Meccanica 531 marzo 2011

Lavoro. Principio di sovrapposizionePotenza. Energia cineticaEnergia potenzialeLavoro della forza d’attritoForze conservativeEnergia meccanica e sua conservazioneMomento angolareMomento di forzaMomento dell’impulso

Lavoro

• Supponiamo di avere un punto materiale P di massa m, soggetto ad una forza F

• Supponiamo di spostarlo da un punto dello spazio A ad un punto B

• Il lavoro svolto dalla forza F nello spostamento di P da A a B è una grandezza meccanica scalare definita come

sdFWB

A

AB

A B

F

P

ds

2

Lavoro

• Le dimensioni fisiche del lavoro sono

• E l’unità di misura è il newton metro

• che prende il nome di joule (J)

22 TMLLFW

JmNWu

3

Principio di sovrapposizione

• Se la forza è la risultante di n forze

• Si può applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il lavoro

• Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma dei lavori delle singole forze

F

F k

k1,...n

nkk

nk

B

A

k

B

A nkk

B

A nkk

B

A

AB

WsdF

sdFsdFsdFW

,...1,...1

,...1,...1

4

Potenza

• La potenza media è una grandezza meccanica scalare definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo impiegato

• Grandezza importante per caratterizzare le prestazioni di una macchina

• Accanto alla potenza media è definita la potenza istantanea

t

WP

dt

dWP

5

Potenza

• Le dimensioni fisiche della potenza sono

• E l’unità di misura è il joule al secondo

• che prende il nome di watt (W)

32/ TMLTWP

u P J /s W

6

Potenza

• Dall’espressione infinitesima del lavoro, possiamo scrivere la potenza come

vFdt

sdF

dt

sdF

dt

dWP

7

Energia cinetica • Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo

usando la 2a legge

• Per trovare il valore del prodotto scalare differenziamo i due membri dell’identita` seguente

• Da cui

vdvmdt

sdpdsd

dt

pdsdFdW

22 vdvd

8

vdvvvdvd 22 vdvvd 22

22

1vdvdv

Energia cinetica

• Abbiamo infine• Per una variazione finita dobbiamo integrare

tra il punto iniziale e il punto finale

• La quantità prende il nome di energia cinetica

2

2

1mvdvdvmdW

9

222

2

1

2

1

2

1AB

B

A

B

A

mvmvmvddWW

K 1

2mv 2

Teorema dell’energia cinetica

• Il teorema appena dimostrato è detto teorema dell’energia cinetica: il lavoro fatto dalla forza sul punto materiale è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso

10

Energia cinetica

• Vediamo cosa succede geometricamente• Scomponiamo i due vettori secondo la

direzione tangente e normale localmente alla traiettoria

• Otteniamo• siccome vt=v, possiamo

concludere

v dv

dvt

dvn

11

v d

v v tdv t

tvdvvdv

Energia cinetica

• Consideriamo due casi limite• Moto uniformemente accelerato

• Moto circolare uniforme

12

v

dv=dvt

vdv=dvn

vdvvdvvdv t

0 tvdvvdv

vdvvd 22

02 vd

Energia cinetica e lavoro

• Il lavoro è conseguenza dell’interazione del sistema con l’ambiente

• Si parla pertanto di lavoro scambiato tra sistema e ambiente e non di lavoro posseduto dal sistema

• Si parla invece di energia posseduta dal sistema

13

Energia cinetica

• Troviamo le dimensioni dell’energia cinetica

sono ovviamente uguali a quelle del lavoro

• L’unità di misura dell’energia è, di nuovo, il joule

K M V 2 ML2T 2

14

Energia cinetica e quantità di moto

• Ricordiamo le espressioni di queste due grandezze

• Il modulo della QM e l’energia cinetica sono legati dalle relazioni

K 1

2mv 2

p m

v

K p2

2m

p 2mK

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Energia cinetica in relativita`

• Il lavoro elementare si esprime ora

• E il differenziale della QM e`

• Il lavoro finito e`

vpddt

sdpdsd

dt

pdsdFdW

vdmvmdvvmdpd

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

vdvmdmv

vdvmdvvmvvdmvmddWW

2

16

Energia cinetica in relativita`

• Esprimiamo v in funzione di

• Otteniamo

• Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come variazione di energia cinetica

dv

cdv

3

2

222 11

cv

AB

B

A

B

A

B

A

mcdmcdc

mdmcW

22

2

2

2

2 11

AB KKW 17

Energia cinetica in relativita`

• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come

• Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue

• L’energia cinetica e` dunque• In relativita` si introduce anche l’energia

• Il termine e` la cosiddetta energia a riposo, cioe` quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia

.2 constmcK

2. mcconst 12 mcK

22 mcmcKE 2mc

18

Lavoro della forza peso

• Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

• Siccome P=mg e` costante e g ha solo componente z, pari a –g, abbiamo

• Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B

B

A

sdPW

ABABAB

B

A

zzmgrrgmrPsdPW

A

B

z

P

19

Energia potenziale

• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)

• il lavoro diventa

• U prende il nome di energia potenziale della forza peso

• Il lavoro e` dunque uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale

mgzU

ABABAB UUmgzmgzzzmgW

20

Lavoro della forza elastica

• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza elastica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

B

A

AB

B

A

B

A

e rrkrdrksdrksdFW 22

2

1

A BFe

P ds

dr

r21

Energia potenziale

• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)

• il lavoro diventa

• U prende il nome di energia potenziale della forza elastica

• Il lavoro e`, di nuovo, uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale

2

2

1rmU

ABABAB UUrkrkrrkW 2222

2

1

2

1

2

1

22

Lavoro della forza d’attrito

• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza d’attrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

• La direzione della forza e` opposta a quella dello spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante)

• Il lavoro della forza d’attrito e` sempre negativo: se si cambia il verso dello spostamento, anche la forza cambia verso

B

A

d

B

A

d sdsNsdFW

LNdsNsdsNW d

B

A

d

B

A

d

ABFd

P ds

23

Lavoro della forza d’attrito

• Poiche’ il lavoro della forza d’attrito dipende da L , la lunghezza del percorso fatto dal punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e non solo dai punti estremi A e B

• A differenza del caso della forza peso ed elastica, non e` ora possibile esprimere il lavoro come differenza tra i valori che una funzione della posizione assume negli estremi

24

Forze conservative

• Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su cui si calcola il lavoro, purche’ i punti estremi siano gli stessi, il risultato sara` il medesimo

• Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, l’integrale cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto scalare cambia segno)

BA

C

BA

C

sdFsdF21

AB

C

BA

C

sdFsdF

25

Forze conservative

• Se calcoliamo il lavoro lungo un percorso chiuso

otteniamo zero: questo e` un modo alternativo di esprimere lo stesso fatto

• Forze siffatte si dicono conservative

0212121

BA

C

BA

C

AB

C

BA

CCCC

sdFsdFsdFsdFsdFsdF

C C1C2

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Forze dissipative

• Le forze di attrito non soddisfano questi requisiti, abbiamo infatti visto che il lavoro che producono e` sempre negativo

• Queste forze si dicono dissipative

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Esercizi

• Un corpo di massa m=15 kg si muove su un piano orizzontale, soggetto ad una forza motrice F=10 N ed a una forza d’attrito dinamico A con coefficiente di attrito =0.06

• Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza in un intervallo di tempo t

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Esercizi

• N. 4.1 pag. 105 MNV

• N. 4.3 pag. 105 MNV

• N. 4.14 pag. 106 MNV

29

Energia potenziale

• Per le forze conservative esiste dunque una funzione U delle coordinate degli stati iniziale e finale, cui diamo il nome di energia potenziale

• In termini infinitesimi

WsdFUUUB

A

AB

30

dWsdFdU

Energia meccanica

• Ricordiamo il teorema dell’energia cinetica, che vale per una forza qualunque

• Per forze conservative vale inoltre

• Confrontando le due equazioni troviamo

AB KKW

AB UUW

BBAA UKUK

31

Conservazione dell’energia meccanica

• Introducendo la nuova grandezza

• che chiamiamo energia meccanica, l’equazione diventa

• Cio` significa che l’energia meccanica (cioe` la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale) di un punto materiale soggetto a forze conservative si conserva

UKE

BA EE

32

Lavoro nel caso generale

• Se sono attive sia forze conservative che non conservative, il lavoro e`

• Applicando il teorema dell’energia cinetica (sempre valido)

• Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di energia potenziale

• Otteniamo per il lavoro non conservativo

• Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia meccanica non si conserva e la sua variazione e` uguale al lavoro di tali forze

ncc WWW

AB KKW

ABc UUW

ABnc EEW

33

Vettori momento• Per alcune grandezze vettoriali, associabili

al PM, possiamo definire grandezze vettoriali derivate che sono i momenti delle precedenti

• Per questo occorre scegliere un punto arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a cui e` definito il vettore posizione r del PM

• Il momento di una grandezza w e` definito come il prodotto vettoriale

• Il polo non necessariamente dev’essere fermo

wrm

w

Or

PM

34

Momento angolare

• E` il momento del vettore quantita` di moto del punto materiale:

• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a p

• Dimensioni fisiche:• Unita` di misura:

prLO

MTLpLL 12 smNsmkgLu /2

35

p

Or

PM

Cambiamento di polo

• Cambiando polo il momento angolare diviene

• Il valore del momento dipende dunque dal polo scelto

prLprprprrprL QOQQQ

'

r’p Q

OrQ

r

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Momento di forza

• E` il momento del vettore forza agente sul punto materiale:

• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a F

• Dimensioni fisiche:• Unita` di misura: • Se si cambia polo il momento diviene

FrO

MTLFL 22 mNsmkgu 22 /

FrFrFrFrrFr QOQQQ

'

37

Momento risultante

• Vale il principio di sovrapposizione: se la forza complessiva R e` la risultante di piu` forze applicate tutte allo stesso punto materiale:

• il momento risultante (cioe` la somma dei momenti di tutte le forze) e` uguale al momento della risultante (cioe` al momento della somma di tutte le forze)

RrFrFri

ii

ii

i

38

Teorema del momento angolare

• Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare di un punto materiale

• Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema di riferimento, allora la derivata temporale di r e` uguale alla velocita` del punto e se il sistema e` inerziale la derivata di p e` uguale alla forza agente sul punto

dt

pdrp

dt

rdpr

dt

d

dt

Ld Q

Frvmvdt

Ld Q

rp Q

OrO

r’

39

Teorema del momento angolare

• Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo e` il momento di forza (calcolato rispetto allo stesso polo), quindi otteniamo il teorema del momento angolare (MA)

QQ

dt

Ld

Conservazione del MA

• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al polo scelto) allora il momento angolare si conserva (rispetto allo stesso polo) e viceversa

0Q 0dt

Ld Q

.constLQ

41

Momento dell’impulso

• Riscriviamo il teorema del momento angolare in forma differenziale

e integriamo da un’istante iniziale ad uno finale

• Cio` significa che per produrre una variazione di momento angolare e` necessaria l’azione, su un intervallo di tempo, di un momento di forza

Lddt

if

tt

LLLddt

00

42

Momento dell’impulso

• Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare

si puo` esprimere in termini dell’impulso prodotto dalla forza, purche’ l’intervallo di tempo sia abbastanza piccolo affinche’ il vettore r non cambi apprezzabilmente

• Questo e` il teorema del momento dell’impulso

tt

if dtFrdtLL00

JrdtFrdtFrLLtt

if

00

43