G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le forze conservative Una forza si dice conservativa se – il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P

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Le forze conservative

• Una forza si dice conservativa se– il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla

posizione P1 alla posizione P2 dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale

– e non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da P1 a P2, ne da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato, ecc.

r F

P1

P2

• Allora– esiste una funzione U della posizione del punto

materiale P,

U(P) = U(x,y,z),– tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa

quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, P1 e P2, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale P1 meno quello che assume nel punto finale P2.

W =r F ⋅dr r

i ,γ

f

∫ =

=U(P1) −U(P2) =−ΔU

U= energia potenziale


y

x

P2

P1

A

BLa forza peso• Verifichiamo che la forza peso è conservativa:

– Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il lavoro fatto dalla forza per andare da P1 a P2 è sempre lo stesso indipendente dal percorso.

– Prendiamo il percorso P1A P2.WP1AP2

=WP1A +WAP2

WAP2

=r P ⋅

r d =mgl AP2

cosπ2

=0

WP1A =r P ⋅

r d =mgl P1A cos0=mgl P1A l P1A =y1 −y2

⇓

WP1A =mgy1 −y2( ) =mgy1 −mgy2

WP1AP2=WP1A =mgy1 −mgy2

– Prendiamo ora il percorso P1B P2.

WP1BP2=WP1B +WBP2

=WBP2=WP1A =mgy1 −mgy2


y

x

P2

P1

A

BLa forza peso– Prendiamo un qualsiasi percorso tra P1 e P2.

W =

r P ⋅d

r r

P1,γ

P2

∫

r P

dr r

r P =−mg

r j

dr r =dxr i +dy

r j +dz

r k

W = Pxdx+Pydy+Pzdz= −mgdy=−mg dy=P1,γ

P2

∫P1,γ

P2

∫P1,γ

P2

∫W =−mgy[ ]y1

y2 =−mgy2 +mgy1

• L’energia potenziale potrebbe essere U =mgy

W =U(P1)−U(P2) =mgy1 −mgy2


La forza elastica

• Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x1 a x2.

– Lo spostamento è rettilineo

– ma la forza non è costante

• Utilizziamo la definizione più generale

x1 x2

W =

r F el ⋅d

r r

P1,γ

P2

∫

r F el =−kx

r i

dr r =dxr i +dy

r j +dz

r k

W = Felxdx+Felydy+Felzdz= −kxdx=−k xdx=x1,γ

x2

∫x1,γ

x2

∫x1,γ

x2

∫

W =−kx2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ x1

x2

=−12

kx22 +

12

kx12

U =12

kx2

Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è conservativa! La sua energia potenziale:


L’energia potenziale

• E’ un’altra forma di energia, legata la posizione di un corpo

– È possibile cambiare l’energia potenziale di un corpo eseguendo del lavoro (per esempio sollevare un peso U=mgy)

• le forze conservative– Forza peso

– Forza elastica

– Forza di gravitazione universale

– Forza di Coulomb

• La funzione energia potenziale è determinata a meno di una costante arbitraria

U x,y,z( ) =−GmM

r

U(x,y,z) =12

kx2

U x,y,z( ) =mgy=mgh

U x,y,z( ) =1

4πεo

q1q2

r

U1 x,y,z( ) =U x,y,z( )+costante

h = quota


Determinazione dell’energia potenziale dall’espressione della forza

• Utilizzando la definizione di energia potenziale:

WP1P2=−ΔU =U(P1)−U(P2)

WPoP =−ΔU =U(Po)−U(P)

• Che può essere riscritta, considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:

• Da cui:

U(P ) =U(Po)−WPoP =U(Po)−

r F ⋅d

r r

Po

P

∫• Per derivare la funzione energia potenziale occorre:

– Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.

– Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.

– Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una

qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.

Non è necessario specificare la traiettoria

Po

P


L’energia potenziale• le forze conservative

– Forza peso • Il punto di riferimento Po è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla)

• Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla

– Forza elastica• Il punto di riferimento Po è la posizione dell’estremo libero della molla in

condizioni di molla non deformata, x=0.

• Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla

– Forza di gravitazione universale

– Forza di Coulomb• Il punto di riferimento Po è il punto all’infinto.

• Al punto all’infinito, si assegna energia potenziale nulla

U x,y,z( ) =−GmM

r

U(x,y,z) =12

kx2

U x,y,z( ) =mgy=mgh

U x,y,z( ) =1

4πεo

q1q2

r

h = quota


Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo

• Consideriamo un percorso chiuso

r F

P1

P2

W =

r F ⋅d

r r ∫ =

r F ⋅d

r r

P1,γ2

P2

∫ +r F ⋅d

r r

P2,γ1

P1

∫

dWA =r F ⋅d

r r =Fdscosθ

dWR =r F ⋅d

r r =Fdscosπ−θ( )

dWA =−dWR

r F ⋅d

r r

P1,γ1

P2

∫ =−r F ⋅d

r r

P2,γ1

P1

∫ W =

r F ⋅d

r r ∫ =

r F ⋅d

r r

P1,γ2

P2

∫ −r F ⋅d

r r

P1,γ1

P2

∫ =0

• Le forze conservative dipendono dalla posizione.

r F

P1

P2


Lavoro della forza di attrito• La forza di attrito statico fa lavoro nullo:

– Nel caso di attrito statico, non c’è spostamento: quindi il lavoro è nullo

– Se il piano di appoggio si sposta rispetto al SdR utilizzato, si osservi che:

• il piano e l’oggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso spostamento

• Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione)

• Il lavoro complessivo è nullo

a• La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo:

– Consideriamo un oggetto che viene spostato su di un piano orizzontale scabro.


Lavoro della forza di attrito dinamico• Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano orizzontale

sulla traiettoria tra P1 e P2.

• Il modulo della forza di attrito dinamico è r F a

P1

P2

WP1P2

=r F ad⋅d

r r

P1,γ1

P2

∫ = FaddsP1,γ1

P2

∫ cosπ= −μdmgdsP1,γ1

P2

∫ =−μdmg dsP1,γ1

P2

∫ =−μdmgl P1P2

Fad =μdN =μdmg costante

• Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico

l P1P2 è la lunghezza del tratto di traiettoria percorso

• il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta

• Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero

• La forza di attrito dinamico non è conservativa


L’energia potenziale in presenza di più forze conservative

• Il lavoro effettuato da tutte le forze conservative è dato da:

W = Wk

k=1

n

∑ = −ΔUk

k=1

n

∑ = Uki −Ukf( )k=1

n

∑ = Uki

k=1

n

∑ − Ukf

k=1

n

∑

U = Uk

k=1

n

∑

W =Ui −Uf

L’energia potenziale totale è la somma delle energia potenziali delle singole forze


La conservazione dell’energia• Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto l’azione di

forze conservative.

• Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione dell’energia cinetica:

WR =ΔK =K f −K i

• Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in relazione con la variazione di energia potenziale

WR =−ΔU =Ui −Uf U = Uk∑• Combinando le due relazioni si ottiene:

ΔK =−ΔU ΔK +ΔU =0

ΔK +ΔU =K f −K i +U f −Ui = K f +Uf( )− K i +Ui( )=Ef −Ei =0

E =K +U energia meccanica totaleSolo forze conservative: l’energia meccanica totale si conserva!


Relazione lavoro energia• Se non tutte le forze sono conservative

– Il lavoro della risultante sarà la somma del lavoro effettuato• Dalle forze conservative Wc

• Dalle forze non conservative Wnc

WR =Wc +Wnc WR =ΔK Wc =−ΔU

ΔK =−ΔU +Wnc ΔK +ΔU =Wnc

Δ K +U( ) =Wnc ΔE =Wnc

• La variazione dell’energia meccanica totale è uguale al lavoro effettuato dalle forze non conservative.

• Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione dell’energia– infatti quando non ci sono forze non conservative Wnc=0


L’energia meccanica totale

• In presenza di forze non conservative l’energia meccanica totale non si conserva– La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative

• In realtà non bisogna pensare che dell’energia sia andata distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente c’è stato uno scambio con altre forme di energia.– Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro

(negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della temperatura dei corpi interessati

• L’energia meccanica totale diminuisce mentre aumenta l’energia interna dei corpi (aumento di temperatura)

– Nel caso in cui si ha un aumento dell’energia meccanica totale (per esempio nelle esplosioni), l’energia interna contenuta nell’esplosivo è stata trasformata in energia meccanica

• L’esplosivo ha subito una trasformazione chimica.


L’integrale primo del moto• La legge di conservazione dell’energia può anche essere usata per

determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative.

• Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica– Equazione scalare e non vettoriale

– Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo

• Come si fa?– Consideriamo un moto unidimensionale: l’energia potenziale sarà solo

funzione di x, U(x).

E =K +U(x) =costante E =12mvx

2 +U(x)

vx =±2 E −U(x)( )

mdxdt

=±2 E −U(x)( )

m

dx

±2 E −U(x)( )

m

=dtChe può essere integrata separando le variabili

E è una costante


P

N

Fel

Il diagramma dell’energiadell’oscillatore armonico

Felxdx=−dU Felx =−dUdx

U =12

kx2

L’energia meccanica totale

Punto di equilibrio stabile

La normale N e la forza peso non fanno lavoro

K<0Punti di inversione del moto

K<0


La determinazione della forza dall’energia potenziale

• Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità)

• Superfici equipotenziali– Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore

• Forza peso: piani orizzontali (h=cost)

• Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost)

• Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro nell’origine della forza.

• La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale– Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie

equipotenziale (dr tangente alla superficie).

– Poiché la superficie è equipotenziale dU=0

dU=−dW=−r F ⋅d

r r =0 ⇒

r F ⊥d

r r


La determinazione della forza dall’energia potenziale

• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x:

dU=−dW=−Fxdx ⇒ Fx =−dUdx

• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y:

dU=−dW=−Fydy ⇒ Fy =−dUdy

• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z:

dU=−dW=−Fzdz ⇒ Fz =−dUdz

r F =−gradU=−

dUdx

r i −

dUdy

r j −

dUdz

r k


Il diagramma dell’energia

Fx =−dUdx

Punti di equilibrio instabile

Punti di equilibrio stabile

equilibrio indifferente

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