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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Velocità ed accelerazione
• Abbiamo definito la veocità come
vx =dx(t)dt
vy =dy(t)dt
vz =dz(t)dt
r v (t) =
dr r
dt r v =v
r u t
r a =
dr v
dt a=dvdt
=d2rdt2
ax =dvx
dt=
d2xdt2
ay =dvy
dt=
d2ydt2
az =dvz
dt=
d2zdt2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di 60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,
la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). la velocità di impatto al suolola durata del motol’altezza massima raggiunta dal proiettile. il tempo impiegato per raggiungerla.il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. la gittata quando l’angolo è di 30°.
• Introdurre il sistema di riferimento– Asse x orizzontale
– Asse y verticale
– vo contenuta nel piano xy
– Origine nel punto di lancio
• Il corpo sarà soggetto all’accelerazione di gravità
60°
x
y
vo
r a =
r g
ax =0
ay =−g
az =0
Condizioni iniziali
xo =0
yo =0
zo =0
vxo =vo cosθ
vyo =vosenθ
vzo =0
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
• Il moto avviene nel piano xy
• Le equazioni parametriche della traiettoria:
60°
x
y
vo
Per ottenere l’equazione della traiettoria y(x)
bisogna eliminare il tempo
d2xdt2
=0
d2ydt2
=−g
d2zdt2
=0
moto uniforme
moto uniformemente accelerato
moto uniforme
x(t) = vo cosθo( )t
vx =vocosθo
⎧ ⎨ ⎩ y(t) = vosenθo( )t−1
2 gt2
vy =vosinθo −gt
⎧ ⎨ ⎩ z(t) =0
vz =0⎧ ⎨ ⎩
x(t) = vocosθo( )t
y(t) = vosenθo( )t−12gt2
t =x
vo cosθo
y(t) = vosenθo( )x
vocosθo
−12g
x2
v2ocos2 θo
xo =0
yo =0
zo =0
vxo =vo cosθ
vyo =vosenθ
vzo =0
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
y(t) =xtanθo −x2 g2v2
ocos2 θo
del tipoy(t) =ax+bx2
una parabola passante per l'origine!
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
y(t) =xtanθo −x2 g2v2
ocos2 θo
la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).
y =0
0 =x tanθo −12
gx
vo2 cos2θo
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⇒
x1 =0
x2 =tanθo2vo
2cos2θo
g=
2vo2 cos2θo
gsenθo
cosθo
=2vo
2senθocosθo
g
G =x2 −x1 =2vo
2senθo cosθo
g
G =vo
2sen2θo
g=317.8m
G è massima quandosen2o è massimo:
2o=90° o=45°
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
La durata del moto
y =0
x(t) =vocosθot
y(t) =vosinθot−12
gt2
z(t) =0
vx =vocosθo
vy =vosinθo −gt
vz =0
Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0
y =0 ⇒ 0 =t vosinθo −12
gt⎛ ⎝
⎞ ⎠ ⇒
t1 =0
t2 =2vosinθo
g
D =t2 −t1 =2vosenθo
gD =10.59s
La velocità all’impatto t=t2
vx =vo cosθo
vy =vosinθo −g2vosinθo
g=−vosinθo
vz =0
La componente y della velocità ha cambiato di segnoIl modulo della velocità di impatto è vo
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla.
vy =0
x(t) =vocosθot
y(t) =vosinθot−12
gt2
z(t) =0
vx =vocosθo
vy =vosinθo −gt
vz =0
Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0
La gittata massima
vy =vosinθo −gt
vy =0⇒ 0=vosinθo −gt ⇒ t3 =
vosinθo
g
xmax=vo
2senθo cosθo
g=158.9 m
ymax=12
vo2 sen2 θo
g = 137.6 m
G =vo
2sen2θo
g
Gmax=vo
2
g=366.9m
La gittata per o=30°
G =vo
2sen2θo
g=
vo2sen60°
g=317.8
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Applicazio
ne
Moto del proiettile
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La velocità angolare
• Supponiamo che il punto materiale si muova con velocità costante sulla retta x=a
• L’angolo formato dal vettore posizione con l’asse delle x varia nel tempo
• ci possiamo calcolare la velocità angolare
x
y
vo
a
ωm =ΔθΔt
ω =limΔt→ 0ΔθΔt
media
istantanea ω(t) =dθ(t)
dt
• Se varia nel tempo ci possiamo calcolare l’accelerazione angolare
αm =ΔωΔt
α =limΔt→ 0ΔωΔt
=dωdt t
α(t) =dω(t)
dt=
d2θ(t)dt2
media istantanea
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Accelerazione tangenziale
fa cambiare il modulo della velocità
L’accelerazione riferita alla traiettoria
• Partendo dalla velocità riferita alla traiettoria
• Ci calcoliamo l’accelerazione r v =v
r u t
r a =
dr v dt
=d vr u t( )
dt
r a =
d vr u t( )dt
=dvdt
r u t +v
dr u tdt
?
Per valutare la seconda componente studiamo un moto in cui varia la direzione della velocità ma non il suo modulo: il moto circolare uniforme
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il moto circolare
• Il punto P percorre una traiettoria circolare
• Il modulo di r è costante.
O Asse x
Asse y
r
r =costante
x
y
Δs=rθ
v =rω
s
x =rcosθ
y =rsenθ
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Moto circolare uniforme• La traiettoria è una circonferenza ed il modulo della velocità è costante.
• Come appare dal disegno la velocità (come vettore) non è costante.
O Asse x
Asse y
r(t)r(t+ t)
v(t)v(t+t)
v(t)
v(t+t)
v
Sonouguali
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
• L’accelerazione media nell’intervallo t è:
• L’accelerazione all’istante di tempo t si ottiene facendo il limite dell’accelerazione media per t che tende a zero.
am =ΔvΔt
a =limΔt→ 0ΔvΔt
=dvdt t
v(t)
v(t+t)
v
Vettore cheha la direzione ed il verso di v. (t >0)
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
• Direzione e verso– Quando t tende a zero anche tende a zero
– Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre 180, se tende a zero, gli angoli alla base tendono a 90°. (Il triangolo è isoscele)
– L’accelerazione è perpendicolare a v(t)
– Poiché v(t) è tangente alla circonferenza, l’accelerazione è radiale diretta verso il centro (accelerazione centripeta)
v(t)
v(t+t)
v
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Accelerazione nel moto circolare uniforme
• modulo
v(t)
v(t+t)
v
O Asse x
Asse y
r(t)r(t+ t) r
s
a=limΔt→ 0ΔvΔt
Poiché i due triangoli isosceledella figura sono simili (hannolo stesso angolo al vertice)
Δvv
=Δrr
a=limΔt→ 0ΔvΔt
=limΔt→ 0vr
ΔrΔt
=limΔt→ 0vr
ΔsΔt
=v2
r
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Accelerazione nel moto su traiettoria non rettilinea
• Abbiamo trovato che nel moto circolare uniforme (velocità costante in modulo) c’è solo l’accelerazione centripeta.
• Se il modulo della velocità non è costante ci sarà:
– L’accelerazione normale (centripeta) an
• responsabile del cambiamento della direzione della velocità
– L’accelerazione tangenziale at
• responsabile del cambiamento del modulo
• Ogni volta che un punto materiale si muove su una traiettoria curva (la velocità cambia direzione) c’è un’accelerazione centripeta,
r a =
r a t +
r a n =at
r u t +an
r u n
an =v2
rr = raggio di curvatura della traiettoria
r u n versore normale, direttor verso il centro
di curvatura della traiettoria
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Problema
• Un’automobile di 1000 Kg affronta una curva avente un raggio di 40 m alla velocità di 36 km/h. Determinare il valore dell’accelerazione centripeta.
36kmh
=361000m3600s
=10ms
a=v2
r=
10040
=2,5ms2
r v
r a
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il moto circolare uniforme ed il moto armonico
O Asse x
Asse y
r
x
y
sa
r a =−
v2
rr u r
v =rω
r a =−
ω2r2
rr u r =−ω2r
r u r =−ω2r r
r a =−ω2r r
ax =−ω2x
ay =−ω2y
d2xdt2
=−ω2xd2ydt2
=−ω2y
x =rcosθ=rcosωt+ϕ( )
y =rsenθ=rsenωt+ϕ( )
dθdt
=ω ⇒ θ(t) =θoϕ{ +ωt
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazio
ne
La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità libera. Qual è lo spostamento della sua estremità A) da 15 a 30 minutiB) nella successiva mezzoraC) nella successiva oraD) calcolare la velocità angolare media ed istantaneaE) calcolare la velocità media nel caso AF) il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione.
r r 1 =l
r i
r r 2 =−l
r j
r r 3 =l
r j
Δr r 1 =
r r 2 −
r r 1 =−l
r j −l
r i
modulo= 2l
Δr r 2 =
r r 3 −
r r 2 =l
r j − −l
r j ( ) =2l
r j
modulo=2l
Δr r 3 =r r 3 −r r 3 =0
modulo=0
ωm =π2
15×60=1.74×10−3 rad
s
ω =ωm
r v 1 =Δr r 1
Δt=
−lr j −l
r i
Δt
modulo=2l
Δt=
1.41×12×10−2
15×60=0.0188×10−2 m
s
v =ωl =1.74×10−3 rad
s ×12×10−2m=20.88×10−5 ms
a=ω2l =1.742 ×10−6 rad
s ×12×10−2m=36.33×10−8 ms2