm số hợp y = g(t) là hợp của hai hàm khả vi: y = f(x) và x = ϕ(t).Lúc đó nếu xem x như biến độc lập, ta có vi phân của y theo dx là:

dy = f ′(x).dx. (3.2)

Mặt khác, nếu xem x là hàm của biến độc lập t thì y cũng là một hàm của t và tacó:

dy = g′(t).dt = f ′[ϕ(t)].ϕ′(t).dt, (3.3)

dx = ϕ′(t).dt. (3.4)

Chú ý rằng ϕ(t) = x, từ (3.3) và (3.4) ta nhận được trở lại công thức (3.2) nhưngdx lúc đó là vi phân của hàm x = ϕ(t). Ta nói vi phân bậc nhất có tính bất biếnđối với phép đổi biến.

Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của hàm. Từ định nghĩa vi phânta có, với số gia ∆x đủ nhỏ:

f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + df(x0) = f(x0) + f ′(x0).∆x.

Do đó giá trị ở vế phải thường được dùng để xấp xỉ giá trị hàm f tại x0 +∆x. Chẳnghạn, tính gần đúng 3

√65; arctan(1, 02).

3.2.2. Vi phân cấp cao

Giả sử hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). Lúc đó df(x) là mộthàm của x. Ta định nghĩa vi phân bậc hai của f là vi phân của df (nếu nó tồn tại)


52

và ký hiệu là d2f . Vậy: d2f := d(df). Một cách quy nạp, ta định nghĩa vi phân bậcn của f là

dnf := d(dn−1f).

Chú ý rằng nếu x là biến độc lập thì đại lượng dx được xem là không đổi tạicác điểm x khác nhau. Vì vậy dnx = 0 với mỗi n ≥ 2. Do đó

dnf(x) = f (n)(x).(dx)n = f (n)(x).dxn.

Vi phân cấp cao không có tính bất biến. Thật vậy, với y = f(x) và x = ϕ(t),bằng cách đặt g(t) = f [ϕ(t)] ta có vi phân bậc hai của y theo biến t là:

d2y(t) = g′′(t).dt2 = (f ′[ϕ(t)].ϕ′(t))′.dt2

= f ′′[ϕ(t)].ϕ′(t)2.dt2 + f ′[ϕ(t)].ϕ′′(t).dt2

= f ′′(x).dx2 + f ′(x).d2x. (3.5)

Trong khi đó, vi phân bậc hai của y theo biến x là

d2y(x) = f ′′(x).d2x. (3.6)

Từ (3.5) và (3.6) ta thấy vi phân bậc hai của y không bất biến qua phép đổi biếnx = ϕ(t).

3.3. Các định lý cơ bản

3.3.1. Các định lý giá trị trung bình

Cho hàm số f xác định trong một lân cận của điểm x0. x0 được gọi là điểm cựctiểu (cực đại) địa phương của f nếu tồn tại ε > 0 sao cho

∀x ∈ Nε(x0) : f(x) ≥ f(x0) (f(x) ≤ f(x0)).

Trong cả hai trường hợp ta đều gọi x0 là điểm cực trị (địa phương) của f hay f đạtcực trị tại x0.

Định lý 3.5 (Fermat). Nếu f đạt cực trị địa phương tại x0 và khả vi tại điểm đóthì

f ′(x0) = 0.

Định lý 3.6 (Rolle). Giả sử f liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và f(a) = f(b).Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f ′(c) = 0.

Định lý 3.7 (Lagrange). Giả sử f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b). Lúc đó,tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a. (3.7)


53

Chú ý rằng, nếu chọn trước c thì không chắc tồn tại hai số a, b để a < c < b và(3.7) thoả mãn. Chẳng hạn, xét hàm f(x) = x3 và c = 0.

Định lý 3.8 (Cauchy). Cho f và g là các hàm liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b).Ngoài ra, g′(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a; b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)g′(c)

.

Hệ quả 3.2. Nếu f có đạo hàm bằng 0 trên khoảng (a; b) thì f là hàm hằng trênkhoảng đó.

Một hàm f được gọi là Lipschitz trên một tập A nếu tồn tại số dương L (gọilà hằng số Lipschitz) sao cho

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|; ∀x, y ∈ A.

Hệ quả 3.3. Một hàm có đạo hàm bị chặn trên khoảng (a; b), thì Lipschitz trênkhoảng đó.

Ngoài ra, ứng dụng Định lý Fermat ta còn nhận được một kết quả quan trọngkhác nói rằng hàm đạo hàm f ′ (cho dù không liên tục) cũng có tính chất là nhậnmọi giá trị trung gian. Trước hết, ta có bổ đề sau

Bổ đề 3.1. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f ′+(a) < 0 < f ′−(b). Lúcđó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f ′(c) = 0.

Định lý 3.9. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f ′+(a) < λ < f ′−(b). Lúcđó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f ′(c) = λ.

3.3.2. Quy tắc L’Hospital

Định lý 3.10. Cho f và g là các hàm khả vi trên (a; b), với −∞ ≤ a < b ≤ +∞,sao cho tồn tại các giới hạn

limx→a+

f(x) = limx→a+

g(x) = 0, limx→a+

f ′(x)

g′(x)= A ∈ R.

Lúc đó, ta cũng có

limx→a+

f(x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(x)

g′(x)= A.

Kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp x → b− hay x → x0 ∈ (a, b).

Chứng minh.

Trường hợp a > −∞. Đặt f(a) := 0, g(a) := 0. Áp dụng Định lý Cauchy.

Trường hợp a = −∞. Xét các hàm F (t) := f(ln(t)), G(t) := g(ln(t)); t ∈(0, eb).


54

Định lý 3.11. Cho f và g là các hàm khả vi trên (a; b), với −∞ ≤ a < b ≤ +∞,sao cho tồn tại các giới hạn

limx→a+

f(x) = limx→a+

g(x) = ±∞, limx→a+

f ′(x)

g′(x)= A ∈ R.

Lúc đó ta cũng có

limx→a+

f(x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(x)

g′(x)= A.

Kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp x → b− hay x → x0 ∈ (a, b).

Chứng minh. Trước tiên ta có nhận xét rằng A ≥ 0. Trường hợp A = +∞. Với

mọi M > 0, tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho với mọi u ∈ (a, x0):f ′(u)g′(u)

> 4M . Lại tồn tại

x1 ∈ (a, x0) để với mọi x ∈ (a, x1):∣∣∣f(x0)

f(x)

∣∣∣ < 12,∣∣∣g(x0)

g(x)

∣∣∣ < 12. Lúc đó, áp dụng Định

lý Cauchy cho f , g trên [x, x0] ta có

f(x)

g(x)> M ; ∀x ∈ (a, x1).

Trường hợp A ∈ [0, +∞). Với mọi ε ∈ (0, 1), đặt ε′ := ε/4(1 + A), tồn tại x0 ∈ (a, b)

sao cho với mọi u ∈ (a, x0):∣∣∣f ′(u)

g′(u)− A

∣∣∣ < ε′. Lại tồn tại x1 ∈ (a, x0) để với mọi

x ∈ (a, x1):∣∣∣f(x0)

f(x)

∣∣∣ < ε′ ,∣∣∣g(x0)

g(x)

∣∣∣ < ε′. Lúc đó, áp dụng Định lý Cauchy cho f , g trên

[x, x0] ta có ∣∣∣∣f(x)

g(x)− A

∣∣∣∣ < ε; ∀x ∈ (a, x1).

3.4. Công thức Taylor

3.4.1. Đa thức Taylor

Cho f là hàm có đạo hàm đến cấp n− 1 trên khoảng (a; b) và có đạo hàm cấpn hữu hạn tại điểm x0 ∈ (a; b). Lúc đó, ta gọi đa thức sau là đa thức Taylor đến cấpn của f tại x0

Pn(x0; f)(x) :=f(x0) + f ′(x0)x− x0

1!+ f ′′(x0)

(x− x0)2

2!+ · · ·+ f (n)(x0)

(x− x0)n

n!

=n∑

k=0

f (k)(x0)(x− x0)

k

k!. (3.8)


55

Đa thức này cho một xấp xỉ của hàm f . Sự xấp xỉ càng tốt nếu n càng lớn vàx càng gần x0. Ta gọi phần dư của hàm f tương ứng với xấp xỉ (3.8) là biểu thứcsau:

Rn(x) := f(x)− Pn(x0; f)(x).

3.4.2. Ước lượng phần dư

Định lý 3.12. Giả sử f có đạo hàm đên cấp n− 1 trên đoạn [a; b], có đạo hàm hữuhạn đến cấp n tại x0. Lúc đó

Rn(x) = o(x− x0)n.

Ngược lại, nếuQn(x) := a0 + a1(x− x0) + · · ·+ an(x− x0)

n

là đa thức sao chof(x)−Qn(x) = o(x− x0)

n,

thì Qn(x) chính là đa thức Taylor đến cấp n của f tại x0; Tức là:

ak =f (k)(x0)

k!; ∀k.

Để chứng minh định lý này ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 3.2. Nếu S(x) là hàm khả vi đến cấp n− 1 trên khoảng (a, b), khả vi cấp ntại x0 và S(x0) = S ′(x0) = · · · = S(n)(x0) = 0, thì S(x) = ◦(x− x0)

n.

Định lý 3.13 (Taylor). Giả sử f khả vi liên tục đến cấp n trên đoạn [a; b], khả viđến cấp n + 1 trên khoảng (a; b). Lúc đó, với mọi x ∈ [a; b] tồn tại c nằm giữa x0 vàx sao cho

f(x)− Pn(x0; f)(x) = f (n+1)(c)(x− x0)

n+1

(n + 1)!

Khi đó, ta có khai triển Taylor của hàm f tại x0 đến cấp n:

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)(x− x0)

k

k!+ f (n+1)(c)

(x− x0)n+1

(n + 1)!.

Từ định lý này, ta thấy nếu |f (n+1)(x)| bị chặn bởi M trên (a; b), thì ta có ướclượng sai số của phép xấp xỉ hàm f bởi đa thức Taylor như sau:

|f(x)− Pn(x0; f)(x)| ≤ M|x− x0|(n+1)

(n + 1)!.

Khai triển Taylor của f tại x0 = 0 còn được gọi là khai triển Maclaurin:

f(x) =n∑

k=0

f (k)(0)xk

k!+ f (n+1)(θx)

xn+1

(n + 1)!, với θ ∈ (0; 1).


56

3.4.3. Các khai triển quan trọng

ex = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ eθx xn+1

(n + 1)!.

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ (−1)n+1 sin(θx)

x2n+2

(2n + 2)!.

sin(x) = x− x3

3!+

x5

5!− · · ·+ (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+ (−1)n cos(θx)

x2n+1

(2n + 1)!.

ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n−1xn

n+ (−1)n xn+1

(n + 1)(1 + θx)n+1.

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 + · · ·+ α(α− 1)...(α− n + 1)

n!xn

+α(α− 1)...(α− n)

(n + 1)!xn+1(1 + θx)α−n−1.

3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Trong mục này ta luôn giả thiết hàm f khả vi trên đoạn [a; b].

3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị

Định lý 3.14. f không giảm (không tăng) trên [a; b] nếu và chỉ nếu f ′(x) ≥ 0(f ′(x) ≤ 0) với mọi x ∈ (a; b).

Định lý 3.15 (Điều kiện đủ cực trị dùng đạo hàm cấp 1). Cho x0 ∈ (a; b).

a) Nếu f ′ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu địaphương.

b) Nếu f ′ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại địaphương.

c) Nếu f ′ giữ nguyên dấu khi đi qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị.

Định lý 3.16 (Điều kiện đủ cực trị dùng đạo hàm cấp cao). Giả sử f có đạo hàmđến cấp n hữu hạn tại x0 ∈ (a; b). Hơn nữa, f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0còn f (n)(x0) 6= 0. Lúc đó

a) Nếu n lẻ thì thì x0 không phải là điểm cực trị.

b) Nếu n chẵn và f (n)(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu địa phương.

c) Nếu n chẵn và f (n)(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại địa phương.


57

3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn

Bổ đề 3.3. Một hàm f xác định trên đoạn [a; b] là lồi khi và chỉ khi với mọi bộ bađiểm x1 < x2 < x3 thuộc đoạn đó các bất đẳng thức sau thoả mãn:

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

≤ f(x3)− f(x1)

x3 − x1

≤ f(x3)− f(x2)

x3 − x2

.

Định lý 3.17. Hàm f lồi trên [a; b] khi và chỉ khi f ′ là hàm không giảm trên (a; b).

Hệ quả 3.4. Hàm f khả vi bậc hai là lồi trên [a; b] khi và chỉ khi f ′′ là hàm khôngâm trên (a; b).

Điểm M0(x0, f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm f nếu tồn tại một sốδ > 0 sao cho f lõm (lồi) trên (x0 − δ, x0) và lồi (lõm) trên (x0, x0 + δ).

Định lý 3.18. Cho hàm f khả vi đến cấp hai trên Nδ(x0). Lúc đó,

a) Nếu f ′′ đổi dấu khi đi qua x0 thì M0 là điểm uốn.

b) Nếu f ′′ giữ nguyên dấu khi đi qua x0 thì M0 không phải là điểm uốn.


3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số

a) Tính đạo hàm cấp một.

Cú pháp: [> diff(f(x), x); (dùng Diff thì cho công thức hình thức)

Ví dụ:

[> diff(sqrt(1+x∧2), x);

x√1 + x2

Nhiều lúc máy cho ta một biểu thức đạo hàm khá cồng kềnh. Lúc đó, muốn đơngiản biểu thức ta dùng lệnh simplify có cú pháp

[> simplify(biểu thức);

Ví dụ:

[> f:=x− > cos(x)∧2/sin(2*x);

f := x → cos(x)2

sin(2x)


58

[> Diff(f(x), x);∂

∂x

cos(x)2

sin(2x)

[> Df:=value(%);

Df := −2cos(x) sin(x)

sin(2x)− 2

cos(x)2 cos(2x)

sin(2x)2

[> simplify(%);

2cos(x)2

−1 + cos(2x)2

b) Tính đạo hàm cấp k.

Cú pháp: [> diff(f(x), x$k);

Ví dụ:

[> g:=x− >3*x∧3-4*x*sin(x);g := x → 3x3 − 4x sin(x)

[> diff(g(x),x$2);

18x− 8 cos(x) + 4x sin(x)

3.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n

Cú pháp: [> taylor(f(x), x=a, n);

Ví dụ:

[> taylor(exp(x), x=0, 7);

1 + x +1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5 +

1

720x6 + O(x7)

[> taylor(x*cos(x), x=Pi, 5);

−π − (x− π) +1

2π(x− π)2 +

1

2(x− π)3 − 1

24π(x− π)4 + O((x− π)5)

3.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định

Để tính giới hạn các dạng vô định chúng ta vẫn dùng lệnh tính giới hạn nhưcác hàm thông thường, bởi vì máy đã biết dùng Công thức L’hospital trong tínhtoán. Tuy vậy, cũng có lúc chúng ta cũng phải hỗ trợ bằng những bước thích hợp.


59

Ví dụ:

[> limit((six(x)-x)/(x*(1-cos(x))), x=0);

−1

3

[> limit((x*exp(2*x)-5*tan(x))/(tan(x)∧2+x∧3), x=0);

undefined

Như vậy, máy đã không tính nổi giới hạn này. Chúng ta có thể giúp máy bằngcách cho lần lượt tính đạo hàm cấp một, rồi cấp hai, cấp ba... đồng thời cả tử vàmẫu và tính giới hạn của thương cho đến khi máy tính được. Trong ví dụ trên, khitính đến đạo hàm cấp hai thì ta có kết quả

[> f:=value(diff(x*exp(2*x)-5*tan(x),x$2);

f := 4e(2x) + 4xe(2x) − 10 tan(x)(1 + tan(x)2)

[> g:=value(diff(tan(x)∧2+x∧3,x$2);

g := 2(1 + tan(x)2)2 + 4 tan(x)2(1 + tan(x)2) + 6x

[> limit(f/g, x=0);

2

3.6.4. Khảo sát hàm số

Để sử dụng máy tính trong việc khảo sát dáng điệu của hàm số chúng ta có thểvẽ ngay đồ thị của hàm đó. Tuy nhiên, để biết chính xác toạ độ của các điểm cựctrị, điểm uốn, khoảng đơn điệu, lồi lõm v.v. chúng ta phải biết vận dụng lý thuyếtvà các kỹ thuật tính toán trên máy để đạt được mục đích. Chẳng hạn, trước tiênchúng ta phải tính đạo hàm cấp một sau đó dùng kỹ thuật giải phương trình và bấtphương trình để xác định các cực trị và các khoảng đơn điệu của hàm số. Việc sửdụng đạo hàm cấp hai để tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm được làm tương tự.

3.7. Bài tập

3.1. Chứng minh hàm số f(x) =3√

x2 không khả vi tại 0.

3.2. Khảo sát sơ lược và vẽ đồ thị các hàm số

y =x

1 + |x| ; y =x

1 + x2.


60

Từ đó cho biết bao đóng của các tập hợp

A =

{x

1 + |x| | x ∈ R}

; B =

{x

1 + x2| x ∈ R

}.

3.3. Xét các hàm số sau, phụ thuộc hai tham số thực m và n:

f(x) :=

{2m cos x + n sin x; x < 0,

1 + mx + nx2; x ≥ 0.g(x) :=

{x2 + m sin x + n; x < 0,

2x− 1; x ≥ 0.

h(x) :=

{m sin x + n cos x; x ≥ π,

x2; x < π.i(x) :=

{m sin(x) + x− 1; x ≥ 0,

mx2 − n cos(x); x < 0.

j(x) :=

{m 3√

x + n cos(πx); x < 1

(1 + m) ln(x) + nx2; x ≥ 1.k(x) :=

{emx + x2; x < 0,

mx2 − 2x + n; x ≥ 0.

l(x) :=

{m ln(π

x) + n cos(x); x ≥ π,

mxπ

+ (n + 1) sin(x); x < π.

Đối với từng trường hợp, hãy tìm tất cả các giá trị của m và n để mỗi hàm trên:

a) liên tục trên R, b) khả vi trên R.

3.4. Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng các biểu thức sau:

(1.002)40; arctan(0.997);30√

1.0012.

3.5. Chứng minh hàm số sau khả vi trên R nhưng có đạo hàm không liên tục:

f(x) =

{x2 sin( 1

x); x 6= 0,

0; x = 0.

3.6. Chứng minh hàm số sau khả vi vô hạn lần trên R:

f(x) =

{e−

1x2 ; x 6= 0,

0; x = 0.

3.7. Cho hàm số

y = f(x) =2

1 + x2.

a) Khảo sát (miền xác định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số.

b) Chứng minh f là một song ánh từ [0, +∞) lên (0, 2], xác định ánh xạ ngược.

c) Khai triển Maclaurin hàm f đến cấp 3.

3.8. Cho một hàm số f khả vi đến cấp 8 trên khoảng [0, 1] và phương trình f(x) = 0có 9 nghiệm phân biệt trên khoảng đó. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (0, 1) sao chof (8)(c) = 0.


61

3.9. Cho f là hàm xác định trên R sao cho |f(x)−f(y)| ≤ (x−y)2 với mọi x, y ∈ R.Chứng minh rằng f là hàm hằng trên R.

3.10. Chứng minh các hàm số sau đây xác định, khả vi trên R. Tính đạo hàm củachúng.

f(x) = earcsin

(1

2 + x2

)

; g(x) = ln

(arccos

(1

2 + x2

)),

h(x) =√

arctan x + 2ex2 .

3.11. Chứng minh các bất đẳng thức sau

|a− b| ≥ ln

(1 + a3

1 + b3

); ∀a, b ≥ 3; |a− b| ≥ ln

(1 + a2

1 + b2

); ∀a, b ∈ R.

3.12. Tìm một hàm f : R→ R khả vi sao cho

a) limx→+∞

f(x) = a ∈ R nhưng f ′(x) −6 →x→+∞

0.

b) limx→+∞

f(x) = +∞ và limx→+∞

f ′(x) = 0.


limx→0

esin x −√1− x3

tan x; lim

x→0

ex − cos x

1−√1− x2;

limx→0

sin(πetan(x)

); lim

x→0[cos(x)]

1

sin(x) ;

limx→0+

[tan(x)]sin(x); limx→+∞

ln

(tan

(πx + 1

4(x + 2)

));

limx→0

(1 + tan(x)

) 1sin(x) ; lim

x→π2−

(cos(x)

) 1cos(x) ;

limx→0+

(cot(x)

)sin(x); lim

x→0+

(sin(x)

) 1sin(x) ;

limx→0+

(cos x− ex) ln x; limx→+∞

(x5 + 2x + 1)3

ex−1 ln(x2 + 4);

limx→0+

(cot x)sin x; limx→+∞

ln

(1 + tan2 1

x2

);

limx→1

3√

x−√x√x− 1

; limx→+∞

(x4 + 2x− 1)esin x

(2− cos x)(x3 + 5x2 + 1);

limx→0

ln(1 + x)− sin x

x + sin x; lim

x→−∞(x4 + 2x2 − 1)ecos x

(2− sin x)(x5 + 5x2 + 1);

limx→+∞

x(π

4− arctan

x

1 + x

); lim

x→+∞(x +

√x2 + 1)

1ln x .


62

3.14. Khảo sát (sự tồn tại của) các giới hạn sau

a) limx→0

(1 + x)

1

sin x ,

b) limx→0

tan

(x2 + arccos x

2(x + 1)2

),

3.15. Chứng minh các khẳng định sau

a) x > ln(1 + x) >x

1 + xvới mọi x > 0.

b) limn→∞

( 1

n+

1

n + 1+ · · ·+ 1

2n

)= ln 2.

c) limn→∞

( 1√n(n + 1)

+1√

(n + 1)(n + 2)+ · · ·+ 1√

2n(2n + 1)

)= ln 2.

3.16. Chứng minh các khẳng định sau

a) x > ln(1 + x) > x− x2

2với mọi x > 0.

b) limn→∞

(1 +

1

n2

)(1 +

2

n2

)· · ·

(1 +

n

n2

)=√

e.

3.17. Viết khai triển Taylor các hàm số sau

a) f(x) = cot(x) tại x = π2đến cấp 3.

b) f(x) = tan(x) tại x = π đến cấp 4.

3.18. Viết khai triển MacLaurin các hàm số sau

a) f(x) =1 + x + x2

1− x + x2đến cấp 4.

b) f(x) = e2x−x2đến cấp 5.

3.19. Chứng minh bất đẳng thức Holder:

uv ≤ up

p+

vq

q; ∀u, v ≥ 0; p, q > 0 :

1

p+

1

q= 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi up = vq.

3.20. Cho hàm số y = f(x) =2

1 + x2.

a) Khảo sát (miền xác định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số.

b) Chứng minh f là một song ánh từ [0, +∞) lên (0, 2], xác định ánh xạ ngược.

c) Khai triển Maclaurin hàm f đến cấp 3


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH II




1

Mục lục

Chương 1 Tích phân 3

1.1. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Điều kiện khả tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Tính chất của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Cách tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz. . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Ứng dụng của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Tính diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.3. Tính thể tích vật thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Thực hành tính toán trên Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2. Tính tích phân xác định∫ b

af(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.3. Ứng dụng tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2. Dãy hàm và Chuỗi hàm 19

2.1. Dãy hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2. Tính chất của dãy hàm hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . 20


2

2.2. Chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3. Chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 24

2.3. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2.4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm . . . . . . . 29

2.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Chương 3. Không gian Rn 32

3.1. Không gian vectơ Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3. Độ dài vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Hàm khoảng cách và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Hàm khoảng cách trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2. Sự hội tụ của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Tôpô trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2. Tập liên thông - Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


3.4.1. Vec-tơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2. Các phép toán trên vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


Chương 1

TÍCH PHÂN

1.1. Tích phân xác định


Giả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn trong R. Ta chia đoạn này thành các đoạncon bởi các điểm chia a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Lúc đó tập hợp

P = {x0, x1, · · · , xn}

được gọi là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta dùng ký hiệu P [a, b] để chỉ tập hợptất cả các phân hoạch của đoạn [a, b].

Một phân hoạch Q ∈ P [a, b], với Q = {y0, y1, · · · , yk}, được gọi là thô hơn phânhoạch P (hay P là mịn hơn Q) nếu Q ⊂ P , tức là với mọi j, tồn tại i sao cho yj = xi.Độ mịn của phân hoạch P thường được đặc trưng bởi giá trị

δ(P ) = max{xi − xi−1 | 1 ≤ i ≤ n}.

Dễ thấy rằng δ(P ) ≤ δ(Q) nếu P mịn hơn Q.

Giả sử f là một hàm bị chặn trên [a, b]. Với mỗi phân hoạch P = {x0, x1, · · · , xn}của đoạn [a, b] ta đặt

Mi := sup{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]}, mi := inf{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]}; 1 ≤ i ≤ n.

Lúc đó, các tổng

S∗(f ; P ) :=n∑

i=1

Mi(xi − xi−1), S∗(f ; P ) :=n∑

i=1

mi(xi − xi−1)

lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên [a, b] tươngứng với phân hoạch P .


4

Ta gọi tích phân trên và tích phân dưới của hàm f trên đoạn [a, b] lần lượt làcác giá trị sau

∫ +

[a,b]

f(x)dx := infP∈P

S∗(f ; P ),

∫ −

[a,b]

f(x)dx := supP∈P

S∗(f ; P ).

Mệnh đề sau cho ta một đánh giá về các đại lượng này

Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M trên đoạn[a, b], thì

m(b− a) ≤∫ −

[a,b]

f(x)dx ≤∫ +

[a,b]

f(x)dx ≤ M(b− a).

Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 1.1. Giả sử P, Q ∈ P [a, b] sao cho Q ⊂ P . Lúc đó

S∗(f ; Q) ≤ S∗(f ; P ) ≤ S∗(f ; P ) ≤ S∗(f ; Q).

Bổ đề 1.2. Với mọi P,Q ∈ P [a, b], ta luôn có S∗(f ; P ) ≤ S∗(f ; Q).

Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] nếu

∫ +

[a,b]

f(x)dx =

∫ −

[a,b]

f(x)dx.

Lúc đó, ta ký hiệu giá trị chung này bởi

∫ b

a

f(x)dx

và gọi là tích phân của hàm f trên đoạn [a, b].

Trong trường hợp a = b dễ thấy

∫ a

a

f(x)dx = 0. Ngoài ra, nếu b < a ta định

nghĩa ∫ b

a

f(x)dx := −∫ a

b

f(x)dx. (1.1)

Ví dụ 1.1.

+ Hàm hằng f(x) = c khả tích Riemann trên mọi đoạn và

∫ b

a

cdx = c(b− a).

+ Hàm Dirichlet

f(x) :=

{1 nếu x ∈ Q,

0 nếu x ∈ R \Q

không khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b.


5

1.1.2. Điều kiện khả tích.

Định lý 1.2. Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi, với mọi ε > 0,tồn tại một phân hoạch P ∈ P [a, b] sao cho

S∗(f ; P )− S∗(f ; P ) < ε.

Hệ quả 1.1. Mọi hàm liên tục trên [a, b] đều khả tích.

Hệ quả 1.2. Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ một số hữu hạn điểm,đều khả tích.

Hệ quả 1.3. Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] đều khả tích.

Định lý 1.3. Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi

limδ(P )→0

(S∗(f ; P )− S∗(f ; P )) = 0.

Giả sử P = {x0, x1, · · · , xn} là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta chọn tập cácđiểm T = {t1, t2, · · · , tn} với ti ∈ [xi−1, xi] và lập tổng

S(f ; P, T ) =n∑

i=1

f(ti)(xi − xi−1).

Hệ quả 1.4. Hàm f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi giới hạn sau tồn tại khôngphụ thuộc vào T :

limδ(P )→0

S(f ; P, T ).

1.1.3. Tính chất của tích phân xác định.

Định lý 1.4. Nếu f , g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và λ là một số thực thìcác hàm f ± g, λ.f cũng khả tích và ta có

a)

∫ b

a

(f(x)± g(x))dx =

∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx;

b)

∫ b

a

λf(x)dx = λ

∫ b

a

f(x)dx.

Định lý 1.5. Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b). Lúc đó f khả tíchtrên [a, b] khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai đoạn [a, c], [c, b], hơn nữa,

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx. (1.2)

Thật ra, bằng cách sử dụng (1.1), công thức (1.2) vẫn còn đúng với các vị tríkhác của a, b, c.


6

Định lý 1.6. Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó,

a) Nếu f ≥ 0 thì∫ b

af(x)dx ≥ 0.

b) Nếu f ≥ g thì∫ b

af(x)dx ≥ ∫ b

ag(x)dx.

Hệ quả 1.5. Giả sử f khả tích trên [a, b] sao cho m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b].Lúc đó

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ M(b− a).

Hệ quả 1.6 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b]. Lúcđó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).

Định lý 1.7. Nếu f khả tích trên [a, b] thì |f | cũng khả tích. Lúc đó∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx.

1.2. Cách tính tích phân xác định.

1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz.

Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b], f khảtích trên [a, t]. Ta định nghĩa hàm

Φ(t) :=

∫ t

a

f(x)dx, t ∈ [a, b].

Định lý sau cho ta thấy các tính chất quan trọng của hàm Φ.

Định lý 1.8.

a) Hàm Φ liên tục trên [a, b].

b) Nếu f liên tục tại x0 ∈ [a, b] thì Φ khả vi tại điểm đó và

Φ′(x0) = f(x0),

ở đây, nếu x0 trùng với a hoặc b thì đạo hàm của Φ được hiểu là đạo hàm một phía.

Ta định nghĩa nguyên hàm của một hàm f trên khoảng [a, b] là một hàm F khảvi và có đạo hàm đúng bằng f trên khoảng đó. Dễ thấy rằng nếu f có một nguyênhàm là F trên một khoảng thì nó sẽ có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; hơn nữa,tất cả các nguyên hàm của f đều có dạng F (x) + C, với C là hằng số tuỳ ý.

Từ Định lý 1.8 ta nhận được các hệ quả sau


7

Hệ quả 1.7. Mọi hàm liên tục trên một khoảng (đóng hoặc mở) đều có nguyên hàmtrên khoảng đó.

Hệ quả 1.8 (Công thức Newton-Leibnitz). Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và Flà một nguyên hàm bất kỳ của f thì

∫ b

a

f(x)dx = F (x)∣∣∣b

a:= F (b)− F (a).

Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chínhxác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạnnếu đoán nhận được nguyên hàm của nó. Để minh hoạ cho điều đó ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.2.

∫ 1

0

x2dx =1

3;

∫ b

a

sin(x)dx = cos(a)− cos(b);

∫ e

1

1

xdx = 1.

1.2.2. Phương pháp đổi biến số.

Định lý 1.9. Giả sử hàm x = ϕ(t) thoả mãn

a) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β],

b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [α, β].

Khi đó, nếu f liên tục trên [a, b] thì

∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt.

Ví dụ 1.3.

∫ π2

0

cosn(x)dx =

∫ 0

π2

cosn(π

2− t)(−1)dt =

∫ π2

0

sinn(t)dt.

Đặc biệt, ∫ π2

0

cos2(x)dx =

∫ π2

0

sin2(x)dx =1

2

∫ π2

0

dx =π

4.

∫ 2

0

√4− x2dx =

∫ π2

0

√4− 4 sin2(t)2 cos(t)dt = 4

∫ π2

0

cos2(t)dt = π.

Định lý 1.10. Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn:

a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],


8

b) Tồn tại hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) sao cho f(x) = g(ϕ(x)).ϕ′(x) với mọix ∈ [a, b].

Lúc đó ∫ b

a

f(x)dx =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

g(t)dt.

Ví dụ 1.4. Với phép đổi biến t = sin(x), x ∈ [0, π2] ta được

∫ π2

0

cos(x)

1 + sin2(x)dx =

∫ 1

0

dt

1 + t2= arctan(t)

∣∣∣1

0=

π

4.

1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần.

Định lý 1.11. Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thì

∫ b

a

f(x)g′(x)dx = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b

a

f ′(x)g(x)dx.

Ví dụ 1.5. ∫ e

1

ln(x)dx = x ln(x)∣∣∣e

1−

∫ e

1

x1

xdx = 1.

1.3. Tích phân suy rộng.

1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn.

Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a,∞) và khả tích trên mọi khoảng hữuhạn [a, b] với b > a. Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng[a,∞) là giới hạn sau

∫ ∞

a

f(x)dx := limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx. (1.3)

Ta nói tích phân suy rộng∫∞

af(x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.3) tồn tại hữu hạn,

phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu∫∞

a|f(x)|dx hội tụ.

Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tíchphân suy rộng ∫ b

−∞f(x)dx := lim

a→−∞

∫ b

a

f(x)dx.

∫ ∞

−∞f(x)dx :=

∫ 0

−∞f(x)dx +

∫ ∞

0

f(x)dx.


9

Nếu F là hàm có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x →∞ thì ta ký hiệu giớihạn này bởi F (∞). Vậy

F (∞) := limx→∞

F (x).

Từ định nghĩa, ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên khoảng [a,∞) thì

∫ ∞

a

f(x)dx = F (∞)− F (a) = F (x)∣∣∣∞

a.

Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại.

Ví dụ 1.6. ∫ ∞

1

1

xdx = ln(x)

∣∣∣∞

1= ∞; (1.4)

Với α 6= −1, ta có

∫ ∞

1

xαdx =xα+1

α + 1

∣∣∣∣∣

∞

1

=

{∞ nếu α > −1

− 1α+1

nếu α < −1.(1.5)

∫ ∞

0

1

1 + x2dx = arctan(x)

∣∣∣∞

0=

π

2.

∫ ∞

0

cos(x)dx = sin(x)∣∣∣∞

0( không hội tụ).

Sau đây là một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng

Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân (1.3) hội tụ khi và chỉ khi

∀ε > 0,∃M > a, ∀b ≥ M ;∀c ≥ M :

∣∣∣∣∫ c

b

f(x)dx

∣∣∣∣ < ε.

Hệ quả 1.9. Nếu tích phân∫∞

af(x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa

∣∣∣∣∫ ∞

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

a

|f(x)|dx.

Định lý 1.13. Cho f và g là các hàm có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng[a,∞). Lúc đó, các hàm f ± g, λf (λ ∈ R) cũng có tích phân suy rộng hội tụ trênkhoảng đó. Hơn nữa,

∫ ∞

a

(f(x)± g(x))dx =

∫ ∞

a

f(x)dx±∫ ∞

a

g(x)dx,

∫ ∞

a

λf(x)dx = λ

∫ ∞

a

f(x)dx.


10

Định lý 1.14. Cho f là hàm không âm trên [a,∞), khả tích trên mọi khoảng [a, b]

với b > a. Lúc đó,∫∞

af(x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập {∫ b

af(x)dx | b > a} bị chặn.

Hệ quả 1.10. Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b] với b > a.Hơn nữa, f(x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a,∞). Lúc đó, nếu

∫∞a

f(x)dx hội tụ thì∫∞a

g(x)dx cũng hội tụ.

Hệ quả 1.11. Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b] vớib > a. Hơn nữa, tồn tại giới hạn

limx→∞

f(x)

g(x)∈ (0,∞).

Lúc đó, các tích phân∫∞

af(x)dx,

∫∞a

g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

Định lý 1.15. Cho f là hàm không âm, đơn điệu giảm trên [1,∞). Lúc đó,

∫ ∞

1

f(x)dx và∞∑1

f(n)

đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.

Từ định lý này và từ (1.4)-(1.5) ta suy ra chuỗi số

∞∑n=1

1

nβ

hội tụ khi và chỉ khi β > 1.

1.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn.

Giả sử f là hàm xác định trên khoảng bị chặn [a, b), khả tích trên mọi khoảng[a, b − ε] với a < b − ε < b nhưng không bị chặn trong lân cận của b (ta nói b làđiểm bất thường của f). Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trênkhoảng [a, b] là giới hạn sau

∫ b

a

f(x)dx := limε→0+

∫ b−ε

a

f(x)dx. (1.6)

Ta nói tích phân suy rộng∫ b

af(x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.6) tồn tại hữu hạn,

phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu∫ b

a|f(x)|dx hội tụ.

Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tíchphân suy rộng trên [a, b] với a là điểm bất thường hoặc cả a và b đều bất thường:

∫ b

a

f(x)dx = limε→0+

∫ b

a+ε

f(x)dx.


11

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx với c ∈ (a, b).

Trường hợp hàm f có điểm bất thường c ∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy

rộng∫ b

af(x)dx là tổng của hai tích phân suy rộng

∫ c

af(x)dx và

∫ b

cf(x)dx

Nếu F , một nguyên hàm của f trên khoảng (a, b), có giới hạn (có thể bằng vôcùng) khi x → a (x → b) thì ta cũng ký hiệu giới hạn này bởi F (a) (F (b)). Với cáchký hiệu như vậy ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng:

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) = F (x)∣∣∣b

a.

Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại.

Ví dụ 1.7.

∫ 1

0

1√xdx = 2

√x∣∣∣1

0= 2,

∫ 1

0

1

1− xdx = − ln(1− x)

∣∣∣1

0= +∞,

∫ 1

−1

dx√1− x2

= arcsin(x)∣∣∣1

−1= π.

Định lý 1.16. Nếu tích phân∫ b

af(x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa

∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx.

Định lý 1.17. Cho f là hàm không âm trên [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b−ε]

với a < b − ε < b. Lúc đó,∫ b

af(x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập hợp sau bị chặn

{∫ b−ε

af(x)dx | 0 < ε < b− a}.

Hệ quả 1.12. Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b − ε] với a <

b− ε < b. Hơn nữa, f(x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b). Lúc đó, nếu∫ b

af(x)dx hội

tụ thì∫ b

ag(x)dx cũng hội tụ.

Hệ quả 1.13. Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b− ε]với a < b− ε < b. Hơn nữa, tồn tại giới hạn

limx→b−

f(x)

g(x)∈ (0,∞).

Lúc đó, các tích phân∫ b

af(x)dx,

∫ b

ag(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.


12

1.4. Ứng dụng của tích phân xác định.

1.4.1. Tính diện tích hình phẳng.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1(x); y = f2(x); x = a vàx = b được tính theo công thức sau:

S :=

∫ b

a

|f2(x)− f1(x)|dx.

1.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng

Cho C là đường cong phẳng có phương trình tham số{

x = ϕ(t);

y = ψ(t),t ∈ [α, β].

Trong đó, ϕ và ψ là các hàm khả vi liên tục trên [α, β]. Độ dài đường cong C lúc đóđược tính bằng công thức sau:

l(C) =

∫ β

α

√ϕ′(t)2 + ψ′(t)2dt.

Trường hợp đường cong là đồ thị hàm y = f(x) trên đoạn [a, b] thì độ dài đườngcong lúc đó là:

l(C) =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2dx.

1.4.3. Tính thể tích vật thể.

Công thức tổng quát. Cho (T ) là một vật thể trong không gian nằm gọn giữahai mặt phẳng x = a và x = b (a < b). Giả sử với mỗi t ∈ [a, b] mặt phẳng x = tcắt vật thể (T ) theo một thiết diện có diện tích S(t). Nếu S(t) là hàm liên tục trênđoạn [a, b] thì thể tích vật thể (T ) được tính bởi công thức:

V (T ) =

∫ b

a

S(t)dt.

Trường hợp vật thể tròn xoay. Giả sử vật thể (T ) được tạo thành khi quay hìnhphẳng D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f(x)} quanh trục Ox. Lúc đó, với mỗit ∈ [a, b] diện tích thiết diện là S(t) = πf(t)2. Do đó, nếu f là hàm liên tục thì tíchphân vật thể (T ) được tính bởi

V (T ) = π

∫ b

a

f(t)2dt.


13

1.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay.

Giả sử F là mặt được tạo thành khi quay cung C = {(x, f(x)) | a ≤ x ≤ b}quanh trục Ox. Lúc đó, nếu cung C trơn, tức hàm f khả vi liên tục, diện tích củamặt F được tính bởi công thức:

S(F) = 2π

∫ b

a

∣∣f(x)∣∣√1 + f 2(x)dx.

1.5. Thực hành tính toán trên Maple.

1.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong.

Trước khi thực hành các phép tính tích phân chúng ta nên trở lại khảo sát việcxấp xỉ diện tích hình thang cong bởi tổng diện tích của các hình chữ nhật. Ta đã biết,nếu f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch đều vẫn cho những xấp xỉtốt. Maple cho phép chúng ta dùng một trong ba lệnh rightbox/leftbox/middleboxđể minh hoạ việc xấp xỉ đều một hàm f trên đoạn [a, b]. Cụ thể,

Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a..b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự,leftbox, middlebox)

Lệnh này minh hoạ việc xấp hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x),y = 0, x = a và x = b bằng một xấp xỉ đều gồm n hình chữ nhật có đáy bằngnhau (= (b− a)/n) và chiều cao của mỗi hình bằng giá trị hàm f tại mút phải củamỗi đoạn (đối với leftbox là mút trái và middlebox là điểm giữa). m1 là màu tôcác hình chữ nhật còn m2 là màu vẽ đường cong (điều này chỉ được thấy trên mànhình, trong giáo trình này chỉ thấy màu đen). Mặc định n = 4. Chú ý rằng, trướckhi thực hiện lệnh này cần khởi động gói lệnh student.

Ví dụ:

[> with(student);

[> leftbox(exp(x)-2*x∧2, x=-1..1, ’shading’=cyan, color=green);

Kết quả cho ở Hình 4.1.

[> middlebox(exp(x)-2*x∧2, x=-1..1, 10, ’shading’=red, color=blue);

1.5.2. Tính tích phân xác định∫ b

a f(x)dx

Cú pháp: [> int(f(x), x=a..b); (nếu dùng Int thì cho công thức hình thức)

Ví dụ:

[> int(x∧2, x=-1..2);3


14

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Hình 1.1: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 4 hình chữ nhật

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Hình 1.2: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 10 hình chữ nhật

[> int(sin(x)/x, x=0..2);Si(2)

Điều này có nghĩa là máy đã định nghĩa một hàm mới Si(t) =∫ t

0sin(x)

xdx. Muốn

tính xem Si(2) bằng bao nhiêu ta viết tiếp

[> evalf(%,20);1.6054129768026948486

Lệnh này có nghĩa là hãy tính giá trị biểu thức vừa tính với độ chính xác 20chữ số lẻ (nếu không chỉ định rõ độ chính xác, máy sẽ tính với 10 chữ số lẻ).

Lưu ý là câu lệnh tính tích phân xác định ở trên cũng được dùng để tính cáctích phân suy rộng.

Ví dụ:

[> int(1/sqrt(x*(1-x)), x=0..1);

π


15

[> int(1/x∧2,x=1..infinity);1

[> int(1/x∧2,x=0..1);∞

1.5.3. Ứng dụng tích phân xác định.

a) Tính diện tích hình phẳng.

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = avà x = b ta tính tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm |f(x)| (ký hiệu làabs(f(x)). Còn muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x),y = g(x), x = a và x = b ta dùng lệnh

[> int(abs(f(x)-g(x)), x=a..b);

b) Tính độ dài đường cong phẳng.

Cho đường cong C trong mặt phẳng có phương trình tham số:{

x = u(t),

y = v(t),t ∈ [a, b].

Ở đây, u và v là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. Để tính độ dài của C,trước tiên ta cần tính đạo hàm của u, v, sau đó mới áp dụng công thức được cho ởMục 1.4.2.. Cụ thể, ta thực hiện ba lệnh

[> f(t):=diff(u(t), t);

[> g(t):=diff(v(t), t);

[> int(sqrt(f(t)∧2+g(t)∧2), t=a..b);

c) Tính thể tích hình tròn xoay.

Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = 0, y = f(x), x = a, x = b. Hìnhphẳng này quay quanh trục Ox tạo nên vật thể tròn xoay T . Ta có thể dùng côngthức trong 4.4.3 để tính thể tích vật thể này. Cụ thể, ta thực hiện lệnh

[> Pi*int(f(x)∧2,x=a..b);Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay cung parabol y = x2−x,−2 ≤ x ≤ 1 quanh trục Ox. Ta dùng lệnh

[> Pi*int((x∧2-x)∧2,x=-2..1);171

10π

d) Tính diện tích mặt tròn xoay.


16

Cho mặt tròn xoay F , được tạo thành khi quay cung C = {(x, f(x)) | x ∈ [a, b]}quanh trục Ox. Nếu f khả vi liên tục, ta dùng công thức trong 4.4.4 để tính diệntích của F . Cụ thể, ta thực hiện hai lệnh:

[> g(x):=diff(f(x), x);

[> 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2), x=a..b);

Chẳng hạn, mặt cầu đơn vị là mặt tròn xoay được tạo ra bởi hàm f(x) =√

1− x2.Ta viết

[> f:=x->sqrt(1-x∧2):[> g(x):=diff(f(x),x):

> 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2),x=-1..1);4π

1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f(x)

Ta đã biết một hàm, nếu khả tích, sẽ có vô số nguyên hàm, sai khác nhau bởicác hằng số. Vì vậy chỉ cần biết một nguyên hàm nào đó của nó là đủ. Maple chophép tìm một nguyên hàm của hàm f(x) thông qua lệnh int

Cú pháp: [> int(f(x), x); (Nếu dùng Int sẽ hiển thị công thức hình thức)

1.6. Bài tập

1.1. Giả sử Pn là phân hoạch đều đoạn [0, 1]. Hãy tính các tổng Darboux S∗(f ;Pn),S∗(f ;Pn) của hàm f(x) = x2 và tính giới hạn của các tổng này khi n →∞.

1.2. Khảo sát tính khả tích của các hàm số sau trên [0, 1]:

g(x) :=

{x; nếu x ∈ [0, 1] ∩Q,

1; nếu x ∈ [0, 1] \Q.; f(x) :=

{x2; nếu x ∈ [0, 1] ∩Q,

0; nếu x ∈ [0, 1] \Q.

1.3. Cho hàm f xác định bởi

f(x) :=

{|x2 − 1|; nếu x ∈ [−3,−1] ∪ [1, 2],

1; nếu x ∈ (−1, 1).

Hàm f có khả tích trên đoạn [−3, 2] hay không?

1.4. Cho hàm f xác định bởi

f(x) :=

{|x|; nếu x ∈ [−2,−1] ∪ [1, 2],

0; nếu x ∈ (−1, 1).

Hàm f có khả tích trên đoạn [−2, 2] hay không?


17

1.5. Chứng minh tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho∫ c

0

1

1 + x4dx =

2

17.

1.6. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [2, 3] sao cho∫ c

2

1

1− x3dx = − 1

26.

1.7. Sử dụng Hệ quả 1.4 để tính các giới hạn sau

limn→∞

n∑i=1

1

n + i; lim

n→∞

n∑i=1

1√4n2 − i2

; limn→∞

n∑i=1

1

n2 + i2.

1.8. Cho f liên tục, không âm trên [a, b] thoả∫ b

af(x)dx = 0. Chứng minh f ≡ 0.

1.9. Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] (a < b) và∫ b

af(x)dx = 0. Chứng minh rằng

tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.

1.10. Cho hàm f khả vi liên tục trên đoạn [−1, 1] sao cho∫ 1

−1f(x)dx = 0. Chứng

minh rằng tồn tại c ∈ (−1, 1) sao cho f ′(c) = 0.

1.11. Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và g là hàm chỉ khác f tại một sốhữu hạn điểm. Chứng minh g cũng khả tích.

1.12. Chứng minh một hàm xác định trên [a, b], có tập các điểm gián đoạn khôngquá đếm được, thì khả tích Riemann.

1.13. Cho f và g là các hàm khả tích trên [a, b] sao cho g(x) ≥ 0 và m ≤ f(x) ≤ M ,với mọi x ∈ [a, b]. Chứng minh rằng tồn tại µ ∈ [m,M ] và c ∈ [a, b] sao cho

∫ b

a

f(x)g(x)dx = µ

∫ b

a

g(x)dx = m

∫ c

a

g(x)dx + M

∫ b

c

g(x)dx.

1.14. Cho f liên tục trên [0, 1] và |f(x)| ≤ ∫ x

0f(t)dt với mọi x ∈ [0, 1]. Chứng minh

f ≡ 0.

1.15. Tìm nguyên hàm của các hàm sau

1 + 3x2

x2(1 + 2x2);

sin(2x)

1 + 2 cos2 x; sin4 x;

1

sin6 x;

1

cos x;

1√ex − 1

;1

1 +√

1− x.

1.16. Tính đạo hàm của các hàm số

F (x) :=

∫ sin(x)+cos(x)

0

arctan(es + s2 + sin(s))ds; x ∈ R.

G(x) :=

∫ ln(x2+1)

1

sin(3 arctan(t)− cos(t) + 5et)dt; x ∈ R.


18

1.17. Cho các hàm

F (x) :=

∫ x3

0

1− cos t

t2dt, G(x) :=

∫ x3

0

sin t

tdt.

a) Chứng minh F , G là các hàm lẻ , xác định trên R.b) Chứng minh F , G khả vi trên R và tính F ′, G′.

c) F và G có phải là các hàm đơn điệu hay không?

1.18. Tính các tích phân xác định sau

∫ 16

0

1√x + 9 +

√x

dx;

∫ π

0

1

1 + sin xdx;

∫ π

0

√sin x− sin3 x dx;

∫ ln 3

0

ex√

ex + 1

ex + 3dx.

1.19. Cho f là một hàm số dương, liên tục trên [0, 1]. Chứng minh

(∫ 1

0

f(x)dx

)(∫ 1

0

1

f(x)dx

)≥ 1.

1.20. Khảo sát sự hội tụ và tính (nếu tồn tại) các tích phân suy rộng sau

∫ +∞

0

ln x

xdx;

∫ +∞

1

sin x

x2dx;

∫ π2

−π2

sin x

cos3 xdx;

∫ +∞

1

1

x ln2 xdx;

∫ +∞

1

tan

(1

x

)dx;

∫ e

0

ln2 x

xdx;

∫ +∞

1

1

x2 − 1dx;

∫ 1

0

1

1− x2dx.

1.21. Cho

In :=

∫ 1

0

xn

√1− x2

dx, n ∈ N.

a) Tính I0, I1.

b) Khảo sát sự hội tụ của In.

c) Thiết lập mối quan hệ giữa In và In−2. Từ đó, tính I2, I3, · · · .1.22. Tính các tích phân suy rộng

∫ π/2

0

ln(sin x)dx;

∫ π/2

0

x

tan xdx;

∫ 1

0

arcsin x

xdx.


Chương 2.

DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM

2.1. Dãy hàm.

2.1.1. Các định nghĩa.

Cho E là một tập con của R. Dãy hàm trên E là một họ đếm được các hàm(fn)n xác định trên E. Ta nói dãy hàm này hội tụ đơn giản (hay hội tụ điểm) đếnmột hàm f trên E nếu

f(x) = limn→∞

fn(x); ∀x ∈ E

Lúc đó, ta viết f = limn→∞

fn hay fnE→ f . Như vậy:

fnE→ f ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∀ε > 0,∃n0(ε, x) ∈ N,∀n ≥ n0 : |fn(x)− f(x)| < ε.

Ví dụ 2.1. Dãy hàm:

fn(x) :=nx

nx + 1

hội tụ đơn giản trên tập [0,∞) đến hàm

f(x) =

{0 nếu x = 0;

1 nếu x = 1.

Dãy hàm (fn) được gọi là hội tụ đều trên E đến hàm f và được ký hiệu là

fn

E

⇒ f nếu

∀ε > 0,∃n0(ε) ∈ N, ∀n ≥ n0, ∀x ∈ E : |fn(x)− f(x)| < ε.

Rõ ràng, một dãy hội tụ đều thì hội tụ. Tuy vậy điều ngược lại không đúng. Thậtvậy, ta có thẻ chứng minh được dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụ đều trên [0,∞)đến hàm f . Định lý sau đây sẽ cho ta một tiêu chuẩn để một dãy hàm là hội tụ đều


20

Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Một dãy hàm (fn) trên E là hội tụ đều khi vàchỉ khi nó là một dãy Cauchy, theo nghĩa sau

∀ε > 0,∃n0(ε) ∈ N, ∀m,n ≥ n0, ∀x ∈ E :∣∣∣fm(x)− fn(x)

∣∣∣ < ε.

Dãy hàm (fn) được gọi là bị chặn (đều) trên E nếu tồn tại số dương M saocho |fn(x)| ≤ M với mọi n ∈ N và x ∈ E. Dãy (fn) được gọi là không giảm (khôngtăng) nếu fn ≤ fn+1 (fn ≥ fn+1) với mọi n.

2.1.2. Tính chất của dãy hàm hội tụ đều.

Trong mục này ta luôn xem (fn) là dãy hàm xác định trên một khoảng (đónghoặc mở, hữu hạn hay vô hạn) I trên R.

Định lý 2.2. Nếu dãy (fn) gồm các hàm liên tục trên I, hội tụ đều về hàm f thì fcũng liên tục.

Sử dụng định lý này ta có thể khẳng định dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụđều(!). Chú ý rằng khẳng định của định lý này chỉ là điều kiện đủ chứ không phảiđiều kiện cần. Ta xét thêm ví dụ sau

Ví dụ 2.2. Dãy hàm fn(x) = sin(xn) hội tụ đơn giản nhưng không đều về hàm

không trên R. Tuy vậy hàm không vẫn là hàm liên tục trên R.

Định lý 2.3. Nếu dãy (fn) gồm các hàm liên tục hội tụ đều trên khoảng đóng bị chặn[a, b] đến hàm f và x0 là một điểm bất kỳ thuộc [a, b] thì dãy hàm Fn(x) =

∫ x

x0fn(t)dt

cũng hội tụ đều trên [a, b] đến hàm F (x) =∫ x

x0f(t)dt và vì vậy

limn→∞

∫ x

x0

fn(t)dt =

∫ x

x0

limn→∞

fn(t)dt.

Định lý 2.4. Giả sử (fn) là dãy gồm các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thoảmãn

a) Dãy (f ′n) hội tụ đều trên [a, b] đến hàm g;

b) Tồn tại x0 ∈ [a, b] sao cho dãy số (fn(x0)) hội tụ.

Lúc đó dãy hàm (fn) cũng hội tụ đều đến một hàm khả vi liên tục trên [a, b] màchính là nguyên hàm của g. Tức là

(lim

n→∞fn

)′(x) = lim

n→∞f ′n(x).


21

2.2. Chuỗi hàm.

2.2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ.

Giả sử (uk) là một dãy hàm xác định trên tập E ⊂ R. Với mỗi n ∈ N ta lậphàm tổng riêng

Sn(x) :=n∑

k=1

uk(x).

Như vậy ta được một dãy hàm mới xác định trên E. Nếu dãy hàm (Sn) hội tụ đếnmột hàm S thì S được gọi là tổng của chuỗi hàm

∑∞k=1 uk(x) trên E và ta viết

S(x) =∞∑

k=1

uk(x)(hay gọn hơn:

∑uk(x)

). (2.1)

Nếu dãy (Sn) hội tụ đều đến S ta nói chuỗi hàm (2.1) hội tụ đều và nếu chuỗi∑ |uk(x)| hội tụ ta nói chuỗi (2.1) hội tụ tuyệt đối. Rõ ràng một chuỗi hàm hội tụtuyệt đối thì hội tụ. Định lý sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1

Định lý 2.5 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm∑

uk(x) hội tụ đều trên E khi vàchỉ khi

∀ε > 0, ∃n0(ε) ∈ N,∀n ≥ n0,∀p ∈ N,∀x ∈ E :

∣∣∣∣∣n+p∑

k=n+1

uk(x)

∣∣∣∣∣ < ε.

Hệ quả 2.1 (Tiêu chuẩn Weierstrass). Giả sử∑

ak là một chuỗi dương hội tụ và|uk(x)| ≤ ak với mọi k ∈ N và x ∈ E. Lúc đó chuỗi

∑uk(x) hội tụ tuyệt đối và đều

trên E.

Định lý 2.6 (Tiêu chuẩn Dirichlet). Giả sử

a) Dãy các tổng riêng (∑n

1 uk(x)) bị chặn đều trên E;

b) Dãy hàm (vk(x)) giảm, hội tụ đều về 0.

Lúc đó, chuỗi hàm sau hội tụ đều

∞∑

k=1

uk(x)vk(x). (2.2)

Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn Abel). Giả sử

a) Chuỗi hàm∑∞

k=1 uk(x) hội tụ đều trên E;

b) Dãy hàm (vk(x)) không tăng và bị chặn đều.

Lúc đó, chuỗi hàm (2.2) hội tụ đều.


22

2.2.2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều.

Định lý 2.8. Nếu∑

uk(x) là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm tổng S(x) trên mộtkhoảng I và nếu uk(x) liên tục với mọi k, thì hàm S(x) cũng liên tục trên I.

Định lý 2.9 (Công thức tích phân từng từ). Nếu∑

uk(x) là chuỗi hàm hội tụ đềutrên đoạn [a, b] và nếu các hàm thành phần uk(x) liên tục, thì với mọi x0 ∈ [a, b]

chuỗi hàm∑ (∫ x

x0uk(t)dt

)cũng hội tụ đều trên [a, b] và ta có

∞∑

k=1

(∫ x

x0

uk(t)dt

)=

∫ x

x0

( ∞∑

k=1

uk(t)

)dt.

Ví dụ 2.3. Tính∑∞

k=11

k.2k . Ta có

∞∑

k=1

1

k.2k=

∞∑

k=1

(∫ 12

0

xk−1dx

)=

∫ 12

0

( ∞∑

k=1

xk−1

)dx =

∫ 12

0

1

1− xdx = ln 2.

Định lý 2.10 (Công thức đạo hàm từng từ). Cho chuỗi hàm∑

uk(x) trên (a, b)thoả mãn

a) uk(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi k;

b) Chuỗi hàm∑

u′k(x) hội tụ đều trên khoảng (a, b);

c) Chuỗi∑

uk(x0) hội tụ với x0 ∈ (a, b).

Lúc đó chuỗi hàm∑

uk(x) hội tụ đều trên (a, b); Hơn nữa( ∞∑

k=1

uk(x)

)′

=∞∑

k=1

u′k(x).

2.2.3. Chuỗi lũy thừa.

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

∞∑

k=0

ak.(x− x0)k = a0 + a1.(x− x0) + · · ·+ an.(x− x0)

n + · · · , (2.3)

trong đó ak là các hằng số còn x0 là một số thực cho trước. Khi x0 = 0 ta có chuỗi

∞∑

k=0

ak.xk = a0 + a1.x + · · ·+ an.xn + · · · . (2.4)

Dễ thấy rằng, một số thực x là thuộc miền hội tụ của chuỗi (2.3) khi và chỉ khix− x0 thuộc miền hội tụ của chuỗi (2.4). Nói cách khác, miền hội tụ của các chuỗi(2.3) và (2.4) chỉ sai khác một phép tịnh tiến. Vì vậy, để đơn giản, người ta thườngchỉ khảo sát miền hội tụ của chuỗi (2.4) và ký hiệu hàm tổng của chuỗi là S(x).


23

Định lý 2.11 (Định lý Abel). Nếu chuỗi (2.4) hội tụ tại điểm x1 6= 0 thì nó cũnghội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x ∈ (−|x1|, |x1|).Hệ quả 2.2. Nếu chuỗi (2.4) phân kỳ tại điểm x1 thì nó cũng phân kỳ tại mọi điểmx nằm ngoài đoạn [−|x1|, |x1|].

Bây giờ nếu ký hiệu D là miền hội tụ của chuỗi (2.4) ta luôn có D 6= ∅ vì 0 ∈ D.Ta gọi bán kính hội tụ của chuỗi (2.4) là số thực mở rộng sau

R := sup{|x| | x ∈ D} ∈ [0,∞].

Từ Định lý 2.11 và Hệ quả 2.2 ta chứng minh được rằng

i) Nếu R = 0 thì D = {0};ii) Nếu R = ∞ thì D = R;

iii) Nếu 0 < R < ∞ thì (−R, R) ⊂ D ⊂ [−R,R].

Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi. Hiển nhiên, việc xác địnhmiền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đòi hỏi trước tiên phải xác định được bán kính hộitụ của nó. Các kết quả sau đây cho ta một cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi.

Định lý 2.12. Giả sử ρ là một trong ba giới hạn sau

limk→∞

∣∣∣∣ak+1

ak

∣∣∣∣ , limk→∞

k√

ak, limk→∞

k√

ak.

Lúc đó,

R =

∞ nếu ρ = 0;

0 nếu ρ = ∞;1ρ

nếu ρ ∈ (0,∞).

Ví dụ 2.4.

a) Xét chuỗi∑

xk. Ta tính được bán kính hội tụ R = 1. Mặt khác, với x = ±1chuỗi phân kỳ. Vậy D = (−1, 1).

b) Tương tự với chuỗi∑

xk

k. Ta có R = 1. Mặt khác, với x = −1 chuỗi hội tụ còn

với x = 1 chuỗi phân kỳ. Vậy D = [−1, 1).

c) Chuỗi∑

xk

k!có bán kính hội tụ R = ∞. Vậy D = (−∞,∞).

Định lý 2.13. Chuỗi (2.4) hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] ⊂ (−R, R).

Hệ quả 2.3. Hàm tổng S(x) liên tục trên khoảng (−R, R).


24

Hệ quả 2.4. Nếu (2.4) hội tụ tại x = R thì chuỗi hội tụ đều trên [0, R] và do đó,hàm S(x) liên tục trên khoảng (−R, R]. Đặc biệt,

limx→R−

S(x) = S(R) =∞∑

k=0

akRk.

Kết luận tương tự cũng đúng cho đầu mút −R.

Hệ quả 2.5. Hàm tổng của chuỗi (2.4) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ D và

∫ b

a

( ∞∑

k=0

ak.xk

)dx =

∞∑

k=0

(∫ b

a

ak.xkdx

).

Đặc biệt, ∫ x

0

( ∞∑

k=0

aktk

)dt =

∞∑

k=0

akxk+1

k + 1, x ∈ D.

Hệ quả 2.6. Có thể lấy đạo hàm từng từ chuỗi (2.4) tại mọi điểm x ∈ (−R,R) và

( ∞∑

k=0

ak.xk

)′

=∞∑

k=1

k.ak.xk−1.

Đây cũng là chuỗi lũy thừa, có bán kính hội tụ bằng R. Đặc biệt suy ra hàm tổngcủa một chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trên (−R, R).

Nhận xét. Tất cả các kết quả từ Định lý 2.13 đến Hệ quả 2.6 vẫn còn đúng chochuỗi (2.3), chỉ có điều tất cả các khoảng (−R, R) được thay bằng (x0 −R, x0 + R)vì miền hội tụ của (2.3) thoả mãn (x0 −R, x0 + R) ⊂ D ⊂ [x0 −R, x0 + R].

Ví dụ 2.5. Xác định miền hội tụ và hàm tổng của chuỗi 1 +∑∞

k=2 k.xk−1. Dễ tínhđược R = 1 và miền hội tụ là (−1, 1). Mặt khác,

1 +∞∑

k=2

k.xk−1 =∞∑

k=1

(xk)′ =

( ∞∑

k=1

xk

)′

=

(x

1− x

)′=

1

(1− x)2.

2.2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa.

Như chúng ta đã thấy trong mục trước, một chuỗi lũy thừa∑

ak.(x−x0)k (với

bán kính hội tụ R > 0) có tổng S(x) là một hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng hộitụ là một lân cận của x0. Câu hỏi đặt ra là nếu cho trước một hàm f , khả vi vô hạnlần trong một lân cận của điểm x0, liệu có phải f là tổng của một chuỗi lũy thừanào đó hay không? Chúng ta sẽ dần dần làm sáng tỏ câu hỏi này.


25

Định lý 2.14. Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn lần trong Nδ(x0) và

f(x) =∞∑

k=0

ak.(x− x0)k, ∀x ∈ Nδ(x0).

Lúc đó, ta phải có

ak =f (k)(x0)

k!, ∀k ∈ N.

Bây giờ nếu cho trước hàm f khả vi vô hạn lần trong Nδ(x0), ta thiết lập chuỗilũy thừa

Sf (x) :=∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k.

Sf (x) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f trong lân cận điểm x0. Khi x0 = 0,Sf (x) được gọi là chuỗi MacLaurin của f :

Sf (x) :=∞∑

k=0

f (k)(0)

k!xk.

Từ Định lý 2.14 ta thấy nếu f được biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗilũy thừa thì chuỗi lũy thừa đó nhất thiết phải là chuỗi Taylor của f trong lân cậnđiểm x0. Một điều không may là với một hàm f khả vi vô hạn lần trong một lâncận của x0, chuỗi Taylor Sf (x) khai triển tại điểm này không phải lúc nào cũng hộitụ, và nếu hội tụ thì chưa hẳn Sf (x) = f(x). Thật vậy, ta xét hàm sau

f(x) =

{e−

1x2 nếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.

Dễ thấy rằng hàm này khả vi vô hạn lần trên (−∞,∞) và f (k)(0) = 0 với mọi k.Do đó chuỗi MacLaurin của f là hội tụ về hàm không trên toàn trục số. Nghĩa làSf (x) 6= f(x) với mọi x 6= 0.

Nhắc lại rằng nếu f là hàm khả vi vô hạn lần trong một lân cận Nδ(x0) thì vớimọi x ∈ Nδ(x0) và số nguyên dương n, tồn tại ξ nằm giữa x0 và x sao cho

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x− x0)

n+1,

trong đó

Pn(x0; f)(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k và Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x− x0)

n+1

lần lượt là đa thức Taylor cấp n và phần dư tương ứng của hàm f . Định lý sau đâylà hiển nhiên


26

Định lý 2.15. Nếulim

n→∞Rn(x) = 0, ∀x ∈ Nδ(x0),

thì

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k, ∀x ∈ Nδ(x0). (2.5)

Một hàm f khả vi vô hạn lần thoả mãn (2.5) được gọi là khai triển được thànhchuỗi Taylor trong lân cận Nδ(x0) của điểm x0.

Hệ quả 2.7. Nếu f khả vi vô hạn lần và tồn tại ρ > 0 sao cho

|f (k)(x)| = O(ρkk!), x ∈ Nδ(x0),

thì f khai triển được thành chuỗi Taylor trong Nα(x0) với α = min{δ, 1ρ}.

Hệ quả 2.8. Nếu f khả vi vô hạn lần và dãy đạo hàm (f (k)(x)) bị chặn đều trongNδ(x0) thì f khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận đó.

Sau đây là khai triển MacLaurin của một số hàm sơ cấp.

ex = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · · , x ∈ (−∞,∞)

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ · · · , x ∈ (−∞,∞)

sin(x) = x− x3

3!+

x5

5!− · · ·+ (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+ · · · , x ∈ (−∞,∞)

1

1 + x= 1− x + x2 + · · ·+ (−x)n + · · · , x ∈ (−1, 1)

ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n−1xn

n+ · · · , x ∈ (−1, 1]

arctan(x) = x− x3

3+

x5

5− · · ·+ (−1)n+1 x2n+1

2n + 1+ · · · , x ∈ [−1, 1].

2.3. Chuỗi Fourier.

2.3.1. Chuỗi lượng giác.

Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm với các hàm thành phần có dạng uk(x) =ak cos(kx) + bk sin(kx). Nói cách khác, chuỗi lượng giác được biểu diễn bởi

a0

2+

∞∑

k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)). (2.6)

Từ các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi hàm ta có các kết quả sau


27

Định lý 2.16.

a) Nếu các chuỗi số∑

ak và∑

bk hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (2.6) hội tụ tuyệtđối và đều trên mọi đoạn.

b) Nếu các dãy số {ak} và {bk} đơn điệu giảm và dần về không thì chuỗi (2.6)hội tụ tại mọi điểm x 6= 2kπ.

Định lý 2.17. Giả sử chuỗi (2.6) hội tụ đều trên đoạn [0, 2π]. Lúc đó, hàm tổngf(x) của nó là một hàm liên tục trên [0, 2π]. Hơn nữa, ta có

ak =1

π

∫ 2π

0

f(x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, · · · ,

bk =1

π

∫ 2π

0

f(x) sin(kx)dx, k = 1, 2, 3 · · · .

Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau

Bổ đề 2.1. Với mọi số tự nhiên p, q ta có

∫ 2π

0

sin(px) cos(qx)dx = 0;

∫ 2π

0

cos(px) cos(qx)dx =

{0, khi p 6= q,

π, khi p = q.

2.3.2. Chuỗi Fourier.

Giả sử f là một hàm khả tích trên đoạn [0, 2π] và tuần hoàn với chu kỳ 2π.Lúc đó, ta có thể thiết lập được các dãy số

ak =1

π

∫ 2π

0

f(x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, · · · ,

bk =1

π

∫ 2π

0

f(x) sin(kx)dx, k = 1, 2, 3 · · · .

và chuỗi lượng giáca0

2+

∞∑

k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)).

Chuỗi này được gọi là chuỗi Fourier của hàm f và các hệ số ak, bk được gọi là cáchệ số Fourier. Tổng riêng của chuỗi này là

Sn(x) =a0

2+

n∑

k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)).

Câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là khi nào thì chuỗi Fourier của hàm f hội tụ vàhơn nữa, khi nào thì hàm tổng của chuỗi đó trùng với hàm f .


28

Bổ đề 2.2.

Sn(x) =1

π

∫ 2π

0

f(x + 2u)sin((2n + 1)u)

2 sin(u)du,

Sn(x)− f(x) =1

π

∫ 2π

0

[f(x + 2u)− f(x)]sin((2n + 1)u)

2 sin(u)du.

Bổ đề 2.3. Với f khả tích thì ak → 0 và bk → 0 khi k →∞.

2.3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier.

Bổ đề 2.4. Nếu l ∈ R là số sao cho hàm

ϕ(t) :=f(x + 2t) + f(x− 2t)− 2l

sin(t)

khả tích, thì chuỗi Fourier của hàm f tại điểm x hội tụ về l.

Định lý 2.18. Nếu hàm f có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x, thì chuỗiFourier của nó hội tụ tại điểm x đến giá trị f(x).

Ví dụ 2.6. Cho hàm

f(x) =

{1 nếu x ∈ (−π, π),

0 nếu x = ±π.

Ta tính được chuỗi Fourier của f là

2

(sin(x)− sin(2x)

2+

sin(3x)

3− · · ·+ (−1)n+1 sin(nx)

n+ · · ·

).

Vì hàm f thoả mãn tính chất của định lý trên nên

x = 2

(sin(x)− sin(2x)

2+

sin(3x)

3− · · ·+ (−1)n+1 sin(nx)

n+ · · ·

); x ∈ (−π, π).

Đặc biệt,π

2= 2

(1− 1

3+

1

5− · · ·+ (−1)n 1

n + 1+ · · ·

)

và do đóπ

4=

(1− 1

3+

1

5− · · ·+ (−1)n 1

n + 1+ · · ·

).


29


2.4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm

Kỹ thuật tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm thực ra là mượncác câu lệnh đối với dãy số và chuỗi số. Cụ thể, nếu ký hiệu f(x) là giới hạn của dãyhãm (fn(x)) và s(x) là tổng của chuỗi hàm

∑∞1 un(x), thì để tính f và s ta thực

hiện các câu lệnh

[> f:=x− > limit(fn(x), n=infinity);

[> s:=x− > sum(un(x), n=1..infinity);

Ví dụ:

[> f:=x− > limit((1+x/n)∧n, n=infinity);

f := x → limn→∞

(1 +

x

n

)n

Đó chính là hàm ex, thật vậy,

[> taylor(f(x), x);

1 + x +1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5 + O(x6)

[> s:=x− > sum((-1)∧n*x∧(2*n+1)/((2*n+1)!), n=0..infinity);

s := x →∞∑

n=0

(−1)nx(2n+1)

(2n + 1)!

Đây chính là hàm sin(x), thật vậy,

[> plot(s(x), x=-2*Pi..2*Pi);

2.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi

Cú pháp: [> series(f(x), x=a, n);

Lệnh này có nghĩa là khai triển hàm f(x) thành chuỗi tại lân cận điểm a nhưngchỉ đến bậc n. Đối với các hàm khả vi vô hạn lần và có chuỗi Taylor hội tụ về fthì lệnh này cho ra một chuỗi luỹ thừa, do đó kết quả hoàn toàn giống với lệnhtaylor(f(x), x=a, n). Tuy nhiên, đối với các hàm không khai triển được thànhchuỗi Taylor tại a (chẳng hạn, không khả vi vô hạn lần tại đó) thì lệnh series vẫnhoạt động được nhưng thường như vậy thì chuỗi nhận được không phải là chuỗi luỹthừa.

Nếu không khai báo n thì mặc định n = 6. Nếu trong tham số thứ hai ta viếtchỉ viết x thì máy sẽ hiểu là x = 0. Ví dụ:


30

–1

–0.5

0.5

1

–6 –4 –2 2 4 6x

Hình 2.1: Đồ thị hàm số s(x)

[> series(tan(x),x);

x +1

3x3 + O(x5)

[> series(ln(x), x=1, 4);

x− 1− 1

2(x− 1)2 +

1

3(x− 1)3 + O((x− 1)4)

[> series(sqrt(sin(x)), x, 4);

√x− 1

12x

0@5

2

1A

+ O

(x

0@9

2

1A)

[> series(exp(x)/x, x=0, 4 );

x−1 + 1 +1

2x +

1

6x2 +

1

24x3 + O(x4)

2.5. Bài tập

2.1. Xét sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm (fn(x)), với

a) fn(x) = arctann(x), x ∈ [−1, 1],

b) fn(x) = arctan(nx), x ∈ R,c) fn(x) = arctan(xn), x ∈ [−1, 1].

2.2. Tìm giới hạn của dãy hàm fn(x) =(1 + nx)2

1 + n2x2. Chứng minh đãy hàm này hội

tụ đều trên mọi khoảng [a, +∞), với a > 0, nhưng không hội tụ đều trên (0, +∞).


31

2.3. Cho hai dãy hàm (fn), (gn) hội tụ đều, trên khoảng I ⊂ R, lần lượt đến cáchàm f và g. Có thể khẳng định được sự hội tụ đều của các dãy hàm fn ± gn, fngn,fn

gn, fn ∨ gn, fn ∧ gn hay không? Nếu không thì cần bổ sung điều kiện gì cho mỗi

trường hợp?

2.4. Chứng minh nếu một dãy, gồm các hàm liên tục đều, hội tụ đều về một hàmf trên khoảng I ⊂ R, thì f liên tục đều trên I.

2.5. Chứng minh dãy hàm fn(x) = sin(nx) là bị chặn đều trên [0, 2π] nhưng khôngtồn tại dãy con nào hội tụ.

2.6. Chứng tỏ dãy hàm fn(x) =x

1 + nx2hội tụ đều trên R về hàm f và

f ′(x) = limn→∞

f ′n(x), ∀x 6= 0; f ′(0) 6= limn→∞

f ′n(0).

2.7. Chứng tỏ dãy hàm fn(x) = n2x(1−x2)n hội tụ về một hàm f trên [0, 1], nhưng

∫ 1

0

f(x)dx 6= limn→∞

∫ 1

0

fn(x)dx.

2.8. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm

∞∑n=1

3n(x + 1)n

5n2;

∞∑n=1

sin(nx)

n2;

∞∑n=1

nx + n

n2 + x2;

∞∑n=1

7(x− 2)n

2nn5;

∞∑n=1

sin

(nx

n2 + 1

);

∞∑n=2

− (2x + 1)n

3√

n2 − 1.

∞∑n=1

sin

(x

n2 + x2

);

∞∑n=1

(2− 3x)n

n√

n + 1;

∞∑n=1

n3(x + 2)n

4n;

∞∑n=1

cos(n3x)

n2;

∞∑n=1

sin(n2x)

1 + n2.x2;

∞∑n=1

11(3− x)n

4nn3.

∞∑n=1

n2

(x + 2

2

)n

;∞∑

n=1

(3− x)n

n ln n;

∞∑n=1

(x + 1)n√

n.

2.9. Khai triển MacLaurin các hàm

x cos x− sin x; (2− ex)2;√

4 + x;

ln(x +√

1 + x2); ln

(1 + x

1− x

); ln(x2 + x + 1).

2.10. Phân tích dưới dạng chuỗi Fourier các hàm sau, được cho trên [−1, 1]:

f(x) = x2; g(x) = 1− |x|; h(x) = x.


Chương 3.

KHÔNG GIAN RN

3.1. Không gian vectơ Rn


Với R là tập số thực, ta ký hiệu Rn là tập hợp tất cả các bộ được sắp n số thực:x = (x1, x2, · · · , xn); xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. xi được gọi là toạ độ thứ i của x.

Với mỗi cặp phần tử trong Rn: x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ta gọitổng x + y là phần tử trong Rn được cho bởi

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn).

Với mỗi cặp λ ∈ R, x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn ta gọi tích của x với số vô hướngλ là phần tử

λx = (λx1, λx2, · · · , λxn).

Đặc biệt, ta ký hiệu −x := (−1)x = (−x1,−x2, · · · ,−xn) và 0 là phần tử có tất cảcác toạ độ bằng 0: 0 := (0, 0, · · · , 0).

Dễ kiểm chứng được rằng Rn cùng với hai phép toán trên lập thành một khônggian vectơ trên trường số thực R. Tức là, với mọi λ, µ ∈ R, x, y ∈ Rn ta có

a) x + y = y + x;

b) (x + y) + z = x + (y + z);

c) 0 + x = x + 0 = x;

d) x + (−x) = 0;

e) λ(x + y) = λx + λy;

f) (λ + µ)x = λx + µx;

g) (λµ)x = λ(µx);

h) 1x = x.


33

Từ đó, mỗi phần tử x ∈ Rn được gọi là một n−vectơ hay là một vectơ thực nchiều.

3.1.2. Tích vô hướng

Với mỗi cặp vectơ x, y ∈ Rn ta định nghĩa tích vô hướng của x và y là số thựcsau

〈x, y〉 := x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.

Rõ ràng, tích vô hướng 〈., .〉 là một ánh xạ từ Rn × Rn vào R. Các tính chấtcủa tích vô hướng được thể hiện trong mệnh đề sau

Định lý 3.1. Với mọi x, y, z ∈ Rn và λ ∈ Rn ta có

a) 〈x, x〉 ≥ 0 ;

b) 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0;

c) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;d) 〈λx, y〉 = 〈x, λy〉 = λ〈x, y〉;e) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉.Hai vectơ x và y sẽ được gọi là trực giao (hay vuông góc) với nhau và được ký

hiệu là x⊥y nếu 〈x, y〉 = 0.

Bổ đề 3.1 (Bất đẳng thức Schwarz). Cho x và y là hai vectơ, ta có

〈x, y〉2 ≤ 〈x, x〉.〈y, y〉.

3.1.3. Độ dài vectơ

Với mỗi vectơ x ∈ Rn, ta gọi độ dài (hay chuẩn) của x là số thực ‖x‖ được địnhnghĩa bởi:

‖x‖ :=√〈x, x〉 =

√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n.

Định lý 3.2. Với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ R ta có

a) ‖x‖ ≥ 0;

b) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;

c) ‖λx‖ = |λ|.‖x‖;d) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Định lý 3.3 (Pythagore). Cho x, y ∈ Rn. Lúc đó,

x⊥y ⇐⇒ ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x− y‖2.

Định lý 3.4 (Đẳng thức hình bình hành). Cho x, y ∈ Rn. Lúc đó,

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

).


34

3.2. Hàm khoảng cách và sự hội tụ

3.2.1. Hàm khoảng cách trong Rn

Dựa trên định nghĩa độ dài của các vectơ người ta đưa vào khái niệm khoảngcách giữa hai vectơ trong Rn. Cụ thể, ta định nghĩa ánh xạ d : Rn × Rn → R, xácđịnh bởi

d(x, y) := ‖x− y‖; ∀x, y ∈ Rn.

Lúc đó, d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y, và d được gọi là hàm khoảngcách (Euclide) trên Rn. Định lý sau đây có thể suy ra trực tiếp từ Định lý 3.2.

Định lý 3.5. Với mọi x, y, z ∈ Rn ta có

a) d(x, y) ≥ 0;

b) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

c) d(x, y) = d(y, x);

d) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

Bổ đề 3.2. Với mọi x, y, z ∈ Rn ta có

a) d(x + z, y + z) = d(x, y);

b)∑n

i=1 |xi − yi| ≥ d(x, y) ≥ |xj − yj|, với mọi 1 ≤ j ≤ n.

3.2.2. Sự hội tụ của dãy

Cho (xk)k∈N ⊂ Rn là một dãy các vectơ. Ta nói dãy này hội tụ về vectơ x ∈ Rn,và ký hiệu

x = limk→∞

xk hay xk k→∞−→ x,

nếu dãy số thực (d(xk, x))k∈N hội tụ về không. Tức là

x = limk→∞

xk ⇐⇒ limk→∞

d(xk, x) = 0.

Một dãy (xk) ⊂ Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại số dương M sao cho

‖xk‖ ≤ M ; ∀k ∈ N,

và được gọi là dãy Cauchy nếu

limk,m→∞

d(xm, xk) = 0.

Điều này được hiểu là:

∀ε > 0,∃n0 ∈ N,∀m, k ≥ n0 : d(xm, xk) < ε.


35

Bây giờ ta để ý rằng việc cho một dãy vectơ (xk) ⊂ Rn tương đương với việccho n dãy số thực, đó là các dãy (xk

i )k∈N, 1 ≤ i ≤ n. Định lý sau cho mối quan hệgiữa các dãy này

Bổ đề 3.3. Cho dãy vectơ (xk)k∈N. Lúc đó

a) (xk) bị chặn (Cauchy) ⇐⇒ (xki )k∈N bị chặn (Cauchy) trong R, với mọi i.

b) xk k→∞−→ x ⇐⇒ xki

k→∞−→ xi, với mọi i.

c) (xk) hội tụ ⇐⇒ (xk) là dãy Cauchy.

Hệ quả 3.1. Cho các dãy vectơ (xk)k∈N, (yk)k∈N và dãy số (λk) sao cho xk → x;yk → y; λk → λ. Lúc đó

a) xk ± yk → x± y.

b) d(xk, yk) → d(x, y).

c) 〈xk, yk〉 → 〈x, y〉.d) λkx

k → λx.

Hệ quả 3.2 (Định lý Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy bị chặn trong Rn đều tồn tạidãy con hội tụ.

3.3. Tôpô trên Rn

3.3.1. Các khái niệm cơ bản

Giả sử x0 là một điểm trong không gian Rn và r là một số thực dương, ta gọihình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0 bán kính r lần lượt là các tập sau đây:

B(x0; r) ={x ∈ Rn | d(x0, x) < r},B′(x0; r)={x ∈ Rn | d(x0, x) ≤ r},S(x0; r) ={x ∈ Rn | d(x0, x) = r}.

Bây giờ cho A ⊂ Rn và x0 ∈ Rn. Ta nói x0 là một điểm trong (ngoài) của Anếu tồn tại số dương ε sao cho B(x0; ε) ⊂ A (B(x0; ε)∩A = ∅). x0 được gọi là điểmbiên của A nếu x0 vừa không phải điểm trong, vừa không phải điểm ngoài của A;Tức là, với mọi ε > 0 ta có B(x0; ε) ∩ A 6= ∅ và B(x0; ε) \ A 6= ∅.

Tập các điểm trong, điểm ngoài, điểm biên của A lần lượt được gọi là phầntrong, phần ngoài, biên của A và được ký hiệu là Int(A), Ext(A) và ∂A. Rõ ràng,ba tập này lập thành một phân hoạch của Rn (nghĩa là chúng rời nhau nhưng cóhợp bằng Rn). Hơn nữa, từ định nghĩa ta cũng có:

Int(A) ⊂ A ⊂ Int(A) ∪ ∂A; Ext(A) ⊂ Rn \ A.


36

Tập A được gọi là mở nếuA = Int(A)

và được gọi là đóng nếuA = Int(A) ∪ ∂A,

hay, một cách tương đương∂A ⊂ A.

Định lý 3.6. Với mọi A ⊂ Rn, Int(A) là mở và là tập con mở lớn nhất của A.

Mệnh đề sau cho chúng ta mối quan hệ giữa hai khái niệm đóng và mở của tậphợp

Mệnh đề 3.7. Cho A ⊂ Rn. Lúc đó A đóng nếu và chỉ nếu Rn \ A là mở.

Tập hợp tất cả các tập con mở của Rn được gọi là tôpô trên Rn. Định lý saucho ta tính chất của tôpô trên Rn.

Định lý 3.8.

a) ∅, Rn là các tập mở.

b) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở.

c) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở.

Từ định lý này và từ Mệnh đề 3.7 ta có ngay các tính chất của họ các tập đóng,được phát biểu trong mệnh đề sau

Hệ quả 3.3.

a) ∅, Rn là các tập đóng.

b) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.

c) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng.

Cho A ⊂ Rn. Ta gọi bao đóng của A là tập hợp được định nghĩa bởi

A :=⋂

B đóng và B⊃A

B.

Hệ quả 3.4.

a) Với mọi A ⊂ Rn, A là đóng và là tập đóng bé nhất chứa A.

b) A đóng khi và chỉ khi A = A.

c) A = A ∪ ∂A.

Một điểm x0 ∈ A được gọi là điểm dính của A. Mệnh đề sau cho ta đặc trưngcủa một điểm dính của A.


37

Mệnh đề 3.9. Cho A ⊂ Rn và x0 ∈ Rn. Lúc đó,

x0 ∈ A ⇐⇒ ∃(xk) ⊂ A, xk → x0.

Hệ quả 3.5. Một tập A ⊂ Rn là đóng khi, và chỉ khi, với mọi dãy (xk) ⊂ A hội tụvề x, ta có x ∈ A.

3.3.2. Tập liên thông - Tập compact

Tập A ⊂ Rn được gọi là không liên thông nếu tồn tại hai tập mở U , V sao cho

U ∩ A 6= ∅; V ∩ A 6= ∅; U ∩ A ∩ V = ∅; U ∪ V ⊃ A.

Ngược lại, A được gọi là liên thông. Một tập vừa mở vừa liên thông được gọi là mộtmiền. Bao đóng của một miền được gọi là miền đóng. Từ định lý sau ta thấy mộtmiền đóng cũng là tập liên thông.

Định lý 3.10. Bao đóng của một tập liên thông là liên thông.

Tập con A ⊂ Rn được gọi là compact nếu với mọi dãy (xk) ⊂ A tồn tại dãy con(xkm) ⊂ (xk) hội tụ về một điểm x ∈ A.

Định lý 3.11. Một tập con của Rn là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.

Cho a, b ∈ Rn. Ta nói đoạn thẳng [a, b] là tập hợp

[a, b] := {λa + (1− λ)b | λ ∈ [0, 1]}.

Hợp của một dãy liên tiếp các đoạn thẳng

[a0, a1, · · · , am] :=⋃

1≤i≤m

[ai−1, ai]

được gọi là một đường gấp khúc nối a0 và am.

Bổ đề 3.4. Một đường gấp khúc, và đặc biệt một đoạn thẳng, là compact và liênthông

Định lý 3.12. Cho A ⊂ Rn là một tập mở. Lúc đó, A là một miền khi, và chỉ khi,với mọi cặp điểm a, b ∈ A tồn tại một đường gấp khúc nằm trọn vẹn trong A nốihai điểm đó.


38


3.4.1. Vec-tơ và ma trận

Để thực hiện các thao tác trên vec-tơ và ma trận trước tiên cần khởi động góicông cụ của đại số tuyến tính linalg bằng lệnh Cú pháp: [> with(linalg);

a) Khai báo vec-tơ.

Cú pháp: [> (tên vec-tơ):= [(liệt kê các thành phần của vec-tơ)];

Ví dụ:

[> u:=[1, 2, x∧2];u := [1, 2, x2]

Thật ra, để định nghĩa vec-tơ u như trên ta còn có các cách khai báo khác.Chẳng hạn:

[> u:=vector[1, 2, x∧2];[> u:=array(1..3, [1, 2, x∧2]);[> u:=matrix(1,3, [1, 2, x∧2]);

Tuy nhiên, cách dùng chúng vẫn khác nhau. Mặt khác nếu viết

[> u:=matrix(3,1, [1, 2, x∧2]); ta được

u :=

12x2

b) Khai báo ma trận.

Cú pháp: [> (tên ma trận):= matrix(m, n, [ liệt kê các thành phần của ma trận]);

Ví dụ:

[> A:=matrix(3, 3, [1, 2, 1, a, x+1, 4, 1, x∧2, b]);

A :=

1 2 1a x + 1 41 x2 b

Thật ra, trong ví dụ trên ta có thể viết như sau và được kết quả tương tự

[> A:=matrix([[1, 2, 1],[ a, x+1, 4],[1, x∧2, b]]);

c) So sánh hai vec-tơ hoặc hai ma trận.

Cú pháp: [> equal(biến 1, biến 2);

Kết quả cho ra true hoặc false.


39

Ví dụ:

[> A:=matrix(2,3,[1,2,3,4,5,6]); B:=matrix([[1,2,3],[4,5,6]]):

[> equal(A, B);

true

3.4.2. Các phép toán trên vectơ

a) Tính chuẩn của vec-tơ. Trên Rn có ba loại chuẩn thông thường là ‖ · ‖1, ‖ · ‖2

và ‖ · ‖∞ được xác định bởi

‖x‖1 :=n∑1

|xi|; ‖x‖2 :=

√√√√n∑1

x2i ; ‖x‖∞ := max

1≤i≤n|xi|.

Để tính chuẩn của x ta dùng lệnh

Cú pháp: [> norm(x , loại chuẩn); (với loại chuẩn = 1, 2 hoặc infinity)

Ví dụ:

[> u:=[1, 2, 3]:

[> norm(u, infinity);3

[> norm(u, 2); √14

b) Khoảng cách giữa hai điểm. Điểm được xem như vec-tơ, nên khoảng cách

giữa hai điểm cũng là khoảng cách giữa hai vec-tơ. Ở đây, khoảng cách được tínhtheo chuẩn Euclide. Trước tiên cần khởi động gói student:

[> with(student);

Cú pháp: [> distance(vec-tơ 1, vec-tơ 2);

c) Tích vô hướng.

Cú pháp: [> dotprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2); hoặc innerprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2);

Ví dụ:

[> u:=[1, 2, 3]:

[> v:=[2, 0, 1]:

[> dotprod(u,v);5

d) Tích hữu hướng.


40

Cú pháp: [> crossprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2);

Ví dụ: Với u, v như trên:

[> crossprod(u,v);[2, 5,−4]

3.4.3. Các phép toán trên ma trận

a) Tổng, hiệu hai hoặc nhiều ma trận cùng cỡ.

Cú pháp: [> evalm(A ± B ± C...);

Ví dụ:

[> A:=matrix([[1,x],[x,a],[0,1]]);B:=matrix([[x,a∧2],[x, 2],[a,b]]);

A :=

1 xx a0 1

B :=

x a2

x 2a b

[> evalm(A-B);

1− x x− a2

0 a− 2−a 1− b

b) Nhân hai hoặc nhiều ma trận có cỡ phù hợp.

Cú pháp: [> multiply(A, B, C..);

c) Tích trong của ma trận và vec-tơ. Cho u ∈ Rm, A ∈ Rm×n, v ∈ Rn.

Cú pháp: [> innerprod(u, A, v); (sẽ cho ra số thực bằng uT Av.)

d) Tính định thức ma trận A.

Cú pháp: [> det(A);

Ví dụ:

[> A:=matrix([[1,x],[x,a]]):

[> det(A);

a− x2


41

3.5. Bài tập

3.1. Trên Rn, chứng minh rằng nếu x1 ∈ B(x0; ε) thì B(x1; ε−‖x1−x0‖) ⊂ B(x0; ε).

3.2. Chứng minh rằng với mọi x0 ∈ Rn và ε > 0, B(x0; ε) là tập mở, S(x0; ε) vàB′(x0; ε) là các tập đóng. Hơn nữa, B′(x0; ε) = B(x0; ε) và B(x0; ε) = Int B′(x0; ε).

3.3. Cho hai tập hợp A,B ⊂ Rn. Chứng minh rằng

a) Ext(A) = Int(Rn \ A); ∂(A) = ∂(Rn \ A).

b) Nếu A ⊂ B thì Int(A) ⊂ Int(B) và A ⊂ B.

c) Int(A ∩B) = Int(A) ∩ Int(B); A ∪B = A ∪B.

d) Int(A ∪B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B); A ∩B ⊂ A ∩B.

e) Tìm ví dụ cho thấy các dấu đẳng thức trong d) không nhất thiết xảy ra.

3.4. Cho A ⊂ Rn. Chứng minh các khẳng định sau tương đương

a) A là tập đóng,

b) ∀x 6∈ A,∃ε > 0, B(x; ε) ∩ A = ∅,c) ∀x ∈ Rn, (d(x,A) = 0 ⇒ x ∈ A).

3.5. Tìm ví dụ để chứng tỏ Định lý 3.12 không còn đúng nếu tập A không mở.

3.6. Một tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ (0, 1) ta cóλx + (1− λ)y ∈ C.

a) Chứng minh các hình cầu mở, đóng đều là các tập lồi.

b) Chứng minh nếu C là tập lồi, thì C và Int C cũng là các tập lồi.

c) Tìm một tập không lồi C ⊂ R2 sao cho C và Int C là các tập lồi.

d) Cho C và D là các tập lồi. Chứng minh các tập C±D, kC (k ∈ R) cũng lồi.

3.7. Giả sử C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn. Chứng minh rằng với mọix ∈ Rn, tồn tại duy nhất c ∈ C sao cho ‖x − c‖ = d(x,C). Lúc đó, ta cũng có〈x− c, c′ − c〉 ≤ 0 với mọi c′ ∈ C.


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH III




1

Mục lục

Chương 1. Phép Tính Vi phân Hàm nhiều biến 3

1.1. Giới hạn và Liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Đạo hàm và Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4. Đạo hàm hàm số hợp và tính bất biến của vi phân . . . . . . 8

1.2.5. Đạo hàm hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Đạo hàm cấp cao và Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Điều kiện cần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3. Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.5.1. Giới hạn và đồ thị hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2. Tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.3. Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 24

2.1. Các hệ toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


2

2.1.2. Hệ toạ độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3. Hệ toạ độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2. Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Các đối tượng liên quan đến đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1. Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong phẳng . . . . . . . 28

2.3.2. Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong trong không gian . . 29

2.3.3. Độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.4. Hình bao của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2. Tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1. Vẽ đường cong trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2. Vẽ mặt cong trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.3. Vận động đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


Chương 1.

PHÉP TÍNH VI PHÂNHÀM NHIỀU BIẾN

1.1. Giới hạn và Liên tục

1.1.1. Hàm nhiều biến

Cho E là một tập con khác rỗng của Rn. Một ánh xạ f từ E vào R được gọi làmột hàm nhiều biến (cụ thể là n biến) xác định trên E:

f :E −→ R;

x = (x1, · · · , xn) ∈E −→ f(x) = f(x1, · · · , xn) ∈ R.

Khi n = 1, f trở thành hàm một biến thực, khi n = 2, 3 ta có hàm hai, ba biếnmà thường được viết đơn giản là f(x, y), f(x, y, z) với x, y, z ∈ R. Tập E được gọi làmiền xác định của f . Thông thường hàm f được cho dưới dạng công thức còn miềnxác định được hiểu là tập hợp các điểm x làm cho f(x) có nghĩa. Chẳng hạn hàmhai biến f(x, y) = ln((x2 + y2)x) có miền xác định là tập E = {(x, y) ∈ R2 | x > 0}.

Tương tự đồ thị hàm một biến, đồ thị của hàm n biến f là tập hợp con củaRn+1 mà được định nghĩa như sau:

Gr(f) = {(x, f(x)) | x ∈ E}.

Bây giờ cho f và g là các hàm nhiều biến trên E và λ là một số thực, ta kýhiệu λf , f ± g, fg, f/g, f ∨ g, f ∧ g là các hàm mới được xác định bởi, ∀x ∈ E :

(λf)(x) := λf(x);

(f ± g)(x) := f(x)± g(x);

(fg)(x) := f(x)g(x);(f

g

)(x) :=

f(x)

g(x), (g(x) 6= 0;


4

(f ∨ g)(x) := max{f(x), g(x)};(f ∧ g)(x) := min{f(x), g(x)}.

Ta nói f < g nếu f(x) < g(x) với mọi x ∈ E. Các quan hệ f ≤ g, f > g vàf ≥ g được định nghĩa hoàn toàn tương tự.

1.1.2. Giới hạn

Cho f là hàm xác định trên E và x0 ∈ E. Một số thực L được gọi là giới hạncủa hàm f tại x0 nếu

∀ε > 0,∃δ > 0, ∀x ∈ E : 0 < d(x, x0) < δ ⇒ |f(x)− L| < ε. (1.1)

Ta viết

L = limx→x0

f(x) hay f(x)x→x0−→ L.

Định lý 1.1. Hàm f có giới hạn bằng L tại điểm x0 ∈ E nếu, và chỉ nếu, với mọidãy vectơ (xk) ⊂ E \ {x0} hội tụ về x0, dãy số (f(xk)) hội tụ về L.

Ví dụ 1.1. Tại điểm (0, 0), hàm hai biến f(x, y) = x3+y3

x2+y2 có giới hạn bằng 0 trong

khi hàm g(x, y) = xyx2+y2 không có giới hạn tại điểm đó.

Khái niệm giới hạn vô cùng của hàm nhiều biến cũng được định nghĩa tươngtự hàm một biến. Cụ thể:

limx→x0

f(x) = +∞⇐⇒ ∀M ∈ R,∃δ > 0, ∀x ∈ E : 0 < d(x, x0) < δ ⇒ f(x) > M ;

limx→x0

f(x) = −∞⇐⇒ ∀m ∈ R,∃δ > 0,∀x ∈ E : 0 < d(x, x0) < δ ⇒ f(x) < m.

Ví dụ 1.2.

lim(x,y)→(0,0)

1

x2 + y2= +∞.

Định lý sau đây được chứng minh tương tự đối với hàm một biến:

Định lý 1.2. Giả sử limx→x0

f(x) = L ∈ R, limx→x0

g(x) = M ∈ R và λ ∈ R. Lúc đó,

a) limx→x0(f ± g)(x) = L±M ;

b) limx→x0(λf)(x) = λL;

c) limx→x0(fg)(x) = LM ;

d) Nếu M 6= 0 thì limx→x0

(f

g

)(x) =

L

M;

e) Nếu f ≤ g thì L ≤ M.

Các phát biểu a)-c) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phảicó nghĩa.


5

1.1.3. Sự liên tục

Cho hàm f xác định trên tập E ⊂ Rn và x0 ∈ E. Ta nói f liên tục tại x0 nếugiới hạn của f tại x0 tồn tại và bằng f(x0):

limx→x0

f(x) = f(x0).

Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ E, ta nói f liên tục trên E.

Định lý 1.3. Hàm f liên tục tại điểm x0 ∈ E nếu, và chỉ nếu, với mọi dãy vectơ(xk) ⊂ E hội tụ về x0, dãy số (f(xk)) hội tụ về f(x0).

Định lý 1.4. Cho hàm n biến f liên tục tại điểm x0 và n hàm m biến ϕj(u) liêntục tại điểm u0 ∈ Rm. Ngoài ra, ϕj(u

0) = x0j với mọi 1 ≤ j ≤ n. Lúc đó hàm hợp

F (u) := f(ϕ1(u), ϕ2(u), · · · , ϕn(u))

là hàm m biến liên tục tại u0.

Hệ quả 1.1. Cho f và g là hai hàm xác định trên E, liên tục tại x0 ∈ E và λlà một số thực. Lúc đó, các hàm λf , f ± g, fg đều liên tục tại x0. Hơn nữa, nếug(x0) 6= 0 thì hàm f

gcũng liên tục tại điểm đó.

Định lý 1.5. Cho E là tập đóng và bị chặn trong Rn và f là hàm liên tục trên E.Lúc đó

a) Tồn tại hai điểm x∗, x∗ ∈ E sao cho f(x∗) ≤ f(x) ≤ f(x∗) với mọi x ∈ E.

b) f liên tục đều trên E, tức là

∀ε > 0,∃δ > 0,∀x, x′ ∈ E : d(x, x′) < δ ⇒ |f(x)− f(x′)| < ε.

1.2. Đạo hàm và Vi phân

1.2.1. Đạo hàm riêng

Để đơn giản, trước tiên ta sẽ xét trường hợp hàm hai biến. Cho f : E ⊂ R2 → Rvà (x0, y0) ∈ Int(E). Lúc đó, tồn tại số dương ε sao cho với mọi số gia ∆x ∈ (−ε, ε)ta có (x0 + ∆x, y0) ∈ E. Ta sẽ gọi biểu thức sau

∆xf := f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)

là số gia của hàm f tương ứng với số gia ∆x. Nếu tồn tại giới hạn của ∆xf∆x

khi

∆x → 0 thì giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x tại điểm(x0, y0) và được ký hiệu là f ′x(x0, y0) hay ∂f

∂x(x0, y0). Vậy

f ′x(x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0) := lim

∆x→0

f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)

∆x.


6

Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y tại (x0, y0):

f ′y(x0, y0) =∂f

∂y(x0, y0) := lim

∆y→0

f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)

∆y

và ngay cả với hàm n biến f(x1, x2, · · · , xn) tại một điểm x0 = (x01, · · · , x0

n). Chẳnghạn,

∂f

∂x1

(x0) := lim∆x1→0

f(x01 + ∆x1, x

02, · · · , x0

n)− f(x01, x

02, · · · , x0

n)

∆x1

.

Nếu tại điểm x0 ∈ E đạo hàm riêng của f theo n biến đều tồn tại thì ta gọivectơ

∇f(x0) :=

(∂f

∂x1

(x0),∂f

∂x2

(x0), · · · ,∂f

∂xn

(x0)

)

là građiên của f tại x0. Có khi người ta cũng ký hiệu vectơ này là gradf(x0).

Trong thực tế, để tính đạo hàm riêng của một hàm f theo biến xi ta chỉ việcxem f như là hàm một biến xi còn các biến khác là hằng số.

Ví dụ 1.3. Với f(x, y) = yxvà g(x, y, z) = x2y sin(x + z) ta có

∇f(x, y) =

(− y

x2,1

x

);

∇g(x, y, z) =(2xy sin(x + z) + x2y cos(x + z), x2 sin(x + z), x2y cos(x + z)

).

1.2.2. Đạo hàm theo hướng

Cho f là một hàm xác định trong một lân cận của điểm x0 ∈ Rn và v ∈ Rn làmột vectơ khác không. Lúc đó, nếu giới hạn sau tồn tại ta gọi nó là đạo hàm củahàm f tại x0 theo hướng v:

f ′(x0; v) =∂f

∂v(x0) := lim

t→0+

f(x0 + tv)− f(x0)

t.

Có thể kiểm chứng được rằng, nếu đạo hàm riêng theo biến x1 của f tồn tại thì vớie1 = (1, 0, · · · , 0) ta có

∂f

∂e1

(x0) =∂f

∂x1

(x0);∂f

∂(−e1)(x0) = − ∂f

∂x1

(x0).

Ngược lại, nếu tồn tại đạo hàm của f theo các hướng ±e1 có giá trị đối nhau thìđạo hàm riêng của f theo biến x1 cũng tồn tại. Các bạn tự phát biểu và chứng minhcác khẳng định tương tự đối với e2, · · · , en.

Chú ý. Một hàm có các đạo hàm riêng, thậm chí có đạo hàm theo mọi hướng, tạimột điểm có thể không liên tục tại điểm đó. Chẳng hạn, trong Ví dụ 1.1, nếu tađịnh nghĩa thêm g(0, 0) = 0 thì có thể kiểm chứng được hàm g xác định trên R2, cócác đạo hàm riêng g′x, g′y nhưng g không liên tục tại (0, 0).


7

1.2.3. Vi phân

Cho hàm y = f(x) xác định trong một lân cận V của điểm x0. Với các số gia∆xi đủ bé sao cho x0 + ∆x ∈ V , với ∆x = (∆x1, · · · , ∆xn), ta có số gia của hàm sốlà

∆f = f(x0 + ∆x)− f(x0).

Nếu ∆f có thể biểu diễn dưới dạng

∆f =n∑

i=1

Ai∆xi + α(∆x)‖∆x‖; x0 + ∆x ∈ V,

trong đó Ai, 1 ≤ i ≤ n, là các hằng số còn α là hàm n biến sao cho

lim∆x→0

α(∆x) = 0,

thì f được gọi là khả vi tại điểm x0 và biểu thức

dy = df :=n∑

i=1

Ai∆xi

được gọi là vi phân của hàm f tại điểm x0 (tương ứng với vectơ gia ∆x).

Mệnh đề 1.6. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại điểm đó.

Mệnh đề 1.7. Nếu f khả vi tại x0 thì f có các đạo hàm riêng tại điểm đó và

df = 〈∇f(x0), ∆x〉 =n∑

i=1

∂f

∂xi

(x0)∆xi. (1.2)

Hơn nữa, f có đạo hàm theo mọi hướng tại x0 và

∂f

∂v(x0) = 〈∇f(x0), v〉; ∀v ∈ Rn.

Vì một hàm có các đạo hàm riêng tại một điểm có thể không liên tục tại điểmđó nên cũng không khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên ta có kết quả sau

Định lý 1.8. Nếu f có các đạo hàm riêng trong một lân cận của x0 và các đạo hàmnày liên tục tại x0, thì f khả vi tại điểm dó.

Nếu gi là hàm chiếu xuống tọa độ thứ i: gi(x1, · · · , xn) = xi thì ta sẽ ký hiệudxi := dgi. Mặt khác, gi khả vi tại mọi điểm và dgi = ∆xi. Vậy, dxi = ∆xi. Do đócông thức (1.2) có thế viết lại:

df =n∑

i=1

∂f

∂xi

dxi. (1.3)


8

1.2.4. Đạo hàm hàm số hợp và tính bất biến của vi phân

Cho y = f(x1, x2, · · · , xn) là hàm xác định trên tập mở G ⊂ Rn và xi = ϕi(t),1 ≤ i ≤ n, là n hàm số thực xác định trên khoảng (a, b) sao cho

(ϕ1(t), ϕ2(t), · · · , ϕn(t)) ∈ G; ∀t ∈ (a, b).

Lúc đó, ta có hàm hợp t −→ y = f(ϕ1(t), ϕ2(t), · · · , ϕn(t)) =: g(t) từ (a, b) vào R.

Định lý 1.9. Nếu các hàm ϕi khả vi tại t0 ∈ (a, b) còn hàm f khả vi tại x0 =(ϕ1(t0), · · · , ϕn(t0)), thì g cũng khả vi tại t0 và

g′(t0) =n∑

i=1

∂f

∂xi

(x0)ϕ′i(t0).

Nếu các hàm ϕi khả vi trên (a, b) và f khả vi trên G, thì g cũng khả vi trên (a, b) và

g′(t) =n∑

i=1

∂f

∂xi

(ϕ1(t), · · · , ϕn(t))ϕ′i(t).

Từ định lý trên ta thường viết

dy

dt=

n∑i=1

∂y

∂xi

dxi

dt,

hay

dy =n∑

i=1

∂y

∂xi

dxi. (1.4)

Bây giờ giả sử y = f(x1, · · · , xn) là hàm khả vi trên tập mở G ⊂ Rn vàxi = ϕi(u) = ϕi(u1, · · · , um), 1 ≤ i ≤ n, là các hàm khả vi trên một tập mở E ⊂ Rm

sao cho (ϕ1(u), · · · , ϕn(u)) ∈ G với mọi u ∈ E. Lúc đó ta có hàm hợp g : E → R làmột hàm m biến, xác định bởi

g(u) = f(ϕ1(u), · · · , ϕn(u)); u ∈ E.

Bằng cách sử dụng Định lý 1.9 và xem g là hàm theo một biến uj ta có

∂g

∂uj

=n∑

i=1

∂f

∂xi

∂ϕi

∂uj

; 1 ≤ j ≤ m.

Từ đó, ta nhận được vi phân của hàm g:

dy =m∑

j=1

∂g

∂uj

duj =m∑

j=1

{n∑

i=1

∂f

∂xi

∂ϕi

∂uj

}duj =

n∑i=1

∂f

∂xi

{m∑

j=1

∂ϕi

∂uj

duj

}.


9

Lại sử dụng Định lý 1.9 cho các hàm xi = ϕi(u) ta được

dy =n∑

i=1

∂y

∂xi

dxi. (1.5)

Đối chiếu (1.3), (1.4) và (1.5) ta thấy dạng vi phân của y không hề thay đổi chodù xi là các biến độc lập, hàm của một biến t ∈ R hay là hàm của m biến u ∈ Rm.Ta nói dạng vi phân bậc nhất có tính bất biến.

Vận dụng các kết quả trên một cách thích hợp ta có các công thức tính vi phânsau

Hệ quả 1.2. Cho u và v là các hàm nhiều biến khả vi trên miền chung E ⊂ Rn.Lúc đó, trên miền này ta có

a) d(u± v) = du± dv;

b) d(λu) = λdu, λ ∈ R;c) d(u.v) = udv + vdu;

d) d(u

v

)=

vdu− udv

v2, v 6= 0;

1.2.5. Đạo hàm hàm ẩn

Cho F (x, y), x ∈ Rn, y ∈ R là một hàm n + 1 biến, xác định trong một tập mởG ⊂ Rn+1. Xét phương trình

F (x, y) = 0. (1.6)

Nếu tồn tại hàm n biến y = f(x); x ∈ E ⊂ Rn sao cho

F (x, f(x)) = 0; ∀x ∈ E,

thì f được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình (1.6).

Định lý 1.10. Giả sử hàm hai biến F liên tục cùng với các đạo hàm F ′x, F ′

y trong

một lân cận của điểm (x0, y0) ∈ R2. Ngoài ra, F (x0, y0) = 0; F ′y(x0, y0) 6= 0. Lúc đó

a) Tồn tại duy nhất một hàm y = f(x) thoả mãn f(x0) = y0 và F (x, f(x)) = 0với mọi x thuộc vào một lân cận ∆ = [x0 − δ, x0 + δ] của x0,

b) f liên tục, có đạo hàm liên tục trên ∆ và

f ′(x) = −F ′x(x, f(x))

F ′y(x, f(x))

, ∀x ∈ ∆.

Định lý 1.11. Giả sử hàm n + 1 biến F (x1, · · · , xn, y) liên tục cùng với các đạohàm riêng F ′

x1, · · · , F ′

xn, F ′

y trong một lân cận của điểm (x0, y0) ∈ Rn+1. Ngoài ra,

F (x0, y0) = 0; F ′y(x

0, y0) 6= 0. Lúc đó,


10

a) Tồn tại duy nhất một hàm y = f(x) thoả mãn f(x0) = y0 và F (x, f(x)) = 0với mọi x thuộc vào một lân cận ∆ = [x0

1 − δ, x01 + δ]× · · · × [x0

n − δ, x0n + δ] của x0,

b) f liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên ∆ và

f ′xi(x) = −F ′

xi(x, f(x))

F ′y(x, f(x))

, ∀x ∈ ∆, 1 ≤ i ≤ n.

Bây giờ cho Fi(x, y), x ∈ Rn, y ∈ Rm, 1 ≤ i ≤ m, là m hàm n + m biến, xácđịnh trong một tập mở G ⊂ Rn+m. Xét hệ phương trình

Fi(x, y) = 0; 1 ≤ i ≤ m. (1.7)

Nếu tồn tại m hàm n biến yi = fi(x); x ∈ E ⊂ Rn, 1 ≤ i ≤ m sao cho

Fi(x, f1(x), · · · , fm(x)) = 0; ∀x ∈ E, 1 ≤ i ≤ m,

thì {fi | 1 ≤ i ≤ m} được gọi là hệ hàm ẩn xác định bởi hệ phương trình (1.7). Nếutồn tại các đạo hàm riêng của các hàm Fi theo các biến yj thì định thức sau đượcgọi là Định thức Jacobi của hệ hàm Fi đối với các biến yj:

DJy(x, y) := det

∂F1

∂y1(x, y) · · · ∂F1

∂ym(x, y)

∂F2

∂y1(x, y) · · · ∂F2

∂ym(x, y)

.... . .

...∂Fm

∂y1(x, y) · · · ∂Fm

∂ym(x, y)

.

Định lý 1.12. Giả sử các hàm Fi(x1, · · · , xn, y1, · · · , ym) liên tục cùng với các đạohàm riêng ∂Fi/∂yj, 1 ≤ i, j ≤ m, trong một lân cận của điểm (x0, y0) ∈ Rn+m.Ngoài ra, F (x0, y0) = 0 và DJy(x

0, y0) 6= 0. Lúc đó,

a) Tồn tại duy nhất hệ hàm yi = fi(x), 1 ≤ i ≤ m, thoả mãn fi(x0) = y0

i vàFi(x, f1(x), · · · , fm(x)) = 0 với mọi x thuộc vào một lân cận ∆ của điểm x0,

b) Các fi liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên ∆. Hơn nữa, nếu đặtyi = fi(x1, · · · , xn), thì với mọi i ∈ {1, · · · , m}, j ∈ {1, · · · , n} ta có

∂fi

∂xj

(x) = −DJ(y1,··· ,yi−1,xj ,yi+1,··· ,ym)(x, y)

DJy(x, y).

Hệ quả 1.3 (Đạo hàm hàm ngược). Giả sử F : D ⊂ Rm → Rm sao cho các hàmthành phần Fi(y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng ∂Fi/∂yj, 1 ≤ i, j ≤ m, trêntập mở D 3 y0. Ngoài ra, ma trận Jacobian JF (y0) = (∂Fi/∂yj) không suy biến.Lúc đó tồn tại một lân cận U của y0 và một lân cận V của z0 = F (y0) và một ánhxạ F−1 : V → U , có các hàm thành phần khả vi liên tục, thoả mãn

a) ∀y ∈ U , ∀z ∈ V : z = F (y) ⇔ y = F−1(z)

b) ∀z ∈ V : J(F−1)(z) = JF (y)−1, với y = F−1(z).


11

1.3. Đạo hàm cấp cao và Công thức Taylor

1.3.1. Đạo hàm cấp cao

Để đơn giản trước tiên ta xét hàm hai biến. Cho z = f(x, y) là hàm xác địnhtrên tập mở G ⊂ R2, có các đạo hàm riêng f ′x(x, y), f ′y(x, y) trên G. Đây cũng là

các hàm hai biến. Nếu các hàm này cũng có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm đóđược gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f . Nói chung f có 4 đạo hàm riêng cấp 2:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=:

∂2f

∂x2=f ′′x2 =z′′x2 ;

∂

∂x

(∂f

∂y

)=:

∂2f

∂x∂y=f ′′yx =z′′yx;

∂

∂y

(∂f

∂x

)=:

∂2f

∂y∂x=f ′′xy =z′′xy;

∂

∂y

(∂f

∂y

)=:

∂2f

∂y2=f ′′y2 =z′′y2 .

Tương tự, ta có các khái niệm đạo hàm cấp cao hơn và của những hàm nhiềubiến hơn. Chẳng hạn, với hàm u = f(x, y, z) ta có đạo hàm riêng cấp 4:

u(4)xyzx =

∂4f

∂x∂z∂y∂x:=

∂

∂x

(∂

∂z

(∂

∂y

(∂f

∂x

))).

Nói chung, f ′′xy 6= f ′′yx, f ′′′x2y 6= f ′′′xyx 6= f ′′′yx2 . Tuy nhiên những đạo hàm hỗn hợp

này sẽ trùng nhau trong trường hợp chúng liên tục. Điều đó được thể hiện trongđịnh lý sau

Định lý 1.13. Giả sử z = f(x, y) là hàm xác định trên tập mở G, có các đạo hàmriêng cấp hai hỗn hợp f ′′xy, f ′′yx. Nếu các đạo hàm này liên tục tại điểm (x0, y0) ∈ G,

thìf ′′xy(x0, y0) = f ′′yx(x0, y0).

Chứng minh. Đặt ∆ := f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)− f(x0, y0 + k) + f(x0, y0),g1(t) := f(t, y0 + k)− f(t, y0), với h và k lần lượt là số gia của x và y. Sử dụng Địnhlý Lagrange cho g1 rồi cho f ′x ta tìm được các số δ, θ ∈ (0, 1) (phụ thuộc vào h, k)thoả mãn

∆ = g1(x0 + h)− g1(x0) = g′1(x0 + δh)h

= [f ′x(x0 + δh, y0 + k)− f ′x(x0 + δh, y0)]h

= f ′′xy(x0 + δh, y0 + θk)hk.


12

Tương tự, nếu đặt g2(s) := f(x0 + h, s)− f(x0, s), và áp dụng Định lý Lagrange lầnlượt cho g2 rồi cho f ′y, ta cũng tìm được các số α, β ∈ (0, 1) thoả mãn

∆ = f ′′yx(x0 + αh, y0 + βk)hk.

Từ đó:f ′′yx(x0 + αh, y0 + βk) = f ′′yx(x0 + αh, y0 + βk).

Cho h, k → 0 ta nhận được điều phải chứng minh.

Định lý này cũng được mở rộng không mấy khó khăn cho các trường hợp đạohàm cấp cao hơn, hoặc với hàm nhiều biến hơn với điều kiện các đạo hàm hỗn hợpđó liên tục. Chẳng hạn với hàm u = x3 sin(y + z2), các bạn có thể kiểm tra các đạo

hàm u(4)

x2yz, u(4)xyxz, u

(4)xyzx, u

(4)yxzx, u

(4)

yzx2 ,... đều bằng nhau và bằng −12xz sin(y + z2).

1.3.2. Vi phân cấp cao

Để đơn giản, trước tiên ta xét hàm hai biến. Cho z = f(x, y) là hàm xácđịnhvà khả vi trên tập mở G ⊂ R2. Vi phân của f tại mỗi điểm (x, y) ∈ G là

df(x, y) =∂f

∂x(x, y)∆x +

∂f

∂y(x, y)∆y.

Như vậy, df là một hàm hai biến trên G. Nếu df cũng khả vi thì vi phân của nó sẽđược gọi là vi phân cấp hai của f . Lúc đó,

∂

∂xdf(x, y) =

∂

∂x

(∂f

∂x(x, y)∆x +

∂f

∂y(x, y)∆y

)=

∂2f

∂x2(x, y)∆x +

∂2f

∂x∂y(x, y)∆y;

∂

∂ydf(x, y) =

∂

∂y

(∂f

∂x(x, y)∆x +

∂f

∂y(x, y)∆y

)=

∂2f

∂y∂x(x, y)∆x +

∂2f

∂y2(x, y)∆y.

Tóm lại, vi phân cấp hai của f tương ứng với cặp số gia (∆x, ∆y) là

d2f(x, y) := d(df)(x, y) =∂

∂xdf(x, y).∆x +

∂

∂ydf(x, y).∆y

=

(∂2f

∂x2(x, y)∆x +

∂2f

∂x∂y(x, y)∆y

)∆x +

(∂2f

∂y∂x(x, y)∆x +

∂2f

∂y2(x, y)∆y

)∆y

=∂2f

∂x2(x, y)∆x2 +

∂2f

∂x∂y(x, y)∆x∆y +

∂2f

∂y∂x(x, y)∆x∆y +

∂2f

∂y2(x, y)∆y2.

Nếu các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp liên tục thì theo Định lý 2.15 vi phân cấphai của f có thể viết gọn hơn:

d2f(x, y) =∂2f

∂x2(x, y)∆x2 + 2

∂2f

∂x∂y(x, y)∆x∆y +

∂2f

∂y2(x, y)∆y2,


13

mà, để đơn giản người ta viết lại một cách hình thức như sau

d2f(x, y) =

(∂

∂x∆x +

∂

∂y∆y

)2

f(x, y).

Tương tự, ta cũng có định nghĩa của các vi phân cấp cao hơn. Hơn nữa, bằngquy nạp ta có thể chứng minh được mệnh đề sau

Định lý 1.14. Nếu hàm hai biến f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tụctrên tập mở G ⊂ R2 thì f khả vi cấp m trên G và ta có vi phân cấp m của f tươngứng với cặp số gia (∆x, ∆y) là

dmf(x, y) =

(∂

∂x∆x +

∂

∂y∆y

)m

f(x, y) :=m∑

k=0

Ckm

∂mf

∂xk∂ym−k∆xk∆ym−k.

Bằng một lược đồ tương tự ta nhận được khái niệm vi phân cấp cao của hàmnhiều biến cũng như công thức tính của nó. Cụ thể ta có mệnh đề

Định lý 1.15. Nếu hàm nhiều biến f(x1, · · · , xn) có các đạo hàm riêng đến cấp mliên tục trên tập mở G ⊂ Rn thì f khả vi cấp m trên G và vi phân cấp m của ftương ứng với vectơ gia ∆x = (∆x1, · · · , ∆xn) là

dmf(x1, · · · , xn) =

(n∑

i=1

∂

∂xi

∆xi

)m

f(x1, · · · , xn), (x1, · · · , xn) ∈ G.

1.3.3. Công thức Taylor

Định lý 1.16. Giả sử y = f(x) là một hàm có các đạo hàm riêng liên tục đến cấpm trên tập mở G ⊂ Rn, x0 là một điểm trong G và ∆x là vectơ sao cho đoạn thẳng[x0, x0 + ∆x] nằm gọn trong G. Lúc đó, tồn tại số θ ∈ (0, 1) sao cho

f(x0 + ∆x) = f(x0) +m−1∑

k=1

1

k!dkf(x0) +

1

m!dmf(x0 + θ∆x), (1.8)

trong đó, dkf(x) ký hiệu vi phân cấp k của f tại x tương ứng với vectơ gia ∆x.

Chứng minh. Đặt F là ham một biến F (t) = f(x0 + t∆x). Khai triển MacLaurinhàm này đến cấp m ta có

F (t) = F (0) +m−1∑

k=1

F (k)(0)

k!tk +

F (m)(θ)

m!tm. (1.9)


14

Chú ý rằng

F ′(t) =n∑

i=1

∂f

∂xi

(x0 + t∆x).∆xi = df(x0 + t∆x),

F ′′(t) =n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj

(x0 + t∆x).∆xi∆xj = d2f(x0 + t∆x), · · ·

F (m)(t) = dmf(x0 + t∆x).

Thay vào (1.9) với t = 1 ta được điều phải chứng minh.

(1.8) được gọi là Công thức Taylor đến cấp m của hàm f tại điểm x0, tươngứng với vectơ gia ∆x.

Hệ quả 1.4 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f là hàm có các đạo hàm riêngliên tục trên tập mở U ⊂ Rn và a, b ∈ G là hai điểm phân biệt sao cho [a, b] ⊂ G.Lúc đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) thoả mãn

f(b)− f(a) = 〈∇f(c), b− a〉.

1.4. Cực trị

1.4.1. Điều kiện cần

Cho f là hàm nhiều biến xác định trên G ⊂ Rn. Ta nói hàm f đạt cực tiểu (cựcđại) địa phương tại điểm x0 ∈ G nếu tồn tại số dương δ sao cho

f(x0) ≤ f(x)(f(x0) ≥ f(x)

); ∀x ∈ B(x0, δ) ∩G.

Trong cả hai trường hợp ta nói f đạt cực trị địa phương tại x0.

Định lý 1.17. Nếu f đạt cực trị địa phương tại một điểm trong x0 của G, tại đótồn tại các đạo hàm riêng của f , thì các đạo hàm này phải bằng 0. Tức là

∇f(x0) = 0.

Một điểm tại đó gradiên của f bằng không được gọi là điểm dừng của f . Địnhlý 1.17 cho thấy mọi điểm cực trị của f đều là điểm dừng. Tuy vậy điều ngược lại nóichung không còn đúng. Chẳng hạn, hàm f(x, y) = x2 − y2 có ∇f(x, y) = (2x,−2y)với (x, y) ∈ R2, vì vậy hàm này có một điểm dừng là (0, 0) nhưng đó không phải làđiểm cực trị. Thật vậy, trong một lân cận bé tuỳ ý của (0, 0) ta luôn tìm được haiđiểm tại đó hàm f có một giá trị bé hơn f(0, 0) và một giá trị lớn hơn f(0, 0).


15

1.4.2. Điều kiện đủ

Trước khi phát biểu điều kiện đủ cực trị ta nhắc lại Công thức Taylor đến cấphai của f tại một điểm x0:

f(x0 + ∆x) = f(x0) + df(x0) +1

2d2f(x0 + θ∆x), θ ∈ (0, 1).

Nếu f có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục thì theo Định lý 1.15

f(x0 + ∆x) = f(x0) +n∑

i=1

∂f

∂xi

(x0)∆xi +1

2

(n∑

i=1

∂

∂xi

∆xi

)2

f(x0 + θ∆x)

= f(x0) +n∑

i=1

∂f

∂xi

(x0)∆xi +1

2

n∑i=1

n∑j=1

∂2f

∂xi∂xj

(x0 + θ∆x)∆xi∆xj.

Tóm lại,

f(x0 + ∆x) = f(x0) + 〈∇f(x0), ∆x〉+1

2∆xT∇2f(x0 + θ∆x)∆x, (1.10)

trong đó ∆xT là vectơ chuyển vị của ∆x còn ∇2f(x) ký hiệu ma trận Hessian củaf tại một điểm x. Đó là ma trận vuông cấp n× n mà phần tử ở hàng i cột j chínhlà ∂2f

∂xi∂xj(x). Đây là một ma trận đối xứng khi các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.

Nếu x0 là điểm dừng thì ∇f(x0) = 0, nên (1.10) được viết lại như sau

f(x0 + ∆x)− f(x0) =1

2∆xT∇2f(x0 + θ∆x)∆x,

Nhắc lại rằng một ma trận A vuông cấp n×n được gọi là xác định dương (nửaxác định dương, xác định âm, nửa xác định âm) nếu

uT Au > 0 (uT Au ≥ 0) (uT Au < 0) (uT Au ≤ 0); ∀u ∈ Rn \ {0}.A được gọi là không xác định dấu nếu tồn tại hai vectơ u, v ∈ Rn sao cho

uT Au < 0 < vT Av.

Định lý 1.18. Gỉa sử f có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên một tập mở G, nhậnđiểm x0 ∈ G làm điểm dừng. Lúc đó nếu ∇2f(x) nửa xác định dương (nửa xác địnhâm) trong một lân cận của x0, thì x0 là điểm cực tiểu (cực đại) địa phương.

Bây giờ ta nhắc lại một kết quả quen biết trong đại số tuyến tính. Cho A = (aij)là một ma trận thực vuông đối xứng cấp n. Ta đặt

∆k(A) := det

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k...

.... . .

...ak1 ak2 · · · akk

, 1 ≤ k ≤ n.


16

Định lý 1.19. A là ma trận xác định dương (âm) khi và chỉ khi

∆k(A) > 0 ((−1)k∆k(A) > 0); 1 ≤ k ≤ n.

Định lý 1.20. Gỉa sử f có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên một tập mở G, nhậnđiểm x0 ∈ G làm điểm dừng. Lúc đó

a) Nếu ∇2f(x0) xác định dương thì x0 là điểm cực tiểu.

b) Nếu ∇2f(x0) xác định âm thì x0 là điểm cực đại.

c) Nếu ∇2f(x0) không xác định dấu thì x0 không phải là điểm cực trị.

Khi f là hàm hai biến ta có

∇2f(x, y) =

(∂2f∂x2 (x, y) ∂2f

∂x∂y(x, y)

∂2f∂y∂x

(x, y) ∂2f∂y2 (x, y)

).

Do đó, bằng cách đặt

A :=∂2f

∂x2(x0, y0); B :=

∂2f

∂x∂y(x0, y0); C :=

∂2f

∂y2(x0, y0)

ta có ∆1(∇2f(x0, y0)) = A và ∆2(∇2f(x0, y0)) = AC − B2 =: D. Từ Định lý 1.20ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.5. Gỉa sử f(x, y) nhận (x0, y0) là điểm dừng. Ngoài ra, các đạo hàm riêngđến cấp hai tồn tại và liên tục tại (x0, y0). Lúc đó

a) Nếu D > 0 và A > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu.

b) Nếu D > 0 và A < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại.

c) Nếu D < 0 thì (x0, y0) không phải là điểm cực trị.

Như vậy, nếu D = 0 thì ta vẫn chưa xác định được (x0, y0) có phải là điểm cựctrị hay không.

1.4.3. Cực trị có điều kiện

Ta xét bài toán cực trị

(P)

min f(x1, x2, · · · , xn),

g1(x1, x2, · · · , xn) = 0,

· · ·gm(x1, x2, · · · , xn) = 0,

ở đó m ≤ n. Tập hợp X := {x ∈ Rn | gi(x) = 0; 1 ≤ i ≤ m} được gọi là tập chấpnhận được của bài toán và mỗi điểm x ∈ X được gọi là một điểm chấp nhận được.


17

Một điểm x ∈ X được gọi là nghiệm (địa phương) của bài toán (P) nếu tồn tại lâncận U của x sao cho

f(x) ≤ f(x); ∀x ∈ U ∩X.

Định lý sau cho ta một điều kiện cần của cực trị có điều kiện:

Định lý 1.21. Giả sử x là một nghiệm của bài toán (P) tại đó các hàm f và gi khảvi liên tục. Hơn nữa, ma trận Jacobi

∂g1

∂x1(x) ∂g1

∂x2(x) · · · ∂g1

∂xn(x)

∂g2

∂x1(x) ∂g2

∂x2(x) · · · ∂g2

∂xn(x)

......

. . ....

∂gm

∂x1(x) ∂gm

∂x2(x) · · · ∂gm

∂xn(x)

có hạng bằng m. Lúc đó tồn tại các số thực λ1, λ2 · · · , λm sao cho

∇f(x)−m∑

i=1

λi∇gi(x) = 0.

Các số λ1, ..., λm trong định lý trên được gọi là các nhân tử Lagrange của bàitoán (P) đối với điểm cực trị x.


1.5.1. Giới hạn và đồ thị hàm nhiều biến

a) Định nghĩa hàm nhiều biến số. Để đơn giản ta chỉ xét hàm hai biến.

Cú pháp: [> f:=(x, y)− > (biểu thức hàm theo x, y);

Ví dụ:

[> f:= (x, y)− > 3*x∧2*sin(x*y);

f := (x, y) → 3x2sin(xy)

b) Tính giới hạn của hàm nhiều biến. Chẳng hạn, ta xét hàm hai biến, trườnghợp tổng quát được viết tương tự.

Cú pháp: [> limit(f(x, y), {x=a, y=b}); (Limit sẽ cho công thức hình thức)

Chú ý rằng nếu viết limit(limit(f(x,y), x=a), y=b) thì máy sẽ tính giớihạn lặp, trước tiên theo x và sau đó theo y. Có khi hàm không tồn tại giới hạn tại(a, b) nhưng vẫn tồn tại các giới hạn lặp.

Ví dụ:


18

[> limit(x*y/(x∧2+y∧2), {y=0,x=0});

limit

(xy

x2 + y2, {y = 0, x = 0}

)

Tức là máy không tính nổi giới hạn này (vì không tồn tại). Tuy nhiên:

[> limit(limit(x*y/(x∧2+y∧2), y=0), x=0});

0

Muốn vẽ đồ thị hàm nhiều biến ta cần khởi động các gói lệnh plottools, plots.

c) Vẽ đồ thị hàm z = f(x, y).

Cú pháp: [> plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d);

Lúc đó, đồ thị là một mặt trong không gian Oxyz với miền xác định là hìnhchữ nhật [a, b]× [c, d].

Ví dụ:

[> f:= (x, y) − > x∧2 + y∧2:[> with(plots): with(plottools):

[> plot3d(f(x,y), x=-3..3, y=-2..2);

Hình 1.1: Đồ thị hàm z = x2 + y2

Nếu vẽ nhiều mặt trên cùng một không gian toạ độ thì ta viết

Cú pháp: [> plot3d({f(x,y), g(x,y),...}, x=a..b, y=c..d);

Ví dụ: (xem Hình 1.2)

[> plot3d({x∧2+y∧2, sqrt(1-x∧2-y∧2)},y=0..sqrt(1-x∧2),x=-1..1);d) Vẽ mặt được cho dưới dạng tham số. Giả sử mặt S được cho bởi hệ

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(u, v) ∈ [a, b]× [c, d].


19

Hình 1.2: Đồ thị các hàm z = x2 + y2 và z =√

1− x2 − y2

Để vẽ mặt S ta dùng lệnh (chú ý đừng nhầm lẫn với lệnh vẽ nhiều mặt cùng lúc)

Cú pháp: [> plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a..b, v=c..d);

e) Vẽ mặt được cho bởi phương trình ẩn dạng F (x, y, z) = 0.

Cú pháp: [> implicitplot3d(F(x,y,z)=0,x=a..b, y=c..d, z=e..f);

Ví dụ: Để vẽ mặt x2

4+ y2

9− z2 = 1 trong hình hộp [−5, 5]× [−6, 6]× [−1..1], ta viết

[> implicitplot3d(x∧2/4+y∧2/9- z∧2-1 =0, x=-5..5, y=-6..6, z=-1..1);

Hình 1.3: Đồ thị hàm ẩn x2/4 + y2/9− z2 − 1 = 0

f) Vẽ các đường mức của một hàm hai biến.

Cú pháp: [> contourplot(f(x,y), x=a..b, y=c..d);

Lúc đó, máy sẽ vẽ trên mặt phẳng Oxy các đường cong dạng f(x, y) = α, với các αkhác nhau.


20

1.5.2. Tính đạo hàm

Việc tính đạo hàm của hàm một biến hoặc đạo hàm riêng của hàm nhiều biếnđược thực hiện tương tự nhau.

a) Tính đạo hàm riêng cấp một.

Cú pháp: [> diff(hàm số, tên biến riêng); (dùng Diff thì cho công thức hình thức)

Ví dụ:

[> diff(sqrt(1+yx∧2), x);

yx√1 + x2

[> f:=(x,y)− >x*sin(x*y):

[> diff(f(x,y), y);x2 cos(xy)

[> Diff(f(x,y), x);∂

∂xx sin(xy)

b) Tính đạo hàm cấp cao.

Cú pháp: [> diff(f(x,y), x$k, y$m);

Ví dụ: (với hàm f như trên)

[> diff(f(x, y ),x$2, y$3);

8x3 sin(xy)y − 12x2 cos(xy) + x4 cos(xy)y2

c) Tính građiên (chẳng hạn, hàm ba biến):

Cú pháp: [> grad(f(x,y,z), [x,y,z]);

d) Tính Hessian.

Cú pháp: [> hessian(f(x,y,z), [x,y,z]);

Ví dụ: (với f ở trên)

[> grad(f(x,y), [x,y]);

[sin(xy) + x cos(xy)y, x2 cos(xy)]

[> hessian(f(x,y), [x,y]);

[2 cos(xy)y − x sin(xy)y2 2 cos(xy)x− x2 sin(xy)y2 cos(xy)x− x2 sin(xy)y −x3 sin(xy)

]


21

1.5.3. Khai triển Taylor

Khai triển Taylor hàm f(x, y) tại (a, b) đến cấp n: Cú pháp: [> mtaylor(f(x,y),

[x=a, y=b], n);

Nếu khai triển tại (0, 0) ta chỉ cần viết [x, y] thay cho [x = a, y = b]; nếu khôngkhai báo n thì ngầm định n = 6.

Ví dụ:

[> mtaylor(sin(x + y∧3), [x, y ], 8);

x + y3 − 1

6x3 − 1

2y3x2 +

1

120x5 − 1

5040x7 − 1

2y6x +

1

24y3x4

[> mtaylor(sin(x + y∧3), [x, y ]);

x + y3 − 1

6x3 − 1

2y3x2 +

1

120x5

1.6. Bài tập

1.1. Cho hàm hai biến

f(x, y) =

{x2 + y2, x 6= 0;

0, x = 0.

Cho biết hàm này liên tục tại những điểm nào? Tính f ′x(0, 0), f ′y(0, 0).

1.2. Tìm, hoặc chứng minh không tồn tại, các giới hạn

limx→0

(limy→0

f(x, y)); limy→0

(limx→0

f(x, y)); lim(x,y)→(0,0)

f(x, y))

với

f(x, y) =|x + y|

x2 + y2 − xy.

1.3. Tìm, hoặc chứng minh không tồn tại, các giới hạn

limx→0

(limy→0

f(x, y)); limy→0

(limx→0

f(x, y)); lim(x,y)→(0,0)

f(x, y))

với

f(x, y) =x2 + y2

x2 + y2 + (x− y)2.


22

1.4. Cho hàm f : R× R→ R xác định bởi

f(x, y) :=

{x3y

x6+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

Chứng minh rằng hàm f gián đoạn tại điểm (0, 0) nhưng các đạo hàm riêng f ′x(0, 0),f ′y(0, 0) tồn tại.

1.5. Khảo sát tính liên tục và sự tồn tại các đạo hàm riêng cấp một của hàm haibiến

f(x, y) =

{(x2 + y2) sin 1√

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0);

0, (x, y) = (0, 0).

1.6. Phác hoạ đồ thị của các hàm hai biến sau. Khảo sát tính liên tục và sự tồn tạicác đạo hàm riêng cấp một của chúng

f(x, y) =

{√1− x2 − y2, x2 + y2 < 1;

0, x2 + y2 ≥ 1.

g(x, y) =

{x2 + y2, x2 + y2 < 1;

1, x2 + y2 ≥ 1.

1.7. Xét sự liên tục, khả vi của hàm hai biến

f(x, y) =

{x2 + y2, x ≥ 0,

y2, x < 0.

1.8. Chứng minh rằng nếu f liên tục trên miền D ⊂ Rn và tồn tại a, b ∈ D sao chof(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong D.

1.9. Cho f : R2 → R liên tục sao cho f(0) < 0 và f(x) > 0 với mọi x ∈ S(0, 1).Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có vô số nghiệm.

1.10. Cho f : Rn → R, với mỗi x ∈ Rn và v ∈ Rn ta định nghĩa hàm một biến thực:

gx,v(t) := f(x + tv); t ∈ R.

a) Chứng minh f lồi ⇔ gx,v lồi với mọi x, v ∈ Rn.

b) Từ đó suy ra nếu f khả vi cấp hai trên Rn thì f lồi khi và chỉ khi ∇2f(x)nửa xác định dương tại mọi điểm x ∈ Rn.

1.11. Dùng vi phân cấp một của hàm hai biến để tính gần đúng biểu thức sau

ln(e0.15+3 sin(0.01) + cos(0.01)− 1).


23

1.12. Tính gần đúng biểu thức tan

(1.02

0.96

), biết π

4≈ 0.785.

1.13. Tính gần đúng biểu thức arcsin (0.49 + ln(1.02)), biếtπ

6≈ 0.523.

1.14. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm z = 5x3 sin(x2 + y)ey.

1.15. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm u = 5 sin(x + y2z) cos(xy) phụtheo dt, biết x = 3t2 + 1, y = ln t, z = et.

1.16. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm z = 3x2yex phụ theo dr và dϕ,biết x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

1.17. Cho hàm 2 biến

f(x, y) =

{xy x2−y2

x2+y2 , x2 + y2 6= 0,

0, x2 + y2 = 0.

Chứng minh rằng f ′′xy(0, 0) 6= f ′′yx(0, 0).

1.18. Khảo sát sự tồn tại hàm ẩn dạng y = f(x) hoặc x = g(y) của phương trình

3xex+y−cos(π ln(y+1)) + (x2 − 4) sin y − 3 = 0

trong lân cận điểm M(1, 0). Nếu tồn tại, hãy xác định đạo hàm của hàm ẩn tại điểmtương ứng.

1.19. Cho hàm 3 biến f(x, y, z) = 5x2 cos(y + z2). Xác định ma trận Hessian∇2f(1, π, 0) và tính định thức của nó.

1.20. Cho hàm 2 biến f(x, y) = 3(x + 1)ey+x2. Hãy tính vi phân df(1, 0) và vi phân

cấp hai d2f(1, 0) tương ứng với vectơ gia (∆x, ∆y).

1.21. Khảo sát sự tồn tại hàm ẩn y = f(x) của các phương trình sau

a) 5x2ey + 3y cos x = 0 tại (0, 0);

b) sin x + cos y − 1 = 0 tại (π2, π

2).

Tính đạo hàm hàm ẩn tại các điểm tương ứng.

1.22. Khảo sát cực trị của các hàm hai biến thực:

z = x3 + y3 − 3xy; z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2;

z = x3y + xy3 − xy; z = xy2 − x2y;

z = 2x2 + 3y2 − x4; z = xy2 + x2y;

z =x + y + 1

x2 + y2 + 1; z =

1

1 + x2 + y2;

z = 1−√

x2 + y2; z = (x2 + y2)e−x2−y2

;

z = xy3 + x3y; z = xy√

1− 4x2 − 9y2.

1.23. Chứng minh hàm số sau có vô số điểm dừng, trong đó có một điểm cực đại

z = (x2 + y2)2 − 2x2 − 2y2.


Chương 2

ỨNG DỤNG

CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂNTRONG HÌNH HỌC

2.1. Các hệ toạ độ

2.1.1. Hệ toạ độ cực

Để biểu diễn một điểm trong mặt phẳng ta thường sử dụng hệ toạ độ Đêcacvuông góc. Nghĩa là người ta sử dụng hai trục toạ độ vuông góc Ox, Oy cắt nhautại một điểm O. Mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định hoàn toàn bởi cặpsố thực (x, y) ∈ R2; trong đó x = OP , y = OQ với P và Q lần lượt là hình chiếuvuông góc của M lên Ox và Oy.

Nếu bây giờ ta đặc trưng mỗi điểm M trong mặt phẳng bởi cặp giá trị (r, ϕ),trong đó r là độ dài đoạn OM và ϕ là góc định hướng lập bởi trục Ox và vectơ−−→OM , thì cặp số này sẽ được gọi là toạ độ cực của điểm M . Rõ rằng, mỗi cặp(r, ϕ) ∈ G = R+ × R xác định duy nhất một điểm trên mặt phẳng. Tuy vậy, tươngứng với mỗi điểm M trên mặt phẳng thì có thể có nhiều cặp toạ độ cực khác nhaucho nó với các giá trị ϕ sai khác một bội của 2π. Đặc biệt để biểu diễn điểm Ota có thể dùng cặp (0, ϕ) với ϕ tuỳ ý. Để việc biểu diễn là duy nhất (đối với cácđiểm M 6= O) người ta thường thu hẹp phạm vi của ϕ, chẳng hạn chỉ cho phép(r, ϕ) ∈ G = [0, +∞)× [0, 2π) hoặc (r, ϕ) ∈ G = [0, +∞)× [−π, π)...

Mối liên hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đêcac được cho bởi hệ sau{x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ.

Lúc đó, phương trình các đường trong mặt phẳng

f(x, y) = 0


25

cũng có thể được cho dưới dạng

g(r, ϕ) = 0

hay ngược lại. Chẳng hạn đường thẳng x + y = 1, đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1 vàđường parabol y = x2 có thể được viết lại lần lượt là r(cos ϕ + sin ϕ) = 1, r = 1 vàr sin ϕ− r2 cos2 ϕ = 0. Ngoài ra có một số đường mà cách biểu diễn theo hệ toạ độnày cho chúng ta một ý nghĩa hình học sáng sủa hơn hẳn dùng toạ độ khác. Chẳnghạn đường thẳng y = 1 hoàn toàn không nên viết r sin ϕ = 1. Hay ngược lại đườngxoáy trôn ốc r = ϕ rất khó tìm được một cách biểu diễn trong toạ độ Đêcac.

2.1.2. Hệ toạ độ trụ

Tương tự trong mặt phẳng, trong không gian ta thường sử dụng hệ toạ độĐêcac vuông góc. Nghĩa là người ta sử dụng ba trục toạ độ vuông góc Ox, Oy, Ozcắt nhau tại một điểm O. Mỗi điểm M trong không gian được xác định hoàn toànbởi bộ ba số thực (x, y, z) ∈ R3; trong đó x = OP , y = OQ, z = OR với P , Q và Rlần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy và Oz.

Nếu gọi N là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy và ta đặc trưng cho điểmM trong không gian bởi bộ ba (r, ϕ, z) trong đó z = OR, r là độ dài đoạn ON và ϕ

là góc định hướng lập bởi trục Ox và vectơ−−→ON , thì bộ ba này sẽ được gọi là toạ độ

trụ của điểm M . Nói cách khác, ta thay cặp (x, y) trong toạ độ Đêcac bởi toạ độ cựctương ứng (r, ϕ) và giữ nguyên toạ độ thứ ba: z. Cách xác định toạ độ như vậy cũngkhông duy nhất. Nếu thu hẹp phạm vi toạ độ là (r, ϕ, z) ∈ [0, +∞)× [0, 2π)×R thìviệc biểu diễn là duy nhất đối với các điểm không thuộc trục Oz.

Mối liên hệ giữa toạ độ trụ và toạ độ Đêcac được cho bởi hệ sau

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = z.

Lúc đó, phương trình r2 + z2 = 1 xác định mặt cầu đơn vị còn phương trìnhz = r xác định một mặt nón hướng về chiều dương của trục Oz.

2.1.3. Hệ toạ độ cầu

Trong không gian người ta còn sử dụng hệ toạ độ cầu để biểu diễn các điểm. Cụthể, ứng với một điểm M trong không gian có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳngOxy là N, ta gọi toạ độ cầu của M là bộ ba (ρ, ϕ, θ) ∈ [0, +∞) × [0, 2π) × [−π, π]

trong đó ρ là độ dài đoạn OM , ϕ là góc lập bởi Ox với vectơ−−→ON còn θ là góc lập

bởi Oz và vectơ−−→OM .


26

Mối liên hệ giữa toạ độ cầu và toạ độ Đêcac được cho bởi hệ sau

x = ρ sin θ cos ϕ,

y = ρ sin θ sin ϕ,

z = ρ cos θ.

Dễ thấy rằng, mặt cầu đơn vị bây giờ có phương trình là ρ = 1 còn mặt nónr = z trong toạ độ trụ bây giờ có phương trình trong toạ độ cầu là θ = π

4. Trong

khi đó, mặt parabol z = x2 + y2 có phương trình cos θ = ρ sin2 θ.

2.2. Hàm vectơ

2.2.1. Khái niệm

Cho I là một khoảng trong R. Lúc đó, một ánh xạ

f :I −→ Rn;

t ∈I −→ f(t) ∈ Rn

được gọi là một hàm vectơ (n chiều) biến số t xác định trong I. Với mỗi giá trịt ∈ I, f(t) là một n−vectơ với n thành phần: f(t) = (f1(t), · · · , fn(t)). Vì vậy việccho một hàm vectơ f(t) tương đương với việc cho n hàm số thực fi(t), 1 ≤ i ≤ n,gọi là các hàm thành phần của f . Tập hợp

C := {f(t) | t ∈ I}được gọi là một đường cong trong Rn. Khi n = 2 ta nhận được một đường congphẳng và khi n = 3 ta có đường cong trong không gian. Thông thường, đường congphẳng được cho bởi hàm (x(t), y(t)) hay được viết dưới dạng hệ

{x = x(t),

y = y(t),t ∈ I.

Tương tự, đường cong trong không gian được xác định bởi

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t),

t ∈ I.

Chẳng hạn, hệ

x = cos t,

y = sin t,

z = t,

t ∈ R

cho ta đường xoắn dạng lò xo bao quanh mặt trụ x2 + y2 = 1.


27

2.2.2. Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm

Cho hàm vectơ f : I → Rn và t0 ∈ I. Ta nói vectơ v ∈ Rn là giới hạn của hàmf tại t0 và ký hiệu

v = limt→t0

f(t)

nếu∀ε > 0,∃δ > 0, ∀t ∈ I : 0 < |t− t0| < δ ⇒ ‖f(t)− v‖ < ε.

Sử dụng Bổ đề 3.3 trong giáo trình Giải tích 2 dễ chứng minh được rằng

v = limt→t0

f(t) ⇐⇒ vi = limt→t0

fi(t); 1 ≤ i ≤ n. (2.1)

Hàm f được gọi là liên tục tại t0 nếu

f(t0) = limt→t0

f(t),

được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng I. Từ (2.1) ta cóngay kết quả sau

Mệnh đề 2.1. Hàm vectơ f liên tục trên I (tại t0) khi và chỉ khi các hàm thànhphần fi cũng liên tục trên I (tại t0).

Đạo hàm của hàm vectơ f tại điểm t0 được định nghĩa là giới hạn sau nếu nótồn tại:

f ′(t0) := lim∆t→0

f(t0 + ∆t)− f(t0)

∆t.

Mệnh đề 2.2. Hàm vectơ f có đạo hàm tại t0 khi và chỉ khi các hàm thành phầnfi cũng có đạo hàm tại điểm đó. Hơn nữa, ta có

f ′(t0) = (f ′1(t0), · · · , f ′n(t0)).

Mệnh đề 2.3. Cho f và g là các hàm vectơ n chiều, có đạo hàm tại t0 và λ là mộtsố thực. Lúc đó, các hàm vectơ f ± g, λf và hàm số 〈f, g〉 cũng có đạo hàm. Hơnnữa

a) (f ± g)′(t0) = f ′(t0)± g′(t0),

b) (λf)′(t0) = λf ′(t0),

c) 〈f, g〉′(t0) = 〈f ′(t0), g(t0)〉+ 〈f(t0), g′(t0)〉.

Hệ quả 2.1. Nếu f là một hàm vectơ có đạo hàm sao cho ‖f(t)‖ là hằng số, thìtại mọi điểm ta có f ′(t)⊥f(t).

Nếu f là một hàm vectơ có đạo hàm tại mọi điểm trên I, thì f ′ cũng là mộthàm vectơ. Nếu f ′ cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm này là đạo hàm cấp hai củaf và ký hiệu là f ′′. Tương tự, ta có thể định nghĩa các đạo hàm cấp cao hơn của f .Sử dụng Mệnh đề 2.2 nhiều lần ta cũng thu được kết quả sau


28

Mệnh đề 2.4. Hàm vectơ f có đạo hàm đến cấp k tại t0 khi và chỉ khi các hàmthành phần fi cũng có đạo hàm cấp k tại điểm đó. Hơn nữa, ta có

f (k)(t0) = (f(k)1 (t0), · · · , f (k)

n (t0)).

Một đường cong được gọi là liên tục, khả vi, khả vi liên tục v.v. nếu hàm vectơf tương ứng có các tính chất đó.

2.3. Các đối tượng liên quan đến đường cong

2.3.1. Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong phẳng

Cho đường cong phẳng C xác định bởi hệ

{x = x(t),

y = y(t),t ∈ [a, b]. (2.2)

Với t0 ∈ (a, b), M0 = f(t0) = (x(t0), y(t0)) là một điểm trên đường cong. Giả thiếtthêm rằng f ′(t0) tồn tại và khác không. Với số gia ∆t đủ bé điểm Mt = f(t0 +∆t) =

(x(t0 + ∆t), y(t0 + ∆t)) nằm trên đường cong C. Lúc đó f(t0+∆t)−f(t0)∆t

là vectơ chỉ

phương của cát tuyến M0Mt. Khi ∆t → 0 ta có Mt → M0 và cát tuyến M0Mt tiếndần về tiếp tuyến của đường cong tại M0. Do đó, nếu f ′(t0) tồn tại và khác khôngthì đó cũng chính là vectơ chỉ phương của tiếp tuyến đường cong C tại M0. Đườngthẳng đi qua M0 và vuông góc với tiếp tuyến đường cong tại đó được gọi là pháptuyến của đường cong. Rõ ràng phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến đườngcong tại M0 lần lượt được cho bởi

{x = x(t0) + tx′(t0),

y = y(t0) + ty′(t0),t ∈ R

vàx′(t0)(x− x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0.

Bây giờ giả sử đường cong C được cho bởi phương trình

F (x, y) = 0,

với F : R2 → R là hàm hai biến, có các đạo hàm riêng tại điểm M0(x0, y0) ∈ C. M0

được gọi là điểm kỳ dị nếu ∇F (x0, y0) = 0. Trường hợp ngược lại ta nói M0 là điểmchính quy. Lúc đó, theo Định lý ?? tồn tại một hàm ẩn y = y(x) (hay x = x(y)) vớiy(x0) = y0, F (x, y(x)) = 0 với mọi x và

F ′x(x0, y0) + F ′

y(x0, y0).y′(x0) = 0.


29

Mặt khác, chú ý rằng C có thể được biểu diễn bởi hệ phương trình tham số tronglân cận M0 là {

x = x,

y = y(x).

Nên (1, y′(x0)) cũng là vectơ chỉ phương của tiếp tuyến của C tại M0. Do đó,(F ′

x(x0, y0), F′y(x0, y0)) là vectơ chỉ phương của pháp tuyến đường cong tại M0 mà

ta gọi là vectơ pháp của C. Lúc này, phương trình đường tiếp tuyến của C tại M0 là

(x− x0).F′x(x0, y0) + (y − y0).F

′y(x0, y0) = 0

Ví dụ 2.1. Đường tròn đơn vị có phương trình x2 + y2 = 1. Ở đây, F ′x = 2x và

F ′y = 2y nên tại mỗi điểm M0(x0, y0) trên đường tròn có thể chọn vectơ pháp là −→n =

(x0, y0). Vậy phương trình tiếp tuyến đường tròn tại M0 là x0(x−x0)+y0(y−y0) = 0,hay x0x + y0y = 1.

2.3.2. Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong trong khônggian

Giả sử C là đường cong khả vi trong không gian được xác định bởi hệ

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t),

t ∈ [a, b]. (2.3)

Bằng lập luận tương tự trên đường cong phẳng ta thấy, với mỗi t0 ∈ (a, b), v :=(x′(t0), y′(t0), z′(t0)) (nếu khác vectơ không) là vectơ chỉ phương của đường thẳngtiếp tuyến với C tại M0((x(t0), y(t0), z(t0)). Do đó phương trình tham số của tiếptuyến này là

x = x(t0) + tx′(t0),

y = y(t0) + ty′(t0),

z = z(t0) + tz′(t0),

t ∈ R.

Mặt phẳng chứa M0, vuông góc với v được gọi là pháp diện của đường cong.Dĩ nhiên, phương trình của pháp diện của C tại M0 là

(x− x(t0))x′(t0) + (y − y(t0))y

′(t0) + (z − z(t0))z′(t0) = 0.

2.3.3. Độ cong

a. Trường hợp đường cong phẳng

Cho C là đường cong phẳng khả vi hai lần, xác định bởi hệ (2.2). Lấy điểmM(x(t), y(t)) ∈ C. Tập hợp {(x(τ), y(τ)) | τ ∈ [a, t]} chính là cung của đường cong


30

có hai mút là A(x(a), y(a)) và M . Trong chương trình Giải tích I ta đã biết độ dàicung này được tính bởi

s(t) :=_

AM =

∫ t

a

√x′(τ)2 + y′(τ)2dτ

và do đó, vi phân cung là

ds(t) =√

x′(t)2 + y′(t)2dt.

Bây giờ cố định một điểm M0(x(t0), y(t0)) với t0 ∈ (a, b). Với mỗi ∆t đủ bé t =t0 + ∆t ∈ (a, b), ta ký hiệu ∆α là độ lớn của góc lập bởi hai vectơ tiếp tuyến của

đường cong tại M0 và Mt(x(t), y(t)), ∆s là độ dài cung_

M0Mt.

Độ cong của C tại M0 là giới hạn sau nếu nó tồn tại

C(M0) := lim∆t→0

∆α

∆s. (2.4)

Nếu C(M0) 6= 0, đại lượng ρ = 1C(M0)

được gọi là bán kính độ cong.

Ví dụ 2.2. Nếu C là một đoạn thẳng thì ∆α luôn luôn bằng không. Do đó, độ congtại mọi điểm của nó bằng không. Nếu C là đường tròn tâm I, bán kính R > 0 thìvới ∆α bé, ∆α cũng chính là góc lập bởi hai bán kính IM0 và IMt. Do đó, độ dàicung ∆s bằng R∆α. Suy ra

C(M0) = lim∆t→0

∆α

R∆α=

1

R.

Lúc này, ρ = R hay bán kính độ cong của đường tròn trùng với bán kính của nó. Ởđây ta thấy khái niệm độ cong khá hợp lý ở chỗ là độ cong của đường tròn càng békhi bán kính của nó càng lớn.

Bổ đề 2.1.

a) Cho hai vectơ −→m = (m1,m2),−→n = (n1, n2) lập thành một góc nhọn. Lúc đó,

sin(−→m,−→n ) =|m1n2 −m2n1|‖−→m‖.‖−→n ‖ . (2.5)

b) Nếu −→m = (m1,m2,m3) và −→n = (n1, n2, n3), thì (2.5) được thay bằng

sin(−→m,−→n ) =

√∣∣∣∣m1 m2

n1 n2

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣m2 m3

n2 n3

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣m3 m1

n3 n1

∣∣∣∣2

‖−→m‖.‖−→n ‖ .


31

Định lý 2.5. Giả sử C là đường cong phẳng, khả vi đến cấp hai, xác định bởi hệ(2.2) và M(x(t), y(t)), t ∈ (a, b) là một điểm trên C sao cho (x′(t), y′(t)) 6= (0, 0).Lúc đó

C(M) =|x′y′′ − x′′y′|(x′2 + y′2)

32

. (2.6)

Đặc biệt, nếu C được biểu diễn bởi phương trình y = f(x), x ∈ [a, b] thì vớiM(x, f(x)) ta có

C(M) =|f ′′|

(1 + f ′2)32

.

Ví dụ 2.3. Đường cycloid: x = a(t− sin t), y = a(1− cos t) (a > 0) là quỹ tích củamột điểm P cố định trên đường tròn bán kính a khi đường tròn này lăn trên trụcOx. Độ cong của đường cycloid tại mỗi điểm M(a(t− sin t), a(1− cos t)) là

C(M) =| cos t− 1|

2√

a(1− cos t)32

=1∣∣4a sin t

2

∣∣ .

Như vậy, độ cong chỉ xác định tại các điểm M với t 6= 2kπ.

Nếu đường cong được cho trong toạ độ cực: r = f(ϕ), thì bằng cách viếtx = f(ϕ). cos ϕ, y = f(ϕ). sin ϕ, xem như đó là phương trình tham số của đườngcong, từ (2.6) ta có

C(M) =|r2 + 2r′2 − rr′′|

(r2 + r′2)32

.

b. Trường hợp đường cong trong không gian

Cho đường cong C khả vi đến cấp hai trong không gian, được xác định bởi hệ(2.3). Tương tự như trong mặt phẳng ta có công thức vi phân cung

ds(t) =√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

Với mỗi t0 ∈ (a, b) và ∆t đủ bé, ta vẫn ký hiệu ∆s là độ dài cung_

M0Mt còn∆α là số đo góc lập bởi các vectơ tiếp tuyến với đường cong tại M0 và Mt, trong đóM0 và Mt lần lượt là các điểm trên đường cong tương ứng với tham số t0 và t0 +∆t.Độ cong của C tại M0 cũng được định nghĩa bởi công thức (2.4). Định lý sau chochúng ta công thức tính độ cong của đường trong không gian.

Định lý 2.6. Giả sử M(x(t), y(t), z(t)), t ∈ (a, b) là một điểm trên đường cong Csao cho (x′(t), y′(t), z′(t)) 6= (0, 0, 0). Lúc đó

C(M) =

√∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣2

(x′2 + y′2 + z′2)32

.


32

2.3.4. Hình bao của họ đường cong

Cho một họ đường cong phẳng C(λ) phụ thuộc tham số λ. Nếu mọi đường congC(λ) đều tiếp xúc với một đường cong L và ngược lại, tại mỗi điểm M ∈ L đều tồntại một đường cong C(λ) của họ tiếp xúc với L tại M , thì L được gọi là hình baocủa họ C(λ).

Ví dụ 2.4.

* Phương trình (x− λ)2 + y2 = R2, trong đó R là số cố định, biểu diễn mộthọ đường tròn bán kính R có tâm (λ,0) chạy trên trục Ox. Hình bao của họ này làhai đường thẳng y = ±R.

* Phương trình x cos λ + y sin λ − 1 = 0 biểu diễn một họ đường thẳng màkhoảng cách từ gốc O đến đường thẳng ấy bằng 1. Hình bao của họ này là đườngtròn đơn vị.

Định lý 2.7. Cho họ đường cong F (x, y, λ) = 0 phụ thuộc tham số λ. Nếu cácđường của họ ấy không chứa điểm kỳ dị, thì phương trình của hình bao L của chúngđược xác định bởi hệ {

F (x, y, λ) = 0,

F ′λ(x, y, λ) = 0.

2.4. Mặt cong

2.4.1. Khái niệm

Cho D là một miền trong R2 và một ánh xạ

f :D −→ R3;

(u, v) ∈D −→ f(u, v) ∈ R3.

Với mỗi điểm (u, v) ∈ D, f(u, v) là một vectơ trong không gian với 3 thành phần:f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Vì vậy việc cho ánh xạ f tương đương với việccho 3 hàm số thực x(u, v), y(u, v) và z(u, v). Tập hợp

S := {f(u, v) | (u, v) ∈ D}

được gọi là một mặt cong trong không gian. Thông thường, mặt cong được cho bởihệ sau mà ta gọi là phương trình tham số của mặt.

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(u, v) ∈ D. (2.7)


33

Nếu từ phương trình tham số ta giải được u, v theo x, y và từ đó đưa được vềphương trình

z = g(x, y) (2.8)

(hoặc x = g(y, z), y = g(z, x)) thì (2.8) được gọi là dạng hiển của mặt cong S.Nếu ta loại được hai biến u, v từ (2.7) để nhận được phương trình

F (x, y, z) = 0, (2.9)

trong đó F là hàm ba biến, thì phương trình này được gọi là dạng ẩn của mặt.

Mặt được gọi là liên tục nếu các hàm thành phần liên tục; được gọi là trơn nếucác hàm thành phần khả vi liên tục và ma trận Jacobi của f :

Jf :=

(x′u y′u z′ux′v y′v z′v

)

có hạng bằng 2. Sử dụng Định lý hàm ẩn ta có thể chứng minh được trong trườnghợp mặt cong trơn thì tại lân cận của mỗi điểm của mặt, luôn tồn tại một biểudiễn dưới dạng hiển và một biểu diễn dưới dạng ẩn của mặt. Lúc này, các hàm g, Ftương ứng cũng khả vi liên tục. Hơn nữa ∇F 6= 0 tại mọi điểm của mặt.

Ví dụ 2.5. Mặt cầu tâm O bán kính R > 0 có phương trình tham số

x = R sin θ cos ϕ,

y = R sin θ sin ϕ,

z = R cos θ,

(θ, ϕ) ∈ [0, π]× [0, 2π).

Hoặc dưới dạng phương trình ẩn:

x2 + y2 + z2 −R2 = 0.

2.4.2. Tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong

Giả sử S là một mặt cong trơn trong không gian và M0 là một điểm của mặt.Ta nói một mặt phẳng (P ) đi qua M0 là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của Stại M0 nếu

limM

S→M0

d(M, P )

M0M= 0, (2.10)

trong đó d(M, P ) là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ). Ở đây, (2.10) được hiểulà

∀ε > 0,∃δ > 0,∀M ∈ S : 0 < M0M < δ ⇒ d(M,P )

M0M< ε.

Đường thẳng đi qua M0 và vuông góc với tiếp diện của S tại M0 được gọi làpháp tuyến của mặt tại điểm đó.


34

Định lý 2.8. Giả sử S là mặt cong trơn được xác định bởi hệ (2.7) và M0 ∈ S làđiểm ứng với cặp tham số (u0, v0). Lúc đó tiếp diện của S tại M0 là mặt phẳng điqua M0 và nhận hai vectơ sau làm vectơ chỉ phương

f ′u(u0, v0) = (x′u(u0, v0), y′u(u0, v0), z

′u(u0, v0));

f ′v(u0, v0) = (x′v(u0, v0), y′v(u0, v0), z

′v(u0, v0)).

Từ định lý này suy ra phương trình tham số của tiếp diện tại M0 của S là

x = x(u0, v0) + u.x′u(u0, v0) + v.x′v(u0, v0),

y = y(u0, v0) + u.y′u(u0, v0) + v.y′v(u0, v0),

z = z(u0, v0) + u.z′u(u0, v0) + v.z′v(u0, v0),

(u, v) ∈ R2.

Đặc biệt, nếu mặt được cho dưới dạng hiển (2.8) thì phương trình của tiếp diệntại M0(x0, y0, g(x0, y0)) là

z = (x− x0)g′x(x0, y0) + (y − y0)g

′y(x0, y0) + g(x0, y0), (x, y) ∈ R2.

Lúc đó ta có vectơ pháp của mặt: −→n = (g′x(x0, y0), g′y(x0, y0),−1).

Định lý 2.9. Giả sử S là mặt cong trơn được xác định bởi phương trình ẩn (2.9) vàM0(x0, y0, z0) ∈ S. Lúc đó tiếp diện của S tại M0 là mặt phẳng đi qua M0 và nhận∇F (M0) làm vectơ pháp.

Lúc này phương trình của tiếp diện là

(x− x0)F′x(x0, y0, z0) + (y − y0)F

′y(x0, y0, z0) + (z − z0)F

′z(x0, y0, z0) = 0 (2.11)

và pháp tuyến có phương trình

x− x0

F ′x(x0, y0, z0)

=y − y0

F ′y(x0, y0, z0)

=z − z0

F ′z(x0, y0, z0)

.

Ví dụ 2.6.

* Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt parabol z = x2 + y2 tạiM(1, 2, 5).

Ta có phương trình mặt ở dạng hiển với g(x, y) = x2 + y2. Tại M ta có −→n =(2, 4,−1). Nên phương trình tiếp diện là

z = 2(x− 1) + 4(y − 2) + 5 hay 2x + 4y − z − 5 = 0

và phương trình pháp tuyến là

x− 1

2=

y − 2

4= −z − 5

1.

* Viết phương trình tiếp diện của mặt Êlip x2+2y2+5z2 = 8 tại điểm M(1, 1, 1).

Đây là phương trình dạng ẩn với F (x, y, z) = x2 +2y2 +5z2−8. Áp dụng (2.11)ta có phương trình tiếp diện là

2(x− 1) + 4(y − 1) + 10(z − 1) = 0 hay x + 2y + 5z − 8 = 0.


35

2.5. Thực hành tính toán

Phần thực hành trong chương này chủ yếu ta sẽ nghiên cứu cách vẽ các đườngcong và mặt cong trong mặt phẳng và trong không gian, bao gồm cả các trường hợpđã xét trong Chương 1. Để thực hiện các lệnh trong mục này, nói chung, ta cần khởiđộng các gói công cụ plots, plottools.

2.5.1. Vẽ đường cong trong mặt phẳng

a. Dùng toạ độ Đê-các. Trong toạ độ Đê-các, một đường cong phẳng (C) thườngđược biểu diễn như là đồ thị của hàm một biến f nào đó:

(C) : y = f(x), x ∈ [a, b],

hoặc được biểu diễn dưới dạng tham số:

(C) :

{x = x(t),

y = y(t),t ∈ [a, b],

hoặc dưới dạng một phương trình ẩn

(C) : F (x, y) = 0.

Để vẽ đường cong trong trường hợp thứ nhất ta dùng lệnh

[> plot(f(x), x=a..b);

trong trường hợp thứ hai ta dùng lệnh

[> plot([x(t), y(t), t=a..b]);

và trong trường hợp thứ ba:

[> implicitplot(F(x,y)=0, x=a..b, y=c..d);

b. Dùng toạ độ cực. Trong toạ độ cực, một đường cong phẳng thường có hai cáchbiểu diễn

(C) : r = f(ϕ); ϕ ∈ [a, b]

hoặc

(C) :

{r = r(t),

ϕ = ϕ(t),t ∈ [a, b].

Để vẽ đường cong trong trường hợp thứ nhất ta dùng lệnh

[> polarplot(f(phi), phi=a..b);

và trong trường hợp thứ hai ta dùng lệnh

[> polarplot([r(t), phi(t), t=a..b]);


36

2.5.2. Vẽ mặt cong trong không gian

a. Dùng toạ độ Đê-các. Trong toạ độ Đê-các, một mặt cong phẳng (S) cũngthường được biểu diễn như là đồ thị của hàm hai biến f nào đó:

(S) : z = f(x, y), (x, y) ∈ [a, b]× [c, d],

hoặc được biểu diễn dưới dạng tham số:

(S) :

x = x(s, t),

y = y(s, t),

z = z(s, t),

(s, t) ∈ [a, b]× [c, d],

hoặc bởi một phương trình ẩn:

(S) : F (x, y, z) = 0.

Để vẽ mặt cong trong trường hợp thứ nhất ta dùng lệnh

[> plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d);

trong trường hợp thứ hai ta dùng lệnh

[> plot3d([x(s,t), y(s,t), z(s,t)], s=a..b, t=c..d);

và trong trường hợp thứ ba ta dùng lệnh

[> implicitplot3d(F(x,y,z)=0, x=a..b, y=c..d, z=e..f);

b. Dùng toạ độ trụ. Trong toạ độ trụ, một mặt cong phẳng (S) thường được biểudiễn bởi một trong hai cách:

(S) : r = f(ϕ, z), (ϕ, z) ∈ [a, b]× [c, d],

hoặc

(S) :

r = r(s, t),

ϕ = ϕ(s, t),

z = z(s, t),

(s, t) ∈ [a, b]× [c, d].


[> cylinderplot(f(phi, z), phi=a..b, z=c..d);


[> cylinderplot([r(s,t), phi(s,t), z(s,t)], s=a..b, t=c..d);

c. Dùng toạ độ cầu. Trong toạ độ cầu, một mặt cong phẳng (S) thường đượcbiểu diễn bởi một trong hai cách:

(S) : ρ = f(ϕ, θ), (ϕ, θ) ∈ [a, b]× [c, d],


37

hoặc

(S) :

ρ = ρ(s, t),

ϕ = ϕ(s, t),

θ = θ(s, t),

(s, t) ∈ [a, b]× [c, d].


[> sphereplot(f(phi, theta), phi=a..b, theta=c..d);


[> sphereplot([rho(s,t), phi(s,t), theta(s,t)], s=a..b, t=c..d);

Ví dụ: Để vẽ mặt cầu đơn vị ta có thể dùng một trong các lệnh sau (xem Hình 3.1).

[> plot3d([sin(s)*cos(t),sin(s)*sin(t),cos(s)],s=0..Pi,t=0..2*Pi);

[> cylinderplot(sqrt(1-z∧2), phi=0..2*Pi, z=-1..1);

[> cylinderplot([sin(s), phi, cos(s)], phi=0..2*Pi, s=0..Pi);

[> sphereplot(1, phi=0..2*Pi, theta=0..Pi);

Hình 2.1: Mặt cầu đơn vị

2.5.3. Vận động đồ thị

Vận động đồ thị là sự biến thiên của đồ thị theo tham số. Điều đó có nghĩalà ta cho một họ đường cong (Ct) hay mặt cong (St) phụ thuộc vào một tham sốt. Sau đó vẽ tất cả các đường/mặt này ứng với các giá trị t khác nhau. Họ đườngcong, mặt cong có thể biểu diễn dưới các dạng khác nhau và theo các hệ toạ độ khác

nhau. Ở đây, chúng ta chỉ xét họ được viết dưới dạng đơn giản:

(Ct) : y = f(x, t), x ∈ [a, b], t ∈ [t1, t2]

(St) : z = f(x, y, t), (x, y) ∈ [a, b]× [c, d], t ∈ [t1, t2].


38

Để vận động họ (Ct) ta dùng lệnh

[> animate(f(x, t), x=a..b, t=t1..t2);

và vận động họ (St) bằng lệnh

[> animate3d(f(x, y, t), x=a..b, y=c..d, t=t1..t2);

Chú ý là khi thực hiện lệnh này ta thấy đồ thị chưa vận động bởi vì máy chỉ vẽmột đường/mặt ứng với một tham số cụ thể nào đó. Nếu đưa con trỏ chuột vào vùngđồ thị và kích trái chuột thì một bảng lệnh điiêù hành sẽ hiện ra ngay dưới thanhcông cụ, gồm các ký hiệu play, continuous, stop quen thuộc. Nếu bạn muốn đồthị vận động liên tục theo các tham số thì nhấn continuous/play, sau đó muốndừng thì nhấn stop.

2.6. Bài tập

2.1. Viết phương trình tiếp diện và phương trình pháp tuyến của mặt y = 3z2−xz+1tại các điểm A(x = 0, y = 1, z = 0) và B(x = 2, y = 2, z = 1).

2.2. Viết phương trình tiếp diện và phương trình pháp tuyến của mặt x2+2y2+3z2 =1 tại các điểm A(1, 0, 0) và B( 1√

3, 1√

6, 1

3).

2.3. Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của đường cong

x = cos t, y = sin t, z = t; t ∈ R

tại các điểm A(1, 0, 0) và B(0, 1, π2).

2.4. Viết phương trình tiếp diện và phương trình pháp tuyến của mặt z = 2x2 +3y2 + 1 tại các điểm A(1, 0, 3) và B(−1,−1, 6).

2.5. Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của đường cong sautại các điểm (−1,−1, 2) và (0, 0, 0):

{z = x2 + y2,

x + y + z = 0.

2.6. Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp diện của đường cong

{x2 + y2 + z2 − 1 = 0,

x− y = 0,

tại điểm M(√

33

,√

33

,√

33

).


39

2.7. Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp diện của đường cong

x = 2 sin t,

y = 5 cos(t2 + t),

z = 1 + 3 sin t,

tại điểm M(0, 5, 1).

2.8. Xác định độ cong của các đường cong sau tại điểm M(0, 1, π2):

a) x = cos t, y = sin t, z = t; b) x = cos t, y = sin t, z = π2.

2.9. Xác định độ cong của đường cong phẳng r = ϕ tại điểm (π, π) (tức là điểm(−π, 0) theo toạ độ Đê-các).

2.10. Hai mặt cong trơn (S) và (T ) được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M0 ∈ (S)∩(T )nếu tiếp diện tại M0 của (S) và của (T ) trùng nhau. Giả sử (S) và (T ) lần lượtđược biểu diễn bởi các phương trình ẩn f(x, y, z) = 0 và g(x, y, z) = 0. Chứng minhrằng (S) và (T ) tiếp xúc nhau tại M0(x0, y0, z0) khi và chỉ khi

{f(x0, y0, z0) = g(x0, y0, z0) = 0,

∇f(x0, y0, z0) = ∇g(x0, y0, z0).

2.11. Chứng minh rằng họ đường cong

(Cλ) : x2 − 2λ3x + y2 − 2λy + λ6 = 0

có hình bao chứa đường thẳng y = 0.


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH IV




1

Mục lục

Chương 1. Tích phân bội 4

1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Tích phân trên tập bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Tập đo được Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất . . . . . . . 9

1.3. Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2. Công thức tính tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. Công thức tính tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . 16

1.5.2. Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể . . . . . . . . . . . . . . . . 18


1.6.1. Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.2. Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. Tích phân phụ thuộc tham số 22


2

2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Tích phân với cận là hàm của tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Hội tụ - Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3. Tính chất của tích phân hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.2. Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.3. Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


2.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chương 3. Tích phân đường - Tích phân mặt 29

3.1. Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3. Cách tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.4. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Tích phân đường loại II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2. Cách tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . 34

3.2.4. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.5. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường . . . . . . . . 35

3.3. Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1. Mặt hai phía định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


3

3.4.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . 39

3.4.5. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.6. Công thức Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


3.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


4

Chương 1.

TÍCH PHÂN BỘI

1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn

1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch

Ta gọi một hộp trong Rn là tập hợp có dạng

D =n∏1

Ij, (1.1)

trong đó, Ij là một khoảng trong R (tức là có một trong 4 dạng (aj, bj), (aj, bj],[aj, bj), [aj, bj]) . Nếu các Ij đều là khoảng đóng (mở) thì D được gọi là một hộp

đóng (mở). Dễ thấy rằng với D là hộp bất kỳ thì◦D và D lần lượt là các hộp mở (có

thể rỗng) và đóng. Khoảng Ij được gọi là suy biến nếu đó là tập một điểm. D đượcgọi là hộp k chiều nếu có đúng k khoảng Ij là không suy biến. Lúc đó, nếu k < nthì ta cũng gọi D là hộp suy biến, D được gọi là hộp không suy biến nếu ngược lại.

Dễ thấy D là hộp suy biến khi và chỉ khi◦D = ∅. D được gọi là hộp mở tương đối

k chiều nếu k khoảng không suy biến cấu tạo nên D đều là khoảng mở. Chẳng hạnhộp mở tương đối 2 chiều trong R2 chính là hình chữ nhật mở trong mặt phẳng cócác cạnh song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối 1 chiều trong R2 là cácđoạn thẳng (không kể 2 mút) song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối haichiều trong R3 là các hình chữ nhật (không kể các cạnh) có các cạnh song song với2 trong 3 trục toạ độ, hộp mở tương đối 0 chiều là tập 1 điểm. Có thể kiểm trađược rằng mọi hộp đóng n chiều đều có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 3n hộp mởtương đối (có chiều từ 0 đến n) rời nhau!!

Với mỗi hộp D được cho bởi (1.1), ta gọi giá trị

Vol(D) :=n∏1

λ(Ij), (1.2)


5

với λ(Ij) ký hiệu độ dài của khoảng Ij, là thể tích của D. Rõ ràng, D,◦D và D có

cùng thể tích và hộp có thể tích bằng không khi và chỉ khi nó là hộp suy biến. Tacũng dễ dàng chứng minh được kết quả sau

Bổ đề 1.1. Giả sử D1, D2, · · · , Dm là các hộp có phần trong rời nhau sao cho hợpcủa chúng cũng là một hộp D trong Rn. Lúc đó

Vol(D) =m∑1

Vol(Dk).

Bây giờ xét hộp đóng

D =n∏1

[aj, bj] = [a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn].

Phân hoạch P của D là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn [a1, b1], · · · , [an, bn] :

a1 = x10 < x1

1 < · · · < x1k(1) = b1;

a2 = x20 < x2

1 < · · · < x2k(2) = b2;

· · ·an = xn

0 < xn1 < · · · < xn

k(n) = bn.

Lúc đó P sẽ xác định một họ P(D) gồm m = k(1)×k(2)×· · ·×k(n) hộp đóngcon có phần trong rời nhau. Ta gọi đường kính của phân hoạch P là giá trị sau

ρ(P) := max{xij − xi

j−1 | 1 ≤ j ≤ k(i); 1 ≤ i ≤ n}.

Cuối cùng, môt phân hoạch Q được gọi là mịn hơn phân hoạch P (hay P thôhơn Q) nếu với mọi E ′ ∈ Q(D) tồn tại E ∈ P(D) sao cho E ′ ⊂ E. Lúc đó ta kýhiệu P ¿ Q.

1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann

Cho f là hàm bị chặn trên hình hộp D và P là một phân hoạch của D ta đặt

bk := sup{f(x) | x ∈ Dk}, ak := inf{f(x) | x ∈ Dk}; Dk ∈ P(D).

Lúc đó, các tổng

S∗(f ;P) :=m∑

k=1

bk. Vol(Dk); S∗(f ;P) :=m∑

k=1

ak. Vol(Dk)

lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên D tương ứngvới phân hoạch P . Ta có thể chứng minh các tính chất sau đây của tổng Darboux:


6

a) S∗(f ;P) ≥ S∗(f ;P) với mọi phân hoạch P .b) Nếu Q là phân hoạch mịn hơn P thì

S∗(f ;P) ≤ S∗(f ;Q) ≤ S∗(f ;Q) ≤ S∗(f ;P).

c) Với mọi phân hoạch P và Q của D ta có

S∗(f ;P) ≤ S∗(f ;Q).

Cho f là hàm bị chặn trên hộp đóng D. Ta gọi tích phân dưới và tích phân trêncủa f trên D lần lượt là các giá trị sau

∫

−D

f := supP

S∗(f ;P);

−∫

D

f := infP

S∗(f ;P).

ở đây, sup và inf được lấy trên tất cả các phân hoạch của D. Rõ ràng, ta luôn luôn

có∫−D

f ≤−∫D

f . Hàm f sẽ được gọi là khả tích trên D nếu

∫

−D

f =

−∫

D

f = I.

Lúc đó, I được gọi là tích phân Riemann của hàm f trên hộp D và được ký hiệubởi một trong các cách sau

∫

D

f ;

∫

D

f(x)dx;

∫

D

f(x1, x2, · · · , xn)dx1 · · · dxn

hay ∫∫· · ·

∫

D

f(x1, x2, · · · , xn)dx1 · · · dxn.

Đặc biệt, trong trường hợp 2 hay 3 chiều người ta thường thay ký hiệu tích phântrên D bởi

∫∫D

hay∫∫∫

D, và được gọi là tích phân hai lớp hay ba lớp. Cụ thể, với

n = 2 ta có∫∫

Df(x, y)dxdy còn với n = 3 thì

∫∫∫D

f(x, y, z)dxdydz.

Ví dụ 1.1. Tích phân hàm hằng, hàm Dirichlet.

Định lý 1.1. Hàm bị chặn f là khả tích trên D khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tạiphân hoạch P sao cho S∗(f ;P)− S∗(f ;P) < ε.


7

1.1.3. Các tính chất cơ bản

a) Nếu f khả tích trên D và α ∈ R thì hàm αf cũng khả tích trên D và∫

D

αf = α

∫

D

f.

b) Nếu f, g là các hàm khả tích trên D thì f ± g cũng khả tích trên D và∫

D

(f ± g) =

∫

D

f ±∫

D

g.

c) Nếu f, g đều khả tích trên D, đồng thời f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ D, thì∫

D

f ≤∫

D

g.

d) Nếu f là hàm khả tích trên D và m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ D thì

m Vol(D) ≤∫

D

f(x)dx ≤ M Vol(D).

1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue

Một tập S ⊂ Rn được gọi là có độ đo (n−chiều) không nếu với mọi ε > 0 tồntại một dãy các hình hộp đóng (Dk)k sao cho

S ⊂∞⋃

k=1

Dk và∞∑

k=1

Vol(Dk) < ε.

Rõ ràng là trong định nghĩa trên ta có thể lấy các hình hộp mở thay cho các hìnhhộp đóng.

Ta cũng dễ dàng kiểm tra được các khẳng định sau:

a) Nếu S1 ⊂ S2 và S2 có độ đo không thì S1 cũng vậy.

b) Nếu Sn có độ đo không với mọi n ∈ N, thì ∪Sn cũng có độ đo không. Từ đósuy ra mọi tập không quá đếm được có độ đo không.

c) Một hình hộp có độ đo không khi và chỉ khi nó suy biến .

Định lý 1.2 (Lebesgue). Một hàm f bị chặn trên hình hộp đóng D là khả tích khivà chỉ khi tập các điểm gián đoạn của f có độ đo không.

Để chứng minh định lý này ta cần một số kết quả bổ trợ. Giả sử f là hàm bịchặn trên một tập D ⊂ Rn. Với mỗi x ∈ D và δ > 0 ta đặt

ω(f, x, δ) := sup{|f(y)− f(y′)| : y, y′ ∈ D ∩B(x; δ)}.


8

Ta gọi dao độ của hàm f tại x là giá trị sau

ω(f, x) := limδ→0+

ω(f, x, δ) = infδ>0

ω(f, x, δ).

Bổ đề 1.2. Hàm f liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi ω(f, x0) = 0.

Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm bị chặn trên hình hộp đóng D và ε là một số dươngsao cho ω(f, x) < ε với mọi x ∈ D. Lúc đó tồn tại một phân hoạch P của D mà

S∗(f ;P)− S∗(f ;P) < ε. Vol(D).

Bổ đề 1.4. Cho f là một hàm bị chặn trên tập đóng D. Lúc đó, với mọi số dươngε tập hợp sau là đóng

{x ∈ D | ω(f, x) ≥ ε}.

Bây giờ cho D ⊂ D là hai hình hộp, f là hàm xác định trên D. Ta định nghĩahàm mở rộng:

f(x) :=

{f(x), x ∈ D,

0, x ∈ D \D.

Lúc đó, áp dụng Định lý Lebesgue ta thấy f khả tích trên D khi và chỉ khi f khảtích trên D và

∫D

f =∫

Df.

Hệ quả 1.1. Nếu f và g là các hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm f.g cũngvậy.

Hệ quả 1.2 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f và g là các hàm khả tích trênhình hộp D thoả mãn

m ≤ f(x) ≤ M ; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ D,

với m và M là các hằng số. Khi đó, tồn tại µ ∈ [m,M ] sao cho∫

D

f(x)g(x)dx = µ

∫

D

g(x)dx.

Hệ quả 1.3. Nếu f là hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm |f | cũng vậy. Hơnnữa, ta có ∣∣∣∣

∫

D

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫

D

|f(x)|dx.

1.2. Tích phân trên tập bất kỳ

1.2.1. Tập đo được Jordan

Cho G ⊂ Rn. Ta gọi hàm χG : Rn → R xác định bởi

χG(x) =

{1 nếu x ∈ G,

0 nếu x 6∈ G


9

là hàm đặc trưng của tập hợp G.

Tập hợp bị chặn G ⊂ Rn được gọi là đo được Jordan nếu tồn tại hình hộp đóngD ⊃ G sao cho hàm χG khả tích trên D. Lúc đó số

Vol(G) :=

∫

D

χG

được gọi là thể tích của G.

Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:

- Thể tích của tập đo được Jordan G không phụ thuộc việc chọn hình hộp Dchứa nó.

- Mọi hình hộp đều đo được và thể tích của nó trùng với định nghĩa thể tíchcho bởi Công thức (1.2).

- Một tập có thể tích không thì có độ đọ không (xem Bài tập 1.4). Tuy nhiên,một tập có độ đo không có thể không đo được Jordan, nên không có thể tích không.

Định lý 1.3. Tập bị chặn G là đo được Jordan nếu và chỉ nếu ∂G có độ đo không.

Điều này là do ∂G chính là tập hợp điểm gián đoạn của hàm χG.

Hệ quả 1.4.

a) Nếu G là tập đo được Jordan và D là một hình hộp chứa G thì D \G cũngđo được Jordan. Lúc đó, Vol(D \G) = Vol(D)− Vol(G).

b) Nếu G1 và G2 là đo được Jordan, thì hợp, giao, hiệu của chúng cũng vậy.Hơn nữa: Vol(G1 ∪G2) = Vol(G1) + Vol(G2)− Vol(G1 ∩G2).

1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất

Cho G ⊂ Rn và f là một hàm số xác định trên một hình hộp đóng D ⊃ G. Tanói hàm f khả tích trên G nếu hàm f.χG khả tích trên D và viết

∫

G

f :=

∫

D

fχG.

Cũng như định nghĩa độ đo Jordan, định nghĩa này hoàn toàn không phụ thuộcvào việc chọn hình hộp D. Nếu G là tập đo được Jordan và f là hàm khả tích trênD, thì f cũng khả tích trên G.

Sau đây là một số tính chất của tích phân trên tập đo được.

Định lý 1.4. Cho G là tập đo được và f, g là các hàm khả tích trên G. Lúc đó,

a) Với mọi số thực α, hàm αf khả tích trên G và∫

G

αf = α

∫

G

f.


10

b) Các hàm f ± g khả tích trên G và∫

G

(f ± g) =

∫

G

f ±∫

G

g.

c) Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ G, thì∫

G

f ≤∫

G

g.

d) Hàm |f | khả tích trên G và∣∣∣∣∫

G

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫

G

|f(x)|dx.

e) Hàm f.g khả tích trên G, hơn nữa nếu

m ≤ f(x) ≤ M ; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ G,

với m và M là các hằng số, thì tồn tại µ ∈ [m,M ] sao cho∫

G

f(x)g(x)dx = µ

∫

G

g(x)dx.

Định lý 1.5. Giả sử G1, G2 là các tập đo được Jordan sao cho Vol(G1 ∩G2) = 0.Lúc đó, nếu f khả tích trên mỗi tập G1 và G2, thì f cũng khả tích trên G1 ∪G2 và

∫

G1∪G2

f =

∫

G1

f +

∫

G2

f.

1.3. Định lý Fubini

1.3.1. Công thức tổng quát

Cho G = D × E ⊆ Rm+k, với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm

và Rk. Giả sử f(x, y), x ∈ D, y ∈ E, là hàm m + k biến khả tích trên G. Với mỗix ∈ D ta đặt

J∗(x) :=

∫

−E

f(x, y)dy, J∗(x) :=

−∫

E

f(x, y)dy; x ∈ D.

Định lý 1.6. Với các giả thiết như trên các hàm J∗(x) và J∗(x) đều khả tích trênD, có tích phân bằng nhau và bằng tích phân của hàm f trên G. Cụ thể,

∫

D×E

f(x, y)dxdy =

∫

D

J∗(x)dx =

∫

D

J∗(x)dx,


11

hay∫

D×E

f(x, y)dxdy =

∫

D

dx

∫

−E

f(x, y)dy =

∫

D

dx

−∫

E

f(x, y)dy.

Nếu hàm f(x, y) liên tục trên G thì f khả tích. Mặt khác, lúc đó với mọi x ∈ D.

hàm f(x, ·) liên tục nên khả tích trên E. Do đó, J∗(x) = J∗(x) =∫

Ef(x, y)dy. Áp

dụng định lý trên ta trực tiếp thu được kết quả sau

Định lý 1.7 (Fubini). Nếu f(x, y) là hàm liên tục trên tập G = D × E ⊆ Rm+k,với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm và Rk, thì ta có công thức tíchphân lặp

∫

D×E

f(x, y)dxdy =

∫

D

dx

∫

E

f(x, y)dy =

∫

E

dy

∫

D

f(x, y)dx.

Trường hợp nếu G = [a1, b1] × · · · × [an, bn] ⊂ Rn và f là hàm liên tục trên Gthì bằng cách sử dụng Định lý Fubini n− 1 lần ta nhận được công thức

∫

G

f =

∫ b1

a1

dx1

∫ b2

a2

dx2 · · ·∫ bn

an

f(x1, · · · , xn)dxn.

Vì vai trò các biến là bình đẳng nên thứ tự lấy tích phân có thể thực hiện tuỳý mà không làm ảnh hưởng đến kết quả.

Nếu f(x), g(y) lần lượt là các hàm liên tục trên các hình hộp D ⊂ Rm vàE ⊂ Rk thì hàm tích h(x, y) = f(x)g(y) liên tục trên hình hộp G = D × E và

∫

D×E

f(x)g(y)dxdy =

(∫

D

f(x)dx

)(∫

E

g(y)dy

).

1.3.2. Công thức tính tích phân hai lớp

Bây giờ ta xét trường hợp G là hình thang cong trong mặt phẳng được cho dướidạng:

G = {(x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)},với ϕ1, ϕ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Cách tính tích phân trên G được cho bởiđịnh lý sau

Định lý 1.8. Tập hợp G như trên là đo được Jordan trong R2 và với mọi hàm haibiến f(x, y) liên tục trên G, f khả tích và

∫∫

G

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy.


12

Thật ra kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp f không liên tục. Ta cókhẳng định sau

Định lý 1.9. Giả sử f(x, y) là hàm khả tích trên G, sao cho với mọi x ∈ [a, b] tồntại tích phân

J(x) :=

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy.

Lúc đó, hàm J(x) xác định, khả tích trên [a, b] và∫∫

G

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

J(x)dx =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy.

Tương tự, nếu G có dạng

G = {(x, y) | y ∈ [c, d], ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)},và các điều kiện cần thiết thoả mãn, ta cũng có công thức tích phân lặp

∫∫

G

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

dy

∫ ϕ2(y)

ϕ1(y)

f(x, y)dx.

1.3.3. Công thức tính tích phân ba lớp

Trước hết, ta xét trường hợp miền lấy tích phân G ⊂ R3 là hình trụ mở rộng:

G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D; ϕ1(x, y) ≤ z ≤ ϕ2(x, y)},trong đó, D là một tập compact đo được Jordan trong R2 và ϕ1, ϕ2 là các hàm liêntục trên D.

Định lý 1.10. Với các giả thiết như trên, G là một tập đo được Jordan trong R3.hơn nữa, nếu f(x, y, z) là hàm liên tục trên G thì

∫∫∫

G

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫

D

dxdy

∫ ϕ2(x,y)

ϕ1(x,y)

f(x, y, z)dz.

Định lý này cũng được mở rộng cho trường hợp hàm f không liên tục nhưkhẳng định của kết quả sau

Định lý 1.11. Nếu f(x, y, z) là một hàm khả tích trên G và hơn nữa, với mỗi(x, y) ∈ D, tích phân sau tồn tại

J(x, y) =

∫ ϕ2(x,y)

ϕ1(x,y)

f(x, y, z)dz,

thì hàm J(x, y) xác định, khả tích trên D và∫∫∫

G

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫

D

dxdy

∫ ϕ2(x,y)

ϕ1(x,y)

f(x, y, z)dz.


13

Kết hợp Định lý 1.8 và Định lý 1.10 ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.5. Nếu f(x, y, z) là một hàm liên tục trên tập

G = {(x, y, z) | x ∈ [a, b], y1(x) ≤ y ≤ y2(x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)},với y1(x), y2(x), z1(x, y) và z2(x, y) là các hàm liên tục, thì ta có

∫∫∫

G

f(x, y, z)dxdydz =

∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

dy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z)dz.

1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội

1.4.1. Công thức tổng quát

Ta đã biết trong lý thuyết tích phân hàm một biến, nếu x = g(t) là phép đổibiến liên tục khả vi từ [α, β] lên [a, b] và f(x) là hàm khả tích trên [a, b] thì ta cócông thức đổi biến ∫ g(β)

g(α)

f(x)dx =

∫ β

α

f(g(t))g′(t)dt.

Nếu hơn nữa, g là đơn ánh thì công thức trên có thể viết lại là∫

g([α,β])

f(x)dx =

∫

[α,β]

(f ◦ g)(t)|g′(t)|dt.

Công thức này sẽ được mở rộng cho tích phân bội.

Cho G là một tập mở trong không gian Rn và g : G → Rn là một ánh xạ đượccho bởi

y = g(x) = (g1(x), g2(x), · · · , gn(x)); x ∈ G,

với gi, 1 ≤ i ≤ n, là các hàm n−biến khả vi liên tục trên G. Với mỗi điểm x ∈ GJacobian của g tại đó được ký hiệu bởi

D(x) = det(Jg(x)) = det

∂g1

∂x1· · · ∂g1

∂xn...

. . ....

∂gn

∂x1· · · ∂gn

∂xn

.

g sẽ được gọi là một phép đổi biến trên G nếu nó khả vi liên tục, đơn ánh và tậphợp {x ∈ G | D(x) = 0} có độ đo không.

Định lý 1.12. Giả sử g là một phép đổi biến trên tập mở bị chặn G và f(y) là mộthàm khả tích trên g(G) thì hàm (f ◦ g)(x)|D(x)| cũng khả tích trên G và

∫

g(G)

f(y)dy =

∫

G

(f ◦ g)(x)|D(x)|dx.


14

Định lý này cho phép chúng ta có thể đưa việc tính tích phân trên một miền códáng điệu “xấu” về việc tính tích phân trên một miền khác có hình thù “đẹp” hơn.Các mục tiếp theo sẽ cho chúng ta thấy các ứng dụng cụ thể của định lý này.

1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực

Ta đã biết phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cực trong mặtphẳng (x, y) = g(r, ϕ), được cho bởi hệ

{x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ.

Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là

D(r, ϕ) = det(Jg(r, ϕ)) =

∣∣∣∣cos ϕ −r sin ϕsin ϕ r cos ϕ

∣∣∣∣ = r.

Vì vậy công thức đổi biến của tích phân hai lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cực là

∫∫

g(G)

f(x, y)dxdy =

∫∫

G

f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ.

Điều quan trọng là với miền H cho trước trong R2 chúng ta cần nhận ra miềnG tương ứng sao cho H = g(G). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

H = {(x, y) | x2 + y2 ≤ a2; x ≤ 0} → G = {(r, ϕ) | 0 ≤ r ≤ a; π ≤ ϕ ≤ 2π}H = {(x, y) | a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2} → G = {(r, ϕ) | a ≤ r ≤ b; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}H = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2x} → G = {(r, ϕ) | −π

2≤ ϕ ≤ π

2; 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ}.

Ví dụ 1.2. Tích diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đường Lemniscat

(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2).

Dễ thấy H là hình gồm 4 phần có diện tích bằng nhau, mỗi phần nằm trongmột góc phần tư của mặt phẳng toạ độ. Phương trình của phần đường cong tronggóc phần tư thứ nhất, theo toạ độ cực là r2 = 2a2 cos(2θ), θ ∈ [0, π

4]. Vì vậy dùng

phép đổi biến sang toạ độ cực ta có

S =

∫∫

H

dxdy = 4

∫ π4

0

dθ

∫ a√

2 cos(2θ)

0

rdr = 4a2

∫ π4

0

cos(2θ)dθ =a2

2.


15

1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu

Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ trụ trong không gian(x, y, z) = g(r, ϕ, z), được cho bởi hệ

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = z.


D(r, ϕ, z) =

∣∣∣∣∣∣

cos ϕ −r sin ϕ 0sin ϕ r cos ϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣= r.

Vì vậy công thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ trụ là∫∫∫

g(G)

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫

G

f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz.

Phép đổi biến này phù hợp khi H = g(G) là một hình có dạng “trụ”. Chẳnghạn, nếu

H = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ z ≤ 2}thì

G = {(r, ϕ, z) | 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π; r2 ≤ z ≤ 2}.Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cầu (x, y, z) = g(ρ, θ, ϕ),

được cho bởi hệ

x = ρ sin θ cos ϕ,

y = ρ sin θ sin ϕ

z = ρ cos θ.


D(ρ, θ, ϕ) =

∣∣∣∣∣∣

sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ −ρ sin θ sin ϕsin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ

cos θ −ρ sin θ 0

∣∣∣∣∣∣= ρ2 sin θ.

Vì vậy công thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cầu là∫∫∫

g(G)

fdxdydz =

∫∫∫

G

f(ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ2 sin θdρdθdϕ.

Một cách tự nhiên, phép đổi biến này lại phù hợp khi H = g(G) có dạng “cầu”.Chẳng hạn, nếu

H = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 2; y ≥ 0}


16

thìG = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤

√2; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ π}.

Còn nếuH = {(x, y, z) |

√x2 + y2 ≤ z; x2 + y2 + z2 ≤ 1}

thìG = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ π

4; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}.

1.5. Ứng dụng của tích phân bội

1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng

Giả sử G ⊂ R2 và f(x, y) là một hàm không âm, xác định trên G. Lúc đó,

T := {(x, y, z) | (x, y) ∈ G; 0 ≤ z ≤ f(x, y)} ⊂ R3

là một tập hợp trong R3 có dạng hình trụ, mà đáy dưới là tập G× {0} và đáy trênlà đồ thị của f trên G.

Định lý 1.13. Nếu G đo được Jordan trong R2 và f không âm, khả tích trên G,thì T là một tập đo được Jordan trong R3 và có thể tích là

Vol(T ) =

∫∫

G

f(x, y)dxdy.

Đặc biệt, nếu f(x, y) = 1 với mọi (x, y) ∈ G thì thể tích của T đúng bằng diệntích của G vì vậy

s(G) =

∫∫

G

dxdy.

1.5.2. Diện tích mặt cong

Trước hết, giả sử H = (ABCD) là một hình bình hành trong không gian, ta

ký hiệu a và b lần lượt là các vec-tơ−→AB và

−−→AD và α là góc lập bởi các vec-tơ này.

Một cách tự nhiên, diện tích của H được định nghĩa bởi biểu thức

s(H) := ‖a‖‖b‖| sin(α)| =√‖a‖2‖b‖2 − 〈a, b〉2.

Bây giờ cho S là mặt cong trơn trong không gian, xác định bởi hệ phương trìnhtham số

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(u, v) ∈ G,


17

trong đó, G là một miền đo được Jordan, bị chặn trong R2. Người ta cũng tìm cáchđịnh nghĩa diện tích của S.

Với mỗi hình chữ nhật ∆ = [u, u + h] × [v, v + k] nằm gọn trong G cho tươngứng một mảnh cong S∆ ⊂ S. Khi h và k khá bé, ta có thể xem diện tích của S∆ xấpxỉ bằng diện tích của hình bình hành H∆ = (ABCD), với A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

và các vec-tơ a =−→AB, b =

−−→AD được xác định bởi a = (x′u(u, v), y′u(u, v), z′u(u, v))h,

b = (x′v(u, v), y′v(u, v), z′v(u, v))k (hình bình hành này nằm trong tiếp diện của S tạiA). Vì vậy, nếu P là một đa hộp nằm trong G, có diện tích gần bằng G bao gồmmột số hữu hạn các hình chữ nhật ∆i khá bé, thì diện tích của S xấp xỉ bằng tổng

σ(P ) =∑

i

s(H∆i).

Ký hiệu độ mịn của P bởi γ(P ) = max{ρ(∆i)}. Từ sự phân tích trên, ta sẽ địnhnghĩa diện tích mặt cong S là giới hạn sau nếu nó tồn tại.

s(S) := limγ(P )→0

m(P )→m(G)

σ(P ) (1.3)

Định lý 1.14. Giới hạn trong (1.3) tồn tại, không phụ thuộc cách chọn P . Hơnnữa, ta có

s(S) =

∫∫

G

√‖a‖2.‖b‖2 − 〈a, b〉2dudv,

với a = (x′u, y′u, z

′u), b = (x′v, y

′v, z

′v).

Đặc biệt, nếu S được cho dưới dạng hiển:

S = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ G},

với G là miền đo được trong R2 và f là hàm khả vi liên tục, thì

s(S) =

∫∫

G

√1 + f ′x(x, y)2 + f ′y(x, y)2dxdy,

1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng

Nhắc lại rằng nếu một hệ gồm k chất điểm rãi trên mặt phẳng mà khối lượngvà toạ độ chất điểm thứ i là mi và Mi(xi, yi), 1 ≤ i ≤ k, thì khối lượng của hệ là

m = m1 + m2 + · · ·+ mk

và trọng tâm I(xI , yI) của hệ có các toạ độ được tính bởi

xI =

∑k1 ximi

m; yI =

∑k1 yimi

m.


18

Bây giờ cho G là một bản phẳng (tức là một hình phẳng có khối lượng) khôngđồng chất mà tỷ khối tại mỗi điểm (x, y) ∈ G được cho bởi f(x, y) ≥ 0. Giả sử Gđo được và f là hàm khả tích trên G. Bằng một thủ tục xấp xỉ tương tự, ta đi đếnđịnh nghĩa và công thức tính khối lượng và toạ độ của trọng tâm I của bản phẳngsau đây

m =

∫∫

G

f(x, y)dxdy;

xI =1

m

∫∫

G

xf(x, y)dxdy; yI =1

m

∫∫

G

yf(x, y)dxdy.

1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể

Cho T ⊂ R3 là một cố thể không đồng chất trong không gian, có tỷ khối tạimỗi điểm (x, y, z) ∈ T là f(x, y, z) ≥ 0. Cũng dưới giả thiết T đo được và f khảtích ta cũng có công thức tính khối lượng của cố thể

m =

∫∫∫

T

f(x, y, z)dxdydz (1.4)

và các toạ độ của trọng tâm I(xI , yI , zI):

xI =1

m

∫∫∫

G

xf(x, y, z)dxdydz; · · ·

Mặt khác, từ (1.4) ta cũng nhận được công thức tính thể tích của T cho trườnghợp f(x, y, z) = 1 với mọi (x, y, z) ∈ T :

v(T ) =

∫∫∫

T

dxdydz


Để thực hành tính tích phân trước tiên ta cần nạp gói lệnh student:

[> with(student);

1.6.1. Tích phân bội

a. Tích phân bội 2. Để tính tích phân bội 2 của hàm f(x, y) trên hình hộp∆ = [a, b]× [c, d] ta dùng lệnh Doubleint. Chú ý rằng không có lệnh doubleint!

Cú pháp: [> Doubleint(f(x, y), x=a..b, y=c..d);

Vì đây là lệnh trơ nên chỉ cho công thức hình thức. Để biết giá trị của nó taphải dùng hàm định giá value hoặc hàm evalf.


19

Ví dụ:

[> m:= Doubleint(x∧2*exp(x*y),x=-1..1, y=0..2);

m :=

∫ 2

0

∫ 1

−1

x2e(xy)dxdy

[> value(m);1

4e2 +

3

4e(−2)

[> evalf(m);1.948765487

b. Tích phân bội 3. Để tính tích phân bội 3 của hàm f(x, y, z) trên hình hộp∆ = [a, b]× [c, d]× [e, g] ta dùng lệnh (trơ) Tripleint (không có lệnh tripleint).

Cú pháp: [> Tripleint(f(x, y, z), x=a..b, y=c..d, z=e..g);

Ví dụ:

[> Tripleint(x*z∧2+z*sin(x*y),z=0..2,x=0..1,y=1..2);∫ 2

1

∫ 1

0

∫ 2

0

xz2 + zsin(xy) dzdxdy

1.6.2. Tích phân lặp

a. Tích phân lặp 2 lớp. Để tính tích phân∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

f(x, y)dy

ta dùng lệnh

[> int(int(f(x,y), y=y1(x)..y2(x)), x=a..b);

Ví dụ:

[> int(int(x*exp(y), y=1..x∧2), x=0..2);

1

2e4 − 2e− 1

2

[> evalf(%);1.948765487

b. Tích phân lặp 3 lớp. Tương tự, để tính tích phân∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

dy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z)dz

ta dùng lệnh

[> int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y)..z2(x,y)),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b);


20

1.7. Bài tập

1.1. Cho hình hộp D với các phân hoạch: P : {xi0 < xi

1 < · · · < xik(i); 1 ≤ i ≤ n},

Q : {yi0 < yi

1 < · · · < yil(i); 1 ≤ i ≤ n}. Chứng minh rằng P À Q khi và chỉ khi

{xi0, x

i1, · · · , xi

k(i)} ⊃ {yi0, y

i1, · · · , yi

l(i)}, với mọi 1 ≤ i ≤ n.

1.2. Chứng minh các tính chất b) và c) ở trang 7.

1.3. Cho hàm

f(x, y) =

y2, y < x2,

0, y = x2,

y, y > x2.

Hãy tìm ω(f, (0, 0)), ω(f, (2, 4)).

1.4. Chứng minh rằng một tập bị chặn có thể tích 0 khi và chỉ khi, với mọi ε > 0tồn tại một số hữu hạn các hình hộp mở (hoặc đóng) phủ nó và có tổng thể tích béhơn ε. Khẳng định này có còn đúng đối với tập có độ đo 0 hay không?

1.5. Chứng minh rằng một tập G có thể tích 0 thì ∂G cũng có thể tích 0. Tuy nhiên,chứng tỏ tồn tại các tập có độ đo 0 nhưng biên của nó không có độ đo 0.

1.6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau

I =

∫ 1

−1

dx

∫ ex

1e

f(x, y)dy; J =

∫ 2

1

dx

∫ ln x

0

f(x, y)dy.

1.7. Tính các tích phân hai lớp∫∫

D

ln(1 + x2 + y2)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0},∫∫

D

arctan(x2 + y2 − 1)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≤ 0},∫∫

D

1

1 +√

x2 + y2dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 9, x ≤ y},

∫∫

Dxdxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 − 2x ≤ 0, x ≥ 1},

∫∫

Dxdxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥

√2

2},

∫∫

D(x + y)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 − 4y ≤ 0, x ≥ 0},

∫∫

D

√|y − x2|dxdy; D = {(x, y) | |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2},

∫∫

D

|x2 + y|dxdy; D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 0}.


21

1.8. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi

D ={(x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤√

2(x2 − y2),

D ={(x, y) | x2

4+ y2 ≤ x + y},

D ={(x, y) | 4√

x + 4√

4y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0}.

1.9. Tính tích phân ba lớp

∫∫∫

V

(1 + x + y)dxdydz,

với V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0 và 3x + 6y − 2z = 6.

1.10. Tính tích phân ba lớp ∫∫∫

V

xdxdydz,

với V là miền giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = x2 + y2 − 1.

1.11. Tính thể tích vật thể V , giới hạn bởi (các) mặt

a) 2z = x2 + y2, y + z = 4;

b) x2 + y2 = 2x, x + z = 2, x− z = 2;

c) (x2 + y2 + z2)3 = 3xyz;

d) (x2 + y2)2 + z4 = y;

e)

(x2

4+

y2

9+ z2

)2

= x2y;

f) x23 +

(y

2

) 23

+(z

3

) 23

= 1;

g) x2 + y2 = 2x, z = x2 + y2, z = 0.

1.12. Đổi biến sang toạ độ trụ và viết lại cận của tích phân I =∫∫∫

Vf(x, y, z)dxdydz,

với V là miền giới hạn bởi các mặt:

a) x2 + y4 = z, z = 2.

b) x =√

z2 + y2, x = 6− z2 − y2.


Chương 2.

TÍCH PHÂNPHỤ THUỘC THAM SỐ

2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng

Cho hàm hai biến f(x, y) xác định trên hình chữ nhật ∆ = [a, b]× [c, d]. Giả sửvới mọi y ∈ [c, d] hàm f(·, y) khả tích trên [a, b]. Lúc đó bằng cách đặt

G(y) :=

∫ b

a

f(x, y)dx, (2.1)

ta được G là một hàm xác định trên đoạn [c, d] và (2.1) được gọi là tích phân phụthuộc tham số y với cận là các hằng số. Sau đây ta sẽ khảo sát các tính chất cơ bảncủa hàm G là tính liên tục, khả vi và khả tích. Lưu ý rằng thay vì y ∈ [c, d] ta cóthể xét y ∈ D ⊂ Rm và lúc đó G(y) là một hàm m biến. Tuy nhiên, hầu hết cáctính chất của tích phân phụ thuộc tham số G(y) đối với y ∈ Rm tương tự như khixét y ∈ R nên ở đây ta chỉ xét hàm G(y) với y ∈ R.Định lý 2.1. Nếu f(x, y) liên tục trên ∆ thì hàm G liên tục trên [c, d].

Định lý 2.2. Giả sử hàm f(x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng f ′y(x, y) trên ∆.

Lúc đó, G khả vi trên [c, d] và

G′(y) =

∫ b

a

f ′y(x, y)dx, ∀y ∈ (c, d),

G′+(c) =

∫ b

a

f ′y+(x, c)dx, G′−(d) =

∫ b

a

f ′y−(x, d)dx.

Định lý 2.3. Giả sử f(x, y) liên tục trên ∆. Lúc đó, các hàm

F (x) =

∫ d

c

f(x, y)dy; x ∈ [a, b]; G(y) =

∫ b

a

f(x, y)dx; y ∈ [c, d]


23

đều khả tích và

∫ b

a

F (x)dx =

∫ d

c

G(y)dy. Tức là, ta có Công thức Fubini:

∫ b

a

dx

∫ d

c

f(x, y)dy =

∫ d

c

dy

∫ b

a

f(x, y)dx. (2.2)

Ví dụ sau đây cho thấy rằng (2.2) không nhất thiết đúng nếu f không liên tục.

Ví dụ 2.1. Cho hàm

f(x, y) =

{x2−y2

(x2+y2)2, (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

Lúc đó f không liên tục tại điểm (0, 0) và

∫ 1

0

dx

∫ 1

0

f(x, y)dy =π

46= −π

4=

∫ 1

0

dy

∫ 1

0

f(x, y)dx.

2.2. Tích phân với cận là hàm của tham số

Cho f(x, y) liên tục trên ∆ = [a, b] × [c, d], các hàm α, β : [c, d] → [a, b]. Lúcđó, với mỗi y ∈ [c, d] ta có

G(y) =

∫ β(y)

α(y)

f(x, y)dx

là tích phân phụ thuộc tham số y với cận là các hàm theo y.

Định lý 2.4. Nếu f(x, y) liên tục trên ∆, α và β liên tục trên [c, d] thì G liên tụctrên [c, d]. Tức là,

limy→y0

∫ β(y)

α(y)

f(x, y)dx =

∫ β(y0)

α(y0)

f(x, y0)dx, ∀y0 ∈ [c, d].

Định lý 2.5. Giả sử hàm f(x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng f ′y(x, y) trên ∆

và α, β khả vi trên [c, d]. Lúc đó, G khả vi trên [c, d] và

G′(y) =

∫ β(y)

α(y)

f ′y(x, y)dx + β′(y)f(β(y), y)− α′(y)f(α(y), y).


24

2.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

2.3.1. Hội tụ - Hội tụ đều

Cho f : ∆ = [a, b)×D → R với D ⊂ R và −∞ < a < b ≤ +∞ là hàm hai biến

sao cho với mọi y ∈ D và a < b′ < b tồn tại tích phân

∫ b′

a

f(x, y)dx, hơn nữa, tích

phân suy rộng (với b = +∞ hoặc b là điểm bất thường)

G(y) =

∫ b

a

f(x, y)dx = limb′→b−

∫ b′

a

f(x, y)dx (2.3)

hội tụ với mọi y ∈ D. Ta nói tích phân suy rộng (2.3) hội tụ về hàm G(y) trên D.

Ví dụ 2.2.

a) Tích phân G(y) =

∫ ∞

0

sin(yx)dx chỉ hội tụ tại y = 0.

b) Tích phân G(y) =

∫ ∞

0

e−yx2

dx hội tụ trên D = (0, +∞).

c) Tích phân G(y) =

∫ 1

0

xydx hội tụ trên (−1, +∞).

Tích phân (2.3) được gọi là hội tụ đều trên D (về hàm G) nếu

∀ε > 0, ∃ b0 ∈ [a, b),∀ y ∈ D, ∀b′ ∈ [b0, b) :

∣∣∣∣∫ b

b′f(x, y)dx

∣∣∣∣ < ε.

Ví dụ 2.3.

Tích phân

G1(y) =

∫ 1

0

sin x

xydx

hội tụ đều trên (−∞, β], với mọi β < 2, nhưng không hội tụ đều trên (−∞, 2).

Các tích phân

G2(y) =

∫ ∞

0

e−tx2

dx, G3(y) =

∫ ∞

0

x2e−tx cos xdx

hội tụ đều trên [α, +∞), với mọi α > 0, nhưng không hội tụ đều trên (0, +∞).

2.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ đều

Định lý 2.6 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân (2.3) hội tụ đều trên tập D khi vàchỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại b0 ∈ [a, b) sao cho

∣∣∣∣∫ b2

b1

f(x, y)dx

∣∣∣∣ < ε, ∀b1, b2 ∈ [b0, b), ∀y ∈ D.


25

Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn Weierstrass). Nếu tồn tại hàm g khả tích trên [a, b) và sốb0 ∈ [a, b) sao cho

g(x) ≥ |f(x, y)|, ∀x ∈ [b0, b), ∀y ∈ D,

thì tích phân (2.3) hội tụ đều.

Bổ đề 2.1 (Bonnet). Cho α(x) là hàm đơn điệu và g(x) là hàm khả tích trên [a, b]thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho

∫ b

a

g(x)α(x)dx = α(a)

∫ c

a

g(x)dx + α(b)

∫ b

c

g(x)dx.

Định lý 2.8 (Tiêu chuẩn Dirichlet). Giả sử f(x, y) = g(x, y)h(x, y), thoả mãn

i) sup(b′,y)∈∆

∣∣∣∣∣∫ b′

a

g(x, y)dx

∣∣∣∣∣ < +∞,

ii) Với mỗi y hàm h(·, y) đơn điệu và limx→b−

h(x, y) = 0, đều theo y.

Lúc đó, tích phân

∫ ∞

a

f(x, y)dx hội tụ đều trên D.

Định lý 2.9 (Tiêu chuẩn Abel). Giả sử f(x, y) = g(x, y)h(x, y) thoả mãn

i) Tích phân

∫ ∞

a

g(x, y)dx hội tụ đều trên D,

ii) Với mỗi y hàm h(·, y) đơn điệu và sup(x,y)∈∆

|h(x, y)| < +∞.

Lúc đó, tích phân

∫ ∞

a

f(x, y)dx hội tụ đều trên D.

2.3.3. Tính chất của tích phân hội tụ đều

Trong mục này ta luôn xét ∆ = [a, +∞)× [c, d].

Định lý 2.10. Nếu f liên tục trên ∆ và

∫ +∞

a

f(x, y)dx hội tụ đều về hàm G(y),

thì G liên tục trên [c, d].

Định lý 2.11. Giả sử f(x, y) liên tục trên ∆ và

∫ +∞

a

f(x, y)dx hội tụ đều về hàm

G(y). Lúc đó, G khả tích trên [c, d]. Hơn nữa, tồn tại tích phân suy rộng của hàm

F (x) =

∫ d

c

f(x, y)dy trên [a, +∞) và ta có

∫ d

c

G(y)dy =

∫ +∞

a

F (x)dx. Tức là

∫ d

c

dy

∫ +∞

a

f(x, y)dx =

∫ +∞

a

dx

∫ d

c

f(x, y)dy.


26

Chú ý rằng kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân củaG(y) là vô hạn (như [c, +∞), (−∞, d], (−∞, +∞)). Chẳng hạn, ta có kết quả sau:

Giả sử f(x, y) là liên tục, không âm trên [a,∞)× [c,∞) và các hàm

G(y) =

∫ ∞

a

f(x, y)dx, F (x) =

∫ ∞

c

f(x, y)dy

liên tục. Lúc đó ta có∫ ∞

a

dx

∫ ∞

c

f(x, y)dy =

∫ ∞

c

dy

∫ ∞

a

f(x, y)dx,

Định lý 2.12. Giả sử f(x, y) liên tục trên ∆ và tồn tại đạo hàm riêng f ′y sao cho

tích phân

∫ +∞

a

f ′y(x, y)dx hội tụ đều về hàm g(y) trên [c, d]. Lúc đó, hàm G khả vi

trên [c, d] và có đạo hàm đúng bằng g. Nói cách khác,(∫ +∞

a

f(x, y)dx

)′

y

=

∫ +∞

a

f ′y(x, y)dx.

2.4. Một số tích phân quan trọng

2.4.1. Hàm Gamma

Hàm Gamma hay Tích phân Euler loại I là tích phân phụ thuộc tham số

Γ(p) =

∫ ∞

0

xp−1e−xdx, p > 0. (2.4)

Sử dụng các kết quả về hội tụ đều ta chứng minh được các tính chất sau:

a) Tích phân (2.4) hội tụ trên (0, +∞) và hội tụ đều trên [p0, p1] với mọip1 > p0 > 0.

b) Hàm Γ(p) liên tục trên (0, +∞).

c) Γ(p + 1) = pΓ(p), Γ(1) = 1, Γ(n) = n!, limp→0

pΓ(p) = 1.

d) Γ(p) = 2

∫ ∞

0

e−x2

x2p−1dx.

2.4.2. Hàm Beta

Hàm Beta hay Tích phân Euler loại II là tích phân phụ thuộc tham số

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx, p > 0, q > 0. (2.5)


27

Ta cũng có các tính chất sau của hàm B(p, q):

a) Tích phân (2.5) hội tụ trên miền D = (0, +∞)× (0, +∞) và hội tụ đều trêncác hình chữ nhật [p0, p1]× [q0, q1] với p1 > p0 > 0 và q1 > q0 > 0.

b) Hàm B(p, q) liên tục trên D.

c) B(p, q) = 2

∫ π2

0

sin2p−1(t) cos2q−1(t)dt.

d) B(p, q) = B(q, p), B(1, 1) = 1, B(p, 1) = 1p.

e) B(p, q + 1) =q

p + qB(p, q); B(p + 1, q) =

p

p + qB(p, q). Đặc biệt

B(m, n) =(m− 1)!(n− 1)!

(m + n− 1)!.

f) B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q).

g) B

(1

2,1

2

)= π ⇒ Γ

(1

2

)=√

π ⇒∫ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2.

2.4.3. Tích phân Dirichlet

Tích phân Dirichlet là tích phân phụ thuộc tham số

D(y) =

∫ ∞

0

sin(yx)

xdx, y ∈ R. (2.6)

Sau đây là các tính chất của tích phân Dirichlet:

a) Tích phân (2.6) hội tụ trên R, hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] ⊂ R \ {0}.b) D(y) =

π

2sgn y.


Tích phân phụ thuộc tham số thực ra là các hàm được định nghĩa bởi côngthức tích phân. Vì vậy, mọi thao tác trên tích phân phụ thuộc tham số (như tínhgiới hạn, đạo hàm, tích phân) đơn giản chỉ là thao tác trên chính hàm này. Ta cóthể hiểu nhanh điều đó qua các ví dụ minh hoạ sau đây:

* Để tính lima→0

∫ 1+a

a

1

1 + x2 + a2dx. Ta viết:

[> limit(int(1/(1+x∧2+a∧2),x=a..1+a),a=0);1

4π


28

* Tính đạo hàm của hàm F (y) =

∫ 1

0

xe−x2

y2

y2dx :

[> F:= y − > int((x/y∧2)*exp(-x∧2/y∧2),x=0..1);

F := y− >

∫ 1

0

xe

�−x2

y2

�

y2dx

[> diff(F(y),y);

−e

�− 1

y2

�

y3

2.6. Bài tập

2.1. Tính đạo hàm của các tích phân phụ thuộc tham số:

F (x) :=

∫ x3−x

cos x

arctan(1 + xy)dy; G(y) :=

∫ ln(y2+1)

sin y

cos(x2 + y)dx.

2.2. Tính các tích phân∫ ∞

0

(sin ax

x

)2

dx,

∫ ∞

0

cos ax

(1 + x2)2dx,

∫ ∞

−∞sin(x2) cos(2ax)dx.

2.3. Chứng minh tích phân G(y) =

∫ ∞

0

e−(x−y)2dx hội tụ đều trên (−∞, β], với mọi

β ∈ R, nhưng không hội tụ đều trên R.

2.4. Chứng minh Công thức Frullani∫ ∞

0

f(ax)− f(bx)

xdx = f(0) ln

b

a(a > 0, b > 0),

trong đó, f là hàm liên tục và tích phân

∫ ∞

A

f(x)

xdx có nghĩa với mọi A > 0.

2.5. Sử dụng Tích phân Dirichlet và Công thức Frullani để tính các tích phân sau∫ ∞

0

sin4(ax)− sin4(bx)

xdx,

∫ ∞

0

sin ax cos bx

xdx,

∫ ∞

0

sin ax sin bx

xdx.

2.6. Dùng các hàm Gamma và Beta để tính các tích phân sau∫ a

0

x2√

a2 − x2dx,

∫ ∞

0

4√

x

(1 + x)2dx,

∫ ∞

0

dx

1 + x3,

∫ 1

0

dxn√

1− xn,

∫ π2

0

sin6 x cos4 xdx,

∫ ∞

0

x2ne−x2

dx,

∫ π2

0

tann xdx,

∫ ∞

0

xp−1 ln x

1 + xdx.


Chương 3.

TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN MẶT

3.1. Tích phân đường loại I


Cho C =_

AB là một đường cong trơn (trong mặt phẳng hoặc trong không gian),và f là một hàm xác định tại mọi điểm M ∈ C. Ta nói một phân hoạch của C làmột tập hợp

P = {A0, A1, · · · , Am} ⊂ Csao cho A0 = A, Am = B và các cặp cung

_

Ai−1Ai,_

AiAi+1 chỉ có một điểm chung là

Ai. Ký hiệu ∆si là độ dài cung_

Ai−1Ai và

ρ(P) := max{∆s1, ∆s2, · · · , ∆sm}.

Trên mỗi cung_

Ai−1Ai ta chọn một điểm Mi và lập tổng

σ(P) :=m∑1

f(Mi).∆si.

Nếu tồn tại giới hạn ∫_

AB

fds := limρ(P)→0

σ(P)

không phụ thuộc vào cách chọn P và các điểm Mi, thì giới hạn này được gọi là tích

phân đường loại I của hàm f trên_

AB và f được gọi là khả tích trên C.


30

3.1.2. Các tính chất.

Từ định nghĩa tích phân đường loại I, ta có ngay các tính chất sau mà việckiểm chứng là không có gì khó khăn:

Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên_

AB, λ là một số thực. Lúc đó

a) f cũng khả tích trên cung_

BA và∫

_AB

fds =

∫_

BA

fds.

Khi A = B, tức C là một đường cong kín, thì có hai chiều đi từ A đến chính nótrên C. Tuy nhiên, nhờ tính chất này nên việc lấy tích phân theo cả hai chiều đềucho cùng kết quả.

b) λf khả tích trên_

AB và∫

_AB

λfds = λ

∫_

AB

fds.

c) f ± g khả tích trên_

AB và∫

_AB

f ± gds =

∫_

AB

fds±∫

_AB

gds.

d) Nếu f ≥ 0 thì∫

_AB

fds ≥ 0.

e) |f | khả tích trên_

AB và∫

_AB

|f |ds ≥∣∣∣∣∫

_AB

fds

∣∣∣∣ .

f) Nếu β ≥ f(M) ≥ α với mọi M ∈_

AB, thì

β.s(_

AB) ≥∫

_AB

fds ≥ α.s(_

AB).

Đặc biệt, nếu f liên tục thì tồn tại M0 ∈_

AB sao cho∫

_AB

fds = f(M0).s(_

AB).

g) Nếu C ∈_

AB thì f khả tích trên_

AB khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai

cung_

AC và_

CB. Hơn nữa, lúc đó∫

_AB

fds =

∫_

AC

fds +

∫_

CB

fds.


31

3.1.3. Cách tính.

Giả sử_

AB là đường cong phẳng có phương trình tham số

_

AB :

{x = x(t),

y = y(t);t ∈ [a, b],

với các hàm x(t), y(t) khả vi liên tục. Từ định nghĩa tích phân đường và sử dụngcông thức vi phân cung:

ds =√

x′(t)2 + y′(t)2dt,

ta có thể chứng minh được công thức tính tích phân đường loại I là

∫_

AB

f(x, y)ds =

∫ b

a

f(x(t), y(t))√

x′(t)2 + y′(t)2dt. (3.1)

Nếu_

AB là đường cong trơn trong không gian ta cũng có công thức tương tự:

∫_

AB

f(x, y, z)ds =

∫ b

a

f(x(t), y(t), z(t))√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt. (3.2)

Trường hợp đường cong phẳng_

AB là đồ thị của hàm số y = g(x), x ∈ [a, b], từ(3.1) ta có ∫

_AB

f(x, y)ds =

∫ b

a

f(x, g(x))√

1 + g′(x)2dx. (3.3)

Cuối cùng nếu_

AB là đường cong trơn từng khúc thì các công thức trên vẫncòn đúng, bằng cách lấy tích phân trên từng cung nhỏ rồi cộng lại.

3.1.4. Ứng dụng.

a) Diện tích mặt cong. Giả sử C là một đường cong phẳng và f(x, y) ≥ 0 với mọi(x, y) ∈ C. Lúc đó, từ định nghĩa ta suy ra mặt cong

S = {(x, y, z) | (x, y) ∈ C; f(x, y) ≥ z ≥ 0}

trong không gian có diện tích mặt đúng bằng tích phân đường loại I của f trên C.Tức là

DT (S) =

∫

Cf(x, y)ds.

b) Khối lượng, trọng tâm của dây. Cho một dây chất điểm được biểu thị bởimột đường cong C (phẳng hoặc trong không gian), với khối lượng riêng tại mỗi chất


32

điếm M ∈ C là f(M) ≥ 0. Lúc đó, bằng một lập luận quen thuộc, khối lượng củacả dây và toạ độ trọng tâm I của dây được tính bởi

m =

∫

Cfds;

xI =1

m

∫

Cx.fds, yI =

1

m

∫

Cy.fds, · · ·

3.2. Tích phân đường loại II.

3.2.1. Định nghĩa.

Cho C =_

AB là một đường cong trơn phẳng và F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) làmột hàm vec-tơ xác định tại mọi điểm M(x, y) ∈ C. Với mỗi phân hoạch

P = {A0, A1, · · · , Am} ⊂ C

và mỗi cách chọn các điểm Mi ∈_

Ai−1Ai, ta lập tổng

σ(P) :=m∑1

(P (Mi).∆xi + Q(Mi).∆yi). (3.4)

Nếu tồn tại giới hạn∫

_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy := limρ(P)→0

σ(P) (3.5)

không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch P và các điểm Mi, thì giới hạn này được

gọi là tích phân đường loại II của hàm vec-tơ F = (P, Q) trên_

AB.

Chú ý rằng, nếu xét cung_

BA thay vì cung_

AB, thì một phân hoạch P ′ ={A′

0, A′1, · · · , A′

m} bây giờ phải có A′0 = B và A′

m = A. Do đó, khi lập tổng ở (3.4)ta nhận được σ(P ′) với dấu ngược lại. Cuối cùng, khi qua giới hạn ta nhận được

∫_

BA

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −∫

_AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Trường hợp đường cong khép kín. Nếu C là đường cong kín, tức là A = B, thìkhác với tích phân đường loại I, tích phân đường loại II lấy theo hai chiều khác nhautrên C sẽ cho ra hai giá trị có dấu ngược nhau. Vì vậy, trong trường hợp này cần chỉrõ tích phân lấy theo chiều nào. Để thống nhất, người ta quy ước trên đường congkín bất kỳ một chiều dương (+) và một chiều âm (-). Giả sử đường cong kín C xácđịnh một hình phẳng giới nội D. Lúc đó, chiều (+) trên C là chiều mà đi dọc theo


33

nó sẽ thấy miền D nằm về bên trái, còn chiều (-) là chiều ngược lại. Định nghĩa nàycũng được áp dụng cho cả trường hợp C là hợp của một số hữu hạn đường cong kínrời nhau mà vẫn tạo ra hình phẳng D liên thông. Lúc đó, D được gọi là miền đaliên.

Với quy ước chiều như vậy, tích phân đường loại II của hàm F trên đường congkín C theo chiều dương được ký hiệu là

∮

CP (x, y)dx + Q(x, y)dy,

còn theo chiều âm là

−∮

CP (x, y)dx + Q(x, y)dy.

3.2.2. Cách tính tích phân đường loại II

Giả sử_

AB là đường cong phẳng có phương trình tham số

_

AB :

{x = x(t),

y = y(t);t ∈ [a, b],

với các hàm x(t), y(t) khả vi liên tục và P (x, y), Q(x, y) là các hàm liên tục. Lúcđó, từ biểu thức (3.5) ta có công thức tích phân đường loại II như sau

∫_

AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫ b

a

(P (x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t)

)dt. (3.6)

Trường hợp_

AB là đồ thị hàm y = f(x), x ∈ [a, b] ta có

∫_

AB


∫ b

a

(P (x, f(x)) + Q(x, f(x))f ′(x)

)dx. (3.7)

Đặc biệt, nếu_

AB là một đoạn thẳng trên đường thẳng y = y0 thì

∫_

AB


∫ b

a

P (x, y0)dx. (3.8)

Bây giờ giả sử_

AB là đường cong trong không gian, được cho bởi hệ

_

AB :

x = x(t),

y = y(t)

z = z(t);

t ∈ [a, b],


34

và P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) là các hàm xác định, liên tục trên_

AB. Bằng mộtthủ tục tương tự, ta cũng có định nghĩa tích phân đường loại II của hàm vec-tơ

(P,Q, R) trên cung_

AB và cũng có công thức tính tương tự:∫

_AB

Pdx + Qdy + Rdz =

∫ b

a

(P (· · · )x′(t) + Q(· · · )y′(t) + R(· · · )z′(t))dt.

3.2.3. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II

Giả thiết rằng trong mặt phẳng R2 có một trường lực F , tức là tại mỗi điểm(x, y) ∈ R2 có một lực tác động F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Hãy tính công khi một

chất điểm có khối lượng đơn vị di chuyển từ A đến B trên cung_

AB

Rõ ràng, với mỗi phân hoạch P = {A0, A1, · · · , Am} của cung_

AB và với mỗi

cách chọn các điểm Mi ∈_

Ai−1Ai, công của lực sinh ra khi điểm vật chất di chuyểntừ A đến B xấp xỉ bằng tổng

ω(P) =m∑1

(P (Mi).∆xi + Q(Mi).∆yi).

Như vậy, một cách hợp lý, ta định nghĩa công W của lực sinh ra khi điểm vật

chất di chuyển trên cung_

AB là giới hạn của ω(P) khi ρ(P) → 0, mà đó chính là

tích phân đường loại II của F trên_

AB. Tóm lại, ta có

W =

∫∫_

AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

3.2.4. Công thức Green

Định lý 3.1. Cho D là miền giới nội, có biên C gồm một hoặc nhiều đường congkín, trơn từng khúc. Giả sử P (x, y), Q(x, y) là các hàm liên tục cùng với các đạohàm riêng cấp một trên một miền chứa D ∪ C. Lúc đó,

∮

CP (x, y)dx = −

∫∫

D

∂P

∂ydxdy;

∮

CQ(x, y)dy =

∫∫

D

∂Q

∂xdxdy.

Vì vậy, ∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∮

CP (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Áp dụng định lý cho trường hợp P (x, y) = −y và Q(x, y) = x ta có công thứctính diện tích của miền D:

m(D) =

∫∫

D

dxdy =

∮

Cxdy = −

∮

Cydx =

1

2

∮

C(xdy − ydx).


35

3.2.5. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường

Định lý 3.2. Cho P (x, y), Q(x, y) là hai hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêngcấp một trên một miền đơn liên D. Lúc đó, 4 mệnh đề sau tương đương:

a)∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y), với mọi (x, y) ∈ D.

b)

∮

CP (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, với mọi đuờng cong kín C ⊂ D.

c)

∫_

AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy, với_

AB ⊂ D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A và B

mà không phụ thuộc đường cong đi từ A đến B.

d) P (x, y)dx+Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của một hàm U nào đó trong D.

Hệ quả 3.1. Nếu P (x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của một hàm U(x, y)trên miền đơn liên D, thì

∫_

AB

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = U(B)− U(A).

Hệ quả 3.2. Nếu∂P

∂y=

∂Q

∂xvới mọi (x, y) ∈ R2, thì P (x, y)dx + Q(x, y)dy là vi

phân toàn phần của hàm sau trên R2:

U(x, y) =

∫ x

x0

P (u, y0)du +

∫ y

y0

Q(x, v)dv + C

=

∫ y

y0

Q(x0, v)dv +

∫ x

x0

P (u, y)du + C.

3.3. Tích phân mặt loại I


Cho S là một mặt cong trơn trong không gian, và f là một hàm xác định tạimọi điểm M ∈ S. Ta nói một phân hoạch của S là một tập hợp các mảnh cong

P = {S1,S2, · · · ,Sm}

sao cho Si ∩ Sj = ∅, với mọi i 6= j và ∪Si = S.Ký hiệu ∆Si và ρ(Si) lần lượt là diện tích và đường kính của mảnh cong Si. Ta

gọi đường kính của phân hoạch P là giá trị

ρ(P) := max{ρ(S1), ρ(S2), · · · , ρ(Sm)}.


36

Trên mỗi mảnh Si ta chọn một điểm Mi(xi, yi, zi) và lập tổng

σ(P) :=m∑1

f(Mi).∆Si.

Nếu tồn tại giới hạn∫∫

Sf(x, y, z)dS := lim

ρ(P)→0σ(P)

không phụ thuộc vào cách chọn P và các điểm Mi, thì giới hạn này được gọi là tíchphân mặt loại I của hàm f trên S và f được gọi là khả tích trên S.

3.3.2. Cách tính

Giả sử S là mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(u, v) ∈ D,

và f là hàm liên tục trên S. Lúc đó, f khả tích trên S. Mặt khác, từ định nghĩa vàtừ công thức tính diện tích mặt cong (1.3) ta có thể thiết lập công thức tính tíchphân mặt loại I như sau

∫∫

Sf(x, y, z)dS =

∫∫

D

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))√‖a‖2‖b‖2 − 〈a, b〉 dudv, (3.9)

trong đó, a = (x′u, y′u, z

′u) và b = (x′v, y

′v, z

′v). Nếu ký hiệu vec-tơ v = a× b, tức là

v = (A,B, C); A =

∣∣∣∣y′u z′uy′v z′v

∣∣∣∣ ; B =

∣∣∣∣z′u x′uz′v x′v

∣∣∣∣ ; C =

∣∣∣∣x′u y′ux′v y′v

∣∣∣∣ , (3.10)

thì công thức (3.9) có thể viết lại là

∫∫

Sf(x, y, z)dS =

∫∫

D

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))√

A2 + B2 + C2 dudv, (3.11)

Đặc biệt, nếu S là mặt trơn được cho dưới dạng hiển

S = {(x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ D},thì ta có công thức đơn giản hơn:

∫∫

Sf(x, y, z)dS =

∫∫

D

f(x, y, g(x, y))√

1 + g′x(x, y)2 + g′y(x, y)2 dxdy. (3.12)


37

3.3.3. Ứng dụng

Tương tự tích phân đường loại I, tích phân mặt loại I có thể được sử dụng đểtính khối lượng và toạ độ trọng tâm của một mặt cong. Cụ thể, nếu một mặt vậtchất được biểu thị bởi một mặt cong trơn S, với khối lượng riêng tại mỗi chất điếmM ∈ S là f(M) ≥ 0, thì khối lượng của mặt và toạ độ trọng tâm I của mặt đượctính bởi

m =

∫∫

Sf(x, y, z)dS;

xI =1

m

∫∫

Sx.fdS, yI =

1

m

∫∫

Sy.fdS, zI =

1

m

∫∫

Sz.fdS.

3.4. Tích phân mặt loại II

3.4.1. Mặt hai phía định hướng

Giả sử S là một mặt cong trơn, tại mỗi điểm M ∈ S ta có hai vec-tơ pháptuyến đơn vị đối chiều nhau là n+(M) và n−(M). Nếu ta cho M di chuyển trên một

đường cong kín đơn_

AA trên S và giữ cho n+(M) biến thiên liên tục, thì n+(M)xuất phát từ giá trị n+(A) sẽ kết thúc ở giá trị n+(A) hoặc n−(A). Nếu trong mọitrường hợp vec-tơ pháp kết thúc là n+(A) thì S được gọi là mặt hai phía. Trường

hợp ngược lại, tồn tại một đường cong kín_

AA mà khi di chuyển theo nó pháp tuyếnkết thúc là n−(A), thì S được gọi là mặt một phía. Những mặt thông thường nhưmặt phẳng, mặt cầu, mặt cong hiển z = f(x, y) đều là mặt hai phía, trong khi “lá

Moebius” là mặt một phía. Ở đây, ta chỉ xét mặt hai phía.

Mặt hai phía, tại mỗi điểm M trên đó đã xác định các vec-tơ pháp n+(M) vàn−(M), được gọi là mặt định hướng. Hướng của n+ được gọi là hướng dương vàhướng ngược lại là hướng âm.

Giả sử S là một mặt định hướng. Lúc đó, người ta cũng quy định hướng chocác đường cong kín C ⊂ S theo quy tắc “vặn nút chai”. Cụ thể, hướng dương của Clà hướng mà nếu đi theo nó (với thân người hướng theo vec-tơ n+) thì ta sẽ thấymảnh cong giới hạn bởi C nằm về phía tay trái.

Đối với mặt hai phía trơn từng mảnh, việc định hướng có thể được tiến hànhtrên từng mảnh sao cho hướng của những đường biên chung của hai mảnh kề nhaulà ngược nhau. Đối với mặt cong kín như mặt cầu, mặt ê-lip, người ta thường địnhhướng “ra ngoài” và “vào trong”; đối với mặt được cho dưới dạng hiển z = f(x, y)người ta thường định hướng “lên trên” và “xuống dưới”


38

3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II

Cho S là mặt cong trơn, định hướng, với n+(M) = (nx(M), ny(M), nz(M)) làvec-tơ pháp đơn vị theo hướng dương tại điểm M ∈ S. Lúc đó, với mỗi hàm vec-tơF (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) xác định trên S, ta có tương ứng mộthàm số f xác định trên S bởi

f(x, y, z) = F (x, y, z).n+(x, y, z) = P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz.

Nếu tồn tại tích phân mặt loại I của hàm f trên S, thì giá trị này được gọi làtích phân mặt loại II của hàm vec-tơ F trên S, hàm vec-tơ F được gọi là khả tíchloại II trên S và viết∫∫

SPdydz + Qdzdx + Rdxdy =

∫∫

S

(P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz

)dS.

Rõ ràng, nếu mặt S được định hướng ngược lại thì tích phân nhận được cũngđổi dấu.

3.4.3. Cách tính

Giả sử S là mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(u, v) ∈ D,

và F = (P, Q, R) là hàm vec-tơ liên tục trên S. Lúc đó, F khả tích loại II trên S.Tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S các vec-tơ a = (x′u, y

′u, z

′u) và b = (x′v, y

′v, z

′v) lập

thành cặp vec-tơ chỉ phương của tiếp diện tại đó. Vì vậy vec-tơ v được định nghĩatrong (3.10) chính là một vec-tơ pháp của mặt cong tại (x, y, z).

Trước tiên giả sử v và n+ cùng hướng. Lúc đó

n+ =1√

A2 + B2 + C2(A,B,C).

Từ định nghĩa ta có

∫∫


∫∫

S

(P.A + Q.B + R.C√

A2 + B2 + C2

)dS

=

∫∫

D

(P.A + Q.B + R.C

)dudv. (3.13)


39

Trường hợp S được định hướng ngược lại, n+ trái chiều với v, thì tích phân cóthêm dấu trừ:

∫∫

SPdydz + Qdzdx + Rdxdy = −

∫∫

D

(P.A + Q.B + R.C

)dudv. (3.14)

Đặc biệt, nếu S là mặt được cho dưới dạng hiển z = g(x, y), (x, y) ∈ D, vàđược định hướng lên trên, thì

∫∫


∫∫

D

(R− P.g′x −Q.g′y

)dxdy. (3.15)

Nếu S là mặt trơn từng mảnh thì tính tích phân trên từng mảnh rồi cộng lại.

3.4.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II

Giả sử dòng vật chất với mật độ h(x, y, z), chịu tác động của trường lựcG(x, y, z). Hàm vec-tơ h.G = F = (P,Q, R) được gọi là trường lực của dòng. Lượngcủa dòng chảy qua mặt S trong một đơn vị thời gian được gọi là thông lượng củadòng và được tính bởi

Φ =

∫∫

SPdydz + Qdzdx + Rdxdy

3.4.5. Công thức Stokes

Định lý Stokes là mở rộng của Định lý Green cho đường cong kín trong khônggian.

Định lý 3.3. Giả thiết S là mặt cong trơn định hướng, có biên là một đường congkín đơn C, F = (P,Q, R) là hàm vec-tơ khả vi liên tục trên miền mở chứa S. Lúcđó,

∫

CPdx + Qdy + Rdz =

∫∫

S(Q′

x − P ′y)dxdy + (R′

y −Q′z)dydz + (P ′

z −Q′x)dzdx.

Hệ quả 3.3. Giả thiết V là miền “đơn liên mặt” và các hàm P,Q, R liên tục cùngcác đạo hàm riêng P ′

y, P ′z, Q′

z, Q′x, R′

x, R′y. Khi ấy, các tính chất sau tương đương

a)∂Q

∂x=

∂P

∂y,

∂R

∂y=

∂Q

∂z,

∂P

∂z=

∂R

∂x, với mọi (x, y, z) ∈ V.

b)

∮

CPdx + Qdy + Rdz = 0, với mọi đuờng cong kín C ⊂ V .


40

c)

∫_

AB

Pdx + Qdy + Rdz, với_

AB ⊂ V , chỉ phụ thuộc vào hai mút A và B mà

không phụ thuộc đường cong đi từ A đến B.

d) P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz là vi phân toàn phần của một hàmU nào đó trong V .

3.4.6. Công thức Ostrogradski

Định lý Green cho ta công thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phânđường. Định lý Ostrogradski dưới đây cho ta công thức liên hệ giữa tích phân balớp và tích phân mặt.

Định lý 3.4. Giả thiết S là mặt cong kín, trơn từng mảnh, bao quanh miền V trongR3, được định hướng ra ngoài. Nếu hàm vec-tơ F = (P, Q,R) khả vi liên tục trênmiền mở chứa V thì

∫∫


∫∫∫

V

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)dxdydz.

Hệ quả 3.4. Giả thiết V là miền đơn liên trong R3 và F = (P, Q, R) là hàm vec-tơkhả vi liên tục trên V . Lúc đó, tích phân của F trên bất kỳ mặt cong kín trơn từngmảnh trong V bằng không khi và chỉ khi

∂P

∂x(x, y, z) +

∂Q

∂y(x, y, z) +

∂R

∂z(x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ V.


Thực ra, để có thể tính toán được các tích phân đường, mặt ta luôn luôn phảiđưa chúng về dạng tích phân một hoặc hai lớp. Cụ thể, để tính tích phân đườngloại I ta dùng các công thức (3.1)-(3.3), tích phân đường loại II dùng các công thức(3.6)-(3.8), tích phân mặt loại I dùng các công thức (3.9), (3.11), (3.12) và tích phânmặt loại II dùng các công thức (3.13)-(3.15). Như vậy, để giải các bài toán cụ thểbằng tích phân đường, mặt trước hết chúng ta cần tìm ra biểu diễn chính xác củacác đường, mặt liên quan, sau đó thiết lập công thức tích phân (một hoặc hai lớp)tương ứng và cuối cùng chúng ta mới dùng các lệnh của Maple để tính các tích phânnày.

3.6. Bài tập

3.1. Tính tích phân đường loại I sau∫

C(x2y + xy2)ds,


41

với C là đường tròn tâm I(0, 1) bán kính 2.

3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân đường loại hai

I =

∫_

AO

(2x sin y + y3 + y2)dx + (x2 cos y + 3xy2 + 1)dy,

với_

AO là đường gấp khúc ABO, với A(2, 0), B(0, 5) và O(0, 0).

J =

∫_

AO

(2x sin y + y3 + x)dx + (x2 cos y + 3xy2 + 1)dy,

với_

AO là đường gấp khúc ABCO, với A(2, 0), B(1, 5), C(0, 3) và O(0, 0).

3.3. Tính tích phân đường:∮

L(x2 + 2y)dx + (x + 2y2)dy,

với L là đường Elipse: (x− 1)2 + 4y2 = 1.

3.4. Đưa tích phân đường loại I sau về tích phân xác định∫

C(x2 cos(xy) + yex)ds,


3.5. Đưa tích phân đường loại II sau về tích phân xác định∮

Cx2 cos(xy)dx + yexdy,


3.6. Dùng công thức Green tính các tích phân đường∮

x2+y2=4x

(x + y)dx + (xy + x− y)dy;

∮

x2+y2=2y

(xy + x + y)dx + (x− y)dy

3.7. Cho S là mặt cầu đơn vị:

(S) : x2 + y2 + z2 = 1.

a) Hãy biểu diễn mặt cầu này dưới dạng tham số. Xác định một vec-tơ phápcủa mặt S tại điểm M(x, y, z) ∈ S.

b) Giả sử S là mặt vật chất và khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S làx2 + y2. Hãy tính khối lượng của mặt S


42

3.8. Cho mặt vật chất được biểu diễn dưới dạng hiển

(S) : x = y2 + z2; (y, z) ∈ D,

trong đó D là phần tư thứ I của hình tròn tâm (0, 0) bán kính 1. Cho biết khốilượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S là ρ(x, y, z) = yz. Hãy tính khối lượng củamặt S3.9. Đưa tích phân mặt loại I sau về tích phân hai lớp∫∫

S(x + 2y + 3z)dS,

với S là hợp của bốn mặt của tứ diện OABC, trong đó O(0, 0, 0), A(1, 0, 0),B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

3.10. Tính khối lượng của mặt Parabol:

z = 4− x2 − y2; z ≥ 0.

Biết khối lượng riêng tại mỗi điểm M(x, y, z) là ρ(x, y, z) = xy.

3.11. Tính thông lượng của trường vec-tơ→F = (0, 0, R), với R(x, y, z) = x + y + z,

qua mặt z = x2 + y2; z ≤ 1, được định hướng lên trên.

3.12. Hãy áp dụng Công thức Ostrogradsky để tính tích phân mặt∫∫

Sx3dydz + y3dzdx + z3dxdy.

Trong đó S là mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, hướng ra ngoài.

3.13. Đưa tích phân mặt loại II sau về tích phân hai lớp∫∫

Sxdydz + ydzdx + zdxdy,

với S là hợp của bốn mặt ngoài của tứ diện OABC, trong đó O(0, 0, 0), A(1, 0, 0),B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

3.14. Dùng công thức Ostrogradski tính tích phân mặt∫∫

Sx2dydz + y2dzdx + z2dxdy,

với S là phía ngoài của nửa mặt cầu trên: x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

3.15. Tính tích phân mặt

I =

∫∫

S

xzdydz + x2ydzdy + y2zdzdx

với S là mặt ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, z = 0, z = 2.

3.16. Tính tích phân mặt

I =

∫∫

S

zdxdy,

với S là phía trên của mặt z =√

4− x2 − y2 bị chắn bởi mặt x2 + y2 = 2x.


®¹i häc huÕ

tr−êng ®¹i häc khoa häc

huúnh thÕ phïng

Gi¸o tr×nh

Gi¶I tÝch V

HuÕ – 2008


®¹i häc huÕ

tr−êng ®¹i häc khoa häc

huúnh thÕ phïng

Gi¸o tr×nh

Gi¶I tÝch V

HuÕ – 2008


1

Mục lục

Mục lục 1

Chương 1 Định nghĩa Không gian Metric 3

1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Hàm khoảng cách - Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Các tính chất đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Không gian con, không gian tích. . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4. Dãy - Sự hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Tôpô trên không gian metric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Hình cầu, điểm trong, điểm ngoài, điểm biên. . . . . . . . . . 5

1.2.2. Tập mở, lân cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Tập đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Tập đóng, mở trong không gian con, trù mật. . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Tập đóng, mở trong không gian con. . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Tập trù mật, không gian khả ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2. Ánh xạ đồng phôi và metric tương đương. . . . . . . . . . . . 12

Chương 2 Đầy đủ, Compact, Liên thông 14

2.1. Không gian đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1. Dãy Cauchy, không gian đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2. Nguyên lý phạm trù Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3. Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Tập hợp compact, không gian compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Tập compact, không gian compact. . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3. Ánh xạ liên tục trên tập compact. . . . . . . . . . . . . . . . . 18


2

2.2.4. Định lý Ascoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Không gian liên thông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Tập liên thông, không gian liên thông. . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2. Thành phần liên thông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3. Ánh xạ liên tục trên không gian liên thông. . . . . . . . . . . 21

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


Chương 1

Định nghĩa Không gian Metric

1.1. Định nghĩa.

1.1.1. Hàm khoảng cách - Ví dụ.

Cho tập hợp X. Một ánh xạ d : X× → R được gọi là một hàm khoảng cáchhay một metric trên X nếu, với mọi x, y, z ∈ X ta có

a) d(x, y) ≥ 0;

b) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

c) d(x, y) = d(y, x);

d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Lúc đó, (X, d) được gọi là một không gian metric.

Các ví dụ về không gian metric:

a) Không gian R, Rn với các khoảng cách thông thường.

b) Metric rời rạc.

c) Không gian C[a, b].

1.1.2. Các tính chất đơn giản.

Trong mục này ta luôn xem X là không gian metric.

Mệnh đề 1.1. Nếu x1, x2, · · · , xn là các điểm thuộc X (n ≥ 3) thì

d(x1, xn) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3) + ·+ d(xn−1, xn).


4

Mệnh đề 1.2. Cho x, y, u, v ∈ X. Lúc đó

|d(x, y)− d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v).

Cho x ∈ X và A ⊂ X. Ta gọi khoảng cách từ x đến A là giá trị

d(x,A) := inf{d(x, a) | a ∈ A}.Mệnh đề 1.3. Cho A 6= ∅ và x, y ∈ X. Lúc đó

|d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).

Bài tập 1.1. Kiểm chứng các hàm khoảng cách sau trên các không gian tương ứng:

a) X = Rn, d1(x, y) = ‖x− y‖1; d∞(x, y) = ‖x− y‖∞.

b) X = B[a, b]: tập các hàm bị chặn trên [a, b], d(f, g) := sup[a,b]{|f(x)−g(x)|}.c) X = C[a, b], d(f, g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx.

Bài tập 1.2. Cho không gian metric (X, d). Chứng minh các hàm sau cũng làmetric trên X:

d1(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y); d2(x, y) = min{r, d(x, y)}, với r > 0 cho trước.

1.1.3. Không gian con, không gian tích.

Cho (X, d) và ∅ 6= Y ⊂ X. Nếu chỉ xét d trên Y thì (Y, d) cũng là một khônggian metric, gọi là không gian con của (X, d).

Bây giờ cho (X1, d1) và (X2, d2) là hai không gian metric. Trên tập X = X1×X2

ta định nghĩa hàm d : X ×X → R xác định bởi

d(x, y) := d1(x1, y1) + d2(x2, y2); ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X.

Dễ kiểm chứng được (X, d) là một không gian metric, gọi là không gian tích của cáckhông gian (X1, d1) và (X2, d2). Tương tự, ta có thể định nghĩa tích của n khônggian metric (Xi, di); 1 ≤ i ≤ n.

Bài tập 1.3. Cho dãy các không gian metric (Xn, dn), n ∈ N. Xét tích Descartes:

X =∞∏

n=1

Xn = {(xn)n∈N | xn ∈ Xn}

và hàm d : X ×X → R xác định bởi

d(x, y) =∞∑

n=1

1

2n

dn(xn, yn)

1 + dn(xn, yn), ∀x = (xn), y = (yn) ∈ X.

Chứng minh (X, d) là một không gian metric.


5

1.1.4. Dãy - Sự hội tụ.

Một dãy trong không gian metric X là một ánh xạ f : N→ X. Lúc đó, nếu kýhiệu xn = f(n) với mỗi n ∈ N thì dãy f còn được gọi là dãy {x1, x2, · · · , xn, · · · }hay, đơn giản hơn, (xn)n.

Cho dãy f = (xn)n. Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) vớimọi k. Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f . Trong thực tế, người ta thườngđặt nk := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f(ϕ(k)) = f(nk) = xnk

. Do đó, dãy con f ◦ ϕcủa dãy (xn)n chính là dãy

{xn1 , xn2 , · · · , xnk, · · · } hay (xnk

)k,

trong đó n1 < n2 < · · · < nk < · · · .Một dãy (xn) ⊂ X được gọi là hội tụ về điểm x ∈ X, hay x là điểm giới hạn

của dãy (xn), và ký hiệux = lim

n→∞xn,

nếu dãy số d(xn, x) hội tụ về không (trên R). Tức là

∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0, d(xn, x) < ε.

Mệnh đề 1.4. Cho (xn) và (yn) là hai dãy trong X. Lúc đó

(a) Nếu (xn) hội tụ về x thì x là điểm giới hạn duy nhất.

(b) Nếu (xn) hội tụ về x thì mọi dãy con của (xn) cũng hội tụ về điểm đó.

(c) Nếu (xn) và (yn) lần lượt hội tụ về x và y thì

limn→∞

d(xn, yn) = d(x, y).

Bài tập 1.4. Cho dãy (xn) ⊂ X. Chứng minh rằng nếu các dãy con (x2n), (x2n+1),(x3n) hội tụ thì dãy (xn) cũng hội tụ.

Bài tập 1.5. Cho X và Y là các không gian metric. Chứng minh một dãy (xn, yn)trong không gian tích X × Y là hội tụ khi và chỉ khi các dãy thành phần (xn) và(yn) cũng hội tụ (trong X và Y , tương ứng).

1.2. Tôpô trên không gian metric.

1.2.1. Hình cầu, điểm trong, điểm ngoài, điểm biên.

Giả sử x0 ∈ X và r là một số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng,mặt cầu tâm x0 bán kính r lần lượt là các tập sau đây:

B(x0; r) ={x ∈ X | d(x0, x) < r},B′(x0; r)={x ∈ X | d(x0, x) ≤ r},S(x0; r) ={x ∈ X | d(x0, x) = r}.


6

Bây giờ cho A ⊂ X và x0 ∈ X. Ta nói x0 là một điểm trong (ngoài) của A nếu tồntại số dương ε sao cho B(x0; ε) ⊂ A (B(x0; ε) ∩ A = ∅). x0 được gọi là điểm biêncủa A nếu x0 vừa không phải điểm trong, vừa không phải điểm ngoài của A; Tứclà, với mọi ε > 0 ta có B(x0; ε) ∩ A 6= ∅ và B(x0; ε) \ A 6= ∅.

Tập các điểm trong, điểm ngoài, điểm biên của A lần lượt được gọi là phầntrong, phần ngoài, biên của A và được ký hiệu là int(A), ext(A) và ∂A. Rõ ràng, batập này lập thành một phân hoạch của X (nghĩa là chúng rời nhau nhưng có hợpbằng X). Hơn nữa, từ định nghĩa ta cũng có:

int(A) ⊂ A ⊂ int(A) ∪ ∂A; ext(A) ⊂ X \ A.

Bổ đề 1.1. Nếu x1 ∈ B(x0; r) với r > 0 thì B(x1; r − d(x0, x1)) ⊂ B(x0; r).

Bài tập 1.6. Hãy xây dựng một không gian metric X với a, b ∈ X và r2 > r1 > 0mà B(a; r2) $ B(b; r1).

Bài tập 1.7. Chứng minh

(a) int A = {x ∈ X | d(x, X \ A) > 0}.(b) ext A = {x ∈ X | d(x,A) > 0}.(c) ∂A = {x ∈ X | d(x,A) = d(x,X \ A)}.

Bài tập 1.8. Cho A, B và C là các tập con của một tập hợp X. Chứng minh rằng

(a) A ⊂ B ⇔ X \ A ⊃ X \B ⇔ A \B = ∅ ⇔ A ∪B = B ⇔ A ∩B = A.

(b) (C ⊂ A và C ⊂ B) ⇔ C ⊂ A ∩B.

(c) (C ⊃ A và C ⊃ B) ⇔ C ⊃ A ∪B.

(d) A ∪B ⊃ C ⇔ C \ A ⊂ B ⇔ C \B ⊂ A.

Mệnh đề 1.5. Cho A,B ⊂ X. Lúc đó

(a) ext A = int(X \ A).

(b) ∂A = ∂(X \ A).

(c) int(int A) = int A.

(d) A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B.

(e) int(A ∩B) = int A ∩ int B.

(f) int(A ∪B) ⊃ int A ∪ int B.


7

1.2.2. Tập mở, lân cận.

Tập A được gọi là mở nếu A = int(A), hoặc một cách tương đương: ∀x ∈ A,∃ε > 0: B(x; ε) ⊂ A. Ta ký hiệu τ là họ tất cả các tập con mở của X và gọi là tôpôtrên X.

Mệnh đề 1.6. Hình cầu mở B(a; r) là tập mở, với mọi a ∈ X và r > 0.

Mệnh đề 1.7. Với mọi tập con A ⊂ X, int A là tập mở và là tập con mở lớn nhấtcủa A.

Định lý 1.8.

(a) ∅, X là các tập mở.

(b) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở.

(c) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở.

Cho x ∈ X, tập con V ⊂ X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại ε > 0sao cho B(x; ε) ⊂ V , tức là x ∈ int V .

Một họ V các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân cậnU của x đều tồn tại V ∈ V sao cho V ⊂ U .

Định lý 1.9. Mỗi tập mở trong trong đường thẳng thực đều là hợp của một họkhông quá đếm được các khoảng mở rời nhau.

1.2.3. Tập đóng.

Một tập con F ⊂ X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó, X \ F , là mở.

Định lý 1.10.

(a) ∅, X là các tập đóng.

(b) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.

(c) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng.

Mệnh đề 1.11.

(a) Hình cầu đóng B′(x; r) là đóng, với mọi x ∈ X, r > 0.

(b) Tập một điểm {a} là đóng.

Mệnh đề 1.12. Cho F ⊂ X. Lúc đó

F đóng ⇔ ∀(xn) ⊂ F, (xn → x ⇒ x ∈ F ).


8

Hệ quả 1.1. Cho tập đóng F ⊂ X và x ∈ X. Lúc đó

x ∈ F ⇔ d(x, F ) = 0.

Bài tập 1.9. Cho hai điểm a, b ∈ X. Chứng minh rằng tập

F = {x ∈ X | d(a, x) = d(b, x)} là đóng còn tập

G = {x ∈ X | d(a, x) < d(b, x)} là mở chứa a.

Bài tập 1.10. Hãy xây dựng một không gian metric X và một tập con A ⊂ X saocho A 6= ∅, A 6= X nhưng ∂A = ∅.Bài tập 1.11. Cho A ⊂ X và r > 0. Chứng minh

(a) Tập Vr(A) = {x ∈ X | d(x,A) < r} mở.

(b) Tập V ′r (A) = {x ∈ X | d(x,A) ≤ r} đóng.

Bài tập 1.12. Chứng minh rằng trong một không gian metric:

(a) Mọi tập đóng đều là giao của một số đếm được các tập mở.

(b) Mọi tập mở đều là hợp của một số đếm được các tập đóng.

Bài tập 1.13. Cho A và B là hai tập con của X, ta gọi khoảng cách giữa A và Blà giá trị d(A,B) := inf{d(a, b) | a ∈ B, b ∈ B}.

(a) Chứng minh nếu A ∩B 6= ∅ thì d(A,B) = 0.

(b) Tìm hai tập A, B đóng trong R và d(A,B) = 0 nhưng A ∩B = ∅.

Cho A ⊂ X và x ∈ X. Ta nói x là điểm dính của A nếu tồn tại dãy (xn) ⊂ Ahội tụ đến x. Tập các điểm dính của A được ký hiệu là A.

x được gọi là điểm tụ của A nếu tồn tại dãy (xn) ⊂ A hội tụ đến x sao choxn 6= x với mọi n. Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A′.

Mệnh đề 1.13.

(a) x ∈ A ⇔ ∀ ε > 0, B(x, ε) ∩ A 6= ∅.(b) x ∈ A′ ⇔ ∀ ε > 0, (B(x, ε) \ {x}) ∩ A 6= ∅.

Mệnh đề 1.14. A = A ∪ A′.

Mệnh đề 1.15. Với mọi tập A ⊂ X, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa A.

Mệnh đề 1.16. Cho F ⊂ X. Lúc đó, F đóng ⇔ F = F .


9

Mệnh đề 1.17. Cho A,B ⊂ X. Lúc đó

(a) A = A.

(b) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.

(c) A ∩B ⊂ A ∩B.

(d) A ∪B = A ∪B.

Bài tập 1.14. Cho A ⊂ X. Chứng minh

(a) int A = X \ (X \ A).

(b) A = X \ int(X \ A).

(c) ∂A = A \ int A.

Bài tập 1.15. Chứng minh

(a) x ∈ A′ ⇔ ∀ ε > 0, B(x; ε) ∩ A là tập vô hạn phần tử.

(b) x ∈ A \ A′ ⇔ ∃ε > 0 : B(x; ε) ∩ A = {x} (ta nói x là điểm cô lập của A).

(c) A′ \ A = A \ A = ∂A \ A.

Bài tập 1.16. Cho F1 và F2 là hai tập đóng rời nhau. Chứng minh tồn tại các tậpmở rời nhau G1 và G2 sao cho Gi ⊃ Fi, 1 ≤ i ≤ 2.

1.3. Tập đóng, mở trong không gian con, trù mật.

1.3.1. Tập đóng, mở trong không gian con.

Cho (X, d) và Y ⊂ X. Lúc đó ta có không gian con (Y, d). Bây giờ lấy a ∈ Y ,để dễ phân biệt ta sẽ ký hiệu BX(a; r) và BY (a; r) lần lượt là hình cầu mở tâm abán kính r trong X và trong Y . Rõ ràng

BY (a; r) = BX(a; r) ∩ Y.

Mệnh đề 1.18. Để một tập A ⊂ Y là mở trong Y , điều kiện cần và đủ là, tồn tạitập mở G trong X sao cho A = Y ∩G.

Hệ quả 1.2. Để một tập B ⊂ Y là đóng trong Y , điều kiện cần và đủ là, tồn tạitập đóng F trong X sao cho B = Y ∩ F .

Hệ quả 1.3. Cho A ⊂ Y ⊂ X. Lúc đó


10

(a) Nếu A mở trong X thì A cũng mở trong Y .

(b) Nếu A đóng trong X thì A cũng đóng trong Y .

Hệ quả 1.4. Cho A ⊂ Y ⊂ X. Lúc đó

(a) Nếu A mở trong Y và Y mở trong X, thì A mở trong X.

(b) Nếu A đóng trong Y và Y đóng trong X, thì A đóng trong X.

Hệ quả 1.5. Cho A ⊂ Y ⊂ X. Gọi A là bao đóng của A trong Y . Ta có A = A∩Y .

Bài tập 1.17. Cho A,B ⊂ X và C ⊂ A ∩B. Chứng minh rằng

(a) Nếu C mở trong A và trong B thì C mở trong A ∪B.

(b) Nếu C đóng trong A và trong B thì C đóng trong A ∪B.

1.3.2. Tập trù mật, không gian khả ly.

Cho A ⊂ Y ⊂ X. Ta nói A trù mật trong Y nếu A ⊃ Y . Vậy

A trù mật trong Y ⇔ ∀ y ∈ Y, ∀ ε > 0, B(y; ε) ∩ A 6= ∅.

Khi A trù mật trong X ta nói A trù mật khắp nơi, hoặc đơn giản là A trù mật.

Không gian metric X được gọi là khả ly nếu tồn tại một tập con đếm được, trùmật khắp nơi. Chẳng hạn, R, với metric thông thường, là khả ly vì có tập Q trùmật khắp nơi.

Mệnh đề 1.19. Mọi không gian con của một không gian khả ly cũng khả ly.

Bài tập 1.18. Chứng minh rằng một tập mở bất kỳ trong X đều có thể viết dướidạng hợp của một họ các hình cầu mở. Hơn nữa, nếu X khả ly thì họ đó có thểchọn là đếm được.

Bài tập 1.19. Chứng minh rằng tập {(sin n, cos n) | n ∈ N} (trong R2 với khoảngcách Euclide) trù mật trong S(0; 1).

Bài tập 1.20. Cho A là một tập con khác rỗng của một không gian metric X.Chứng minh các khẳng định sau tương đương

(a) A trù mật khắp nơi trong X,

(b) ∀x ∈ X: d(x,A) = 0,

(c) ext A = ∅.


11

1.4. Ánh xạ liên tục

1.4.1. Định nghĩa.

Cho hai không gian metric X và Y và ánh xạ f : X → Y . Ta nói f là ánh xạliên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy (xn) ⊂ X, hội tụ về x0, dãy (f(xn)) hội tụ vềf(x0) trong Y . f được gọi là liên tục trên tập M ⊂ X nếu f liên tục tại mọi điểmthuộc M . Ta nói f là ánh xạ liên tục nếu f liên tục trên X.

Định lý 1.20. f liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu

∀ ε > 0,∃ δ > 0, f(B(x0; δ)) ⊂ B(f(x0); ε).

Mệnh đề 1.21. Giả sử f liên tục tại x0. Lúc đó, nếu x0 ∈ A thì f(x0) ∈ f(A).

Mệnh đề 1.22. Cho ba không gian metric X, Y , Z. Nếu f : X → Y liên tục tạix ∈ X và g : Y → Z liên tục tại f(x), thì g ◦ f liên tục tại x.

Định lý 1.23. Cho f : X → Y . Các mệnh đề sau tương đương

(a) f liên tục,

(b) Với mọi tập mở G ⊂ Y , f−1(G) mở trong X,

(c) Với mọi tập đóng F ⊂ Y , f−1(F ) đóng trong X,

(d) Với mọi A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).

Mệnh đề 1.24. Nếu f, g : X → Y là các ánh xạ liên tục thì {x ∈ X | f(x) = g(x)}là tập hợp đóng trong X.

Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập M ⊂ X nếu

∀ ε > 0,∃ δ > 0 : ∀x, x′ ∈ M, d(x, x′) < δ ⇒ d(f(x), f(x′)) < ε.

Rõ ràng, một ánh xạ liên tục đều trên M thì liên tục trên M . Tuy nhiên điều ngượclại nói chung là không đúng.

Ánh xạ f được gọi là Lipschitz với hằng số L nếu

d(f(x), f(x′)) ≤ Ld(x, x′); ∀x, x′ ∈ X,

và được gọi là đẳng cự nếu d(f(x), f(x′)) = d(x, x′) với mọi x, x′ ∈ X. Nếu hơn nữa,f(X) = Y ta nói X và Y là hai không gian đẳng cự.

Bài tập 1.21. Chứng minh một ánh xạ Lipschitz thì liên tục đều. Hãy tìm mộtánh xạ f : R→ R liên tục đều nhưng không Lipschitz.


12

Bài tập 1.22. Cho A ⊂ X. Chứng minh f(x) := d(x,A) là một ánh xạ Lipschitz.Sử dụng kết quả này để làm lại các bài tập 1.9, 1.11, 1.12.

Bài tập 1.23. Cho (X, d) là không gian metric tích của các không gian (Xi, di),1 ≤ i ≤ n. Với mỗi i ta xét ánh xạ chiếu pri : X → Xi xác định bởi pri(x) := xi vớimọi x = (xi) ∈ X. Chứng minh các pri đều liên tục.

Bài tập 1.24. Chứng minh các ánh xạ f : C[a, b] → R dưới đây đều liên tục

(a) f(x) = x(a); ∀x ∈ C[a, b].

(b) f(x) = max{|x(t)| | t ∈ [a, b]}; ∀x ∈ C[a, b].

(c) f(x) =∫ b

ax(t)dt; ∀x ∈ C[a, b].

Bài tập 1.25. Cho A và B là hai tập đóng rời nhau trong không gian metric X.Chứng minh tồn tại ánh xạ liên tục f : X → R sao cho f(x) = 1 với mọi x ∈ A vàf(x) = 0 với mọi x ∈ B. Sử dụng kết quả này để làm lại Bài tập 1.16

1.4.2. Ánh xạ đồng phôi và metric tương đương.

Cho X, Y là hai không gian metric và f : X → Y là song ánh liên tục. Lúcđó tồn tại ánh xạ ngược f−1 : Y → X. Tuy nhiên ánh xạ này có thể liên tục hoặckhông. Nếu f−1 cũng liên tục ta nói f là một phép đồng phôi từ X lên Y còn X vàY được gọi là hai không gian đồng phôi.

Từ Định lý 1.23 ta thấy, nếu f là phép đồng phôi từ X lên Y thì với mọi tậpA ⊂ X, A mở (đóng) trong X khi và chỉ khi f(A) mở (đóng) trong Y .

Nếu trên cùng một tập hợp X được trang bị hai metric khác nhau d1 và d2 màánh xạ đồng nhất

IX : (X, d1) → (X, d2)

là một phép đồng phôi thì ta nói d1 và d2 là các metric tương đương tôpô và ký hiệud1 ∼ d2. Lúc đó hai metric này cùng xác định một tôpô trên X. Tức là, với mọi tậpA ⊂ X, A mở (đóng) theo d1 khi và chỉ khi A mở (đóng) theo d2. Ta còn có kháiniệm mạnh hơn: d1 và d2 được gọi là tương đương đều nếu tồn tại M ≥ m > 0 saocho

md1(x, x′) ≤ d2(x, x′) ≤ Md1(x, x′); ∀x, x′ ∈ X.

Dễ thấy tương đương tôpô và tương đương đều là các quan hệ tương đương, hơn nữanếu d1, d2 là tương đương đều thì cũng tương đương tôpô.

Ví dụ 1.1.

(a) Trong R hai metric d1(x, y) = |x − y| và d2(x, y) = |x3 − y3| là tương đươngtôpô nhưng không tương đương đều.


13

(b) Trong Rn các metric d1, d2 và d∞ là tương đương đều.

Bài tập 1.26. Chứng minh hai điều sau tương đương:

(a) d1 và d2 tương đương tôpô,

(b) Một dãy trong X hội tụ theo metric d1 khi và chỉ khi nó hội tụ theo d2.


Chương 2

Không gian Đầy đủ,

Compact, Liên thông

2.1. Không gian đầy đủ.

2.1.1. Dãy Cauchy, không gian đầy đủ.

Cho không gian metric X, một dãy (xn) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu

∀ ε > 0, ∃n0, ∀m, k ≥ n0, d(xm, xk) < ε,

và được gọi là dãy bị chặn nếu tồn tại hình cầu B(a; r) chứa mọi phần tử xn.

Mệnh đề 2.1.

(a) Mọi dãy Cauchy đều bị chặn,

(b) Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.

Mệnh đề 2.2. Nếu (xn) là dãy Cauchy và tồn tại một dãy con (xnk) hội tụ đến

x ∈ X, thì (xn) cũng hội tụ đến x.

X được gọi là không gian đầy đủ nếu trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ.

Ví dụ 2.1.

(a) R với metric thông thường là đầy đủ, trong lúc đó không gian con [0, 1) lạikhông đầy đủ.

(b) Rn, với mỗi metric d1, d2, d∞ là đầy đủ.

(c) C[a, b] với metric d(f, g) = max[a,b] |f(x)− g(x)| là đầy đủ.


15

Bài tập 2.1. Chứng minh không gian metric rời rạc là đầy đủ.

Bài tập 2.2. Chứng minh không gian C[a, b] với metric d(f, g) =∫ b

a|f(x)−g(x)|dx

không đầy đủ.

Bài tập 2.3. Giả sử d1 và d2 là hai metric trên cùng không gian X. Chứng minhrằng nếu d1 và d2 tương đương đều, thì mọi dãy trong X Cauchy theo metric nàycũng Cauchy theo metric kia. Từ đó suy ra, nếu d1 và d2 tương đương đều, thì(X, d1) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d2) đầy đủ.

Bài tập 2.4. Trên R, ngoài metric thông thường d ta xét metric d xác định bởi

d(x, y) =

∣∣∣∣x

1 + |x| −y

1 + |y|

∣∣∣∣ ; ∀ x, y ∈ R.

Chứng minh d ∼ d nhưng (R, d) không đầy đủ.

Bài tập 2.5. Ký hiệu

C0(R) = {f : R→ R | f liên tục và lim|x|→∞

f(x) = 0}.

Trên C0(R) ta xác định hàm khoảng cách d(f, g) := supx∈R |f(x) − g(x)|. Chứngminh (C0(R), d) là một không gian đầy đủ. Bây giờ trong C0(R) ta xét tập

K(R) = {f : R→ R | f liên tục và ∃[a, b] sao cho f(x) = 0, ∀x 6∈ [a, b]}.Chứng minh không gian con (K(R), d) không đầy đủ.

Bài tập 2.6. Một tập con Y của không gian metric (X, d) được gọi là bán rời rạcnếu với mọi y ∈ Y tồn tại ε > 0 sao cho B(y, ε) ∩ Y = {y}; và được gọi là rời rạcnếu tồn tại ε > 0 sao cho với mọi y ∈ Y , B(y; ε) ∩ Y = {y}.

(a) Chứng minh nếu Y rời rạc thì không gian con (Y, d) đầy đủ.

(b) Tìm một ví dụ chứng tỏ khẳng định trên không còn đúng với tập bán rời rạc.

Mệnh đề 2.3. Cho không gian metric đầy đủ X và Y ⊂ X. Lúc đó, không giancon Y là đầy đủ khi và chỉ khi Y là tập đóng trong X.

Mệnh đề 2.4. Cho các không gian metric Xi, 1 ≤ i ≤ m, và không gian tíchX = X1 ×X2 · · · ×Xm. Lúc đó X là đầy đủ khi và chỉ khi X1, X2, · · · , Xm đầy đủ.

Dãy hình cầu (B(xn; rn)) được gọi là thắt lại nếu B(xn; rn) ⊃ B(xn+1; rn+1),với mỗi n và rn → 0.

Định lý 2.5. Không gian metric X là đầy đủ khi và chỉ khi, mọi dãy hình cầu đóngthắt lại trong X đều có giao khác rỗng, hơn nữa, đó là tập một điểm.

Định lý 2.6. Giả sử A là tập con trù mật khắp nơi trong X và f là ánh xạ liêntục đều từ A vào một không gian metric đầy đủ Y . Lúc đó tồn tại ánh xạ liên tục

f : X → Y sao cho f |A = f . Ánh xạ f như thế là duy nhất và cũng liên tục đều.


16

2.1.2. Nguyên lý phạm trù Baire.

Một tập M ⊂ X được gọi là thưa hay không đâu trù mật nếu int M = ∅.Mệnh đề 2.7. Tập M ⊂ X thưa khi và chỉ khi, với mọi hình cầu mở B(x; r) (r > 0)đều tồn tại hình cầu B(x1; r1) ⊂ B(x; r) (r1 > 0) sao cho B(x1; r1) ∩M = ∅.

Một tập A được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu A có thể được biểu diễndưới dạng hợp của một số đếm được các tập hợp thưa. Một tập không thuộc phạmtrù thứ nhất thì gọi là thuộc phạm trù thứ hai.

Định lý 2.8 (Baire). Mọi không gian metric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai.

Hệ quả 2.1. Nếu X đầy đủ và X = ∪∞n=1Mn, thì tồn tại k sao cho Mk chứa mộthình cầu mở khác rỗng.

Bài tập 2.7. Trong không gian Rn với metric d2 (hoặc d1, hoặc d∞) cho tập F thỏatính chất:

∀x ∈ Rn, ∃ ε > 0, ∀ t ∈ [0, ε) : tx ∈ F.

Chứng minh rằng tồn tại một hình cầu mở khác rỗng B(x0; r) ⊂ F.

2.1.3. Nguyên lý ánh xạ co

Một ánh xạ f : X → Y được gọi là co nếu tồn tại α < 1 sao cho

d(f(x), f(x′)) ≤ αd(x, x′); ∀x, x′ ∈ X.

Định lý 2.9 (Nguyên lý ánh xạ co). Giả sử f là một ánh xạ co từ không gian metricđầy đủ X vào chính nó. Lúc đó tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = x.

Bài tập 2.8. Chứng minh phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực:

6x + 3 sin x + 2 sin2 x = 0.

2.2. Tập hợp compact, không gian compact.

2.2.1. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn.

Tập A ⊂ X được gọi là bị chặn nếu

∃x0 ∈ X, ∃ r > 0, A ⊂ B(x0; r),

được là hoàn toàn bị chặn nếu

∀ ε > 0, ∃x1, x2, · · · , xm ∈ X, A ⊂m⋃

i=1

B(xi; ε).


17

Hệ quả 2.2.

(a) Tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn.

(b) Hợp của một số hữu hạn tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn) là bị chặn (hoàntoàn bị chặn). Đặc biệt, tập hữu hạn phần tử thì hoàn toàn bị chặn.

Mệnh đề 2.10. Trong Rn, một tập là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn.

Mệnh đề 2.11. Nếu A hoàn toàn bị chặn thì A cũng vậy.

Mệnh đề 2.12. Nếu A hoàn toàn bị chặn thì tồn tại tập đếm được B ⊂ A trù mậttrong A.

Bài tập 2.9. Gọi l∞ là không gian các dãy số thực bị chặn, với hàm khoảng cáchd(x, y) := supn |xn − yn|, với x = (xn), y = (yn) ∈ l∞. Ký hiệu 0 = (0, 0, · · · , 0, · · · ).Chứng minh hình cầu B(0; 1) không hoàn toàn bị chặn.

Bài tập 2.10. Chứng minh rằng ảnh của một tập hoàn toàn bị chặn qua một ánhxạ liên tục đều thì hoàn toàn bị chặn.

2.2.2. Tập compact, không gian compact.

Tâp K ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn) ⊂ K, tồn tại dãycon (xnk

) ⊂ (xn), hội tụ đến một điểm x ∈ K. Nếu bản thân X là tập compact tanói (X, d) là không gian metric compact.

Ví dụ 2.2.

(i) Một tập hữu hạn là compact.

(ii) Một tập con trong Rn là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn.

Định lý 2.13. Nếu K là tập compact trong X thì

(a) K hoàn toàn bị chặn.

(b) Không gian con (K, d) đầy đủ (do đó K đóng).

Ngược lại, nếu tập K ⊂ X thỏa mãn (a) và (b) thì nó là tập compact.

Hệ quả 2.3. Một tập con của một không gian metric đầy đủ là compact khi và chỉkhi nó đóng và hoàn toàn bị chặn.

Hệ quả 2.4. Nếu K ⊂ X là tập compact và F ⊂ K là tập đóng, thì F compact.

Mệnh đề 2.14. Mọi không gian compact đều đầy đủ, hoàn toàn bị chặn và khả ly.


18

Mệnh đề 2.15. Tích của các không gian compact là không gian compact.

Cho A ⊂ X. Họ (Bλ)λ∈I các tập Bλ ⊂ X được gọi là một phủ của A nếu

A ⊂⋃

λ∈I

Bλ.

Nếu hơn nữa, Bλ mở với mọi λ thì ta nói (Bλ) là một phủ mở, còn nếu I là tập hợphữu hạn ta nói đó là phủ hữu hạn. Cuối cùng nếu tồn tại J ⊂ I sao cho

A ⊂⋃

λ∈J

Bλ,

thì (Bλ)λ∈J được gọi là phủ con của phủ (Bλ)λ∈I .

Định lý 2.16. Để tập con K ⊂ X là compact, điều kiện cần và đủ là mọi phủ mởcủa K đều tồn tại phủ con hữu hạn.

Một tập A ⊂ X được gọi là compact tương đối nếu A compact.

Mệnh đề 2.17.

(a) Một tập compact tương đối thì hoàn toàn bị chặn.

(b) Trong không gian đầy đủ một tập hoàn toàn bị chặn thì compact tương đối.

(c) Mọi tập con của một tập compact tương đối cũng compact tương đối.

Bài tập 2.11. Một điểm x ∈ X được gọi là một điểm ε-cô lập của một tập M ⊂ Xnếu B(x; ε)∩M = {x}. Cho M là một tập con compact trong X. Chứng minh rằngvới mọi ε dương cho trước tập các điểm ε-cô lập của M là hữu hạn. Từ đó suy ratập các điểm cô lập của M là đếm được.

Bài tập 2.12. Cho (Gλ)λ∈I là một phủ mở của không gian compact X. Chứngminh rằng tồn tại r > 0 sao cho mọi hình cầu mở bán kính r trong X đều đượcchứa trong ít nhất một tập Gλ nào đó.

2.2.3. Ánh xạ liên tục trên tập compact.

Mệnh đề 2.18. Cho ánh xạ liên tục f : X → Y và K ⊂ X là tập compact. Lúc đó

(a) f(K) compact.

(b) f liên tục đều trên K.

Hệ quả 2.5. Cho f là hàm số nhận giá trị thực liên tục trên X. Nếu K ⊂ X làtập compact, thì tồn tại x∗, x∗ ∈ K sao cho

f(x∗) ≤ f(x) ≤ f(x∗); ∀x ∈ K.


19

Bài tập 2.13. Cho K là tập con compact khác rỗng của X. Chứng minh rằng vớimọi x ∈ X tồn tại y ∈ K sao cho d(x, y) = d(x,K).

Bài tập 2.14. Cho f : X → Y là song ánh liên tục từ không gian compact X lênkhông gian metric Y . Chứng minh rằng Y cũng là không gian compact và f là phépđồng phôi.

Bài tập 2.15. Cho F là tập con đóng và G là tập compact trong X sao choF ∩ G = ∅. Chứng minh d(F,G) > 0. Chứng tỏ rằng khẳng định trên không cònđúng nếu G chỉ đóng mà không compact.

Bài tập 2.16. Cho X là không gian compact và f : X → X là ánh xạ thỏa mãnd(f(x), f(y)) < d(x, y) với mọi x 6= y. Chứng minh f có điểm bất động duy nhất.

Bài tập 2.17. Cho X là không gian compact và f : X → X là ánh xạ thỏa mãnd(f(x), f(y)) ≥ (x, y) với mọi x, y ∈ X. Chứng minh f là phép đẳng cự từ X lên X.

2.2.4. Định lý Ascoli.

Giả sử X là không gian metric compact và C(X) là không gian các hàm liêntục trên X. Với mỗi cặp f, g ∈ C(X) ta định nghĩa

d(f, g) := max{|f(x)− g(x)| | x ∈ X}.

Lúc đó, tương tự chứng minh trong Ví dụ 2.1, (C(X), d) là một không gian metricđầy đủ. Cho M ⊂ C(X). Ta nói M là tập

(a) bị chặn tại x0 ∈ X nếu sup{|f(x0)| | f ∈ M} < ∞.

(b) bị chặn tại từng điểm nếu với mọi x ∈ X, M bị chặn tại x.

(c) bị chặn đều nếu sup{|f(x)| | f ∈ M, x ∈ X} < ∞.

(d) đồng liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho, với mọix ∈ B(x0; δ) và f ∈ M ta có |f(x)− f(x0)| < ε.

(e) đồng liên tục trên X nếu M đồng liên tục tại mọi điểm.

(f) đồng liên tục đều trên X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho, với mọix, x′ ∈ X thỏa mãn d(x, x′) < δ và f ∈ M ta có |f(x)− f(x′)| < ε.

Mệnh đề 2.19. Nếu tập M compact tương đối trong C(X), thì M bị chặn đều vàđồng liên tục đều.

Định lý 2.20. Một họ M ⊂ C(X) bị chặn tại từng điểm và đồng liên tục trên Xthì compact tương đối trong C(X).


20

2.3. Không gian liên thông.

2.3.1. Tập liên thông, không gian liên thông.

Cho không gian metric X. Một tập con A ⊂ X được gọi là liên thông nếu khôngtồn tại các tập mở U , V thỏa mãn

A ∩ U 6= ∅; A ∩ V 6= ∅; A ∩ U ∩ V = ∅; A ⊂ U ∪ V.

Ngược lại, được gọi là tập không liên thông.

Nếu bản thân X là tập liên thông ta nói X là không gian liên thông. Dễ thấylúc đó, X chỉ có hai tập vừa mở vừa đóng là X và ∅.Mệnh đề 2.21. Nếu A là tập liên thông và A ⊂ B ⊂ A, thì B cũng liên thông.

Mệnh đề 2.22. Nếu (Aλ) là họ các tập liên thông có giao khác rỗng, thì hợp củachúng cũng là tập liên thông.

Hệ quả 2.6. Nếu A1, A2, · · · , Am là các tập liên thông thỏa mãn Ai−1 ∩Ai 6= ∅ vớimọi 2 ≤ i ≤ m, thì ∪Ai liên thông.

2.3.2. Thành phần liên thông.

Cho X là không gian metric X. Với mỗi x ∈ X ta gọi tập hợp sau

C(x) :=⋃

x∈A⊂XA liên thông

A

là thành phần liên thông của x trong X.

Mệnh đề 2.23.

(a) C(x) là tập liên thông lớn nhất chứa x.

(b) Nếu y ∈ C(x), thì C(y) = C(x).

(c) Nếu y 6∈ C(x), thì C(y) ∩ C(x) = ∅.(d) C(x) đóng với mọi x ∈ X.

Từ mệnh đề trên ta thấy {C(x), x ∈ X}, không kể các tập trùng nhau, là mộtphân hoạch của không gian X. Hơn nữa, X là không gian liên thông khi và chỉ khiC(x) = X với mọi x ∈ X.


21

2.3.3. Ánh xạ liên tục trên không gian liên thông.

Định lý 2.24. Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục và A ⊂ X là tập liên thôngtrong X, thì f(A) là tập liên thông trong Y .

Bổ đề 2.1. Một tập E ⊂ R là liên thông khi và chỉ khi, với mọi x, y ∈ E mà x < yta phải có [x, y] ⊂ E.

Từ đó suy ra một tập con liên thông của R nếu và chỉ nếu nó là một khoảng.

Hệ quả 2.7. Cho f : X → R là một hàm liên tục và A ⊂ X là tập liên thông. Lúcđó, f(A) là một khoảng trong R.

Bài tập 2.18. Cho X là không gian liên thông, trong đó, hai tập đóng F , G rờinhau tùy ý đều có d(F, G) > 0. Chứng minh X là không gian compact.


22

Tài liệu tham khảo

[1] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2003.

[2] B. Z. Vulikh, A Brief Course in the Theory of Functions of a real variable, MirPublishers, Moscow (1976).

[3] J. Dieudonné, Cơ sở giải tích hiện đại I, Nxb ĐH&THCN (1979).

[4] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill (1974).

[5] Phan Đức Chính, Giải tích hàm tập I, Nxb ĐH&THCN (1979).

[6] Yu. S. Otran, Bài tập Lý thuyết hàm số biến số thực, Nxb ĐH&THCN (1979).

[7] B. Gelbaum, J. Olmsted, Các phản ví dụ trong giải tích, Nxb ĐH&THCN (1982).


Documents

Giáo trình Giải tích Tác giả: Huỳnh Thế Phùng, Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế, 2010