Giáo viên: Nguy n Tiến Đạt - hoc24h.vn · Tìm hệ số của 8 x trong khai triển 8 1 x x 23? A. 190. B. 230. C.238. D. Đáp án khác Câu 30. Trong khai triển của

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

1

NHỊ THỨC NEWTON Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1). Công thức nhị thức Niu-ton

n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n(a b) C a C a b ... C a b ... C b

n

k n k kn

k 0

C a b

(quy ước 0 0a b 1) (*).

2). Nhận xét:

Công thức nhị thức Niu tơn (*) có :

* (n + 1) số hạng.

* Số hạng thứ k + 1 là k n k kk 1 nT C a b

.

* Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất k n kn nC C .

* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n.

2). Tam giác Pa-xcan

Trên đây ta thấy muốn khai triển n(a b) thành đa thức, ta cần biết n 1 số

0 1 2 n 1 nn n n n nC ,C ,C ,...,C ,C có mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được bằng

cách sử dụng bảng số sau đây :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……………………………………………………


2

Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta gọi là tam giác

Pa-xcan.

Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau :

Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.

Nếu biết hàng thứ n (n 1) thì hàng thứ n 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên

tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu

và cuối hàng.

Chú ý:

m n m nx .x x , m

m n

n

xx ,

x

m m mx .y (xy) ,

mm

m

x x,

yy

n m

m n m.nx x x , 11x ,

x m

m

1x

x

, 1

2x x , n

m n mx x (với điều kiện x, y đều có nghĩa

trong tất cả các công thức trên).

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

DẠNG 1: TÌM HỆ SỐ CỦA SỐ HẠNG CHỨA kx TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN

PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát: n

n k n k k

nk 0

a b C a b

Số hạng thứ (k 1) : k n k k

k 1 nT C a b , 0 k n,n

DẠNG 2: TÍNH TỔNG HOẶC CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào các công thức khai triển nhị thức Niutơn sau:

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n

n n n n na b C a C a b C a b C ab C b

n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n

n n n n n1 x C C x C x C x C x

n 0 n 1 n 1 2 n 2 n 1 n

n n n n nx 1 C x C x C x C x C .

Sau đó chọn a, b, x các giá trị thích hợp.


3

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Biểu thức nào là khai triển của biểu thức sau: 5

x 2y ?

A. 5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .

B. 5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 90x y 80xy 12y 4 .

C. 5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 90x y 80xy 12y .

D. Đáp án khác

Câu 2. Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển 13

x 2y ?

A. 6 62x y . B. 8 64100x y

C. 6 641184x y . D. 8 541184x y .

Câu 3. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển 12

22x

x

?

A. 6 1212C 2 . B. 2 14

12C 2 . C. 7 1112C 2 . D. 5 12

12C 2

Câu 4. Tính giá trị biểu thức ?

A. 0 B. 2n

C. 2 1n D. Đáp án khác

Câu 5. Tìm hệ số của số hạng thứ 9 trong khai triển 14

22x y ?

A. 149149. B. 300210. C. 192192 D. Đáp án khác.

Câu 6. Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển

13x y ?

A. 813C B. 7

13C . C. 1013C . D. Đáp án khác.

Câu 7. Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức14

2 2x

x

A. 123002. B. 65420. C. 192192. D. 27200

Câu 8. Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển nhị thức 9

2 1x ; x 0

3x

.

A. 19

29. B.

12

27. C.

14

27. D.

13

29

0 1 2 n1 n n n nS C C C C


4


312x ; x 0

x

?

A. 5678 B. 3800 C. -5376 D. Đáp án khác

Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa 18x trong khai triển nhị thức

113

2

x 2; x 0

3 x

?

A. 440

2187 B.

442

2187. C.

442

2187. D. Đáp án khác.

Câu 11. Tìm số nguyên dương n sao cho: = 243.

A. 4. B. 5 C. 6 D. Đáp án khác


2 1x

x

A. 815C . B. 1

15C . C. 1015C . D. Đáp án khác

Câu 13. Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 +… + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 +

a1x + a2x2 +… + a14x14. Hãy tính hệ số a9?

A. 3200. B. 1209. C. 3003. D. Đáp án khác

Câu 14. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: ?

A. 90. B. 35. C. 140. D. 55

Câu 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n

2

3

2x

x

, biết rằng n là số tự nhiên

thỏa phương trình: 2 1n n2C 5C 40 0 .

A. 1200. B. 3320. C. Đáp án khác. D. 3360

Câu 16. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển 6

3 15 .

A. 1020. B. 7500. C. 15552. D. 4700

Câu 17. Tìm a để trong khai triển 6

1 ax 1 3x hệ số của hạng chứa 3x bằng 405?

A. 12. B. 7. C. 10. D. Đáp án khác

Câu 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển . Biết rằng số nguyên dương n thỏa

mãn ?

0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C

11 72

2

1 1A x x

xx

n

3 2x

x

6 7 8 9 8n n n n n 2C 3C 3C C 2C


5

A. 240240. B. 481202. C. 320320. D. Đáp án khác


A. 3n B. 3 1n C.

13n D. 0

Câu 20. Tính giá trị của biểu thức: M = biết = 149?

A. 3

8. B.

3

4. C.

11

12. D. Đáp án khác

Câu 21. Tìm hệ số của x5 trong khai triển , biết rằng ?

A. 10124. B. 22130. C. 11220. D. 21360

Câu 22. Tìm hệ số của x8 trong khai triển .

A. 8062080. B. 1330240. C. 1740020. D. Đáp án khác

Câu 23. Trong khai triển , hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng thứ hai là 35. Tính số

hạng không chứa x?

A. 252. B. 720. C. 124. D. Đáp án khác

Câu 24. Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức thành đa thức , biết rằng :

.

A. 37000. B. 56750. C. 20790. D. Đáp án khác

Câu 25. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biểu thức . Biết số

nguyên dương n thỏa mãn: ?

A. 7920. B. 1400. C. 6590. D. 8120

Câu 26. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng:

(n nguyên dương, x > 0).

A. 424. B. 280. C. 495. D. 322.

0 1 2 2 n n2 n n n nS C 2C 2 C 2 C

4 3n 1 nA 3A

(n 1)!

2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C

n 2n2P(x) x 1 2x x 1 3x 2 n 1

n n 1A C 5

182 1

x x 1 2x4

n1

xx

2n

2 3x

1 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C C 1024

n

5

3

2P x x x 0

x

1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095

n5

3

1x

x

n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3)


6

Câu 27. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu tơn của , biết rằng

.

A. 612. B. 230 C. 210. D. Đáp án khác

Câu 28. Xét khai triển . Tìm max ?

A. 922. B. 252. C. 525 D. Đáp án khác

Câu 29. Tìm hệ số của 8x trong khai triển 8

2 31 x x ?

A. 190. B. 230. C.238. D. Đáp án khác

Câu 30. Trong khai triển của nhị thức n

2 2x

x

cho biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai

triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa 4x .

A.1120. B. 600. C. 1220. D. 780.

D. ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A D A B C A C C C A B C C A D C B C A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

D A A D A C C C C A

E. ĐÁP ÁN CHI TIẾT

NHỊ THỨC NEWTƠN

Câu 1. Biểu thức nào là khai triển của biểu thức sau: 5

x 2y ?

A. 5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .

B. 5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 90x y 80xy 12y 4 .

n7

4

1x

x

1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1

9 2 90 1 2 9(3x 2) a a x a x ... a x 0 1 2 9{a ,a ,a ,...,a }


7

C. 5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 90x y 80xy 12y .

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5

5 5 5 5 5 5x 2y C x C x .(2y) C x .(2y) C x .(2y) C x.(2y) C (2y)

5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .

Câu 2. Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển 13

x 2y ?

A. 6 62x y . B. 8 64100x y C. 6 641184x y . D. 8 541184x y .


Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển 13

x 2y

Ta có số hạng tổng quát kk n k k k 13 k

k 1 n 13T C a b C x 2y . Để có số hạng thứ 6 thì k 1 6 k 5 .

Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là 55 8 8 5

13C x 2y 41184x y .


22x

x

?

A. 6 1212C 2 . B. 2 14

12C 2 .

C. 7 1112C 2 . D. 5 12

12C 2


Ta có 12 k

12 1212 k kk k 12 k 12 k k

12 12k 0 k 0

2 22x C 2x C 2 x 2 x

x x

12kk 12 k 12 2k

12k 0

C 2 2 x

. Để có số

hạng không chứa x thì 12 2k 0 k 6 . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là 6 6 6 6 1212 12C 2 ( 2) C 2 .


A. 0

B. 2n

C. 2 1n

0 1 2 n1 n n n nS C C C C


8

D. Đáp án khác.


Ta có

Chọn x = 1 thay vào (*) ta được:

Kết luận: .

Câu 5. Tìm hệ số của số hạng thứ 9 trong khai triển 14

22x y ?

A. 149149. B. 300210.

C. 192192 D. Đáp án khác.


Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển 14

22x y

Ta có số hạng tổng quát k

k n k k k 14 k 2k 1 n 14T C a b C (2x) y . Để có số hạng thứ 9 thì k 1 9 k 8 .

Vậy số hạng thứ 9 trong khai triển là 8

8 6 2 6 1614C (2x) y 192192x y .

Câu 6. Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển

13x y ?

A. 813C B. 7

13C .

C. 1013C . D. Đáp án khác.


Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển

13x y .

Ta có 13

13 k 13 k k

13

k 0

x y C x y

. Để có hệ số của 5 8x y thì

13 k 5

k 8

k 8 (đúng). Kết luận hệ số

của 5 8x y là 8

13C .

n 0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n1 x C C x C x C x C x *

n 0 1 2 n

n n n n1 1 C C C C

0 1 2 n nn n n nC C C C 2


9

Câu 7. Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức14

2 2x

x

A. 123002. B. 65420.

C. 192192. D. 27200.


Ta có 14 k14 1414 k k2 k 2 k 28 2k k

14 14k 0 k 0

2 2x C x C x 2 x

x x

14

kk 28 3k14

k 0

C 2 x

. Để có hệ số của 10x thì 28 3k 10 k 6 . Kết luận hệ số của 10x là

66

14C 2 192192 .


2 1x ; x 0

3x

.

A. 19

29. B.

12

27. C.

14

27. D.

13

29


Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển nhị thức 9

2 1x ; x 0

3x

Ta có 9 k9 9 99 k

2 k 2 k 18 2k k k 18 3k9 9 9k k

k 0 k 0 k 0

1 1 1 1x C x C x x C x

3x 3x 3 3

. Để có hệ số của 3x thì 18 3k 3 k 5 . Kết luận hệ số của 3x là 59 5

1 14C

273 .


312x ; x 0

x

?

A. 5678 B. 3800

C. -5376 D. Đáp án khác.


Ta có 9 9 k9 9k 9 k3 k 3 k k k 9 3k

9 9k 0 k 0

1 12x C 2x C 1 2 x x

x x


10

9

9 kk k 4k 99

k 0

C 1 2 x

. Để có hệ số của 15x thì 4k 9 15 k 6 . Kết luận hệ số của 15x là

36 6

9C 1 2 5376 .

Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa 18x trong khai triển nhị thức

113

2

x 2; x 0

3 x

?

A. 440

2187 B.

442

2187. C.

442



Ta có 11 11 k k11 113 3

kk k 33 3k 2k11 112 2 11 k

k 0 k 0

x 2 x 2 1C C x 2 x

3 3x x 3

11

kk 33 5k11 11 k

k 0

1C 2 x

3

.

Để có hệ số của 18x thì 33 5k 18 k 3 . Kết luận hệ số của 18x là 3 311 8

1 440C ( 2)

21873 .

Câu 11. Tìm số nguyên dương n sao cho: = 243.

A. 4. B. 5 C. 6 D. Đáp án khác.


Ta có: (1).

Thay x = 1 vào hai vế của (1) ta được:

Theo đề bài có .


2 1x

x

A. 815C . B. 1

15C .

C. 1015C . D. Đáp án khác.


Ta có 15 k

15 15 1515 k2 k 2 k 30 2k k k 30 3k

15 15 15k 0 k 0 k 0

1 1x C x C x .x C x

x x

. Để có số hạng không chứa x thì

30 3k 0 k 10 . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là 1015C .

0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C

n 0 1 2 2 n n

n n n n1 x C C x C x C x

n 0 1 2 n nn n n n3 C 2C 4C ... 2 C

n3 243 n 5


11

Câu 13. Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 +… + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 +

a1x + a2x2 +… + a14x14. Hãy tính hệ số a9?

A. 3200. B. 1209.

C. 3003. D. Đáp án khác.


a9 = 1 + = 1 +

= 1 + 10 + = 3003

Câu 14. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: ?

A. 90. B. 35. C. 140. D. 55.


Công thức khai triển của biểu thức là:

Để số hạng chứa x5 thì

Kết luận hệ số của x5 là .

Câu 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n

2

3

2x

x

, biết rằng n là số tự nhiên

thỏa phương trình: 2 1n n2C 5C 40 0 .

A. 1200. B. 3320. C. Đáp án khác. D. 3360


Ta có

2 1n n

n! n!2C 5C 40 0 2. 5. 40 0

2! n 2 ! n 1 !

n n 1 5n 40 0

2n 6n 40 0 n 10 (nhận).

9 9 9 9 910 11 12 13 14C C C C C 1 2 3 4 5

10 11 12 13 14C C C C C

11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10

2 6 24 120

11 72

2

1 1A x x

xx

k11 7 11 77 n kk 11 k n 2 k 11 3k n 14 3n

11 7 11 72 nk 0 n 0 k 0 n 0

1 1A C .x . C . x . 1 .C .x C .x

x x

11 3k 5 k 2

14 3n 5 n 3

2 311 7C C 90


12

Ta có n 10 k10 1010 k

2 2 k 2 k k 20 5k10 103 3 3

k 0 k 0

2 2 2x x C x C .2 .x

x x x

Để có số hạng không chứa x thì 20 5k 0 k 4 .

Vậy hệ số của số hạng không chứa x là 4 410C .2 3360 .

Câu 16. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển 6

3 15 .

A. 1020. B. 7500. C. 15552. D. 4700.


6 66 6 k k 6 k k

k k

6 6k 0 k 0

3 15 C 3 15 C 3 3 5

k6 6 66 k k k 6 kk k kk k k 3 2

6 6 6k 0 k 0 k 0

C 1 3 3 5 C 1 3 5 C 1 3 5

. Để có số hạng chứa số

nguyên thì k

2là số nguyên, có nghĩa

k 2

0 k 6; k

k 0,2,4,6 .

Vậy số hạng nguyên là 0 3 2 3 4 3 2 6 3 36 6 6 6C 3 C 3 5 C 3 5 C 3 5 15552 .

Câu 17. Tìm a để trong khai triển 6

1 ax 1 3x hệ số của hạng chứa 3x bằng 405?

A. 12. B. 7. C. 10. D. Đáp án khác.


Có 6 6

6 6 6 k mk m6 6

k 0 m 0

1 ax 1 3x 1 3x ax 1 3x C 3x ax. C 3x

6 6

k mk k m m 16 6

k 0 m 0

C 3 .x C .a. 3 .x

. Để có số hạng chứa 3x thì k 3 k 3

m 1 3 m 2

Vậy hệ số của số hạng chứa 3x là

3 23 2

3 6 6a C . 3 C .a. 3 540 135a 405 a 7 .

Câu 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển . Biết rằng số nguyên dương n thỏa

mãn ?

A. 240240. B. 481202.


n

3 2x

x

6 7 8 9 8n n n n n 2C 3C 3C C 2C


13


Khi đó

Để có số hạng không chứa x thì .

Hệ số của số hạng không chứa x phải tìm .


A. 3n B. 3 1n

C. 13n

D. 0


Ta có

Chọn x = 2 thay vào (*) ta được:

Kết luận .

Câu 20. Tính giá trị của biểu thức: M = biết = 149.?

A. 3

8. B.

3

4.

C. 11



Điều kiện: n ≥ 3.

6 7 8 9 8 6 7 7 8 8 9 8n n n n n 2 n n n n n n n 2C 3C 3C C 2C C C 2 C C C C 2C

7 8 9 8 7 8 8 9 8n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2C 2C C 2C C C C C 2C

8 9 8n 2 n 2 n 2C C 2C

9 8n 2 n 2C C n 15

n k 30 5k15 1515 k

3 k 3 k k 615 15

k 0 k 0

2 2x C x C 2 x

x x

30 5k0 k 5

6

6 615C .2 320320

0 1 2 2 n n2 n n n nS C 2C 2 C 2 C

n 0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n1 x C C x C x C x C x *

n 0 1 2 2 n n

n n n n1 2 C 2C 2 C 2 C

0 1 2 2 n n nn n n nC 2C 2 C 2 C 3

4 3n 1 nA 3A

(n 1)!

2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C


14

Ta có: = 149

. So với điều kiện nhận n = 5.

Vậy:

Câu 21. Tìm hệ số của x5 trong khai triển , biết rằng ?

A. 10124. B. 22130.

C. 11220. D. 21360


Điều kiện

Ta có

Với n = 5 ta có

.

Để có số hạng chứa x5 thì

Suy ra hệ số của số hạng chứa x5 : .

Câu 22. Tìm hệ số của x8 trong khai triển .

A. 8062080. B. 1330240. C. 1740020. D. Đáp án khác


2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C

(n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)!2 2 149

2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!

2

n 1 n 2 n 2 n 1 2 n 3 n 2 n 4 n 3149

2 2 2 2

n 4n 45 0

n 5

n 9

4 34 36 5n 1 n A 3AA 3A 3

M(n 1)! 6! 4

n 2n2P(x) x 1 2x x 1 3x 2 n 1

n n 1A C 5

n 2,n

2 n 1 2

n n 1

n 1 nA C 5 n n 1 5 n 3n 10 0 n 5

2

5 10

5 10 k m2 k 2 m5 10

k 0 m 0

P(x) x 1 2x x 1 3x x C 2x x C 3x

5 10

k k 1 m 2k m m5 10

k 0 m 0

C 2 x C 3 x

k 1 5 k 4

m 2 5 m 3

44 3 3

5 10C 2 C 3 21360

182 1

x x 1 2x4


15

Từ đó suy ra hệ số của x8 trong khai triển là .

Câu 23. Trong khai triển , hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng thứ hai là 35. Tính số

hạng không chứa x?

A. 252. B. 720.



Ta có

Từ giả thiết suy ra

Vậy : Số hạng không phụ thuộc khi

Vậy số hạng ấy là

Câu 24. Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức thành đa thức , biết rằng :

.

A. 37000. B. 56750. C. 20790. D. Đáp án khác.


Ta có .

Chọn .

Chọn .

Lấy ta được:

.

18 18 2 18 202 21 1 1 1

x x 1 2x 4x 4x 1 1 2x 2x 1 2x 1 2x 14 4 4 4

20 20

kk k k k20 20

k 0 k 0

1 1C 2x C 2 x

4 4

8 820

1C 2 8062080

4

n1

xx

n kn nk n k k n 2kn n

k 0 k 0

1 1x C .x C .x

x x

2 1 2n n

n 10C C 35 n 3n 70 0

n 7(loai).

n 10k 10 2k

k 1 10a C .x

x

10 2k 0 k 5. 510C 252.

2n

2 3x

1 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C C 1024

2n 1 0 1 2 2 2n 1 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x

2n 1 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1x 1 2 C C C C 1

0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1x 1 0 C C C C 2

1 2

2n 1 1 3 2n 1 1 3 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2 C C C C C C 2

2n 2n 102 1024 2 2 2n 10 n 5


16

Ta có : .

Từ đó suy ra hệ số của x7 là .

Câu 25. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biểu thức . Biết số

nguyên dương n thỏa mãn: ?

A. 7920. B. 1400. C. 6590. D. 8120.


Ta có:

Ta có .

Để có hệ số của số hạng chứa x8 thì .

Vậy hệ số của x8 trong khai triển là: .

Câu 26. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng:

(n nguyên dương, x > 0).

A. 424. B. 280. C. 495. D. 322.


Ta có:

= 7(n + 3 n + 2 = 7.2! = 14 n = 12.

Số hạng tổng quát của khai triển là:

Số hạng chứa x8 trong khai triển, ứng với giá trị k thỏa: = 8 k = 4.

10 10

10 k kk 10 k k 10 k k10 10

k 0 k 0

2 3x C .2 . 3x C .2 . 3 .x

77 3

10C .2 . 3

n

5

3

2P x x x 0

x

1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095

1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095

0 1 2 n 1 n n 12n n n n nC C C C C 4096 2 2 n 12

12 5k 11k12 12 36

5 k 12 k 36 3k k 12 k2 212 123

k 0 k 0

2P x x C .2 .x .x C .2 .x

x

11k36 8 k 8

2

8 412C .2 7920

n5

3

1x

x

n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3)

n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3)

n 1 n n

n 3 n 3 n 3C C C 7(n 3)

(n 2)(n 3)

2!

12 k

5 60 11kk 3 k k2 212 12C (x ) x C x

60 11k

2


17

Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là = 495.

Câu 27. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu tơn của , biết rằng

.

A. 612. B. 230



Từ giả thiết suy ra: (1)

Vì , k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:

(2)

Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra:

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10.

Ta có:

Số hạng chứa x26 ứng với giá trị k thỏa mãn

Vậy hệ số của x26 là = 210.

Câu 28. Xét khai triển . Tìm max ?

A. 922. B. 252. C. 525 D. Đáp án khác.


Theo công thức khai triển Newton, ta có .

Vậy ; .

Ta có

412

12!C

4!(12 4)!

n7

4

1x

x

1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1

0 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2

k 2n 1 k2n 1 2n 1C C

0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1C C C ... C C C C ... C

2

0 1 2 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2

10 10 10k

11k 407 k 4 10 k 7 k10 104

k 0 k 0

1x C (x ) x C x

x

11k 40 26 k 6

610C

9 2 90 1 2 9(3x 2) a a x a x ... a x 0 1 2 9{a ,a ,a ,...,a }

99 k k 9 k

9k 0

(3x 2) C (3x) (2)

k 9 k kk 9a 3 (2) C k 0,1,2,...,9

k 9 k k k 1 8 k k 1k k 1 9 9a a 3 (2) C 3 (2) C

k k 1

9 92C 3C

9! 9!2 3

(9 k)!k! (8 k)!(k 1)!


18

Từ đó suy ra

Vậy ta có

Do đó giá trị lớn nhất của các hệ số đạt tại hai giá trị .

Câu 29. Tìm hệ số của 8x trong khai triển 8

2 31 x x ?

A. 190. B. 230.

C.238. D. Đáp án khác.


Ta có 8 8 k8 k k m m

2 3 k 2 3 k m 2 38 8 k

k 0 k 0 m 0

1 x x C x x C C x x

8 k

mk m 2k m8 k

k 0 m 0

C C 1 x

. Để có hệ số của 8x thì

2k m 8

0 m k 8

m,k

m 0

k 4

hoặc

m 2

k 3

. Kết luận

hệ số của 8x là : 4 0 3 28 8 4 8 3a C C C C 238

Câu 30. Trong khai triển của nhị thức n

2 2x

x

cho biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai

triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa 4x .

A.1120. B. 600. C. 1220. D. Đáp án khác.


Ta có n 2 n

n n 1 n 22 0 2 1 2 2 2 n

n n n n

2 2 2 2x C x C x C x C

x x x x

n

0 2n 1 2n 3 2 2n 6 n

n n n n

2C x 2C x 4C x C

x

2 3

9 k k 1

2k 2 27 3k 5k 25 k 5 k 0,1,2,3,4

k k 1a a k 5

k k 1a a k 5 k 6,7,8,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a

55 6 9a a 2C 252


19

Theo đề bài ta có

0 1 2

n n n

n! n!C 2C 4C 97 1 2 4 97

n 1 ! 2! n 2 !

n n 1 ! n n 1 n 2 !

2 4 96 n n n 1 48n 1 ! 2 n 2 !

2n 2n 48 0 n 8 n 6 . Nhận n 8 .

Vậy n 8 k

8 88 k k2 2 k 2 k 16 2k k

8 8k 0 k 0

2 2 2x x C x C x 2 x

x x x

8

kk 16 3k

8k 0

C 2 x

. Để có hệ số của số hạng chứa 4x thì 16 3k 4 k 4 .

Kết luận hệ số của số hạng chứa 4x là 44

4 8a C 2 1120 .

Documents

Giáo viên: Nguy n Tiến Đạt - hoc24h.vn · Tìm hệ số của 8 x trong khai triển 8 1 x x 23? A. 190. B. 230. C.238. D. Đáp án khác Câu 30. Trong khai triển của