Giáo trình Toán học cao cấp 1 Tác giả: Lê Xuân Quảng, Trương Hà Hải, Đàm Thanh Phương, .., Khoa CNTT - Đại học Thái Nguyên, 2006

8/12/2019 Giáo trình Toán học cao cấp 1 Tác giả: Lê Xuân Quảng, Trương Hà Hải, Đàm Thanh Phương, .., Khoa CNTT - Đại h…

http://slidepdf.com/reader/full/giao-trinh-toan-hoc-cao-cap-1-tac-gia-le-xuan-quang-truong 1/158

KHOA CÔNG NGH THÔNG TIN

B MÔN KHOA HC C BN

LÊ XUÂN QUNGTR NG HÀ HI, ÀM THANH PH NG, TR N ÌNH CHÚC,

THÂN QUANG KHOÁT, BÙI TH THANH XUÂN, TR N TH NGÂN

GIÁO TRÌNHTOÁN HC CAO CP 1

THÁI NGUYÊN 2008WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



L I GI I THIU

Toán cao c p có mt vai trò a v vô cùng quan tr ng trong công tác ào to các tr ng i hc, cao ng, trung hc và dy ngh. Tuy vy v i mt l ng kin thc s nhm phc v cho nhiu ngành khoa hc và k thut khác nhau vic biên son

giáo trình cho tng ngành ào to là r t cn thit. phù h p cho l ng kin thc vàth i gian ào to k s công ngh thông tin chúng tôi biên son giáo trình này nhmáp ng các nhu cu sau:

L ng kin thc y phc v các môn hc cho ngành công ngh thông tin.

L ng kin thc gn nh không quá phc t p, l ng bài t p va phi cho hcsinh, sinh viên nm c các kin thc c bn ca môn toán cao c p.

To cho sinh viên kh nng t hc và làm bài t p ngoài gi lên l p.

Các kin thc c bn trong giáo trình này c phân thành ch ng mc và c

trình bày theo th t t th p n cao, t các khái nim c bn v t p h p, ánh x, sauy l phn i s tuyn tính và gii tích. ây là giáo trình toán cao c p cho ngànhcông ngh thông tin nn nhiu b , nh lý ch c nhc qua không cú phn chngminh. Mc ích ca giáo trình là giúp sinh viên nm vng các kin thc c bn, cáck t qu ct yu ca môn toán ng dng cho các b môn khác. Cui mi ch ng có

phn bài t p t gii, giúp sinh viên t kim tra các k t qu ã l nh hi c ca bàiging.

Phn l n các bài t p có tính cht áp dng lý thuyt, tuy nhiên có mt s bài t p

có tính cht m r ng lý thuyt. Phn h ng d gii bài t p chúng tôi s biên sonthành giáo trình riêng sau này.

Nói chung, vì quá trình thc hành giáo trình này còn ít (ch yu dy cho sinhviên khoa Công ngh thông tin i hc Thái Nguyên mt vài nm tr li ây) nênkhông th tránh khi sai sót trong son tho và in n vy chúng tôi mong c gi gópthêm ý kin chúng tôi hoàn thin tt h n giáo trình trong mt ngày gn ây.

T.S Lê Xuân Qung

Vin Công ngh Thông tin

Vin Khoa hc và Công ngh Vit Nam

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



B môn KHCB Giáo trình toán cao c p11

MC LC

Ch ng 1: KHÁI NIM V TP HP VÀ ÁNH X...................................................5

§1.TP HP ...............................................................................................................5

1.1Các khái nim c bn..........................................................................................51.2 Các phép trên t p h p ........................................................................................61.3 Cách cho mt t p h p.........................................................................................8

§2.ÁNHX ................................................................................................................92.1 Khái nim v ánh x...........................................................................................92.2 Các loi ánh x ...................................................................................................92.3 Ánh x h p ......................................................................................................10

§3 TP HP STH C .............................................................................................113.1 nh ngh a tr ng ............................................................................................113.2 Các tính cht c bn ca tr ng s thc..........................................................12

3.3 Giá tr tuyt i ca mt s thc......................................................................133.4 T p s thc suy r ng ........................................................................................13§4 TP HP S PH C.............................................................................................14

4.1 nh ngh a s phc và các phép tính trên s phc ..........................................144.2 Các chú ý..........................................................................................................144.3 Dng l ng giác ca s phc ........................................................................15

BÀI TP CH NG 1 ..................................................................................................17

Ch ng 2: KHÔNG GIAN VÉC T ............................................................................20

§1 KHÔNG GIAN VÉC T ......................................................................................20

1.1 nh ngh a........................................................................................................201.2 Các ví d ..........................................................................................................21

§2 C S CA MT KHÔNG GIAN VÉC T .......................................................222.1 S c l p tuyn tính và ph thuc tuyn tính.................................................222.2 C s ca không gian véc t ............................................................................222.3 S chiu ca không gian véc t ........................................................................23

§3 KHÔNG GIAN VÉC T CON .............................................................................253.1 nh ngh a........................................................................................................253.2 Các ví d ..........................................................................................................25

BÀI TP CH NG 2 ..................................................................................................25

Ch ng 3: MA TR N VÀ NH TH C.....................................................................27

§1PHÉPTÍNHMATR N........................................................................................271.1 nh ngh a ma tr n...........................................................................................271.2 Các phép tính trên ma tr n ..............................................................................28

§2 NH TH C.........................................................................................................302.1 Hoán v và nghch th ......................................................................................302.2 nh ngh a nh thc........................................................................................322.3 Các tính cht ca nh thc..............................................................................332.4 Khai trin mt nh thc ..................................................................................34

§3MATR N NGHCH O...................................................................................38§4 H NG CAMATR N.......................................................................................40

4.1 nh ngh a hng ca ma tr n ...........................................................................40WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




4.2 Các phép bin i s c p trên ma tr n .............................................................41

BÀI TP CH NG 3 ..................................................................................................42

Ch ng 4: H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH .......................................................44

§1 H CRAMER........................................................................................................44

1.1 nh ngh a........................................................................................................441.2 Quy tc Caremer ..............................................................................................44§2 H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH T NG QUÁT..........................................46

2.1 iu kin t ng thích.......................................................................................462.2 Cách gii h ph ng trình tuyn tính tng quát...............................................472.3 H ph ng trình tuyn tính thun nht ............................................................48

§3GII H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH B NG PH NG PHÁP GAUSS..48

BÀI TP CH NG 4 ..................................................................................................53

Ch ng 5: ÁNH X TUY N TÍNH - D NG TOÀN PH NG ...............................55

§1.ÁNHX TUY N TÍNH......................................................................................551.1 nh ngh a........................................................................................................551.2 Nhân và nh ca mt ánh x tuyn tính ...........................................................561.3 Ma tr n và ánh x tuyn tính............................................................................581.4 Ma tr n chuyn c s .......................................................................................601.5 Ma tr n ca ánh x tuyn tính khi chuyn c s ..............................................62

§2. GIÁ TR RIÊNG VÀ VÉC T RIÊNG................................................................642.1 nh ngh a........................................................................................................642.2 a thc c tr ng.............................................................................................652.3 a ma tr n vuông v ma tr n chéo ................................................................66

2.4 Chéo hoá tr c giao ...........................................................................................69§3.D NG TOÀN PH NG ....................................................................................713.1 Dng song tuyn tính .......................................................................................713.2 Dng toàn ph ng............................................................................................723.3 Dng toàn ph ng xác nh d ng..................................................................76

BÀI TP CH NG 5 ..................................................................................................77

Ch ng 6: HÀM S VÀ GII H N............................................................................80

§1.HÀMS MT BI N S.....................................................................................801.1. nh ngh a hàm s mt bin s.......................................................................80

1.2. th ca hàm s............................................................................................801.3. Hàm s ng c và th ca hàm s ng c ....................................................811.4. Các hàm s c p ...............................................................................................821.5. Hàm cho bng tham s ....................................................................................86

§2. GII H N CADÃYS ...................................................................................872.1 nh ngh a dãy s.............................................................................................872.2. Gi i hn ca dãy s .........................................................................................872.3. Các phép tính ca dãy hi t ...........................................................................882.4. Hai tiêu chun dãy hi t.......................................................................892.5.Gi i hn vô cùng ca dãy.................................................................................90

§3. GII H N CAHÀMS ..................................................................................913.1. nh ngh a gi i hn khi x a........................................................................913.2. Các tính cht ca gi i hn...............................................................................92WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




3.3. L ng vô cùng bé ...........................................................................................923.4. L ng vô cùng l n ..........................................................................................94

§4.HÀMS LIÊN TC............................................................................................954.1. nh ngh a.......................................................................................................954.2. Hàm liên tc trong mt khong kín ................................................................964.3. Hàm s gián on............................................................................................97

BÀI TP CH NG 6 ..................................................................................................98

Ch ng 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM S MT BI N SERROR ! BOOKMARK NOT

DEFINED.§1. OHÀMCAHÀMS ...............................................................................100

1.1 nh ngh a o hàm ca hàm s ....................................................................1001 2. Ý ngh a hình hc ca hàm s ........................................................................1011.3. Hàm liên tc v hàm có o hàm..................................................................1011.4. Các phép toán i v i o hàm.....................................................................1021 5. Bng o hàm ca mt s hàm s .................................................................102

1.6. o hàm c p cao ...........................................................................................104§2.VIPHÂNCAHÀMS ..................................................................................105

2.1. Vi phân là phn chính ca s gia hàm s ......................................................1052.2. Các quy tc tính vi phân................................................................................1082.3. Vi phân c p cao.............................................................................................108

§3. CÁC NH LÝ V HÀM KH VI....................................................................1093.1. nh lý Rolle .................................................................................................1093.2. nh lý Lagrange..........................................................................................1093.3. Công thc Taylor ..........................................................................................1133.4. Cc tr ca hàm s.........................................................................................1153.5. Hàm s li lõm, im un.............................................................................1163.6. Kho sát hàm s117

BÀI TP CH NG 7 ................................................................................................119

Ch ng 8: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIU BI N ...........................................122

§1HÀMS NHIU BI N S ................................................................................1221.1 nh ngh a......................................................................................................1221.2. Gi i hn và liên tc .......................................................................................123

§2. OHÀMRIÊNGVÀVIPHÂNCAHÀMNHIU BI N..........................123

2.l. o hàm riêng................................................................................................1232.2. Các o hàm riêng c p 2 ...............................................................................1242.3. Vi phân toàn phn .........................................................................................1252.4. Áp dng vi phân toàn phn vào tính gn úng và ánh giá sai s ................1262.5. o hàm hàm s h p.....................................................................................127

§3.C C TR CAHÀMNHIU BI N .................................................................1283.1. nh ngh a.....................................................................................................1283.2. iu kin cn ca cc tr ...............................................................................128

BÀI TP CH NG 8 ................................................................................................130

Ch ng 9: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM ..................................................................133

§L.NGUYÊNHÀMVÀTÍCHPHÂNBT NH ................................................1331.1 Nguyên hàm ca hàm s ................................................................................133

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1.2 Tích phân xác nh.........................................................................................1341.3 Bng các tích phân bt nh ca mt s hàm s ............................................134

§2. HAI PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .......................................................1352.1 Phép bin i..................................................................................................1352.2 Phép phân on ..............................................................................................137

§3. PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM MT S HÀMS............................................1383.1 Nguyên hàm ca hàm hu t .........................................................................1383.2 Nguyên hàm mt s hàm vô t n gin .......................................................1413.3 Nguyên hàm các hàm l ng giác...................................................................142

BÀI TP CH NG 9 ................................................................................................143

CH NG 10...............................................................................................................146

TÍCH PHÂN XÁC NH ...........................................................................................146

§1. DI N TÍCH HÌNH PH NG, NH NGHA TÍCH PHÂN...............................1461.1 Bài toán din tích hình thang cong.................................................................146

1.2. nh ngh a tích phân xác nh ......................................................................1471.3. Các tính cht ca tích phân xác nh.............................................................148

§2. TÍCH PHÂN XÁC NH VÀ NGUYÊN HÀM................................................1502.1. o hàm ca tích phân xác nh theo cn trên .............................................1502.2. CÔNG TH C NEWTON-LEIBNIZ............................................................151

§3. HAI PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC NH ...................................1523.1. Phép bin i trong tích phân xác nh.........................................................1523.2. Phép phân on trong tích phân xác nh ....................................................154

TÀI LIU THAM KHO...........................................................................................156

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG I

KHÁI NIM V TP H P VÀ ÁNH X

§l. TP H P

1.1 CÁC KHÁI NIM C BNTrong ngôn ng hàng ngày, ta th ng dùng n khái nim t p h p: t p h p các

sinh viên có mt trong mt l p hc, t p h p các câu hi ôn thi… ây ta không nhngh a t p h p mà ch mô t nó bng mt du hiu hay mt tính cht nào ó cho phép tanhn bit c t p h p ó và phân bit nó v i các t p h p khác Ta coi t p h p là mt khái nim nguyên thu cng ging nh khái nim im, ng thng, mt phng tronghình hc.

Các i t ng l p nên t p h p c gi là các phn t ca t p h p.

Nu a là mt phn t ca t p h p A thì ta ký hiu:a A (c : a thuc A)

Nu a không phi là mt phn t ca t p h p A thì ta ký hiu:

a A (c: a không thuc A)

Ví d: Nu A là t p h p các s nguyên chn thì 2 A, 10 A nhng 15 A.

Mt t p h p c gi là h u hn nu nó gm mt s nht nh phn t.

Ví d: T p h p các sinh viên ca mt l p hc là hu hn, s phn t ây là s

sinh viên ca l p ó.T p h p các nghim ca ph ng trình x2 - 3x + 2 = 0 là hu hn, nó gm hai

phn.t là 1 và 2.

Có nhng t p h p ch có úng mt phn t, chng hn t p h p các nghim d ng

nh h n 2 ca ph ng trình sin x =2

1ch có mt phn t là

6

c thun tin, ng i ta cng a vào loi t p h p không cha mt phn t

nào và gi nó là t p h p r ng, ký hiu là

Ví d : T p h p các nghim thc ca ph ng trình x2 + 1 = 0 là r ng, vì khôngtn ti s thc nào mà bình ph ng li bng –1.

T p h p gm vô s phn t gi là t p h p vô hn. Ng i ta phân bit:

T p h p vô hn m c là t p h p tuy s l ng phn t là vô hn song ta cóth ánh s th t các phn t ca nó (tc là có th bit c phn t ng lin tr cvà ng lin sau ca mt phn t bt k ).

Ví d : T p h p các nghim ca ph ng trình sin x = 1 là vô hn m c, vì

các phn t ca nó có dng xk =

2 + 2k ; v i k = 0, 1, 2, 3,... chúng cWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




ánh s theo s nguyên k.

T p h p vô hn không m c là t p h p có vô s phn t và không có cáchnào ánh s th t các phn t ca nó.

Ví d : T p h p các im trên on thng [0,1].

Tp h p con:Cho hai t p h p A và B. Nu bt k phn t nào ca

t p h p A cng là phn t ca t p h p B thì ta nói A là t ph p con ca B và ký hiu A B (c: A bao hàm trong B).

Nh vy ta có: A B x A x B

(ký hiu c là “khi và ch khi”, nó có ngh a ca iukin cn và , ký hiu c là “suy ra” hay “kéo theo”).

Ví d : Gi A là t p h p các nghim ca ph ng trình x2 - 3x + 2 = 0, B là t p h p

các s nguyên d ng thì A B vì 1 và 2 cng là các s nguyên d ng.Quan h bao hàm gia các t p h p có tính ch t b c cu ngh a là:

nu A B và B C thì A C.

Tp h p bng nhau:

Nu A B ng th i B A thì ta nói hai t p h p A, B là b ng nhau.

Ta cng ký hiu A=B.

Nh vy:

Ng i ta quy c r ng : T p h p r ng là t p h p con ca b t k t p h p nào.

Tht vy, nu A B thì bt k phn t nào không thuc B cng không thuc A và nhvy B vì không có phn t nào thuc t p h p r ng.

tin l i cho vic xét các t p h p, ta th ng coi t p các t p h p c kho sátlà các t p h p con ca mt t p h p E “ l n” nào ó, chng hn trong ch ng trìnhtoán hc Trung hc khi xét t p h p các nghim ca ph ng trình, ta u coi chúng là

t p h p con ca t p h p s thc.

1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TP H PGi s A,B,C,...là các t p h p con ca mt t p h p E nào ó. Ta có th xây dng

các t p h p m i da trên các t p h p ó bng các phép toán sau:

a) Phép h p: H p ca hai t p h p A và B là mt t p h pch a các phn t thuc ít nh t mt trong hai t p h p A ho c

B. Ta cng nói h p ca A, B, là t p h p cha các phn t hoc

thuc A hoc thuc B. Ta ký hiu h p ca hai t p h p A và Blà: A B.

Nh vy: x A B x A hoc x BWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d : Nu A là t p h p các s thc nh h n 1, B là t p h p các s thc l n h n2 thì t p h p các nghim thc ca bt ph ng trình x2 - 3x + 2 > 0 là A B

b) Phép giao: Giao ca hai t p h p A và B là mt t p h p

ch a các phn t thuc c A l n c B. Ta ký hiu giao ca hai t ph p A và B là A B.

Nh vy:

Ví d : A là t p h p các s thc nh h n 2, B là t p h p các s thc l n h n 1 thìt p h p các nghim ca ph ng trình x2 - 3x + 2 < 0 là A B.

Nu A B = thì ta nói các t p h p A và B không giao nhau hay r i nhau.

Ví d : A là t p h p các im trên ng thng y = x + 1, B là t p h p các im

trên Parabol y = –x2 thì A B = (hai ng không giao nhau.)

c) Phép tr : Hiu ca hai t p h p A và B là mt t p h pch a các phn t thuc A mà không thuc B.

Ta ký hiu hiu ca hai t p h p A và B là A\ B.

Nh vy:

Ví d : R là t p h p s thc, B là t p h p gm hai s thc 1 và 2 thì t p h p xác

nh ca phân thc23

12

x x

x là R \ B.

c bit, hiu E \ A c gi là phn bù (hay b xung) ca A trong E, ký hiu là

C E A, hay nu t p E ã bit thì có th ký hiu n gin là A

Các tính cht ca các phép toán trên:

Gi s A,B,C là các t p con ca mt t p h p E . Các phép toán h p, giao, b xungcó các tính cht sau:

x A \ B x A và x B

x A x B A x và B x

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tính cht cui cùng còn c gi là quy t c mooc-g ng: Khi ly phn bù cah p hay giao hai t p h p, thì mi t p h p c thay bng phn bù ca nó, phép h p c thay bng phép giao, phép giao thay bng phép h p.

Vic chng minh các tính cht trên a vào vic chng minh s bng nhau cahai t p h p. Ta nhc li: T = P khi và ch khi T P và P T.

Ta chng minh tính cht 9.1 : t T = B A và P = A B .

u tiên chng minh T P :

Ly x T tc là x B A . Theo hình v 2, x thuc phn bù ca A B tc là x

phi không thuc A và không thuc B : x A, x B. Nhng x A tc là x A . Cng

nh vy, tc là x B . Vy x A và x B hay x A B .

Ta ã chng minh nu x B A thì x A B . T ó ta có:

Bây gi ta chng minh P T.

Ly y P tc là y A B . Theo nh ngh a phép giao ta có y A và y B tc

là y A và y B. Khi ó y phi thuc phn bù ca A B tc là ta có y B A . Nh

vy :

T (l) và (2) ta suy ra: B A B A

Ph ng pháp chng minh các tính cht khác cng t ng t.

1.3 CÁCH CHO MT TP H P Ng i ta th ng cho t p h p bng cách:

a) Lit kê các phn t ca nó

Ví d : Bng danh sách các thí sinh trúng tuyn vào mt tr ng i hc.

Nu s các phn t ca t p h p ít, ta có th vit tên các phn t ca t p h p gia

hai du , chng hn A = 4,3,2,1 ; thì A là t p có 4 phn t là 1, 2, 3, 4b) Cho quy tc nhn bit các phn t ca nó

Ta vit: A = P(x):x và hiu: A là t p h p gm các phn t x sao cho tính cht P

úng v i x.

Ví d : A = {x R : x2 - 3x + 2 = 0 }hiu: A là t p h p các s thc x là nghimca ph ng trình x2 - 3x + 2 = 0 tc là A = {1,2}

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§2. ÁNH X

2.1 KHÁI NIM V ÁNH XCho hai t p h p A và B. Ta nói r ng có mt ánh

x f t A vào B n u v i m i phn t x A có t ng

ng theo mt quy t c nào ó m t phn t duy nh t y B.

Ta ký hiu: f : A B (c: f là ánh x t Avào B) A là t p ngun, B là t p ích.

Phn t y B t ng ng v i phn t x A b i ánh x f, c gi là nh ca xqua f và c ký hiu là f(x).

Nu v i bt k phn t x nào ca A, nh f(x) ca nó c xác nh thì A còn c gi là t p xác inh ca ánh x f.

Nu A là t p xác nh ca ánh x f thì nh ca t p h p A b i ánh x f c nhngh a b i : f(A) = {y B : x A, y = f(x)}

Ví d : Xét ánh x f t t p h p s thc R vào chính nó xác nh b i f(x) =2

1thì

t p xác nh ca nó là R \ {0} còn t p h p nh ca nó là t p h p mi s thc d ng R+

Ánh x bng nhau:

Cho ánh x f : A B và g : A' B'. N u A = A' và v i mi x A ta có f(x) =

g(x) thì ta nói hai ánh x f và g là b ng nhau, ta vi t f = g.Ví d : Cho t p h p A = {–1,0,1}và các ánh x:

f : A R xác inh b i f(x) = x + 1 ;

g : A R xác inh b i g(x) = –x3 + 2x + 1.

Ta có: f = g (Nu xét các ánh x f và g t R vào R thì ta li có f g).

Ng i ta cng nh ngh a các phép toán trên ánh x. ây ta ch hn ch xét cáctr ng h p các ánh x f, g có cùng min xác nh R và ly giá tr trong R .

T ng, tích và th ng ca hai ánh x f và g cng là ánh x , chúng c xác nhnh sau:

Tng: (f + g) (x) = f(x) + g(x) ;

Tích : (f.g) (x) = f(x).g(x) ;

Th ng: (f / g) (x) = f(x) / g(x) v i iu kin g(x).

2.2 CÁC LOI ÁNH XCho ánh x f t A vào B.

a) Ánh x f c g i là n ánh n u nh ca các phn t khác nhau là khácnhau. Nói cách khác, v i mi x1,x2 A, nu x1 # x2 thì f(xl) # f(x2).

b) Ánh x f c g i là toàn ánh n u f(A) = B. Nói cách khác, v i bt k y thucWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM








Ví d : T p h p các s hu t, tc là t p các s có dngq

p, (p, q) = 1, có cu trúc

tr ng: cng hai s hu t, nhân hai s hu t ta c mt s hu t, c hai phép toánó u tho mãn 8 tính cht trên.

T p h p các s nguyên không có cu trúc tr ng vì nghch o ca mt snguyên khác không không phi là mt s nguyên.

Chú ý: Trong tr ng ta có th nh ngh a phép chia cho mt s khác không: nu

b 0 thì a : b = a.(b

1)

3.2 CÁC TÍNH CHT C BN CA TR NG S TH CT p h p s thc R v i hai phép toán cng và nhân có cu trúc tr ng, ngh a là

cng hai s thc ta c mt s thc, nhân hai s thc ta c mt s thc. Phép cng

và phép nhân có các tính cht giao hoán, k t h p; phép nhân có tính cht phân phi iv i phép cng; phn t trung hoà ca phép cng là s 0, ca phép nhân là s 1 ; phnt ng c i v i phép cng ca s a là s i -a, i v i phép nhân ca s a # 0 là s

nghch oa

1.

Trong t p h p s thc R ta xét mt t p h p con ký hiu là R+ và ta nh ngh a R –

là t p h p nhng s i ca x nu x R+ (tc là –x R –) sao cho:

Khi ó ta nói r ng tr ng s thc R là mt tr ng có th t . Các s thc thuc R+ c gi là các s th c d ng , các s thc thuc R – c gi là các s th c âm.

Ta xác nh trên R mt quan h th t ký hiu < (c là bé h n) nh sau: V i hais thc a, b ta có a < b khi và ch khi b – a là s thc d ng (tc là b + ( – a) R+ ).Quan h < có tính cht bc cu, ngh a là: nu a < b và b < c thì a < c.

Chú ý: Nu ta có a < b thì ng i ta còn vit b > a (c b l n h n a). Nu a là sthc âm thì ta vit a < 0, nu a là s thc d ng thì ta vit a > 0.

Tr ng s thc còn là tr ng có th t Acsimet: V i hai s thc tu y a,b; a > 0 bao gi cng tìm c mt s t nhiên n sao cho na > b. Nói cách khác dù s thcd ng a có nh i bao nhiêu chng na và dù s thc b có l n i bao nhiêu chng nathì tng ca mt s l n a s v t quá b.

Tính cht trên cho phép ng i ta có th x p x tu ý mt s thc b i mt s th p phân (gn úng thiu hoc gn úng tha), và nh vy trong thc hành ng i ta có th

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




thc hin c các phép tính trên các s thc.

3.3 GIÁ TR TUYT I CA MT S TH C

V i mi s thc x ta nh ngh a giá tr tuyt i ca x, ký hiu x nh sau:

Ta có các tính cht sau:

Ta chng minh mt trong các tính cht, tính cht d) chng hn:

T nh ngh a ta có:

3.4 TP S TH C SUY R NGTa thêm vào t p s thc R hai phn t khác nhau, ký hiu là + và – (c là

d ng vô cùng và âm vô cùng), không thuc R, và v i mi s thc x ta t:

v i x > 0 :

T p h p s thc R cùng v i hai phn t + ; – có các tính cht trên gi là t ph p s th c suy r ng.

Có th biu din hình hc t p h p s thc nh tr c s: ó là ng thng x Oxim gc O ng v i s không, các s thc d ng thuc na ng thng Ox các s

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




thc âm thuc na ng thng Ox , mi s thc a ng v i mt im A trên ng

thng sao cho dài OA = a .

§4 TP H P S PH CTa ã bit r ng nu ch hn ch trong tr ng s thc thì có nhng ph ng trình

vô nghim, chng hn ph ng trình bc hai x2 + 1 = 0.

Trong phn này ta s tìm cách m r ng tr ng s thc sang mt t p h p s m isao cho t p h p s thc là t p con ca t p s m i này và trong t p s m i ó mi

ph ng trình bc hai u có nghim.

4.1 NH NGHA S PH C VÀ CÁC PHÉP TÍNH TRÊN S PH CXét t p h p C mà các phn t z C là các c p s thc (a,b) :

Phn t z C c gi là s phc.

Hai s phc z = (a,b); z' = (a',b') c coi là bng nhau khi và ch khi :

a = a'; b = b'

Trong t p h p s phc C ta xác nh hai phép tính:

Phép cng hai s phc: v i hai s phc z = (a,b) và z' = (a', b') thì tng ca chúng c xác nh bng: z + z' = (a + a', b + b').

Phép nhân hai s phc: v i hai s phc z = (a,b) và z' = (a', b') thì tích ca chúng c xác nh bng: z.z' = (a.a' – b.b', a b' + b. a')

Có th kim chng r ng các phép toán cng và nhân trên có các tính cht giaohoán, k t h p, phép nhân có tính cht phân phi i v i phép cng, phn t trung hoàca phép cng là s phc (0,0), ca phép nhân là s phc (1,0) ; phn t ng c ca s

phc z = (a, b) i v i phép cng là (–a, –b), i v i phép nhân (v i iu kin a 0, b

0) là s phc

2222,

1

ba

b

ba

a

z

Nh vy, t p h p s phc có cu trúc mt tr ng, ta gi nó là tr ng s ph c.4.2 CÁC CHÚ Ý

1) Có th ng nht s phc (a,0) v i s thc a vì ta có:

(a,0) + (a',0) = (a + a',0) là s thc a + a';

(a,0). (a',0) = (a.a',0) là s thc a.a';

Nh vy có th coi t p h p s thc là t p con ca t p s phc R C.

Sau này ta s vit a thay cho (a,0)

2) Có th vit s phc (a,b) d i dng tng: (a,b) = (a,0) + (b,0).(0,l)S (a,0) c vit bng a, s (b,0) c vit bng b.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta t i = (0,1) thì ta có i2 = (0,1). (0,1) = (–1,0) = –1.

Nh vy, s phc (a,b) c vit d i dng: z = (a,b) = a + bi v i i2 = –1. a cgi là phn thc, b c gi là phn o ca s phc z, s phc i = (0,l) mà i2 = –1 cgi là n v o.

Trong thc t ng i ta th ng vit s phc d i dng a + bi3) Khi vit s phc d i dng a + bi thì ta có th thc hin các phép tính theo các quytc thông th ng ca s thc (do có cùng cu trúc tr ng) và v i chú ý r ng i2 = –1

tìm s phc o ca s phc z = a + bi ta làm nh sau:

T ó, phép chia s phc z cho s phc z' 0 c thc hin theo quy tc z. ( z

1)

S phc a – bi c gi là s phc liên h p ca s phc a + bi.

4) Ta tìm nghim ca ph ng trình x2 + 1 = 0 trong tr ng s phc.

Ta có th vit x2 = –1 = i2 ; t ó, x = i.

Trong tr ng s phc mi ph ng trình bc hai v i h s thc u có nghim.

Tht vy ta có:

t = b2 – 4ac thì:

+ Nu > 0 ph ng trình bc hai có nghim thc x =a

b

2

+ Nu < 0 t =a

b

2

2

22

4

4

a

bac thì (*) tr thành:

Ví d : Xét ph ng trình x2 – 2x + 4 = 0

Ta có = –12 = 12i2 t ó ph ng trình có hai nghim phc: x = 1 i 3

4.3 DNG L NG GIÁC CA S PH C

Cho s phc z = x + yi. Có th biu din hình hc s phc ó trên mt phng s phc: ó là mt phng trên ó có hai tr c x'Ox và y'Oy vuông góc v i nhau. Ta chot ng ng s phc z = x + yi v i im M có to (x, y) trên mt phng ó (hay v i

véc t OM ); Các im trên tr c x'Ox t ng ng v i các s (x,0) ó là các s thc x ;các im trên tr c y'Oy t ng ng v i các s (0,y) ó là các s phc có dng iy.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




dài r ca véc t OM c gi là mô un ca s phc z, ta ký hiu là r = z .

Góc gia véc t OM và Ox c gi là argumen ca s phc z, ký hiu là áp

= A rgz.

Góc c xác nh chính xác n 2k , ng i ta th ng chn giá tr chính ca

nó trong khong [– ; ].

Khi ó ta có th vit s phc z = x + yi d i dng l ng giác:

z = r. (cos + isin )

Ví d : Vit các s phc (1,0),i,1 + i d i dng l ng giác.

V i s (l,0) ta có x =l ; y = 0 nên r = 1, tg = 0 = 0.

Vy (1,0) : cos + isin

V i s i ta có x = 0,y = 1 nên r =l, tg = =2

vy i= cos2

+ i sin

2

T ng t 1 + i = 2 (cos4

+ isin

4

)

Khi vit s phc d i dng l ng giác thì các phép tính nhân, chia, lu tha các

s phc c tin hành thun l i. Ta có các quy tc:

Ta chng minh cho a):

Chng minh t ng t cho (b). Phép chng minh (c) c suy ra t (a) bng quyn p.

Dùng k t qu trên có th chng t c r ng: Trong tr ng s ph c c n bc nca n v [s ph c (1,0) ] có n giá tr khác nhau.

Tht vy, ta vit (l,0) d i dng l ng giác: (1,0) = cos0 + i sin0.

Gi cn bc n ca (l,0) là z, tc là z" = (l,0).

Gi s s phc z có dng l ng giác là z = r. (cos + i sin )WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Khi ó:

T ó suy ra:

vy cn bc n ca s phc n v có n giá tr khác nhau, gi các cn bc n ó là

BÀI TP1.1 Ta ký hiu các khong óng, na khong óng, na óng (hoc na m ), m trênt p h p s thc R nh sau:

Tìm A B, A B, A \ B, B \ A trong các tr ng h p sau:

1.2 Cho A = {x R, x 5}; B = {x R,- 6 - x < 0}. Xác inh các t p h p : A B,

A B, A \ B, B \ A, A và biu din chúng trên tr c s.

1.3 Chng minh các ng thc t p h p sau:

1.4 Trong 100 sinh viên có 28 ng i hc ting Anh, 30 ng i hc ting c, 42 ng ihc ting Pháp, 8 ng i hc c ting Anh và ting c, 10 ng i hc c ting Anh vàting Pháp, 5 ng i hc c ting c và ting Pháp, 3 ng i hc c 3 th ting. Hi có

bao nhiêu ng i không hc ngoi ng nào? Có bao nhiêu ng i ch hc mt ngoi ng

1.5 Cho A,B là các t p h p, f là ánh x. Chng minh r ng:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM






1. Khi ó tính ch t P s úng cho mi s t nhiên n.

S chng minh theo quy n p nh sau:

u tiên ta chng t tính cht P ng cho n = 1.

Sau ó ta gi s tính cht P úng cho n và tìm cách chng minh nó cng úng

cho n + 1.Ta k t lun tính cht P úng cho mi n.

Ví d : Chng minh tng : Pn = 1 + 2 +... + n =2

)1( nn v i n là s t nhiên

bng ph ng pháp quy n p.

V i n = 1 ta có Pl =2

)11(1 = l công thc úng.

Ta gi s công thc úng cho n, tc là: Pn =2

)1( nn. T ó ta s chng minh

công thc úng cho n + 1 tc là phi chng minh:2

)2)(1(1

nn P n

Ta có2

)2)(1(1

2

)1()1(1

nnn

nnn P P nn . Vy công thc úng cho mi s

t nhiên n.

1.13 Dùng nguyên lý quy n p hãy chng minh :

c, Nu mt t p hu hn có n phn t thì s tt c các t p h p con ca nó là 2n

1.14 Tính:

1.15 Vit các s phc i, –8, 1 – i d i dng l ng giác, t ó hãy tính :

1.16 Tìm min cha im phc z nu:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG 2

KHÔNG GIAN VÉC T Trong ch ng trình toán hc ph thông Trung hc, ta ã hc các véc t trong mt

phng và trong không gian. Ta ã biu din các véc t ó theo ta và ã bit cách

cng các véc t và nhân mt véc t v i mt s theo các ta ca chúng. Trongch ng này ta s m r ng khái nim véc t hình hc sang véc t tng quát, nó có liênquan n nhiu vn trong toán hc và trong thc t.

§1 KHÔNG GIAN VÉC T

1.1 NH NGHA Không gian véc t V trên tr ng s thc R là mt t p không r ng các phn t

c gi là các véc t trong ó có xác nh hai phép tính:

Phép tính th nht là phép cng hai véc t : N u x và y là hai phn t ca V thìt ng x + y cng là phn t ca V.

Phép tính th hai là phép nhân mt véc t v i mt s th c: N u x là mt phnt ca V và là mt s th c thì .x cng là mt véc t .

Các phép tính ó phi tha mãn 8 tiên :

V 1 - Phép cng có tính giao hoán: x, y V : x + y = y + x.

V 2- Phép cng có tính k t h p : x, y, z V : (x + y) + z = x + (y + z).

V 3- T n t i phn t không: 0 V : x V, x+ 0 = x.V 4 - T n t i phn t i : x V, –x V : x + (–x) = 0

V 5- Phép nhân v i mt s có tính ch t k t h p:

, R, x V : ).( x = x).( .

V 6 - Tính ch t ca s th c 1 : x V : 1.x = x.

V 7 - Phép nhân v i mt s có tính ch t phân ph i i v i phép công véc t :

V 8 - Phép nhân có tính ch t phân ph i i v i phép cng s th c :

T các tiên trên suy ra:

a, Phn t không ca V là duy nh t

Tht vy gi s trong V có hai phn t không là 01 và 02

Theo V3, v i 01 là phn t không: 01 + 02 = 02 ;

v i 02 là phn t không: 01 + 02 = 01;

Dùng V1 ta suy ra 01 = 02

b,Phn t i ca x V là duy nh t WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tht vy gi s trong V có hai phn t i ca x là –x1 và –x2.

T các tiên V3, V4, V2 ta có:

1.2 CÁC VÍ D1.T p Các Véc t hình hc l p thành mt không gian véc t

2. Không gian véc t R n

Xét t p h p R n mà mi phn t ca nó c xác nh bng mt b n s thc s pth t : x = (x1, x2 ,…xn)

Ta inh ngh a phép cng nh sau:

Phép nhân mt s thc v i mt phn t trong R

n

c xác inh bng:

Dùng tính cht ca t p h p s thc có th chng t r ng t p h p R n tho mãn c8 tiên ca mt không gian véc t. Phn t không trong Rn là (0,0,…,0), phn t ica phn t x là phn t –x = (–xl, –x2,…, – xn ).

Vy t p h p R n l p thành mt không gian véc t trên tr ng s thc.

3. Không gian các a th c

Xét t p h p các a thc v i h s thc có bc không v t quá n :

Tng hai a thc có bc không v t quá n cng là mt a thc có bc khôngv t quá n ; tích mt a thc có bc không v t quá n v i mt s thc cng là mt athc có bc không v t quá n. C 8 tiên nêu trên cng c tho mãn. a th ckhông là a thc có mi h s bng không.

Vy t p h p các a thc có bc không v t quá n l p thành mt không gian véct trên tr ng s thc.

4. Không gian các hàm.Xét t p h p các hàm s thc f(x) liên tc trên mt khong (a,b) nào ó. Ta có

tng các hàm liên tc là hàm liên tc, tích mt hàm liên tc v i mt s thc là hàmliên tc. Hàm không là hàm ng nht bng không v i mi giá tri ca x. Hàm i cahàm f(x) là hàm –f(x). 8 tiên ã nêu cng c tho mãn.

Vy t p h p các hàm s liên tc trên mt khong l p thành mt không gian véct trên tr ng s thc.

5. Không gian các s ph c

Xét t p h p C các s phc z = a + bi, v i a, b R, i là n v o: i2 = –1. Ta ã bit phép cng hai s phc, phép nhân mt s phc v i mt s thc Ta có th nghim

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




li 8 tiên ca mt không gian véc t cho t p h p s phc.

Vy t p h p s phc là mt không gian véc t trên tr ng s thc.

§2. C S CA MT KHÔNG GIAN VÉC T Theo nh ngh a ca mt không gian véc t , nu v1,v2,…,vn là các véc t thuc

không gian véc t V và 1, 2,… n là các s thì 1v1 + 2v2 +…+ nvn cng là mtvéc t thuc V.

2.1 S C LP TUYN TÍNH VÀ PH THUC TUYN TÍNHnh ngh a 1. Biu thc 1v1 + 2v2 +…+ nvn c gi là t h p tuy n tính

ca các véc t v1, v2,…, vn v i các h s 1, 2,… n

nh ngh a 2. Các véc t v1, v2,…, vn ca không gian véc t V c g i là cl p tuy n tính n u mi t h p tuy n tính ca chúng là véc t không khi và ch khi mi

h s ca t h p ó b ng không:

Trong tr ng h p trái li, n u có ít nh t mt 1 0, i = 1, 2,..., n thì các véc t v1, v2,…, vn c g i là ph thuc tuy n tính

N u các véc t v1, v2,…, vn ph thuc tuy n tính thì mt véc t trong chúng s làt h p tuy n tính ca các véc t còn l i.

Tht vy, t 1v1 + 2v2 +…+ nvn = 0 và gi s 1 0 ta suy ra

n

n

vvv 12

1

2

1 ...

Ví d : Trong không gian các véc t hình hc, hai véc t ng ph ng, ba véc t ng phng là ph thuc tuyn tính.

Tht vy, t v1 = kv2 ta suy ra v1 –kv2 = 0 V i h s ca v1là 1 0.T ba véc t ng phng thì : v1 = kv2 + lv3 ta suy ra v1 – kv2 – lv3 = 0 v i h s

ca v1 là 1 0. Hai véc t không ng ph ng, ba véc t không ng phng thì c l ptuyn tnh. Gi s kv1 + lv2 = 0 ta suy ra k = 1 = 0. Tht vy, nu k 0 thì ta có v1 = –

k

1

v2 tc là v1, v2 ng ph ng, trái gi thit. T ng t cho l.

2.2 C S CA KHÔNG GIAN VÉC T nh ngh a 3 : M t h các véc t v1, v2,…, vn ca không gian véc t V c g i

là mt c s ca V n u:

Chúng c l p tuy n tính.

M i véc t ca V u c bi u di n b ng mt t h p tuy n tính ca các vé c t c s v1, v2,…, vn

H các véc t v1, v2,…, vn sao cho v i mi v V ta có: v = 1v1 + 2v2

+…+ nvn c gi là h các phn t sinh hay gi tt là h sinh ca V.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM








§3 KHÔNG GIAN VÉC T CON

3.1 NH NGHATa gi không gian véc t con ca không gian véc t V là mt t p con V ca V

tho mãn hai tính cht sau:

Nu x,y V thì x+y V Nu x V và là mt s thì x V

Ta chú ý r ng không gian con V ca V cng là mt không gian véc t vì hai phép tính nêu trên tho mãn c 8 tiên ca mt không gian véc t .

Tht vy phn t không cng thuc V : Nu x V thì 0 = 0x V .

Phn t i ca x V là V x x 1

Các tiên V1,..., V8 ã úng cho V thì cng úng cho V .

3.2 CÁC VÍ D1. Xét không gian hình hc R 3. T p h p mi véc t nm trong mt phng i qua

gc to l p thành mt không gian véc t con ca R 3. T p h p mi véc t nm trên ng thng ì qua gc to cng là mt không gian con ca R 3.

2. Xét không gian véc t V

Gi s v1, v2,…,vn V và 1, 2, …, nlà các S.

T p h p V , mi t h p tuyn tính 1v1 + 2v2 +…+ nvn ca các véc t trênl p thành mt không gian con ca V.

Tht vy, tng hai t h p tuyn tính ca các véc t v1, v2,…,vn cng là t h ptuyn tính ca các véc t ó, tích mt s thc v i mt t h p tuyn tính ca các véc t ó cng là mt t h p tuyn tính ca chúng:

Vy V là mt không gian con ca V.

Không gian con V các t h p tuy n tính ca v1, v2,…,vn còn c gi là không gian véc t sinh b i các véc t v1, v2,…,vn

Ta tha nhn r ng nu không gian V có s chiu là n thì mi không gian con caV có s chiu là n v i n n.

BÀI TP2.1 Chng t r ng v i mi véc t v trong không gian véc t V và v i s thc k

tùy ý nu kv = 0 thì hoc k = 0 hoc v = 0.

2.2 Chng minh hai tính cht sau ca không gian véc t V :a) V i u,v,w V thì t u + w = v+ w ta suy ra u = v.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




b) V i u,v V và k là s thc khác không thì t ku = kv ta suy ra u = v.

2.3 Cho a,b,c là ba s thc tùy ý. Xét t p V mi b có th t ba s thc (x,y,z)sao cho ax + by + cz. Chng t r ng V là mt không gian véc t trên tr ng s thc.

2.4 T p h p mi a thc bc n có l p thành mt không gian véc t không? Gii

thích ti sao?2.5 Cho các véc t v1 = (l,l) và v2 = (–3,2). Chng t r ng chúng c l p tuyn

tính và l p thành mt c s ca R 2. Tìm ta ca véc t v = (l,0) theo c s ó

2.6 Chng minh r ng trong không gian R 3 :

a) Các Véc t v1 = (2,1,1), v2 = (1,3,1), v3 = (– 2,1,3) c l p tuyn tính.

b, Các véc t v1 = (l,0,3), v2 = (0,1,2), v3 = (2,–3,0) ph thuc tuyn tính.

2.7 Chng minh r ng các véc t : v1 = (0,1,1,1), v2 = (l,0,1,1), v3 = (l,1,1,0), v4 =(1,1,1,0) l p thành mt c s ca không gian R 4.

Tìm các ta ca véc t v =(l,1,1,l) theo c s ó.

2.8 Trong không gian P các a thc có bc không v t quá 4 ta xét các a thcc nghim là x = a, x = b v i a b. Chng t r ng t p h p ó là mt không gian conca không gian P. Tìm mt c s ca không gian ó.

2.9 Trong không gian F các hàm s mt bin s thc t hãy chng t r ng cáchàm s t,sint, et là c l p tuyên tính.

Chng t r ng mi hàm s có dng f(t) = at + bsint + cet v i a,b,c R l p thành

mt không gian con ca không gian F.2.10 Chng minh r ng hai s phc a + bi và c + di to thành mt c s cakhông gian véc t C các s phc khi và ch khi an bc

2.11 Cho không gian véc t E; F và G là hai không gian con ca E. Ta gi H làt p h p các z E sao cho z = x + y v i x F, y G.

1) Chng minh H là mt không gian véc t con ca E.

2) Chng minh r ng F G = {0} thì cn và là z c biu din mt cách

duy nht b i z = x + y, v i x F, y G. T ó suy ra r ng mi hàm s mt bin s

thc xác nh trên [–a, a] có th c phân tích mt cách duy nht thành tng hai hàm,mt hàm chn và mt hàm l.

2.12 Xét không gian E các dãy s thc.

1) Chng minh r ng các dãy s {un} tha mãn h thc truy hi un = un-l + 2un-2

l p thành mt không gian con F ca không gian E.

2) Chng minh r ng các dãy s có t tng quát an = (–l)n,bn = 2n l p thành mt c s ca F.

3) Tìm dãy s {un} tha mãn h thc truy hi trên và u1 = u2 = 1.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM






1.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN MA TR NPhép cng hai ma trn

Gi s A = (aij); B = (bij) là hai ma tr n cùng loi m x n.

Tng hai ma tr n A và B là tht ma tr n C cùng loi v i A và B. Phn t cij (hàngi, ct j) ca ma tr n C là t ng các phn t v trí t ng ng ca A và B

cij = aij + bij

Ta ký hiu: C = A + B.

Có th nghim li r ng phép cng các ma tr n tha mãn 4 tiên ca phép cng

véc t ã nêu trong ch ng hai, ma tr n i ca A là ma tr n có các phn t là các phn t i ca các phn t t ng ng ca ma tr n A :

Phép nhân mt ma trn v i mt s th c

Tích ca mt ma tr n A v i mt s thc là mt ma tr n cùng loi v i A có phn

t v trí (i,j) là tích ca v i phn t aij ca ma tr n A.

Ta vit : A = ( aij)

Có th nghim li r ng phép nhân mt ma tr n v i mt s thc tha mãn hai tiên 5, 6 ca phép nhân mt véc t v i mt s thc; phép nhân và phép cng tha mãnc hai tiên 7, 8 ca mt không gian véc t .

V y t p h p các ma tr n cùng hai phép tính nêu trên l p thành mt không gianvéc t trên tr ng s th c.

Phép nhân hai ma trn

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM






Ví d : Cho

Nu A và B tha mãn iu kin nhân thì Bt và A t cng tha mãn iu kin nhânvà ta có: (A.B)t = BtAt

Chuy n v ca ma tr n tích b ng tích các ma tr n chuy n v nh ng l y theo th t ng c l i

Ta cng cn chú ý r ng trong phép nhân ma tr n thì h thc AB = 0 cha chc ãkéo theo hoc A = 0 hoc B = 0.

Bây gi ta xét ma tr n vuông c p n là ma tr n chéo có các phn t n m trên ng chéo chính b ng 1. Ta ký hiu ma tr n ó là I

Khi ó mi ma tr n vuông A c p n ta có: AI = IA = A

Ma tr n I c g i là ma tr n n v c p n.

§2 NH TH C2.1 HOÁN V VÀ NGHCH TH

Cho t p h p hu hn E = {l, 2,..., n}.

Xét mt hoán v ca các phn t ca E (ó là mt song ánh P t E vào chính nó):

v i 1, 2,…, n E. Ly hai s ij, j trong mt hoán v ca E. Nu i > jv i i >j) thì ta nói các s i, j l p thành mt nghch th.

Ví d : Trong hoán v 3214 ca 4 s 1234 thì có 3 c p to thành nghch th ó là(3, 2), (3,1), (2,l)

ai , a j l p thành mt nghch th thì (ai – a j)(i – j)< 0.

Ta ký hiu I ( 1, 2,…, n) là tng s tt c các nghch th ca hoán v( 1, 2,…, n). Trong v í d trên ta có : I(3,2,1,4) = 3.

nh ngh a 1. Mt hoán v ca E c gi là hoán v ch n nu tng s các

nghch th ca nó là ch n ho c b ng không, hoán v là l nu tng s các nghch thca nó là l .

Xét mt hoán v ( 1, 2,…, n). Nu ta i ch hai phn t ai , a j cho nhau cònWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




các phn t khác vn gi nguyên thì ta nói ã thc hin mt phép chuy n v. Phépchuy n v làm thay i tính ch n l ca hoán v.

Ví d : Xét hoán v 3,2,1,4 ca bn s 1,2,3,4. Ta có I(3,2,1,4) = 3. Nu ta ich 2 và 1 cho nhau (thc hin mt phép chuyn v), khi ó I(3,l,2,4) = 2.

Bây gi ta xét thêm mt ví d minh ha mt tính cht khác ca hoán vi.Cho E = {l,2,3,4,5} và xét mt hoán v ca E là 5,3,4,2,1.

Nó có 9 nghch th (hoán v l). Ta s p x p li các ct ca ma tr n trên ahàng 2 v th t t nhiên bng cách thc hin phép i ch các ct cnh nhau.

i ch ct 5 cho ct 4 r i cho ct 3, ct 2 r i cui cùng ct 1, tc là thc hin 4

phép chuyn v.

Ti p tc a ct 5 ca ma tr n m i n v trí ct 2, tc là thc hin 3

phép chuyn v:

i ch ct 4 cho ct 3, thc hin mt phép chuyn v:

Cui cùng i ch ct 5 cho ct 4, thc hin mt phép chuyn v:

Nh vy a hàng 2 v th t t nhiên ta ã bin i ma tr n xut phát bngúng 9 phép chuyn v hai ct cnh nhau (bng s nghch th hàng 2 ca ma tr nxut phát). Sau mi phép chuyn v ó hàng 1 thêm mt nghch th, hàng 2 b t i mtnghch th. Nh vy hàng 1 ca ma tr n cui cùng có cùng s nghch th v i hoán v P

Có th coi hàng ó nh mt hoán v ng c ca P ; ta biu din nó bng 1 P .

Ph ng pháp trình bày nh trên có th áp dng cho bt k hoán v nào ca t ph p E = {1, 2,..., n}. Ta có k t qu tng quát sau :

nh lý: N u mt hoán v tùy ý P : E E có k nghch th thì hoán v ng c1

P cng có k nghch th .WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




i ch hai ct cnh nhau.

2.2 NH NGHA NH TH C

Cho ma tr n vuông c p 2 A =

2221

1211

aa

aa. Ta gi nh thc ca ma tr n 2 là nh

thc c p 2, ký hiu det(A), là mt s xác nh nh sau:

det(A) = 21122211 aqaa

Ta cng ký hiu nh thc c p hai b i2221

1211

aa

aa.

Giá tr ca det(A) là tích ca phn t nm trên ng chéo chính tr i tích các phn t nm trên ng chéo kia. Nói cách khác, ó là hiu ca hai s hng, mt shng là tích ca hai phn t: mi phn t nm trên úng mt hàng và úng mt ct, chs th nht ch hàng ch s th hai ch ct, ó là hai hoán v ca hai s 1 và 2 : ó là(l,2) và (2,l). Hoán v sau có mt nghch th, nó là l; s hng ng v i phn t ó códu tr .

Xét ma tr n vuông c p 3 : A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

. nh thc ca ma tr n A là

nh thc c p 3, ó là s:

Ta nhn xét r ng mi s hng ca nh thc c p 3 gm tích ca 3 phn t, mi phn t nm trong úng mt ct và úng tht hàng. Các tha s trong mi s hng c vit theo quy tc sau: u tiên là phn t hàng mt r i n hàng hai, hàng ba.Ch s các ct ca các tha s ó l p thành mt hoán v ca ba s 1, 2, 3. S các hoánv ca ba s là 3!= 6 va bng s các s hng vit trong (1). Trong 6 hoán v ca 1,2,3 thì các hoán v 1,2,3; 2,3,l; 3,1,2 là chn, chúng ng v i các s hng mang du +

biu thc ca nh thc vit trong (l), còn các hoán v 3,2,l; 2,1,3; 1,3,2 là l, chúngng v i các s hng mang du – (1).

Vì vy ta có th vit:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tng c ly theo mi hoán v ca 123.

Da vào nhn xét trên ta có nh ngh a nh thc c p n.

nh ngh a 2. Xét ma tr n vuông A c p n. nh thc ca ma tr n A là mt s, kýhiu là det(A), s ó c xác nh bng:

trong ó 1, 2,…, n là mt hoán v ca n s 1,2,...,n, I( 1, 2,…, n) là tng

các nghch th ca hoán v ó, tng c ly theo mi hoán v ca n s 1,2,... ,n

(có tt c n! hoán v nên tng ó cha n! s hng).

Ta cng ký hiu nh thc c p n ca ma tr n A bng:

2.3 CÁC TÍNH CHT CA NH TH CXét mt nh thc c p n. thun tin cho vic phát biu các tính cht ca nh

thc ta ký hiu A1, A2,…., An là các ct ca nh thc và ta vit D(A1,A2,…,An)

Tính ch t 1. N u mt nh th c có mt ct c phân tích thành t ng ca haivéc t ct, ch ng hn A j = A j + A j" thí ta có th phân tích nh th c thành t ng cahai nh th c:

Tht vy trong biu thc ca nh thc (2), mi s hng trong tng u có chamt phn t nm ct th j , ta ch vic thay phn t ó bng tng ijij aa , sau ó ta

tách tng toàn b thành hai tng: mt ng v i các s hng có cha ija mt ng v i các

s hng có cha ija

Tính ch t 2. Có th a th a s chung ca mt ct ra ngoài d u nh th c:

Mi s hng u cha k do ó ta ch vic a k ra ngoài du tng.

Tính ch t 3. i ch hai ct thì nh th c i d u.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vic i ch làm thay i tính chn l ca hoán v, do ó trong biu thc (2) cács hng mang du + s chuyn thành – và các s hng mang du – s chuyn thành +.

H qu. nh thc có hai ct gi ng nhau thì b ng không.

Tht vy, i ch hai ct ging nhau thì nh thc không thay i nhng theo

tính cht 3 thì nh thc i du, ta có D = – D D = 0.Tính ch t 4. N u mt ct ca nh th c là t h p tuy n tính ca các ct khác thì

nh th c b ng không.

Ch vic áp dng tính cht 1 phân tích nh thc thành tng nhiu nh thc,sau ó áp dng tích cht 2 ta s a v các nh thc có hai ct ging nhau, chúng u

bng không.

H qu. Nu thêm vào mt ct ca mt nh thc mt t h p tuyn tính các ctkhác thì nh thc không thay i:

Tính ch t 5. nh th c ca ma tr n chuy n v ca ma tr n A b ng nh th c ca

ma tr n A : det t A = det(A).

Nói cách khác, giá tr ca nh th c không thay i khi ta chuy n hàng thành ct ,chuy n ct thành hàng, v n gi nguyên th t .

Gi các phn t ca ma tr n A là aij ,, ta có:

Gi các phn t ca ma tr n chuyn v At là bij tc là bij = aij ta có:

Mi tích trong (3), cha k du, cng là mt tích trong (2) vì tích ó cha các phn t thuc úng mt hàng và úng mt ct, du ca chúng cng nh nhau vì hai

hoán v:

n

n

...

...21

21

;

nn

...21

...21 có cùng s nghch th.

T ó ta có : det tA = det(A).

Tính cht 5 cho ta mt k t qu quan tr ng: trong mt nh th c vai trò ca ct vàhàng là nh nhau, các tính cht ã úng cho ct thì cng úng cho hàng, trong các

phát biu ca các tính cht 1, 2, 3, 4 ta ch vic thay t ct bng t hàng.

2.4 KHAI TRIN MT NH TH CCông vic tính nh thc c p hai r t n gin. Vì vy ta tìm cách a các nh

thc c p cao v các nh thc c p hai.

1. nh th c con. Phn bù i s

Cho ma tr n vuông A c p n. Ta gi nh th c con ca phn t aij ca ma tr n A

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




là nh th c Dij ca ma tr n nhn c t ma tr n A b ng cách xóa i hàng i ct j.

Nh vy Dij là nh thc c p n – 1.

Xét nh thc c p 3 ca ma tr n A.

Nhóm các s hng có cha a11 li ta c: a11 (a22a33 – a23a32) = allDll v i D11 lành thc con ca phn t a11. Nh vy :

T ng các s hng ch a a11 ca nh th c b ng tích ca a11 v i nh th c con Dl1

ca nó.

Tính cht trên cng úng v i nh thc c p n.B . Trong nh th c ca ma tr n vuông A c p n có ch a (n – 1)! s hng

ch a a11 làm th a s . T ng ca (n – 1)! s hng ó b ng tích a11 D11 v i D11 là nhth c con ca phn t a11.

Tng c ly theo mi hoán v ca n s (l, 2,… , n). Mt s hng tùy ý cha a11

làm tha s khi và ch khi 1 = 1, còn li ( 21 ,..., ) là mt hoán v ca n – 1 s và nh

vy có !1n hoán v tc là có !1n s hng cha a11. Vì s nghch th ca

( 21 ,..., ) cng bng s nghch th ca (l, 21 ,..., ).

Khi cho 1 = 1 trong (2) ta có:

(tng sau cùng theo nh ngh a chính là inh thc D11).

Ta có mt k t qu tng quát h n:

Trong nh th c ca ma tr n vuông A c p n có !1n s hng ch a phn t

ija làm th a s . T ng ca !1n s hng ó b ng ijij ji Da1 v i Dij là nh th c conca phn t ija

Tht vy xét mt phn t ija nào ó. Ta ln l t chuyn hàng i ca nh thc lên

hàng mt bng 1i phép i ch hai hàng liên ti p, nh thc nhn c có phn t

ija nm góc trái trên cùng. Bây gi ta li chuyn ct j (có cha phn t ija ) lên v trí

ct 1 bng 1 j phép i ch hai ct liên ti p. Nh vy trong nh thc cui cùng này,

ta gi nó là det (A'), phn t ija s nm góc trái trên cùng (v trí 1.1). nh thc cui

cùng det(A'), c suy t nh thc xut phát, det(A), bng 1 ji ln i ch, mi

ln i ch nh thc i du mt ln, do ó : det (A) = 21 ji det(A') = ji

1 det

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(A')

Theo b trên, các s hng cha ija s bng ija nhân v i nh thc con nhn

c t A bng cách b i hàng 1 và ct 1, nh thc con ó cng chính là nh thccon ca phn t ija trong A. Vy tng các s hng cha ija trong det(A) là:

ijij ji Da1 .

nh ngh a. Phn bù i s ca phn t ija trong ma tr n A là ij D , l y d u

cng khi t ng ch s hàng và ct ca ija là ch n, d u tr n u tong ó l .

Ký hiu phn bù i s ca ija là ij A ta có: ij A = ij ji D

1 .

2. nh lý khai trin

V i ma tr n vuông A c p n ta có:

nh lý này là k t qu ca b trên khi ta nhóm các s hng có cha

nj j j aaa ,...,, 21 (hoc nj j j aaa ,...,, 21 ) trong biu thc ca nh thc.

Ví d 1: Tính nh thc bng cách dùng nh lý khai trin:

Ta khai trin theo hàng mt:

Dùng các tính cht ca nh thc ta có th bin i sao cho trong nh thc ccha mt hàng hoc mt ct gm nhiu s không, sau ó ta ch vic khai trin theo

hàng hoc ct ó.Ví d 2: Tính li inh thc D trong ví d 1.

Ly hàng mt cng v i 3 ln hàng hai r i ly hàng ba tr i hai ln hàng hai ta c:

721

70

100

121

870

D (Khai trin theo hàng ba)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM






§3. MA TR N NGHCH OXét các ma tr n vuông c p n.

nh ngh a. Ma tr n A là kh nghch n u t n t i ma tr n B cùng c p sao cho: A.B = B.A = I (1)

V i I là ma tr n n v cùng c p.Khi ó ma tr n B c gi là ma tr n nghch o ca ma tr n A, ta ký hiu nó

bng A –l. Ta có: A.A –l = A –l.A = I

Ta s xét xem v i iu kin nào ca A thì nó là kh nghch?

nh lý. ma tr n A là kh nghch thì i u kin cn và là nh th c ca matr n A phi khác không.

A kh nghch 0det A

* i u kin cn. Gi s A kh nghch, khi ó tn ti ma tr n A –l

: A.A –l

= I. Theonh lý v nh thc ca tích hai ma tr n ta có:

* i u kin . Gi s det(A) # 0. Ta phi i tìm mt ma tr n B tha mãn (1).

Ta vn gi aij là các phn t ca ma tr n A và Aij là phn bù i s ca phn t aij

trong ma tr n A.

Chuyn v ma tr n A ta c ma tr n At . Nh vy nu A = (aij ) thì At = (aij )

Thay trong ma tr n At các phn t aij b i phn bù i s A

ijca chúng ta c

mt ma tr n m i, ta gi ma tr n ó là ma tr n ph h p ca ma tr n A và ký hiu nó là

A . Nh vy A = (Aij )

Bây gi ta xét tích A. A và A .A.

Ly hàng i trong ma tr n A nhân v i ct k trong ma tr n A ta c phn t cik v trí i, k trong ma tr n tích.

Các phn t trong hàng i ca ma tr n A là inii aaa ,...,, 21 ;

Các phn t trong ct k ca ma tr n A là Amknk

A A ,...,,A2k1

; (2)

Nu k = i thì các phn t có s là các phn t nm trên ng chéo chính ca matr n tích. Ta có:

Nu k i ta xét ma tr n A' là ma tr n nhn c t A bng cách thay hàng k b ihàng i, các hàng khác không thay i.

Nh vy ma tr n A' có hàng k là : inii aaa ,...,, 21 (3).

còn các hàng khác ging nh các hàng t ng ng ca ma tr n A. Vì vy khi ta gchhàng k ct i ca ma tr n A' thì các phn t còn li ca ma tr n A' cng ging nh các phn t còn li ca ma tr n A khi ta gch hàng k ct j. T ó suy ra các phn bù i s

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




ca các phn t nm trên hàng k ct j ca A và A' là nh nhau: kjkj A A

ó chính là công thc khai trin ca det(A') theo hàng k [ ý t i (3)].

Nhng det(A') có hai hàng ging nhau (các phn t ca hàng k và hàng i cùng là

inii aaa ,...,, 21 ) do ó det( A ) = 0 tc là cik = 0 v i i k

Tóm li, các phn t cik ca ma tr n tích A. A là:

Ma tr n AA. khi ó là ma tr n chéo có các phn t nm trên ng chéo chính

bng det(A), t ó ta có: AA. = det(A).I

T ng t ta cng chng minh c:

A

A)det(

1= I

Vy ma tr n nghch o ca ma tr n A là: A A

A)det(

11 .

Tóm li, tìm ma tr n nghch o ca ma tr n A ta thc hin các b c sau:

Tính det(A). Nu det(A) = 0 ma tr n A không kh nghch (không có ma tr nnghch o), còn nu det(A) 0, ma tr n A kh nghch.

Chuyn v ma tr n A r i thay các phn t ca At bng các phn bù i s ca

chúng ta c ma tr n ph h p A .

Cui cùng ta có A A)det(

1A 1-

Ví d 1. Chng t r ng ma tr n A d i ây là kh nghch và tìm ma tr n nghch

o ca nó:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chuyn v ma tr n A ta c:

521

202

431

A t

Thay các phn t ca At bng các phn bù i s ca chng ta c ma tr n ph h p:

Vy ma tr n nghch o ca ma tr n A là:

Ví d 2. Ma tr n

301

121

111

A có det(A) = 0 nên không có ma tr n nghch o.

§4. HNG CA MA TR N

4.1 NH NGHA HNG CA MA TR N

Cho A là ma tr n loi m x n. Nu ta ly ra k hàng và k ct thì các phn t nmtrên giao im ca các hàng và các ct ly ra ó l p thành mt ma tr n vuông c p k.

nh thc ca ma tr n vuông ó c gi là nh th c con c p k trích t ma tr n A. Mt ma tr n loi m x n có r t nhiu nh thc con các c p khác nhau, mi phn tca A là mt inh thc con c p mt, c p l n nht ca nh thc con trích t A là s nhnht trong hai s m, n.

nh ngh a. C p l n nh t ca các inh thc con khác không trích t ma tr n A c g i là hng ca ma tr n A.

Hng ca ma tr n A c ký hiu bng r(A).Ví d . Tìm hng ca các ma tr n:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




không vì cha mt hàng gm toàn phn t không. Mi inh thc c p hai cngu bng không do có hai hàng t l. Vy hng ca B bng 1.

4.2 CÁC PHÉP BIN I S CP TRÊN MA TR N

nh ngh a. Các phép bi n i s c p trên ma tr n là các phép bin i sau:Phép chuyn v ma tr n.

Phép i ch các hàng hoc các ct.

B khi ma tr n mt hàng hoc mt ct gm toàn phn t không.

B khi ma tr n mt hàng hoc mt ct là t h p tuyn tính ca các hàng hocct khác.

Nhân mt hàng hoc mt ct v i mt s khác không.

Cng vào mt hàng hoc mt ct mt t h p tuyn tính ca các hàng hoc ctkhác

Dùng các tính cht ã bit ca nh thc ta có th chng t c r ng: th c hincác phép bi n i s c p trên ma tr n không làm thay i hng ca ma tr n.

Vì vy ta có th dùng các phép bin i s c p tìm hng ca ma tr n.

Thc hin các phép bin i s c p ln l t nh sau:

em hàng hai tr hai ln hàng mt, hàng ba tr tám ln hàng mt; B hàng ba vìnó t l v i hàng hai; em hàng hai chia cho –7

Có mt nh thc c p hai bng 1. Vy hng A bng 2.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




BÀI TP

1) Chng minh r ng A = 3 I + J v i I tà ma tr n n v c p ba.

2) Tính J2 và bng ph ng pháp quy n p hãy chng minh r ng An = 3n + an J v i an làmt s có th xác nh c. Vit ma tr n An.

1) Tính A2 và A3. Nghim li r ng ta có A3– A2 – A + I = 0 v i I là ma tr n n v

c p ba.

2) Chng t r ng ma tr n A là kh nghch. Hãy suy ra A –l t h thc trên.

3.6 Cho ma tr n A là ma tr n vuông c p ba mà mi phn t thuc ng chéo chính bng không, các phn t khác bng 1.

1) I là ma tr n n v c p ba. Xác nh các s thc a, b sao cho ma tr n P = aA + bBtha mãn h thc P2 = I.

2) Tìm ma tr n I.

3.7 Xét các ma tr n vuông c p n. Chng minh r ng nu A kh nghch thì h thc A.B =0 kéo theo B = 0 và nu B kh nghch thì t h thc ó ta suy ra A = 0. T ó suy rar ng nu A.B = 0 thì hoc A 0 hoc B = 0 hoc c hai không kh nghch. Tìm ma tr n

kh nghch A sao cho A2

= A.3.8 Tính các nh thc:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




3.9 Dùng các tính cht ca nh thc chng t r ng:

3.10 Tìm x các véc t (x,a,a), (a,x,b), (b,b,x) thuc không gian R 3 là ph thuctuyn tính.

3.11 Chng minh r ng các véc t :

V1 = (0,1,2,3), V2 = (1,2,3,4), V3 = (2,3,4,0), V4 = (3,4,0,l) thuc không gian R 4

là c l p tuyn tính.

3.12 Chng t r ng các ma tr n sau ây là kh nghch và tìm ma tr n nghch o cachúng:

3.13 Tìm hng ca các ma tr n :

3.14 Chng thinh r ng t p h p M các ma tr n vuông c p hai v i các phn t là

d b

ca

s thc là mt không gian con ca không gian các ma tr n vuông c p hai: Tìm mt c s và s chiu ca không gian con ó.

3.15 Tính các nh thc :

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1) Tính tích AAt . Suy ra r ng A là kh nghch và tìm A –1.

2) Tính Ak v i k là s nguyên bt k .

3) Suy ra công thc ca cos 3 theo cos .

CH NG 4

H PH NG TRÌNH TUYN TÍNH

§1 H CRAMER

1.1 NH NGHA

Xét mt h n ph ng trình tuy n tính n n:

Các s thc n x x x ;...;; 21 là các n, các S thc aij là các h s ca n, các s bi, là

các s hng t do.

Nghim ca h là mt b n s thc n x x x ;...;; 21 tho mãn mi ph ng trình ca

h.

H (l) c gi là h Cramer nu nh thc các h s ca n khác không.

1.2 QUY TC CRAMERXét h véc t ct ca các h s ca các n tc là các ct ca ma tr n A :

Al , A2 ,… An thuc không gian R n.

Nu các véc t ó ph thuc tuyn tính thì s có mt trong chúng là t h p tuyntính ca các véc t còn li tc là mt ct ca nh thc là t h p tuyn tính ca cácct khác do ó det(A) = 0. Vy nu det(A) 0 thì các véc t Al , A2 ,… An phi c l ptuyn tính, chúng l p thành mt c s ca R n. Véc t ct B các s hng t do cng là

mt véc t thuc R n

nên nó c phân tích mt cách duy nht theo c s ã chn Al , A2 ,… An

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




nn A x A x A x B ...2211 (2)

Các ta ca véc t B n x x x ,..., 21 tho mãn h ph ng trình (l) nên là nghim

ca h ó.

Nh vy ta ã chng t h Cramer (h có det(A) 0) luôn luôn có nghim duy

nh t. Bây gi ta tìm công thc biu din nghim ca h.Ta ký hiu li nh thc det(A) d i dng n A A A D ,..., 21 .

Ta xét nh thc : niii A A B A A A D ,...,,,,...,, 1121

Thay B b i (2) r i dùng tính cht ca nh thc ta có th phân tích i thành n

nh thc mà trong ó có n – 1 nh thc có hai ct t l, chng hn nh thc nii A A A x A A D ,...,,,,... 11111 .

Các nh thc ó bng không, ta ch còn li mt nh thc có dng:

nii A A A x A A D ,...,,,,... 11111 . Nó bng xidet(A) = i x . Nh vy ta có ii x . Do ó

0 ta suy ra ni x ii ,...,2,1;

.

Ta có k t qu quan tr ng sau:

H ph ng trình tuy n tính (1)là h Cramer n u nó tho mãn i u kin nh th ccác h s 0 . Khi ó h có nghim duy nh t c cho b i công th c:

trong ó nh thc là nh thc các h s ca n, i là nh thc nhn c t

bng cách thay ct th i bng ct h s t do nm v phi ca (l), tc là thay ct A, b i ct B.

Ví d : Gii h ph ng trình:

Ta tính các nh thc .3,2,1, ii

Vy nghim ca h là:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chú ý: Nu ta ký hiu A l ma tr n các h s ca h (l), X là ma tr n ct các n, B là ma tr n ct các s hng t do thì dng ma tr n ca h (l) là:

AX = B.V i h Cramer, det(A) # 0 nên ma tr n A là kh nghch, tn ti ma tr n nghch

o A –1, t ó ta có: B A X B A A 1-11 AX

Ta có th tìm nghim ca h Cramer bng cách tìm ma tr n nghch o A –1 cama tr n A r i tính tích ca hai ma tr n A –1 và B.

§2. H PH NG TRÌNH TUYN TÍNH TNG QUÁT

2.1 IU KIN T NG THÍCH

Xét h ph ng trình tuyn tính tng quát m ph ng trình n n:

Nghim ca h là mt b n s th c n x x x ,..., 21 tho mãn mi ph ng trình ca

h.

H (4) c gi là t ng thích nu nó có ít nht mt nghim.Ta s tìm xem v i iu kin nào thì h (4) là t ng thích?

Gi A là ma tr n các h s ca h, A là ma tr n loi (m x n).

A là ma tr n nhn c t A bng cách thêm ct các s hng t do vào ct cui,ta gi nó là ma tr n m r ng ca A.

iu kin t ng thích (Kronecker - Capelli).

h (4) là t ng thích thì cn và là hng ca ma tr n A b ng hng ca ma

tr n m r ng A

Tht vy gi s h (4) là t ng thích, tc là tn ti nghim n x x x ,..., 21 :

nn A x A x A x B ...2211

Ta thy r ng ct cui cùng ca ma tr n A khi ó là t h p tuyn tính ca các ctcòn li, do ó khi b ct ó i thì hng ca ma tr n không thay i, nhng khi ó ma

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




tr n còn li chính là ma tr n A, vy hng ca A bng hng ca A .

o li nu hng (A) = hng ( A ) = r thì trong A s cha ít nht mt nh thcc p r khác không. Bng cách i ch các hàng và các ct ca A (không làm thay ihng ca nó) ta có th gi thit r ng nh thc khác không ó nm v trí r hàng u

và r ct u. Khi ó r véc t ct n A A A ,...,, 21 là c l p tuyn tính và ta coi chúng là cácvéc t c s . Vì hng(A) = r nên các véc t ct B là t h p tuyn tính ca n A A A ,...,, 21 :

nn A A A B ...2211

Ta t: 0...,,...,, 212211 nr r r r x x x x x x .

Vy h (4) là t ng thích.

2.2 CÁCH GII H PH NG TRÌNH TUYN TÍNH TNG QUÁT.Gi s h (4) t ng thích và có hng là r. Khi ó ma tr n A ca nó cha r ct c

l p tuyn tính r A A A ,...,, 21

Do ta chn các ct r A A A ,...,, 21 làm các véc t c s nên các n n x x x ,...,, 21 t ng

ng v i chúng c gi là các n c s . Nu r < n thì h có vô s nghim. Ta có thgán cho các n nr r x x x ,...,, 21 các giá tr tuy ý (ta gi chúng là các n t do). Khi ó h

v i các n là r x x x ,...,, 21 s là mt h Cramer (vì có nh thc các h s khác không).

Ta có th tìm các n ó theo quy tc Cramer. Nu r = n thì h có nghim duy nht.

Ví d 1: Xét h:

Ma tr n các h s A và ma tr n m r ng A u có hng 2 và do nh thc c p hai góc trái khác không, nên ta gi li hai ph ng trình u và các n x, y làm các n c s còn n z là tu ý. Ta có h Cramer:

Ví d 2: Xét h:

nh thc các h s det(A) 0. nh thc c p hai góc trái 12

21 nên hng ma

tr n A bng 2. Ma tr n m r ng A cha nh thc c p 3 :WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vy hng ma tr n A = 3. H ã cho không t ng thích.

2.3 H PH NG TRÌNH TUYN TÍNH THUN NHT1. nh ngh a. Nu ct s hng t do v phi ca (4) bng không, tc là:

thì ta có h thun nh t.

Nh vy, mt h ph ng trình tuy n tính thun nh t có d ng:

Do ma tr n m r ng cha mt ct gm toàn phn t không nên hng ca nó luôn bng hng ca ma tr n A. Vy h (5) là t ng thích. Ta thy ngay mt nghim ca nólà x1 = 0, x2 = 0,…,xn = 0. Ta gi nghim này là nghim t m th ng 2. iu kin h thun nht có nghim khác nghim tm th ng

Ta xét h ph ng trình tuyn tính thun nht có s ph ng trình bng s n tc làm = n. Khi ó, nu det(A) 0, nó là h Cramer. Nghim duy nht ca nó là nghimtm th ng.

Nh vy, h thun nh t có nghim khác t m th ng thì nh th c các h s ca n phi b ng không: det(A) = 0

Khi ó hng ca ma tr n A = r < n và ta s gii h theo r n c s nh ã trình bày trên.

Ví d : Tìm nghim khác không ca h thun nht:

Ta có det(A) = 0 và 321

12 nên h có hng 2. Ta chn x và y làm n c s và

cho z = tu ý ta c: x = , y = – , z = v i tu ý.

§3. GII H PH NG TRÌNH TUYN TÍNH BNG PH NG PHÁP GAUSSTa xét h m ph ng trình n n:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Gi s h s 011 a (nu không ta ch vic i ch các ph ng trình). Ta s dùng

ph ng trình u kh n x1 t m –1 ph ng trình sau. Khi ó ta nhn c mt hm – 1 ph ng trình v i n – 1 n (không có n x1). Ta li dùng ph ng trình u ca hm i nhn c này kh n x2 các ph ng trình ng sau (gi thit h s ca n x2

ca ph ng trình ó là khác không), ta s c mt h m – 2 ph ng trình v i n – 2 n(không có n x1 và x2). Ta c ti p tc nh vy kh dn dn các n cho n khi chcòn mt ph ng trình. Ta dùng ph ng trình này tìm n (có th mt hoc nhiu n),sau ó tìm các n còn li t các ph ng trình ng trên. Trong quá trình kh n có thxy ra các tình hung sau:

a) Mi h s ca n u bng không, v phi công bng không. Khi ó ta b ph ng trình ó i vì nó là h qu ca các ph ng trình khác (ó chính là b mt hàngcha toàn phn t không ca ma tr n).

b) Mi h s ca n u bng không, v phi khác không. Khi ó h ã cho làkhông t ng thích vì nó cha mt ph ng trình không c tho mãn v i bt k giátr nào ca n (ó là tr ng h p hng ma tr n các h s khác hng ma tr n m r ng).

Cách kh liên ti p các n c tin hành nh sau:Ta có h:

Gi s 0ija (nu không ch vic i ch các ph ng trình r i ánh s li).

B c 1: Chia c hai v ca ph ng trình u cho a11.Ly ph ng trình th hai tr i ph ng trình u m i sau khi ã nhân nó v i 21a

Ly ph ng trình th ba tr i ph ng trình u m i sau khi ã nhân nó v i 31a

Ta c h:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




B c 2: Ta li gi thit 022 b và li áp dng thut toán trên kh n x2 t m –

2 ph ng trình sau ta s i t i h:

Ta l p li thut toán ó cho các b c ti p theo cui cùng s i t i ma tr n các hs có dng hình thang hoc hình tam giác trên.

Vì ta ch thc hin các phép bin i trên các h s nên khi trình bày các b cliên ti p ta ch cn vit các h s ca n.

Ví d : Cho h ph ng trình :

Ta vit li bng các h s ca n và ct s t o:

B c 1: Gi nguyên hàng u (vì a11 ã bng l); em nhân hàng hai tr hàngu, em hàng ba cng hàng u, em hàng t cng hàng u nhân v i 2:

B c 2: em hàng hai chia cho 2 r i em hàng ba tr i hàng hai m i nhn cWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




và hàng t tr i 3 ln hàng hai nói trên:

dòng cui cùng ta có:2

10 a

Nu 2/1a h ã cho vô nghim.

Nu a = 1/2 ta b dòng cui cùng i.

Nh vy dòng th ba có ngh a là: 3x3 - 2x4 + x5 = 1/2;

Ta coi x4 và x5 là các n tu ý, x3, x2 và x1 là các n c s , ta có:

Dòng th hai có ngh a là: x2 - 2x3 + x4 + 3x5 = 1 / 2.

Ta thay giá tr ca x3 va tính c trên và rút ra x2 :

Dòng u có ngh a là: x1 - x2 - x3 - 3x4 + x5 = 1

Thay giá tr ca x2 và x3 va tính c r i rút ra x1 :

Tóm li, v i a 1 / 2 h ã cho vô nghim;

v i a = 1 / 2 h ã cho có nghim là:

Chú ý: Trong vic gii h ph ng trình tuyn tính Cramer bng ph ng phápGauss ta ã a ph ng trình ma tr n A X = B v ph ng trình A'X = B trong ó A

là ma tr n tam giác trên (tc là ma tr n có mi phn t nm d i ng chéo chính bng không). Sau khi tìm c n xn ta li phi dùng các phép bin i tìm dn cácn ng trên. iu ó có ngh a là ta ã dùng các phép bin i a ma tr n A' vma tr n n v. Các phép bi n i ó chính là các phép bi n i s c p trên các hàngca ma tr n A'. a ma tr n A v ma tr n I có ngh a là ã nhân bên trái ca A v i ma

tr n nghch o A-1

. Ta c:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nh vy phép bin i nói trên ã a ma tr n B v ma tr n nghim.

Ta thc hin các phép bin i ó theo trình t sau:

u tiên ta vit ma tr n A các h s và ma tr n B ct s t do:

A\B

Bng ph ng pháp Gauss ta bin i c hai ma tr n sao cho ma tr n A tr thànhma tr n tam giác trên A'. Sau ó ta ly hàng n – 1 ca A' tr i hàng n ca nó cnhân v i mt s thích h p sao cho phn t th n ca hàng ó bng không. Ta li lyhàng n – 2 tr i mt t h p tuyn tính ca các hàng n – 1 và n làm cho mi phn ttrên hàng n – 2, tr phn t nm trên ng chéo chính, u bng không và c th ti ptc cho các hàng trên n khi ta a c A' v ma tr n n v. Ta có th áp dng

ph ng pháp trên tìm ma tr n n v. Mun vy ta s vit trên cùng mt hàng 3 matr n: A, I, B r i bng các phép bin i s c p ta a v 3 ma tr n: I, A-1, X.

Ví d . Gii h ph ng trình có k t h p tìm ma tr n nghch o ca ma tr n cách s A.

Ta vit 3 ma tr n A, I, B :

em hàng hai tr hai ln hàng mt, hàng ba tr hàng mt:

em hàng hai chia cho 3, hàng ba cng hai ln hàng hai m i:

Nhân hàng ba v i 3/5 :WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




n ây ta ã a ma tr n A v dng tam giác trên A ; ta ti p tc bin i a matr n A' v ma tr n n v I :

em hàng hai tr 3 ln hàng mt, hàng mt tr hàng ba:

em hàng mt tr hàng hai, khi ó ma tr n A' s tr thành ma tr n n v I :

Nh vy ta có nghim ca h là: x1= 1; x2 = 2 ; x3 = 3.

Ma tr n nghch o 1 A ca ma tr n A các h s ca ph ng trình là ma tr n ngngia.

BÀI TP4.1 Gii h ph ng trình tuyn tính sau:

4.2 Gii h ph ng trình:

4.3 Gii và bin lun theo tham s m h ph ng trình sau:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




4.4 Gii h ph ng trình sau bng ph ng pháp Gauss

4.5 Bng các phép bin i s c p hãy tìm ma tr n nghch o ca các ma tr n:

4.6 Kho sát theo các giá tri ca tham s thc a hng và tính kh gii (có l i gii) ca

h:

4.7 Bin lun và gii h:

Trong ó ,,,a là các s cho tr c.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG 5

ÁNH X TUYN TÍNH - DNG TOÀN PH NG

§1. ÁNH X TUYN TÍNH

1.1 NH NGHACho E và F là hai không gian véc t trên cùng mt tr ng K. M t ánh x f t E

vào F c g i là tuy n tính n u nó tho mãn i u kin sau:

Ta có th vit g p hai iu kin L1, L2 thành:

Mt cách tng quát h n, ta có:

iu kin trên nói lên r ng ánh x tuyn tính bo toàn t h p tuy n tính ca cácvéct

Ví d 2: Xét không gian P các a thc có bc không v t quá n. Cho ánh x f : P P xác nh b i f(v) = v (o hàm ca v), v i v P. Ta thy r ng ánh x f là tuyntính.

C hai iu kin L1, L2 u tho mãn.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1.2 NHÂN VÀ NH CA MT ÁNH X TUYN TÍNHCho E và F là hai không gian véc t trên mt tr ng K, f là mt ánh x tuyn tính

t E vào F.

nh ngh a 1. Ta gi nhân ca ánh x f là t p h p các véc t v ca E sao chof(v) = 0. Ta ký hiu nhân ca f là ker f.

Nh vy : ker f = {v, v E : f(v) = 0}

T p h p ker f là mt không gian con ca E. Tht vy, t p ker f không r ng vì ítnht nó cng cha phn t không f(0) = 0 ; h n na nu u, v ker f, tc là f(u) = 0f(v) = 0 do f là tuyn tính nên f(u + v) = f(u) + f(v) = 0, t ó suy ra u + v ker f.

Ví d : Xét không gian V các véc t hình hc. Cho tr c mt véc t u V v imi mt véc t v V ta xét ánh x f : V R xác nh b i f(v) = u.v (tích vô h ngca hai véc t u và v). Chng t r ng f là ánh x tuyn tính và tìm ker f.

Theo tính cht ca tích vô h ng ta có:

Vy f là ánh x tuyn tính. Bây gi ta i tìm nhân ca ánh x f.

f(v) = 0 uv = 0 các véc t phi vuông góc v i véc t u ã cho.

Vy ker f là t p h p mi véc t vuông góc v i véc t u ã cho.

nh lý 1. Ánh x tuy n tính f là n ánh khi và ch khi nhân ca f ch ch a phn

t không. f n ánh ker f = {0}Ta nhc li ánh x f là n ánh nu x y thì f(x) f(y).

Do ó v i v 0 ta có f(v) f(0), nhng f(0) = 0 tc là v i mi phn t v 0 ta cóf(v) 0, ta suy ra v ker f, ker f ch cha phn t không.

o li gi s k t f = {0}. Gi u và v là các phn t ca E sao cho ta có f(u) =f(v) Ta phi chng minh f là n ánh tc là phi chng minh u = v.

Tht vy, do ánh x f là tuyn tính nên: f(u – v) = f(u) - f(v) = 0.

Ta suy ra u – v ker f. Nhng vì k t f = {0} nên u – v = 0 tc là u = v

Vy f là n ánh.

nh lý 2. Gi s f là mt ánh x tuy n tính t E vào F , nhân ca f ch ch a phnt không. Khi ó, n u v1, v2,…,vn là các véc t c l p tuy n tính ca E thì f(vl),f(v2),…, f(vn) Cúng c l p tuy n tính trong F.

Ch ng minh: Gi s 1, 2,…, n là các s sao Cho : 1f(vl) + 2f(v2) +… + n f(vn ) = 0. Ta phi chng minh 1 = 2 = … = n = 0 (xem nh ngh a h véc t c l p tuyn tính ch ng 2).

Theo tính tuyn tính ca f ta có: f( 1vl + …+ n vn) = 0T nh ngh a ca nhân f ta suy ra: 1vl + …+ n vn ker f

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Theo gi thit ker f = {0} nên 1vl + …+ n vn = 0

Vì v1, v2,…,vn c l p tuyn tính nên t h thc trên ta suy ra 1 = 2 = … = n = 0Vy f(vl), f(v2),…., f(vn ) c l p tuyn tính trong F.

nh ngh a 2. nh ca mt ánh x tuy n tính f là t p h p các véc t w F sao

cho t n t i phn t v E f(v) = w. Ta ký hiu nh ca f là Im f

Ta có t p Im f là mt không gian con ca F.

Tht vy, t p Im f không r ng, nó cha phn t không (f(0) = 0).

Nu t w1 , w2 Im f thì tn ti v1 , v2 ker f sao cho f(vl ) = wl , f(v2 ) = w2

nh lý 3 (nh lý nhân - nh).

Gi s f là ánh x tuyn tính t không gian véc t E vào không gian véc t F.

Nu s chiu ca E là n, s chiu ca nhân f là q và s chiu ca nh f là s thì tacó: n = q + s.

Nói cách khác : dim E = dim ker f + dim Im f.

Ch ng minh: Gi s w1, w2,…,wn là mt c s ca Im f . Khi ó có các véc t v1,v2,…,vn E sao cho f(vi;) = wi, i = 1, 2,…, s. Gi ul, u2,…, uq là mt c s ca ker f.Ta s chng t h véc t : v1 , v2 ,…, v s , u1 , u2 , …, uq l p thành mt c s ca E.

chng minh chúng l p thành mt c s ca E ta ch còn phi chng minhchúng c l p tuyn tính.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Xét t h p tuyn tính:

Tác ng ánh x f vào nó và ý t i tính tuyn tính ca f ta có:

Thay wi = f(vi ) vào h thc trên ta c:

Vì w1, w2,….ws là c s nên chúng c l p tuyn tính, do ó ta suy ra:

Vì u1, u2,…uq là c s nên chúng c l p tuyn tính, t h thc trên ta suy ra:

Các k t qu (2), (3) cùng v i (l) chng t các véc t v1 , v2 ,…, v s , u1 , u2 , …, uq l pthành mt c s ca E. iu ó chng t dim E =s+q = dim ker f + dim Im f

nh lý ã c chng minh.

1.3 MA TR N VÀ ÁNH X TUYN TÍNH

Xét các không gian véc t R n và R m. Ta biu din các véc t ca không gian ó bng các véc t ct. V i mi v R n ta xác nh ánh x:

(khi nhân mt ma tr n loi (m x n) v i ma tr n ct loi (n x 1) (ó là mt phn t caR n), ta c mt ma tr n ct loi (m x l) (ó là mt phn t ca R m)).

Bng phép tính ma tr n ta thy r ng nh x f là tuyn tính:

Gi x1, x2,…xn là các to ca véc t v trong R n; yl, y2,…, ym là các to ca

véc t f(v) trong R

m

theo các c s ã chn tr c trong các không gian ó ta có thvit biu thc f(v) = Av d i dng ma tr n:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nh vy, cho mt ma tr n A loi (m x n) ta có th xác nh c mt ánh xtuyn tính t mt không gian m – chiu vào mt không gian n – chiu, ánh x ó cxác nh b i f(v) = A v, v i v là véc t ct thuc R n. Ma tr n A c gi là ma tr n caánh x tuy n tính f trong các c s ã chn ca R n và Rm.

Ng c li, cho mt ánh x tuyn tính f : Rn R m thì ta có th tìm c ma tr nca ánh x ó trong các c s ã chn ca R n và Rm.

Gi s: (el, e2,…, en) là mt c s ca R n; ( f l , f 2 ,…, f m) là mt c s ca R m

Do f là ánh x tuyn tính nên:

Thay các giá tr va nhn c vào v phi ca (4) ta c:

Do f(v) c biu din mt cách duy nht qua c s ( f l , f 2 ,…, f m) nên t (5), (6) tasuy ra:

Có th vit k t qu trên d i dng ma tr n:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta ã xác nh c ma tr n ca ánh x ó.

Nh vy, nu f là ánh x tuyn tính t Rn vào Rm và (el, e2,…, en), ( f l , f 2 ,…, f m ) lnl t là các c s ã cho ca R n và R m thì ma tr n ca ánh x f là mt ma tr n loi (m xn) có các phn t nm trên ct th j là các to ca véc t f(e j) tính theo c s ã choca R m.

Ví d : Gi P n là không gian các a thc có bc không v t quá n. Xét ánh x f tP3 vào P2 xác nh b i f(v) = v v i v P3 và v là o hàm ca v.

Nh ta ã bit ánh x ó là tuyn tính. Ta tìm ma tr n ca nó trong các c s x3,x2, x, 1 ca P3 ; x

2,x, 1 ca P2. Ta phi tìm nh ca các véc t c s ca P3 trong P 2.

Ta có :

Vy ma tr n ca ánh x này là:

1.4 MA TR N CHUYN C S gi s B = {el,…, en} và B = {el,…, en} là hai c s trong cùng mt không gian

véc t E có s chiu là n.

Ta biu din các véc t el,…, en theo các véc t ca c s B :

nh ngh a: Ma tr n:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




mà ct th j là các to ca véc t e j theo c s B c gi l ma tr n chuyn c s t c s B sang c s B .

Gi s v E.

Gi x1, x2,…, xn là các to ca véc t v theo c s B

Gi x1, x2,…, xn là các to ca nó theo c s B

Ta cn tìm công thc liên h gia hai to ó.

Mt khác, biu din v theo c s B ta có:

So sánh (8) và (9) ta c:

t

n x

x

x

...2

1

,

n x

x

x

X ...

2

1

và P là ma tr n chuyn trên ta có: X P X . (10)

Ta chú ý r ng trên ta ã chuyn t c s B sang c s B . Khi ó ma tr nchuyn là P và ta có công thc (9). Ta cng có th chuyn t c s B sang c s B.

Nh vy ma tr n P phi là ma tr n kh nghch và ta có: X P X 1

Vy ma tr n chuyn t c s B sang c s B là ma tr n nghch o P –1

Ví d 1: Xét h to tr c chun Oxy trong mt phng. Quay h tr c này mtgóc ta c h tr c yxO . L p công thc chuyn to t h Oxy sang h Ox'y'.

Gi el, e2 là các véc t n v trên các tr c s Ox, Oy ;

21 ,ee là các véc t n v trên các tr c s yO xO , , ta có:

Vy ma tr n chuyn t h Oxy sang y xO là:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d 2: Cho không gian R 4 v i c s chính tc:

Ta xét mt c s m i:

L p công thc chuyn t các to chính tc x1, x2, x3, x4 ca mt véc t 4 Rv sang các to 432 ,,, x x x x ca véc t ó theo c s m i.

Ma tr n chuyn c s là ma tr n có các ct là các to ca các véc t

4321 ,,, eeee theo c s chính tc. Ta có:

T ó suy ra:

1.5 MA TR N CA ÁNH X TUYN TÍNH KHI CHUYN C S Cho ánh x tuyn tính f : E E, A là ma tr n ca ánh x f i v i c s B ca E.

P là ma tr n chuyn t c s B = {el,…, en} sang c s nee B ,...1 . Khi ó ma tr n

ca ánh x f trong c s B s là A'. Ta tìm mi liên h gia A và A'.

Dng ma tr n ca ánh x f i v i c s B là: Y = AX

i v i c s B là: X AY (11)

Vì P là ma tr n chuyn t c s B sang c s B nên:

T ó ta có:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




So sánh v i (ll) ta c: AP P A 1

Ta i t i k t qu sau:

nh lý: N u A và A' là hai ma tr n ca mt ánh x tuy n tính f t không gian Evào chính nó i v i hai c s B và B , và n u P là ma tr n chuy n t c s B sang c

s B thì: AP P A 1

nh ngh a: Hai ma tr n A và A sao cho có mt ma tr n kh nghch P tho mãn

h th c AP P A 1 c g i là hai ma tr n ng d ng.

Nh vy, các ma tr n ca cùng mt ánh x tuy n tính f t E vào chính nó trongcác c s khác nhau thì ng d ng v i nhau.

Ví d : Xét ánh x tuyn tính t R 3

vào chính nó c cho b i ma tr n:

i v i c s chính tc trong R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

Phép chuyn sang c s m i B c cho b i:

Tìm ma tr n A ca ánh x theo c s m i và cho biu din ca ánh x ó theoto trong B

Ma tr n chuyn t c s chính tc sang c s B là:

Biu thc ca ánh x tuyn tính trong c s B là:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chú ý: Ánh x tuyn tính t không gian véc t E vào chính nó còn c gi là phép bin i tuyn tính. Mt s phép bin hình mà chúng ta ã c hc ch ngtrình trung hc nh phép quay mt im xung quanh gc O mt góc , phép v t tâmO t s k, phép i xng qua mt tr c to ,… u là các phép bin i tuyn tính.

Chng hn, các ma tr n ca phép quay mt im xung quang gc O mt góc

và ca phép i xng qua tr c Oy ln l t là:

§2. GIÁ TR RIÊNG VÀ VÉC T RIÊNG

2.1 NH NGHAGi s f là mt ánh x tuyn tính t không gian véc t E vào chính nó (phép bin

i tuyn tính). Ta i tìm các véc t E v sao cho f(v) t l v i v, tc là tìm v sao chocó s f(v) = v

Do f(v) = 0 nên véc t 0 luôn luôn có tính cht y, vì vy ta ch i tìm các véc t khác không.

nh ngh a: M t véc t khác không E v c g i là véc t riêng ca ánh x f t không gian E vào chính nó n u t n t i s (th c ho c ph c) sao f(v) = v. S c gi là giá tr riêng liên k t v i véc t riêng v.

Ví d : Xét phép bin i tuyn tính trong R 2 xác nh b i: ),(),(2121

x x x x f . Ta

có )1,1(1)1,1()1,1( f nên s 1 là giá tr riêng ng v i véc t riêng )1,1(1 v . Ta cng

có: )1,1(1)1,1()1,1( f nên s –1 là mt giá tr riêng ng v i véc t riêng

)1,1(2 v .

Ta chú ý r ng phép bin i tuyn tính ),(),( 2121 x x x x f nói trên chính là phép

i xng qua ng phân giác y = x. Nhng véc t nm trên tr c i xng s có nh làchính chúng, các véc t vuông góc v i tr c i xng s có nh là các véc t i cachúng.

Nhn xét:a, Giá tr riêng ng v i véc t riêng v là duy nh t.

Tht vy nu véc t riêng v có hai giá tr riêng là và thì :

b, Trái l i, mt giá tr riêng có th liên k t v i nhi u véc t riêng.

Tht vy, nu là mt giá tr riêng liên k t v i véc t v thì vv f )(

Gi s k là mt s khác không, do ánh x f là tuyn tính ta có:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




iu ó chng t ký cng là véc t riêng ng v i giá tri riêng

2.2 A TH C C TR NGCho phép bin i tuyn tính f : E E. Gi s A là ma tr n ca phép bin i ó

theo c s neee ,...,, 21 . Ta ký hiu véc t riêng E v d i dng ma tr n ct X thì dng

ma tr n ca biu thc vv f )( s là:

Trong ó I là ma tr n n v cùng c p v i ma tr n A.

Ta c mt h n ph ng trình tuyn tính thun nht.

Theo quy tc Cramer, nu 0)det( I A thì h có nghim tm th ng duy nht X = 0

Vy h (12) có nghim khác không thì cn và là: 0)det( I A .

Các giá tr riêng ca ma tr n A hay ca ánh x f là các nghim ca ph ng trình:0)det( I A ( 21 )

nh ngh a: nh thc )det( I A là mt a thc bc n i v i . Ta g i nó là

a th c c tr ng ca ma tr n A ; ph ng trình ( 21 ) là ph ng trình c tr ng ca A (hay ca ánh x f).

Ví d 1. Cho ánh x f :22

R R b i ma tr n:

32

26

A . Hãy tìm các giá tr

riêng và véc t riêng ca nó.

Ta có ph ng trình c tr ng:

Gii ph ng trình bc hai i v i ta c: 7,2 21

tìm véc t riêng liên k t v i giá tri riêng 21 ta gii h thun nht:

H ó t ng ng v i ph ng trình: 2xl + x2 = 0. Có th cho x1 = 1 khi ó ta cóx2 = –2. Véc t riêng ng v i giá tr riêng 21 là )2,1(1 v

tìm véc t riêng ng v i tr riêng 71 ta gii h ph ng trình:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




H t ng ng v i 02 21 x x ; Cho 12 x thì suy ra 21 x

Véc t riêng ng v i 72 là )1,2(2 v

Ví d 2. Tìm các giá tr riêng và véc t riêng ca ma tr n:

Ph ng trình c tr ng:

Nó có nghim kép 12,1 và nghiêmk n 33

Ta xét ph ng trình 0 X I A

v i 12,1 ta có:

0

0

0

3

321

321

x

x x x

x x x

T ó x3 =0, có th x1 =x2 = 1Véc t riêng ng v i 12,1 là )0,1,1(1 v

T ó x3 = 0, có th cho x1 = 1, x2 = –1

Véc t riêng ng v i 3 là )0,1,1(2 v

2.3 A MA TR N VUÔNG V DNG CHÉOTa xét ánh x f t E vào chính nó. Gi s ma tr n A ca ánh x có n tr riêng thc

khác nhau. Ta s chng t trong tr ng h p ó n véc t riêng ng v i n tri riêng s l pthành mt c s ca E.

nh lý: Gi s f là mt ánh x t không gian n chi u E vào chính nó. N u cáctr riêng n ,...,, 21 ca f ôi mt khác nhau thì các véc t riêng t ng ng ca chúng

nvvv ,...,, 21 l p thành mt c s ca E.

Ch ng minh: Do s chiu ca E là n nên ta ch còn phi chng minh n véc t nvvv ,...,, 21 c l p tuyn tính.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Gi s hng ca h véc t nvvv ,...,, 21 là r v i r < n (tc là s véc t c l p tuyn

tính l n nht ca h là r). Không mt tính tng quát ta có th gi thit ó là r véc t u vì nvvv ,...,, 21 . Khi ó các véc t còn li s là t h p tuyn tính ca r véc t ó:

r r vvvv ...2211 (13)

Do f là ánh x tuyn tính nên:

Các vi là các véc t riêng nên iii vv f )( , ta có:

Vì các véc t r vvv ,...,, 21 cl p tuyn tính và các i ôi mt khác nhau nên ta suy

ra: 0...21 r .

Thay vào (13) ta c 01 r v . iu này mâu thun v i gi thit 1r v là véc t

riêng. Mâu thun ó xut phát t ch ta gi thit r < n. Vy phi có r = n

n véc t nvvv ,...,, 21 c l p tuyn tính ca không gian n chiu E l p thành mt c s

ca không gian ó. nh lý ã c chng minh.

Bây gi ta tìm ma tr n ca ánh x tuyn tính f theo c s nvvv ,...,, 21 là n véc t

riêng ca không gian ó.

Do :

Ma tr n ca ánh x là ma tr n chéo:

n

D

...00

............

0...0

0...0

2

1

Trong tr ng h p này ta nói ma tr n ca ánh x tuy n tính A ã c chéo hoá. Nh vy mu n chéo hoá mt ma tr n A ta phi l y mt c s ca không gian E g m n

véc t c l p tuy n tính ca ma tr n ó. Nu P là ma tr n chuyn t c s neee ,...,, 21 sang c s nvvv ,...,, 21 ca không gian

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




E thì theo 1.4 ta có: AP P D 1

Nh vy, mi ma tr n vuông c p n A có n giá tr riêng khác nhau t ng ôi thìng d ng v i ma tr n chéo D có các phn t n m trên ng chéo chính là các giátr riêng ca A.

Ví d : Hãy chéo hoá ma tr n A và tìm ma tr n chuyn P.

a thc c tr ng:

Ma tr n A có 3 giá tr riêng phân bit: 3,2,1 321

Ma tr n chéo phi tìm là:

300

020

001

tìm ma tr n chuyn ta phi tìm các véc t riêng ng v i các giá tr riêng ó.

Chn x3 = 1 ta suy ra x2 = –4



Cho x3 = 1 ta suy ra x1 = 2


Ma tr n chuyn P là ma tr n có các ct là to ca các véc t riêng v1, v2, v3WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




nu tính ma tr n nghch o ca P ta có:

Có th nghim li r ng: AP P D 1

Chú ý: iu kin a thc c tr ng bc n có n nghim phân bit ch là mt iukin chéo hoá mt ma tr n. Trong tr ng h p a thc c tr ng có nghim bing i ta ã chng minh c r ng nu vn tìm c n véc t riêng c l p tuyn tínhthì ta vn có th chéo hoá c ma tr n A.

2.4 CHÉO HOÁ TR C GIAO1. Không gian v i tích vô h ng

Trong không gian R n cho hai véc t ),...,,( 21 n x x xu ; ),...,,( 21 n y y yv

nh ngh a: Tích vô h ng ca hai véc t u và v, ký hiu là u.v là mt s th c:

dài hay chu n ca mt véc t u là: uuu .

Hai véc t u, v là tr c giao nu u.v = 0

Hai véc t u, v là tr c chun nu chúng tr c giao và có dài bng n v

1;0. vuvu

Ví d : Các véc t ca c s chính tc trong R 3 :

el = (l,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) là các véc t tr c chun.

Ta chú ý r ng t p các véc t tr c chun trong R n là c l p tuyn tính.

Tht vy gi s nvvv ,...,, 21 là các véc t tr c chun. Ta có:

Do các véc t vi tr c giao nên 0 jivv v i ji

Do các véc t vi tr c chun nên 1 jivv v i ji

T (14) ta suy ra: 001. j j

Ln l t cho j các giá tr 1, 2,…, n ta s có mi 0 j . iu ó chng t các véc t vi

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




nvvv ,...,, 21 c l p tuyn tính.

2. Chéo hoá tr c giao

nh ngh a: N u ma tr n A có n véc t riêng tr c chu n thì vic chéo hoá ma tr n A c g i là chéo hoá tr c giao.

Trong tr ng h p ó ma tr n chuyn t c s neee ,...,, 21 sang c s nvvv ,...,, 21

s tho mãn iu kin :

Ta có th coi ct vi ca ma tr n chuyn P là hàng th i ca ma tr n chuyn v P t

nên tích vô h ng viv j chính là phn t v trí (i, j) ca ma tr n tích P t P. Do (15) tathy r ng ma tr n tích có các phn t nm trên ng chéo chính bng 1 còn các phn

t khác bng không, ó là ma tr n n v.Vy ta có: P t P = I

Mt khác ta có: I P P 1 ta suy ra: 1 P P t

nh ngh a: Ma tr n P có tính ch t: chuy n v nó ta c ma tr n nghch o, c g i là ma tr n tr c giao.

Ví d : Ma tr n

cossin

sincos P là tr c giao vì:

1

cossin sincos

P P t

Gi s A là ma tr n chéo hoá tr c giao c.

Khi ó tn ti ma tr n tr c giao P : AP P D 1

T ó suy ra: t PDP -1PDPA

Theo tính cht chuyn v ca ma tr n tích ta có:

iu ó có ngh a là ma tr n A phi là ma tr n i xng. Nh vy, nu ma tr n A có th chéo hoá tr c giao c thì nó phi là ma tr n

i x ng.

Ta tha nhn r ng, ng c li nu ma tr n A là ma tr n i xng thì nó chéo hoátr c giao c.

minh ho iu ó ta xét ma tr n sau:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nó là ma tr n i xng. Ph ng trình c tr ng:

Ta có 3 tr riêng 9,6,3 321

Các véc t riêng ng v i các tr riêng ó là:

Ta có: 0133221 vvvvvv , các véc t ó tr c giao. Bây gi ta chun hoá chúng

(tc là a các véc t ó v các véc t n v).

Ma tr n chuyn t c s chính tc sang c s gm các véc t tr c chunV1,V2,V3 là:

D dàng kim chng r ng I P P t .

Ma tr n chéo hoá ca A là

900

060

003

D

§3. DNG TOÀN PH NG

3.1 DNG SONG TUYN TÍNHT p h p các s thc R c coi là mt không gian véc t trên chính nó.

nh ngh a: M t ánh x tuy n tính f t không gian véc t X vào R c g i làmt d ng tuy n tính i v i x X.

Xét tích - các X x X, ó là t p các c p (x,y) v i X x Y y

M t ánh x f : X x X R c g i là mt d ng song tuy n tính n u nó là mt d ng tuy n tính i v i x (coi y là không i) và là d ng tuy n tính i v i y (coi x nh không i)

Nói cách khác, ánh x f : X x X R là dng song tuyn tính nu:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d : Xét tích vô h ng ca hai véc t trong R 3. T các tính cht ã bit ca

tích vô h ng ta có:

Vy tích vô h ng trong R 3 là mt dng song tuyn tính.

M t d ng song tuy n tính f là i x ng n u và ch n u:

M t d ng song tuy n tính f là xác nh d ng n u và ch n u:

Tích vô h ng nói trên là mt dng song tuyn tính i xng và xác nh d ng.

Xét dng song tuyn tính: f : R X 2

Gi s X là không gian có s chiu hu hn là n và nuuuU ,...,, 21 là mt c s

ca x.

t ),( jiij uu f a và coi nó là phn t vi trí (i, j) ca mt ma tr n A thì h thc

trên có th c coi là tích ca 3 ma tr n:

Ma tr n A =(aij) c gi là ma tr n ca d ng song tuy n tính f.

Ta tha nhn r ng mt d ng song tuy n tính là i x ng khi và ch khi ma tr nca nó là i x ng.

3.2 DNG TOÀN PH NGXét dng song tuyn tính i xng:

Khi thay x b i y ta s c dng toàn ph ng.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




nh ngh a: M t d ng toàn ph ng trong Rn là bi u th c có d ng:

Ta ký hiu dng toàn ph ng ca bin x là Q(x)

Ví d :Dng toàn ph ng trong R 2 là:

Dng toàn ph ng trong R 3 là:

Dng ma tr n ca dng toàn ph ng là:

v i ma tr n A là ma tr n i xng.

Dng chính tc ca dng toàn ph ng

N u ma tr n A ca d ng toàn ph ng là ma tr n chéo, tc là 0ija v i i j thì

ta có d ng chính t c ca d ng toàn ph ng:

nnn xa xa xa 22

2221

211 ...

Nó ch cha các s hng bình ph ng mà không cha các s hng ch nht xix j

v i ji

Rút gn mt dng toàn ph ng tc là a nó v dng chính tc, iu ó có ngh a phi a ma tr n ca dng toàn ph ng v dng chéo.

Do ma tr n A ca dng toàn ph ng là ma tr n i xng nên nu nó có n tr riêngthc phân bit thì n véc t riêng t ng ng ca chúng s l p thành mt c s tr c giao

và ta có th a c s ó v c s tr c chun. Nh vy ma tr n A ca dng toàn ph ng s chéo hoá tr c giao c.

Ta s xét xem khi thc hin phép chuyn c s ca dng toàn ph ng ã cho vc s tr c chun l p b i các véc t riêng thì ma tr n A ca dng toàn ph ng s thayi nh th nào?

Ta có dng toàn ph ng xut phát v i ma tr n i xng A :

AX X xQ t )( , trong ó X là ma tr n ct

Chuyn sang c s m i l p thành t các véc t riêng thì ma tr n chuyn c s P là ma tr n tr c giao.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Nhng AP P 1 chính là ma tr n chéo có các phn t nm trên ng chéo chính làcác giá tr riêng i .

Ta c dng chính tc ca dng toàn ph ng là:

Nh vy mun a mt dng toàn ph ng v dng chính tc ta phi chuyn c s ã cho ca dng toàn ph ng v c s gm các véc t riêng tr c chun; khi ó cách s trong dng chính tc s là các giá tr riêng.

Ví d : a dng toàn ph ng sau ây v dng chính tc và tìm ma tr n chuyn

ca nó. 2

2

211

2

585)( x x x x xQ

Ma tr n A ca dng toàn ph ng:

54

45 A

Ph ng trình c tr ng.

V i tr riêng 11 ta có véc t riêng (l,–1), chun hoá nó ta c

V i tr riêng 92 ta có véc t riêng chun hoá

2

1,

2

12v

Ma tr n chuyn c s là:

2

1

2

12

1

2

1

P

Dng chính tc ca dng toàn ph ng là. 22

21 9 x xQ

Có th nghim li r ng phép chuyn c s nói trên chính là phép bin i:

Thay x1, x2 vào dng toàn ph ng ã cho ta s a c nó v dng chính tcnh trên.

V mt hình hc, phép bin i i v i ma tr n P trên là phép quay trong mtWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




phng xung quanh gc O mt góc4

. Nh vy nu trong mt phng ta có ng

cong cho b i ph ng trình 5x2 + 8xy + 5y2 - 9 = 0 thì phép quay nói trên s a

ph ng trình ó v dng x'2 + 9y'2 - 9 = 0 hay 119

22

y x

. Ta c ph ng trình

chính tc ca ng elip trong h tr c to y xO nhn c do quay h tr c to

Oxy tht góc4

Ví d 2: Tìm phép bin i a dng toàn ph ng sau v dng chính tc:

32212

32

22

1 44567)( x x x x x x x xQ .

Ta vit ma tr n A ca dng toàn ph ng và a thc c tr ng det I A :

Các giá tr riêng là 9,6,3 321 : Các véc t riêng chun hoá t ng ng là:

Phép bin i:

Dng chính tc ca dng toàn ph ng ã cho là:

Chú ý: Dng chính tc ca mt dng toàn ph ng không phi duy nht.

Ngoài vic chéo hoá tr c giao ma tr n A nh ã mô t trên ng i ta còn có th dùngcác ph ng pháp khác a mt dng toàn ph ng v dng chính tc. Ta tr li dngtoàn ph ng ã xét trong ví d 1 :

Ta có th bin i:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta c mt dng chính tc khác ca dng toàn ph ng ã cho.

3.3 DNG TOÀN PH NG XÁC NH D NGnh ngh a: M t d ng toàn ph ng c g i là xác nh d ng n u v i mi

0 x thuc E ta có Q(x) > 0.

Trong tr ng h p này ma tr n A ca d ng toàn ph ng cng c g i tà matr n xác nh d ng.

Bng cách thay X b i các véc t thuc c s chính tc ca E ta s suy ra:

N u Q là d ng toàn ph ng xác nh d ng thì aij > 0 v i mi = 1, 2,…, n. Trong

tr ng h p ma tr n A ca dng toàn ph ng có n tr riêng phân bit là s d ng, dngchính tc ca nó

n

ii

nii x

`

0, , dng toàn ph ng là xác nh d ng.

Bây gi ta s phát biu mt iu kin cn và mt dng toàn ph ng là xácnh d ng. Gi s ma tr n ca dng toàn ph ng là A. T nh thc ca ma tr n A tatrích ra các nh thc con c p k :

Các nh thc k c gi là các nh th c con chính c p k ca ma tr n A

Ta công nhn k t qu sau:

N u mi nh th c con chính ca ma tr n A u d ng thì d ng toàn ph ng v ima tr n A là xác nh d ng .

Ví d 3: Dng toàn ph ng ã xét trong ví d 2 là xác nh d ng vì nó có ba giá

tr riêng d ng. Nu xét các nh thc con chính ca A thì ta có:

C ba nh thc con chính u d ng nên dng toàn ph ng là xác nh d ng.

Ví d : Dng toàn ph ng:

không xác nh d ng vì ma tr n A ca nó có cha mt nh thc con chính:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Mt dng toàn ph ng Q là xác nh âm nu dng toàn ph ng Q là xác nh

d ng.

Nu ma tr n ca Q là A thì ma tr n ca Q là A . Khi tính các nh thc con

chính c p k thì bng cách a du – ra ngoài nh thc ta thy r ng nu k là s chn thình thc con chính c p k ca A và A s nh nhau, còn nu k là s l thì nh thccon chính c p l ca A và A là trái du nhau.

T ó: M t d ng toàn ph ng là xác nh âm khi và ch khi mi nh th c conchính c p l u âm, mi nh th c con chính c p ch n u d ng.

BÀI TP

5.1 Trong các ánh x f : R R 3 sau ây, ánh x nào là tuyn tính?

5.2 Xét t p h p F các hàm s liên tc trên [a,b]. V i mi hàn F v ta xét ánh x

R F I : v i b

a

dx xvv I )()( . Chng minh r ng I là ánh x tuyn tính.

5.3 C là không gian véc t các s phc. Xét ánh x f : C C xác nh b i v i z = x +iy C; ta có f(z) - (a + bi)z, a, b là các s thc. Chng t r ng f là ánh x tuyn tính vtìm ma tr n ca ánh x ó.

5.4 Trong không gian véc t R 2 cho c s A = {(- 1,1), (l,- 1)}. Trong không gian véct R 3 cho c s B = {0,1,1), (l,0,l), (l,1,0)}. Hãy tìm ma tr n ca ánh x tuyn

tính R R f 2: xác nh nh sau:

5.5 V i mi a thc P(x) có bc không v t quá 3 ta cho t ng ng a thc:

a) Chng minh r ng ánh x 43: E E f v i E 3 , E 4 ln l t l các không gian các

a thc không v t quá 3 và 4, xác nh nh trên là mt ánh x tuyn tính.

b) Chng minh r ng f là n ánh.

c) Các không gian E3 và E4 c quy v các c s 1, x, x2, x3 và 1, x, x2, x3, x4,hãy xác nh ma tr n ca ánh x f.

5.6 Trong R 3 cho c s chính tc el = (l,0,0) ; e2 = (0,1,0) ; e3 = (0,0,1).

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tính các thành phn z y x ,, ca f(v) theo các thành phn x, y, z ca v.

Chng t r ng f là song ánh và tính x, y, z theo x', y', z'. T ó suy ra ma tr nnghch o A –1.

5.7 Trong không gian các a thc có bc không v t quá 3 quy v c s 1, x, x2, x3, taxét a thc P(x) = 1 + x + x2 + x3.

a) Chng minh r ng các a thc P P P P ,,, l p nên mt c s m i ca không

gian ang xét.

b) L p ma tr n chuyn H t c s 1, x, x2, x3 sang c s P P P P ,,, .

c) Q(x) là mt a thc bt k .

5.8 Ta xét mt ánh x f : R 4 R 4 cho t ng ng mi phn t (x, y, z, t) ca R 4 v i phn t (x + y, y - z, z + x) ca R 3. Chng t r ng f là ánh x tuyn tính. Tìm mt c s ca Kerf và ca Im f.

5.9 Tìm các tr riêng và các véc t riêng ca các ma tr n sau:

5.10 Tìm các tr riêng và các véc t riêng ca phép bin i tuyn tính trong R 2

c cho b i :

y x y

y x x

98

45

5.11 Tìm tr riêng và véc t riêng ca phép quay trong không gian xung quanh tr c Ozmt góc

3

.

5.12 a các ma tr n sau v dng chéo và tìm ma tr n chuyn:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




5.13 Chng t r ng ta không chéo hoá c ma tr n:

420

110

012

5.14 Chng t r ng các ma tr n ng dng có cùng ph ng trình c tr ng.

5.15 Có th chéo hoá tr c giao các ma tr n sau c không? Nu c hãy tìm

ma tr n chuyn t ng ng:

54

45;

124

222

421

5.16 Cho X là không gian các hàm liên tc trên [a,b]. Xét ánh x f : X2 R xác nh

b i b

a

dt t vt uvu f )()(),( v i X vu , Chng t r ng f là dng song tuyn tính. Nó có i

xng, có xác nh d ng không?

5.17 Cho X là không gian thc R 3. Xét ánh x f : X2 R xác nh b i:

Chng t r ng f là dng song tuyn tính và tìm ma tr n A ca nó trong c s :

5.18 a các dng toàn ph ng sau v dng chính tc và ch ra phép bin i t ngng.

5.19 Tìm dng ca ng có ph ng trình:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG 6

HÀM S VÀ GI I HN

§1. HÀM S MT BIN S

Các i l ng mà ta g p trong thc t th ng là các i l ng bin thiên, ngh alà chúng nhn các giá tr thay i trong quá trình kho sát. Có th xy ra tr ng h pmt i l ng tuy bin thiên nhng giá tri ca nó li ph thuc vào mt i l ng binthiên khác. Thí d mt chic xe ô tô chy trên ng v i vn tc không i. Quãng ng xe chy c (i l ng bin thiên s) ph thuc vào th i gian chy xe (il ng bin thiên t). Nu tc ca xe là v thì quãng ng s c xác nh theo th igian t b i công thc s = vi. Nu bit t thì ta xác nh c giá tr ca s mt cách duynht.

Quan h ph thuc gia s và t nh trên c gi là quan h ph thuc hàm s.1.1. NH NGHA HÀM S MT BIN S

Cho t p h p s thc R. Mt ánh x f t R vào R c gi là mt hàm s thc camt bin s thc, hay mt hàm s ca mt bin s. Nói cách khác, v i mi mt bin sthc x ta cho t ng ng v i mt s thc duy nht theo mt quy tc f nào ó thì ta nóilà ta ã xác nh mt hàm s f.

Phn t x c gi là bin s c l p. Phn t y t ng ng v i x c gi là giátr ca hàm s ti x, ta th ng ký hiu là f(x) và vit y = f(x).

T p h p tt c các s thc x mà ta có th xác nh c y theo quy tc f ã cho c gi là min xác nh ca hàm s f.

Nu t p h p A R là min xác nh ca hàm s thì t p h p tt c các s thc ysao cho y = f(x) v i x A c gi là min giá tr ca hàm s (ó chính là t p nh ca

f). Hay {f(x) : x A} là min giá tr ca hàm s.

Ví d : Cho hàm s y = 29 x thì min xác nh A ca hàm s là t p h p tt c

các s thc x sao cho 9 - x2 > 0, tc là - 3 x 3. Min giá tr ca hàm s là t p h p

mi s thc y sao cho 0 y 3.

1.2. TH CA HÀM S có mt hình nh hình hc v mt hàm s, ng i ta tìm cách biu din nó trên

mt phng to , tc là mt mt phng trên ó có xác nh h tr c to Ox, Oy(th ng là vuông góc).

V i mi mt x thuc min xác nh A ca hàm s ta cho t ng ng v i mt imcó to (x, y), v i y = f(x), thuc mt phng Oxy.

T p h p tt c các im (x, y) v i mi x A c gi là th ca hàm.s y =f(x)

Ví d : Trong biu din th ca hàm s f : A R xác nh b i f(x) = -x3 + 2x

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




+ 1 trong hai tr ng h p:

A = {- 1, 0, l) (t p h p A ch gm 3 im)

A = R ( A là t p h p các s thc)

Trong tr ng h p th nht min giá tr ca hàm cng ch gm 3 im: yl = f(–1)

= 0, y2 = f(–1) = 0; y3 = f(l) = 2. Do ó th ca hàm s f ch có 3 im.Trong tr ng h p th hai, min giá tr ca hàm là R, thi ca hàm s là mt

ng cong liên tc (ó là ng parabol bc 3 - hình 8).

1.3. HÀM S NG C VÀ TH HÀM S NG CXét hàm s f : A B, tc là v i mi x A t ng ng v i mt y duy nht thuc B.

Nu f là song ánh, tc là v i mi y B có t ng ng duy nht mt x A, thì f s có

mt ánh x ng c là f –1: B A. Khi ó ta nói f – là hàm s ng c ca hàm f. Vy

A B f B A f :: 1

Khi ó trên mt phng to Oxy, nu im M có ta (x, y) v i y = f(x) thuc

th hàm thun f thì im M có ta (y,x) s thuc th hàm s ng c f –1. Nucác n v chn trên các tr c là nh nhau thì các im M và M s i xng v i nhauqua ng phân giác y = x.

th ca hàm f và hàm ng c f –1 là i x ng nhau qua ng th ng y = x

Chú ý: Khi vit hàm ng c ca hàm y = f(x) d i dng )(1 y f x thì y l bin s

c l p. thun tin cho vic trình bày trên cùng mt h tr c to ta luôn coi bin x là bin c l p (ng v i tr c hoành) còn bin y là bin ph thuc (ng v i tr c tung).

Khi ó ta s ký hiu hàm ng c ca hàm y = f(x) là hàm )(1 x f y

Ví d: hàm y = 2x + 1 có hàm ng c là x = (y - 1) / 2, nhng ta ký hiu li là y =(x –1)/ 2. Ta vit:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1.4. CÁC HÀM S CP1.4.1. Hàm a th c

Hàm f : R R xác nh b i nnn a xa xa x f ...)( `0 v i n là mt s nguyên

d ng, naa ,...0 là các hng s thc, c gi l mt hàm a th c. Hàm a thc xác nhv i mi s thc x và ly giá tr thc.

Sau ây là dng th ca mt s hàm a thc:

1.4.2. Hàm phân th c h u t

Hàm ƒ: R R xác nh b i f(x) =)(

)(

xQ

x P , v i P(x) và Q(x) là các hàm a thc

c gi là hàm phân thc hu t.

Nu N 0 là t p các không im ca Q(x), tc là N 0 = {x R : Q(x) = 0} thì hàm phân thc hu t ƒ(x) có min xác inh là t p h p R \ N 0.

Trong ch ng trình trung hc ta ã xét th ca các hàm phân thc hu t:

y = x

a; y =

d cx

bax

; y =

q px

cbxax

2

th ca các hàm phân thc hu t là ng hypebol.

1.4.3. Hàm s mWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Hàm s m c s a v i a > 0 và a 0 là hàm ƒ: R R+ xác nh b i ƒ(x) = a x. Hàm

s m xác nh v i mi s thc x và ch ly giá tr riêng.

Nu c s a > 1 thì hàm m tng, ngh a là: v i x1 < x2 ta có a 1 x < a 2 x .

Nu c s a < 1 thì hàm m tng, ngh a là: v i x1 < x2 ta có a 1 x > a 2 x .

Nu c s a = e (e là c s vô t và có giá tr gn úng là 2,71828) thì hàm m c s e c gi là hàm exponent, ký hiu là exp(x). Vy exp(x) = e x .

Trong vic nghiên cu s phát trin ca mt qun th sinh vt khi th i gian tngtheo c p s cng mà s l ng qun th tng theo c p s nhân, tc l th i im banu (lúc t = 0 ) s l ng qun th là m0, lúc t = 1 s l ng qun th là m0q (q là mthng s nào ó, công bi ca c p s nhân), lúc t = 2 thì s l ng là m0q

2, …, lúc t thì

s l ng qun th là m0qt . t q = e , là mt hng s nào ó thì s l ng qun thm th i im t s c xác inh nh hàm m:

Mt hin t ng phát trin nh trên c gi là phát trin theo lut m. Ta th ngg p hin t ng ó khi xét các qun th c l p và nhng iu kin ht sc r ng rãi(không b hn ch b i ngun thc n, v a lý c trú, …).

1.4.4. Hàm logarit

Nhìn trên th hàm m ta thy: v i mi s thc x có t ng ng v i mt s thcd ng y duy nht và ng c li v i mi s thc y có t ng ng v i mt s thc x duynht. iu ó có ngh a là hàm m là song ánh, do ó nó có hàm ng c.

Ta gi hàm ng c ca hàm m là hàm logarit c s a , ký hiu là loga x, hàm nàyxác nh trên t p các s thc d ng và ly mi giá tr thc.

Nh vy các biu thc sau là t ng ng:

Logarit c s 10 c gi là logarit th p phân, ký hiu là l lg x = log10 x. Logarit v ic s e c gi là logarit nêpe hay logarit t nhiên, nó c ký hiu là: ln x = loge xWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Dùng các tính cht ca logarit ta có công thc i c s trong logarit sau:

Chng hn mun chuyn t logarit th p phân sang logarit nêpe ta dùng công thc:

Ta ã bit logarit có r t nhiu ng dng. Trong vic tính toán, khi ta chuyn cács sang logarit ca chúng thì phép tính nhân c thay th bng phép tính cng, phéptính chia c thay bng phép tính tr , nh vy rút ngn c th i gian tính toán.

Khi v thi hàm s ng i ta th ng dùng giy k ô vuông. Giy k ô bánlogarit là loi giy k ô mà trên ó thang dùng trên tr c Ox (tr c hoành) là thang nvi dài thông th ng, còn thang tr c tung Oy c ghi theo logarit ca n vi dài,

chng hn ch ghi s 2 ta phi hiu ó là lg2. Khi biu din thi hàm m y = e x

ta bin i nó thành là y = ( lge)x v dùng giy k ô bán logarit thì ta s c th làmt ng thng. Nh vy kim tra xem gia hai i l ng bin thiên x và y có s

ph thuc theo quy lut m không ta biu din các im (x,lgy) trên giy k ô bánlogarit, nu các im nhn c x p x thng hàng thì ta có th ch p nhn quy lut mgia x và y.

1.4.5. Hàm l y th a

Hàm ƒ: R R c xác inh b i ƒ(x) = x , v i là hng s thc, c gi là

hàm lu th a tu thuc vào s thc .V i = n , n l s nguyên d ng, thì hàm y = xn là hàm lu tha nguyên và xác

nh trên R.

V i = -n , n l s nguyên d ng, thì hàm y = x-n là hàm lu tha nguyên vàxác nh trên R\{0}.

V i = 1/n , n là s nguyên d ng, thì hàm y = x1/n là hàm cn thc, nó xácnh trên R+ nu n chn và trên t p R nu n l.

Chú ý: Khi nghiên cu s ph thuc gia hai i l ng bin thiên x và y , nu giachúng có h thc y = bxk thì bng phép bin i logarit ta c:WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




ây li là mt ng thng trong h to nu c hai tr c có thang logarit.

1.4.6. Các hàm l ng giác

Trong ch ng trình trung hc ta ã inh ngh a các hàm l ng giác.

Các hàm y = sin x, y = cos x xác nh trên t p s thc R và ly giá tr trong [-1,1]

Hàm y = tg x xác nh v i mi giá tr x (2k + l)7 / 2.

Hàm y = cotg x xác nh v i mi giá tr x k , chúng ly các giá tr thc.

Các hàm y = sin x, y = cos x là các hàm tun hoãn v i chu k 2 , ngh a là:

Các hàm y = tgx, y = cotg x là hàm tun hoàn v i chu k .

1.4.7. Các hàm l ng giác ng c

Hàm y = sin x xét trên R không là n ánh (do nó tun hoàn), do ó nó không là

song ánh. Tuy nhiên, nu ta hn ch min xác nh ca nó trên khong

2,

2

thì nó

là song ánh, nó có hàm ng c là ƒ-1, ta gi hàm ng c ca nó là hàm arcsin.

nh vy ta có:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




vy ta có:

th ca các hàm l ng giác ng c c v bng cách ly i xng qua ng phângiác y = x th các hàm l ng giác t ng ng thuc min xác nh hn ch cachúng.

Các hàm s lu tha, hàm m, hàm logarit, các hàm l ng giác và các hàmng c ca chúng c gi là các hàm s c p c bn. Hàm s c to t các hàm ss c p c bn nh các phép tính i s và phép h p hàm c gi là hàm s s c p.

Ví d : các hàm a thc, các hàm hu t là các hàm s c p;

1.5. HÀM CHO BNG THAM SKhi nghiên cu s ph thuc hàm s gia hai i l ng x và y ta cng hay g p

tr ng h p c x và y u ph thuc vào mt bin th ba t .

Khi ó v i mi t ta xác nh c mt im (x,y) thuc mt phng, khi t thay i(trong min xác nh ca các hàm , ) thì im (x,y) vch nên mt ng L nào ó.

C p ph ng trình (*) c gi là ph ng trình tham s ca ng L.

Ví d : C p ph ng trình x = acost, y = bsint, 0 t 2 biu din ng elip, vì khikh tham s t ta c:WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Bây gi ta xét xem c p ph ng trình (*) khi nào biu din hàm y = ƒ(x).

Gi s các hàm , xác nh trong min G . Khi ó min xác nh ca hàm ƒ(x)

là t p h p mi giá tr ca hàm x = (t), tG, tc là D = (G). Nu hàm y là song ánh

thì v i mi x D ta tìm c duy nht mt t G, t = -1(x), và v i t ó ta xác nh

c mt y duy nht theo hàm y = (t). Nh vy, nu hàm , xác nh trong min G và là song ánh trên G thì: x =

(t), y = (t), tG biu din mt hàm s. Ta gi hàm s ó cho bng tham s.

Ph ng trình ng elip nói trên x = acost, y = bsint biu din hai hàm:

V i 0 t , hàm x = acost là mt song ánh. Ta có hàm:

§2. GI I HN CA DÃY S

2.1 NH NGHA DÃY SM t hàm f : N R xác nh trong t p h p các s t nhiên N c g i là mt

dãy s .

Ta t ul = f (l), u2 = f (2), …, un = f (n), … s un c gi là s hng t ng quát cadãy s. Ta ký hiu dãy s là {un}. Có th xác nh dãy s bng cách:

a) Cho công th c t ng quát: un = f (n)Ví d : Cho dãy s un = a.qn-1, v i a và q là các hng s. ó chính là mt dãy s nhân a,a, aq2, …, aqn,…

b) Cho công thc truy ch ng, chng hn: ul = a, un = f (un-l)

2.2. GI I HN CA DÃY SVí d m u: Xét s thc a = 1/3. Ta có th 'biu din gn úng thiu s a bng dãys: ul = 0,3; u2 = 0,33; …; un = 0,3…3 (n s 3), hoc biu din gn úng thùa bngdãy s v1 = 0,4; v2 = 0,34; …; vn = 0,3…34 (n-1 s 3).

Ta nhn xét r ng hiu un - a hoc vn - a v tri tuyt i không v t quá 10-n.Bng cách tng n ta có th làm cho hiu ó nh i bao nhiêu cng c. iu ó có

ngh a là nu là mt s d ng cho tr c, bé tùy ý, thì ta có th tìm c s nguyên N sao cho v i mi n > N ta luôn có |un – a| < . Khi ó s a c gi là gi i hn ca dãy

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




s {un}.

nh ngh a: dãy s {un} c g i là có gi i hn là a n u v i mi > 0 cho tr c tacó th tìm c mt s N > 0 sao cho v i mi n > N ta luôn có:

Nu dãy {un} Có gi i hn là a thì ta cng nói dãy {un} hi t t i a.

Ví d : xét ãy s cho b i un =n

n 1

Ta thy r ng dãy s ó hi t t i 1 vì |un – 1| = 11

n

n=

n

1.

V i mi > 0 cho tr c, mun có |un – 1| < thì ch vic ly n >

1 là c.

Nh vy ta chn N là s nguyên l n nht có giá tr nh h n hoc bng

1.

Chng hn nu cho = 0,003 thì

1= 333,3. Ta ch vic ly N =333 thì v i mi n >

333 (tc là k t s hng th 334 tr i) ta có |un – 1| < 0,003.

2.3. CÁC PHÉP TÍNH V DÃY HI T nh lý: n u dãy {un} hi t t i a , dãy {vn} hi t t i b thì

1) Dãy t ng { un + vn } hi t t i a + b

2) Dãy tích {un.vn} hi t t i a.b

3) Dãy nghch o {1/vn } ht t t i 1/b v i i u kin b 0

4) Dãy th ng{un /vn} hi t t i a/b v i i u kzn b 0

Ta s chng minh cho tính cht (l), các tính cht còn li c chng minh t ngt.

Vì un a nên theo nh ngh a ca gi i hn, cho tr c s /2 ta tìm c s Nl

sao cho v i mi n > Nl ta có |un – a| < /2. Vì vn b nên v i s /2 nói trên ta tìm c s N2 sao cho v i mi n > N 2 ta có |vn – a| < /2.

Gi N = max(Nl, N2) thì v i mi n > N ta có:

Khi ó v i mi s > 0 cho tr c ta ã tìm c s N sao cho v i mi n > N tacó:

iu ó chng t (un + vn) (a + b).WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




2.4. HAI TIÊU CHUN DÃY HI TKhông phi dãy s nào cng hi t, chng hn dãy un = (-1)n mà các giá tr ca

nó ln l t là -1 và 1 không tin t i mt gi i hn nào c.

D i ây ta s phát biu hai tiêu chun mà nh ó ta có th bit c mt dãy ãcho là hi t.

Tiêu chu n 1: Cho ba dãy {un}, {vn} và {wn} sao cho

Khi ó n u các dãy {vn} và {wn} cùng hi t t i a thì dãy {un} cng hi t t i a.

Chng minh:

Do vn a nên v i > 0 ta tìm c N1 n > N1 ta có |vn – a |< (2)

Do wn a nên v i > 0 ta tìm c N2 n > N2 ta có |wn – a |< (3)

Gi N = max(Nl,N

2) thì khi n > N các bt ng thc (2) và (3) cùng xy ra.

Nh Vy, v i > 0 cho tr c ta tìm c s N sao cho v i mi n > N ta có:

iu ó chng t dãy {un} hi t t i a.

Tr c khi phát biu tiêu chun th hai, ta xét thêm mt vài khái nim:

Dãy {un} c g i là n iu t ng n u n, m và n > m ta luôn có un > um.

Dãy {un } c g i là n iu gim n u n, m và n > m ta luôn có un < um.

Ví d : dãy cho b i un =1n

n là dãy tng, dãy cho b i vn =

n

1là dãy gim.

Dãy {un} c g i là b ch n trên n u mi s hng trong dãy, k t mt s hng nào ó tr i, không v t quá mt h ng s A nào ó.

Dãy {un} c g i là bi ch n d i n u mi s hng trong dãy, k t mt s hng nào ó tr i, không nh h n mt h ng s B nào ó.

Tiêu chu n 2: mi dãy t ng và b ch n trên thì hi t . M i dãy gim và b ch n d i

thì hi t .

Ta không chng minh tiêu chun này.

Ví d: xét dãy s cho b i un =n

n

11

Ta s chng minh r ng dãy {un} tng và b chn trên.

tht vy, ta khai trin un theo nh thc Newton:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tóm li dãy {un} tng và b chn trên b i 3 nên theo tiêu chun 2 thì nó hi t.

nh ngh a: Gi i hn ca dãy un =n

n

11 c g i là S e.

Ng i ta chng minh c r ng s e là s vô t. Giá tri gn úng ca nó v i 5 ch sth p phân là 2,71828. S e c ùng làm c s cho mt h logarit (logant nêpe). R tnhiu công thc toán hc cng nh k thut c biu din nh s e .

2.5. GI I HN VÔ CÙNG CA DÃYKhi xét dãy {un} hi t t i a, a là hu hn (- < a < ). Có nhng dãy mà k t

mt s hng nào ó tr i, mi s hng trong dãy u l n h n hoc nh h n mt s btk cho tr c có tr tuyt i l n tùy ý. Khi ó ta nói là dãy có gi i hn vô cùng.

nh ngh a:

Dãy {un} có gi i hn + n u v i mi s M > 0 cho tr c, ta có th tìm c s N > 0 sao cho v i mi n > N ta có un > M. Ta vit un + .

Dãy {un } có gi i hn - n u v i mi s M > 0 cho tr c, ta có th tìm c s N

> 0 sao cho v i mi n > N ta có un < -M. Ta vit un - .Ví d : dãy s cho b i un = n2 có gi i hn là + .

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta chng minh c r ng:

Trong vic tính gi i hn, khi g p các dng vô nh ta phi tìm cách kh chúng i(xem §3).

§3. GI I HN CA HÀM S

3.1. NH NGHA GI I HN KHI x a

Ví d : xét hàm s

Hàm s không xác nh ti x = 1. Tuy nhiên v i các giá tr ca x khá gn 1 tathy các giá tr ca ƒ(x) t ng ng khác 4 r t ít và ta có th tìm c nhng khong nh cha 1 sao cho v i mi x thuc khong ó thì hiu |ƒ(x) – 4| nh bao nhiêu cng c. Khi ó ta nói hàm ƒ(x) có gi i hn là 4 khi x dn t i 1.

inh ngh a: hàm ƒ(x) có gi i hn là h khi x d n t i a n u v i mi > 0 sao cho

(t n t i mt s d ng ch ph thuc vào mà v i mi x thuc lân cn ca i m

a thì

Ta ký hiu:

Tr li ví d trên, ta chng minh r ng:Tht vy cho tr c > 0 bt k (chng hn = 0,001) ta cn xác nh s > 0 saocho khi:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




3.2. CÁC TÍNH CHT CA GI I HN nh lý 1: n u hàm ƒ(x) 0 trong mt lân cn ca i m a và

a xlim ƒ(x) = h thì h 0.

Thy vy t nh ngh a ca gi i hn ta có:

nu h < 0 thì ta có th chn sao cho h + < 0 khi ó ƒ(x) < 0, trái gi thit.

inh lý 2: n u khi x a, ƒ(x) có gi i hn h và g(x) có gi i hn là k thì ƒ(x) + g(x) có gi i hn h + k ; m.ƒ(x) có gi i hn là h.m ( m là h ng s ); f(x).g(x) có gi i hn là h.k ;

g(x)

ƒ(x)có gi i hn là

m

1 ( m 0).

Cách chng minh inh lý này cng ging nh cách chng minh gi i hn ca dãys.

Chú ý: các nh ngh a gi i hàm ca hàm f khi x + hoc x - cng t ng tnh nh ngh a gi i hn ca dãy. Chng hn, hàm ƒ(x) có gi i hn là h khi x -

n u > 0 ta tìm c s M > 0 sao cho ,M x |ƒ(x)-h| < .

3.3. L NG VÔ CÙNG BÉ (VCB) N u ƒ(x) có gi i hn b ng 0 khi x a thì hàm ƒ(x) c g i là l ng vô cùng

bé lân cn ca a.

Ví d : khi x 0 thì sin x 0 (do ta luôn c |sin x| < | x|). Vy sin x là i l ng vô

cùng bé (VCB) lân cn ca 0. So sánh các VCB: gi s ƒ(x), g(x) là các VCB khi x a.

c bit, n u k = 1 thì f và g là hai VCB t ng ng, ta ký hiu f ~ g.

Ví d : ch ng trình Trung hc ta ã bit x

x x

sinlim0 = 1 . Nh vy trong lân cn ca 0

thì ta có: sin x ~ x

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




vy: 1-cosx là VCB c p cao h n x.

vy 1-cos x là VCB cùng c p v i x2, ta cng nói 1 - cos x là VCB c p hai i v i x.

Chú ý: t s ca hai VCBg

ƒ (x a hoc ) là dng vô nh

0

0. nh lý sau cho ta

mt ph ng pháp kh d ng vô nh.

Ch ng minh: Ta có th vit

Ví d :

Khi x 0 thì sin5x ~ 5x, sin3x ~ 3x. Theo nh lý trên ta có:

Khi x thì sin5x 0, tc là sin5x là mt VCB. Tuy nhiên, ta không th vitsin5x ~ 5x vì 5x 5 không phi là mt VCB. gii quyt vn này ta làm nhsau:

Mt s VCB t ng ng th ng g p:

Khi x 0 thì:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta chng minh:

mc 2.4 ta ã nh ngh a:

V i s thc z bt k bao gi ta cng tìm c s n sao cho: n z n + 1

T ó:

Vy:

Do ó theo tiêu chun 1 ca gi i hn (nhng áp dng i v i hàm) ta có:

3.4. L NG VÔ CÙNG L N (VCL) Hàm f có gi i hn + khi x a n u v i mi M > 0 ta tzm c s > 0 sao

cho khi 0 < |x – a| < thì ƒ(x) > M.

Hàm f có gi i hn - khi x a n u v i mi M > 0 ta tìm c s > 0 sao cho

khi 0 < |x – a| < thi ƒ(x) < -M.

Bn c hãy t nh ngh a gi i hn vô cùng (+ hoc - ) ca hàm f khi

x + hoc x - .

N u hàm f có gi i hn là vô cùng thì nó c g i là l ng vô cùng l n.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta d dàng chng minh c là: nu ƒ(x) là VCB khác 0 thì 1/ƒ(x) là mt VCLvà ng c li, nu ƒ(x) là VCL khác 0 thì 1/ƒ(x) là VCB.

Nu ƒ, g là các VCL và t s f /g cng là VCL thì f là VCL có c p cao h n g . Vìvy, trong vic tính gi i hn ca t s f /g (d ng vô nh / ) ta ch gi l i t s vàm u s các VCL có c p cao nh t và ng t b các VCL c p th p h n i.

Ví d :

§4. HÀM S LIÊN TCTrong §3 ta ã xét gi i hn ca hàm s ƒ(x) khi x a mà không òi hi hàm f

Phi xác nh ti a. Trong mc này ta s xét mt l p hàm c bit, hay g p trong thct: hàm ƒ xác nh ti a, hàm f có gi i hn khi x a và giá tr gi i hn ó bng giá tr ca hàm ti a. ó là l p các hàm. s liên tc.

4.1. NH NGHA Hàm s y = ƒ(x) c g i là liên t c t i x = a n u: nó xác inh t i a và lim

a xlim ƒ(x) = ƒ(a).

Ví d . hàm f(x) = x2 liên tc ti mi im x. Tht vy, ly x = a bt k thì ƒ(a) =a2 và

a xlim x2 = a2, iu này có ngh a là hàm f liên tc ti a. Nhng a c chn bt k

nên hàm f liên tc ti mi im.

Dùng các nh lý v gi i hn ta chng minh c:

Bây gi ta xem xét tính liên tc ca hàm h p:

Tr c tiên ta xem li khái nim hàm h p. Gi s có hai hàm:

Nh vy ta có hàm h p:

nh lý 2: n u hàm u liên t c t i x = a, hàm f nên t c t i i m u0 = u(a) thì hàm h p f u cng liên t c t i x = a.

Chng minh:

Do f liên tc ti u0 nên v i mi > 0 cho tr c, ta tìm c s > 0 sao cho:

Do hàm u liên tc ti a nên v i > 0 tìm c trên ta tìm c > 0 sao cho:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




K t h p ( 1 ) và (2 ) ta có:

iu ó chng ta x

lim ƒ[u(x)] = ƒ[u(a)]. Tc là hàm h p f u liên tc ti x = a.

Ta tha nhn r ng: các hàm s c p c bn liên t c t i mi i m trong mi n xác inhca chúng.

Dùng inh lý 1 và nh lý 2 ta có th phát biu: các hàm s c p u liên t c trongmi n 'xác nh ca chúng.

4.2. HÀM LIÊN TC TRONG MT KHONG KÍN4.2.1. Liên t c mt phía

Trong inh ngh a gi i hn, khi ta vit x a ta cn hiu là x dn t i a theo nhnggiá tr nh h n a ( x dn t i a theo phía trái, ký hiu x a - 0 hoc x a-) và x dn

t i a theo nhng giá tr l n h n a ( x d n t i a theo phía phi, ký hiu x a + 0 hoc

x a+).

Gi i hn ca hàm ƒ khi x a nh vy là gi i hn hai phía.

Trong nhiu tr ng h p, ta ch cn xét gi i hn ca hàm khi x a - 0, ta có gi ihn tr i, hoc khi x a + 0, ta có gi i hn phi.

Ví d : v i hàm ƒ(x) = x thì khi xét gi i hn ca nó khi x 0 ta ch có th xét gi i

hn phi, vì nu xét gi i hn trái thì vô ngh a (vì hàm x ch xác nh v i x 0).

Hàm f c g i là liên t c trái t i a n u nó xác inh t i a và

Hàm f c g i là liên t c phi t i a n u nó xác nh t i a và

Hàm f c g i là liên t c t i a n u n liên t c c phía trái và c phía phi t i a.

4.2.2. Hàm liên t c trên khong kín [a,b]

M t hàm f c g i là liên t c trên khong kín [a,b] n u:

Nó liên t c t i mi i m x (a,b). Nó liên t c phi t i a và liên t c trái t i b.

Khi biu din th ca mt hàm liên tc trên mt khong thì ta c mt ngcong lin nét (v c bng mt nét bút).

Ta phát biu không chng minh mà ch minh ho bng hình hc các tính chtquan tr ng ca hàm liên tc trên mt khong kín.

Tính ch t 1: n u hàm f liên t c trên khong kín [a,b] thì nó t giá tr nh nh t m và giá tr l n nh t M ít nh t mt l n trên khong [a,b].WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Chú ý r ng iu kin khong kín là quan tr ng, chng hn nu xét hàm ƒ(x) = xliên tc trong khong m (0,1) thì không tìm c im trong (0,1) hàm f t giá tr nh nht cng nh giá tr l n nht.

Tính ch t 2: n u hàm f liên t c trong khong kín [a,b] thì nó nhn mi giá tr trong khong kín [m, M], t c là nh ca on [a,b] qua f là [m,M].

Nói cách khác, nu là mt giá tr tu ý thuc khong kín [m,M], m M

thì th nào cng tìm c [a,b] f ( ) = (hình 15).

Hình 15

H qu: n u hàm f liên t c trên khong kín [a,b], giá tri ca hàm t i a và b tráid u nhau, t c làf (a). f (b) < 0, thì ph ng trình f (x) = 0 bao gi cng có nghim trongkhong (a,b). H n n a, n u f n iu trong khong [a,b] thì nghim ó là duy nh t.

Ta ch vic áp dng tính cht 2 v i m < 0, M > 0, = 0.

4.3. HÀM S GIÁN ON Nu hàm f không liên tc ti x = a thì im x = a là im gián on ca hàm s.

Ta cng nói hàm s gián on ti a. Các tr ng h p gián on th ng g p là:

Hàm f không xác nh ti a và f (x) khi x a. im x = a c gi làim gián on vô cùng.

Ví d : hàm f (x) = 1/ x có gián on vô cùng ti x = 0.

Hàm f xác nh ti x = a , hàm có các gi i hn trái (hu hn) và gi i hn phi ti anhng các gi i hn ó không bng nhau. Khi ó ta nói hàm có gián on loi mt ti

im x = a, và ti x = a hàm f có b c nhy bng | f(a + 0) – f(a – 0)|.

Ví d :hàm có gián on loi mt ti x = 0. B c

nhy ti

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Hàm f không xác nh ti x = a nhng có gi i hn (hai phía) khi x a.

Nu ta b sung cho hàm f giá tr ti a bng gi i hn ti a ca nó thì ta s thu cmt hàm m i liên tc ti a. Khi ó im x = a c gi là im gián on kh c.

Ví d : hàm ƒ(x) = x

xsin không xác nh ti x = 0 nhng

0

lim x x

xsin = 1 nên nu ta xét

hàm thì hàm này liên tc v i mi x.

BÀI TP6.1. Tìm min xác nh ca hàm s (trên t p s thc) c cho b i:

6.2. Hàm f xác nh trên R c gi là hàm l nu f (-x) = - f (x); là hàm chn nu f (-x) =

f (x). Cho hàm hãy chng minh nó là hàm l và tìm hàmng c ca nó.

6.3. Chng minh các công thc sau:

6.4. Ng i ta nh ngh a các hàm Hypebolic nh sau:

Hàm sinhypcholic, ký hiu

Hàm coshypebolic, ký hiu

Chng t r ng hàm sh x là hàm là hàm l và hàm ch x là hàm chn.

Xut phát t th ca hàm s e x , e-x hãy v th các hàm sh x, ch x.

Tìm hàm ng c ca hàm sh x. Phi hn ch min xác inh ca hàm ch x nh thnào nó có hàm ng c? Hãy tìm hàm ng c ó.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chng minh các công thc:

6.5. Cho dãy s xác nh b i:

Chng minh r ng v i mi n ta có un < 2.

Chng minh r ng dãy {un} tng, t ó hãy tìm gi i hn ca dãy.

6.6. Tính các gi i hn:

6.7. Tính các gi i hn:

6.8. Cho hàm s xác inh b i: Phi chn a nh th nào hàm f liên tc v i mi x ? Khi ó hãy v th ca hàm f .

6.9. Tìm các im gián on và v th ca hàm s cho b i:

6.10. Dùng tính cht ca hàm liên tc chng minh r ng:

Ph ng trình x5 - 3x = 1 có nghim trong khong (1, 2).

Ph ng trình x.2 x = 1 có nghim d ng nh h n 1.

6.11. Chng t r ng hàm f xác nh b i liên tcv i mi x.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG 7

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM S MT BIN S

§1. O HÀM CA HÀM S

Có nhiu vn trong thc t dn n vic tính gi i hn dng:

Ví d : mt im chuyn ng trên mt ng thng theo quy lut xác nh b i hàms=ƒ(t), trong ó s ch v trí ca im trên ng ng v i th i im t (tính theo mtgc v trí và gc th i gian nào ó). Nh vy trong khong th i gian t t1 n t2 imchuyn ng c mt quãng ng ƒ(t2) = ƒ(t1). Tc trung bình ca im trongkhong th i gian [t1,t2] là:

Nhng nu mun tính tc ca im ti th i im t1 (tc tc th i) thì ta phi xétgi i hn:

Các gi i hn nh trên a ta n khái nim o hàm.

1.1 NH NGHA O HÀM CA HÀM SGi s hàm y = ƒ(x) /à mt hàm s xác nh trong mt khong nào ó ch a i m x0. Khi ó ta g i o hàm ca hàm s y = ƒ(x) t i i m x0 là gi i hn (n u có) ca t

s .

Ta ký hiu o hàm ca hàm s

Nh vy nu hàm y = ƒ(x) có o hàm ti im x0 thì:

Ví d 2: hàm ƒ(x) = | x| không có o hàm ti x = 0. Tht vy, xét t s:

khi x 0+ thì gi i hn ca t s trên bng 1, còn bng -1 khi x 0-. Do ó gi i hntrái và gi i hn phi khác nhau, hay t s ó không tn ti gi i hn ti im 0. Nh

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




vy hàm không có o hàm ti 0.

1 2. Ý NGHA HÌNH HC CA O HÀM1.2.1. Ý ngh a hình hc

Ng i ta nh ngh a ti p tuyn v i mt ng cong ti im M0 là v trí gi i hn

ca cát tuyn MM0 khi M dn t i M0.H s góc ca cát tuyn MM0 là:

Khi im M dn t i im M0, nu ng cong có ti p tuyn, thì tg tg là

h s góc ca ti p tuyn M0T.

T ó ta có : o hàm hàm s y = ƒ(x)

t i i m x0 cho ta h s góc ca ti p tuy nv i th hàm s t i i m M0 (hình 18).

1 2.2. Ý ngh a c hc

Gi s mt im chuyn ng trên mt ng v i quy lut có ph ng trình s=ƒ(t). Khi ó: o hàm hàm ƒ(t) t i t0 cho ta t c v ca chuy n ng lúc t0 làv=f ’ ( t0).

1.2.3. Ý ngh a t ng quát Hàm s y = ƒ(x) cho ta mi liên h gia hai i l ng bin thiên x và y.

Nh vy o hàm f ’ (xo) cho ta tc bin thiên ca hàm s ti im x0.

Nhiu vn trong vt lý, hoá hc, sinh hc nh tc truyn nhit, mt phân phi vt cht, tc phn ng, tc phát trin, … u có liên quan n khái nimo hàm.

1.3. HÀM LIÊN TC VÀ HÀM CÓ O HÀM

Hàm f có o hàm t i x0 thì nó liên t c t i ó.Tht vy ta có:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nhng chú ý r ng iu ng c li cha chc úng. Chng hn hàm ƒ(x) =| x| liên tc tiim 0 nhng li không có o hàm ti im ó (xem ví d 2 mc 1.1).

1.4. CÁC PHÉP TOÁN I V I O HÀMDa trên các phép tính i v i gi i hn và nh ngh a ca o hàm ta có:

1.4.1. o hàm ca t ng, tích, th ng

1.4.2. o hàm ca hàm s h p

N u hàm u(x) có o hàm l i x0, hàm ƒ(u) cng có o hàm t i u = u0 = u(x0) thìhàm h p f (u(x)) cng có o hàm t i x0 và

1.4.3. o hàm ca hàm s ng c

Gi s hàm y = ƒ(x) có hàm ng c là x = ƒ-l(y) xác nh trong mt lân cn ca y=yo=ƒ(x0). Khi ó n u hàm y = ƒ(x) có o hàm khác 0 t i x0 thì hàm x = ƒ-l(y) cng có d o hàm t i y0 và:

1 5. BNG O HÀM CA MT S HÀM SDùng nh ngh a ca o hàm và các phép tính i v i o hàm ta thành l p c bng sau:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta chng minh mt vài công thc:

Do x0 là s d ng tu ý nên v i x > 0 thì: (lnx)’ = x

1

Theo quy tc hàm h p thì:

Có th vit chung (l) và (2) d i dng công thc (7).

Công th c 8: hàm y = a x có hàm ng c là

Theo quy tc o hàm ca hàm ng c ta có:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Các ví d tính o hàm:

Ly o hàm theo x hai v ca biu thc va nhn c:

1.6. O HÀM CP CAO1. 6.1. Hàm o hàm

o hàm ca hàm s y = ƒ(x) ti im x0 là mt giá tr bng s. Nu hàm ƒ cóo hàm ti mi im x thuc khong m E nào ó thì v i mi x E có t ng ngmt y’ là o hàm ca hàm f ti x. Nh vy ta có mt hàm m i, gi là hàm o hàm,nó cng c ký hiu là y’ =ƒ’(x).

l.6.2. o hàm c p cao

N u hàm f ‘(x) có o hàm t i i m x0 (t c là0

0 )(xƒ'-(x)ƒ'lim

0 x x x x t n t i) thì o

hàm ca f’ c g i là o hàm c p hai ca hàm f t i i m x0. Nó c ký hiu làf’’(x0) hay y’’ x=x 0

.

Bng quy n p ta nh ngh a c o hàm c p n ca hàm y = ƒ(x) . N u hàm s y = ƒ(x) có o hàm c p n-1 t i mi i m x thuc mi n xác nh ca

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hàm thì o hàm (n u có) ca hàm o hàm c p n -1 t i i m x = x0 c g i là ohàm c p n ca hàm f t i i m x0.

Ký hiu do hàm c p n ca hàm f ti im x = x0 là ƒ(n)(x0). Khi ó:

Trong c hc, nu chuyn ng ca mt ng thng có ph ng trình s = ƒ(t) thìo hàm c p mt ƒ’(t0) cho ta tc chuyn ng ti th i im t = t0, o hàm c p hai

f’’ (t0) cho ta gia tc ca chuyn ng ti t = t0

Các ví d :

Hàm y = xn, v i n là tht s nguyên d ng, có o hàm t i mi c p trên t p h ps thc R.

Hàm y = sin x có o hàm t i mi c p trên R và

Tht vy:

v i n = 1 thì ta có công thc úng:

Gi s công thc ó ang v i n - 1, tc là y(n-l) = sin[x+( n-1) /2], ta s chng

minh nó úng cho n.

T ng t ta cng chng minh c:

§2. VI PHÂN CA HÀM S

2.1. VI PHÂN LÀ PHN CHNH CA S GIA HÀM S

Gi s y = ƒ(x) có bao hàm ti im x = x0 . Khi ó ta có:

iu ó chng t l ng là mt vô cùng bé khi x x0.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Khi x x0 thi x l mt vô cùng b. Nu ƒ’(x0) 0 thì l ng ƒ’(x0) x là mt vôcùng b cùng bc v i x, còn l ng x mt vô cùng bé c p cao h n x. Khi ó tanói l ng ƒ’(x0 ) x là phn chính ca vô cùng bé ƒ khi x x0.

Quan sát biu thc (2.2) ta thy s gia f ca hàm s f c phân tích thành hai thành phn: thành phn th nht là phn chính ca ƒ, thành phn th hai là mt vô cùng bécó c p cao h n ƒ. Ta i t i khái nim vi phân ca hàm s.

nh ngh a: Vi phân ca hàm s y = ƒ(x) t i i m x = xo là phn chính ca s gia f (x0); nó khác s gia f( x0) b i mt l ng vô cùng bé có c p cao h n x .

Vi phân ca hàm s c kí hiu là dƒ(x0) hay nu không chú ý t i giá tr c th ca x0

thì ta vit d ƒ hay d y.

Vy nu hàm f có o hàm ti x0 thì theo cách phân tích trên ta có df ( x0)= f’ (x0) xhay

N u hàm f có o hàm t i x = x0 thì nó cng có vi phân t i x0 và vi phân ca ló ~7c

cho b i công thc (2.3).Bây gi ta s chng minh r ng ng c li, n u hàm f có yiphân t i x = xo thì nô cng có o hàm t i x0.

Tht vy, hàm f có vi phân nên ta có th phân tích s gia ƒ ca nó thành:

Chia c hai v cho x ta cGi i hn trên ca t s trên tn ti, vy hàm f có o hàm ti x0 và o hàm ó bng A.

Do k t qu trên, sau này ta cng gi mt hàm có o hàm là hàm kh vi.

Chú ý: V i hàm y = x ta có dy = dx = 1. Tc là nu x là bin s c l p thì s gia canó bng vi phân ca nó dx = x , vì vy biu thc ca vi phân hàm s f còn c vitd i dng:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM






2.2. CÁC QUY TC TÍNH VI PHÂNTheo nh ngh a, vi phân ca hàm s ti x0 là dy = y’dx, k t h p v i các quy tc

tính o hàm ta có:

1). N u các hàm s u(x), v(x) kh vi t i x0 thì các hàm t ng, tích, th ng (v i i u kinv(x0) 0) cng kh vi và:

V mt hình thc ta vn có vi phân ca hàm s bng o hàm ca hàm nhân v i vi phân ca bin s không phân bit bin s ó là c l p hay ph thuc.

2.3. VI PHÂN CP CAOGi s hàm s y = ƒ(x) kh vi trong mt khong nào ó. Khi y, vi phân

dy=ƒ’(x)dx ph thuc vào x, còn dx là hng s nu x là bin s c l p; nu hàm s

f’(x)dx kh vi ti x0 thì vi phân d[ƒ’(x)dx] ca nó c gi là vi phân c p hai ca hàms xut phát, ta ký hiu vi phân c p hai là d 2 f hay d 2 y. Nh vy:

Vi phân c p hai ca hàm ƒ(x) ti im x0 bng o hàm c p hai ca f ti im x0 nhân

v i bình ph ng ca vi phân bin s c l p:

Ta cng có th vit o hàm c p hai ca f d i dng.

Bng quy n p ta chng t c r ng: nu hàm f v i bin s x c l p có o hàm t ic p n ti x0 thì nó cng có vi phân c p n ti x0, ký hiu d ’’ y(x0) và

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




T ó:

§3. CÁC NH LÝ V HÀM KH VI

3.1. NH LÝ ROLLE N u hàm f liên t c trên khong kín [a,b]; khá vi trong khong (a,b); f (a) = f (b) thì

trong khong m (a,b) có ít nh t mt i m c sao cho f ’(c) = 0

Ch ng minh:

Hàm f liên tc trên [a,b] nên theo tính cht hàm liên tctrên khong kín hàm f t giá tr l n nht M và giá tr

nh nht m trên [a,b]. Nu nó t c hai giá tr ó ti haiu mút a,b thì do ƒ(a) = ƒ(b) ta suy ra M = m, khi óhàm là không i trên [a,b] nên o hàm ƒ’(x) = 0 v ix[a,b].

Xét tr ng h p nó t ít nht mt trong hai giá tr M, m ti mt im nm trong (a,b),chng hn nó t giá tr l n nht M ti c (a,b).

Do hàm f kh vi ti c nên tn ti: gi i hn bên phi và bên tráiti c phi bng nhau.

Vì vy t k t qu (3.1) ta suy ra:Ý ngh a hình hc ca nh lý trên là: Trên cung AB bi u di n hàm ƒ(x) tho mãn các i u kin ca nh lý, có m t i m C t i ó ti p tuy n song song v i tr c Ox.

T nh lý Rolle ta có nh lý quan tr ng sau.

3.2. NH LÝ LAGRANGE N u hàm ƒ(x) liên t c trên khong kín [ a,b], kh vi trên khong m (a,b) thì

trong khong (a,b) có ít nh t mt i m c sao cho:

Ch ng minh:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta xét hàm ph:

Do hàm ƒ(x) liên tc và kh vi nên hàm F cng liên tc trên [a,b], kh vi trong (a,b).H n na F(a) = ƒ(a); F(b) = ƒ(a) hàm F tha mãn các iu kin ca inh lý Rolle nên

tn ti c (a,b) F’(c) = 0

T ó: Ta suy ra công thc phi chng minh (3.2).

V mt hình hc, nh lý Lagrange nói lên r ng: Trên cung AB có ít nh t mt i m Ct i ó ti p tuy n song song v i dây cung AB.

Chú ý: Nu ta thêm iu kin ƒ(a) = ƒ(b) thì t (3.2) ta có f’ (c) = 0 tc là ta li có nhlý Rolle.

Công thc (3.2) còn c gi là công thc s gia h u hn.

t a = x0, b = x0 + x, s c nm trong khong (x0, x0 + x) nên có th vit: c =x0+ x v i 0 < < 1, công thc (3.2) có dng:

Bây gi ta i xét mt ng dng ca inh lý Lagrange trong vic kho sát tính n iuca mt hàm s.

nh ngh a:Hàm y = ƒ(x) là n iu t ng trên tht t p h p E nu v i xl, x2 bt kì thuc E:

Hàm y = ƒ(x) là n iu gim trên mt t p h p E nu v i x1, x2 bt kì thuc E:

x1 < x2 ƒ(xl) > ƒ(x2)

nh lý: Gi s f là mt hàm liên t c và kh vi trong mt khong E nào ó.

1). N u ƒ’(x) = 0, x E thì hàm f không i trên E.

2). N u ƒ’(x) > 0, x E thì hàm f t ng trên E.3). N u ƒ’(x) < 0, x E thì hàm f gim trên E.

Ch ng minh:

Ly hai im x1, x2 bt k thuc E r i áp dng inh lý Lagrange cho hàm f trên[x1, x2] ta tìm c im c (x1, x2) sao cho:

Nu ƒ’(x) = 0, x E thì f '(c) = 0 ta suy ra ƒ(x1) = ƒ(x2); Giá tr ca hàm s f ti

hai im bt k ca E u bng nhau nên hàm f có giá tri không i trên E. Nu ƒ’(x) > 0, x E thì f '(c) > 0

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




T (3.4) suy ra v i mi x1, x2 mà x1 < x2 thì ƒ(xl) < ƒ(x2): Hàm ƒ tng.

f’ (x) < 0, x E thì f '(c) < 0 , t ó x1 < x2 thì ƒ(xl) > ƒ(x2): Hàm f gim.

Thí d 1:

Chng minh r ng 1,1 x ta có:

2

arccosarcsin

x x

Xét hàm s x xar x f arccossin)( . Nó liên tc trên [-l,1], kh vi trong (-l,1) và

01

1

1

1)(

22

x x x f ti mi x (-1,1) nên nó không i trong (-1,1).

tính giá tr không i ca nó ta có th tính giá tr ca hàm s ti mt im bt k thuc

khong (-1,1), chng hn ti x = 0. Ta có2

0arccos0arcsin)0(

f

Vy trong khong (-1,1) ta có:

2

arccosarcsin

x x

Ta cng có

Thí d 2: Tìm các khong n diu ca hàm s ƒ(x) = e-x2

Hàm s xác nh v i mi x. Ta có y’ = -2xe-x

2

. Do e-x

2

> 0 v i mi x nên du ca y’ ng c v i du ca x.

V i x < 0 thì y’ > 0 hàm f tng. V i x > 0 thì y’ < 0 hàm f gim.

T nh lý Rolle ta cng suy ra:

nh lý Cauchy: Nu các hàm f( x), g(x) liên tc trên [a,b], kh vi trong (a,b), g’(x) 0, x (a,b) thì có ít nht mt im c (a,b) sao cho:

chng minh ch vic áp dng nh lý Rolle cho hàm ph:

nh lý Lagrange là mt tr ng h p c bit ca nh lý Cauchy v i g(x) = x.

Quy tc Lopital:

Gi s các hàm f (x), g(x) liên t c và kh vi trong mt mi n nào ó, khi x x0

(ho c khi x ) thì c hai hàm f (x), g(x) cùng ti n t i không (ho c cùng ti n t i vô

cùng). Khi ó n u gi i hn ca t s (x)g'

f(x) t n t i thì gi i hn ca t s (x)g'(x)f' cngWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




t n t i và

Ta chng minh quy tc trên theo tr ng h p n gin khi f (x0) = g(x0) = 0. Khi ó theonh lý Cauchy ta có:

Gi i hn v phi tn ti nên gi i hn v trái cng tn ti. Ta công nhn các tr ng h pcòn li ca quy tc.

Quy tc Lopital có ng dng quan tr ng trong vic tính toán các gi i hn có dng vô

nh

;

0

0.

Các thí d :

Các thí d 3 và 4 nói lên r ng khi x thì các hàm s a x , xa, ln x là các vô cùng l nnhng hàm logarit tng chm h n hàm lu tha, hàm m tng nhanh h n hàm lutha.

Chú ý: Khi g p các dng vô nh 0. , - , 1 , 0 , 0 , 0 ng i ta tìm cách bini a chúng v dng - l - r i áp dng quy tc Lopital.

Thí d :

6. Tìm . Nó có dng 1 . Ta tìm gi i hn ca logarit ca nó.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




3.3. CÔNG TH C TAYLORTrong §2.l ta nh ngh a vi phân hàm s là phn chính ca s gia hàm s:

Nu b qua l ng ah thì ƒ(x) ƒ(x0) + ƒ’(x0)h tc là ta ã x p x hàm s ƒ(x) b i athc bc nht ca h.

Trong phn này ta trình bày cách x p x hàm s ƒ(x) b i a thc bc n ca h: f (x)

P n(h) = a0 + a1h + a2h2 + … + anh

n

Mun vy ta gi thit hàm ƒ(x) có o hàm t i c p n và ta vit:

ƒ(x) = Pn(h) + hn v i 0 khi h 0

Vn t ra cn chn các h s ca a thc nh th nào iu kin trên c thomãn tc là tìm a thc Pn(h) :

ý r ng:

Mt cách tng quát:

Nh vy nu ta chn các h s ca a thc Pn(h) sao cho: thìcác gi i hn ô v trái bng không và khi ó ta có th tính gi i hn ca t s:

bng cách áp dng quy tc Lopital liên tc n ln.

Nh vy, nu ta chn các h s ca a thc Pn(h) sao cho: k = 0,1, …, nthì a thc P n(h) s là phn chính bc n ca hàm s f(x ) và nó ch khác f (x) b i mt vôcùng bé c p cao h n hn.

Ta ã chng minh c công thc Taylor:

N u hàm s f (x) có o hàm liên t c t i c p n trong mt miên cha i m x0 thì

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Thành phn (x – x0)n c gi là phn d th n ca công thc Taylor và ta kí hiu

là R n.Công thc Taylor cho phép ta khai trin mt hàm bt k thành a thc ca (x – x0).c bit khi x0 = 0 thì ta có công thc Maclaurin:

Nó cho phép khai trin mt hàm bt kì (có o hàm liên tc t i c p n) thành a thcca x.

Các thí d : Khai tri n Maclaurin ca hàm s f(x) = em

Hàm s này có o hàm liên tc t i mi c p và f (k)(x) = e x nên f (k)(0) = 1 v i k =0,1,..., n. Do ó:

Khai tri n Maclaurin ca hàm s f (x) = sin x

Hàm s này có o hàm liên tc t i mi c p và T ó:

T ó:

Chú ý: Nu hàm s f có o hàm t i c p n+1 thì ng i ta chng minh c r ng có

th vit phn d R n Ca Công thc Taylor d i dng:

Công thc s gia hu hn Lagrange chính là mt tr ng h p c bit ca công thcTaylor c p n = 0 v i phn d vit theo dng trên.

Nh cách vit công thc Taylor v i phn d dng (3.11) mà ng i ta có th dùng nó tính gn úng giá tri ca hàm s và ánh giá sai s mc phi.

Phn d ca khai trin hàm s f (x) = e

x

d i dng (3.11) là:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nu mun tính s e chính xác t i 10-3 thì cn phi xác nh n sao cho:

Vy tính s e chính xác n 10-3 thì ta s dng công thc (3.9) v i x = 1 và khaitrin n c p n = 6 :

Vy ta có: e = 2,718

Phn d ca khai trin sin x là:

Ta luôn có:

Chng hn, tính sin360 chính xác n 10-3 ta cho trong (3.10) x =5

ta có :

Phn d ca khai trin ca cosx là:

3.4. C C TR CA HÀM S nh ngh a: Gi s hàm s f xác nh trong mt khong m E nh ch a i m x0.

Hàm s f có cc i t i x0 n u v i mi x E ta có f (x) f (x0)

Hàm s f có c c ti u t i x0 n u v i mi x E ta có f (x) f (x0)

im x0 ti ó hàm s có cc i hoc cc tiu c gi là i m c c tri ca hàm s.Trong chng minh nh lý Rolle ta ã thy: Nu hàm s f (x) kh vi có cc tr ti x0 thìti ó o hàm ca hàm s b trit tiêu: f’ (x) = 0.

ó là iu kin cn ca cc tr . Nhng i u kin ó không .

Chng hn hàm s f (x) = x3 có o hàm trit tiêu f’ (x) = 3x2 = 0 ti x = 0

v i Hàm s không có cc tr ti 0.

iu kin ca c c tr

1) nh lý 1: Gi s hàm s f (x) liên t c trong khong (a,b) ch a i m x0, kh vi trong

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




khong ó (có th tr t i x0). N u o hàm f’ (x) i d u khi x qua x0 thì hàm có c c tr t i x0.

C c tr ó là c c i n u f’ (x) i d u tù + qua -.

C c tr ó là c c ti u n u f’ (x) i d u t - qua +.

Tht vy, nu f’ (x) > 0 trong (a,x0) thì hàm s f tng trong khong ó nên f (x) < f (x0). Nu f’ (x) < 0 trong (x0,b) thì hàm s f gim trong khong ó nên f (x) < f (x0).

V i mi x thuc lân cn ca x0 ta có f (x) - f (x0). Vy ti x0 hàm s có cc i.

Chng minh t ng t cho tr ng h p cc tiu.

Chú ý: Không nht thit hàm s phi kh vi ti im cc tri x0.

Chng hn, hàm s f (x) = |x| có cc tiu ti x = 0 nhng ti ó hàm s không kh vi.

K t h p v i các k t qu trên ta có quy t c tìm c c tri ca hàm s :

a. Tìm các i m thuc mi n xác nh ca hàm s mà t t ó o hàm ca hàm s trit tiêu ho c không t n t i;

b. Xét d u ca o hàm t i lân cn các i m ó, n u o hàm có d u khác nhau haibên i m ó thì i m ang xét là i m c c tr .

Thí d : Hàm s f (x) = e-x2

có cc i ti x = 0. Tht vy, f’ (x) = -2xe-x2

, v i x < 0 thì f’ (x) > 0; v i x > 0 thì f’ (x) < 0 o hàm có du khác nhau hai bên im x = 0.

2) nh lý 2: Gi s hàm s f(x) có o hàm liên tc t i c p hai lân cn i m x0 (k c t i c x0). N u f’ (x0) = 0 và f’’ (xo) 0 thì hàm s có c c tri t i x0. C th là:

N u f’’(x0) > 0 thì hàm s có c c ti u t i x0. N u f’’ (x0) < 0 thì hàm s có c c i t i x0.

Tht vy, t khai trin hàm s f theo công thc Taylor n c p hai:

lân cn ca x0, du ca f (x) - f (x0) là du ca f’’ (x0).

Do ó nu f(x0) > 0 thì f (x) - f (x0) hàm s có cc tiu ti x0. Nu f’’(x0) < 0 thì f (x) f (x0) hàm s có cc i ti x0.

Thí d : Xét hàm s f (x) = e-x2

, ta có: f’(x) = -2xe-x2

; f’ (x) = 0 khi x = 0

f’’ (x) = -2(1 - 2x2)e-x2

; f’’ (0) = -2. Hàm s có cc i ti x = 0.

3.5. HÀM S LI, LÕM, IM UN

nh ngh a: th hàm s f (x) c g i là l i (chính xác h n là l i trên) trên on[a,b] n u nó n m phía d i mi ti p tuy n v i th v trong on ó. th hàm s

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




f (x) c g i là lõm (chính xác h n là l i d i) trên on [a,b] n u nó n m phía trênmi ti p tuy n v i th v trong on ó.

im trên ng cong ngn cách phn li và phn lõm c gi là i m u n.

nh lý: Gi s hàm s f (x) có o hàm liên t c t i c p hai trong mt mi n ch a i m

x0. N u trong mi n ó f ’’(x) > 0 thì th hàm s là lõm;

N u trong mi n ó f’’(x) < 0 thì th hàm s là l i.

Ch ng minh: Ta khai trin hàm s f ti lân cn x0 theo công thc Taylor n c p hai:

Ph ng trình ti p tuyn v i th ti M0(x0,y0):

gi M là im có hoành x trên nsg cong, P là im có hoành x trên ti p tuynti M0(x0,y0), ta có:

Do 0 khi x x0 nên lân cn ca x0 du ca PM là du ca f’’ (x0). T ó:

Nu f’’( x0) > 0 thì PM > 0: im M nm phía trên thêm P , tc là ng cong nm phía trên ti p tuyn: hàm s lõm trong lân cn x0;

Nu f’’( x0) < 0 thì PM < 0 : im M nm phía d i im P , tc là hàm s li trong lâncn x0.

T k t qu trên ta suy ra r ng: N u t i x0 ta có f’’ (x0) = 0 và f’’ (x) i d u khi x qua x0

thì hàm s f (x) có i m u n t i x0.

3.6. KHO SÁT HÀM S kho sát s bin thiên và dng ca mt hàm s cho bng biu thc gii tích y = f (x)ta th ng tin hành theo các b c sau:

1. Tìm mi n xác nh ca hàm. Nu hàm là tun hoàn thì ch cn kho sát nótrong mt khong có dài bng chu k . Nu hàm chn hay l thì ch cn kho sát nótrên min ng v i x 0.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




2. Tìm các khong n iu và các c c tr .

3. Tìm các khong l i, lõm, i m u n n u cn thi t.

4. Nu hàm có nhánh vô t n, cn xác nh dng ca hàm i v i nhánh vô tn.

ng cong biu din hàm y = f (x) có nhánh vô tn khi ít nht mt trong 2 ta

x hoc y ca mt im M thuc ng cong dn t i . ng th ng (D) là tim cn ca ng cong (C) n u khong cách MH t mt

i m M trên ng cong n ng th ng d n t i 0 khi M ra xa vô t n.

a) Nu khi x a mà f (x) thì ng th ng x = a là ng tim cn ng ca ng cong y = f (x). Trong nhiu tr ng h p cn phi phân bit tim cn ng

phía phi (ng v i x a+0; hoc tim cn ng phía trái (ng v i x a-0)).

b) Nu khi x mà f (x) b thì ng th ng y = b là ng tim cn ngangca ng cong y = f (x)

c) Nu f (x) khi x và tn ti các gi i hn: k =x

f(x)lim x

; b = kx-f(x)lim x

thì ng th ng y = kx + b là tim cn xiên ca ng cong y = f (x).

Trong tr ng h p này ta có:

Trong nhiu tr ng h p cn phân bit tim cn xiên phía phi (v i x ) vàtim cn xiên phía trái (v i x ).

Các thí d v kho sát và v th ca hàm s

Thí d 1: Kho sát và v th ca hàm s: f (x) = e-x

2

Hàm xác inh v i mi x.

L p bng xét du ca o hàm bit chiu bin thiên ca hàm s:

V i x < 0 hàm s tng, v i x > 0 hàm s giám, ti x = 0 hàm s có cc i giá tr

cc i bng 1.Ta xét o hàm c p hai và l p bng xét du o hàm c p hai tìm các khong li lõmca ng cong:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




th có hai im un

Khi x thì f(x) 0, ng y = 0 là tim cn ngang.

thi ca hàm có dng hình chuông. Hàm này có nhiu ng dng trong lý thuyt xácsut.

Thí d 2: Kho sát và v th ca hàm s f(x) = (5 – x) 3 2 x

1 . Hàm xác nh v i mi x .

f’(x) = 0 khi x=2, ngoài ra o hàm không tn ti khi x = 0. Ta l p bng bin thiên:

X 0 2

F’ - || + 0 -

F 0 3 43

Ti x = 0 hàm có cc tiu f(0) = 0; ti x = 2 hàm có cc i f(2) = 3 43 .

Ta chú ý r ng ti x = 0 hàm có ti p tuyn thng ng (o hàm vô cc); ti x = 2 hàmcó ti p tuyn nm ngang (o hàm trit tiêu).

3. Ta không kho sát tính li, lõm.

4. Hàm có nhánh vô tn nhng không có tim cn là ng thng. th ct tr c Ox

ti x = 5.

BÀI TP7.1. Tính các o hàm ca hàm s sau:

7.2. Tính các o hàm ca hàm s:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




7.3. Tính các o hàm ca:

7.4. V i giá tri nào ca a thì hai ng y = ax2 và y = ln x s ti p xúc v i nhau?

7.5. Radium b phân hu theo công thc m(t) = Ce-kt , trong ó m(t) là khi l ngradium hin có lúc t ; C, k là các hng s. Có 1g radium phân hu, sau 1 triu nmnó còn 0,1g. Tính tc phân hu.

7.6. C ng dòng in không i là in l ng i qua thit din ca dây dn trongmt n v th i gian. Hãy cho nh ngh a ca c ng dòng in bin i. áp dng:in l ng i qua dây dn tính t lúc t = 0 c cho b i công thc Q = 2t2 + 3t + 1(cu-lông). Tính c ng dòng in sau 5 giây.

7.7. Chng minh r ng nu hàm f(x) có o hàm ti x0 thì:

7.8. Tính o hàm ca hàm y = arcsin(2x 21 x ) r i so sánh v i o hàm hàm z =

arcsin x. T ó suy ra mi liên h gia y và z.7.9. Tính các tng

7.10. Tìm o hàm c p hai ca các hàm:

7.11. Tìm o hàm c p n ca các hàm:

7.12. Cho hàm s y = x3 - x. Tính y và dy ti x = 2 khi ln r t cho x các giá tr 1;

0,1; 0,01. Tính các giá tr t ng ng ca t s

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




7.13: Tìm vi phân ca các hàm s:

7.14. Tính gn úng:

7.15. Dùng quy tc Lopitan tính các gi i hn sau:

7.16. Tìm cc tr ca hàm s:

7.17. Tìm các giá tr a và b hàm:

y = alnx + bx2+ x có cc tr ti x1 =l, x2 = 2.

7.18. Kho sát v v thi các hàm s:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG 8

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIU BIN

§1 HÀM S NHIU BIN S

1.1 NH NGHAMt hàm s thc ca n bin s thc là mt ánh x t t p h p R n (t p h p các b n

s thc) vào t p s thc R.

Nói cách khác, v i m i b n s th c (x1, x2, …, xn) R n ta có t ng ng mã s th c u R theo mt quy t c f nào ó. Phn t u R, nh ca phn t (x1, x2, …, xn) R n qua án h x f s c kí hiu là u = f(x1, x2, ….xn)

cho tin ta dùng ngay kí hiu trên ch hàm n bin và cn hiu là: Hàm n bin:

Thí d 1: Cho hàm hai bin f :

Ta thy ngay r ng có z t ng ng v i (x, y) theo hàm trên thì các s (x, y) phi thamãn iu kin

Min cha im (x,y) tha mãn iu kin trên cng c gi là min xác nh cahàm, ây là thin hình tròn tâm O, bán kính a (k c ng biên)

Hàm (1.1) có mt hình nh hình hc là na mt cu tâm O bán kính a nm phía trênmt phng xOy.

Thí d 2: Hàm hai bin f : R2 R z = ax + by + c là hàm bc nht i v i hai bin xvà y. Nó xác nh v i mi (x,y) và có hình nh hình hc là mt mt phng trong khônggian.

Chú ý. Nu ta cho mt s bin ca hình nhiu bin các giá tr không i thì ta s có

hàm v i s bin ít h n. Chng hn v i hàm hai bin z = f(x,y) nu ta cho y = y0 khôngi trong sut quá trình kho sát thì ta có hàm ca mt bin x : z=f(x,y0).

Chú ý 2. Nu trong hàm hai bin z = f (x,y) ta cho z giá tr không i C thì ph ngtrình f(x,y) = C nói chung biu din mt ng cong nào ó (là giao tuyn ca mt

phng z = C v i mt cong z = f(x,y)). Trên ng cong này, cácgiá tr ca hàm là nhnhau. Ta gi nó là ng ng mc ca hàm f (v i mc C). Biu din mt s ngng mc trên cùng mt hình v ta có mt hình nh v hàm ang xét. Thí d, trên mt

bn a lý, các im có cùng mt sâu c ni v i nhau bng các ng ng

mc.V i hàm ba bin f (x,y,z), các mt f (x,y,z) = C là các mt ng mc. Thí d trong vt lý

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hc, nu hàm f là mt hàm th, cho giá tr ca th nng ti các im trong không gianthì mt ng mc chính là các mt ng th.

1.2. GI I HN VÀ LIÊN TCTa coi mt b n s thc (x1, x2, …, xn) nh mt im M trong không gian n chiu

Rn. Nh vy hàm n bin u = f (x1, x2, …, xn) s c coi nh hàm ca im M: u =f(M).

Ta gi khong cách gia hai im A(a1, a2, …, an) và M (x1, x2, …, xn) là s :

im M dn t i M0 : M M0 khi và ch khi

nh ngh a:

1. Hàm u = f (M) có gi i hn là 1 khi i m M d n t i i m A n u v i mi > 0 cho

tr c ta tìm c mt s > 0 sao cho: khi 0 d (A,M) < thì

2. Hàm u = f(M) c g i là liên t c t i i m A n u:

a. Nó xác nh t i A (t c là giá tr f (a1, a2, …, an) có

§2. O HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CA HÀM NHIU BIN

2.l. O HÀM RIÊNGGi s f là mt hàm n bin xác nh trong mt min xác nh cha im (x1, x2,

…, xn). Ta cho s xi mt s gia xi Còn gi nguyên các bin khác (coi nh hàm ch

cha bin xi)Xét t s

Nu i x 0 mà t s trên có gi i hn thì gi i hn ca nó c gi là o hàm riêng

ly theo bin xi ti im (x1, x2, …, xn) ca hàm f .

Ta kí hiu o hàm riêng cui hàm f ly theo bin xi lài x

f

, i = 1, 2,...,n hay '

i x f (x1,

x2, …, xn).

Nh vy mun tính o hàm riêng ca mt hàm f theo mt bin nào ó ta ch

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




vic tính o hàm ca hàm ó theo bin ang xét (coi nh hàm mt bin), còn các binkhác coi nh hng s.

Thí d 1: Tính các o hàm riêng ca hàm hai bin f (x,y) = x

y.

Thí d 2: f(x,y) = x y. Khi ly o hàm riêng theo x, coi nh hng s nên áp dng quy

tc o hàm hàm lu tha: x

f

= yxy-l. Khi ly o hàm riêng theo y, coi x nh hng s

nên áp dngquy tc o hàm hàm m: x

f

= x yl n x.

Thí d 3:

Nu t r = 222 z y x thì r là dài ca véct OM v i M(x,y,z); gi ,, là các

góc to b i véct OM v i các tr c Ox, Oy, Oz thì:

2.2. CÁC O HÀM RIÊNG CP HAI Nu hàm z = f (x,y) có Các o hàm riêng theo x trong mt min D nào ó thì

có th coi ' x f (x y) là hàm ca hai bin x, y. Nu hàm này li có các o hàm riêng ~thl

các .o hàm riêng ca f ' x theo x và theo y c gi là các o hàm riêng c p hai:

o hàm riêng c p hai c hai ln theo x:

o hàm riêng c p hai hn h p, theo x r i theo y:

o hàm riêng c p hai hn h p, theo y r i theo x:

o hàm riêng c p hai c hai ln theo y:

Ta tha nhn r ng: nu các o hàm hn h p c p hai ca hàm z = f (x,y) là liên tc thì

chúng bng nhau: '' xy f (x, y) = ''

yz f (x, y)

Thí d : V i hàm hai bin z = x3y2 - 3xy3 - xy + 1 ta có:

Các o hàm riêng c p 1:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Các o hàm riêng c p 2:

Các o hàm riêng ca các hàm o hàm riêng c p hai (nu có) c gi là các ohàm riêng c p ba. Nu các o hàm riêng là liên tc thì chúng không ph thuc th tly o hàm.

Ta cng có các k t qu t ng t cho các hàm nhiu bin h n.

2.3. VI PHÂN TOÀN PHNCho hàm hai bin z = f(x,y) xác nh trong mt min nào ó cha im (x0,y0).

Ta xét s gia toàn phn ca hàm ti im (x0,y0):

Cng nh i v i hàm mt bin nu ta có có th biu din s gia f d i dng:

Tc là nó gm hai phn:

+ Thành phn th nht, bc nht i v i x, y (A,B c l p v i x, y);

+ Thành phn th hai là mt vô cùng bé c p cao h n , tc là 0)(

khi

0 (c x và y u tin v 0).

Khi ó thành phn y B x A , phn chính bc nh t i v i y x , ca s gia f s

c g i là vi phân toàn phn ca hàm z = f(x,y) t i i m (x0,y0). Nó c kí hiudf(x0 ,y0) hay g n h n là dz.

Thí d : Tìm vi phân toàn phn ca hàm z = f(x,y) = x2 + y2

nh lý: Nu hàm z = f(x,y) có vi phân ti (x0,y0) thì nó cng có các o hàm riêng ti

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Khi 0 x thì gi i hn cui cùng bng không vì |)(| x là vô cùng bé c p cao h n

x . Vy . Chng minh t ng t ta có

Ta tha nhn k t qu sau:

Ng c li, n u hàm z = f(x,y) có các o hàm riêng liên t c t i (x0,y0) thì nó có vi phân t i i m ó và

Sau này tính vi phân toàn phn ca hàm hai bin ta s dùng công thc (2.2).

Ta th ng vit nó d i dng thu gn:

Nu các bin s x,y ca hàm hai bin z = f(x,y) c l p thì ta cng có dx = x và d y = y , khi ó vi phân toàn phn ca hàm hai bin còn c vit d i dng:

Ta cng có k t qu t ng t cho hàm s nhiu bin h n, chng hn v i hàm ca ba bin s c l p u = f(x,y,z) ta có vi phân toàn phn ca nó:

Thí d : Tìm vi phân toàn phn ca hàm u = xyz ti im (x,y,z).

2.4. ÁP DNG VI PHÂN TOÀN PHN VÀO TÍNH GN ÚNG VÀ ÁNHGIÁ SAI S

T công thc (2.l) ta thy r ng khi khá bé tc là y x , khá bé ta có công thc tính

gn úng

Thí d : Tính gn úng 1,0244,05

Xét hàm z = x y và áp dng công thc gn úng trên:

Bây gi xét mt áp ng ca vi phân toàn phn vào vic ánh giá sai s

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Gi s ta phi tính giá tr ca hàm cho tr c z = f(x,y) ti các giá tr ca x và y mà tach bit chúng mt cách x p x. Nói cách khác v i giá tri x ta mc phi sai s x , v i yta mc phi sai s y , nh vy khi tính z theo các giá tr y y x x , ta s mc phi

sai s, sai s ó chính là z . Do y x , khá bé nên ta có th thay z b i dz.

Thông th ng sai s x ca giá tr x, v tr tuyt i không v t quá mt s d ng x nào ó, s x này c gi là sai s tuyt i ca x: x x .

T ng t y y , v i y là sai s tuyt i cc i ca y.

Vy sai s tuyt i cc i ca z là:

Chú ý: Nhiu khi ng i ta dùng sai s t ng i cc i ca z, ó là t s:

Sai s t ng i cc i ca z b ng sai s tuyt i ca ln|z|.

2.5. O HÀM HÀM S H P

Cho hàm s z = f (x,y) có vi phân (kh vi i v i x và y). Gi s x và y không phi là bin s c l p mà là hàm ca mt bin t nào ó: x = x(t), y = (t) v i gi thit chúng làcác hàm kh vi i v i t.

Nh vy, v thc cht hàm z = f (x,y) là hàm ca bin s t, và ta mun tính o hàm

ca nó theo t.

Vì hàm f có vi phân nên ta c th vit: f = A x + Ba y + )(

T ó: . A, B c l p v i y x , nên cng c l p v i t

Các hàm x(t), y(t) kh vi nên liên tc, vì vy, khi 0t thì c 0, y x tc là

0 . Theo nh ngh a ca vi phân 0)(

khi 0 . Vì vy:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta có th m r ng k t qu trên cho tr ng h p hàm h p ca hai bin:

z = f(x y) v i x = x(u,v); y = y(u,v)

Khi ó nu hàm z là kh vi i v i x, y; các hàm x, y kh vi i v i u, v thì hàm h p z= f[x(u,v),y = y(u,v)] và cng kh vi i v i u,v và ta có:

§3. C C TR CA HÀM NHIU BIN

3.1. NH NGHA

Hàm n bi n ),...,( 2,1 n x x x f z có cc i t i 002

01 ,...,, n x x x trong mt mi n D n u

v i mi i m n x x x ,...,, 21 thuc mt lân cn nh ca i m (*)002

01 ,...,, n x x x ta có:

Hàm n bi n ),...,( 2,1 n x x x f z có cc ti u t i 002

01 ,...,, n x x x trong mt mi n D n u

v i mi i m n x x x ,...,, 21 thuc mt lân cn nh ca i m (*)002

01 ,...,, n x x x ta có:

Thí d : Hàm 22),( y x y x f z có cc tiu ti (0,0) vì vy v i mi x,y ta luôn có:

)0,0(0),( 22 f y x y x f

3.2. IU KIN CN CA C C TR N u hàm kh vi ),...,( 2,1 n x x x f z cc tr t i i m 00

201 ,...,, n x x x thì các o hàm

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




riêng ca hàm t i i m ó trit tiêu.

Ta chng minh cho tr ng h p hàm hai bin ),( y x f z . Gi s nó có cc tr ti im

00 , y x . Xét hàm mt bin ),( 0 y x f z , do gi thit nó có cc tr ti im 0 x x , theo

iu kin cn ca cc tr hàm mt bin ta có 0

x

z ti im 00 , y x . T ng t ta có

0

y

z ti im 00 , y x .

Trong thí d phn trên ta ã chng t hàm 22 y x z có cc tiu ti (0,0).

Ta có 02

x

x

z; 02

y

y

z tc là các o hàm riêng ti im cc tr 0,0 trit tiêu.

Cn chú ý r ng iu kin các o hàm riêng trit tiêu ch là iu kin cn ch không phi là .

Chng hn hàm 22 y x z có các o hàm riêng trit tiêu ti 0,0 , nhng ti ó nó

không có cc tr . Ta có 0)0,0( f . Nu ta ly các im y x, thuc lân cn im 0,0

mà x > y thì 0, y x f còn nu ly các im (x,y) mà x < y thì f(x,y) < 0 (hình 30)

Hàm không tha mãn nh ngh a ca cc tr ti im 0,0 . iu kin ca cc tr

hàm nhiu bin khá phc t p. Ta phát biu ây mà không chng minh.

iu kin ca c c tr hàm hai bin:

Gi s hàm ),( y x f z liên tc cùng v i các o hàm riêng c p mt và c p hai ca nó

trong mt min cha im 00 , y x . Ti 00 , y x các o hàm riêng c p mt trit tiêuKý hiu các o hàm riêng c p hai ti 00 , y x là:

N u 02 B AC hàm ),( y x f có cc tr t i i m 00 , y x . Cc tr ó là c c i

n u A < 0; là cc ti u n u A > 0.

N u 02 B AC hàm ),( y x f không có cc tri t i i m 00 , y x .

N u 02 B AC , ta không k t lun c. Nói cách khác, tiêu chu n này khôngcó hiu l c ta phi dùng các tiêu chu n khác ho c dùng nh ngh a c c tri ê kho

sát.

Thí d : Tìm các im cc tr ca hàm 2223 52 y x xy x z

Cho các o hàm riêng c p mt trit tiêu ta c h

022

0106 22

y xy

x y x

T ph ng trình hai ta d c x = -1 hoc y = 0. Thay vào ph ng trình u, ta tìm c

bn im )2,1(),2,1(),0,3

5(),0,0( 4321 M M M M WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Chú ý: trong nhiu tr ng h p c bit là trong các bài toán tìm giá tr l n nht hocgiá tri nh nht, nu ta bit r ng bài toán ang xét chc chn có cc tr mà ta chi tìm c tht im ti ó có các o hàm riêng c p mt trit tiêu thì s dng iu kin cnca cc tr ta có th k t lun im ta tìm c là im cc tr tránh phi dùng iu kin ca cc tri vì nó khá phc t p.

BÀI TP

8.1. Tìm min xác nh ca các hàm sau:

8.2. Tìm các ng ng mc ca các hàm

8.3. Cho hàm s

8.4 . Chng t r ng hàm )ln( 22 y x y z tha mãn ph ng trình

8.6. Tìm vi phân toàn phn ca các hàm s sau:

8.7. Chng t r ng nu biu thc P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phn ca mtWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hàm u(x,y) nào ó thì ta có

8.8. Tính gn úng :

8.9.

8.10. Cho hàm

8.12. o hàm theo h ng. Ng i ta nh ngh a o hàm ca hàm ),( y x f z ti im

M(x,y) theo h ng véc t 1MM l v i 111 , y xM là gi i hn (nu có) ca t

s:1

21 )()(

MM

M f M f khi 01 MM ký hiu o hàm theo h ng 1 là

l

z

. Nh vy,

Chng minh r ng nu hàm z kh vi thì o hàm ca nó theo h ng l(cosx,sinx) s là:

t ó hãy tìm h ng mà theo ó o hàm theo h ng có giá tr l n nht và tìm giá tr

l n nht ó.8.13. Tìm các cc tri ca các hàm

8.14. Chng minh r ng trong s các hình.ch nht có tng ba kích th c không i thìhình l p ph ng có th tích l n nht.

8.15. C c tr có iu kin. Cc tr ca hàm ),( y x f z v i iu kin gia x và y tha

mãn h thc 0),( y x c gi là cc tr có iu kin. Cách tìm cc tr có iu kin:

Xét hàm ),( y x f z v i 0),( y x . Có th coi y là hàm ca x:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vy tìm cc tr ca hàm s ),( y x f z v i iu kin 0),( y x ta tìm cc tr hàm

ph ( c gi là hàm Lagrange):

),(),(),( y x y x f y x F v i là mt hng s.

Áp dng: Tìm cc tr ca hàm z = xy v i iu kin 2x + 3y - 5 = 0.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CH NG 9

PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM

§l. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BT NH

1.1 NGUYÊN HÀM CA HÀM STrong ch ng 7, ta ã xét bài toán o hàm: Cho hàm s )( x F , tìm hàm )( x f là

o hàm ca hàm )( x F :

Trong ch ng này ta xét bài toán ng c li: Cho hàm )( x f , hãy tìm mt hàm

)( x F sao cho nó có o hàm úng bng )( x f ã cho:

nh ngh a: Hàm )( x F c gi là nguyên hàm ca hàm )( x f nu ti mi x

thuc min xác nh ca hàm ta có:

Ví d : Nguyên hâm ca cos x là sin x, nguyên hàm ca n x làTa ã bit r ng, nu mt hàm s có o hàm thì o hàm ca nó là duy nht.

Nhng nu mt hàm s ã có mt nguyên hàm thì nó có vô s nguyên hàm. Tht vy,nu )( x F là mt nguyên hàm ca )( x f thì C x F )( v i C là mt hng s tu ý cng là

mt nguyên hàm ca )( x f .

nh lý: Hai nguyên hàm ca cùng mt hàm s ch sai khác nhau mt h ng s .

Gi s )(1 x F và )(2 x F cùng là nguyên hàm ca hàm )( x f

Hàm )( x có o hàm bng không ti mi im thuc min xác nh ca nó nên

có giá tr không i:

Nh vy tìm mi nguyên hàm ca hàm )( x f ta ch vic tìm mt nguyên hàm

)( x F ca nó r i thêm hng s C tu ý. Mun tìm mt nguyên hàm tho mãn iu kin

nào ó ta tìm t p h p mi nguyên hàm r i xác nh hng s C nh iu kin ã cho .WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d : Tìm nguyên hàm ca hàm xcos bit nguyên hàm ó bng 0 ti2

x

T p h p các nguyên hàm ca cos là C x sin

Vy nguyên hàm cn tìm là )1(sin x

1.2 TÍCH PHÂN BT NH tìm nguyên hàm ca hàm s c thun l i, ta a vào khái nim tích phn

b t nh.

inh ngh a: T p h p mi nguyên hàm ca hàm )( x f c gi là tích phân bt

nh ca hàm )( x f và c ký hiu là: dx x f )( .

Du

là du tích phân, hàm )( x f là hàm s d i du tích phân, dx là vi phân ca x, x ch bin s ly du tích phân, f(x)dx là biu thc d i du tích phân.

Nh vy, nu )( x F là mt nguyên hàm ca )( x f thì: C là

mt hng s tu ý. Ta suy ra các tính cht ca tích phân bt nh:

1) o hàm ca tích phân b t nh b ng hàm s d i d u tích phân:

Vi phân ca tích phân b t nh b ng bi u thc d i d u tích phân.

3) Tích phân b t nh ca mt t ng các hàm s b ng t ng ca các tích phân ca

t ng hàm s :

4) Có th a h ng s không i ra ngoài d u tích phân.

Nu k là mt h s không i thì dx x f k dx xkf )()( .

Có th kim chng các tính cht 3, 4 bng cách chng t o hàm ca v phi vàv trái bng nhau.

1.3 BNG CÁC TÍCH PHÂN BT NH CA MT S HÀM SDa vào bng o hàm và nh ngh a tích phân bt nh ta có :

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




kim chng các công thc trên ta ch vic ly o hàm v phi ta s c hàmd i du tích phân. Chng hn v i công thc (12):

vic tìm tích phân bt nh c nhanh chóng ta cn hc thuc lòng bng tích phân trên.

§2. HAI PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN2.1 PHÉP I BIN

Gi s F là mt nguyên hàm ca hàm ca hàm f và gi s )(t x là mt hàm

kh vi nào ó. Ta xét hàm h p: ))(()( t F x F

o hàm ca nó:

Theo nh ngh a tích phân bt nh:

T ó ta c công thc i bin s trong tích phân bt inh:

(l)

v i )(t x là hàm kh vi.

i bin s trong tích phân ta thay )(t x hàm d i du tích phân, v i

)(t ) là mt hàm kh vi, dt t dx )(' sao cho tích phân nhn c, v i bin s tích

phân là t , thuc loi tích phân trong bng nêu trên.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chú ý: Thay i vai trò ca t và x trong công thc (l ) ta c:

Nu ta bin i tích phân ã cho v trái v tích phân v phi thì khi ó ta

dùng phép i bin )( xt .

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




2.2 PHÉP PHÂN ON

Gi s u v v là hai hàm kh vi.

(2)Ta hng s C nm trong tích phân, nó s xut hin khi ta tính vdu

Công thc (2) c gi là công thc tính rích phân b ng phân on hay l y tích phân t ng phn.

Ti p tc phân on cho tích phân sau cùng:

t:

Phân on cho tích phân sau:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chú ý: Các tích phân có dng sau c tính bng ph ng pháp phân on, P(x)là hàm a thc.

§3. PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM MT S HÀM S

3.1 NGUYÊN HÀM CA HÀM H U T

Hàm hu t là hàm có dng)(

)(

xQ

x P trong ó )(),( xQ x P là các hàm a thc.

Nu bc ca )( x P bc ca )( xQ thì bng cách chia a thc ta c:

trong ó A(x) là a thc nguyên, còn Pl(x) là a thc có bc bé h n bc ca Q(x).

Tính nguyên hàm ca A(x) không có gì khó khn, ch vic dùng công thc:

tìm nguyên hàm ca phân th c thc s )(

)(1

xQ

x P ta phân tích nó thành các phân

th c t i gin mà ta s trình bày mt s tr ng h p n gin.1) Nu Q(x) ch có các nghim thc và n:

thì phân thc)(

)(1

xQ

x P c phân tích thành

ta tính các h s n A A A ,...,, 21 bng cách quy

ng mu s v phi r i ng nht các h s ca a thc hai v.

2) Nu Q(x) có cha mt nghim thc b, bi k , trong phân tích ca Q(x) có thas (x - b)k WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




ng v i tha s ó, trong phân tích ca)(

)(1

xQ

x P s cha k phân thc dng:

3) Nu khi phân tích Q(x) thành tha s, nó cha tha s dng x2

+ p.x + q v i p2 - 4q < 0 (tam thc không có nghim thc) thì tha s ó ng v i phân

thc:q px x

B Ax

2

trong phân tích ca)(

)(1

xQ

x P

Vic tính các h s A, B hoc B1… Bn cng c làm nh phn (1)

Trong các tr ng h p nêu trên, vic tính nguyên hàm ca phân thc thc s dnt i vic tìm nguyên hàm ca các phân thc ti gin có dng:

Ta xét mt s ví d sau:

Q(x) có 3 nghim thc và n nên ta phân tích:

ng nht các h s t ng ng hai v, ta có:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d 2:

Mu s Q(x) có mt nghim thc, n x = -3 và nghim thc x = 1 bi 3 nên ta

phân tích:

Kh mu s chung:

Ta có:

Mu s Q(x) có cha tha s x2 + 1 không có nghim thc nên:

Ta không xét ây tr ng h p mu s Q(x) có cha các tha s (x2 + px + q)k .

Ng i ta chng minh c r ng ngay c trong tr ng h p vn tìm cnguyên hàm ca hàm hu t d i dng các hàm s s c p. Nh vy: Các hàm s h ut u có nguyên hàm d i d ng hàm s c p.

Khi phi tìm nguyên hàm ca mt hàm )( x f , nu ta tìm c phép ôi bin thích

h p a dx x f )(

v dng dt t R )(

R(t)dt v i R(t) là mt hàm hu t i v i t thì ta coinh tìm c nguyên hàm d i dng hàm s c p.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d 4:

Hàm d i du tích phân không phi là hàm hu t. Tuy nhiên nu dùng phép i

bin

3.2 NGUYÊN HÀM MT S HÀM VÔ T N GIN Nói chung các hàm vô t không có nguyên hàm biu din d i dng hàm s c p

ây ta ch xét mt s tr ng h p n gin mà ta có th a v hàm hu t c,hoc a v nhng tích phân có trong bng ã l p.

1) Tích phân có d ng n dxbax x R ),( , trong ó R(u,v), ch mt biu thc hu t

i v i u và v.

2) Tích phân có ch a cbxax 2 : bin i biu thc d i du cn v dng

2t

Ví d l:

Ví d 2:

Ví d 3:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




T ó ta có:

3.3 NGUYÊN HÀM CÁC HÀM L NG GIÁCTa ch xét mt s tr ng h p n gin:

1) Dng dx x x R )cos,(sin v i R là bi u thc h u t i v i sin x và cosx

a v hu t bng cách t t - to - .

Ví d :

2) Dng xdx x nm cossin v i m, n là các s nguyên d ng.

a) ít nh t mt trong hai s m, n l :

Ví d :

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




b) C hai s m, n u ch n. Ta dùng công thc h bc:

Ví d :

Ta dùng công thc l ng giác bin i tích thành tng.

Ví d :

Ta ã xét mt s ph ng pháp tìm nguyên hàm ca mt hàm s. Ta tha nhn

r ng mi hàm liên t c trên mt khong (a,b) u có nguyên hàm trong khong ó. Tuynhiên không phi bt c hàm liên tc nào cng có nguyên hàm biu din c d i

dng hàm s c p. Chng hn các hàm xk e x

x

x

x x 22 sin1;;cos

;sin 2

,v,v…không có

nguyên hàm biu din bng hàm s c p tìm nguyên hàm ca chúng ta phi dùngcác ph ng pháp khác.

BÀI TP9.1 Dùng các tính cht và bng nguyên hàm tìm nguyên hàm ca các hàm s sau:

9.2 Dùng các phép th (i bin) n gin tính các tích phân bt nh sau:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




9.3 Tính bng phép th:

9.4 Tính bng phép phân on:

9.5 Cho xdx I nn cos . L p công thc liên h gia In và In-2

9.6 Tìm nguyên hàm các hàm hu t:

9.7 Chng minh r ng có th tính theo công thc:

. Áp dng tính I 3

9.9 Tìm nguyên hàm các hàm vô t.

9.10 Tìm nguyên hàm ca các hàm l ng giác:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM






CH NG 10

TÍCH PHÂN XÁC NH

§1. DIN TÍCH HÌNH PHNG, NH NGHA TÍCH PHÂN

1.1 BÀI TOÁN DIN TÍCH HÌNH THANG CONGVic tính din tích mt hình phng da trên nguyên tc sau:

a) Din tích có tính không âm: A là mt hình ph ng thì din tích ca 0 A

b) Din tích có tính cng c: n u A, B là hai hình không có phn chung B A thì: Din tích B A = Din tích (A) + Din tích (B)

c) Hình vuông có cnh b ng 1 thì c dzn tích b ng 1.

Nh vy tính din tích mt hình phng bt k , ta có th chia hình ó thành nhiu

hình vuông và các hình c bit là các tam giác cong hoc hình thang cong. Vì tamgiác cong ch là mt tr ng h p c bit ca hình thang cong, nên ta t vn tìmdin tích hình thang cong.

Hình thang cong:

Trong h ta vuông góc xây , ta xét mt hình gi ihn b i ng cong liên tc )( x f y , tr c Ox, các ng

thng x = a, x = b ( ta gi thit 0)( x f trên [a,b]).

Tr ng h p c bit, ng cong )( x f y có th

ct tr c Ox ti x = a hoc x = b.

Mt hình nh vy c gi là mt hình thang cong.

Di n tích hình thang cong:

tính din tích hình thang cong ta làm nh sauchia hình thang cong ó thành n di con (hình 32), coi mi di con có din tích x p xdin tích mt hình ch nht. Nh vy tng din tích ca n di hình ch nht ó s chota mt giá tr gn úng ca din tích hình thang cong.

C th, ta làm nh sau: chia on [a,b] thành n on con bng nhau, mi on có dài

n

ab x

, ta có các im chia:

Trong mi on con th i (i = 1,2,…,n) ta chn mt im tùy ý i . Tích x f i )(

cho ta in tích hình ch nht có các cnh là )( i f và x, và ta coi nó x p x v i din

tích di con th i. Nh vy tng:

ca n din tích hình ch nht s cho ta giá tri gn úng ca din tích hình thang cong.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta thy r ng nu n khá l n, tc là x khá bé thì k t qu càng chính xác. Vì vy:

N u t ng trên có gi i hn khi 0 x thì gi i hn ó c g i là din tích S cahình thang cong ã cho.

Ta tha nhn r ng, nu hàm f liên tc trên [a,b] thì gi i hn trên tn ti, tc làhình thang cong ã xét có din tích.

Ví d : Tính in tích ca hình gi i hn b i ng parabol y = x2, tr c O x, các ng1,0 x x .

Chia on [0,l] ra làm n on con bng nhau b i các im chia:

Chn im chia i là im mút phi ca mi on nini

i ,1, .

Vy din tích hình phi tìm là 1/3 n vi din tích.

1.2. NH NGHA TÍCH PHÂN XÁC NHGi s )( x f y là mt hàm xác nh trên [a,b] . Ta chia on [a,b] ra làm n on

con b i các im chia: b x xa x n ...10 .

t 1 iii x x x . Ly trong mi on con [xi-1,xi] mt im i tùy ý và l p

tng:

Tng (1.2) c gi là t ng tích phân ca hàm )( x f ty trên on [a,b].

nh ngh a: n u dài l n nh t trong các i x ; d n t i 0 mà t ng tích phân (1.2) có

gi i hn không ph thuc vào cách chia on [a,b] thành n on con cng nh cáchchn i m i trong m i on con thì gi i hn ó c g i là tích phân xác nh ca

hàm )( x f l y trên on [a,b].WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tích phân xác nh c ký hiu là: b

a

dx x f )(

v i là du tích phân, a là cn d i ca tích phân, b là cn trên, )( x f là hàm s d i

du tích phân, dx x f )( là biu thc d i du tích phân (ó là biu thc vi phân), x là

bin s ly tích phân. Nh vày theo nh ngh a:

Theo bài toán tính din tích hình thang cong trên thì:

N u 0)( x f trên [a,b] thì b

a

dx x f )( cho ta din tích hình thang cong gi i hn

b i các ng y = )( x f , y = 0, x = a, x = b. ó là ý ngh a hình hc ca tích phân xácnh.

Hàm )( x f mà v i nó gi i hn (l.3) tn ti c gi là kh tích trên on [a,b].

Ta tha nhn nh lý sau:

inh lý: n u hàm )( x f liên t c trên [a,b] thì nó kh tích trên ó.

Tng quát h n, nu hàm )( x f có trong [a,b] mt s hu hn im gián on loi

mt (ta còn gi ham f liên tc tng khúc) thì nó kh tích trên [a,b].

Chú ý 1: khi nh ngh a tích phân xác inh trên [a,b] ta ã gi thit a < b.

Chú ý 2: trong tích phân b

a

dx x f )( thì x là bin s tích phân. Tuy nhiên ta có th dùng

mt ch bt k nào khác kí hiu bin s tích phân mà không nh h ng t i giá tr ca tích phân. Nh vy ta có th vit:

1.3. CÁC TÍNH CHT CA TÍCH PHÂN XÁC NHDa trên nh ngh a ca tích phân xác nh và các phép tính v gi i hn, ta có th

chng minh c:

N u các hàm )(),( x g x f kh tích trên [a,b] thì các hàm )(.),()( x f k x g x f v i klà h ng s cng kh tích trên [a,b] và:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




N u hàm f kh tích trên các on [a,c], [c,b] thì nó cng kh tích trên [a,b] và:

T tính cht 3 và 1 ta suy ra:

N u m và M là giá tr nh nh t và l n nh t ca hàm f(x) trên [a,b] thì:

Tht vy, ta có M x f m )( nên t tính cht 4 và 1 suy ra:

theo nh ngh a tích phân xác nh thì: (tng các on conchính là dài on [a,b])

V m t hình hc:

Tính cht 3 nói lên r ng din tích là mt s không âm.

Tính cht 4 nói lên r ng: nu g f thì din tích hình thang cong gi i hn b i f s

không bé h n din tích hình thang cong gi i hn b i g .

Tính cht 5 nói r ng: din tích hình thang cong k p gia din tích hình ch nhtni ti p và hình ch nht ngoi ti p (hình 33a).

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




nh lý v giá tr trung bình:

N u hàm f liên t c trên [a,b] thì có ít nh t mt i m c [a,b] sao cho:

Ch ng minh: hàm f có giá tr nh nht m và M trên [a,b]. Theo tính cht 5:

. Hàm f liên tc trên [a,b] nên nó nhn mi giá

tr gia m và M. Nh vy tn ti c

(a,b)

)(c f . T ó suy ra công thc phichng minh.

Giá tr

b

a

dx x f ab

c f )(1

)( c g i là giá tr trung bình ca hàm f trên on

[a,b].

Ý ngh a hình hc: din tích hình thang cong b ng din tích hình ch nht cócùng áy [a,b] v i hình thang và ng cao b ng giá tr trung bình ca hàm trên on[a,b], t c là )(c f (hình 33b).

§2. TÍCH PHÂN XÁC NH VÀ NGUYÊN HÀMTrong ch ng 9 ta ã a ra khái nim tích phân b t nh ca mt hàm f là mt

t p h p mi nguyên hàm ca hàm s f ó. Trong ch ng này ta có khái nim tích phân xác nh ca mt hàm f là gi i hn ca t ng tích phân ca hàm f trên on[a,b], c hai khái nim u có chung mt phn tên gi là tích phân và có chung ký hiu

. Trong mc này ta s a ra mi liên h gia hai khái nim ó.

2.1. O HÀM CA TÍCH PHÂN XÁC NH THEO CN TRÊN

Xét tích phân x

a

dt t f )( có cn trên là x: Nu x bin thiên trong mt min [a,b] thì

giá tr ca tích phân trên s ph thuc vào x. Nh vy ta có mt hàm:

x

a

dt t f x x )()( xác nh trên [a,b].

nh lý: n u hàm f liên t c trên on [a,b] thì

Nói cách khác, n u hàm d i d u tích phân liên t c trên on l y tích phân thìo hàm ca tích phn xác inh theo cn trên b ng hàm s d i d u tích phân, trong

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




ó bi n s tích phân c thay b ng cn trên.

Ch ng minh: ta l p s gia ca hàm

ây ta ã ùng tính cht 2 phân tích tích phân x x

a

dt t f )( thành hai tích phân.

Bây gi ta áp dng nh lý v giá tr trung bình cho tích phân cui cùng: do hàm f liên tc nên tn ti ),( x x xc tc là x < c < x + x sao cho:

nh lý ã c chng minh.

2.2. CÔNG TH C NEWTON-LEIBNIZ inh lý: n u f(x) là mt hàm liên t c trên [a,b] và F(x) là mt nguyên hàm ca nó thì

giá tr ca tích phân xác nh ca hàm f b ng hiu các nguyên hàm F ca f l y t i cáccn ca tích phân.

Ch ng minh: Theo nh lý mc 2.1 thì hàm x

a

dt t f x )()( cng là mt nguyên hàm

ca hàm f(x) nên theo tính cht ca nguyên hàm thì hai hàm )( x và F(x) ca f(x) ch

sai khác mt hng s C : )( x - F(x) = C

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vit v i bin s x thì b

a

a f b F dx x f )()()( nh lý c chng minh.

Công thc (2.l) c gi là công th c Newton-Leibniz .

Công thc ó có mt vai trò quan tr ng trong toán hc: nó cho phép ta tính c

tích phân xác nh nh nguyên hàm mà không cn phi ly gi i hn ca tng tích phân.

ê tính tích phân xác ình ca hàm f trên [a,b] ta ch vic tìm mt nguyên hàm Fca nó r i l p hiu ca F t i b và t i a:

Ví d 1: ta tr li bài toán tính din tích hình phng gi i hn b i ng cong y = x2,tr c O x, các ng x = 0, x = 1 ã nêu mc 1.1. Ta có:

Ví d 2: tìm giá tr trung bình ca hàm x x f sin)( trên on [0, ] .

Theo nh lý v giá tr trung bình (tính cht 6,1.3) thì:

§3. HAI PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC NHTheo công thc Newton-Leibniz, vic tính tích phân xác inh a n vic tìm

nguyên hàm. Vì vy ta có th s dng các ph ng pháp ã bit ch ng 9 tìmnguyên hàm, c th là các ph ng pháp bin i bin s và phân on. ây ta strình bày cách áp dng các ph ng pháp ó vào tích phân xác nh.

3.1. PHÉP BIN I TRONG TÍCH PHÂN XÁC NH N u f(x) là mt hàm liên t c trên [a,b], x = )(t là mt hàm xác nh và có o

hàm liên t c trên [ , ] v i ba )(,)( thì:

Tht vy, nu F là nguyên hàm ca f thì:

Theo công thc i bin trong tích phân bt nh ta có:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




T ó suy ra công thc (3.1).

Nh vy, khi thc hin phép i bin trong tích phân xác inh, ng th i v i vic bin i biu thc d i du tích phân ta bin i các cn ly tích phân theo bin sm i, sau khi áp dng công thc Newton-Leibniz ta c ngay giá tr ca tích phân màkhông phi tr v bin c na.

Ví d 1: tính a

dx xa0

22

Phép i bin x = asin x tha mãn các iu kin ca quy tc i bin ã nêu trên

on [2

,0

] . Ta có: a2 - x2 = a2(l - sin2t) = a2cos2t, dx = acostdt . Nu

Cng nh trong tích phân bt nh, công thc (3.l) cng c áp dng theo chiung c li, ngh a là ta có th dùng phép th )( xt .

Tích phân hàm ch n hay l trên mt khong i x ng qua O:

Gi s phi tính:

a

a

dx x f )(

Trong ó hàm f(x) là hàm chn hoc l trên [-a, a]

Ta i bin x = -t trong tích phân gia:

(ký hiu li bin s tích phân tích phân th tra bng x)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d :

0sin xdx vì hàm sin x là hàm l.

Tích phân hàm tun hoàn

Hàm f xác inh trên R là hàm tun hoàn v i chu k T nu f(x+ kt) = f (x) v i mi x R và k nguyên.

Tích phân ca hàm tun hoàn l y trên on có dài b ng chu k thì không phthuc vào g c ca on l y tzch phân.

3.2. PHÉP PHÂN ON TRONG TÍCH PHÂN XÁC NH Nu u và v là các hàm có o hàm liên tc trên [a,b] thì:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




T ó ta c công thc (3.2).

Ví d 2: l p công thc tính N n xdx I nn ;sin

2

0

Thành phn u v phi bng 0 khi thay x b i 2 và 0, thay cos2 x = 1 - sin2 x

trong tích phân v phi ta c:

Ta c công thc truy chng cho phép tính In nu bit In-2.

tính I n v i mi n ta cn tính I0 và I1 r i áp dng công thc trên.

Nh vy ta s tính c In v i mi n nguyên d ng, chng hn:

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



TÀI LIU THAM KHO

[1] Nguyn ình Trí và các tác gi khác, Toán cao c p, T p 1, 2, 3, NXB Giáo dc.

[2] Tr n Tr ng Hu, i s tuy n tính và hình gii tích, NXB i hc Quc gia Hà

Ni, 2001.[3] Tr n c Long và các tác gi khác, Giáo trình gii tích, T p I, II, III. NXB ihc Quc gia Hà Ni, 2002.

[4] Nguyn Tha H p, Gii tích, T p I, II, III, NXB i hc Quc gia Hà Ni, 2002.

[5] Tng ình Qu, Nguyn Cnh L ng, Giúp ôn t p t t Toán cao c p - i s tuy ntính, NXB Giáo dc.

[6] Nguyn Xuân Liêm, Gii tích, T p I, II. NXB Giáo dc.

[7] Nguyn ình Trí, Bài t p toán cao c p, T p 1, 2, 3, NXB. Giáo dc, 1999.

[8] Lê Vn Tin. Giáo trình toán cao c p. NXB Nông Nghi p, Hà ni, 1998.

NHON UCO

Z COM

Documents

Giáo trình Toán học cao cấp 1 Tác giả: Lê Xuân Quảng, Trương Hà Hải, Đàm Thanh Phương, .., Khoa CNTT - Đại học Thái Nguyên, 2006