GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ BOYUT - vuralgokmen.com · GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN 3 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği Kuvvet - Kütle ilişkisi Kuvvet, kütle

GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN

1 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği

MODÜL 1 : BOYUT – BİRİM 1.1. BOYUTLAR - BOYUT HOMOJENİTESİ - BİRİM SİSTEMLERİ

Primer boyutlar : uzunluk, zaman, kütle (mLT) : uzunluk, zaman, kütle, kuvvet (FLT) Sekonder boyutlar : alan, hız, yoğunluk, vb.

Tablo 1.1. Başlıca fiziksel ölçülerin primer boyutlar cinsinden karşılıkları

F L T sistemi m L T sistemi Notasyon

Uzunluk L L l, h, z, y

Kütle m m m

Zaman t t t

Sıcaklık T T T

Kuvvet F mL/t2 F

Basınç F/L2 m/Lt2 P

Alan L2 L2 A

Hacim L3 L3 V

İş FL mL2/t2 W

Güç FL/t mL2/t3 Pow

Enerji FL mL2/t2 E, H, U

Momentum Ft mL/t M

Yoğunluk m/L3 m/L3 ρ

Viskozite Ft/L2 m/Lt µ

Yüzey gerilimi F/L m/t2 σ

Hız L/t L/t u

İvme / yerçekimi L/t2 L/t2 a, g

Kayma gerilimi F/L2 M/Lt2 τ

### Altın kural : Her eşitlik, içerdiği terimlerin boyutları açısından homojen olmalıdır.



1.2. BİRİM SİSTEMLERİ Tablo 1.2. Farklı birim sistemlerinde primer boyutlar İngiliz Birim Sistemi (EE) Geleneksel Metrik Sistem

(CGS)

Uluslararası Birim

Sistemi (SI)

Uzunluk, L Feet, ft Santimetre, cm Metre, m

Zaman, t Saat, h Saniye, s Saniye, s

Kütle, m Pound, lbm Gram, g Kilogram, kg

Kuvvet, F Pound force, lbf Dyne Newton, N

Enerji, H British thermal unit, Btu Kalori, Cal Joule, J (N.m)

Sıcaklık, T °F °C K



Kuvvet - Kütle ilişkisi Kuvvet, kütle ve ivmenin çarpımıyla orantılıdır (Newton’un 2. kanunu) F ~ m.g gc : orantı katsayısı, F.gc = m.g Burada; F : Kuvvet m : Kütle g : Yerçekim ivmesi gc : Orantı katsayısı gc = m.g / F Temel boyutlar cinsinden gc = m. (L/t2) / F = m.L / t2.F Yer çekim ivmesi (Standard gravity), g F = m.g/gc g = 9.80665 m/s2 (L/t2) SI g = 9.80665 m/s2 . 100 cm/1 m = 980.665 cm/s2 CGS g = 9.80665 m/s2 . 1 ft/0.3048 m = 32.174 ft/s2 EE Kuvvet-kütle çevirme faktörü, gc gc = m.g/F gc = (1lbm)(32.174 ft/s2)/(1 lbf) = 32.174 lbm.ft/s2.lbf (m.L/t2.F)



Tablo 1.3. Farklı Birim Sistemlerinde gc’nin değeri Birim

Sistemi

Kuvvet, F Kütle, m İvme, a gc

EE lbf lbm ft/s2 32.174 lbm.ft/s2.lbf

CGS dyne g cm/s2 1 g. cm/s2.dyne

SI N kg m/s2 1 kg.m/s2.N



1.3. BOYUT ANALİZİ Bazı mühendislik problemlerinin çözümü, birtakım boyutsuz sayılardan oluşan ampirik eşitliklerin kullanımına bağlıdır. Bu eşitliklerin türetilmesi, bazı değişkenler ve sabitlerin, eşitliğin sol ve sağ tarafındaki terimlerin aynı boyutlarda olmaları ilkesine dayalıdır. Örnek: Newton’un 1. kanunu F = m.g/gc F = (m)(L/t2) / (m.L/t2.F) = F Örnek: Boru boyunca basınç kaybının hesaplanması -dP = f {gc, D, v, ρ, µ, L} Burada; -dP : basınç kaybı, F/L2 gc : kuvvet-kütle çevirme faktörü, mL/t2F D : boru çapı, L V : çizgisel akış hızı, L/t ρ : yoğunluk, m/L3 µ : viskozite, m/Lt L : boru boyu, L Not: Boyut analizini basitleştirmek için gc terimi eşitliğin sol tarafına alınır ve böylece kuvvet (F) boyutu analiz dışında bırakılır. -dP gc = f {D, v, ρ, µ, L} -dP gc = k . Da . vb . ρc . µd . Le Burada k sabit bir sayı, a, b, c, d, e ise sabit üstel sayılardır.



( ) ( )edc

3

ba

222 LLtm

Lm

tLLk

Ltm

FtmL

LF

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

Eşitlik 3 primer boyut (m, L ve t) içermektedir. Eşitliğin her iki tarafının aynı birimde olması için, eşitliğin iki tarafındaki primer boyutların üstel toplamları da eşit olmalıdır. Kütle (m) için üstler toplamı; 1=c+d Uzunluk (L) için üstler toplamı; -1=a+b-3c-d+e Zaman (t) için üstler toplamı; -2=-b-d 5 bilinmeyen ve 3 eşitlik olduğuna göre 3 bilinmeyeni (a, b, c), diğer 2 bilinmeyen (d, e) cinsinden çözebiliriz. Bu durumda; c=1-d b=2-d a=-d-e -dP gc = k . D-d-e . v2-d . ρ1-d . µd . Le -dP gc = k . D-d . D-e . v2 . v-d . ρ1 . ρ-d . µd . Le Üstleri 1, d ve e olan terimler biraraya getirilirse; -dP gc = k . (v2ρ)1(m/Dvρ) d (L/ D)e Eşitliğin her iki tarafındaki terimleri boyutsuz hale getirilirse; -dP gc / v2ρ = k . (Dvρ/m) -d (L/ D)e Not: Eşitlikte yer alan k, d, e sabitleri deneysel olarak saptanır.



MODÜL 2 : AKIŞKANLARIN ÖZELLİKLERİ < AKIŞKAN

Akışkan, kayma gerilimi etkisiyle (ne kadar küçük olursa olsun) sürekli olarak deforme olan maddelerdir. Akışkanlar akabilir ve içinde bulundukları kabın şeklini alırlar. Sıvılar ve gazlar Akışkanlar Mekaniği kapsamına girer. Katılar ile akışkanlar (sıvılar ve gazlar) arasındaki temel fark, üzerlerine uygulanan kuvvet etkisi ile sergiledikleri davranışların farklılığından kaynaklanmaktadır. Kuvvet, katının herhangi bir noktasından katıya uygulanabilir. Oysa akışkanlara kuvvet uygulayabilmek için, kuvvetin belli bir alan üzerinden (F/A) uygulanması gerekir. Not: Basınç birim alana uygulanan kuvvet ! (P=F/A) Katılar, üzerlerine etki eden kuvvetin kalkması ile eski haline dönerken, uygulanan kuvvetin etkisiyle deforme olmuş bir akışkan, kuvvet ortadan kalkınca eski halini almaz.

< KÜTLE

4 Yoğunluk (rho), ρ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33 L

m mkg

Akışkanların kütlesini ifade eden tipik bir ölçüdür.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ρ 3L

m Vm



4 Özgül Ağırlık (gamma), γ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33 LF

mN

Yoğunluk gibi, akışkanın kütlesini ifade eden bir ölçüdür.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ=γ 322 L

F veya tL

m g

4 Relatif yoğunluk, SG

Akışkan yoğunluğunun, suyun yoğunluğuna oranıdır. Yoğunluk gibi, akışkan kütlesinin bağıl bir ölçüsüdür.

[ ] boyutsuz SGOH2

ρ

ρ=

Yoğunluk, özgül ağırlık ve relatif yoğunluk birbiri ile ilişkilidir ve herhangi birinin bilinmesi, diğerinin hesaplanmasına olanak verir. Ï Civanın 20°C’deki relatif yoğunluğu (SG) 13.6 olduğuna göre, yoğunluğunu

(ρ)ve özgül ağırlığını (γ) hesaplayınız. Ð ρ = (13.55)(1000 kg/m3) = 13.6 x 103 kg/m3 γ = (13.6 x 103)(9.8 m/s2) = 133.28 x 103 N/m3



< İDEAL GAZ KANUNU

2

1

2

1

2

2

1

1MM veya

MM

için gaz iki sabit, TP,MRT

PVm

VMm

RTP

Mmn

nRTPV

=ρ

ρρ=

ρ

=

ρ=

=ρ

=

=

=

R: Evrensel gaz sabiti, R=8314 J/kg mol . K (SI) Ro : Gaz sabiti, R=RoM P=ρRoT



< VİSKOZİTE, µ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 22 L

F.t s . PamN.s

Yoğunluk, özgül ağırlık ve relatif yoğunluk bir akışkanın "ağırlık" , viskozite ise "akışkanlık" ile ilgili özelliklerini belirtir.

Şekil 1.1. İki paralel plaka arasındaki materyalin, F kuvveti etkisiyle deformasyonu ve hız gradyanı oluşumu u=L/t ise L=u.t

Sabit plaka

Hareketli plaka

F

u

A

B B’

dL

h θ dt

y

x

τ A

viscosity of law sNewton' dydu

dydugerilmesi Kayma

dydu

dtdy/dudtlimoranı Kayma

dydudt

dydL

dydxtanKayma

0dt

µ=τ

∝τ=

==

==≈θ=

→

τ = Fstress/A veya Fstress = τ A (F’nin aksi yönünde)

(u+du)dt

(u)dt dy

Hız gradyanı y

u



µ (mu) mutlak viskozite, dinamik viskozite veya kısaca viskozite olarak adlandırılır. Sıcaklık ile değişir, basınç ile değişmez. Kayma kuvveti (τ), kayma oranı (du/dy) ile doğrusal olarak değişen akışkanlara Newtonsal akışkanlar, kayma kuvveti (τ), kayma oranı (du/dy) ile doğrusal olarak değişmeyen akışkanlara ise Newtonsal olmayan akışkanlar denir.

Şekil 1.2. Farklı akışkanlar için kayma kuvvetinin (τ) kayma oranı (du/dy) ile değişimi

Kayma gerilme oranı, du/dy

Kay

ma

kuvv

eti, τ

µapp

µ=µapp

1: Newtonsal2: Bingham plastik3: Pseudoplastik4: Dilatant

12 3

4



Ï Aralarında 0.3 mm mesafe olan biri sabit diğeri hareketli iki sonsuz plaka

arasında, relatif yoğunluğu (SG) 0.88 ve viskozitesi (µ) 0.65 x 10-3 kg/m.s olan bir akışkan bulunmaktadır. (a) Akışkanın kinematik viskozitesini, (b) üstteki plaka 0.3 m/s hızla hareket ettirildiğinde alttaki plaka üzerinde yaratılan kayma kuvvetini hesaplayınız.

Ð SG=0.88, µ=0.65 x 10-3 kg/m.s

(a)

s/m1039.7m/kg)1000)(88.0(s.m/kg1065.0

.SG27

3

3

OH2

−−

×=×

=ρ

µ=

ρ

µ=υ

(b)

Pa 650.0

m 100.3s/m 3.0)s.m/kg 1065.0(

hu

dydu

3-3

alt =×

×=µ=τ

µ=τ

−

Alttaki plaka yönünde yükseklik (-) işaretli olduğundan, hesaplanan kayma kuvvetinin işareti de (-) olur. Bu, alt plaka üzerinde etki eden kayma kuvvetinin yönünün, akışkan hareket yönü ile zıt olduğunu gösterir.

u=0.3 m/s

h=0.3 mm

x

y



Ï Paralel iki plaka arasında yer alan Newtonsal akışkanın hız dağılımı

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2

hy1

2v3u

olarak (v: ortalama hız) verilmektedir. Akışkanın viskozitesi 0.04 lb.s/ft2’dir. v=2 ft/s ve h=0.2 in ise, (a) alt plaka, (b) plakalar arasındaki tam orta düzlemden üzerindeki kayma kuvvetini hesaplayınız.

Ð µ=0.04 lb.s/ft2 = (0.04 lb.s/ft2)(47.88 N.s/m2)/(1 lb.s/ft2) = 1.915 N.s/m2 v=2 ft/s = (2 ft/s)(0.3048 m/s)/(1 ft/s) = 0.6096 m/s h=0.2 in = (0.2 in)(0.0254 m)/(1 in) = 0.00508 m

0)(du/dy) 0,(y 0

)Pa(N/m 4.689m) 00508.0(

m/s) 6096.0)(3)(N.s/m 915.1(hv3

hv3

dydu

-h)(y hvy3

dydu

midmidmid

22

bottom

2

===τ

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛µ=τ

=

=−=

x

y

h

hy=0

y

u



Kaymanın varolması için bunu gerçekleştirecek bir kayma kuvvetinin varolması gerekir. Tek yönlü akışta, akışa paralel olarak kayma kuvvetleri (Fs) vardır. Akışın mevcut durumunu muhafaza etmesi için, bu kuvvetlerin toplamı birbirine eşit olmalıdır.

-Fs

u

y

A düzlemi

Fs



< SIKIŞTIRILABİLİRLİK, Ev (bulk modulus) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22 LF

mN

Belli bir kütleye sahip akışkanın, basınç değişimi ile hacminin değişmesidir. Sıkıştırılabilirlik "bulk modulus (Ev)" ile ters orantılıdır. Akışkanlarda basınç değişimi sonucu meydana gelen değişime elastisite denir. Doğada gerçek anlamda sıkıştırılamayan bir akışkan yoktur. Ancak sıvılar genellikle sıkıştırılamaz kabul edilebilir.

ρ

ρ=

=

=ρ+ρ=

ρ==ρ

<>

=

dVdV-

)yok! değeğişi kütle için (sistem 0dm 0VddVdm

Vm da ya Vm

0VdV ise 0P d

VV dE- P d v

SIVILAR : SIKIŞTIRILAMAZ (INCOMPRESSIBLE) ρ = sabit ≠ f {P} GAZLAR : SIKIŞTIRILABİLİR (COMPRESSIBLE) ρ = f {P}



Eşitliğin Alternatif Formları

v

v

EP

vv

dvdPvE

Δ−≈

Δ

−=

Ev (çelik) : 26 x 106 psi Ev (su) : 0.32 x 106 psi (2.05 x 109 N/m2) Ev (hava) : 15 psi

Ï Eğer su 1000 psi’lik bir basınç ile sıkıştırılırsa, suyun hacminde meydana gelen

değişmeyi hesaplayınız. Ð

%3.0

3201

1032.01000

EPP

vvvEP

vv

6v

12

1

12

v

−=−=×

−=−

−=−

Δ−≈

Δ



< YÜZEY GERİLİMİ, σ (sigma) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡LF

mN

Sıvı içerisindeki herhangi bir I molekülü, her yönden çekici kuvvetlerin etkisi altındadır. Bu kuvvetlerin vektörel toplamları sıfırdır. Ancak sıvı yüzeyindeki bir S molekülü, yüzeye dik bir şekilde net dahili yapıştırıcı kuvvet etkisi altındadır. Yüzeydeki moleküller, sıvı içindeki moleküllerden daha yüksek enerjiye sahiptir.

Bir sıvının yüzey gerilimi (σ), yeterli sayıda molekülü yüzeye taşıyarak yeni bir birim alan oluşturmak için yapılması gereken iş olarak tanımlanabilir.

mN

mNm

mJ

AW

22 ====σ

Yüzey gerilimi bir sıvının yüzeyinin, gerilmiş elastik bir membran gibi davranma eğilimidir. Sıvılar doğal olarak yüzey alanlarını minimize etme eğilimindedir. Bu nedenle sıvı damlaları yüzey alanlarını küçültmek için küresel bir şekil alırlar. Küçük bir damlacık için yüzey gerilimi, yüzeyde etkili kuvveti dengelemek üzere damlacık içerisindeki iç basıncın artmasına neden olur.

Damlacığın içi ile dışı arasındaki basınç farkı, ΔP ΔP=(Piç-Pdış), Yarımküre şeklindeki damlacığa etkiyen yüzey gerilimi, s Basınç kuvveti sıvı molekülleri dışa doğru hareket ettirmeye çalışırken, yüzey gerilim kuvveti molekülleri birarada tutmaya çalışır. Net kuvvet sıfırdır.

Sıvı

Serbest yüzey

I

S

σ

Piç

Pdış

R



Basınç kuvveti = ΔP.A = ΔP.p R2 (N/m2 . m2 = N) Yüzey gerilim kuvveti = n.s = 2pR.s (m . N/m = N)

2pRs = (Piç – Pdış) p R2 = (DP) p R2

< KAPİLER ETKİ Akışkanın molekülleri arasındaki çekim iki şekilde gerçekleşir: 1. Adhesion : başka bir kitleye tutunmak için 2. Cohesion : akışkanın molekülleri arasında Bir sıvının kapiler bir tüp içinde yükselmesi veya alçalması yüzey gerilimi tarafından kontrol edilir ve adhezyon ve kohezyonun büyüklüklerine bağlıdır. Eğer adhezyon > kohezyon ise sıvı tüp içinde yükselir, kohezyon > adhezyon ise sıvı tüp içinde alçalır. Islatma ve Temas Açısı Adhezyon > Kohezyon Islatan sıvı Kohezyon > Adhezyon Islatmayan sıvı

Şekil (a) da katı bir yüzeyi ıslatan, (c) de ise ıslatmayan sıvı örnekleri gösterilmektedir. Buradaki θ açısı temas açısı olarak adlandırılır ve sıvının ıslatma özelliğinin bir ölçüsüdür. Mükemmel bir ıslatma için temas açısının θ=0° olması gerekir. Bu durumda sıvı katı yüzey üzerine ince bir film halinde yayılır. θ=180° durumu pratikte gözlenmez. Damla üzerine etki eden yerçekim kuvveti damlayı katı yüzeyine çeker. Teflon üzerinde su, cam üzerinde civa bu duruma örnektir. Eğer θ<90° ise sıvının katı yüzeyi ıslattığı, θ>90° ise ıslatmadığı söylenebilir. θ<20° güçlü bir ıslatma, θ>140° ise güçlü bir ıslatmama özelliğini gösterir.

θ θ θ

(a) (b) (c)



Kontak açısı (θ) sıvı ve katı yüzeyin bir fonksiyonudur. Su için temiz bir cam yüzeyde θ ≈ 0°’dir. Kapiler tüp içindeki yükselme veya alçalma kuvvet denkliği ile hesaplanabilir.

Şekil. Kapiler cam tüplerde kapiler aksiyonu. (1) ıslatan sıvı (su), (2) ıslatmayan sıvı (civa)

Yüzey gerilim kuvveti, Fσ Fσ=2πR σ cosθ Sıvının ağırlığı, W W=m g m=ρ V V=p R2h W=ρ p R2h g ΣFnet=(2πRσ cosθ) - (ρ g p R2 h)=0 2πRσ cosθ = ρ g p R2 h 2 σ cosθ = ρ g R h h = 2 σ cosθ / ρ g R

θ

hh

θ

σ

W

h

R



Ï 20°C’deki suyun kapiler aksiyon sonucu 1 mm yükselmesi için hangi çapta bir cam tüp kullanılmalıdır?

20°C’de su için; σ=0.0728 N/m, γ=9.789 kN/m3 Ð θ ≈ 0° olduğundan, h=1 mm =0.001 m

h = 2 σ cosθ / ρ g R

R = 2 σ cosθ / γ h R = (2)(0.0728 n/m)(1)/(9.789 x 103 N/m3)(0.001 m) R = 0.0149 m D = 2R = 0.0298 m = 29.8 mm

Tablo 1.4. Akışkanların bazı özellikleri ve birimleri Sembol Birim (SI)

Yoğunluk ρ kg/m3 m/L3

Özgül ağırlık γ N/m3 m/t2L2 or N/m3

Özgül gravite SG # boyutsuz #

Özgül hacim ν m3/kg L3/m

Viskozite µ N.s/m2 Ft/L2

Yüzey gerilimi σ N/m F/L

Sıkıştırılabilirlik Eν N/m2 F/L2



MODÜL 3 : AKIŞKAN STATİĞİ

Statik Akışkanlarda Basınç-Yön İlişkisi Statik bir akışkan içerisinde, üçgen kesit yüzeyine sahip sonsuz küçük bir akışkan elemanı ele alalım. Bu akışkan elemanı yüzeyine dik olarak P büyüklüğünde bir basınç varsayalım.

x

y

z

dz

dy

dx θ

P

P.cosθ

dl

mg Pz

θ



Akışkan elemanı üzerine etki eden kuvvetler

0F =Σ (statik akışkan)

Akışkan elemanının kütlesi

dxdydz21dm

2dxdydzdV

dVdm

ρ=

=

ρ=

Sisteme z yönünde etkiyen kuvvetler;

0g . dxdydz . ρ21-cosθ . dxdl . Pdxdy . PΣF zz =−=

dldycosθ =

0g . dxdydz . ρ21-

dldy . dxdl . Pdxdy . PΣF zz =−=

0ρgdz21-PPz =−

Bu eşitliğin dz→0 iken limiti alınırsa;



PP

0PP

0ρgdz)21-P(P lim

z

z

z0dz

=

=−

=−→

Benzer şekilde x ve y yönlerindeki kuvvetler için çözümlendiğinde

Py=P ve Px=P elde edilir.

Sonuç: Basıncın yönü yoktur.



Hidrostatik denge



Varsayımlar:

1. 0F =Σ (Akışkan statik)

2. sabit=ρ (Akışkan sıkıştırılamaz)

Manometre denkliği :

γdzdP

ρgdzdP

ρghPP

0)z(z ρg)P(P

0dzρgdP

0ρgdzdP

0g . dxdydz . ρdxdy . dP-

0g . dxdydz . ρdxdy . dP)(P-dxdy . PΣF

12

1212

2

1

2

1

=

=

=−

=−+−

=+

=−−

=−

=−+=

∫∫

Manometre eşitliği sıkıştırılamaz akışkanlarda basınç ölçümünde kullanılır.



Varsayımlar:

1. 0F =Σ (Akışkan statik)

2. sabit≠ρ (Akışkan sıkıştırılabilir)

Barometre denkliği :

)zz(RTgM

1

2

121

2

2

1

2

1

12ePP

)zz(RTgM

PPln

dzRTgM

PdP

gdzRTPMdP

RTPM

RTPMVmMmn

nRTPV

dz ρgPd

−=

−=

=

=

=ρ

ρ=

=ρ

=

=

=

∫∫



Barometre eşitliği sıkıştırılabilir akışkanlarda basınç ölçümünde kullanılır.

Basınç Ölçümü

Piezometre

geçerli durumunda PP

hP

ise 0PP

hPP

ghPP

gdhdP

o

atmo

o

o

>

γ=

==

γ=−

ρ=−

ρ=

h

P

P0

Boru veya kap

Piezometrik tüp



Basit U tüpü manometre

Manometre sol kolu için:

Px = P1 + ρg(h+a)

Manometre sağ kolu için:

Px' = P2 + ρga + ρmgh

Px = Px' olduğundan,

P1 + ρg(a+h) = P2 + ρga + ρmgh

P1 - P2 = ρmgh - ρgh

P1 - P2 = (ρm - ρ)gh

Ölçülebilen maksimum basınç farkının (P1P2)

büyüklüğü manometre kollarının uzunluğu ile

sınırlıdır. Büyük basınç farklarını ölçmek için

yüksek yoğunluklu manometre kullanılır.

Küçük basınç farklarının duyarlı bir şekilde

ölçülebilmesi için manometre sıvısının

yoğunluğu, ölçülen sıvı yoğunluğuna yakın

olmalıdır.

ρm

ρ



Ters çevrilmiş U tüpü manometre

Ters çevrilmiş U tüpü manometreler sıvılarda basınç

farkını ölçmek için kullanılır. Sıvı üzerinde kalan

boşluk hava ile doldurulur. Manometrede sıvı

seviyesi epedeki musluk ile ayarlanır.

Manometre sol kolu için:

Px = P1 - ρg(a+h)

Manometre sağ kolu için:

Px' = P2 - (ρga + ρmgh)

Px = Px' olduğundan,

P1 - ρg(h+a) = P2 - (ρga + ρmgh)

P1 - P2 = (r - rm)gh

Eğer manometre sıvısı rm << r olacak şekilde

seçilmişse,

P1 - P2 = ρgh.



İki sıvılı U tüpü manometre

İki sıvılı U tüpü manometre gazlarda

küçük basınç farklarını ölçmek için

kullanılır.



Bir kolu genişletilmiş manometre

Endüstriyel uygulamalarda U tüpü manometrenin her iki kolundaki sıvı hareketinin ölçülmesi zorunludur. Ancak manometre kollarından birinin diğerine göre genişletilmesi ile bu zorunluluk ortadan kaldırılabilir. Böylelikle sadece tek bir koldaki sıvı hareketi ölçülerek basınç farkıl belirlenir. Yandaki şekilde O-O’ basınç farkının “0” olduğu durumu simgelemektedir. Basınç farkı (P1-P2) sonucu sol koldan sağ kola transfer olan sıvının hacmi, V= h(pd2/4)

Burada d manometrenin ince kolunun çapıdır. Eğer D manometrenin geniş kolunun çapı ise, sol koldaki sıvının seviyesindeki azalma

L= Transfer olan sıvı hacmi / Sol kolun kesit alanı

L= (h(pd2/4) / (pD2/4)

L= h(d/D)2

Sol kol için, Px = P1 + ρg(h+a) + ρgh(d/D)2

Sağ kol için, Px' = P2 + ρga + ρmg(h+h(d/D)2)

P1 + ρg(h+a) + ρg h(d/D)2 = P2 + ρga + ρmg(h+h(d/D)2)

P1 - P2 = ρmg(h + h(d/D)2) - ρgh - ρgh(d/D)2

Eğer D>>d ise, h(d/D)2 terimi ihmal edilebilir (yaklaşık “0”).

P1 - P2 = (ρm - ρ)gh

Eğer sıvı yoğunluğu manometre sıvısı yoğunluğuna göre ihmal edilebilir ise,

P1 - P2 = ρmgh

D

d a

L



Eğik manometre

θγ

−=

θγ=−

θρ=−

ρ>>ρρ>>ρ

ρ−ρ+θρ=−

=ρ−θρ−ρ+

sinPPl

sinlPP

singlPP

ve ise, gaz 2 ve 1

ghghsinglPP

PghsinglghP

2

21

221

221

3212

1133221

2332111

P1

ρ1

P2

ρ3

θ

h2 h1 ρ2 l



Daldırılmış Cisimler Üzerine Etki Eden Kuvvetler

Patm

h

ρ

FR

P

Tank alt duvarına etki eden bileşke kuvvet;

FR = P.A

P = rgh

FR = rgh.A

h.A = Vtank

FR = rg .Vtank

FR =γ Vtank



h

φ=D

ρ

FR

Vana kesit merkezinde basınç, P

)2Dh(gP +ρ=

Vana kesit alanı, A

4DA2π

=

Vana kesit merkezine etki eden kuvvet; FR

4D)

2Dh(gFR

2π+ρ=



y

x

z h

ρ Füst

Fyan

Pgauge=0

dz dx

dy

Akışkan içindeki cismin üst yüzeyinde hidrostatik basınç; Püst

Püst = ρgh

Cisim üst yüzeyine etki eden kuvvet; Füst

Füst = ρgh Aüst

Füst = ρgh (xz)

Cisim yan yüzeyine etki eden kuvvet; Fyan

Fyan = ρg(h+0.5y) (yz)



y

x

z h

ρ Füst

Fyan

Pex

dz dx

dy

Akışkan yüzeyinden bir piston ile Pex büyüklüğünde bir basınç uygulandığında;

Püst = Pex + ρgh

Füst = (Pex + ρgh)(xz)

Fyan = (Pex + ρgh) (yz)

Not: Akışkana uygulanan Pex, cisim üzerine gecikmesiz olarak ve aynı büyüklükte etki eder. Bu durum yüksek hidrostatik basınç ile gıda muhafazasının temelini oluşturmaktadır.



MODÜL 4 : AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ

Boru

İdeal akış Gerçek akış

u=umax u=0

u=umax

u=umax u=0

Basit sınıflandırma § Ideal (inviscid, potential) / Real (viscous) § Laminar / Turbulent § Compressible / Incompressible § Steady / Unsteady § Uniform / Nonuniform

laminar türbülant

AKIŞ TİPİ

ideal gerçek

AKIŞKAN TİPİ

(µ=0) (µ>0) (NRe<2100) (NRe>4000)



Steady Flow (Yatışkın Akış)

Akım içindeki herhangi bir noktada tüm koşullar zamanla sabittir. Koşullar başka noktalarda farklı olabilir. Uniform flow (Tekdüze akış) Hız büyüklük ve yün olarak akışkanın her noktasında aynıdır (Sadece laminar akış için doğrudur!). Pathline (Yol çizgisi) Akışkan içerisinde tek bir partikülün belli bir zaman boyunca izlediği yol.

Akış Hız

Yol

Streamline (Akış çizgisi) Aynı noktadaki partiküllerin herhangi bir andaki ortalama yönünü gösterir.

V



Osborne Reynold Deneyi

1880s by Osborne Reynolds

Valf

Jet

Cam tüp

Boya

LAMİNAR

TÜRBÜLANT

Boya Akış

Boya Akış

Boya

µDuρNRe =

Reynolds Sayısı, NRe

NRe < 2100

NRe > 4000



Akış hızı

Birim zamanda akan akışkan miktarı.

Hacimsel (Q): Q ft s cfs⇒ 3 / ( ) (L3/t)

Kütlesel (.m): Q ft s cfs⇒ 3 / ( ) (m/t)

Ağırlık (G): Q ft s cfs⇒ 3 / ( ) (F/t) veya (mL/t2)

Akış çizgisi

Alan, dA

θ X

Z

Y

u

u.cosθ

Partiküle ait çizgisel hız, u dQ U dA= ⋅! !

Partiküle ait hacimsel akış hızı, u dQ U dA= ⋅! !

Partiküle ait kütlesel akış hızı, u dQ U dA= ⋅! !



Ortalama hız (Türbülans durumunda)

Not: Gerçek akışkanlarda akışkanın her noktasında çizgisel hız (u) farklıdır.

Bu durumda ortalama hacimsel akış hızı;

Q udA A VA

= =∫

U kesit boyunca ortalama çizgisel hız.

t

u’ (+)

u’ (-)

u

u

u u’

Kesit alan, A



Eğer u A’nın bilinen bir fonksiyonu ise, u dAA∫ hesaplanabilir.

Hacimsel akış hızı, Q

Q A V A V A VAVa a b b n n= + +

=

.....

Kütlesel akış hızı, .m

m udA AV QA

⋅ = = =∫ρ ρ ρ

Ağırlıksal akış hızı, G

m udA AV QA

⋅ = = =∫ρ ρ ρ

Kesit alan

UB

UA AA

AB

Partikül A

Partikül B



MODÜL 5 : SINIR KATMANLARI Sınır Katmanı

Bir akışkan sabit bir yüzey üzerinden akarken (nehir yatağı, boru duvarı vb.), yüzey

ile temas eden akışkan duvardaki kayma kuvveti (τo) etkisiyle sabit kalır. Akışkan

hızı duvardan uzaklaştıkça dereceli olarak artar ve ana akım içerisinde maksimum

değere ulaşır. Bu hız profili akışın başladığı noktada oluşur ve duvar boyunca belli

bir noktaya kadar gelişir. Bu süreç “tam gelişmiş akış” (fully developed flow) olarak

adlandırılır.

Sınır katmanı, akışkanın bir katı sınır varlığı nedeniyle hareketinin etkilendiği kısmı olarak

tanımlanır.

u0

umax



Prandtl sınır katmanı teorisi (1904)

u: bulk (yığın) akış hızı Sınır katmanı kalınlığı, duvar ile akışın 0.99u hızına eriştiği nokta arasındaki mesafedir.

a a’ a’’

u∞ u∞ u∞

b

b’

b’’

c c’ c’’

plaka

u’

u’’

u

X

u

Zx Z’x

Z’’x

Sınır katmanı sınırı

Zx

X

Sınır katmanında türbülant akış Sınır katmanında

laminar akış

Tampon tabaka

Viskoz tabaka

Geçis bölgesi



Düz Boruda Sınır Katmanı

Geçiş bölgesi mesafesi; Xt

Laminar akış

Ret N.DX

050=

Türbülant akış

{ }Ret NfX ≠

Laminar ve Türbülant Akış Rejimlerinde Sınır Katmanı

u u u

u u u

Laminar sınır katmanı Türbülant sınır katmanı

Tam gelişmiş türbülant hız profili

Tam gelişmiş laminar hız profili



Sınır Katmanı Seperasyonu I. Daralan akış (convergent flow): Negatif basınç farkı Eğer akış yönünde bir basınç düşmesi varsa, sınır katmanı incelir. Akışkan hızı daralan bölgede artar. Akış stabil kalır, türbülans azalır. Sınır katmanı seperasyonu gerçekleşmez. II. Genişleyen akış (Divergent flow): Pozitif basınç farkı Sınır katmanı dışında kalan akışkan pozitif basınç farkını artışını aşacak momentuma sahiptir, ancak sınır katmanı içerisindeki momentum daha düşük olduğundan, akışkan ya hareket yeteneği kaybeder ya da yön değiştirir. Bu fenomen sınır katmanı seperasyonu olarak adlandırılır.

U1 U2

P1 P2

P1>P2 U1<U2

u1

Sınır katmanı sınırı

u2

P1 P2

Genişleme noktası

Seperasyon zonu

P1<P2 u1>u2



Vorteks (Girdap) oluşumu

Sınır katmanı seperasyonunun gerçekleştiği yerde vorteks (girdap) oluşur ve sistemde büyük enerji kaybına neden olur. Bu nedenle akış sistemlerinde sınır katmanı seperasyonuna minimize edilmeye çalışılır. Bu amaçla çoğunlukla sistem üzerinde ani kesit alanı değişimlerinden kaçınılır.

Bazı temel işlemlerde (ısı aktarımı, karıştırma gibi) ise sınır katmanı seperasyonu istenebilir.

III. Silindir üzerinden akış

Vorteks



MODÜL 6 : TEMEL EŞİTLİKLER

Reynolds Transport Teorisi

Sistem (CS) Sistem (S), kapalı bir yüzey ile tanımlanan sınırlar içerisinde yer alan akışkandır. Sistemin şekli zamanla değişebilir. Kontrol Hacmi (CV) Kontrol hacmi (CV), uzayda tanımlı sabit bir bölgedir, hareket etmez ve şekil değiştirmez.

“X” akışkanın herhangi bir özelliğinin sistem (S) içerisindeki toplam miktarını

simgelesin (kütle, enerji, momentum).

CV içinde S

t anında akışkan sistemi

T+Δt anında akışkan sistemi

Δ∇inCV

Δ∇outCV

CV



Herhangi bir t anında anında, sistem (S) ve kontrol hacmi (CV) sınırları tamamen aynıdır.

( ) ( )∴ =X Xs t cv t (1)

t+Dt anında S, CV boyunca yer değiştirir, ve bu sırada şekil de değiştirebilir. Küçük

bir miktar yeni akışkan inCVΔ∇ CV’ye girerken, küçük bir miktar da out

CVΔ∇ CV’yi

terk eder. CV’ye giren ve çıkan bu akışkan içerisinde, belli miktarda X

( )Δ ΔX and Xcvin

cvout taşınmaktadır.

( ) ( )( ) ( )X X X X

X Xs t t cv t t cv

outcvin

s t cv t

+ += + −

=

Δ ΔΔ Δ

(2)

(2)’den (1) çıkarılıp;

( ) ( ) ( ) ( )∴ − = − + −

= + −

+ +X X X X X X

X X X X

s t t s t cv t t cv t cvout

cvin

s cv cvout

cvin

Δ ΔΔ Δ

Δ Δ Δ Δ

Δt’ye bölünür ve limit alınırsa (Δt→ 0),

dXdt

dXdt

dXdt

dXdt

s cv cvout

cvin

= + − (3)

elde edilir.



Süreklilik Denkliği (Kütlenin Korunumu) (.m=ρ1u1A1=ρ2u2A2)

U1 Streamtube Hacim=∇

U2

A1

A2

Akım çizgilerinden (streamlines) oluşan bir akım tüpü ele alalım. Akışkan streamtube içerisine u1 hızında ve A1 kesit alanından girip, u2 hızında A2 kesit alalnından çıksın. Reynolds Transport Teorisi’ne göre;

dXdt

dXdt

dXdt

dXdt

s cv cvout

cvin

= + −

X=kütle, m için eşitlik

dmdt

dmdt

dmdt

dmdt

s cv cvout

cvin

= + −



dmdt

s = 0 (Kütlenin korunumu) (a)

mcv cv= ∀ρ ( ) (b)

ρ cv : CV içinde ortalama yoğunluk

∴ = ∀dmdt

ddt

cv cvρ

0dtd

=∀

∴ = ∀dmdt

ddt

cv cvρ

Δ Δ∀ Δm A V tcvout = =ρ ρ2 2 2 2 2 (c)

∴ =dmdt

A Vcvout

ρ 2 2 2

dmdt

AVcvin

= ρ1 1 1 (d)



∴ − = ∀ρ ρ∂ρ

1 1 1 2 2 2V A V Adtcv

Yatışkın akış için;

∂ρ

ρ ρcv

dtAV A V m= ∴ = =0 1 1 1 2 2 2,

.

222111 muAuA =ρ=ρ



Özet (Transport Teorisi):

∫∫∫ ρ+∇ρ=∇ρcscvs

dA.uddtdd

dtd

0ddtd

s=∇ρ∫ ( 0

dtdmsys = , kütlenin korunumu)

0ddtd

cv=∇ρ∫ (ρ=0, yatışkın akış)

in.

out.

csmmdA.u Σ−Σ=ρ∫

t-dt t t+dt

Sistem Kontrol Hacmi

∫ ∇ρ=s

dm



Süreklilik Denkliği Uygulamaları

Vm ρ=in.

m out.

m

acc.

gen.

out.

in.

mmmm =+−

outoutout.

)Q.()A.u.(m ρ=ρ=

ininin.

)Q.()A.u.(m ρ=ρ=

reaction) (no 0mgen.

=

state) (steady 0dtdV

dtdV

dt)V(d

dtdmmacc

.=ρ+

ρ=

ρ==

outin mmdtdm

−=



Boş bir tankın dolması/boşalması için geçen süre;

Vtank

Qin

in

ktan

in

in

in

outin

QVt

QdtdV

QdtdV

dtdV

mdt)V(d

mmdtdm

=

=

ρ=ρ+ρ

=ρ

−=

Qout

Vtank

out

ktan

out

out

out

outin

QVt

QdtdV

QdtdV

dtdV

mdt)V(d

mmdtdm

=

−=

ρ−=ρ+ρ

−=ρ

−=



Lineer Momentum Eşitliği (Momentumun Korunumu)

(S: sistem, CV: kontrol hacmi, CS: kontrol yüzeyi)

Newton 2nd Kanunu : )um(dtdF

.=Σ : Akışkana etkiyen net kuvvet lineer momentumun

değişmesine neden olur.

)um(dtdd.u

dtdM

dtdF

.

sss =∇ρ===Σ ∫∫

∫∫∫ ρ+∇ρ=∇ρcscvs

dA.u.ud.udtdd.u

dtd

0d.udtd

cv=∇ρ∫ (Yatışkın akış)

inoutcs

MMdA.u.u Σ−Σ=ρ∫

t-dt t t+dt

Sistem Kontrol Hacmi

∫ ∇ρ== d.uu.mM



Euler Eşitliği

P W

P+ΔP

dL

dx

dz θ

A

(+)

Varsayım : potansiyel akış (µ=0)

θ−+−= sinWA).dPP(A.P)mu(dtd

dLdzmgdP.A

dtdmu

dtdum −−=+ 0

dtdm

=

dLdzVgdP.A

dtduV ρ−−=ρ

dLdzAdLgdP.A

dtdL

dLduAdL ρ−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

( ) gdzdPudu ρ−−=ρ ( ) 0udugdzdP =ρ+ρ+

0udugdzdP=++

ρ Euler eşitliği



Bernoulli Eşitliği (Mekanik Enerji Eşitliği) Euler eşitliğinin integrali:

0udugdzdP 2

1

2

1

2

1

u

u

z

z

P

P=++

ρ ∫∫∫

02)uu()zz(g)PP( 21

22

1212 =

−+−+

ρ

−

2ugzP

2ugzP 2

22

221

11 ++

ρ=++

ρ

2ugzP

2ugzP 2

22

221

11 ++

ρ=++

ρ Bernoulli eşitliği

Basınç (akış) terimi ρ

P

Potansiyel enerji terimi gz

Kinetik enerji terimi 2u2



Bernoulli Eşitliğinde Düzeltmeler I. Kinetik Enerji Düzeltme Faktörü, α Bernoulli eşitliği hız gradyanının olmadığı ideal akış durumu için türetilmiştir. Ancak gerçek akış problemlerinde, akışkan viskozitesinden dolayı sınır katmanları oluşumu ve dolayısı ile hız gradyanı oluşumu söz konusudur. Bu durumda, akışkana ait

kinetik enerji teriminde (2u2 ) çizgisel hızı (u), ortalama çizgisel hız (u) ile

değiştirmek ve kinetik enerji terimini (2u2

)düzeltme faktörü (α) ile çarpmak gerekir.

Bu durumda Bernoulli eşitliği aşağıdaki hali alır.

2ugzP

2ugzP 2

222

2211

11 α

++ρ

=α

++ρ

Kinetik enerji düzeltme faktörü;

Au

dAu

3s

3∫=α

Laminar akış için; α=2.0 Türbülant akış için; α=1.05



II. Bernoulli Eşitliğinde Sürtünme Kaybı (hf)

gz2uPhead Total

2++

ρ=

Bir akım çizgisi boyunca toplam mekanik enerji (total head) sabit değildir. Mekanik enerji akış yönünde sürekli azalır. Enerjinin korunumuna göre, kaybolan mekanik enerjiye eşdeğer büyüklükte ısı enerjisi açığa çıkar. Sürtünme kaybını göz önüne aldığımızda, Bernoulli eşitliğinin sağ tarafına sürtünme terimi (hf) ilave edilir. Bu durumda eşitlik aşağıdaki hali alır.

f

222

22

211

11 h

2ugzP

2ugzP

+α

++ρ

=α

++ρ

Skin friction (üniversal kayıplar): Sürtünme, sınır katmanları içerisinde kayma kuvvetlerinin işe dönüşmesi sonucu hem laminar, hem de türbülant akış rejiminde ortaya çıkar. Sınır katmanı seperasyonunun olmadığı bu tür sürtünmeye "skin friction" denir. Form friction (minor kayıplar: Eğer sınır katmanı seperasyonu varsa, bu durumda oluşacak vorteksler nedeniyle ilave enerji kayıpları söz konusudur. Bu sürtünmeye ise "form friction" denir. Form friction sınır katmanı seperasyonuna neden olan objenin şekil ve pozisyonuna bağlıdır.



III. Bernoulli Eşitliğinde Pompa İşi (Ws) Pompa akış halindeki bir akışkanın mekanik enerjisini artımak için kullanılır. Pompa akışkanın kinetik enerjisini artırır ve sürtünme kayıplarını kompanse eder, ve bazen potansiyel enerjiyi de artırır. Wp : Pompa tarafından yapılan iş η : Pompa verimi hfp : Pompa içinde sürtünme kaybı

1

WhW

WhW

p

fpp

pfpp

<η

−=η

η≡−

Pompa işi ve verimi dikkate alındığında Bernoulli eşitliği aşağıdaki hali alır:

f

222

22

p

211

11 h

2ugzPW

2ugzP

+α

++ρ

=η+α

++ρ

Not: Bu eşitlik sıkıştırılamaz akışkanların akışında kullanılır.



MODÜL 7 : SÜRTÜNME KAYIPLARI (SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ) Viskoz bir akışkanın yatay bir boru içerisinden yatışkın akışını (dρ=0) ele alalım.

P P+dP

τ

τ

r rw

dL Disk element etrafında yatay kuvvetler: A.PA).dPP(A. =++τ

0A.dPA. =+τ

0)r(dP)rdL2( 2 =π+τπ

0dLdP

r2

=+τ

L2r.P

Δ

Δ=τ (shear force distribution)

τ=0 r=0 τ=τmax=τw r=rw

rw



I. Üniversal Kayıplar: Skin Friction (hfs)-Shear (τ) İlişkisi

P P-ΔP

ΔL

D

Bernoulli denklemi:

f

222

22

211

11 h

2ugzP

2ugzP

+α

++ρ

=α

++ρ

1. z1=z2 2. u1≅u2 3. hf=hfs

fshPPP+

ρΔ−

=ρ

fshP=

ρΔ

D

L4r

L2P veya 0dLdP

r2 w

w

w Δτ=

Δτ=Δ=+

τ

DL4h w

fs ρ

Δτ=



2w

2w

u

2

2uf

ρ

τ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ

τ= f: fanning friction factor

2u

DLf4h2

fsΔ

=

Fanning friction factor, f § Laminar akış (Newtonian akışkan):

ReN16f =

§ Türbülant flow (Newtonian akışkan): Moody Chart (p. 99, Figure 5.9 in McCabe, Smith and Harriot)



I. Minor Kayıplar: a. Ani Genişleme

Süreklilik denkliği

A.u.mmm.

2.

1.

ρ=== 2211 A.u.A.u. ρ=ρ

2

112 AAuu =

Bernoulli denkliği

f

222

22

211

11 h

2ugzP

2ugzP

+α

++ρ

=α

++ρ

α1=α2=1.0, z1=z2, hf=hfe,

fe

21

2221 h2uuPP

+−

=ρ− (P1≅P2)

2

2

122

122

fe AA1

2u

2uuh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

2

2

1e A

A1K ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2uKh21

efe =

U1 U1D1D2

P1

P1

Akım çizgileri



b. Ani Daralma

2uKh22

cfc =

c. Fitting ve Valf Etkileri

2uKh21

fff =

Toplam Sürtünme Kaybı, hf

2u)KKK

DLf4(h

hhhhh2

fcef

fffcfefsf

+++=

+++=

U1 U2D1 D2

P2

P1



MODÜL 8 : AKIŞ ÖLÇERLER VE POMPALAR

PİTOT TÜPÜ

Pitot tüpü bir akışkan akımının herhangi bir noktasındaki lokal hızı ölçmek için kullanılır. Akış hattı üzerine yerleştirilen U tüpünün bir ucu akışa karşı açık olacak şekilde monte edilir. Tüp girişinde (nokta 2) akışkan kinetik enerjisini kaybeder (u=0).

Sıkıştırılamaz akışkan için 1 ve 2 noktaları için Bernoulli denkliği:

2ugzP

2ugzP 2

22

221

11 ++

ρ=++

ρ

z1=z2, u2=0, u1=u, hf=0

ρ

=+ρ

22

1 P2uP

ρm

1 2

Δh

ρ



ρ

−=

)PP(2u 21

Gerçek durumlar için yukarıdaki eşitlikten sapmalar olur. Bu sapma deneysel verilere göre belirlenerek pitot tüpü eşitliği düzeltilmelidir. Bu durumda yukarıdaki eşitliğe boyutsuz düzeltme katsayısı çarpanı (Cp) ilave edilir. Cp 0.98 ile 1.0 arasında değişir.

ρ

−=

)PP(2Cu 21p

Basınç farkı (P1-P2) manometre denkliğinden elde edilirse; h.g).(PP m21 Δρ−ρ=−

ρ

Δρ−ρ=

h.g).(2Cu mp

Not: Bu eşitlik akışkanın ortalama hızını değil, lokal hızını belirlemede kullanılır.



VENTURİ METRE Venturi metre boru hattınaaşağıda görüldüğü gibi doğrudan monte edilir. Ölçülebilir bir basınç farkı, boru kesit alanında kademeli bir daralma ve tekrar genişleme yolu ile sağlanır. Bu sırada ani daralma ve genişleme sonucu enerji kaybı meydana gelse de, venturi eşitliğinin türetilmesi için bu kayıp ihmal edilir.

1 ve 2 noktaları için Bernoulli eşitliği

2ugzP

2ugzP 2

22

221

11 ++

ρ=++

ρ

z1=z2, hf=0

2uP

2uP 2

22211 +

ρ=+

ρ

2uP

2uP 2

22211 +

ρ=+

ρ

ρ 1 2

ρm

Δh



ρ

−=−

)PP(2uu 2121

22

1 ve 2 noktaları için süreklilik denkliğinden

4Du

4Du

22

2

21

1π

=π

2

1

221 DDuu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

u1 Bernoulli denkliğinde yerine konulduğunda,

ρ

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

)PP(2DDuu 21

4

1

222

22

ρ

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

)PP(2DD1u 21

4

1

222

ρ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)PP(2

DD1

1u 214

1

2

22



ρ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)PP(2

DD1

1u 214

1

2

2

Eğer küçük enerji kaybı için venturi eşitliği düzeltilecek olursa, boyutsuz venturi düzeltme katsayısı (Cv) eşitliğe çarpan olarak ilave edilir. Cv her durum için deneysel olarak saptanabilir. Cv Re>104 durumunda, D<0.2 m borular için 0.98, daha geniş borular için ise 0.99 olarak alınabilir.

ρ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)PP(2

DD1

Cu 214

1

2

v2

Venturi metre fazla yer kaplaması ve pahalı olması gibi dezavantajlara sahiptir. Ayrıca sabit bir geometriye sahip olduğundan, akış hızındaki önemli sayılabilecek değişiklikler, doğru olmayan basınç farkı okumalarına neden olabilmektedir.

ρ

−

β−=

=β

)PP(21Cu

iseDD

214

v2

1

2



ORİFİS METRE Orifis metre, venturi metreye göre daha ucuz bir yatırımdır. Ancak akış hattında kalıcı enerji kaybına neden olur.

Orifis eşitliği, venturi eşitliğine benzer. Burada Co boyutsuz orifis düzeltme katsayısıdır ve herzaman deneysel olarak saptanır. Eğer orifis için Re>20 000 ve Do/D1<0.5 ise Co 0.61 olarak sabit alınabilir.

ρ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)PP(2

DD1

Cu 214

1

o

o2

0

1 2

Δh



POMPALAR

Pompa giriş (a) ve çıkış (b) istasyonları için Bernoulli eşitliği

f

222

22

p

211

11 h

2ugzPW

2ugzP

+α

++ρ

=η+α

++ρ

f

211

11

222

22

p h2ugzP

2ugzPW +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α++

ρ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α++

ρ=η

Pompa

Wp

2 1

Z1 Z2

2’

1’

Z1’

Z2’



f

211

11

222

22

p h2ugzP

2ugzPW +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α++

ρ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α++

ρ=η

Belli bir noktada akışkanın sahip olduğu toplam enerji (H: total head)

2ugzPH2α

++ρ

=

Eğer hf=0 varsayarsak abp HHW −=η

η

Δ=

η

−=

HHHW abp

olur. Not: Pompa için Bernoulli eşitliğinde, pompa giriş ve çıkış istasyonları arasındaki seviye farkı genellikle ihmal edilebilir düzeydedir (z1=z2). Türbülant akış için a=1.0 alınabilir. Pompa Güç Gereksinimi, Wp Pompanın çalışması için dışarıdan bir güç uygulanması gerekir. Bu güç PP ise;

η

Δ==

HmWmP.

p

.

p

Burada .m kütlesel akış hızıdır.



Akışkana aktarılan güç Pf ise;

η

Δ==

HmWmP.

p

.

f

İşte pompa verimi pompaya dışarıdan sağlanan güç ile pompanın akışkana aktardığı güç arasındaki bir ilişkidir.

p

f

PP

=η



Net Pozitif Emiş Yüksekliği (Net Positive Suction Head-NPSH) Pompaların verimli çalışabilmesi için pompa emiş hattında akışkanın sıvı formda olması gerekir. Eğer pompa emiş hattında akışkanın basıncı, buhar basıncının altına düşerse, akışkan buharlaşmaya başlar ve pompa içine buhar dolar. Bu pompa kapasitesini etkiler, ömrünü kısaltır. Bu olaya kavitasyon denir. Kavitasyona engel olmak için, pompa girişinde basınç sürekli olarak buhar basıncından belli bir oranda yüksek tutulmalıdır. Buna net pozitif emme yüksekliği (NPSH) denir. Küçük santrifüj pompalar için NPSH 2-3 m düzeyindedir.

Şekildeki gibi bir sistem için pompanın NPSH değeri aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:

guzhPP

g1NPSH

2

1fsv α

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ

−=

Pompa

Wp

2 1

Z1 Z2

2’

1’

Z1’

Z2’

P

Documents

GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ BOYUT - vuralgokmen.com · GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN 3 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği Kuvvet - Kütle ilişkisi Kuvvet, kütle