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Gli elettroni nei cristalli
funzione d’onda elettronica: deve risolvere l’equazione di Schroedinger in presenza di un potenziale periodico
come si risolve il problema per il singolo elettrone: funzione d’onda che “rispecchia” la periodicità del potenziale bande di energia permesse e bande di energia proibite
come si tratta il problema nel caso di molti elettroni: antisimmetrizzazione della funzione d’onda meccanica statistica quantistica statistica di Fermi Dirac
sol3-1
esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)
Gli elettroni nei cristalli
sol3-2
esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)
E1
E2
E1g
E1u
E2g
E2u
E1min
E2max
E1max
E2min
atomo singolo
livelli energetici singoli
due atomi
livelli energetici sdoppiati
molti atomi
multipletti di livelli energetici
funzione d’onda
elettronica
sol3-3
nessun “nodo”
1 “nodo”
3 “nodi”
7 “nodi”
livelli energetici elettronici
distanza di equilibrio
E1min
E1maxE1atomico
il solido si forma a una distanza di equilibrio tale da minimizzare l’energia complessiva degli elettroni che occupano i livelli
gli elettroni occupano i livelli energetici a partire dal più basso, rispettando il principio di Pauli
sol3-4
bande di energia
sol3-5
E2min
E2max
E1atomico
E4atomico
E3atomico
E2atomico
molti elettroni per atomo:
riempimento fino al
livello 4 distanza di equilibrio = a
E2min
E2max
E3min
E3max
E4min
E4max
E3min
E3max
E4min
E4max
E3min
E3max
E4min
E4max
bande di energia
sol3-6
E1atomico
E4atomico
E3atomico
E2atomico
E’2max
E’2min
pochi elettroni: si riempiono solo i primi livelli distanza di equilibrio = a’ E’2max
E’2min
E’1
moto di un elettrone in un potenziale periodico
sol3-7
esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)
Hamiltoniana:
)(2
)(2
xVm
pxH x
l’hamiltoniana è invariante per traslazioni di passo a (periodica): H(x)=H(x+a)
funzione d’onda: H(x) (x) = E (x)
anche (x) deve essere invariante per traslazioni ?
Non necessariamente, ma | (x)|2 deve esserlo
| (x)|2 = | (x+a)|2
il teorema di Bloch
sol3-8
per soddisfare la condizione |(x)|2 = |(x+a)|2 la funzione d’onda deve poter essere scritta come
(x)= eikxu(x)
con u(x) invariante per traslazioni : u(x) = u(x+a)
(x) è chiamata “onda di Bloch”
verifica del teorema di Bloch:
come conseguenza dell’invarianza traslazionale, (x) può differire da (x+a) al
più per una fase
(x+a) = ei (x) eik(x+a)u(x+a) = ei(kx+ )u(x) eikau(x+a) = ei u(x)
se = ka, u(x+a) = u(x)
funzione d’onda di Bloch
sol3-9
significato fisico dell’onda di Bloch: è il prodotto di
- un’onda piana eikx elettrone libero
- una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un
passo reticolare a u(x) funzione d’onda “in vicinanza” del singolo atomo
potenziale modulatore periodico V(x) piccolo:
si parte dall’onda di elettrone libero e si corregge per l’effetto di V(x)
elettroni di conduzione nei metalli;
“quantum corral”
potenziale modulatore periodico V(x) grande:
si parte dalla funzione d’onda periodica e si include l’effetto della fase eikx
approssimazione di legame forte
ikxikxxm
k
m
pe
2e
2
222
px costante del moto k buon numero quantico
approssimazione di legame forte
nnaxikikx naxx )(ee)( )(
funzione d’onda:
n
naxik naxxu )(e)( )(
n
anxik anxaxu ))1((e)( ))1((
x (x+a) equivale a cambiare n (n-1)
nikna naxx )(e)(
1s
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
-30 -20 -10 0 10 20 30 40z (angstrom)
psi
- a
tom
ica
n p naxExV )()(
potenziali coulombiani
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-30 -20 -10 0 10 20 30 40z (angstrom)
ener
gia
(eV
)
n-1 n n+1
Ep,n-1
Ep,n
Ep,n+1
n-1 n n+1
n-1 n n+1
potenziale periodico:
sol3-10
approssimazione di legame forte
sol3-11
(x-na) è soluzione dell’equazione di Schroedinger per l’elettrone nell’atomo isolato
)()()(2
)()(2
naxEnaxnaxEm
pnaxxH atp
xat
Sostituendo nell’equazione di Schroedinger per l’elettrone nel reticolo:
n nj pikna
at naxjaxExExxH )()(e)()()(
n
iknaj p
xn
iknax naxjaxEm
pnaxxV
m
pxxH )(e)(
2)(e)(
2)()(
22
n nj p
iknan p
xikna naxjaxEnaxnaxEm
pxxH )()(e)()(
2e)()(
2
n nj pikna
nikna
at naxjaxEnaxExxH )()(e)(e)()(
livello di energia atomica modifica dovuta alle altre buche di potenziale del reticolo
approssimazione di legame forteEnergia media:
attrazione da parte delle buche vicine
termine di sovrapposizione (o di risonanza)
n
iknanj pm
ikmaat naxjaxEmax
CE
xx
xHxE )(e)()(e
1
)()(
)()( *
mnikna
nj pmikma
mj pmat
naxjaxEmaxC
maxjaxEmaxC
EE
)(e)()(e1
)()()(1
*
*
dove C = < (x)|(x)>
1s
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
-30 -20 -10 0 10 20 30 40z (angstrom)
ps
i -
ato
mic
a
potenziali coulombiani
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-30 -20 -10 0 10 20 30 40z (angstrom)
en
erg
ia (
eV
)
m-1 m m+11s
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
-30 -20 -10 0 10 20 30 40z (angstrom)
ps
i -
ato
mic
a
potenziali coulombiani
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-30 -20 -10 0 10 20 30 40z (angstrom)
en
erg
ia (
eV
)
m-1 m m+1
j=m
n=m-1mj=m+1
m
sol3-12
approssimazione di legame forte
sol3-13
m pamikikma
m pamikikma
coulat
amxmaxEmaxC
amxmaxEmaxC
EEE
))1(()()(e1
))1(()()(e1
*)1(
*)1(
limitandosi ai “primi vicini” (n=m1):
m p
ikaikacoulat amxmaxEmax
CEEE ))1(()()(ee
1 *
)cos(kaEEEE ovcoulat
dove:
m pov
mj pmcoul
amxmaxEmaxC
E
maxjaxEmaxC
E
))1(()()(1
)()()(1
*
*
termini di overlap
k=kmin
k=2 kmin
k=4 kmin
k=8 kmin
overlap positivo: (x-ma) e (x-(m-1)a)
hanno lo stesso segno contributo negativo
all’energia di overlap
Ep(x-ma) <0 (potenziale attrattivo)
overlap negativo (x-ma) e (x-(m-1)a)
hanno segno opposto contributo negativo
all’energia di overlap sol3-14
approssimazione di legame forte
sol3-15
a partire da ciascun livello atomico
E
k0 /a-/a
Eat
Ecoul
Eoverlap
)cos(kaEEEE ovcoulat
prima “zona di Brouillin”
-G/2 G/2
bande
sol3-16E1max E1min
E4min
E2max
E2min
E3max
E3min
E1atomico
E3atomico
E4atomico
E2atomico
bande di energia permesse e bande proibite
sol3-17
bande di energia permesse e bande proibite
sol3-18
bande permesse e proibite nella prima zona di Brouillin
eccitazione radiativa da una banda alla banda superiore (se permessa dal principio di Pauli)
sol3-18
E2min
E1max
sol3-19
E = E2min- E1max
E = E3min- E2max
E3min
E2max
Il problema del trasporto
sol3-20
Hamiltoniana di una particella libera: m
pxH x
2)(
2
ikxikxxm
k
m
pe
2e
2
222
px costante del moto k buon numero quantico
m
kE
2
)( 2
velocità di gruppo:
k
elettrone libero
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
k (angstrom^-1)en
erg
ia (
eV)
v
funzione d’onda: H(x) (x) = E (x)
m
p
m
k
k
E
kkv
11
relazione di dispersione parabolica
velocità di fase e velocità di gruppo
onde singole
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 20 40 60 80
x(angstrom)
am
pie
zza
sovrapposizione
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0 100 200 300 400 500
x(angstrom)
am
pie
zza
sovrapposizione
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0 20 40 60 80 100 120 140 160
x(angstrom)
amp
iezz
a
due ondek1= 1 Å-1
k2= 1,05 Å-1
4 ondek1= 1 Å-1 ; k2= 1,05 Å-1
k3= 1,1 Å-1 ; k4= 1,15 Å-1
x
xk 2
hΔpΔxΔkΔx 2 sol3-21
moto dell’elettrone libero in presenza di una forza esterna
in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il “pacchetto” che all’istante t aveva
un certo numero d’onda ko e velocità vo, all’istante (t+dt) ha numero
d’onda (ko+dk) e velocità (vo+dv) con:
Vel
elEeF
catodo schermo
elettrone libero
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
k (angstrom^-1)
ener
gia
(eV)
v
k
dk
dkm
dvdtF
dkdtm
Fdv
;
dkm
dkdk
Eddk
dk
dvdv
2
21
2
2
211
dk
Ed
m
sol3-22
per l’elettrone libero,
d2E/dk2=costante, quindi m=costante
moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna
in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il
“pacchetto” di onde di Bloch che all’istante t aveva un certo numero
d’onda ko e velocità vo, all’istante (t+dt) ha numero d’onda (ko+dk) e velocità
(vo+dv) con:
2
2
211
dk
Ed
m
sol3-23
per l’elettrone nel cristallo, d2E/dk2 non è costante, quindi m non è
costante “massa efficace”
V
elEeF
k
Ev
1
E
zone di massa efficace negativa l’elettrone si comporta come se avesse
carica elettrica positiva “buca”
moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna
sol3-24
riflessione al bordo di zona
