503

การปรบปรงความแมนย าของแบบจ าลอง GMC(1,N) และการประยกตใช The Accuracy Adaptation of GMC(1,N) Model and Its Application

วนวสา พวงมาลย1 และ จรพงค พวงมาลย2

Wanwisa Puangmalai1 and Jirapong Puangmalai1

1 อาจารยประจ าโปรแกรมวชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏก าแพงเพชร 2 อาจารยประจ าโปรแกรมวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏก าแพงเพชร

บทคดยอ

งานวจยนน าเสนอการปรบปรงแบบจ าลองเกรย GMC(1, N) เพอใหแบบจ าลองมความแมนย าในการท านายมากยงขน โดยการปรบปรงการหาคาพนหลง (Background value) และสมการการท านาย และประยกตใชแบบจ าลองGMC(1, N) แบบเดม และแบบจ าลองเกรย GMC(1, N) ทปรบปรงใหมกบการท านายปรมาณการใชไฟฟาในประเทศไทย โดยความแมนย าจากการท านายของแบบจ าลอง GMC(1, N) แบบปรบปรงใหม มความแมนย ามากกวาแบบจ าลองเกรย GMC(1, N) แบบเดม ค าส าคญ: แบบจ าลองเกรย / คาพนหลง / สมการเชงอนพนธเกรย

Abstract In this article, we propose a modified GMC(1, N) model to improve prediction accuracy of GMC(1, N) by a modification in the calculating formula of background value and the model prediction equation. In addition, the modified GMC(1, N) and traditional GMC(1, N) models are applied to forecast the Electricity consumption in Thailand. In comparison, the results show that the predictions employing modified GMC(1, N) model are more accurate than that of the traditional GMC(1, N) model. Keywords: Grey model / Background value / Grey differential equation ความเปนมาและความส าคญของปญหา

แบบจ าลองเกรยมหลายชนดโดยเรมตนจากการใชทฤษฎระบบเกรยในการสรางแบบจ าลองเกรย ( )GM 1,1

(Cui, et al., 2013, pp.4399-4406) (Evans, 2014, pp.1236-1244) (Xie, et al., 2009, pp.1173-1186) (Ziliang, 2004, pp.390-397) เปนแบบจ าลองพนฐานทรบไดความนยมอยางแพรหลาย แตเนองจาก ( )GM 1,1 ไมสามารถใชไดกบระบบทเกดขนจรงหลายดาน โดยขอมลสวนใหญจะเปนขอมลทเกยวของหรอสมพนธกบปจจยดานอน ๆ ดวย ดงนน จงมการพฒนาแบบจ าลองเกรยหลายรปแบบ เชน ( )GM 1, N (Box, et al., 1976) ( )GMC 1,N (Tien, 2011, pp.1884-1897) (Quah, et al., 1999, pp.295–301) ( )D-GMC 1,N ( )D-GMC 1,N (He, et al., 2013, pp.124-138) เปนตน เนองจากการใชแบบจ าลองเกรยดงกลาวนนมคาผดพลาดจากการท านายอย ซงอาจเกดจากความไมสอดคลองกนระหวางการประมาณคาพารามเตอรและสมการการท านาย โดยความไมสอดคลองกนของเงอนไขเรยบเสมอน คาพนหลง เปนตน ดงนน เพอใหไดการท านายทแมนย ามากยงขน บทความนจงไดน าเสนอวธการปรบปรงแบบจ าลอง ( )GMC 1,N เพอใหความแมนย าของการท านายมากขน

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

504

บทความวจยนจะแบงออกเปน 4 สวน ดงน สวนท 1 คอ บทน าโดยจะอธบายถงทมาและความส าคญขอ ง

บทความวจย สวนท 2 คอ ความรพนฐานทเกยวของกบการวจย สวนท 3 กลาวถงขนตอนวธการปรบปรงความถกตองของแบบจ าลอง ( )GMC 1,N และการน าไปประยกตใช และสวนท 4 เปนบทสรปผลลพธทไดจากบทความวจยน

วตถประสงค

1. เพอใหแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1,N มความแมนย าในการท านายมากยงขน 2. เพอปรบปรงการหาคาพนหลง (Background value) และสมการการท านายใหมความแมนย าในการ

ท านายมากยงขน

ความรพนฐาน บทความวจยนจ าเปนตองใชความรพนฐานทางคณตศาสตรเพอใชในขนตอนวธการหาค าตอบของระบบสมการ

เชงเสน ดงน นยาม 1 ถา

ijA a = เปนเมทรกซมต m n แลวทรานสโพสของ A จะเปนเมทรกซมต n m เขยนแทนดวย TA

โดยท T

ijA c = เมอ ij jic a= และ 1 ,1i n j m นยาม 2 ให A เปนเมทรกซมต n n ถา B เปน เมทรกซมต n n และมสมบตวา nAB BA I= =

เมอ nI เปนเมทรกซเอกลกษณ แลวเราเรยก B วาเปนเมทรกซผกผนของ A และเขยนแทน B ดวย 1A−

นยาม 3 (Bin, et al., 2002, pp.138-141) สมมตให (0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )X k x x x k x n= เปนล าดบ

ของขอมลทไมเปนลบ ถา 0 จะม 0k เมอ

0k k ทซง (0) (0)

1 (1)(0)

1

( ) ( )

( 1)( )

k

i

x k x k

x kx i

−

=

= −

แลว (0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )X k x x x k x n= เปนล าดบเรยบ (Smooth sequence)

นยาม 4 (Bin, et al., 2002, pp.138-141) สมมตให (0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )X k x x x k x n= เปนล าดบ

ของขอมลทไมเปนลบ ถา (0) (0)

1 (1)(0)

1

( ) ( )

( 1)( )

k

i

x k x k

x kx i

−

=

=−

เปนล าดบเพมทขนกบคา k แลว

(0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )X k x x x k x n= เปนล าดบเรยบ

นยาม 5 (Bund, 2013, pp.1256-1266) ถา ( (1), (2), (3),..., ( ))X x x x x n= เปนล าดบทมพจนไมเปนลบ จะเรยก

1

1

( )( ) , 2,3,4,...,

( )k

i

x kk k n

x i

−

=

= =

วา อตราสวนเรยบ (Smooth ratio) ของล าดบ X นยาม 6 (Bund, 2013, pp. 1256-1266) ถา ( (1), (2), (3),..., ( ))X x x x x n= เปนล าดบทมพจนไมเปนลบ ทซง

( 1)1 , 2,3,..., 1

( )

kk n

k

+ = −

และ ( ) [0,0.5] , 3,4,...,k k n =

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

505

แลวจะเรยกล าดบ X วาล าดบเรยบเสมอน (Quasi smooth sequence)

ตอไปจะแนะน าแบบจ าลองเกรยในรปแบบตาง ๆ เพอใชเปนพนฐานในการเขยนบทความวจยน

แบบจ าลองเกรย ( )GM 1,1 (Cui, et al., 2013, pp.4399-4406) สมมตวามล าดบขอมล ( )(0) (0) (0) (0) (0)(1), (2),..., ( ),..., ( )X x x x k x n=

โดยท (0) ( ) 0 , 1,2,3,...,x k k n = ซงเปนระบบของขอมลทตองการสรางแบบจ าลอง

ก าหนด ( )(1) (1) (1) (1) (1)(1), (2),..., ( ),..., ( )X x x x k x n=

เมอ

(1) (0)

1

( ) ( ) , 1,2,...,k

i

x k x i k n=

= =

(1)X สามารถจ าลองดวยสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบขอมล (1)X ไดดงน (1) (1)

1( ) ( )d

x t b x t udt

+ = (1)

เมอ 1b และ u เปนพารามเตอร และเรยกสมการ (1) วา Whitenization differential equation

อนทเกรตสมการ (1) ทง 2 ขางของสมการ จะไดวา

(1) (1)

1

1 1 1

( ) ( )

k k k

k k k

dx t dt b x t dt udt

dt− − −

+ =

จะได (0) (1)

1( ) ( )x k b z k u+ = (2)

โดยท (1) (1) (1) (0)

1

( ) ( ) ( 1) ( )

k

k

dx t dt x k x k x k

dt−

= − − =

และ

(1) (1)

1

1

( ) ( )

k

k

z k x t dt−

= เรยกวา คาพนหลง (Background value) และเรยกสมการ (2) วา Grey differential

equation โดยการประมาณอนทกรลดวยกฎสเหลยมคางหม (Trapezoidal rule) จะไดวา (1) (1) (1)( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)z k x k x k + −

ดงนนล าดบของคาพนหลง (1)Z ของ (1)X ก าหนดโดย

( )(1) (1) (1) (1) (1)(2), (3),..., ( ),..., ( )Z z z z k z n=

จาก (2.2) สามารถน าไปหาพารามเตอร 1b และ u จะไดวา

1

1 ( )T T Tb u B B B Y−= (3)

และสามารถแกสมการ (1) โดยวธการหาตวประกอบอนทเกรต (Integrating factor) ท าใหไดสมการการท านายคอ

1 1( ) ( )(1) (1)

1

ˆ ( 1) (1) (1 )b k b kux k x e e

b

− −+ = + − (4)

เมอ (0) (1) (1)ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( ),x k x k x k+ = + − (1) (0)ˆ ˆ(1) (1),x x= 1,2,3,...,k n=

แบบจ าลองเกรย ( )GMC 1,N (Box, et al.,1976)

ให (0)

1X เปนตวแปรตาม และ (0) (0) (0)

2 3, ,..., NX X X เปนตวแปรตน โดยททกตวแปรแปรผนตามเวลา

( )

( )

( )

1

(0) (0) (0) (0) (0)

1 1 1 1

(0) (0) (0) (0) (0)

2 2 2 2 2

(0) (0) (0) (0) (0)

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( )NN N N N

X x x x k x n

X x x x k x n

X x x x k x n

=

=

=

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

506

และสรางล าดบ

( )

( )

( )

1

(1) (1) (1) (1) (1)

1 1 1 1

(1) (1) (1) (1) (1)

2 2 2 2 2

(1) (1) (1) (1) (1)

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( ) , 1,2,...,NN N N N

X x x x k x n

X x x x k x n

X x x x k x n k n

=

=

= =

เมอ

(1) (0)

1

( ) ( ) , 1,2,3,..., , 2,3,...,t

j j

i

x k x i i k j N=

= = =

(1)X สามารถจ าลองดวย Whitenization differential equation ตอไปน (1) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

dx t b x t b x t

dt =

+ = (5)

เมอ 1 2 3, , ,..., Nb b b b เปนพารามเตอร สมมตให (1)

2

( )N

j j

j

b x t=

เปนคาคงท จาก (5) จะไดวา

(1) (1) (1)

1 1 1

21 1 1

( ) ( ) ( )

k k k N

j j

jk k k

dx t dt b x t dt b x t dt

dt =− − −

+ =

ดงนน Grey differential equation เขยนอยในรป (1) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

x k b z k b x k=

+ = (6)

เมอ

(1) (1)

1 1

1

( ) ( )

k

k

z k x t dt−

= เปนคาพนหลง โดยการประมาณคาอนทกรลดวยกฎสเหลยมคางหม

จะไดวา (1) (1) (1)( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)z k x k x k + −

ดงนนล าดบของคาพนหลง (1)Z ของ (1)X ก าหนดโดย

( )(1) (1) (1) (1) (1)

1 1 1 1 1(2), (3),..., ( ),..., ( )Z z z z k z n=

จาก (6) สามารถหาพารามเตอร 1 2 3, , ,..., Nb b b b จะไดวา

1

1 2 3 ... ( )T T T

Nb b b b B B B Y−= (7) สามารถแก (5) โดยวธการหาตวประกอบปรพนธ ท าใหไดสมการการท านายคอ

1 1

1

2( ) ( )(1) (1)

1 1

1

( 1)

ˆ ( 1) (1) (1 )

N

j jjb k b k

b x k

x k x e eb

=− −

+

+ = + −

(8)

เมอ (0) (1) (1)

1 1 1ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( ),x k x k x k+ = + − (1) (0)

1 1(1) (1)x x= , 1,2,3,...,k n=

ในป ค.ศ. 2005 Wu และ Chen (Wu, et al., 2005, pp.198-217) ไดน าเสนอบทความเกยวกบการพฒนาแบบจ าลองเกรยแบบหลายตวแปรขนโดยการเพมตวแปรควบคมเสรม (Grey control parameter) u ในแบบจ าลอง

( )GM 1,N ใชชอยอคอ ( )GMC 1,N โดยมกระบวนการสรางดงน Whitenization differential equation ก าหนดโดย

(1) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

dx t b x t b x t u

dt =

+ = + (9)

เมอ 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u เปนพารามเตอร อนทเกรตทงสองขางของสมการ (9) จะไดวา

(0) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

x k b z k b z k u=

+ = + (10)

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

507

เมอ

(1) (1)

1

( ) ( ) , 1,2,...,

k

i i

k

z k x t dt i N−

= = เปนคาพนหลง โดยการประมาณคาอนทกรลดวยกฎสเหลยมคางหม จะ

ไดวา (1) (1) (1)( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)i i iz k x k x k + −

ดงนนล าดบของคาพนหลง (1)

iZ ของ (1)

iX ก าหนดโดย

( )(1) (1) (1) (1) (1)(2), (3),..., ( ),..., ( )i i i i iZ z z z k z n=

จากสมการ (10) สามารถหาพารามเตอร 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u ดงน 1

1 2 3 ... ( )T T T

Nb b b b B B B Y−= (11) สามารถแกสมการ (9) โดยวธการหาตวประกอบปรพนธ ท าใหไดสมการการท านาย ดงน

1 1 1( ) ( ) ( 1 )(1) (1)

1 12

1 1ˆ ( 1) (1) (1) [ ( )] ( )

2 2

kb k b k b k

x k x e e f e f f k

− − − + −

=

+ = + + + (12)

โดยท (1) (1) (1)

2 2 3 3( ) ( ) ( ) ... ( ) ,N Nf k b x k b x k b x k u= + + + + (1) (0)

1 1(1) (1),x x= 2,3,...,k n= ตอมาในป 2011 โดย Tien (Tien, 2011, pp.1884-1897) ไดน าเสนอบทความเกยวกบการพฒนาสมการการ

ท านายใหมความแมนย ามากยงขน โดยใช Unit impluse function ( ( )t ) ในสมการเชงอนพนธ และอนทเกรตโดยใชวธการแปลงลาปลาซ (Laplace transform method) ดงน ก าหนดสมการ Whitenization differential equation

(1) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

dx t b x t b x t u

dt =

+ = + (13)

เมอ 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u เปนพารามเตอร อนทเกรตทงสองขางของสมการ (13) จะไดวา

(0) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

x k b z k b z k u=

+ = + (14)

เมอ

(1) (1)

1

( ) ( )

k

i i

k

z k x t dt−

= เปนคาพนหลง โดยการประมาณคาอนทกรลดวยกฎสเหลยมคางหม

จะไดวา (1) (1) (1)( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)i i iz k x k x k + −

ดงนนล าดบของคาพนหลง (1)

iZ ของ (1)

iX ก าหนดโดย

( )(1) (1) (1) (1) (1)(2), (3),..., ( ),..., ( )i i i i iZ z z z k z n=

จากสมการ (14) สามารถหาพารามเตอร 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u ดงน 1

1 2 3 ... ( )T T T

Nb b b b u B B B Y−= (15) จากนนแกสมการเชงอนพนธทก าหนดโดย

(1) (1)

1 1 1( ) ( ) ( )d

x t b x t tdt

+ = (16)

โดยท ( )t คอ Unit impulse function และใชวธการแปลงลาปลาซในสมการ (16) ท าใหไดสมการการท านาย ดงน

311 2

1( )(1) (0)

1 1

2

1ˆ ( 1) (1) ( 1) ( ( ) ( 1))

2

kb k ib k

i

x k x e u k e f i f i+

− + −−

=

+ = + − + −

(17)

เมอ ( 1)u k − คอ ฟงกชนขนบนไดหนงหนวย (Unit step function) และ (1) (1) (1)

2 2 3 3( ) ( ) ( ) ... ( )N Nf t b x t b x t b x t u= + + + +

เนองจากความไมสอดคลองกนของการหาพารามเตอรและสมการการท านาย ในป 2013 He และคณะ (He, et al., 2013, pp.124-138) ไดน าเสนอบทความเกยวกบการปรบปรงสมการการท านาย ( )GMC 1,N และเงอนไขทท า

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

508

ใหสมการการท านายระหวาง ( )C-GMC 1,N แบบตอเนอง (The continuous multivariate grey model) และ

( )D-GMC 1,N แบบวยต (The discrete multivariate grey model) สอดคลองกน ดงน 1. แบบจ าลองเกรย ( )C-GMC 1,N (The continuous multivariate grey model)

ก าหนดสมการ Whitenization differential equation (1) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

dx t b x t b x t u

dt =

+ = + (18)

เมอ 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u เปนพารามเตอร อนทเกรตทงสองขางของสมการ (18) ไดวา

(0) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

x k b z k b z k u=

+ = + (19)

เมอ

(1) (1)

1

( ) ( )

k

i i

k

z k x t dt−

= เปนคาพนหลง โดยการประมาณคาอนทกรลดวยกฎสเหลยมคางหม

จะไดวา (1) (1) (1)( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)i i iz k x k x k + −

ดงนนล าดบของคาพนหลง (1)

iZ ของ (1)

iX ก าหนดโดย ( )(1) (1) (1) (1) (1)(2), (3),..., ( ),..., ( )i i i i iZ z z z k z n=

จากสมการ (19) สามารถหาพารามเตอร 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u ดงน 1

1 2 3 ... ( )T T T

Nb b b b u B B B Y−= (20) สามารถแกสมการ (18) โดยวธการหาตวประกอบปรพนธ ท าใหไดสมการการท านาย ดงน

1 1

1 1

( ) ( )(1) (1)

1 1

1

( 1)1(1) (1)

2 0 1

ˆ ( 1) (1) (1 )

(1 )( ( 1) ( ))

2

b k b k

b b kN k

j j j

j m

ux k x e e

b

e eb x k m x k m

b

− −

− − +−

= =

+ = + −

−+ − + + −

(21)

เมอ (0) (1) (1)

1 1 1ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( ),x k x k x k+ = + − (1) (0)

1 1(1) (1)x x= , 1,2,3,...,k n= 2. แบบจ าลองเกรย ( )D-GMC 1,N (The discrete multivariate grey model)

อนทเกรตทงสองขางของสมการ (18) ไดวา

(1) (1) (1) (1)1

1 1

21 1 1

(1 0.5 )( ) ( 1) ( ( ) ( 1))

(1 0.5 ) 2(1 0.5 ) (1 0.5 )

Nj

j j

j

bb ux k x k x k x k

b b b=

−− − = + − +

+ + + (22)

จากสมการ (22) สามารถหาพารามเตอร 1 2 3, , ,..., ,Nb b b b u ดงน 1

1 2 3 ... ( )T T T

N B B B Y −= (23)

เมอ 1

1

1 1 1

(1 0.5 ), , , 2,3,...,

(1 0.5 ) (1 0.5 ) (1 0.5 )

j

j

bb uj N

b b b

−= − = = =

+ + +

สามารถแกสมการ (18) โดยวธการหาตวประกอบปรพนธ ท าใหไดสมการการท านาย ดงน (1) (1) (1) (1)

1 1 1

2

ˆ ( 1) ( ) ( ( 1) ( ))2

Nj

j j

j

x k x k x k x k

=

+ = − + + + + (24)

เมอ (0) (1) (1)

1 1 1ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( )x k x k x k+ = + − , 1,2,3,...,k n= เนองจากการแกสมการเชงอนพนธของสมการ (18) ใชเทคนคการแกสมการทตางกน ท าใหคาในการพยากรณท

ไดไมสอดคลองกน ดงนนสามารถหาความสมพนธระหวาง ( )C-GMC 1,N และ ( )D-GMC 1,N ดงน

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

509

ทฤษฎบท 1 (He, et al., 2013, pp.124-138) ถาคาพารามเตอร

1b ในสมการท (18) มคานอย แลวแบบจ าลอง ( )C-GMC 1,N สอดคลองกบแบบจ าลอง ( )D-GMC 1,N

วธการปรบปรงแบบจ าลอง ( )GMC 1,N

ส าหรบขอมลทน ามาใชในการสรางแบบจ าลองเกรยนน ควรสอดคลองกบเงอนไขความเรยบ ซงมผลตอความถกตองของการท านาย ท าใหการท านายโดยใชแบบจ าลองเกรยมประสทธภาพมากยงขน ดงนนในขนตนจงควรมการตรวจสอบเงอนไขความเรยบของขอมลกอน หากขอมลทน ามาใชในการท านายไมสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว สามารถแปลงขอมลใหสอดคลองกบเงอนไขดงกลาวไดดงน ทฤษฎบท 2 ก าหนด (0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )X k x x x k x n= เปนล าดบทมพจนไมเปนลบ

ถา (0) (0)( ) ( )z k x k c= + ทซง 4,5,...,k n= โดยท

(0) (0)

12 ( ) ( 1)max

3

x k x kc

k

− −

−

แลว (0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )Z k z z z k z n= เปนล าดบเรยบเสมอน

พสจน พจารณา

(0) (1)

12 ( ) ( 1)max

3

x k x kc

k

− −

−

เลอก

c m

ก าหนด (0) (1)

12 ( ) ( 1)max

3

x k x km

k

− −=

−

นนคอ

(0) (1)

12 ( ) ( 1)

3

x k x kc

k

− −

−

(0) (1)

12 ( ) 2 ( 1) ( 1)x k c x k k c+ − + −

(0)

(1)

1

( ) 1

2( 1) ( 1)

x k c

x k k c

+

− + −

(0)

(0) (0) (0)

( ) 1

2( (1) ) ( (2) ) ... ( ( 1) )

x k c

x c x c x k c

+

+ + + + + − +

จะไดวา (0)

(1)

( ) 1

2( 1)

z k

z k

−

ดงนน (0) (0) (0) (0) (0)( ) (1), (2),..., ( ),..., ( )Z k z z z k z n= เปนล าดบเรยบเสมอน

1. วธการปรบปรงแบบจ าลอง ( )GMC 1,N ให (0)

1X เปนตวแปรตาม และ (0) (0) (0)

2 3, ,..., NX X X เปนตวแปรตน โดยททกตวแปรแปรผนตามเวลา ก าหนดโดย

( )

( )

( )

1

(0) (0) (0) (0) (0)

1 1 1 1

(0) (0) (0) (0) (0)

2 2 2 2 2

(0) (0) (0) (0) (0)

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( )NN N N N

X x x x k x n

X x x x k x n

X x x x k x n

=

=

=

และสรางล าดบ

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

510

( )

( )

( )

1

(1) (1) (1) (1) (1)

1 1 1 1

(1) (1) (1) (1) (1)

2 2 2 2 2

(1) (1) (1) (1) (1)

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( )

(1), (2),..., ( ),..., ( ) , 1,2,...,NN N N N

X x x x k x n

X x x x k x n

X x x x k x n k n

=

=

= =

เมอ

(1) (0)

1

( ) ( ) , 1,2,3,..., , 2,3,...,t

j j

i

x k x i i k j N=

= = =

(1)X สามารถจ าลองดวย Whitenization differential equation ตอไปน (1) (1) (1)

1 1 1

2

( ) ( ) ( )N

j j

j

dx t b x t b x t

dt =

+ =

เมอขอมลสอดคลองกบเงอนไขความเรยบ เราสามารถให (1) ( )ix t ประมาณดวยฟงกชนเลขชก าลง (1) ( ) ia t

i i ix t E e F + โดยใชคาพนหลง

(1) (1)

1 1

( ) ( ) ( )i

k k

a t

i i i i

k k

z k x t dt E e F dt− −

= + (25)

ซงสามารถหาคาพารามเตอร ,i iE a และ iF โดยเรมจากการหาคา

ia พจารณา

( 1)(0) (1) (1)

( 2)(0) (1) (1)

( ) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 2) ( 1)

i i

i i

a k a

i i i i

a k a

i i i i

x k x k x k E e e

x k x k x k E e e

−

−

= − − = −

− = − − − = − (26)

จาก (26) ไดวา (0) (0)( ) ( 1)ia

i ix k e x k= − (27) จาก (27) หาคา

ia โดยวธก าลงสองนอยสด (Least-square Method) ฟงกชนจดประสงค (Objective function) ก าหนดโดย

(0) (0) 2

1

1( ) ( ( ) ( 1))

2i i

na a

i i

k

E e x k e x k=

= − − (28)

หาจดวกฤต (Critical point) ของ (28) เพอประมาณคา ia จาก

(0) (0) (0)

1

( ( ) ( 1)) ( 1) 0i

i

na

a i i i

ki

EE x k e x k x k

a =

= = − − − =

(0) (0) (0) 2

1

( ( ) ( 1) ( ( 1)) ) 0i

na

i i i

k

x k x k e x k=

− − − =

(0) (0)

1

(0) 2

1

( ) ( 1)

( ( 1))

i

n

i ia k

n

i

k

x k x k

e

x k

=

=

−

=

−

(0) (0)

1

(0) 2

1

( ) ( 1)

ln

( ( 1))

n

i i

k

i n

i

k

x k x k

a

x k

=

=

−

=

−

(29)

หาคา ,i iE F โดยวธก าลงสองนอยสดเชนกน ฟงกชนจดประสงคก าหนดโดย (1) 2

1

1( , ) ( ( ) )

2i

na k

i i i i i

k

Q E F x k E e F=

= − − (30)

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

511

ประมาณคา ,i iE F จาก

( )( )(1)

1

0i i

na k a k

i i i

ki

Qx k E e F e

E =

= − − − =

( )( )(1)

1

0i

na k

i i i

ki

Qx k E e F

F =

= − − − =

จาก 0i i

Q Q

E F

= =

จะไดวา

( ) ( )

( )

(1) (1)

1 1 1

22

1 1

,

i i

i i

n n na k a k

i i

k k k

in n

a k a k

k k

n e x k e x k

E

n e e

= = =

= =

−

=

−

(1)

1 1

( ) i

n na k

i

k k

i i

x k e

F En n

= == −

(31)

ดงนน สามารถหาคา ,i ia E และ iF จาก (29) และ (31)

เมอขอมลสอดคลองกบเงอนไขความเรยบ สามารถแกสมการ (18) โดยวธการหาตวประกอบปรพนธ ดงน 1 1 1(1) (1)

1 1121 1

( ) ( )

k kNk

b t b t b t

j

j

e x t e b x t dt e udt=

= +

1 1 1 1(1) (1)

1 1

21 1

( ) (1) j

k kNa tb k b b t b t

j j j

j

x k e x e e b E e F dt e udt=

− = + +

จดรปสมการดงกลาว จะไดวา 1 1 1

1

( 1) ( 1) ( 1)( 1)(1) (1)

1 1

2 21 1 1 1 1 1

( ) (1)

j ja k b k a b k b kN Nj j j jb k

j j

j jj j

E e F E e F e u uex k x e b b

b a b b a b b b

− − + − − − −− −

= =

= + + − + + −

+ + (32)

จาก (32) แทนคา k ดวย 1k + ไดวา 1 1 1

1

( 1)

(1) (1)

1 1

2 21 1 1 1 1 1

( 1) (1)

j ja k a b k b k b kN Nj j j jb k

j j

j jj j

E e F E e F e u uex k x e b b

b a b b a b b b

+ − − −−

= =

+ = + + − + + −

+ + (33)

น า 1be− คณ (32) และจดรปใหม จะไดวา

1 11 1 1 1

1 1(1) (1)

1 1

2 21 1 1 1 1 1

( ) (1)

j ja k b a b kb b k b b kN Nj j j jb b k

j j

j jj j

E e F e E e F e ue uee x k x e b b

b a b b a b b b

− −− − − −− −

= =

= + + − + + −

+ +

(34) น าสมการ (33) – (34) และจดรปใหม จะไดวา

1 1

1

1

( 1)

(1) (1)

1 1

2 21 1 1 1 1 1

1 1

( 1) ( )

j ja k a k b bN Nj j j j j j j jb

j j

j jj j j j

b

E e F F F E e F F F ex k e x k b b

b a b a b b a b a b

u ue

b b

+ − −

−

= =

−

+ ++ − = − + − − +

+ + + +

+ −

เนองจาก (1) ( ) ja k

j j jx k E e F = + และ ( 1)(1) ( 1) ja k

j j jx k E e F+ + = + เมอ 1b

j jF F e = จดรปสมการใหม ไดวา

1 1(1) (1) * (1) (1) *

1 1

2

( 1) ( ) ( 1) ( )N

b b

j j j

j

x k e x k b x k x k e u− −

=

+ − = + − + (35)

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

512

โดยท 1 1

* *

21 1 1 1 1

,

b bNj j j

j j

jj

b F F e u ueb u b

b a b b b b

− −

=

= = − + −

+

จากสมการ (35) ประมาณคา 1 1b ae e− −

และหาพารามเตอร * * * *

2 3, ,..., ,Nb b b u ดงน พจารณา

( )1

* * * *

2 3 ...T

T T

Nb b b u A A A X−

= (36)

โดยท

(1) (1) (1) (1) (1) (1)

2 2 3 3

(1) (1) (1) (1) (1) (1)

2 2 3 3

(1) (1) (1) (1) (1) (1)

2 2 3 3

(1)

1

(2) (1) (2) (1) (2) (1) 1

(3) (2) (3) (2) (3) (2) 1,

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1

(2)

N N

N N

N N

x x x x x x

x x x x x xA

x n x n x n x n x n x n

x e

X

−

− − −

− − − =

− − − − − −

−

=

1

1

1

(1)

1

(1) (1)

1 1

(1) (1)

1 1

(1)

(3) (2)

( ) ( 1)

b

b

b

x

x e x

x n e x n

−

−

−

− −

เมอไดคาพารามเตอร * * * * *

2 3 4, , ,..., ,Nb b b b u สามารถท านาย (0)

1 ( 1)x k + จากสมการการท านาย 1(1) (1) * (1) (1) *

1 1

2

ˆ ( 1) ( ) ( 1) ( )N

a

j j j

j

x k e x k b x k x k u−

=

+ = + + − + (37)

โดยท (0) (1) (1)

1 1 1ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( )x k x k x k+ = + −

ขอสงเกต ถา TA A เปนเมทรกซเอกฐาน (Singular matrix) ไดวาพารามเตอร * * * * *

1 2 3[ , , ,..., , ]T

Nb b b b u = มหลายค าตอบ ดงนนสามารถหาคาเหมาะสมของพารามเตอร จากนอรม (Norm) ของ

1( )A X − โดยวธก าลงสองนอยสด จะไดวา

1A X += โดยท A+ เปน Pseudo inverse [11] ของเมทรกซ A ซงก าหนดโดย

( )1

T TA A A A−

+ = (38)

2. การวดประสทธภาพของการพยากรณ (Measure of forecasting performance) ในการทดสอบความแมนย าจากการท านายเปนสงทส าคญส าหรบการน าแบบจ าลองเกรยมาประยกตใช ไดม

การทดสอบโดยใชตวชวด ดงน 1. คาคลาดเคลอนรอยละสมบรณ (Absolute Percentage Error: APE) (Ture, et al., 2006, pp. 41– 46)

ก าหนดโดย

(0) (0)

(0)

ˆ( ) ( )100%

( )

x k x kAPE

x k

−= (39)

2. คาคลาดเคลอนรอยละเฉลยสมบรณ (Mean Absolute Percentage Error: MAPE) (Ture, et al., 2006, pp. 41– 46) ก าหนดโดย

(0) (0)

(0)2

ˆ1 ( ) ( )100%

( )

n

k

x k x kMAPE

n x k=

−= (40)

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

513

3. Root Mean Square Percentage Error (RMSPE) (Ture, et al., 2006, pp. 41– 46) ก าหนดโดย

2

(0) (0) (0)

2

ˆ( ( ) ( )) / ( )

100%1

n

k

x k x k x k

RMSPEn

=

− =

−

(41)

โดยท (0) ( )x k เปนคาจรง (0)ˆ ( )x k เปนคาทไดจากการท านายทเวลา k

ซงสามารถเปรยบเทยบการวดคา MAPE และ RMSPE ของการท านายดงตารางท 1 ตารางท 1 เปรยบเทยบการวดคา MAPE และ RMSPE (Ture, et al., 2006, pp. 41– 46)

3. การประยกตใชแบบจ าลอง ( )GMC 1, N   เพอแสดงความแมนย าของการท านาย ในหวขอนจะประยกตใชแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1, N  ทปรบปรงและ

แบบจ าลองเกรยรปแบบเดมกบตวอยางปญหาปรมาณการใชไฟฟา ในประเทศไทย (GWh in Thailand) ปรมาณการใชไฟฟา (GWh) เกดขนจากปจจยตางๆ คอ จ านวนประชากร (Population) ผลตภณฑมวลรวม

ภายในประเทศ (GDP) หนดชน (SET index) รายไดจากการสงออกผลตภณฑอตสาหกรรม ขอมลเกยวกบปรมาณการใชไฟฟาและปจจยเหลานเปนขอมลทรวบรวมมาตงแตป ค.ศ.1986 ถงป ค.ศ. 2010 จากธนาคารแหงประเทศไทย กรมสงเสรมการสงออก นโยบายและแผนส านกพลงงาน และตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย ซงจะท านายโดยใชแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1,5  รปแบบเดม เปรยบเทยบกบแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1,5  แบบปรบปรงโดยก าหนดให

(0)

1 ( )x t แทนปรมาณการใชไฟฟา (กโลวตต) (0)

2 ( )x t แทนจ านวนประชากร (คน) (0)

3 ( )x t แทนผลตภณฑมวลรวมภายในประเทศ (ลานลานบาท) (0)

4 ( )x t แทนหนดชน (จด) (0)

5 ( )x t แทนรายไดจากการสงออกผลตภณฑอตสาหกรรม (ลานลานบาท)

t แทนเวลา (ป) จากการค านวณโดยโปรแกรมส าเรจรปทางคณตศาสตร Matlab R2016a สามารถเปรยบเทยบผลจากการ

ท านายดงตาราง โดยก าหนดให Model 1 Model 2 Model 3 และ Model 4 เปนแบบจ าลอง ทท านายโดยสมการ (12) (17) (24) และ (37) ตามล าดบ

MAPE, RMSPE (%) ประสทธภาพในการพยากรณ

<10 ประสทธภาพในการพยากรณระดบดมาก 10-20 ประสทธภาพในการพยากรณระดบด 20-50 ประสทธภาพในการพยากรณระดบพอใช >50 ประสทธภาพในการพยากรณระดบนอย

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

514

ตารางท 2 การเปรยบเทยบคาทไดจากแบบจ าลอง ( )GMC 1,5  แบบเดมและแบบปรบปรงของปรมาณการใชไฟฟา

Year Data Fitting value

Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 1986 10162.7 10162.7 10162.7 10162.7 10162.7 1987 11319.4 19960.41 10829.99 11085.2 9595.8 1988 11942.38 3300.574 12406.24 12364.77 13765.3 1989 14328.1 14636.96 14653.15 14066.72 14006.46 1990 16717.23 17058.21 17028.96 16793.25 18008.1

ตารางท 2 การเปรยบเทยบคาทไดจากแบบจ าลอง ( )GMC 1,5  แบบเดมและแบบปรบปรงของปรมาณการใชไฟฟา

(ตอ)

Year Data Fitting value

Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 1991 19406.02 18876.49 18838.13 19265.72 19137.05 1992 21641.01 20898.08 20860.41 21875.35 21809.66 1993 24321.28 24355.77 24381.72 24613.05 22962.7 1994 27758.43 28664.43 28638.8 27772.19 28452.71 1995 31870.37 32025.3 31960.36 31123.27 31078.37 1996 34607.29 34098.8 33960.44 34309.6 35071.9 1997 36981.24 34756.98 34577.55 36369 36739.31 1998 35154.99 35801.09 35658.1 37425.42 35405.03 1999 36275.13 37934.16 37778.38 36514.61 36632.42 2000 39546.26 40069.65 39880.25 38669.14 40142.52 2001 41658.51 42157.51 41949.74 41790.77 40846.32 2002 44805.66 44353.83 44114.61 43726.37 43744.81 2003 48293.79 47156.15 46924.25 47225.74 47666.92 2004 50810.54 50635.11 50361.46 51779.6 52571.36 2005 53894.12 54378.07 54081.43 55883.79 54475.23 *2006 56994.75 58568.46 58228.69 60056.93 57593.84 *2007 59436.12 63292.66 62925.54 64131.66 60275.05 *2008 60266.29 68224.64 67778.07 67599.28 63225.75 *2009 59401.92 73481.96 73007.78 67844.65 57531.58 *2010 60315.04 80249.4 79746.4 68774.59 65240.82

* Model prediction

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

515

ตารางท 3 การเปรยบเทยบคาผดพลาดจากแบบจ าลอง ( )GMC 1,5  แบบเดมและแบบปรบปรงของปรมาณการใช

ไฟฟา

Year MPE

Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 1986 0 0 0 0 1987 76.33808 4.323663 2.069025 15.22695 1988 72.36251 3.884118 3.536933 15.26433 1989 2.155623 2.268614 1.824257 2.244843 1990 2.039719 1.864744 0.454711 7.721819

ตารางท 3 การเปรยบเทยบคาผดพลาดจากแบบจ าลอง ( )GMC 1,5  แบบเดมและแบบปรบปรงของปรมาณการใช ไฟฟา (ตอ)

Year MPE

Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 1991 2.728695 2.926337 0.722961 1.386019 1992 3.432956 3.607039 1.08283 0.779323 1993 0.141823 0.248513 1.199641 5.585993 1994 3.26386 3.171542 0.049564 2.501148 1995 0.486135 0.282368 2.34419 2.485053 1996 1.46932 1.869107 0.860185 1.342509 1997 6.014561 6.499759 1.655544 0.654196 1998 1.837862 1.43113 6.458338 0.711242 1999 4.573457 4.144012 0.660174 0.98495 2000 1.323479 0.844557 2.217955 1.507744 2001 1.197839 0.699097 0.317478 1.949644 2002 1.008415 1.542332 2.408828 2.367679 2003 2.355658 2.835846 2.211565 1.298036 2004 0.345259 0.883826 1.907194 3.465467 2005 0.897963 0.347558 3.691816 1.078235 *2006 2.761154 2.165006 5.372733 1.051138 *2007 6.488538 5.870881 7.900147 1.411475 *2008 13.20531 12.46432 12.16765 4.910633 *2009 23.703 22.90475 14.21289 3.148618 *2010 33.0504 32.21644 14.02561 8.166751

* Model prediction

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

516

ตารางท 4 การเปรยบเทยบคา MAPE และ RMSPE จากแบบจ าลอง ( )GMC 1,5  แบบเดมและแบบปรบปรงของ

ปรมาณการใชไฟฟา

Model MAPE RMSPE

fitting value prediction value fitting value prediction value

Model 1 9.6828011 13.20140058 24.253149 19.38177797

Model 2 2.2986401 12.60356602 2.825307 18.74588084 Model 3 1.8775363 8.946504792 2.379348 11.29649718 Model 4 3.6081675 3.114769206 5.6472267 4.556777227

สรปผลการวจย

การปรบปรงแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1, N  ดวยการค านวณคาพนหลงแบบใหมจากการประมาณดวยดวยฟงกชนเลขชก าลงเพอปรบปรงสมการการท านายดงกลาว สามารถสรปผลการทดสอบการใชแบบจ าลองจากตวอยางการประยกตใชแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1,5  ในการท านายปรมาณการใชไฟฟาในประเทศไทย โดยพจารณาแตละ k ตงแต 1 - 25 โดยคา APE จากตารางท 2 แสดงวา Model 3 และ Model 4 สามารถท านายไดแมนย ากวา Model 1 และ Model 2 เมอพจารณาคา APE ตามตารางท 3 ซงเปนตารางเกยวกบการเปรยบเทยบการวดคา แสดงวา Model 3 และ Model 4 มประสทธภาพในการท านายทดมาก โดย Model 4 สามารถท านายไดดทสด และเมอพจารณาคา MAPE และ RMSPE จากตารางท 4 แสดงวา Model 3 และ Model 4 มประสทธภาพในการท านายทดมาก โดย Model 4 สามารถท านายไดดทสด จากการเปรยบเทยบความถกตองของการท านายจากตวอยางดงกลาว แบบจ าลองเกรย

( )GMC 1, N  ทมการปรบปรงใหม (Model 4) มความแมนย าในการท านายมากกวาแบบเดม (Model 1 Model 2 Model 3)

อภปรายผล

จากการแปลงขอมลใหสอดคลองกบเงอนไขความเรยบและการปรบปรงสมการการท านายใหมประสทธภาพมากยงขน ท าใหการปรบปรงแบบจ าลองเกรย ( )GMC 1, N  ดงกลาวนมความแมนย าในการท านายดกวาแบบจ าลองรปแบบเดมและสามารถใชในการท านายขอมลเชงตวเลขไดหลายรปแบบ

ขอเสนอแนะ ขอเสนอแนะในการน าผลการวจยไปใช

แบบจ าลองทปรบปรงใหมน เปนอกทางเลอกหนงส าหรบการน าไปประยกตใชในการท านายขอมลในหลาย ๆ ดานเพอใชวเคราะห ตดสนใจ หรอควบคมผลทจะเกดขนในอนาคตไดอยางมประสทธภาพ ขอเสนอแนะในการท าวจยครงตอไป

อยางไรกตาม แบบจ าลองทปรบปรงใหมน ยงมความคลาดเคลอนจากการท านายอย จงควรแปลงขอมลใหสอดคลองกบเงอนไขความเรยบและค านวณคาพนหลงจากการประมาณดวยฟงกชนรปแบบอน ๆ ทสอดคลองกบขอมล เพอใหไดสมการการท านายทแมนย าและมประสทธภาพมากยงขน

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence

517

เอกสารอางอง

Bin, B. & Meng, Q. (2002). Research on Methods of Expending Grey Prediction Model. Systems Engineering-Theory & Practice, 9, 138-141.

Box, G.E.P. & Jenkins, G.M. (1976). Time series analysis: Forecasting and control, San Fransisco. Bund, G. (2013). Grey System Theory and Method. The Electronic Journal of Geotechnical

Engineering, 18, 1256-1266. Cui, J., Liu, S., Zeng, B. & Xie, N. (2013). A novel grey forecasting model and its optimization. Applied

Mathematical Modelling, 37, 4399-4406. Evans, M. (2014). An alternative approach to estimating the parameters of a generalized Grey Verhulst

model: An application to steel intensity of use in the UK. Expert Systems with Applications, 41, 1236-1244.

He, Z., Wang, Q., Shen, Y. & Wang, Y. (2013). Discrete multivariate grey model based boundary extension for bi-dimensional empirical mode decomposition. Signal Processing, 93, 124-138.

Quah, T.S. & Srinivasan, B. (1999). Improving returns on stock investment through neural network selection. Expert Systems with Applications, 17, 295–301.

Tien, T-L. (2011). The indirect measurement of tensile strength by the new model FGMC (1,n). Measurement, 44, 1884-1897.

Ture, M. & Kurt, I. (2006). Comparison of four different time series methods to forecast hepatitis A virus infection, Expert Syst. Appl., 31, 41– 46.

Wu, W.-Y. & Chen, S.-P. (2005). A prediction method using the grey model GMC(1, n) combined with the grey relational analysis: a case study on Internet access population forecast. Applied Mathematics and Computation, 169, 198-217.

Xie, N. & Liu, S. (2009). Discrete grey forecasting model and its optimization. Applied Mathematical Modelling, 33, 1173-1186.

Ziliang, W. (2004). Building grey model GM(1,1) with translation transformation. Emerald Group Publishing limited, 33, 390-397.

The 5

th Ka

mphae

ng Ph

et Ra

jabha

t Univ

ercity

Natio

nal C

onfer

ence