1

TRNG I HC KHOA HC

KHOA CNG NGH THNG TIN

NGUYN CT H

NGUYN CNG HO

Gio trnh

LOGIC M V NG DNG

( Dnh cho hc vin cao hc ngnh KHMT )

Hu, 2009

2

MC LC Li m u .

Trang 3

Chng 1. L thuyt tp m..................................................

Trang 6

1.1. Tp m v thng tin khng chc chn .. Trang 6

1.2. Bin ngn ng.................................................................... Trang 14

1.3. Cc php tnh trn trn tp m.. Trang 15

1.4. Quan h m Trang 47

1.5. i s cc tp m..

Trang 53

Chng 2. Lgic m...

Trang 62

2.1. Cc mnh m Trang 62

2.2. Php ko theo m.. Trang 66

2.3. Lng t m.. Trang 72

2.4. Lp lun xp x n iu kin... Trang 75

2.5. Lp lun xp x a iu kin..

Trang 106

Chng 3. Lp lun ngn ng v thao tc d liu m

Trang 122

3.1. i s gia t... Trang 122

3.2. Cc phng php lp lun ngn ng. Trang 126

3.3. Thao tc d liu m... Trang 141

Chng 4. M hnh c s d liu m theo cch tip cn i

s gia t ...

Trang 155

4.1. M hnh biu din CSDL m theo cch tip cn SGT Trang 155

4.2. Ph thuc d liu trong c s d liu m.. Trang 170

4.3. Ph thuc n iu. Trang 180

4.4. Ngn ng truy vn trong c s d liu m Trang 193

Ti liu tham kho..

Trang 215

3

LI M U

Theo trit l t nhin, s pht trin khoa hc v k thut dn n kh nng

Ko di nng lc t duy, suy lun ca con ngi. Bng nng lc t duy ca

mnh con ngi v ang khm ph th gii thc rng ln. Th gii thc v

tri thc khoa hc cn khm ph l v hn v l nhng h thng cc k phc

tp, nhng ngn ng m nng lc t duy v tri thc ca chng ta s dng lm

phng tin nhn thc v biu t ch l hu hn. S pht trin lch s sng

to ca loi ngi chng t rng phng tin ngn ng tuy hu hn nhng

cho con ngi m t, nhn thc cc s vt, hin tng, tn ti v pht

trin. Nh l mt h qu tt yu ca vic s dng mt s lng hu hn cc t

ng ca mt ngn ng t nhin m t v hn cc s vt, hin tng, chng

ta nhn thy rng hu ht cc bi ton lin quan n hot ng nhn thc, tr

tu ca con ngi thng pht biu di dng ngn ng t nhin.

Trong lp lun hng ngy ca chng ta cc mnh khng ch nhn cc

gi tr chn l ng (true) hoc sai (false). Chng hn, khi chng ta mi nhn

c mt tin tc ni rng Chu b Nguyn Thy Thanh l thn ng v mi

2 tui bit c v nhn bit cc ch s. Cu ny khng th ni n c gi tr

chn l ng hay sai v chc rng s c nhiu chnh kin khc nhau v s kin

chu Thanh c thc s l thn ng hay khng. C mt iu chc chn rng

chu Thanh c nhng nhng lc khc bit vi cc chu b cng la tui v do

ta c th gn cho cu trn mt tin cy hay mc chn l ng sai nht

nh, chng hn cu c gi tr chn l c th ng, mt khi nim c ng

ngha m (vague).

Nh vy, chng ta thy trong ngn ng t nhin c nhng thng tin,

khi nim (concepts) c ng ngha khng chnh xc, m h, khng chc chn.

Nhng thng tin, khi nim tuy khng chnh xc nh vy nhng li c vai tr

quan trng trong hot ng tn ti v pht trin ca con ngi. Chng ta u

nhn thy trong thc tin nhn thc v t duy, con ngi nhn bit, trao i

thng tin, lp lun bng ngn ng ca mnh. Ngn ng ca bt k mt dn tc

no, d phong ph n u, cng ch cha ng mt s hu hn cc k hiu

(m thanh, k t, ), nhng li phi phn nh mt s v hn cc s vt hin

4

tng trong t nhin v trong x hi. Nh l mt h qu, rt nhiu khi nim

trong mt ngn ng t nhin phi biu th nhiu s vt hin tng khc nhau,

ng ngha ca n khng duy nht, khng chnh xc. Nh vy, mt cch tt

yu l trong ngn ng hm cha nhng thng tin, khi nim c gi l m,

khng chnh xc (imprecise), khng chc chn (uncertainty).

V d, trong mt iu kin c th no ta c th ni, tc ca xe

my l nhanh hay chm. Khi nim nhanh hay chm c ng ngha khng

chnh xc v, chng hn, khi nim nhanh s biu th v s cc gi tr tc

thc ca xe my, chng hn t 45 65 km/gi, i vi tc ca xe m t,

c cng ng hiu l nhanh. Nhng nu ni n tc nh vy ca mt c

75 tui li m t th c th c hiu l qu nhanh. Hoc nu ni v tc

ca xe my in, th khi nim nhanh c th c hiu l t thc ch

khong t 20 30 km/gi.

Mt bn c no c th cha ng tnh vi cch hiu nh trn v

khi nim nhanh, v chnh iu ch ra rng nhanh c ng ngha m h,

khng chnh xc hay khng chc chn.

Nhng iu g s xy ra nu ngn ng t nhin ca chng ta ch cha

nhng khi nim chnh xc, chc chn? Khi chng ta ch nhn thc c

mt phn nh ca th gii thc chng ta ang sng. iu chng t tm

quan trng ca nhng thng tin, khi nim m, khng chnh xc hay khng

chc chn, v cho gn chng ta gi chng l cc khi nim m hoc khng

chc chn. Khi nim m v khng chc chn trong gio trnh ny c hiu

l hai khi nim ng ngha.

i tng nghin cu chnh l cc cu c cha nhng khi nim m

c gi l cc mnh m. H lgic nh l c s ton hc ca cc phng

php lp lun trn cc mnh m c gi l lgic m.

V s tn ti ca khi nim m trong ngn ng t nhin l mt thc t

khch quan v do bn thn cc khi nim nh vy cha c hnh thc ha

thnh mt i tng ton hc, nn trc ht chng ta hy nghin cu cc cch

m hnh ha ton hc cc khi nim m, hay cc khi nim m s c biu

din bng cc i tng ton hc no. Sau chng ta s thit lp cu trc

5

ton hc ca cc i tng nh vy. Trn cc cu trc nh vy, chng ta hy

vng s xy dng cc cu trc lgic m v cc phng php lp lun m

phng cc cch thc m con ngi vn lp lun cng nh phng php x l

khi nim m trong c s d liu.

Do kin thc c hn, v vy gio trnh khng th trnh nhng thiu st,

rt mong nhng kin ng gp ca c gi cho gio trnh ngy mt hon

chnh hn. Mi kin xin gi v cho i din tc gi theo a ch:

Nguyn Cng Ho

Trung tm Cng ngh thng tin i hc Hu

S 2 L Li, TP Hu, email: nchao@hueuni.edu.vn

6

Chng 1

L THUYT TP M

1.1. Tp m v thng tin khng chc chn

L.A. Zadeh l ngi sng lp ra l thuyt tp m vi hng lot bi bo

m ng cho s pht trin v ng dng ca l thuyt ny, khi u l bi

bo Fuzzy Sets trn Tp ch Information and Control, 8, 1965. tng ni

bt ca khi nim tp m ca Zadeh l t nhng khi nim tru tng v ng

ngha ca thng tin m, khng chc chn nh tr, nhanh, cao-thp, xinh p..,

ng tm ra cch biu din n bng mt khi nim ton hc, c gi l tp

m, nh l mt s khi qut trc tip ca khi nim tp hp kinh in.

d hiu chng ta hy nh li cch nhn khi nim tp hp kinh in

nh l khi nim cc hm s.

Cho mt tp v tr U. Tp tt c cc tp con ca U k hiu l P(U) v

n tr thnh mt i s tp hp vi cc php tnh hp , giao , hiu \ v ly

phn b , (P(U), , , \, ). By gi

mi tp hp A P(U) c th c xem

nh l mt hm s A : U {0, 1} c xc nh nh sau:

=

Axkhi

AxkhixA

0

1)(

Mc d A v A l hai i tng ton hc hon ton khc nhau, nhng

chng u biu din cng mt khi nim v tp hp: x A khi v ch khi

A(x) = 1, hay x thuc vo tp A vi thuc vo bng 1. V vy, hm A c gi l hm c trng ca tp A. Nh vy tp hp A c th c biu th

bng mt hm m gi tr ca n l thuc v hay n gin l thuc ca

phn t trong U vo tp hp A: Nu A(x) = 1 th x A vi thuc l 1 hay

100% thuc vo A, cn nu A(x) = 0 th x A hay x A vi thuc l 0 tc

l thuc 0%.

0

1

Ua

A(a) =1 1

b

A(b) = 0

7

Trn cch nhn nh vy, chng ta hy chuyn sang vic tm kim cch thc

biu din ng ngha ca khi nim m, chng hn, v la tui tr. Gi s

tui ca con ngi nm trong khong U = [0, 120] tnh theo nm. Theo

tng ca Zadeh, khi nim tr c th biu th bng mt tp hp nh sau: Xt

mt tp hp Atr nhng ngi c xem l tr. Vy, mt cu hi l Mt

ngi x c tui l n c hiu l thuc tp Atr nh th no? Mt cch ch

quan, chng ta c th hiu nhng ngi c tui t 1 25 chc chn s thuc

vo tp hp Atr, tc l vi thuc bng 1; Nhng mt ngi c tui 30 c l

ch thuc vo tp Atr vi thuc 0,6 cn ngi c tui 50 s thuc vo tp

ny vi thuc 0,0 Vi tng , ng ngha ca khi nim tr s c

biu din bng mt hm s tr : U [0, 1], mt dng khi qut trc tip t

khi nim hm c trng A ca mt tp hp kinh in A cp trn.

Mt cu hi t nhin xut hin l ti sao ngi c tui 30 c l ch

thuc vo tp Atr vi thuc 0,6 m khng phi l 0,65? Trong l thuyt tp

m chng ta khng c nh tr li cu hi kiu nh vy m ghi nhn rng

tp m ca mt khi nim m ph thuc mnh m vo ch quan ca ngi

dng hay, mt cch ng n hn, ca mt cng ng, hay ca mt ng dng

c th. Kha cch ny cng th hin tnh khng chnh xc v ng ngha ca

cc khi nim m. Tuy nhin, thc t ny khng nh hng n kh nng ng

dng ca l thuyt tp m v mi gii php da trn l thuyt tp m cng ch

nhm vo mt min ng dng c th trong cc khi nim m trong ng

dng (hay trong cng ng s dng ng dng ) s c ngha chung thng

nht.

1.1.1. Khi nim tp hp m

nh ngha 1.1. Cho mt tp v tr U. Tp hp A c xc nh bi ng

thc: A = { )(~ uA /u : u U, A(u) [0, 1]} c gi l mt tp hp m

trn tp U.

Bin u ly gi tr trong U c gi l bin c s v v vy tp U cn

c gi l tp tham chiu hay min c s. Hm ~A : U [0, 1] c gi

l hm thuc (membership function) v gi tr )(~ uA ti u c gi l

8

thuc ca phn t u thuc v tp hp m A. Nu khng gy nhm ln, hm

thuc ~A cng c k hiu l A(.), nu bin c s u khng biu th hin,

hay A(u), nu bin u xut hin hin.

Lu rng v phi ca nh ngha A l mt tp kinh in v do

nh ngha trn l hon chnh.

H tt c cc tp m trn min c s U c k hiu l F(U),

F(U) = { ~A : U [0, 1]} = [0, 1]U

C nhiu cch biu din hnh thc mt tp m. Trong trng hp U l

mt tp hu hn, m c hay v hn lin tc, tp m A c th c biu

din bng cc biu thc hnh thc nh sau:

Trong trng hp U hu hn, U = {ui : 1 i n}, ta c th vit:

A = A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + ... + A(un)/un hay A =

ni iiA uu1 /)(~ Trong trng hp ny tp m c gi l tp m ri rc (discrete fuzzy

set).

Trong trng hp U l v hn m c, U = {ui : i = 1, 2, }, ta c

th vit: A =

9

Tr(10) = 0.95, Tr(15) = 0.75, Tr(50) = 0.35, Tr(55) = 0.30, Tr(70) =

0.05 v tp m A = 54321

05.030.035.075.095.0

xxxxx++++

nh ngha 1.2. Tp m A c dng hnh thang xc nh bi b 4 gi tr (a, b,

c, d), k hiu A = (a, b, c, d) v c xc nh:

=

0

1

0

)(~

cd

xd

ab

ax

xA

1.1.2. Tp lt ct ca tp m

trn chng ta thy khai nim tp m l mt s khi qut trc tip,

p ca khi nim tp kinh in. iu ny cho php hy vng n s t c

s cho mi lin h cht ch gia hai khi nim tp hp ny. dn n vic

nghin cu , trc ht chng ta a ra khi nim tp lt ct ca mt tp m.

nh ngha 1.3. Cho mt tp m A~ trn tp v tr U v [0, 1]. Tp lt

ct (hoc +) ca tp A~ l mt tp kinh in, k hiu l ~A (hoc ~+A ),

c xc nh bng ng thc sau:

~A = {u U : )(~ uA } (hoc ~+A = {u U : >)(~ uA }).

Nh vy, mi tp m A~ s cm sinh mt h cc tp kinh in, ta c

nh x h : A~ F(U) { ~A P(U): 0 1} (1*)

n gin k hiu, ta vit h cc tp kinh in nh vy bng h(A~) =

{ ~A : 0 1}, A~ F(U). H cc tp hp nh vy c cc tnh cht sau:

nh l 1.1. Cho A~, B~ F(U), h l nh x c cho trong (1*) v h(A~) =

{ ~A : 0 1}, h(B~) = { ~B : 0 1}. Khi ,

(i) Mi h h(A~) nh vy l dy n iu gim, nu < , th ~A ~A ;

nu x a

nu a < x < b

nu b x c

nu c < x < d

nu x d

10

(ii) Nu A~ B~ th { ~A : 0 1} {~B : 0 1}.

Ngha l tn ti mt song nh t h cc tp m F(U) vo h ca nhng h

tp kinh in P(U) dng (1*).

Chng minh: Tnh cht (i) d dng rt ra t tnh cht (A(u) A (u)

).

chng minh (ii), gi s A B, uU(A(u) B(u)). nh , ta

gi s rng c u0 U sao cho A(u0) > B

(u0). Chn [0, 1] sao cho A(u0)

> > B(u0). iu ny khng nh u0 ~A nhng u0 ~B hay

~A ~B . Vy,

{ ~A : 0 1} {~B : 0 1}.

Hin nhin l nu A~ = B~ th { ~A : 0 1} = {~B : 0 1}. Nh

vy ta chng t rng nh x h l song nh.

1.1.3. Mt s khi nim c trng ca tp m

nh ngha 1.4. (i) Gi ca tp m: Gi ca tp m A~, k hiu l

Support(A~), l tp con ca U trn )(~ uA 0, Support(A~) = {u: )(~ uA > 0}.

(ii) cao ca tp m: cao ca tp m A~, k hiu l hight(A~), l

cn trn ng ca hm thuc ~A trn U, hight(A~) = sup{ )(~ uA : u U}.

(iii) Tp m chun (normal): Tp m A~ c gi l chun nu

hight(A~) = 1. Tri li, tp m c gi l di chun (subnormal).

(iv) Li ca tp m: Li ca tp m A~, k hiu l Core(A~), l mt tp

con ca U c xc nh nh sau:

Core(A~) = {u U: )(~ uA = hight(A~)}.

By gi chng ta s ly mt s v d v vic biu din ng ngha ca

cc khi nim m thuc cc lnh vc khc nhau bng tp m.

V d 1.2. Gi s U l tp v tr v s o nhit thi tit, chng hn U = [0,

50] tnh theo thang C. Chng ta s xc nh tp m biu th khi nim m

thi tit NNG v LNH. Trong v d ny ta s dng mt hm s mu, gi l

S-hm v th ca n c hnh ch S. Chng ta k hiu hm ny l S(u, a, b,

11

c), trong a, b v c l nhng tham s. N l hm tng khc bc 2 v c

nh ngha nh sau:

S(u, a, b, c) = 0 i vi u a

= 22

ac

au i vi a u b

= 1 22

ac

cu i vi b u c

= 1 i vi c u

Hm thuc A~(u) = S(u, 15, 25, 35) l khi nim thi tit NNG ca

ngi Lng Sn cc Bc nc ta, cn hm thuc B~(u) = S(u, 25, 35, 45) l khi nim NNG ca ngi Si Gn (xem Hnh 1.1).

Vi hai tp m ny ta c: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25,

50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] v Core(B~) = [45, 50].

Hm thuc biu th khi nim m LNH c xc nh qua hm thuc

NNG bng biu thc sau:

A~(u) = 1 A~(u) v B~(u) = 1 B~(u)

V d ny th hin tnh ch quan v

ng ngha ca khai nim m v do th

hin tnh t do trong vic xy dng cc hm

thuc. Tnh hung tng t nh vy khi ta

ni n khi nim cao ca gii n v gii

nam, hay khi nim cao ca ngi Vit

Nam v ngi Chu u.

V d 1.3. Tp m hnh chung: Ngi ta c th biu din ng ngha ca khi

nim m tri mt m hay d chu bng hm dng hnh chung nh sau:

exp ( ((u u0)/b)2)

Chng ta c th chp nhn hm chung

trong Hnh 1.2 l biu th ng ngha ca khi

nim nhit D CHU v khi tp m D~

c dng: D~(u) = exp ( ((u 24)/10)2)

1,0

0 50 45 35 25 15

Hnh 1.1: Hm thuc ca tp m NNG v LNH

A~(u)

B~(u)

B~(u)

A~(u)

1,0

0 50 45 35 25 15

Hnh 1.2: Hm thuc ca tp m D CHU

D~(u)

12

V d 1.4. Ta s a ra mt v d v tp m ri rc (discrete fuzzy set). Xt U

l tp cc gi tr trong thang im 10 nh gi kt qu hc tp ca hc sinh v

mn Ton, U = {1, 2, , 10}. Khi khi nim m v nng lc hc mn ton

gii c th c biu th bng tp m G~ sau:

G~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (2*)

y cc gi tr ca min U khng c mt trong biu thc (2*) c ngha

thuc ca chng vo tp m G~ l bng 0,0.

Trong trng hp tp m ri rc ta c th biu din tp m bng mt

bng. Chng hn, i vi tp m G~ trn ta c bng nh sau:

Bng 1.1: Tp m G~

U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

V d 1.5. Trong v d ny chng ta s xy dng tp m biu th ng ngha

ca khi nim GI v TR ca thuc tnh la tui.

Gi s tp v tr ch tui tnh theo n v nm l U = {u : 0 u 120},

chng hn tui ca x l 8,37 nm. Khi khi nim GI c th c biu th

bng tp m vi hm thuc nh sau:

GI(u) =

+

120

0

12

/}6

601{ u

u

TR(u) = 1 GI(u) =

+

120

0

12

/}}6

601{1{ u

u

Cn nhn mnh mt ln na rng y l cng thc hnh thc biu din

cc tp m. Du tch phn ch c ngha min xc nh U ca hm thuc l v

hn continuum, tp hp c lc lng tng ng vi on [0, 1].

V d 1.6. Tp ri rc trn min phi s: Trong thc t ng dng ngi ta cng

hay s dng tp m trn min phi s, chng hn, min gi tr ngn ng. V d,

ta xt bin ngn ng NHIT c th xem nh xc nh trn min 3 gi tr

ngn ng U = {Thp, Trung-bnh, Cao}. Khi , mt tp m ri rc T~ trn

min U c th c biu th nh sau:

T~ = 1/Thp + 2/Trung-bnh + 3/Cao

13

Chng hn Tri-mt c th biu th bng tp m nh sau:

Tri-mt = 0,7/Thp + 0,8/Trung-bnh + 0,2/Cao

i vi tp hp kinh in A chng ta c khi nim s lng cc phn

t ca mt tp hp, trong trng hp A l hu hn, hay lc lng ca tp hp,

trong trng hp A l v hn. Hai tp hp A v B c lc lng bng nhau nu

c tn ti mt nh x 1-1 t A ln B.

i vi tp m A~, khi nim lc lng c khi qut ha bng nh

ngha sau:

nh ngha 1.5. Lc lng ca tp m

Cho A~ l mt tp m trn U

(i) Lc lng v hng (scalar cardinality): Lc lng hay bn s thc

ca tp A~, k hiu l Count(A~), c tnh theo cng thc m sau (i khi

c gi l sigma count).

Count(A~) = arith

Uu Au)(~ , nu U l tp hu hn hay m c

= arith

U Aduu)(~ , nu U l tp v hn continuum

y arith v

arith

l tng v tch phn s hc.

(ii) Lc lng m (fuzzy cardinality): Lc lng hay bn s m ca tp

A~ l mt tp m trn tp cc s nguyn khng m N c nh ngha nh

sau: Card(A~) = N ACard dnn)()( ~

trong )()( ~ nACard c xc nh theo cng thc sau, vi |~tA | l lc lng

ca tp mc ~tA , )()( ~ nACard = suppremum {t [0, 1]: |~tA | = n}.

C th xem cng thc tnh Count(A~) trn nh l cng thc m s

phn t trong U. Thc vy, nu tp A~ tr v tp kinh in th A~(u) 1 trn

U v do cng thc Count(A~) trn chnh l b m s phn t. Khi A~(u)

1, th u ch thuc v tp A~ vi t l phn trm bng A~(u) v do phn t u

ch c m vo s lng cc phn t mt i lng bng A~(u).

14

Lu rng, khc vi trng hp tp kinh in, d tp U l v hn m

c hay v hn continuum, th lc lng ca tp m A~ vn c th l hu

hn, ty theo dng iu ca hm A~(u).

1.2. Bin ngn ng

L.A.Zadeh vit khi thiu ht tnh chnh xc b ngoi ca nhng vn

phc tp, mt cch t nhin l tm cch s dng cc bin ngn ng, l

cc bin m gi tr ca chng khng phi l s m l cc t hoc cc cu

trong ngn ng t nhin hoc nhn to. ng lc cho vic s dng cc t,

cc cu hn cc s l c trng ngn ng ca cc t, cc cu thng l t xc

nh hn ca s.

Trong c s d liu quan h, cc quan h hay cc bng d liu cha cc

thuc tnh hay cc tn ct. N ch tnh cht ca i tng. Cc thuc tnh ny

cng th hin trong ngn ng nh m t tnh cht i tng l con ngi,

trong ngn ng t nhin chng ta c nhng thuc tnh TUI, CHIU CAO,

LNG, NNG LC . Cc thuc tnh ny c th c m t bng gi tr

ngn ng nh tr, gi, rt tr, V l do nh vy, Zadeh gi cc thuc tnh

kiu nh vy l bin ngn ng v min gi tr ca chng l gi tr ngn ng

hay gi l min ngn ng (linguistic domain hay term-domain). Tuy nhin,

nh chng ta cp trong Mc 1.1, v bn thn gi tr ngn ng khng phi

l i tng ton hc, ng ngha ca chng c biu th bng cc tp m hay

hm thuc. khi nim bin ngn ng tr thnh mt khi nim ton hc,

Zadeh hnh thc ha khi nim ny nh sau:

nh ngha 1.6. Bin ngn ng l mt b nm (X, T(X), U, R, M ), trong X

l tn bin, T(X) l tp cc gi tr ngn ng ca bin X, U l khng gian tham

chiu ca bin c s u, mi gi tr ngn ng xem nh l mt bin m trn U

kt hp vi bin c s u, R l mt qui tc c php sinh cc gi tr ngn ng

ca T(X), M l qui tc ng ngha gn mi gi tr ngn ng trong T(X) vi mt

tp m trn U.

V d 1.7. Cho X l bin ngn ng c tn l AGE, bin c s u ly theo s

tui ca con ngi c min xc nh l U = [0,100]. Tp cc gi tr ngn ng

15

T(AGE) = {old, very old, more or less young, less young, very young.}. R

l mt qui tc sinh cc gi tr ny. M gn ng ngha mi tp m vi mt gi

tr ngn ng. Chng hn, i vi gi tr nguyn thy old, M (old) = {(u, old(u)

| u[0,100]}, y chn

old(u) =

+ 12 ))

5

50(1(

0u

Cc c trng ca bin ngn ng

Trong thc t c rt nhiu bin ngn ng khc nhau v cc gi tr nguyn

thu, chng hn nh bin ngn ng S NGY LM VIC c gi tr nguyn

thu l t, nhiu, bin ngn ng LNG c gi tr nguyn thu l thp,

cao..Tuy nhin, nhng kt qu nghin cu i vi mt min tr ca mt

bin ngn ng c th vn gi c ngha v mt cu trc i vi min gi

tr ca cc bin cn li. c trng ny c gi l tnh ph qut ca bin ngn

ng.

Ng ngha ca cc gia t v cc lin t hon ton c lp vi ng cnh,

iu ny khc vi gi tr nguyn thy ca cc bin ngn ng li ph thuc vo

ng cnh. V d ta ni LNG ca cn b An l rt cao, khi c hiu

rng LNG khong trn 8.000.000 ng, nhng ta ni CHIU CAO ca cn

b An l rt cao th c hiu rng CHIU CAO khong trn 1.8 m. Do

khi tm kim m hnh cho cc gia t v cc lin t chng ta khng quan tm

n gi tr nguyn thu ca bin ngn ng ang xt. c trng ny c gi

l tnh c lp ng cnh ca gia t v lin t.

Cc c trng trn cho php chng ta s dng cng mt tp cc gia t

v xy dng mt cu trc ton hc duy nht cho min gi tr ca cc bin

ngn ng khc nhau.

1.3. Cc php tnh trn trn tp m

Xt mt bin ngn ng X nh c nh ngha trn. Trc ht,

chng ta c nhn xt rng, nhn chung, tp nh ca tp T(X) qua nh x M(X)

khng c cu trc i s, trn chng ta khng nh ngha c cc php

u [0,50]

u [50,100]

16

tnh trn tp m. Mt l do na lm cho chng ta khng quan tm n iu

ny l cu trc i s ca tp gc T(X) cng cha c pht hin. Trong khi

chng ta cha pht hin ra cu trc i s ca min T(X), trong mc ny

chng ta s nh ngha trn tp F(U, [0, 1]) mt cu trc i s.

Cng cn nhn mnh rng mc tiu ca l thuyt tp m l m hnh

ha ton hc ng ngha ca cc khi nim m v, quan trng nht, l m hnh

ha phng php lp lun ca con ngi. y l mt vn cc k kh v

phc tp v nhng vn ny thuc loi c cu trc yu, hay kh c th c

mt cu trc ton duy nht m hnh ha trn vn nhng vn nu trn. Nh

l mt h qu, kh lng chng ta tm c mt cu trc ton hc cht ch, p

ca tp F(U, [0, 1]). Chnh v vy chng ta khng c mt rng buc cht ch,

minh bch trong nh ngha cc php ton trong F(U, [0, 1]). Nh chng ta s

thy di y, chng ta c nhiu cch khc nhau nh ngha cc php tnh

v do n to ra tnh mm do, a dng trong tip cn, thch nghi vi cc bi

ton ng dng khc nhau, min l n cho php gii quyt c cc bi ton

ng dng, c bit cc bi ton thuc lnh vc tr tu nhn to.

Trc khi nh ngha cc php tnh trong F(U, [0, 1]), chng ta hy

xem on [0, 1] nh l mt cu trc dn L[0,1] = ([0, 1], , , ) vi th t t

nhin trn on [0, 1]. Khi , vi mi a, b [0, 1], ta c:

a b = max {a, b}, a b = min {a, b} v a = 1 b.

Chng ta c th kim chng rng L[0,1] = ([0, 1], , , ) l mt i s

De Morgan, hn na n c cc tnh cht sau:

- Cc php tnh hp v giao c tnh giao hon

a b = b a v a b = b a

- Cc php tnh hp v giao c tnh cht phn phi ln nhau

a (b c) = (a b) (a c) v a (b c) = (a b) (a c)

- Tnh cht nut (absorption) v nut i ngu (dual absorption):

- Tnh cht nut : a (a b) = a,

- Tnh cht nut i ngu : a (a b) = a.

- Tnh ly ng : a a = a v a a = a

- Tnh cht ph ph nh : (a) = a

- Tnh n iu gim : a b a b

17

- Tnh cht De Morgan : (a b)= ab; (a b) = a b.

Da trn cu trc L[0,1] chng ta s nh ngha cc php tnh trn tp m

thng qua cc php tnh ca dn L[0,1].

1.3.1. Php hp ~

Cho hai tp m A~ v B~ trn tp v tr U. Hp ca hai tp m ny l

mt tp m k hiu l A~~

B~, m hm thuc ca n c nh ngha theo

im (pointwise) nh sau: )()()( ~~~

~~

uuuBABA

=

hay, trong trng hp U l hu hn hay m c,

A~~

B~ =

18

G~~

K~ = (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8

+1,0/9 + 1,0/10)

~

(1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10)

= 1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 +

1,0/9 + 1,0/10

Cch thc hin php tinh trong dn L[0,1] theo im nh vy gi cho

chng ta thc hin cc php tnh nh vy ngay trn Bng 1.3 nh sau:

Bng 1.3: Hp hai tp m trn U

U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

G~~

K~ 1,0 0,9 0,8 0,6 0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

Mt cch tng qut, nu cho trc cc tp m ~iA , i = 1, , m, th hp

ca cc tp m ny l tp m A~ c nh ngha m rng bng quy np v

c k hiu l

A~ = ~1~

i

n

i A=

Nhn xt 1.1: Cc hng thc dng (ui)/ui c th xem l mt tp m m gi

ca n ch cha duy nht mt phn t ui, hm thuc ca n bng 0 ti mi u

ui v bng (ui) ti phn t ui. K hiu tp m ny l (ui){ui}, tch ca s v

hng ca (ui) vi tp kinh in 1-phn t {ui}. Khi , vi nh ngha php

hp nh trn, cc php cng hnh thc + c th c biu th bng php

hp, ta c, chng hn vi U l tp hu hn, U = {u1, , un}, tp m A~ c

biu din qua php hp nh sau:

A~ = }){(1~

ii

n

i uu=

Tp G~~

K~ thu c c nhng c im sau:

Support(G~~

K~) = U

N l tp m chun v Hight(G~~

K~) = 1

19

Core(G~~

K~) = {1, 9, 10}

Count(G~~

K~) = 1,0 + 0,9 + 0,8 + 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 + 0,9 + 1,0 +

1,0 = 7,8 .

1.3.2. Php giao ~

Cho hai tp m A~ v B~ trn tp v tr U. Hp ca hai tp m ny l

mt tp m k hiu l A~~

B~, m hm thuc ca n c nh ngha theo

im (pointwise) nh sau:

)()()( ~~~

~~

uuuBABA

=

hay, trong trng hp U l hu hn hay m c,

A~~

B~ =

20

= 0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10

Cch thc hin php tnh trong dn L[0,1] theo tng im nh vy,

tng t nh trn, chng ta thc hin cc php tnh nh vy ngay trn Bng

1.4 di y:

Bng 1.4: Giao ca hai tp m trn U

U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

G~~

K~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

Tp G~~

K~ thu c c nhng c im sau:

Support(G~~

K~) = U

N l tp m di chun v Hight(G~~

K~) = 0,3 < 1

Core(G~~

K~) = {5}, tp mt phn t

Count(G~~

K~) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6

1.3.3. Php ly phn b ~

Xt mt tp m A~ trn tp v tr U. Php ly b ca tp A~, k hiu l

~ A~, l tp m vi hm thuc c xc nh bng ng thc sau:

)(1)( ~~~ uu AA =

Tp m ~ A~ biu din dng cng thc hnh thc c dng sau:

Trng hp U l hu hn hay v hn m c

~ A~ = ~ == Uu AUu A uuuu /))(1(/)( ~~

Trng hp U l v hn continuum

~ A~ = duuUu A

)(~~ = ~ duuduu Uu AUu A ))(1()( ~~ =

21

ly v d. chng ta xt hai tp m G~ v K~ c cho trong Bng

1.2. Khi s dng cch biu din tp m ri rc, php ly phn b ca hai tp

m G~ v K~ c thc hin nh sau:

~ G~ = ~ (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8

+1,0/9 + 1,0/10)

= (1,0/1 + 1,0/2 + 1,0/3 + 0,9/4 + 0,7/5 + 0,5/6 + 0,3/7 + 0,1/8

+0,0/9 + 0,0/10)

cn

~ K~ = ~ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10)

= (0,0/1 + 0,1/2 + 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1,0/7 + 1,0/8 +

1,0/9 + 1,0/10)

Tng t nh trn, php ly phn b cng c th thc hin trn bng

d liu, c th nh sau:

Bng 1.5: Phn b ca tp m trn U

U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

~ G~ 1,0 1,0 1,0 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,0 0,0

K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

~ K~ 0,0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 1,0 1,0

1.3.4. Php tng v tch i s ca cc tp m

Php cng i s hai tp m: Cho hai tp m A~ v B~ trn tp v tr

U. Tng i s ca hai tp m ny l mt tp m, k hiu l A~ B~, c

nh ngha bi ng thc sau:

Trong trng hp U l hu hn hay v hn m c,

A~ B~ = uuuuuBABUu A

/)]().()()([ ~~~~ + ,

Trong trng hp U l v hn continuum,

A~ B~ = +Uu BABA duuuuu )]().()()([ ~~~~ .

22

Lu rng gi tr biu thc )().()()( ~~~~ uuuu BABA + lun lun

thuc [0, 1] v do cc nh ngha ca php tnh trn l ng n.

Php nhn i s hai tp m: Nhn i s hai tp m A~ v B~ l mt

tp m, k hiu l A~ B~, c xc nh nh sau:

Trong trng hp U l hu hn hay v hn m c,

A~ B~ = uuuBAUu

/)().( ~~ , Trong trng hp U l v hn continuum,

A~ B~ = Uu BA duuu )().( ~~ .

1.3.5. Php tp trung hay php co (concentration)

Cho tp m A~ trn U. Php tp trung tp m A~ l tp m, k hiu l

CON(A~ ), c nh ngha nh sau:

CON(A~) = Uu A duu)(~ = (A~), vi > 1

V > 1 nn )(~ uA < )(~ uA v do min gii hn bi hm )(~ uA

s

nm trn trong min gii hn bi hm )(~ uA , hm thuc )(~ uA ca tp m

b co li sau php tp trung. Ni khc i tp m CON(A~) biu th mt khi

nim c t hn khi nim gc biu th bi tp m A~ (xem Hnh 1.3). V trc

quan chng ta thy khi nim m cng c t th n cng chnh xc hn, t m

hn v gn gi tr kinh in hn.

Thng thng ngi ta s dng pht tp trung biu th ng ngha tc

ng ca gia t rt (very) v ng ngha, chng hn, ca khi nim rt tr l

c t hay t m hn so vi khi nim tr.

1.3.6. Php dn (Dilation)

Ngc vi php tp trung l php dn. Php dn khi tc ng vo mt

tp m A~, k hiu l DIL(A~), c xc

nh bi ng thc sau:

DIL(A~) = Uu A duu)(~ = (A~), vi < 1

1,0

0 50 45 35 25 15

Hnh 1.3: Php tp trung

)(~ uA

)(~ uA

)(~ uA

23

Trong trng hp ny ta thy )(~ uA > )(~ uA v do php dn s lm hm

thuc ca tp m dn n ra, hm thuc ca tp m thu c s xc nh

mt min thc s bao hm min gii hn bi hm thuc ca tp m gc. Trn

Hnh 1.3, ta thy ng cong nt chm biu th hm thuc )(~ uA cn ng

cong nt lin biu th hm thuc )(~ uA . Ng ngha ca khi nim m biu th

bi tp m kt qu t c t hn hay ng ngha ca n cng m hn.

Ngc vi hay i ngu vi vic s dng php CON, php DIL c

s dng biu th ng ngha ca gia t c th hay xp x v ng ngha ca

khi nim c th tr t c t hn hay tnh m ca n ln hn.

V d 1.8. Xt tp v tr U = {1, 2, , 8} v hai tp m A~ v B~ trn U c

cho nh sau:

A~ = 0,8/3 + 1,0/5 + 0,6/6 v B~ = 0,7/3 + 1,0/4 + 0,5/6

Khi ta c:

A~ B~ = 0,94/3 + 1,0/4 + 1,0/5 + 0,8/6

A~ B~ = 0,56/3 + 0,30/6

CON(A~) = 0,64/3 + 1,0/5 + 0,36/6 , vi = 2.

DIL(A~) = 8,0 /3 + 1,0/5 + 6,0 /6 , vi = 1/2

1.3.7. Tch -ca-t cc tp m

Cho Ai l tp m ca tp v tr Ui, i = 1, 2, , n. Tch -ca-t ca

cc tp m ~iA , i = 1, 2, , n, k hiu l ~

1A ~2A

~nA hay

~1 i

ni A= , l

mt tp m trn tp v tr U1 U2 Un c nh ngha nh sau:

~1A ~2A

~nA =

n

nUUnnAA uuuu

...11

),...,/()(...)( 11

V d 1.9. Cho U1 = U2 = {1, 2, 3} v 2 tp m

A~ = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 v B~ = 1,0/1 + 0,6/2

Khi ,

~A ~B = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) +

0,6/(2,3).

24

Mt v d ng dng ca tch -ca-t l kt nhp (aggreegation) cc

thng tin m v cc thuc tnh khc nhau ca mt i tng. V d, trong cc

h lut ca cc h tr gip quyt nh hay h chuyn gia, h lut trong iu

khin thng c cc lut dng sau y:

Nu X1 := ~

1A and X2 := ~2A and and Xn :=

~nA th Y := B

~

trong cc Xi l cc bin ngn ng (v gi tr ca n l cc ngn ng c

xem nh l nhn ca cc tp m) v Ai l cc tp m trn min c s Ui ca

bin Xi. Hu ht cc phng php gii lin quan n cc lut nu-th trn u

i hi vic tch hp cc d liu trong phn tin t nu nh ton t kt

nhp, mt trong nhng ton t nh vy l ly tch -ca-t ~1A ~2A

~nA .

1.3.8. Php t hp li (convex combination)

Cho ~iA l tp m ca tp v tr Ui tng ng vi bin ngn ng Xi, i

= 1, 2, , n, v wi (0, 1], l cc trng s v mc quan trng tng i

ca bin Xi so vi cc bin khc, i = 1, 2, , n, v tha rng buc 11

= =n

i iw .

Khi t hp li ca cc tp m ~iA , i = 1, 2, , n, l mt tp m A~ xc

nh trn U = U1U2Un, hm thuc ca n c nh ngha nh sau:

==n

i iAinAuwuu

i11 )(),...,( ~~

trong l tng s hc (ch khng phi l tng hnh thc).

Php t hp li thng c s dng biu th ng ngha ca gia t

kiu ct yu (essentially) hay c trng hay c tnh tiu biu

(typically). V d, khi nim m v ngi To ln c biu th mt cch ct

yu t ng ngha ca cc khi nim ngi Cao v Bo. Nh vy ng ngha

ca To ln c th biu th qua ng ngha ca Cao v ca Bo thng qua

php t hp li.

C th, gi s ng ngha ca cc tp m Bo trn min U1 = [40, 100]

theo n v kg v ca Cao trn min U2 = [50, 220] vi n v cm c biu

th nh sau:

25

Bo = 1100

40

12

1

30

401 du

u

+

Cao = 2100

40

12

2

30

1401 du

u

+

Khi , tp m To-ln c biu th nh php t hp li sau:

To-ln = 0,6 Bo + 0,4 Cao =

{ } 21100

40

220

5021 )(4,0)(6,0 duduuu CaoBo +

Chng hn, ta c:

To-ln(70,170) = 0,60,5 + 0,40,5 = 0,5

To-ln(80,170) = 0,60,64 + 0,40,5 = 0,584

To-ln(70,180) = 0,60,5 + 0,40,64 = 0,556

1.3.9. Php m ha (Fuzzification)

Vic m ha c hai bi ton:

- Tm tp m biu th mt tp kinh in hay, mt cch tng qut hn,

hy m ha mt tp m cho A~;

- Tm thuc ca gi tr ngn ng ca mt bin ngn ng tng ng

vi mt d liu u vo l thc hoc m.

Theo ngha th nht ta nh ngha php m ha nh sau:

Php m ha F ca mt tp m A~ trn tp v tr U s cho ta mt tp

m F(A~, K~) c xc nh theo cng thc sau:

F(A~, K~) = U A duuKu )()(~

~

trong K~(u) l mt tp m trn U, u U, c gi l nhn (kernel) ca F.

Nu )(~ uA l hm thuc ca tp kinh in 1-phn t {u}, )(~ uA ch

bng 1 ti phn t u cn li l bng 0 hay ta c tp m {1/u}, th ta c

F({1/u}, K~) = K~(u)

26

Nu A~ l tp kinh in A, 1)( =uA trn A v bng 0 ngoi A, th m

ha ca A vi nhn K~(u) s l tp m sau:

F(A, K~) = A duuK )(~

V d 1.10. Cho hai tp m A~ v K~ trn U nh sau:

U = {a, b, c, d}, A~ = 0,8/a + 0,6/b ,

K~(a) = 1,0/a + 0,4/b v K~(b) = 1,0/b + 0,4/a + 0,4/c

Khi

F(A~, K~) = 0,8(1,0/a + 0,4/b) + 0,6(1,0/b + 0,4/a + 0,4/c)

= 0,8/a + 0,32/b + 0,6/b + 0,24/a + 0,24/c

= (0,8 0,24)/a + (0,32 0,6)/b + 0,24/c

= 0,8/a + 0,6/b + 0,24/c

Ngi ta cho rng php m ha nh trn c vai tr quan trng trong

biu din ng ngha ca cc gia t nh t nhiu (more or less), mt cht hay

hi (slightly), nhiu (much). Chng hn, vi khi nim m gii ch v NNG

LC ca chuyn vin, th khi nim hi gii c th c biu th bng php

m ha tc ng vo tp m biu din khi nim gii.

Bi ton m ha th 2 c gii hn trong trng hp tp v tr l tp

hu hn cc gi tr ngn ng

C th bi ton m ha trong trng hp ny nh sau: Gi s T l tp

cc gi tr ngn ng ca mt bin ngn ng X no vi min c s U. Cho

mt tp kinh in hoc tp m A~ trn U. Hy tm tp m trn min T biu th

tp m A~ hay, mt cch tng ng, hy tm thuc ca gi tr trong T

tng ng vi d liu u vo A~.

Chng hn, ta xt bin NHIT thi tit vi T = {Thp, Trung-bnh,

Cao} vi khng gian c s l [0, 100] theo

thang C. Vn l cn xc nh

thuc hay gi tr chn l TV ca mnh

A~ := , T, vi := c hiu l xp x

Hnh 1.4: Cc hm thuc ca bin NHIT

Thp Tr-bnh

Cao

1

0,5

0,0 100

A~

27

bng. C th chng ta cn xc nh gi tr chn l nh sau:

(Thp) = TV(A~ := Thp)

(Tr-bnh) = TV(A~ := Tr-bnh)

(Cao) = TV(A~ := Cao)

Vic xc nh gi tr chn l ny c tin hnh nh sau (xem Hnh

1.4): Chng ta ln theo th ca hm thuc ca tp m u vo A~ s thy n

ct th ca hm thuc Thp gi tr 0,52. Gi tr ny biu th ph hp

nht ca tp m A~ biu din qua tp m hay khi nim m Thp l 0,52.

Tng t, th ca A~ s ct th ca tp m Tr-bnh hai gi tr 0,34 v

0,82 v do ph hp nht ca vic biu din ng ngha ca A~ qua khi

nim m Tr-bnh l gi tr 0,82 ln hn. Cng nh vy, ph hp ca A~

biu th qua khi nim Cao l 0,18. Nh vy, vic m ha s a vic biu

din tp m A~ trn U thnh tp m trn tp cc gi tr ngn ng T sau:

NHIT_(A~) = 0,54/Thp + 0,82/Tr-bnh + 0,18/Cao (4*)

1.3.10. Php kh m

Trong iu khin m cng nh trong lp lun trong cc h chuyn gia

vi cc lut tri thc m, d liu u ra nhn chung u l nhng tp m. Thc

t chng ta cng thng gp nhu cu chuyn i d liu m u ra thnh gi

tr thc mt cch ph hp. Phng php chuyn i nh vy c gi l

phng php kh m (defuzzification). Nhu cu ny thng gp nht trong

iu khin m v u ra i hi l gi tr thc tc ng vo mt qu trnh

thc no .

Gi s d liu u ra c biu din dng (4*) vi cc tp m ca

cc gi tr ngn ng c biu th trong Hnh 1.4.

Trc khi trnh by mt s phng php kh m, chng ta hy a ra

phng php bin i tnh hm thuc ca tp m c biu din bng biu

thc dng (4*). Trc ht ta nh li rng tp m vi hm thuc c dng (u)

a, a [0, 1], c k hiu l aU, n l tch ca s v hng a v tp kinh

in U. Khi , hng thc trong (4*), chng hn 0,54/Thp, s c hiu l

biu thc 0,54U AND Thp, trong Thp l nhn ca tp m vi hm thuc

28

c cho trong Hnh 1.4. T Nhn xt 1.1, chng ta c th hiu cc php cng

hnh thc + s l php OR m ng ngha ca n l php trong dn

L([0,1]).

C nhiu cch biu th ng ngha php AND v php OR trn on [0,

1]. Mt cch tng qut, ta c th chn mt

cp i ngu t-norm v t-conorm bt k m

chng s c cp n sau ny khi ni v

cc i s lin hp tp hp m biu th

ng ngha ca hai php AND v OR. Di

y ta s chn ng ngha ca AND l php

Min, v OR l php Max. Trong Hnh 1.5 ta

c cc kt qu ca vic thc hin php AND

cho tng hng t trong cng thc (4*): hng

t th nht c biu th bng hnh thang

th nht vi chiu cao l 0,54; hng t th

hai c biu th bng hnh thang th hai

gia, vi chiu cao 0,82; hng t th ba

c biu th bng hnh thang bn phi vi

chiu cao l 0,18.

Hnh 1.6 biu th kt qu ca php OR ca 3 hng t vi ng ngha

c biu th trong Hnh 1.5.

Nh vy, bt k mt tp m no c cho dng cng thc (4*) chng

ta u c th bin i v tp m c dng Hnh 1.6.

By gi bi ton kh m c c th ha bng bi ton cho trc mt

tp m vi hm thuc c biu th bng th, chng hn nh trong Hnh

1.6. Hy xc nh phng php bin i tp m v mt gi tr thc thuc

min c s U. Vi v d ang xt, ta c bin NHIT vi U = [0, 100] theo

thang C.

Thng chng ta c nhiu cch gii bi ton kh m. Chng ta

khng c nhng rng buc cht ch no v vic nh ngha mt phng php

kh m. Bt k nh nghin cu ng dng no cng c th a ra mt nh

ngha v mt phng php kh m, min l n ph hp vi mt ng dng no

hay n ph hp vi mt tng no v ng ngha ca php kh m.

Hnh 1.5: Cc hm thuc ca 3 hng t trong (1.5)

Thp Tr-bnh

Cao

1

0,5

0,0 100

A~

Hnh 1.6. Hm thuc hp ca 3 hng t trong (1.5)

1

0,5

0,0 100

29

Tuy nhin, v trc quan chng ta c th a ra nhng yu cu mt phng

php kh m c xem l tt. Hellendoorn, H. and C. Thomas nm 1993

a ra 5 tiu chun trc quan sau. (i) Tnh lin tc, ngha l mt s thay i

nh ca d liu u vo ca phng php n cng ch to ra nhng thay i

nh d liu u ra; (ii) Tnh khng nhp nhng (disambiguity), ngha l

phng php ch sinh ra mt gi tr u ra duy nht; (iii) Tnh hp l

(plausibility) i hi rng gi tr u ra phi nm vng trung tm ca tp m

v thuc hay gi tr hm thuc ti phi ln (khng nht thit ln nht);

(iv) phc tp tnh n gin (computational simplicity), mt i hi t

nhin v (v) Tnh trng s ca phng php (weighting method) i hi

phng php tnh n trng s hay s u tin ca cc tp m kt qu u ra

(i vi trng hp bi ton cho nhiu kt qu u ra nh i vi mt s

phng php lp lun m a iu kin).

Ni chung, chng ta c th hiu cc tiu chun cn bo m gi tr kh

m ca tp m A~ l phn t thc i din mt cch hp l ca A~.

Sau y chng ta nghin cu mt vi phng php kh m.

1.3.10.1. Phng php cc i trung bnh (average maximum)

Cho tp m A~ vi hm thuc ~A . Gi umin v umax tng ng l hai

gi tr nh nht v ln nht ca min c s U m ti hm thuc ~A nhn

gi tr ln nht (cc i ton phn). K hiu gi tr kh ca A~ theo phng

php cc i trung bnh l DAv-max(A~). Khi DAv-max(A

~) c nh ngha

nh sau:

DAveMax(A~) =

2

maxmin uu +

tng ca phng php ny l chng ta ch quan tm n cc gi tr

ca U m ti n ph hp hay tng thch vi ng ngha ca tp m A~

nht, ti thuc l cc i ton phn. Nhng gi tr khc ca U m ti

thuc nh hn 1 u b b qua. V vy, mt kh nng la chn gi tr kh

m l gi tr trung bnh ca gi tr nh nht v gi tr ln nht ti thuc

vo tp m l ln nht. chnh l l do ngi ta gi phng php kh m

ny l phng php cc i trung bnh.

30

V d trn Hnh 1.6, hm thuc ~A t cc i ton phn trn on [41,

59] v, do , chng ta ta c:

DAveMax(A~) = 50

2

5941=

+.

1.3.10.2. Phng php cc i trung bnh c trng s

tng ca phng php ny l tm nhng on ti hm thuc

~A t cc i a phng. Ngha l ti cc gi tr ca min c s m

thuc ca chng t cc i a phng. Ni khc i cc gi tr ca U

thuc v tp m A~ vi tin cy c tri nht. Cc gi tr nh vy cn

c tham gia ng gp vo vic xc nh gi tr kh m ca tp A~ vi

trng s ng gp chnh l thuc ca chng vo tp A~. Chng ta chn

cch ng gp nh vy bng phng php ly trung bnh c trng s

(weighted average maxima method). V vy cch tnh gi tr kh m ca tp

m A~ nh sau:

Xc nh cc gi tr ca U m ti hm thuc ~A t gi tr cc i

a phng. K hiu umini v umaxi l gi tr ln nht v nh nht trong cc

gi tr ca U m ti hm thuc t cc i a phng. Gi tr trung bnh

cng ca umini v umaxi s c k hiu l uavemaxi, trong , ch s i ch n

l gi tr tng ng vi gi tr cc i a phng th i.

Gi s hm thuc ~A c m gi tr cc i a phng, i = 1, 2, , m.

Khi gi tr kh m ca tp m A~ c tnh theo cng thc trung bnh cng

c trng s nh sau:

Dw-AveMax = = =

m

i m

i i

ii

uave

uaveuave1

1)max(

max)max(

V d, chng ta xt tp m A~ c cho trong Hnh 1.6. Hm thuc ~A

t cc i a phng trn hai on thng, on [0, 23] v on [41, 59]. Do

, theo cng thc ta c uavemax1 = (0 + 23)/2 = 11,5 v uavemax2 = (41 +

59)/2 = 50. Theo cng thc chng ta c:

Dw-AveMax = 71,3436,121,47

82,054,0

5082,05,1154,0

)50()5,11(

50)50(5,11)5,11(=

++

=++

31

1.3.10.3. Phng php trng tm

Trong hai phng php trn, ngi ta ch quan tm n gi tr ca min

U m ti hm thuc t cc i, cn cc gi tr khc u b b qua. Nh

vy c v thiu bnh ng. Phng php trng tm (centroid method hay

centre of gravity) xut pht t tng mi gi tr ca U u c ng gp

vi trong s vo vic xc nh gi tr kh m ca tp m A~, y trng s

ca n l thuc ca phn t thuc vo tp m A~.

Theo ngha thng thng ca trng tm, cng thc tnh gi tr kh m

c dng sau:

DCentroid(A~) =

b

a

b

a

duu

duuu

)(

)(

V d, ta tnh gi tr kh m theo phng php trong tm ca tp m

trong Hnh 1.6. Theo cng thc trn ta tnh:

100

0)( duuu =

23

0*54,0 udu + +

25

23 501 )1( uduu +

41

25 501 )( uduu +

59

4182,0 udu

+ +91

59 501 )2( uduu +

100

9118,0 udu

= 142,83 + 24,946 + 355,306 + 738,0 + 1145,386 + 154,71 =

2561,178

100

0)( duu = 12,42 + 1,04 + 10,56 + 14,76 + 10,56 + 10,88 + 1,44 = 61,66

Do , DCentroid(A~) =

66,61

178,2561 = 41,537.

1.3.11. Nguyn l thc trin v s hc cc s m

1.3.11.1. Nguyn l thc trin

Vn c t ra l cho mt tp m A trn khng gian U v mt quan

h kinh in trn U V (hay n cng l mt nh x a tr t U sang V), liu

tp m A s cm sinh mt tp m B no trn V nh thng tin t quan h ?

32

Nguyn l thc trin (extension principle) cho ta mt quy tc xc nh

tp m B da trn cc thng tin m quan h cung cp. Nguyn l ny c pht biu nh sau:

Cho l mt quan h kinh in trn U V. Vi v V, ta k hiu -1(v) = {u U: (u, v)}

Khi , mi tp m A trn U s cm sinh mt tp m B trn V nh quan h

vi hm thuc B(v) c tnh theo cng thc sau:

B(v) = sup )()(1 uAvu .

Ta cho mt vi v d v ng dng ca nguyn l thc trin trn.

V d 1.11. Ngi ta thng biu din khi nim chn l nh l mt tp m

trn U = [0,1], chng hn hm thuc True ca khi nim True c cho trong Hnh 1.7. Thng thng, phn b ca tp m True biu th php ph nh v

do ng cong gch tng on biu th khi nim False. V trc quan

quan st trn Hnh 1.7 chng ta thy khng hp l.

By gi chng ta nh ngha khi nim ph nh bng vic p dng

nguyn l thc trin. Trong lgic a tr vi min gi tr

chn l trn on [0,1], php ph nh l 1-, t = 1 t.

n xc nh mt nh x t [0,1] vo [0,1]. Theo nguyn l thc trin, tp m True s cm sinh tp m

cng trn [0,1], chnh l tp m False, vi hm thuc l

False(t) = sup )()(1 sTruets = sup )(}1{ sTruets

= True(1 t)

Hm thuc ny l ng cong i xng vi True qua ng thng s = 0,5 v n biu th khi nim False mt cch hp l hn.

V d 1.12. By gi ta xt mt v d phc tp hn v vic p dng nguyn l

thc trin. Xt khng gian U = R, tp tt c cc s thc v php tnh 2-ngi a

* b trn cc s thc. Php tnh ny xc nh mt quan h hai ngi, hn na n

Hnh 1.7

True False

33

xc nh mt nh x : R R R. Do , theo nguyn l thc trin, mi cp

tp m A v B trn R s cm sinh mt tp m C cng trn R nh nh x vi hm thuc c xc nh nh sau:

C(t) = sup )()()(),( 1 ba BAtba = sup )()(* ba BAtba = (5*)

V hnh thc ha, cng thc trn r rng v d hiu, nhng v tnh ton

n li rt phc tp: cho trc hai hm thuc A(a) v B(b) chng ta kh c

th tnh ton c th c hm thuc C(t) da theo cng thc trn. khc phc kh khn tnh ton ny, chng ta ng dng cu trc s

hc trn cc khong, c th trn cc tp mc hay lt ct ca tp m.

1.3.11.2. S hc cc khong v ng dng i vi nguyn l thc trin

Trc ht chng ta kho st li cng thc (5*) da trn cc tp mc.

Chng ta bit rng c mt tng ng 1-1 gia tp m A trn U v h n iu

gim cc tp mc {A : (0, 1]}, < A A. V vy, thay v tnh

trc tip hm thuc ca mt tp m, ta tnh h cc tp mc. c bit trong

trng hp ri rc ha, s tp mc nh vy ch hu hn. cho gn, ta k

hiu gi ca tp m A l A(0), A(0) = {u U: A(u) > 0}.

Gi thit rng ta ch xt cc tp m m hm thuc ca chng lin tc.

phn tch cng thc (5*) trn quan im tp mc mt cch c th, ta

gi thit php * l php + s hc trn R. Ta s chng t rng

C = A + B = {a + b: a A & b B} (6*)

Thc vy, gi s t C, C(t) . T (5*), ta suy ra A(a) v

B(b) vi t nht mt cp (a, b) sao cho a + b = t. Ngha l, ta c C {a

+ b: a A & b B}. Ngc li, d dng thy rng vi mi cp (a, b) sao

cho a A & b B, th A(a) B(b) v do , theo (5*), vi t = a + b,

ta c C(t) hay a + b C. Nh vy chng ta chng minh cng thc (6*) l ng.

Tng t nh vy chng ta c th thit lp cc cng thc tng t nh

(6*) cho cc php tnh s hc khc.

34

Vi gi thit cc hm thuc ca cc tp m c xt A l chun, tc l

high(A) = 1 hay A1 , v lin tc, cc tp mc u l cc on thng. Khi

, cng thc (6*) c ngha on C l tng ca 2 on A v B. Nh vy,

(6*) dn n vic nghin cu s hc cc khong ng.

Xt h cc khong ng, gii ni trn tp s thc R, k hiu l h

Intvl(R).

Ta nh ngha cc php tnh s hc trn cc khong nh vy nh sau.

Gi * l php tnh 2-ngi bt k trn s thc R, * c th l php cng (+),

php tr (), php nhn (.) v php chia (/) s hc, th n s cm sinh mt

php tnh trn Intvl(R) cng c k hiu l php * v c nh ngha nh

sau:

[a, b] [c, d] = {u v : u [a, b] & v [c, d]} (7*)

vi gi thit rng nu l php chia th ta gi thit on [c, d] khng cha

phn t 0 ca R.

T (7*) ta d dng suy ra cc cng thc sau

[a, b] + [c, d] = [a + b, c + d]

[a, b] [c, d] = [a b, c d]

[a, b] / [c, d] = [a, b] . [1/d, 1/c]

[a, b] . [c, d] = [e, f], vi e = min {ac, ad, bc, bd} cn f = max

{ac, ad, bc, bd}

Lu rng v mi s a, b, c v d c th m hoc dng nn ta phi tnh min,

max xc nh u mt ca khong kt qu ca php nhn.

Tr li vi nguyn l thc trin i vi nh x xc nh bi php tnh

s hc trn s thc vi tp m cm sinh c tnh trn cc tp mc nh

dng cng thc (6*). Nu cc tp m A v B l chun v lin tc, th tt c cc

tp mc A v B u l cc khong ng gii ni, chng l cc phn t ca

Intvl(R) v do cc cng thc dng (6*) u c tnh ton da trn s

hc cc khong.

1.3.11.3. S m v s hc cc s m

35

Xt tp m A trn tp cc s thc R. V nguyn tc, khng c rng

buc cht i vi vic xy dng cc tp m biu th ng ngha ca cc khi

nim ngn ng. Tuy nhin, n gin trong xy dng cc tp m v trong

tnh ton trn cc tp m, ngi ta a ra khi nim tp m c dng c bit,

gi l s m biu th cc khi nim m v s nh gn 10, khong 15, ln

hn nhiu so vi 10,

S m l tp m c cc c im sau:

N l tp m chun, tc l high(A) = 1;

Mi tp mc A, (0,1], l cc khong ng; Support(A) l tp gii ni hay n l mt on hu hn.

Trong nhiu ti liu nghin cu v trong ng dng, ngi ta thng s

dng cc s m c bit, gi l cc s m tam gic hay hnh thang (xem Hnh

1.8).

Cc php tnh s hc trn s m

C hai cch nh ngha cc php

tnh s hc trn cc s m.

Cch th nht, da trn cng

thc (5*) khi s dng nguyn l thc

trin.

Cch nh ngha th hai, nh

ngha qua tp mc. V, nh trong Mc 1.3.11.2, chng ta thy mi tp m

A c xc nh duy nht bi h cc tp mc {A : (0,1]}. Khi ta c th biu din:

A = U ]1,0( A

Gi s A = U ]1,0( A v B = U ]1,0( B v l mt php tnh s hc hai

ngi no trn s thc, {+, , ., /}. Theo nh ngha s m, A v B l

cc khong ng gii ni v A B l mt php tnh s hc trn cc khong.

Khi , ta nh ngha:

Very small

small

medium

large

Very large

0 100

Hnh 1.8: Cc s m ca cc gi tr ngn ng

36

A B = BA U ]1,0(

V d 1.13. Cho cc tp m A v B vi cc hm thuc sau

A(u) = 0 vi u 1 v u > 3

= (u + 1)/2 vi 1 < u 1

= (3 u)/2 vi 1 < u 1,

B(u) = 0 vi u 1 v u > 5

= (u 1)/2 vi 1 < u 3

= (5 u)/2 vi 3 < u 5.

Khi , ta c th kim chng thy rng

A = [2 - 1, 3 - 2], v B = [2 + 1, 5 2]. v, do ,

(A + B) = [4, 8 4]

(A B) = [4 6, 2 4]

(A . B) = [ 42 + 12 5, 42 16 + 15] vi (0;0,5]

= [42 1, 42 16 + 15] vi (0,5;1]

(A / B) = [(2 1)/(2 + 1), (3 2)/(2 + 1)] vi (0;0,5]

= [2 1)/(5 2), (3 2)/(2 + 1)] vi (0,5;1]

Trong trng hp n gin ny chng ta c th tnh cc hm thuc kt qu v

thu c

A+B(u) = 0 vi u 0 v u > 8

= u/4 vi 0 < u 4

= (8 u)/4 vi 4 < u 8

A-B(u) = 0 vi u 6 v u > 2

= (u + 6)/4 vi 6 < u 2

= (2 u)/4 vi 2 < u 2

A.B(u) = 0 vi u < 5 v u > 15

37

= [3 (4 u)1/2]/2 vi 5 u < 0

= (1 + u)1/2/2 vi 0 u < 1/3

= [4 (1 + u)1/2]/2 vi 3 u < 15

A/B(u) = 0 vi u < 1 v u > 3

= (u + 1)/(2 2u) vi 1 u < 0

= (5u + 1)/(2u + 2) vi 0 u < 1/3

= (3 u)/(2u + 2) vi 1/3 u < 3

1.3.11.4. Phng trnh s hc m

Cng nh trong s hc, khi chng ta c s hc cc s m th chng ta

c th gii cc phng trnh s hc. Chng ta s thy vi biu din tp m qua

h cc tp mc, chng ta c th d dng gii cc phng trnh s hc m.

Chng ta hy ly mt v d.

V d 1.14. Xt phng trnh m

A + X = B (8*)

trong A v B l cc tp m cn X l tp m n. Ta hy tm nghim X v s

chng t rng nghim X = A B.

Xt tp mc mc (0, 1] ca 3 tp m trong (8*) v t A = [a1,

a2], B = [b1, b2] v X = [x1, x2]. R rng ta phi c cc rng buc sau:

a1 a2, b1 b2 v x1 x2. T (8*) ta c:

a1 + x1 = b1 v a2 + x2 = b2 v do x1 = b1 a1, x2 = b2

a2.

Nh vy cho phng trnh m (8*) c nghim ta phi c gi thit

(i) b1 a1 b2 a2, vi mi (0, 1];

Ngoi ra, t iu kin n iu gim ca h X, < X X ta

suy ra x1 x1 x2 x2. Hay, mt iu kin tn ti nghim na l

(ii) < b1 a1 b1 a1 b2 a2 b2 a2 . Vy, vi iu kin (i) v (ii), ta c

X = U ]1,0( X .

38

Mt cch tng t, phng trnh m

A . X = B s c nghim vi hai iu kin sau:

(i) b1/a1 b2/a2 , vi mi (0;1];

(ii) < b1/a1 b1/a1 b2/a2 b2/a2 .

1.3.12. Php ton kt nhp

Mt php ton trn tp m c ngha thc tin quan trng l php kt

nhp (Aggregation Operator). Trong cuc sng hng ngy con ngi thng

xuyn phi nh gi cc i tng trn c s tng hp cc nh gi theo tng

tiu ch nh gi no . V d, nh gi hc lc ca hc sinh hay sinh vin

trn c s cc im nh gi ca cc mn hc, hay nh gi cc phng n

u t mt nh my trn c s nh gi hiu qu kinh t, x hi, nh gi

phng n pht trin sn phm ca mt x nghip theo nhiu tiu ch khc

nhau

Mt cch hnh thc, bi ton t ra l gi s c n tiu ch nh gi Ci v

mi tiu ch c nh gi bng cc t ngn ng vi ng ngha biu th bng

cc tp m ~iA , i = 1, , n. Hy xy dng php tnh cho php kt nhp cc

im nh gi ~iA , i = 1, , n.

Chng ta s xy dng mt lp cc ton t nh vy, gi l php kt

nhp, trn c s cc tnh cht trc gic quan st c t bn cht ca vic tch

hp cc kin v xem chng l cc tin ca php kt nhp. Ta s thy sau

ny l php kt nhp l mt hm g: [0, 1]n [0, 1]. Khi vic kt nhp cc

im nh gi ~iA trn khng gian Ui, i = 1, , n, s l mt tp m ~A c

xc nh bng php kt nhp sau:

))(),...,(),(()( ~2~21

~1

~nn uAuAuAguA = , u = (u1, , un) U1 Un

Nh vy, nu chng ta c th pht trin mt l thuyt v cc php kt

nhp, th chng ta c cng c kt nhp cc kin hoc cc nh gi theo cc

tiu chun khc nhau.

Trc ht, mt cch hnh thc ha, php kt nhp l mt hm 2-ngi g :

[0;1]2 [0;1] c cc tnh cht sau c coi l cc tin :

39

Tin (Agg1). g c tnh cht kt hp, g(a, g(b, c)) = g(g(a, b), c) v do

ta c th vit :

g(a, b, c) = g(a, g(b, c)).

Nh vy, mt hm kt nhp g c th m rng thnh hm n-ngi

g(a1, a2, , an): [0;1]n [0;1]

Tin (Agg2). g l php ton ly ng (idempotent).

g(a, a, , a) = a, a [0;1]

ngha thc tin ca tin ny l r rng: nu cc kin l ging

nhau, th kt qu kt nhp phi khng thay i.

Tin (Agg2*). g tha iu kin bin sau:

g(0, 0, , 0) = 0 v g(1, 1, , 1) = 1.

D nhin, tin ny l trng hp ring ca Tin (Agg2) v do n l

mt rng buc nh hn kh nhiu Tin (agg2).

Tin (Agg3). g l hm lin tc.

i hi ny l t nhin trn thc t: cc kin xp x nhau th kt qu

kt nhp cng xp x nhau.

Tin (Agg4). g(a1, , an, g(a1, , an)) = g(a1, , an)

Tin (Agg4) m t mt tnh cht thc t l nu thm mt kin mi

trng vi gi tr kt nhp cc kin c khng lm thay i gi tr kt nhp

c.

Tin (Agg5). Tnh n iu tng: Vi mi cp (a1, , an) v (b1, , bn)

cc gi tr trong [0, 1], nu ai bi, vi i = 1, 2, ..., n, th

g(a1, , an) g(b1, , bn).

Tin (Agg6). Tnh cht giao hon: Vi bt k mt hon v v tr, : {1, 2,

, n} {1, 2, , n} ca cc ton hng ca php kt nhp g(a1, , an),

chng ta c:

g(a1, a2, , an) = g(a(1), a(2), , a(n))

ngha ca Tin (Agg6) l n m t mt kiu tnh hung thc t

trong th t cc kin khng quan trng trong kt nhp. iu ny cng

40

hp l trong mt lp cc bi ton ng dng. Tuy nhin, t mt cch nhn

khc, mt cu hi t ra l liu ta c th b yu cu ny khng? Cu tr li l

c v trong vic ly quyt nh tp th trong thc tin nhiu khi kin u

tin c nh hng mnh n kt qu ca php kt nhp, hoc ngc li, trong

cc tnh hung khc kin v cui li c nh hng mnh hn so vi cc

kin u. i vi cc loi bi ton ny, chng ta c l thuyt cc php kt

nhp khng giao hon. Tuy nhin, trong gio trnh ny chng ta khng cp

n lp cc php tnh ny.

By gi ta cho mt s v d v php kt nhp. Do tnh cht rt a dng

ca cc bi ton ng dng, v nguyn tc chng ta khng nht thit i hi

mt php kt nhp no phi tha mn c 6 tin trn.

1) Hm min v max: Gi s g(a1, a2) = Min {a1, a2} (hay g(a1, a2) =

a1 a2)

Do tnh kt hp ca php Min, ta c th d dng m rng hm ny thnh

php n-ngi:

g(a1, a2, , an) = Min {a1, a2, , an}.

Bn cnh hm Min, xt hm Max h(a1, a2) = Max {a1, a2} (hay h(a1,

a2) = a1 a2).

Tng t, do tnh kt hp ca php Max, ta c th d dng m rng

hm ny thnh hm n-ngi:

h(a1, a2, , an) = Max {a1, a2, , an}.

D dng kim tra hm Min v Max tha tt c cc tin t (Agg1)

(Agg6).

2) Trung bnh c trng s:

WAvg(a1, a2, , an) = ini iaw 1 , vi wi 0 v 11 = ni iw .

Chng ta kho st cc tnh tha cc tin ca php kt nhp WAvg.

(a) R rng rng php WAvg tha cc tin ly ng, lin tc v n

iu tng.

41

(b) By gi ta kho st tnh tha Tin (Agg4) ca n.

nh l 1.2. Cho php kt nhp c trng s wAvg, nu n c n-i s ta s k

hiu n l WAvg(a1, a2, , an) = inini aw 1 , vi

niw 0 v 11 = ni

niw . Khi

, WAvg tha Tin (Agg4) nu v ch nu

+

+

=nj

nj

nin

i w

ww

1

1

1

, i = 1, , n (9*)

Chng minh: Trc ht ta gi thit rng php kt nhp Wavg tha Tin

(Agg4), ta c ng thc WAvg(a1, a2, , an) = WAvg(a1, a2, , an, WAvg(a1,

, an)), hay

inini

nn

niini

ni

nnini

niini

ni awwwawwawaw )(1

11

1

1

111

1

1 ++

+

++

+

+=+=

T ng thc ny ta suy ra

+

+

++

+

=

=nj

nj

ni

nn

nin

i w

w

w

ww

1

1

1

11

1

1, ta thu c (9*).

Ngc li, rt d dng kim chng rng nu cc trng s ca php kt nhp

WAvg c mi lin h (9*) th WAvg s tha Tin (Agg4).

(c) C th kim tra rng WAvg khng c tnh cht kt hp, khng tha

Tin (Agg1).

(d) WAvg khng c tnh cht giao hon, khng tha Tin (Agg6).

nh l 1.3. Nu tn ti hai trong s wi v wj ca php kt nhp WAvg sao cho

wi wj, th php WAvg khng giao hon.

Chng minh: Xt mt b gi tr (a1, a2, , an) sao cho ai = 1, cc gi tr khc

u bng 0, (0, , 0, ai = 1, 0, ,0 ), v xt mt php hon v hon v hai v tr vi ch s i v j, cn cc v tr khc gi nguyn. Nu php WAvg c tnh

giao hon ta phi c

WAvg(a1, a2, , an) = ini iaw 1 = wi = WAvg(a(1), a(2), , a(n)) = = )(1 ini iaw = wj.

iu ny mu thun vi gi thit wi wj.

3) Php trung bnh cng s hc

42

Php kt nhp trung bnh cng c k hiu l Avg v c nh ngha

nh sau

Avg(a1, a2, , an) = ini an 11 .

Trong cuc sng hng ngy chng ta thng hay gp v s dng php

kt nhp ny tng hp cc kin nh gi hay im nh gi theo cc thiu

chun khc nhau. Bay gi chng ta kho st xem php kt nhp quen thuc

ny s tha mn cc tin no v vic kt nhp.

(a) R rng l php Avg tha cc tin v tnh ly ng, lin tc, n

iu tng.

(b) By gi ta xem xt tnh tha ca php Avg i vi Tin (Agg4).

Ta tnh biu thc

Avg(a1, a2, , an, Avg(a1, a2, , an)) = iniini anna

n +++ 111

1

1]

1

1[

= ini annn +++1 ))1(1

1

1( = ini an 1

1 = Avg(a1, a2, , an).

Biu thc ny chng t rng php kt nhp Avg tha Tin (Agg4).

(c) Tnh giao hon ca php Avg c lin h cht ch vi nh l 1.2. C

th, ta c nh l sau:

nh l 1.4.. Php kt nhp trung bnh c trng s WAvg c tnh giao hon th

n l php ly trung bnh cng s hc Avg.

Chng minh: Gi s WAvg c tnh cht giao hon, vi mi php hon v v tr

cc hng t , ta c

WAvg(a1, a2, , an) = WAvg(a(1), a(2), , a(n)) (10*)

Xt b gi tr (1, 0, , 0) v php hon v ch i vi hai v tr th nht v v tr th i, cc v tr cn li gi nguyn. Thay vo (10*) ta thu c

WAvg(a1, a2, , an) = w1 = wi = WAvg(a(1), a(2), , a(n)).

43

iu ny ng vi mi ch s i = 1, , n. Do 11

= ni iw , ta suy ra wi = 1/n, vi mi i.

4) Php trung bnh cng tng qut ha

Php kt nhp trung bnh cng tng qut ha c xc nh bi cng

thc sau

g(a1, a2, , an) = /1

1 ...

++

n

aa n

vi R, tp s thc, v ai 0, i = 1, , n, khi < 0.

D dng kim tra thy rng php kt nhp ny tha cc tin ly

ng, lin tc, n iu tng v giao hon. Tuy nhin, bng vic kim chng

vi cc b gi tr (a1, a2, , an) c th ta c th ch ra rng, ni chung, n

khng tha tnh cht kt hp v Tin (Agg4).

Vi cc gi tr (, +) khc nhau n s xc nh cc php kt nhp trung bnh cng khc nhau.

- Khi 0 th g xc nh php kt nhp trung bnh hnh hc g0 = (a1 . a2 an)

1/n

Thc vy, ta tnh gii hn :

naag n

ln)...ln(limlnlim 1

00

++=

.

p dng quy tc lHospital chuyn v ly gii hn theo thng ca o hm

ta thu c

nnn

n

nn aaan

aa

aa

aaaag /121

1

1

11

00)....ln(

ln...ln

...

ln...lnlimlnlim =

++=

++

++=

.

l iu ta cn chng minh.

- g(a1, a2, , an) = Min {a1, a2, , an} v g+(a1, a2, , an) = Max

{a1, a2, , an}

44

Thc vy, khi , vi amin = Min {a1, a2, , an} v lu rng l s m, ta c

na

a

a

aa

naag

n

n

ln)...ln(ln

limln)...ln(

limlnlim minmin

1min

1

++

+

=++

=

= ln amin

v ta thu c iu cn chng minh.

i vi trng hp g+ vic chng minh hon ton tng t.

- Vi = 1, ta c g-1(a1, a2, , an) = 111 ...

++ naa

n, ta c hm ly

trung bnh iu ha; vi = +1, ta c g+1(a1, a2, , an) = n

aa n++ ...1 , ta c

php trung bnh s hc.

5) Php trung bnh cng trng s theo th t (Php ton OWA)

Trong nhiu cng trnh nghin cu v ng dng, ngi ta thng s

dng php kt nhp c gi l php ly trung bnh cng trng s theo (quan

h) th t (ordered weighted averaging operations (OWA)) v k hiu l gw.

N c nh ngha nh sau. Cho mt vect trong s (w1, w2, , wn), wi (0,

1] v w1 + + wn = 1. Khc vi php trung bnh cng c trng s, y, i

vi mi b gi tr ca i s, (a1, a2, , an), trc ht n c sp xp theo

quan h th t gim dn, ta thc hin mt hon v (a(1), a(2), , a(n)) sao

cho a(i) l s ln nht th i trong cc gi tr ca i s cho. Ni khc i,

a(i) a(j), nu i < j. Khi ,

gw = w1a(1) + w2a(2) + + wna(n)

V d, cho vect trng s (0,3, 0,1, 0,2, 0,4) v b gi tr (0,6, 0,9, 0,2,

0,6). Sp xp b cc gi tr ny theo th t gim, ta thu c 0,9, 0,6, 0,6, 0,2

v do , theo nh ngha trn,

gw(0,6, 0,9, 0,2, 0,6) = 0,3 0,9 + 0,1 0,6 + 0,2 0,6 + 0,4 0,2 = 0,53

45

D dng kim chng rng php OWA tha cc tin ly ng, lin

tc, n iu tng v giao hon.

By gi ta kho st mt s trng hp c bit:

- Vi vect trng s wmin = (0, 0, , 0, 1) php OWA s tr thnh php

Min v vi wmax = (1, 0, , 0), php OWA s tr thnh php Max.

- ),...,( 1min nw aag = Min {a1, a2, , an} v ),...,( 1max nw aag = Max {a1,

a2, , an}

- Vi vect trng s w = (1/n, , 1/n), r rng php OWA tr thnh

php trung bnh s hc.

nh l 1.5. Vi mi php kt nhp g tha tin ly ng v n iu tng,

ta c

Min {a1, a2, , an} g(a1, a2, , an) Max {a1, a2, , an} (11*)

Ngc li, nu hm g tha cng thc (11*) th n c tnh cht ly ng.

Chng minh: t amin = Min {a1, a2, , an} v amax = Max {a1, a2, , an}.

Khi , p dng tnh ly ng v n iu tng, ta thu c

amin = g(amin, , amin) g(a1, a2, , an) g(amax, , amax) = amax

Ngc li, gi s g tha cng thc (11*). Khi ,

a = Min {a, a, , a} g(a, a, , a) Max {a, a, , a} = a, ngha l

g c thnh cht ly ng.

By gi ta kho st mt s tnh cht hay ca cc php kt nhp. Trc

ht, ta nhc li bi ton v phng trnh hm Cauchy: Tm h cc hm s thc

tha mn phng trnh hm

f(x + y) = f(x) + f(y) (12*)

Cauchy nm 1821 chng t rng nu vi gi thit f lin tc, ch c

h hm c dng f(x) = cx, c R, l nghim ca bi ton (12*). Sau ngi

ta chng minh rng khng nh ny vn cn ng vi mt trong cc iu kin

rng buc sau:

- f lin tc ti mt im no ;

46

- f n iu trn mt khong no ;

- f gii ni trn mt khong no .

Vic gii bi ton ny trong trng hp bin thc kh phc tp.

tham kho, ta gii bi ton trong trng hp f l lin tc.

Trc ht ta chng minh khng nh khi cc bin nhn cc gi tr trong

tp cc s hu t Q. Thc vy, vi iu kin (12*) ta s chng t rng:

- f(0) = 0: t y = 0, ta c f(x + 0) = f(x) + f(0) v do f(0) = 0.

- f(x) = f(x): V, khi t y = x, ta c f(x + (x)) = f(x) + f(x) = f(0)

= 0.

- f(nx) = nf(x): V, f(nx) = f(x + x + + x). p dng h thc (12*) n 1

ln ta thu c ng thc cn chng minh.

- )(1

xfnn

xf =

: t y = nx ta thu c f(y) = nf(x) = nf(x) =

n

ynf ,

iu cn chng minh.

T hai khng nh cui ta suy ra

)(xfn

m

n

xmf =

hay qxfxqf )()( = (12*)

Xem q l bin nhn gi tr hu t, q Q, v x l mt hng c chn l 1, ta

c : f(q) = cq, c = f(1) v q Q.

V Q tr mt trong tp cc s thc R, f l lin tc ta suy ra khng nh ng

trn trng s thc R.

nh l 1.6. Gi s hm g: [0, 1]n R+ tha iu kin bin (Agg2*), tnh n

iu (Agg5) v tnh cht sau:

g(a1 + b1, , an + bn) = g(a1, , an) + g(b1, , bn) (13*)

trong ai, bi [0, 1], i = 1, , n. Khi , ta c

g(a1, , an) = ini iaw 1 , vi wi > 0, i = 1, , n. Ngoi ra nu n tha tnh ly ng (Agg2) th g l php trung bnh cng c

trng s.

Chng minh: Ta t gi(ai) = g(0, ...,0, ai, 0, ..., 0). Khi , gi tha h thc

(12*) v theo li gii ca bi ton phng trnh hm Cauchy vi rng buc

47

tnh n iu, n phi c dng gi(x) = wix, trong wi = gi(1) > 0. Do vy, t

gi thit (13*), ta suy ra

g(a1, , an) = g(a1, 0, , 0) + g(0, a2, , an)

v p dng tip tc nh vy ta thu c

g(a1, , an) = g(a1, 0, , 0) + g(0, a2, 0, , 0) + + g(0, ,

0, an)

= g1(a1) + g2(a2) + + gn(an) = ini iaw 1

Ngha l ta thu c iu cn ta chng minh.

Nu g tha thm tnh cht ly ng, ta c

a = g(a, , a) = a ni iw1 , hay ni iw1 = 1 iu ny chng t g l php trung bnh cng c trng s.

1.4. Quan h m

1.4.1. Khi nim quan h m

nh ngha 1.7. Cho U l tch -cc ca n min c s Ui, i = 1, , n. Khi

, mi mt tp m trn U c gi l mt quan h m n-ngi v c k

hiu l R, gi l tn ca quan h , v n c biu th bng cng thc sau:

R = nUU nn uuuu... 111 ),...,/(),...,( trong (u1, , un) l hm thuc ca tp m R.

thuc (u1, , un) c ngha cc i tng u1, , un tng ng ca cc min c s U1, , Un, c quan h R vi nhau vi tin cy hay ph

hp chnh l (u1, , un). Trong trng hp R l quan h ri rc th n c th biu th bng mt

bng vi tn hng l tn cc phn t trong U, cn tn ct l tn cc phn t

trong V. Trong trng hp ny ta cn ni R c biu din bng ma trn.

V d, xt hai min c s U = V = {1, 2, 3, 4}. Quan h m ln hn rt

nhiu gia cc phn t ca U s c biu th bng bng sau:

48

Bng 1.6: Quan h m

Ln hn rt nhiu

R 1 2 3 4

1 0,0 0,0 0,0 0,0

2 0,3 0,0 0,0 0,0

3 0,8 0,0 0,0 0,0

4 1,0 0,8 0,3 0,0

Mi mt gi tr thuc trong bng ny, chng hn gi tr 0,8 ti hng

3 ct 1, c ngha cp gi tr (3, 1) tha quan h Ln hn rt nhiu vi

ph hp l 0,8, hay gi tr 3 ln hn rt nhiu gi tr 1 vi ph hp (vi

quan h ln hn rt nhiu) l 0,8.

Ta xt mt v d khc vi U = V = R, tp tt c cc s thc. Trn tp s

thc ny ta c khi nim trc quan v s gn nhau gia cc s thc. Quan h

m gn vi, k hiu l Rgn, c th biu th bng cng thc sau:

Rgn = ),/(||

vueVU

a

vu

.

1.4.2. Quan h m v tri thc dng lut nu-th

Mt dng biu din tri thc quan trng trong tr tu nhn to l tri thc

c pht biu di dng mnh nu-th nh sau:

Nu cng dng in I l ln, th vng quay m t in N l nh

(14*).

Mnh (14*) biu th mi quan h m gia i lng cng

dng in v i lng s vng quay ca m t in. Theo ngha , phi c

kh nng biu din (14*) bng mt quan h theo nh ngha 1.7. tng ca

phng php chuyn mt mnh ngn ng nh trn thnh mt quan h m

c thc hin nh sau:

Gi s min c s ca bin ngn ng I l UI = [0, 10] theo n v

Ampe v min c s ca bin ngn ng N l VN = [400, 2000] theo n v

vng/pht. Khi nim m ln ca I c biu th qua tp m vi hm thuc

I-ln: [0, 10] [0, 1], khi nim nh ca N c biu th bng tp m vi

hm thuc N-nh: [400, 2000] [0, 1]. Khi , mt tng trc quan biu

49

din theo tng im (u, v) (pointwise) mang tnh nh lng ca mnh

(14*) l:

Nu I := I-ln(u) th N := N-nh(v) Hay, mt cch hnh thc hn, ta c th vit

I := I-ln(u) N := N-nh(v) (15*)

Cng thc (15*) cho php ta nhn nhn r rng hn mi quan h gi 2

phn t u UI v v VN. Vn cn li l t (15*) ta c th tnh gi tr

thuc ca cp phn t (u, v). V hai gi tr I-ln(u), N-nh(v) [0, 1] cng phn nh tnh ng n ca ng thc u = ln v v = nh, ta c th xem chng

nh gi tr chn l ca mt lgic a tr trn on [0, 1]. Do ng ngha ca

(15*) c th biu th bng

I-ln(u) *

N-nh(v) (16*)

trong *

l mt php ko theo lgic no ca lgic a tr v do gi tr

I-ln(u) *

N-nh(v) [0, 1].

Mt vi v d ca php ko theo *

thng c s dng nh:

Ko theo nh phn (binary): s b

t = (1 s) t

Ko theo chun (Standar): s S

t = 1 nu s t

= 0 nu s > t

Ko theo Goedel: s g

t = 1 nu s t

= t nu s > t

Ko theo Madami: s m

t = s . t (trong . l tch s

hc) .

Ko theo Lukasiewicz s L

t = 1 (1 s + t)

1.4.3. Cc php tnh trn quan h

V quan h cng l tp m nn cc php tnh trn tp m c trnh by

trong Mc 1.3 cng l cc php tnh trn quan h. Tuy nhin, trn quan h c

nhng php tnh c th ring m trn tp m ni chung khng c, chng hn

php tnh hp thnh di y:

50

nh ngha 1.8. Gi s R l quan h m trn UV v S l quan h m trn

VW. Khi , php hp thnh ca hai quan h ny l mt quan h trn UW,

c k hiu l RS v c nh ngha nh sau:

R o S = ),/()],(),([ wuwvvu SRVv (17*) trong c th l mt php tnh 2-ngi trong [0,1] c tnh giao hon, kt

hp v phn phi i vi php max . Nu l php min , th ta c php hp

thnh max-min, nu l php nhn s hc . ta c php hp thnh max-

product.

i ngu vi php hp thnh (17*) l

R o S = ),/()],(*),([ wuwvvu SRVv (18*) trong * l mt php tnh i ngu vi . Vi * l max ta c php hp thnh

min-max i ngu vi php hp thnh max-min, vi * l ta c php hp

thnh min-sum i ngu vi php hp thnh max-product.

Nu R v S l cc tp m ri rc, tc U, V v W l hu hn, chng hn

U = {u1, , um}, V = {v1, , vp} v W = {w1, , wn}. Khi , hm thuc ca

tp m (18*) ti cp phn t (ui,wj) c dng

RoS(ui,wj) = )],(),([1 jkSkiRpk wvvu = (19*)

Quan st cng thc (19*) c th nhn thy s ng dng ca n vi

biu thc tnh phn t (i,j) ca tch hai ma trn, vi tng y c hiu l

php max , tch c hiu l php tnh . Ngha l, tnh gi tr RoS(ui,wj),

ta ly cc phn t ca hng th i ca bng R nhn bng php vi cc phn t

tng ng ca ct th j ca bng S; ly tng bng php max cc kt qua thu

c.

nh l 1.7. Php hp thnh c nh ngha nh trong nh ngha 1.8 c

tnh cht kt hp, ngha l, cho cc quan h m R trn khng gian UV, S trn

khng gian UW v Q trn khng gian WZ, chng ta c ng thc sau:

(R o S) o Q = R o (S o Q) = R o S o Q (20*)

V d 1.15. Xt mt qu trnh x l thng tin nh trong hnh (1) ca Hnh 1.9.

R v S l cc quan h m biu din cc tri thc, chng hn, di dng mt tp

51

lut if-then. Ngoi ra, gi s R v S l cc quan h m vi gi thit ri rc nh

c xt trn. l vect hng m-chiu c xem nh l d liu u vo,

l vect hng p-chiu c xem nh kt qu x l trung gian, cn = (g1, , gn) l vect output n-chiu biu th vect u ra. y chng ta gi thit rng

qu trnh x l thng tin tng tc gia cc

qu trnh thc t c m phng bng cc

php hp thnh. Ngha l, d liu u ra

c tnh theo cc cng thc sau:

= o R, = o S (21*)

Vi tnh cht ca cc php tnh nu trong nh ngha 1.8, trong Hnh

1.9 qu trnh (1) l tng tng vi qu trnh (2).

Thc vy, gi s hm thuc ca R l R(ui, vk), hm thuc ca S l

S(vk, wj) v = (a1, , am). Khi , do tnh cht kt hp, ta ln lt tnh theo cng thc (21*) nh sau:

o R = ( )],([ 11 vva iRimi = , , )],([1 piRimi vva = )

v thnh phn th j ca vect = o S s l:

gj = )},()],([{ 11 jlRliRimi

pl wvvua ==

Theo tnh phn phi ca php tnh i vi php max, v do tnh giao

hon v kt hp ca php max, chng ta c

gj = )],(),([11 jlRliRimi

pl wvvua == = )],(),([11 jlRliRi

pl

mi wvvua ==

= )]},(),([{ 11 jlRliRpli

mi wvvua ==

C th nhn thy biu thc )],(),([1 jlRliRpl wvvu = chnh l phn t cij ca ma

trn R o S, v do

= o (R o S) (22*)

Nh vy, s tng ng ca cc cng thc (21*) v (22*) em li cho

ta ngha thc tin ca php hp thnh.

R S

(1)

(2) R o S

Hnh 1.9

52

1.4.4. Quan h m 2-ngi

Mt lp cc quan h m quan trng l quan h m 2-ngi, chng hn

quan h bn thn, bn hng gn gi, hc gii hn, ...

Quan h 2-ngi R trn U U, hay gi l quan h trn khng gian U, c

nhng tnh cht c bit m cc quan h khc khng c. Trong nhng quan h

ny c quan h n v E c nh ngha bi hm thuc sau:

E(u, u) = 1, vi u U v R(u, v) = 0, vi u, v U, u v.

nh ngha 1.9. Cho R l quan h m 2-ngi trn U U. Khi ta ni R l:

Phn x : nu v ch nu R(u, u) = 1, vi u U hay E R;

Phn phn x : nu v ch nu R(u, u) = 0, vi u U;

i xng : nu v ch nu R(u, v) = R(v, u), vi u, v U;

-Bc cu : nu v ch nu R(u, v) R(u, w) R(w, v), u,

v, w U;

*-Bc cu i ngu: nu v ch nu R(u, v) R(u, w) * R(w, v), u, v, w

U, trong * l php tnh i ngu i vi .

Mt quan h m c c 3 tnh cht phn x, i xng v -bc cu c

gi l quan h tng t (similarity) hay quan h tng ng m.

Mt quan h m c 3 tnh cht phn phn x, i xng, *-bc cu i

ngu c gi l quan h tng t i ngu.

V d quan h bn thn, quan h ln hn rt nhiu l nhng quan

h tng ng m v chng u l cc quan h phn x, i xng v bc cu.

Trong thc t chng ta d dng xy dng c quan h m phn x v

i xng, nhng kh c th c ngay tnh cht -bc cu. Quan h m R c 2

tnh cht phn x v i xng c gi l quan h ging nhau (resemblance)

hay quan h gn gi (proximity). c c tnh - bc cu ca quan h m R

ta thc hin php ly -bc cu, k hiu l R^ c nh ngha l n l quan

h -bc cu nh nht cha R, ngha l

R^ = I }&:{ SRtransitiveisSS .

53

Ta s dng k hiu nh sau: R2 = R o R; Rk+1 = Rk o R, vi k = 1, 2,

nh l 1.8. Gi s R l quan h gn gi. Khi , ta c

(i) R^ = R R2 Rk = U

=1k

kR

(ii) Nu U hu hn v c n phn t, th ta c R^ = Un

k

kR1=

(iii) Nu l, Rl = Rl+1, th ta c R^ = Ul

k

kR1=

(iv) R l tng t nu R2 R v khi R^ = R.

V d 1.16. m t s gn gi gia cc gi tr m t mu mt ca con ngi

ta c th xy dng mt quan h m gn gi nh sau. Gi s U = {en, nu,

xanh, xanh hi sm, nu en, en nu, xanh nht}. C nhiu bi ton thc t

i hi so snh, tm kim v chng ta c th gii quyt bi ton ny da trn

vic xy dng quan h tng t, v trc ht xy dng quan h gn gi.

Chng hn quan h sau:

Bng 1.7. Quan h gia cc mu

R en nu

en

en

nu

nu xanh xanh hi

sm

xanh nht

en 1,0 0,7 0,85 0,6 0,0 0,3 0,0

nu en 0,7 1,0 0,92 0,86 0,0 0,4 0,0

en nu 0,85 0,92 1,0 0,82 0,0 0,2 0,0

nu 0,6 0,86 0,82 1,0 0,0 0,25 0,0

xanh 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,9 0,84

xanh hi sm 0,3 0,4 0,2 0,25 0,9 1,0 0,65

xanh nht 0,0 0,0 0,0 0,0 0,84 0,65 1,0

D dng kim chng n l quan h gn gi: n l phn x v n ng nht

bng 1 trn ng cho chnh; n l i xng v cc gi tr i xng qua

ng cho chnh.

1.5. i s cc tp m

54

L thuyt tp m l c s ton hc cho vic pht trin cc phng php

m phng lp lun ca con ngi. V nguyn tc, vn t duy, lp lun ca

con ngi l vn cc k phc tp v do khng th s dng mt cu trc

ton hc duy nht m phng. V vy, mc tiu ca chng ta l cng xy

dng c nhiu cu trc i s cc tp m th cng tt chng ta c th

linh hot trong tip cn cc vn ng dng.

1.5.1. T-norm v t-conorm

Trong nh ngha cc php tnh hp v giao trn tp m trong Mc 1.3,

chng ta s dng hai cp php tnh 2-ngi trn [0;1] l cp min () v max

() v cp php tnh tch i s a.b (.) v tng i s () a b = a + b a.b.

D dng kim chng chng l nhng cp i ngu De Morgan. By gi chng

ta s a ra mt h cc cp i ngu t-norm v t-conorm.

nh ngha 1.10. Mt hm 2-bin T : [0;1] [0;1] [0;1] c gi l php t-

norm nu n tha cc tnh cht sau vi a, a, b, c [0;1]:

(T1) Tnh cht iu kin bin : T(a, 1) = a

(T2) Tnh cht giao hon : T(a, b) = T(b, a)

(T3) Tnh cht n iu : a a T(a, b) T(a, b)

(T4) Tnh cht kt hp : T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))

Chng ta d dng kim chng rng php min () v php tch i s (.) l cc

php t-norm v chng c k hiu tng ng l Tm v Tp. Php t-norm Tm

() c gi l php giao m chun (fuzzy standard intersection).

Mt tnh cht kh hay ca php ton hai ngi T no l tnh ly ng

(idempotency) ni rng T(a, a) = a, vi a [0;1]. Tuy nhin, sau y chng

ta ch ra mt tnh cht c tn ca php giao tiu chun.

nh l 1.9. Php giao tiu chun l php t-norm duy nht c tnh cht ly

ng.

Chng minh: Tt nhin ta thy Tm c tnh cht ly ng, min{a, a} = a, vi

a [0;1]. By gi ta xt bt k php t-norm no m T(a, a) = a, vi a

[0;1]. Khi , vi a, b [0;1] v khng mt tnh tng qut ta gi s a b,

theo tnh cht n iu v tnh cht v iu kin bin ta c

55

a = T(a, a) T(a, b) T(a, 1) = a, Do vy, T(a, b) = a =

min{a, b}.

nh l ny gii thch l do ti sao chng ta khng xem tnh cht ny l

tin ca php t-norm.

Mt s tnh cht quan trng ca php t-norm m chng ta cn i hi

cn phi c trong nhiu ng dng, khi cn thit cng c th c coi l cc

tin , c pht biu sau y.

(T5) T l hm hai bin lin tc (Tnh lin tc);

(T6) T(a, a) < a (Tnh ly ng di (subidempotency));

(T7) a < a v b < b T(a, a) < T(b, b) (Tnh n iu cht).

V d v nhng php t-norm hay c s dng l cc php sau:

Php giao m tiu chun: Tm(a, b) = min{a, b};

Php tch i s: a.b;

Php hiu gii ni: T(a, b) = max{0, a + b 1};

Php giao cht1: T(a, b) =

=

=

1&10

1

1

bakhi

akhib

bkhia

Ngoi ra, cc php tnh sau cng l t-norm:

TL(a, b) = max {0, a + b 1}

T*(a, b) =

=

=

1&1 nu 0

1 nu

1 nu

ba

ab

ba

Chng ta c cc bt ng thc sau:

T* TL Tp Tm (23*)

v, vi mi T-norm T:

T* T Tm (24*)

1 Php giao cht ting Anh l drastic intersection. Nu dch theo ngha en th gi l php giao mnh. Chng ti cho rng ch cht trong ting Vit trong ng cnh ny c ngha ph hp hn.

56

Mt php tnh i ngu vi php t-norm c gi l php t-conorm v c

nh ngha nh sau,

nh ngha 1.11. Mt hm 2-bin S : [0;1] [0;1] [0;1] c gi l php t-

conorm, hay cn gi l S-norm, nu n tha cc tnh cht sau vi a, a, b, c

[0;1]:

(S1) Tnh cht gii ni : S(a, 0) = a

(S2) Tnh cht giao hon: S(a, b) = S(b, a)

(S3) Tnh cht n iu: a a S(a, b) S(a, b)

(S4) Tnh cht kt hp: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c))

Nh vy, ch c tnh cht (T1) v (S1) lm nn s khc bit gia hai h

php tnh T-norm v S-norm.

Di y l mt vi S-norm:

Sm(a, b) = max{a, b}

SL(a, b) = min{1, a + b}

Sp(a, b) = a + b a.b

S*(a, b) = a nu b = 0

= b nu a = 0

= 1 nu a 0 & b 0.

V mt ngha lgic, php T-norm c s dng m rng ng ngha ca

php lgic AND, cn php S-norm m rng ng ngha ca php OR.

By gi chng ta m rng ng ngha ca php ph nh (negation). Gi tr

chn l trong on [0, 1] chng ta s dng php 1 m ta ng ngha

php ph nh. Di y, chng ta s a ra mt h php ph nh nh sau:

nh ngha 1.12. Hm N : [0;1] [0;1] c gi l php ph nh nu n c

cc tnh cht sau, vi mi a, a [0;1]:

(N1) Tnh n iu gim : a a N(a) N(a)

(N2) Tnh ly ng : N(N(a)) = a

C th suy ra rng hm N trong nh ngha trn phi l nh x 1-1.

nh ngha 1.13. Ba php tnh T-norm T, S-norm S v php ph nh N c

gi l mt h i ngu (T, S, N) nu chng tha u kin sau:

57

N(S(a, b)) = T(N(a), N(b)) (25*)

Chng ta c th kim chng cc h sau l h i ngu:

(, , 1-), (, , 1-), (TL, SL, 1-) v (T*, S*, 1-)

1.5.2. i s cc tp m

nh ngha 1.14. Cho mt h i ngu bt k = (T, S, N) v khng gian c

s U. Gi F(U) h tt c cc tp m trn U. i s cc tp m trn F(U) da

trn h i ngu l mt cu trc A = (F(U), , , ) vi cc php tnh

c nh ngha nh sau:

- Php giao : A B = ),/()(),(( ~~ vuvuT BU A

- Php hp : A B = ),/())(),(( ~~ vuvuS BU A

- Php b : A = uuNU A

/))(( ~ i s cc tp m A c cc tnh cht sau:

1) Cc php tnh v c tnh giao hon v kt hp. Chng hn chng ta

chng t chng c tnh kt hp. Nh rng php S-norm S c tnh cht kt hp.

(A B) C = uuuuSS CBU A/))()),(),((( ~~~

= uuuSuS CBU A/)))(),((),(( ~~~

= A (B C)

Tng t, chng ta c th kim chng cc khng nh cn li pht biu

trn.

2) Nu php tnh T-norm T c tnh ly ng, T(a, a) = a vi a U, th

php giao cng c tnh ly ng

A A = A, vi A F(U, [0;1]).

Tng t, nu php S-norm S l ly ng, S(a, a) = a vi a U, th php

hp cng c tnh ly ng

A A = A, vi A F(U, [0;1]).

Thc vy, ta kim chng cho php giao:

58

A A = uuuT AU A/))(),(( ~~ = uuU A /)(~ = A

Cng kim chng tng t nh vy chng ta c tnh cht sau:

3) Nu cc php T v S phn phi ln nhau th cc php v cng phn

phi ln nhau

(A B) C = (A C) (A C) v

(A B) C = (A C) (A C)

4) A = v A U = A v

A = A v A U = U

5) Tnh cht i ngu De Morgan:

(A B) = ( A) ( B) v

(A B) = ( A) ( B)

6) Tnh cht ly ng: ( A) = A

7) Nhn chung, chng ta c tnh cht sau m n rt khc bit vi tp m kinh

in:

A ( A) ; A ( A) U

1.5.3. Quan h gia i s tp m v i s cc tp kinh in

Trong Mc 1.1 chng ta bit rng nh x h : A~ F(U) { ~A P(U): 0

1} thit lp mt song nh t tp tt c cc tp m F(U) vo tp tt c cc tp

kinh in P(U). iu ny gi mt hy vng c mt mi lin h cht ch v

p gia khi nim tp m v khi nim tp kinh in.

nh l 1.10. Cho ~iA F(U) vi i I, I l tp ch s no . Khi ,

(i) ( )

UU Ii iIi i AA ~~ v ( )

II Ii iIi i AA =

~~

(ii) ( )+

+ =

UU Ii iIi i AA~~ v ( )

++

II Ii iIi i AA

~~

Chng minh: (i) Trc ht ta chng minh ng thc trong (i). Ta thy, u

I Ii iA~ nu v ch nu vi i I, u

~iA hay )(

~ uAi . iu ny tng

ng vi khng nh

59

Infi I )(~ uAi . (26*)

Theo nh nga php giao cc tp m, (26*) tng ng vi s kin u

( )I Ii iA

~ . Nh vy, ng thc trong (i) c chng minh.

(ii) c chng minh mt cch tng t.

Ta c th chng t ng thc khng th xy ra i vi cc bao hm

thc trong nh l trn. Chng hn, i vi bao hm thc trong (i), ta xt v d

sau.

Gi s cc tp m ~iA c hm thuc cho bi )(~ uAi = 1 1/i, vi mi u

U v i N. Khi ,

( ) )(~ uAIi iU = Sup i N )(

~ uAi = Sup i N (1 1/i) = 1

Do , ( ) = 1

~U Ii iA U.

Mt khc, vi mi i N v mi u U, ta c )(~ uAi = 1 1/i < 1 v do ,

=~1iA , vi mi i N

Vy ta suy ra,

=U Ii iA

~1 U = ( )

1

~U Ii iA .

nh l 1.11. Xt A~, B~ F(U). Khi , ta c

(i) A~ B~ nu v ch nu ~~ BA , vi bt k [0;1];

v A~ B~ nu v ch nu ~~ ++ BA , vi bt k [0;1].

(ii) A~ = B~ nu v ch nu ~~ BA = , vi bt k [0;1];

v A~ = B~ nu v ch nu ~~ ++ = BA , vi bt k [0;1].

Chng minh: chng minh (i), gi s A~ B~, A~(u) B~(u), vi u U.

iu ny ko theo khng nh ~~ BA , vi bt k [0;1]. Ngc li, gi

s phn chng l ~~ BA , vi bt k [0;1] nhng A~ B~. Vy, phi c

u0 U sao cho A~(u0) > B

~(u0). Ly sao cho A~(u) > > B~(u). Vi nh

vy, ta c u0 ~A nhng u0

~B , ngha l

~~ BA , m iu nu mu thun

vi gi thit l ~~ BA , vi bt k [0;1].

60

Mt cch hon ton tng t, chng ta d dng chng minh nhng

khng nh cn li ca nh l. nh l 1.12. Cho A~ F(U). Khi , vi mi [0;1], ta c

(i) II < +< ==~~~ AAA ;

(ii) UU < + 0 nh, ta c < + < v r

rng, ~~~~ AAAA ++ . Cc bao hm thc ny ko theo h thc sau

II < +< ~~~ AAA .

Gi s u I < +~A nhng u ~A . Khi , ta c A

~(u) < v vi nh,

ta cng c A~(u) < < < . Vy, u ~ A v do u ~+A . Suy ra, u

I < +~A mu thun vi gi thit. iu ny chng t ng thc (i) phi xy

ra.

Bng phg php tng t, chng ta c th chng minh (ii). nh l 1.13 (nh l phn tch th nht). Vi mi A~ F(U) ta c cng

thc biu din tp m qua cc tp mc sau

A~ = U ]1,0[~

A (27*)

trong l s v hng, ~A l tp m c dng tch ca s v hng v tp

kinh in v php hp v hn v phi ca (27*) l php hp cc tp m.

Chng minh: chng minh ng thc gia hai tp m trong (27*) ta s

chng t rng hai hm thuc ca chng ng nht bng nhau trn U. Tht vy,

xt mt phn t u U bt k v t = A~(u). Theo nh ngha, ta c ng thc sau

)(]1,0[

~ uA

U = Sup [0,1] )(~ uA

= max {Sup[0,] )(~ uA , Sup (,1] )(

~ uA }. (1)

Vi [0;], A~(u) = hay u ~A v do )(~ uA = . Vi Vi

(;1], ta c A~(u) = < v do vy u ~A v )(~ uA = 0. T (1) ta suy ra

61

)(]1,0[

~ uA

U = Sup[0,] )(~ uA = Sup[0,] = = A~(u).

Vy ng thc (27*) c chng minh.

Bng cch chng minh tng t ta thu c nh l sau

nh l 1.14 (nh l phn tch th hai). Vi mi A~ F(U) ta c cng thc

biu din tp m qua cc tp mc sau

A~ = U ]1,0[~

+ A (28*)

trong l s v hng v ~+A l tp m c dng tch ca s v hng v

tp kinh in.

K hiu Image(A~) tp nh hay tp cc gi tr ca hm thuc A~(.).

Trong thc t chng ta quan tm n trng hp cc tp m A~ ri rc, ngha

l tp nh Image(A~) l hu hn. Ta chng t rng tp ch s trong (27*) c

th thay bng tp nh Image(A~) [0;1].

nh l 1.15 (nh l phn tch th ba). Vi mi A~ F(U) ta c cng thc

biu din tp m qua cc tp mc sau

A~ = U )(Im~

~AageA

(29*)

trong l s v hng v ~A l tp m c dng tch ca s v hng v

tp kinh in.

Chng minh: Trong chng minh nh l 1.13, ta gi thit = A~(u) hay Image(A~). Cc cng thc trong chng minh vn ng khi ta thay tp ch

s [0;1] bng tp nh Image(A~).

62

Chng 2

LGIC M

2.1. Cc mnh m

Nhn chung i tng nghin cu ca lgic l cc mnh cng vi

gi tr chn l ca chng. Trong chng ny chng ta nghin cu cc mnh

m v vic nh gi gi tr chn l ca chng.

Mnh m cha nhng khi nim khng chnh xc, khng chc chn

v do khng c thng tin nh gi gi tr chn l l tuyt i ng I

hay tuyt i sai O, gi tr chn l ng, sai theo ngha kinh in. V gi tr

chn l ca cc mnh m c th nm trong on [0;1].

Sau y chng ta s kho st 4 loi mnh m v vic nh gi gi tr

chn l ca chng.

2.1.1. Mnh m khng iu kin v khng b gii hn

Trc ht ta lm sng t cm t gii hn (qualified). Mt mnh

bao gi cng c g